分支定界算法的MATLAB程序

完整word版,分支定界法的Matlab实现

一个调用例子：ifint=[0 1];f=[10 9];a=[1 0;0 1;-5 -3];b=[8 10 -45];[x,fval,exitflag] = linprogdis(ifint,f,a,b,[],[],[],[],[],[])function r=checkint(x)%算法：如果x(i)是整数，则返回r(i)=1；否则返回r(i)=0function r=ifrowinmat(arow,amat)%输入参数：% arow 向量，% amat 矩阵%%设计：如果 arow与矩阵amat中的某一行相等，则返回1，如果找不到现等的一行，则返回0可以使用ismember(arrow,amat,’rows’)替换ifrowinmat的调用，2005-10-28标注使用时，将下面的代码存入文件：linprogdis.mfunction [x,fval,exitflag,output,lambda]=... linprogdis(ifint,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)%Title:% 分支定届法求解混合整数线性规划模型%%初步完成：2002年12月%最新修订: 2004-03-06%最新注释：2004-11-20%数据处理[t1,t2] = size(b);if t2~=1,b=b';%将b转置为列向量end%调用线性规划求解[x,fval,exitflag,output,lambda] =linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options);if exitflag<=0,%如果线性规划失败，则本求解也失败returnend%得到有整数约束的决策变量的序号v1=find(ifint==1);%整数变量的indextmp=x(v1);%【整数约束之决策变量】的当前值if isempty(tmp),%无整数约束，则是一般的线性规划，直接返回即可returnendv2=find(checkint(tmp)==0);%寻找不是整数的index if isempty(v2),%如果整数约束决策变量确实均为整数，则调用结束returnend%第k个决策变量还不是整数解%注意先处理第1个不满足整数约束的决策变量k=v1(v2(1));%分支1：左分支tmp1=zeros(1,length(f));%线性约束之系数向量tmp1(k)=1;low=floor(x(k));%thisA 分支后实际调用线性规划的不等式约束的系数矩阵A%thisb 分支后实际调用线性规划的不等式约束向量b if ifrowinmat([tmp1,low],[A,b])==1%如果分支的约束已经存在旧的A，b中，则不改变约束thisA= A;thisb= b;elsethisA=[A;tmp1];thisb=b;thisb(end+1)=low;end%disp('fenzhi1'),thisA,thisb%递归调用[x1,fval1,exitflag1,output1,lambda1]= ...linprogdis(ifint,f,thisA,thisb,Aeq,beq,lb,ub,x0,o ptions);%分支2：右分支tmp2=zeros(1,length(f));%tmp1;tmp2(k)=-1;high= - ceil(x(k));if ifrowinmat([tmp2,high],[A,b])==1thisA= A;thisb= b;elsethisA=[A;tmp2];thisb=b;thisb(end+1)=high;end%disp('fenzhi2'),thisA,thisb[x2,fval2,exitflag2,output2,lambda2]= ...linprogdis(ifint,f,thisA,thisb,Aeq,beq,lb,ub,x0,o ptions);if isempty(v2) & ((exitflag1>0 & exitflag2<=0 & fval<=fval1 ) ...| (exitflag2>0 & exitflag1<=0 &fval<=fval2 )...| (exitflag1>0 & exitflag2>0 &fval<=fval1 & fval<=fval2 )),disp('error call')return %isempty(v2) 表示都是整数 2002-12-7非常重要end%下面分别根据返回标志exitflag确定最终的最优解%case 1if exitflag1>0 & exitflag2<=0 %【左分支有】最优解，右分支无最优解x = x1;fval = fval1;exitflag = exitflag1;output = output1;lambda = lambda1;%case 2elseif exitflag2>0 & exitflag1<=0 %【右分支有】最优解，左分支无最优解x = x2;fval = fval2;exitflag = exitflag2;output = output2;lambda = lambda2;%case 3elseif exitflag1>0 & exitflag2>0 %【左、右分支均有】最优解，则比较选优if fval1<fval2,%【左】分支最优（min）x = x1;fval = fval1;exitflag = exitflag1;output = output1;lambda = lambda1;else x = x2;,%【右】分支最优（min）fval = fval2;exitflag = exitflag2;output = output2;lambda = lambda2;end%fval1<fval2endfunction r=checkint(x)%算法：如果x(i)是整数，则返回r(i)=1；否则返回r(i)=0%输入参数：x 向量%输出参数：r 向量for i=1:length(x),ifmin(abs(x(i)-floor(x(i))),abs(x(i)-ceil(x(i))))<1 e-03%这里用于判定是否为0的参数可以调整，如改为1e-6r(i)=1;elser(i)=0;endendfunction r=ifrowinmat(arow,amat)%输入参数：% arow 向量，% amat 矩阵%%设计：如果 arow与矩阵amat中的某一行相等，则返回1，如果找不到现等的一行，则返回0r = 0;rows = size(amat,1);for i=1:rows,temp = (amat(i,:)==arow);%利用 Matlab的==操作，如果相等，则为1向量；if length(find(temp==0))==0,%没有为0的，即temp元素全部是1r=1;return end%end %for。

