高一物理竞赛讲义第7讲.教师

高一物理竞赛讲义第7讲.教师版————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：2掌握了基本的力的知识，我们就来继续探索一下物体的平衡需要哪些有关于力的方程来约束。

首先，因为运动分成平动和转动两种，所以平衡也分平动的平衡和转动的平衡两种。

平动的平衡就是我们说的受力平衡。

转动的平衡就是力矩平衡。

回忆一下初中我们如何处理平衡问题？二力平衡：两个力大小相等，方向相反，作用在同一直线上 三力平衡（高中）：相互平行的三个力，和二力平衡处理起来没有本质区别；如果三力共点，那么可以用力的矢量三角形法则处理。

也可以用力的正交分解方法处理。

其中三角形的方法比较需要几何知识， 正交分解的方法，比较需要解方程能力。

共点力平衡的正交分解方法：（请思考为什么三力平衡必共点） 运用坐标系和力的正交分解可以归纳出静力学一般解题步骤。

①受力分析：对题目中每个个体或者你所选定的系统找出其受的各种力，并且画出受力图。

为了防止漏力，要养成按一般步骤分析的好习惯，一般应先分析重力；然后环绕物体一周，找出跟研究对象接触的物体，并逐个分析这些物体对研究对象的弹力和摩擦力，最后分析其他场力（电场力、磁场力）等。

②根据受力分析得到的力是立直角坐标系，要求需要分解的力越少越好。

③根据直角坐标系对各种力进行正交分解（其中某个方向的力可正可负）。

④由平衡关系写出2020Fx Fy ==此即最后的静力学方程。

⑤根据此方程可解出所需要的问题。

正交分解处理受力平衡的技巧：取正交分解的时候，我们的原则是，建立一个直角坐标系，最好沿着某一方向上，完全没有某个“无关”的力知识点睛温馨寄语第7讲 力的平衡（一）【例1】均匀长棒一端搁在地面上，另一端用细线系在天花板上，如图所示，若细线竖直，试分析棒的受力情况。

【解析】注意这里棒不受摩擦力【例2】如图三根长度均为l的轻杆用段链连接并固定在水平天花板上的A、B两点，AB两点相距2l，会在段链C上悬挂一个质量为m的重物，要使CD杆保持水平，则在D点上应施加的最小力为多少？【解析1】受力分析：解：①对C点进行受力分析.②对D点进行受力分析.③对C建立坐标系对力进行正交分析，求2T.123cos30mg mg3T T︒==⇒12sin30T T=︒=④从D点受力分析可以知道对D点用力最小为2sin60T F︒=min1mg2F=【解析2】用力矩解（可以在板块二中讲解）把ABCD包括重物考虑成一个系统，一共受四个力A点、B点的墙对杆力，C受一个重力，D点一个外力，AC杆、BD杆力都沿杆，则必过一个交点E（如图）则对E点只要C点的重力，和所求的一个外力，要求力矩平衡并且F最小，则F的力臂应最长为DE，则例题精讲mg sin30F DE CE=︒g g gmg2F=【例3】两个质量为M，半径为R的相同圆球A和B，用两根长为l（2l R=）的绳悬挂于O点，在两球上另有一质量为m（m nM=），半径为r（2Rr=）的圆球C，如图，已知三球的表面光滑，试讨论此系统处于平衡时，绳与竖直线的夹角θ与n的关系.【解析】该图对称，可只考虑半边，对A球、C球分析。

①受力分析A球：C球：②建立直角坐标系，并受力分解，写出力平衡方程.A球：cos cos MgT Nθα=+gsin sinT nθα=gC球：2N cos=mg=Mgnαa和θ有关联：sin323sin2a RRθ==⇒2443sin16(1)n nnθ+-=+且1sin3θ≥即两球相交∴24431108101.316(1)927n nnn+-+≈+≥⇒≤①若 1.3n>，系统不能平衡.② 1.3n=系统平衡，且此时A、B无作用力③ 1.3n<，A：A、B球分开2443arcsin16(1)n nnθ+-=+B：A、B接触，则1arcsin3θ=【例4】一重为W的匀质球静止于倾角为1θ和2θ的两固定斜面之间，如图，设所有接触面都光滑，求斜面作用于球上的力。

