微积分期末复习题
大一微积分期末试题
大一微积分期末试题题目一：函数的极限与连续性1.计算极限 $\\lim\\limits_{x \\to 2} \\frac{x^2 - 4}{x - 2}$，并证明你的答案。
2.已知函数 $f(x) = \\begin{cases} 2x -1, & \\text{若} x < 1 \\\\ 3x^2, &\\text{若} x \\geq 1 \\end{cases}$，求函数f(x)在x=1处的极限，并判断f(x)在x=1处是否连续。
题目二：函数的导数与应用1.求函数f(x)=3x2−2x的导数。
2.已知函数y=f(x)的导数为$f'(x) = \\frac{1}{3x^2}$，且f(1)=4，求函数f(x)的解析式。
3.某物体的位移与时间之间的关系为s(t)=3t2−4t+1，求物体在t=2时的瞬时速度。
题目三：定积分计算1.计算定积分 $\\int_0^1 (3x^2 - 2x) dx$。
2.已知函数f(x)在区间[a,b]上连续，求证必存在 $\\xi \\in (a,b)$，使得 $\\int_a^b f(x) dx = f(\\xi)(b-a)$。
题目四：不定积分计算1.计算不定积分 $\\int (x^3 - 2x^2 + 3x - 4) dx$。
2.计算不定积分 $\\int \\frac{2x^3 - 5x^2 - 4}{x^2} dx$。
题目五：微分方程求解1.求微分方程 $\\frac{dy}{dx} = x^2 + y^2$ 的通解。
2.已知微分方程 $\\frac{dy}{dx} + 2xy = 0$ 的通解为y=ce−x2，其中c是常数，求满足初始条件y(0)=2的特解。
以上是一份大一微积分期末试题，包含了函数的极限与连续性、函数的导数与应用、定积分计算、不定积分计算和微分方程求解等方面的内容。
这些题目旨在考察同学们对微积分基本概念和定理的理解和运用能力。
微积分期末考试试题及答案
微积分期末考试试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 函数 \( f(x) = x^2 \) 在 \( x = 0 \) 处的导数是（）A. 0B. 1C. 2D. -1答案：A2. 曲线 \( y = x^3 - 2x^2 + x \) 在 \( x = 1 \) 处的切线斜率是（）A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B3. 函数 \( f(x) = \sin(x) \) 的原函数是（）A. \( -\cos(x) \)B. \( \cos(x) \)C. \( x - \sin(x) \)D. \( x + \sin(x) \)答案：A4. 若 \( \int_{0}^{1} f(x) \, dx = 2 \)，且 \( f(x) = 3x^2 +1 \)，则 \( \int_{0}^{1} x f(x) \, dx \) 等于（）A. 3B. 4C. 5D. 6答案：C5. 函数 \( g(x) = \ln(x) \) 在 \( x > 0 \) 时的反导数是（）A. \( e^x \)B. \( x^e \)C. \( e^{\ln(x)} \)D. \( x \ln(x) - x \)答案：D6. 若 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \)，则\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} \) 等于（）A. 2B. 1C. 4D. 0答案：A7. 函数 \( h(x) = e^x \) 的泰勒展开式在 \( x = 0 \) 处的前三项是（）A. \( 1 + x + \frac{x^2}{2} \)B. \( 1 + x + \frac{x^2}{2!} \)C. \( 1 + x + \frac{x^3}{3!} \)D. \( 1 + x + \frac{x^2}{3!} \)答案：B8. 若 \( \frac{dy}{dx} = 2y \)，且 \( y(0) = 1 \)，则 \( y(x) \) 是（）A. \( e^{2x} \)B. \( e^{-2x} \)C. \( 2^x \)D. \( 2^{-x} \)答案：A9. 函数 \( F(x) = \int_{0}^{x} e^t \, dt \) 的导数是（）A. \( e^x \)B. \( e^0 \)C. \( x \cdot e^x \)D. \( e^0 \cdot x \)答案：A10. 曲线 \( y = x^2 + 3x \) 与直线 \( y = 6x \) 交点的横坐标是（）A. 0B. 3C. -1D. 2答案：C二、填空题（每空3分，共15分）11. 若 \( f(x) = 2x - 1 \)，则 \( f''(x) \) 等于 _________。
【精选资料】微积分期末复习题及答案
数三《微积分》期末复习题一、选择题1. 对于xy x y x f +=2),(，原点（0，0）（ C ）.（A ） 不是驻点 （B ） 是极大值点 （C ） 是驻点却不是极值点 （D ） 是极小值点 2.下列积分值为0的是___C_A. ⎰+∞+0211dx x ； B. ⎰-1121dx x（利用几何意义去判定）； C. 22sin (cos cos )1x x x dx xππ-++⎰； D. ⎰--1121dx x . 解：2arctan 11002π==+∞++∞⎰x dx x C ：考察奇偶函数在对称区间上的积分D ：利用几何意义：此积分可以看成函数012≥-=x y 在(-1,1)上的面积。
