专题25 函数与方程、不等式之间的关系(解析版)

所以1，b 为 ax2 3ax a2 3 0 两根，且 a 0 ,
1b 3
因此
b
a2 a
3
a
0
b a
2 3
（Ⅱ）因为 a 0 ，所以不等式 f x 4 可化为 x2 3x 7 a2
a
因为当 x 3,3时，x2 3x x 3 2 9 9 ,
24 4
所以 9 7 a2 ，因为 a 0 ，解得 7 a 0.
上的零点有且仅有一个
故选
10．不等式 （）
的解集为
，则不等式
的解集为
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
根据题意，不等式（x+b）[（a﹣1）x+（1﹣b）]＞0 的解集为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），
则方程（x+b）[（a﹣1）x+（1﹣b）]=0 的两根为（﹣1）和 3，
则有
，
解可得：a=5，b=﹣3，
A．
B．
【答案】C
【解析】
有两个不同的零点，那么 的取值范围为（ ）
C．
D．
∵二次函数 y＝x2+2x+（m﹣2）有两个不同的零点，∴△＝4 ﹣4（ 求得 m＜-1 或 m>2， 故选：C．
）＞0，
6．已知关于 的方程
A．
B．
【答案】A
【解析】
有一根大于 ，另一根小于 ，则实数 的取值范围是（ ）
C．
.
（2）由
得方程
在区间 上有两个不相等实数根.
由
，解得
，可得
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A． , 1 (3, )
B． (1,3)
C． (1,3)
D． ,1 (3, )
【答案】A 【解析】
由 ax b 0的解集为 1, 可知： a 0 且 b 1
a
令 ax b x 3 0，解得： x1 1 ， x02 4 k2 2x0 2 y0 k y02 4y0 0
a 0 ax bx 3 0 的解集为： ,1 3,
16．已知函数
是．
【答案】
.
【解析】
，若关于 x 的不等式
的解集为空集，则实数 a 的取值范围
因为
，所以当且仅当
时等式
的解
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集为空集，因此实数 a 的取值范围是 三、解答题
17．已知函数
．
在所给坐标系中，画出函数 的图象并写出 的单调递增区间；
若函数
有 4 个零点，求 a 的取值范围．
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f (x) x2 2x 3
f (2x) 4x2 4x 3
由 4x2 4x 3 0
解得 x 1 或 x 3
2
2
故不等式 f (2x) 0 的解集是 (, 3) 2
(1 , ) 2
故选 A.
12．对于实数 a 和 b 定义运算“*”：a•b=
，设 f（x）=（2x-1）•（x-2），如果关于 x 的方程
，则当 ，则当
时取得最大值，即 时取得最大值，即
， ，
解得
故
或
22．已知二次函数
对任意 ，有
，函数 的最小值为 ，且
．
（1）求函数 的解析式；
（2）若方程
在区间 上有两个不相等实数根，求 k 的取值范围．
【答案】（1） 【解析】 （1）由
； （2） . 知，f（x）的对称轴为 x=1,
设
，
由
得
，
所以
f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根 x1，x2，x3，则 m 的取值范是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
由已知 a•b=
得 f（x）=（2x-1）•（x-2）=
，其图象如下：
因为 f（x）=m 恰有三个互不相等实根， 则 y=m 与 y=f(x)图像恰有三个不同的交点，
所以 0＜m＜ ， 故选：C． 二、填空题 13．方程 x2+（m-3）x+m=0 是一个根大于 1，一个根小于 1，则 m 的取值范围______． 【答案】 【解析】 令 f（x）=x2+（m-3）x+m，
所以关于 x 的方程 x2 ax b 0 的两个根为 1,3 .
所以 a 1 3, b 13，解得 a 2,b 3.
(2)由题意得 f x x2 ax 4 0 对任意 x R 恒成立，
所以 a2 414 a2 16 0，
解得 4 a 4，即 a 的取值范围是4, 4 .
