2011年高考文科数学(天津卷)
2011年天津市高考数学试卷(文科)答案与解析
2011年天津市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）（2011•天津）i是虚数单位，复数=（）A．2﹣i B．2+i C．﹣1﹣2i D．﹣1+2i【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，复数化简为a+bi（a，b∈R）的形式，即可．【解答】解：复数=故选A【点评】本题是基础题，考查复数代数形式的乘除运算，注意分母实数化，考查计算能力，常考题型．2．（5分）（2011•天津）设变量x，y满足约束条件则目标函数z=3x﹣y的最大值为（）A．﹣4 B．0 C．D．4【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象知当直线过（2，2）时，z最大．【解答】解：画出不等式表示的平面区域将目标函数变形为y=3x﹣z，作出目标函数对应的直线，当直线过（2，2）时，直线的纵截距最小，z最大最大值为6﹣2=4故选D【点评】本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值．3．（5分）（2011•天津）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为﹣4，则输出y的值为（）A．0.5 B．1 C．2 D．4【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】根据题意，按照程序框图的顺序进行执行，当x＜3时跳出循环，输出结果．【解答】解：当输入x=﹣4时，|x|＞3，执行循环，x=|﹣4﹣3|=7|x|=7＞3，执行循环，x=|7﹣3|=4，|x|=4＞3，执行循环，x=|4﹣3|=1，退出循环，输出的结果为y=21=2．故选C．【点评】本题考查循环结构的程序框图，搞清程序框图的算法功能是解决本题的关键，按照程序框图的顺序进行执行求解，属于基础题．4．（5分）（2011•天津）设集合A={x∈R|x﹣2＞0}，B={x∈R|x＜0}，C={x∈R|x（x﹣2）＞0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；集合的包含关系判断及应用．【专题】简易逻辑．【分析】化简集合A，C，求出A∪B，判断出A∪B与C的关系是相等的即充要条件．【解答】解：A={x∈R|x﹣2＞0}={x|x＞2}A∪B={x|x＞2或x＜0}C={x∈R|x（x﹣2）＞0}={x|x＞2或x＜0}∴A∪B=C∴“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件故选C【点评】本题考查判断一个命题是另一个命题的什么条件，先化简各个命题．考查充要条件的定义．5．（5分）（2011•天津）已知a=log23.6，b=log43.2，c=log43.6则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞a＞b【考点】对数值大小的比较．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用换底公式可得a=log23.6=log43.62，然后根据对数函数y=log4x在（0，+∞）的单调性可进行比较即可．【解答】解：∵a=log23.6=log43.62∵y=log4x在（0，+∞）单调递增，又∵3.62＞3.6＞3.2∴log43.62＞log43.6＞log43.2即a＞c＞b故选：B【点评】本题考查利用对数函数的单调性比较对数值大小，考查了换底公式的应用，是基础题．6．（5分）（2011•天津）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2=2px的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为（）A．2 B．2C．4D．4【考点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据题意，点（﹣2，﹣1）在抛物线的准线上，结合抛物线的性质，可得p=4，进而可得抛物线的焦点坐标，依据题意，可得双曲线的左顶点的坐标，即可得a的值，由点（﹣2，﹣1）在双曲线的渐近线上，可得渐近线方程，进而可得b的值，由双曲线的性质，可得c的值，进而可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），即点（﹣2，﹣1）在抛物线的准线上，又由抛物线y2=2px的准线方程为x=﹣，则p=4，则抛物线的焦点为（2，0）；则双曲线的左顶点为（﹣2，0），即a=2；点（﹣2，﹣1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为y=±x，由双曲线的性质，可得b=1；则c=，则焦距为2c=2；故选B．【点评】本题考查双曲线与抛物线的性质，注意题目“双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1）”这一条件的运用，另外注意题目中要求的焦距即2c，容易只计算到c，就得到结论．7．（5分）（2011•天津）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，﹣π＜φ≤π．若函数f（x）的最小正周期为6π，且当x=时，f（x）取得最大值，则（）A．f（x）在区间[﹣2π，0]上是增函数B．f（x）在区间[﹣3π，﹣π]上是增函数C．f（x）在区间[3π，5π]上是减函数D．f（x）在区间[4π，6π]上是减函数【考点】正弦函数的单调性；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由函数f（x）的最小正周期为6π，根据周期公式可得ω=，且当x=时，f（x）取得最大值，代入可得，2sin（φ）=2，结合已知﹣π＜φ≤π可得φ=可得，分别求出函数的单调增区间和减区间，结合选项验证即可【解答】解：∵函数f（x）的最小正周期为6π，根据周期公式可得ω=，∴f（x）=2sin（φ），∵当x=时，f（x）取得最大值，∴2sin（φ）=2，φ=+2kπ，∵﹣π＜φ≤π，∴φ=，∴，由可得函数的单调增区间：，由可得函数的单调减区间：，结合选项可知A正确，故选A．【点评】本题主要考查了利用函数的部分图象求解函数的解析式，还考查了函数y=Asin （ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的单调区间的求解，属于对基础知识的考查．8．（5分）（2011•天津）对实数a与b，定义新运算“⊗”：a⊗b=．设函数f（x）=（x2﹣2）⊗（x﹣1），x∈R．若函数y=f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（）A．（﹣1，1]∪（2，+∞）B．（﹣2，﹣1]∪（1，2]C．（﹣∞，﹣2）∪（1，2]D．[﹣2，﹣1]【考点】函数与方程的综合运用．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据定义的运算法则化简函数f（x）=（x2﹣2）⊗（x﹣1），的解析式，并画出f （x）的图象，函数y=f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点转化为y=f（x），y=c图象的交点问题，结合图象求得实数c的取值范围．【解答】解：∵，∴函数f（x）=（x2﹣2）⊗（x﹣1）=，由图可知，当c∈（﹣2，﹣1]∪（1，2]函数f（x）与y=c的图象有两个公共点，∴c的取值范围是（﹣2，﹣1]∪（1，2]，故选B．【点评】本题考查二次函数的图象特征、函数与方程的综合运用，及数形结合的思想．属于基础题．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）（2011•天津）已知集合A={x∈R||x﹣1|＜2}，Z为整数集，则集合A∩Z中所有元素的和等于3．【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】先根据绝对值不等式求出集合A，然后根据交集的定义求出A∩Z，最后求出集合A∩Z中所有元素的和即可．【解答】解：A={x∈R||x﹣1|＜2}={x|﹣1＜x＜3}，而Z为整数集，集合A∩Z={0，1，2}，故集合A∩Z中所有元素的和等于0+1+2=3，故答案为3．【点评】本题属于以绝对值不等式为依托，求集合的交集的基础题，同时考查了集合中元素的和．10．（5分）（2011•天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则这个几何体的体积为4m3．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】立体几何．【分析】由题意可知，一个简单的组合体，上面是一个底面是边长为1的正方形，高是2的四棱柱，下面是一个长为2，高为1，宽为1的长方体，根据所给的长度，求出几何体的体积．【解答】解：由三视图可知，这是一个简单的组合体，上面是一个底面是边长为1的正方形，高是2的四棱柱，体积是1×1×2下面是一个长为2，高为1，宽为1的长方体，体积是1×1×2∴几何体的体积是1×1×2+2×1×1=4m3，故答案为：4【点评】本题考查由三视图还原直观图，根据图形中所给的数据，求出要求的体积，本题是一个考查简单几何体体积的简单题目．11．（5分）（2011•天津）已知{a n}为等差数列，S n为{a n}的前n项和，n∈N*，若a3=16，S20=20，则S10值为110．【考点】等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】本题可根据等差数列的前n项和的一上性质{S（k+1）m﹣S km}是以m2d为公差的数列，本题中令m=5，每五项的和也组成一个等差数列，再由数列中项知识求出前五项的和，由此建立方程求出公差，进而可求出S10的值【解答】解：由题意a3=16，故S5=5×a3=80，由数列的性质S10﹣S5=80+25d，S15﹣S10=80+50d，S20﹣S15=80+75d，故S20=20=320+150d，解之得d=﹣2又S10=S5+S10﹣S5=80+80+25d=160﹣50=110故答案为：110【点评】本题考点是等差数列的性质，考查等差数列前n项和的性质，以及数列的中项的运用，本题技巧性较强，属于等差数列的性质运用题，解答本题，要注意从题设条件中分析出应该用那个性质来进行转化．12．（5分）（2011•天津）已知log2a+log2b≥1，则3a+9b的最小值为18．【考点】基本不等式；对数的运算性质．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】先把已知条件转化为ab≥2，且a＞0，b＞0；再把所求用基本不等式转化到用ab表示即可．【解答】解：由log2a+log2b≥1得ab≥2，且a＞0，b＞0．又3a+9b=3a+32b≥2=2，因为a+2b≥2=2≥2=4，所以3a+9b≥2=18．即3a+9b的最小值为18．故答案为18．【点评】本题是对指数的运算性质，对数的运算性质以及基本不等式的综合考查．考查的都是基本知识点，只要课本知识掌握熟练，是道基础题．13．（5分）（2011•天津）如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF=CF=，AF：FB：BE=4：2：1．若CE与圆相切，则CE的长为．【考点】圆的切线方程．【专题】直线与圆．【分析】设出AF=4k，BF=2k，BE=k，由DF•FC=AF•BF求出k的值，利用切割定理求出CE．【解答】解：设AF=4k，BF=2k，BE=k，由DF•FC=AF•BF，得2=8k2，即k=，∴AF=2，BF=1，BE=，AE=，由切割定理得CE2=BE•EA==，∴CE=．【点评】本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，考查计算能力，基本知识掌握的情况，常考题型．14．（5分）（2011•天津）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则的最小值为5．【考点】向量的模．【专题】平面向量及应用．【分析】根据题意，利用解析法求解，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0），设P（0，b）（0≤b≤a），求出，根据向量模的计算公式，即可求得，利用完全平方式非负，即可求得其最小值．【解答】解：如图，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0）设P（0，b）（0≤b≤a）则=（2，﹣b），=（1，a﹣b），∴=（5，3a﹣4b）∴=≥5．故答案为5．【点评】此题是个基础题．考查向量在几何中的应用，以及向量模的求法，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）（2011•天津）编号为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：运动员编号A1A2A3A4A5A6A7A8得分15 35 21 28 25 36 18 34运动员编号A9A10A11A12A13A14A15A16得分17 26 25 33 22 12 31 38（Ⅰ）将得分在对应区间内的人数填入相应的空格；区间[10，20）[20，30）[30，40]人数（Ⅱ）从得分在区间[20，30）内的运动员中随机抽取2人，（i）用运动员的编号列出所有可能的抽取结果；（ii）求这2人得分之和大于50分的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】（I）根据已知中编号为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录表，我们易得出得分在对应区间内的人数．（II）（i）根据（I）的结论，我们易列出在区间[20，30）内的运动员中随机抽取2人，所有可能的抽取结果；（ii）列出这2人得分之和大于50分的基本事件的个数，代入古典概型公式即可得到这2人得分之和大于50分的概率．【解答】解：（I）由已知中编号为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录表易得：得分在区间[10，20）上的共4人，在区间[20，30）上的共6人，在区间[30，40]上的共6人，故答案为4，6，6（II）（i）得分在区间[20，30）上的共6人，编号为A3，A4，A5，A10，A11，A13，从中随机抽取2人，计为（X，Y），则所有可能的抽取结果有：（A3，A4），（A3，A5），（A3，A10），（A3，A11），（A3，A13），（A4，A5），（A4，A10），（A4，A11），（A4，A13），（A5，A10），（A5，A11），（A5，A13），（A10，A11），（A10，A13），（A11，A13）共15种．（ii）从得分在区间[20，30）内的运动员中随机抽取2人，这2人的得分之和大于50分的基本事件有：（A4，A5），（A4，A10），（A4，A11），（A5，A10），（A10，A11）共5种故这2人得分之和大于50分的概率P==【点评】本题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件烽、古典概型及其概率计算公式等基础知识，考查数据处理能力及运用概率知识解决简单的实际问题的能力．16．（13分）（2011•天津）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）的值．【考点】余弦定理；同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的余弦函数；二倍角的余弦．【专题】解三角形．【分析】（I）利用三角形中的等边对等角得到三角形三边的关系；利用三角形的余弦定理求出角A的余弦．（II）利用三角函数的平方关系求出角A的正弦，利用二倍角公式求出角2A的正弦，余弦；利用两个角的和的余弦公式求出的值．【解答】解：（I）由B=C，可得所以cosA==（II）因为所以=【点评】本题考查三角形的余弦定理、考查三角函数的平方关系、考查两角和的余弦公式．17．（13分）（2011•天津）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O为AC中点，PO⊥平面ABCD，PO=2，M为PD中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面ACM；（Ⅱ）证明：AD⊥平面PAC；（Ⅲ）求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．【专题】空间位置关系与距离；空间角；立体几何．【分析】（I）由O为AC中点，M为PD中点．结合平行四边形的对角线性质，考虑连接BD，MO，则有PB∥MO，从而可证（II）由∠ADC=45°，且AD=AC=1，易得AD⊥AC，PO⊥AD，根据线面垂直的判定定理可证（III）取DO中点N，由PO⊥平面ABCD，可得MN⊥平面ABCD，从而可得∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角．