0,11222≥=+⇒-=y y x x y ，即是上半圆的面积2π3. 二元函数2222222,0(,)00,xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨+=⎪⎩在点(0,0)处( B ). A. 连续，偏导数存在； B. 不连续，偏导数存在； C. 连续，偏导数不存在； D. 不连续，偏导数不存在. 4. 下列级数收敛的是___D____.A ． 21+151n n n n ∞=++∑ B. ∑∞=+11n n n n )(C ． ∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1)32(1n n nD. ∑∞=1!n n n n . 5 . 级数113cos ()n nn n ∞=-∑（ B ）. （A ）条件收敛 （B ） 绝对收敛 （C ） 发散 （D ） 敛散性不能判定解：11333cos cos ()()nn n n n n -=≤，而113()nn ∞=∑收敛，所以绝对收敛。
6 设)(x f 为连续函数，⎰⎰=t tydx x f dy t F 1)()(，则'(2)_____.F =(A) )(2f ； (B) )(22f ； (C) )(2f -； (D) 0. 解：对⎰⎰=tt ydx x f dy t F 1)()(交换积分次序得⎰⎰⎰-==tt x dx x x f dy x f dx t F 111)1)(()()(所以),1)(()(-='t t f t F'(2)(2).F f = 所以选A二、填空题1、若D 为区域2218x y ≤+≤，则3Ddxdy ⎰⎰＝（ 21π ）=⎰⎰Ddxdy 3πππ21)8(33=-=⋅D S2、函数()y zf x=，其中f 可微，则.))((2x y x y f x z -'=∂∂3. 若ln 21()x xF x t dt =⎰，则()F x '=___2411ln x x x +________.所以本题的答案为24ln x x x+4. 已知22(,)y f x y x y xy x+=+-,则222)1()1(),(y y y x y x f ++-=__________.解：令vuv y v u x x y v y x u +=+=⇒=+=11,, 所以22211)()(),(v v v u v u f ++-=，222)1()1(),(y y y x y x f ++-= 5 设arctanxz y =，则=),(|11dz 1122dz dx dy =- . 本题考查全微分，求全微分实质就是两个偏导数z x y ∂∂∂，然后再利用z zdz dx dy x y∂∂=+∂∂ 本题：2222222111(),()1()1()zy z x xx x xy x y y y x y y y∂∂=⋅==⋅-=-∂+∂+++ 在点(1,1)处，有11,22z z x y ∂∂==-∂∂，所以1122dz dx dy =-6．若级数为1111,357-+-+ 则它的一般项__121)1(1--=-n u n n _______.7. 交换积分次序()⎰⎰12xxdy y x f dx ,＝1(,)ydy f x y dx ⎰.8. 定积分4121cos ()xx x x dx e -⋅+=⎰______32______. 考查定积分的奇偶性，三、计算题1．求极限(,)limx y →.解：(,)(,)(,)limlimlimx y x y x y →→→==(,)(0,0)lim 1)2x y →==2. 已知方程),(x yxy f x z 3=，f 具有二阶连续偏导数，求222,,,z z z z x y y x y∂∂∂∂∂∂∂∂∂. 分析：本题考察复合函数求导，特别要注意在求二阶偏导数时要注意11(,)yf f xy x''=，22(,)yf f xy x''=。
微积分(下)期末复习试题完整版
期末复习题一、填空题1、=⎰→xt t xx 020d cos lim.2、若)(x f 在],[b a 上连续, 则=⎰bxx x f x 2d )(d d .3、已知)(x F 是)(x f 的原函数,则⎰>+x x t a t f t)0( d )(1等于 . 4、若2e x -是)(xf 的一个原函数,则='⎰10d )(x x f .5、=++⎰-112d 1||x x x x .6、已知21)(xxx f +=,则)(x f 在]2,0[上的平均值为 .7、设⎰=+π0),(sin d )(x f x x x f 且)(x f 连续, 则=)(x f .8、设曲线kx y =<0,0>>x k >与直线1=y 及y 轴围成的图形面积为31,则=k . 9、设yx y y x y x f arcsin)1()2(),(22---=,则=∂∂)1,0(y f .10、设yx z 2e =,则=∂∂∂yx z2. 11、交换积分次序 =⎰⎰x y y x f x ln 0e 1d ),(d . 12、交换积分次序 =⎰⎰---xx y y x f x 11122d ),(d .13、交换积分次序⎰⎰-2210d ),(d y yx y x f y ＝.二、选择题1、极限xtt x x cos 1d )1ln(lim2sin 0-+⎰→等于〔 〔A1〔B2〔C4〔D82、设x x t t f xe d )(d d e 0=⎰-,则=)(xf 〔 <A>21x<B> 21x - <C> x 2e - <D> x2e -- 3、设)(x f 是连续函数,且C x F x x f +=⎰)(d )(,则必有〔 B〔A )(d )(x F t t f x a =⎰ 〔B )(]d )([x F t t F x a ='⎰ 〔C)(d )(x f t t F x a='⎰〔D )()(]d )([a f x f t t F xa-=''⎰4、设)(x f 在],[b a 上连续,则)(x f 在],[b a 上的平均值是〔〔A2)()(b f a f + 〔B ⎰b a x x f d )(〔C ⎰-b a x x f a b d )(1 〔D ⎰-b a x x f ba d )(15、积分⎰=t sx x t f tI 0d )(与〔 有关。
