初中数学人教版七年级下册教材变式题组
初中数学人教版《二元一次方程组》_1
3×16x=2×10y.
答：分配40人生产螺栓，50人生产螺帽才能使每天生产的螺栓
已知有23人在甲处劳动，17人在乙处劳动．现共调20人去帮忙，要使在甲处劳动的人数是在乙处劳动的人数的2倍，应调往甲、乙两处各多少人？
C. x+y=22, D. x+y=22, B.
已知有23人在甲处劳动，17人在乙处劳动．现共调20人去帮忙，要使在甲处劳动的人数是在乙处劳动的人数的2倍，应调往甲、乙两处各多少人？
3x=2×5y
2×5x=3y
B组 6. 一方桌由一个桌面和四条桌腿组成，已知1 m3木料可制成 桌面50个或制成桌腿300条.现有5 m3木料，请你设计一下，用 多少木料做桌面，用多少木料做桌腿，恰好能把方桌配成套？
解：设用x m3木料做桌面，用y m3木料做桌腿，恰好能把方桌配
成套.
由题意,得
x+5=2(y－5).
解：设甲组原来有x人，乙组原来有y人.
x+y=22， x+y=22, D. A. B. 某种仪器由2个A部件和1个B部件配套构成．每个工人每天可以加工A部件100个或者加工B部件60个，现有工人16名，应怎样安排人力，才能使每天生产的A部件和B部件配套？设 5x=2×3y 2×3x=5y 安排x个人生产A部件，安排y个人生产B部件，则列出二元一次方程组为
谢 谢 答3×：16分x=配24×01人0y生. 产螺栓，50人生产螺帽才能使每天生产的螺栓
)
__________________________.
100x=2×60y
某种仪器由2个A部件和1个B部件配套构成．每个工人每天可以加工A部件100个或者加工B部件60个，现有工人16名，应怎样安排人力，才能使每天生产的A部件和B部件配套？设
人教版七年级数学下册三元一次方程组(提高) 典型例题(考点)讲解+练习(含答案).doc
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】三元一次方程组（提高）知识讲解责编:杜少波【学习目标】1．理解三元一次方程(或组)的含义；2．会解简单的三元一次方程组；3. 会列三元一次方程组解决有关实际问题.【要点梳理】要点一、三元一次方程及三元一次方程组的概念1.三元一次方程的定义:含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程．如x+y-z＝1，2a-3b+4c＝5等都是三元一次方程．要点诠释：(1)三元一次方程的条件：①是整式方程，②含有三个未知数，③含未知数的项的最高次数是1次．(2) 三元一次方程的一般形式：ax+by+cz+d=0，其中a、b、c不为零．2．三元一次方程组的定义：一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组. 要点诠释：(1) 三个方程中不一定每一个方程中都含有三个未知数，只要三个方程共含有三个未知量即可．（2）在实际问题中含有三个未知数，当这三个未知数同时满足三个相等关系时，可以建立三元一次方程组求解．要点二、三元一次方程组的解法解三元一次方程组的一般步骤(1)利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；(2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；(3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；(4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；(5)将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．要点诠释：（1）解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”消元，把“三元”化为“二元”．使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程．其思想方法是：（2）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求其较简单的解法．要点三、三元一次方程组的应用列三元一次方程组解应用题的一般步骤：1．弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数；2．找出能够表达应用题全部含义的相等关系；3．根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；4．解这个方程组，求出未知数的值；5．写出答案(包括单位名称)．要点诠释：(1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去．(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一．(3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组．【典型例题】类型一、三元一次方程及三元一次方程组的概念1.下列方程组不是三元一次方程组的是（）．A．12236x yy zy+=⎧⎪+=-⎨⎪=⎩B．24013xy xxy z⎧-=⎪+=⎨⎪-=-⎩C．2231xyx z=⎧⎪=-⎨⎪-=⎩D．1321y xx zy z-=-⎧⎪+=⎨⎪-=⎩【思路点拨】根据三元一次方程组的定义来求解，对A、B、C、D四个选项进行一一验证．【答案】B【解析】解：由题意知，含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1次，并且一共有三个方程，叫做三元一次方程组．A、满足三元一次方程组的定义，故A选项错误；B、x2-4=0，未知量x的次数为2次，∴不是三元一次方程，故B选项正确；C、满足三元一次方程组的定义，故C选项错误；D、满足三元一次方程组的定义，故D选项错误；故选B．【总结升华】三元一次方程组中的方程不一定都是三元一次方程，并且有时需对方程化简后再根据三元一次方程组的定义进行判断．类型二、三元一次方程组的解法2. （2015春•苏州校级期末）若x：y：z=2：7：5，x﹣2y+3z=6，求的值．【思路点拨】根据x：y：z=2：7：5，设x=2k，y=7k，z=5k，代入x﹣2y+3z=6得出方程，求出方程的解，即可求出x、y、z的值，最后代入求出即可．【答案与解析】解：∵x：y：z=2：7：5，∴设x=2k，y=7k，z=5k，代入x﹣2y+3z=6得：2k﹣14k+15k=6，解得：k=2，∴x=4，y=14，z=10，∴==0.18．【总结升华】若某一方程是比例形式，则先引入参数，后消元． 举一反三：【变式】解方程组:2:3,:4:5,2329x y y z x y z =⎧⎪=⎨⎪-+=⎩①②③【答案】解：由①，得3x ＝2y ，即23x y =， ④ 由②，得5y ＝4z ，即54z y =，⑤把④、⑤代入③，得21522934y y y -+=．解得y ＝12．⑥把⑥代入④，得x ＝8，把⑥代入⑤，得z ＝15．所以原方程组的解为8,12,15.x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩【：三元一次方程组 409145 例3】3.已知方程组354x y a y z a z x a +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩①②③的解使得代数式x-2y+3z 的值等于-10，求a 的值．【思路点拨】由题意可知，此方程组中的a 是已知数，x 、y 、z 是未知数，先解方程组，求出x ，y ，z(含有a 的代数式)，然后把求得的x 、y 、z 代入等式x-2y+3z ＝-10，可得关于a 的一元一次方程，解这个方程，即可求得a 的值． 【答案与解析】解法一： ②-①，得z-x ＝2a ④③+④，得2z ＝6a ，z ＝3a把z ＝3a 分别代入②和③，得y ＝2a ，x ＝a ．∴ 23x a y a z a =⎧⎪=⎨⎪=⎩．把x ＝a ，y ＝2a ，z ＝3a 代入x-2y+3z ＝10得 a-2×2a+3×3a ＝-10． 解得53a =-． 解法二：①+②+③，得2(x+y+z)＝12a ．即x+y+z=6a ④④-①，得z ＝3a ，④-②，得x ＝a ，④-③，得y ＝2a ．∴ 23x a y a z a =⎧⎪=⎨⎪=⎩，把x ＝a ，y ＝2a ，z ＝3a 代入x-2y+3z ＝10得 a-2×2a+3×3a ＝-10． 解得53a =-． 【总结升华】当方程组中三个方程的未知数的系数都相同时，可以运用此题解法2中的技巧解这类方程组．【：三元一次方程组409145 例4】 举一反三：【变式】若 303340x y z x y z -+=⎧⎨--=⎩①② ，则x ：y ：z ＝ .【答案】15:7:6类型三、三元一次方程组的应用4.（2016春•洛江区期末）小明到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入=基本工资+计件奖金”的方法，并获得如下信息： 营业员A ：月销售件数200件，月总收入2400元； 营业员B ：月销售件数300件，月总收入2700元；假设营业员的月基本工资为x 元，销售每件服装奖励y 元． （1）求x 、y 的值；（2）若某营业员的月总收入不低于3100元，那么他当月至少要卖服装多少件？（3）商场为了多销售服装，对顾客推荐一种购买方式：如果购买甲3件，乙2件，丙1件共需350元；如果购买甲1件，乙2件，丙3件共需370元．某顾客想购买甲、乙、丙各一件共需多少元？【思路点拨】（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以得到x 、y 的值； （2）由题意可以列出相应的不等式，从而可以得到某营业员至少需要卖出服装的件数； （3）由题意可得相应的三元一次方程组，通过变形即可得到问题的答案． 【答案与解析】 解：（1）由题意，得，解得即x 的值为1800，y 的值为3；（2）设某营业员当月卖服装m 件，由题意得，1800+3m ≥3100，解得，，∵m 只能为正整数， ∴m 最小为434，即某营业员当月至少要卖434件；（3）设一件甲为a元，一件乙为b元，一件丙为c元，则，将两等式相加得，4a+4b+4c=720，则a+b+c=180，即购买一件甲、一件乙、一件丙共需180元．【总结升华】本题考查三元一次方程组的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的方程组或不等式．举一反三：【变式】（2015•黄冈中学自主招生）有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需3.15元；若购铅笔4支，练习本8本，圆珠笔2支共需4.2元，那么，购铅笔、练习本、圆珠笔各1件共需（）A．1.2元B．1.05元C．0.95元D．0.9元【答案】B．解：设购一支铅笔，一本练习本，一支圆珠笔分别需要x，y，z元，根据题意得，②﹣①得x+y+z=1.05（元）．初中奥数题试题一一、选择题（每题1分，共10分）1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么 ( )A．a，b都是0 B．a，b之一是0C．a，b互为相反数 D．a，b互为倒数2．下面的说法中正确的是 ( )A．单项式与单项式的和是单项式B．单项式与单项式的和是多项式C．多项式与多项式的和是多项式D．整式与整式的和是整式3．下面说法中不正确的是 ( )A. 有最小的自然数 B．没有最小的正有理数C．没有最大的负整数 D．没有最大的非负数4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么 ( )A．a，b同号 B．a，b异号 C．a＞0 D．b＞05．大于－π并且不是自然数的整数有 ( )A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个6．有四种说法：甲．正数的平方不一定大于它本身；乙．正数的立方不一定大于它本身；丙．负数的平方不一定大于它本身；丁．负数的立方不一定大于它本身。
人教版初中数学中考 练本 中考真题中的教材变式题(一题多变)
（2）解：连接AQ，CQ.
∵四边形ABCD是正方形，
∴BA＝BC，∠ABQ＝∠CBQ＝45°，∠ABF＝90°.
∵BQ＝BQ，∴△ABQ≌△CBQ（SAS），
∴QA＝QC，∠BAQ＝∠BCQ.
∵EQ垂直平分线段AF，∴QA＝QF，
∴QC＝QF，∴∠QFC＝∠QCF，
∴∠QFC＝∠BAQ.
∵∠QFC＋∠BFQ＝180°，
∴AB＝BC，
∠B＝∠BCD＝90°.
∵CF平分∠DCH，
∴∠ECF＝135°.
∵AG＝CE，∴BG＝BE，
∴△BGE是等腰直角三角形，
∴∠BGE＝∠BEG＝45°，∴∠AGE＝135°＝∠ECF.
∵AE⊥EF，∴∠AEB＋∠FEC＝90°.
∵∠BAE＋∠AEB＝90°，∴∠FEC＝∠BAE，
∴△GAE≌△CEF，∴AE＝EF.
的中点G，连接EG.）
变式1：（2022·泸州）如图，在边长为3的正方形ABCD中，E是边AB上的点，且
BE＝2AE，过点E作DE的垂线，交正方形外角∠CBG的平分线于点F，交边BC于
点M，连接DF，交边BC于点N，则MN的长为（
B ）
D.1
变式2：（2022·呼和浩特）下面图片是八年级教科书中的一道题.
∵CE⊥BF，∴∠BOE＝90°，
∴∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3.
∵∠DAB＝90°＝∠CME，
∵AB＝BC，∠ABC＝60°，
变式3：（2020·鞍山）在矩形ABCD中，E是射线BC上一动点，连接AE，过点B作
BF⊥AE于点G，交直线CD于点F.
（1）当矩形ABCD是正方形时，以点F为直角顶点在正方形ABCD的外部作等腰
变式3：（2022·兰州）综合与实践
七年级数学下册培优辅导讲义(人教版)
1第12讲 与相交有关概念及平行线的判定考点·方法·破译1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行.2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们.3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系.经典·考题·赏析【例1】如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，一共构成哪几对对顶角？一共构成哪几对邻补角？ 【解法指导】⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角.⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线.⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线. 有6对对顶角. 12对邻补角.【变式题组】01．如右图所示，直线AB 、CD 、EF 相交于P 、Q 、R ，则：⑴∠ARC 的对顶角是 . 邻补角是 .⑵中有几对对顶角，几对邻补角？ 02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角； 当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角； 当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角. 问：当有100条直线相交于一点时共有 对顶角.【例２】如图所示，点O 是直线AB 上一点，OE 、OF 分别平分∠BOC 、 ∠AOC ．⑴求∠EOF 的度数；⑵写出∠BOE 的余角及补角.【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解；【解】⑴∵OE 、OF 平分∠BOC 、∠AOC ∴∠EOC ＝21∠BOC ，∠FOC ＝21∠AOC ∴∠EOF ＝∠EOC ＋∠FOC ＝21∠BOC ＋21∠AOC ＝()AOC BOC ∠+∠21又∵∠BOC ＋∠AOC ＝180° ∴∠EOF ＝21×180°＝90° ⑵∠BOE 的余角是：∠COF 、∠AOF ；∠BOE 的补角是：∠AOE .【变式题组】01．如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，且∠EOC ＝100°，则∠BOD 的度数是（ ）A ．20°B ． 40°C ．50°D ．80°02．（杭州）已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4＝ .【例３】如图，直线l 1、l 2相交于点O ，A 、B 分别是l 1、l 2上的点，试用三角尺完成下列作图： ⑴经过点A 画直线l 2的垂线. ⑵画出表示点B 到直线l 1的垂线段.【解法指导】垂线是一条直线，垂线段是一条线段.【变式题组】 01．P 为直线l 外一点，A 、B 、C 是直线l 上三点，且PA ＝4cm ，PB ＝5cm ，PC ＝6cm ，则点P 到直线l 的距离为（ ） A ．4cm B ． 5cm C ．不大于4cm D ．不小于6cmABC D EF AB C DEF PQ RABCEF E A ACD O （第1题图）1 4 32 （第2题图）l 2202 如图，一辆汽车在直线形的公路AB 上由A 向B 行驶，M 、N 为位于公路两侧的村庄； ⑴设汽车行驶到路AB 上点P 的位置时距离村庄M 最近.行驶到AB 上点Q 的位置时，距离村庄N 最近，请在图中的公路上分别画出点P 、Q 的位置. ⑵当汽车从A 出发向B 行驶的过程中，在 的路上距离M 村越来越近..在 的路上距离村庄N 越来越近，而距离村庄Ｍ越来越远. 【例４】如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE ⊥CD ，OF ⊥AB ，∠DOF ＝65°，求∠BOE 和∠AOC 的度数. 【解法指导】图形的定义现可以作为判定图形的依据，也可以作为该图形具备的性质，由图可得：∠AOF ＝90°，OF ⊥AB ．【变式题组】 01．如图，若EO ⊥AB 于O ，直线CD 过点O ，∠EOD ︰∠EOB ＝1︰3，求∠AOC 、∠AOE 的度数. 02．如图，O 为直线AB 上一点，∠BOC ＝3∠AOC ，OC 平分∠AOD ． ⑴求∠AOC 的度数； ⑵试说明OD 与AB 的位置关系.03．如图，已知AB ⊥BC 于B ，DB ⊥EB 于B ，并且∠CBE ︰∠ABD ＝1︰2，请作出∠CBE 的对顶角，并求其度数.【例５】如图，指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直线所截而得到的，并说出它们的名称： ∠1和∠2：∠1和∠3：∠1和∠6：∠2和∠6： ∠2和∠4： ∠3和∠5：∠3和∠4：【解法指导】正确辩认同位角、内错角、同旁内角的思路是：首先弄清所判断的是哪两个角，其次是找到这两个角公共边所在的直线即截线，其余两条边所在的直线就是被截的两条直线，最后确定它们的名称.F B A O CD E C D B A EO B ACDO A BA E DC F E BAD 1 4 2 3 6 53【变式题组】01．如图，平行直线AB 、CD 与相交直线EF ，GH 相交，图中的同旁内角共有（ ）A ．4对B ． 8对C ．12对D ．16对02．如图，找出图中标出的各角的同位角、内错角和同旁内角.03．如图，按各组角的位置判断错误的是（ ）A ．∠1和∠2是同旁内角B ．∠3和∠4是内错角C ．∠5和∠6是同旁内角D ．∠5和∠7是同旁内角【例６】如图，根据下列条件，可推得哪两条直线平行？并说明理由•⑴∠CBD ＝∠ADB ； ⑵∠BCD ＋∠ADC ＝180°⑶∠ACD ＝∠BAC【解法指导】图中有即即有同旁内角，有“ ”即有内错角.【解法指导】⑴由∠CBD ＝∠ADB ，可推得AD ∥BC ；根据内错角相等，两直线平行. ⑵由∠BCD ＋∠ADC ＝180°，可推得AD ∥BC ；根据同旁内角互补，两直线平行.⑶由∠ACD ＝∠BAC 可推得AB ∥DC ；根据内错角相等，两直线平行.【变式题组】01．如图，推理填空.⑴∵∠A ＝∠ （已知） ∴AC ∥ED （ ） ⑵∵∠C ＝∠ （已知）∴AC ∥ED （ ）⑶∵∠A ＝∠ （已知） ∴AB ∥DF （ ） 02．如图，AD 平分∠BAC ，EF 平分∠DEC ，且∠1＝∠2，试说明DE 与AB 的位置关系. 解：∵AD 是∠BAC 的平分线（已知） ∴∠BAC ＝2∠1（角平分线定义） 又∵EF 平分∠DEC （已知） ∴ （ ） 又∵∠1＝∠2（已知） ∴ （ ） ∴AB ∥DE （ ） 03．如图，已知AE 平分∠CAB ，CE 平分∠ACD ．∠CAE ＋∠ACE ＝90°，求证：AB ∥CD ． ABDCHＧ EF7 1 5 6 8 4 1 2 乙丙 3 2 3 4 56 1 2 3 4甲 1 A B C 2 3 4 56 7 A B C DOA B D E FCABCDE A B CD EF 1 204．如图，已知∠ABC＝∠ACB，BE平分∠ABC，CD平分∠ACB，∠EBF＝∠EFB，求证：CD∥EF.【例７】如图⑴，平面内有六条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中，至少有一个角小于31°.【解法指导】如图⑵，我们可以将所有的直线移动后，使它们相交于同一点，此时的图形为图⑵.证明：假设图⑵中的12个角中的每一个角都不小于31°则12×31°＝372°＞360°这与一周角等于360°矛盾所以这12个角中至少有一个角小于31°【变式题组】01．平面内有18条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中至少有一个角小于11°.02．在同一平面内有2010条直线a1,a2,…，a2010,如果a1⊥a2,a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5……那么a1与a2010的位置关系是 .03．已知n（n＞2）个点P1，P2，P3…Pn.在同一平面内没有任何三点在同一直线上，设S n表示过这几个点中的任意两个点所作的所有直线的条数，显然：S2＝1，S3＝3，S4＝6，∴S5＝10…则Sn＝ .演练巩固·反馈提高01．如图，∠EAC＝∠ADB＝90°.下列说法正确的是（）A．α的余角只有∠B B．α的邻补角是∠DACC．∠ACF是α的余角D．α与∠ACF互补02．如图，已知直线AB、CD被直线EF所截，则∠EMB的同位角为（）A．∠AMF B．∠BMF C．∠ENC D．∠END03．下列语句中正确的是（）A．在同一平面内，一条直线只有一条垂线B．过直线上一点的直线只有一条C．过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条D．垂线段就是点到直线的距离04．如图，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，则下列结论中，正确的个数有（）①AB⊥AC②AD与AC互相垂直③点C到AB的垂线段是线段AB④线段AB的长度是点B到AC的距离⑤垂线段BA是点B到AC的距离⑥AD ＞BDA．0 B． 2 C．4 D．6ABCD El1l2l3l4l5l6图⑴l1l2l3l4l5l6图⑵AEB C FDABC DFEMNα第1题图第2题图AB D C第4题图4505．点A 、B 、C 是直线l 上的三点，点P 是直线l 外一点，且PA ＝4cm ，PB ＝5cm ，PC ＝6cm ，则点P 到直线l 的距离是（ ） A ．4cm B ．5cm C ．小于4cm D ．不大于4cm 06．将一副直角三角板按图所示的方法旋转（直角顶点重合），则∠AOB ＋∠DOC＝ .07．如图，矩形ABCD 沿EF 对折，且∠DEF ＝72°，则∠AEG ＝ . 08．在同一平面内，若直线a 1∥a 2,a 2⊥a 3,a 3∥a4,…则a 1 a 10.（a 1与a 10不重合）09．如图所示，直线a 、b 被直线c 所截，现给出下列四个条件：①∠1＝∠5，②∠1＝∠7，③∠2＋∠3＝180°，④∠4＝∠7，其中能判断a ∥b 的条件的序号是 .10．在同一平面内两条直线的位置关系有 .11．如图，已知BE 平分∠ABD ，DE 平分∠CDB ，且∠E ＝∠ABE ＋∠EDC ．试说明AB ∥CD ？12．如图，已知BE 平分∠ABC ，CF 平分∠BCD ，∠1＝∠2，那么直线AB 与CD 的位置关系如何？13．如图，推理填空：⑴∵∠A ＝ （已知） ∴AC ∥ED （ ） ⑵∵∠2＝ （已知） ∴AC ∥ED （ ）⑶∵∠A ＋ ＝180°（已知） ∴AB ∥FD ．14．如图，请你填上一个适当的条件 使AD ∥BC ．ABCDOABCDEFG H abc第6题图第7题图第9题图1 2 3 4 5 6 7 81A CDEB AB C DEF12AB CD EF第14题图6培优升级·奥赛检测 01．平面图上互不重合的三条直线的交点的个数是（ ） A ．1，3 B ．0，1，3 C ．0，2，3 D ．0，1，2，3 02．平面上有10条直线，其中4条是互相平行的，那么这10条直线最多能把平面分成（ ）部分. A ．60 B ． 55 C ．50 D ．45 03．平面上有六个点，每两点都连成一条直线，问除了原来的6个点之外，这些直线最多还有（ ）个交点. A ．35 B ． 40 C ．45 D ．55 04．如图，图上有6个点，作两两连线时，圆内最多有__________________交点. 05．如图是某施工队一张破损的图纸，已知a 、b 是一个角的两边，现在要在图纸上画一条与这个角的平分线平行的直线，请你帮助这个施工队画出这条平行线，并证明你的正确性. 06．平面上三条直线相互间的交点的个数是（ ） A ．3 B ．1或3 C ．1或2或3 D ．不一定是1，2，3 07．请你在平面上画出6条直线（没有三条共点）使得它们中的每条直线都恰好与另三条直线相交，并简单说明画法？ 08．平面上有10条直线，无任何三条交于一点，要使它们出现31个交点，怎么安排才能办到？09．如图，在一个正方体的2个面上画了两条对角线AB 、AC ，那么两条对角线的夹角等于（ ） A ．60° B ． 75° C ．90°D ．135° 10．在同一平面内有9条直线如何安排才能满足下面的两个条件？ ⑴任意两条直线都有交点；⑵总共有29个交点.第13讲 平行线的性质及其应用 考点·方法·破译1．掌握平行线的性质，正确理解平行线的判定与性质定理之间的区别和联系； 2．初步了解命题，命题的构成，真假命题、定理； 3．灵活运用平行线的判定和性质解决角的计算与证明，确定两直线的位置关系，感受转化思想在解决数学问题中的灵活应用.经典·考题·赏析 【例１】如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ， BC ∥AD 求∠C 的度数. 【解法指导】两条直线平行，同位角相等； 两条直线平行，内错角相等；两条直线平行，同旁内角互补. 平行线的性质是推导角关系的重要依据之一，必须正确识别图形的特征，看清截线，识别角的关系式关键.【解】：∵AB ∥CD BC ∥AD ∴∠A ＋∠B ＝180° ∠B ＋∠C ＝180°(两条直线平行，同旁内角互补) ∴∠A ＝∠C ∵∠A ＝38° ∴∠C ＝38°a b AB C7【变式题组】01．