典例精析知识点典例_《认识无理数》知识点典例
认识无理数课件
第二章 实数
1
认识无理数
学习目标
1.知道非有理数的存在，认识无理数.
2.理解无理数的概念，掌握无理数与有理数的区别，并
能判断一个数是有理数还是无理数.（重点）
3.探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼
近的思想（难点）
复习回顾
1．整 数和 分 数统称为有理数.
整数分为 正整数、0、负整数
3 （均
填整数）。
3
7.有六个数：0.123，（-1.5） ，3.1416， ，-2π，
0.1020020002···（每两个2之间依次增加一个0），若其中无理数
的个数为x，整数的个数为y，非负数的个数为z，则
x+y+z=
6
.
五、当堂达标检测
拓展提升
在下图的正方形网格中画出1个三角形使三边都是无理数。
例2：在下列正方形网格中，先找出长度为有理数的线段，再找
出长度是无理数的线段.
长度为有理数的线段： AB、EF
长度为无理数的线段：CD、GH、MN
三、即学即练，应用知识
1.判断下列说法是否正确：
（1）所有无限小数都是无理数；
（2）所有无理数都是无限小数;
（3）有理数都是有限小数;
（4）不是有限小数的不是有理数.
；
分数分为 正分数、负分数
.
2．一个整数的平方一定是整数吗？ 是
3 .一个分数的平方一定是分数吗？
是
一、创设情境，引入新知
活动：把两个边长为1的小正方形通过剪、拼，设法得到一个大正方形，你会吗？
1
1
一、创设情境，引入新知
还有好多方法，课余时间再动手试一试，比比谁找的多！
《认识无理数》第2课时示范课教学课件【数学八年级上册北师大】
面积为5的正方形的边长b的值满足：b2=5， 经过计算器验证: b≈2.2 (结果精确到0.1)
做一做
如果结果精确到0.01呢？
列表格：
b
b的平方
2.230
5.29
2.235
4.995225
2.240
5.0176
边长b 2< b <3 2.2< b <2.3 2.23< b <2.24
面积 S 4< S <9 4.84< S <5.29 4.9729< S <5.0176
1 认识无理数
第2课时
复习回顾
若a2=2，则a 不是 分数， 不是 整数，
不是 有理数.
( 填“是” 或“不是”)
数a确实存在，但又不是有理数， 那它到底是什么数呢？
合作探究 面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢？
能不能确定一下a的大致范围？
∵ a2=2， 而12=1， 22=4，··· ∴ 12<a2<22 ， 1< a< 2， 而1.52=2.25， 2.25＞2 ∴a的值一定小于1.5 ∴a的大致范围在1~1.5之间.
无
理
无理数的常见形式:
数
①无限不循环小数；
②圆周率π以及含π的数；
③开方开不尽的数(下一节学到).
教科书 第25页 习题2.2 第1，4题
敬请各 位老 师提 出宝 贵意见 ！
∴根据无理数的定义，0.1010001000001…是无理数.
典型例题
例 下3列.14各，数- 中4 ，，0哪.5. 些7.，是有理数？哪些是无理数？
3 0.1010001000001…(相邻两个1之间0的个数逐次加2).
典例精析类题典例_《认识无理数》类题典例
认识无理数综合应用典例剖析1．无理数的识别【例1】下列实数是无理数的是（ ）A ．1-B ．13C ．0 D解析：1-与0是整数，13它是无理数，故选D ．答案：D ．【小结】无理数的识别方法：（1）定义是判断一个数是不是无理数的重要依据；（2）整数和分数统称为有理数，整数可以看作是分母为1的分数．从这个意义上来说，有理数都可以写成分数的形式，而无理数则不能写成分数（两个整数的商）的形式．2．无理数近似值的确定【例2】 如图所示，要从离地面5 m 的电线杆上的B 处向地面C 处拉一条钢丝绳来固定电线杆，要固定点C 到A 处的距离为3 m ，求钢丝绳BC 的长度(精确到十分位)．分析：这是现实生活中的一个常见问题，解决这个问题首先要用到勾股定理，再利用“夹逼法”估算BC 的长．解：由勾股定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2＝34.当5＜BC ＜6时，25＜BC 2＜36；当5.8＜BC ＜5.9时，33.64＜BC 2＜34.81；当5.83＜BC ＜5.84时，33.988 9＜BC 2＜34.105 6；…故当精确到十分位时，BC 约为5.8 m.【小结】无理数的估算用的是“夹逼法”，要注意掌握其应用特征．估算无理数的近似值，应先确定被估算无理数的整数取值范围；再以较小整数逐步开始加0.1(或以较大整数开始逐步减0.1)，并求其平方确定被估算数的十分位；…；如此继续下去，可以求估算无理数的近似值．注：误差小于0.1与精确到0.1是不同的两个概念．在处理有关问题时要看清要求，再着手处理．3．循环小数化为分数的方法【例3】将无限循环小数0.12••化为分数．解析：设0.12x ••=，则100x =12+0.12••，所以100x -x =12，即99x =12， 所以1299x =． 【小结】利用这种方法可以将任何一个无限循环小数化为分数，从而验证了无限循环小数是有理数．。
北师大版八年级数学上册《认识无理数》精品教案
5.下列各数中，是无理数的为（ ）
A. 3.14
1 B. 3 C. 0.305305530555……
D. 0.4
【解析】选 C.
1
因为 3.14 是小数，
是分数， 0.4是无限循环小数，所以选项 A、B、D
3
都是有理数； 0.305305530555…… 是无限不循环小数，所以是无理数.
七、拓展提高
也是一个无限不循环小数
c
a，b，c 既不是整数，也不是分数，则 a，b，c 一定不是有理数.
活动五：探究无理数的概念
把下列各数表示成小数.