分支定界法的Matlab实现

一个调用例子：ifint=[0 1];f=[10 9];a=[1 0;0 1;-5 -3];b=[8 10 -45];[x,fval,exitflag] = linprogdis(ifint,f,a,b,[],[],[],[],[],[])function r=checkint(x)%算法：如果x(i)是整数，则返回r(i)=1；否则返回r(i)=0function r=ifrowinmat(arow,amat)%输入参数：% arow 向量，% amat 矩阵%%设计：如果 arow与矩阵amat中的某一行相等，则返回1，如果找不到现等的一行，则返回0可以使用ismember(arrow,amat,’rows’)替换ifrowinmat的调用，2005-10-28标注使用时，将下面的代码存入文件：linprogdis.mfunction [x,fval,exitflag,output,lambda]=... linprogdis(ifint,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)%Title:% 分支定届法求解混合整数线性规划模型%%初步完成：2002年12月%最新修订: 2004-03-06%最新注释：2004-11-20%数据处理[t1,t2] = size(b);if t2~=1,b=b';%将b转置为列向量end%调用线性规划求解[x,fval,exitflag,output,lambda] =linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options);if exitflag<=0,%如果线性规划失败，则本求解也失败returnend%得到有整数约束的决策变量的序号v1=find(ifint==1);%整数变量的indextmp=x(v1);%【整数约束之决策变量】的当前值if isempty(tmp),%无整数约束，则是一般的线性规划，直接返回即可returnendv2=find(checkint(tmp)==0);%寻找不是整数的index if isempty(v2),%如果整数约束决策变量确实均为整数，则调用结束returnend%第k个决策变量还不是整数解%注意先处理第1个不满足整数约束的决策变量k=v1(v2(1));%分支1：左分支tmp1=zeros(1,length(f));%线性约束之系数向量tmp1(k)=1;low=floor(x(k));%thisA 分支后实际调用线性规划的不等式约束的系数矩阵A%thisb 分支后实际调用线性规划的不等式约束向量b if ifrowinmat([tmp1,low],[A,b])==1%如果分支的约束已经存在旧的A，b中，则不改变约束thisA= A;thisb= b;elsethisA=[A;tmp1];thisb=b;thisb(end+1)=low;end%disp('fenzhi1'),thisA,thisb%递归调用[x1,fval1,exitflag1,output1,lambda1]= ...linprogdis(ifint,f,thisA,thisb,Aeq,beq,lb,ub,x0,o ptions);%分支2：右分支tmp2=zeros(1,length(f));%tmp1;tmp2(k)=-1;high= - ceil(x(k));if ifrowinmat([tmp2,high],[A,b])==1thisA= A;thisb= b;elsethisA=[A;tmp2];thisb=b;thisb(end+1)=high;end%disp('fenzhi2'),thisA,thisb[x2,fval2,exitflag2,output2,lambda2]= ...linprogdis(ifint,f,thisA,thisb,Aeq,beq,lb,ub,x0,o ptions);if isempty(v2) & ((exitflag1>0 & exitflag2<=0 & fval<=fval1 ) ...| (exitflag2>0 & exitflag1<=0 &fval<=fval2 )...| (exitflag1>0 & exitflag2>0 &fval<=fval1 & fval<=fval2 )),disp('error call')return %isempty(v2) 表示都是整数 2002-12-7非常重要end%下面分别根据返回标志exitflag确定最终的最优解%case 1if exitflag1>0 & exitflag2<=0 %【左分支有】最优解，右分支无最优解x = x1;fval = fval1;exitflag = exitflag1;output = output1;lambda = lambda1;%case 2elseif exitflag2>0 & exitflag1<=0 %【右分支有】最优解，左分支无最优解x = x2;fval = fval2;exitflag = exitflag2;output = output2;lambda = lambda2;%case 3elseif exitflag1>0 & exitflag2>0 %【左、右分支均有】最优解，则比较选优if fval1<fval2,%【左】分支最优（min）x = x1;fval = fval1;exitflag = exitflag1;output = output1;lambda = lambda1;else x = x2;,%【右】分支最优（min）fval = fval2;exitflag = exitflag2;output = output2;lambda = lambda2;end%fval1<fval2endfunction r=checkint(x)%算法：如果x(i)是整数，则返回r(i)=1；否则返回r(i)=0%输入参数：x 向量%输出参数：r 向量for i=1:length(x),ifmin(abs(x(i)-floor(x(i))),abs(x(i)-ceil(x(i))))<1 e-03%这里用于判定是否为0的参数可以调整，如改为1e-6r(i)=1;elser(i)=0;endendfunction r=ifrowinmat(arow,amat)%输入参数：% arow 向量，% amat 矩阵%%设计：如果 arow与矩阵amat中的某一行相等，则返回1，如果找不到现等的一行，则返回0r = 0;rows = size(amat,1);for i=1:rows,temp = (amat(i,:)==arow);%利用 Matlab的==操作，如果相等，则为1向量；if length(find(temp==0))==0,%没有为0的，即temp元素全部是1r=1;return end%end %for。