微积分期末试卷(考试必做)
一、填空题（每小题2分，共16分）1、=+⎰-22d )cos e(4ππx x x x.2、=⎰∞+12d ln x xx .3、设x y y x z +=，则函数在)1,1(处的全微分为 .4、D 是由0,1,0,e ====y x x y x 所围成区域，则⎰⎰=Dσd .5、当a 满足 时，∑∞=--121)1(n ann条件收敛.6、幂级数∑∞=⋅-14)1(n nnn x 的收敛域为 .7、交换积分次序后 =⎰⎰-y yx y x f y d ),(d 10.8、微分方程1d d -=-xy xy 的通解为 .二、单项选择题（每小题3分，共15分）1、下列广义积分收敛的是（ ）.（A ）⎰∞+ 1d ln x x （B ）⎰∞+ 12d 1x x（C ）⎰∞+ 1d 1x x（D ）⎰∞+ 1d e x x2、设f 是连续函数，积分区域01:22≥≤+y y x D 且，则⎰⎰+Dy x y x f d d )(22可化为（ ）.（A ）⎰10d )(r r f r π （B ）⎰1d )(2r r f r π（C ）⎰10d )(2r r f π （D ）⎰1d )(r r f π3、设)sin(2y x z +=, 则=∂∂22xz （ ）.（A ）)sin(2y x +- （B ）)cos(2y x +- （C ）)sin(2y x + （D ）)cos(2y x +4、极限xt x x cos 1dt)1ln(lim2sin 0-+⎰→等于（ ）.（A ）1 （B ）2 （C ）4（D ）85、微分方程0=+''y y 的通解是( ).（A ）x C x C y sin cos 21+= （B ）x x C C y -+=e e 21 （C ）x x C C y e )(21+=（D ）21e C C y x +=三、计算题(一)（每小题5分，共20分）1、已知⎰+=203d )()(x x f x x f , 求)(x f .2、设),(y x f z =是由方程0121e 2=-++z xyz z x 确定的隐函数，求yzx z∂∂∂∂,.3、判断∑∞=+-1)11ln()1(n n n的敛散性；若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛.4、求微分方程 5d d tan =-y xy x的通解.四、计算题(二)（每小题7分，共28分） 1、求 ⎰++30d 1ln)1(x x x .2、计算 ⎰⎰-=110d ed 12xyy x xI .3、求幂级数 ∑∞=⋅13n nn n x的收敛域及和函数.4、求微分方程 x y y y sin 1034=+'-'' 的通解.五、应用题（每小题8分，共16分）1、设某厂生产甲、乙两种产品，其销售单价分别为10万元、9万元。
大一微积分期末考试题
大一微积分期末考试题一、选择题（共10题，每题2分，共20分）1.下列哪个选项是微积分的基本概念？A. 导数B. 积分C. 极限D. 无穷小量2.函数f(x)在x=2处的导数为3，那么函数f(x)在x=2处的切线斜率为：A. 2B. 3C. 4D. 53.函数y = x^2 + 3x - 2 的最大值是：A. -2B. 1C. 2D. 44.设函数y = e^x，则函数y = e^(-x)的导数为：A. e^xB. -e^(-x)C. -e^xD. e^(-x)5.曲线y = sin(x)在点（0，0）处的切线斜率为：A. 0B. 1C. -1D. 无穷大6.函数y = ln(x)的导数为：A. 1/xB. ln(x)C. -1/xD. 17.若函数f(x)满足f'(x) = 2x，则f(x)的原函数为：A. x^2 + CB. x^2 + 1C. x^3 + CD. x^3 + 18.函数y = sin^2(x)在区间[0, π]上的定积分值为：A. 0B. 1C. π/2D. π9.函数y = x^3在区间[0, 1]上的定积分值为：A. -1/4B. 1/4C. 1/3D. 110.若函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1，则在区间[0, 2]上的定积分值为：A. 6B. 8C. 10D. 12二、计算题（共3题，共30分）1.计算函数y = sin(x) + cos(x)在区间[-π/4, π/4]上的定积分值。
解：∫[ -π/4, π/4 ] (sin(x) + cos(x)) dx = [-cos(x) + sin(x)]│[-π/4, π/4]= [(sin(π/4) + cos(π/4)) - (sin(-π/4) + cos(-π/4))]= [(1/√2 + 1/√2) - (1/√2 - 1/√2)]= 2/√2= √22.计算函数y = ln(x)在区间[1, e]上的定积分值。
微积分下期末总复习题
22
3、二阶偏导数
2 z 2 z 1 设z x ln( xy), 求 2 , . x xy 解 z ln( xy) x 1 y ln( xy) 1, x xy
1 (1) n (1) n (1) 1, p 1, | n 1 |收敛，故 n 1 绝对收敛, p n 1 np n 1 np 1 ( 1) n ( 1) n (2) 1, p 1, | n 1 |发散，故 n 1 发散, p n 1 np n 1 np
0
1 . 4
9
4：极坐标系下的二重积分
Chapter 8 三、14
a 2 x2 y 2 dxdy , 其中D ( x, y) x2 y2 a2 , a 0
2
D
0
d
a 0
a
0
a r rdr
2 2
a 2 r 2 d (a 2 r 2 )
期末考试考核点
1、定积分计算题 2、级数敛散性判断 3、偏导数计算 3、二重积分计算 4、微分方程求解 5、应用题 6、证明题