3，4，5 ， 8 ，2 . 5 9 45 11
3=3.0 4 =0.8 5
5 =0.5& - 8 =-0.17&
9
45
2 0.1&8& 11
有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示。反过来，任何有限小数或无限循环小数
二、 探究新知 活动一：拼图实践 将两个边长为 1 的小正方形，剪一剪，拼一拼，设法得到一个大正方形
1
1①
②
1
③
1
④
a
①
③
④
②
设大正方形的边长为 a ，则 a 满足什么条件？
【解析】 因为 S大正方形 =2 所以 a2=2
活动二：感知新数，合理推理它不是有理数 1.满足 a2=2，a 是整数吗？ 因为 a2=2, 而 12=1, 22=4 12<a2<22 , 所以 1＜a＜2，a 不是整数
，
1 3
，π，
0.3，0
中
整数：____0_______ 有理数：__2_2__，-_1__,_0_.3_,_0__
专题2-1 认识无理数+平方根-重难点题型(举一反三)(北师大版)(解析版)
专题2.1 认识无理数+平方根-重难点题型【北师大版】【题型1 无理数的概念】【例1】（2020秋•太平区期末）下列各数：﹣1，π3，1.1212212221…（每两个1之间增加1个2），﹣3.1415，227，﹣0.3⋅，其中无理数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【解题思路】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．【解答过程】解：﹣1是整数，属于有理数；﹣3.1415是有限小数，属于有理数；227是分数，属于有理数； ﹣0.3⋅是循环小数，属于有理数；无理数有π3，1.1212212221…（每两个1之间增加1个2）共2个．【变式1-1】（2020秋•鼓楼区校级月考）在314，π，13，﹣0.23，1.131331333133331…（两个1之间依次多一个3）中，无理数的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解题思路】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答过程】解：在314，π，13，﹣0.23，1.131331333133331…（两个1之间依次多一个3）中，无理数有π，1.131331333133331…（两个1之间依次多一个3），共2个．故选：B ．【变式1-2】（2020秋•张家港市期中）下列一组数：﹣8，2.7，312，π2，−0.6⋅，0，2，0.010010001…（相邻两个1之间依次增加一个0）其中是无理数有（ ）A ．0 个B ．1 个C ．2个D ．3个【解题思路】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答过程】解：﹣8，0，2是整数，属于有理数；2.7是有限小数，属于有理数；312是分数，属于有理数；−0.6⋅是循环小数，属于有理数；无理数有π2，0.010010001…（相邻两个1之间依次增加一个0）共2个． 故选：C ．【变式1-3】（2020秋•梁溪区期中）在−74，1.010010001，833，0，﹣π，﹣2.626626662…，0.1⋅2⋅这七个数中，无理数的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【解题思路】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判【解答过程】解：−74是分数，属于有理数；1.010010001是有限小数，属于有理数；833是分数，属于有理数；0是整数，属于有理数；﹣π是无理数；﹣2.626626662…是无理数；0.1⋅2⋅是循环小数，属于有理数；所以无理数有﹣π，﹣2.626626662…共2个．故选：B ．【题型2 无理数的应用】【例2】（2020春•宁城县期末）如图，在5×5的正方形网格中，以AB 为边画直角△ABC ，使点C 在格点上，且另外两条边长均为无理数，满足这样条件的点C 共 个．【解题思路】画出图形即可就解决问题．【解答过程】解：如图所示，满足条件的点C 有4个．故答案为4．【变式2-1】（2020秋•城阳区校级期末）假设如图的方格纸中，每个小正方形的面积是2，则图中的四条线段中，长度是无理数的有（ ）条．A．1B．2C．3D．4【解题思路】首先利用勾股定理求得AB、CD、EF的长，然后根据无理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答过程】解：AB=√2+2=2，是有理数；CD=√8+8=4，是有理数；EF=√2+8=√10，是无理数．GH＝2√2，是无理数．故选：B．【变式2-2】（2020秋•建邺区期中）下列正方形中，边长为无理数的是（）A．面积为0.25的正方形B．面积为2的正方形C．面积为94的正方形D．面积为16的正方形【解题思路】根据正方形的面积公式以及无理数的定义逐一判断即可．【解答过程】解：A、面积为0.25的正方形，其边长为0.5，是有理数，故本选项不合题意；B、面积为2的正方形，其边长为√2，是无理数，故本选项符合题意；C、面积为94的正方形，其边长为32，是有理数，故本选项不合题意；D、面积为16的正方形，其边长为4，是有理数，故本选项不合题意；故选：B．【变式2-3】公元前500多年前，数学各学派的学者都认为世界上的数只有整数和分数，直到有一天，大数学家毕达哥拉斯的一个名叫希帕索斯的学生，在研究1和2的比例中项时（若1：x＝x：2，那么x叫1和2的比例中项），他怎么也想不出这个比例中项值．后来，他画了一个边长为1的正方形，设对角线为x，于是由毕达哥拉斯定理x2＝12+12＝2，他想x代表对角线的长，而x2＝2，那么x必定是确定的数，这时他又为自己提出了几个问题：（1）x是整数吗？为什么不是？（2）x可能是分数吗？是，能找出来吗？不是，能说出理由吗？亲爱的同学，你能帮他解答这些问题吗？【解题思路】（1）根据比例中项的定义，可知x 2＝2，结合无理数的概念，就能得出x 是不是整数的结论．（2）根据分数的定义，任何分数的平方还是分数，即能得出结论．【解答过程】解：（1）不是，∵1＜2＜4，而x 2＝2∴1＜x 2＜4，若x ＞0，1＜x ＜2，∴在1和2之间不存在另外的整数．（2）不是，因为任何分数的平方不可能是整数．【题型3 平方根的概念及表示】 【例3】（2021春•景县月考）“49的平方根是±23”用数学式子可表示为（ ） A ．√49=±23 B ．√49=23 C ．±√49=±23 D ．−√49=−23 【解题思路】根据一个正数有两个平方根，可得平方根的表示方法．【解答过程】解：±√49=±23，故选：C ．【变式3-1】（2020秋•惠山区校级月考）下列语句正确的是（ ） A ．10的平方根是100B ．100的平方根是10C ．﹣2是﹣4的平方根D ．49的平方根是±23 【解题思路】根据一个正数的平方根有两个，且互为相反数可对A 、B 、D 进行判断；根据负数没有平方根可对C 进行判断．【解答过程】解：A 、10的平方根是±√10，所以A 选项错误；B 、100的平方根是±10，所以B 选项错误；C 、﹣4没有平方根，所以C 选项错误；D 、49的平方根为±23，所以D 选项正确． 故选：D ．【变式3-2】（2020春•潮南区期末）实数1﹣3a有平方根，则a可以取的值为（）A．0B．1C．2D．3【解题思路】根据平方根的性质求出a的范围，从而得出答案．【解答过程】解：∵实数1﹣3a有平方根，∴1﹣3a≥0，解得a≤1 3，故选：A．