数学高考预测试题9预测题
四川省绵阳市2024高三冲刺(高考数学)部编版真题(预测卷)完整试卷
四川省绵阳市2024高三冲刺（高考数学）部编版真题(预测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题设抛物线()的焦点为，若到直线的距离为，则为（）A．2B．4C．D．第(2)题函数是（）A．增函数B．减函数C．偶函数D．奇函数第(3)题某班元旦晚会中设置了抽球游戏，盒子中装有完全相同的3个白球和3个红球.游戏规则如下：①每次不放回的抽取一个，直至其中一种颜色的球恰好全部取出时游戏结束；②抽取3次完成游戏为一等奖，抽取4次完成游戏为二等奖.则甲同学获得二等奖的概率为（）A．B．C．D．第(4)题已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A．B．C．D．第(5)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(6)题已知倾斜角为的直线与椭圆交于两点，为中点，为坐标原点，则直线的斜率为（）A．B．C．D．第(7)题已知函数对任意的有，且当时，，则函数的图象大致为（）A．B．C．D．第(8)题对变量有观测数据，得散点图1；对变量有观测数据，得散点图2.表示变量之间的线性相关系数，表示变量之间的线性相关系数，则下列说法正确的是（）A．变量与呈现正相关，且B．变量与呈现负相关，且C．变量与呈现正相关，且D．变量与呈现负相关，且二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知抛物线C：的焦点为F，过F作直线l与抛物线C交于A、B两点，分别以A、B为切点作抛物线C的切线，两切线交于点T，设线段的中点为M．若点T的坐标为，则（）A．点M的横坐标为2B．点M的纵坐标为3C．直线l的斜率等于2D．第(2)题关于多项式的展开式，下列结论正确的是（）A．各项系数之和为1B．各项系数的绝对值之和为212C．存在常数项D．x3的系数为40第(3)题下列说法正确的有（）A．若，则的最大值是B．若，，都是正数，且，则的最小值是3C．若，，，则的最小值是2D．若实数，满足，则的最大值是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知正实数，称为的算术平均数，为的几何平均数，为的希罗平均数．为的边上异于的动点，点满足且，则正数的希罗平均数的最大值是______________．第(2)题已知非零向量，满足，且，则与的夹角为___________.第(3)题已知函数的定义域为，对任意，恒成立，且当时，，则______.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题设是首项为，公差为的等差数列，是首项为，公比为的等比数列.记，，，，．(1)若是等差数列，求的值.(2)求数列的前项和.第(2)题已知函数．(1)若，求的最大值；(2)若，其中，求实数的取值范围．第(3)题已知数列，且.若是一个非零常数列，则称是一阶等差数列，若是一个非零常数列，则称是二阶等差数列.（1）已知，试写出二阶等差数列的前五项；（2）在（1）的条件下，证明：；（3）若的首项，且满足，判断是否为二阶等差数列.第(4)题我国为全面建设社会主义现代化国家，制定了从2021年到2025年的“十四五”规划．某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备增加研发资金．该企业为了了解研发资金的投入额x（单位：百万元）对年收入的附加额y（单位：百万元）的影响，对往年研发资金投入额和年收入的附加额进行研究，得到相关数据如下：投入额234568911年收入的附加额 3.6 4.1 4.8 5.4 6.27.57.99.1(1)求年收入的附加额y与投入额x的经验回归方程；(2)若年收入的附加额与投入额的比值大于1，则称对应的投入额为“优秀投资额”，现从上面8个投入额中任意取3个，用X表示这3个投入额为“优秀投资额”的个数，求X的分布列及数学期望．【参考数据】，，．【附】在经验回归方程中，，．第(5)题在直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为．(1)写出C的普通方程并说明是什么曲线；(2)求l与C交点的直角坐标．。
河北省石家庄市高2024届高三高考模拟预测数学试题含答案
石家庄市高2024届高考模拟预测数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合{}2024180,Z A k k αα︒==-︒+⋅∈∣中的最大负角α为（）A.2024-︒B.224-︒C.44-︒D.24-︒2．已知()41i 1iz +=-，则z 的虚部为（）A.2iB.2i- C.2- D.23．已知向量a 在向量b 上的投影向量为12b，且1a b == ，则2a b - 的值为（）A ．1B C ．34D ．324.设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,且3a -,2a ,4a 成等差数列,则2024S 与2024a 的关系是()A.2024202421S a =-B.2024202421S a =+C.2024202443S a =- D.2024202441S a =+5．已知变量x 和y 的统计数据如表：x 12345y66788根据上表可得回归直线方程0.6y x a =+,据此可以预测当8x =时,y =()A.8.5B.9C.9.5D.106.现将四名语文教师,三名心理教师,两名数学教师分配到三所不同学校,每个学校三人,要求每个学校既有心理教师又有语文教师,则不同的安排种数为()A.216B.432C.864D.10807.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>,1F ,2F 为左､右焦点,P 为椭圆上一点,1260F PF ∠=︒,直线:l y x t =-+经过点P .若点2F 关于l 的对称点在线段1F P 的延长线上,则C 的离心率是()A.13B.22C.12D.238.已知函数()x f x x =，()0,x ∈+∞，则下列命题不正确的是（）A.()f x 有且只有一个极值点B.()f x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增C.存在实数()0,a ∈+∞，使得()1f a e=D.()f x 有最小值11ee二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法中，正确的是（）A.一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第40百分位数为12B.两组样本数据1x ，2x ，3x ，4x 和1y ，2y ，3y ，4y 的方差分别为21s ，22s ，若已知10i i x y +=（1,2,3,4i =），则2212s s =C.已知随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，若()()261P X P X ≥-+≥=，则2μ=D.已知一系列样本点(),i i x y （1,2,3,i =⋅⋅⋅）的回归方程为ˆ3ˆy x a =+，若样本点(),3m 与()2,n 的残差（残差＝实际值i y －模型预测值ˆy）相等，则310m n +=10．若关于x 的不等式22e 2ln x x ax x x -+≥-在()0,+∞上恒成立，则a 的值可以是（）A ．1eB ．12C ．3D ．211．.已知定义在实数集R 上的函数()f x ，其导函数为()f x '，且满足()()()f x y f x f y xy +=++，()10f =，()112f '=，则（）A.()f x 的图像关于点（1，0）成中心对称B.()322f '=C.()202410122023f =⨯ D.()2024110122024k f k ='=⨯∑三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知集合{}2230M x x x =--<,{}20,N x x ax x =-<∈Z ,若集合M N 恰有两个元素,则实数a 的取值范围是________________.13.设1F ,2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点,过2F 与该双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点M ,若123MF MF =,则双曲线的离心率为_____________.14．如图,在梯形ABCD 中,90ABC BAD ∠=∠=︒,122AB BC AD ===,将BAC △沿直线AC 翻折至1B AC △的位置,13AM MB =,当三棱锥1B ACD -的体积最大时,过点M 的平面截三棱锥1B ACD -的外接球所得的截面面积的最小值是_______________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知函数()e e ax f x x b =--在0x =处的切线为x 轴．（1）求a ,b 的值;（2）求()f x 的单调区间．16.（15分）如图,三棱锥A BCD -中,AD CD ⊥,AD CD =,ADB BDC ∠=∠,E 为线段AC 的中点.（1）证明:平面BED ⊥平面ACD ;（2）设3AB BD ==,2BF FD = ,0EF BD ⋅=,求直线CF 与平面ABC 所成角的正弦值.17．（15分）有无穷多个首项均为1的等差数列,记第()*n n ∈N 个等差数列的第(),2m m m ∈≥N 项为()m a n ,公差为()0n n d d >.（1）若()()22212a a -=,求21d d -的值;（2）若m 为给定的值,且对任意n 有()()12m m a n a n +=,证明：存在实数λ,μ满足1λμ+=,10012d d d λμ=+;（3）若{}n d 为等比数列,证明：()()()()()1122m m m m m a a n n a a a n +⎡⎤⎣⎦+++≤ .18．（17分）设椭圆E ：22221x y a b +=（0a b >>）经过点()2,1P -，且离心率2e =，直线m ：3x =垂直x 轴交x 轴于T ，过T 的直线1l 交椭圆E 于()11,A x y ，()22,B x y 两点，连接PA ，PB ，PT .（1）求椭圆E 的方程：（2）设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k .（ⅰ）求12k k +的值；（ⅱ）如图：过P 作x 轴的垂线l ，过A 作PT 的平行线分别交PB ，l 于M ，N ，求MN NA的值.19．（17分）在函数极限的运算过程中，洛必达法则是解决未定式00型或∞∞型极限的一种重要方法，其含义为：若函数()f x 和()g x 满足下列条件：①()lim 0x af x →=且()lim 0x ag x →=（或()lim x af x →=∞，()lim x ag x →=∞）；②在点a 的附近区域内两者都可导，且()0g x '≠；③()()limx af x Ag x →'='（A 可为实数，也可为±∞）．则()()()()limlimx ax af x f x Ag x g x →→'=='．（1）用洛必达法则求0limsin x xx→；（2）函数()()232112!3!21!n x x x f x x n -=+++++- （2n ≥，*n ∈N ），判断并说明()f x 的零点个数；（3）已知()()2cos g x g x x =⋅，()01g =，,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求()g x 的解析式．参考公式：()()lim lim x ax af x f x →→=，()()lim lim x ax akf x k f x →→=．数学参考答案1.C2.D3.B4.A5.D6.B7.B 8.C 9.BC 10.AB 11.BCD12.(2,)+∞13.14．3π415.（1）因为()e e ax f x x b =--,所以()e e ax f x a '=-,依题意()00f =且()00f '=,所以00e 0e e 0b a ⎧-=⎨-=⎩,解得e1a b =⎧⎨=⎩.（2）由（1）可得()e e e 1x f x x =--函数的定义域为R ,又()()e 1e e e e e 1x x f x +'=-=-,令()()e 1e e x g x f x +'==-,则()e 2e 0x g x +'=>,所以()g x （()f x '）在定义域R 上单调递增,又()00f '=,所以当0x <时()0f x '<,当0x >时()0f x '>,所以()f x 的单调递减区间为(),0-∞,单调递增区间为()0,+∞.16.．（1）因为DA DC =,E 为线段AC 的中点,所以DE AC⊥因为DA DC =,DB DB =,ADB CDB ∠=∠,所以ADB CDB ≌△△,故AB CB =.又E 为线段AC 的中点,所以BE AC ⊥.又DE BE E = ,DE ,BE ⊂平面BED .所以AC ⊥平面BED 又AC ⊂平面ACD ,所以平面BED ⊥平面ACD.（2）取DA 的中点G ,连接EG ,BG ,因为EG 为中位线,所以//EG CD ,又AD CD ⊥,所以AD EG ⊥.因为AB BD =,G 为DA 的中点,所以AD BG ⊥.又EG BG G = ,EG ,BG ⊂平面BEG ,所以AD ⊥平面BEG ,BE ⊂平面BEG ,所以AD BE ⊥,因为BA BC =,E 为AC 的中点,所以AC BE ⊥,又AC AD A = ,AC ,AD ⊂平面ACD ,所以BE ⊥平面ACD.以E 为坐标原点,分别以EA ,EB ,ED 所在的直线为x ,y ,z 轴,建立空间直角坐标系E xyz -,如图所示设(),0,0A a ,(),0,0B b ,则()0,0,0E ,()0,0,D a ,()0,,0B b ,20,,33b a F ⎛⎫⎪⎝⎭．20,,33b a EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭,()0,,BD b a =-,由2222292033AB a b b aEF BD ⎧=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ,解得a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩.所以,33CF ⎫=⎪⎪⎭ .又平面ABC 的法向量()0,0,1n =.设直线CF 与平面ABC 所成角为 θ,则233sin cos ,15CF n CF n CF nθ⋅===⋅ ,所以直线CF 与平面ABC 所成角为21515.17．（1）由题意得()()()2221212111a a d d d d -=+-+=-,又()()22212a a -=,所以212d d -=;（2）证明：因为()()12m m a n a n +=,所以()()111211n n m d m d ++-=+-⎡⎤⎣⎦,即1121n n d d m +=+-,所以111211n n d d m m +⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭,因此99100111211d d m m ⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭,所以99100111211d d m m ⎛⎫=+- ⎪--⎝⎭,又21121d d m =+-,即21121d d m =--,因此()()()()99999910012121122222221d d d d d d d d =+---=-+-,所以存在实数9922λ=-,9921μ=-,满足1λμ+=,10012d d d λμ=+;（3）证明：因为{}n d 为等比数列,所以11n n d d q -=,其中q 为{}n d 的公比,于是()()1111n m a n m d q -=+-,当1i n ≤≤时,()()()()1i i 1m m m m a n a a n a +-+-+⎡⎤⎣⎦()()111111n i n m d q q q ---=-+--()()()i i 11111n m d q q --=----,因为0q >,i 0n -≥,i 10-≥因此()()i i 1110m q q ----≥,又()110m d --<,所以()()()()1i 1m m m m a n i a a n a +-+≤+,因此()()()()11i i 1m m m m m a n a n a n a =+-+≤+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∑,即()()()()()2121m m m m m a a a n n a n a +++≤+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ,所以()()()()()1122m m m m n a a n n a a a n +⎡⎤⎣⎦+++≤ .18．（1）由题意知：2241122a bc a⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即6a =，3b =，所以椭圆E 的方程为22163x y +=（2）方法一：（ⅰ）易知()3,0T ，1PT k =，11112y k x +=-，22212y k x +=-，设直线1l 的方程为()()211m x n y -++=，由直线1l 过()3,0T 知1m n +=，联立方程()()22163211x y m x n y ⎧+=⎪⎨⎪-++=⎩，得()()()()()()()2224144211420n y n m x y m x -++--+++-=，变形得：()()211244414022y y n n m m x x ++⎛⎫-+-++= ⎪--⎝⎭，即1244242n m k k n -+==-.（ⅱ）设直线PA ，PB 的倾斜角分别为α，β，则1tan k α=，2tan k β=，54NMP πβ∠=-，2MPN πβ∠=-，4PAN πα∠=-，2APN πα∠=-在PMN △中，sin sin 2sin 4PN PN MN MPN NMP πβπβ⎛⎫=∠=- ⎪∠⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭在PAN △中，sin sin 2sin 4PN PN AN APN PAN παπα⎛⎫=∠= ⎪∠⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭所以()2sin sin cos sin cos tan 1242tan 12sin sin 422MN AN ππβαβαααππββα⎛⎫⎛⎫-⋅--⋅- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭==--⎛⎫⎛⎫-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由122k k +=知，tan tan 2αβ+=即tan 11tan 1αβ-=--，故1MN AN=（2）方法二：（ⅰ）易知()3,0T ，1PT k =，11112y k x +=-，22212y k x +=-，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线1l 的方程为3x my =+，则()()()12121212212121221211111my y m y y y y k k my my m y y m y y +++++++=+=+++++……（*）联立方程221633x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()222630m y my +++=，∴12262m y y m +=-+，12232y y m =+……（1）将（1）式代入（*）得：122k k +=（ⅱ）由（ⅰ）知，()12122my y y y =-+AM l ：11y x x y =-+即()131y x m y =-+- (2)PB l ：()221212y y x x +=---即()221211y y x my +=--+……（3）联立（2），（3）得()()212131211y x m y x my +-+-=--+即121222M y y my y x y ++=∴12121212112225234M y y my y y y my y x x my y y +++++=++==即N 为AM 的中点，故1MN AN=19．（1）001lim lim 1sin cos x x x x x→→==．（2）()()2321123!21!n x x x f x x n -=+++++- ，()()232212!3!22!n x x x f x x n -'=+++++- ，所以()()()2121!n x f x f x n -'-=--，()()()()21e e e 21!n x x xf x f x f x x n -⎡⎤'-='=-⎢⎥-⎣⎦．当0x >时，()0e x f x ⎡⎤'<⎢⎥⎣⎦，函数()e x f x 在()0,+∞上单调递减，当0x <时，()0e x f x ⎡⎤'>⎢⎥⎣⎦，函数()e x f x 在(),0-∞上单调递增，()lim e x x f x →-∞=-∞，()01f =，当0x >时，()0e x f x >，所以仅在(),0x ∈-∞时存在1个零点．（3）()()2cos g x x g x =，所以()cos 22g x x x g =⎛⎫ ⎪⎝⎭，2cos 44x g x x g ⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎛⎫ ⎪⎝⎭，…，12cos 22n n n x g x x g -⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎛⎫ ⎪⎝⎭将各式相乘得()cos cos cos 2422n n g x x x x x g =⋅⋅⋅⎛⎫ ⎪⎝⎭ cos cos cos sin 1sin 24222sin sin 22n n n n n x x x x x x x ⋅⋅⋅⋅==⋅ ，两侧同时运算极限，所以()1sin sin 22lim lim lim sin sin 222n n n n n n n n x x g x x x x x x g →+∞→+∞→+∞⋅==⋅⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()()sin 2lim 0sin 2n n n x g x x xg x →+∞=，令2n x t =，原式可化为()()0sin lim 0sin t g x x t g x t →=，又()01g =，由（1）得()()sin 0x g x x x =≠，由题意函数()g x 的定义域为(),ππ-，综上，()()()sin ,,00,,1,0.x x g x x x ππ⎧∈-⎪=⎨⎪=⎩。
河北省邯郸市(新版)2024高考数学人教版考试(预测卷)完整试卷
河北省邯郸市（新版）2024高考数学人教版考试(预测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题如图1是一栋度假别墅，它的屋顶可近似看作一个多面体，图2是该屋顶的结构示意图，其中四边形ABFE 和四边形DCFE 是两个全等的等腰梯形，，和是两个全等的正三角形.已知该多面体的棱BF 与平面ABCD 所成的角为45°，，，则该屋顶的表面积为（ ）A．100B ．C ．200D ．第(2)题定义域为R 的函数满足：①对任意，都有；②函数的图象关于y 轴对称.若实数s ，t 满足，则当时，的取值范围为（ ）A．B ．C．D ．第(3)题是等腰直角三角形，其中，是所在平面内的一点，若（且），则在上的投影向量的长度的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．第(4)题设，那么m 等于（ ）A．B ．9C ．18D ．27第(5)题5G 技术的数学原理之一是著名的香农公式：它表示：在受高斯白噪声干拢的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W ﹒信道内所传信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N 的大小．其中叫做信噪比，按照香农公式，在不改变W 的情况下，将信噪比卡从1999提升至，使得C 大约增加了20%，则入的值约为（ ）(参考数据lg2≈0.3，103.96≈9120)A ．9121B ．9119C ．9919D ．10999第(6)题已知数列满足：，，且，则图中第9行所有数的和为………………………… ……A ．1B ．9C ．1022D ．1024第(7)题平行四边形中，，沿将四边形折起成直二面角，且，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．B ．C．D ．第(8)题设实数满足，，，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题某导航通讯的信号可以用函数近似模拟，则下列结论中正确的是（ ）A．函数的最小正周期为B ．将曲线向右平移个单位长度后所得图象与原图象重合C．若，则的最小值为D．若在上恰有3个极大值点，则第(2)题设F为双曲线的焦点，O为坐标原点，若圆心为，半径为2的圆交C的右支于A，B两点，则（）．A．C的离心率为B．C．D．第(3)题如图，在棱长为的正方体中，下列结论成立的是（）A．若点是平面的中心，则点到直线的距离为B．二面角的正切值为C．直线与平面所成的角为D．若是平面的中心，点是平面的中心，则面三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知复数z的实部为0，且满足，其中为虚数单位，则实数a的值是________.第(2)题在中，角所对的边分别为．已知，，，则=_____．第(3)题已知P是△ABC所在平面内一点，，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是_____．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量（=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.46.6563 6.8289.8 1.61469108.8表中，=（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0.2y-x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（ⅰ）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ⅱ）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据,，……，,其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：第(2)题已知数列和满足：.(1)设求的值；(2)设求数列的通项公式；(3)设证明：______.请从下面①，②两个选项中，任选一个补充到上面问题中，并给出证明.①；②其中.注：若两个问题均作答，则按第一个计分.第(3)题已知函数.（1）若的图像恒在x轴下方，求实数a的取值范围；（2）若函数有两个零点m､n，且，求的最大值.第(4)题已知等差数列的前项和为，且，．(1)求值和的通项公式；(2)若求数列的前项和．第(5)题已知，，函数的最小值为2.(1)求的值；(2)求证：.。