在Rt△ANM中求解即可【解答】解：（I）证明：连接BD，MO在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点，又M为PD的中点，所以PB∥MO因为PB⊄平面ACM，MO⊂平面ACM所以PB∥平面ACM（II）证明：因为∠ADC=45°，且AD=AC=1，所以∠DAC=90°，即AD⊥AC又PO⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PO⊥AD，AC∩PO=O，AD⊥平面PAC （III）解：取DO中点N，连接MN，AN因为M为PD的中点，所以MN∥PO，且MN=PO=1，由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD所以∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角．在Rt△DAO中，，所以，∴，在Rt△ANM中，==即直线AM与平面ABCD所成的正切值为【点评】本题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力、推理论证能力．18．（13分）（2011•天津）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．点P（a，b）满足|PF2|=|F1F2|．（Ⅰ）求椭圆的离心率e；（Ⅱ）设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，若直线PF2与圆（x+1）2+=16相交于M，N两点，且|MN|=|AB|，求椭圆的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）直接利用|PF2|=|F1F2|，对应的方程整理后即可求椭圆的离心率e；（Ⅱ）先把直线PF2与椭圆方程联立求出A，B两点的坐标以及对应的|AB|两点，进而求出|MN|，再利用弦心距，弦长以及圆心到直线的距离之间的等量关系，即可求椭圆的方程．【解答】解：（Ⅰ）设F1（﹣c，0），F2（c，0）（c＞0）．由题得|PF2|=|F1F2|，即=2c，整理得2+﹣1=0，得=﹣1（舍），或=，所以e=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=2c，b=c，可得椭圆方程为3x2+4y2=12c2，直线方程PF2为y=（x ﹣c）．A，B的坐标满足方程组，消y并整理得5x2﹣8xc=0，解得x=0，x=，得方程组的解为，，不妨设A（c，c），B（0，﹣c）．所以|AB|==c，于是|MN|=|AB|=2c．圆心（﹣1，）到直线PF2的距离d=，因为d2+=42，所以（2+c）2+c2=16，整理得c=﹣（舍）或c=2．所以椭圆方程为+=1．【点评】本题主要考查椭圆的方程和几何性质，直线的方程，两点间的距离公式以及点到直线的距离公式等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质和数形结合的数学思想，考查解决问题的能力和运算能力．19．（14分）（2011•天津）已知函数f（x）=4x3+3tx2﹣6t2x+t﹣1，x∈R，其中t∈R．（Ⅰ）当t=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）当t≠0时，求f（x）的单调区间；（Ⅲ）证明：对任意的t∈（0，+∞），f（x）在区间（0，1）内均存在零点．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点；利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】（I）当t=1时，求出函数f（x），利用导数的几何意义求出x=0处的切线的斜率，利用点斜式求出切线方程；（II）根据f'（0）=0，解得x=﹣t或x=，讨论t的正负，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0求出单调区间即可；（III）根据函数的单调性分两种情况讨论，当≥1与当0＜＜1时，研究函数的单调性，然后根据区间端点的符号进行判定对任意t∈（0，2），f（x）在区间（0，1）内均存在零点从而得到结论．【解答】解：（I）当t=1时，f（x）=4x3+3x2﹣6x，f（0）=0f'（x）=12x2+6x﹣6，f'（0）=﹣6，所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=﹣6x．（II）解：f'（x）=12x2+6tx﹣6t2，f'（0）=0，解得x=﹣t或x=∵t≠0，以下分两种情况讨论：（1）若t＜0，则＜﹣t，∴f（x）的单调增区间是（﹣∞，），（﹣t，+∞）；f（x）的单调减区间是（，﹣t）（2）若t＞0，则＞﹣t，∴f（x）的单调增区间是（﹣∞，﹣t），（，+∞）；f（x）的单调减区间是（﹣t，）（III）证明：由（II）可知，当t＞0时，f（x）在（0，）内单调递减，在（，+∞）内单调递增，以下分两种情况讨论：（1）当≥1，即t≥2时，f（x）在（0，1）内单调递减．f（0）=t﹣1＞0，f（1）=﹣6t2+4t+3≤﹣13＜0所以对于任意t∈[2，+∞），f（x）在区间（0，1）内均存在零点．（2）当0＜＜1，即0＜t＜2时，f（x）在（0，）内单调递减，在（，1）内单调递增若t∈（0，1]，f（）=+t﹣1≤＜0，f（1）=﹣6t2+4t+3≥﹣2t+3＞0所以f（x）在（，1）内存在零点．若t∈（1，2），f（）=+t﹣1＜+1＜0，f（0）=t﹣1＞0∴f（x）在（0，）内存在零点．所以，对任意t∈（0，2），f（x）在区间（0，1）内均存在零点．综上，对于任意t∈（0，+∞），f（x）在区间（0，1）内均存在零点．【点评】本题主要考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数零点、解不等式等基础知识，考查了计算能力和分类讨论的思想．20．（14分）（2011•天津）已知数列{a n}与{b n}满足b n+1a n+b n a n+1=（﹣2）n+1，b n=，n∈N*，且a1=2．（Ⅰ）求a2，a3的值（Ⅱ）设c n=a2n+1﹣a2n﹣1，n∈N*，证明{c n}是等比数列（Ⅲ）设S n为{a n}的前n项和，证明++…++≤n﹣（n∈N*）【考点】数列与不等式的综合；等比关系的确定．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）推出b n的表达式，分别当n=1时，求出a2=﹣；当n=2时，解出a3=8；（Ⅱ）设c n=a2n+1﹣a2n﹣1，n∈N*，利用等比数列的定义，证明{c n}是等比数列；（Ⅲ）求出S2n，a2n，S2n﹣1，a2n﹣1，求出+的表达式，然后求出++…++的表达式，利用放缩法证明结果．【解答】（Ⅰ）解：由b n=，（n∈N*）可得b n=又b n+1a n+b n a n+1=（﹣2）n+1，当n=1时，a1+2a2=﹣1，可得由a1=2，a2=﹣；当n=2时，2a2+a3=5可得a3=8；（Ⅱ）证明：对任意n∈N*，a2n﹣1+2a2n=﹣22n﹣1+1…①2a2n+a2n+1=22n+1…②②﹣①，得a2n+1﹣a2n﹣1=3×22n﹣1，即：c n=3×22n﹣1，于是所以{c n}是等比数列．（Ⅲ）证明：a1=2，由（Ⅱ）知，当k∈N*且k≥2时，a2k﹣1=a1+（a3﹣a1）+（a5﹣a3）+（a7﹣a5）+…+（a2k﹣1﹣a2k﹣3）=2+3（2+23+25+…+22k﹣3）=2+3×=22k﹣1，故对任意的k∈N*，a2k﹣1=22k﹣1．由①得22k﹣1+2a2k=﹣22k﹣1+1，所以k∈N*，因此，于是，．故==所以，对任意的n∈N*，++…++=（+）+…+（+）===n﹣≤n﹣﹣=n﹣（n∈N*）【点评】本题考查等比数列的定义，等比数列求和等基础知识，考查计算能力、推理论证能力、综合发现问题解决问题的能力以及分类讨论思想．。
2011年天津市高考数学试卷(文科)
2011年天津市高考数学试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分） 1．（5分）i 是虚数单位，复数1−3i 1−i=（ ）A ．2﹣iB ．2+iC ．﹣1﹣2iD ．﹣1+2i2．（5分）设变量x ，y 满足约束条件{x ≥1x +y −4≤0x −3y +4≤0则目标函数z=3x ﹣y 的最大值为（ ） A ．﹣4 B ．0C ．43D ．43．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为﹣4，则输出y 的值为（ ）A ．0.5B ．1C ．2D ．44．（5分）设集合A={x ∈R |x ﹣2＞0}，B={x ∈R |x ＜0}，C={x ∈R |x （x ﹣2）＞0}，则“x ∈A ∪B”是“x ∈C”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．即不充分也不必要条件5．（5分）已知a=log 23.6，b=log 43.2，c=log 43.6则（ ） A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．b ＞a ＞c D ．c ＞a ＞b6．（5分）已知双曲线x 2a ﹣y 2b=1（a ＞0，b ＞0）的左顶点与抛物线y 2=2px 的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为（ ） A ．2√3 B ．2√5 C ．4√3 D ．4√57．（5分）已知函数f （x ）=2sin （ωx +φ），x ∈R ，其中ω＞0，﹣π＜φ≤π．若函数f （x ）的最小正周期为6π，且当x=π2时，f （x ）取得最大值，则（ ）A ．f （x ）在区间[﹣2π，0]上是增函数B ．f （x ）在区间[﹣3π，﹣π]上是增函数C ．f （x ）在区间[3π，5π]上是减函数D ．f （x ）在区间[4π，6π]上是减函数 8．（5分）对实数a 与b ，定义新运算“⊗”：a ⊗b={a ，a −b ≤1b ，a −b ＞1．设函数f （x ）=（x 2﹣2）⊗（x ﹣1），x ∈R ．若函数y=f （x ）﹣c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是（ ）A ．（﹣1，1]∪（2，+∞）B ．（﹣2，﹣1]∪（1，2]C ．（﹣∞，﹣2）∪（1，2]D ．[﹣2，﹣1]二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）已知集合A={x ∈R ||x ﹣1|＜2}，Z 为整数集，则集合A ∩Z 中所有元素的和等于 ．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则这个几何体的体积为 m 3．11．（5分）已知{a n }为等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N *，若a 3=16，S 20=20，则S 10值为 ．12．（5分）已知log 2a +log 2b ≥1，则3a +9b 的最小值为 ．13．（5分）如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一点，且 DF=CF=√2，AF ：FB ：BE=4：2：1．若CE 与圆相切，则CE 的长为 ．14．（5分）已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P 是腰DC 上的动点，则|PA →+3PB →|的最小值为 ．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）编号为A 1，A 2，…，A 16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：运动员编号 A 1 A 2A 3A 4A 5A 6A 7A 8得分 15 35 21 2825 361834运A A AA 12A AA 15A动员编号9 10 1113 1416得分17 26 25 33 22 1231 38（Ⅰ）将得分在对应区间内的人数填入相应的空格；区间[10，20） [20，30） [30，40]人数（Ⅱ）从得分在区间[20，30）内的运动员中随机抽取2人， （i ）用运动员的编号列出所有可能的抽取结果； （ii ）求这2人得分之和大于50分的概率．16．（13分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B=C ，2b=√3a ． （Ⅰ）求cosA 的值； （Ⅱ）cos （2A +π4）的值．17．（13分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O 为AC 中点，PO ⊥平面ABCD ，PO=2，M 为PD 中点． （Ⅰ）证明：PB ∥平面ACM ； （Ⅱ）证明：AD ⊥平面PAC ；（Ⅲ）求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值．18．（13分）设椭圆x 2a +y 2b=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2．点P （a ，b ）满足|PF 2|=|F 1F 2|．（Ⅰ）求椭圆的离心率e ；（Ⅱ）设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，若直线PF 2与圆（x +1）2+(y −√3)2=16相交于M ，N 两点，且|MN |=58|AB |，求椭圆的方程．19．（14分）已知函数f （x ）=4x 3+3tx 2﹣6t 2x +t ﹣1，x ∈R ，其中t ∈R ．（Ⅰ）当t=1时，求曲线y=f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程； （Ⅱ）当t ≠0时，求f （x ）的单调区间；（Ⅲ）证明：对任意的t ∈（0，+∞），f （x ）在区间（0，1）内均存在零点． 20．（14分）已知数列{a n }与{b n }满足b n +1a n +b n a n +1=（﹣2）n +1，bn =3+(−1)n−12，n ∈N *，且a 1=2． （Ⅰ）求a 2，a 3的值（Ⅱ）设c n =a 2n +1﹣a 2n ﹣1，n ∈N *，证明{c n }是等比数列（Ⅲ）设S n 为{a n }的前n 项和，证明S 1a 1+S 2a 2+…+S 2n−1a 2n−1+S 2n a 2n ≤n ﹣13（n ∈N *）2011年天津市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分） 1．（5分）i 是虚数单位，复数1−3i 1−i=（ ）A ．2﹣iB ．2+iC ．﹣1﹣2iD ．﹣1+2i【解答】解：复数1−3i 1−i =(1−3i)(1+i)(1−i)(1+i)=4−2i2=2−i故选A2．（5分）设变量x ，y 满足约束条件{x ≥1x +y −4≤0x −3y +4≤0则目标函数z=3x ﹣y 的最大值为（ ） A ．﹣4 B ．0C ．43D ．4【解答】解：画出不等式表示的平面区域将目标函数变形为y=3x ﹣z ，作出目标函数对应的直线，当直线过（2，2）时，直线的纵截距最小，z 最大 最大值为6﹣2=4 故选D3．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为﹣4，则输出y的值为（）A．0.5 B．1 C．2 D．4【解答】解：当输入x=﹣4时，|x|＞3，执行循环，x=|﹣4﹣3|=7|x|=7＞3，执行循环，x=|7﹣3|=4，|x|=4＞3，执行循环，x=|4﹣3|=1，退出循环，输出的结果为y=21=2．故选C．4．（5分）设集合A={x∈R|x﹣2＞0}，B={x∈R|x＜0}，C={x∈R|x（x﹣2）＞0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．即不充分也不必要条件【解答】解：A={x∈R|x﹣2＞0}={x|x＞2}A∪B={x|x＞2或x＜0}C={x∈R|x（x﹣2）＞0}={x|x＞2或x＜0}∴A∪B=C∴“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件故选C5．（5分）已知a=log23.6，b=log43.2，c=log43.6则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞a＞b【解答】解：∵a=log23.6=log43.62∵y=log4x在（0，+∞）单调递增，又∵3.62＞3.6＞3.2∴log43.62＞log43.6＞log43.2即a＞c＞b故选：B6．（5分）已知双曲线x2a2﹣y2b2=1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2=2px的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为（）A．2√3 B．2√5 C．4√3 D．4√5【解答】解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），即点（﹣2，﹣1）在抛物线的准线上，又由抛物线y2=2px的准线方程为x=﹣p 2，则p=4，则抛物线的焦点为（2，0）；则双曲线的左顶点为（﹣2，0），即a=2；点（﹣2，﹣1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为y=±12 x，由双曲线的性质，可得b=1；则c=√5，则焦距为2c=2√5；故选B．