【变式3-3】（2021•九龙坡区期中）若﹣2x a y与5x3y b的和是单项式，则（a+b）2的平方根是（）A．2B．±2C．4D．±4【解题思路】若﹣2x a y与5x3y b的和是单项式，可知﹣2x a y与5x3y b是同类项，根据同类项的定义求出a，b，再代入计算即可求出答案．【解答过程】解：由题意可知：﹣2x a y与5x3y b是同类项，∴a＝3，b＝1，∴（a+b）2＝（3+1）2＝16，16的平方根是±4．故选：D．【题型4 平方根的性质】【例4】（2021春•阳谷县月考）已知3m﹣1和﹣2m﹣2是某正数a的平方根，则a的值是（）A．3B．64C．3或−15D．64或6425【解题思路】3m﹣1与﹣2m﹣2相等或者互为相反数，分别求出m的值，再求出3m﹣1的值，最后求出a的值．【解答过程】解：根据题意得：3m﹣1＝﹣2m﹣2或3m﹣1+（﹣2m﹣2）＝0，解得：m=−15或3，当m=−15时，3m﹣1=−8 5，∴a=64 25；当m＝3时，3m﹣1＝8，∴a＝64；故选：D．【变式4-1】（2020春•孟村县期中）已知正实数x的两个平方根是m和m+b．（1）当b＝8时，m的值是；（2）若m2x+（m+b）2x＝4，则x＝．【解题思路】（1）利用正实数平方根互为相反数即可求出m的值；（2）利用平方根的定义得到（m+b）2＝x，m2＝x，代入式子m2x+（m+b）2x＝4即可求出x值．【解答过程】解：（1）∵正实数x的平方根是m和m+b∴m+m+b＝0，∵b＝8，∴2m+8＝0∴m＝﹣4；（2）∵正实数x的平方根是m和m+b，∴（m+b）2＝x，m2＝x，∵m2x+（m+b）2x＝4，∴x2+x2＝4，∴x2＝2，∵x＞0，∴x=√2．故答案为：（1）4；（2）√2．【变式4-2】（2020春•高新区校级期中）已知2x﹣y的平方根为±3，﹣4是3x+y的一个平方根，求x﹣y 的平方根．【解题思路】根据平方根的意义可知2x﹣y＝9，3x+9＝16，进而求出x、y的值，代入求出x﹣y的值，最后求出其平方根．【解答过程】解：∵2x﹣y的平方根为±3，∴2x﹣y＝9，又∵﹣4是3x+y的一个平方根，∴3x+y＝16，∴x＝5，y＝1，因此x﹣y＝5﹣1＝4，所以4的平方根为±2，答：x﹣y的平方根为±2．【变式4-3】（2021春•东城区校级期中）已知正实数x的平方根是n和n+a（a＞0）．（1）当a＝6时，求n的值；（2）若n2+（n+a）2＝8，求a﹣n的平方根．【解题思路】（1）利用正实数平方根互为相反数即可求出a的值；（2）利用平方根的定义得到（n+a）2＝x，a2＝x，代入式子n2x2+（n+a）2x2＝10即可求出x值．【解答过程】解：（1）∵正实数x的平方根是n和n+a，∴n+n+a＝0，∵a＝6，∴2n+6＝0∴n＝﹣3；（2）∵正实数x的平方根是n和n+a，∴（n+a）2＝x，n2＝x，∵n2+（n+a）2＝8，∴x+x＝8，∴x＝4，∴n＝﹣2，n+a＝2，即a＝4，∴a﹣n＝6，a﹣n的平方根是±√6．【题型5 利用开平方解方程】【例5】（2021春•巴楚县月考）求下列各式中x的值：（1）x2﹣5=4 9；（2）3x2﹣15＝0；（3）2（x+1）2＝128．【解题思路】（1）移项后合并同类项，再开方即可；（2）先移项，方程两边除以3，再开方即可；（3）方程两边除以2，再开方即可．【解答过程】解：（1）x2﹣5=4 9，x2=49 9，x=±√49 9，x1=73，x2=−73；（2）3x2﹣15＝0，3x2＝15，x2＝5，x=±√5；（3）2（x+1）2＝128，（x+1）2＝64，x+1＝±8，x1＝﹣9；x2＝7．【变式5-1】（2021春•岷县月考）求下列各式中x的值．（1）（2x﹣1）2＝25．（2）x2−12149=0．【解题思路】（1）根据平方根的定义求解即可；（2）先移项，再根据平方根的定义求解即可．【解答过程】解：（1）∵（2x﹣1）2＝25，∴2x﹣1＝5或2x﹣1＝﹣5，∴x＝3或x＝﹣2．（2）∵x2−12149=0，∴x2=121 49，∴x =117或x =−117． 【变式5-2】（2020秋•甘州区校级期中）求满足下列各式的未知数x ．（1）（x ﹣1）2﹣49＝0；（2）18(x −2)2−8＝0． 【解题思路】（1）根据平方根的定义进行求解即可得出答案；（2）先把要求的式子化成（x ﹣2）2＝64，再根据平方根的定义进行求解即可．【解答过程】解：（1）∵（x ﹣1）2﹣49＝0，∴（x ﹣1）2＝49，∴x ﹣1＝±7，∴x 1＝8，x 2＝﹣6．（2）∵18(x −2)2−8＝0， ∴18(x −2)2=8， ∴（x ﹣2）2＝64，∴x ﹣2＝±8，∴x 1＝10，x 2＝﹣6．【变式5-3】（2020春•中山区期末）定义：等号两边都是整式，只含有⼀个未知数，且未知数的最高次数是2的⼀程，叫做⼀元⼀次⼀程．如x 2＝9，（x ﹣2）2＝4，3x 2+2x ﹣1＝0…都是⼀元⼀次⼀程．根据平⼀根的特征，可以将形如x 2＝a （a ≥0）的⼀元⼀次⼀程转化为⼀元⼀次⼀程求解．如：解方程x 2＝9的思路是：由x ＝±√9，可得x 1＝3，x 2＝﹣3．解决问题：（1）解方程（x ﹣2）2＝4．解：∵x ﹣2＝±√4，∴x ﹣2＝2，或x ﹣2＝ ．∴x 1＝4，x 2＝ ．（2）解方程：（3x ﹣1）2﹣25＝0．【解题思路】根据例题运用平方根解一元二次方程的方法解答即可．【解答过程】解：（1）∵x ﹣2＝±√4，∴x ﹣2＝2，或x ﹣2＝﹣2．∴x 1＝4，x 2＝0．（2）∵（3x ﹣1）2﹣25＝0∴（3x ﹣1）2＝25，∴3x ﹣1＝±√25，∴3x ﹣1＝5，或3x ﹣1＝﹣5．∴x 1＝2，x 2=−43．故答案为：﹣2，0．【题型6 算术平方根的概念】【例6】（2021春•红桥区期中）√8116的算术平方根是 ． 【解题思路】直接利用算术平方根的定义得出答案．【解答过程】解：∵√8116=94， ∴√8116的算术平方根是：32． 故答案为：32． 【变式6-1】（2021春•郧西县月考）下列说法正确的是（ ） A ．﹣4是（﹣4）2的算术平方根B ．±4是（﹣4）2的算术平方根C ．√16的平方根是﹣2D ．﹣2是√16的一个平方根【解题思路】根据算术平方根、平方根的定义求解判断即可．【解答过程】解：A ，﹣4是（﹣4）2的负的平方根，故此说法不符合题意；B ，±4是（﹣4）2的平方根，故此说法不符合题意；C ，√16的平方根是±2，故此说法不符合题意；D ，﹣2是√16的一个平方根，故此说法符合题意；故选：D ．【变式6-2】（2021春•巴南区期中）已知√99225=315，√x=3.15，则x＝（）A．9.9225B．0.99225C．0.099225D．0.0099225【解题思路】直接利用平方根的定义将原式变形得出答案．【解答过程】解：∵√99225=315，∴√9.9225×10000=√9.9225×√10000=3.15×100，∵√x=3.15，∴x＝9.9225，故选：A．【变式6-3】（2020秋•玄武区期末）若方程（x﹣1）2＝5的解分别为a，b，且a＞b，下列说法正确的是（）A．a是5的平方根B．b是5的平方根C．a﹣1是5的算术平方根D．b﹣1是5的算术平方根【解题思路】根据平方根和算术平方根的定义逐一判断即可．【解答过程】解：若方程（x﹣1）2＝5的解分别为a，b，且a＞b，则a﹣1是5的算术平方根．故选：C．【题型7 算术平方根的非负性】【例7】（2021春•安宁市校级期中）若√x−1+（y+2）2＝0，则（x+y）2021等于．【解题思路】利用非负数的性质求出x与y的值，代入原式计算即可求出值．