Matlab中的最优化问题求解方法

Matlab中的最优化问题求解方法近年来，最优化问题在各个领域中都扮演着重要的角色。

无论是在工程、经济学还是科学研究中，我们都需要找到最优解来满足特定的需求。

而Matlab作为一种强大的数值计算软件，在解决最优化问题方面有着广泛的应用。

本文将介绍一些Matlab中常用的最优化问题求解方法，并探讨其优缺点以及适用范围。

一. 无约束问题求解方法1. 最速下降法最速下降法是最简单且直观的无约束问题求解方法之一。

其基本思想是沿着梯度的反方向迭代求解，直到达到所需的精度要求。

然而，最速下降法的收敛速度通常很慢，特别是在局部极小值点附近。

2. 共轭梯度法共轭梯度法是一种改进的最速下降法。

它利用了无约束问题的二次函数特性，通过选择一组相互共轭的搜索方向来提高收敛速度。

相比于最速下降法，共轭梯度法的收敛速度更快，尤其适用于大规模优化问题。

3. 牛顿法牛顿法是一种基于二阶导数信息的优化方法。

它通过构建并求解特定的二次逼近模型来求解无约束问题。

然而，牛顿法在高维问题中的计算复杂度较高，并且需要矩阵求逆运算，可能导致数值不稳定。

二. 线性规划问题求解方法1. 单纯形法单纯形法是一种经典的线性规划问题求解方法。

它通过在可行域内进行边界移动来寻找最优解。

然而，当问题规模较大时，单纯形法的计算复杂度会大幅增加，导致求解效率低下。

2. 内点法内点法是一种改进的线性规划问题求解方法。

与单纯形法不同，内点法通过将问题转化为一系列等价的非线性问题来求解。

内点法的优势在于其计算复杂度相对较低，尤其适用于大规模线性规划问题。

三. 非线性规划问题求解方法1. 信赖域算法信赖域算法是一种常用的非线性规划问题求解方法。

它通过构建局部模型，并通过逐步调整信赖域半径来寻找最优解。

信赖域算法既考虑了收敛速度，又保持了数值稳定性。

2. 遗传算法遗传算法是一种基于自然进化过程的优化算法。

它模拟遗传操作，并通过选择、交叉和变异等操作来搜索最优解。

遗传算法的优势在于其适用于复杂的非线性规划问题，但可能需要较长的计算时间。

分支定界算法优化一维下料问题

211 算法的基本思想
1 一维优化下料问题的具体模型分析
原材料长度为 L , 数量充足。需要切割成
n ( n ≥0 )种不同规格的零件 , 根据既省材料又容易
操作的原则 ,人们已经设计好了 n 种不同的下料方式。设第 j种下料方式中可下得第 i种零件 aij 个 , 又已知第 i种零件得需要量为 bi 个 , xj 表示第 B j 种下料方式所消耗得零件数目 , cj 表示第 B j 种下料方
x = 20 51 0 9 0 24 0 1。
3 实例
设某车间有一批长度为 180 cm 的钢管 ,为制造零件的需要将其裁成 3 种不同长度的零件 , 分别为
70, 52, 35 cm。这三种零件的需要量分别为 100, 150, 100 根。问如何下料才使得原材料的消耗
m in f =
n
∑c x
j j =1
j
if nargin < 10, op tions = op tim set( { } ) ; op tions . D isp lay = ’ off’ ; op tions . LargeScale = ’ off’ ; end
∑a
j =1
ij
xj = bi
最少 ? 分析 :对于一维下料问题都可以用组合最优化的方法给出合理的下料方式。设 x1 , x2 , x3 分别表示在已知钢管上下 3 种不同长度的零件数 ,则 70 x1 +
52 x2 + 35 x3 ≤ 180 ( xi ∈ Z , i = 1, 2, 3 ) 。其中 x1 ≤ 2 ,表 1给出下料方案。
xj > 0 xj < xj ∈ Z

matlab的intlinprog函数

matlab的intlinprog函数1. 引言1.1 概述Matlab是一种常用的科学计算软件，提供了丰富的工具箱和函数来解决各种数学问题。

在这些功能中，intlinprog函数是一个非常有用和强大的工具，用于解决线性整数规划问题。

它采用整数变量作为决策变量，并考虑约束条件下的最优解。

本文将着重介绍intlinprog函数的功能、基本用法以及相关参数的解释。

1.2 文章结构本文将以简明扼要的方式阐述关于matlab的intlinprog函数的重要内容。

文章分为以下几个部分：- 引言：概括介绍了文章的目标和结构。

- 正文：详细讲解intlinprog函数并提供示例说明。

- intlinprog函数的功能和用法：介绍了线性整数规划并对intlinprog函数进行详细描述。

- intlinprog函数的应用案例：通过三个具体案例展示该函数在实际问题中的应用。

- 结论与展望：总结了本文讨论内容，并对intlinprog函数未来发展进行展望。

1.3 目的本文旨在向读者介绍Matlab中一个重要而实用的功能——intlinprog函数。

通过详细描述其功能、基本用法和参数解释，读者将能够更好地理解并应用该函数来解决相关的线性整数规划问题。

此外，通过应用案例的分析和展示，读者还可以进一步理解intlinprog函数在实际问题中的应用场景和优势。

最后，本文还会对intlinprog函数未来的发展进行展望，为读者提供更多思考和研究的方向。

2. 正文在本节中，将详细介绍Matlab中的intlinprog函数以及与其相关的内容。

intlinprog函数是Matlab中用于解决线性整数规划问题的一个功能强大的工具。

线性整数规划是一类优化问题，它要求在给定的约束条件下，找到使目标函数取得最优值的整数解。

线性整数规划常用于模拟现实世界中的一些问题，比如生产调度、资源分配和旅行商问题等。

intlinprog函数有助于用户解决这些实际问题，并提供了快速、准确和可靠的解决方案。

分支定界算法实验报告

一、实验目的通过本次实验，掌握分支定界算法的基本原理，并学会在实际问题中运用分支定界法求解整数规划问题。

了解算法的搜索策略、分支与定界方法，以及剪枝技巧，从而提高解决实际问题的能力。

二、实验环境1. 操作系统：Windows 102. 编程语言：Python3. 运行环境：Python 3.8三、实验原理分支定界算法是一种用于求解整数规划问题的方法。

它通过构建一个搜索树，将问题分解为一系列子问题，并对这些子问题进行求解。

在搜索过程中，算法会根据子问题的上下界和当前最优解进行剪枝，以减少搜索空间，提高求解效率。

四、实验步骤1. 问题建模：根据实际问题，建立整数规划模型，并确定决策变量、目标函数和约束条件。

2. 分支策略：选择一个分支变量，按照该变量的取值范围进行分支。

例如，如果决策变量x只能取整数，则将x分别取上界和下界，得到两个子问题。

3. 定界策略：对每个子问题，求解其线性松弛问题的最优解，得到该子问题的上界和下界。

4. 剪枝策略：根据子问题的上下界和当前最优解，判断是否需要剪枝。

如果子问题的上界小于当前最优解，则可以剪枝。

5. 求解子问题：对需要求解的子问题，重复执行步骤2-4，直到找到最优解。

五、实验内容本次实验以背包问题为例，说明分支定界算法的求解过程。

背包问题：给定一组物品，每个物品具有重量和价值，背包的容量有限。

求解在不超过背包容量的情况下，如何选择物品，使得背包中的物品总价值最大。

模型：设背包容量为C，物品数量为n，决策变量为x_i（i=1,2,...,n），表示是否选择第i个物品。

目标函数：最大化总价值V = Σ(v_i x_i)约束条件：- 背包容量约束：Σ(w_i x_i) ≤ C- 决策变量约束：x_i ∈ {0,1} (i=1,2,...,n)分支定界算法求解过程：1. 问题建模：根据背包问题的描述，建立整数规划模型。