重庆市(新版)2024高考数学统编版测试(预测卷)完整试卷
重庆市（新版）2024高考数学统编版测试(预测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知等差数列的前项和为，且关于正整数的不等式与不等式的解集均为．命题：集合中元素的个数一定是偶数个；命题：若数列的公差，且，则．下列说法中正确的是（ ）A ．命题是真命题，命题是假命题B ．命题是假命题，命题是真命题C ．命题是假命题，命题是假命题D ．命题是真命题，命题是真命题第(2)题若，，，则（ ）A．B．C．D．第(3)题已知数列的前n 项和为，且，．若，则正整数k 的最小值为（ ）A ．11B ．12C ．13D ．14第(4)题已知公差不为的等差数列的前项和为，若，，成等比数列，则（ ）A．B．C．D．第(5)题正项等比数列中，，若，则的最小值等于（ ）A ．1B．C．D．第(6)题已知函数的定义域是，则函数的定义域为（ ）A．B．C．D．第(7)题2022年4月23日是第27个世界读书日，以引导全民阅读为出发点，弘扬中华优秀文化，传承中华悠久文明，我校高一年级部举行了“培养阅读习惯，分享智慧人生”为主题的读书竞赛活动.如图所示的茎叶图是甲､乙两个代表队各7名队员参加此次竞赛的成绩，乙队成绩的众数为，则下列关于这两个代表队成绩的叙述中，其中错误的是（）A ．甲队的众数大于乙队的众数B ．甲队的中位数大于乙队的中位数C ．甲队的平均数小于乙队的平均数D ．甲队的方差小于乙队的方差第(8)题在△ABC 中，已知，，，D 为垂足，，则（ ）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题在一个只有一条环形道路的小镇上，有一家酒馆，一个酒鬼家住在，其相对位置关系如图所示.小镇的环形道路可以视为8段小路，每段小路需要步行3分钟时间.某天晚上酒鬼从酒馆喝完酒后离开，因为醉酒，所以酒鬼在每段小路的起点都等可能的选择顺时针或者逆时针的走完这段小路.下述结论正确的是（）A．若酒鬼经过家门口时认得家门，那么酒鬼在10分钟或10分钟以内到家的概率为B．若酒鬼经过家门口时认得家门，那么酒鬼在15分钟或15分钟以内到家的概率为C．若酒鬼经过家门口也不会停下来，那么酒鬼步行15分钟后恰好停在家门口的概率为D．若酒鬼经过家门口也不会停下来，那么酒鬼步行21分钟后恰好停在家门口的概率为第(2)题已知正方体，的棱长为1，点P是正方形上的一个动点，初始位置位于点处，每次移动都会到达另外三个顶点.向相邻两顶点移动的概率均为，向对角顶点移动的概率为，如当点P在点处时，向点，移动的概率均为，向点移动的概率为，则（）A．移动两次后，“”的概率为B．对任意，移动n次后，“平面”的概率都小于C．对任意，移动n次后，“PC⊥平面”的概率都小于D ．对任意，移动n次后，四面体体积V的数学期望（注：当点P在平面上时，四面体体积为0）第(3)题、为实数且，则下列不等式一定成立的是（）A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题对于函数，有下列4个论断：甲：函数有两个减区间；乙：函数的图象过点；丙：函数在处取极大值；丁：函数单调.若其中有且只有两个论断正确，则的取值为______.第(2)题如图，在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的表面积的最小值为______．第(3)题已知直线l为曲线的一条切线，写出满足下列两个条件的函数______.①原点为切点：②切线l的方程为.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图，椭圆的左、右顶点分别为A，B．左、右焦点分别为，，离心率为，点在椭圆C上．(1)求椭圆C的方程；(2)已知P，Q是椭圆C上两动点，记直线AP的斜率为，直线BQ的斜率为，．过点B作直线PQ的垂线，垂足为H．问：在平面内是否存在定点T，使得为定值，若存在，求出点T的坐标；若不存在，试说明理由．第(2)题为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按，，，，分组，绘制频率分布直方图如图所示.试验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只.假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立.（1）填写下面的列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.单位：只抗体指标值合计小于60不小于60有抗体没有抗体合计（2）为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小白鼠产生抗体.（i）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率；（ii）以（i）中确定的概率作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量.试验后统计数据显示，当时，取最大值，求参加人体接种试验的人数及.参考公式：(其中为样本容量)参考数据：0.500.400.250.150.1000.0500.0250.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024第(3)题若数列的前项和满足．(1)证明：数列是等比数列；(2)设，求数列的前项和．第(4)题在①；②；③设的面积为，且.这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上.并加以解答.在中，角，，的对边分别为，，，已知，且.(1)若，求的面积；(2)若为锐角三角形，求的取值范围.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）第(5)题如图，在四边形中，已知点C关于直线BD的对称点在直线AD上，，．(1)求的值；(2)设AC=3，求．。
内蒙古乌海市(新版)2024高考数学人教版模拟(预测卷)完整试卷
内蒙古乌海市（新版）2024高考数学人教版模拟(预测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知函数，若恒成立，则满足条件的实数的个数为（）A．3B．2C．1D．0第(2)题已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A．的最小值是B．的最小正周期为C ．在区间上单调递增D．将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象第(3)题已知抛物线的焦点为F，点P是C上异于原点O的任意一点，线段PF的中点为M，则以F为圆心且与直线OM相切的圆的面积最大值为（）A．B．C．D．第(4)题曲线:，曲线:，它们交点的个数（）A．恒为偶数B．恒为奇数C．不超过D．可超过第(5)题设函数的图象为曲线C，为C上任意一点，过点R的直线PQ与C相切，且与x轴交于点P，与y轴交于点Q，当三角形POQ的面积取得最小值时，的值为（）A．B．C．D．第(6)题已知函数（其中，）的图象如图所示，且满足，则（）A．B．C．D．第(7)题已知圆与抛物线的两个交点是A，B．过点A，B分别作圆和抛物线的切线，，则（）A．存在两个不同的b使得两个交点均满足B．存在两个不同的b使得仅一个交点满足C．仅存在唯一的b使得两个交点均满足D．仅存在唯一的b使得仅一个交点满足第(8)题化简（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题在管理学研究中，有一种衡量个体领导力的模型，称为“五力模型”，即一个人的领导力由五种能力——影响力､控制力､决断力､前瞻力和感召力构成.如图是某企业对两位领导人领导力的测评图，其中每项能力分为三个等级，“一般”记为4分､“较强”记为5分､“很强”记为6分，把分值称为能力指标，则下列判断正确的是（）A．甲､乙的五项能力指标的均值相同B．甲､乙的五项能力指标的方差相同C．如果从控制力､决断力､前瞻力考虑，乙的领导力高于甲的领导力D．如果从影响力､控制力､感召力考虑，甲的领导力高于乙的领导力第(2)题如图，矩形BDEF所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直，，G为线段AE上的动点，则（）A．若G为线段AE的中点，则平面CEFB．C．的最小值为48D．点B到平面CEF的距离为第(3)题已知，均为正数，且，则（）A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题在中，，分别是边，上的点，且，，点是线段上异于端点的一点，且满足，则_________．第(2)题幂函数在上单调递增，在上单调递减，能够使是奇函数的一组整数m，n的值依次是__________．第(3)题记为递增的等比数列的前n项和，若，，则______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题2024年03月04日《人民日报》发表文章《开展全民健身实现全民健康》，文中提到：体育锻炼要从小抓起．“让孩子们跑起来”“要长得壮壮的、练得棒棒的”“体育锻炼是增强少年儿童体质最有效的手段”……习近平总书记的殷殷嘱托，牢牢印刻在广大教育工作者和孩子们的心中．某学校为了了解学生体育锻炼的情况，随机抽取了n名同学，统计了他们每周体育锻炼的时间，作出了频率分布直方图如图所示．其中体育锻炼时间在内的人数为50人．(1)求及的值（的取值保留三位小数）；(2)估计该校学生每周体育锻炼时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(3)我们把每周体育锻炼时间超过8小时的学生称为“运动达人”，为了了解“运动达人”与性别是否有关系，我们对随机抽取的名学生的性别进行了统计，得到如下列联表：非运动达人运动达人总计男生30女生70总计补全列联表，并判断能否有90%的把握认为成为“运动达人”与性别有关？附：0.1000.0500.0250.010k 2.7063.8415.0246.635第(2)题已知函数．(1)若的最小值为1，求a的值；(2)若恒成立，求a的取值范围．第(3)题如图，在斜三棱柱中，，，分别为，的中点，．(1)证明：四边形为正方形．(2)求直线与平面所成角的正弦值．第(4)题如图，三角形和梯形所在的平面互相垂直，，，是线段上一点，.（Ⅰ）当时，求证：平面；（Ⅱ）求二面角的正弦值；（Ⅲ）是否存在点满足平面？并说明理由.第(5)题已知等差数列的前项和为，且，数列满足，设．(1)求的通项公式，并证明：；(2)设，求数列的前项和．。
数学-2023年高考终极押题猜想(新高考专用)(学生版)
2023年高考数学终极押题猜想押题猜想一函数性质(奇偶性、对称性、周期性、单调性)的综合应用 1押题猜想二导数中的零点问题 8押题猜想三三角函数中w的取值范围 17押题猜想四解三角形中的几何图形的计算 22押题猜想五外接球、内切球、棱切球 28押题猜想六立体几何中的翻折问题 34押题猜想七概率与实际生活密切联系 48押题猜想八离心率 58押题猜想九圆锥曲线中的面积问题 64押题猜想十数列放缩 73押题猜想一函数性质(奇偶性、对称性、周期性、单调性)的综合应用(多选题)已知函数f x 满足：①f a+x为偶函数；②f c+x+f c-x=2d，a≠c．f x 是f x 的导函数，则下列结论正确的是( )A.f x 关于x=c对称B.f2x的一个周期为2c-aC.f f x不关于c,d对称 D.f f x关于x=a对称1.(多选题)(2023·全国·模拟预测)已知函数f x ，g x 的定义域均为R，其导函数分别为f x ，g x ．若f3-x+2=g x ，f x =g x+1，且g2-x+g x =0，则()A.函数g x+2为偶函数 B.函数f x 的图像关于点2,2对称C.2024i=1g n =0D.2024i=1f n =-40482.(多选题)(2023·福建莆田·统考二模)已知函数f x 的定义域为R，且f x+yf x-y=f2x -f2y ,f1 =3,f2x+32为偶函数，则()A.f(0)=0B.f x 为偶函数C.f(3+x)=-f(3-x)D.2023k=1f(k)=33.(多选题)(2023·浙江·模拟预测)已知连续函数f(x)及其导函数f (x)的定义域均为R，记g(x)=f (x)，若g3 2-2 3x为奇函数，f34+2x-2x的图象关于y轴对称，则()A.g (3)=0B.g34=g 32C.g (x)在(0,4)上至少有2个零点D.2024k=1g34k+g 34k=30364.(多选题)(2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测)已知函数f x 的定义域为R，f x+12为奇函数，且对于任意x∈R，都有f2-3x=f3x，则()A.f x+1=f x B.f-1 2=0 C.f x+2为偶函数 D.f x-1 2为奇函数5.(多选题)(2023·全国·模拟预测)设定义在R上的函数f x 与g x 的导函数分别为f x 和g x ，若f x+2-g1-x=2，f x =g x+1，且g x+1为奇函数，则下列说法中一定正确的是() A.g1 =0 B.函数g x 的图象关于x=2对称C.2021k=1f kg k =0 D.2022k=1g k=0押题猜想二导数中的零点问题已知函数f x =2-xe x-ax-2．(1)若f x 在R上单调递减，求a的取值范围；(2)当0≤a<1时，求证f x 在0,+∞上只有一个零点x0，且x0<ea+1．1.(2023·全国·模拟预测)已知函数f x =a x -1 2-x ln x +2，a ∈R ．(1)当a =1时，求曲线f x 在点1,f 1 处的切线方程；(2)已知函数g x =f x +x -2 1+e x -1 ，若g x 在1,+∞ 上有两个零点，求实数a 的取值范围．2.(2023·河南洛阳·统考模拟预测)已知函数f x =ax ln x -x 2-2x a >0 ．(1)若a =4，求f x 的极值；(2)g x =f x +2x ，若函数g x 有两个零点x 1,x 2，且x 2x 1>e ，求证：ln a +ln x 1⋅x 2 >3．3.(2023·四川成都·石室中学校考三模)已知函数f(x)=ln x-ln2x+2-a1-2x(a>0)．(1)若函数f(x)在x=1处的切线斜率为13，求实数a的值；(2)若函数f(x)有且仅有三个不同的零点，分别设为x1，x2，x3．(i)求实数a的取值范围；(ii)求证：x1x2x3=8．4.(2023·广东汕头·统考二模)已知函数f(x)=-ln x，g(x)=x3-ax+14，a∈R．(1)若函数g(x)存在极值点x0，且g x1=g x0，其中x1≠x0，求证：x1+2x0=0；(2)用min{m,n}表示m，n中的最小值，记函数h(x)=min{f(x)，g(x)}(x>0)，若函数h(x)有且仅有三个不同的零点，求实数a的取值范围．押题猜想三三角函数中ω的取值范围若存在实数φ，使函数f x =cos ωx +φ -12ω>0 在x ∈π,3π 上有且仅有2个零点，则ω的取值范围为______1.(2023·吉林·统考三模)规定：Max a ,b =a ,a ≥b ,b ,a <b .设函数f x =Max sin ωx ,cos ωx ω>0 ，若函数f x 在π3,π2 上单调递增，则实数ω的取值范围是．2.(2023·四川成都·统考模拟预测)定义在R 上的函数f x =2sin ωx +π3 ω>0 在区间-π6,π6内恰有两个零点和一个极值点，则ω的取值范围是．3.(2023·安徽安庆·校联考模拟预测)已知函数f x =2sin ωx +φ ω≠0,φ <π2 的图象经过点0,3 ，若函数f x 在区间0,π3上既有最大值，又有最小值，而且取得最大值、最小值时的自变量x 值分别只有一个，则实数ω的取值范围是．4.(2023·内蒙古包头·统考一模)记函数f (x )=sin (ωx +φ)ω>0,-π2<φ<π2 的最小正周期为T ．若f T 2 =22,x =π8为f (x )的极小值点，则ω的最小值为．押题猜想四解三角形中的几何图形的计算平面多边形中，三角形具有稳定性，而四边形不具有这一性质．如图所示，四边形ABCD 的顶点在同一平面上，已知AB =BC =CD =2,AD =23．(1)当BD 长度变化时，3cos A -cos C 是否为一个定值？若是，求出这个定值；若否，说明理由．(2)记△ABD 与△BCD 的面积分别为S 1和S 2，请求出S 21+S 22的最大值．1.(2023·广东广州·统考二模)记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知b cos A-a cos B=b-c．(1)求A；(2)若点D在BC边上，且CD=2BD，cos B=33，求tan∠BAD．2.(2023·全国·模拟预测)记△ABC的内角∠A，∠ABC，∠C的对边分别为a，b，c．已知sin A+sin C=sin2∠ABC+sin A sin C，D为AC上一点，bc sin∠ABD+ab sin∠CBD=33ac．2(1)求BDAC的值．(2)若2CD=AD，求∠A与∠C的大小．3.(2023·江西九江·统考一模)在△ABC中，AC=13，D为∠ABC的角平分线上一点，且与B分别位于边AC的两侧，若∠ADC=150°，AD=2.(1)求△DAC的面积;(2)若∠ABC=120°，求BD的长．4.(2023·全国·高三专题练习)如图，在平面四边形ABCD中，△BCD的面积是△ABD的面积的23倍．∠DBC=2∠ABD，AB=1，BC=2．(1)求∠ABD的大小；(2)若点E,D在直线AC同侧，∠AEC=π3，求AE+EC的取值范围．押题猜想五外接球、内切球、棱切球(多选题)已知圆锥PE的顶点为P，E为底面圆的圆心，圆锥PE的内切球球心为O1，半径为r；外接球球心为O2，半径为R．以下选项正确的有( )A.当O1与O2重合时，R=3rB.当E与O2重合时，R=(1+2)rC.若r=2，则圆锥PE的体积的最小值为643πD.若R=2，则圆锥PE的体积的最大值为25627π1.(2023·全国·模拟预测)如图所示的三棱锥S-ABC中，SC⊥BC，SC⊥AC，BC⊥AB，AB⊥SB，且AB⋅BC=10，SC=5，则其外接球体积的最小值为()A.125π6B.20π C.25π D.65π32.(2023·广东·统考模拟预测)已知某圆锥的内切球(球与圆锥侧面､底面均相切)的体积为32π3，则该圆锥的表面积的最小值为()A.32πB.28πC.24πD.20π3.(2023·陕西商洛·统考二模)在三棱锥A-BCD中，底面△BCD是边长为2的等边三角形，△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，若二面角A-BC-D的大小为120°，则三棱锥A-BCD外接球的表面积为．4.(2023·河南·高三清丰县第一高级中学校联考阶段练习)在正三棱锥P-ABC中，AB=6，PA=43，若球O与三棱锥P-ABC的六条棱均相切，则球O的表面积为．押题猜想六立体几何中的翻折问题(多选题)如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=23，CB=2，DE是△ABC的中位线，沿DE将△ADE进行翻折，连接AB，AC得到四棱锥A-BCED(如图2)，点F为AB的中点，在翻折过程中下列结论正确的是( )A.当点A与点C重合时，三角形ADE翻折旋转所得的几何体的表面积为3+32+3πB.四棱锥A-BCED的体积的最大值为32C.若三角形ACE为正三角形，则点F到平面ACD的距离为32D.若异面直线AC与BD所成角的余弦值为34，则A、C两点间的距离为231.(多选题)(2023·山东潍坊·统考模拟预测)如图，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角△ABC沿BC 向上翻折，得三棱锥A-BCD，设CD=2，点E,F分别为棱BC,BD的中点，M为线段AE上的动点，下列说法正确的是()A.不存在某个位置，使AC⊥CDB.存在某个位置，使AB⊥CDC.当三棱锥A-BCD体积取得最大值时，AD与平面ABC成角的正弦值为63D.当AB=AD时，CM+FM的最小值为4+222.(2023·陕西西安·西安中学校考模拟预测)如图，已知△AB'C是边长为2的等边三角形，D是AB'的中点，DH⊥B′C，如图，将△B'DH沿边DH翻折至△BDH．(1)在线段BC上是否存在点F，使得AF∥平面BDH？若存在，求BFFC的值；若不存在，请说明理由；(2)若平面BHC与平面BDA所成的二面角的余弦值为13，求三棱锥B-DCH的体积．3.(2023·湖南·高三长郡中学校联考阶段练习)如图①，已知△AB C是边长为2的等边三角形，D是AB 的中点，DH⊥B C，如图②，将△B DH沿边DH翻折至△BDH．(1)在线段BC上是否存在点F，使得AF⎳平面BDH？若存在，求BFFC的值；若不存在，请说明理由；(2)若平面BHC与平面BDA所成的二面角的余弦值为13，求三棱锥B-DCH的体积．4.(2023·全国·高三专题练习)如图1，在边长为4的菱形ABCD 中，∠DAB =60°，点M ，N 别是边BC ，CD 的中点，AC ∩BD =O 1，AC ∩MN =G ．沿MN 将△CMN 翻折到△PMN 的位置，连接PA 、PB 、PD ，得到如图2所示的五棱锥P -ABMND ．(1)在翻折过程中是否总有平面PBD ⊥平面PAG ？证明你的结论；(2)当四棱锥P -MNDB 体积最大时，在线段PA 上是否存在一点Q ，使得平面QMN 与平面PMN 夹角的余弦值为1010？若存在，试确定点Q 的位置；若不存在，请说明理由．5.(2023·山东青岛·统考模拟预测)已知平面四边形ABCE (图1)中，△ACE ，△ABC 均为等腰直角三角形，M ，N 分别是AC ，BC 的中点，AB =AC =4，∠AEC =90°，沿AC 将△ACE 翻折至△ACD 位置(图2)，拼成三棱锥D -ABC ．(1)求证：平面ABC ⊥平面DMN ；(2)当二面角D -AC -B 的二面角为60°时，①求直线DN 与平面ABD 所成角的正弦值；②求C 点到面ABD 的距离．押题猜想七概率与实际生活密切联系今年5月以来，世界多个国家报告了猴痘病例，非洲地区猴痘地方性流行国家较多．9月19日，中国疾控中心发布了我国首例“输入性猴痘病例”的溯源公告．我国作为为人民健康负责任的国家，对可能出现的猴痘病毒防控已提前做出部署，同时国家卫生健康委员会同国家中医药管理局制定了《猴痘诊疗指南(2022年版)》．此《指南》中指出：①猴痘病人潜伏期5-21天；②既往接种过天花疫苗者对猴痘病毒存在一定程度的交叉保护力．据此，援非中国医疗队针对援助的某非洲国家制定了猴痘病毒防控措施之一是要求与猴痘病毒确诊患者的密切接触者集中医学观察21天．在医学观察期结束后发现密切接触者中未接种过天花疫苗者感染病毒的比例较大．对该国家200个接种与未接种天花疫苗的密切接触者样本医学观察结束后，统计了感染病毒情况，得到下面的列联表：接种天花疫苗与否/人数感染猴痘病毒未感染猴痘病毒未接种天花疫苗3060接种天花疫苗2090(1)根据小概率值α=0.01的独立性检验，判断密切接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗是否有关？(2)以样本中结束医学现察的密切接触者感染猴痘病毒的频率估计概率．现从该国所有结束医学观察的密切接触者中随机抽取4人进行感染猴痘病毒人数统计，求其中至多有1人感染猴痘病毒的概率：(3)该国现有一个中风险村庄，当地政府决定对村庄内所有住户进行排查．在排查期间，发现一户3口之家与确诊患者有过密切接触，这种情况下医护人员要对其家庭成员逐一进行猴痘病毒检测．每名成员进行检测后即告知结果，若检测结果呈阳性，则该家庭被确定为“感染高危家庭”．假设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为p0<p<1且相互独立．记：该家庭至少检测了2名成员才能确定为“感染高危家庭”的概率为f p ．求当p为何值时，f p 最大？附：X2=n ad-bc2a+bc+da+cb+dP(x2≥k0)0．