【解答过程】解：∵√x−1+（y+2）2＝0，∴x﹣1＝0，y+2＝0，解得：x＝1，y＝﹣2，则原式＝（1﹣2）2021＝（﹣1）2021＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】此题考查了非负数的性质：算术平方根，以及偶次方，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．【变式7-1】（2021春•浦东新区月考）若√x−1与|2x+y﹣6|互为相反数，则（x+y）2的平方根是．【解题思路】根据互为相反数的两个数的和等于0列方程，再根据非负数的性质列方程求出x 、y 的值，然后代入代数式求解，再根据平方根的定义解答．【解答过程】解：∵√x −1与|2x +y ﹣6|互为相反数，∴√x −1+|2x +y ﹣6|＝0，∴{x −1=02x +y −6=0， 解得{x =1y =4， ∴（x +y ）2＝（1+4）2＝25，∴（x +y ）2的平方根是±5．故答案为：±5．【点评】本题考查了平方根以及非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．【变式7-2】（2021春•海淀区校级期中）当x ＝ 时，代数式√x −2+1取最小值为 ．【解题思路】直接利用非负数的性质得出x 的值，进而得出答案．【解答过程】解：∵代数式√x −2+1取最小值，∴x ﹣2＝0，解得：x ＝2，故当x ＝2时，代数式√x −2+1取最小值为：1．故答案为：2，1．【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确得出x 的值是解题关键．【变式7-3】（2021春•蜀山区校级期中）若a ，b ，c 为实数，且|a +1|+√b −1+（c ﹣1）2＝0，则（abc ）2021的值是（ ）A ．0B ．1C ．﹣1D ．±1 【解题思路】利用非负数的性质，以及绝对值的代数意义求出a ，b ，c 的值，代入原式计算即可得到结果．【解答过程】解：∵a ，b ，c 为实数，且|a +1|+√b −1+（c ﹣1）2＝0，∴a +1＝0，b ﹣1＝0，c ﹣1＝0，解得a ＝﹣1，b ＝1，c ＝1，∴（abc ）2021＝（﹣1）2021＝﹣1．故选：C ．【点评】本题主要考查的是非负数的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．【题型8 算术平方根的应用】【例8】（2021春•武昌区期中）如图，用两个边长为5cm的小正方形拼成一个大的正方形．（1）求大正方形的边长；（2）若沿此大正方形边长的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为4：3，且面积为48cm2？【解题思路】（1）根据已知正方形的面积求出大正方形的边长即可；（2）先求出长方形的边长，再判断即可．【解答过程】解：（1）大正方形的边长是√2×52=5√2（cm）；（2）设长方形纸片的长为4xcm，宽为3xcm，则4x•3x＝48，解得：x=√4cm＝2（cm），4x＝8cm＞5√2cm，所以沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，不能使剪出的长方形纸片的长宽之比为4：3，且面积为48cm2．【变式8-1】（2021春•越秀区校级期中）如图，有一个面积为400cm2的正方形．（1）正方形的边长是多少？（2）若沿此正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为5：4，且面积为360cm2？若能，试求出剪出的长方形纸片的长与宽；若不能，试说明．【解题思路】（1）根据正方形的面积等于边长乘以边长．利用算术平方根的意义进行计算．（2）先求出长方形的边长，再判断即可．【解答过程】解：（1）∵正方形的面积为400cm2，∴正方形的边长是√400=20（cm2）；（2）设长方形纸片的长为5xcm，宽为4xcm，则5x•4x＝360，解得：x=√40，5x＝5√40=√1000＞20，所以沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，不能使剪出的长方形纸片的长宽之比为5：4，且面积为360cm2．【变式8-2】（2021春•天心区月考）某市在招商引资期间，把已倒闭的油泵厂出租给外地某投资商，该投资商为减少固定资产投资，将原来的400m2的正方形场地改建成300m2的长方形场地，且其长、宽的比为5：3．（1）求原来正方形场地的周长．（2）如果把原来的正方形场地的铁栅栏围墙全部利用，围成新场地的长方形围墙，那么这些铁栅栏是否够用？试利用所学知识说明理由．【解题思路】（1）正方形边长＝面积的算术平方根，周长＝边长×4，由此解答即可；（2）长、宽的比为5：3，设这个长方形场地宽为3am，则长为5am，计算出长方形的长与宽可知长方形周长，同理可得正方形的周长，比较大小可知是否够用．【解答过程】解：（1）√400=20（m），4×20＝80（m），答：原来正方形场地的周长为80m．（2）设这个长方形场地宽为3am，则长为5am．由题意有：3a×5a＝300，解得：a=±√20，∵3a表示长度，∴a＞0，∴a=√20，∴这个长方形场地的周长为2(3a+5a)=16a=16√20（m），∵80=16×5=16×√25＞16√20，∴这些铁栅栏够用．答：这些铁栅栏够用．【变式8-3】（2021春•江岸区期中）列方程解应用题小丽给了小明一张长方形的纸片，告诉他，纸片的长宽之比为3：2，纸片面积为294cm2．（1）请你帮小明求出纸片的周长．（2）小明想利用这张纸片裁出一张面积为157cm2的完整圆形纸片，他能够裁出想要的圆形纸片吗？请说明理由．（π取3.14）【解题思路】（1）设长方形纸片的长为3xcm，宽为2xcm．依题意得出方程3x•2x＝294，求出长方形的长和宽，即可求出周长．（2）计算出圆的半径，再与宽的一半作比较即可解答．【解答过程】解：设长方形纸片的长为3xcm，宽为2xcm．依题意，3x•2x＝294，6x2＝294，x2＝49，x＝±7，∵x＞0，∴x＝7，∴长方形的纸片的长为21厘米，宽为14厘米，（21+14）×2＝70厘米．答：纸片的周长是70厘米．（2）设圆形纸片的半径为r，S＝πr2＝157，r2＝50，由于长方形纸片的宽为14厘米，则圆形纸片的半径最大为7，72＝49＜50，所以不能出想要的圆形纸片．。
《认识无理数》实数PPT教学课件
画一画（2）
在下面在正方形网格中画出四个三角形
1．三边长都是有理数
2．只有两边长是有理数
3．只有一边长是有理数
4．三边长都不是有理数
仿一仿
例：在数轴上表示满足
x2 2的
x 0
x
仿：在数轴上表示满足x2 5 x 0 的 x
赛一赛
下图是由五个单位正方形组成的纸片，
①②③⑤⑥
④⑦
⑦π+1, 其中有理数是______________，无理数是___________
5.观察图形，回答问题：
（1）x,y,z,w中，哪些是有理数，哪些是无理数？x2,y2,z2,w2的值分别是多少？
（2）根据你发现的斜边长度的表示规律，求出第n次作出的斜边长度的平方。
解：（1）因为图中的三角形都是直角三角形，由勾股定理得
x2=12+12=2,y2=2+12=3,z2=3+12=4,w2=4+12=5.
所以z是有理数，x,y,w是无理数；
（2）根据以上规律，第n次做出的斜边长度的平方是n+1.
6.
7.
课堂小结
1.掌握无理数的定义.
2.数的分类.（按小数的形式来分）
3.会判定一个数是无理数还是有理数.
4.会求一个无理数的近似值。
当3.6＜a＜3.7时，12.96＜a2＜13.69
∴a的十分位是6；
当3.60＜a＜3.61时，12.96＜a2＜13.032；
∴a的百分位是0；
当3.605＜a＜3.606时，12.996025＜a2＜13.003236，
∴a的千分位是5.
∴a≈3.61.