2. 分支策略：选择重量最大的物品作为分支变量，将x_i分别取0和1，得到两个子问题。

关于MATLAB整数规划分支定界法

关于MATLAB整数规划分支定界法一、编程利用Matlab的线性规划指令:[x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)编写计算整数规划函数，输入与输出与上述指令相同分枝定界法(递归实现)function [x,fval,status] = intprog(f,A,B,I,Aeq,Beq,lb,ub,e)%整数规划求解函数 intprog()% 其中 f为目标函数向量% A和B为不等式约束 Aeq与Beq为等式约束 % I为整数约束% lb与ub分别为变量下界与上界% x为最优解，fval为最优值%例子:% maximize 20 x1 + 10 x2 % S.T.% 5 x1 + 4 x2 <=24 % 2 x1 + 5 x2 <=13 % x1, x2 >=0 % x1, x2是整数 % f=[-20, -10];% A=[ 5 4; 2 5];% B=[24; 13];% lb=[0 0];% ub=[inf inf];% I=[1,2];% e=0.000001;% [x v s]= IP(f,A,B,I,[],[],lb,ub,,e) % x = 4 1 v = -90.0000 s = 1% 控制输入参数if nargin < 9, e = 0.00001;if nargin < 8, ub = [];if nargin < 7, lb = [];if nargin < 6, Beq = [];if nargin < 5, Aeq = [];if nargin < 4, I = [1:length(f)];end, end, end, end, end, end%求解整数规划对应的线性规划,判断是否有解 options = optimset('display','off'); [x0,fval0,exitflag] = linprog(f,A,B,Aeq,Beq,lb,ub,[],options);if exitflag < 0disp('没有合适整数解');x = x0;fval = fval0;status = exitflag;return;else%采用分支定界法求解bound = inf;[x,fval,status] =branchbound(f,A,B,I,x0,fval0,bound,Aeq,Beq,lb,ub,e);end子函数function [newx,newfval,status,newbound] =branchbound(f,A,B,I,x,fval,bound,Aeq,Beq,lb,ub,e)% 分支定界法求解整数规划% f,A,B,Aeq,Beq,lb,ub与线性规划相同 % I为整数限制变量的向量% x为初始解，fval为初始值options = optimset('display','off');[x0,fval0,status0]=linprog(f,A,B,Aeq,Beq,lb,ub,[],options);%递归中的最终退出条件%无解或者解比现有上界大则返回原解 if status0 <= 0 || fval0 >= bound newx = x;newfval = fval;newbound = bound;status = status0;return;end%是否为整数解,如果是整数解则返回 intindex = find(abs(x0(I) -round(x0(I))) > e);if isempty(intindex)newx(I) = round(x0(I));newfval = fval0;newbound = fval0;status = 1;return;end%当有非整可行解时，则进行分支求解 %此时必定会有整数解或空解%找到第一个不满足整数要求的变量n = I(intindex(1));addA = zeros(1,length(f));addA(n) = 1;%构造第一个分支 x<=floor(x(n))A = [A;addA];B = [B,floor(x(n))];[x1,fval1,status1,bound1] =branchbound(f,A,B,I,x0,fval0,bound,Aeq,Beq,lb,ub,e);A(end,:) = [];B(:,end) = [];%解得第一个分支，若为更优解则替换，若不是则保持原状status = status1;if status1 > 0 && bound1 < boundnewx = x1;newfval = fval1;bound = fval1;newbound = bound1;elsenewx = x0;newfval = fval0;newbound = bound;end%构造第二分支A = [A;-addA];B = [B,-ceil(x(n))];[x2,fval2,status2,bound2] =branchbound(f,A,B,I,x0,fval0,bound,Aeq,Beq,lb,ub,e);A(end,:) = [];B(:,end) = [];%解得第二分支，并与第一分支做比较，如果更优则替换 if status2 > 0 && bound2 < boundstatus = status2;newx = x2;newfval = fval2;newbound = bound2;end二、求解利用上述指令求解下列问题:汽车厂生产三种类型的汽车，已知各类型每辆车对钢材、劳动时间的需求，利润及工厂每月的现有量小型中型大型现有量钢材(吨) 1 2 5 1000劳动时间(小时) 250 125 150 120000利润(万元) 3 5 121、若每月生产的汽车必须为整车，试制订月生产计划，使工厂的利润最大2、如果生产某一类型汽车，则至少要生产50辆，那么最优的生产计划应作何改变, 解:1f = [-3 -5 -12];A = [1 2 5;250 125 150];B = [1000 120000];I = [1:length(f)];lb = [0 0 0];[x,fval,status] = intprog(f,A,B,I,[],[],lb)答案为 x =307 344 1 fval = -2653 status =12lb = [50 50 50]答案为 x =350 200 50 fval =-2.6500e+003 status =1用分枝定界法求解整数线性规划问题%%问题的标准形式:%% min c'*x%% s.t. A*x<=b%% Aeq*x=beq%% 要求是整数%%function [y,fval]=BranchBound(c,A,b,Aeq,beq)%NL=length(c);UB=inf;LB=-inf;FN=[0];AA(1)={A};BB(1)={b};k=0;flag=0;while flag==0;[x,fval,exitFlag]=linprog(c,A,b,Aeq,beq); if (exitFlag == -2) | (fval >= UB)FN(1)=[];if isempty(FN)==1flag=1;elsek=FN(1);A=AA{k};b=BB{k};endelsefor i=1:NLif abs(x(i)-round(x(i)))>1e-7kk=FN(end);FN=[FN,kk+1,kk+2];temp_A=zeros(1,NL);temp_A(i)=1;temp_A1=[A;temp_A];AA(kk+1)={temp_A1};b1=[b;fix(x(i))];BB(kk+1)={b1};temp_A2=[A;-temp_A];AA(kk+2)={temp_A2};b2=[b;-(fix(x(i))+1)];BB(kk+2)={b2};FN(1)=[];k=FN(1);A=AA{k};b=BB{k};break;endendif (i==NL) & (abs(x(i)-round(x(i)))<=1e-7) UB=fval;y=x;FN(1)=[];if isempty(FN)==1flag=1;elsek=FN(1);A=AA{k};b=BB{k};endendendendy=round(y);fval=c*y;。

