TSP问题——实验报告

TSP问题
目录
1实验目的 (1)
2问题描述与分析 (1)
3算法分析 (1)
3.1回溯法 (1)
3.2 动态规划 (1)
3.3 模拟退火算法 (2)
4程序设计 (2)
4.1回溯法 (2)
4.2动态规划算法 (3)
4.3模拟退火算法 (4)
5实验结果及分析 (5)
6实验总结 (6)
7源代码 (6)
1实验目的
1.使用搜索方法进行TSP问题的求解
2.了解相关智能算法
3.了解NP难问题的求解策略
2问题描述与分析
某售货员要到若干城市去推销商品，已知各城市之间的路程（或旅费）。

他要选定一条从驻地出发，经过每个城市一遍，最后回到驻地的路线，使总的路程（或旅费）最小。

分析：
问题的本质是搜索问题，而且这个问题是NP完全问题，问题的复杂度指数增长，所以普通的搜索无法在有限的时间里完成搜索，尽管有各种优化的算法：启发式算法、深度优先搜索、动态规划、回溯等。

都无法改变复杂度。

实际上大多时候人们并不关心NP完全问题的最优解，只要得出一个近似的解就可以了，因此，人们发明了很多算法，例如粒子群算法、遗传算法、模拟退火算法，这一类算法被称为“智能算法”，但是，他们都无法求出最优解，仅能得到近似解，但这已经足够了。

在本次试验中，一共设计了三个算法：回溯法，动态规划，模拟退火算法。

3算法分析
3.1回溯法
回溯法采用深度优先方式系统地搜索问题的所有解，基本思路是：确定解空间的组织结构之后，从根结点出发，即第一个活结点和第一个扩展结点向纵深方向转移至一个新结点，这个结点成为新的活结点，并成为当前扩展结点。

如果在当前扩展结点处不能再向纵深方向转移,则当前扩展结点成为死结点。

此时,回溯到最近的活结点处,并使其成为当前扩展结点，回溯到以这种工作方式递归地在解空间中搜索,直到找到所求解空间中已经无活结点为止。

旅行商问题的解空间是一棵排列树.对于排列树的回溯搜索与生成1,2,……, n的所有排列的递归算法Perm类似，设开始时x=[ 1,2,… n ]，则相应的排列树由x[ 1:n ]的所有排列构成.旅行商问题的回溯算法。

3.2 动态规划
设s, s1, s2, …, sp, s是从s出发的一条路径长度最短的简单回路，假设从s到下一个城市s1已经求出，则问题转化为求从s1到s的最短路径，显然s1, s2, …, sp, s一定构成一条从s1到s的最短路径，所以TSP问题是构成最优子结构性质的，用动态规划来求解也是合理的。

推导动态规划方程
假设从顶点s出发，令d(i, V’)表示从顶点i出发经过V’(是一个点的集合)中各个顶点一次且仅一次，最后回到出发点s的最短路径长度。

推导：(分情况来讨论)
①当V’为空集，那么d(i, V’)，表示从i不经过任何点就回到s了，如上图的城市3->城市0(0为起点城市)。

此时d(i, V’)=Cis(就是城市i 到城市s 的距离)、
②如果V’不为空，那么就是对子问题的最优求解。

你必须在V’这个城市集合中，尝试每一个，并求出最优解。

d(i, V’)=min{Cik +d(k, V’-{k})}
注：Cik表示你选择的城市和城市i的距离，d(k, V’-{k})是一个子问题。

综上所述，TSP问题的动态规划方程就出来了：
3.3 模拟退火算法
模拟退火算法是解决TSP问题的有效方法之一，其最初的思想由Metropolis在1953年提出，Kirkpatrick在1983年成功地将其应用在组合最优化问题中。

模拟退火算法来源于固体退火原理，将固体加温至充分高，再让其徐徐冷却，加温时，固体内部粒子随温升变为无序状，内能增大，而徐徐冷却时粒子渐趋有序，在每个温度都达到平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为最小。

用固体退火模拟组合优化问题，将内能E模拟为目标函数值f，温度T演化成控制参数t，即得到解组合优化问题的模拟退火算法：由初始解i和控制参数初值t开始，对当前解重复“产生新解→计算目标函数差→接受或舍弃”的迭代，并逐步衰减t值，算法终止时的当前解即为所得近似最优解，这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。

求解TSP的模拟退火算法模型可描述如下:
解空间：解空间S是遍访每个城市恰好一次的所有路经，解可以表示为{w1,w2 ,……, wn}，w1, ……, wn是1,2,……,n的一个排列，表明w1城市出发，依次经过w2, ……, wn城市，再返回w1城市。