1
一、定积分
1、变量代换 2、分部积分 3、直角坐标系下的二重积分 4、极坐标系下的二重积分
2
1、变量代换
(1)
求： x 1 xdx （课本225页）
Chapter 8 三、13 D是无界区域
y2
解一： e
微积分复习试题及答案10套(大学期末复习资料)
微积分复习试题及答案10套（大学期末复习资料）习题一(A) 1、求下列函数的定义域:ln(4),x2(1) (2) (3) y,y,logarcsinxyx,,4a||2x,113y,，log(2x,3)(4) (5) yx,,，1arctanax,2x2、求下列函数的反函数及其定义域xx,32(1) (2) (3) yy,,yx,，，1ln(2)x2，1x，3x,,(4)yx,,,2sin,[,] 3223、将下列复合函分解成若干个基本初等函数2x(1) (2) (3) yx,lnlnlnyx,，(32ln)ye,,arcsin123(4) y,logcosxa4、求下列函数的解析式:112，求. (1)设fxx()，,，fx()2xx2(2)设，求 fgxgfx[()],[()]fxxgxx()1,()cos,,,5、用数列极限定义证明下列极限:1232n，1,,(1)lim(3)3 (2) lim, (3) ,lim0nn,,n,,n,,3353n,n6、用函数极限定义证明下列极限:x，31x，32lim(8)1x,,lim1,lim,(1) (2) (3) 23x,x,,x,,3xx,967、求下列数列极限22nn，，211020100nn，，3100n，limlimlim(1) (2) (3)32n,,n,,n,,54n,n,144nn,,,12n111,,，，？，lim,,lim，，，(4)？ (5) ,,222,,x,,x,,1223n(n1),,，nnn,,,,1111,,k,0(6) (7)() lim，，，？lim,,2x,,x,,n,31541,,nknnkn，,,111，，，，？12n222lim(1)nnn，,(8) (9) limx,,x,,111，，，，？12n5558、用极限的定义说明下列极限不存在:1x,3limcosx(1) (2) (3) limsinlimx,,x,0x,3x|3|x,9、求下列函数极限:22xx,，56xx,，562(1) (2) (3) limlimlim(21)xx,，x,x,13x,3x,3x,2222256x，xx,，44()xx，,,(4) (5) (6) limlimlim2x,x,,,220xx，，21x,2,nx,1x,9x,1(7) (8) (9) limlimlimm3,1xx,9x,1x,1x,3x,1 2nnxxx,,,,？13x，,12(10), (11)lim() (12)limlim33x,1,x1x,1xx,,111,xx,110、求下列函数极限:22xx,，56xx,，56 (2) (1)limlim2x,,x,,x,3x,3nn,1axaxaxa，，，，？011nn,lim(11)xx,,，(3) (4)lim,(,0)ab,00mm,1x,,x,,bxbxbxb，，，，？011mm,lim(11)xxx,,，(5) x,,11、求下列极限式中的参变量的值:2axbx,，6lim3,(1)设，求的值; ab,x,,23x,2xaxb，，lim5,,(2)设，求的值; ab,x,11x,22axbxc,，lim1,(3)设，求的值; abc,,x,,31x,12x,0arcsin~xxtan~xx1cos~,xx12、证明:当时，有:(1)，(2) ，(3); 213、利用等价无穷小的性质，求下列极限:sin2xsin2xsecxlimlimlim(1) (2) (3) 2x,0x,0x,0，tan5x3x2x3sinx21111sin,，x,limlim()(4) (5)lim (6)x,0x,0x,0xxx,tansinxxtansin1cos,x14、利用重要极限的性质，求下列极限:sin2xsinsinxa,xxsin(1) (2) (3) limlimlimx,0xa,x,0,sin3xxa,1cos2x xsinxx,tan3sin2xx,4,,(4) (5) (6) limlimlim1，,,x,0x,0,,xsinxx，3xx,, xxx,3xk,21,,,,,,(7) (8) (9) limlim1,，lim1,,,,,,,,,,xxx,,xxxk，,,,,,, 1/x(10)lim12,x ，，,,x15、讨论下列函数的连续性:,,,xx1,,2fxxx()11,,,,(1) ,,211xx,,,x,x,0,sinx,x,0(2)若，在处连续，则为何值. fxax()0,,a,,1,1sin1，,xxx,x,e(0,x,1)(3) 为何值时函数f(x),在[0，2]上连续 a,a，x(1,x,2),53xx,，,52016、证明方程在区间上至少有一个根. (0,1)32x,0x,317、证明曲线在与之间至少与轴有一交点. xyxxx,,，,252(B)arccoslg(3,x)y,1、函数的定义域为 ( ) 228,3x,x(A) ,，，,,7,3 (B) (-7, 3) (C) ,7,2.9 (D) (-7, 2.9),1 2、若与互为反函数，则关系式( )成立。
微积分期末试题及答案
微积分期末试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 函数y=x^3-3x+2的导数是（）。
A. 3x^2 - 3B. x^3 - 3xC. 3x^2 - 3xD. 3x^2 + 3x答案：A2. 极限lim(x→0) (sin x/x)的值是（）。
A. 0B. 1C. 2D. -1答案：B3. 曲线y=x^2在点(1,1)处的切线方程是（）。
A. y=2x-1B. y=2x+1C. y=x+1D. y=x-1答案：A4. 若f(x)=x^2+3x-2，则f'(-1)的值是（）。