如图，已知AD ∥BC ，点E 在BD 的延长线上，若∠ADE ＝155°，则∠DBC的度数为（ ） A ．155° B ．50° C ．45° D ．25°02．（安徽）如图，直线l 1 ∥ l 2,∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3为（ ）A ． 50°B ． 55°C ． 60° D ．65°03．如图，已知FC ∥AB ∥DE ，∠α：∠D ：∠B ＝2: 3: 4, 试求∠α、∠D 、∠B的度数.【例２】如图，已知AB ∥CD ∥EF ，GC ⊥CF ，∠B ＝60°，∠EFC ＝45°，求∠BCG 的度数.【解法指导】平行线的性质与对顶角、邻补角、垂直和角平分线相结合，可求各种位置的角的度数，但注意看清角的位置.【解】∵AB ∥CD ∥EF ∴∠B ＝∠BCD ∠F ＝∠FCD (两条直线平行，内错角相等)又∵∠B ＝60° ∠EFC ＝45° ∴∠BCD ＝60° ∠FCD ＝45° 又∵GC ⊥CF ∴∠GCF ＝90°（垂直定理） ∴∠GCD ＝90°－45°＝45° ∴∠BCG ＝60°－45°＝15°【变式题组】01．如图，已知AF ∥BC , 且AF 平分∠EAB ，∠B ＝48°，则∠C 的的度数＝_______________02.如图,已知∠ABC ＋∠ACB ＝120°，BO 、CO 分别∠ABC 、∠ACB ，DE 过点O 与BC 平行，则∠BOC ＝___________03．如图，已知AB ∥ MP ∥CD , MN 平分∠AMD ，∠A ＝40°，∠D ＝50°，求∠NMP 的度数.【例３】如图，已知∠1＝∠2，∠C ＝∠D ． 求证：∠A ＝∠F . 【解法指导】因果转化，综合运用.逆向思维：要证明∠A ＝∠F ，即要证明DF ∥AC ． 要证明DF ∥AC , 即要证明∠D ＋∠DBC ＝180°， 即：∠C ＋∠DBC ＝180°；要证明∠C ＋∠DBC＝180°即要证明DB ∥EC ． 要证明DB ∥EC 即要证明∠1＝∠3.证明：∵∠1＝∠2，∠2＝∠3（对顶角相等）所以∠1＝∠3 ∴DB ∥EC （同位角相等•两直线平行）∴∠DBC ＋∠C ＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠C ＝∠D ∴∠DBC ＋∠D ＝180° ∴DF ∥AC （同旁内角，互补两直线平行）∴∠A ＝∠F （两直线平行，内错角相等） AB CDOE FAEBC （第1题图） （第2题图） E A F GDC B BA MCD N P （第3题图）CDABE F 1 328DA2 E1 B C B F E AC D 【变式题组】01．如图，已知AC ∥FG ，∠1＝∠2，求证：DE ∥FG02．如图，已知∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠B ． 求证：∠AED ＝∠ACB03．如图，两平面镜α、β的夹角θ，入射光线AO 平行 于β入射到α上，经两次反射后的出射光线O′B 平行 于α，则角θ等于_________. 【例４】如图，已知EG ⊥BC ，AD ⊥BC ，∠1＝∠3. 求证：AD 平分∠BAC ． 【解法指导】抓住题中给出的条件的目的，仔细分析 条件给我们带来的结论，对于不能直接直接得出结论 的条件，要准确把握住这些条件的意图.（题目中的： ∠1＝∠3） 证明：∵EG ⊥BC ，AD ⊥BC ∴∠EGC ＝∠ADC ＝90° （垂直定义）∴EG ∥AD （同位角相等，两条直线平行） ∵∠1＝∠3 ∴∠3＝∠BAD （两条直线平行，内错角相等） ∴AD 平分∠BAC （角平分线定义） 【变式题组】 01．如图，若AE ⊥BC 于E ，∠1＝∠2，求证：DC ⊥BC ．02．如图，在△ABC 中，CE ⊥AB 于E ,DF ⊥AB 于F , AC ∥ED ，CE 平分∠ACB ． 求证：∠EDF ＝∠BDF .AB ∥CD ，∠B ＝40°，CN 是∠BCE 的平分线. CM ⊥CN ，求：的度数.A D M C N EB GB 3C A 1D 2E F （第1题图） A2 C F3 E D1B（第2题图）3 1 AB G DC E9 α βP B C D A ∠P ＝α＋β3 2 1 γ 4ψDα β E B CAFH F γ Dα β E B C AF D EBC A B C AA ′ lB ′C ′【例５】已知，如图，AB ∥EF ，求证：∠ABC ＋∠BCF ＋∠CFE ＝360° 【解法指导】从考虑360°这个特殊角入手展开联想，分析类比， 联想周角.构造两个“平角”或构造两组“互补”的角. 过点C 作CD ∥AB 即把已知条件AB ∥EF 联系起来，这是关键. 【证明】：过点C 作CD ∥AB ∵CD ∥AB ∴∠1＋∠ABC ＝180° (两直线平行，同旁内角互补) 又∵AB ∥EF ，∴CD ∥EF （平行 于同一条直线的两直线平行） ∴∠2＋∠CFE ＝180°(两直线平行， 同旁内角互补) ∴∠ABC ＋∠1＋∠2＋∠CFE ＝180°＋180°＝360° 即∠ABC ＋∠BCF ＋∠CFE ＝360° 【变式题组】 01．如图，已知，AB ∥CD ，分别探究下面四个图形中∠APC 和∠PAB 、∠PCD 的关系，请你从所得四个关系中选出任意一个，说明你探究的结论的正确性. 结论：⑴____________________________ ⑵____________________________ ⑶____________________________ ⑷____________________________ 【例６】如图，已知，AB ∥CD ，则∠α、∠β、∠γ、∠ψ之间的关系是 ∠α＋∠γ＋∠ψ－∠β＝180° 【解法指导】基本图形 善于从复杂的图形中找到基本图形，运用基本图形的规律打开思路. 【解】过点E 作EH ∥AB ． 过点F 作FG ∥AB ． ∵AB ∥EH ∴∠α＝∠1（两直线平行，内错角相等）又∵FG ∥AB ∴EH ∥FG （平行于同一条直线的两直线平行）∴∠2＝∠3 又∵AB ∥CD ∴FG ∥CD （平行于同一条直线的两直线平行）∴∠ψ＋∠4＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∴∠α＋∠γ＋∠ψ－∠β＝∠1＋∠3＋∠4－ψ－∠1－∠2＝∠4＋ψ＝180°【变式题组】 01．如图， AB ∥EF ，∠C ＝90°，则∠α、∠β、∠γ的关系是（ ）A ． ∠β＝∠α＋∠γB ．∠β＋∠α＋∠γ＝180°C ． ∠α＋∠β－∠γ＝90°D ．∠β＋∠γ－∠α＝90° 02．如图，已知，AB ∥CD ，∠ABE 和∠CDE 的平分线相交于点F ，∠E ＝140°，求∠BFD 的度数.【例７】如图，平移三角形ABC ，设点A 移动到点A /，画出平移后的三角形A /B /C /.【解法指导】抓住平移作图的“四部曲”——定，找，移，连. ⑴定：确定平移的方向和距离. ⑵找：找出图形的关键点. ⑶移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点. ⑷连: 按原图形顺次连接对应点. 【解】①连接AA / ②过点B 作AA /的平行线l ③在l 截取BB /＝AA /,则点B /就是的B 对应点，用同样的方法作出点C 的对应点C /.连接A /B /，B /C /，C /A /就得到平移后的三角形A /B /C /.B AP C A C C D A A P C B D PBPD B D ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ FE D 2 1 AB C10西B 30° A北东 南【变式题组】01．如图，把四边形ABCD 按箭头所指的方向平移21cm ，作出平移后的图形.02．如图,三角形ABC 中，∠C ＝90°, BC ＝4，AC ＝4，现将△ABC 沿CB 方向平移到△A /B /C /的位置，若平移距离为3, 求△ABC与△A /B /C /的重叠部分的面积.03．原来是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿着BC 方向平移BE 的距离，就得到此图形，求阴影部分的面积.（单位：厘米）演练巩固 反馈提高01．如图，由A 测B 得方向是（ ）A ．南偏东30°B ．南偏东60°C ．北偏西30°D ．北偏西60°02．命题：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③垂直于同一条直线的两直线平行；④平行于同一条直线的两直线垂直.其中的真命题的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个03．一个学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，两次拐弯的角度可能是（ ） A ．第一次向左拐30°，第二次向右拐30° B ．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°C ．第一次向左拐50°，第二次向右拐130°D ．第一次向左拐60°，第二次向左拐120°04．下列命题中，正确的是（ ）A ．对顶角相等B ． 同位角相等C ．内错角相等D ．同旁内角互补05．学习了平行线后，小敏想出过直线外一点画这条直线的平行线的新方法，是通过折一张半透明的纸得到的[如图⑴—⑷]从图中可知，小敏画平行线的依据有（ ）①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行. A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④06．在A 、B 两座工厂之间要修建一条笔直的公路，从A 地测得B 地的走向是南偏东52°.现A 、B 两地要同时开工，若干天后，公路准确对接，则B 地所修公路的走向应该是（ ）A ．北偏东52°B ．南偏东52°C ．西偏北52°D ．北偏西38°B B /AA /C C /150°120°DBCE 湖07．下列几种运动中属于平移的有（）①水平运输带上的砖的运动；②笔直的高诉公路上行驶的汽车的运动（忽略车轮的转动）；③升降机上下做机械运动；④足球场上足球的运动.A．1种B．2种C．3种D．4种08．如图，网格中的房子图案正好处于网格右下角的位置.平移这个图案，使它正好位于左上角的位置（不能出格）09．观察图，哪个图是由图⑴平移而得到的（）10．如图，AD∥BC，AB∥CD，AE⊥BC，现将△ABE进行平移. 平移方向为射线AD的方向. 平移距离为线段BC的长，则平移得到的三角形是图中（）图的阴影部分.11．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例.⑴对顶角是相等的角；⑵相等的角是对顶角；⑶两个锐角的和是钝角；⑷同旁内角互补，两直线平行.12．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出命题的真假.⑴互补的角是邻补角；⑵两个锐角的和是锐角；⑶直角都相等.13．如图，在湖边修一条公路.如果第一个拐弯处∠A＝120°，第二个拐弯处∠B ＝150°，第三个拐弯处∠C，这时道路CE恰好和道路AD平行，问∠C是多少度？并说明理由.DEAB CE DB CE D AB CED AB CEDA B C43 2 1ABE F CD 4 P 23 1A BEFC D 14．如图，一条河流两岸是平行的，当小船行驶到河中E 点时，与两岸码头B 、D 成64°角. 当小船行驶到河中F 点时，看B 点和D 点的视线FB 、FD 恰好有∠1＝∠2，∠3＝∠4的关系. 你能说出此时点F 与码头B 、D 所形成的角∠BFD 的度数吗？15．如图，AB ∥CD ，∠1＝∠2，试说明∠E 和∠F 的关系.培优升级·奥赛检测01．如图，等边△ABC 各边都被分成五等分，这样在△ABC 内能与△DEF 完成重合的小三角形共有25个，那么在△ABC 内由△DEF 平移得到的三角形共有（ ）个02．如图，一足球运动员在球场上点A 处看到足球从B 点沿着BO 方向匀速滚来，运动员立即从A 处以匀速直线奔跑前去拦截足球.若足球滚动的速度与该运动员奔跑的速度相同，请标出运动员的平移方向及最快能截住足球的位置.（运动员奔跑于足球滚动视为点的平移） 03．如图，长方体的长AB ＝4cm ，宽BC ＝3cm ，高AA 1＝2cm . 将AC 平移到A 1C 1的位置上时，平移的距离是___________,平移的方向是___________. 04．如图是图形的操作过程（五个矩形水平方向的边长均为a ，竖直方向的边长为b ）；将线段A 1A 2向右平移1个单位得到B 1B 2，得到封闭图形A 1A2B 2B 1 [即阴影部分如图⑴];将折现A 1A 2 A 3向右平移1个单位得到B 1B 2B 3，得到封闭图形A 1A 2 A 3B 3B 2B 1[即阴影部分如图⑵];⑴在图⑶中，请你类似地画出一条有两个折点的直线，同样的向右平移1个单位，从而得到1个封闭图形，并画出阴影.⑵请你分别写出上述三个阴影部分的面积S 1＝________, S 2＝________, S 3＝________. ⑶联想与探究：如图⑷，在一矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路在任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分草地面积是多少？⑶⑷CB 1AA 1C 1D 1BD. AF E B A CG D05．一位模型赛车手遥控一辆赛车，先前进一半，然后原地逆时针旋转α°（0°＜α°＜180°），被称为一次操作，若5次后发现赛车回到出发点，则α°角为（ ） A ．720° B ．108°或144° C ．144° D ．720°或144°06．两条直线a 、b 互相平行，直线a 上顺次有10个点A 1、A 2、…、A 10，直线b上顺次有10个点B 1、B 2、…、B 9，将a 上每一点与b 上每一点相连可得线段.若没有三条线段相交于同一点，则这些选段的交点个数是（ ） A ．90 B ．1620 C ．6480 D ．200607．如图，已知AB ∥CD ，∠B ＝100°，EF 平分∠BEC ，EG ⊥EF . 求∠BEG 和∠DEG .08．如图，AB ∥CD ，∠BAE ＝30°，∠DCE ＝60°，EF 、EG 三等分∠AEC ． 问：EF 与EG 中有没有与AB 平行的直线？为什么？ 09．如图，已知直线CB ∥OA ，∠C ＝∠OAB ＝100°，E 、F 在CB 上，且满足∠FOB ＝∠AOB ，OE 平分∠COF . ⑴求∠EOB 的度数；⑵若平行移动AB ，那么∠OBC ：∠OFC 的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值.⑶在平行移动AB 的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC ＝∠OBA ？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由.10．平面上有5条直线，其中任意两条都不平行，那么在这5条直线两两相交所成的角中，至少有一个角不超过36°,请说明理由.11．如图，正方形ABCD 的边长为5,把它的对角线AC 分成n 段，以每一小段为对角线作小正方形，这n 个小正方形的周长之和为多少？12．如图将面积为a 2的小正方形和面积为b 2的大正方形放在一起，用添补法如何求出阴影部分面积？FEB AC GD 100° FE BAC O A BCD第06讲 实 数考点·方法·破译 1．平方根与立方根：若2x ＝a (a ≥0)则x 叫做a 的平方根，记为：a 的平方根为x ＝a 的平方根为xa 的算术平方根．若x 3＝a ，则x 叫做a 的立方根．记为：a 的立方根为x．2．无限不循环小数叫做无理数，有理数和无理数统称实数．实数与数轴上的点一一对应．任何有理数都可以表示为分数pq（p 、q 是两个互质的整数，且q≠0）的形式． 3非负数：实数的绝对值，实数的偶次幂，非负数的算术平方根（或偶次方根）都是非负数．即a >0，2na ≥0（n 为正整数）0(a ≥0) ．经典·考题·赏析【例1】若2m －4与3m －1是同一个数的平方根，求m 的值． 【解法指导】一个正数的平方根有两个，并且这两个数互为相反数．∵2m −4与3m −l 是同一个数的平方根，∴2m −4 ＋3m −l ＝0，5m ＝5，m ＝l ．【变式题组】01．一个数的立方根与它的算术平方根相等，则这个数是____． 02．已知m的最大整数，则m 的平方根是____． 03____．04．如图，有一个数值转化器，当输入的x 为64时，输出的y 是____．【例2】（全国竞赛）已知非零实数a 、b 满足24242a b a -+++=，则a ＋b 等于( ) A ．－1 B ． 0 C ．1 D ．2有意义，∵a 、b 为非零实数，∴b 2>0∴a －3≥0a ≥3∵24242a b a -+++=∴24242a b a -+++=，∴20b +=．∴()22030b a b +=⎧⎪⎨-=⎪⎩，∴32a b =⎧⎨=-⎩，故选C ．【变式题组】0l3b +＝0成立，则a b ＝____． 02()230b -=，则ab的平方根是____． 03．（天津）若x 、y 为实数，且20x +=，则2009x y ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ）A ．1B ．－1C ．2D ．－204．已知x1x π-的值是( )A ．11π-B ．11π+C ．11π- D ．无法确定【例3】若a 、b都为有理效，且满足1a b -=+a ＋b 的平方根．【解法指导】任何两个有理数的和、差、积、商（除数不为0）还是有理数，但两个无理数的和、差、积、商（除数不为0）不一定是无理数．∵1a b -+=+∴1a b -=⎧⎪=1a b -=⎧⎪=，∴1312a b =⎧⎨=⎩，a ＋b ＝12 ＋13＝25．∴a ＋b的平方根为：5==±． 【变式题组】01．（西安市竞赛题）已知m 、n2）m ＋(3－n ＋7＝0求m 、n ．02．（希望杯试题）设x 、y 都是有理数，且满足方程（123π+）x ＋（132π+）y −4−π＝0，则x −y ＝____．【例4】若a−2的整数部分，b −1是9的平方根，且a b b a -=-，求a ＋b 的值．【解法指导】−2＝整数部分＋小数部分．整数部分估算可得2，则小数部分−2 −2−4．∵a ＝2，b −1＝±3 ，∴b ＝－2或4∵a b b a -=-．∴a <b ，∴a ＝2， b ＝4，即a ＋b ＝6． 【变式题组】01．若3a ，b ，则a ＋b 的值为____． 02a ，小数部分为ba ）·b ＝____． 演练巩固 反馈提高 0l ．下列说法正确的是( )A ．－2是(－2)2的算术平方根B ．3是－9的算术平方根C ． 16的平方根是±4D ．27的立方根是±3 02．设a =b ＝ －2，2c =-，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ． b <a <c D ．c <a <b 03．下列各组数中，互为相反数的是( )A ．－9与81的平方根B ．4与C ．4D ．304．在实数1.414，，0.1•5•，π，3.1•4•( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ． 5个05．实数a 、b 在数轴上表示的位置如图所示，则( )A ．b >aB ．a b >C ． －a ＜bD ．－b > a06．现有四个无理数5，6，7，8，其中在2＋1与3＋1之间的有( )A ． 1个B ．2个C ． 3个D ．4个 07．设m 是9的平方根，n ＝()23．则m ，n 的关系是( )A . m ＝±nB .m ＝nC .m ＝－nD .m n ≠08．（烟台）如图，数轴上 A 、B 两点表示的数分别为－1和3，点B 关于点A的对称点C ，则点C 所表示的数为( )A ．－23-B ．－13-C ．－2 ＋3D ．l ＋309．点A 在数轴上和原点相距5个单位，点B 在数轴上和原点相距3个单位，且点B 在点A 左边，则A 、B 之间的距离为____． 10．用计算器探索：已知按一定规律排列的一组数：1，12，13…，119，120．如果从中选出若干个数，使它的和大于3，那么至少要选____个数． 11．对于任意不相等的两个数a 、b ，定义一种运算※如下：a ※b ＝a ba b+-，如3※2＝3232+-＝5．那么12.※4＝____． 12．（长沙中考题）已知a 、b 为两个连续整数，且a <7 <b ，则a ＋b ＝____．13．对实数a 、b ，定义运算“*”，如下a *b ＝()()22a ba b aba b ⎧⎪⎨⎪⎩≥<，已知3*m ＝36，则实数m ＝____．14．设a 是大于1的实数．若a ，23a +，213a +在数轴上对应的点分别是A 、B 、C ，则三点在数轴上从左自右的顺序是____．15.如图，直径为1的圆与数轴有唯一的公共点P ．点P 表示的实数为－1．如果该圆沿数轴正方向滚动一周后与数轴的公共点为P ′，那么点P ′所表示的数是____．16．已知整数x 、y 满足x ＋2y ＝50，求x 、y ．17．已知2a −1的平方根是±3，3a ＋b −1的算术平方根是4，求a ＋b ＋1的立方根．18．小颖同学在电脑上做扇形滚动的游戏，如图有一圆心角为60°，半径为1个单位长的扇形放置在数轴上，当扇形在数轴上做无滑动的滚动时，当B 点恰好落在数轴上时，(1)求此时B 点所对的数；(2)求圆心O 移动的路程．19．若b 315a - 153a - ＋3l ，且a ＋11的算术平方根为m ，4b ＋1的立方根为n ，求（mn −2）(3mn ＋4)的平方根与立方根．20．若x 、y 为实数，且（x −y ＋1）2533x y --22x y +值．培优升级 奥赛检测 01．（荆州市八年级数学联赛试题）一个正数x 的两个平方根分别是a ＋1与a −3，则a 值为( )A ． 2B ．－1C ． 1D ． 0 02．x 1x -2x -( )A ．0B ． 12C ．1D ． 2 0353x +−2的最小值为____．04．设a 、b 为有理数，且a 、b 满足等式a 2＋3b ＋33，则a ＋b ＝____． 05．若a b -＝1，且3a ＝4b ，则在数轴上表示a 、b 两数对应点的距离为____． 06．已知实数a 满足20092010a a a --=，则a − 20092＝_______．m 满足关系式3523199199x y m x y m x y x y +--+-=-+--，试确定m 的值．08．（全国联赛）若a 、b满足5b ＝7，S＝3b ，求S 的取值范围．09．（北京市初二年级竞赛试题）已知0<a <1，并且123303030a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦2830a ⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦2930a ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦18=，求[10a ]的值[其中[x ]表示不超过x 的最大整数] ．10．（北京竞赛试题）已知实数a 、b 、x 、y 满足y＋21a =-，231x y b -=--，求22x y a b +++的值．第14讲平面直角坐标系（一）考点．方法．破译1．认识有序数对，认识平面直角坐标系．2．了解点与坐标的对应关系．3．会根据点的坐标特点，求图形的面积．经典．考题．赏析【例1】在坐标平面内描出下列各点的位置．A(2，1)，B(1，2)，C(－1，2)，D(－2，－1)，E(0，3)，F(－3，0)【解法指导】从点的坐标的意义去思考，在描点时要注意点的坐标的有序性．【变式题组】01．第三象限的点P(x，y)，满足|x|＝5,2x＋|y|＝1，则点P得坐标是_____________．02．在平面直角坐标系中，如果m.n＞０，那么（m, |n|）一定在____________象限.03．指出下列各点所在的象限或坐标轴．A(－3，0)，B(－2，－13)，C(2，12)，D(0,3)，E(π－3.14，3.14－π)【例2】若点P(a，b)在第四象限，则点Q(―a，b―1)在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解法指导】∵P(a，b)在第四象限，∴a＞0，b＜0，∴－a＜0,b－１＜0,故选C．【变式题组】01．若点G(a，2－a)是第二象限的点，则a的取值范围是（）A．a＜0 B．a＜2 C．0＜a＜2 B．a＜0或a ＞202．如果点P(3x－２，２－x)在第四象限，则x的取值范围是____________．03．若点P(x，y)满足xy＞0，则点P在第______________象限．04．已知点P(2a－8，2－a)是第三象限的整点，则该点的坐标为___________．【例３】已知A点与点B(－3，4)关于x轴对称，求点A关于y轴对称的点的坐标．【解法指导】关于x轴对称的点的坐标的特点：横坐标(x)相等，纵坐标(y)互为相反数，关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标(y)相等．【变式题组】01．P(－1，3)关于x轴对称的点的坐标为____________．02．P(3，－2)关于y轴对称的点的坐标为____________．03．P(a，b)关于原点对称的点的坐标为____________．04．点A(－3，2m－１) 关于原点对称的点在第四象限，则m的取值范围是____________．05．如果点Ｍ(a＋b，ab)在第二象限内，那么点N(a，b) 关于y轴对称的点在第______象限．【例４】P(3，－4)，则点P到x轴的距离是____________．【解法指导】P(x，y)到x轴的距离是| y|，到y轴的距离是|x|．则P到轴的距离是|－4|＝4【变式题组】01．已知点P(3，5)，Q(6，－５)，则点P、Q到x轴的距离分别是_________，__________．P到y轴的距离是点Q到y轴的距离的________倍．02．若x轴上的点Ｐ到y轴的距离是3，则P点的坐标是__________．03．如果点B(m＋1，3m－5) 到x轴的距离与它到y轴的距离相等，求m的值．04．若点(5－a，a－3)在一、三象限的角平分线上，求a的值．05．已知两点A(－3，m)，B(n，4)，AB∥x轴，求m的值，并确定n的取值范围．。
初中数学人教版七年级下册教材变式题组(三)
初中数学人教版七年级下册教材变式题组（三）满分（100分，时间：90分钟）一、 选择题1、P8.6、如图，用量角器画∠AOB 的平分线OC ，在OC上任取一点P ，过点P 画P E ⊥OB ，重足为E ，过P 画FG ∥OB 交OA 于F ，并指出与∠OPE 互余的角有（ ）个 （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个2、P32、学习了平行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的如图（1）~（4）（1） （2） （3） （4） ① 两直线平千周位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行。
