关于高等数学测试及答案

关于高等数学测试及答案 This manuscript was revised on November 28, 2020

高等数学测试（第一章）

一 .选择题（每题2分，共20分） 1.（2分）7

1

2arcsin

16)(2-+-=x x x f 的定义域为 （ ） A ．[]3,2 B ．[]4,3- C ．[)4,3- D ．()4,3-

2.（2分） 已知函数)12(-x f 的定义域为[]1,0，则函数)(x f 的定义域为 （ ）

A ．⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡1,21 B ．[]1,1- C ．[]1,0 D ．[]2,1-

3.（2分）已知1)1(2++=+x x x f ， 则)(x f = （ ） A ．22+-x x B ．12--x x C ．12++x x D ．12+-x x

4.（2分）下列函数对为相同函数的是 （ ）

A ．1)(,1

1

)(2-=+-=

x x g x x x f B ． 3ln )(,ln 3)(x x g x x f == C ．2ln )(,ln 2)(x x g x x f == D ． 2)(,)(x x g x x f ==

5.（2分）若()f x ()x R ∈为奇函数，则下列函数一定为偶函数的是 （ ）

A ．(2)f x

B ．(2)f x -+

C ．(||)f x

D ．2()f x

6.（2分）函数1

22+=x x

y 的反函数为

（ ）

A ．x x y -=1log 2

B ．x x y +=1log 2

C ．x x y +=1log 2

D ．x

x y -=1log 2 7.（2分）已知极限22

lim(

)0x x ax x

→∞++=，则常数a 等于 （ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．2

8.（2分）当0x +→等价的无穷小量是

（ ）

A ．1-．ln(1+ C 1 D ．1-

9.（2分）点1x =是函数31

1()1

131x x f x x x x -<⎧⎪

==⎨⎪->⎩

的 （ ）

A ．连续点

B ．可去间断点

C ．跳跃间断点

D ．第二类间断点

10.（2分）下列命题正确的是

（ ）

A ． 两无穷大之和为无穷大；

B ． 两无穷小之商为无穷小；

C ． )(lim 0

x f x x →存在当且仅当)(lim 0

x f x x -→与)(lim 0

x f x x +→均存在；

D ．

)(x f 在点0x 连续当且仅当它在点0x 既左连续又右连续．

二．填空题（每题3分，共15分）

11.（3分）函数()f x 在点0x 处有定义是()f x 在0x 处极限存在的________________. 12.（3分）当0x →+时，无穷小ln(1)Ax α=+与无穷小sin 3x β=等价，则常数

A=____________.

13.（3分）已知函数()f x 在点0x =处连续，且当0x ≠时，函数2

1()2

x f x -=，则函数值

(0)f =_____.

14.（3分）若lim ()x f x π

→存在，且sin ()2lim ()x x

f x f x x ππ

→=

+-，则lim ()x f x π→=________________. 15.（3分）设函数()()[]x x x f g x x f -=-=1,21，则⎪⎭

⎫

⎝⎛21g =________________. 三． 计算题(共55分)

16.（5分）⎪⎪⎭⎫

⎝⎛++++++∞→n n n n n 2221

(211)

1lim . 17.（5分）)1(lim 2x x x x -++∞→. 18.（5分）x

x e x x

x 2sin 1lim 3202

-→--. 19.（5分）

x x x x cot 20

)32sin 1(lim +-→.

20.（5分）()⎥⎦⎤

⎢⎣⎡+-→x x x 1ln 11lim 0. 21.（5分）30tan sin lim x x x x →-.22.（5

分）0

1

x e →-（5分） x x x +→0

lim .

24.（7分）设3214lim 1

x x ax x x →---++ 具有极限l ，求,a l 的值.

25.（8分）若)(lim 1

x f x →存在，且23)(2++=x x x f )(lim 1

x f x →，求)(x f 和)(lim 1

x f x →.

四.证明题（共10分）

26.（10分）设函数()f x ，()g x 均在闭区间[],a b 上连续，且有()()f a g a a >+，()()f b g b b <+，证明：存在,a b ξ∈（），使()()f g ξξξ=+成立. 答案：

一. 选择题1—5 BBDBC ；6—10 AABBD ．

二．填空题11、无关条件； 12、3； 13、 0； 14、 1；15、3． 三．计算题

16. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n n n 2221

(211)

1lim . 【解析】因为

),...,2,1(1

1112

2

2

n i n i n n n =+≤

+≤

+， 所以1

1

...2

11

12

2

222

+≤++

++++≤+n n n

n n n n

n n ，