7．（5分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，﹣π＜φ≤π．若函数f（x）的最小正周期为6π，且当x=π2时，f（x）取得最大值，则（）A．f（x）在区间[﹣2π，0]上是增函数B．f（x）在区间[﹣3π，﹣π]上是增函C ．f （x ）在区间[3π，5π]上是减函数D ．f （x ）在区间[4π，6π]上是减函数【解答】解：∵函数f （x ）的最小正周期为6π，根据周期公式可得ω=2π6π=13，∴f （x ）=2sin （13x +φ），∵当x=π2时，f （x ）取得最大值，∴2sin （π6+φ）=2，φ=π3+2kπ，∵﹣π＜φ≤π，∴φ=π3，∴f(x)=2sin(13x +π3)，由−π2+2kπ≤13x +π3≤π2+2kπ 可得函数的单调增区间：[6kπ−5π2，6kπ+π2]， 由π2+2kπ≤x 3+π3≤3π2+2kπ可得函数的单调减区间：[6kπ+π2，6kπ+7π2]， 结合选项可知A 正确， 故选A ．8．（5分）对实数a 与b ，定义新运算“⊗”：a ⊗b={a ，a −b ≤1b ，a −b ＞1．设函数f （x ）=（x 2﹣2）⊗（x ﹣1），x ∈R ．若函数y=f （x ）﹣c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是（ ）A ．（﹣1，1]∪（2，+∞）B ．（﹣2，﹣1]∪（1，2]C ．（﹣∞，﹣2）∪（1，2]D ．[﹣2，﹣1] 【解答】解：∵a ⊗b ={a ，a −b ≤1b ，a −b ＞1.，∴函数f （x ）=（x 2﹣2）⊗（x ﹣1） ={x 2−2，−1≤x ≤2x −1，x ＜−1或x ＞2， 由图可知，当c ∈（﹣2，﹣1]∪（1，2] 函数f （x ） 与y=c 的图象有两个公共点， ∴c 的取值范围是 （﹣2，﹣1]∪（1，2]， 故选B ．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）已知集合A={x∈R||x﹣1|＜2}，Z为整数集，则集合A∩Z中所有元素的和等于3．【解答】解：A={x∈R||x﹣1|＜2}={x|﹣1＜x＜3}，而Z为整数集，集合A∩Z={0，1，2}，故集合A∩Z中所有元素的和等于0+1+2=3，故答案为3．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则这个几何体的体积为4m3．【解答】解：由三视图可知，这是一个简单的组合体，上面是一个底面是边长为1的正方形，高是2的四棱柱，体积是1×1×2下面是一个长为2，高为1，宽为1的长方体，体积是1×1×2∴几何体的体积是1×1×2+2×1×1=4m3，故答案为：411．（5分）已知{a n}为等差数列，S n为{a n}的前n项和，n∈N*，若a3=16，S20=20，则S10值为110．【解答】解：由题意a3=16，故S5=5×a3=80，由数列的性质S10﹣S5=80+25d，S15﹣S10=80+50d，S20﹣S15=80+75d，故S20=20=320+150d，解之得d=﹣2又S10=S5+S10﹣S5=80+80+25d=160﹣50=110故答案为：11012．（5分）已知log2a+log2b≥1，则3a+9b的最小值为18．【解答】解：由log2a+log2b≥1得ab≥2，且a＞0，b＞0．又3a+9b=3a+32b≥2√3a⋅32b=2√3a+2b，因为a+2b≥2√a⋅2b=2√2ab≥2√2×2=4，所以3a+9b≥2√34=18．即3a+9b的最小值为18．故答案为18．13．（5分）如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF=CF=√2，AF：FB：BE=4：2：1．若CE与圆相切，则CE的长为√72．【解答】解：设AF=4k ，BF=2k ，BE=k ，由DF•FC=AF•BF ，得2=8k 2，即k=12，∴AF=2，BF=1，BE=12，AE=72，由切割定理得CE 2=BE•EA=12×72=74， ∴CE=√72．14．（5分）已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P 是腰DC 上的动点，则|PA →+3PB →|的最小值为 5 ．【解答】解：如图，以直线DA ，DC 分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系， 则A （2，0），B （1，a ），C （0，a ），D （0，0） 设P （0，b ）（0≤b ≤a ）则PA →=（2，﹣b ），PB →=（1，a ﹣b ）， ∴PA →+3PB →=（5，3a ﹣4b ）∴|PA →+3PB →|=√25+(3a −4b)2≥5． 故答案为5．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）编号为A 1，A 2，…，A 16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：运动员编号 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 A 8得15 35 212825 361834分 运动员编号 A 9 A 10 A 11A 12 A 13 A14A 15 A16得分17 26 25 33 22 1231 38（Ⅰ）将得分在对应区间内的人数填入相应的空格；区间[10，20） [20，30） [30，40]人数（Ⅱ）从得分在区间[20，30）内的运动员中随机抽取2人， （i ）用运动员的编号列出所有可能的抽取结果； （ii ）求这2人得分之和大于50分的概率．【解答】解：（I ）由已知中编号为A 1，A 2，…，A 16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录表易得：得分在区间[10，20）上的共4人，在区间[20，30）上的共6人，在区间[30，40]上的共6人， 故答案为4，6，6（II ）（i ）得分在区间[20，30）上的共6人，编号为A 3，A 4，A 5，A 10，A 11，A 13， 从中随机抽取2人，计为（X ，Y ），则所有可能的抽取结果有： （A 3，A 4），（A 3，A 5），（A 3，A 10），（A 3，A 11），（A 3，A 13）， （A 4，A 5），（A 4，A 10），（A 4，A 11），（A 4，A 13），（A 5，A 10），（A 5，A 11），（A 5，A 13），（A 10，A 11），（A 10，A 13），（A 11，A 13）共15种． （ii ）从得分在区间[20，30）内的运动员中随机抽取2人，这2人的得分之和大于50分的基本事件有：（A 4，A 5），（A 4，A 10），（A 4，A 11），（A 5，A 10），（A 10，A 11）共5种故这2人得分之和大于50分的概率P=515=1316．（13分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B=C ，2b=√3a ． （Ⅰ）求cosA 的值；（Ⅱ）cos （2A +π4）的值．【解答】解：（I ）由B=C ，2b =√3a 可得c =b =√32a 所以cosA=b 2+c 2−a 22bc=34a 2+34a 2−a 22×√3a 2×√3a 2=13（II ）因为cosA =13，A ∈(0，π)所以sinA =√1−cos 2A =2√23故sin2A =2sinAcosA =4√29所以cos(2A +π4)=cos2Acos π4−sin2Asin π4 =−79×√22−4√29×√22=−8+7√21817．（13分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O 为AC 中点，PO ⊥平面ABCD ，PO=2，M 为PD 中点． （Ⅰ）证明：PB ∥平面ACM ； （Ⅱ）证明：AD ⊥平面PAC ；（Ⅲ）求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值．【解答】解：（I ）证明：连接BD ，MO在平行四边形ABCD 中，因为O 为AC 的中点，所以O 为BD 的中点，又M 为PD 的中点，所以PB ∥MO 因为PB ⊄平面ACM ，MO ⊂平面ACM 所以PB ∥平面ACM（II ）证明：因为∠ADC=45°，且AD=AC=1，所以∠DAC=90°，即AD ⊥AC 又PO ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PO ⊥AD ，AC ∩PO=O ，AD ⊥平面PAC （III ）解：取DO 中点N ，连接MN ，AN因为M 为PD 的中点，所以MN ∥PO ，且MN=12PO=1，由PO ⊥平面ABCD ，得MN ⊥平面ABCD所以∠MAN 是直线AM 与平面ABCD 所成的角．在Rt △DAO 中，AD =1，AO =12，所以DO =√52， ∴AN =12DO =√54，MN =12PO =1在Rt △ANM 中，tan∠MAN =MN AN =√54=4√55即直线AM 与平面ABCD 所成的正切值为4√5518．（13分）设椭圆x 2a 2+y 2b2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2．点P （a ，b ）满足|PF 2|=|F 1F 2|．（Ⅰ）求椭圆的离心率e ；（Ⅱ）设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，若直线PF 2与圆（x +1）2+(y −√3)2=16相交于M ，N 两点，且|MN |=58|AB |，求椭圆的方程．【解答】解：（Ⅰ）设F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）（c ＞0）．由题得|PF 2|=|F 1F 2|，即√(a −c)2+b 2=2c ，整理得2(c a )2+c a﹣1=0，得ca=﹣1（舍），或c a =12， 所以e=12．（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=2c ，b=√3c ，可得椭圆方程为3x 2+4y 2=12c 2，直线方程PF 2为y=√3（x ﹣c ）．A ，B 的坐标满足方程组{3x 2+4y 2=12c 2y =√3(x −c)，消y 并整理得5x 2﹣8xc=0，解得x=0，x=85c ，得方程组的解为{x =0y =−√3c ，{x =85c y =3√35c，不妨设A （85c ，3√35c ），B （0，﹣√3c ）．所以|AB |=√(85)2+(3√3c 5+√3c)2=165c ，于是|MN |=58|AB |=2c ． 圆心（﹣1，√3）到直线PF 2的距离d=|−√3−√3−√3c|2，因为d 2+(|MN|2)2=42，所以34（2+c ）2+c 2=16，整理得c=﹣267（舍）或c=2． 所以椭圆方程为x 216+y 212=1．19．（14分）已知函数f （x ）=4x 3+3tx 2﹣6t 2x +t ﹣1，x ∈R ，其中t ∈R ． （Ⅰ）当t=1时，求曲线y=f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程； （Ⅱ）当t ≠0时，求f （x ）的单调区间；（Ⅲ）证明：对任意的t ∈（0，+∞），f （x ）在区间（0，1）内均存在零点． 【解答】解：（I ）当t=1时，f （x ）=4x 3+3x 2﹣6x ，f （0）=0f'（x ）=12x 2+6x ﹣6，f'（0）=﹣6，所以曲线y=f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程为y=﹣6x ．（II ）解：f'（x ）=12x 2+6tx ﹣6t 2，f'（0）=0，解得x=﹣t 或x=t2∵t ≠0，以下分两种情况讨论：（1）若t ＜0，则t2＜﹣t ，∴f （x ）的单调增区间是（﹣∞，t2），（﹣t ，+∞）；f（x ）的单调减区间是（t2，﹣t ）（2）若t ＞0，则t 2＞﹣t ，∴f （x ）的单调增区间是（﹣∞，﹣t ），（t2，+∞）；f（x ）的单调减区间是（﹣t ，t2）（III ）证明：由（II ）可知，当t ＞0时，f （x ）在（0，t 2）内单调递减，在（t2，+∞）内单调递增，以下分两种情况讨论：（1）当t2≥1，即t ≥2时，f （x ）在（0，1）内单调递减．f （0）=t ﹣1＞0，f （1）=﹣6t 2+4t +3≤﹣13＜0所以对于任意t ∈[2，+∞），f （x ）在区间（0，1）内均存在零点．（2）当0＜t 2＜1，即0＜t ＜2时，f （x ）在（0，t 2）内单调递减，在（t2，1）内单调递增若t ∈（0，1]，f （t2）=−74t 3+t ﹣1≤−74t 3＜0，f （1）=﹣6t 2+4t +3≥﹣2t +3＞0所以f （x ）在（t2，1）内存在零点．若t ∈（1，2），f （t 2）=−74t 3+t ﹣1＜−74t 3+1＜0，f （0）=t ﹣1＞0∴f （x ）在（0，t2）内存在零点．所以，对任意t ∈（0，2），f （x ）在区间（0，1）内均存在零点． 综上，对于任意t ∈（0，+∞），f （x ）在区间（0，1）内均存在零点．20．（14分）已知数列{a n }与{b n }满足b n +1a n +b n a n +1=（﹣2）n +1，b n =3+(−1)n−12，n ∈N *，且a 1=2．（Ⅰ）求a 2，a 3的值（Ⅱ）设c n =a 2n +1﹣a 2n ﹣1，n ∈N *，证明{c n }是等比数列（Ⅲ）设S n 为{a n }的前n 项和，证明S 1a 1+S 2a 2+…+S 2n−1a 2n−1+S 2n a 2n ≤n ﹣13（n ∈N *）【解答】（Ⅰ）解：由b n =3+(−1)n−12，（n ∈N *）可得b n ={2n 为奇数1n 为偶数又b n +1a n +b n a n +1=（﹣2）n +1，当n=1时，a 1+2a 2=﹣1，可得由a 1=2，a 2=﹣32；当n=2时，2a 2+a 3=5可得a 3=8；（Ⅱ）证明：对任意n ∈N *，a 2n ﹣1+2a 2n =﹣22n ﹣1+1…① 2a 2n +a 2n +1=22n +1…② ②﹣①，得a 2n +1﹣a 2n ﹣1=3×22n ﹣1，即：c n =3×22n ﹣1，于是C n+1C n=4所以{c n }是等比数列． （Ⅲ）证明：a1=2，由（Ⅱ）知，当k ∈N *且k ≥2时，a 2k ﹣1=a 1+（a 3﹣a 1）+（a 5﹣a 3）+（a 7﹣a 5）+…+（a 2k ﹣1﹣a 2k ﹣3） =2+3（2+23+25+…+22k ﹣3）=2+3×2(1−4k−1)1−4=22k ﹣1，故对任意的k ∈N *，a 2k ﹣1=22k ﹣1．由①得22k ﹣1+2a 2k =﹣22k ﹣1+1，所以a 2k =12−22k−1k ∈N *， 因此，S 2k =(a 1+a 2)+(a 3+a 4)+⋯+(a 2k−1+a 2k )=k2 于是，S 2k−1=S 2k −a 2k =k−12+22k−1． 故S 2k−1a 2k−1+S 2k a 2k=k−12+22k−122k−1+k212−22k−1=k−1+22k 22k +k 1−22k=1−14k −k4k (4k −1)所以，对任意的n ∈N *，S 1a 1+S 2a 2+…+S 2n−1a 2n−1+S 2n a 2n =（S 1a 1+S 2a 2）+…+（S 2n−1a 2n−1+S 2na 2n） =(1−14−112)+(1−142−242(42−1))+⋯+(1−1n −n n n )=n −(14+112)−(142+242(42−1))−⋯−(1n +n n n )=n﹣(14+112+142+242(42−1)+⋯+14n+n4n(4n−1))≤n﹣14﹣112=n﹣13（n∈N*）。
天津市十二所重点学校2011年高三联考数学(文)试题及答案
天津市十二所重点学校2011年高三毕业班联考（一）数学试题（文科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
考试结束后，将Ⅱ卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷 选择题（共40分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上。
2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答案不能答在试题卷上。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+柱体的体积公式.V Sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高。
锥体的体积公式1.3V Sh =其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高。