练一练
4
典例精析知识点典例_无理数
有理数与无理数的区别 事实上，有理数总可以用有限小数或无限循环小数 来表示；反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是 有理数． 如3可看做3.0这样的有限小数，也可以化为 1 这样的
【例2】 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
3.141
ห้องสมุดไป่ตู้
592
6，－
4 3
，2.58，6.751
755
175
551
7…(相邻7，
1之间5的个数逐次加1)，0，22 7
，－5.2
3，－
2
．
分析：有理数指有限小数或无限循环小数，整数和
分数都是有理数，无理数指无限不循环小数．
解：有理数有：3.141 592 6，－ 4 ，2.58，0，22 ，
3
7
－5.2 3 ；
无理数有：6.751 755 175 551 7…(相邻7，1之间5的
个数逐次加1)，－ ．
2
3 分数形式；无限循环小数都可以化为分数，如：3.14可化 为3 7 ．
50
有理数与无理数的主要区别： ①无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或 无限循环小数； ②任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理 数不能．
无理数的常见类型 判断一个数是不是无理数，关键就是看它能不能写成无限不 循环的小数，无理数常见的形式主要有三种： （1）一般的无限不循环小数，如1.414 213 56…是无理数． 看似循环而实质不循环的小数，如0.101 001 0001…（相邻两 个1之间0的个数逐次增加1）是无理数． （2）圆周率π以及含π的数，如π，2π，π＋5，都是无理数． （3）开方开不尽的数（下一节学到）．
无理数的认识
01
02
03
04
无限不循环： 无理数是无限 不循环的小数， 无法用分数表 示。
稠密性：无理 数在实数轴上 稠密分布，即 任意两个有理 数之间都存在 无理数。
连续性：无理 数在实数轴上 连续分布，即 任意两个无理 数之间都存在 其他无理数。
非代数性：无 理数不能通过 四则运算和开 方运算得到， 即无理数不是 代数数。
02
无理数在数学中广 泛应用，理解无理 数有助于学生解决 实际问题，提高数 学应用能力。
03
04
无理数是数学思维 的重要体现，理解 无理数有助于培养 学生的逻辑思维能 力和抽象思维能力。
无理数在数学教育 中具有重要意义， 理解无理数有助于 学生认识数学的严 谨性和科学性，提 高数学素养。
03
提高学生的数学素养和数 学应用能力
02
帮助学生理解数学的抽象 性和严谨性
04
激发学生对数学的兴趣和 探索精神
01
无理数是初中数学的重要内容
03
无理数的概念、性质和运算是中考数学的 必考知识点
02
中考数学试卷中，无理数相关的题目占比 较大
04
掌握无理数的相关知识，有助于提高中考 数学成绩
01
无理数是数学中的 基本概念，理解无 理数有助于学生掌 握数学的基本原理 和规律。
05
根号5：用于计算正五边形的边长等
0 2 自然对数的底e：用于计算指数函数、 对数函数等
根号3：用于计算直角三角形的斜边 长度等
04
0 6 根 号 7 ： 用于计算正七 边形的边长等
01
计算机科学中的数值计算：无理数在计算机科学中的数值 计算中发挥着重要作用，例如在数值分析、科学计算等领
典例精析知识点典例_估计数值的大小
重难点典例剖析
1．估计数值的大小 难点突破：第一步应确定被估算数的整数取值范围； 第二步以较小整数逐步开始加0.1(或以较大整数逐步开始 减0.1)，并求其平方，确定被估算数的十分位；…；如此 继续下去，可以求出其为x，请你回答下列问题． （1）x的整数部分是多少？ （2）把x的值精确到十分位是多少？精确到百分位呢？ （3）x是有理数吗？请简要说明理由．
x≈2.65． （3）x不是有理数．因为没有一个整数的平方等于
7，也没有一个分数的平方等于7，另由计算可知，x是 无限不循环小数．
释疑点 如何四舍五入 利用四舍五入法取近似值时要比精确到的位数多 考查一位．
解：令正方形的面积为S，则S＝x²＝7， 当2＜x＜3时，4＜x²＜9， 当2.6＜x＜2.7时，6.76＜x²＜7.29； 当2.64＜x＜2.65时，6.969 6＜x²＜7.022 5； 当2.645＜x＜2.646时，6.996 025＜x²＜7.001 316； …
则有： （1）x的整数部分为2. （2）精确到十分位时，x≈2.6，精确到百分位时，
北师大版八年级数学上册2.1《认识无理数》教案
1.理论介绍：首先，我们要了解无理数的基本概念。无理数是无限不循环小数，它们不能表示为两个整数的比。无理数在数学中具有重要地位，如π、e等，它们在科学计算和现实生活中有着广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。以π为例，讲解其在计算圆周长、面积等实际中的应用，以及如何帮助我们解决问题。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“无理数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调无理数的定义和性质这两个重点。对于难点部分，如无限不循环小数的理解，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与无理数相关的实际问题，如π的应用、无理数的估算等。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如用正方形模型估算√2的值。
学生小组讨论后，大家分享的成果让我看到了他们的思考过程。但我也发现，部分学生在解释无理数的应用时，还存在一些误区。这提醒我在今后的教学中，要更加关注学生对知识点的理解和掌握情况，及时纠正他们的错误。
总的来说，这次教学让我认识到，要在教学中关注每个学生的个体差异，充分调动他们的积极性。同时，针对难点和易错点，需要采用更多直观、生动的方法进行讲解，帮助学生真正理解无理数的概念。在今后的教学中，我会不断改进教学方法，努力提高教学效果。
北师大版 初中数学八年级上册第二章《2.1认识无理数》教案
北师大版数学八年级上册《认识无理数》教案教学目标：1．借助计算器探索无理数是无限不循环小数,并从中体会无限逼近的思想.探索无理数与有理数的区别，并能辨别出一个数是无理数还是有理数．2.通过学生活动准确认识到有理数都可以划成有限小数和无限循环小数，发展学生的抽象概括能力. 3．让学生理解估算的意义，掌握估算的方法，同时发展学生的估算能力，在数学活动发挥学生的积极作调学生参与数学问题的积极性，培养学生的合作精神. 教学重点与难点：重点：无理数概念的建立过程；了解无理数与有理数的区别，并能正确判断.难点：无理数概念的建立及估算；会判断一个数是无理数还是有理数，有理数与无理数的区别．教法与学法指导：本节课是在上一节课对无理数定性分析的基础上，借助于计算器，采用估算等方法，对无理数的产生进行定性的研究.在教学中要强调让学生探究概念形成的过程，鼓励学生自主探索与合作交流，以学生自主探索为主，并强调小组之间的合作与交流，强化应用意识，培养学生多方面的能力.学生要借助工具多动手、动口、动脑，自主探究，提高学习的兴趣，进一步体会数学的地位和作用. 课前准备:多媒体课件、计算器. 教学过程：一、创设情境，导入新课教师：同学们还记得有理数是如何分类的吗？教师：很好！上节课我们了解到一些数，如a 2=2，b 2=5中的a ，b 既不是整数，也不是分数，那么它们究竟是什么数呢？本节课我们就来探究这些数的真面目．设计意图：通过这些问题让学生发现有理数不够用了，这些数既不是整数，也不是分数，激发学生的求知欲，去揭示它的真面目.实际效果：激发学生的好奇心和求知欲，吸引学生注意力，引出本节课题“数怎么又不够用了”. 二、合作探究，发现新知探究一：计算器探索面积为2的正方形的边长a ．（课件展示） 教师：大家还记的我们上节课是怎样得到面积为2的正方形的吗？学生：有理数 整数（如-1，0，2，3，…):都可看成有限小数.分数 (如-13，25，911，… )：可不可能都化成有限小数或无限小数?学生：把两个边长为1的小正方形，通过剪切、拼图拼成一个大的正方形，它的面积就是2.教师：面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢？你能不能估计大正方形的边长a在什么范围内？学生：（观察课件后回答）通过图形可以看出1＜a＜2.因为12=1，22=4，而a的平方等于2，所以1＜a＜2.教师：非常好！既然1＜a＜2，那么a是1点几呢？为什么？学生：（探究后回答）1.4＜a＜1.5．因为1.42=1.96，1.52=2.25，而a的平方等于2，所以1.4＜a＜1.5．