数模实验第四版数据拟合与模型参数估计

数学模型实验—实验报告4

学院：河北大学工商学院专业：电气七班姓名：李青青

学号：2012484098 实验时间：2014/4/15 实验地点：B3-301

一、实验项目：数据拟合与模型参数估计

二、实验目的和要求

a.了解数据拟合的原理和Matlab中的有关命令。

Polfit：MATLAB函数：p=polyfit(x,y,n)

[p,s]= polyfit(x,y,n)

说明：x,y为数据点，n为多项式阶数，返回p为幂次从高到低的多项式系数向量p。x必须是单调的。矩阵s用于生成预测值的误差估计。(见下一函数polyval)

多项式曲线求值函数：polyval( )

调用格式：y=polyval(p,x)

[y,DELTA]=polyval(p,x,s)

说明：y=polyval(p,x)为返回对应自变量x在给定系数P的多项式的值。

[y,DELTA]=polyval(p,x,s) 使用polyfit函数的选项输出s得出误差估计Y DELTA。它假设polyfit函数数据输入的误差是独立正态的，并且方差为常数。则Y DELTA将至少包含50%的预测值。

Polyval

polyval函数的主要功能是多项式的估值运算，其语法格式为y = poly val(p,x)，输入变量p是长度为n+1的向量，各元素是依次按降幂排列的多项式的系数，函数返回的是那次多项式p在x处的值，x可以是一个数，也可以是一个矩阵或者一个向量,在后两种情况下，该指令计算的是在X中任意元素处的多项式p的估值。

polyvalm的主要功能是用于matlab中多项式求值。其语法格式为y=polyvalm（a，A），其中a为多项式行向量表示，A为指定矩阵。

Lsqlin

约束线性最小二乘

函数lsqlin

格式x = lsqlin(C,d,A,b) %求在约束条件下，方程Cx = d的最小二乘解x。

x = lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq) %Aeq、beq满足等式约束，若没有不等式约束，则设A=[ ]，b=[ ]。

x = lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub) %lb、ub满足，若没有等式约束，则Aeq=[ ]，beq=[ ]。

x = lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) % x0为初始解向量，若x没有界，则lb=[ ]，ub=[ ]。

x = lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) % options为指定优化参数

lsqcurvefit

最常见的调用格式如下：

X = LSQCURVEFIT(FUN,X0,XDATA,YDATA).

其中FUN为一个函数，已M文件或匿名函数存在。若FUN以M文件形式存在，那么FUN在调用语句中的格式为：@(x,xdata) FUN(x,xdata,c).@(x,xdata)中分别表示待求参数，xdata表示的是自变量,c是可以传递到函数里面的常数。Lsqnonlin：lsqnonlin解决非线性最小二乘问题，包括非线性数据拟合问题而不是计算的值f（x）（平方和），需要用户定义函数lsqnonlin求向量值函数然后，在矢量的术语，你可以重申这一优化问题

其中x是一个向量和f（x）是一个函数，返回一个向量值。

X = lsqnonlin（乐趣，X0）开始在点X0并找到一个最小的有趣的功能描述的平方和。快乐应该返回一个向量值不值的平方和。（算法隐含和广场的乐趣（X）。）

X = lsqnonlin（乐趣，X0，LB，UB）定义了一组上下对X设计变量的范围，所以，解决方案总是在范围≤x≤UB的LB。

X = lsqnonlin（乐趣，X0，LB，UB，选项）最大限度地减少结构中的优化选项指定的选项。使用optimset设置这些选项。通过空矩阵的LB和UB如果没有界限的存在。

【X，resnorm ] = lsqnonlin（……）返回x的平方范数的剩余价值的总和（意思：（X）。^ 2）。

【X，resnorm，残余] = lsqnonlin（……）返回剩余的娱乐价值观（x）在解x

x = lsqnonneg

x = lsqnonneg（C，D）返回向量x的最小范数（C * XD）受x > = 0。C 和D必须是真实的。

x = lsqnonneg（C，D，x0 X0）使用为出发点，如果所有的X0 > = 0；否则，则使用默认值。默认的出发点是原点（默认是用来当X0 = = []或只有两个输入参数提供）。

x = lsqnonneg（C，D，X0，选项）最大限度地减少在结构优化参数指定的选项。你可以使用optimset函数定义这些参数。lsqnonneg使用这些选项的结构域：

displayLevel显示。”“不显示输出；最后的“仅显示最终的输出；“通知”（默认）显示输出只有当函数不converge.tolxtermination公差对X

【X，resnorm ] = lsqnonneg（……）返回的平方范数的剩余价值：规范（C * XD）^ 2

b. 练习模型参数估计

三、实验内容

根据美国人口从1790年到1990年间的人口数据（如下表），确定人口指数增长模型和Logistic模型中的待定参数，估计出美国2010年的人口，同时

画出拟合效果的图形。 表1 美国人口统计数据

提示：

指数增长模型：rt

e x t x 0

)(=

Logistic 模型：()011m

rt

m x x t x e x -=

⎛⎫

+- ⎪⎝⎭

解：模型一:指数增长模型。Malthus 模型的基本假设下，人口的增长率为常数，记为r ，记时刻t 的人口为 )(t x ，（即)(t x 为模型的状态变量）且初始时

刻的人口为0x ，因为⎪⎩⎪⎨⎧==0

)0(x x rx

dt dx 由假设可知0()rt x t x e = 经拟合得到：