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知复数21212,32,z z i z i z z =+=+=则在复平面内所对应的点位于 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．函数2()21log f x x x =-+的零点所在区间是 （ ）A ．11(,)84B ．11(,)42C ．1(,1)2D ．（1，2）3．下列命题中真命题的个数是（ ） ①“2,0x R x x ∀∈->”的否定是“2,0x R x x ∃∈->”； ②若11|21|1,010x x x-><<<则或； ③*4,21x N x ∀∈+是奇数。
A ．0B ．1C ．2D ．34．右图给出的是计算111124620++++ 的值的一个程序框图， 其中判断框内应填入的条件是（ ）A ．10i <B ．10i >C ．20i >D ．20i <5．已知函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的部分图象如图所示，则()y f x =的图象可由函数()sin g x x =的图象（纵 坐标不变） （ ） A ．先把各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向右平移12π个单位B ．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移12π个单位C ．先把各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向左平移6π个单位D ．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移6π个单位 6．设111()()1555b a <<<，那么（ ）A ．abaa b b << B ．a a ba b a <<C ．b a a a b a <<D ．b a aa ab <<7．已知函数2|log |1()2||x f x x x =--，则不等式1()()2f x f >的解集等于 （ ）A ．11(,)(3,)42⋃+∞B ．1(,3)4C ．1(,)(2,)2-∞⋃+∞D ．1(,2)28．已知双曲线2222:1(0)x y C a b a b-=>>半焦距为c ，过焦点且斜率为1的直线与双曲线C 的左右两支各有一个交点，若抛物线24y cx =的准线被双曲线C 截得的弦长为2(3e 为双曲线C 的离心率），则e 的值为（ ）A ．2B C ．332或D ．2第Ⅱ卷 非选择题（共110分）二、填空题；本大题共6小题，每小题5分，共30分。
da2011年高考数学试卷答案 天津文
参考答案 1.A提示：i 22i24)i 1)(i 1()i 1)(i 31(i 1i 31-=-=+-+-=--.2.D提示：如下图，画可行域（阴影部分），通过平移与03=-y x 平行的直线可知，y x z -=3在(2,2)A 点有最大值，故4max =z .也可将三角形区域的其它顶点坐标代入目标函数3z x y=-中去求值查对，看看自己求得的值是否三个值中最大的，如果不是最大的，那么求解必有错.3.C提示：根据条件执行3次，过程如下：第一次：7=x ；第二次：4=x ；第三次：1=x ；不满足条件输出2=y ，故选(C).4.C提示：经化简：}2|{>∈=x x A R ，则}02|{<>=⋃x x x B A 或，又{}0,2,C x x x =∈<>R或故C B A =⋃,故选（C ）.5.B提示：首先确定：1,1,1<<>c b a ，又显然6.3log 2.3log 44<，故选(B).6.B提示：双曲线的左顶点为A )0,(a -，抛物线的焦点为)0,2(p B ，则42=+pa ；双曲线的一条渐近线为x ab y =，把)1,2(--代入后得b a 2=，而抛物线的准线为22-=-=px ，由此解得1,2==b a ，则5=c ，故双曲线的焦距为52.7.A提示：由6πT =,得31=ω,当π2x =时，1ππ2π,322k k ϕ⨯+=+∈Z ,解得π2π,3k k ϕ=+∈Z ，又πϕ-<≤ππ=3ϕ，所以，即1π()2sin()33f x x =+，π1ππ2π2π,2332k x k k -≤+≤+∈Z ,)(x f 单调递增，解得5π6π2k -≤x ≤π6π,2k k +∈Z ，令0=k ，则)(x f 在区间5ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，那么)(x f 在区间[2π,0]-上是增函数.此题也可验证选项的正确性，如对于选项（A ）,若2π0x -≤≤，则π1ππ3333x -≤+≤，)(x f 为增函数，故选(A). 8.B提示：解1)1()2(2≤---x x ，得21≤≤-x ，则⎩⎨⎧>-<-≤≤--=，或，，，211212)(2x x x x x x f 如下图，由图像可看出函数c y =与函数()f x 有两个交点时，c 的取值范围为]2,1(]1,2(⋃--.故应选（B ）.9.3提示：{}1<3A x x <=∈R |-，则{}0,1,2A ⋂=Z ，那么A ⋂Z 中所有元素的和等于3.10.4提示：根据所给的几何体的三视图，可以想到这个几何体是一个如下图所示的复合体.底座是一个长、宽、高分别为2,1,1的长方体，上面是一个长、宽、高分别1,1,2的长方体，可得422=+=V .11.110提示：⎪⎩⎪⎨⎧=⨯⨯+=+，，20219202016211d a d a 解得⎩⎨⎧-==.2201d a ，则110291010110=⨯⨯+=d a S .12.18提示：因为()222log log log a b ab +=≥1，所以ab ≥2.而ba 93+≥b a b a 232932+=⋅≥ab2232当且仅当⎩⎨⎧==,2,93b a b a 即b a 2=时，取等号.又ab2232≥1832222=⨯，故最小值为18.也可由ab ≥2，得到a ≥2b，那么b a 93+≥b b 2233+≥bb 22332⋅≥18，当且仅当1=b 时，取等号.13.27 提示：设,x BE =则,2,4x FB x AF ==由圆的相交弦定理得FC DF FB AF ⋅=⋅,解得.21=x 由切割线定理知，2,CE EB EA =⋅解得27=CE . 14.5提示：建立如下图所示的坐标系，则),0,2(A 设),0(),,0(a C y P ，则),1(a B ，那么),1(),,2(y a PB y PA -=-=，)43,5(3y a -=+，从而22)43(25|3|y a PB PA -+=+≥25，当且仅当a y 43=时，取等号.15.解：（Ⅰ）4，6，6.（Ⅱ）（i ）得分在区间[20,30)内的运动员编号为345101113,,,,,.A A A A A A 从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有：343531*********{,},{,},{,},{,},{,},{,},A A A A A A A A A A A A 410{,}A A ，411413510511513101110131113{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,}A A A A A A A A A A A A A A A A ，共15种.（ii ）“从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50”（记为事件B ）的所有可能结果有454104115101011{,},{,},{,},{,},{,}A A A A A A A A A A ，共5种.所以51().153P B ==16.解：（Ⅰ）由,2,B C b ==可得2c b a ==.所以222222331cos .23a a a b c a A bc +-+-===（Ⅱ）因为1cos ,(0,π)3A A =∈，所以sin 3A ==. 27cos 22cos 1.9A A =--=-故sin 22sin cos 9A A A ==所以πππ7c 44A A⎛⎫+= ⎪⎝⎭17.（Ⅰ）证明：连接,BD OM ,如下图，在平行四边形ABCD 中，因为O 为AC 的中点，所以O 为BD 的中点，又M 为PD 的中点，所以PB //MO .因为PB ⊄平面ACM ，MO ⊂平面ACM ，所以PB //平面ACM .（Ⅱ）证明：因为45ADC ∠=︒，且1A D A C ==，所以90DAC ∠=︒，即AD AC ⊥，又PO ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以,PO AD AC PO O ⊥⋂=而，所以AD ⊥平面PAC .（Ⅲ）解：取DO 中点N ，连接MN ，AN ，因M 为PD 的中点，所以MN //PO ，且11,2MN PO PO ==⊥由平面ABCD ，得MN ⊥平面ABCD ，所以MAN ∠是直线AM 与平面A B C D 所成的角，在Rt DAO ∆中，11,2AD AO ==，所以DO =，从而12AN DO ==，在Rt ,tan MN APF MAN AN ∆∠===中，即直线AM 与平面ABCD所成角的正切值为18.解：（Ⅰ）设12(,0),(,0)(0)F c F c c ->，因为212||||PF F F =，2c =，整理得2210,1c cc a aa ⎛⎫+-==- ⎪⎝⎭得（舍）或11,.22c e a ==所以 （Ⅱ）由（Ⅰ）知2,a c b c==，可得椭圆方程为2223412x y c +=.又P (a b ，),2F (,0)c ,所以直线2PF的方程为).y x c =-,A B两点的坐标满足方程组2223412,).x y c y x c ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩ 消去y 并整理，得2580x cx -=. 解得1280,5x x c ==，得方程组的解21128,0,5,.x c x y y ⎧=⎪=⎧⎪⎪⎨⎨=⎪⎪⎩=⎪⎩不妨设85A c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，(0,)B ，所以16||.5AB c ==于是5||||2.8MN AB c ==圆心(-到直线2PF的距离||2|.22c d+==因为222||42MN d ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以223(2)16.4c c ++=整理得2712520c c +-=，得267c =-（舍），或 2.c =所以椭圆方程为221.1612x y +=19.（Ⅰ）解：当1t =时，322()436,(0)0,()1266f x x x x f f x x x '=+-==+-,(0) 6.f '=-所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为6.y x =-（Ⅱ）解：22()1266f x x tx t '=+-，令()0f x '=，解得.2tx t x =-=或因为0t ≠，所以下分两种情况讨论： （1） 若0,,2tt t x <<-则当变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：所以，()f x 的单调递增区间是(),,,;()2t t f x ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭的单调递减区间是,2t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭.（2）若0,2tt t >-<则，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：所以，()f x 的单调递增区间是(),,,;()2t t f x ⎛⎫-∞-+∞⎪⎝⎭的单调递减区间是,.2t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知，当0t >时，()f x 在0,2t ⎛⎫ ⎪⎝⎭内的单调递减，在,2t ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递增，以下分两种情况讨论： (1)当2t≥1t ，即≥2时，()f x 在（0，1）内单调递减. 2(0)10,(1)643f t f t t =->=-++≤644230.-⨯+⨯+<所以对任意[2,),()t f x ∈+∞在区间（0，1）内均存在零点.(2)当01,022t t <<<<即时，()f x 在0,2t ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，在,12t ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增.若317(0,1],124t f t t ⎛⎫∈=-+- ⎪⎝⎭≤370.4t -<2(1)643f t t =-++≥643230.t t t -++=-+>所以(),12t f x ⎛⎫⎪⎝⎭在内存在零点.若()3377(1,2),110,244t t f t t t ⎛⎫∈=-+-<-+< ⎪⎝⎭(0)10f t =->.所以()0,2t f x ⎛⎫⎪⎝⎭在内存在零点.所以，对任意(0,2),()t f x ∈在区间（0，1）内均存在零点.综上，对任意(0,),()t f x ∈+∞在区间（0，1）内均存在零点.20.（Ⅰ）解：由13(1),2n n b n -+-=∈*N ，可得2,,1,n n b n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数.又()1121nn n n n b a b a +++=-+， 当1n =时12,21,a a +=-由12,a =可得23;2a =-当2n =时，2325a a +=，可得38a =. （Ⅱ）证明：对任意n ∈*N , 21212221n n n a a --+=-+, ①2221221n n n a a ++=+. ②②-①，得21212132,n n n a a -+--=⨯即2132,n n c -=⨯于是14n nc c +=. 又16c =≠0，所以{}n c 是等比数列.（Ⅲ）证明：12a =，由（Ⅱ）知，当k k ∈*N 且≥2时，2113153752123()()()()k k k a a a a a a a a a a ---=+-+-+-++-13523212(14)23(2222)23214k k k ----=+++++=+⨯=-.故对任意2121,2.k k k a --∈=*N由①得212122221,k k k a --+=-+所以21212,2k k a k -=-∈*N . 因此，21234212()()().2k k k kS a a a a a a -=++++++=于是，212-12212.2k k k k k S S a --=-=+故21221221222121212121221.1222144(41)22k k k kk k k k k kk k kk kS S k k k a a ------+-++=+=-=----- 所以对任意,n ∈*N()()2121212212321212412342122221112111141244441441n nn nn n n n n n n S S S S a a a a S S S S S S a a a a a a n ----++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--+--++-- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()2221112141244441441111.4123n n nnn n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+-+--+ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫≤-+=- ⎪⎝⎭。
2011天津高考文科数学真题解析版
2011年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（天津卷，解析版）注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上．并将准考证 号条形码粘贴在答题卡上的指定位置，用2B 铅笔将答题卡上试卷类型B 后的方框涂黑。
2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
咎在试题卷、草稿纸上无效。
3填空题和解答题用0 5毫米黑色墨水箍字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区 域内。
答在试题卷、草稿纸上无效。