10．050．010 k02．7063．8416．6351.(2023·浙江杭州·统考二模)马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是⋯，X t-2，X t-1，X t，X t+1，⋯，那么X t+1时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态X t，即P X t+1 ⋅⋅⋅,X t-2,X t-1,X t．=P X t+1 X t现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型．假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为50%，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为50%，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：一种是手中赌金为0元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博．记赌徒的本金为A A∈N*,A<B，赌博过程如下图的数轴所示．当赌徒手中有n元(0≤n≤B，n∈N)时，最终输光的概率为P n，请回答下列问题：(1)请直接写出P0 与P B 的数值．(2)证明P n是一个等差数列，并写出公差d．(3)当A=100时，分别计算B=200，B=1000时，P A 的数值，并结合实际，解释当B→∞时，P A 的统计含义．2.(2023·河北·统考模拟预测)随着网络技术的迅速发展，直播带货成为网络销售的新梁道．某服装品牌为了给所有带货网络平台分配合理的服装量，随机抽查了100个带货平台的销售情况，销售每件服装平均所需时间情况如下频率分布直方图．(1)求m 的值，并估计出这100个带货平台销售每件服装所用时间的平均数a 和中位数；(2)假设该服装品牌所有带货平台销售每件服装平均所需时间X 服从正态分布N μ,σ2 ，其中μ近似为a ，σ2=100．若该服装品牌所有带货平台约有10000个，销售每件服装平均所需时间在14.4,44.4 范围内的平台属于“合格平台”．为了提升平台销售业务，该服装品牌总公司对平台进行奖罚制度，在时间大于44．4分钟的平台中，每个平台每卖一件扣除100s 3170<s <10 ；在时间小于14．4分钟的平台中，每卖一件服装进行奖励s 323元，以资鼓励；对于“合格平台”每卖一件服装奖励1元．求该服装品牌总公司在所有平台均销售一件服装时总共需要准备多少资金作为本次平台销售业务提升．(结果保留整数)附：若X 服从正态分布X ~N μ,σ2 ，则P μ-σ<X <μ+σ =0.683，P μ-2σ<X <μ+2σ =0.954，P μ-3σ<X <μ+3σ =0.997．参考数据：6≈2.45．3.(2023·广东·统考二模)甲、乙两名围棋学员进行围棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为α，乙获胜的概率为β，两人平局的概率为γ(α+β+γ=1,α>0,β>0,γ≥0)，且每局比赛结果相互独立．(1)若α=25，β=25，γ=15，求进行4局比赛后甲学员赢得比赛的概率；(2)当γ=0时，(i)若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X的分布列及期望E(X)的最大值；(ii)若比赛不限制局数，写出“甲学员赢得比赛”的概率(用α，β表示)，无需写出过程．4.(2023·福建厦门·统考二模)移动物联网广泛应用于生产制造、公共服务、个人消费等领域．截至2022年底，我国移动物联网连接数达18．45亿户，成为全球主要经济体中首个实现“物超人”的国家．右图是2018-2022年移动物联网连接数W 与年份代码t 的散点图，其中年份2018-2022对应的t 分别为1~5．(1)根据散点图推断两个变量是否线性相关．计算样本相关系数(精确到0．01)，并推断它们的相关程度；(2)(i )假设变量x 与变量Y 的n 对观测数据为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，⋯，(x ，y )，两个变量满足一元线性回归模型 Y =bx +e E (e )=0,D (e )=σ2 (随机误差e i =y i -bx i )．请推导：当随机误差平方和Q =n i =1e 2i 取得最小值时，参数b 的最小二乘估计．(ii )令变量x =t -t ,y =w -w ，则变量x 与变量Y 满足一元线性回归模型Y =bx +e E (e )=0,D (e )=σ2 利用(i )中结论求y 关于x 的经验回归方程，并预测2024年移动物联网连接数．附：样本相关系数r =n i =1t i -t (w i -w ) n i =1t i -t 2n i =1w i -w 2，5i =1w i -w 2=76.9，5i =1t i -t w i -w =27.2，5i =1w i =60.8，769≈27.75.(2023·湖南长沙·湖南师大附中校考一模)第22届世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔尔举办．在决赛中，阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军．(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有23的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数X 的分布列和期望；(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲､乙､丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n 次传球之前球在甲脚下的概率为pn ，易知p 1=1,p 2=0．①试证明：p n -13为等比数列；②设第n 次传球之前球在乙脚下的概率为qn ，比较p 10与q 10的大小．押题猜想八离心率下图是单叶双曲面的立体结构图，且为中心对称图形，此双曲面可由一根长度为4的线段AB 绕与其不共面的直线l 旋转而成，其轴截面为双曲线的一部分，若这两条异面直线所成的角为30°，垂直于旋转轴的截面圆的面积最小值为π，则双曲线的离心率为_________．1.(2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1-1,0 ，F 21,0 ，点P 在E 及直线x -y +5=0上．若PF 1 ⋅PF 2 ≤1615b 2，则E 的离心率的取值范围是．2.(2023·全国·东北师大附中校联考模拟预测)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的右焦点为F c ,0 ，过点F 且斜率为2的直线与双曲线C 的两条渐近线分别交于M ､N 两点，若P 是线段MN 的中点，且PF =55c ，则双曲线的离心率为．3.(2023·山东日照·统考二模)双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为l 1,l 2，经过右焦点F 垂直于l 1的直线分别交l 1,l 2于A ，B 两点，若OA ,AB ,OB 成等差数列，且BF 与FA 方向相反，则双曲线的离心率为．4.(2023·湖南长沙·湖南师大附中校考一模)已知椭圆C 1与双曲线C 2有共同的焦点F 1､F 2，椭圆C 1的离心率为e 1，双曲线C 2的离心率为e 2，点P 为椭圆C 1与双曲线C 2在第一象限的交点，且∠F 1PF 2=π3，则1e 1+1e 2的最大值为．5.(2023·湖南永州·统考三模)已知双曲线Ω：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 ，圆O ：x 2+y 2=a 2+b 2与x 轴交于A ,B 两点，M ,N 是圆О与双曲线在x 轴上方的两个交点，点A ,M 在y 轴的同侧，且AM 交BN 于点C ．若OM +CN =MA +ON ，则双曲线的离心率为．押题猜想九圆锥曲线中的面积问题1.“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸(如图)步骤1：设圆心是E ，在圆内异于圆心处取一点，标记为F ；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F ；步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕．已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆．若取半径为4的圆形纸片，设定点F 到圆心E 的距离为23，按上述方法折纸．(1)以点F 、E 所在的直线为x 轴，建立适当的坐标系，求折痕围成的椭圆C 的标准方程；(2)设椭圆C 的下顶点为D ，过点D 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，这两条直线与椭圆C 的另一个交点分别为M ，N ．设l 1的斜率为k k ≠0 ，△DMN 的面积为S ，当S k>169时，求k 的取值范围．1.(2023·重庆九龙坡·统考二模)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的离心率为12，左､右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线y =t x +1 交椭圆于M ，N 两点，交y 轴于P 点，PM =λMF 1 ，PN =μNF 1，记△OMN ，△OMF 2，△ONF 2的面积分别为S 1，S 2，S 3．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若S 1=mS 2-λS 3，-3≤μ≤-43，求m 的取值范围．2.(2023·全国·高三专题练习)已知O 为坐标原点，点P 3,12在椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上，椭圆C 的左右焦点分别为F 1,F 2，且F 1F 2 =23．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若点P 0,P 1,P 2在椭圆C 上，原点O 为△P 0P 1P 2的重心，证明：△P 0P 1P 2的面积为定值．3.(2023·江苏常州·常州市第三中学校考模拟预测)已知过点P(1,0)的直线l与抛物线C:x2=2py(p>0)相交于A，B两点，当直线l过抛物线C的焦点时，|AB|=8．(1)求抛物线C的方程；(2)若点Q(0,-2)，连接QA，QB分别交抛物线C于点E，F，且△QAB与△QEF的面积之比为1:2，求直线AB的方程．4.(2023·浙江宁波·统考二模)已知双曲线E:x2a2-y2a2=1，点D(0,2)与双曲线上的点的距离的最小值为3．(1)求双曲线E的方程；(2)直线l:y=kx+m与圆C:x2+(y+2)2=1相切，且交双曲线E的左、右支于A，B两点，交渐近线于点M，N．记△DAB，△OMN的面积分别为S1，S2，当S1-4S2=87时，求直线l的方程．押题猜想十数列放缩已知数列a n 中，a 1=1，S n 为数列a n 的前n 项和，且S n +1=a n +2a n⋅S n ．(1)求数列a n 的通项公式；(2)若数列b n 满足b 1+22⋅b 2+32⋅b 3+⋯+n 2⋅b n =a n n ∈N * ，T n 为数列b n 的前n 项和，求证：T n <2．1.(2023·全国·模拟预测)已知S n 是各项均为正数的数列a n 的前n 项和，a 2n +1-4a n +1a n -5a 2n =0，S 5=781．(1)求a n ；(2)若b n =a n +14S n S n +1，数列b n 的前n 项和为T n ，求证：T n <14．2.(2023·天津·校联考二模)已知数列a n 满足：2a n +1=a n +a n +2∀n ∈N * ，正项数列b n 满足：b 2n +1=b n ⋅b n +2∀n ∈N * ，且2a 1=b 1=2，a 4=b 2，b 5=4b 3．(1)求a n ，b n 的通项公式；(2)已知c n =a 2n -1,n 为奇数3a n -2 b n -2b n +1 b n +2+1,n 为偶数 ，求：2n +1k =1c k；(3)求证：1a 31+1a 32+1a 33+⋯+1a 3n<54．3.(2023·河南·校联考二模)已知数列a n 满足a 1=23，且2a n +1-a n +1a n =1，n ∈N *．(1)证明：数列11-a n是等差数列，并求数列a n 的通项公式；(2)记T n =a 1a 2a 3⋅⋅⋅a n ，n ∈N *，S n =T 21+T 22+⋅⋅⋅+T 2n ．证明：S n >413-1n +3．4.(2023·安徽蚌埠·统考三模)已知数列a n满足a1=1，a2n+1=a2n+1，a2n=2a2n-1．(1)求数列a n的通项公式；(2)设T n=1a1+1a2+⋯+1a n，求证：T2n<3．5.(2023·全国·高三专题练习)已知数列a n前n项积为T n，且a n+T n=1(n∈N*)．(1)求证：数列11-a n为等差数列；(2)设S n=T21+T22+⋅⋅⋅+T2n，求证：S n>a n+1-12．。
河南省郑州市2024年数学(高考)统编版模拟(预测卷)模拟试卷
河南省郑州市2024年数学（高考）统编版模拟(预测卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限第(2)题已知集合，，，则（）A．B．C．D．第(3)题若，则（）A．B．C．D．第(4)题某企业为了解员工身体健康情况，采用分层抽样的方法从该企业的营销部门和研发部门抽取部分员工体检，已知该企业营销部门和研发部门的员工人数之比是4：1且被抽到参加体检的员工中，营销部门的人数比研发部门的人数多72，则参加体检的人数是（）A．90B．96C．102D．120第(5)题已知某三角形的三边长分别为4、5、6，则该三角形最大内角的余弦值为（）A．B．C．D．第(6)题已知，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限第(7)题在空间中，下列命题是真命题的是（）A．三条直线最多可确定1个平面B．三条直线最多可确定2个平面C．三条直线最多可确定3个平面D．三条直线最多可确定4个平面第(8)题某学校开展“五育并举”的选修课，其中体育开设了6门课，分别为篮球､足球､排球､网球､羽毛球､乒乓球，甲､乙两名学生准备从中各选择2门课学习，则甲､乙选修的课中至少有1门相同的概率为（）A．B．C．D．二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。
在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。
全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分） (共3题)第(1)题为得到函数的图象，只需要将函数的图象（）A ．向左平行移动个单位B．向左平行移动个单位C ．向右平行移动个单位D．向右平行移动个单位第(2)题如图，一个半径为3m的筒车，按逆时针方向匀速旋转1周.已知盛水筒Р离水面的最大距离为5.2m，旋转一周需要60s.以P刚浮出水面时开始计算时间，Р到水面的距离d（单位：m）（在水面下则d为负数）与时间t（单位：s）之间的关系为，，下列说法正确的是（）A．B．C．D．离水面的距离不小于3.7m的时长为20s第(3)题在正四棱柱中，已知，，则下列说法正确的有（）A．异面直线与的距离为B．直线与平面所成的角的余弦值为C．若该正四棱柱的各顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为D．以A为球心，半径为2的球面与该正四棱柱表面的交线的总长度为三、填空（本题包含3个小题，每小题5分，共15分。
湖北省武汉市2024年数学(高考)统编版测试(预测卷)模拟试卷
湖北省武汉市2024年数学（高考）统编版测试(预测卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题已知定义在上的奇函数满足，当时，，且，则A．B．C．4D．12第(2)题已知函数，为的导函数，则下列结论正确的个数是（）①当时，；②函数在上只有一个零点；③函数在上存在极小值点；④在上无实根．A．1B．2C．3D．4第(3)题已知椭圆内有一定点，过点P的两条直线，分别与椭圆交于A、C和B、D两点，且满足，，若变化时，直线CD的斜率总为，则椭圆的离心率为A．B．C．D．第(4)题已知角的始边为轴的非负半轴，终边经过点，则（）A．2B．C．或2D．第(5)题已知圆，直线.若直线与圆相交所得的弦长为8，则（）A．或2B．或12C．或12D．或1第(6)题若复数z满足，则z的共轭复数对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限第(7)题已知，是两个不同的平面，则下列命题错误的是（）A．若，且，则B．若A，B，C是平面内不共线三点，，，则C．若直线，直线，则a与b为异面直线D．若A，B是两个不同的点，且，则直线第(8)题已知全集，集合，，则（）．A．B．C．D．二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。
在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。
全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分） (共3题)第(1)题在平面直角坐标系中，点是拋物线的焦点，到的准线的距离为2，点是上的动点，过点且与相切的直线与轴交于点是准线上的一点，且，则下列说法正确的是（）A．B．当点的横坐标为2时，直线的斜率为1C．设，则的最小值为D．成等差数列第(2)题是定义在区间上的奇函数，其图像如图所示．令，则下列关于函数的叙述正确的是（）A．若，则函数的图象关于原点对称B．若，则方程有大于2的实根C．若，则方程有两个实根D．若，则方程有三个实根第(3)题已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则（）A．函数的周期为B ．函数的图象关于直线对称C ．函数在区间上单调递减D．函数在区间上的最小值为三、填空（本题包含3个小题，每小题5分，共15分。
吉林省吉林市(新版)2024高考数学人教版模拟(预测卷)完整试卷
吉林省吉林市（新版）2024高考数学人教版模拟(预测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知函数，若在上有且仅有四个不相等的实数根，则的取值范围为（）A．B．C．D．第(2)题为了得到函数，的图象，只需把函数，的图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）B．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）D．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）第(3)题某新能源汽车生产公司，为了研究某生产环节中两个变量之间的相关关系，统计样本数据得到如下表格：由表格中的数据可以得到与的经验回归方程为，据此计算，下列选项中残差的绝对值最小的样本数据是（）A．B．C．D．第(4)题已知函数，若函数恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．第(5)题如图，在直三棱柱中，点D，E分别在棱上，，点满足，若平面，则的值为（）A．B．C．D．第(6)题银行贷款年还款，其中A是贷款额度，r是年利率，n是贷款年数.小李在某银行贷款100000元用于买房，年利率是5%，每年需归还23098元，则小李的贷款年数为（）（参考数据：，，）A．8B．7C．6D．5第(7)题把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（）A．B．C．D．第(8)题中，，，，则（）A．2B．3C．D．4二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知，，为单位向量，若，则（）A．B．C．D．第(2)题已知长轴长、短轴长和焦距分别为、和的椭圆，点是椭圆与其长轴的一个交点，点是椭圆与其短轴的一个交点，点和为其焦点，．点在椭圆上，若，则（）A．，，成等差数列B．，，成等比数列C．椭圆的离心率D．的面积不小于的面积第(3)题函数（）的图象如图所示，则（）A．的最小正周期为B ．是奇函数C．的图象关于直线对称D．若（）在上有且仅有两个零点，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题的展开式的常数项为__________．第(2)题已知函数是定义在上的奇函数，且，则_________.第(3)题第14届国际数学教育大会将于7月在上海举办，大会一共进行8天.若有4位学者分别作个人大会报告，一天只能安排一个报告，且第一天和最后一天不安排报告，则不同的安排方案种数为___________(用数字作答).四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知三棱锥（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中：(1)证明：平面平面；(2)若点M在棱上运动，当直线与平面所成的角最大时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．第(2)题电信诈骗是指通过电话、网络和短信等方式，编造虚假信息，设置骗局，对受害人实施远程诈骗的犯罪行为.随着5G时代的全面来临，借助手机、网银等实施的非接触式电信诈骗迅速发展蔓延，不法分子甚至将“魔爪”伸向了学生.为了增强同学们的防范意识，某校举办了主题为“防电信诈骗，做反诈达人”的知识竞赛.(1)已知该校参加本次竞赛的学生分数近似服从正态分布，若某同学成绩满足，则该同学被评为“反诈标兵”；若，则该同学被评为“反诈达人”.（i）试判断分数为88分的同学能否被评为“反诈标兵”；（ii）若全校共有40名同学被评为“反诈达人”，试估计参与本次知识竞赛的学生人数（四舍五入后取整）.(2)已知该学校有男生1000人，女生1200人，经调查有750名男生和600名女生了解“反诈”知识，用样本估计总体，现从全校随机抽出2名男生和3名女生，这5人中了解“反诈”知识的人数记为，求的分布列及数学期望.参考数据：若，则，，第(3)题2023年9月23日至10月8日，第19届亚洲运动会在中国杭州举行，这是我国继北京、广州亚运会后第三次举办亚运会，浙江某市一调研机构为了解本市市民对“亚运会”相关知识的认知程度，举办了一次“亚运会”网络知识竞赛，满分100分，并规定成绩不低于80分的市民获得优秀奖，成绩不低于70分的市民则认为成绩达标，现从参加了竞赛的男、女市民中各抽取了100名市民的竞赛成绩作为样本进行数据分析，对男市民的竞赛成绩进行统计后，得到如下图所示的成绩频率分布直方图．(1)试分别估计男市民成绩达标以及获得优秀奖的概率；(2)已知样本中女市民获得优秀奖的人数占比为5%，则是否有99.9%的把握认为该市市民在这次知识竞赛中获得优秀奖与性别有关？附：，其中．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828第(4)题某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，空气中释放的浓度（单位：毫米/立方米）随着时间（单位：小时）变化的关系如下：当时，；当时，．若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到杀灭空气中的病毒的作用．(1)若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？(2)若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒个单位的消毒剂，要使接下来的4小时中能够持续有效消毒，试求的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4）第(5)题如图对称轴为坐标轴，焦点均在轴上的两椭圆，的离心率相同且均为，椭圆过点且其上顶点恰为椭圆的上焦点．是椭圆上异于，的任意一点，直线与椭圆交于，两点，直线与椭圆交于，两点．（1）求椭圆，的标准方程．（2）证明：．（3）是否为定值？若为定值．则求出该定值；否则，说明理由．。
2024届广西壮族自治区贵港市高考模拟预测数学试题(解析版)