从图中可知，小敏折平行线的依据有（ ） （A ）①② （B ）②③ （C ）③④ （D ）①④3、(P91,8)如图示，△ABC 中，∠A=40°，∠B=72°，CE 平分∠ACB ，CD ⊥AB 于D ，DF ⊥CE 于F ，则∠FDE=（ ） A.32° B.16° C.18° D.50°4、某市市区内出租车的收费标准是：起步价（在3千米以内的收费）是1人4元，2人以上5元，超过3千米以后每增加1千米加收1元，（不足1千米按1千米计算）小红在市区乘出租车从甲地到乙地共用去8元，设甲地到乙地的路程为x 千米，那么x 的取值范围（ ）（A ）5≤x ＜6 （B ）5＜x ≤6 （C ）6≤x ＜7 （D ）6＜x ≤75、绵阳市初2014级样板学校检测共计42000名学生，从中抽取1000名考生的成绩进行分析，下列说法正确的是（ ）（A ）42000名考生是总体 （B ）每个考生是个体 （C ）1000名考生的成绩是部体的一个样本 （D ）样本容量是1000名二、填空题6、P46.8已知A （-2，4）过点A 的直线AB ∥x ，且AB=3，则点B 的坐标为___________。
最新人教版部编版七年级数学下册全册 课后同步练习题 专项讲解
第五章相交线与平行线5．1 相交线5．1.1 相交线基础题知识点1 邻补角有一条公共边，另一边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角互为邻补角．邻补角互补．如图，则∠AOC与∠BOC互为邻补角，且∠AOC＋∠BOC＝180°.1．(2017·河池)如图，点O在直线AB上．若∠BOC＝60°，则∠AOC的大小是(C)A．60° B．90° C．120° D．150°2．如图，直线AB和CD相交于点O，则∠AOC的邻补角是∠AOD和∠BOC．3．如图，直线AB和CD相交于点O，OE平分∠BOD.若∠BOE＝30°，则∠AOD＝120°．知识点2 对顶角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角互为对顶角．对顶角相等．如图，直线AB和CD相交于点O.则∠AOC的对顶角是∠BOD；∠AOD的对顶角是∠BOC，且相等的角有：∠AOC＝∠BOD，∠AOD＝∠BOC. 4．(2018·遵义桐梓县期末)下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是(C)5．如图所示，直线AB 和CD 相交于点O.若∠COB ＝140°，则∠1，∠2的度数分别为(C)A ．140°，40°B ．40°，150°C ．40°，140°D ．150°，40°6．(2018·黔西南期中)如图是对顶角量角器，用它测量角的原理是对顶角相等．7．在括号内填写依据：如图，因为直线a ，b 相交于点O ， 所以∠1＋∠3＝180°(邻补角互补)， ∠1＝∠2(对顶角相等)．8．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，∠AOC ＝60°，∠1＝40°，则∠2＝20°，∠AOE ＝140°．9．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，∠EOC ＝70°，OA 平分∠EOC ，求∠BOD 的度数．解：因为OA 平分∠EOC ，∠EOC ＝70°， 所以∠AOC ＝12∠EOC＝35°.所以∠BOD ＝∠AOC ＝35°.易错点1 对对顶角性质理解不透彻而判断失误10．下列说法正确的有(B)①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角；④若两个角不是对顶角，则这两个角不相等．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个易错点2 未给出图形，考虑不周全致错11．两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是(2x－10)°和(110－x)°，则x＝40或80．中档题12．如图，三条直线l1，l2，l3相交于一点，则∠1＋∠2＋∠3等于(C)A．90° B．120° C．180° D．360°13．(2019·黔东南期末)如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD.若∠AOD＝110°，则∠COE的度数为(B)A．135° B．145° C．155° D．125°14．(教材P3练习变式)如图，两条直线l1，l2相交于点O.(1)若∠α＝x°，则它的邻补角的度数为(180－x)°，对顶角的度数为x°；(2)当∠α逐渐增大时，它的邻补角逐渐减小，它的对顶角逐渐增大．15．如图，直线a，b，c两两相交，∠1＝80°，∠2＝2∠3，则∠4＝140°．16．如图，直线a，b相交于点O，已知3∠1－∠2＝100°，则∠3＝130°．17．如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOE＝∠BOE，OB平分∠DOF.若∠DOE＝50°，求∠DOF的度数．解：因为∠AOE ＝∠BOE ，且∠AOE ＋∠BOE ＝180°， 所以∠AOE ＝∠BOE ＝90°. 因为∠DOE ＝50°，所以∠DOB ＝∠BOE －∠DOE ＝40°. 因为OB 平分∠DOF ， 所以∠DOF ＝2∠DOB ＝80°.18．如图，l 1，l 2，l 3相交于点O ，∠1＝∠2，∠3∶∠1＝8∶1，求∠4的度数．解：设∠1＝∠2＝x °，则∠3＝8x °. 由∠1＋∠2＋∠3＝180°，得 10x ＝180.解得x ＝18. 所以∠1＝∠2＝18°. 所以∠4＝∠1＋∠2＝36°. 综合题 19．探究题：(1)三条直线相交，最少有1个交点，最多有3个交点，分别画出图形，并数出图形中的对顶角和邻补角的对数； (2)四条直线相交，最少有1个交点，最多有6个交点，分别画出图形，并数出图形中的对顶角和邻补角的对数； (3)依次类推，n 条直线相交，最少有1个交点，最多有n （n －1）2个交点，对顶角有n(n －1)对，邻补角有2n(n －1)对．解：(1)图略，对顶角有6对，邻补角有12对． (2)图略，对顶角有12对，邻补角有24对．5．1.2 垂线基础题知识点1 认识垂直如果两条直线相交所成的四个角中的任意一个角等于90°，那么这两条直线互相垂直．如图，直线AB，CD相交于点O.(1)若∠AOC＝90°，则AB与CD的位置关系是垂直；(2)若AB⊥CD，则∠AOC＝∠COB＝∠BOD＝∠AOD＝90°．1．如图，OA⊥OB，若∠1＝55°，则∠2的度数是(A)A．35° B．40° C．45° D．60°2．如图，当∠1与∠2满足条件∠1＋∠2＝90°时，OA⊥OB.3．如图，已知直线AB，CD，EF相交于点O，AB⊥CD，∠DOE＝127°，求∠AOF的大小．解：因为AB⊥CD，所以∠DOB＝90°.又因为∠DOE＝127°，所以∠BOE＝∠DOE－∠DOB＝127°－90°＝37°.所以∠AOF＝∠BOE＝37°.知识点2 画垂线4．下列各图中，过直线l外一点P画l的垂线CD，三角板操作正确的是(D)知识点3 垂线的性质(1)在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．(2)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．5．下列说法正确的有(C)①在平面内，过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线；②在平面内，过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线；③在平面内，可以过任意一点画一条直线垂直于已知直线；④在平面内，有且只有一条直线垂直于已知直线．A．1个B．2个C．3个D．4个6．(2017·柳州)如图，经过直线l外一点A画l的垂线，能画出(A)A．1条 B．2条 C．3条 D．4条7．下面可以得到在如图所示的直角三角形中斜边最长的原理是(D)A．两点确定一条直线B．两点之间，线段最短C．过一点有且只有一条直线和已知直线垂直D．垂线段最短8．(2018·遵义期中)如图所示，想在河的两岸搭建一座桥，搭建方式最短的是PM，理由是垂线段最短．知识点4 点到直线的距离直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．如图，点P到直线l的距离是线段PB的长度．9．(2018·黔南期末)下列图形中，线段PQ的长表示点P到直线MN的距离的是(A)A B C D10．如图，BC⊥AC，CB＝8 cm，AC＝6 cm，AB＝10 cm，那么点B到AC的距离是8cm，点A到BC的距离是6cm，C 到AB的距离是4.8cm.易错点未给出图形，考虑不周全而致错11．(2018·黔西南期末)在直线AB上取一点O，过点O作射线OC，OD，使OC⊥OD.当∠AOC＝30°时，∠BOD的度数(D)A．60° B．90° C．120° D．60°或120°中档题12．(教材P9习题T12变式)已知直线AB，CB，l在同一平面内．若AB⊥l，垂足为B，CB⊥l，垂足也为B，则符合题意的图形可以是(C)13．如图，AB⊥CD于点O，EF为经过点O的一条直线，那么∠1与∠2的关系是(C)A．互为对顶角 B．互补 C．互余 D．相等14．如图，三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝3，点P是边BC上的动点，则AP的长不可能是(A)A．2.5 B．3 C．4 D．515．(2018·黔西南期中)如图，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D，则图中能表示点到直线距离的线段共有(D)A．2条 B．3条 C．4条 D．5条16．(2018·河南)如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于点O，∠EOD＝50°，则∠BOC的度数为140°．17．如图，已知DO⊥CO，∠1＝36°，∠3＝36°.(1)求∠2的度数；(2)AO与BO垂直吗？说明理由．解：(1)因为DO⊥CO，所以∠DOC＝90°.因为∠1＝36°，所以∠2＝90°－36°＝54°.(2)AO⊥BO.理由如下：因为∠3＝36°，∠2＝54°，所以∠3＋∠2＝90°.所以AO⊥BO.18．如图，两直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC∶∠AOD＝7∶11.(1)求∠COE的度数；(2)若OF⊥OE，求∠COF的度数．解：(1)因为∠AOC ∶∠AOD ＝7∶11，∠AOC ＋∠AOD ＝180°， 所以∠AOC ＝70°，∠AOD ＝110°. 所以∠BOD ＝∠AOC ＝70°， ∠BOC ＝∠AOD ＝110°. 又因为OE 平分∠BOD ，所以∠BOE ＝∠DOE ＝12∠BOD ＝35°.所以∠COE ＝∠BOC ＋∠BOE ＝110°＋35°＝145°. (2)因为OF ⊥OE ，所以∠FOE ＝90°.所以∠FOD ＝∠FOE －∠DOE ＝90°－35°＝55°. 所以∠COF ＝180°－∠FOD ＝180°－55°＝125°.5．1.3 同位角、内错角、同旁内角基础题知识点1 认识同位角、内错角、同旁内角如图所示，直线AB，CD与EF相交．(1)图中∠1和∠2分别在直线AB，CD的同一方(或上方)，并且都在直线EF的同侧(或右侧)，具有这样位置关系的一对角叫做同位角；(2)图中∠2和∠8都在直线AB，CD之间，并且分别在直线EF的两侧，具有这样位置关系的一对角叫做内错角；(3)图中∠2和∠7都在直线AB，CD之间，且都在直线EF的同一旁(或右侧)，具有这样位置关系的一对角叫做同旁内角．1．(2018·衢州)如图，直线a，b被直线c所截，那么∠1的同位角是(C)A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠52．如图，以下说法正确的是(C)A．∠1和∠2是内错角B．∠2和∠3是同位角C．∠1和∠3是内错角D．∠2和∠4是同旁内角3．看图填空：(1)∠1和∠3是直线AB，BC被直线AC所截得的同旁内角；(2)∠1和∠4是直线AB，BC被直线AC所截得的同位角；(3)∠B和∠2是直线AB，AC被直线BC所截得的同位角；(4)∠B和∠4是直线AC，BC被直线AB所截得的内错角．知识点2 “三线八角”之间的关系4．如图所示，若∠1＝∠2，则在①∠3和∠2；②∠4和∠2；③∠3和∠6；④∠4和∠8中，相等的有(C)A．1对 B．2对 C．3对 D．4对易错点忽视截线导致找错位置角5．下面四个图形中，∠1和∠2是同位角的是(D)A．②③④ B．①②③C．①②③④ D．①②④中档题6．两条直线被第三条直线所截，就第三条直线上的两个交点而言形成了“三线八角”．为了便于记忆，同学们可仿照图用双手表示“三线八角”(两大拇指代表被截直线，食指代表截线)．下列三幅图依次表示(B)A．同位角、同旁内角、内错角B．同位角、内错角、同旁内角C．同位角、对顶角、同旁内角D．同位角、内错角、对顶角7．如图，∠ABC与∠EAD是同位角；∠ADB与∠DBC，∠EAD是内错角；∠ABC与∠DAB，∠BCD是同旁内角．8．根据图形说出下列各对角是什么位置关系？(1)∠1和∠2；(2)∠1和∠7；(3)∠3和∠4；(4)∠4和∠6；(5)∠5和∠7.解：(1)∠1和∠2是同旁内角．(2)∠1和∠7是同位角．(3)∠3和∠4是内错角．(4)∠4和∠6是同旁内角．(5)∠5和∠7是内错角．5.2 平行线及其判定5．2.1 平行线基础题知识点1 认识平行在同一平面内，两条不相交的直线互相平行．1．下列说法中，正确的是(D)A．平面内，没有公共点的两条线段平行B．平面内，没有公共点的两条射线平行C．没有公共点的两条直线互相平行D．互相平行的两条直线没有公共点2．在同一平面内，两条直线的位置关系有(A)A．两种：平行和相交B．两种：平行和垂直C．三种：平行、垂直和相交D．两种：相交和垂直3．在同一平面内，直线a与b满足下列条件，把它们的位置关系填在后面的横线上．(1)a与b没有公共点，则a与b平行；(2)a与b有且只有一个公共点，则a与b相交；(3)a与b有两个公共点，则a与b重合．4．如图，完成下列各题：(1)用直尺在网格中完成：①画出直线AB的一条平行线；②经过C点画直线垂直于CD；(2)用符号表示上面①、②中的平行、垂直关系．解：(1)如图所示．(2)EF∥AB，MC⊥CD.知识点2 平行公理及其推论(1)经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；(2)如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．即如果a∥b，b∥c，那么a∥c.5．若直线a∥b，b∥c，则a∥c的依据是(D)A．平行公理B．等量代换C．等式的性质D．平行于同一条直线的两条直线平行6．点P，Q都是直线l外的点，下列说法正确的是(D)A．连接PQ，则PQ一定与直线l垂直B．连接PQ，则PQ一定与直线l平行C．连接PQ，则PQ一定与直线l相交D．过点P只能画一条直线与直线l平行7．(2018·黔南期末)如图，在直线a的同侧有P，Q，R三点，若PQ∥a，QR∥a，则P，Q，R三点是(填“是”或“不是”)在同一条直线上，理由是经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．8．如图，P，Q分别是直线EF外两点．(1)过点P画直线AB∥EF，过点Q画直线CD∥EF；(2)AB与CD有怎样的位置关系？为什么？解：(1)如图．(2)AB∥CD.理由：因为AB∥EF，CD∥EF，所以AB∥CD(平行于同一条直线的两条直线平行)．中档题9．下列说法中，正确的有(A)①过一点有无数条直线与已知直线平行；②经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；③如果两条线段不相交，那么它们就平行；④如果两条直线不相交，那么它们就平行．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．如图，在下面的方格纸中，找出互相平行的线段，并用符号表示出来：CD ∥MN ，GH ∥PN ．11．如图所示，直线AB ，CD 是一条河的两岸，并且AB ∥CD ，点E 为直线AB ，CD 外一点，现想过点E 作河岸CD 的平行线，只需过点E 作AB 的平行线即可，其理由是平行于同一条直线的两条直线平行．12．在同一平面内，一条直线和两条平行线中的一条直线相交，那么这条直线与平行线中的另一条直线必相交． 13．(教材P17习题T11变式)观察下图所示的长方体，回答下列问题．(1)用符号表示两棱的位置关系：A 1B 1∥AB ，AA 1⊥AB ，A 1D 1⊥C 1D 1，AD ∥BC ；(2)AB 与B 1C 1所在的直线不相交，它们不是平行线(填“是”或“不是”)．由此可知，在同一平面内，两条不相交的直线才是平行线．14．如图所示，在∠AOB 内有一点P. (1)过点P 画l 1∥OA ； (2)过点P 画l 2∥OB ；(3)用量角器量一量l 1与l 2相交的角与∠O 的大小有怎样的关系．解：(1)(2)如图所示．(3)l 1与l 2的夹角有两个：∠1，∠2. 量得∠1＝∠O ，∠2＋∠O ＝180°， 所以l 1与l 2的夹角与∠O 相等或互补．15．如图，射线OA ∥CD ，射线OB ∥CD ，∠AOC ＝13∠AOB ，求∠AOC 的度数．解：因为OA ∥CD ，OB ∥CD ，所以A ，O ，B 在同一条直线上． 所以∠AOB ＝180°.所以∠AOC ＝13∠AOB ＝13×180°＝60°.综合题16．利用直尺画图：(1)利用图1中的网格，过P 点画直线AB 的平行线和垂线；(2)在图2的网格中画一个四边形，满足：①两组对边互相平行；②任意两个顶点都不在一条网格线上；③四个顶点都在格点上．解：(1)如图所示．CD ∥AB ，PQ ⊥AB. (2)如图所示，答案不唯一．5．2.2 平行线的判定基础题平行线的判定方法有：(1)定义：在同一平面内，两条不相交的直线互相平行；(2)如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；(3)同位角相等，两直线平行；(4)内错角相等，两直线平行；(5)同旁内角互补，两直线平行；(6)同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行．如图，直线AB，CD被直线EF所截．(1)∵∠1＝∠2，或∠5＝∠7，或∠3＝∠6，或∠4＝∠8，∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行)；(2)∵∠4＝∠2，或∠5＝∠6，∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)；(3)∵∠4＋∠6＝180°，或∠5＋∠2＝180°，∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)．(4)∵AB⊥EF，CD⊥EF，∴AB∥CD(同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行)．知识点1 同位角相等，两直线平行1．(2019·河池)如图，∠1＝120°，要使a∥b，则∠2的大小是(D)A．60° B．80° C．100° D．120°2．(2017·德州)如图是利用直尺和三角板过已知直线l外一点P作直线l的平行线的方法，其理由是同位角相等，两直线平行．3．如图，∠1＝∠2，∠2＝∠C，则图中互相平行的直线有AB∥CD，EF∥CG．知识点2 内错角相等，两直线平行4．如图，能判定EB∥AC的条件是(D)A．∠C＝∠ABE B．∠A＝∠EBD C.∠C＝∠ABC D．∠A＝∠ABE5.如图，请在括号内填上正确的理由：∵∠DAC＝∠C(已知)，∴AD∥BC(内错角相等，两直线平行)．知识点3 同旁内角互补，两直线平行6.如图，已知∠1＝70°，要使AB∥CD，则须具备的另一个条件是(C)A．∠2＝70° B．∠2＝100°C．∠2＝110° D．∠3＝110°7．如图，一个零件ABCD需要AB边与CD边平行，现只有一个量角器，测得拐角∠ABC＝120°，∠BCD＝60°，这个零件合格吗？合格(填“合格”“不合格”)．8．如图，已知∠ACD＝70°，∠ACB＝60°，∠ABC＝50°.试说明：AB∥CD.解：∵∠ACD＝70°，∠ACB＝60°，∴∠BCD＝130°.∵∠ABC＝50°，∴∠BCD＋∠ABC＝180°.∴AB∥CD.易错点不能准确识别截线与被截线，从而误判两直线平行9．(教材P36复习题T8(1)变式)如图，下列能判定AB∥CD的条件有(C)①∠B＋∠BCD＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠B＝∠5.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个中档题10．如图，在下列条件中，能判断AD∥BC的是(A)A．∠DAC＝∠BCAB．∠DCB＋∠ABC＝180°C．∠ABD＝∠BDCD．∠BAC＝∠ACD11．如图，下列说法错误的是(C)A．若a∥b，b∥c，则a∥cB．若∠1＝∠2，则a∥cC．若∠3＝∠2，则b∥cD．若∠3＋∠5＝180°，则a∥c12．(2018·湘潭)如图，点E是AD延长线上一点，如果添加一个条件，使BC∥AD，则可添加的条件为∠A＋∠ABC ＝180°或∠C＋∠ADC＝180°或∠CBD＝∠ADB或∠C＝∠CDE．(任意添加一个符合题意的条件即可)13．如图，已知AB⊥BC，BC⊥CD，∠1＝∠2，试判断BE与CF的位置关系，并说明你的理由．解：BE∥CF.理由：∵AB⊥BC，BC⊥CD(已知)，∴∠ABC＝∠BCD＝90°(垂直的定义)．∵∠1＝∠2(已知)，∴∠ABC－∠1＝∠BCD－∠2，即∠EBC＝∠BCF．∴BE∥CF(内错角相等，两直线平行)．14．(教材P36复习题T6变式)如图，AB⊥AC，∠1与∠B互余．(1)AD与BC平行吗？为什么？(2)若∠B＝∠D，则AB与CD平行吗？为什么？解：(1)AD∥BC.理由如下：∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°.∵∠1与∠B互余，∴∠1＋∠B＝90°.∴∠1＋∠BAC＋∠B＝180°，即∠B＋∠BAD＝180°.∴AD∥BC.(2)AB∥CD.理由如下：由(1)可知∠B＋∠BAD＝180°.∵∠B＝∠D，∴∠D＋∠BAD＝180°.∴AB∥CD.15．已知，如图，点B在AC上，BD⊥BE，∠1＋∠C＝90°，问射线CF与BD平行吗？试用两种方法说明理由．解：CF∥BD.方法一：∵BD⊥BE，∴∠DBE＝90°.∴∠1＋∠2＝90°.∵∠1＋∠C＝90°，∴∠2＝∠C.∴CF∥BD(同位角相等，两直线平行)．方法二：∵BD⊥BE，∴∠DBE＝90°.∵∠1＋∠C＝90°，∴∠C＋∠DBC＝∠1＋∠DBE＋∠C＝90°＋90°＝180°.∴CF∥BD(同旁内角互补，两直线平行)．综合题16．如图所示，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，∠1＋∠2＝180°，试问CD与EF平行吗？为什么？解：CD∥EF.理由如下：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴AB∥CD(垂直于同一条直线的两直线平行)．∵∠1＋∠2＝180°，∴AB∥EF(同旁内角互补，两直线平行)．∴CD∥EF(如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行)．周周练(5.1～5.2)(时间：45分钟满分：100分)一、选择题(每小题4分，共32分)1．邻补角是指(D)A．和为180°的两个角B．有一条公共边且相等的两个角C．有公共顶点且互补的两个角D．有公共顶点且有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角2．下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是(C)3．如图，直线AB，CD被EF所截，下列说法正确的有(C)①∠3与∠5是内错角；②∠2与∠7是同位角；③∠4与∠5是同旁内角；④图中有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角；⑤∠1与∠7是内错角．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．下列说法错误的是(C)A．两条直线相交，有一个角是直角，则两条直线互相垂直B．若互为对顶角的两角之和为180°，则两直线互相垂直C．两直线相交，所构成的四个角中，若有两个角相等，则两直线互相垂直D．在同一平面上，过点A作直线l的垂线，这样的垂线只有一条5．如图，OA⊥OB，∠BOC＝50°，OD平分∠AOC，则∠BOD的度数是(A)A．20° B．30° C．40° D．50°6．下列说法错误的是(A)A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行B．平行于同一条直线的两条直线平行C．若a∥b，b∥c，c∥d，则a∥dD．同一平面内，若一条直线与两平行线中的一条相交，则它和另一条也相交7．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，则下面的结论中，不正确的是(A)A．点B到AC的距离是线段BCB．CD和AB互相垂直C．AC与BC互相垂直D．线段AC的长度是点A到BC的距离8．如图，下列条件中能判定直线l1∥l2的是(C)A．∠1＝∠2 B．∠1＝∠5C．∠1＋∠3＝180° D．∠3＝∠5二、填空题(每小题4分，共24分)9．如图，已知∠1＋∠2＝100°，则∠3＝130°．10．如图，已知OA⊥OB，OC⊥OD，∠AOC＝27°，则∠BOD的度数是153°．11．如图，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处(AB⊥CD)开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是垂线段最短．12．如图，在同一平面内，OA⊥l，OB⊥l，垂足为O，则OA与OB重合的理由是同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．13．如图所示，请你填写一个适当的条件：答案不唯一，如：∠FAD＝∠FBC，使AD∥BC.14．如图所示，AB与BC被AD所截得的内错角是∠1和∠3；DE与AC被直线AD所截得的内错角是∠2和∠4；图中∠4的内错角是∠5和∠2．三、解答题(共44分)15．(6分)完成下面推理过程：如图，CB平分∠ACD，∠1＝∠3.试说明：AB∥CD.解：∵CB平分∠ACD，∴∠1＝∠2(角平分线的定义)．∵∠1＝∠3，∴∠2＝∠3．∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)．16．(6分)如图，直线AO，BO交于点O，过点P作PC⊥AO于点C，PD⊥BO于点D，画出图形．解：如图，作∠ACP＝90°，作∠PDB＝90°，则直线PC，PD即为所求．17．(6分)如图，已知∠OEB＝130°，∠FOD＝25°，OF平分∠EOD，试说明：AB∥CD.解：∵OF平分∠EOD，∠FOD＝25°，∴∠EOD＝2∠FOD＝50°.又∵∠OEB＝130°，∴∠OEB＋∠EOD＝180°.∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)．18．(8分)如图，已知直线l1，l2，l3被直线l所截，∠α＝105°，∠β＝75°，∠γ＝75°，运用已知条件，你能找出哪两条直线是平行的吗？若能，请写出理由．解：l1∥l2∥l3.理由：∵∠1＝∠β＝75°，∠α＝105°，∴∠α＋∠1＝180°.∴l1∥l2(同旁内角互补，两直线平行)．∵∠β＝75°，∠γ＝75°，∴∠β＝∠γ.∴l2∥l3(内错角相等，两直线平行)．∴l1∥l2∥l3(如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行)．19．(8分)如图，AB和CD相交于点O，OD平分∠BOF，OE⊥CD于点O，∠AOC＝40°，求∠EOF的度数．解：∵AB，CD相交于点O，∴∠BOD＝∠AOC＝40°.∵OD平分∠BOF，∴∠DOF＝∠BOD＝40°.∵OE⊥CD，∴∠EOD＝90°.∴∠EOF＝∠EOD＋∠DOF＝130°.20．(10分)如图，要判定AB∥CD，需要哪些条件？根据是什么？解：①若考虑截线AD，则需∠D＋∠DAB＝180°，根据是同旁内角互补，两直线平行；②若考虑截线AE，则需∠CEA＋∠EAB＝180°，根据是同旁内角互补，两直线平行或∠DEA＝∠EAB，根据是内错角相等，两直线平行；③若考虑截线AC，则需∠DCA＝∠CAB，根据是内错角相等，两直线平行；④若考虑截线FC，则需∠DCF＋∠AFC＝180°，根据是同旁内角互补，两直线平行或∠DCF＝∠BFC，根据是内错角相等，两直线平行；⑤若考虑截线BC，则需∠DCB＋∠B＝180°，根据是同旁内角互补，两直线平行．5．3 平行线的性质5．3.1 平行线的性质基础题知识点1 平行线的性质平行线的性质：性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补．如图，直线AB，CD被直线EF所截．∵AB∥CD，∴∠1＝∠2，或∠5＝∠7，或∠3＝∠6，或∠4＝∠8(两直线平行，同位角相等)；∠4＝∠2，或∠5＝∠6(两直线平行，内错角相等)；∠4＋∠6＝180°，或∠5＋∠2＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．1．(2019·百色)如图，已知a∥b，∠1＝58°，则∠2的大小是(C)A．122° B．85° C．58° D．32°2．(2017·六盘水)如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠D＝(B)A．120° B．135° C．145° D．155°3．(2018·铜仁)如图，已知直线a∥b，c∥b，∠1＝60°，则∠2的度数是(B)A．30° B．60° C．120° D．61°4．(2019·新疆)如图，AB∥CD，∠A＝50°，则∠1的度数是(C)A ．40°B ．50°C ．130°D ．150°5．(2018·黔西南)如图，已知AD ∥BC ，∠B ＝30°，DB 平分∠ADE ，则∠DEC ＝(B)A ．30°B ．60°C ．90°D ．120° 6．如图，EF ∥BC ，AC 平分∠BAF ，∠B ＝80°.求∠C 的度数．解：∵EF ∥BC ，∴∠BAF ＋∠B ＝180°(两直线平行，同旁内角互补)． ∵∠B ＝80°，∴∠BAF ＝100°. ∵AC 平分∠BAF ， ∴∠CAF ＝12∠BAF ＝50°.∵EF ∥BC ，∴∠C ＝∠CAF ＝50°(两直线平行，内错角相等)．知识点2 平行线性质的应用7．某商品的商标可以抽象为如图所示的三条线段，若AB ∥CD ，∠EAB ＝45°，则∠FDC 的度数是(B)A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°8．一只因损坏而倾斜的椅子，从背后看到的形状如图所示，其中两组对边的平行关系没有发生变化．若∠1＝76°，则∠2的大小是(C)A．76° B．86° C．104° D．114°9．(教材P19例1变式)如图，某次考古发掘出的一个梯形残缺玉片，工作人员从玉片上量得∠A＝115°，∠D＝100°，已知梯形的两底边AD∥BC，请你帮助工作人员求出另外两个角的度数，并说明理由．解：∵AD∥BC，∠A＝115°，∠D＝100°，∴∠B＝180°－∠A＝180°－115°＝65°，∠C＝180°－∠D＝180°－100°＝80°.易错点误用平行线的性质10．已知∠1与∠2是同旁内角，若∠1＝60°，则∠2的度数是(D)A．60° B．120°C．60°或120° D．不能确定中档题11．(2018·枣庄)已知直线m∥n，将一块含30°角的直角板ABC按如图方式放置(∠ABC＝30°)，其中A，B两点分别落在直线m，n上．若∠1＝20°，则∠2的度数为(D)A．20° B．30° C．45° D．50°12．(2019·遵义)如图，∠1＋∠2＝180°，∠3＝104°，则∠4的度数是(B)A．74° B．76° C．84° D．86°13．(2018·遵义桐梓县期末)如图，小瑶从A处出发沿北偏东60°方向行走至B处，又沿北偏西20°方向行走至C 处，则∠ABC的度数是(C)A．80° B．90° C．100° D．95°14．(2018·遵义桐梓县期末)如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠EFB ＝65°，则∠AED′等于(A)A．50° B．55° C．60° D．65°15．(2019·黔东南期末)如图，AD，BE相交于点C，AB∥ED，∠A＝∠DCF.若∠B＝50°，∠D＝20°，则∠DCB的度数为(C)A．20° B．50° C．70° D．90°16．(2019·武汉)如图，点A，B，C，D在一条直线上，CE与BF交于点G，∠A＝∠1，CE∥DF，试说明：∠E＝∠F.解：∵∠A＝∠1，∴AE∥BF.∴∠E＝∠2.∵CE∥DF，∴∠2＝∠F.∴∠E＝∠F.17．如图，已知AB∥DE∥CF，若∠ABC＝70°，∠CDE＝130°，求∠BCD的度数．解：∵AB∥CF，∠ABC＝70°，∴∠BCF＝∠ABC＝70°(两直线平行，内错角相等)．又∵DE∥CF，∠CDE＝130°，∴∠DCF＋∠CDE＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．∴∠DCF＝50°.∴∠BCD＝∠BCF－∠DCF＝70°－50°＝20°.综合题18．(2018·黔西南兴义市期中)如图，已知∠1＝∠2，∠GFA＝40°，∠HAQ＝15°，∠ACB＝70°，AQ平分∠FAC，探索直线BD，GE，AH之间的位置关系．解：∵∠1＝∠2，∴AH∥GE.∴∠FAH＝∠GFA＝40°.∴∠FAQ＝∠FAH＋∠HAQ＝40°＋15°＝55°.又∵AQ平分∠FAC，∴∠QAC＝∠FAQ＝55°.∴∠HAC＝∠QAC＋∠HAQ＝55°＋15°＝70°.∴∠HAC＝∠ACB.∴BD∥AH.∴BD∥GE∥AH.小专题(一) 平行线中的拐点问题模型1 M型【例1】如图，已知AB∥CD，则∠B，∠BED，∠D之间有何数量关系？请说明理由．【思路点拨】由已知条件知，AB∥CD，但图形中没有截这两条平行线的第三条直线，因而不能直接用平行线的性质解决．为此可构造第三条直线，即过点E作EF∥AB，于是BE，DE就可以作为第三条直线了．【解答】∠BED＝∠B＋∠D.理由：过点E作EF∥AB，则EF∥CD.∴∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF.∴∠BED＝∠BEF＋∠DEF＝∠B＋∠D.变式当点E运动到平行线的外侧1．已知AB∥CD，点E为AB，CD之外任意一点．(1)如图1，探究∠BED与∠B，∠D的数量关系，并说明理由；(2)如图2，探究∠CDE与∠B，∠BED的数量关系，并说明理由．解：(1)∠B＝∠BED＋∠D.理由如下：过点E作EF∥AB，则AB∥CD∥EF.∴∠BEF＝∠B，∠D＝∠DEF.∵∠BEF＝∠BED＋∠DEF，∴∠B＝∠BED＋∠D.(2)∠CDE＝∠B＋∠BED.理由如下：过点E作EF∥AB，则AB∥CD∥EF.∴∠B＋∠BEF＝180°，∠CDE＋∠DEF＝180°.又∵∠DEF＝∠BEF－∠BED，∴∠CDE＋∠BEF－∠BED＝∠B＋∠BEF，即∠CDE＝∠B＋∠BED.拓展平行线间有多个拐点2．(1)如图1中，AB∥CD，则∠E＋∠G与∠B＋∠F＋∠D有何关系？(2)在图2中，若AB∥CD，又能得到什么结论？解：(1)∠BEF＋∠FGD＝∠B＋∠EFG＋∠D.理由：过点E，F，G分别作EM∥AB，FN∥AB，GH∥AB，由AB∥CD，得AB∥EM∥FN∥GH∥CD.∴∠BEM＝∠B，∠MEF＝∠EFN，∠NFG＝∠FGH，∠HGD＝∠D.∴∠BEF＋∠FGD＝∠BEM＋∠MEF＋∠FGH＋∠HGD＝∠B＋∠EFN＋∠NFG＋∠D＝∠B＋∠EFG＋∠D.(2)在图2中，有∠E1＋∠E2＋∠E3＋…＋∠E n＝∠B＋∠F1＋∠F2＋…＋∠F n－1＋∠D.如果出现多个拐点时，可以作多条平行线，从而将多拐点问题转化为一个拐点问题来处理．M型最终的结论为：朝左的角之和等于朝右的角之和．模型2 铅笔型【例2】如图，直线AB∥CD，∠B，∠BED，∠D之间有什么关系呢？为什么？【解答】∠B＋∠BED＋∠D＝360°.理由：过点E作EF∥AB.∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF.∴∠B＋∠BEF＝180°，∠D＋∠DEF＝180°.∴∠B＋∠BEF＋∠D＋∠DEF＝360°，即∠B＋∠BED＋∠D＝360°.拓展平行线间有多个拐点3．(1)①如图1，MA1∥NA2，则∠A1＋∠A2＝180度；②如图2，MA1∥NA3，则∠A1＋∠A2＋∠A3＝360度；③如图3，MA1∥NA4，则∠A1＋∠A2＋∠A3＋∠A4＝540度；④图4，MA1∥NA5，则∠A1＋∠A2＋∠A3＋∠A4＋∠A5＝720度；从上述结论中你发现了什么规律？(2)如图5，MA1∥NA n，则∠A1＋∠A2＋∠A3＋…＋∠A n＝180(n－1)度．解：每增加一个角，度数增加180°.小专题(二) 利用平行线的性质求角的度数类型1 直接利用平行线的性质与判定求角度1．(2019·陕西)如图，OC是∠AOB的平分线，l∥OB.若∠1＝52°，则∠2的度数为(C)A．52° B．54° C．64° D．69°2．(2019·天门)如图，CD∥AB，点O在AB上，OE平分∠BOD，OF⊥OE，∠D＝110°，则∠AOF的度数是(D)A．20° B．25° C．30° D．35°3．(2019·大连)如图，AB∥CD，CB∥DE，∠B＝50°，则∠D＝130°．4．如图，已知EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝80°，求∠AGD的度数．解：∵EF∥AD，∴∠2＝∠3(两直线平行，同位角相等)．∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3(等量代换)．∴AB∥DG(内错角相等，两直线平行)．∴∠BAC＋∠AGD＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．∵∠BAC＝80°，∴∠AGD＝100°.类型2 借助学具的特征求角度5．(2019·安顺)如图，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上．若∠1＝35°，则∠2的度数是(C)A．35° B．45° C．55° D．65°6．(2017·遵义)把一块等腰直角三角尺和直尺按如图所示方式放置，若∠1＝30°，则∠2的度数为(D)A．45° B．30° C．20° D．15°类型3 折叠问题中求角度7．(2019·扬州)将一个矩形纸片折叠成如图所示的图形．若∠ABC＝26°，则∠ACD＝128°．8．如图，一个四边形纸片ABCD，∠B＝∠D＝90°，∠C＝130°.把纸片按如图所示折叠，使点B落在AD边上的B′点，AE是折痕，则∠AEB的度数是65°．类型4 抽象出平行线模型求角度(建模思想)9．(教材P25习题T15变式)如图，∠AOB的两边OA，OB均为平面反光镜，在射线OB上有一点P，从P点射出一束光线经OA上的Q点反射后，反射光线QR恰好与OB平行．已知∠OQP＝∠AQR，∠AOB＝40°，则∠QPB的度数是(B)A．60° B．80° C．100° D．120°10．如图1是我们常用的折叠式小刀，图2中刀柄外形是一个长方形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成如图2所示的∠1与∠2，则∠1与∠2的度数和是90°．5．3.2 命题、定理、证明基础题知识点1 命题的定义及结构判断一件事情的语句叫做命题，命题常可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面接的部分是结论．1．(2018·遵义期中)下列语句中，不是命题的是(D)A．两点确定一条直线 B．垂线段最短C．同位角相等 D．作∠A的平分线2．(2018·黔西南兴义市月考)下列语句中，是命题的是(A)①若∠1＝60°，∠2＝60°，则∠1＝∠2；②同位角相等吗？③画线段AB＝CD；④一个数能被2整除，则它也能被4整除；⑤直角都相等．A．①④⑤ B．①②④C．①②⑤ D．②③④⑤3．命题“两直线平行，内错角相等”的题设是两条平行线被第三条直线所截，结论是内错角相等．4．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并分别指出它们的题设和结论：(1)两点确定一条直线；(2)同角的补角相等；(3)两个锐角互余．解：(1)如果在平面上有两个点，那么过这两个点确定一条直线．题设：在平面上有两个点；结论：过这两个点确定一条直线．(2)如果两个角是同角的补角，那么它们相等．题设：两个角是同角的补角；结论：这两个角相等．(3)如果两个角是锐角，那么这两个角互余．题设：两个角是锐角；结论：这两个角互余．知识点2 真假命题及其证明(1)题设成立，并且结论一定成立的命题叫做真命题；题设成立，不能保证结论一定成立的命题叫做假命题．(2)经过推理证实为正确并可以作为推理的依据的真命题叫做定理．很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能做出判断，这个推理的过程叫做证明．5．下列命题中，是真命题的是(B)A．若|x|＝2，则x＝2B．平行于同一条直线的两条直线平行C．一个锐角与一个钝角的和等于一个平角D．任何一个角都比它的补角小6．下列命题中，是假命题的是(A)A．若|x|＝3，则x＝3B．垂线段最短C．同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种。
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新人教版七年级数学下册全册教案附同步练习及单元测试卷（含答案）第五章相交线与平行线5.1.1相交线教学目标：1．理解对顶角和邻补角的概念，能在图形中辨认．2．掌握对顶角相等的性质和它的推证过程．3.通过在图形中辨认对顶角和邻补角，培养学生的识图能力．重点：在较复杂的图形中准确辨认对顶角和邻补角．难点：在较复杂的图形中准确辨认对顶角和邻补角．教学过程一、创设情境，引入课题先请同学观察本章的章前图，然后引导学生观察，并回答问题．学生活动：口答哪些道路是交错的，哪些道路是平行的．教师导入：图中的道路是有宽度的，是有限长的，而且也不是完全直的，当我们把它们看成直线时，这些直线有些是相交线，有些是平行线．相交线、平行线都有许多重要性质，并且在生产和生活中有广泛应用．所以研究这些问题对今后的工作和学习都是有用的，也将为后面的学习做些准备．我们先研究直线相交的问题，引入本节课题．二、探究新知，讲授新课1．对顶角和邻补角的概念学生活动：观察上图，同桌讨论，教师统一学生观点并板书．【板书】∠1与∠3是直线AB、CD相交得到的，它们有一个公共顶点O，没有公共边，像这样的两个角叫做对顶角．学生活动：让学生找一找上图中还有没有对顶角，如果有，是哪两个角？学生口答：∠2和∠4再也是对顶角．紧扣对顶角定义强调以下两点：（1）辨认对顶角的要领：一看是不是两条直线相交所成的角，对顶角与相交线是唇齿相依，哪里有相交直线，哪里就有对顶角，反过来，哪里有对顶角，哪里就有相交线；二看是不是有公共顶点；三看是不是没有公共边．符合这三个条件时，才能确定这两个角是对顶角，只具备一个或两个条件都不行．（2）对顶角是成对存在的，它们互为对顶角，如∠1是∠3的对顶角，同时，∠3是∠1的对顶角，也常说∠1和∠3是对顶角．2．对顶角的性质提出问题：我们在图形中能准确地辨认对顶角，那么对顶角有什么性质呢？学生活动：学生以小组为单位展开讨论，选代表发言，井口答为什么．【板书】∵∠1与∠2互补，∠3与∠2互补（邻补角定义），∴∠l＝∠3（同角的补角相等）．注意：∠l与∠2互补不是给出的已知条件，而是分析图形得到的；所以括号内不填已知，而填邻补角定义．或写成：∵∠1＝180°－∠2，∠3＝180°－∠2（邻补角定义），∴∠1＝∠3（等量代换）．学生活动：例题比较简单，教师不做任何提示，让学生在练习本上独立完成解题过程，请一个学生板演。
人教版七年级数学下册三元一次方程组(基础) 典型例题(考点)讲解+练习(含答案).doc
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】三元一次方程组（基础）知识讲解责编:杜少波【学习目标】1．理解三元一次方程(或组)的含义；2．会解简单的三元一次方程组；3. 会列三元一次方程组解决有关实际问题.【要点梳理】要点一、三元一次方程及三元一次方程组的概念1.三元一次方程的定义含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程．如x+y-z＝1，2a-3b+4c＝5等都是三元一次方程．要点诠释：(1)三元一次方程的条件：①是整式方程，②含有三个未知数，③含未知数的项的最高次数是1次．(2) 三元一次方程的一般形式：ax+by+cz+d=0，其中a、b、c不为零．2．三元一次方程组的定义一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组. 要点诠释：(1) 三个方程中不一定每一个方程中都含有三个未知数，只要三个方程共含有三个未知量即可．（2）在实际问题中含有三个未知数，当这三个未知数同时满足三个相等关系时，可以建立三元一次方程组求解．要点二、三元一次方程组的解法解三元一次方程组的一般步骤(1)利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；(2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；(3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；(4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；(5)将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．要点诠释：（1）解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”消元，把“三元”化为“二元”．使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程．其思想方法是：（2）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求其较简单的解法．要点三、三元一次方程组的应用列三元一次方程组解应用题的一般步骤1．弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数；2．找出能够表达应用题全部含义的相等关系；3．根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组； 4．解这个方程组，求出未知数的值； 5．写出答案(包括单位名称)． 要点诠释：(1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去． (2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一． (3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组． 【典型例题】类型一、三元一次方程及三元一次方程组的概念1.下列方程组中是三元一次方程组的是( )A ．2102x y y z xz ⎧-=⎪+=⎨⎪=⎩ B ．111216y x z yx z⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩ C ．123a b c d a c b d +++=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩ D ．18120m n n t t m +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩【答案】D【解析】A 选项中21x y -=与2xz =中未知数项的次数为2次，故A 选项不是；B 选项中1x，1y ，1z不是整式，故B 选项不是；C 选项中有四个未知数，故C 选项不是；D 项符合三元一次方程组的定义．【总结升华】理解三元一次方程组的定义要注意以下几点：(1)方程组中的每一个方程都是一次方程；(2)一般地，如果三个一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组．类型二、三元一次方程组的解法2.（2016春•枣阳市期末）在等式y=ax 2+bx+c 中，当x=﹣1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60．求a ，b ，c 的值．【思路点拨】由“当x=﹣1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60”即可得出关于a 、b 、c 的三元一次方程组，解方程组即可得出结论． 【答案与解析】解：根据题意，得，②﹣①，得a+b=1④； ③﹣①，得4a+b=10 ⑤．④与⑤组成二元一次方程组，解这个方程组，得，把代入①，得c=﹣5．因此，即a ，b ，c 的值分别为3，﹣2，﹣5．【总结升华】本题考查了解三元一次方程组，解题的关键是得出关于a 、b 、c 的三元一次方程组．本题属于基础题，难度不大. 【：三元一次方程组 409145 例1】举一反三：【变式】解方程组：【答案】解：①+②得：5311x y +=④①×2+③得：53x y -=⑤由此可得方程组：531153x y x y +=⎧⎨-=⎩④⑤④－⑤得：48y =，2y =将2y =代入⑤知：1x =将1x =，2y =代入①得：3z =所以方程组的解为：123x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩【：三元一次方程组409145 例2（2）】3. 解方程组23520x y zx y z ⎧==⎪⎨⎪++=⎩①②【答案与解析】解法一：原方程可化为：253520x zy zx y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪++=⎪⎩①②③2334823x y z x y z x y z -+=⎧⎪+-=⎨⎪+-=-⎩①②③由①③得：25x z =，35y z = ④ 将④代入②得：232055z z z ++=，得：10z = ⑤将⑤代入④中两式，得：2210455x z ==⨯=，3310655y z ==⨯=所以方程组的解为：4610x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩解法二：设235x y zt ===，则2,3,5x t y t z t ===③ 将③代入②得：23520t t t ++=，2t =将2t =代入③得：2224x t ==⨯=，3326,55210y t z t ==⨯===⨯=所以方程组的解为：4610x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩【总结升华】对于这类特殊的方程组，可根据其方程组中方程的特点，采用一些特殊的解法(如设比例系数等)来解． 举一反三：【变式】（2015秋•德州校级月考）若三元一次方程组的解使ax+2y+z=0，则a 的值为（ ） A ．1 B ．0 C ．﹣2 D ．4【答案】B ．解：，①+②+③得：x+y+z=1④， 把①代入④得：z=﹣4， 把②代入④得：y=2， 把③代入④得：x=3，把x=3，y=2，z=﹣4代入方程得：3a+4﹣4=0， 解得：a=0．类型三、三元一次方程组的应用4. （2015春•黄陂区校级月考）购买铅笔7支，作业本3本，圆珠笔1支共需3元；购买铅笔10支，作业本4本，圆珠笔1支共需4元，则购买铅笔11支、作业本5本圆珠笔2支共需 元．【思路点拨】首先假设铅笔的单价是x 元，作业本的单价是y 元，圆珠笔的单价是z 元．购买铅笔11支，作业本5本，圆珠笔2支共需a元．根据题目说明列出方程组，解方程组求出a的值，即为所求结果．【答案】5．【解析】解：设铅笔的单价是x元，作业本的单价是y元，圆珠笔的单价是z元．购买铅笔11支，作业本5本，圆珠笔2支共需a元．则由题意得：，由②﹣①得3x+y=1，④由②+①得17x+7y+2z=7，⑤由⑤﹣④×2﹣③得0=5﹣a，解得：a=5.【总结升华】本题考查了列三元一次不定方程组解实际问题的运用，在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程．举一反三：【变式】现有面值为2元、1元和5角的人民币共24张，币值共计29元，其中面值为2元的比1元的少6张，求三种人民币各多少张?【答案】解：设面值为2元、1元和5角的人民币分别为x张、y张和z张．依题意，得24122926x y zx y zx y++=⎧⎪⎪++=⎨⎪⎪+=⎩①②③把③分别代入①和②，得21813232x zx z+=⎧⎪⎨+=⎪⎩④⑤⑤×2，得6x+z＝46 ⑥⑥-④，得4x＝28，x＝7．把x＝7代入③，得y＝13．把x＝7，y＝13代入①，得z＝4．∴方程组的解是7134xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩．答：面值为2元、l元和5角的人民币分别为7张、13张和4张．初中奥数题试题一一、选择题（每题1分，共10分）1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么 ( )A．a，b都是0 B．a，b之一是0C．a，b互为相反数 D．a，b互为倒数2．下面的说法中正确的是 ( )A．单项式与单项式的和是单项式B．单项式与单项式的和是多项式C．多项式与多项式的和是多项式D．整式与整式的和是整式3．下面说法中不正确的是 ( )A. 有最小的自然数 B．没有最小的正有理数C．没有最大的负整数 D．没有最大的非负数4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么 ( )A．a，b同号 B．a，b异号 C．a＞0 D．b＞05．大于－π并且不是自然数的整数有 ( )A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个6．有四种说法：甲．正数的平方不一定大于它本身；乙．正数的立方不一定大于它本身；丙．负数的平方不一定大于它本身；丁．负数的立方不一定大于它本身。