4考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共l0小题．每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是满足题目要求的.1.i 是虚数单位，复数131ii--= A.2i - B. 2i + C.12i -- D. 12i -+【答案】A 【解析】因为13(13)(1)212i i i i i --+==--，故选A. 2.设变量,x y 满足约束条件140340x x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩,则目标函数3z x y =-的最大值为A.-4B.0C.43D.4【答案】D【解析】画出不等式表示的平面区域,容易求出最大值为4,选D.3.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,若输入x的值为-4,则输出y的值为A.0.5B.1C.2D.46.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左顶点与抛物线22(0)y px p =>的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦距为A. B.【答案】B【解析】由题意知,抛物线的准线方程为2x =-,所以4p =,又42pa +=,所以2a =,又因为双曲线的一条渐近线过点(-2,-1),所以双曲线的渐近线方程为12y x =±,即12b a =,所以1b =,即25c =,2c =,选B.7.已知函数()2sin(),,f x x x R ωϕ=+∈其中0,.ωπϕπ>-<≤若()f x 的最小正周期为6π,且当2x π=时, ()f x 取得最大值,则A. ()f x 在区间[2,0]π-上是增函数B. ()f x 在区间[3,]ππ--上是增函数C. ()f x 在区间[3,5]ππ上是减函数D. ()f x 在区间[4,6]ππ上是减函数二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 已知集合{}||1|2,A x R x Z =∈-<为整数集,则集合A Z ⋂中所有元素的和等于 . 【答案】3【解析】因为{}|13A x x =-<<,所以{}0,1,2A Z ⋂=,故其和为3.10. 一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为3m .【答案】4【解析】由三视图知,该几何体是由上、下两个长方体组合而成的,容易求得体积为4.11. 已知{}n a 是等差数列,n S 为其前n 项和,n N *∈.若316a =,2020S =,则10S 的值为 .【答案】110三、解答题：本大题共6小题，共80分． 15.（本小题满分13分） 编号分别为1216,,,A A A 的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下:(Ⅰ)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格:(Ⅱ)从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人, (i) 用运动员编号列出所有可能的抽取结果; (ii)求这2人得分之和大于50的概率.16.（本小题满分13分）在ABC ∆中,内角A,B,C 的对边分别为,,a b c .已知B=C, 2b =. (Ⅰ)求cos A 的值;(Ⅱ)求cos(2)4Aπ+的值.【解析】(Ⅰ)由B=C,2b =,可得c b ==,所以 222222331cos 23a a a b c a A bc +-+-===.(Ⅱ)因为1cos 3A =,(0,)A π∈,所以sin A =, 27cos 22cos 19A A =-=-,故sin 22sin cos 9A A A ==,所以cos(2)cos 2cos sin 2sin 444A A A πππ+=-=818+-. 【命题意图】本小题主要考查余弦定理、两角和的余弦公式、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦、余弦公式等基础知识，考查基本运算能力. 17.（本小题满分13分）如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为平行四边形,45ADC ∠=,AD=AC=1,O 为AC 的中点,PO ⊥平面ABCD,PO=2,M 为PD 的中点.(Ⅰ)证明PB ∥平面ACM ; (Ⅱ)证明AD ⊥平面PAC;(Ⅲ)求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值.【解析】(Ⅰ)证明:连接BD,MO.在平行四边形ABCD 中,因为O 为AC 的中点,所以O 为BD 的中点,又M 为PD 的中点,所以PB∥MO,因为PB ⊄平面ACM ,MO ⊂平面ACM ,所以PB∥平面ACM .(Ⅱ)证明:因为45ADC ∠=,AD=AC=1,所以AD⊥AC,又PO⊥平面ABCD,AD ⊂平面ABCD,所以PO⊥AD,而 AC PO O ⋂=,所以AD⊥平面PAC.(Ⅲ)取DO 点N,连接MN,AN,因为M 为PD 的中点,所以MN∥PO,且MN=12PO=1,由PO⊥平面ABCD,得MN⊥平面ABCD,所以MAN ∠是直线AM 与平面ABCD 所成的角.在Rt DAO ∆中,AD=1,AO=12,所以4DO =,从而124AN DO ==.在Rt ANM ∆中,tan MN MAN AN ∠===5,即直线AM与平面ABCD . 【命题意图】本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力. 18.（本小题满分13分）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ,点(,)P a b 满足212||||PF F F =.（Ⅰ）求椭圆的离心率e ;(Ⅱ)设直线2PF 与椭圆相交于A,B 两点.若直线2PF 与圆22(1)(16x y ++=相交于M,N 两点,且|MN|=58|AB|,求椭圆的方程.19.（本小题满分14分）已知函数322()4361,,f x x tx t x t x R =+-+-∈其中t R ∈. （Ⅰ）当1t =时,求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程; (Ⅱ)当0t ≠时,求()f x 的单调区间;(Ⅲ)证明:对任意(0,)t ∈+∞,()f x 在区间(0,1)内均在零点.【解析】（Ⅰ）当1t =时,32()436,(0)0,f x x x x f =+-= 2'()1266,'(0)6f x x x f =+-=-, 所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为6y x =-. (Ⅱ) 22'()1266,f x x tx t =+-令'()0f x =,解得x t =-或2t,因为0t ≠,以下分两种情况讨论: (1)若0t <,则tt <-.当x 变化时, '()f x ,()f x 的变化情况如下表: 所以()f x 的单调递增区间是(,)2-∞,(,)t -+∞;()f x 的单调递减区间是(,)2t -. (2)若0t >,则2tt >-.当x 变化时, '()f x ,()f x 的变化情况如下表: 所以()f x 的单调递增区间是(,)t -∞-,(,)2+∞;()f x 的单调递减区间是(,)2t -.所以()f x 在(,1)2t 内存在零点. 若(1,2)t ∈,37()(1)24t f t t =-+-<37104t -+<, (0)10,f t =->所以()f x 在(0,)2t内存在零点,所以,对任意(0,2)t ∈,()f x 在区间(0,1)内均在零点.综上, 对任意(0,)t ∈+∞,()f x 在区间(0,1)内均在零点.【命题意图】本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法. 20.（本小题满分14分）已知数列{}n a 与{}n b 满足11(2)1nn n n n b a b a +++=-+,13(1),2n n b n N -+-=∈*,且12a =. （Ⅰ）求23,a a 的值;(Ⅱ)设2121n n n c a a +-=-,n N ∈*,证明{}n c 是等比数列; (Ⅲ)设n S 为{}n a 的前n 项和,证明21212122121()3n n n n S S S S n n N a a a a *--++++≤-∈.。
2011年数学人教版天津卷
2011年数学人教版天津卷一、选择题1、（天津文6）设5log 4a =，()25log 3b =，4log 5c =，则（ ）．Ａ．a c b << Ｂ．b c a << Ｃ．a b c << Ｄ．b a c <<2、（天津理2）设,,x y R ∈则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．即不充分也不必要条件3、（天津文10）设函数()22g x x =-()x ∈R ，()()()()()4,,,,g x x x g x f x g x x x g x ++<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩则()f x 的值域是（ ）．Ａ．()9,01,4⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦U Ｂ．[)0,+∞，Ｃ．9,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ Ｄ．()9,02,4⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦U4、（天津文4）函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是（ ）． Ａ．()2,1-- Ｂ．()1,0- Ｃ．()0,1Ｄ．()1,25、（天津理8）设函数()()212log ,0log ,0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是（ ）．Ａ．()()1001,,U - Ｂ．()()11,,-∞-+∞UＣ．()()101,,-+∞U Ｄ．()()101,,-∞-U6、（天津理2）函数()23x f x x=+的零点所在的一个区间是（ ）．Ａ．()2,1--Ｂ．()1,0-Ｃ．()0,1Ｄ．()1,2二、填空题7、（天津理16）设函数()21f x x =-．对任意3,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭， ()()()2414x f m f x f x f m m ⎛⎫-≤-+ ⎪⎝⎭恒成立，则实数m 的取值范围是 ．三、解答题8、（天津理21）已知函数()e x f x x -=()x ∈R ．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）已知函数()y g x =的图象与函数()y f x =的图象关于直线1x =对称．证明当1x >时，()()f xg x >．（Ⅲ）如果12x x ≠，且()()12f x f x =，证明122x x +>．四、选择题9、天津理已知双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的一条渐近线方程是y =，它的一个焦点在抛物线224y x =的准线上，则双曲线的方程为（ ）．Ａ．22136108x y -= Ｂ．221927x y -= Ｃ．22110836x y -= Ｄ．221279x y -=五、填空题10、已知圆C 的圆心是直线,1x t y t=⎧⎨=+⎩（t 为参数）与x 轴的交点，且圆C 与直线30x y ++=相切，则圆C 的方程为 ．11、天津文已知双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的一条渐近线方程是y ，它的一个焦点与抛物线216y x =的焦点相同，则双曲线的方程为 ．12、已知圆C 的圆心是直线10x y -+=与x 轴的交点，且圆C 与直线30x y ++=相切，则圆C 的方程为 ．六、解答题13、（本小题满分12分）已知椭圆22221x y a b +=()0a b >>的离心率e =菱形的面积为4．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆相交于不同的两点,A B ．已知点A 的坐标为(),0a -，点()00,Q y 在线段AB 的垂直平分线上，且4QA QB ⋅=u u r u u u r．求0y 的值．14、（本小题满分14分）已知椭圆22221x y a b +=()0a b >>的离心率e =4．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆相交于不同的两点,A B ．已知点A 的坐标为(),0a -．(ⅰ) 若AB =,求直线l 的倾斜角; (ⅱ)点()00,Q y 在线段AB 的垂直平分线上，且4QA QB ⋅=u u r u u u r．求0y 的值．七、填空题 15、（天津理10）一个几何体的三视图如右图所示（单位：m ），则该几何体的体积为__________3m八、解答题16、（天津理17） 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，H 是正方形11AA B B的中心，1AA=1C H ⊥平面11AA B B，且1C H = （Ⅰ）求异面直线AC 与A1B1所成角的余弦值； （Ⅱ）求二面角111A AC B --的正弦值；（Ⅲ）设N 为棱11B C 的中点，点M 在平面11AA B B 内，且MN ⊥平面11A B C ，求线段BM 的长．九、选择题 17、（天津理3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为A ．3B ．4C ．5D ．6十、填空题 18、（天津理9）一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为___________十一、选择题19、天津文（本小题满分12分）有编号为1210,,,A A A L 的10个零件，测量其直径（单位：cm ），得到其中直径在区间[]1.48,1.52内的零件为一等品．（Ⅰ）从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率． （Ⅱ）从一等品零件中，随机抽取2个．(ⅰ)用零件的编号列出所有可能的抽取结果； (ⅱ)求这2个零件直径相等的概率20、天津理如图，B CFEDA用四种不同的颜色给图中的,,,,,A B C D E F 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色．则不同的涂色方法共有（ ）．Ａ．288种 Ｂ．264种 Ｃ．240种 Ｄ．168种21、甲、乙两人在10天中每天加工的零件的个数用茎叶图表示如下图．中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字零件个数的个位数，则这10天中甲、乙两人日加工零件的平均数分别为和．22、（本小题满分12分）某射手每次射击击中目标的概率是23，且各次射击的结果互不影响．（Ⅰ）假设这名射手射击5次，求恰有2次击中的概率．（Ⅱ）假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率．（Ⅲ）假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分．记ξ为射手射击3次后的总得分数，求ξ的分布列．23、（天津理6）如图，在△ABC中，D是边AC 上的点，且,2,2AB CD AB BC BD===，则sin C的值为A．B．C．D．十二、解答题24、（天津理15）已知函数()tan(2),4 f x xπ=+（Ⅰ）求()f x的定义域与最小正周期；（II ）设0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若()2cos 2,2f αα=求α的大小．本小题主要考查两角和的正弦、余弦、正切公式，同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦、余弦公式，正切函数的性质等基础知识，考查基本运算能力.满分13分.十三、填空题25、（天津理14）已知直角梯形ABCD 中，AD //BC ,090ADC ∠=,2,1AD BC ==,P 是腰DC 上的动点，则3PA PB+ 的最小值为____________.十四、选择题26、（天津理4）已知{}n a 为等差数列，其公差为-2，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为{}n a 的前n 项和，*n N ∈，则10S 的值为A ．-110B ．-90C ．90D ．11027、设函数()()212log ,0log ,0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是（ ）．Ａ．()()1001,,U - Ｂ．()()11,,-∞-+∞U Ｃ．()()101,,-+∞U Ｄ．()()101,,-∞-U28、函数()23x f x x =+的零点所在的一个区间是（ ）．Ａ．()2,1-- Ｂ．()1,0- Ｃ．()0,1 Ｄ．()1,229、设函数()22g x x =-()x ∈R ，()()()()()4,,,,g x x x g x f x g x x x g x ++<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩则()f x 的值域是（ ）．Ａ．()9,01,4⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦U Ｂ．[)0,+∞，Ｃ．