高三年级数学考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合4|02x A x x -⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭，23{|log (9)}B x y x ==-，则R ()A B = ð（）A.[2,3]-B.(2,3]- C.(2,4]- D.[3,4]【答案】B 【解析】【分析】先解不等式求出两个集合，再求出R B ð，然后求()A B R ð即可.【详解】由402x x -≤+，得(4)(2)020x x x -+≤⎧⎨+≠⎩，解得24x -<≤，所以(2,4]A =-，由290x ->，得3x <-或3x >，所以(,3)(3,)B =-∞-+∞ ，所以R [3,3]B =-ð，所以(2,3]A B =-R ð．故选：B2.已知正方形ABCD 的四个顶点都在椭圆上，且椭圆的两个焦点分别为边AD 和BC 的中点，则该椭圆的离心率为（）A.22B.12-C.12- D.32【答案】C 【解析】【分析】设正方形的边长为2，边AD 和BC 的中点分别为,E F ，则2c EF =，2a DE DF =+，从而可求出离心率.【详解】设正方形的边长为2，边AD 和BC 的中点分别为,E F ，椭圆的长半轴长为a （0a >），半焦距为c （0c >），连接,EF DF ，则22c EF ==，211a DE DF =+=+=+，所以离心率12c e a -==．故选：C3.下列说法中错误的是（）A.独立性检验的本质是比较观测值与期望值之间的差异B.两个变量x ，y 的相关系数为r ，若r 越接近1，则x 与y 之间的线性相关程度越强C.若一组样本数据(,)i i x y （1,2,3,,i n = ）的样本点都在直线0.983y x =+上，则这组数据的相关系数r 为0.98D.由一组样本数据(,)i i x y （1,2,3,,i n = ）求得的回归直线方程为 0.983y x =+，设0.983i i y x =+，则2121()1(ni ii nii y y y y ==-<-∑∑【答案】C 【解析】【分析】根据独立检验和线性回归方程的相关性质进行判断，得到答案.【详解】A ，独立性检验的本质是比较观测值与期望值之间的差异，从而确定研究对象是否有关联，A 正确；B ，两个变量x ，y 的相关系数为r ，若r 越接近1，则x 与y 之间的线性相关程度越强，B 正确；C ，若一组样本数据(,)i i x y （1,2,3,,i n = ）的样本点都在直线0.983y x =+上，则这组数据的相关系数r 为1，C 错误；D ，由残差分析可知，2121()(nii i n ii yy yy ==--∑∑介于0与1之间，D 正确.故选：C4.在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，且2=AD AB ，点E 是棱BC 上的动点（包括端点），则满足PE DE ⊥的E 点有（）A.0个 B.1个C.2个D.3个【答案】B 【解析】【分析】假设存在点E ，连接AE ，由题可证DE ⊥底面PAE ，所以得到DE AE ⊥，由此可知，点E 在以AD 为直径的圆上，根据圆与直线的位置关系可知，此圆与直线BC 相切.【详解】如图，连接AE ．由已知可得PE DE ⊥，PA DE ⊥，又PA PE P = ，所以DE ⊥底面PAE ，所以DE AE ⊥，所以点E 在以AD 为直径的圆上，又由几何关系可知，以AD 为直径的圆与直线BC 相切，故满足条件的点E 只有1个．故选：B5.已知等差数列{}n a 的公差不为0，20240a =，给定正整数m ，使得对任意的*n ∈N （n m <且m>2）都有1212n m n a a a a a a -+++=+++ 成立，则m 的值为（）A.4047B.4046C.2024D.4048【答案】A 【解析】【分析】分n m n >-与n m n <-两种情况，结合等差数列的性质和140470a a +=得到方程，求出4047m =.【详解】若n m n >-，由题意知120m n m n n a a a -+-++++= ，由等差数列的性质知，若p q s t +=+，则有p q s t a a a a +=+，所以10m n n a a -++=，因为公差0d ≠，且20240a =，所以140470a a +=，所以14048m n n -++=，所以4047m =．若n m n <-，可得120n n m n a a a ++-+++= ，由等差数列性质知，若p q s t +=+，则有p q s t a a a a +=+，所以10n m n a a +-+=，因为公差0d ≠，且20240a =，所以140470a a +=，所以14048n m n ++-=，所以4047m =．故选：A6.已知函数41()log (41)2xf x x =+-，若(1)(21)f a f a -≤+成立，则实数a 的取值范围为（）A.(,2]-∞-B.(,2][0,)-∞-⋃+∞ C.4[2,3- D.4(,2][,)3-∞-+∞ 【答案】B 【解析】【分析】判断函数的奇偶性和单调性，根据函数的性质，把函数不等式转化为代数不等式，再求解即可.【详解】4441()log log (22)2x x xxf x -+==+，所以()()f x f x -=，即()f x 为偶函数，对函数22x x y -=+，,()0x ∈+∞，则()2ln 22ln 2xxy -=+-'()ln 222x x -=-，因为,()0x ∈+∞，所以21x >，21x -<，所以220x x -->，故0'>y 在(0,)+∞上恒成立.所以函数22x x y -=+在(0,)+∞上单调递增，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增.所以(1)(21)f a f a -≤+⇒121a a -≤+，所以2221441a a a a -+≤++⇒2360a a +≥，解得0a ≥或2a ≤-．故选：B7.2024年4月6号岳阳马拉松暨全国半程马拉松锦标赛（第三站）开赛，比赛结束后，其中5男3女共8位运动员相约在赛道旁站成前后两排合影，每排各4人，若男运动员中恰有2人左右相邻，则不同的排列方法共有（）A.732种B.2260种C.4320种D.8640种【答案】D 【解析】【分析】依题意只能一排3男1女，另一排2男2女，且相邻的2位男运动员在“3男1女”这一排中，按照先选人，再排列，相邻问题用捆绑法，最后按照分步乘法计数原理计算可得．【详解】根据题意，只能一排3男1女，另一排2男2女，且相邻的2位男运动员在“3男1女”这一排中．先确定“3男1女”这一排，5男选3人，3女选1人，所选3男选2人相邻，与余下的1男安排在1女的两侧，排列方法有31225332C C A A 360=种，再确定“2男2女”这一排，2男先排好有22A ，2女相邻并放在2男之间有221A ⨯种，或2女放在2男成排的两空有222A ⨯种方式，排列方法有22223A A 12=种，因此，不同的排列方法总数为2360128640⨯⨯=．故选：D8.已知圆C ：22(2)(2)4x y -+-=，直线l ：(2)40m x my +--=，若l 与圆C 交于A ，B 两点，设坐标原点为O ，则||2||OA OB +的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D 【解析】【分析】求出圆C 的圆心及半径，直线l 所过定点，借助向量运算得22||||24OA OB +=，利用三角代换结合辅助角公式及三角函数性求出最大值.【详解】圆C ：22(2)(2)4x y -+-=的圆心为(2,2)C ，半径为2，||OC =直线l 的方程可化为()240m x y x -+-=，于是l 过定点(2,2)，且||4AB =，显然2OC OA OB =+，即22242OC OA OB OA OB =++⋅，又2222AB OA OB OA OB =+-⋅，因此22221||||(4||||)242OA OB OC AB +=+=，设||OA θ=，||OB θ=，显然||,||2,2)OA OB ∈，则||2||)OA OB θϕ+=+≤1tan 2ϕ=，当π2θϕ+=时等号成立，此时tan 2θ=，||2)5OA ==∈-+，符合条件，所以||2||OA OB +的最大值为．故选：D【点睛】思路点睛：涉及22(0)x y a a +=>并求关于,x y 的二元函数的最值，可以令x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，借助三角变换及三角函数性质求解.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段11AC 的中点，Q 为线段1BC 上的动点（不包括端点），则（）A.存在点Q ，使得//PQ BDB.存在点Q ，使得PQ ⊥平面11AB C DC.三棱锥Q APD -的体积是定值D.二面角11Q A C D --的余弦值为13【答案】BD 【解析】【分析】A 选项，由//PQ BD 推出//BD 平面11A C B ，矛盾；B 选项，建立空间直角坐标系，证明出11A B AB ⊥，111A B B C ⊥，得到线面垂直，进而当Q 为1BC 的中点时，1//PQ A B ，此时PQ ⊥平面11AB C D ，故B 正确；C 选项，假设体积为定值，得到1//BC 平面APD ，求出平面的法向量，证明出1//BC 平面APD 不成立，C 错误；D 选项，找到二面角的平面角，利用余弦定理求出余弦值.【详解】对于A ，若//PQ BD ，因为BD ⊄平面11A C B ，PQ ⊂平面11A C B ，所以//BD 平面11A C B ，矛盾，故A 错误．对于B ，以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则()()()()()1112,0,0,2,2,2,2,0,2,2,2,0,0,2,2A B A B C ，因为()()()()()()112,2,22,0,00,2,2,2,2,02,0,20,2,2AB A B =-==-=-，()()()110,2,22,2,22,0,0B C =-=-，故()()110,2,20,2,2440AB A B ⋅=⋅-=-= ，()()1112,0,00,2,20B C A B ⋅=-⋅-=，故11A B AB ⊥，111A B B C ⊥，因为1111AB B C B ⋂=，111,AB B C ⊂平面11AB C D ，故1A B ⊥平面11AB C D ，当Q 为1BC 的中点时，1//PQ A B ，此时PQ ⊥平面11AB C D ，故B正确．对于C ，Q 在线段1BC 上运动，若三棱锥Q APD -的体积为定值，则1//BC 平面APD ，()()()()1,1,2,1,1,22,0,01,1,2P AP =-=- ，()2,0,0DA =，设平面APD 的法向量为(),,m x y z =，则()()()(),,2,0,020,,1,1,220m DA x y z x m AP x y z x y z ⎧⋅=⋅==⎪⎨⋅=⋅-=-++=⎪⎩，解得0x =，令1z =得=2y -，故()0,2,1m =-，故()()12,0,20,2,12BC m ⋅=-⋅-= ，故1BC 与()0,2,1m =-不垂直，故1//BC 平面APD 不成立，故C 错误；对于D ，二面角11Q A C D --即二面角11B A C D --，连接BP ，DP ，BD ，由于1111,A BC A DC 为等边三角形，则11BP A C ⊥，11DP AC ⊥，所以BPD ∠为所求二面角的平面角，不妨设正方体的棱长为2，则1111,A BC A DC 的棱长为故BP DP ==，BD =，由余弦定理可得2221cos23BP DP BD BPD BP DP +-∠===⋅，二面角11Q A C D --的余弦值为13，故D 正确．故选：BD10.已知复数1z ，2z ，3z ，则下列说法中正确的有（）A.若1213z z z z =，则10z =或23z z = B.若113i 22z =-+，则2024113i 22z =--C.若22120z z +=，则120z z == D.若1122z z z z =，则12||||z z =【答案】ABD 【解析】【分析】根据复数的运算法则可判断A ；先计算311z =，再求20241z ，判断B ；用特例验证C ；利用2z z z⋅=说明D 正确.【详解】对于A ，12131231()00z z z z z z z z =⇔-=⇔=或23z z =，故A 正确．对于B ，方法：2113i 22z =--，311z =，4113i 22z =-+，所以1nz 以3为周期，所以202436742211113i 22z z z ⨯+===--，故B 正确．方法二（复数的三角表示）：12π2πcosisin 33z =+，所以1z 的模为1，辐角为2π3，则20241z 的模为1，辐角为2π4π20242π67433⨯=⨯+，所以202414π4π13cosisin 3322z =+=--．故B 正确．对于C ，取11z =，2i z =，则22120z z +=，此时12z z ≠，故C 错误．对于D ，2111||z z z =，2222||z z z =，所以112212||||z z z z z z =⇔=，故D 正确．故选：ABD11.设函数()f x 的定义域为R ，π()4f x -为奇函数，π()4f x +为偶函数，当ππ(,]44x ∈-时，4()cos 3f x x =，则（）A.(4π)()f x f x +=B.()f x 的图象关于直线3π4x =对称C.()f x 在区间3π(,2π)2上为增函数 D.方程()lg 0f x x -=仅有4个实数解【答案】ACD 【解析】【分析】根据给出的函数的性质，做出函数草图，数形结合，分析各选项的准确性.【详解】因为π()4f x -为奇函数，所以()f x 的图象关于点π(,0)4-中心对称，因为π(4f x +为偶函数，所以()f x 的图象关于直线π4x =对称．可画出()y f x =的部分图象大致如下（图中x 轴上相邻刻度间距离均为π4）：对于A ，由图可知()f x 的最小正周期为2π，所以(4π)()f x f x +=，故A 正确．对于B ，()f x 的图象关于点3π(,0)4中心对称，故B 错误．对于C ，由图可知()f x 在区间3π(,2π)2上单调递增，故C 正确．对于D ，3π51lglg 422<<，7π1lg lg542>>，5πlg 12<，lg 4πlg101>=，由图可知，曲线lg y x =与()y f x =的图象有4个交点，所以方程()lg 0f x x -=仅有4个实数解，故D 正确．故选：ACD.【点睛】结论点睛：（1）若()f x a +为偶函数，则函数()f x 为轴对称图形，对称轴为x a =.（2）若()f x b +为奇函数，则函数()f x 为中心对称图形，对称中心为(),0b .（3）若()f x 的图象有两条对称轴x a =，x b =（a b ¹），则()f x 为周期函数，周期为2T a b =-.（4）若()f x 的图象有两个对称中心(),0a ，(),0b （a b ¹），则()f x 为周期函数，周期为2T a b =-.（5）若()f x 的图象关于x a =成轴对称，同时关于(),0b 成中心对称，则()f x 为周期函数，周期为4T a b =-.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量()0,4a =，()3,7b =- ，R λ∈，若()()2a b a b λ+⊥+ ，则λ=______．【答案】2-【解析】【分析】根据向量线性运算的坐标表示及垂直的坐标表示进行计算即可.【详解】由题意知()23,1a b += ，()3,47a b λλλ+=-，由于()()2a b a b λ+⊥+ ，则()()20a b a b λ+⋅+=，则9470λλ+-=，解得2λ=-．故答案为：2-.13.若直线y mx n =+是函数()e x f x x -=-的图象的切线，则m n +的最小值为________．【答案】11e-【解析】【分析】求导，设切点为000(e,)x x x --，根据导数的几何意义分析可知001e x m n x -+=-，构建函数()1e x g x x -=-，利用导数判断其单调性和最值，即可得结果.【详解】因为()e x f x x -=-，则()1e x f x -'=+，设切点为000(e,)x x x --，则00()1e x f x -'=+，则切线方程为()000e(1e)()x x y x x x ----=+-，即000(1e )(1)e x x y x x --=+-+，可得01e x m -=+，00(1)e x n x -=-+，所以001ex m n x -+=-，令()1e x g x x -=-，则()(1)e x g x x -'=-，当1x >时，()0g x '>；当1x <时，()0g x '<；可知()g x 在(),1-∞内单调递减，在()1,+∞内单调递增，可得min 1()(1)1eg x g ==-，所以m n +的最小值为11e -．故答案为：11e-.14.已知点P 是双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）上一点，1F ，2F 分别是C 的左、右焦点，设12F PF θ∠=，若12F PF △的重心和内心的连线垂直于x 轴，则cos θ的取值范围为________．【答案】7(,1)9【解析】【分析】设C 的半焦距为c （0c >），离心率为e ．如图，设重心为Q ，内心为I ，则O ，Q ，P 共线，不妨设点P 在第一象限，分别表示出1||PF ，2||PF ，利用余弦定理表示出cos θ，然后由2(1,)e ∈+∞可求出cos θ的取值范围.【详解】设C 的半焦距为c （0c >），离心率为e ．如图，设重心为Q ，内心为I ，则O ，Q ，P 共线．设内切圆与x 轴的切点为H ，12,PF PF 与内切圆的切点分别为,A B ，由双曲线的定义可得122PF PF a -=，由圆的切线长定理得1122,,PA PB AF HF BF HF ===，所以122HF HF a -=，设内切圆的圆心横坐标为x ，则点H 的横坐标为x ，所以()()2x c c x a +--=，得x a =，所以x I a =，因为IQ x ⊥轴，不妨设点P 在第一象限，则Q I x x a ==，再由重心的性质知3P x a =，由22221P Px y a b-=，可得22P y b =．所以222222221||(3)(22)968()(3)PF a c b a ac c c a c a =++=+++-=+，所以1||3PF c a =+，所以2||3PF c a =-．所以22222222(3)(3)47716cos 2(3)(3)999(91)c a c a c c a c a c a c a e θ++--+===++---，因为2(1,)e ∈+∞，所以2918e ->，所以2110918e <<-，所以216209(91)9e <<-，所以27167199(91)9e <+<-，所以7cos (,1)9θ∈．故答案为：7(,1)9四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，E 为边CD 的中点，沿AE 把ADE V 折起，使点D 到达点P 的位置，且π3PAB ∠=．（1）求证：PE ⊥平面PAB ；（2）求三棱锥E PAB -的表面积【答案】（1）证明见解析（2）4+【解析】【分析】（1）求出各边，由勾股定理逆定理求出PB PE ⊥，结合PA PE ⊥得到线面垂直；（2）求出各边长，利用三角形面积公式得到各三角形面积，相加得到表面积.【小问1详解】由题可知PA PE ⊥，1PE DE ==，BE ==AP AB = ，π3PAB ∠=，PAB ∴ 为等边三角形，2PB ∴=，2225PB PE BE ∴+==，PB PE ∴⊥．PB PA P = ，,PB PA ⊂平面PAB ，PE ∴⊥平面PAB ．【小问2详解】由（1）得PE PB ⊥，PE PA ⊥，2PA PB ==，1121122PAE PBE S S PA PE ∴==⨯=⨯⨯=△△，由三角形面积公式得1πsin 23PAB S PA PB =⨯⨯=△122EAB S DA AB =⨯=△，∴三棱锥E PAB -的表面积1124PAE PBE EAB PAB S S S S S =+++=++++△△△△．16.如图，四边形ABCD 内接于圆O ，圆O 的半径2R =，π2DAB ABC ∠+∠=，2CD =．（1）求DBC ∠的大小以及线段AB 的长；（2）求四边形ABCD 面积的取值范围.【答案】（1）π6DBC ∠=，AB =（2）【解析】【分析】（1）通过正弦定理求得π6DBC ∠=，求出()2ππ3ADB DAB DBA ∠=-∠+∠=后利用正弦定理求解线段AB 的即可；（2）方法一：延长AD ，BC ，交于点E ，设DAB α∠=，利用三角形面积公式得2sin 2ABE CDE ABCD S S S α=-= 四边形，从而正弦函数性质求解范围；方法二：连接OA ，OB ，OC ，OD ，设AOD θ∠=，则OAD OBC AOBCD S S S S =++ 五边形π[2sin sin()]3θθ=+-AOB ABCD AOBCD S S S =- 四边形五边形π2sin()3θ=+，从而正弦函数性质求解范围；方法三：设DAB α∠=，ABC β∠=，由正弦定理和面积公式得DBA DBC ABCD S S S =+= 四边形2sin 2β，从而正弦函数性质求解范围；【小问1详解】由题易知π2ABC ∠<,由正弦定理得21sin 242DC DBC R ∠===，π6DBC ∴∠=，πππ263DAB DBA DAB ABC DBC ∴∠+∠=∠+∠-∠=-=，2ππ()3ADB DAB DBA ∴∠=-∠+∠=，32sin 42AB R ADB ∴=⨯∠=⨯=【小问2详解】方法一：延长AD ，BC ，交于点E .π2DAB ABC ∠+∠=，π2AEB ∴∠=.设DAB α∠=，则11cos sin 6sin cos 3sin 222ABE S AE BE AB AB ααααα=⨯=⨯⨯==△. 四边形ABCD 内接于圆O ，ECD DAB α∴∠=∠=，11sin cos 2sin cos sin 222CDE S DE CE CD CD ααααα∴=⨯=⨯==△，2sin 2ABE CDE ABCD S S S α∴=-=四边形△△，ππ(,)63α∈ ，π2π2(,)33α∴∈，ABCD S ∴∈四边形，即四边形ABCD 面积的取值范围是.方法二：连接OA ，OB ，OC ，OD ，由已知可得2π3AOB ∠=，OCD 是等边三角形.设AOD θ∠=，则π3BOC θ∠=-，OAD OBC OCD AOBCD S S S S ∴=++五边形△△△22211π3sin sin()2234R R θθ=+-+π[2sin sin()]3θθ=+-又212πsin 23AOB S R ==△，AOB ABCD AOBCD S S S ∴=-四边形五边形△ππ2[sin sin()]2sin()33θθθ=+-=+，π(0,)3θ∈ ，ππ2π(,333θ∴+∈，ABCD S ∴∈四边形，即四边形ABCD 面积的取值范围是.方法三：设DAB α∠=，ABC β∠=，则π2αβ+=.由正弦定理得2sin 4sin DB R DAB α=⨯∠=，1πsin sin()26DBA S DB BA DBA αβ=⨯⨯∠=-△，12ππsin 4sin sin(π)4sin sin()233DBC S DC DB CDB αβαβ=⨯⨯∠=--=-△，则ππsin()4sin sin()63DBA DBC ABCD S S S αβαβ=+=-+-四边形△△ππsin()4cos sin()63ββββ=-+-314cos (sin sin )2222βββββ=-+-4cos sin 2sin 2βββ==，ππ(,63β∈ ，π2π2(,33β∴∈，ABCD S ∴∈四边形，即四边形ABCD 面积的取值范围为.17.某射击运动员进行射击训练，已知其每次命中目标的概率均为12．（1）若该运动员共射击6次，求其在恰好命中3次的条件下，第3次没有命中的概率；（2）该运动员射击训练不超过n （100n ≥）次，当他命中两次时停止射击（射击n 次后，若命中的次数不足两次也不再继续），设随机变量X 为该运动员的射击次数，试写出随机变量X 的分布列，并证明9()2E X <．【答案】（1）12（2）分布列见解析，证明见解析【解析】【分析】（1）利用条件概率公式计算即可；（2）先根据离散型随机变量的分布列及期望公式得()E X ，法一、利用222k k k -≤-，再将222kk -列项为221(1)(2)22k k k k -++-，利用放缩法证明即可；法二、利用错位相减法计算121(1)(2n kk k k -=-∑可得()1242n n E X -+=-即可证明.【小问1详解】设第i 次射击时命中目标为事件i A ，该运动员射击6次恰好命中3次为事件B ．33335115()C ()(1)2232P A =-=，3336115()C ()(1)2216P B =-=，335()132(|)5()216P A B P A B P B ===．【小问2详解】随机变量X 的所有可能取值为2，3，4，5，…，n ．若射击k 次停止()21k n ≤≤-，则第k 次命中，前1k -次射击中有一次命中，故111111()C ((1)(222k k k P X k k --==⋅=-，21k n ≤≤-，*k ∈N ，若射击n 次停止，有两种结果：前n 1-次有一次命中或一次都没命中，故1111111()C ()()222n n n n n P X n ----==+=．∴随机变量X 的分布列为*11(1),21,N ,2(),.2kn k k n n P X k nk n -⎧⎛⎫-≤≤-∈⎪ ⎪⎪⎝⎭==⎨⎪=⎪⎩21121()(1)(22n k n k n E X k k --=∴=-+∑．法一、易知[]()2222,1,Nk k k k n k *-≤-∈-∈，22112112211()(1)((2)(2222n n k k n n k k n n E X k k k ----==∴=-+≤-+∑∑2221112(1)(2)222n k kn k k k n ---=⎡⎤++=-+⎢⎥⎣⎦∑，易知[]2,1k n ∈-时，21(2)()02k k ->，即221(1)(2)22k kk k -++>，∴()2222111(1)(2)32222k k n n k k --+++-≤-，221119(1)9219()222222n n n n n n E X ---++∴≤-+=-<．法二、令123121111(1)()12()23()(2)(1)()2222n k n k S k k n n --==-=⨯⨯+⨯⨯++--∑ ，①则34111112()23((2)(1)()2222n S n n =⨯⨯+⨯⨯++-- ，②-①②，得31111114()2(2)((2)(1)()22222n n S n n n -=+⨯++-⨯--- ，令31114()2(2)()22n T n -=⨯++-⨯ ，则41114()2(2)(222n T n =⨯++-⨯ ，得3211111(()2(2)(22222n n T n -=+++-- 41111[1()]123821224212n n n n n -----=+-=--，21(2)(1)2222n n n n n S ---∴=--，21242n n n S -++∴=-．