python分支定界代码

分支定界是一种用于解决整数线性规划问题的算法。

它首先尝试找到一个可行的解决方案，然后使用分支定界方法逐步改进这个解决方案，直到找到最优解。

以下是一个简单的Python实现分支定界算法的代码：import numpy as npfrom scipy.optimize import linprog# 定义目标函数def f(x):return -x[0] - x[1]# 定义约束条件A = [[1, 1, -1, -1], [1, -1, 1, -1], [1, 1, 1, -1]]b = [1, -1, 2]# 定义初始可行解x0 = np.array([0, 0])# 定义分支定界函数def branch_and_bound(A, b, f, x0):# 计算初始最优解c = np.array(f.tolist()).astype(float)res = linprog(c, A_ub=A, b_ub=b)best_val = res.funbest_x = res.xprint(f"当前最优解：{best_x}, 当前最优值：{best_val}")# 生成分支变量branch_var = []for i in range(len(A)):if A[i][0] > 0: # 取大于0的变量作为分支变量branch_var.append(i)# 分支定界过程while branch_var:i = branch_var.pop(0) # 选择第一个分支变量进行分支# 分支一：取大于等于0的变量作为新的可行解new_x = best_x.copy()new_x[i] = max(0, best_x[i])new_val = f(new_x) # 计算新解的目标函数值if new_val < best_val: # 如果新解更优，则更新最优解和最优值best_val = new_valbest_x = new_xprint(f"新最优解：{best_x}, 新最优值：{best_val}")# 分支二：取小于0的变量作为新的可行解new_x = best_x.copy()new_x[i] = min(0, best_x[i])new_val = f(new_x) # 计算新解的目标函数值if new_val < best_val: # 如果新解更优，则更新最优解和最优值best_val = new_valbest_x = new_xprint(f"新最优解：{best_x}, 新最优值：{best_val}") return best_x, best_val在上面的代码中，我们首先定义了目标函数f和约束条件A、b。

分支定界解析

MATLAB 解整数规划问题——分支定界法柯伟敏 G012012348一、问题分析在线性规划问题中，有些最优解可能是分数或小数，事实上，线性规划是连续变量的线性优化问题。

但在实际问题中，常有要求解答必须是整数的情形。

例如，所求解是机器人的台数，完成工作的人数或者装货的车数等，分数或者小数的解答就不符合要求。

为了满足整数解的要求，初看起来，似乎只要把已得到的带有分数的或小数的解经过‘舍入化整’就可以了。

但这常常是不行的，因为化整之后不见得就是可行解，或虽是可行解，但不一定是最优解。

因此，对求最优整数解问题，有必要另行研究。

我们称这样的问题为整数规划问题。

学习运筹学过后，我们学习了笔算这类问题，但是当对于一个问题的约束条件有很多个时，手算必然耗费很大个工作量。

但是用 MATLAB 解题却可以达到事半功倍的效果，省去了很多繁琐的运算过程。

二、数学原理下面我主要介绍分支定界解法。

分支定界法的基本思想是不断将可行域分割成小的集合，然后再小的集合上找整数最优解，在分割可行域时，整数解并不会丢失。

其算法过程如下： 1、置矩阵NF_lb 为原整数的的lb ，NF_ ub 为原整数规划的ub ，置最优解=*x ∅，目标函数的最优上界F=+∞。

2、设NF_lb 的第一列为l 0b ，NF_ub 第一列为u 0b ，求解线性规划min f （x ）=cx ， b Ax ≤s.t. 00ub x lb ≤≤ ，设最优解为-x ，最优值为_f ，如果不存在最优解，则设_f =+∞；0≥x3、若_f =+∞，则将NF_lb 的第一列和NF_ub 的第一列去掉，转7，否则，转44、若_f ≥F ，则将NF_lb 的第一列去掉，和NF_ub 的第一列去掉，转7，否则，转5.5、若_f <F ，且-x 的各分量都为整数，则置F=_f ,=*x -x ，将NF_lb 的第一列和NF_ub 的第一列去掉，转7，否则转6。

6、若_f <F ，但-x 的有些分量不是整数，任选择-x 中一个不是整数的分量_k x ，将此问题分解为两个问题Q1Q2；第一个问题的ub 等于u 0b ，而lb 是将NF_lb 中的第一列分量_k x 对应的下界改为[_k x ]+1;第二个问题的lb 等于l 0b ，而ub 是将NF_ub 中的第一列_k x ，对应的上界改为[_k x ]，再将NF_lb 的第一列和NF_ub 的第一列去掉，把Q1，Q2对应的lb ，ub 作为新列分别添加到NF_lb 和NF_ub 的后面，转27、若NF_lb不为空，则转2，若为空，且*x不为空，则*x为原整数规划的最优解，F=最优值，如果*x为空，则原整数规划不存在最优解。