9,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ Ｄ．()9,02,4⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦U30、设5log 4a =，()25log 3b =，4log 5c =，则（ ）．Ａ．a c b << Ｂ．b c a << Ｃ．a b c << Ｄ．b a c <<31、函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是（ ）．Ａ．()2,1-- Ｂ．()1,0- Ｃ．()0,1 Ｄ．()1,2十五、填空题32、设函数()21f x x =-．对任意3,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，()()()2414x f m f x f x f m m ⎛⎫-≤-+ ⎪⎝⎭恒成立，则实数m 的取值范围是 ．33、设函数()1f x x x=-．对任意[)1,x ∈+∞，()()0f mx mf x +<恒成立，则实数m 的取值范围是 ．34、已知抛物线C 的参数方程为28,8.x t y t ⎧=⎨=⎩（t 为参数）若斜率为1的直线经过抛物线C 的焦点，且与圆()2224(0)x y r r -+=>相切，则r =________.35、如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一点，且::4:2:1.DF CF AF FB BE ===若CE 与圆相切，则 线段CE 的长为__________.36、已知集合{}1|349,|46,(0,)A x R x x B x R x t t t ⎧⎫=∈++-≤=∈=+-∈+∞⎨⎬⎩⎭，则集合A B ⋂=________.以下是答案 一、选择题 1、D【解析】因为44log 5log 41c c =>==，50log 41a <=<，50log 31a <=<，所以()25555log 3log 3log 4log 4b a=<⋅<=，所以b a c <<，故选Ｄ．2、A3、D【解析】解()22x g x x <=-得220x x -->，则1x <-或2x >．因此()22x g x x ≥=-的解为：12x -≤≤．于是()222,12,2,12,x x x x f x x x x ⎧++<->=⎨---≤≤⎩或当1x <-或2x >时，()2f x >．当12x -≤≤时，2219224x x x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭，则()94f x ≥-， 又当1x =-和2x =时，220x x --=，所以()904f x -≤≤．由以上，可得()2f x >或()904f x -≤≤，因此()f x 的值域是()9,02,4⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦U ．故选Ｄ．4、C【解析】因为()11e 120f --=--<，()00e 0210f =+-=-<，()11e 12e 10f =+-=->，所以函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是()0,1．故选Ｃ．5、C【解析】若0a >，则212log log a a>，即22log 0a >，所以1a >，若0a <则()()122log log a a ->-，即()22log 0a -<，所以01a <-<，10a -<<。
2011年高考天津市数学试卷-文科()
1． i 是虚数单位,复数13i 1i-=-( )． A ．2i - B ．2i + C ．12i -- D ．12i -+3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为4-，则输出y 的值为( )． A ．0.5B ．1C ．2D ．44．设集合{}20A x x =∈->R ，{}0B x x =∈<R ，(){}20C x x x =∈->R ，则“x A B ∈ ”是“x C ∈”的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知2log 3.6a =，4log 3.2b =，4log 3.6c =，则 ( )．A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c a b >> 6．已知双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的左顶点与抛物线()220y px p =>的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为()2,1--，则双曲线的焦距为 ( )．A ．B ．C ．D ．7．已知函数()()2sin f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，ππϕ-<≤．若()f x 的最小正周期为6π，且当π2x =时，()f x 取得最大值，则( )． A ．()f x 在区间[]2π,0-上是增函数 B ．()f x 在区间[]3π,π--上是增函数C ．()f x 在区间[]3π,5π上是减函数D ．()f x 在区间[]4π,6π上是减函数8．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：,1,, 1.a ab a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩设函数()()()221f x x x =-⊗-，x ∈R ．若函数()y f x c =-的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )．A ．(]()1,12,-+∞B ．(](]2,11,2--C ．()(],21,2-∞-D ．[]2,1--9．已知集合{}12A x x =∈-<R ，Z 为整数集，则集合A Z 中所有元素的和等于 ．10．一个几何体的三视图如右图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 3m ．11．已知{}n a 是等差数列，n S 为其前n 项和，n +∈N ．若316a =，2020S =，则10S 的值为 ．12．已知22log log 1a b +≥，则39a b +的最小值为 ．13．（同理12）如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一点，且DF CF ==::4:2:1AF FB BE =，若CE 与圆相切，则线段CE 的长为．14．(同理14) 已知直角梯形ABCD 中，//AD BC ，90ADC ∠=︒，2AD =，1BC =，P 是腰DC 上的动点，则3PA PB + 的最小值为 ．16．(本小题满分13分) 在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．已知B C =，2b ．(Ⅰ) 求cos A 的值；(Ⅱ) 求πcos 24A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．17．(本小题满分13分)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，45ADC ∠=︒，1AD AC ==，O 为AC 的中点，PO ABCD ⊥平面，2PO =，M 为PD 的中点．(Ⅰ) 证明：//PB ACM 平面； (Ⅱ) 证明：AD PAC ⊥平面；(Ⅲ) 求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值．N O MD C BA P19．(本小题满分14分) 已知函数()3224361f x x tx t x t =+-+-，其中t ∈R ． (Ⅰ) 当1t =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；(Ⅱ) 当0t ≠时，求()f x 的单调区间；(Ⅲ) 证明：对任意()0,t ∈+∞，()f x 在区间()0,1内存在零点．。
2011天津市高考数学文科试卷分析
2011天津市高考数学文科试卷分析蓟县一中李长青2011—6—13（一）试卷类型及结构分析试卷分为选择、填空、解答三种题型，选择题8个，共40分，填空题6个，共30分，解答6个，共80分，其中1--6题为选择题中的容易题或中等题，11---14题为填空题中的容易题或中等题，15题为概率题，属容易题，16题为三角函数属容易题，17题为中等题是立体几何。
18题是解析几何第二问属于难题，19题是导数题属于中等题，20题是数列题属于难题。
基础知识涉及函数、数列、三角、立体、解析、导数、概率、复数、向量、简易逻辑、集合、平面几何等内容。
试卷整体难度适中。
以数学基础知识和基本技能的考察为主的题目：选1，2，3，4，5，6，7填11，12，13，14解17，18，19，20，（1）以数学思想和方法的考查为主的题目：选2， 6，7，8，9，10填13，14，15，16 解17，19，20，以数学学科内综合能力的考查为主的题目：选3，4，5，6，7，8，填12，13，解17， 20，对实践能力的考查题目：选：2，8，填：11，12，解：18，16对创新意识的考查题目：选：7,8；填：14；解：20运算与数据处理能力考查的题目：试题有亮点。
突出理性思维和思想方法的考查，有效区分不同思维层次的考生.今年的高考试题可以说是仍然坚持“平稳中显活力”的特点，“平稳”体现在对支撑高中数学学科知识体系的重点知识重点考，体现在坚持全面考查基础知识，基本技能和基本思想方法，体现在既关注考查数学的通性通法，又注重对能力的考查和思维水平的提升。
1，2， 5，6，7，8，填：11，12，13，14，解：17，18，19，20，体会数学发生发展过程的题目：选2，5，6，7填12，13，15，16解19，20试题的梯度明显，难度层次合理，学生状态进入的快而自然，有很好的区分度。
今年试题的另一个特点是，延续了前几年试题的梯度明显，试卷和试题的结构由浅入深明显，选择题，填空题和解答题这三条线，试题均按低起点，阶梯递进，由浅入深的方式设计，坚持多角度、多层次地考查，体现出明显的层次感。
2011年天津文解析
2011年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、（2011·天津·文，1）i 是虚数单位，复数131ii-=- （ ） （A ）2i - （B ）2i + （C ）12i -- （D ）12i -+2、（2011·天津·文，2）设变量,x y 满足约束条件140340x x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩则目标函数3z x y =-的最大值为 （ ） （A ）-4 （B ）0 （C ）43（D ）4 3、（2011·天津·文，3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为-4，那么输出y 的值为 （ ） （A ）0.5 （B ）1 （C ）2 （D ）44、（2011·天津·文，4）设集合{|20}A x R x =∈->，{|0}B x R x =∈<，{|(2)0}C x R x x =∈->，则“x A B ∈ ”是“x C ∈”的 （ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分而也不必要条件5、（2011·天津·文，5）已知2log 3.6a =，4log 3.2b =，4log 3.6c =，则 （ ）（A ）a b c >> （B ）a c b >> （C ）b a c >> （D ）c a b >>6、（2011·天津·文，6）已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左顶点与抛物线22(0)y px p =>的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2，-1），则双曲线的焦距为 （ ） （A） （B） （C） （D）7、（2011·天津·文，7）已知函数()2sin()f x x ωϕ=-，x R ∈，其中0ω>，πϕπ-<≤。
2011年天津高考数学(文科)试题及答案-推荐下载
8．对实数
a和b
，定义运算“
”：
a
b
a, b,
（
B． f (x) 在区间[3 , ] 上是增函数
D． f (x) 在区间[4 , 6 ] 上是减函数
a a
f (x) (x2 2) (x 1), x R 。若函数 y f (x) c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷，管调需路控要习试在题验最到；大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资，常料要工试加况卷强下安看与全22过，22度并22工且22作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
2011年高考试题解析数学(文科)分项版之专题16 选修系列：几何证明选讲
2011年高考试题解析数学（文科）分项版16 选修系列：几何证明选讲一、填空题:1. (2011年高考天津卷文科13)如图,已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F,E 是AB 延长线上一点,且,AF:FB:BE=4:2:1.若CE 与圆相切,则线段CE 的长为 .【解析】设AF=4x,BF==2x,BE=x,则由相交弦定理得:2DF AF FB =⋅,即282x =,即214x =,由切割线定理得:2CE EB EA =⋅=2774x =,所以CE =.2．(2011年高考广东卷文科15)（几何证明选讲选做题）如图4，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，CD ＝2，E 、F 分别为AD 、BC 上点，且EF ＝3，EF ∥AB ，则梯形ABFE 与梯形EFCD 的面积比为．【答案】.75【解析】由题得EF 是梯形的中位线，75)43(21)32(21=∙+∙+=∴h hS S EFCDABFE 梯形梯形 3.（2011年高考陕西卷文科15) B.（几何证明选做题）如图，,,B D AE BC ∠=∠⊥090,ACD ∠=且6AB =，4AC =，12,AD =则AE =_______. 【答案】2【解析】：Rt ABE Rt ADC ≅ 所以AB AEAD AC=， 即64212AB AC AE AD ⨯⨯===二、解答题：4.(2011年高考江苏卷21)选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分） 如图，圆1O 与圆2O 内切于点A ，其半径分别为1r 与212()r r r >，21-A 第图圆1O 的弦AB 交圆2O 于点C （1O 不在AB 上）， 求证：:AB AC 为定值。
解析：考察圆的切线的性质、三角形相似的判定及其性质，容易题。
证明：由弦切角定理可得11212,O B r AB AO C AO B AC O C r∴== 5. （2011年高考全国新课标卷文科22)（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲 如图，D ，E 分别是AB,AC 边上的点，且不与顶点重合，已知AB AD n AC m AE ,,,==为方程0142=+-mn x x 的两根， （1） 证明 C,B,D,E 四点共圆；（2） 若6,4,90==︒=∠n m A ，求C,B,D,E 四点所在圆的半径。
2011年天津高考数学文科试卷(带答案)