【解析】①受力分析.②建立坐标系，受力分解，写出力平衡方程.1122cos cosN W Nθθ=+g g1122sin sinN Nθθ=.2121112sinsin()cos sin cosW WNθθθθθθ==--1221sinsin()WNθθθ=-【例5】质量均为m的两环A、B用长为a的细线相连在水平杆上，在细线的中点拴有一质量为M的物块C，如图，A、B环与杆间的静摩擦系数为μ，求平衡情况下的两环的最大距离x.【解析】①受力分析：环：M：②建立坐标系，受力分解：环：cos2(1)sinN mg T mtgf N T Mθθμμθ=+⎫=+⎬=+⎭⇒M：2cosT Mθ=g∴2222(1)2sin21(1)maMx amMμθμ+==++g相互作用——力我们的高中教材中提到了四种相互作用。

其中万有引力相互作用是很好理解的，质量本身的存在就产生了引力。

类似的只要有电荷，或者有电流，就有电磁相互作用。

存在相互作用，存在和距离有关的力，就必然有相应的势能。

同样的有了新的势能，就必然有新的对应的相互作用，或者力。

历史上，强弱两种相互作用就是这样发现的。

随板块二力矩及刚体平衡1．力矩讲力矩首先要规定矩心，就是对什么点的力矩，如图，取点O为矩心（也就是转动的“中心”，其实是一个轴和平面的焦点），r是从矩心到力的作用点的径矢，则力F对0的力矩O是r跟F 的夹角。

通常还按右手螺旋法则规定力矩的方向，即垂直于r和F所在平面，且当右手螺旋从r的方向转到F的方向，其前进方向即M的方向。

（关于力矩的大小和方向的以上规定常常也表示为矢量式M r F=×）.这里一定要注意，力矩和运动一样，一定要先选定参考点才可以去讨论力矩，同时力矩作为一个矢量，其加减也是对于同一个参考点下的力矩。

附录：矢量与矢量的乘积分均点乘和叉乘点乘：||||cosa b a bθ=r rg乘积结果为一个标量.叉乘：||||sina b a bθ=r r×叉乘结果的还是一个矢量，大小为前式的表达，该矢量的方向：垂直于ar和br确定的平面，并由右手螺旋定则确定方向。

2．刚体平衡条件①刚体：是指整体及其各部分的形状和大小均保持不变的物体，显然这也是对客观物体的一个抽象，但是质点的抽象更具体一些，因为给出了形状。

同时刚体也正因为有了形状，其运动方式要比质点更复杂，除了平动以外，还有刚体可以绕着任意一点做转动。

②刚体的平衡：单纯力给出物体的平动，而力矩可以使物体绕着某个点转动，因此，要让刚体平衡，必须满足两个条件.20F=⇒合力为0.20M=⇒相对于任意一点的合力矩为0.注意：作用在同一刚体（或系统）但不同作用点的力可以平移到同一点进行合力，不同作用点的效果由力矩来体现.③力偶与偶矩对大小相等，方向相反但不共线的力，称为力偶.对力偶的合力为0，但它们对任意一定点的力矩不为0.12121121121r F r F r F r F r F++=-=u r u r r u u r r u u r r u r r u r××××二力平衡对于一个受两个力的物体，这两个力必须方向相反，并在同一直线上才能使该物体平衡了。

三力平衡如果一个刚体只受三个力作用，而且这三个力不平行，那么，由于合力为0，这三个力必知识点睛共面且相交于一点，如果三力不共点，则第三个力和前二个力的合力会构成一个力偶。

如果三力不共面，则三力的合力必不为0，所以一个物体受三个力三力必共面共点.【例6】如图所示一个均匀的质量为1m的球挂在天花板上，从同一点挂一个重物质量为2m。

问所成角度。

【解析】：相对于O点的总力矩为0.12m g sin m g(sin)l r lθθ=-g∴1212sin[]()m Rl m mθ-=+该题如果用变力分析去解题，对悬挂2m的绳对大球的支持力的方向比较困难，而用力矩去解题，显得尤为简单【例7】如图，一个半径为R非均匀质量光滑的圆球，其重心不在球心O处，先将它置于水平地面上，平衡时球面上的A点和地面接触；再将它置于倾角为30︒的粗糙斜面上，平衡时球面上的B点与斜面接触，已知A到B的圆心角也为30︒，试求球体的重心C到球心O的距离.解：放在斜面上，球受重力支持力和摩擦力，三力共点必过B点的重心在过B于平面垂直的直线上。

即BC，又放在水平面上A点落地，则此时球受重力和支持力，则球重心必在OA连线上，则重心位置在C点.333OBCO r==⇒【例8】有一长l重为W的均匀杆AB，A顶端竖直的粗糙墙壁上，杆端与墙间的摩擦系数为μ，B端用一强度足够而不可伸长的绳悬挂，绳的另一端固定在墙壁C点，木杆呈水平状态，绳与杆的夹角为θ（如图），求杆能保持平衡时μ与θ应满足的条件。