线性整数规划分支定界法并行化研究

线性整数规划分支定界法并行化研究作者：李平风刘海峰来源：《电脑知识与技术》2016年第24期摘要：规划中的变量（全部或部分）限制为整数，称为整数规划。

若在线性模型中，变量限制为整数，则称为整数线性规划。

分支定界算法是解决整数规划的一个重要方法，然而算法的效率却有待提高。

该文先对分支定界法解决线性整数规划问题的步骤进行阐述，再通过使用matlab提供的并行化的支持来实现对于分支定界法的并行化，并将算法并行前和并行后的运行时间进行分析，来研究并行化对于算法效率的提高。

关键词：线性整数规划；分支定界；matlab；算法效率；并行化处理中图分类号：O246 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2016）24-0028-03Abstact： Variables （all or part） is limited to an integer， called integer programming. If the linear model， limited to an integer variable， is called linear integer programming. Branch and bound algorithm is an important method to solve integer programming. However， the efficiency of the algorithm needs to be improved. The paper elaborates the steps of solving linear integer programming problem by the method of branch and bound， then through then achieve branch and bound method for parallelization of algorithms in the use of parallelism supported by matlab. Analysis the running time of both before and after parallel to study the parallelization algorithms for efficiency.Key words： linear integer programming； branch and bound； matlab； algorithm efficiency； parallel processing1 分支定界法简介在线性规划问题中，有些最优解可能是分数或小数，但对于某些具体问题，常常会遇到一些变量的解必须是整数。

Matlab求解线性规划和整数规划问题

Matlab求解线性规划和整数规划问题Matlab是一种强大的数学软件，可以用来求解各种优化问题，包括线性规划和整数规划问题。

在本文中，我将详细介绍如何使用Matlab来求解这两类问题。

首先，让我们来了解一下线性规划和整数规划问题的定义和特点。

线性规划是一种数学优化问题，其目标是在给定一组线性约束条件下，找到使目标函数取得最大（或者最小）值的变量值。

线性规划问题的目标函数和约束条件均为线性函数。

整数规划是线性规划的一种扩展形式，其解必须是整数。

整数规划问题通常更难求解，因为整数变量的取值范围更有限。

接下来，我将分别介绍如何使用Matlab来求解线性规划和整数规划问题。

1. Matlab求解线性规划问题首先，我们需要定义线性规划问题的目标函数和约束条件。

假设我们要最大化一个线性目标函数，同时满足一组线性约束条件。

在Matlab中，我们可以使用线性规划求解器函数`linprog`来求解线性规划问题。

以下是使用`linprog`函数的普通语法：```matlab[x, fval, exitflag, output] = linprog(f, A, b, Aeq, beq, lb, ub)```其中，`f`是目标函数的系数向量，`A`和`b`是不等式约束条件的系数矩阵和常数向量，`Aeq`和`beq`是等式约束条件的系数矩阵和常数向量，`lb`和`ub`是变量的下界和上界。

下面是一个示例，展示如何使用`linprog`函数求解一个线性规划问题：f = [-1; -2]; % 目标函数的系数向量A = [1, 1; -1, 2; 3, 2]; % 不等式约束条件的系数矩阵b = [2; 2; 6]; % 不等式约束条件的常数向量[x, fval, exitflag, output] = linprog(f, A, b)```在上述示例中，我们的目标是最小化目标函数`f = -x1 - 2x2`，同时满足约束条件`x1 + x2 >= 2`，`-x1 + 2x2 >= 2`，`3x1 + 2x2 >= 6`。

matlab解决整数规划问题（蒙特卡洛法）

matlab解决整数规划问题（蒙特卡洛法）整数规划：clc,clear;c = [-40;-90];A = [9 7;7 20];b = [56;70];lb = zeros(2,1);[x,fval]= intlinprog(c,1:2,A,b,[],[],lb);fval = -fvalx分⽀定界法或者割平⾯法求解纯或者混合整数线性规划问题；输出：当条件A,B之间不是且关系⽽是或的时候：固定成本问题（最优化函数中含有与xi⽆关的常量，相当于固定成本，优化函数可以写成总固定成本加上总可变成本之和）：0-1整数规划问题（过滤隐枚举法，分枝隐枚举法）指派问题（0-1规划特殊情形：匈⽛利法）蒙特卡洛法（求解各种类型规划）下⾯主要介绍蒙特卡洛法（随机取样法）：例题：如果⽤显枚举法试探，需要计算1010个点，计算量巨⼤。

但是⽤蒙特卡洛去计算106个点便可以找到满意解。

前提：整数规划的最优点不是孤⽴的奇点；⽽采集106个点后，我们有很⼤把握最优值点在106个点之中；function [f,g] = mengte(x);f = x(1)^2+x(2)^2+3*x(3)^2+4*x(4)^2+2*x(5)-8*x(1)-2*x(2)-3*x(3)-...x(4)-2*x(5);g = [sum(x)-400x(1)+2*x(2)+2*x(3)+x(4)+6*x(5)-8002*x(1)+x(2)+6*x(3)-200x(3)+x(4)+5*x(5)-200];rand('state',sum(clock));p0 = 0;ticfor i = 1:10^6x = 99*rand(5,1);x1 = floor(x);x2 = ceil(x);[f,g] = mengte(x1);if sum(g<=0)==4if p0<=fx0 = x1;p0=f;endend[f,g] = mengte(x2);if sum(g<=0)==4if p0 <= fx0 = x2;p0 = f;endendendx0,p0toc输出：蒙特卡洛法得到的解为最优解的近似解，10^6个数据已经⽤了将近7s的时间，所以如果增加⼗倍，可能得70s时间才能得到结果。