2011天津高考数学文科一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．i 是虚数单位,复数13i1i-=- ( )． A ．2i - B ．2i + C ．12i -- D ．12i -+【测量目标】复数的代数形式四则运算.【考查方式】给出复数的代数形式，对其进行化简. 【参考答案】A 【试题解析】()()()()13i 1i 13i 42i2i 1i 1i 1i 2-+--===---+．故选A ． 2．设变量,x y ，满足约束条件1,40,340,x x y x y ⎧⎪+-⎨⎪-+⎩………则目标函数3z x y =-的最大值为 ( ).A ．4-B ．0C ．43D ．4【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.【考查方式】考查了二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组. 【参考答案】D【试题解析】画出可行域为图中的ABC △的区域，直线3y x z =-经过()2,2A 时，4z =最大．故选D ．3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为4-，则输出y 的值 为 ( )．A ．0.5B ．1C ．2 D.4 【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】给出程序框图输入值，求输出值. 【参考答案】C【试题解析】运算过程依次为：输入4x =-43⇒->437x ⇒=--=73⇒>734x =-=43⇒> 431x ⇒=-=13⇒<122y ⇒==⇒输出2．故选Ｃ．4．设集合{}20A x x =∈->R ，{}0B x x =∈<R ，(){}20C x x x =∈->R ，则“x A B ∈ ”是“x C ∈”的 ( )． A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【测量目标】充分必要条件.【考查方式】考查了必要条件，充分条件的关系及集合的概念 【参考答案】C【试题解析】{0A B x x =∈<R 或}2x >，(){}{20=0C x x x x x =∈->∈<R R 或}2x >所以A B C = ．所以“x A B ∈ ”是“x C ∈”的充分必要条件．故选Ｃ．5．已知2log 3.6a =，4log 3.2b =，4log 3.6c =，则 ( )． A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．c a b >> 【测量目标】对数函数化简与求值.【考查方式】考查了对数函数的运算性质与单调性，利用中间值判断对数的大小. 【参考答案】B【试题解析】因为224log 3.6log 3.6a ==，而23.6 3.6 3.2>>，又函数4log y x =是()0,+∞上的增函数，则2444log 3.6log 3.6log 3.2>>． 所以a c b >>．故选B ．6．已知双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的左顶点与抛物线()220y px p =>的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为()2,1--，则双曲线的焦距为 ( )．A ．B ．C ．D ．【测量目标】圆锥曲线之间的位置关系.【考查方式】考查了双曲线与抛物线的定义、标准方程，知道其简单的几何性质. 【参考答案】B【试题解析】因为双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为()2,1--，则22p-=-， 所以4p =．(步骤1)又因为双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的左顶点与抛物线()220y px p =>的焦点的距离为4，则42pa +=，所以2a =．(步骤2) 因为点()2,1--在双曲线的一条渐近线上，则()12ba-=-，即2a b =，所以1,b c ==2c =(步骤3)7．已知函数()()2sin f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，π<πϕ-…．若()f x 的最小正周期为6π，且当π2x =时，()f x 取得最大值，则 ( )． A ．()f x 在区间[]2π,0-上是增函数 B ．()f x 在区间[]3π,π--上是增函数 C ．()f x 在区间[]3π,5π上是减函数 D ．()f x 在区间[]4π,6π上是减函数 【测量目标】三角函数的最值.【考查方式】考查了正弦函数的性质（如单调性，最值，周期等） 【参考答案】A【试题解析】由题设得ππ,222π6π,ωϕω⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 解得13ω=，π3ϕ=．所以已知函数为()π2sin 33x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．(步骤1) 其增区间满足πππ2π2π2332x k k -+++剟，k ∈Z ．(步骤2) 解得5π6ππ6π2k x k -++剟，k ∈Z ．(步骤3)取0k =得5ππ2x -剟，所以5π,π2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为一个增区间，因为[]5π2π,0,π2⎡⎤-⊆-⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在区间[]2π,0-上是增函数．故选Ａ．(步骤4) 8．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：,1,,1,a ab a b b a b -⎧⊗=⎨->⎩…设函数()()()221f x x x =-⊗-，x ∈R ．若函数()y f x c =-的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是 ( )．A ．(]()1,12,-+∞B ．(](]2,11,2--C ．()(],21,2-∞-D ．[]2,1--【测量目标】函数图像的应用.【考查方式】考查了给一个新公式结合二次函数图像，了解函数的零点与方程根的联系. 【参考答案】B【试题解析】由题设()22,12,1,12x x f x x x x ⎧--=⎨-<->⎩或剟(步骤1)画出函数的图象，函数图象的四个端点（如图）为()2,1A ，，()2,2B ，()1,1C --，()1,2D --．(步骤2)从图象中可以看出，直线y c =穿过点B ，点A 之间时，直线y c =与图象有且只有两个公共点，同时，直线y c =穿过点C ，点D 时，直线y c =与图象有且只有两个公共点，所以实数c 的取值范围是(](]2,11,2-- ．故选Ｂ．(步骤3)第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分,共30分．9．已知集合{}12A x x =∈-<R ，Z 为整数集，则集合A Z 中所有元素的和等于 ．【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】考查了集合的概念及交集运算. 【参考答案】3【试题解析】解集合A 得13x -<<，则{}0,1,2A =Z ，所有元素的和等于0123++=．10．一个几何体的三视图如右图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 3m ．【测量目标】由三视图求几何体的体积.【考查方式】考查了学会掌握三视图的画法及几何体的体积计算公式. 【参考答案】4【试题解析】几何体是由两个长方体组合的．体积为1211124V =⨯⨯+⨯⨯=．11．已知{}n a 是等差数列，n S 为其前n 项和，n ∈N +．若316a =，2020S =，则10S 的值为 ．【测量目标】等差数列的通项公式及前n 项和公式. 【考查方式】考查了已知等差数列求前n 项和. 【参考答案】110【试题解析】设公差为d ，由题设31201216,2019020.a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩解得2d =-，120a =．()10110451020452110S a d =+=⨯+⨯-=．12．已知22log log 1a b +…，则39ab+的最小值为 ． 【测量目标】基本不等式求最值.【考查方式】考查了用基本不等式解决最值问题及对数函数运算性质. 【参考答案】18【试题解析】因为22log log 1a b +…，则2log 1ab …，2ab …，24a b …3918a b +=厖，当且仅当39,2,a b a b ⎧=⎨=⎩即2a b =时，等号成立，所以39a b+的最小值为18．13．如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB延长线上一点，且DF CF ==::4:2:1AF FB BE =，若CE 与圆相切，则线段CE 的长为 ．【测量目标】圆的性质的应用.【考查方式】考查了直线与圆的位置关系及运用代数方法解决几何问题的思想.【参考答案】2【运算性质】因为::4:2:1AF FB BE =，所以设BE a =，2FB a =，4AF a =．由相交弦定理，242DF CF AF FB a a ===， 所以12a =，12BE =，772AE a ==．因为CE 与圆相切，由切割线定理，2177224CE AE BE === ．所以2CE =． 14． 已知直角梯形ABCD 中，//AD BC ，90ADC ∠=︒，2AD =，1BC =，P 是腰DC 上的动点，则3PA PB +的最小值为 ．【测量目标】平面向量在平面几何的应用.【考查方式】考查了几何与代数相结合求解最值问题 【参考答案】5【试题解析】解法1 ．以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，建立如图的直角坐标系．由题设，()2,0A ，设()0,C c ，()0,P y ，则()1,B c ．()2,PA y =- ，()1,PB c y =-． ()35,34PA PB c y +=-．(步骤1)35PA PB += ，(步骤2)当且仅当34cy =时，等号成立，于是， 当34cy =时，3PA PB + 有最小值5．(步骤3)解法2 ． 以相互垂直的向量，为基底表示3PA PB +，得()533332P A P B D A D P P C C B D A P C D P +=-++=+- ．(步骤1) 又P 是腰DC 上的动点，即PC 与共线，于是可设PC DP λ=，有53(31)2PA PB DA DP λ+=+- ．所以2222553(31)(31)42PA PB DA DP DA DP λλ⎡⎤+=+-+⨯-⎣⎦(步骤2) 即 ()()22222533125314PA PB DA DP DP λλ⎡⎤+=+-=+-⎣⎦ ． 由于P 是腰DC 上的动点，显然当31=λ，即13PC DP = 时，所以3PA PB +有最小值5．(步骤3)解法3 ．如图，3PB PF =，设E 为AF 的中点，Q 为AB 的中点，则12QE BF PB ==，32PA PB PA PF PE +=+=， ①(步骤1)因为PB PQ PE += ，PB PQ QB -= ．则22222222PB PQ PB PQ PB PQ PE QB ++-=+=+ ． ②(步骤2)（实际上，就是定理：“平行四边形的对角线的平方和等于各边的平方和”） 设T 为DC 的中点，则TQ 为梯形的中位线，()1322TQ AD BC =+=． 设P 为CT 的中点，且设,CP a PT b ==，则221PB a =+ ，2294PQ b =+ ，()2214QB a b =++ ，代入式②得()()222222912221244PB PQ a b PE a b ⎛⎫+=+++=+++ ⎪⎝⎭ ，(步骤3)于是()22252544PE a b =+- …，于是25PE …，当且仅当a b =时，等号成立． 由式①，325PA PB PE +=…，所以3PA PB +有最小值5．(步骤4)三、解答题：本大题共6小题，共80分。
天津高考文科数学试题及答案详细解析
2011年天津高考文科数学试题及答案详细解析一.选择题文数1. L4[2011·天津卷] i 是虚数单位，复数131ii--= 【答案】A 【解析】13(13)(1)4221(1)(1)2i i i ii i i i --+-===---+. 文数2. E5[2011·天津卷] 设变量x ，y 满足约束条件【答案】D【解析】可行域如图：联立40340x y x y ++=⎧⎨-+=⎩解得⎩⎨⎧==22y x 当目标直线3z x y =-移至（2.2）时，3z x y =-有最大值4.文数3.L1 [2011·天津卷] 阅读右边的程序框图，运行相应的程序， 【答案】C【解析】当4x =-时，37x x =-=； 当7x =时，34x x =-= 当4x =时，31|3|<=-=x x ， ∴22y '==.文数4. A2[2011·天津卷] 设集合{}{}|20,|0A x R x B x R x =∈->=∈< 【答案】C【解析】∵{}20A x kx =∈->，{}0B x kx =∈<，∴{0A B x x ⋃=<，或}2x >，又∵}{{(2)00C x k x x x k x =∈->=∈<或}2x >， ∴A B C ⋃=，即“x A B ∈⋃”是“x C ∈”的充分必要条件. 文数5.B7 [2011·天津卷] 已知244log 3.6,log 3.2,log 3.6a b c === 【答案】Bxyo12 34 -1-2-3-412 3 4 x=1x-3y+4=0x+y-4=0【解析】∵ 3.6222log log 1a =>=，又∵4log x y =为单调递增函数， ∴ 3.2 3.64444log log log 1<<=，∴b c a <<.文数6.H8 [2011·天津卷]【答案】B【解析】双曲线22215x y a -=的渐近线为by x a=±，由双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（－2，－1）得22p-==，即4p =， 又∵42=+a p ，∴2a =，将（－2，－1）代入by x a=得1b =， ∴22415c a b =+=+=，即225c =.文数7.C4 [2011·天津卷]【答案】A【解析】∵πωπ62=，∴31=ω.又∵12,322k k z πππ⨯+=+∈且4ππ-<<，∴当0k =时，1,()2sin()333f x x ππϕ==+，要使()f x 递增，须有122,2332k x k k z πππππ-≤+≤+∈，解之得566,22k x k k z ππππ-≤≤+∈，当0k =时，522x ππ-≤≤，∴()f x 在5[,]22ππ-上递增.文数8. B5[2011·天津卷]【答案】B【解析】()()⎪⎩⎪⎨⎧>----≤----=112,112,2)(2222x x x x x x x x f⎩⎨⎧>-<-≤≤--=2,1,121,22x x x x x 或 则()f x 的图象如图，∵函数c x f y -=)(的图象与x 轴恰有两个公共点，∴函数()y f x =与y c =的图象有两个交点，由图象可得21,12,c c -<≤<≤或. 二.填空题文数9.A1 [2011·天津卷] 已知集合{}|12,A x R x Z =∈-<为整数集， 【答案】3【解析】{}}{1213A x k x x x ∈-<=-<<.∴{}2,1,0=Z A I ，即.3210=+= 文数10.G2 [2011·天津卷] 一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则 【答案】4【解析】2111124v =⨯⨯+⨯⨯=.文数11. D2[2011·天津卷] 已知{}n a 为等差数列，n S 为 【答案】110【解析】设等差数列的首项为1a ，公差为d ，由题意得，()⎪⎩⎪⎨⎧=-⨯⨯+==+=202219202016212013a S d a a ，解之得120,2a d ==-，∴101091020(2)1102s ⨯=⨯+⨯-=. 文数12. [2011·天津卷] 已知22log log 1a b +≥，则39a b+的【答案】18【解析】∵1log log log 222≥=+abba， ∴2ab ≥， ∴18323233233932222=≥=⋅≥+=++abb a b a b aba.文数13. N1 [2011·天津卷] 如图已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一点，且::4:2:1.DF CF AF FB BE ===若CE 与圆相切，则CE 的长为________.【答案】27 【解析】设k AF 4=，k BF 2=，k BE =，由BF AF FC DF •=•得282k =，即21=k . ∴27,21,1,2====AE BE BF AF ， 由切割定理得4727212=⨯=•=EA BE CE ，∴27=CE . 文数14. F2[2011·天津卷] 已知直角梯形ABCD 中，AD //BC , 【答案】5【解析】建立如图所示的坐标系，设PC h =，则(2,0),(1,)A B h ，设(0,),(0)P y y h ≤≤则(2,),(1,)PA y PB h y =-=-u u u r u u u r，∴2325(34)255PA PB h y +=+-≥=u u u r u u u r .三、解答题文数15. K2[2011·天津卷] 编号为1216,,,A A A ⋅⋅⋅的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得 文数16. C9[2011·天津卷] 在△ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 文数17. G12[2011·天津卷] 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为 平行四边形，045ADC ∠=，1AD AC ==， 文数18.H5[2011·天津卷]ABCD oxy文数19. B12[2011·天津卷] 已知函数32()4361,f x x tx tx t x R =+-+-∈，其中t R ∈． 文数20. D5[2011·天津卷]。
2011年天津高考文科数学试题-推荐下载
设函数
D. 4 5
f (x) (x2 2) (x 1), x R .若函数 y f (x) c 的图像与 x 轴恰有两个公共点，则实数
c 的取值范围是（ ）
A. (1,1] (2, )
C. (, 2) (1, 2]
第Ⅱ卷
注意事项： 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2.本卷共 12 小题，共 110 分.