2221111121229()(1)()444222222n k n n n n k n n n n n E X k k -----=+++∴=-+=-=-<<∑．18.已知函数ln ln 1()e axx a f x a x++=-．（1）当1a =时，请判断()f x 的极值点的个数并说明理由；（2）若2()2f x a a ≥-恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）有一个极值点，理由见解析（2）(]0,1【解析】【分析】（1）先求()f x '，得22e ln ()x x xf x x+'=，再设2()ln x h x x e x =+，通过对()h x '符号的分析，得到()f x '的单调性，再判断()0f x '=的解的情况，分析函数()f x 的极值点的情况.（2）先把原不等式化成2e [ln()1]2ax ax ax ax a x -++≥恒成立，利用换元法，设t ax =，则(0,)t ∈+∞，问题转化为ln 12e 1tt a t +≤-+恒成立．再设ln 1()e x x g x x+=-，利用（1）的结论求()g x 的最小值.【小问1详解】当1a =时，1ln ()e x xf x x+=-，,()0x ∈+∞，所以222ln e ln ()e x xx x xf x x x +'=+=，令2()ln x h x x e x =+，则21()(2)e xh x x x x'=++，当,()0x ∈+∞时，()0h x '>，()h x ∴在(0,)+∞上单调递增，又1e (ln 2024h =-< ，(1)e h =，()h x ∴存在唯一零点0x ，且01(,1)2x ∈，当0(0,)x x ∈时，()0f x '<，()f x 在()00,x 上单调递减，当0(,)x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在()0,x ∞+单调递增．()f x ∴有一个极小值点0x ，无极大值点．【小问2详解】2ln ln 1()e 2ax x a f x a a a x++=-- 恒成立，2e [ln()1]2ax ax ax a x ax ∴-+-≥恒成立，2e [ln()1]2ax ax ax ax a x ∴-++≥恒成立．令t ax =，则(0,)t ∈+∞，ln 12e 1tt a t+∴≤-+恒成立．设ln 1()e xx g x x+=-，由（1）可知()g x 的最小值为0()g x ．又02000()e ln 0xh x x x =+=，00ln 000000ln 1eln e ln x x x x x x x x -∴=-=-=-．（﹡）设()e x m x x =，当0x >时，()(1)e 0x m x x '=+>，()m x ∴在(0,)+∞上单调递增，01(,1)2x ∈ ，00x ∴>，0ln 0x ->，由（﹡）知00()(ln )m x m x =-，00ln x x ∴=-，即01ex x =．00000001ln 11()e 1x x x g x x x x +-∴=-=-=，2112a ∴≤+=，1a ∴≤，又0a >，∴a 的取值范围为(]0,1．【点睛】关键点点睛：该题第二问的关键是求函数ln 1()e xx g x x+=-的最小值，由（1）得()g x 的极小值是0()g x ，而0x 的值不能准确的表示出来，所以根据0200e ln 0xx x +=进行代入计算.19.已知两条抛物线21:4C y x =，22:4C x y =．（1）求1C 与2C 在第一象限的交点的坐标．（2）已知点A ，B ，C 都在曲线1C 上，直线AB 和AC 均与2C 相切．（ⅰ）求证：直线BC 也与2C 相切．（ⅱ）设直线AB ，AC ，BC 分别与曲线2C 相切于D ，E ，F 三点，记ABC 的面积为1S ，DEF 的面积为2S ．试判断12S S 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）()4,4（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）是定值，定值为12【解析】【分析】（1）联立方程求解即可；（2）（ⅰ）设点可得直线AB ，AC ，BC 的方程，联立方程结合韦达定理分析证明；（ⅱ）利用导数求切线方程，进而可得相应点的坐标，进而求面积分析求解.【小问1详解】联立方程2244y x x y⎧=⎨=⎩，且,0x y >，可得464(0)x x x =>，故有264x =，从而4x =，代入得4y =，所以两抛物线在第一象限的交点的坐标为()4,4．【小问2详解】（ⅰ）设211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，233,4y C y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由题可知1y ，2y ，3y 均不为0且不相等，直线AB ，AC 的斜率均存在，则直线AB ：212112212444y y y y y x y y ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭-，即直线AB ：12124()0x y y y y y -++=，同理可得BC ：23234()0x y y y -++=，AC ：13134()0x y y y y y -++=．联立121224()04x y y y y y x y -++=⎧⎨=⎩，消去y 得21212404y y x x y y +--=，由AB 与2C 相切，得121216()0Δy y y y ++==，同理由AC 与2C 相切，得131316()0y y y y ++=．则12323()()0y y y y y ++-=，可得1230y y y ++=，所以23231231212()()y y y y y y y y y y y +=-=+，即232316()0y y y y ++=，所以直线BC 也与2C 相切，证毕；（ⅱ）不妨设E D F x x x >>，且A 在B 上方．由于(,)E E E x y ，(,)F F F x y 在抛物线22:4C x y =上，求导得2x y '=，所以点E ，F 处的切线方程为()2E E E x y y x x -=-，()2F F F x y y x x -=-，得2()2()E E FF xx y y xx y y =+⎧⎨=+⎩，解得2E F x x x +=，即2E F C x x x +=，同理2D F B x x x +=，2D E A x x x +=．过C 作y 轴的平行线CP 交AB 于P 点，过D 作y 轴的平行线DQ 交EF 于Q 点，则111||||||||24A B P C E F P C S x x y y x x y y =-⋅-=-⋅-，21||||2E F Q D S x x y y =-⋅-，由直线AB ：2()D D xx y y =+，与C x x =联立，得2C D P D x x y y =-，所以||||2C D P C D C x x y y y y -=--，同理由直线EF ：2()C C xx y y =+，与D x x =联立，得2C D Q C x x y y =-，所以||||2C D Q D C D x x y y y y -=--，故||||P C Q D y y y y -=-，所以121||||1412||||2E F P C E F Q D x x y y S S x x y y -⋅-==-⋅-．【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.。
四川省成都市2024高三冲刺(高考数学)人教版真题(预测卷)完整试卷
四川省成都市2024高三冲刺（高考数学）人教版真题(预测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题为客观反映建设创新型国家进程中我国创新能力的发展情况，国家统计局社科文司《中国创新指数（CII）研究》课题组研究设计了评价我国创新能力的指标体系和指数编制方法.中国创新指数（China Innovation Index，CII）中有4个分指数（创新环境指数、创新投入指数、创新产出指数、创新成效指数），下面是2005—2021年中国创新指数及分领域指数图，由图可知指数与年份正相关，则对4个分领域指数，在建立年份值与指数值的回归模型中，相关系数最大的指数类型是（）A．创新环境指数B．创新投入指数C．创新产出指数D．创新成效指数第(2)题已知数列满足，，则的最小值是（）A．0B．C．1D．2第(3)题已知函数，若关于的方程恰有4个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．第(4)题平面上三点不共线，设,则的面积等于（）A．B．C．D．第(5)题已知，如图三棱锥中，，，D为中点，E为中点，M是上的动点，N是平面上的动点，则最小值是（）A．B．C．D．第(6)题已知，则（）A．3B．C．D．2第(7)题已知正三棱柱的底面边长为，高为3，截去该三棱柱的三个角（如图1所示，D，E，F分别是三边的中点），得到几何体如图2所示，则所得几何体外接球的表面积是（）A．B．C．D．第(8)题“”是“”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要条件D．既不充分也不必要二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如，．则下列说法正确的是（）A．函数在区间上单调递增B ．若函数，则的值域为C．若函数，则的值域为D．，第(2)题已知点在函数上，则下列结论正确的是（）A．函数的最小正周期为B．C．函数的一条对称轴为直线D ．函数在上单调递增第(3)题下列命题正确的是（）A．已知由一组样本数据，得到的回归直线方程为，且，则这组样本数据中一定有B ．若随机变量，则C．已知互不相同的30个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，则剩下28个数据的上四分位数可能等于原样本数据的上四分位数D．若随机变量，且，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知，若，则___________.第(2)题曲线在处的切线的斜率为__________.第(3)题若关于x的不等式有且只有一个整数解，则实数a的取值范围为_______________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知公差不为0的等差数列中，且成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和为.第(2)题已知函数，，其中．(1)若方程在（为自然对数的底数）上存在唯一实数解，求实数a的取值范围；(2)若存在，使不等式成立，求实数a的取值范围．第(3)题已知函数.(1)若，求函数的极值；(2)若恒成立，求的取值范围.第(4)题已知曲线，为曲线上一动点，过作两条渐近线的垂线，垂足分别是和.（1）当运动到时，求的值；（2）设直线（不与轴垂直）与曲线交于、两点，与轴正半轴交于点，与轴交于点，若，，且，求证为定点.第(5)题已知函数，曲线在点处切线方程为.(1)求实数a的值及函数的单调区间；(2)若时，，求整数m的最大值.。
2023年高考-数学(理科)考试备考题库附带答案9
2023年高考-数学（理科）考试备考题库附带答案第1卷一.全考点押密题库(共50题)1.(单项选择题)(每题 5.00 分) 已知A，B 是球 O 的球面上两点，∠AOB = 90° ，C为该球面上的动点。
若三棱锥 O - ABC 体积的最大值为36，则球 O 的表面积为A. 36πB. 64πC. 144πD. 256π正确答案：C,2.(填空题)(每题 5.00 分) 已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为7/8,SA与圆锥底面所成角为45°.若△SAB的面积为5√15，则该圆锥的侧面积为.正确答案：40√2π，3.(单项选择题)(每题 5.00 分) 记SN.为等差数列αN}的前n项和.若3S3=S2+S4，α=2,则α5= {A. -12B. -10C. 10D. 12正确答案：B,4.(填空题)(每题5.00 分) 已知函数f(x)=2sinx+sin2x，则f(x)的最小值是_______?正确答案：-3√3/2，5.(单项选择题)(每题 5.00 分) 双曲线x2/α2-y2/b2=1(α>0,b>0)的离心率为√3，则其渐近线方程为A. y=±√2xB. y=±√3xC. y=±√2/2xD. y=±√3/2x正确答案：A,6.(单项选择题)(每题 5.00 分) 已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为A. 3√3/4B. 2√3/3C. 3√2/4D. √3/2正确答案：A,7.(单项选择题)(每题 5.00 分) 已知集合A=x∣x2-x-2>0}，则CRA={A. x∣-12}{D. {x∣x≦-1}∪{x∣x≧2}正确答案：B,8.(单项选择题)(每题 5.00 分) 在△ABC中，cos C/2=√5/5,BC=1,AC=5,则AB=A. 4√2B. √30C. √29D. 2√5正确答案：A,9.(填空题)(每题 5.00 分) 某髙科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料。
四川省成都市2024高三冲刺(高考数学)人教版测试(预测卷)完整试卷
四川省成都市2024高三冲刺（高考数学）人教版测试(预测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题圆梦杯第二届考试中，有考生的成绩超过70分，有考生的成绩超过100分，若某考生的成绩超过70分，则该考生的成绩超过100分的概率为（）A．B．C．D．第(2)题下列向量组中，能作为基底的是（）A．B．C．D．第(3)题已知向量，若，则与夹角的余弦值为（）A．B．C．D．第(4)题若直线与曲线相交于不同的两点，，曲线在点，处的切线相交于点，则（）A．B．C．D．第(5)题已知,则（）A．B．C．D．第(6)题一个几何体的三视图如图所示，如果该几何体的顶点都在球的球面上，那么球的表面积是（）．A．B．C．D．第(7)题已知，，则的值为（）A．2B．3C．4D．5第(8)题已知双曲线的左､右顶点分别是，，点，点在过点且垂直于轴的直线上，当的外接圆面积达到最小时，点恰好在双曲线上，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（）A．分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有15种分法B．分给甲、乙、丙三人，一人4本，另两人各1本，有180种分法C．分给甲、乙每人各2本，分给丙、丁每人各1本，有180种分法D．分给甲、乙、丙、丁四人，两人各2本，另两人各1本，有1080种分法第(2)题如图，矩形ABCD中，M为BC的中点，将△ABM沿直线AM翻折成△AB1M，连接B1D，N为B1D的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（）．A．存在某个位置，使得CN⊥AB1；B．翻折过程中，CN的长是定值；C．若AB＝BM，则AM⊥B1D；D．若AB＝BM＝1；当三棱锥B1－AMD的体积最大时；三棱锥B1－AMD的外接球的表面积是4π．第(3)题如图，点A，B，C，M，N是正方体的顶点或所在棱的中点，则满足MN∥平面ABC的有（）A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题袋内装有大小相同的6个球，2个是红球，4个是白球，若从中任意取出3个球，则所取出的3个球中至少有1个红球的概率是_____.第(2)题若展开式中含有常数项，则的最小值是______．第(3)题设直线与曲线，分别交于A，B 两点，则的最小值____四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，O是AC与BD 的交点，，，平面ABCD ，，M是PD 的中点．(1)证明：平面ACM(2)求直线AM与平面ABCD所成角的大小．第(2)题已知函数（）存在极值点．(1)求实数a的取值范围：(2)若是的极值点，求证：．参考数据：．第(3)题已知函数，其中．(1)若．证明：当时，；(2)若，函数有三个极值点．证明：．注：…是自然对数的底数．第(4)题第七次全国人口普查登记于年月日开始，这是在我国人口发展进入关键期开展的一次重大国情国力调查，可以为编制“十四五”规划，为推动高质量发展，完善人口发展战略和政策体系､促进入口长期均衡发展提供重要信息支持，本次普查主要调查人口和住户的基本情况.某校高三一班共有学生名，按人口普查要求，所有住校生按照集体户进行申报，所有非住校生（走读生及半走读生）按原家庭申报，已知该班住校生与非住校生人数的比为，住校生中男生人，现从住校生中采用分层抽样的方法抽取名同学担任集体户户主进行人口普查登记.（1）应从住校的男生、女生中分别抽取多少人？（2）若从抽出的人中随机抽取人进行普查登记培训，求这人中既有男生又有女生的概率.第(5)题为深入贯彻党的教䏍方针，全面落实《中共中央国务院关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校从2022年起积极推进劳动课程改革，先后开发开设了具有地方特色的家政､烹饪､手工､园艺､非物质文化遗产等劳动实践类校本课程.为调研学生对新开设劳动课程的满意度并不断改进劳动教育，该校从2022年1月到10月每两个月从全校3000名学生中随机抽取150名学生进行问卷调查，统计数据如下表：月份246810满意人数8095100105120(1)由表中看出，可用线性回归模型拟合满意人数与月份之间的关系，求关于的回归直线方程，并预测12月份该校全体学生中对劳动课程的满意人数；(2)10月份时，该校为进一步深化劳动教育改革，了解不同性别的学生对劳动课程是否满意，经调研得如下统计表：满意不满意合计男生651075女生552075合计12030150请根据上表判断是否有的把握认为该校的学生性别与对劳动课程是否满意有关？参考公式：.，其中.。
2023年高考数学总复习历年真题题型归纳与模拟预测9-3双曲线带讲解
☆注：请用Microsoft Word2016以上版本打开文件进行编辑，.第9章 解析几何9.3 双曲线双曲线的定义、方程与性质是每年高考的热点，多以选择题、填空题的形式进行考查，难度中档.（多选）1．（2022•乙卷）双曲线C 的两个焦点为F 1，F 2，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过F 1作D 的切线与C 交于M ，N 两点，且cos ∠F 1NF 2=35，则C 的离心率为（ ） A ．√52B ．32C ．√132D ．√172【解答】解：当直线与双曲线交于两支时，设双曲线的方程为x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0），设过F 1的切线与圆D ：x 2+y 2＝a 2相切于点P ， 则|OP |＝a ，OP ⊥PF 1，又|OF 1|＝c ， 所以PF 1=√OF 12−OP 2=√c 2−a 2=b ， 过点F 2作F 2Q ⊥MN 于点Q ， 所以OP ∥F 2Q ，又O 为F 1F 2的中点， 所以|F 1Q |＝2|PF 1|＝2b ，|QF 2|＝2|OP |＝2a ，因为cos ∠F 1NF 2=35，∠F 1NF 2＜π2，所以sin ∠F 1NF 2=45， 所以|NF 2|=QF2sin∠F 1NF 2=5a2，则|NQ |＝|NF 2|•cos ∠F 1NF 2=3a2，所以|NF 1|＝|NQ |+|F 1Q |=3a2+2b ， 由双曲线的定义可知|NF 1|﹣|NF 2|＝2a ， 所以3a 2+2b −5a2=2a ，可得2b ＝3a ，即b a =32， 所以C 的离心率e =c a =√1+b 2a2=√1+94=√132．情况二：当直线与双曲线交于一支时，如图，记切点为A ，连接OA ，则|OA |＝a ，|F 1A |＝b ，过F 2作F 2B ⊥MN 于B ，则|F 2B |＝2a ，因为cos ∠F 1NF 2=35，所以|NF 2|=5a 2，|NB |=3a 2， |NF 2|﹣|NF 1|=5a2−（3a 2−2b ）＝a +2b ＝2a ，即a ＝2b ， 所以e =c a =√1+b 2a2=√1+14=√52，A 正确．故选：AC ．2．（2022•甲卷）记双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为e ，写出满足条件“直线y ＝2x 与C无公共点”的e 的一个值 2（e ∈（1，√5]内的任意一个值都满足题意） ． 【解答】解：双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为e ，e =ca ，双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ， 直线y ＝2x 与C 无公共点，可得ba ≤2，即b 2a 2≤4，即c 2−a 2a 2≤4，可得1＜e ≤√5，满足条件“直线y ＝2x 与C 无公共点”的e 的一个值可以为：2． 故答案为：2（e ∈（1，√5]内的任意一个值都满足题意）．题型一.双曲线的标准方程与几何性质1．（2021•甲卷）点（3，0）到双曲线x 216−y 29=1的一条渐近线的距离为（ ） A ．95B ．85C ．65D ．45【解答】解：由题意可知，双曲线的渐近线方程为x 216−y 29=0，即3x ±4y ＝0，结合对称性，不妨考虑点（3，0）到直线3x ﹣4y ＝0 的距离， 则点（3，0）到双曲线的一条渐近线的距离d =√9+16=95．故选：A ．2．（2021•乙卷）已知双曲线C ：x 2m−y 2＝1（m ＞0）的一条渐近线为√3x +my ＝0，则C 的焦距为 4 ．【解答】解：根据题意，双曲线C ：x 2m−y 2＝1（m ＞0）的一条渐近线为√3x +my ＝0，则有√3=√m ，解可得m ＝3，则双曲线的方程为x 23−y 2＝1，则c =√3+1=2，其焦距2c ＝4； 故答案为：4．3．（2020•新课标Ⅰ）设F 1，F 2是双曲线C ：x 2−y 23=1的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且|OP |＝2，则△PF 1F 2的面积为（ ） A ．72B ．3C ．52D ．2【解答】解：由题意可得a ＝1，b =√3，c ＝2， ∴|F 1F 2|＝2c ＝4， ∵|OP |＝2， ∴|OP |=12|F 1F 2|，∴△PF 1F 2为直角三角形， ∴PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2+|PF 2|2＝4c 2＝16，∵||PF 1|﹣|PF 2||＝2a ＝2， ∴|PF 1|2+|PF 2|2﹣2|PF 1|•|PF 2|＝4， ∴|PF 1|•|PF 2|＝6，∴△PF 1F 2的面积为S =12|PF 1|•|PF 2|＝3， 故选：B ．4．（2017•新课标Ⅲ）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线方程为y =√52x ，且与椭圆x 212+y 23=1有公共焦点，则C 的方程为（ ）A ．x 28−y 210=1B ．x 24−y 25=1 C ．x 25−y 24=1D ．x 24−y 23=1【解答】解：椭圆x 212+y 23=1的焦点坐标（±3，0），则双曲线的焦点坐标为（±3，0），可得c ＝3， 双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1 （a ＞0，b ＞0）的一条渐近线方程为y =√52x ，可得ba =√52，即c 2−a 2a 2=54，可得c a =32，解得a ＝2，b =√5，所求的双曲线方程为：x 24−y 25=1．故选：B ．5．（2018•天津）已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1+d 2＝6，则双曲线的方程为（ ） A ．x 23−y 29=1 B ．x 29−y 23=1 C ．x 24−y 212=1D ．x 212−y 24=1【解答】解：由题意可得图象如图，CD 是双曲线的一条渐近线 y =ba x ，即bx ﹣ay ＝0，F （c ，0），AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，FE ⊥CD ，ACDB 是梯形， F 是AB 的中点，EF =d 1+d 22=3，EF =bc√a 2+b =b ，所以b ＝3，双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为2，可得ca=2，可得：a 2+b 2a 2=4，解得a =√3．则双曲线的方程为：x 23−y 29=1．故选：A ．6．（2017•新课标Ⅰ）已知F 是双曲线C ：x 2−y 23=1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是（1，3），则△APF 的面积为（ ） A ．13B ．12C ．23D ．32【解答】解：由双曲线C ：x 2−y 23=1的右焦点F （2，0）， PF 与x 轴垂直，设（2，y ），y ＞0，则y ＝3， 则P （2，3），∴AP ⊥PF ，则丨AP 丨＝1，丨PF 丨＝3， ∴△APF 的面积S =12×丨AP 丨×丨PF 丨=32， 同理当y ＜0时，则△APF 的面积S =32， 故选：D ．