A. 0B. 2C. -2D. 4答案：C5. 定积分∫(0 to 1) (2x-1)dx的值是（）。
A. 1/2B. 1C. 3/2D. 2答案：B二、填空题（每题4分，共20分）1. 若f(x)=ln(x)，则f'(x)=______。
答案：1/x2. 函数y=e^x的原函数是______。
答案：e^x3. 曲线y=x^3与直线y=2x+1在x=1处的交点坐标是______。
答案：(1,3)4. 函数y=x^2-4x+4的极小值点是______。
答案：x=25. 定积分∫(0 to 2) x dx的值是______。
答案：4三、计算题（每题10分，共30分）1. 求函数y=x^2-6x+8的极值点。
答案：函数y=x^2-6x+8的导数为y'=2x-6，令y'=0，解得x=3。
将x=3代入原函数，得到极小值点为(3,-1)。
2. 求定积分∫(0 to 3) (x^2-2x+1)dx。
答案：首先求出原函数F(x)=1/3x^3-x^2+x，然后计算F(3)-F(0)=1/3*27-9+3-0=6。
3. 求曲线y=x^3在点(1,1)处的切线方程。
答案：首先求导得到y'=3x^2，将x=1代入得到y'|_(x=1)=3，切线方程为y-1=3(x-1)，即y=3x-2。
四、证明题（每题10分，共30分）1. 证明：若f(x)在[a,b]上连续，则∫(a to b) f(x)dx存在。
大一微积分期末考题
大一微积分期末考题
一、概念题
1.微积分的基本概念是什么？
2.请解释函数的导数和积分的概念。
3.什么是微分和积分运算？
4.请解释微积分中的极限概念。
二、计算题
1.已知函数f(x)=3x^2+2x-5，请计算f(x)的导数和不定积分。
2.计算函数g(x)=∫(3x^2+2x-5)dx。
3.已知函数h(x)=x^3，求函数h(x)的导数和不定积分。
4.如果已知函数f(x)的导数为f’(x)=2x+3，求函数f(x)本身。
三、证明题
1.请证明对于任意实数a，导数函数的导数等于原函数的二阶导数。
2.已知函数f(x)满足f’’(x)=0，证明函数f(x)为一次函数。
3.证明函数f(x)=e^x的导数为它本身。
4.请证明函数f(x)=sin(x)的导数为f’(x)=cos(x)。
四、应用题
1.铁丝制成的矩形围墙面积为A，围墙的长和宽相差d。
请计算出长和宽的值，使得围墙面积最大。
2.已知曲线y=x^2+2x+1在x=0处的切线方程为y=2x+1，求曲线方程所在点的曲率。
3.某人出发从A地骑自行车向B地，沿直线行驶。
已知该人的速度v(t)=5t+1，t为时间。
求该人从A骑到B所需的时间。
4.一球从地面以v0的速度竖直向上抛射，忽略空气阻力。
求该球从抛出到回落的过程中，其高度最高点的坐标。
以上为大一微积分期末考题，希望各位同学在复习时能够重点关注这些考点，并根据自己的实际情况进行准备。
祝各位同学考试顺利！。
微积分第二学期期末复习题
微积分第二学期期末复习题微积分第二学期期末复习题随着学期的结束，微积分第二学期的期末考试也即将到来。
为了帮助大家更好地复习和准备考试，本文将提供一些复习题，希望对大家有所帮助。
一、定积分1. 计算定积分 $\int_{0}^{1} (x^2 + 3x + 1) dx$。
2. 求定积分 $\int_{1}^{2} \frac{1}{x} dx$。
3. 计算定积分 $\int_{0}^{\pi} \sin(x) dx$。
二、不定积分1. 求不定积分 $\int (2x^3 + 3x^2) dx$。
2. 计算不定积分 $\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx$。
3. 求不定积分 $\int e^x \sin(x) dx$。
三、微分方程1. 求解微分方程 $\frac{dy}{dx} = 2x$。
2. 解微分方程 $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}$。
3. 求解微分方程 $\frac{d^2y}{dx^2} + 4y = 0$。
四、级数1. 计算级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}$。
2. 判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{2^n}$ 的敛散性。
3. 计算级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}$。
五、向量1. 求向量 $\vec{A} = (2, -3)$ 和 $\vec{B} = (1, 4)$ 的数量积。
2. 求向量 $\vec{A} = (3, -2)$ 和 $\vec{B} = (4, 1)$ 的叉积。
3. 求向量 $\vec{A} = (1, -2, 3)$ 和 $\vec{B} = (2, 1, -3)$ 的向量积。
六、多元函数1. 计算函数 $f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2$ 在点 $(1, 2)$ 处的偏导数。
2. 求函数 $f(x, y) = x^3 - 3xy^2$ 的梯度。
微积分期末试题及答案
微积分期末试题及答案（正文开始）第一部分：选择题（共20题，每题5分，共100分）1. 设函数 f(x) = x^3 - 2x + 1，求 f'(x)。
2. 求函数 f(x) = e^x 的不定积分。
3. 将函数 f(x) = sin(x) 在区间[0, π] 上进行定积分，求结果。
4. 设函数 f(x) = ln(x)，求 f'(x)。
5. 求函数 f(x) = 2x^2 + 3x + 1 的定积分，其中积分区间为 [-1, 2]。
6. 设函数f(x) = √(x^2 + 1)，求 f'(x)。
