第四章 金属塑性变形的本构方程

尽管两种路径有相同的最终应力状态，但产生的塑性变形不 相同，因此，欲求 关系，就必须弄清是哪条路径 下的 关系。
4.增量理论（流动理论） 适用于服从Mises塑性条件的理想刚塑性体 1)Levy-Mises增量理论 Levy-Mises增量理论包括以下假设： （1）材料是刚塑性体。 （2）材料符合Mises塑性条件。 （3）塑性变形时体积不变。 （4）应变增量主轴与偏应力主轴相重合。 （5） d ij 'ij d
弹性状态 强化材料加载，理想材 料不成立
f f ( ij ) 0, df d ij 0 ij
f f ( ij ) 0, df d ij 0 ij
强化材料变载， 理想材料加载
f f ( ij ) 0, df d ij 0 ij
卸载
ed e 0
应力点向加载曲面内侧变动，称 作卸载，不会产生新的塑性变形
e d e 0
应力点在原有屈服曲面上变动， 对于强化材料而言为中性变载， 没有新的塑性变形
π平面上的加载准则
如果以 f ( ij ) 0 表示屈服曲面，可以把上述 加载与卸载准则用屈服曲面形式来表示：
f ( ij ) 0
f ( J1 , J 2 , J 3 ) 0
f ( 1 , 2 , 3 ) 0
在应力空间中，f ( ij ) 0 表示一个包围 原点的曲面，称作屈服曲面。 因此：
f ( ij) 0 材料处于弹性状态 ，对应
的点位于曲面内部
f ( ij) 0
材料屈服，对应的点位于曲面上
3） Levy-Mises方程的比例形式和差分形式：
d x

' x

d y

' y

d z

' z

d xy
xy

d yz
yz

d zx
zx
d
d x d y
x y
d z d x d y z z x
§4. 1 金属塑性变形过程和力学特点
单向拉伸时的变形曲线
§4.2 屈服准则
又称塑性条件或屈服条件，是指塑性变形的 起始力学条件，即为材料屈服时满足的力学条 件。它是描述不同应力状态下变形体某点进入 塑性状态并使塑性变形继续进行所必须满足的 力学条件。 用屈服函数表示： f ( ij , ij , t , T , S ) 0
若做纯剪试验，则有
1 s , 2 0, 3 s
k s
s 2 s 2k
在主应力空间中，
max 1 2 , 2 3 , 3 1 2k
平面上，Tresca条件是一正六边形。
是一个正六棱柱；在

2.Mises 屈服准则
Tresca屈服准则不考虑中间主应力的影响；另 外当应力处在两个屈服面的交线上时，数学 处理 将遇 到 一些 困 难； 在 主应力未知时 ， Tresca准则计算十分复杂。因此Von Mises在 1913年研究了实验结果后，提出了另一屈服 准则，即当：
J '2 C
材料屈服
单向拉伸时
1 s , 2 3 0
称为Lode参数。
1 1
讨论：① 当材料受单向应力时，β=1，两准则重合； 0 两准则差别最大； ② 在纯剪应力作用下， 按Tresca准则： 按Mises准则：
③ 一般情况下，β=1－1.154
§4.3 塑性应力应变关系（本构关系）
1.几种简化模型
1）幂函数强化模型 该模型特点为弹塑性区 域均用统一方程表示，即：
max k
用主应力表示时，则有：
max 1 2 , 2 3 , 3 1 2k
当有 1 2 3 约定时，则有：
1 3 2k
k值由实验确定。若做单向拉伸试验，
1 s , 2 3 0
k s /2
薄壁管纯扭时
C /3
2 s
1 3 k , 2 0
因：
Ck
Байду номын сангаас
2
1 2 2 2 ( x y ) 2 ( y z ) 2 ( z x ) 2 6( xy yz zx ) 2
' 3J 2
所以：
s 3k
1 2 3
d y d z
4）应力应变顺序对应关系
若主应力 1 2 3顺序保持不变，并且应变主轴方向不变， 1 2 3 得主应变的顺序关系为： 1 0
3 0
5.应力应变速率关系方程
' ij ij
也称为塑性流动方程
e 3 2 e
d
为瞬时非负比例系数，它在加载过程中是变化的。
3 d e d 2 e
得:
1 1 ( x ( y z )) E' 2 1 1 d y ( y ( z x )) E' 2 1 1 d z ( z ( x y )) E' 2 1 d xy xy 2G ' d x
第四章
金属塑性变形的本构方程
本构方程是 关系的数学表达式。 弹性变形阶段有广义虎克定律，而塑 性变形则较为复杂。在单向受力状态 下，可由实验测定曲线来确定塑性本 构关系。但在复杂受力情况下实验测 定困难，因此只能在一定的实验结果 基础上，通过假设、推理，建立塑性 本构方程。为了建立塑性本构方程， 首先需弄清楚塑性变形的开始条件— —屈服，以及进入塑性变形后的加载 路径等问题。
3.两准则的联系：
（1）空间几何表达：Mises圆柱外接于Tresca六棱柱； 在π平面上两准则有六点重合； （2）通过引入罗德参数和中间主应力影响系数β，可以将两 准则写成 相同的形式：
1 3 s
其中 应力影响系数 而
2 3 u
称为中间主
( 2 3 ) ( 1 2 ) 1 3
式中
1 d yz yz 2G ' 1 d zx zx 2G '
e 1 e E' , G' d e 3 d e
2）讨论： 理想材料 （1）已知 ij 只能求出 d ij 之间的比值 。 （2）已知 d ij ，只能求出 'ij ，而无法求 出 ij 。 强化材料 （3）已知 ij ，要求出 d ij ，则必须给出 d ij （4）已知 d ij ，在给出了 ij 的条件下 ，也 只能求出 'ij
ij
----应力张量
ij
----应变张量
t----时间
T----变形温度
S----变形材料的组织特性
对于同一种材料，在不考虑时间效应及接近 常温的情形下，t与T对塑性状态没多大影 响。另外，当材料初始屈服以前是处于弹 性状态，应力与应变有一一对应关系。因 此屈服条件可以表示成为
f ( ij ) 0