当 m 0时，原不等式的解集为{x | x 3}；
当 0 m 2 时，原不等式的解集为{x | x 3 或 x 2 }；
3
m
当 m 2 时，原不等式的解集为{x | x 3} ； 3
当 m 2 时，原不等式的解集为{x | x 2 或 x 3}．
3
m
20. 已知函数 f (x) ax2 3ax a2 3 ．
4a
4
21．已知函数
（1）设 、 为
的两根，且
，
，试求 的取值范围
（2）当
时， 的最大值为 2，试求
【答案】（1） （2）
或
【解析】
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（1）由题意可得 、 为
的两根，且 ， ，
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解得
故 （2）当
由
时， 的最大值为 2， ，可知抛物线开口向上，对称轴为
①若 解得 ②若
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
∵二次函数 y＝x2﹣（k+1）x+k+4 有两个不同的零点
∴x2﹣（k+1）x+k+4＝0 有两个不同的实根
∴△＝（k+1）2﹣4（k+4）＝k2﹣2k﹣15＝（k+3）（k﹣5）＞0
∴k＜﹣3 或 k＞5
故选：A．
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4．已知不等式
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方程 x2+（m-3）x+m=0 是一个根大于 1，一个根小于 1， 由题意可得，f（1）=1+m-3+m＜0， ∴m＜1， 故答案为：m＜1．
14．关于 的不等式
的解集为
，则 ________， ________.
【答案】 【解析】
由题意得
为方程
两根，
所以 15．二次函数 y=ax2+bx+c（x∈R）的部分对应值如表，
19．已知函数 f (x) 2x2 mx 2m 3. (1)若函数在区间 (, 0) 与 (1, ) 内各有一个零点，求实数 m 的取值范围； (2)解关于 x 的不等式 f (x) (2 m)x2 (4m 2)x 2m 9 .
【答案】(1) 1, ；(2)见解析.
【解析】
(1)由于 f x 2x2 mx 2m 3 的图象开口向上，
故选 B.
9．函数
满足
A．至多有一个
B．有 1 个或 2 个
C．有且仅有一个 D．一个也没有
【答案】C
【解析】
若 ，则
是一次函数
Байду номын сангаас
，
，可得其零点只有一个
，则 在（1,2）上的零点（ ）
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若 ，则
是二次函数
若在
上有两个零点
则必有
，与已知矛盾
故在
上有且只有一个零点
综上所述，则 在
A． 或
B．
C．
或
D．
【答案】C
【解析】
由 f（x）＝3ax﹣1﹣2a 在区间（﹣1，1）上存在零点，
则 f（﹣1）•f（1）＝（﹣3a﹣1﹣2a）（3a﹣1﹣2a）＝（﹣5a﹣1）•（a﹣1）＜0，
解得 a＞1 或 a ． 故选：C．
3．如果二次函数 y=x2-（k+1）x+k+4 有两个不同的零点，则实数 k 的取值范围是（ ）
且在区间 ,0与 1, 内各有一零点，
故
f f
0 1
0 0
，即
2m 3 0
m
1
0
，
解得 m 1，即实数 m 的取值范围为 1, ．
(2) 原不等式可化为 x 3mx 2 0 .
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当 m 0 时，原不等式的解集为{x | x 2 或 x 3}； m
（Ⅰ）若不等式 f (x) 0 的解集是{x | l x b}，求实数 a 与 b 的值；
（Ⅱ）若 a 0 ，且不等式 f (x) 4 对任意 x [3, 3]恒成立，求实数 a 的取值范围． 【答案】（Ⅰ） a 3,b 2 （Ⅱ） 7 a 0
4
【解析】
（Ⅰ）因为不等式 f x 0 的解集是x 1 x b ，
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【答案】（1）见解析；（2） 【解析】
，其图象如图：
由图象可知： 单调递增区间为：
，
；
因为函数
有 4 个零点
有 4 个实根
有 4 个实根
函数
与函数
的图象有 4 个交点，
由图可知：
，
解得：
，
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故实数 a 的取值范围是
18．已知函数 f x x2 ax b .
A． (, 3) (1 , ) 22
C． (, 1) (3 , ) 22
【答案】A
B． ( 3 , 1) 22