分支定界算法的MATLAB实现

给定一个整数规戈的数字题，一个直观的求解思路是先做出它的松弛问题。如果松弛问题的最优
整数规划。如果所有变量都是整变量，叫做纯整数规划，全是ｆ，１Ｏ１变量的，叫做ｆ，｝０１规划。否则是混合
整数规划。
Ｌ：｛ｔＡ ≤（，Ｐｓ．或＝或≥）．ｂ
【ｘ＞Ｏｊｌ２ … ，）ｙ（，，ｎ＝其中ｃ（１２… ，）＝ｘ，２… ，），＝ｃ，，ｃＴ（ｉ，ｃ
Ａ＝嘞），＝６，２… ，ｍ。（～６（ｌ，ｂ）ｂ
ＡｂｔａｔＴｅｂａｃｅｉｔｔｎｌｗｍａｓｈｕｅｉｔｇｒｏｅｌｅｒｒｇａｓｒｃ：ｈｒｎｈｄｌａｉａｙａｋｔｅｐｒｅｅｒｈｉａｏｒｍｍｉｇｑｅｔｎｔｅｓｌｔｎｍｅｏｍｉｏｎｔｎｐｎｕｓｉ，ｈｏｕｏｔｄｏｉｈｉｏｏｅｙｔｅｂａｃｉｇｓｅｎｏｎｉｇｓｅ．Ｂａｃｉｇｓｅ ’ ａｒａｅｈｏｄｔｎｆｒｔｅｉｔｇｒｌｅｒｓｃｍｐｓｄｂｒｎｈｎｔｐａｄｂｕｄｎｔｐ “ ｒｎｈｎｔｐ ’ｈｓｃｅｔｄｔｅｃｎｉｏｏｈｎｅｅｉａｈｉｎｐｏｒｍｍｉｇａｐａａｃ，ｂｔ “ ｕｄｎｔｐ” ｍａｎａｃｈｅｒｈｔｅｅｉｉｎｙｏｉｓｔｅｐｏｅｕｔｒｇａｎｐｅｒｎｅｕｏｂｎｉｇｓｅｙｅｈｎｅｔｅｓａｃｈｆｃｅｃ．ＣｍｐｌｒｃｄｒｗｉｅｈｅｈＭＡＴＡＢｃｍｐｅｅｉｃｍｐｅｒｃｓｒｕｈｔｅｃｍｐｔｒＬ，ｏｌｔｓｔｓｏｌｘｐｏｅｓｔｏｇｈｏｕｅ．ｈｈＫｅｏｄ：ｉｔｇｒｌｅｒｐｏｒｍｍｉｇ；ｒｎｈａｄＢｕｄＭｅｈｄ；ｒｃｄｒｙＷｒｓｎｅｅｎａｒｇａｉｎＢａｃｎｏｎｔｏｐｏｅｕｅ

如何在Matlab中进行数学建模和优化问题求解

如何在Matlab中进行数学建模和优化问题求解在当今信息时代，数学建模和优化问题求解在各个领域都扮演着重要的角色。

而Matlab作为一种功能强大的数学软件，在数学建模和优化问题求解方面具有广泛的应用和影响力。

本文将介绍如何在Matlab中进行数学建模和优化问题求解的具体步骤以及一些常用的工具和技巧。

一、数学建模数学建模是指将实际问题转化为数学模型，并通过数学方法对问题进行分析和求解的过程。

在Matlab中进行数学建模，首先要明确问题的数学模型。

一般来说，数学模型分为离散模型和连续模型两种类型。

离散模型主要是指离散的数据，比如图论、网络流等问题。

在Matlab中，关于离散模型的建模和求解可以使用图论和最短路径算法等工具函数来实现。

比如可以使用graph函数构建图，再使用相应的算法来求解最短路径等问题。

连续模型主要是指连续的函数或方程，比如微分方程、优化问题等。

在Matlab 中，关于连续模型的建模和求解可以使用符号计算工具箱和优化工具箱来实现。

符号计算工具箱可以用来求解微分方程，而优化工具箱可以用来求解优化问题，比如线性规划、非线性规划等。

在进行数学建模时，还需要考虑问题的目标函数和约束条件。

目标函数表示问题的目标是最大化还是最小化，而约束条件则是限制问题解的条件。

在Matlab中，可以使用符号计算工具箱和优化工具箱提供的函数来定义和处理目标函数和约束条件。

比如可以使用syms函数定义符号变量，再使用fmincon函数来求解带有约束条件的优化问题。

在实际进行数学建模时，通常会遇到数据不完整或不准确的情况。

因此，对于这种情况，可以使用插值和拟合技术来对数据进行处理和修复。

在Matlab中，可以使用interp1函数进行插值和拟合，并使用polyfit函数进行多项式拟合。

二、优化问题求解优化问题求解是指在给定的约束条件下，寻找使目标函数达到最优的解。

在Matlab中，有多种常用的优化算法可以用于求解优化问题，比如线性规划、非线性规划、整数规划等。

Matlab教程课件-第6章_分支限界法

• 极大堆中最大的元素必定是其根节点，堆排序算法正是根据这个特性而产生的：对一个序列，将其构造为极大堆，然后将根节点（数组首元素）和数组的尾元素交换，之后对除了尾元素之外的序列继续以上过程，直到排序完成。
8
例 1 ：0-1背包问题(0-1Knapsack Problem )
问题陈述设有n个物体和一个背包,物体i的重量为wi价值为pi ,背包的载荷为M, 若将物体i(1 i n,)装入背包,则有价值为pi . 目标是找到一个方案, 使得能放入背包的物体总价值最高.
原则选取下一个结点为扩展结点。
（2）优先队列式分支限界法将活结点表组织成一个优先队列，按照规定的优先
级选取优先级最高的结点成为当前扩展结点。
• 算法实现时，通常用极大（小）堆来实现最大（小）优先队列，提取堆中下一个结点为当前扩展结点，体现最大（小）费用优先的原则。
• 极大堆满足一个节点必定不小于其子节点，极小堆正好相反。
设N=3, W=(16,15,15), P=(45,25,25), C=30
1.队列式分支限界法 2.优先队列式分支限界法
9
0-1背包问题：队列式分支限界法
用一个队列存储活结点表，初始为空 A为当前扩展结点，其儿子结点B和C均为可行结点，将其
按从左到右顺序加入活结点队列，并舍弃A。按FIFO原则，下一扩展结点为B，其儿子结点D不可行，
分支限界法以广度优先或以最小耗费（最大效益）优先的方式搜索问题的解空间树。
每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。
活结点一旦成为扩展结点，就一次性产生其所有儿子结点。
儿子结点中，导致不可行解或导致非最优解的儿子结点被舍弃，其余儿子结点被加入活结点表中。
从活结点表中取下一结点成为当前扩展结点，并重复上述结点扩展过程。这个过程一直持续到找到所需的解或活结点表为空时为止。