7. 求函数 f(x) = 3x^2 - 6 的不定积分。
8. 计算定积分∫(0 to π/2) cos(x) dx 的值。
9. 设函数 f(x) = e^(2x)，求 f'(x)。
10. 求函数 f(x) = x^3 - 4x^2 + 5x - 2 的不定积分。
11. 计算定积分∫(0 to 1) x^2 dx 的值。
12. 设函数 f(x) = (sinx + cosx)^2，求 f'(x)。
13. 求函数 f(x) = 2e^x 的不定积分。
14. 计算定积分∫(1 to e) ln(x) dx 的值。
15. 设函数 f(x) = x^2e^x，求 f'(x)。
16. 求函数 f(x) = ln(2x + 1) 的不定积分。
17. 求函数 f(x) = sin^2(x) 在区间[0, π/2] 上的定积分。
18. 设函数 f(x) = e^(3x)，求 f'(x)。
19. 求函数f(x) = ∫(1 to x) t^2 dt 的不定积分。
20. 计算定积分∫(0 to π) sin^2(x) dx 的值。
第二部分：计算题（共4题，每题25分，共100分）1. 计算函数f(x) = ∫(0 to x^2) (2t + 1) dt 在区间 [-1, 1] 上的定积分。
微积分初步期末复习题(含答案)
1《微积分初步》期末复习题一一、填空（每小题4分）：1．函数2．函数3．函数 的定义域是4．函数72)1(2+-=-x x x f ，则)(x f5．函数⎩⎨⎧>≤+=e2)(2x x x x f x，则)0(f 6．函数x xx f 2)1(2-=-，则=)(x f7．函数 8． 9．若，则=k10．若23sin lim 0=→kx x x ，则=k11．曲线1)(+=x xf 在(1,2) 12．曲线f(x)=e x 在(0,1)．13．曲线21-=xy 在点(1,1)处的切线方程是15．若y =x (x –1)(x –2)(x –3),则y '16．已知x x x f 3)(3+=，则3(f ' 17．已知x x f ln )(=，则)(x f ''18．若x x x f -=e )(，则='')0(f19．函数y x =-312() 20．函数1)(2+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加，则a21．若f(x)的一个原函数为2ln x ，则22．若f(x)的一个原函数为x-e -2x，则=')(x f23．若⎰+=c x x x f xe d )(，则)(x f24．若⎰+=c x x x f 2sin d )(，则)(x f25．若c x x x x f +=⎰lnd )(，则=')(x f26．若⎰+=c x x x f 2cos d )(，则')(x f27．=⎰-x xd ed2．28．='⎰x x d )(sin． 29．若⎰+=c x F x x f )(d )(，则⎰=-x x f d )32(30．若⎰+=c x F x x f )(d )(，则⎰-x xxf d )1(2． 31．.d )2cos (sin 112=-⎰-x x x x32．.______d )cos 4(225=+-⎰-x x x xππ33．已知曲线)(x f y =在任意点且曲线过)5,4( 34．若=+-⎰-dx x x )235(113 35．由定积分的几何意义知， =。
微积分下期末试题及答案
微积分下期末试题及答案下面是微积分下期末试题及答案的内容：一、单选题（每题2分，共20分）1. 在一个封闭的矩形区域内，下列函数中一定存在一个绝对值最大的点的是：A. f(x) = 2x + 3B. f(x) = -x^2 + 5x + 1C. f(x) = sin(x)D. f(x) = e^x答案：B2. 设函数f(x) = x^3，则f'(x) = ？A. 3x^2B. 4x^3C. 2x^3D. x^2答案：A3. 曲线y = 2x^2 - 3x + 1的切线斜率为：A. 2B. -2C. 3D. -3答案：C4. 若f(x) = x^2 + 2x，则f''(x) = ？A. 2B. 4C. 0D. 6答案：A5. 设y = 3x - 1为直线L1上一点，曲线y = 2x^2 + 1上一点为(x0, y0)，则L1与曲线的切线平行于x轴的条件是：A. x0 = -1B. x0 = 0C. x0 = 1D. y0 = -1答案：D6. 函数f(x) = ln(x)的反函数为：A. f(x) = e^xB. f(x) = xC. f(x) = e^(-x)D. f(x) = x^2答案：A7. 函数f(x) = 3x^2 + 2在区间[1, 2]上的平均值为：A. 4B. 5C. 8/3D. 10/3答案：C8. 若f(x) = sin(x)，则f''(x) = ？A. -cos(x)B. cos(x)C. -sin(x)D. sin(x)答案：D9. 由函数f(x) = x^3 - 3x求得的原函数为：A. x^4/4 - 3x^2/2 + CB. x^4 + 3x^2 + CC. x^3 - 3x + CD. x^4 - x^2 + C答案：A10. 函数y = ax^2 (a ≠ 0)与直线y = 2x - 3相切的条件是：A. a = 4B. a = 2C. a = 1D. a = 3答案：B二、计算题（每题10分，共30分）1. 设函数f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x + 1，求f'(2)的值。
微积分期末试题及答案
微积分期末试题及答案一、选择题1.微积分的概念是由谁提出的？A.牛顿B.莱布尼茨C.高斯D.欧拉答案：B2.一个物体在 t 秒后的位移函数为 s(t) = 4t^3 - 2t^2 + 5t + 1。
求该物体在 t = 2 秒时的速度。