教师：你能精确到它的百分位吗？千分位呢？万分位呢？下面给大家几分钟的时间，借助计算器进行探索.（学生小组合作，探索交流）教师：谁能说一下小组探索的结果？学生：a=1.4142．教师：恰好是1.4142吗？学生：约等于1.4142，在1.4142与1.4143之间.教师：还有几位小数？学生：无数位.它是一个无限小数.教师：对，大家可以看一下小明同学的探索过程.（展示课件）边长a面积S1＜a＜2 1＜S＜41.4＜ a＜1.5 1.96＜S＜2.251.41＜ a＜1.42 1.9881＜S＜2.01641.414＜ a＜1.415 1.999396＜S＜2.0022251.4142＜a＜1.4143 1.99996164＜S＜2.00024449教师：如果继续探索下去，你会有什么发现？学生：这个数是无限小数而且不循环.教师：对，事实上，它是一个无限不循环小数.探究二：计算器探索面积为5的正方形的边长b（课件展示）教师：模仿上一个探索过程，你能探索面积为5的正方形的边长b吗？如果能，把探究的结果填入下表.边长b面积S保留整数＜b ＜＜S ＜保留十分位＜ b ＜＜S ＜学生：（小组合作，交流探索）把探究结果填入表格. 教师：谁能说一下你能得到什么结论？学生：b =2.23606…，它也是一个无限不循环小数.教师：同学们探索的非常好. 模仿刚才的探索方法，我们也可以探索体积为2的正方体的棱长.借助计算器，可以得到它的棱长为1.25992105…，它也是一个无限不循环小数.设计意图：借助计算器探索出a =1.41421356…，b =2.2360679…，是一个无限不循环小数，并从中感受无限逼近的数学思想.实际效果：通过探究让学生真切感受到无理数确实是无限不循环的，为无理数概念打下基础. 议一议（课件展示）：把下列有理数表示成小数，你发现了什么？ 3，45，59，845，211． 学生1：3=3.0，54=0.8，95=•5.0，•=71.0458，••=818.1112．学生2：我发现3，54是有限小数，112,458,95是无限循环小数．教师：好！上面这些数都是有理数，所以有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示.反过来，任何有限小数或无限循环小数都是有理数.像1.41421356…，2.2360679…等这些数的小数位数都是无限的，但是又不是循环的,是无限不循环小数.你能给这类数取个名字吗？生：无理数.教师：很好，哪位同学给无理数下个定义？ 学生：无理数就是无限不循环小数.教师：好，圆周率π=3，14159265…也是一个无限不循环小数,目前π值已精确计算到了将近65亿位，但是仍然不是一个精确的数值.故π是无理数.像上面研究过的a 2=2，b 2=5中的a ，b 是无限不循环小数都是无理数．教师：理解无理数的概念一定要抓住哪两方面？ 学生：一是无限小数；二是不循环小数．教师：同学们一定要抓住这两点，只要有一点不符合，它就不是无理数.你能举出其他的无理数例子吗？保留百分位 ＜ b ＜ ＜ S ＜ 保留千分位 ＜ b ＜ ＜ S ＜ 保留万分位＜ b ＜＜ S ＜学生：(学生踊跃的)1.2345678987…，2π等等. 教师：无理数多不多？ 学生：多．教师：在我们生活中除了π以外，还有非常多的无理数.下面我们看例1，你能分清有理数和无理数吗？ 设计意图：通过学生的活动与探究，得出无理数的概念.教学效果：通过师生互动的教学活动，既培养学生独立思考与小组合作讨论的能力，又感受到无理数存在的必然性,建立了无理数的概念.三、例题示范，应用概念 （课件展示）例1 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？3.14，34-，••75.0，0.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)，-π．学生：有理数有3.14，34-，••75.0；无理数有0.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1), -π.教师：回答得很好，大家鼓励一下.只要你抓住了无理数的两个特征，你就能把它识别出来. 跟踪练习： 1．填空:0.351，π+1，.68.4，23-, 3.14159, -5.2323332…, -3π ，1.234567891011…(由相继的正整数组成).有理数有： ； 无理数有： ． 2．判断下列说法是否正确:(1)有限小数是有理数； （ ） (2)无限小数都是无理数； （ ） (3)无理数都是无限小数； （ ） (4)有理数是有限小数. （ ） 教师强调:1．无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数． 2．任何一个有理数都可以化成分数形式，而无理数则不能．例2 （1）设面积为10的正方形的边长为x ，x 是有理数吗？说说你的理由． (2)估计x 的值（结果精确到0.1），并用计算器验证你的估计． （3）如果结果精确到百分位呢？解：(1)由题意得x2=10，因为32=9，42=16，而 32 <x2<42．故3<x<4，所以x不是整数，没有一个分数的平方等于10，所以x不是分数．因为x即不是整数也不是分数，故x不是有理数．(2) 估计x≈3.2．(3) x≈3.16．设计意图：通过例1及练习的讲解，让学生充分理解无理数、有理数的概念、区别，感受数的分类，培养学生总结归纳的能力.而例2属于数的估算.，进一步发展学生的思维判断能力.实际效果：通过师生的共同探究，形成对中学阶段数的系统认识，提高了总结归纳能力.四、课堂总结，盘点收获教师：通过本节课的学习你有哪些收获呢？你还存在疑问吗？学生：我的主要收获是认识了无理数，并且能把无理数与有理数区别开.有理数包括整数和分数，能够化成有限小数或者是无限循环小数,而无理数是无限不循环小数.教师：还有要补充的吗？学生：我还学会了π是无理数以及利用估算的方法探索无理数的范围.教师：大家总结的很全面.以后我们还会学到很多关于无理数的知识,希望同学们继续努力.设计意图：让学生学会及时对知识点、数学方法进行总结，并整理成经验，形成良好的学习习惯，提高学生的归纳总结能力，进一步发展学生的思维判断能力。
初二年级上册数学第2章01认识无理数 知识梳理与易错剖析
第二章实数1认识无理数知识点一非有理数的存在精练版P9整数和分数统称为有理数．随着研究的深入，人们发现了不是有理数的数，比如面积为5的正方形的边长，设该正方形的边长为x，则x2＝5，这里x既不是整数，也不是分数，也就是说没有一个有理数的平方是5，现实生活中存在着大量的不是有理数的数．例1以下各正方形的边长不是有理数的是()A．面积为49的正方形B．面积为916的正方形C．面积为8的正方形D．面积为1.21的正方形解析：可设边长为a(a＞0)，由A项得a2＝49，49＝72，所以a＝7；由B项得a2＝916，而916＝，所以a＝34；由D项得a2＝1.21，而1.21＝1.12，所以a＝1.1；由C项得a2＝8，8不能写成一个整数或分数的平方．答案：C知识点二估计数值的大小精练版P9用x表示正方形的边长，若x2＝2，则x既不是整数，也不是分数，我们可以用无限逼近的方法估计x的值，从而求出x的近似值．方法：因为1＜2＜4，所以1＜x＜2，即x的整数位是1.又因为1.42＝1.96，1.52＝2.25.而2在1.42与1.52之间，所以x的十分位上的数是4，用同样的方法可以确定其他数位上的数．例2已知直角三角形的两直角边长分别是9cm和5cm，斜边长是x cm.(1)估计x在哪两个整数之间．(2)如果把x的结果精确到十分位，估计x的值．如果精确到百分位呢？用计算器验证你的估计值．解析：此题首先根据勾股定理求出x2，再看x2的值介于哪两个完全平方数之间，其他数位依次类推．解：根据条件，得x2＝92＋52＝106.(1)因为100＜106＜121，所以100＜x2＜121，所以10＜x＜11，即x在整数10和11之间．(2)因为10.292＝105.8841，10.302＝106.09，所以10.292＜106＜10.302，所以精确到十分位时，x ≈10.3.又因为10.2952＝105.987025，10.2962＝106.007616，所以10.2952＜106＜10.2962，所以10.2952＜x2＜10.2962，所以精确到百分位时，x≈10.30.注意：本题采用了无限逼近的方法，即将x的范围逐渐缩小，使得x2越来越接近某个数，渗透了用有理数近似地表示无理数的思想．知识点三无理数的概念精练版P9无限不循环小数称为无理数．例如，圆周率π＝3.14159265…是一个无限不循环小数，因此它是一个无理数．再如，0.989889888988889…(相邻两个9之间8的个数逐次加1)也是无理数．温馨提示：(1)无理数是一种与有理数不同的数，要区分“无限不循环小数”与“无限循环小数”的差别，前者不能化为分数，后者可以化为分数．