人教版初中数学七年级下册第9章一元一次不等式(组)含参专题——有、无解问题(专题课)教案
人教版初中数学七年级下册第九章一元一次不等式（组）含参专题——有、无解问题（专题课）教案核心素养：1.使学生加深对一元一次不等式组和它的解集的理解，会用数轴确定含参数的一元一次不等式组的参数范围；2.培养学生探究、独立思考的学习习惯，感受数形结合的作用，熟悉并掌握数形结合的思想方法，提高分析问题和解决的能力；3.提升学生之间合作与交流以及对问题的探讨能力，从中发现数学的乐趣.【教学重难点】重点：含参一元一次不等式组的分类解法难点：1.一元一次不等式中字母参数的讨论2.一元一次不等式中运用数轴分析参数的范围【教学过程】1.问题引导 合作交流出示问题：请同学们解下列两个不等式（1）x-2m<0，（2）x+m ＞3并思考m 的取值范围. 同学们不难得出不等式（1）的解为x ＜2m ；（2）的解为x ＞3-m.引导分析m 的取值范围. 师引导，生回答：任意实数.[问题1]如果将上述两个不等式联立成不等式组⎩⎨⎧>+<-302m x m x ,你能确定不等式组的解集吗？ 师提示学生画数轴 ，问：能画几种情况[问题2]如果这个不等式组无解，你能确定m 的取值范围吗？（学生分组讨论）（借助数轴）师生一起分析：如果不等式组无解，则2m ＜3-m ，解得m ＜1。
确定一下“＜”要不要添加“=”（这是参数取值问题中的难点）学生借助数轴讨论.师生总结：2m 和3-m 在两个不等式的解中都不包含，所以2m 可以等于3-m ，即m ≤1.2.变式拓展 强化理解变式1：若不等式组⎩⎨⎧⋅⋅⋅⋅⋅>+⋅⋅⋅≤-②①302m x m x 无解，这时m 的取值会有变化吗？解不等式①得x ≤2m 解不等式②得x ＞3-m（学生分组探究）引导：虽然第一个不等式“＜”改成“≤”通过数轴可以看到由于和第二个不等式的解集不包含3-m ，所以2m ≤3-m ，m 的取值范围仍然是m ≤1.变式2：如果不等式组变化为⎩⎨⎧⋅⋅⋅⋅⋅≥+⋅⋅⋅≤-②①302m x m x ，这时m 的取值又会有改变吗？（学生分组探究）由于两个不等式都含有等号，这时2m 和3-m 可能是公共点，而要想使不等式组无解，2m 和3-m 不能重合，只能2m ＜3-m ，所以m 不能等于1，即m ＜1.3.问题反转[问题3]如果不等式组⎩⎨⎧⋅⋅⋅⋅⋅≥+⋅⋅⋅≤-②①302m x m x 有解，怎样确定 m 的取值范围？把两个不等式的解集在数轴上表示出，同学们观察数轴 ，不难得出要想使不等式组有解，只要2m ≥3-m ，即m ≥1这样两个不等式的解集有公共部分，不等式组有解，所以m 的取值范围m ≥14.方法小结 归纳步骤解含参一元一次不等式（组）有、无解问题时注意掌握四个步骤:一解 .解不等式组，用参数分别表示出两个不等式的解集；二画.借助数轴进行视觉观察，画出有无解的情况；三验：验证端点取舍判断等号是否可取；四：列出不等式，确定取值范围5，拓展演练 题型再变[问题4]下面这种类型的一元一次不等式组如何确定字母参数取值范围？例：已知不等式组⎩⎨⎧⋅⋅⋅-<⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥-②①22-10x x a x 的解集是x ＞1，求a 的取值范围？学生分组解出每个不等式的解集：解①得：x ≥a 解②得：x ＞1因为不等式的解集是x ＞1，（学生分组探讨）：a 的位置在数轴上应该在哪个位置？ 分析得出：a 在数轴上的位置应该在1的左侧.把不等式组的解集在数轴上表示出来：即a ＜1，[思考3]a 可不可以等于1？因为a=1时不等式组的解集仍然是x ＞1.所以a 可以等于1，即a 的取值范围a ≤15.基础过关1.若不等式组⎩⎨⎧≤≥-m x x 062 无解，求m 的取值范围? 2.若不等式组⎩⎨⎧>+<--xx a x x 422)2(3有解，求a 的取值范围?3.若不等式组⎩⎨⎧+>+<+1137m x x x 的解集是x ＞3，求m 的取值范围?。
数学七年级教材下册变式题
七年级下册 · 课本亮题拾贝5．1 相交线题目 如图，直线AB ，CD 相交于点O ，∠EOC = 70︒，OA 平分∠EOC ，求∠BOD 的度数．（人教课本P 97题）解 ∵ OA 平分∠EOC ，∴ ∠AOC =21∠EOC = 35︒． 又 ∵∠BOD =∠AOC ，∴ ∠BOD = 35︒．点评 由角平分线定义如AD 是∠BAC 的角平分线，得∠BAD =∠CAD =21∠BAC ．演变变式1 已知直线AB 与CD 相交于O ，OB 平分∠COE ，FO ⊥AB ，∠EOF = 120︒，求∠AOD 的度数． （答案：30︒）变式2 已知直线AB 与CD 相交于O ，OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，且∠BOF = 40︒，求∠EOD 的度数．（答案：140︒）变式3 已知AB ⊥CD 于O ，直线EF 过点O ，∠AOE = 25︒，求∠COF 的度数．（答案 65︒）变式4 已知∠AOB 是直角，且∠AOC = 40︒，OM 平分∠BOC ，ON 平分∠AOC ，求∠MON 的度数．解 ∵ ∠AOB = 90︒，∠AOC = 40︒， ∴ ∠BOC = 130︒．∵ OM 平分∠BOC ，ON 平分∠AOC ，∴ ∠MOC =21∠BOC = 65︒，∠AON =∠NOC =21∠AOC = 20︒，∴ ∠MON =∠MOC －∠AON = 45︒．变式5 在变式4 中，当∠AOB =α，其它条件不变时，求∠MON 的度数．（答案：21α）E ACD BO A B F C D E OA B E CD F CO B M A N变式6 在变式4 中，当∠AOC =β，其它条件不变时，求∠MON 的度数，从中你得出了什么结论？（答案：45︒）点评 通过变换∠AOB 和∠AOC 的度数可以发现，∠MON 的度数大小只与∠AOB 的度数大小有关，而与∠AOC 的度数无关．5．2 平行线及其判定题目 如图，AB ∥CD ∥EF ，那么∠BAC + ∠ACE +∠CEF =（ ）．（人教课本P 236（2）题）A ．180︒B ．270︒C ．360︒D ．540︒解 这是平行线性质的应用，利用“两直线平行，同旁内角互补”，可以得到∠BAC +∠ACE +∠CEF = 360︒，故选C ．其中，CD 在解题中起了非常重要的一个“桥梁”的作用． 演变 变式1 （2008年广安）如图，AB ∥CD ，若∠ABE = 120︒，∠DCE = 35︒，则有∠BEC =________度．解 过点E 作EF ∥AB ．由于 ∠ABE = 120︒，所以 ∠FEB = 60︒．（两直线平行，同旁内角互补） 又由于 ∠DCE = 35︒，所以 ∠FEC = 35︒，（两直线平行，内错角相等） 所以 ∠BEC =∠FEB +∠FEC = 60︒ + 35︒ = 95︒． 变式2 （2008年成都）如图，已知直线AB ∥CD ， ∠ABE = 60︒，∠CDE = 20︒，则∠BED = 度．（提示：过点E 作EF ∥AB ，则可得∠BED = 80︒） 变式3 （2008年十堰）如图，已知AB ∥CD ， ∠A = 50︒，∠C = 20︒，则∠P = ．（提示：过点P 作AB 与CD 的平行线，即可得解，∠P = 35︒）变式4 已知直线AB 与CD 的平行线，下列结论正确的是（ ）． A ．∠A +∠P +∠C = 180︒ B ．∠A +∠P +∠C = 360︒ C ．∠A +∠C = 2∠P D ．∠A +∠C =∠P（答案：D ）变式5 （2009年湘西自治州）如图，l 1∥l 2，∠1 = 120°，∠2 = 100°，BADCPAB EC DF E A B D F C ABCDE则∠3 =（ ）（答案：A ）A ．20°B ．40°C ．50°D ．60°变式6 如图，AB ∥CD ，分别写出下面四个图形中∠A 与∠P 、∠C 的关系，请你从所得到的关系中任选一图的结论加以证明．．．．．．．．．．． ACDB PACDBP ACDB PACDB P （1） （2） （3） （4）（答案：（1）∠A +∠C =∠P （2）∠A +∠C +∠P = 360︒ （3）∠A =∠C +∠P （4）∠C =∠A +∠P ）点评 随着折点的不同变化，结论也会不同，但解法却如出一辙，都是过折点作平行线求解．还有其它的几种变式，请同学们自己探究．（结论：左边的角=右边的角）平行线的性质题目 如图，a ∥b ，∠1 = 80︒，∠5 = 70︒，求∠2，∠3，∠4的度数．（人教课本P 233题） （答案：∠2 = 80︒，∠3 = 110︒，∠4 = 110︒）点评 两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补． 演变变式1 如图，若 ∠1 =（2x －50）︒，∠与b 平行吗？12 3 l 1l 2（答案：平行）变式2（2009江西）如图，直线m n ∥，︒∠1=55，︒∠2=45，则∠3的度数为（ ）A ．80︒B ．90︒C ．100︒D ．110︒（答案：D ）变式3 若∠1 =（3x －30）︒，∠2 =（210－3x ）︒，则a 与b 平行吗？（答案：平行）变式4 若∠1为其补角的3倍，∠2等于其余角，则a 与b 平行吗？（答案：平行）变式5 若∠1 =（50－2x ）︒，∠2 =（180－3x ）︒，要使a 与b 平行，则x 为多少度？（答案：x = 10︒）6．1 平面直角坐标系题目 在平面直角坐标系中点的横、纵坐标满足：① 点P （x ，y ）的坐标xy ＞0；② 点P （x ，y ）的坐标xy ＜0，求点P 在第几象限．（人教课本P 4610题）解 ① 点P 在第一、三象限； ② 点P 在第二、四象限）点评 点的横、纵坐标满足：第一象限正正；第二象限负正；第三象限负负；第四象限正负．演变变式1 若点P （1，2x ）在第四象限内，求x 的取值范围．（答案：x ＜0）变式 2 若点P （x ，1－2x ）的横、纵坐标互为相反数，则点P 一定在 ．（答案：第四象限）变式3 已知点P （x ，y ），且x ，y 满足（x + 1）2 +｜y －2｜= 0，求点P 在第几象限．（答案：第二象限）变式4 已知点P （x ，y ）在第二象限，且｜x ｜－2 = 0，y 2－4 = 0，求点P 的坐标．（答案：P （－2，2））变式5 已知点P （x ，y ）的坐标满足xy = 0，则点P 在 ．（答案：坐标轴上）3mn2 1变式6已知点P（x + 2，x + 1）在平面直角坐标系的y轴上，则点P的坐标为．（答案：P（0，－1））变式7已知点P（x，y），则P到x轴得距离是；到y轴得距离是．（答案：｜y｜，｜x｜）6．2 坐标方法的简单应用题目已知三角形ABC的坐标为A（－2，3），B（－4，－1），C（2，0），三角形ABC中任意一点P（x，y）经平移后对应点P′（x + 5，y + 3），将三角形ABC作同样的平移得到三角形A′B′C′，求A′、B′、C′的坐标．（人教课本P557题）解A′（3，6）、B′（1，2）、C′（7，3）．点评在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右（或左）平移a个单位长度，可以得到对应点（x + a，y）（或x－a，y）；将点（x，y）向上（或下）平移b个长度，可以得到对应点（x，y + b）或（x，y－b）．演变变式1已知三角形ABC的坐标不变，求三角形ABC和三角形A′B′C′的面积大小．（答案：8和8）变式2将三角形ABC的横坐标保持不变，纵坐标分别乘以－1，所得的新三角形与原三角形ABC相比有什么变化？（答案：现状和大小不变，只是位置变了，他们关于x轴对称）变式3将三角形ABC的横坐标分别变为原来的2倍，纵坐标保持不变，所得的新三角形与原三角形ABC相比有什么变化？（答案：原三角形ABC被横向拉长为原来的2倍，面积为22）变式4横、纵坐标分别变为原来的2倍，所得的新三角形与原三角形ABC 相比有什么变化？（答案：大小为原来的4倍，面积为44）变式5线段CD是由线段AB平移得到的，点A（－1，4）的对应点为C （4，7），则点B（－4，－1）•的对应点的坐标为（）．A．（2，9）B．（5，3）C．（1，2）D．（－9，－4）（答案：C）变式6将点M（x，y）先向左平移a个单位长度，再向上平移b个单位长度后得到点N，则点N的坐标为．（答案：N（x－a，y + b））变式7 观察下面A 、B 、C 、D 四幅图案中，能通过图案（1）平移得到的是（ ）．（答案：C ）变式8 通过平移，可将图（1）中的福娃“欢欢”移动到图（ ）．（图1） A（答案：C ）7．1 与三角形有关的线段题目 如图，在三角形ABC 中，AE 是中线，AF 是高线，AD 是角平分线，（人教课本P 69 4题）（1）BE = =21 ； （2）∠BAD = =21 ； （3）∠AFB = = 90︒； （4）S △ABC = ．解 （1）BE = EC =21BC ． （2）∠BAD =∠DAC =21∠BAC ． （3）∠AFB =∠AFC = 90︒． （4）S △ABC =21BC ×AF ． 演变变式1 在△ABC 中，AE 平分∠BAC （∠C ＞∠B ）， AD 为边BC 上的一高，且∠B = 20︒，∠C = 30︒，求∠EFD 的度数．解 ∵ AE 平分∠BAC ，∴ ∠BAE =21∠BAC =21（180︒－∠C －∠B ）． ∵ AD 为边BC 上的高，∴ ∠BAD = 90︒－∠B ，∠EAD =∠BAD －∠BAE ， ∴ ∠EAD =21∠C －21∠B = 5︒．变式2 在△ABC 中，AE 平分∠BAC （∠C ＞∠B ）， AD 为边BC上的一(1) A B C D高，且∠B = x ，∠C = y ，求∠EFD 的度数．（答案：∠EFD =21y －21x ）变式3 在△ABC 中，AE 平分∠BAC （∠C ＞∠B ），F 为AE 上的一点，且FD ⊥BC 于D ，求∠EFD 与∠B ，∠C 的关系．（答案：∠EFD =21∠C －21∠B ）变式4 当点F 在AE 的延长线上时，其余条件不变， 求∠EFD 与∠B ，∠C 的关系．（答案：∠EFD =21∠C －21∠B ）变式5 当点F 在EA 的延长线上时，其余条件不变，求∠EFD 与∠B ，∠C 的关系．（答案：∠EFD =21∠C －21∠B ）7．2 与三角形有关的角题目 如图，BO 、CO 分别平分∠ABC 和∠ACB ．若∠A = 100︒， 求∠O 的度数．（人教课本P 91 9题） 解 ∵ C B BOC ∠-∠-︒=∠2121180= )180(21180)(21180A C B ∠-︒-︒=∠+∠-︒，∴ A BOC ∠+︒=∠2190．∴ 140=∠BOC ︒．演变变式1 如上图，BO 、CO 分别平分∠ABC 和∠ACB ．（1）若∠A = 60︒，求∠O ；（2）若∠O = 120︒，∠A 又是多少？（3）请求出∠O 与∠A 之间的关系． （答案：（1）当∠A = 60︒ 时，∠O = 120︒． （2）当∠O =120︒ 时，∠A = 80︒． （3）∠A 与∠O 的关系式为∠O = 90︒ +12∠A ）变式2 在△ABC 中，∠B 的平分线与∠C 的外角平分线相交于点O ． （1）若∠A = 60︒，求∠O ； （2）若∠O = 60︒，∠A 又是多少？ （3）请求出∠O 与∠A 之间的关系． （答案：（1）当∠A = 60︒ 时，∠O =12× 60︒ = 30︒． （2）当∠O = 60︒ 时，OE C B ACA OB∠A = 120︒． （3）∠A 与∠O 的关系式为∠O =12∠A ）变式3 如图，已知∠MON = 90︒，点A 、B 分别在射线OM 、ON 上移动，∠OAB 的内角平分线与∠OBA 的外角平分线所在直线交于点C ，试猜想：随着A 、B 点的移动，∠ACB 的大小是否变化？说明理由？（答案：随着A 、B 点的移动，∠ACB 的大小不变化，∠ACB = 45︒）变式4 在△ABC 中，∠B 的外角平分线与∠C 的外角平分线相交于点O ， （1）若∠A = 60︒，求∠O ；（2）若∠O = 100︒，∠A 又是多少？ （3）请求出∠O 与∠A 之间的关系．（答案：（1）当∠A = 60︒ 时，∠O = 90︒－12× 60︒ = 60︒． （2）当∠O = 100︒ 时，∠A = 20︒．（3）∠A 与∠O 的关系式为∠O －12∠A = 90︒．）变式5 如图，△ABC 中，∠A = 80︒，延长BC 到D ，∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1，∠A 1BC 与∠A 1CD 的平分线相交于A 2，依次类推，∠A 4BC 与∠A 4CD 的平分线相交于A 5，则∠A 5的度数为多少？再画下去……，∠A n 的大小呢？解 ∵ ∠ACD 为△ABC 的外角， ∴ ∠ACD =∠ABC +∠A ， 即 ∠ACD －∠ABC =∠A ． ∵ ∠A 1CD 为△A 1BC 的外角， ∴ ∠A 1CD －∠A 1BC =∠A 1．∵ BA 1，A 1C 分别平分∠ABC ，∠ACD ，∴ ∠A 1CD =12∠ACD ，∠A 1BC =12∠ABC ，∴12（∠ACD －∠ABC ）=∠A 1，即 ∠A 1 =12∠A ． 同理：∠A 2 =12∠A 1 =221∠A ； ∠A 3 =12∠A 2 =321∠A ；∠A 4 =12∠A 3 =421∠A ； ∠A 5 =12∠A 4 =521∠A ．所以 ∠A 5 =521∠A =5280． ∠A n =n 280．变式6 已知△ABC 中，① 如图（1），若P 点是∠ABC 和∠ACB 的角平12N B C O MA PB N AM C分线的交点，则∠P = 90︒ +21∠A ；② 如图（2），若P 点是∠ABC 和外角ACE 的角平分线的交点，则∠P = 90︒－∠A ；③ 如图（3），若P 点是外角∠CBF 和∠BCE 的角平分线的交点，则∠P = 90︒－21∠A ．上述说法正确的个数是（ ）． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3多边形的内角和题目 一个多边形的内角和等于1260︒，它是几边形？（人教课本P 855题） 解 九边形．点评 n 变形内角和 =（n －2）×180︒，外角和 = 360︒． 演变变式1 一个多边形的内角和与外角和的差是1800︒，则它的边数为 ．（答案：14）变式2 一个多边形的内角和不可能是（ ）．A ．360︒B ．720︒C ．520︒D ．1800︒（答案：C ）变式3 （2009年广西南宁）一个五边形木架的内角和是（ ） A ．720︒ B ．540︒ C ．360︒ D ．180︒（答案：B ）变式4 （2009年广州市）只用下列正多边形地砖中的一种，能够铺满地面的是（ ）A ．正十边形B ．正八边形C ．正六边形D ．正五边形（答案：C ）变式5 一个多边形的内角和是1440︒，那么过一个顶点可以引几条对角线？此多边形共有多少条对角线？解 设此多边形的变数为n ，则（n －2）×180︒ = 1440︒，解得 n = 10． ∵ 过n 边形的一个顶点可以引（n －3）条对角线， ∴ n －3 = 10－3 = 7．又 ∵ n 边形共有21n （n －3）条对角线， P E C B A C AB PPB N A M C∴21n （n －3）= 35． 变式6 一个正多边形的一个外角的度数是它对应内角度数的41，求此多边形的内角和．（答案：1440︒）变式7 求下列图形的中∠A +∠B +∠C +∠D +∠E 的度数．点评 多图一思路，将这五个角的和转化为三角形的内角和，均为180︒． 变式8 求下列图形的中∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F 的度数．（答案：360︒，360︒）变式9 （2009年北京市）若一个正多边形的一个外角是40︒，则这个正多边形的边数是（ ） （答案：B ）A ．10B ．9C ．8D ．68．2 二元一次方程组的解法题目 解方程组：⎩⎨⎧=+=+4332b a b a （人教课本P 1033（2）题）（答案：⎩⎨⎧==11b a ） 演变 变式1解方程组：⎩⎨⎧=+-=+-75212b a b a （答案：⎩⎨⎧==11b a ）A B C D E FA BC DE F CA B D E C A D B EE变式2 已知⎩⎨⎧-==24y x 和⎩⎨⎧-=-=52y x 都满足等式y = kx + b ．① 求k 、b 的值；② 求x = 8时，y 的值，③ x 为多少时，y = 3 ?（答案： ①⎩⎨⎧-==45.0b k ② y = 0 ③ x = 14）变式3 甲、乙两人同解 方程组⎩⎨⎧-=-=+232y cx by ax ，甲同学正确解为⎩⎨⎧-==11y x ，乙同学因为抄错c ，解得⎩⎨⎧-==62y x ，求a 、b 、c 的值．（答案：a = 2.5，b = 0.5，c =－5）变式4 已知关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧-=+=-225413by ax y x 与⎩⎨⎧=--=-8432by ax y x 有相同的解，求a 、b 的值． （答案：x = 1，y = 2 或 a = 2，b =－3）变式5 以方程组⎩⎨⎧=--=+752132y x y x 为模型编一道应用题． （答案：略）变式6 （2009，福州）二元一次方程组2,x y x y +=⎧⎨-=⎩的解是（ ） （答案：C ）A ．0,2.x y =⎧⎨=⎩ B ．2,0.x y =⎧⎨=⎩ C ．1,1.x y =⎧⎨=⎩ D ．1,1.x y =-⎧⎨=-⎩ 变式7 （2009，宁波）以方程组21y x y x =-+⎧⎨=-⎩的解为坐标的点(,)x y 在平面直角坐标系中的位置是（ ）（答案：A ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 变式8 （2009，白色）已知21x y =⎧⎨=⎩是二元一次方程组71ax by ax by +=⎧⎨-=⎩的解，则a b-的值为（ ） （答案：B ）A ．1B ．－1C ．2D ．3变式9 （2009，东营）若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+k y x ,k y x 95的解也是二元一次方程632=+y x 的解，则k 的值为 （ ）（答案：B ）A ．43- B ．43C ．34 D ．34-变式10 （2009，定西）方程组25211x y x y -=-⎧⎨+=⎩，的解是 ． （答案:34x y =⎧⎨=⎩，）8．2 二元一次方程组的解法题目 一个长方形的长减少5 cm ，宽增加2 cm 就成为一个正方形，并且这两个图形的面积相等，求这个长方形的长宽各是多少？（人教课本P 1049题）解 设长方形的长为x cm ，宽为y cm ．由题意，得⎩⎨⎧=+-+=-xyy x y x )2)(5(25 解得 x =325，y =34．答：略点评 根据题意，问什么就设什么，再把中文语言翻译成数学语言，或者找题目中的等式．演变变式1 一个长方形，长减少6宽增加3，或长增加4，宽减少1，面积都与原长方形面积相等，求原长方形的长和宽？解 设原长方形的长为x ，宽为y ．有题意，得 ⎩⎨⎧=-+=+-xyy x xyy x )1)(4()3)(6( 化简，得⎩⎨⎧=-=-xyx y y x 462 解得⎩⎨⎧==516y x 答：略．变式2 一个长方形长减少1厘米，宽增加3厘米，所得的正方形比原来的长方形的面积大21平方厘米，求原长方形的长和宽各是多少厘米？解 设原长方形的长为x ，宽为y ．有题意，得 ⎩⎨⎧+=+-+=-21)3)(1(31xy y x y x化简，得⎩⎨⎧=-=-2434x y y x 解得 ⎩⎨⎧==610y x答：略．变式3 某汽车运输队，要在规定的天数内运完一批货物，如果减少6辆汽车则要再运3填才能完成任务，如果增加4辆汽车，可提前1天完成任务，那么这个汽车运输队原有汽车多少辆？原规定运完的天数是多少？解 设汽车运输队原有汽车x 辆，原规定运完的天数是y 天．由题意得 ⎩⎨⎧=-+=+-xyy x xy y x )1)(4()3)(6( 解得 ⎩⎨⎧==516y x 答：略．8．3 实际问题与二元一次方程组题目 如图，8每块长方形地砖的长和宽分别是多少？解 设每块长方形地砖的长和宽分别为x ，y ．由题意，得⎩⎨⎧==+xy y x 360 解得⎩⎨⎧==1545y x 答：每块长方形地砖的长为45，宽为15．点评 此类题要根据数形结合思想解题，要设小长方形的长和宽分别为所求量．演变变式1 如图，8块相同的长方形地砖拼成一个长方形， 求大长方形地砖的长和宽分别是多少？解 设每块长方形地砖的长和宽分别为x ，y ．由题意，得⎩⎨⎧==+x y y x 3603 解得⎩⎨⎧==1030y x ∴ x + 3y = 60，x + y = 40．答：大长方形地砖的长为60，宽为40．变式2 某单位为了提高绿化品味，美化环境，准备将一块周长为76 m 的长方形草地设计分成长和宽分别相等的9块小长方形（分布位置如图所示），种上各色花卉，经市场预测，绿化每平方米来造价（其中已含全部费用）约为108元．求每一个小长方形的长和宽；请计算完成这块绿化 工程预计投入资金多少元？ 解 设每块长方形地砖的长和宽分别为x ，y ． 由题意，得 ⎩⎨⎧==+x y y x 257694 解得 ⎩⎨⎧==410y x 20×18×108 = 38880元．答：每块长方形地砖的长为10 m ，宽为4 m ． 完成这块绿化工程预计投入资金38880元．变式3 小颖在拼图时，发现8个一样大小的长方形如图1所示），恰好可以拼成一个大的长方形．小彬看见了，说：“我来试一试．”结果小彬七拼八凑，拼成如图2那样的正方形．咳，怎么中间还留下一个洞，恰好是边长2 mm的小正方形！①每块长方形地砖的长和宽分别是多少？②正方形的面积是多少？解设每块长方形地砖的长和宽分别为x，y．由题意，得⎩⎨⎧==+xyyx3522解得⎩⎨⎧==610yx所以22×22 = 484．答：每块长方形地砖的长为10 mm，宽为6 mm．正方形的面积是484．变式4 （2009，漳州）为了防控甲型H1N1流感，某校积极进行校园环境消毒，购买了甲、乙两种消毒液共100瓶，其中甲种6元∕瓶，乙种9元∕瓶．（1）如果购买这两种消毒液共用780元，求甲、乙两种消毒液各购买多少瓶？（2）该校准备再次．．购买这两种消毒液（不包括已购买的100瓶），使乙种瓶数是甲种瓶数的2倍，且所需费用不多于．．．1200元（不包括780元），求甲种消毒液最多能再购买多少瓶？解（1）设甲种消毒液购买x瓶，则乙种消毒液购买（100－x）瓶．依题意，得6x + 9（100－x）= 780，解得x = 40．所以100－x = 60（瓶）．答：甲种消毒液购买40瓶，乙种消毒液购买60瓶．另法设甲种消毒液购买x瓶，乙种消毒液购买y瓶．依题意，得10069780x yx y+=⎧⎨+=⎩，．解得4060xy=⎧⎨=⎩，．答：甲种消毒液购买40瓶，乙种消毒液购买60瓶．（2）设再次购买甲种消毒液y瓶，刚购买乙种消毒液2y瓶．依题意，得6921200y y+⨯≤．解得50y≤．答：甲种消毒液最多再购买50瓶．变式5 （2009，宁德）某刊物报道：“2008年12月15日，两岸海上直航、空中直航和直接通邮启动，‘大三通’基本实现．‘大三通’最直接好处是省时间和省成本，据测算，空运平均每航次可节省4小时，海运平均每航次可节省22小时，以两岸每年往来合计500万人次计算，则共可为民众节省2900万小时……”根据文中信息，求每年采用空运和海运往来两岸的人员各有多少万人次．