7．（2016•天津）已知双曲线x 24−y 2b 2=1（b ＞0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为（ ） A ．x 24−3y 24=1 B ．x 24−4y 23=1C ．x 24−y 24=1 D ．x 24−y 212=1【解答】解：以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为x 2+y 2＝4，双曲线的两条渐近线方程为y ＝±b2x ，设A （x ，b2x ），则∵四边形ABCD 的面积为2b ，∴2x •bx ＝2b ， ∴x ＝±1将A （1，b2）代入x 2+y 2＝4，可得1+b24=4，∴b 2＝12，∴双曲线的方程为x 24−y 212=1，故选：D ．8．（2020•天津）设双曲线C 的方程为x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0），过抛物线y 2＝4x 的焦点和点（0，b ）的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为（ ） A ．x 24−y 24=1B ．x 2−y 24=1 C ．x 24−y 2＝1 D ．x 2﹣y 2＝1【解答】解：抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为（1，0）， 则直线l 的方程为y ＝﹣b （x ﹣1）， ∵双曲线C 的方程为x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线方程为y ＝±bax ，∵C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，∴−ba =−b ，b a•（﹣b ）＝﹣1，∴a ＝1，b ＝1，∴双曲线C 的方程为x 2﹣y 2＝1， 故选：D ．题型二.双曲线的离心率1．（2019•新课标Ⅰ）双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为（ ） A ．2sin40°B ．2cos40°C ．1sin50°D ．1cos50°【解答】解：双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线方程为y =±ba x ，由双曲线的一条渐近线的倾斜角为130°，得−ba =tan130°=−tan50°， 则ba =tan50°=sin50°cos50°，∴b 2a 2=c 2−a 2a 2=c 2a 2−1=sin 250°cos 250°=1cos 250°−1，得e 2=1cos 250°，∴e =1cos50°． 故选：D ．2．（2021•甲卷）已知F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且∠F 1PF 2＝60°，|PF 1|＝3|PF 2|，则C 的离心率为（ ） A ．√72B ．√132C ．√7D ．√13【解答】解：F 1，F 2为双曲线C 的两个焦点，P 是C 上的一点，|PF 1|＝3|PF 2|， 设|PF 1|＝3m ，|PF 2|＝m ，由双曲线的定义可得|PF 1|﹣|PF 2|＝2m ＝2a ，即m ＝a ， 所以|PF 1|＝3a ，|PF 2|＝a ，因为∠F 1PF 2＝60°，|F 1F 2|＝2c ， 所以4c 2＝9a 2+a 2﹣2×3a ×a ×cos60°，整理得4c 2＝7a 2， 所以e =c a =√72． 故选：A ．3．（2016•新课标Ⅱ）已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1的左，右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1=13，则E 的离心率为（ ） A ．√2B ．32C ．√3D ．2【解答】解：由题意，M 为双曲线左支上的点，则|MF 1|=b 2a ，|MF 2|=√4c 2+(b2a)2，∴sin ∠MF 2F 1=13，∴b 2a√4c 2+b 4a2=13，可得：2b 4＝a 2c 2，即√2b 2＝ac ，又c 2＝a 2+b 2， 可得√2e 2﹣e −√2=0， e ＞1，解得e =√2． 故选：A ．4．（2017•新课标Ⅱ）若双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线被圆（x ﹣2）2+y 2＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ） A ．2B ．√3C ．√2D ．2√33【解答】解：双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线不妨为：bx +ay ＝0，圆（x ﹣2）2+y 2＝4的圆心（2，0），半径为：2， 双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线被圆（x ﹣2）2+y 2＝4所截得的弦长为2，可得圆心到直线的距离为：√22−12=√3=|2b|√a 2+b ，解得：4c 2−4a 2c 2=3，可得e 2＝4，即e ＝2．故选：A ．5．（2020•新课标Ⅰ）已知F 为双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C上的点，且BF 垂直于x 轴．若AB 的斜率为3，则C 的离心率为 2 ． 【解答】解：F 为双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点（c ，0），A 为C 的右顶点（a ，0），b2 a ），B为C上的点，且BF垂直于x轴．所以B（c，若AB 的斜率为3，可得：b 2a−0c−a=3，b 2＝c 2﹣a 2，代入上式化简可得c 2＝3ac ﹣2a 2，e =ca ， 可得e 2﹣3e +2＝0，e ＞1， 解得e ＝2． 故答案为：2．6．（2018•新课标Ⅲ）设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0．b ＞0）的左，右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ，若|PF 1|=√6|OP |，则C 的离心率为（ ） A ．√5B ．2C ．√3D ．√2【解答】解：方法一：双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0．b ＞0）的一条渐近线方程为y =bax ，∴点F 2到渐近线的距离d =√a 2+b=b ，即|PF 2|＝b ，∴|OP |=√|OF 2|2−|PF 2|2=√c 2−b 2=a ，cos ∠PF 2O =b c， ∵|PF 1|=√6|OP |， ∴|PF 1|=√6a ，在三角形F 1PF 2中，由余弦定理可得|PF 1|2＝|PF 2|2+|F 1F 2|2﹣2|PF 2|•|F 1F 2|COS ∠PF 2O ， ∴6a 2＝b 2+4c 2﹣2×b ×2c ×bc =4c 2﹣3b 2＝4c 2﹣3（c 2﹣a 2）， 即3a 2＝c 2， 即√3a ＝c ， ∴e =ca =√3，方法二：过F 1作F 1Q ⊥直线y =bax ，垂足为Q ， 则|F 1Q |＝|PF 2|＝b ， 则|OP |＝|OQ |＝a ， ∴|PQ |＝2a ，∵|PF 1|=√6|OP |=√6a ， ∴（√6a ）2＝b 2+（2a ）2， ∴b =√2a ，c =√3a ，∴e=ca=√3，故选：C ．7．（2021•天津）已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点与抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C ，D 两点，若|CD |=√2|AB |，则双曲线的离心率为（ ） A ．√2B ．√3C ．2D ．3【解答】解由题意可得抛物线的准线方程为x =−p2， 由题意可得：p2=√a 2+b 2，渐近线的方程为：y =±b ax ， 可得A （−√a 2+b 2，b 2a），B （−√a 2+b 2，−b2a），C （−√a 2+b 2，b√a 2+b 2a），D （−√a 2+b 2，−b√a 2+b 2a），所以|AB |=2b2a ，|CD |=2b √a 2+b 2a），由|CD |=√2|AB |，解得：c =√2a ，所以双曲线的离心率e =ca =√2， 故选：A ．8．（2017•新课标Ⅰ）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点．若∠MAN ＝60°，则C 的离心率为 2√33． 【解答】解：双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右顶点为A （a ，0），以A 为圆心，b 为半径做圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点． 若∠MAN ＝60°，可得A 到渐近线bx +ay ＝0的距离为：b cos30°=√32b ，可得：√a 2+b 2=√32b ，即a c =√32，可得离心率为：e =2√33． 故答案为：2√33．题型三.双曲线的渐近线1．（2018•新课标Ⅲ）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为√2，则点（4，0）到C 的渐近线的距离为（ ） A ．√2B ．2C ．3√22D ．2√2【解答】解：双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为√2，可得ca =√2，即：a 2+b 2a 2=2，解得a ＝b ，双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的渐近线方程为：y ＝±x ，点（4，0）到C 的渐近线的距离为：√2=2√2．故选：D ．2．（2019•新课标Ⅲ）双曲线C ：x 24−y 22=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点．若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为（ ） A ．3√24B ．3√22C ．2√2D ．3√2【解答】解：双曲线C ：x 24−y 22=1的右焦点为F （√6，0），渐近线方程为：y =±√22x ，不妨P 在第一象限，可得tan ∠POF =√22，P （√62，√32），所以△PFO 的面积为：12×√6×√32=3√24． 故选：A ．3．（2018•新课标Ⅰ）已知双曲线C ：x 23−y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ．若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝（ ） A ．32B ．3C ．2√3D ．4【解答】解：双曲线C ：x 23−y 2＝1的渐近线方程为：y =±√33x ，渐近线的夹角为：60°，不妨设过F（2，0）的直线为：y =√3(x −2)，则：{y =−√33xy =√3(x −2)解得M （32，−√32），{y =√33xy =√3(x −2)解得：N （3，√3）， 则|MN |=(3−32)2+(√3+√32)2=3．故选：B ．4．（2016•北京）双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a ＝ 2 ． 【解答】解：∵双曲线的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线， ∴渐近线互相垂直，则双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为y ＝±x ， 即a ＝b ，∵正方形OABC 的边长为2， ∴OB ＝2√2，即c ＝2√2， 则a 2+b 2＝c 2＝8， 即2a 2＝8， 则a 2＝4，a ＝2， 故答案为：25．（2017•山东）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py （p ＞0）交于A ，B 两点，若|AF |+|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为 y ＝±√22x ． 【解答】解：把x 2＝2py （p ＞0）代入双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0），可得：a 2y 2﹣2pb 2y +a 2b 2＝0，∴y A +y B =2pb2a2，∵|AF |+|BF |＝4|OF |，∴y A +y B +2×p 2=4×p 2， ∴2pb 2a 2=p ，∴b a=√22． ∴该双曲线的渐近线方程为：y ＝±√22x ． 故答案为：y ＝±√22x ． 6．（2019•新课标Ⅰ）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →=AB →，F 1B →•F 2B →=0，则C 的离心率为 2 ． 【解答】解：如图，∵F 1A →=AB →，∴A 为F 1B 的中点，且O 为F 1F 2的中点， ∴AO 为△F 1F 2B 的中位线，又∵F 1B →⋅F 2B →=0，∴F 1B ⊥F 2B ，则OB ＝F 1O ＝c ． 设B （x 1，y 1），A （x 2，y 2）， ∵点B 在渐近线y =ba x 上， ∴{x 12+y 12=c 2y 1=bax 1，得{x 1=a y 1=b ．又∵A 为F 1B 的中点，∴{x 2=−c+a2y 2=b2， ∵A 在渐近线y =−ba x 上， ∴b2=−b a⋅a−c 2，得c ＝2a ，则双曲线的离心率e =ca =2．故答案为：2．题型四.取值范围问题1．（2017•新课标Ⅱ）若a ＞1，则双曲线x 2a 2−y 2＝1的离心率的取值范围是（ ）A ．（√2，+∞）B ．（√2，2）C ．（1，√2）D ．（1，2） 【解答】解：a ＞1，则双曲线x 2a 2−y 2＝1的离心率为：ca=√1+a 2a=√1+1a 2∈（1，√2）．故选：C ．2．（2016•新课标Ⅰ）已知方程x 2m 2+n−y 23m 2−n=1（m ，n ∈R ）表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（ ） A ．（﹣1，3）B ．（﹣1，√3）C ．（0，3）D ．（0，√3）【解答】解：∵双曲线两焦点间的距离为4，∴c ＝2， 当焦点在x 轴上时，可得：4＝（m 2+n ）+（3m 2﹣n ），解得：m 2＝1， ∵方程x 2m 2+n−y 23m 2−n=1表示双曲线，∴（m 2+n ）（3m 2﹣n ）＞0，可得：（n +1）（3﹣n ）＞0， 解得：﹣1＜n ＜3，即n 的取值范围是：（﹣1，3）． 当焦点在y 轴上时，可得：﹣4＝（m 2+n ）+（3m 2﹣n ），解得：m 2＝﹣1， 无解． 故选：A ．3．（2015•新课标Ⅰ）已知M （x 0，y 0）是双曲线C ：x 22−y 2=1上的一点，F 1，F 2是C 的左、右两个焦点，若MF 1→⋅MF 2→＜0，则y 0的取值范围是（ ） A ．(−√33，√33)B ．(−√36，√36)C ．(−2√23，2√23)D ．(−2√33，2√33)【解答】解：由题意，MF 1→⋅MF 2→=（−√3−x 0，﹣y 0）•（√3−x 0，﹣y 0）＝x 02﹣3+y 02＝3y 02﹣1＜0， 所以−√33＜y 0＜√33．故选：A．4．（2013•重庆）设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|＝|A 2B 2|，其中A 1、B 1和A 2、B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ） A ．(2√33，2]B ．[2√33，2)C ．(2√33，+∞) D ．[2√33，+∞)【解答】解：不妨令双曲线的方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)，由|A 1B 1|＝|A 2B 2|及双曲线的对称性知A 1，A 2，B 1，B 2关于x 轴对称，如图， 又∵满足条件的直线只有一对，当直线与x 轴夹角为30°时，双曲线的渐近线与x 轴夹角大于30°， 双曲线与直线才能有交点A 1，A 2，B 1，B 2， 若双曲线的渐近线与x 轴夹角等于30°，则无交点， 则不可能存在|A 1B 1|＝|A 2B 2|，当直线与x 轴夹角为60°时，双曲线渐近线与x 轴夹角小于60°， 双曲线与直线有一对交点A 1，A 2，B 1，B 2，若双曲线的渐近线与x 轴夹角等于60°，也满足题中有一对直线， 但是如果大于60°，则有两对直线．不符合题意， ∴tan30°＜ba ≤tan60°，即√33＜b a≤√3，∴13＜b 2a 2≤3，∵b 2＝c 2﹣a 2，∴13＜c 2−a 2a 2≤3，∴43＜e 2≤4，∴2√33＜e ≤2， ∴双曲线的离心率的范围是(2√33，2]． 故选：A ．1．（2020•合肥一模）设双曲线C ：x 2﹣4y 2+64＝0的焦点为F 1，F 2，点P 为C 上一点，|PF 1|＝6，则|PF 2|为（ ） A ．13B ．14C ．15D ．17【解答】解：双曲线C ：x 2﹣4y 2+64＝0化为双曲线C ：y 216−x 264=1中a ＝4，b ＝8，c ＝4√5，点P 为C 上一点，|PF 1|＝6，由题意P 在双曲线的左支上，则|PF 2|﹣|PF 1|＝2a ＝8， ∴|PF 2|＝14． 故选：B ．2．（2019秋•武昌区期末）已知双曲线x 24−y 25=1的左焦点为F ，点P 为其右支上任意一点，点M 的坐标为（1，3），则△PMF 周长的最小值为（ ） A ．5+√10B ．10+√10C ．5+√13D ．9+√13【解答】解：∵F 是双曲线x 24−y 25=1左焦点，点M 的坐标为（1，3），∴a ＝2，b =√5，c ＝3，F （﹣3，0 ），右焦点为H （3，0）， 由双曲线的定义可得|PF |﹣|PH |＝2a ＝4， |PF |+|PM |＝|PH |+|MP |+|P A |≥2a +|MH |＝4+√(1−3)2+32=4+√13， ∵|MF |=√(1+3)2+32=5，∴当且仅当A ，P ，H 共线时，△PMF 周长取得最小值为9+√13． 故选：D ．3．（2020•合肥一模）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，圆F 2与双曲线C 的渐近线相切，M 是圆F 2与双曲线C 的一个交点．若F 1M →⋅F 2M →=0，则双曲线C 的离心率等于（ ） A ．√5B ．2C ．√3D ．√2【解答】解：双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点分别为F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），渐近线方程为bx ﹣ay ＝0，bx +ay ＝0，可得F 2与双曲线C 的渐近线的距离为d =bc√b +a 2=b ，可得圆F 2的方程为（x ﹣c ）2+y 2＝b 2，①若F 1M →⋅F 2M →=0，即有M （x ，y ）的方程为x 2+y 2＝c 2，②联立方程①②可得x =2c 2−b 22c ，y 2=4b 2c 2−b 44c 2，代入双曲线的方程即为b 2•4c 4−4b 2c 2+b 44c 2a 2•4b 2c 2−b 44c2=a 2b 2， 化简可得b 2＝4a 2，则e =c a =√1+b2a2=√5，故选：A ．4．（2020•山西模拟）双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且垂直于x 轴的直线与双曲线C 的两条渐近线分别交于M ，N 两点，若△MF 1N 为等腰直角三角形，则该双曲线离心率为（ ） A ．√15B ．√152C ．√53D ．√5【解答】解：{x =c y =b ax 解得M （c ，bc a），因为△MF 1N 为等腰直角三角形，所以bc a=2c ，ba=2，所以e =c a =√1+(ba )2=√5， 故选：D ．5．（2020•贵州模拟）过双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左焦点F （﹣c ，0），作圆x 2+y 2＝a 2的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于点P ．若线段PF 的中点为M ，M 在线段PT 上，O 为坐标原点，则|OM |﹣|MT |＝（ ）A ．b ﹣aB ．a ﹣bC ．c ﹣aD ．c ﹣b【解答】解：如图所示，设F ′是双曲线的右焦点，连接PF ′．∵点M ，O 分别为线段PF ，FF ′的中点，由三角形中位线定理得到：|OM |=12|PF ′|=12（|PF |﹣2a ）=12|PF |﹣a ＝|MF |﹣a ，∴|OM |﹣|MT |＝|MF |﹣|MT |﹣a ＝|FT |﹣a ，连接OT ，因为PT 是圆的切线，则OT ⊥FT ，在Rt △FOT 中，|OF |＝c ，|OT |＝a ，∴|FT |=√|OF|2−|OT|2=b ．∴|OM |﹣|MT |＝b ﹣a ．故选：A ．6．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1（﹣c ，0）、F 2（c ，0）．若椭圆上存在点P 使asin∠PF 1F 2=c sin∠PF 2F 1，求该椭圆的离心率的取值范围．【解答】解：在△PF 1F 2中，由正弦定理知sin∠PF 1F 2sin∠PF 2F 1=|PF 2||PF 1|， ∵a sin∠PF 1F 2=c sin∠PF 2F 1， ∴|PF 2||PF 1|=a c =1e ，即|PF 1|＝e |PF 2|．①又∵P 在椭圆上，∴|PF 1|+|PF 2|＝2a ，将①代入得|PF 2|=2a e+1∈（a ﹣c ，a +c ），同除以a 得，1﹣e ＜2e+1＜1+e ，得√2−1＜e ＜1．。
2023年高考数学押题预测卷及答案解析(天津卷)