A.10B.23C.35D.49答案：C3.定义在[a,b]上的函数 f(x) 满足f(x) ≥ 0，对于任意 x ∈ [a,b] 都有∫[a,b] f(x) dx = 0，则 f(x) =A.常数函数B.0C.连续函数D.不满足条件，不存在这样的函数答案：B4.若函数 f 在区间 [a,b] 上连续，则在区间内至少存在一个数 c，使得A.∫[a,b] f(x) dx = 0B.∫[a,b] f(x) dx = f(c)C.∫[a,b] f'(x) dx = f(b) - f(a)D.∫[a,b] f(x) dx = F(b) - F(a)，其中 F 为 f 的不定积分答案：D5.已知函数 f(x) = x^2，求在点 x = 2 处的切线方程。
A.y = 2x - 2B.y = 2x + 2C.y = -2x + 2D.y = -2x - 2答案：A二、计算题1.计算∫(2x - 1) dx。
解：∫(2x - 1) dx = x^2 - x + C。
2.计算极限lim(x→∞) (3x^2 - 4x + 2)。
解：lim(x→∞) (3x^2 - 4x + 2) = ∞。
3.计算导数 dy/dx，其中 y = 5x^3 - 2x^2 + 7x - 1。
解：dy/dx = 15x^2 - 4x + 7。
4.计算函数 f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 3 的驻点。
解：驻点为 f'(x) = 0 的解。
f'(x) = 3x^2 + 4x - 5 = 0，解得 x = -1 或 x = 5/3。
5.计算定积分∫[0,π/2] sin(x) dx。
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微积分期末复习题Newly compiled on November 23, 2020掌握等价（高阶，低阶，同阶）无穷小的概念和判别1. 0x →时，与 2sin x 等价的无穷小量是________。
A ．ln(1)x + B.21tan 2x C.2(1cos )x - D.31x e - 2. 若0x →时，2sin sin 2k x x x -，则k =________。
A ．1B ．2C ．3D ．43. 当0x →时，与x 等价的无穷小量是________。
A ．sin x x B.2sin x x + C.2x4. 当0x →时，2sin 2x x β=+与x α=的关系是________。
A. β与α是同阶但不等价无穷小量 B ．β与α是等价的无穷小量C.β是比α较高阶的无穷小量 D ．β是比α较低价的无穷小量5. 当0x →时，2ln(1+x 的________无穷小量。
求极限的一般方法：(1) 利用极限的四则运算法则（注意前提条件） (2) 利用无穷小的运算法则（无穷小与有界函数的乘积仍是无穷小）；利用无穷小与无穷大的关系；(3) 利用两个重要极限；1sin lim 0=→x x x ,e x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→11lim (4) 利用等价无穷小代换；（当0x →时，21cos 2x x -,()11x x αα+-sin arcsin tan x x x x ()arctan ln 11x x x e +-）（注意什么时候能等价无穷小代换） (5) 洛比达法则（0,0∞∞且lim f g ''广义存在）求未定式0,,0,0∞⋅∞∞-∞∞的极限 求幂指函数v u 的极限的方法：（1）若为1∞型，可利用第二个重要极限或者求lim(1)u v a -=，则lim v a u e =；（2）通用的方法：恒等变形ln v v u u e ⋅= 掌握()lim ()x p x q x →∞的计算（关键看分子分母的最高次幂和最高次幂前的系数） 6.设函数3(), 3x f x a x x ≥=+<⎪⎩，已知3lim ()x f x →存在，则a =________。
7. 设函数()x f x x=，则0lim ()x f x →_______。
（若改2()x x f x x +=呢） A ．1- B.0 C.1 D.不存在8. 若2212lim 21x x x a x →+-=-，则a =________。
A ．等于2 B ．等于3 C ．可取任意整数 D ．不能判断9.求极限 11lim sin sin x x x x x →∞⎛⎫⋅-⋅ ⎪⎝⎭和011lim sin sin x x x x x →⎛⎫⋅-⋅ ⎪⎝⎭10. 求极限111lim x x x -→（或形式为1lim x → 11. 求极限0sin 35lim ln(15x x x x →-+）12. 求极限111lim 1ln x x x →⎛⎫- ⎪-⎝⎭ 13. 求极限求极限20sin lim (1)x x x x x e →-- 14.求极限11lim 1x x →-（方法：根式有理化，变量替换，罗比达法则） 15．322lim 2x x x x →∞+ 16．设→∞x 时，无穷小量322111+++++,ax x x b cx dx 求,,,a b c d函数的连续：若()()00lim x x f x f x →=，则称函数()f x 在点0x 处连续． 掌握函数的间断点的找法，并把间断点进行其分类（补充函数在可去间断点的定义使之连续）（找法：无定义的点，极限不存在的点，极限值与函数值不等的点）（分类：左右极限都存在的为第一类----可去间断点，跳跃间断点，否则为第二类---无穷间断点，震荡间断点）（可去间断点可修改或补充函数在间断点0x 的函数值为00()lim ()x x f x f x →=使之连续） 17. 函数 0()ln(1) 0sin k x f x x x x=⎧⎪=+⎨≠⎪⎩ ，若在0=x 处连续，常数k =________。