解 设每年采用空运往来的有x 万人次，海运往来的有y 万人次，依题意得⎩⎨⎧=+=+.2900224,500y x y x 解得 ⎩⎨⎧==.50,450y x 答：每年采用空运往来的有450万人次，海运往来的有50万人次． 变式6 （2009，云南）在“家电下乡”活动期间，凡购买指定家用电器的农村居民均可得到该商品售价13%的财政补贴．村民小李购买了一台A 型洗衣机，小王购买了一台B 型洗衣机，两人一共得到财政补贴351元，又知B 型洗衣机售价比A 型洗衣机售价多500元．求：（1）A 型洗衣机和B 型洗衣机的售价各是多少元？（2）小李和小王购买洗衣机除财政补贴外实际各付款多少元？ 解 （1）设A 型洗衣机的售价为x 元，B 型洗衣机的售价为y 元，则据题意，可列方程组5001313351.y x x y -=⎧⎨%+%=⎩， 解得 11001600.x y =⎧⎨=⎩，∴ A 型洗衣机的售价为1100元，B 型洗衣机的售价为1600元． （2）小李实际付款为：1100（1－13%）= 957（元）； 小王实际付款为：1600（1－13%）= 1392（元）．∴小李和小王购买洗衣机各实际付款957元和1392元．变式7 （2009，济南）自2008年爆发全球金融危机以来，部分企业受到了不同程度的影响，为落实“促民生、促经济”政策，济南市某玻璃制品销售公司今年1月份调整了职工的月工资分配方案，调整后月工资由基本保障工资和计件奖励工资两部分组成（计件奖励工资=销售每件的奖励金额×销售的件数）．下表是甲、乙两位职工今年五月份的工资情况信息：（1）试求工资分配方案调整后职工的月基本保障工资和销售每件产品的奖励金额各多少元？（2）若职工丙今年六月份的工资不低于2000元，那么丙该月至少应销售多少件产品？解（1）设职工的月基本保障工资为x元，销售每件产品的奖励金额为y 元．由题意得20018001801700x yx y+=⎧⎨+=⎩解这个方程组得8005xy=⎧⎨=⎩答：职工月基本保障工资为800元，销售每件产品的奖励金额5元．（2）设该公司职工丙六月份生产z件产品．由题意得80052000z+≥，解这个不等式得240z≥．答：该公司职工丙六月至少生产240件产品．变式8 如图，在3×3的方阵图中，填写了一些数和代数式（其中每个代数式都表示一个数），使得每行的3个数、每列的3个数、斜对角的3个数之和均相等．（1）求x ，y 的值；（2）在备用图中完成此方阵图． 解 （1）由题意，得34232234.x x y y x y x x ++=++-⎧⎨-+-=++⎩， 解得 12.x y =-⎧⎨=⎩，（2）如图9．1 不等式题目 设a ＞b ，用“＜”或“＞”填空．（人教课本P 1287题） （1）2a －5 2b －5 （答案：＞）（2）－3.5b + 1 －3.5a + 1 （答案：＜）点评 先根据不等式的性质2和3，再根据不等式的性质1填．性质1：不等式的两边都加上（或都减去）同一个数，不等号的方向 ；性质2：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个正数，不等号的方向 ； 性质3：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个负数，不等号的方向 ．演变变式1 如果a ＜b ＜0，下列正确的是（ ）．A ．a 1＜b 1 B ．ab ＜1 C ．b a ＜1 D ．ba ＞1 （答案：D ）变式2 （2009柳州）若b a <，则下列各式中一定成立的是（ ）A ．11-<-b aB ．33b a > C ． b a -<- D ． bc ac <（答案：A ）–23 4(备用图)2y –x–2 3 4 x ya bc–2 3 4 –1 6 152变式3 （2009年牡丹江市）若01x <<，则21x x x，，的大小关系是（ ） （答案：C ）A ．21x x x <<B ．21x x x <<C ．21x x x << D ．21x x x<< 变式4 （09湖北宜昌）如果ab ＜0，那么下列判断正确的是（ ）（答案：D ）A ．a ＜0，b ＜0B ．a ＞0，b ＞0C ．a ≥0，b ≤0D ．a ＜0，b ＞0或a ＞0，b ＜0变式5 如果2c a ＜2cb，那么（ ）．A ．a ＜bB ．a ＞bC ．a ≤bD ．a = b（答案：A ）变式6 （1）若a ＜b 且c ＞0，则ac + c bc + c ； （2）a ＞0，b ＜0，c ＜0，则（a －b ）c 0．（答案：（1）＜ （2）＜）变式7 若不等式3x －m ＜0的正整数解共有2个，求m 的取值范围．解 3x －m ＜0，x ＜3m ． ∵ 2＜3m≤3，∴ 6＜m ≤9．变式8 若关于x 的方程3x + 3k = 2的解事正数，求k 的取值范围． 解 ∵ x =332k -，∴ 332k -＞0，k ＜32． 变式9 已知关于x 的方程2x －3 =－a 的解是不等式5（x －2）－7＜6（x－1）－8的一个解，求a 的取值范围． （答案：a ＜9）变式10 解关于x 的不等式：ax －b ＜0．解 ① 当a ＞0时，x ＜ab ； ② 当a = 0时，b ≤0时，无解； ③ 当a = 0时，且b ＜0时，实数； ④ 当a ＜0时，x 大于ab ．变式11 解关于x 的不等式：（21－a ）x ＞1－2a ． 解 原不等式可化为（1－2a ）x ＞2（1－2a ），（1）当a ＞21时，x ＜2；（2）当a =21时，无解；（3）当a ＜21时，x ＞2．变式12 若不等式mx －2＜3x + 4的解集是x ＞36-m ，求m 的取值范围． 解 由mx －2＜3x + 4 得（m －3）x ＜6． ∵ （m －3）x ＜6的解集是x ＞36-m ， ∴ m －3＜0， ∴ m ＜3．不等式组题目 当x 时取哪些整数时，2≤3x －7＜8成立？（人教课本P 1428题）解 原不等式可化为⎩⎨⎧<--≤,873,732x x 解得 ⎩⎨⎧<≥,5,3x x ∴ 3≤x ＜5． ∵ x 为整数，∴ x = 3，4．点评 这是关于x 的双联不等式，它相当于解不等式组⎩⎨⎧-≥-873273＜x x ．演变变式1 求不等式组⎩⎨⎧--≥-x x x 782093＜的最小整数解．（答案：3）变式2 已知方程组⎩⎨⎧+=++=+m y x my x 1313 的解满足x 与y 的和是非负数，求m 的取值范围．解 将两个方程相加，得 4（x + y ）= 2（m + 1），即 x + y =21+m ． ∵ x + y ≥0，∴ 21+m ≥0，∴ m ≥－1．另解 把m 看成常数，解x 、y 的二元方程组，解得x =41+m ，y =41+m ，再把x =41+m ，y =41+m 代如x + y ≥0中解m 的值．变式3 当k 为何值时，方程组⎩⎨⎧-=+=-5253y x ky x 的解x 是正数，y 是负数？解 由已知方程组得x =1325-k ， 13152+-=k y ．由题意，得 1325-k ＜0 且 13152+k ＞0，解得 k ＜－215．变式4 若关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧-=++=-52223m y x m y x 中的x 的值大于719，y 的值不大于－1，求m 的整数值．解 由已知方程组，得 x =783-m ，y =719-m ． 由题意得 783-m ＞719 且 719-m ≤－1，解得⎩⎨⎧≤129m m ＞∴ 9＜m ≤12，因此整数m 的值为m = 10，11，12．变式5 解不等式组 ⎩⎨⎧>--<+-.0),1(213k x x x解 原不等式组可化为 ⎩⎨⎧>>.,5k x x ① 当k ≤5时，解为x ＞5．② 当k ＜5时，解为x ＞k ．变式6 把一些书分给几个学生．如果没人分3本，那么余6本；如果前面的每个学生分5本，那么最后一人就分不到3本．问这些书有多少本？学生有多少人？解 设学生人数为x 人，书友（3x + 8）本． 由题意，得 5（x －1）≤3x + 8＜5（x －1）+ 3， 解得 x = 6，3x + 8 = 26．变式7 先阅读，再解不等式12-x x＞1．解 12-x x －1＞0，即121--x x＞0，则有 ① ⎩⎨⎧--01201＞＞x x 或 ② ⎩⎨⎧--01201＜＜x x 解 ① 得21＜x ＜1；② 无解．∴ 原不等式的解为21＜x ＜1．请根据以上思想方法解不等式：223-+x x ＜2．解223-+x x －2＜0，即26-+x x ＜0 则有 ① x + 6＞0且x －2＜0， 或 ② x + 6＜0且 x －2＞0． 解 ① 得－6＜x ＜2；② 无解． ∴ 原不等式的解集为 －6＜x ＜2．变式7 （2009恩施市）如果一元一次不等式组3x x a >⎧⎨>⎩的解集为3x >．则a 的取值范围是（）（答案：C ）A ．3a >B ．a ≥3C ．a ≤3D ．3a <变式8 （2009年重庆市江津区）不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤<-15112x xx 的解集在数轴上表示正确的是 （ ）（答案：C ）变式9 （2009湖北省荆门市）若不等式组0,122x a x x +⎧⎨->-⎩≥有解，则a 的取值范围是（ ）（答案：A ）A ．1a >-B ．1a -≥C ．1a ≤D ．1a <变式10 （2009烟台市）如果不等式组2223xa xb ⎧+⎪⎨⎪-<⎩≥的解集是01x <≤，那么a b +的值为．（答案：1）统计调查题目为了解全校学生的平均身高，小明调查了座在自己旁边的3位同学，把他们的平均身高作为全校学生的平均身高的估计．（1）小明的调查是抽样调查吗？（2）如果是抽样调查，指出总体、个体、样本、样本容量．（3）这个调查结果能够较好的反映总体的情况吗？（人教课本P1551题）解（1）小明的调查是抽样调查．（2）总体：全校学生的平均身高；个体：每个学生的身高；样本：被调查德3位同学的身高；样本容量：3．（3）不能够．点评考查全体对象的调查就叫做全面调查，抽样调查：抽取一部分对象进行调查的方法，叫抽样调查，总体：所要考察对象的全体，个体：总体的每一个考察对象叫个体，样本：抽取的部分个体叫做一个样本，样本容量：样本中个体的数目，抽样的注意事项：①抽样调查要具有广泛性和代表性，即样本容量要恰当；②抽取的样本要有随机性，一般情况下，样本容量越大，估计精确度就越高．演变变式1为了了解某中学七年级600名学生的体重情况，从中抽查了50名学生的体重进行统计分析，在这个问题中总体是指（）．A． 600名学生B．取的50名学生C．七年级600名学生的体重D．被抽取的50名学生的体重（答案：C）变式2一次数学考试考生约12万名，从中抽取5000名考生的数学成绩进行分析，在这个个问题中，样本指的是（）．A．5000 B．5000名考生的数学成绩C．12万名考生的数学成绩D．5000名考生（答案：B）变式3下列调查工作需采用的普查方式的是（）．A．环保部门对淮河某段水域的水污染情况的调查B．电视台对正在播出的某电视节目收视率的调查C．质检部门对各厂家生产的电池使用寿命的调查D．企业在给职工做工作服前进行的尺寸大小的调查（答案：D）变式4为了了解某种矿泉水含钠是否超标进行的调查是调查．（答案：抽样）变式5如图，甲、乙两所学校，其中男女生情况可见下列统计图，甲学校有1000人，乙有1250人，则（）．A．甲校的女生比乙校的女生多B．甲校的女生比乙校的女生少C．甲校与乙校的女生一样多D．甲校与乙校男生共是2250人（答案：C）变式6池塘中放养了鲤鱼10000条，鲢鱼若干，在几次随机捕捞中，共抓到鲤鱼400条，鲢鱼320条，估计池中放养了鲢鱼___________条．（答案：8000条）变式7 （2009年宁波市）下列调查适合作普查的是（）．A．了解在校大学生的主要娱乐方式B．了解宁波市居民对废电池的处理情况C．日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命D．对甲型H1N1流感患者的同一车厢的乘客进行医学检查（答案：D）变式8（2009年义乌）下列调查适合作抽样调查的是（）．A．了解义乌电视台“同年哥讲新闻”栏目的收视率B．了解某甲型H1N1确诊病人同机乘客的健康状况C．了解某班每个学生家庭电脑的数量D．“神七”载人飞船发射前对重要零部件的检查（答案：A）变式9 （2009年河南）下列调查适合普查的是（）．A．调查2009年6月份市场上某品牌饮料的质量B．了解中央电视台直播北京奥运会开幕式的全国收视率情况C．环保部门调查5月份黄河某段水域的水质量情况D．了解全班同学本周末参加社区活动的时间（答案：D）变式10 （2009年湘西自治州）要了解一批电视机的使用寿命，从中任意抽取40台电视机进行试验，在这个问题中，40是（）．A．个体B．总体C．样本容量D．总体的一个样本（答案：C）。
人教版七年级《数学》下册变式题
人教版七年级《数学》下册变式题一、课本题典用加减法解下列方程组：( 人教版七年级《数学》下册第103页3（2）)分析：方程组中两个方程的未知数b的系数都是1，故把两个方程相减，可消掉未知数b，得关于a的一元一次方程，解出未知数α的值，进而解出未知数b。
解：②－①得：α=1将α=1代入方程①得：b=1∴点评：方程组中同一个未知数的系数相等或互为相反数时，用减法或加法消去该未知数；方程组中同一个未知数的系数的绝对值不等时，将该未知数的系数变成最小公倍数，再用加减法消去该未知数。
演变：变式1：解方程组（1）（2）答案：（1）（2）变式2：已知和都满足等式y=KX+b（1）求K、b的值；（2）求X=8时，y的值；（3）X为多少时，y=3？答案：（1）（2）y=0 （3）X=143：甲、乙两人同解方程组甲正解解为X－2y=33X—8y=132α+b=3①3α+b=4②α=1b =1X＋2y=13X－2y=11X=3y=－1X= —1y= －2X=4y=－2X=－2y=－5K=0.5b=－4αx+by=2CX－3y=－2X=1y =－1乙因为抄错C ，解得求α、b 、 C 的值；答案：α=2.5；b=0.5；C =－5方程组 的解共有组。
答案：4。
已知（X －y+1）2 +|2X+y －7|=0，则X 2－3xy+2y 2值为（ ）A.0B.4C.6D.12答案：B变式4 以方程组 的解为坐标的点（X 、y ）在平面直角坐标系中的位置是（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案：A 。
二、动手演绎题目：一个长方形的长减少5cm ，宽增加2cm ，就成为一个正方形，并且这两个图形的面积相等，这个长方形的长、宽各是多少？（人教课本P104 9）分析：如图设长AB=X cm ；宽BC=y cm ；直接利用长方形、正方形面积相等得方程（X －5）（y+2）=XY 但学生未学多项式乘法，不会化简（X －5）（y+2） B y CX=2y=－6|X+y|+|x|=42|X+y|+3|X|=9y=－x+2y=X －1A D可根据长方形EBCF 的面积等于长方形DFGH 的面积，列方程2（X －5）=5y ，进而列出二元一次方程组根据题意，问什么就设什么，再把中文语言翻译成数学语言，或者找题目中的等式。
数学七年级教材下册变式题终审稿)
数学七年级教材下册变式题公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]七年级下册 · 课本亮题拾贝5．1 相交线题目 如图，直线AB ，CD 相交于点O ，∠EOC = 70，OA 平分∠EOC ，求∠BOD的度数．（人教课本P 97题）解 ∵ OA 平分∠EOC ， ∴ ∠AOC =21∠EOC = 35． 又 ∵∠BOD =∠AOC ， ∴ ∠BOD = 35．点评 由角平分线定义如AD 是∠BAC 的角平分线，得∠BAD =∠CAD =21∠BAC ．演变变式1 已知直线AB 与CD 相交于O ，OB 平分∠COE ，FO ⊥AB ，∠EOF =120，求∠AOD 的度数．（答案：30）变式2 已知直线AB 与CD 相交于O ，OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，且∠BOF = 40，求∠EOD 的度数．（答案：140）变式3 已知AB ⊥CD 于O ，直线EF 过点O ，∠AOE = 25，求∠COF 的度数．（答案 65）变式4 已知∠AOB 是直角，且∠AOC = 40，OM 平分∠BOC ，ON 平分∠AOC ，求∠MON 的度数．解 ∵ ∠AOB = 90，∠AOC = 40， ∴ ∠BOC = 130．∵ OM 平分∠BOC ，ON 平分∠AOC ，∴ ∠MOC =21∠BOC = 65，∠AON =∠NOC =21∠AOC = 20，∴ ∠MON =∠MOC －∠AON = 45．变式5 在变式4 中，当∠AOB =，其它条件不变时，求∠MON 的度数．（答案：21）变式6 在变式4 中，当∠AOC =，其它条件不变时，求∠MON 的度数，从中你得出了什么结论（答案：45）E A CD BOA B F C D EOA B ECDF COBM A N点评 通过变换∠AOB 和∠AOC 的度数可以发现，∠MON 的度数大小只与∠AOB 的度数大小有关，而与∠AOC 的度数无关．5．2 平行线及其判定题目 如图，AB ∥CD ∥EF ，那么∠BAC +∠ACE +∠CEF =（ ）．（人教课本P 236（2）题）A ．180B ．270C ．360D ．540解 这是平行线性质的应用，利用“两直线平行，同旁内角互补”，可以得到∠BAC +∠ACE +∠CEF = 360，故选C ．其中，CD 在解题中起了非常重要的一个“桥梁”的作用．演变 变式1 （2008年广安）如图，AB ∥CD ，若∠ABE = 120，∠DCE = 35，则有∠BEC =________度．解 过点E 作EF ∥AB ．由于 ∠ABE = 120，所以 ∠FEB = 60．（两直线平行，同旁内角互补）又由于 ∠DCE = 35，所以 ∠FEC = 35，（两直线平行，内错角相等） 所以 ∠BEC =∠FEB +∠FEC = 60 + 35 = 95． 变式2 （2008年成都）如图，已知直线AB ∥CD ， ∠ABE = 60，∠CDE = 20，则∠BED = 度．（提示：过点E 作EF ∥AB ，则可得∠BED = 80） 变式3 （2008年十堰）如图，已知AB ∥CD ， ∠A = 50，∠C = 20，则∠P = ．（提示：过点P 作AB 与CD 的平行线，即可得解，∠P = 35）变式4 已知直线AB 与CD 的平行线，下列结论正确的是（ ）． A ．∠A +∠P +∠C = 180 B ．∠A +∠P +∠C = 360 C ．∠A +∠C = 2∠P D ．∠A +∠C =∠P（答案：D ）变式5 （2009年湘西自治州）如图，l 1∥l 2，∠1 = 120°，∠2 = 100°，则∠3 =（ ）（答案：A ）A ．20°B ．40°C ．50°D ．60°BADCPAB ECD F EA B D FCABCD E2 3l变式6 如图，AB ∥CD ，分别写出下面四个图形中∠A 与∠P 、∠C 的关系，请你从所得到的关系中任选一图的结论加以证明．．．．．．．．．．． ACDBPACDBPACDB PACDB P（1） （2） （3） （4）（答案：（1）∠A +∠C =∠P （2）∠A +∠C +∠P = 360 （3）∠A =∠C +∠P （4）∠C =∠A +∠P ）点评 随着折点的不同变化，结论也会不同，但解法却如出一辙，都是过折点作平行线求解．还有其它的几种变式，请同学们自己探究．（结论：左边的角=右边的角）平行线的性质题目 如图，a ∥b ，∠1 = 80，∠5 = 70，求∠2，∠3，∠4的度数．（人教课本P 233题）（答案：∠2 = 80，∠3 = 110，∠4 = 110）点评 两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补． 演变变式1 如图，若 ∠1 =（2x －50），∠2 =（平行吗（答案：平行）变式2（2009江西）如图，直线m n ∥，︒∠1=55，︒∠2=45，则∠3的度数为（ ）A ．80︒B ．90︒C ．100︒D ．110︒2 1（答案：D）变式3 若∠1 =（3x－30），∠2 =（210－3x），则a与b平行吗（答案：平行）变式4 若∠1为其补角的3倍，∠2等于其余角，则a与b平行吗（答案：平行）变式5 若∠1 =（50－2x），∠2 =（180－3x），要使a与b平行，则x为多少度（答案：x = 10）6．1 平面直角坐标系题目在平面直角坐标系中点的横、纵坐标满足：①点P（x，y）的坐标xy ＞0；②点P（x，y）的坐标xy＜0，求点P在第几象限．（人教课本P4610题）解①点P在第一、三象限；②点P在第二、四象限）点评点的横、纵坐标满足：第一象限正正；第二象限负正；第三象限负负；第四象限正负．演变变式1 若点P（1，2x）在第四象限内，求x的取值范围．（答案：x＜0）变式2 若点P（x，1－2x）的横、纵坐标互为相反数，则点P一定在．（答案：第四象限）变式3 已知点P（x，y），且x，y满足（x + 1）2 +｜y－2｜= 0，求点P在第几象限．（答案：第二象限）变式4 已知点P（x，y）在第二象限，且｜x｜－2 = 0，y 2－4 = 0，求点P 的坐标．（答案：P（－2，2））变式5 已知点P（x，y）的坐标满足xy = 0，则点P在．（答案：坐标轴上）变式6 已知点P（x + 2，x + 1）在平面直角坐标系的y轴上，则点P的坐标为．（答案：P（0，－1））变式7 已知点P（x，y），则P到x轴得距离是；到y轴得距离是．（答案：｜y｜，｜x｜）6．2 坐标方法的简单应用题目已知三角形ABC的坐标为A（－2，3），B（－4，－1），C（2，0），三角形ABC中任意一点P（x，y）经平移后对应点P′（x + 5，y + 3），将三角形ABC作同样的平移得到三角形A′B′C′，求A′、B′、C′的坐标．（人教课本P557题）解A′（3，6）、B′（1，2）、C′（7，3）．点评在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右（或左）平移a个单位长度，可以得到对应点（x + a，y）（或x－a，y）；将点（x，y）向上（或下）平移b个长度，可以得到对应点（x，y + b）或（x，y－b）．演变变式1 已知三角形ABC的坐标不变，求三角形ABC和三角形A′B′C′的面积大小．（答案：8和8）变式2 将三角形ABC的横坐标保持不变，纵坐标分别乘以－1，所得的新三角形与原三角形ABC相比有什么变化（答案：现状和大小不变，只是位置变了，他们关于x轴对称）变式3 将三角形ABC的横坐标分别变为原来的2倍，纵坐标保持不变，所得的新三角形与原三角形ABC相比有什么变化（答案：原三角形ABC被横向拉长为原来的2倍，面积为22）变式4 横、纵坐标分别变为原来的2倍，所得的新三角形与原三角形ABC相比有什么变化（答案：大小为原来的4倍，面积为44）变式5 线段CD是由线段AB平移得到的，点A（－1，4）的对应点为C（4，7），则点B（－4，－1）•的对应点的坐标为（）．A．（2，9） B．（5，3） C．（1，2） D．（－9，－4）（答案：C）变式6 将点M（x，y）先向左平移a个单位长度，再向上平移b个单位长度后得到点N，则点N的坐标为．（答案：N（x－a，y + b））变式7 观察下面A、B、C、D四幅图案中，能通过图案（1）平移得到的是（）．（答案：C）(1)A B C D变式8 通过平移，可将图（1）中的福娃“欢欢”移动到图（ ）．（图1） A（答案：C ）7．1 与三角形有关的线段题目 如图，在三角形ABC 中，AE 是中线，AF 是高线，AD 是角平分线，（人教课本P 69 4题）（1）BE = =21 ； （2）∠BAD = =21 ； （3）∠AFB = = 90； （4）S △ABC = ．解 （1）BE = EC =21BC ． （2）∠BAD =∠DAC =21∠BAC ． （3）∠AFB =∠AFC = 90． （4）S △ABC = 21BC ×AF ．演变变式1 在△ABC 中，AE 平分∠BAC （∠C ＞∠B ）， AD 为边BC 上的一高，且∠B = 20，∠C = 30，求∠EFD 的度数．解 ∵ AE 平分∠BAC ，∴ ∠BAE =21∠BAC =21（180－∠C －∠B ）． ∵ AD 为边BC 上的高，∴ ∠BAD = 90－∠B ，∠EAD =∠BAD －∠BAE ， ∴ ∠EAD =21∠C －21∠B = 5．变式2 在△ABC 中，AE 平分∠BAC （∠C ＞∠B ）， AD 为边BC 上的一高，且∠B = x ，∠C = y ，求∠EFD 的度数．（答案：∠EFD =21y －21x ）变式3 在△ABC 中，AE 平分∠BAC （∠C ＞∠B ），F 为AE 上的一点，且FD ⊥BC 于D ，求∠EFD 与∠B ，∠C 的关系．（答案：∠EFD =21∠C －21∠B ）变式4 当点F 在AE 的延长线上时，其余条件不变， 求∠EFD 与∠B ，∠C 的关系．（答案：∠EFD =21∠C －21∠B ）变式5 当点F 在EA 的延长线上时，其余条件不变，求∠EFD 与∠B ，∠C 的关系．（答案：∠EFD =21∠C －21∠B ）7．2 与三角形有关的角题目 如图，BO 、CO 分别平分∠ABC 和∠ACB ．若∠A = 100， 求∠O 的度数．（人教课本P 91 9题）解 ∵ C B BOC ∠-∠-︒=∠2121180= )180(21180)(21180A C B ∠-︒-︒=∠+∠-︒，∴ A BOC ∠+︒=∠2190．∴ 140=∠BOC ．演变 变式1 如上图，BO 、CO 分别平分∠ABC 和∠ACB ．（1）若∠A = 60，求∠O ； （2）若∠O = 120，∠A 又是多少（3）请求出∠O 与∠A 之间的关系． （答案：（1）当∠A = 60 时，∠O = 120． （2）当∠O =120 时，∠A =80． （3）∠A 与∠O 的关系式为∠O = 90 +12∠A ）变式2 在△ABC 中，∠B 的平分线与∠C 的外角平分线相交于点O ． （1）若∠A = 60，求∠O ； （2）若∠O = 60，∠A 又是多少 （3）请求出∠O 与∠A 之间的关系．（答案：（1）当∠A = 60 时，∠O = 12× 60 = 30． （2）当∠O = 60 时，∠A = 120． （3）∠A 与∠O 的关系式为∠O =12∠A ）变式3 如图，已知∠MON = 90，点A 、B 分别在射线OM 、ON 上移动，∠OAB 的内角平分线与∠OBA 的外角平分线所在直线交于点C ，试猜想：随着A 、B 点的移动，∠ACB 的大小是否变化说明理由（答案：随着A 、B 点的移动，∠ACB 的大小不变化，∠ACB = 45）OEC B ACA OBB A C1 N B C变式4 在△ABC 中，∠B 的外角平分线与∠C 的外角平分线相交于点O ， （1）若∠A = 60，求∠O ；（2）若∠O = 100，∠A 又是多少 （3）请求出∠O 与∠A 之间的关系．（答案：（1）当∠A = 60 时，∠O = 90－12× 60 = 60． （2）当∠O = 100 时，∠A = 20．（3）∠A 与∠O 的关系式为∠O －12∠A = 90．）变式5 如图，△ABC 中，∠A = 80，延长BC 到D ，∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1，∠A 1BC 与∠A 1CD 的平分线相交于A 2，依次类推，∠A 4BC 与∠A 4CD 的平分线相交于A 5，则∠A 5的度数为多少再画下去……，∠A n 的大小呢解 ∵ ∠ACD 为△ABC 的外角， ∴ ∠ACD =∠ABC +∠A ， 即 ∠ACD －∠ABC =∠A ． ∵ ∠A 1CD 为△A 1BC 的外角， ∴ ∠A 1CD －∠A 1BC =∠A 1．