2023年高考数学押题预测卷及答案解析（天津卷）第Ⅰ卷（共45分）一、选择题：本题共9个小题，每小题5分，共45分．每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求．1．设全集{}3,2,1,0,1,2,3U =---，集合{}3,2,2,3A =--，{}3,0,1,2B =-，则()U A B ⋂=ð（）A ．∅B ．{}1C ．{}0,1D ．{}0,1,2【答案】C【详解】因为{}3,2,1,0,1,2,3U =---，{}3,2,2,3A =--，{}3,0,1,2B =-所以{}U 1,1,0A =-ð，所以(){}{}{}U 1,1,03,0,1,20,1A B ⋂=-⋂-=ð．故选：C.2．设x ∈R ，则“2x =”是“24x =的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】当2x =时24x =，故充分性成立，由24x =可得2x =或2x =-，故必要性不成立，所以“2x =”是“24x =”的充分不必要条件.故选：A3．函数()333x x x f x -=+的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【详解】()333x x x f x -=+定义域为R ，且()()()333333x x x x x x f x f x ----==-=-++，即()333x x x f x -=+为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除B 、D ；当0x >时30x >，330xx-+>，所以()3033x x x f x -=>+，故排除C ；故选：A4．某高中随机选取100名学生一次数学统测测试成绩，分为6组：[65,70),[70,75),[75,80),[80,85),[85,90),[90,95]，绘制了频率分布直方图如图所示，则成绩在区间[70,85)内的学生有（）A ．35名B ．50名C ．60名D ．65名【答案】D【详解】∵(0.050.060.030.010.01)51a +++++⨯=，∴0.04a =，∴100(0.060.040.03)565⨯++⨯=（名），故选：D.5．若125()3a -=，121log 5b =，3log 7c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．c b a>>【答案】B【详解】依题意，10255(()133a -=<=，212221log log 5log 225b ==>=，而23331log 3log 7log 32=<<=，即12c <<，所以a ，b ，c 的大小关系为b c a >>.故选：B6．设sin cos 6παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫- ⎪⎝⎭=（）A ．1825-B ．1825C ．725-D ．725【答案】D【详解】解：s 1si c in cos n os 26παααα⎛⎫+⎪⎭== ⎝⋅即3sin cos 225αα⋅+⋅=，所以14sin cos 225αα⋅+=即4cos 65πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以2167cos 22cos 121362525ππαα⎛⎫⎛⎫-=--=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：D7．已知1F ，2F 分别是双曲线()2222:10,0x yE a b a b-=>>的左、右焦点，焦距为4，若过点1F 且倾斜角为6π的直线与双曲线的左、右支分别交于A ，B 两点，2122ABF AF F S S =△△，则该双曲线的离心率为（）A BC D 【答案】C【详解】因为2121112222ABF AF F S S h AB h AF =⇒⋅=⋅⋅△△，解得12AB AF =设1AF t =，22AF t a =+，13BF t =，232BF t a=-根据题意可知2,2t A ⎫-⎪⎪⎝⎭，32,2t B ⎫-⎪⎪⎝⎭设双曲线方程为()222210,0x y a b a b-=>>，设00(,)P x y ，若P 点在双曲线的左支上，则双曲线的焦半径为：10PF ex a =--，20PF ex a =-+，由题意可得()1,0F c -，()2,0F c ，所以1PF =2PF =根据2200221x y a b -=变形得2220021x y b a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以1PF ====0cx a a=--0ex a =--故10PF ex a =--，同理可得20PF ex a =-+，同理可得，若P 点在双曲线的右支上，则双曲线的焦半径为：10PF ex a =+，20PF ex a =-，根据双曲线焦半径公式可得：122A AF ex a e a =--=--，222A AF ex a e et a =-+=-+；122BF e et a =-++，22B BF ex a e a =-=--，114AF BF t +==，解得=e .故选：C8．数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分．如图，在勒洛四面体中，正四面体ABCD 的棱长为4，则下列结论正确的是（）A ．勒洛四面体最大的截面是正三角形B ．若P 、Q 是勒洛四面体ABCD 表面上的任意两点，则PQ 的最大值为2C ．勒洛四面体ABCD 的体积是D ．勒洛四面体ABCD 内切球的半径是4【答案】D【详解】由勒洛四面体的定义可知勒洛四面体最大的截面即经过四面体ABCD 表面的截面，如图1所示，故A 不正确；根据勒洛四面体的性质，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，所以勒洛四面体表面上任意两点间的距离的最大值即为内接正四面体的边长，所以勒洛四面体表面上任意两点间的距离的最大值为4，故B 错误；如图2，由对称性可知勒洛四面体内切球的球心O 是正四面体ABCD 外接球的球心，连接BO 并延长交勒洛四面体的曲面于点E ，则OE 就是勒洛四面体内切球的半径.如图3,在正四面体ABCD 中，M 为BCD △的中心，O 是正四面体ABCD 外接球的球心，连接BM 、BO 、AM ，由正四面体的性质可知O 在AM 上.因为4AB =,所以233BM ==，则3AM =.因为()2222BO BM OM AM OM =+=-，即2222BO OM OM ⎫=+=-⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得BO =则正四面体ABCD 外接球的体积是3344ππ33R =⨯=，而勒洛四面体ABCD 的体积小于其外接球的体积，C 错误；因为4BE AB ==，所以4OE =,所以，勒洛四面体ABCD 内切球的半径是4D 正确.故选：D.9．将函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移π4个单位长度后得到函数()g x 的图象，则下列四个结论：①πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是()g x 的一个解析式；②()g x 是最小正周期为π的奇函数；③()g x 的单调递减区间为5πππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ；④直线7π12x =是()g x 图象的一条对称轴.其中正确结论的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【详解】将函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移π4个单位长度得到函数()πππππcos 2cos 2sin 423233g x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，故①错误；函数()g x 的最小正周期2ππ2T ==，但是()ππsin 2sin 233g x x x ⎛⎫⎛⎫-=--+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()g x 为非奇非偶函数，即②错误；令5π2π22ππ6k x k ≤+≤+，Z k ∈，解得5ππππ1212k x k -≤≤+，Z k ∈，所以()g x 的单调递减区间为5πππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈，故③正确；因为7π7ππ3πsin 2sin1121232g ⎛⎫⎛⎫=-⨯+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以直线7π12x =是()g x 图象的一条对称轴，故④正确；故选：B第Ⅱ卷（共105分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．）10．若复数i1ia +-为纯虚数，则2i a +=___________.【详解】i (i)(1i)1(1)i 11i 1i (1i)(1i)222a a a a a a +++-++-+===+--+为纯虚数，则102a -=且102a +≠，∴1a =，2i 2i a +=+=11．102x⎛⎝的展开式中的常数项为______.【答案】45【详解】二项式102x⎛⎝展开式的通项为()()520102211010CC 1rr rr rr r T x x--+⎛=⋅=-⋅ ⎝，令52002r-=，解得8r =，∴常数项为()881081C 145T +=⨯-=.故答案为：45．12．圆心在直线2x =-上，且与直线20x -=相切于点(-的圆的方程为______.【答案】()2224x y ++=【详解】记圆心为点C ，点(-为点A ，因为圆心C 在直线2x =-上，故可设圆心C 的坐标为()2,t -，因为圆C 与直线20x -=相切于点(A -，所以直线CA 与直线20x -=垂直，直线CA 20x -=的斜率为所以1213t ⎛⨯-=- -+⎝⎭，所以0=t ，所以圆心为()2,0C -，圆的半径为2CA r ==，所以圆的方程为()2224x y ++=.故答案为：()2224x y ++=.13．假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品的合格率为90%，乙厂产品的合格率为80%，在该市场中购买甲厂的两个灯泡，则恰有一个是合格品的概率为___________；若在该市场中随机购买一个灯泡，则这个灯泡是合格品的概率为___________.【答案】0.18/9500.86/4350【分析】根据全概率公式和条件概率公式计算即可.【详解】在该市场中购买甲厂的两个灯泡，恰有一个是合格品的概率为12C 0.90.10.18⨯⨯=，若在该市场中随机购买一个灯泡，则这个灯泡是合格品的概率为0.60.90.40.80.86⨯+⨯=.故答案为：0.18；0.86.14．窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，正八边形ABCDEFGH 中，若(,R)AE AC AF λλμμ=+∈，则λμ+的值为________；若正八边形ABCDEFGH 的边长为2，P 是正八边形ABCDEFGH 八条边上的动点，则AP AB ⋅的最小值为______.【答案】-【详解】AF AB ⊥，以点A 为坐标原点，分别以,AB AF 所在直线为,x y 轴，建立平面直角坐标系，正八边形内角和为(82)1801080-⨯︒=︒，则110801358HAB ∠=⨯︒=︒，所以，(0,0),(2,0),(2(2,22(0,22(A B C E F H ++-,(2,2(0,22(2AE AF AC =+=+=+,因为AE AC AF λμ=+，则(2,2(2(0,22λμ+=+++，所以2(22(2λμ⎧=+⎪⎨+++⎪⎩，解得22λμ==，所以λμ+=；设(,)P x y ，则2x ≤≤+(,),(2,0)AP x y AB == ，则2AP AB x ⋅=≥-所以，当点P 在线段GH 上时，AP AB ⋅取最小值-.，-15．已知函数()f x 满足：()222,1269,24x x f x x x x -≤≤=⎨-+<<⎩，当[]0,2x ∈时，()()2f x f x =-；当x ∈R 时，()()42f x f x +=，若关于x 的方程()20f x m x --=在区间[]0,6上恰有三个不同的实数解，则实数m 的取值范围是______.【答案】(]{}1,20⋃【详解】由已知当[]1,2x ∈时，()22xf x =-，当[]0,2x ∈时，()()2f x f x =-，所以当[)0,1x ∈时，(]21,2x -∈，()()2222xf x f x -=-=-，因为当x ∈R 时，()()42f x f x +=，所以当[)4,5x ∈，()()()2472422224x x f x f x -+-=-=-=-，当[]5,6x ∈，()()()432422224x x f x f x --=-=-=-，作出函数()f x 在[]0,6时的函数图像，如图所示，方程()20f x m x --=可化为()2f x m x =-，因为方程()20f x m x --=在区间[]0,6上恰有三个不同的实数解，所以函数()y f x =与函数2y m x =-的图象在[]0,6上有且仅有三个交点，当0m =时，函数()y f x =与函数0y =的图象在[]0,6上有且仅有三个交点，所以()20f x m x --=在区间[]0,6上恰有三个不同的实数解，符合题意；当102m <<时，函数()y f x =与函数2y m x =-的图象在[]0,6上有且仅有六个交点，所以()20f x m x --=在区间[]0,6上恰有六个不同的实数解，不符合题意；当12m =时，函数()y f x =与函数2y m x =-的图象在[]0,6上有且仅有五个交点，所以()20f x m x --=在区间[]0,6上恰有五个不同的实数解，不符合题意；当112m <≤时，函数()y f x =与函数2y m x =-的图象在[]0,6上有且仅有四个交点，所以()20f x m x --=在区间[]0,6上恰有四个不同的实数解，不符合题意；当12m <≤时，函数()y f x =与函数2y m x =-的图象在[]0,6上有且仅有三个交点，所以()20f x m x --=在区间[]0,6上恰有三个不同的实数解，符合题意；当m>2时，函数()y f x =与函数2y m x =-的图象在[]0,6上有且仅有两个交点，所以()20f x m x --=在区间[]0,6上恰有两个不同的实数解，不符合题意；当0m <时，函数()y f x =与函数2y m x =-的图象在[]0,6上没有交点，所以()20f x m x --=在区间[]0,6上没有实数解，不符合题意；综上所述，若关于x 的方程()20f x m x --=在区间[]0,6上恰有三个不同的实数解，则实数m 的取值范围是(]1,2.故答案为：(]{}1,20⋃三、解答题：（本大题5个题，共75分）16．ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，)2222sin a c b bc A +-=.(1)求角B 的大小；(2)若1cos 3A =，求()sin 2AB -的值.【详解】（1）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，则2222cos a c b ac B =+-，)2222sin a c b bc A +-=，所以cos 2sin B bc A =cos sin B b A =，cos sin sin A B B A =，因为sin 0A >，sin B B =，则tan B ，又0πB <<，所以π3B =.（2）因为1cos 3A =，2π03A <<，所以sin A ，所以1sin 22sin cos 2339A A A ==⨯⨯=，27cos 22cos 19A A =-=-，所以()17sin 2sin 2cos cos 2sin 929218A B A B A B -=-=+⨯=.17．如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面,//,,3,2,60,ABCD AB CD AB AD AB AD CD PAB M ∠⊥===== 是CD 中点，N 是PB 上一点.(1)当13PN PB =时，（i ）证明：MN //平面PAD ；（ii ）求直线PM 与平面PAD 所成角的正弦值；(2)平面PAD 与平面AMN 夹角的余弦值为45，求PNPB的值.【详解】（1）解：如图建立空间直角坐标系，以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，过点A 作面ABCD 的垂线为z 轴，则由题意可得()()(3,0,0,,,B D P M，由((2,0,,PB PM == ，及13PN PB =即13PN PB = ，可得22,0,,,3333PN MN PN PM ⎛⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（i ）设平面PAD 的一个法向量为(),,m x y z =，则0,0,AP m x AD m ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩解得,0x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩令1z =，得()m =是平面PAD 的一个法向量.因为00MN m ⋅=+=，所以MN m ⊥.又MN ⊄平面PAD ，所以MN //平面PAD .（ii ）由（i）可得cos ,PM m PM m PM m⋅==-⋅，所以直线PM 与平面PAD所成角的正弦值为4.（2）设()[]2,0,,0,1PN t PB t t ==∈ ，则()12AN AP PN t =+=+ ，设()111,,x n y z =是平面AMN 的一个法向量，则())111101210n AM x n AN t x t z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++-=⎪⎩，取)11x t =-，则))1,1,21n t t t =--+是平面AMN 的一个法向量，则4cos ,5m n m n m n ⋅==⋅ ，解得t =t =.所以28487PN PB +=.18．在公差不为零的等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中，n S 为{}n a 的前n 项和.已知21943,a b S b ===，且2a 是1a 与5a 的等比中项.(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)记数列{}n n a b ⋅的前n 项和为n T ，求n T ；(3)求1114(1)nk k k k ka a -=+-⋅∑.【详解】（1）设{}n a 的公差为d ，{}nb 的公比为q ，由题意2215a a a =，即9(3)(33)d d =-+，∵0d ≠，解得2d =，∴11a =，∴()12121n a n n =+-=-.∵99892812S ⨯=+⨯=，∴34381b q =⨯=，∴3q =∴3n n b =.（2）(21)3n n n a b n ⋅=-⨯∴231133353(23)3(21)3n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ①∴23413133353(23)3(21)3n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ②①-②得234121323232323(21)3n n n T n +-=⨯+⨯+⨯+⨯++⨯--⨯ 2113(13)32(21)313n n n -+-=+⨯--⨯-16(22)3n n +=---⨯∴13(1)3n n T n +=+-⨯.（3）11114411(1)(1)(1)()(21)(21)2121k k k k k k k a a k k k k ---+-=-=-+-+-+当n 为偶数时，11141111111(1)(1)()()(33523212121nk k k k k a a n n n n -=+-=+-++++-+⋅---+∑ 1212121n n n =-=++当n 为奇数时，11141111111(1)(1)()()(33523212121nk k k k k a a n n n n -=+-=+-++-+++⋅---+∑ 12212121n n n +=+=++∴1112,421(1)22,.21nk k k k nn k n n a a n n -=+⎧⎪⎪+-=⎨+⋅⎪⎪+⎩∑为偶数，为奇数19．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，左、右顶点分别为A 、B ，点P 、Q 为椭圆上异于A 、B 的两点，PAB 面积的最大值为2．(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线AP 、BQ 的斜率分别为1k 、2k ，且1235k k =．①求证：直线PQ 经过定点．②设PQB △和PQA △的面积分别为1S 、2S ，求12S S -的最大值．【详解】（1）解：当点P 为椭圆C 短轴顶点时，PAB 的面积取最大值，且最大值为112222AB b ab ab ⋅=⨯==，由题意可得2222c a ab c a b ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以，椭圆C 的标准方程为2214x y +=.（2）解：①设点()11,P x y 、()22,Q x y .若直线PQ 的斜率为零，则点P 、Q 关于y 轴对称，则12k k =-，不合乎题意.设直线PQ 的方程为x ty n =+，由于直线PQ 不过椭圆C 的左、右焦点，则2n ≠±，联立2244x ty n x y =+⎧⎨+=⎩可得()2224240t y tny n +++-=，()()()22222244441640t n t n t n ∆=-+-=+->，可得224n t <+，由韦达定理可得12224tn y y t +=-+，212244n y y t -=+，则()2121242n ty y y y n -=+，所以，()()()()()()()()212121121112221212122122422222422222n y y n y ty n y ty y n y k y x n n k x y ty n y ty y n y y y n yn -++-+-+--=⋅==-++++++++()()()()1211222222522223n y y ny n n n n y y ny n ++---=⋅==+-+++，解得12n =-，即直线PQ 的方程为12x ty =-，故直线PQ 过定点1,02M ⎛⎫- ⎪⎝⎭.②由韦达定理可得1224t y y t +=+，()1221541y y t =-+，所以，12121·2S S AM BM y y -=--=41=++，20t ≥≥因为函数()1f x x x=+在)+∞上单调递增，故15≥=，所以，12S S -0=t 时，等号成立，因此，12S S-的最大值为4.20．已知函数()e sin x f x a x a =--．（注：e 2.718281=⋅⋅⋅是自然对数的底数）．(1)当2a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；(2)当0a >时，函数()f x 在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内有唯一的极值点1x ．①求实数a 的取值范围；②求证：()f x 在区间()0,π内有唯一的零点0x ，且012x x <．【详解】（1）当2a =时，()2e sin 2x f x x =--，()2e cos x f x x '=-，切线的斜率()0211k f '==-=，又()00f =，所以切点为()0,0，所以，切线方程为y x=（2）①.函数()e sin x f x a x a =--，()e cos x f x a x '=-，（ⅰ）当1a ≥时，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，e 1x a >，()cos 0,1x ∈，()0f x '∴>，则()y f x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，没有极值点，不合题意，舍去；（ⅱ）当01a <<时，设()e cos x x a x ϕ=-，则()e sin 0x x a x ϕ'=+>在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立，所以()x ϕ在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，即()f x '在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，又()010f a -'=<，π2πe 02f a ⎛⎫=> ⎪⎝⎭'，所以()f x '在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上有唯一零点1x ，当()10,x x ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当1π,2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>，函数()f x 单调递增，所以函数()y f x =在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内有唯一极值点，符合题意，综上，a 的取值范围是()0,1．②.由①知01a <<，当π,π2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()e cos 0x f x a x =->'，当()10,x x ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当()1,πx x ∈时，()0f x ¢>，函数()f x 单调递增；所以()10,x x ∈时，()()00f x f <=，则()10<f x ，又因为()()πππe e 10f a a a =-=->，所以()f x 在()1,πx 上有唯一零点0x ，即()f x 在()0,π上有唯一零点0x ．因为()12112e sin2x f x a x a =--，由①知()10f x '=，所以11cos x ae x =，则()1112111111cos 2e sin2e cos 2sin cos e x x x x f x a x a x x x =--=--11111cos e 2sin e x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，1π20,x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭设()e 2sin e x x h x x -=--，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()e 2cos e x x h x x -=+'-，e e 2x x -+> ，2cos 2x <，所以()e e 2cos 0x x h x x -='+->()h x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭为单调递增，又()00h =，所以()0h x >，又π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，1cos 0x >，所以()1111112cos e 2sin 0e x x f x x x ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭．所以()()1020f x f x >=．由前面讨论知112πx x <<，10πx x <<，()f x 在()1,πx 单调递增，所以012x x <．。
湖南省普通高中2025届高考全国统考预测密卷数学试卷含解析