整数规划与matlab1

割平面法
计算步骤: (1~3) 1、用单纯形法求解( IP )对应的松弛问题( LP )：
⑴.若( LP )没有可行解，则( IP )也没有可行解，停止计算。
⑵.若( LP )有最优解，并符合( IP )的整数条件，则( LP )的最优解即为( IP )的最优解，停止计算。
⑶.若( LP )有最优解，但不符合( IP )的整数条件，转入下一步。
aij x j bi yi Mi (i 1,2,...,p)
j 1
p
yi p q
i 1
2. 0-1型整数规划的解法
n个变量有2n种组合，采用隐枚举法。列出2n种组合，先求出一个可行解，计算
目标函数值，作为当前的最优解。对于其它组合，先计算目标函数值，若不如当前的最优解，就不必检验它的可行性。
3
26
满足条件
Z值
是∨ 否×
∨
0
∨
5
∨
－2
∨
3
×
∨
8
×
×
0－1 整数规划求解
由上表可知，问题的最优解为 X*=( x1 =1 x2=0 x3=1 ) 由上表可知： x1 =0 x2=0 x3=1 是一个可行解，为尽快找到最优解，可将3 x1－2 x2＋5 x3 ≥5 作为一个约束，凡是目标函数值小于5 的组合不必讨论，如下表。
MATLAB命令 1、整数线性规划命令 intlinprog(c, intcon, A, b, Aeq, beq, VLB, VUB) 例如：intcon=1:2; %x(intcon)为整数.
2、0-1规划命令 *bintprog (c, A, b, Aeq, beq, x0, options)

MATLAB分支定界法程序

源代码如下：function [x，y]=ILp（f，G，h，Geq，heq，lb,ub,x,id，options）％整数线性规划分支定界法,可求解纯整数规划和混合整数规划。

％y=minf’＊x s.t. G＊x〈=h Geq*x=heq x为全整数或混合整数列向量%用法％[x，y］=ILp（f,G，h，Geq,heq，lb，ub，x,id,options)%参数说明%lb:解的下界列向量(Default：—int）％ub：解的上界列向量(Default：int）%x：迭代初值列向量％id：整数变量指标列向量,1-整数，0-实数(Default:1）global upper opt c x0 A b Aeq beq ID options;if nargin〈10,options=optimset（{｝)；options.Display='off'；rgeScale=’off'；endif nargin<9，id=ones(size(f））；endif nargin<8，x=[]；endif nargin<7 ｜isempty(ub）,ub=inf＊ones(size（f）);endif nargin<6 ｜isempty（lb），lb=zeros(size（f));endif nargin〈5，heq=[]；endif nargin<4，Geq=[]；endupper=inf;c=f；x0=x；A=G;b=h；Aeq=Geq；beq=heq;ID=id;ftemp=ILP(lb(：),ub(:))；x=opt；y=upper;%下面是子函数function ftemp=ILP(vlb,vub)global upper opt c x0 A b Aeq beq ID options;［x,ftemp，how］=linprog（c,A,b，Aeq，beq,vlb,vub，x0,options）;if how 〈=0return;end；if ftemp-upper〉0。

数学建模十大算法总结

建模十大算法总结：1、蒙特卡罗算法。

该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时通过模拟可以来检验自己模型的正确性。

2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。

比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab 作为工具。

3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题。

建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo 、Lingo 、MATLAB 软件实现。

4、图论算法。

这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。

5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。

这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中。

6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法。

这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。

7、网格算法和穷举法。

网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。

8、一些连续离散化方法。

很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。

9、数值分析算法。

如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。

10、图象处理算法。

赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用Matlab 进行处理。

从历年竞赛题来看，常用的方法：线性规划整数规划非线性规划动态规划层次分析法图论方法拟合方法插值方法随机方法微分方程方法一、蒙特卡洛算法1、含义的理解以概率和统计理论方法为基础的一种计算方法。

matlab条件分支

matlab条件分支
MATLAB条件分支是指根据指定条件的真假情况，执行不同的程序路径。

在MATLAB中，条件分支主要通过if语句来实现。

if语句基本的格式如下：
if 条件语句
程序语句1；
程序语句2；
……
end
如果条件语句的结果为真，则执行程序语句1、程序语句2等，直到end结束。

如果条件语句的结果为假，则跳过if语句，不执行其中的程序语句。

除了基本的if语句外，MATLAB还提供了elseif和else语句，用于多条件分支的情况。

elseif是在if语句的基础上添加的，用于增加多个条件的判断；else则是在所有条件都不满足的情况下执行的程序语句。

if 条件语句1
程序语句1；
程序语句2；
……
elseif 条件语句2
程序语句3；
程序语句4；
……
else
程序语句5；
程序语句6；
……
end
在MATLAB中，条件语句可以是任何有结果的表达式，例如变量的比较、逻辑运算、函数调用等。

通过合理使用条件分支，可以在程序中实现更加灵活的控制结构。