∵ BA 1，A 1C 分别平分∠ABC ，∠ACD ，∴ ∠A 1CD =12∠ACD ，∠A 1BC =12∠ABC ， ∴ 12（∠ACD －∠ABC ）=∠A 1，即 ∠A 1 =12∠A ．同理：∠A 2 =12∠A 1 =221∠A ； ∠A 3 =12∠A 2 =321∠A ； ∠A 4 =12∠A 3 =421∠A ； ∠A 5 =12∠A 4 =521∠A ．所以 ∠A 5 =521∠A =5280． ∠A n =n 280．变式6 已知△ABC 中，① 如图（1），若P 点是∠ABC 和∠ACB 的角平分线的交点，则∠P = 90 +21∠A ；② 如图（2），若P 点是∠ABC 和外角ACE 的角平分线的交点，则∠P = 90－∠A ；③ 如图（3），若P 点是外角∠CBF 和∠BCE 的角平分线的交点，则∠P = 90－21∠A ．上述说法正确的个数是（ ）．A ．0B ．1C ．2D ．3PECBACA B PPBNA MC多边形的内角和题目 一个多边形的内角和等于1260，它是几边形（人教课本P 855题） 解 九边形．点评 n 变形内角和 =（n －2）×180，外角和 = 360． 演变变式1 一个多边形的内角和与外角和的差是1800，则它的边数为 ．（答案：14）变式2 一个多边形的内角和不可能是（ ）．A ．360B ．720C ．520D ．1800（答案：C ）变式3 （2009年广西南宁）一个五边形木架的内角和是（ ） A ．720 B ．540 C ．360 D ．180（答案：B ）变式4 （2009年广州市）只用下列正多边形地砖中的一种，能够铺满地面的是（ ）A ．正十边形B ．正八边形C ．正六边形D ．正五边形（答案：C ）变式5 一个多边形的内角和是1440，那么过一个顶点可以引几条对角线此多边形共有多少条对角线解 设此多边形的变数为n ，则（n －2）×180 = 1440，解得 n = 10． ∵ 过n 边形的一个顶点可以引（n －3）条对角线， ∴ n －3 = 10－3 = 7．又 ∵ n 边形共有 21n （n －3）条对角线， ∴ 21n （n －3）= 35．变式6 一个正多边形的一个外角的度数是它对应内角度数的41，求此多边形的内角和．（答案：1440）变式7 求下列图形的中∠A +∠B +∠C +∠D +∠E 的度数．点评 多图一思路，将这五个角的和转化为三角形的内角和，均为180．CABDE CADBEE变式8 求下列图形的中∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F 的度数．（答案：360，360）变式9 （2009年北京市）若一个正多边形的一个外角是40，则这个正多边形的边数是（ ） （答案：B ）A ．10B ．9C ．8D ．68．2 二元一次方程组的解法 题目 解方程组：⎩⎨⎧=+=+4332b a b a （人教课本P 1033（2）题）（答案：⎩⎨⎧==11b a ） 演变变式1 解方程组：⎩⎨⎧=+-=+-75212b a b a （答案：⎩⎨⎧==11b a ） 变式2 已知⎩⎨⎧-==24y x 和⎩⎨⎧-=-=52y x 都满足等式y = kx + b ．① 求k 、b 的值；② 求x = 8时，y 的值，③ x 为多少时，y = 3（答案： ① ⎩⎨⎧-==45.0b k ② y = 0 ③ x = 14）变式3 甲、乙两人同解 方程组⎩⎨⎧-=-=+232y cx by ax ，甲同学正确解为⎩⎨⎧-==11y x ，乙同学因为抄错c ，解得⎩⎨⎧-==62y x ，求a 、b 、c 的值．（答案：a = ，b = ，c =－5）变式4 已知关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧-=+=-225413by ax y x 与⎩⎨⎧=--=-8432by ax y x 有相同的解，求a 、b 的值． （答案：x = 1，y = 2或 a = 2，b =－3）变式5 以方程组⎩⎨⎧=--=+752132y x y x 为模型编一道应用题． （答案：略）A BCD EF ABC DEF变式 6 （2009，福州）二元一次方程组2,0x y x y +=⎧⎨-=⎩的解是（ ） （答案：C ）A ．0,2.x y =⎧⎨=⎩ B ．2,0.x y =⎧⎨=⎩ C ．1,1.x y =⎧⎨=⎩ D ．1,1.x y =-⎧⎨=-⎩变式7 （2009，宁波）以方程组21y x y x =-+⎧⎨=-⎩的解为坐标的点(,)x y 在平面直角坐标系中的位置是（ ） （答案：A ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 变式8 （2009，白色）已知21x y =⎧⎨=⎩是二元一次方程组71ax by ax by +=⎧⎨-=⎩的解，则a b-的值为（ ） （答案：B ）A ．1B ．－1C ．2D ．3 变式9 （2009，东营）若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+k y x ,k y x 95的解也是二元一次方程632=+y x 的解，则k 的值（ ） （答案：B ）A ．43-B ．43C ．34D ．34-变式10 （2009，定西）方程组25211x y x y -=-⎧⎨+=⎩，的解是 ． （答案:34x y =⎧⎨=⎩，） 8．2 二元一次方程组的解法题目 一个长方形的长减少5 cm ，宽增加2 cm 就成为一个正方形，并且这两个图形的面积相等，求这个长方形的长宽各是多少（人教课本P 1049题）解 设长方形的长为x cm ，宽为y cm ．由题意，得 ⎩⎨⎧=+-+=-xyy x y x )2)(5(25 解得 x =325，y =34．答：略点评 根据题意，问什么就设什么，再把中文语言翻译成数学语言，或者找题目中的等式．演变变式1 一个长方形，长减少6宽增加3，或长增加4，宽减少1，面积都与原长方形面积相等，求原长方形的长和宽解 设原长方形的长为x ，宽为y ．有题意，得 ⎩⎨⎧=-+=+-xyy x xyy x )1)(4()3)(6(化简，得 ⎩⎨⎧=-=-xy x y y x 462 解得⎩⎨⎧==516y x 答：略．变式2 一个长方形长减少1厘米，宽增加3厘米，所得的正方形比原来的长方形的面积大21平方厘米，求原长方形的长和宽各是多少厘米解 设原长方形的长为x ，宽为y ．有题意，得 ⎩⎨⎧+=+-+=-21)3)(1(31xy y x y x化简，得 ⎩⎨⎧=-=-2434x y y x 解得 ⎩⎨⎧==610y x 答：略．变式3 某汽车运输队，要在规定的天数内运完一批货物，如果减少6辆汽车则要再运3填才能完成任务，如果增加4辆汽车，可提前1天完成任务，那么这个汽车运输队原有汽车多少辆原规定运完的天数是多少解 设汽车运输队原有汽车x 辆，原规定运完的天数是y 天．由题意得 ⎩⎨⎧=-+=+-xyy x xy y x )1)(4()3)(6( 解得 ⎩⎨⎧==516y x 答：略．8．3 实际问题与二元一次方程组题目 如图，8块相同的长方形地砖拼成一个长方形， 每块长方形地砖的长和宽分别是多少解 设每块长方形地砖的长和宽分别为x ，y ．由题意，得 ⎩⎨⎧==+xy y x 360 解得 ⎩⎨⎧==1545y x答：每块长方形地砖的长为45，宽为15．点评 此类题要根据数形结合思想解题，要设小长方形的长和宽分别为所求量．演变变式1 如图，8块相同的长方形地砖拼成一个长方形， 求大长方形地砖的长和宽分别是多少解 设每块长方形地砖的长和宽分别为x ，y ．由题意，得⎩⎨⎧==+xyyx3603解得⎩⎨⎧==1030yx∴x + 3y = 60，x + y = 40．答：大长方形地砖的长为60，宽为40．变式2 某单位为了提高绿化品味，美化环境，准备将一块周长为76 m的长方形草地设计分成长和宽分别相等的9块小长方形（分布位置如图所示），种上各色花卉，经市场预测，绿化每平方米来造价（其中已含全部费用）约为108元．求每一个小长方形的长和宽；请计算完成这块绿化工程预计投入资金多少元解设每块长方形地砖的长和宽分别为x，y．由题意，得⎩⎨⎧==+xyyx257694解得⎩⎨⎧==410yx20×18×108 = 38880元．答：每块长方形地砖的长为10 m，宽为4 m．完成这块绿化工程预计投入资金38880元．变式3 小颖在拼图时，发现8个一样大小的长方形如图1所示），恰好可以拼成一个大的长方形．小彬看见了，说：“我来试一试．”结果小彬七拼八凑，拼成如图2那样的正方形．咳，怎么中间还留下一个洞，恰好是边长2 mm的小正方形！①每块长方形地砖的长和宽分别是多少②正方形的面积是多少解设每块长方形地砖的长和宽分别为x，y．由题意，得⎩⎨⎧==+xyyx3522解得⎩⎨⎧==610yx所以 22×22 = 484．答：每块长方形地砖的长为10 mm，宽为6 mm．正方形的面积是484．变式4 （2009，漳州）为了防控甲型H1N1流感，某校积极进行校园环境消毒，购买了甲、乙两种消毒液共100瓶，其中甲种6元∕瓶，乙种9元∕瓶．（1）如果购买这两种消毒液共用780元，求甲、乙两种消毒液各购买多少瓶（2）该校准备再次．．购买这两种消毒液（不包括已购买的100瓶），使乙种瓶数是甲种瓶数的2倍，且所需费用不多于．．．1200元（不包括780元），求甲种消毒液最多能再购买多少瓶解（1）设甲种消毒液购买x瓶，则乙种消毒液购买（100－x）瓶．依题意，得 6x + 9（100－x）= 780，解得x = 40．所以 100－x = 60（瓶）．答：甲种消毒液购买40瓶，乙种消毒液购买60瓶． 另法 设甲种消毒液购买x 瓶，乙种消毒液购买y 瓶．依题意，得 10069780x y x y +=⎧⎨+=⎩，． 解得4060x y =⎧⎨=⎩，．答：甲种消毒液购买40瓶，乙种消毒液购买60瓶． （2）设再次购买甲种消毒液y 瓶，刚购买乙种消毒液2y 瓶． 依题意，得6921200y y +⨯≤．解得50y ≤． 答：甲种消毒液最多再购买50瓶．变式5 （2009，宁德）某刊物报道：“2008年12月15日，两岸海上直航、空中直航和直接通邮启动，‘大三通’基本实现．‘大三通’最直接好处是省时间和省成本，据测算，空运平均每航次可节省4小时，海运平均每航次可节省22小时，以两岸每年往来合计500万人次计算，则共可为民众节省2900万小时……”根据文中信息，求每年采用空运和海运往来两岸的人员各有多少万人次．解 设每年采用空运往来的有x 万人次，海运往来的有y 万人次，依题意得⎩⎨⎧=+=+.2900224,500y x y x 解得 ⎩⎨⎧==.50,450y x 答：每年采用空运往来的有450万人次，海运往来的有50万人次． 变式6 （2009，云南）在“家电下乡”活动期间，凡购买指定家用电器的农村居民均可得到该商品售价13%的财政补贴．村民小李购买了一台A 型洗衣机，小王购买了一台B 型洗衣机，两人一共得到财政补贴351元，又知B 型洗衣机售价比A 型洗衣机售价多500元．求：（1）A 型洗衣机和B 型洗衣机的售价各是多少元（2）小李和小王购买洗衣机除财政补贴外实际各付款多少元 解 （1）设A 型洗衣机的售价为x 元，B 型洗衣机的售价为y 元，则据题意，可列方程组5001313351.y xx y-=⎧⎨%+%=⎩，解得11001600.xy=⎧⎨=⎩，∴A型洗衣机的售价为1100元，B型洗衣机的售价为1600元．（2）小李实际付款为：1100（1－13%）= 957（元）；小王实际付款为：1600（1－13%）= 1392（元）．∴小李和小王购买洗衣机各实际付款957元和1392元．变式7 （2009，济南）自2008年爆发全球金融危机以来，部分企业受到了不同程度的影响，为落实“促民生、促经济”政策，济南市某玻璃制品销售公司今年1月份调整了职工的月工资分配方案，调整后月工资由基本保障工资和计件奖励工资两部分组成（计件奖励工资=销售每件的奖励金额×销售的件数）．下表是甲、乙两位职工今年五月份的工资情况信息：（1）试求工资分配方案调整后职工的月基本保障工资和销售每件产品的奖励金额各多少元（2）若职工丙今年六月份的工资不低于2000元，那么丙该月至少应销售多少件产品解（1）设职工的月基本保障工资为x元，销售每件产品的奖励金额为y元．由题意得20018001801700x yx y+=⎧⎨+=⎩解这个方程组得8005xy=⎧⎨=⎩答：职工月基本保障工资为800元，销售每件产品的奖励金额5元．（2）设该公司职工丙六月份生产z件产品．由题意得80052000z+≥，解这个不等式得240z ≥．答：该公司职工丙六月至少生产240件产品．变式8 如图，在3×3的方阵图中，填写了一些数和代数式（其中每个代数式都表示一个数），使得每行的3个数、每列的3个数、斜对角的3个数之和均相等．（1）求x ，y 的值；（2）在备用图中完成此方阵图． 解 （1）由题意，得34232234.x x y y x y x x ++=++-⎧⎨-+-=++⎩， 解得 12.x y =-⎧⎨=⎩， （2）如图9．1 不等式题目 设a ＞b ，用“＜”或“＞”填空．（人教课本P 1287题） （1）2a －5 2b －5 （答案：＞）（2）－ + 1 －3.5a + 1 （答案：＜）点评 先根据不等式的性质2和3，再根据不等式的性质1填．性质1：不等式的两边都加上（或都减去）同一个数，不等号的方向?；性质2：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个正数，不等号的方向?； 性质3：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个负数，不等号的方向．演变变式1 如果a ＜b ＜0，下列正确的是（ ）．A ．a1＜b 1 B ．ab ＜1 C ．b a ＜1 D ．b a＞1 （答案：D ）变式2 （2009柳州）若b a <，则下列各式中一定成立的是（ ）–23 4(备用2y ––23 4x ya bc–2 3 4 –16 152A ．11-<-b aB ．33ba > C ．b a -<- D ． bc ac <（答案：A ）变式3 （2009年牡丹江市）若01x <<，则21x x x，，的大小关系是（ ） （答案：C ）A ．21x x x << B ．21x x x << C ．21x x x << D ．21x x x<< 变式4 （09湖北宜昌）如果ab ＜0，那么下列判断正确的是（ ） （答案：D ）A ．a ＜0，b ＜0B ．a ＞0，b ＞0C ．a ≥0，b ≤0D ．a ＜0，b ＞0或a ＞0，b ＜0变式5 如果2c a ＜2c b ，那么（ ）． A ．a ＜b B ．a ＞b C ．a ≤b D ．a = b（答案：A ）变式6 （1）若a ＜b 且c ＞0，则ac + c bc + c ； （2）a ＞0，b ＜0，c ＜0，则（a －b ）c 0．（答案：（1）＜ （2）＜） 变式7 若不等式3x －m ＜0的正整数解共有2个，求m 的取值范围．解 3x －m ＜0，x ＜3m．∵ 2＜3m≤3，∴ 6＜m ≤9．变式8 若关于x 的方程3x + 3k = 2的解事正数，求k 的取值范围． 解 ∵ x =332k -，∴ 332k -＞0，k ＜32． 变式9 已知关于x 的方程2x －3 =－a 的解是不等式5（x －2）－7＜6（x －1）－8的一个解，求a 的取值范围． （答案：a ＜9）变式10 解关于x 的不等式：ax －b ＜0．解 ① 当a ＞0时，x ＜ab ； ② 当a = 0时，b ≤0时，无解； ③ 当a = 0时，且b ＜0时，实数；④ 当a ＜0时，x 大于ab．变式11 解关于x 的不等式：（21－a ）x ＞1－2a ． 解 原不等式可化为（1－2a ）x ＞2（1－2a ），（1）当a ＞21时，x ＜2；（2）当a =21时，无解；（3）当a ＜21时，x ＞2．变式12 若不等式mx －2＜3x + 4的解集是x ＞36-m ，求m 的取值范围． 解 由mx －2＜3x + 4 得（m －3）x ＜6． ∵ （m －3）x ＜6的解集是x ＞36-m ， ∴ m －3＜0， ∴ m ＜3．不等式组题目 当x 时取哪些整数时，2≤3x －7＜8成立（人教课本P 1428题）解 原不等式可化为⎩⎨⎧<--≤,873,732x x 解得 ⎩⎨⎧<≥,5,3x x ∴ 3≤x ＜5．∵ x 为整数， ∴ x = 3，4．点评 这是关于x 的双联不等式，它相当于解不等式组⎩⎨⎧-≥-873273＜x x ．演变变式1 求不等式组⎩⎨⎧--≥-x x x 782093＜的最小整数解． （答案：3）变式2 已知方程组⎩⎨⎧+=++=+m y x my x 1313 的解满足x 与y 的和是非负数，求m 的取值范围．解 将两个方程相加，得 4（x + y ）= 2（m + 1），即 x + y =21+m ．∵ x + y ≥0，∴ 21+m ≥0，∴ m ≥－1．另解 把m 看成常数，解x 、y 的二元方程组，解得x =41+m ，y =41+m ，再把x =41+m ，y =41+m 代如x + y ≥0中解m 的值．变式3 当k为何值时，方程组⎩⎨⎧-=+=-5253y x ky x 的解x 是正数，y 是负数解 由已知方程组得x =1325-k ， 13152+-=k y ．由题意，得 1325-k ＜0 且 13152+k ＞0，解得 k ＜－215．变式4 若关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧-=++=-52223m y x m y x 中的x 的值大于719，y 的值不大于－1，求m 的整数值．解 由已知方程组，得 x =783-m ，y =719-m ．由题意得 783-m ＞719 且 719-m ≤－1，解得⎩⎨⎧≤129m m ＞ ∴ 9＜m ≤12，因此整数m 的值为m = 10，11，12．变式5 解不等式组 ⎩⎨⎧>--<+-.0),1(213k x x x解 原不等式组可化为 ⎩⎨⎧>>.,5k x x ① 当k ≤5时，解为x ＞5．② 当k ＜5时，解为x ＞k ．变式6 把一些书分给几个学生．如果没人分3本，那么余6本；如果前面的每个学生分5本，那么最后一人就分不到3本．问这些书有多少本学生有多少人解 设学生人数为x 人，书友（3x + 8）本． 由题意，得 5（x －1）≤3x + 8＜5（x －1）+ 3， 解得 x = 6，3x + 8 = 26．变式7 先阅读，再解不等式12-x x＞1． 解 12-x x －1＞0，即121--x x＞0，则有 ① ⎩⎨⎧--01201＞＞x x 或 ② ⎩⎨⎧--01201＜＜x x解 ① 得21＜x ＜1；② 无解．∴ 原不等式的解为21＜x ＜1．请根据以上思想方法解不等式：223-+x x ＜2．解 223-+x x －2＜0，即26-+x x ＜0则有 ① x + 6＞0且x －2＜0， 或 ② x + 6＜0且 x －2＞0． 解 ① 得－6＜x ＜2；② 无解．∴原不等式的解集为－6＜x＜2．变式7 （2009恩施市）如果一元一次不等式组3xx a>⎧⎨>⎩的解集为3x>．则a的取值范围是（）（答案：C）A．3a> B．a≥3 C．a≤3 D．3a<变式8 （2009年重庆市江津区）不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤<-15112xxx的解集在数轴上表示正确的是（）（答案：C）变式9 （2009湖北省荆门市）若不等式组0,122x ax x+⎧⎨->-⎩≥有解，则a的取值范围是（）（答案：A）A．1a>- B．1a-≥ C．1a≤ D．1a<变式10 （2009烟台市）如果不等式组2223xax b⎧+⎪⎨⎪-<⎩≥的解集是01x<≤，那么a b+的值为．（答案：1）统计调查题目为了解全校学生的平均身高，小明调查了座在自己旁边的3位同学，把他们的平均身高作为全校学生的平均身高的估计．（1）小明的调查是抽样调查吗（2）如果是抽样调查，指出总体、个体、样本、样本容量．（3）这个调查结果能够较好的反映总体的情况吗（人教课本P1551题）解（1）小明的调查是抽样调查．（2）总体：全校学生的平均身高；个体：每个学生的身高；样本：被调查德3位同学的身高；样本容量：3．（3）不能够．点评考查全体对象的调查就叫做全面调查，抽样调查：抽取一部分对象进行调查的方法，叫抽样调查，总体：所要考察对象的全体，个体：总体的每一个考察对象叫个体，样本：抽取的部分个体叫做一个样本，样本容量：样本中个体的数目，抽样的注意事项：①抽样调查要具有广泛性和代表性，即样本容量要恰当；②抽取的样本要有随机性，一般情况下，样本容量越大，估计精确度就越高．演变变式1 为了了解某中学七年级600名学生的体重情况，从中抽查了50名学生的体重进行统计分析，在这个问题中总体是指（）．A．600名学生 B．取的50名学生C．七年级600名学生的体重 D．被抽取的50名学生的体重（答案：C）变式2 一次数学考试考生约12万名，从中抽取5000名考生的数学成绩进行分析，在这个个问题中，样本指的是（）．A．5000 B．5000名考生的数学成绩C．12万名考生的数学成绩 D．5000名考生（答案：B）变式3 下列调查工作需采用的普查方式的是（）．A．环保部门对淮河某段水域的水污染情况的调查B．电视台对正在播出的某电视节目收视率的调查C．质检部门对各厂家生产的电池使用寿命的调查D．企业在给职工做工作服前进行的尺寸大小的调查（答案：D）变式4 为了了解某种矿泉水含钠是否超标进行的调查是调查．（答案：抽样）变式5 如图，甲、乙两所学校，其中男女生情况可见下列统计图，甲学校有1000人，乙有1250人，则（）．A．甲校的女生比乙校的女生多B．甲校的女生比乙校的女生少C．甲校与乙校的女生一样多D．甲校与乙校男生共是2250人（答案：C）变式6 池塘中放养了鲤鱼10000条，鲢鱼若干，在几次随机捕捞中，共抓到鲤鱼400条，鲢鱼320条，估计池中放养了鲢鱼___________条．（答案：8000条）变式7 （2009年宁波市）下列调查适合作普查的是（）．A．了解在校大学生的主要娱乐方式B．了解宁波市居民对废电池的处理情况C．日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命D．对甲型H1N1流感患者的同一车厢的乘客进行医学检查（答案：D）变式8（2009年义乌）下列调查适合作抽样调查的是（）．A．了解义乌电视台“同年哥讲新闻”栏目的收视率B．了解某甲型H1N1确诊病人同机乘客的健康状况C．了解某班每个学生家庭电脑的数量D．“神七”载人飞船发射前对重要零部件的检查（答案：A）变式9 （2009年河南）下列调查适合普查的是（）．A．调查2009年6月份市场上某品牌饮料的质量B．了解中央电视台直播北京奥运会开幕式的全国收视率情况C．环保部门调查5月份黄河某段水域的水质量情况D．了解全班同学本周末参加社区活动的时间（答案：D）变式10 （2009年湘西自治州）要了解一批电视机的使用寿命，从中任意抽取40台电视机进行试验，在这个问题中，40是（）．A．个体 B．总体 C．样本容量D．总体的一个样本（答案：C）。
数学七年级教材下册变式题.pdf
E
变式 1 （2008 年广安）如图， AB∥CD，若∠ ABE=
120 ，∠ DCE= 35 ，则有∠ BEC=________度．
解 过点 E 作 EE= 120 ，所以 ∠FEB= 60 ．（两直线平行，同旁内角互补）
又由于 ∠DCE= 35 ，所以 ∠FEC= 35 ，（两直线平行，内错角相等）
求∠ EOD的度数．
（答案： 140 ） 变式 3 已知 AB⊥CD于 O，直线 EF过点 O，∠AOE= 25 ，求∠ COF的度
数．
（答案 65 ） 变式 4 已知∠ AOB是直角，且∠ AOC = 40 ，OM 平分∠ BOC，ON 平分
∠AOC，求∠ MON 的度数．
解 ∵ ∠AOB= 90 ，∠ AOC= 40 ，
点评 由角平分线定义如 AD 是∠ BAC的角平分线，得∠ BAD=∠CAD= 1 ∠
2
BAC． 演变
变式 1 已知直线 AB 与 CD 相交于 O，OB 平分∠ COE，FO⊥AB，∠ EOF
=120 ，求∠ AOD的度数．（答案： 30 ）
F C
E
C
F
B
M
O
A
BA O
B
A
O
N
D
E
D
C
变式 2 已知直线 AB 与 CD相交于 O，OE⊥AB，OF⊥CD，且∠ BOF= 40 ，
七年级下册 ·课本亮题拾贝
5．1 相交线
题目 如图，直线 AB，CD相交于点 O，∠EOC= 70 ，OA 平分∠ EOC，求
∠BOD的度数．（人教课本 P97 题）
E
D
解 ∵ OA 平分∠ EOC， ∴ ∠AOC= 1 ∠EOC= 35 ．
专题4-1 二元一次方程组(考题猜想,六种特殊解法)解析版-24学年7下数学期末考点大串讲(人教版)
