北京大学附中高考数学二轮复习 考前抢分必备专题训练 选考内容

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在参数方程⎩
⎨⎧+=+=θθsin cos t b y t a x （t 为参数）所表示的曲线上有B 、C 两点，它们对应的参数值分别为t 1、t 2，则线段BC 的中点M 对应的参数值是( )
A ．122t t -
B ． 12
2t t + C ． 122t t - D ． 12
2t t +
【答案】B
2．如图，AB 为O 的直径，弦AC ，BD 交于点P ，若3,1AB CD ==，则
sin APD ∠=( )
A ．6
3 B ．3
3 C ．13 D ．22
3
【答案】D
3．如图所示，为了测量该工件上面凹槽的圆弧半径R ，由于没有直接的测量工具，工人用三个半径均为r （r 相对R 较小）的圆柱棒123,,O O O 放在如图与工件圆弧相切的位置上，通过深度卡尺测出卡尺水平面到中间量棒2O 顶侧面的垂直深度h ，若
10,4r mm h mm ==时，则R 的值为( )
A ．25mm
B ．5mm
C ．50mm
D ．15mm
【答案】C
4．如图，A 、B 是⊙O 上的两点，AC 是⊙O 的切线，∠B=70°，则∠BAC 等于(
)
A ． 70°
B ． 35°
C ． 20°
D ． 10°
【答案】C 5．点M 的直角坐标是（
3,1-），则点M 的极坐标为( ) A ．(2,
3
π) B ．(2,3π-) C ．(2,32π) D ．(2,32ππ+k )，（Z k ∈）
【答案】C 6．在ABC ∆中，//DE BC ，DE 将ABC ∆分成面积相等的两部分，那么:DE BC =( )
A ． 1:2
B ． 1:3
C ． 1:2
D ． 1:1
【答案】C
7．直线)(20cos 20sin 3为参数t t y t x ⎪⎩⎪⎨⎧-=+=︒︒的倾斜角是( ) A ．︒20 B ． ︒70 C ． ︒110 D ． ︒160
【答案】C
8．如图，过点P 作圆O 的割线PBA 与切线PE ，E 为切点，连接AE,BE ，∠APE 的平分线分别与AE 、BE 相交于C 、D ，若∠AEB=030,则∠PCE 等于( )
A. 0150
B. 075
C. 0105
D. 0
60
【答案】C
9．直线l 的极坐标方程为2cos sin 3ρθρθ=+，圆C 的极坐标方程为
22sin()4
πρθ=+．则直线l 和圆C 的位置关系为( ) A ．相交但不过圆心 B ．相交且过圆心
C ．相切
D ．相离
【答案】A 10．若点P(3,m)在以点F 为焦点的抛物线244x t y t
⎧=,⎨=⎩ (t 为参数)上,则|PF|等于( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】C 11．曲线的极坐标方程θρsin 4=化为直角坐标为( )
A ．4)2(22=++y x
B ． 4)2(2
2=-+y x C ． 4)2(22=+-y x D ． 4)2(22=++y x 【答案】B
12．如图，E 是平行四边形ABCD 的边BC 的延长线上 的一点，连结AE 交CD 于F ，则图中共有相似三角形( )
A ． 1对
B ． 2对
C ． 3对
D ． 4对
【答案】C 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．如图，PAB PCD 、为圆O 的两条割线，若5PA =，7AB =，11CD =，2AC =，则BD 等于 ．
【答案】6
14．如图，PA 是圆O 的切线，A 为切点，PBC 是圆O 的割线．若3PA BC =，则PB BC
=____________．
【答案】12 15．在极坐标系中，点(2,)3M π到直线2:sin()42l πρθ+=的距离为____________ 【答案】62
16．将参数方程⎩⎨
⎧=+=θθsin 2cos 21y x （θ为参数）化为普通方程，所得方程是____________. 【答案】4)1(22=+-y x
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．已知曲线C 的极坐标方程是θρcos 4=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x
轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+=t y m t x 2222（t 是参数）．若l 与C 相交于AB 两点，且14AB =．
(1）求圆的普通方程，并求出圆心与半径；
(2）求实数m 的值．
【答案】（1）曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为2240x y x +-=，圆心坐标为(2,0)，半径2R =．
(2）直线l 的直角坐标方程为y x m =-，则圆心到直线l 的距离21424()22d =-= 所以2022
2m
--=，可得21m -=，解得1m =或3m =． 18．如图，已知⊙O 和⊙M 相交于A 、B 两点，AD 为⊙M 的直径，直线BD 交⊙O 于点C ，点G 为BD 中点，连结AG 分别交⊙O 、BD 于点E 、F 连结CE ．
(1）求证：GD CE EF AG ⋅=⋅；
(2）求证：.2
2
CE EF AG GF =
【答案】（1）连结AB ，AC ，
∵AD 为M 的直径，∴090ABD ∠=， ∴AC 为O 的直径, ∴CEF AGD ∠=∠,
∵DFG CFE ∠=∠，∴ECF GDF ∠=∠,
∵G 为弧BD 中点，∴DAG GDF ∠=∠，
∵ECB BAG ∠=∠,∴DAG ECF ∠=∠,
∴CEF ∆∽AGD ∆，∴CE AG EF GD =， GD CE EF AG ⋅=⋅∴
(2）由（1）知DAG GDF ∠=∠，G G ∠=∠,
∴D G F ∆∽AGD ∆,∴2DG AG GF =,
由（1）知2222EF GD CE AG =，∴2
2
GF EF AG CE =． 19．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 外一点，且AC=AB ，BC 交⊙O 于点D 。