6.Prandtl-Reuss增量理论
在Levy-Mises增量理论基础上考虑了弹性变形的影响
d ij d d d d d
P ij e ij P ij e' ij
e m ij
1 1 2 d 'ij d 'ij d m ij 2G E
例题讲解：
例：求 之比（满足塑性条件）
若变形体屈服时的应力状态为：
30 ij 0 23 10 0 3 15
试分别按Mises和Tresca塑性条件计算该材料的屈服应力
s
及

金属塑性变形有哪些基本特点？
e A
n e
应用于室温下的冷加工
2）线性强化模型 该模型的弹塑区域分 开表示，即：
s / E e E e e s D( s / E ) s / E 适合于考虑弹性问题的冷加工，如弯曲。
3）线性刚塑性强化模型
e De
适合于忽略弹性的冷加工
4）理想塑性模型
E s 0 e 0
软化与硬化相等。适合于热加工分析
5）理想刚塑性模型
e s
适合于不考虑弹性的热加工问题。
e d e 0
2.加载与卸载准则 复杂应力状态下的加载与卸载可以从等效应力、 加载曲面方面加以阐述
应力点保持在加载曲面上 变动，称作加载，有新的 塑性变形发生
3.加载路径 应力点在应力空间或

平面变动的轨迹
第一种路径：先拉伸至C 点，然后扭矩逐步增大， 拉力逐步减小，使应力 点沿CE变载至E点。这 路径可分成简单加载和复杂加载二大类。简单加载是指单 时总的塑性变形为 P 元体的应力张量各分量之间的比值保持不变，按同一参量 C 单调增长。 第二种路径：从原点加载 路径F点到达E点，塑性变 P P , E ) 形为 E 不同路径下的变形
在主应力空间中，Von Mises屈服准则为一圆 柱柱面。在 平面上，Von Mises屈服准 则为一个圆。

比较两屈服准则的区别：
（1）物理含义不同：Tresca：最大剪应力达到极限值K Mises：畸变能达到某极限 （2）表达式不同; （3）几何表达不同： Tresca准则：在主应力空间中为一垂直π平面的正六棱柱； Mises准则：在主应力空间中为一垂直于π平面的圆柱。 (π平面:在主应力坐标系中，过原点并垂直于等倾线的平面)
屈服曲面到底是什么形状？不同的推理过程 和实验可以得到不同的曲面形状。其中最为 常用的是Tresca屈服准则和Von Mises屈服 准则

前面介绍应力的几何 表示时，在等倾线 上的点为 应力球张 量、 平面上的 点为应力偏张量， 屈服条件就可以用 平面上的封闭曲线 来表示