专题4-1二元一次方程组（考题猜想，六种特殊解法）解法1：用整体代入法解二元一次方程组【例题1】（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）阅读以下材料：解方程组()1045x y x y y --=⎧⎪⎨--=⎪⎩①②，由①得1x y -=③，把③代入②，得415y ⨯-=，解得1y =-，把1y =-代入③得0x =．∴01x y =⎧⎨=-⎩，这种解法称为“整体代入法”．请你用这种方法解方程组：310622243x y x y y -+=⎧⎪⎨-++=⎪①②．∴132x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩【变式1】（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）先阅读材料，然后解方程组．材料：解方程组：()2034x y x y y +-=⎧⎪⎨+-=⎪⎩①②，由①，得2x y +=．③把③代入②，得324y ⨯-=，解得2y =．把2y =代入③，得0x =．∴原方程组的解为02x y =⎧⎨=⎩；这种方法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请用这种方法解方程组：321032526x y x y y --=⎧⎪⎨-++=⎪①②．∴原方程组的解为11x y =⎧⎨=⎩【变式2】（23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）材料：解方程组()4314x y x y y +=⎧⎪⎨++=⎪⎩①②将①整体代入②，得3414y ⨯+=，解得2y =，把2y =代入①，得2x =，所以22x y =⎧⎨=⎩这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请解方程组104()5x y x y y --=⎧⎨--=⎩①②【答案】01x y =⎧⎨=-⎩【分析】本题考查解二元一次方程组．理解并掌握整体代入法解方程组，是解题的关键．利用整体代入法解方程组即可．【详解】解：由①得：1x y -=③，将③代入②得：415y ⨯-=，解得：1y =-，将1y =-代入①得：()110x ---=，解得：0x =，∴方程组104()5x y x y y --=⎧⎨--=⎩①②的解为01x y =⎧⎨=-⎩【变式3】2023七年级上·全国·专题练习）解方程组2320523297x y x y y -+=⎧⎪-+⎨+=⎪故原方程组的解为54 xy=⎧⎨=⎩解法2：用特殊消元法解二元一次方程组类型1：方程组中两未知数系数之差的绝对值相等【例题2】（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知关于x，y的方程组3242x y kx y k+=+⎧⎨-=⎩(1)若方程组的解互为相反数，求k的值(2)若方程组的解满足方程310x y+=，求k的值．代入②得：321k -⨯=，∴1k =【变式1】（23-24七年级下·四川宜宾·阶段练习）解下列方程或方程组(1)()()4320679x x x x --=--(2)1226x x x +-=-(3)2354210x y x y +=⎧⎨--=⎩①②所以原方程组的解为1698x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【变式2】（2024·广东肇庆·一模）解二元一次方程组225x y x y +=⎧⎨-=⎩．【答案】41x y =⎧⎨=-⎩【分析】用加减消元法解方程组即可；【详解】()()22,15,2x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩解：(1)(2)-得33y =-，解得1y =-．将1y =-代入（1）得4x =．所以该方程组的解为4,1.x y =⎧⎨=-⎩【变式3】（23-24八年级上·山东济南·期末）解下列方程组：(1)248x y x y -=⎧⎨+=⎩；(2)422237x y x y -=⎧⎨+=-⎩．类型2：方程组中两未知数系数之和的绝对值相等【例题3】（23-24七年级下·福建福州·阶段练习）已知关于x，y的方程组325x y ax y a-=+⎧⎨+=⎩，a为常数．(1)求方程组的解（用含a的式子表示）；(2)平面直角坐标系中，若以方程组的解为横、纵坐标的点(),P x y在第一、三象限的角平分线上，求a的值．【答案】(1)212 x a y a=+⎧⎨=-⎩(2)3a=-【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，一，三象限角平分线上点的坐标特点，熟练的解方程组是解本题的关键．（1）直接利用加减消元法解方程组即可；（2）由一，三象限角平分线上的点的横纵坐标相等，再建立方程求解即可．【详解】（1）解：325x y ax y a-=+⎧⎨+=⎩①②，+①②，得363x a =+，∴21x a =+．将21x a =+代入①，得2y a =-．∴原方程组的解为：212x a y a =+⎧⎨=-⎩；（2）∵以方程组的解为横、纵坐标的点(),P x y 在第一、三象限的角平分线上，∴212a a +=-，解得：3a =-【变式1】（2024年贵州省黔南州中考一模考试数学模拟试题）解方程组：227x y x y -=⎧⎨+=⎩【答案】31x y =⎧⎨=⎩【分析】灵活运用加减消元法解方程组是解题的关键．选择相加消元后直接解方程即可．【详解】227x y x y -=⎧⎨+=⎩①②，+①②得39x =，解得3x =，把3x =代入①，可得32y -=，解得1y =，31x y =⎧∴⎨=⎩是原方程的解【变式2】（23-24七年级下·四川宜宾·阶段练习）甲、乙两人同时解方程组5213mx y x ny +=⎧⎨-=⎩①②，甲解题看错了①中的m ，解得722x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，乙解题时看错②中的n ，解得37x y =⎧⎨=-⎩，试求原方程组的解．【答案】23x y =⎧⎨=-⎩．【分析】本题考查了二元一次方程组的解，加减消元法解方程组．把甲的解代入②中求出n 的值，把乙的解代入①中求出m 的值；把m 与n 的值代入方程组求解即可得到答案．则方程组的解为23 xy=⎧⎨=-⎩【变式3】（23-24七年级下·全国·随堂练习）用加减法解下列方程组：(1)2531x yx y+=⎧⎨-=⎩(2)92153410x yx y+=⎧⎨+=⎩解法3：用换元法解二元一次方程组【例题4】（22-23八年级上·四川成都·阶段练习）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想：(1)解方程组3213213x y x y -=-⎧⎨+=⎩，我们利用加减消元法，可以求得此方程组的解为___________；(2)如何解方程组()()()()35231352313m n m n ⎧+-+=-⎪⎨+++=⎪⎩呢，我们可以把5,3m n ++分别看成一个整体，设5m x +=，3n y +=，请补全过程求出原方程组的解；(3)若关于m ，n 的方程组()()()()3223226m n m n m n m n ⎧+--=-⎪⎨++-=⎪⎩，则方程组的解为______．【变式1】（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）计算：解方程组726x y x y +--=⎧⎪+-⎨+=⎪（）（93x y =⎧∴⎨=⎩【变式2】（23-24七年级下·福建泉州·阶段练习）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想：(1)已知方程组3213213x y x y -=-⎧⎨+=⎩的解为272x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，如何解大于,m n 的方程组()()()()35231352313m n m n ⎧+-+=-⎪⎨+++=⎪⎩呢，我们可以把分别5,3m n ++看成一个整体，设5,3m x n y +=+=，则原方程组的解为______________________；(2)若方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是32x y =⎧⎨=-⎩，求方程组1111122222322322a m b n a b c a m b n a b c +=++⎧⎨+=++⎩的解．(3)已知m ，n 为定值，关于x 的方程136kx m x nk ++=-，无论k 为何值，它的解总是2x =，求m n +的值．把2x =代入，得4262k m nk +=--，(4)240n k m ∴++-=恒成立，40240n m +=⎧∴⎨-=⎩，即42n m =-⎧⎨=⎩，2m n ∴+=-【变式3】（23-24八年级下·上海浦东新·阶段练习）用换元法解方程组：121134x y x y⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪．∴原方程组的解是11x y =-⎧⎨=⎩解法4：用同解交换法解二元一次方程组【例题5】（23-24八年级上·山东枣庄·阶段练习）已知关于x y ，的方程组37x y ax b y -=⎧⎨+=⎩和28x by a x y +=⎧⎨+=⎩的解相同．求,a b 的值．【答案】11a b ==-，【分析】本题主要考查解二元一次方程组，掌握加减消元法解二元一次方程组的方法是解题的关键．根据两个方程组有相同的解，将①与④组合可求出x y ，的值，再代入②与③组合的方程组中即可求解．【详解】解：方程组37x y ax b y -=⎧⎨+=⎩①②与28x by a x y +=⎧⎨+=⎩③④的解相同，∴①与④组合得，3728x y x y -=⎧⎨+=⎩①④，①+④得，3x =，∴2y =，把x y ，代入②与③组合的方程组中得，3232a b b a +=⎧⎨+=⎩②③，把③代入②得，1b =-，∴1a =，∴11a b ==-，【变式1】（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）已知关于x ，y 的方程组23324x y ax by -=⎧⎨+=⎩和2333211ax by x y +=⎧⎨+=⎩的解相同，求20243)(a b +的值．【答案】1【分析】此题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，乘方的性质，解题的关键是掌握二元一次方程组的求解，正确求得a b ，的值．由题意可得：方程组2333211x y x y -=⎧⎨+=⎩和方程组24233ax by ax by +=⎧⎨+=⎩的解相同，求得a b ，的值，代入求解即可．【详解】解：由题意可得：方程组2333211x y x y -=⎧⎨+=⎩和方程组24233ax by ax by +=⎧⎨+=⎩的解相同，解方程组2333211x y x y -=⎧⎨+=⎩可得：31x y =⎧⎨=⎩，将31x y =⎧⎨=⎩代入24233ax by ax by +=⎧⎨+=⎩可得：324633a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得：25ab=-⎧⎨=⎩，将25ab=-⎧⎨=⎩代入()20243a b+可得，原式()2024651-+==，即()20243a b+的值1．【变式2】（23-24七年级下·四川眉山·阶段练习）数学学霸甲、乙两人在一次解方程组比赛中，甲求关于x y、的方程祖35368x ybx ay-=⎧⎨+=-⎩的正确解与乙求关于,x y的方程组25264x yax by+=-⎧⎨-=-⎩的正确的解相同．则()20232a b+的值为多少？【答案】1【分析】此题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．联立不含a与b的方程求出x与y的值，进而确定出a与b的值，代入原式计算即可求出值．【详解】解：联立得：3536 2526 x yx y-=⎧⎨+=-⎩，解得：26 xy=⎧⎨=-⎩，代入得：268 264 b aa b-=-⎧⎨+=-⎩，解得：11 ab=⎧⎨=-⎩，∴()()2023202321 211a b=⨯-=+【变式3】（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）已知关于x，y的方程组45321x yx y+=⎧⎨-=⎩与方程组31mx nymx ny+=⎧⎨-=⎩的解相同，求mn的值．【答案】2mn=【分析】本题考查的是解二元一次方程组，掌握加减消元法是解题关键．先解方程组45321x yx y+=⎧⎨-=⎩，再根据两个方程组同解，得到关于m、n的方程，求解即可计算求值．【详解】解：45321x y x y +=⎧⎨-=⎩①②，2⨯+①②得：1111x =，解得：1x =，将1x =代入①得：1y =，∴方程组45321x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集为11x y =⎧⎨=⎩， 方程组45321x y x y +=⎧⎨-=⎩与方程组31mx ny mx ny +=⎧⎨-=⎩的解相同，31m n m n +=⎧∴⎨-=⎩，解得：21m n =⎧⎨=⎩，2mn ∴=解法5：用主元法解方程组【例题6】（22-23八年级上·四川成都·期中）已知3460x y z -+=，45230x y z +-=，0xyz ≠，则2222324x y z xy yz zx --+-的值为．故答案为：5-【变式1】（2023九年级·全国·专题练习）已知433030x y zx y z--=⎧⎨--=⎩（x，y，z均不为0），求2222xy yzx y z++-的值．【点睛】本题不是考查学生直接解方程的能力，而是让学生理清三个未知数之间的关系，所以未知数之间的转换就是关键【变式2】（20-21八年级上·全国·课时练习）已知430,4520,x y zx y z+-=⎧⎨-+=⎩xyz≠．（1）用含z的代数式表示x，y；（2）求222232x xy zx y++的值．（2）2222222211232321633351233z z z z x xy z x y z z ⎛⎫⨯+⨯⨯+ ⎪++⎝⎭==+⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查了用加减法解方程组的特殊解法，把x 、y 看作未知数解方程组是解题的关键【变式3】已知x ，y ，z 都不为零，且满足4360x y z --=，270x y z +-=．求2335x y z x y z-++-的值．【点睛】本题主要考查解方程组，代数式求值，能根据具体问题选择合适的解法，如本题中用含有z 的代数式来表示x 、y ，这是解题的关键解法6：用设辅助元法解方程组【例题7】【观察思考】怎样判断两条直线是否平行？如图①，很难看出直线a 、n 是否平行，可添加“第三条线”（截线c ），把判断两条直线的位置关系转化为判断两个角的数量关系．我们称直线c 为“辅助线”．在部分代数问题中，很难用算术直接计算出结果，于是，引入字母解决复杂问题，我们称引入的字母为“辅助元”．事实上，使用“辅助线”、“辅助元”等“辅助元素”可以更容易地解决问题．【理解运用】（1）计算111111111111113367867896786789⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++-++++++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭这个算式直接计算很麻烦，请你引入合适的“辅助元”完成计算．【拓展提高】（2）若关于x，y的方程组mx ny pax by q+=⎧⎨-=⎩的解是32xy=⎧⎨=⎩，则关于x、y的方程组(1)(1)(1)(1)m x n y pa xb y q-++=⎧⎨--+=⎩的解为．【变式1】．（22-23七年级下·广西玉林·期末）【阅读·领会】怎么判断两条直线是否平行？如图①，很难看出直线是否平行，可添加“第三条线”（截线），把判断两条直线的位置关系转化为判断两个角的数量关系，我们称直线为“辅助线”.在部分代数问题中，难用算术直接计算出结果，于是，引入字母解决复杂问题，我们称引入字母为“辅助元”或“整体代换”．事实上，使用“辅助线”、“辅助元”等“辅助元素”可以更容易地解决问题．【实践·体验】（1）已知210a a +-=，则23a a ++=______（引入“辅助元”或“整体代换”计算）.（2）如图②，已知C E EAB ∠+∠=∠，求证：AB CD ∥，请你添加适当的“辅助线”，并完成证明．【创造·突破】（3）若关于x y ，的方程组ax by c mx ny p +=⎧⎨-=⎩的解是23x y =⎧⎨=⎩，则关于x y ，的方程组22ax by c mx ny p -=⎧⎨+=⎩的解为______．【答案】（1）4；（2）见解析；（3）13x y =⎧⎨=-⎩【分析】（1）把210a a +-=变形为21a a +=，然后整体代入求值即可；（2）利用“辅助线”延长BA 交EC 于点F ，由三角形内角和定理以及等量代换可得AFE C ∠=∠，由同位角相等，两直线平行可得结论；（3）将23x y =⎧⎨=⎩代入关于x 、y 的方程组ax by c mx ny p +=⎧⎨-=⎩可得，2323a b c m n p +=⎧⎨-=⎩，再代入关于x 、y 的方程组22ax by c mx ny p -=⎧⎨+=⎩可得答案．【详解】解：（1）∵210a a +-=，∴21a a +=，∴23134a a ++=+=，故答案为：4（2）如图，延长BA 到，使BA 与CE 相交于点F ，∵AFE E EAB C E EAB ∠+∠=∠∠+∠=∠，，∴EFA C =∠∠，∴AB CD ∥；（3）将23x y =⎧⎨=⎩代入关于x 、y 的方程组ax by c mx ny p +=⎧⎨-=⎩可得，2323a b c m n p +=⎧⎨-=⎩，再代入关于x 、y 的方程组22ax by c mx ny p -=⎧⎨+=⎩可得，223223ax by a b mx ny m n -=+⎧⎨+=-⎩，所以13x y =⎧⎨=-⎩，故答案为：13x y =⎧⎨=-⎩．【点睛】本题考查二元一次方程组，平行线的性质以及有理数的运算，掌握二元一次方程组的解法、平行线的性质和判定，理解“辅助线”、“辅助元”、“辅助元素”的意义是正确解答的前提．【变式2】【阅读•领会】怎样判断两条直线否平行？如图1，很难看出直线a 、b 是否平行，可添加“第三条线”（截线c ），把判断两条直线的位置关系转化为判断两个角的数量关系．我们称直线c 为“辅助线”．在部分代数问题中，很难用算术直接计算出结果，于是，引入字母解决复杂问题，我们称引入的字母为“辅助元”．事实上，使用“辅助线”、“辅助元”等“辅助元素”可以更容易地解决问题．【实践•体悟】(1)计算111111125675678⎛⎫⎛⎫+++⨯+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111111125675678⎛⎫⎛⎫-++⨯++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭这个算式直接计算很麻烦，请你引入合适的“辅助元”完成计算．(2)如图2，已知C E EAB ∠+∠=∠，求证AB CD ∥，请你添加适当的“辅助线”，并完成证明．【创造•突破】(3)若关于,x y 的方程组ax by c mx ny p +=⎧⎨-=⎩的解是23x y =⎧⎨=⎩，则关于,x y 的方程组22ax by c mx ny p -=⎧⎨+=⎩的解为___________．(4)如图3，15120A A ∠=∠=︒，2470A A ∠=∠=︒，6890A A ∠=∠=︒，我们把大于平角的角称为“优角”，若优角3270A ∠=︒，则优角7A ∠=___________．EAB ∠ 是EFA 的外角，EAB E EFA ∴∠=∠+∠，又EAB E C ∠=∠+∠ ，EFA C ∴∠=∠，AB CD ∴∥；（3）把23x y =⎧⎨=⎩代入方程组ax by c mx ny p +=⎧⎨-=⎩得：2323a b c m n p +=⎧⎨-=⎩，与方程组22ax by c mx ny p -=⎧⎨+=⎩比较得：13x y =⎧⎨=-⎩，方程组的解为：13x y =⎧⎨=-⎩，故答案为：13x y =⎧⎨=-⎩；（4）连接3A 、7A ，分成两个五边形，如图所示：五边形的内角和为(52)180540-⨯︒=︒，两个五边形的内角和为1080︒，7A ∠=两个五边形的内角和1263222A A A A -∠-∠-∠-∠10802120270290270250=︒-⨯︒-⨯︒-⨯︒-︒=︒，故答案为：250°．【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，平行线的性质与判断，解二元一次方程组，多边形的内角和等知识，加入了“辅助”的思想解题的关键是正确找到“辅助线”、“辅助元”等“辅助元素”．【变式3】．（20-21七年级下·江苏无锡·期中）[阅读•领会]如图①，为了判断两直线的位置关系．我们添加了直线c为“辅助线”．在部分代数问题中，引入字母解决复杂问题，我们称引入的字母为“辅助元”．【实践•体悟】（1）计算111111111111112256756785675678⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++-++++++⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，这个算式直接计算很麻烦，请你引入合适的“辅助元”完成计算．（2）若关于x、y的方程组的解是ax by cmx ny p+=⎧⎨-=⎩的解是23xy=⎧⎨=⎩，则关于x、y的方程组22ax by cmx ny p-=⎧⎨+=⎩的解为．【创造•突破】（3）已知直线AB//CD．如图2，请写出∠ABE、∠E、∠CDE的数量关系，并添加适当的辅助线说明理由．（4）已知直线AB//CD．如图3，∠ABM＝13∠MBE，∠CDN＝13∠NDE，直线MB、ND交于点F，若∠F＝m°，则∠E=．（用含m的代数式表示）。
平行线的性质 —平行线间的“拐点”问题说课课件 2023-2024学年人教版七年级数学下册
例1：已知：如图，AB//EF,请你猜想 ∠BAC、∠ACE、∠CEF它们之间的数量 关系，并说明理由。
A
B
C
1 2
D
E
F
学生易错点：1.添加辅助线叙 述错误，如：过点C作AB、EF 的平行线CD。 2、推理过程不严谨：如过点C 作CD//AB， 所以∠A+∠1=180° 又因为CD//EF, 所以∠2+∠E=180°。
M
1
a
P 23 N
b
(第1题图)
D
E
(第2题图)
笃行
3. 如图，有一块含有45°角的三角尺放在直尺上，如果∠2=20°， 那么∠1= ( ) A .15°B.20° C.25° D .30°
C
1 2
建模思想
笃行
4.如图，直线AB、EF,点C是直线AB上一点，点D是直线AB外一 点，若∠BCD=95°，∠CDE=25°，则∠DEF=（ C ）
时间 安排
0 3
从时间分配上来看，由于前面一题 多解上用时有点多，导致后面两种 模型的研究有些匆忙。
设计思路
A
B
C
E
F
7.教学反思
Fresh and simple teacher's lecture
通过一个基本图形，延伸到三种基本图形，启发 学生如何从题目中提炼出基本模型。渗透特殊到 一般、类比、转化等数学思想。引导学生善于观 察分析题目的内在联系，做到做一题、懂一类、 会一片的目的。
设计意图：分层布置作业，A组题让全体学生对今天的学习有练习，有巩固； B组题让学有余力的学生有探究，有提高。同时把数学的研究深入到课后，体
现深度学习的理念。
6.板书设计
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初中数学人教版七年级下册教材变式题组（一）
满分（100分，时间：90分钟）
一、 选择题
1、P45.4、若点P 在第二象限，到x 轴距离2个单位长度，到y 轴距离4个单位长度，则点P 的坐标为( )
（A ） (2，-4) （B ）（4，-2） （C ）（-2，4） （D ）（-4，2）
2、P61.
3、同一平面内的四条直线若a ⊥b,b ⊥c,c ⊥d ，则下列式子成立的是（ ）
（A ）a ∥d (B)b ⊥d (C)a ⊥d (D)b ∥c
3、P15例、下列命题是真命题的是（ ）
（A ）下线a ⊥b,c ⊥b,则a ⊥c
（B ）直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离。
（C ）三角形的外角大于三角形的任意一内角
（D ）若直线a ∥b,b ∥c,则a ∥c
4、P23.6、直线AB ∥CD ，∠A=70°，∠C=40°，则∠E=（ ）
（A ）30° （B ）40° （C ）60° （D ）70°
5、在三角形、四边形、正五边形、正六边形中，不能单独镶嵌平面的是（ ）
A ．三角形
B ．四边形
C ．正五边形
D ．正六边形
6、（P98，1）把方程
13
2=-y x 用含x 的代数式表示y 的形式为（ ） A ．233-=x y B ．123-=x y C ．323-=x y D ．233x y -= 7、（P116）把二元一次方程的每组解可看成是平面直角坐标系内一点的坐标。
如方程53=+y x 的解：x=2,y=-1则其坐标为（2，-1），试判断下列各点的坐标是方程53=+y x 的解的是（ ）
A.（1，-2）
B.（-1,2）
C.（0,5）
D.（2,0）
8、若关于x 的不等式m x m ->-1)1(的解集是1-<x ，则m 的取值范围是（ ）
A.1>m
B.1<m
C.1≠m
D.1-<m
9、关于x 的不等式03>-a x 只有3个负整数解，则a 的取值范围是（ ）
A. 912<≤-a
B.912≤<-a
C.34-≤<-a
D. 34-<≤-a
10、下列调查中，调查方式选择正确的是（ ）
（A ）为了解生产的50枚炮弹的杀伤半径，选择全面调查。
（B ）为选择身体优秀的适龄青年入伍，对报名人员选择抽样调查
（C ）为了解一批袋装食品是否有防腐剂，选择抽样调查
（D ）“天官一号”发射前对“长征二号”火箭的检查，属于抽样调查
11、P128.7、下列不等式变形正确的是（ ）
（A ）2-b 2-a b ，a <>得由 （B ）b a b ，a 22-<->得由
（C ）b a b ，a >>得由 (D)22b a b ，a >>得由由
12、（P108（4））用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身25个，或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒。
现有36张白铁皮，用多少张制盒身，用多少张制盒底可使盒身与盒底正好配套？设制盒身x 张，制盒底y 张，可列方程组为（ ）
A ．⎩⎨⎧==+y x y x 402536
B ．⎩⎨⎧==+y x y x 254036
C ．⎩⎨⎧=⨯=+y x y x 4025236
D ．⎩⎨⎧⨯==+y
x y x 4022536 二、 填空题
13、如图所示，请填写一个你认为恰当的条件，使AB ∥CD 。
所添
加的条件是____________。
14、P44.2、已知N （1-2m ，m-2）是第三象限内的整数点，则点N
的坐标为____________。
15、P64.例、用一条长为18cm 的细绳围成一个等腰三形，若一边长为4cm ，则加两边长为______________。
16、P76.3、在△ABC 中，∠B-∠A=10°，∠C-∠B=10°，则∠A 的度数为_________。
17、若b a <，则a b 23
1______231----（用“>”或“<”填空） 18、已知方程组⎩⎨⎧=+=-24by ax by ax 的解为⎩⎨⎧==1
2y x ，则b a 32-的值为（ ）
A.4
B.6
C.-6
D.-4
三、 解答题
19、（P118）解方程组（解不等式P142.8、）
⎪⎩⎪⎨⎧=+--=--23
22)1(3)1(4)1(y x y y x 35121)2(<-≤-x ：解不等式
20、甲、乙两人在求方程7=-by ax 的整数解，甲求出一组解为⎩
⎨⎧==43y x ，而乙把7=-by ax 中的7错看成了1，求得一组解为⎩⎨⎧==2
1y x ，试求a 、b 的值。
21、P70.9、如图AD 是△ABC 的角平分线DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F ，则图中∠ADE 与∠ADF 有何关系？为什么？
22、P55.7、
（1）画出平移后的图形
（2）求△A 1B 1C 1的面积
23、25．P66.2、如图：AD 、BE 、CF 是△ABC 的三条角平分线，交点为O ，过点O 作OM ⊥BC 于M 。
（1）∠1+∠2+∠3=_____度。
（2）求证：∠BOM=∠COD 。
（3）试问：∠BOM 与∠1、∠3有何数学量关系？并说明理由。
24、（P97例2）根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500g ）和小瓶装（250g ）两种产品的销售数量（按瓶计算）比 2:5，某厂每天生产这种消毒液22.5吨，这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？
25、某范农培育甲种花木2株，乙种花3株，共需成本1700元；培育甲种花木3株，乙种花木1株共需成本1500元。
（1）求甲、乙两种花木每株成本分别为多少元？
（2）据市场调研，1株甲种花木售价为760元，1株乙种花木售价为540元，该花农决定在成本不超过30000元的前提下培育甲、乙两种花木，若培育乙种花木的株数是甲种花木的3倍还多10株，那么要使总利润不少于21600元，花农有哪几种具体的培育方案？
26、（P23）如图，解答下列各题：
（1）图（1）中，∠AOB=65º，点P 在∠AOB 内部，过点P 作PE ⊥OA ，PF ⊥OB ，垂足分别为E 、F ，求∠EPF 的度数。
（2）图（2）中，点P 在∠AOB 外部，过点P 作PE ⊥OA ，PF ⊥OB ，垂足分别为E 、F ，PF 交OA 于G ，那么∠P 与∠O 有什么关系？为什么？
（3）通过（1）（2）的解答，你能有什么规律发现？请用一句话概括出来。
E O F A P E G O F B A P （1） （2）。