杆保持平衡时，杆上有一点P存在，若A与P点间挂一重物，则W足够大可以破坏平衡了，而在PB间任一点悬挂任意重物均不能破坏平衡。

求PA距离x.例题精讲【解析】：受力分析力平衡 cos T N θ=g 0sin 5T W W θ+=+g力矩平衡：以A 为支点，0sin 2l T l W W x θ=+gg g g∴0f W W Ntg N θμ=+-≤02W x Ntg w lθ=+ ∴000()22W W x xW W w l l μθ+-+≤(+w )ctg∴00()()22W W x xW w w ctg l lμθ+-+≤①当不挂生物0W = 则tg μθ≥②00(1)(1)2W xuctg w ctg w lθμθ-++-≤w 取穷大，则上式仍成立. ∴(1)101x l ctg x l ctg μθμθ+-+≥⇒≥ 【例9】 有一个半径为a ，高为4a ，重为w 的两端开口的薄壁圆筒，现将筒竖放在光滑的水平面上，之后将半径为r ，重为G 的两个完全相同的光滑圆球放入筒内而呈叠放状态，如图，当22a r a <<时，试求使圆筒不翻倒的条件.解：先看一个直角三角形对O进行受力分析∴cossinN TN Gθθ==⇒2221sin2a rT Gctg Gar arN G Gar aθθ-==-==-gg g再对受力分析考虑以A为支点，考虑翻倒则地面给筒的支持力N的作用点移到A点.则不翻倒条件。

222T ar a w a-g g≤∴(22)G a r wa-≤∴22G a rw a-≤【例10】如图所示，半径分别为r1和r2的两个均匀圆柱体置于同一水平面上，在大圆柱上绕有一根细绳，通过细绳对大圆柱施以水平拉力P。

设所有接触处的静摩擦因数均为μ。

为使在力P的作用下，大圆柱能翻过小圆柱，问μ应满足何条件？【例8】两根等长的细线，一端拴在同一悬点O上，另一端各系一个小球，两球的质量1m和2m，已知两球间存在大小相等，方向相反的斥力而使两线张开一定角度．分别为45︒和30︒，如图1示，则12/m m为多少？【解析】方法一：力的三角形法则解，先对两球进行受力分析1m ：⇒2m ：⇒∴12sin301sin 452m m ︒==︒ 方法二：用力矩平衡12sin 45sin30m gl m gl ⋅︒=︒1212m m =【例11】 ？解：以三球整体考虑，B 点受一重力，C 点受一弹力，即可求杆对其支持力（用三力平衡），杆要保持平衡、可求P .sin N G θ=g以A 点为支点 cos P P l M θ=gN 的臂 ED CE CD =+=21sin sin CB rctg θθθ++g =21(2sin )sin r ctg θθθ++ ∴cos Pl N ED θ=g∴23cos (2tan )sin cos Gr T l θθθθ=+答案有错【例12】 四个半径均为R 的光滑球，静止于一个水平放置的半球形碗内，该四球球心恰在同一水平面上，现将一个相同的第五个球放在前边四球之上，而此系统仍能维持平衡，求碗的半径为多少？力学三角形临界状态A 、B 恰相碰但无作用力，则45θ=︒∴2222226()()224DA CA CA DAN G N N N G=++=⇒22CAN G=⇒设a为碗半径∴1264(2131)224DAACGN a RDAa RAC N RG-====+⇒1．有两个质量分别为1m和2m的光滑小环，套在竖直放置且固定的光滑大环上，两环以细线相连，如图，已知细线所对的圆心角为α，求系统平衡时细线与竖直方向间所夹的角θ为多少？解：1112122sin2m mAC DC Rm m m mα==++1212sin sin22m mAB AC R Rm mαα-=-=+1212arctan()2m mCOm mαθ+=+-2．如图两根轻绳质量为m的不均匀棒悬挂起来，使棒呈水平静止状态，两根绳子同竖直方向的夹角为θ和ϕ，棒长为l，求棒的重心离棒右端的距离？解：三力共点：sin coscos sinsin()sin()l pϕθθϕθϕθϕ=++g g.为了保证竞赛班学习的质量，请同学们花1分钟填写下面内容：学习效果反馈：代课教师：通过今天学习，你觉得：1.本讲讲义内容设置：A．太难太多，吃不透华山论剑B．难度稍大，个别问题需要下去继续思考C．稍易，较轻松D．太容易，来点给力的2.本节课老师讲解你明白了：A .40%以下B .40%到80%C .80%以上但不全懂D .自以为都懂了3．有什么东西希望老师下节课再复习一下么？（可填题号，知识点，或者填无）。