编号为 A1, A2 ,, A16 的 16 名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：
运动员编号
得分
运动员编号
A1
15
A9
A2
35
A10
A3
21
A11
A4
B. (2, 1] (1, 2]
D.[-2，-1]
28 25
A12
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷，管调需路控要习试在题验最到；大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资，常料要工试加况卷强下安看与全22过，22度并22工且22作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
2011年高考天津市数学试卷-文科(含详细答案)
2011年普通高等学校招生全国统一考试天津卷（文科）第Ⅰ卷本卷共8小题，每小题5分，共40分一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（同理１）i 是虚数单位,复数13i1i-=-( )． 啊．2i - 不．2i + 才．12i -- D ．12i -+【解】()()()()13i 1i 13i 42i 2i 1i 1i 1i 2-+--===---+．故选A ．2．设变量,x y ，满足约束条件1,40,340,x x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩则目标函数3z x y =-的最大值为( )．A ．4-B ．0C ．43的．4 【解】画出可行域为图中的ABC ∆的区域，直线3y x z =-经过()2,2A 时，4z =最大．故选D ．3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为4-，则输出y 的值为( )．A ．0.5B ．1C ．2D ．4【解】运算过程依次为：输入4x =-43⇒->437x ⇒=--= 73⇒>734x =-=43⇒> 431x ⇒=-=13⇒<122y ⇒==⇒输出2．故选Ｃ．4．设集合{}20A x x =∈->R ，{}0B x x =∈<R ，(){}20C x x x =∈->R ，则“x A B ∈ ”是“x C ∈”的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解】{}02A B x x x =∈<>R 或，(){}{}2002C x x x x x x =∈->∈<>R R 或所以A B C = ．所以“x A B ∈ ”是“x C ∈”的充分必要条件．故选Ｃ． 5．已知2log 3.6a =，4log 3.2b =，4log 3.6c =，则 ( )． A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．c a b >>【解】因为224log 3.6log 3.6a ==，而23.6 3.6 3.2>>，又函数4log y x =是()0,+∞上的增函数，则2444log 3.6log 3.6log 3.2>>． 所以a c b >>．故选Ｂ．6．已知双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的左顶点与抛物线()220y px p =>的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为()2,1--，则双曲线的焦距为 ( )．A ．B ．C ．D ．【解】因为双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为()2,1--，则22p-=-， 所以4p =．又因为双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的左顶点与抛物线()220y px p =>的焦点的距离为4，则42pa +=，所以2a =． 因为点()2,1--在双曲线的一条渐近线上，则()12ba-=-，即2a b =，所以1,b c ==2c =7．已知函数()()2sin f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，ππϕ-<≤．若()f x 的最小正周期为6π，且当π2x =时，()f x 取得最大值，则( )． A ．()f x 在区间[]2π,0-上是增函数 B ．()f x 在区间[]3π,π--上是增函数C ．()f x 在区间[]3π,5π上是减函数D ．()f x 在区间[]4π,6π上是减函数【解】由题设得ππ,222π6π,ωϕω⎧⋅+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得13ω=，π3ϕ=．所以已知函数为()π2sin 33x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 其增区间满足π222332x k k ππππ-+≤+≤+，k ∈Z ． 解得5π6ππ6π2k x k -+≤≤+，k ∈Z ． 取0k =得5ππ2x -≤≤，所以5π,π2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为一个增区间，因为[]5π2π,0,π2⎡⎤-⊆-⎢⎥⎣⎦， 所以()f x 在区间[]2π,0-上是增函数．故选Ａ．8．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：,1,, 1.a ab a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩设函数()()()221f x x x =-⊗-，x ∈R ．若函数()y f x c =-的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )．A ．(]()1,12,-+∞B ．(](]2,11,2--C ．()(],21,2-∞-D ．[]2,1--【解】由题设()22,12,1,12x x f x x x x ⎧--≤≤=⎨-<->⎩或画出函数的图象，函数图象的四个端点（如图）为()2,1A ，，(),2B ，()1,1C --，()1,2D --．从图象中可以看出，直线y c =穿过点B ，点A 之间时，直线y c =与图象有且只有两个公共点，同时，直线y c =穿过点C ，点D 时，直线y c =与图象有且只有两个公共点，所以实数c 的取值范围是(](]2,11,2-- ．故选Ｂ．第Ⅱ卷二、填空题：本答题共6小题，每小题5分,共30分．9．已知集合{}12A x x =∈-<R ，Z 为整数集，则集合A Z 中所有元素的和等于 ．【解】3．解集合A 得13x -<<，则{}0,1,2A =Z ，所有元素的和等于0123++=． 10．一个几何体的三视图如右图所示（单位：m ），则该几何体的体积为3m ．【解】4．几何体是由两个长方体组合的．体积为 1211124V =⨯⨯+⨯⨯=．11．已知{}n a 是等差数列，n S 为其前n 项和，n +∈N ．若316a =，2020S =，则10S 的值为 ．【解】110．设公差为d ，由题设31201216,2019020.a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩解得2d =-，120a =．()10110451020452110S a d =+=⨯+⨯-=．12．已知22log log 1a b +≥，则39ab+的最小值为 ． 【解】18．因为22log log 1a b +≥，则2log 1ab ≥，2ab ≥，24a b ⋅≥3918a b +≥=≥，当且仅当39,2,a b a b ⎧=⎨=⎩即2a b =时，等号成立，所以39a b+的最小值为18．13．（同理12）如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一点，且DF CF ==::4:2:1AF FB BE =，若CE 与圆相切，则线段CE 的长为 ．【解】2． 因为::4:2:1AF FB BE =，所以设BE a =，2FB a =，4AF a =． 由相交弦定理，242DF CF AF FB a a ⋅=⋅==⋅， 所以12a =，12BE =，772AE a ==．因为CE 与圆相切，由切割线定理，2177224CE AE BE =⋅=⋅=．所以CE =． 14．(同理14) 已知直角梯形ABCD 中，//AD BC ，90ADC ∠=︒，2AD =，1BC =，P 是腰DC 上的动点，则3PA PB +的最小值为 ．【解】5．解法1 ．以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，建立如图的直角坐标系．由题设，()2,0A ，设()0,C c ，()0,P y ，则()1,B c ．()2,PA y =- ，()1,PB c y =-． ()35,34PA PB c y +=-．35PA PB += ，当且仅当34c y =时，等号成立，于是，当34cy =时，3PA PB + 有最小值5．解法2 ． 以相互垂直的向量DP ，DA 为基底表示PB PA 3+，得()533332P A P BD A D P P C C B D A P C D P+=-++=+-． 又P 是腰DC 上的动点，即与共线，于是可设λ=，有)13(253-+=+λ． 所以2222553(31)(31)42PA PB DA DP DA DP λλ⎡⎤+=+-+⨯-⋅⎣⎦即 []213(25)13(-+=-+=+λλ． 由于P 是腰DC 上的动点，显然当31=λ，即DP PC 31=时，所以3PA PB +有最小值5．解法3 ．如图，3PB PF =，设E 为AF 的中点，Q 为AB 的中点，则12QE BF PB ==，32PA PB PA PF PE +=+=， ①因为PB PQ PE += ，PB PQ QB -=．则22222222PB PQ PB PQ PB PQ PE QB ++-=+=+ ． ②（实际上，就是定理：“平行四边形的对角线的平方和等于各边的平方和”） 设T 为DC 的中点，则TQ 为梯形的中位线，()1322TQ AD BC =+=． 设P 为CT 的中点，且设,CP a PT b ==，则221PB a =+ ，2294PQ b =+ ，()2214QB a b =++ ，代入式②得()()222222912221244PB PQ a b PE a b ⎛⎫+=+++=+++ ⎪⎝⎭ ，于是()22252544PE a b =+-≥ ，于是25PE ≥ ，当且仅当a b =时，等号成立． 由式①，325PA PB PE +=≥，所以3PA PB +有最小值5．三、解答题：本大题共6小题，共80分。
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2011年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(文史类)一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的． 1．i 是虚数单位，复数131ii--=A ．2i -B ．2i +C ．12i --D ．12i -+2．设变量x ，y 满足约束条件1,40,340,x x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩则目标函数3z x y =-的最大值为A ．-4B ．0C ．43D ．4 3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为-4，则输出y 的值为A ．,0．5B ．1C ．2D ．44．设集合{}{}|20,|0A x R x B x R x =∈->=∈<，{}|(2)0C x R x x =∈->， 则“x A B ∈⋃”是“x C ∈”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．即不充分也不必要条件5．已知244log 3.6,log 3.2,log 3.6a b c ===则A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c a b >>6．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左顶点与抛物线22(0)y px p =>的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的准线的交点坐标为（-2，-1），则双曲线的焦距为A．B．C．D．7．已知函数()2sin(),f x x x R ωϕ=+∈，其中0,,()f x ωπϕπ>-<≤若的最小正周期为6π，且当2x π=时，()f x 取得最大值，则A ．()f x 在区间[2,0]π-上是增函数B ．()f x 在区间[3,]ππ--上是增函数C ．()f x 在区间[3,5]ππ上是减函数D ．()f x 在区间[4,6]ππ上是减函数8．对实数a b 和，定义运算“⊗”：,1,, 1.a ab a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩设函数2()(2)(1),f x x x x R =-⊗-∈。
若函数()y f x c =-的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是 （ ） A ．(1,1](2,)-⋃+∞ B ．(2,1](1,2]--⋃C ．(,2)(1,2]-∞-⋃D ．[-2，-1]二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．已知集合{}|12,A x R x Z =∈-<为整数集，则集合A Z ⋂中所有元素的和等于________10．一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为__________3m11．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，*n N ∈，若32016,20,a S ==则10S 的值为_______12．已知22log log 1a b +≥，则39ab+的最小值为__________ 13．如图已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一点，且::4:2:1.DF CF AF FB BE ===若CE 与圆相切，则CE 的长为__________14．已知直角梯形ABCD 中，AD //BC ,090ADC ∠=,2,1AD BC ==,P 是腰DC 上的动点，则3PA PB +的最小值为____________三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）编号为1216,,,A A A ⋅⋅⋅的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：分（Ⅰ）将得分在对应区间内的人数（Ⅱ）从得分在区间[)20,30内的运动员中随机抽取2人， （i ）用运动员的编号列出所有可能的抽取结果； （ii ）求这2人得分之和大于50的概率．16．（本小题满分13分）在△ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知,2.B C b == （Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）cos(2)4A π+的值．17．（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为 平行四边形，045ADC ∠=，1AD AC ==，O 为AC 中点，PO ⊥平面ABCD ，2PO =，M 为PD 中点．（Ⅰ）证明：PB //平面ACM ； （Ⅱ）证明：AD ⊥平面PAC ；（Ⅲ）求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值．18．（本小题满分13分）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2。
点(,)P a b 满足212||||.P F F F = （Ⅰ）求椭圆的离心率e ；（Ⅱ）设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，若直线PF 2与圆22(1)(16x y ++-=相交于M ，N 两点，且5||||8MN AB =，求椭圆的方程。
19．（本小题满分14分）已知函数32()4361,f x x tx tx t x R =+-+-∈，其中t R ∈． （Ⅰ）当1t =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0t ≠时，求()f x 的单调区间；（Ⅲ）证明：对任意的(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点． 20．（本小题满分14分）已知数列{}{}n n a b 与满足1*1113(1)(2)1,,, 2.2n nn n n n n b a b a b n N a -+++-+=-+=∈=且（Ⅰ）求23,a a 的值；（Ⅱ）设*2121,n n n c a a n N +-=-∈，证明{}n c 是等比数列； （Ⅲ）设n S 为{}n a 的前n 项和，证明*21212122121().3n n n n S S S S n n N a a a a --++++≤-∈参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分40分。
1—4ADCC 5—8BBAB 解析：1.13(13)(1)4221(1)(1)2i i i ii i i i --+-===---+ 2.可行域如图： 联立40340x y x y ++=⎧⎨-+=⎩解得⎩⎨⎧==22y x 当目标直线3z x y =-移至（2.2）时，3z x y =-有最大值4.3.当4x =-时，37x x =-=；当7x =时，34x x =-=；当4x =时，31|3|<=-=x x ， ∴22y '==.4.∵{}20A x kx =∈->，{}0B x kx =∈<，∴{0A B x x ⋃=<，或}2x >，又∵}{{(2)00C x k x x x k x =∈->=∈<或}2x >， ∴A B C ⋃=，即“x A B ∈⋃”是“x C ∈”的充分必要条件. 5.∵ 3.6222log log 1a =>=，又∵4log xy =为单调递增函数， ∴ 3.23.64444log log log 1<<=， ∴b c a <<.6.双曲线22215x y a -=的渐近线为by x a=±，由双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（－2，－1）得22p-==，即4p =， 又∵42=+a p ，∴2a =，将（－2，－1）代入by x a =得1b =，∴c ===2c =.7.∵πωπ62=，∴31=ω.又∵12,322k k z πππ⨯+=+∈且4ππ-<<，∴当0k =时，1,()2s i n ()333f x x ππϕ==+，要使()f x 递增，须有122,2332k x k k z πππππ-≤+≤+∈，解之得566,22k x k k z ππππ-≤≤+∈，当0k =时，522x ππ-≤≤，∴()f x 在5[,]22ππ-上递增.8.()()⎪⎩⎪⎨⎧>----≤----=112,112,2)(2222x x x x x x x x f ⎩⎨⎧>-<-≤≤--=2,1,121,22x x x x x 或则()f x 的图象如图，∵函数c x f y -=)(的图象与x 轴恰有两个公共点，∴函数()y f x =与y c =的图象有两个交点，由图象可得21,12,c c -<≤<≤或.二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分30分。
9．3 10．4 11．110 12．18 13．214．5 解析：9.{}}{1213A x k x x x ∈-<=-<<.∴{}2,1,0=Z A ，即.3210=+= 10.2111124v =⨯⨯+⨯⨯=.11.设等差数列的首项为1a ，公差为d ，由题意得，()⎪⎩⎪⎨⎧=-⨯⨯+==+=202219202016212013a S d a a ，解之得120,2a d ==-，∴101091020(2)1102s ⨯=⨯+⨯-=. 12.∵1log log log 222≥=+abba，∴2ab ≥， ∴18323233233932222=≥=⋅≥+=++abb a b a baba.13.设k AF 4=，k BF 2=，k BE =，由BF AF FC DF ∙=∙得282k =，即21=k . ∴27,21,1,2====AE BE BF AF ， 由切割定理得4727212=⨯=∙=EA BE CE ，∴27=CE . 14.建立如图所示的坐标系，设PC h =，则(2,0),(1,)A B h ，设(0,),(0)P y y h ≤≤则(2,),(1,)PA y PB h y =-=-，∴35PA PB +=≥=.三、解答题 （15）本小题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式的等基础知识，考查数据处理能力及运用概率知识解决简单的实际问题的能力，满分13分。
（Ⅰ）解：4，6，6（Ⅱ）（i ）解：得分在区间[20,30)内的运动员编号为345101113,,,,,.A A A A A A 从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有：343531*********{,},{,},{,},{,},{,},{,},A A A A A A A A A A A A 410{,}A A ，411413510511513101110131113{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,}A A A A A A A A A A A A A A A A ，共15种。