事实上，有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示．反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数．(2)小数的分类：小数有限小数——无理数例3227，0.2·03·，－π7，2.3131131113，－0.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)中无理数的个数是()A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个解析：－π7，－0.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)是无理数，227，0.2·03·，2.3131131113是有理数．答案：A注意：π是无限不循环小数，是无理数，－π7不是分数，是一个无理数．易错点错把π当成有理数，把无限循环小数当成无理数π是无理数，无理数除以非零有理数仍是无理数，无限循环小数为有理数，区别有理数与无理数时，应注意观察所给的数据．例4下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？0．1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)，－119180，345.202·，π2.解：有理数：－119180，345.202·；无理数：0.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)，π2.注意：学生很容易把π2看成有理数，以为它是分数，事实上，它是一个无理数．也很容易把345.202·看成无理数，错误原因是对无理数的概念认识不清，误以为无限小数都是无理数，事实上，只有无限小数中的无限不循环小数才是无理数．。
认识无理数课件
其他生活场景中无理数现象
在金融领域，无理数也经常出 现。例如，股票价格、汇率等 金融数据经常以小数形式表示 ，并且可能包含无限不循环的 小数部分，因此是无理数。
在音乐中，音高和音程可以用 频率来表示。这些频率值往往 是无理数，因为音乐的和谐性 要求精确的音高比例。
在物理学中，许多常数和公式 涉及到无理数。例如，圆周率π 是一个典型的无理数，它在计 算圆的周长、面积等时经常出 现。
03
忽视无理数的运算 规则
在进行无理数的运算时，需要注 意运算顺序和运算法则，避免出 现计算错误。
拓展延伸：无理数在数学领域更深层次应用
无理数与几何学
在几何学中，无理数常常出现在与 长度、面积和体积相关的计算中，
如勾股定理中的斜边长度等。
无理数与数学分析
在数学分析中，无理数的存在 对于极限、连续性和可微性等 概念的研究具有重要影响。
无理数与代数学
在代数学中，无理数是实数域的一 个重要组成部分，对于方程的求解 和函数的性质研究具有重要意义。
无理数与概率论
在概率论中，无理数可以作为 随机变量的取值，参与概率分
布和期望等统计量的计算。
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无理数的判别方法
通过开方、求根、三角函数等特殊运算产生的数 ，若无法化简为有理数形式，则可判定为无理数 。
易错难点剖析指导
01
误将无限循环小数 当作无理数
无限循环小数是有理数的一种形 式，可以表示为两个整数的比值， 因此不是无理数。
02
误将带根号的数当 作无理数
带根号的数不一定是无理数，例 如√4=2是有理数。需要判断开 方后是否能得到有理数。
在几何图形中，通过构造符合黄金分割比例的线段或图形，可以创造出
认识无理数与平方根(方法大全)
认识无理数一、无理数的探索例1 在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=1，AB=2，试解决下列问题：（1） 求BC ²的值；（2）请思考：BC 是个什么样的数字？会是有理数吗？ 例2 已知直角三角形的两条直角边分别为9和5，斜边长为x 。
（1）估计x 在哪两个整数之间；（2）如果把x 的结果精确到十分位，估计x 的值；如果精确到百分位呢？随堂练习一1、 已知等边三角形的边长为2，高为h ，请问：h 可能为整数吗？可能为分数吗？2、 长、宽分别是2和3，它的对角线可能为正数吗？可能为分数吗？3、 已知直角三角形的两条直角边分别为3和5，它的斜边可能为整数吗？可能为分数吗？二、无理数的概念例3下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？0.351，－••69.4,32，3.14159，－5.2323332…，123456789101112…(由相继的正整数组成).在下列每一个圈里，至少填入三个适当的数.例4 以下各正方形的边长是无理数的是（ ） A 、面积为25的正方形； B 、 面积为254的正方形； C 、 面积为8的正方形； D 、面积为1.44的正方形.随堂练习二1、说说谁“有理”，谁“无理”以下各数：－1,23,3.14,－π,3.⋅3,0,2,27,24,－0.2020020002……(相邻两个2之间0的个数逐次加1)其中，是有理数的是_____________，是无理数的是_______________. 在上面的有理数中，分数有______________，整数有______________.2、请你辨别：如图1是面积分别为1,2,3,4,5,6,7,8,9的正方形图1边长是有理数的正方形有________个，边长是无理数的正方形有________个. 3、请你算一算：在某项工程中，需要一块面积为3平方米的正方形钢板.应该如何划线、下料呢？要解决这个问题，必须首先求出正方形的边长，那么，请你算一算： （1）如果精确到十分位，正方形的边长是多少？ （2）如果精确到百分位呢？巩固练习1、下列数中是无理数的是（ ）A 、0.12••32B 、2π C 、0 D 、722 2、下列说法中正确的是（ ）A 、不循环小数是无理数B 、分数不是有理数C 、有理数都是有限小数D 、3.1415926是有理数 3、下列语句正确的是（ ）A 、3.78788788878888是无理数B 、无理数分正无理数、零、负无理数C 、无限小数不能化成分数D 、无限不循环小数是无理数 4、在直角△ABC 中，∠C =90°，AC =23，BC =2，则AB 为（ ） A 、整数 B 、分数 C 、无理数 D 、不能确定 5、面积为6的长方形，长是宽的2倍，则宽为（ ）A 、小数B 、分数C 、无理数D 、不能确定6、在0.351，－32，4.969696…,6.751755175551…,0,－5.2333,5.411010010001…中，无理数的个数有______.7、______小数或______小数是有理数，______小数是无理数.8、x 2=8,则x ______分数，______整数，______有理数.(填“是”或“不是”) 9、面积为3的正方形的边长______有理数；面积为4的正方形的边长______有理数.(填“是”或“不是”)10、一个高为2米，宽为1米的大门，对角线大约是______米(精确到0.01).11、已知：在数－43，－••24.1,π,3.1416,32,0,42,(－1)2n,－1.424224222…中，（1）写出所有有理数；（2）写出所有无理数；（3）把这些数按由小到大的顺序排列起来，并用符号“<”连接.12、如图，在△ABC 中，CD ⊥AB ，垂足为D ，AC =6，AD =5，问：CD 可能是整数吗？可能是分数吗？可能是有理数吗？13、设面积为5π的圆的半径为y ，请回答下列问题： （1）y 是有理数吗？请说明你的理由； （2）估计y 的值（结果精确到十分位），并用计算器验证你的估计.平方根一、算术平方根课前热身0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 算术平方根121 144 169 196 225 256 289 324 361 400 算术平方根典型例题分析例1 求下列各数的算术平方根 （1）900 （2）1 （3）6449（4）14 （5）7例281的算术平方根为_________，04.0=_________例3 下列结果错误的有（ ）① 2)2(2±=-； ② 16的算术平方根是4； ③ 4112的算术平方根是27； ④ 2()π-的算术平方根是π A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 例4、下列语句写成式子正确的是（ ）A 、7是49的算术平方根，即749±=；B 、7是2)7(-的算术平方根，即7)7(2=-； C 、7±是49的平方根，即749=± D 、7是7的算术平方根，即77=随堂练习三1、若一个数的算术平方根是7，那么这个数是 ；2、9的算术平方根是 ；2)32(的算术平方根是 ； 3、若22=+m ，则2)2(+m = ． 4、求下列各数的算术平方根： （1）36；（2）144121；（3）15；（4）0.64；（5）410-；（6）0)65(；（7）0；（8）—4；5、计算（1）81； （2）225； （3）4925 （4）-169二、平方根典型例题分析例1 求下列各数的平方根： （1）64 ； （2）;12149 （3）0.0004 ; （4）（();252- （5）11．例2 .判断下列各数是否有平方根？并说明理由.(1)(－3)2； (2)0； (3)－0.01； (4)－52； (5)－a 2；(6) 7例3 计算：(64)2= ；(12149)2= ；(2.7)2= 。