已知BC=4，AD=6，AC 交⊙O 于点E ，求四边形ABDE 的周长。

【答案】AB=AC=102
∴CB CD CE AC ⋅=⋅，则1052=CE
4cos 2222=⋅⋅-+=C CD CE CD CE DE
∴DE=2 ∴四边形ABDE 的周长105
184+=L 20．如图，CP 是圆O 的切线，P 为切点，直线CO 交圆O 于A ，B 两点，AD ⊥CP ，垂足为D ． 求证：∠DAP ＝∠BAP ．
【答案】因为CP 与圆O 相切，所以∠DPA ＝∠PBA ．
因为AB 为圆O 直径，所以∠APB ＝90°，
所以∠BAP ＝90°－∠PBA ．
因为AD ⊥CP ，所以∠DAP ＝90°－∠DPA ，
所以∠DAP ＝∠BAP ．
21．如图，A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上，BC 与AD 的延长线交于点E ，点F 在BA 的延长线上。

(1）若11,32EC ED EB EA ,求DC AB
的值； (2）若2EF FA FB =，证明：EF CD .
【答案】 (1）∵A ，B ，C ，D 四点共圆
∴∠EDC=∠EBF 又∵∠DEC=∠AEC ∴△ECD ∽△EAB
∴EC EA =ED EB =CD BA 又∵EC EB =13,ED EA =12 ∴CD BA =66
(2)∵EF 2=FA ·FB ∴EF FA =FB EF
又∵∠EFA=∠BFE ∴△FAE ∽△FEB ∴∠FEA=∠EBF
又∵A ，B ，C ，D 四点共圆 ∴∠EDC=∠EBF
∴∠FEA=∠EDC ∴EF ∥CD
22．如图, E 是圆O 内两弦AB 和CD 的交点, F 是AD 延长线上一点, FG 与圆O 相切于点G ,且EF FG =.
求证:(1) EFD ∆~AFE ∆
(2) EF ∥BC
【答案】（1）因为FG 与圆O 相切于点G ，
22EF FA FG FD FA,EF FG,EF FD FA FD EF
=⋅=∴=⋅∴
= EFD AFE,EFD ~AFE ∠=∠∴∆∆
(2）由（1）知，FED FAE,∠=∠又因为
∠=∠∴∠=∠∴
FAE BCD,FED BCD EF//BC。