湖南省普通高中2025届高考全国统考预测密卷数学试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()()()2cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+><≤的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）A ．函数()f x 在1711,1212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减 B ．函数()f x 在3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．函数()f x 的对称中心是(),026k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭ D ．函数()f x 的对称轴是()5212k x k Z ππ=-∈ 2．已知a ，b ，R c ∈，a b c >>，0a b c ++=．若实数x ，y 满足不等式组040x x y bx ay c ≥⎧⎪+≤⎨⎪++≥⎩，则目标函数2z x y=+（ ）A ．有最大值，无最小值B ．有最大值，有最小值C ．无最大值，有最小值D ．无最大值，无最小值3．已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}2,3,4B =，则集合()UB A =( )A ．{}1,2,6B ．{}1,3,6C ．{}1,6D ．{}64．已知函数()()f x x R ∈满足(1)1f =，且()1f x '<，则不等式()22lg lg f x x <的解集为（ ）A ．10,10⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,10,10C ．1,1010⎛⎫⎪⎝⎭D ．()10,+∞5．设点P 是椭圆2221(2)4x y a a +=>上的一点，12F F ，是椭圆的两个焦点，若1243F F =，则12PF PF +=（ ） A ．4B ．8C ．42D ．476．设x ∈R ，则“327x <”是“||3x <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知向量(,4)a m =-，(,1)b m =（其中m 为实数），则“2m =”是“a b ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．23B ．13C ．43D ．569．对于函数()f x ，若12,x x 满足()()()1212f x f x f x x +=+，则称12,x x 为函数()f x 的一对“线性对称点”．若实数a 与b 和+a b 与c 为函数()3xf x =的两对“线性对称点”，则c 的最大值为（ ）A ．3log 4B ．3log 41+C ．43D ．3log 41-10．如图所示，直三棱柱的高为4，底面边长分别是5，12，13，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8，则球的体积为 ( )A ．B ．C ．D ．11．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（ ）A ．-1B ．1C ．0D ．212．已知函数()ln f x x ax b =++的图象在点(1,)a b +处的切线方程是32y x =-，则a b -=（ ） A ．2B ．3C ．-2D ．-3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
重庆市(新版)2024高考数学统编版真题(预测卷)完整试卷
重庆市（新版）2024高考数学统编版真题(预测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知，，，则向量，的夹角为（）A．B．C．D．第(2)题已知复数，则的虚部是（）A．B．C．D．第(3)题命题“存在实数，使”的否定是（）A．不存在实数，使B．存在实数，使C．对任意的实数x，都有D．对任意的实数x，都有第(4)题设函数，若对任意的恒成立，则（）A．B．C．D．第(5)题正项等比数列满足，，则的前7项和( )A．256B．254C．252D．126第(6)题已知函数有三个零点，且，则（）A．8B．1C．－8D．－27第(7)题如图，全集，集合，集合，则阴影部分表示集合（）A．B．C．D．第(8)题当时，函数取得最大值，则（ ）A．B．C．D．1二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题中央广播电视总台《2023年春节联欢晩会》以温暖人心的精品节目､亮点满满的技术创新､美轮美奂的舞美效果为全球华人送上了一道红红火火的文化大䝳.某机构随机调查了18位观众对2023年春晩节目的满意度评分情况，得到如下数据：.若恰好是这组数据的上四分位数，则的值可能为（）A．83B．84C．85D．87第(2)题在矩形ABCD中，以AB为母线长，2为半径作圆锥M，以AD为母线长，8为半径作圆锥N，若圆锥M与圆锥N的侧面积之和等于矩形ABCD的面积，则（）A．矩形ABCD的周长的最小值为B．矩形ABCD的面积的最小值为C．当矩形ABCD的面积取得最小值时，D．当矩形ABCD的周长取得最小值时，第(3)题甲、乙两名篮球运动员连续10场比赛的得分如下表所示，则下列说法正确的有（）场次12345678910甲18202213202710211930乙31020924271328917A．甲的众数大于乙的众数B．甲的平均数大于乙的平均数C．甲的极差大于乙的极差D．甲的60百分位数大于乙的60百分位数三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题给定区域:，令点集是在上取得最大值或最小值的点,则中的点共确定______条不同的直线.第(2)题造纸术是中国四大发明之一，彰显了古代人民的智慧.根据史料记载盛唐时期折纸艺术开始流行，19世纪折纸与数学研究相结合，发展成为折纸几何学.在一次数学探究课上，学生们研究了圆锥曲线的包络线折法.如图，在一张矩形纸片上取一点，记矩形一边所在直线为，将点折叠到上（即），不断重复这个操作，就可以得到由这些折痕包围形成的抛物线，这些折痕就是抛物线的包络线.在抛物线的所有包络线中，恰好过点的包络线所在的直线方程为__________.第(3)题已知直线与曲线相切，则______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题在锐角中，角所对的边分别为，已知，，且满足.（1）求角；（2）如图，为外一点，若在平面四边形中，，，求.第(2)题已知函数.(1)当时，求的极值及曲线在点处的切线方程；(2)若函数有两个零点，求实数a的取值范围.第(3)题为了比较两位运动员甲和乙的打靶成绩，在相同条件下测得各打靶次所得环数（已按从小到大排列）如下：甲的环数：乙的环数：（1）完成茎叶图，并分别计算两组数据的平均数及方差；（2）（i）根据（1）的结果，分析两人的成绩；（ii）如果你是教练，请你作出决策：根据对手实力的强弱分析应该派两人中的哪一位上场比赛.第(4)题已知函数，．(1)讨论的单调性；(2)证明：当时，．第(5)题已知数列的前项和满足，且.（1）求证：数列是常数数列；（2）设，为数列的前项和，求使成立的最小正整数的值.。
浙江省杭州市(新版)2024高考数学统编版模拟(预测卷)完整试卷
浙江省杭州市（新版）2024高考数学统编版模拟(预测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题复数（其中i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限第(2)题设，若平面上点满足对任意的，恒有，则一定正确的是A ．B ．C ．D ．第(3)题已知中，C 为直角，若分别以边CA ，CB ，AB 所在的直线为轴旋转一周，得到几何体的体积为，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．第(4)题已知集合，集合，则的子集个数为（ ）A ．8B ．3C ．2D ．1第(5)题已知为虚数单位，复数，则（ ）A ．B ．C ．D ．第(6)题函数图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．第(7)题过原点的圆的圆心为，则原点处与圆相切的直线的倾斜角为（ ）A ．3B ．C ．D ．第(8)题函数的极值点是（ ）A ．0B ．1C ．D ．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示.下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ）A ．.B ．由“第行所有数之和为”猜想：.C．第20行中，第11个数最大.D．第15行中，第7个数与第8个数之比为7∶9.第(2)题下列结论正确的是（）A．经验回归直线恒过样本点的中心，且在经验回归直线上的样本点越多，拟合效果越好B．在一个列联表中，由计算得的值，那么的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大C．若散点图中所有点都在直线上，则相关系数D．根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得．依据的独立性检验，则变量x与y独立第(3)题设，，则下列计算正确的是（）A．B．若，则C．若，则D．若，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知三棱锥的四个面都是边长为2的正三角形，是外接圆上的一点，为线段上一点，，是球心为，半径为的球面上一点，则的最小值是______．第(2)题已知，则的最大值为___________第(3)题已知，函数，．若关于的方程有个解，则的取值范围为__________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题某工厂预算用56万元购买单价为5千元（每吨）的原材料和2千元（每吨）的原材料，希望使两种原材料的总数量（吨）尽可能的多，但的吨数不少于的吨数，且不多于的吨数的倍，设买原材料吨，买原材料吨，按题意列出约束条件､画出可行域，并求､两种原材料各买多少才合适.第(2)题如图1所示，长方体，底面是正方形，为中点，图2是该几何体的左视图.（1）求四棱锥的体积；（2）正方体内（包括边界）是否存在点，使三棱锥体积是四棱锥体积的？若存在，请指出满足要求的点的轨迹，并在图1中画出轨迹图形；若不存在，请说明理由.第(3)题已知.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若，证明：.第(4)题第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元．ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于ChatGPT中．某学习小组设计了如下问题进行探究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球．(1)从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概率；(2)掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球．若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率．第(5)题已知为等差数列，.(1)求的通项公式；(2)若为的前项和，求.。
山东省淄博市(新版)2024高考数学人教版测试(预测卷)完整试卷
山东省淄博市（新版）2024高考数学人教版测试(预测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知椭圆C的焦点为，过F 2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为A．B．C．D．第(2)题设，为两个平面，则的充要条件是A．内有无数条直线与平行B．内有两条相交直线与平行C．，平行于同一条直线D．，垂直于同一平面第(3)题设，，，则（）A．B．C．D．第(4)题函数在上的图象大致为（）A．B．C．D．第(5)题已知复数，为虚数单位)，若且，则（）A．2B．C．D．第(6)题设命题，则为A．B．C．D．第(7)题某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（）A．B．C．D．第(8)题已知，且与不共线，若向量与互相垂直，则实数的值为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知复数，满足，下列说法正确的是（）A．若，则B．C．若，则D．第(2)题给定一组数：，且的平均数和方差分别为和，则下列说法正确的是（）A．，，…，的平均数为21B．，，…，的方差为5C．0，，，…，，30的平均数为11D．0，，，…，，30的方差为49.8第(3)题若函数的图象关于直线对称，则（）A．B ．的图象关于点中心对称C．在区间上单调递增D．在区间上有2个极值点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题为促进小区人员对垃圾分类进行深入了解，某小区举行了“垃圾分类你提问我知道”对抗竞赛活动．活动规则：对抗双方轮换提问，答对得分，答错对手得分，先多得分者获胜．若甲、乙两人进行对抗，且甲提问并获胜的概率为，甲答题并获胜的概率为，则在甲先提问的情况下，甲以获胜的概率为______．第(2)题若直线l：与圆C：相交于A，B两点，，则直线l的斜率的取值范围为______.第(3)题设函数，则曲线在点处的切线方程为___________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题设抛物线的焦点为，点，过的直线交于，两点．当直线垂直于轴时，．(1)求的方程；(2)在轴上是否存在一定点，使得_________？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．从①点关于轴的对称点与，三点共线；②轴平分这两个条件中选一个，补充在题目中“__________”处并作答．注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分．第(2)题在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数）.(1)将直线的极坐标方程化成直角坐标方程，将曲线的参数方程化成普通方程；(2)若曲线与直线总有公共点，求的取值范围.第(3)题已知数列与满足，.(1)若,求数列的通项公式；(2)若,且数列是公比等于2的等比数列,求的值,使数列也是等比数列；(3)若,且，数列有最大值与最小值,求的取值范围.第(4)题中国哈尔滨冰雪大世界是由哈尔滨市政府为迎接千年庆典神州世纪游活动，凭借哈尔滨的冰雪时节优势，而推出的大型冰雪艺术精品工程，展示了北方名城哈尔滨冰雪文化和冰雪旅游的魅力．“南方小土豆”勇闯冰雪大世界点燃了民众对冰雪运动的热情，其中雪上运动深受游客的追捧．某新闻媒体机构随机调查男、女性游客各100名，统计结果如下表所示：男性游客女性游客合计喜欢滑雪603595不喜欢滑雪4065105合计100100200(1)依据小概率值的独立性检验，判断能否认为游客是否喜欢滑雪与性别有关？(2)冰雪大世界招募初学者进行滑雪培训，对四个基本滑雪动作（起步、滑行、转弯、制动）进行指导．根据统计，每位初学者对起步、滑行、转弯、制动这四个动作达到优秀的概率分别为，，，，且四个基本滑雪动作是否达到优秀相互独立．若这四个基本滑雪动作至少有三个达到优秀，则可荣获“优秀学员”称号．（ⅰ）求滑雪初学者荣获“优秀学员”称号的概率；（ⅱ）现有一个旅游团去哈尔滨冰雪大世界游玩，其中有30人参加滑雪培训，且均为滑雪初学者，每个人滑雪身体条件相当，令为荣获“优秀学员”称号的人数，求的数学期望，并求这30人中多少人荣获“优秀学员”称号的概率最大．附：，．0.050.010.0013.841 6.63510.828第(5)题已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点为圆与圆的公共点．（1）求的方程；（2）直线与交于，两点，点在上，且在这一段曲线上运动（异于端点与），求面积的取值范围．。
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2012年高考预测系列试题【数学】高考预测试题（9）·预测题解析几何命题预测适用省份：山东、广东、宁夏、海南解析几何是高中数学的一个重要内容，从近几年的高考试题看，约占总分的20%．一般是一大(解答题)三小(选择题、填空题)或一大两小。
小题以中档题居多，主要是考查直线、圆和圆锥曲线的性质及线性规划问题，一般可利用数形结合方法解决。
大题一般以直线和曲线的位置关系为命题背景，并结合函数、方程、数列、不等式、平面向量、导数等知识，考查轨迹方程、探求曲线性质、求参数取值范围、求最值与定值、探求存在性等问题．对求轨迹问题，主要涉及圆锥曲线的焦半径、离心率等知识；对于直线与圆锥曲线位置关系的题目，要充分应用等价化归的思想方法把几何条件转化为代数(坐标)问题，进而利用韦达定理处理；对于最值、定值问题，常采用①几何法：利用图形性质来解决，②代数法：建立目标函数，再求函数的最值，确定某几何量的值域或取值范围，一般需要建立方程或不等式，或利用圆锥曲线的有界性来求解；对于圆锥曲线中的“存在性”型的题目，可以先通过对直线特殊位置的考查(如直线垂直x轴)探求出可能的结论，然后再去解决更一般的情况，这样也可以实现“分步得分”的解题目的．思想方法上注意定义法、消参法、相关点法、解析法、解方程(组)、数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想等在解题中的应用。
2012年高考对解析几何的考查问题设置的方向为：（1）以椭圆为入口，求标准方程；（2）几何性质；（3）范围或最值性问题。
解题的策略有：1、注意直线倾斜角范围、设直线方程时注意斜率是否存在，可以设成，包含斜率不存在情况，但不包含斜率为0情况。
注意截距为0的情况；注意点关于直线对称问题（光线的反射问题）；注意证明曲线过定点方法（两种方法：特殊化、分离变量）2、注意二元二次方程表示圆的充要条件、善于利用切割线定理、相交弦定理、垂径定理等平面中圆的有关定理解题；注意将圆上动点到定点、定直线的距离的最值转化为圆心到它们的距离；注意圆的内接四边形的一些性质以及正弦定理、余弦定理。
以过某点的线段为弦的面积最小的圆是以线段为直径，而面积最大时，是以该点为线段中点。
3、注意圆与椭圆、三角、向量（注意利用加减法转化、利用模与夹角转化、然后考虑坐标化）结合；4、注意构建平面上的三点模型求最值，一般涉及“和”的问题有最小值，“差”的问题有最大值，只有当三点共线时才取得最值；5、熟练掌握求椭圆方程、双曲线方程、抛物线方程的方法：待定系数法或定义法，注意焦点位置的讨论，注意双曲线的渐近线方程：焦点在轴上时为，焦点在轴上时为；注意化抛物线方程为标准形式（即2p、p、的关系）；注意利用比例思想，减少变量，不知道焦点位置时，可设椭圆方程为。
6、熟练利用圆锥曲线的第一、第二定义解题；熟练掌握求离心率的题型与方法，特别提醒在求圆锥曲线方程或离心率的问题时注意利用比例思想方法，减少变量。
7、注意圆锥曲线中的最值等范围问题：产生不等式的条件一般有：①“法”；②离心率的范围；③自变量的范围；④曲线上的点到顶点、焦点、准线的范围；注意寻找两个变量的关系式，用一个变量表示另一个变量，化为单个变量，建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用数形结合法，注意点是要考虑曲线上点坐标(x，y)的取值范围、离心率范围以及根的判别式范围。
8、求轨迹方程的常见方法：①直接法；★②几何法；★③定义法；★④相关点法；9、注意利用向量方法，注意垂直、平行、中点等条件以向量形式给出；注意将有关向量的表达式合理变形；特别注意遇到角的问题，可以考虑利用向量数量积解决；10、注意存在性、探索性问题的研究，注意从特殊到一般的方法。
考点一：直线、圆的方程问题【内容解读】直线方程的解析式有点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式５种形式，各有特点，根据具体问题，选择不同的解析式来方便求解；圆的方程有标准式、一般式２种；直线与圆的方程问题，经常与其他知识相结合，如直线与圆相切，直线与直线平行、垂直等问题。
例1、（２０１１年高考福建卷理１７第１问改编）已知直线ｌ：ｙ＝ｘ＋ｍ，ｍ∈Ｒ，若以点Ｍ（２，０）为圆心的圆与直线ｌ相切于点Ｐ，且点Ｐ在ｙ轴上，则该圆的方程为．分析：抓住线段ＭＰ垂直于直线ｌ解题．动向解读：直线与圆的方程问题多以选择题与填空题的形式出现，属容易题。
考点二：曲线（轨迹）方程的求法【内容解读】轨迹问题是高中数学的一个难点，常用的求轨迹方程的方法：单动点的轨迹问题———直接法＋待定系数法；双动点的轨迹问题———代入法；多动点的轨迹问题———参数法＋交轨法。
例2、（２０１１年高考广东卷文２１第１问）在平面直角坐标系ｘＯｙ中，直线ｌ：ｘ＝－２交ｘ轴于点Ａ，设Ｐ是ｌ上一点，Ｍ是线段ＯＰ的垂直平分线上一点，且满足∠ＭＰＯ＝∠ＡＯＰ，当点Ｐ在ｌ上运动时，求点Ｍ的轨迹Ｅ的方程．动向解读：轨迹问题在高考中多以解答题的形式出现，属中档题。
考点三：有关圆锥曲线的定义问题【内容解读】圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义是经常考查的内容，除了在大题中考查轨迹时用到外，主要出现在选择题、填空题中。
例3、（２０１１年高考陕西卷理２）设抛物线的顶点在原点，准线方程为ｘ＝－２，则抛物线的方程是（）Ａ．ｙ２＝－８ｘ；Ｂ．ｙ２＝８ｘ；Ｃ．ｙ２＝－４ｘ；Ｄ．ｙ２＝４ｘ动向解读：圆锥曲线的定义问题多在填空题、选择题中出现，属中等偏易题。
正确理解抛物线的定义及其标准方程，由准线确定抛物线的位置和开口方向是判断的关键。
考点四：圆锥曲线的几何性质问题【内容解读】圆锥曲线的几何性质包括：椭圆的对称性、顶点坐标、离心率；双曲线的对称性、顶点坐标、离心率和渐近线，抛物线的对称性、顶点坐标、离心率和准线方程等内容．离心率公式相同，范围不同，椭圆的离心率在（０，１）内，双曲线的离心率在（１，＋∞）内，抛物线的离心率为１．例4、若双曲线上不存在点P使得右焦点F关于直线OP（O为双曲线的中心）的对称点在y 轴上,则该双曲线离心率的取值范围为（）A．B．C．D．答案：C；解析：这里给出否定形式，直接思考比较困难，按照正难则反，考虑存在点P使得右焦点F关于直线OP（O为双曲线的中心）的对称点在y轴上，因此只要在这个双曲线上存在点P使得OP斜率为1即可，所以只要渐进线的斜率大于1，也就是离心率大于，求其在大于1的补集；该题通过否定形式考查反证法的思想，又考查数形结合、双曲线的方程及其几何性质，是中档题。
动向解读：考查圆锥曲线的几何性质包括焦距、离心率、双曲线的渐近线等内容，一般以选择题或填空题为主，属中档题或容易题．考点五：直线与圆锥曲线位置关系问题【内容解读】能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题；能够把研究直线与圆锥曲线位置关系的问题转化为研究方程组的解的问题；会利用直线与圆锥曲线方程所组成的方程组消去一个变量后，将交点问题转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数的关系及判别式解决问题；能够利用数形结合法，迅速判断某直线与圆锥曲线的位置关系，但要注意曲线上的点的纯粹性；涉及弦的中点及中点弦的问题，利用点差法较为简洁．例5、如图，轴，点M在DP的延长线上，且．当点P在圆上运动时。
（I）求点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点的切线交曲线C于A，B两点，求△AOB面积S的最大值和相应的点T 的坐标。
【解析】本题主要考查了轨迹方程的求法、直线和圆的位置关系、弦长公式、均值不等式的应用. 属于难题。
考查了基础知识、基本运算、参数法、恒等变换能力.解:设点的坐标为，点的坐标为，则，，所以，，①因为在圆上，所以②将①代入②，得点的轨迹方程C的方程为．（Ⅱ）由题意知，．当时，切线的方程为，点A、B的坐标分别为此时，当时，同理可得；当时，设切线的方程为由得③设A、B两点的坐标分别为，则由③得：．又由l与圆相切，得即所以因为且当时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为2依题意，圆心到直线AB的距离为圆的半径，所以面积，当且仅当时，面积S的最大值为1，相应的的坐标为或者．动向解读：直线与圆锥曲线位置关系涉及函数与方程、数形结合、分类讨论、化归转化等数学思想方法，因此，这部分知识经常作为高考试题的压轴题，命题主要意图是考查运算求解能力、逻辑推理能力．考点六：解析几何与平面向量、导数、不等式等内容的交汇问题【内容解读】解析几何与平面向量、导数、不等式等内容的交汇，综合考查了分析与解决问题的能力，其解题策略是：利用向量的坐标运算将向量问题代数化，而后用解析几何的有关知识解决问题．例6、（2010上海文数）23已知椭圆的方程为，、和为的三个顶点.（1）若点满足，求点的坐标；（2）设直线交椭圆于、两点，交直线于点.若，证明：为的中点；（3）设点在椭圆内且不在轴上，如何构作过中点的直线，使得与椭圆的两个交点、满足？令，，点的坐标是（-8，-1），若椭圆上的点、满足，求点、的坐标.解析：(1) ；(2) 由方程组，消y得方程，因为直线交椭圆于、两点，所以>0，即，设C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD中点坐标为(x0,y0)，则，由方程组，消y得方程(k2k1)x p，又因为，所以，故E为CD的中点；(3) 因为点P在椭圆Γ内且不在x轴上，所以点F在椭圆Γ内，可以求得直线OF的斜率k2，由知F为P1P2的中点，根据(2)可得直线l的斜率，从而得直线l的方程．，直线OF的斜率，直线l的斜率，解方程组，消y：x22x480，解得P1(6,4)、P2(8,3)．动向解读：在引入向量的坐标表示后，使向量之间的运算代数化，将“形”与“数”紧密地结合在一起．因此，这部分知识既可以出小题考查基础知识，又可以出大题作为高考试题的压轴题．本题考查了平面向量、直线与椭圆的位置关系等知识，考查了推理论证、数形结合、作图、运算求解能力，考查了考生综合运用所学知识分析解决问题的能力．本题以向量加法的平行四边形法则为出发点，探究对于平面上给定的点Ｐ以及椭圆上的点Ｑ，何时存在椭圆上２点Ｐ１、Ｐ２使得？若存在，如何构作２点Ｐ１、Ｐ２？第２小题为第３小题作了铺垫，在提供问题解决路径的同时，也适度降低了试题的难度，但第３小题要求考生具有一定的探究问题的能力，对思维要求较高．。