18. 设()1arctan 00x x f x Ax >⎧=⎨≤⎩，在0x =处连续，则A =________. 19．设21x 0()0x 0x ef x ⎧⎪≠=⎨⎪=⎩当时当时，则____为()f x 的____间断点。
讨论函数21x>0()0x 0x ef x ⎧⎪=⎨⎪≤⎩当时当时在此点的左右连续性。
20．函数22()(1)x x f x x x -=-，点1x =-是()f x 的____间断点；点0x =是()f x _____间断点，点1x =是()f x 的____间断点。
21. 函数22()1x x f x x -=-的可去间断点为____，要使函数在此点连续，则需补充定义(1)f =_____。
初等函数在定义区间上都是连续的闭区间上连续函数的性质：函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则：(1) ()f x 在[,]a b 上有界；(2) ()f x 在[,]a b 上取到最大值和最小值（最值定理）；(3) 若()()0f a f b ⋅<，则存在(,)a b ξ∈，使得()0f ξ=（零点定理）。
（可证明方程有根）第二三章 导数及其应用（也包含简单的抽象函数的导数计算） 导数的四则运算复合函数的导数（由外到内，逐层求导）隐函数的导数（方程两边分别对变量x 求导，整理得y '，注意碰到y 的时候把y 看作x 的函数）（注意：y '中可能含有y ，若求0x x y ='怎么代值）对数求导法（针对于幂指函数的导数和多个因式连乘，除，开方这样的函数的导数）（做法：先取对数，再按照隐函数的导数做） 参数方程决定的函数的导数dydy dt dxdx dt= 会求函数的2阶导数可微的充要条件和微分的求法dy y dx '=特殊函数的高阶导数第二章1. 求1arctan y x=的导数与微分。
2. 求由方程0x e xy e +-=所确定的隐函数()y f x =的导数和微分及d 1d y x x =，1dy x =。
3. 求由方程2xy e x y e =++-所确定的隐函数()y f x =的导数d d y x 。
4.求函数(21)y x =+同） 5. 已知cos sin x a t y b t =⎧⎨=⎩，求dy dx 和2t dy dx π=。
6. 设3sin y x =，求22d y dx 。
7. 设3()f x y e =，求y ''=________。
8. 设f 可微，求函数()x y f e =的微分。
若改()(sin )f x y f x e =呢三个中值定理的条件，结论及其应用，ξ的求法（罗尔定理可证明方程有根，注意与零点定理的区别）（三个中值定理都可以证明中值问题，从结果逆推，把含ξ所有项都挪到等号的左边，再观察）会求函数的单调区间和极值，凹凸区间和拐点会求函数的渐近线（特别是分式函数的）第三章1. 设223y x x =--在区间[1,3]-上满足罗尔中值定理，则满足定理条件的ξ=______。
（类似可把题目换为满足拉格朗日定理）2. p63 T5（类似可把题目换为满足拉格朗日定理的是，不满足罗尔定理的是）3. 求函数3223y x x =-的单调区间，凹凸区间，拐点，极值点，极值。
4. 函数1xe y x=+的垂直渐近线为________，共有___条渐近线。
5. 曲线3223x y x x =+-的斜渐近线为________，共有___条渐近线。
第四章 不定积分原函数和不定积分的概念函数先积分后求导（微分）和先求导（微分）后积分（关键是知道原函数与不定积分的概念）不定积分的性质：加法和数乘换元积分法（第一换元法：被积函数为(())()f x x ϕϕ'⋅，第二换元法：被积函数带根号，或是分母次数高于分子次数的有理函数）分部积分法（反对幂指三，前面的为u ，后面的是v '，公式udv uv vdu =-⎰⎰）1. P92 T42. ()()df x '=⎰ ()()f x dx '=⎰3. 若()x f x dx xe C =+⎰，则()f x =________。
若改为2()1x f x dx xe C x=++⎰呢 4. 若函数sin 2()x f x +的导函数是()F x ，则()F x dx =⎰________。
5. 已知()sin 2f x x =，则⎰='dx x f )(________。
6. 求积分2x xe dx ⎰和x xe dx ⎰7.求积分3sin cos x xdx ⎰ 和 2cos ⎰xdx8. 求积分ln xdx ⎰ 第五章 微分方程初步解，通解和特解的概念一阶线性微分方程的求解（可变量分离的---分离变量再积分，齐次微分方程---换元变为可分离变量的微分方程，一阶线性微分方程()()y P x y Q x '+=的通解公式为()()()P x dx P x dx y e Q x e dx C -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰）（通解和特解） 1. 下列哪个是方程2y x '=的通解A ．2y x c =+ B. 22y x =+ C. 2y x c =+ D. 21y x =+2. 求微分方程xy y y x xy +'=+的特解，满足(1)1y =。
3. 求微分方程22sin x y y x x'+=的通解。
4. 求微分方程(1ln ln )xy y y x '=+-的通解。
5. 求微分方程45xy y x '=+的通解。
证明题1. 证明方程0cos sin -=x x x 在(0, )2π内必有实根。
2. 证明：方程016323=-+-x x x 在区间)1,0(内有唯一的实根。
3. 设()f x 在01[,]上连续，在01(,)内可导，且(0)(1)0f f ==，证明：至少存在一点(0,1)ξ∈，使得()()f f ξξξ'=-4. 证明：arcsin arccos 2x x π+=，(1,1)x ∈- 5. 证明：当0x >时，ln(1)x x >+。