初始解可选为(1,……, n) ; 目标函数：目标函数为访问所有城市的路径总长度; 我们要求的最优路径为目标函数为最小值时对应的路径。

新路径的产生：随机产生1和n之间的两相异数k和m，不妨假设k<m，则将原(w1,w2,…,wk,wk+1,…,wm,wm+1,…,wn 变为新路径：(w1,w2,…,wm,wk+1,…,wk,wm+1,…,wn)上述变换方法就是将k和m对应的两个城市在路径序列中交换位置,称为2-opt映射。

4程序设计
4.1回溯法
//基本思想：把求解最小值嵌入全排列算法中，对于每一种路径情况，计算其路径长度，然后求出最短路径。

void tsp(int i)
{
int j;
//一个全排列完成了
if (i == n) {// 位于一个叶子的父节点
// 通过增加两条边来完成旅行
if (dist[temp_path[n-1]][temp_path[n]]!=0&&dist[temp_path[n]][1]!=0&& (cur_len+dist[temp_path[n-1]][temp_path[n]]+dist[temp_path[n]][1]<min_len||min_len ==0)) {// 找到更优的旅行路径
for(j = 1; j <= n; j++)
cur_path[j] = temp_path[j];
min_len=cur_len+dist[temp_path[n-1]][temp_path[n]] + dist[temp_path[n]][1];} }
//构造全排列的过程
else {// 尝试子树
for (j = i; j <= n; j++)//层中循环+层间递归，整体上是深度优先
//能移动到子树x [ j ]吗?
if (dist[temp_path[i-1]][temp_path[j]] !=0&&
(cur_len+dist[temp_path[i-1]][temp_path[j]]<min_len||min_len == 0)) {//能搜索该子树
Swap(&temp_path[i], &temp_path[j]);//第n层的一种情况
cur_len += dist[temp_path[i-1]][temp_path[i]];
tsp(i+1);//确定一层的某一种情况之后，马上以此情况为基础向下搜索
cur_len -= dist[temp_path[i-1]][temp_path[i]];
Swap(&temp_path[i], &temp_path[j]);//复原，然后再变成下一种情况}
}
}
4.2动态规划算法
基本思想：循环+递归，构造深度优先搜索，然后从后向前每次求解出局部的最短路径，最后合起来就是最短路径。

int SearchMinPath(int n){
int CurrentMin = 1000; //
int back=index;//
int sign=0;
if(index==N-1){
return dist[n][0];
}
for(int i=1;i<N;i++){
index=back;
sign = 0;
for(int j=0;j<back;j++){
if(i==cur_path[j])
sign = 1;
}
if(sign == 1)
continue;
cur_path[index++]=i;
int temp = dist[n][i] + SearchMinPath(i);
if(CurrentMin>temp){
CurrentMin = temp;
for(int m = 0;m<N-1;m++)
exd_path[m]=cur_path[m];
}
}
for(int j=0;j<N-1;j++)
cur_path[j]=exd_path[j];
return CurrentMin;
}
4.3模拟退火算法
路径变换函数：
void reversePath(int *path){
int begin,end,len,i;
begin = randi(0,n-1);
end = randi(0,n-1);
if(begin > end) swap(begin,end);
len = end - begin + 1;
for(i=0;i<len/2;i++)
swap(path[begin+i],path[end-i]);
}
确定是否接受新的解：
bool accept(int *curPath,int *exdPath){
int curResult = result(curPath);
int exdResult = result(exdPath);
if(exdResult < curResult)
return true;
double probability = 0;
if(t > 0.000001)
probability = exp((curResult - exdResult) / t);
if(probability > randf())
return true;
return false;
}
褪火过程：
while(s!=2){
bChange = false;
for(i=0;i<L;i++){
copyPath(exd_path,cur_path);
reversePath(exd_path);
if(accept(cur_path,exd_path)){
copyPath(cur_path,exd_path);
bChange = true;
}
}
t = t * 0.9;
if(bChange == false)
s++;
else
s = 0;
}
5实验结果及分析
输入的测试文件：
上图是一个10×10的矩阵，代表任意两点之间的距离。

回溯法结果：
动态规划运行结果：
模拟退火运行结果：
分析：以上三种方法，虽然最短长度相同，但路径不同，说明此输入情况有多条最短路径。

6实验总结
通过实验基本了解TSP问题基本原理，掌握相关算法的实现！
7源代码
见随行附件！。