《认识无理数》word教案 (公开课)2022年北师大版 (9)
2.1 认识无理数本节课的教学目标是:1．借助计算器探索无理数是无限不循环小数，借助计算器进行估算，培养学生的估算能力，开展学生的抽象概括能力，并从中体会无限逼近的思想.2．探索无理数的定义，比拟无理数与有理数的区别，并能区分出一个数是无理数还是有理数，训练学生的思维判断能力.3．能够准确地将目前所学习的数按不同角度进行分类，并说明理由，进一步体会分类思想，培养学生解决问题的能力.4.充分调动学生参与数学问题的积极性，培养学生的合作精神，提高他们的辨识能力. 三 、教学过程设计本节课设计六个教学环节:第一环节：新课引入；第二环节：活动与探究；第三环节：知识分类整理；第四环节：知识运用与稳固；第五环节：课堂小结；第六环节：作业布置. 第一环节：新课引入内容:想一想：1. 有理数是如何分类的？整数〔如1-，0，2，3，…) 有理数 分数(如31，52-，119，0.5，… ) 2. 除上面的数以外，我们还学习过哪些不同的数? 如圆周率π…上节课又了解到一些数，如22=a ，25=b 中的a ，b 不是整数，能不能转化成分数呢？那么它们究竟是什么数呢？本节课我们就来揭示它们的真面目. 第二个环节：活动与探究1. 探索无理数的小数表示内容：借助计算器以小组讨论的形式对面积为2的正方形的边长a 和面积为5的正方形的边长b 进行估计.请看图，判断下面3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？边长a 的取值范围大致是多少?如何估算的？是否存在一个小数的平方等于2?说说你的理由.边长a 面积s 1<a <2 1<s<4 1.4<a 1.41<a 1.414<a 1.4142<a归纳总结:a 是介于1和2之间的一个数，既不是整数，也不是分数，那么a 一定不是有理数.如果写成小数形式，它们是无限不循环小数.请大家用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b 的值. 2. 探索有理数的小数表示，明确无理数的概念请同学们以学习小组的形式活动：一同学举出任意一分数，另一同学将此分数表示成小数，并总结此小数的形式.议一议：分数化成小数，最终此小数的形式有哪几种情况？ 探究结论：分数只能化成有限小数或无限循环小数. 即任何有限小数或无限循环小数都是有理数.强调：像0.585885888588885……，－…等这些数的小数位数都是无限的，并且不是循环的，它们都是无限不循环小数.我们把无限不循环小数叫做无理数.(圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数，故π是无理数).第三个环节：知识分类整理 有理数和无理数统称为实数。
12.2.1无理数导入
判断正误， 例2 .判断正误，在后面的括号里对的 错的记“ 表示， 用 “ √ ” ， 错的记 “ ×”表示 ， 并举 表示 例说明理由： 例说明理由：
(1)无理数都是开方开不尽的数 无理数都是开方开不尽的数 (2)无理都是无限小数 无理都是无限小数. 无理都是无限小数 (3)无限小数都是无理数 无限小数都是无理数. 无限小数都是无理数 (4)不带根号的数都是有理数 不带根号的数都是有理数. 不带根号的数都是有理数 (5)带根号的数都是无理数 带根号的数都是无理数. 带根号的数都是无理数 (6)有理数都是有限小数 有理数都是有限小数. 有理数都是有限小数 ( ( ( ( ( ( ) ) ) ) ) )
例1.下列各数中，哪些是有理数？ 1.下列各数中，哪些是有理数？ 下列各数中 哪些是无理数？ 哪些是无理数？
− π ，－3.14， − ，
， ， 3 ，1.732，0.03，
21 25 18， ， ， ，3பைடு நூலகம்7 ， 3 8 ， − − 36 31 0.484848… ， 0.3131131113… 两个3之间依次多一个 之间依次多一个1 （ 两个 之间依次多一个 ）
知识回顾
• 在小学我们学过自然数，小数，分数 在小学我们学过自然数，小数， • 初一我们学过负数 • 有理数包括：整数和分数 有理数包括：整数和
(1)在下图中， (1)在下图中，以直角三角形的斜边为边 在下图中 的正方形的面积是多少？ 的正方形的面积是多少？
b
(2)设该正方形的边长为b (2)设该正方形的边长为b，则b应满足什 设该正方形的边长为 么条件？ 么条件？ (3)b是有理数吗 是有理数吗？ (3)b是有理数吗？
（三）归纳总结： 归纳总结：
通过本节课的学习，你有哪些收获和体会？ 通过本节课的学习，你有哪些收获和体会？ 1.无理数的本质特征是无限不循环； 无理数的本质特征是无限不循环； 无理数的本质特征是无限不循环 2.探索 2 的过程； 探索 的过程； 3.数形结合的思想 数形结合的思想. 数形结合的思想
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认识无理数
重难点典例剖析
1．估计数值的大小
难点突破：第一步应确定被估算数的整数取值范围；第二步以较小整数逐步开始加0.1(或以较大整数逐步开始减0.1)，并求其平方，确定被估算数的十分位；…；如此继续下去，可以求出其近似值．
【例1】 面积为7的正方形的边长为x ，请你回答下列问题．
(1)x 的整数部分是多少？
(2)把x 的值精确到十分位是多少？精确到百分位呢？
(3)x 是有理数吗？请简要说明理由．
解：令正方形的面积为S ，则S ＝x 2＝7，当2＜x ＜3时，4＜x 2＜9，当2.6＜x ＜2.7时，
6.76＜x 2＜
7.29；
当2.64＜x ＜2.65时，6.969 6＜x 2＜7.022 5；
当2.645＜x ＜2.646时，6.996 025＜x 2＜7.001 316；
…
则有：
(1)x 的整数部分为2.
(2)精确到十分位时，x ≈2.6，精确到百分位时，x ≈2.65．
(3)x 不是有理数．因为没有一个整数的平方
等于7，也没有一个分数的平方等于7，另由计算可知，x 是无限不循环小数．
释疑点 如何四舍五入
利用四舍五入法取近似值时要比精确到的位数多考查一位．
2．无理数
无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数．
重点突破：学习无理数应把握住无理数的三个特征：①无理数是小数；②无理数是无限小数；③无理数是不循环小数．判断一个数是否是无理数对照这三个特征一个也不能少．
有理数与无理数的区别
事实上，有理数总可以用有限小数或无限循环小数来表示；反过来，任何有限小数或无
限循环小数也都是有理数．如3可看做3.0这样的有限小数，也可以化为31
这样的分数形式；无限循环小数都可以化为分数，如：3.14可化为3750
． 有理数与无理数的主要区别：①无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数；②任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数不能．
无理数的常见类型
判断一个数是不是无理数，关键就是看它能不能写成无限不循环的小数，无理数常见的形式主要有三种：
(1)一般的无限不循环小数，如1.414 213 56…是无理数．
看似循环而实质不循环的小数，如0.101 001 0001…(相邻两个1之间0的个数逐次增加
1)是无理数．
(2)圆周率π以及含π的数，如π，2π，π＋5，都是无理数．
(3)开方开不尽的数(下一节学到)．
【例2】 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
3.141 592 6，－43
，2.5·8·，6.751 755 175 551 7…(相邻7，1之间5的个数逐次加1)，0，227，－5.23·，－π2
． 分析：有理数指有限小数或无限循环小数，整数和分数都是有理数，无理数指无限不循环小数．
解：有理数有：3.141 592 6，－43，2.5·8·，0，227
，－5.23·； 无理数有：6.751 755 175 551 7…(相邻7，1之间5的个数逐次加1)，－π2
．。