§4.常见的数学建模方法(1)---数据拟合(曲线拟合)法

279
19.20
wk.baidu.com
372
17.97
465
15.84
558
20.11
651
19.40
1. 磷施肥量 x 关于土豆产量 y 的情况 .
描点图为 :
可选择
1 x' e , y ' 为了运用线性模型的最小二乘 法公式 , 令 y 得 y’ = a + bx’ . 由此可算得: a = 0.0232 , b = 0.0073 .
4
组数据应服 从的数学模型，如记 l - 1000 = l’ , l0 – 1000 = b, al0 = k , 则有 l’ = b + kt . 可以算得：
t 42.5,
2 ' t 8100 , l i i 1
4
(l 1000)
i 1
4
0.705,
' t l i i 34.6 i 1
49
36.06
73
37.96
98
41.04
147
40.09
196
41.26
245
42.17
294
40.36
342
42.73
钾施肥量(公斤/公顷)与土豆产量（吨/公顷）关系的实验数据
施肥量 产量
0
18.98
47
27.35
93
34.86
140
38.52
186
38.44
279
37.73
372
38.43
465
氮肥和生产作物的价格 ) 成立时, 投入一吨肥料得到的效益最大, 此 时的施肥量即为最佳施肥量 ; 这是因为： 利润 S(x) = 土豆收益 - 氮肥支出 = y(x)· Ty - x· Tx , 当 S’(x) = 0 时，利润最大, 即 ： 解得 y’(x0) = Tx / Ty 。 y’(x)·Ty - Tx = 0 ，
实例 4. 利用例 3的资料 , 建立土豆产量 y 和 生菜产量 y 依赖于氮施
肥量 x 的数学 模型 , 并由此求出氮和磷的最佳施肥数量 . ( 氮肥价格 350 元 / 吨 , 土豆价格 0.8元 / 公斤, 生菜价格 0.2元 / 公斤 ) 建模假设: 根据所给的数据和实际经验, 当施肥量合适时, 土豆产量 和生菜产量随氮施肥量的增加而增加, 但是氮施肥量的过量会造成 土豆产量和生菜产量的下降. 如设 xm 为达到土豆或生菜最高产量 时的施肥量 , 现在 假定 边际产量 y’x 与 xm – x 成正比 ( Nicklas 和 Miller理论 ) .
2 .磷施肥量 x 关于生菜产量 y 的情况 .
描点图为:
由描点图可知, 在模型建立中应注意以下两个因素: 1) 当磷肥施肥量为零时, 生菜产量并非为零, 这说明土壤中原来就 含有一定量的磷肥成分; (2) 实验数据说明,磷肥施肥量再多不会引起产量明显下降, 而使生 菜产量趋于一个渐近值, 即极限产量. ax y 0 考虑到上面一些分析,可采用双曲线模型: y 1 x 这里 a 为生菜极限产量数 . 为了利用线性模型的最小二乘法 , 令 X = 1 / (1 + x ) , Y = y , k = y0 – a , 化为线性函数模型: Y = a + kX .
由土豆产量 y 依赖于氮施肥量 x 的数学模型 → 0.197 – 0.00068x0= 350 / 0.8 → 对土豆的最佳氮施肥量 x0 = 290.57 kg / ha . 由生菜产量 y 依赖于氮施肥量 x 的数学模型 → 0.101 – 0.00048x = 350 / 0.2 → 对生菜的最佳氮施肥量 x0 = 203.57 kg / ha .
施肥 量 0 34 67 101 135 202 259 336 404 471
产量
15.1 8
21.3 6
25.7 2
32.2 9
34.0 3
39.4 5
43.1 5
43.4 6
40.8 3
30.7 5
磷施肥量(公斤/公顷)与土豆产量（吨/公顷）关系的实验数据
施肥量 产量
0
33.46
24
32.47
实例. 找出基于下列数据的美国马萨诸塞州生产量、劳动力和投资之间变化的经
济增长模型（道格拉斯 Douglas 生产函数模型 ）
实例 3. 某研究所为了研究三种肥料氮, 磷, 钾对于土豆和生菜的作
用, 分别对每种作物进行了三组试验. 实验数据如下列表格所示, 其 中 ha 表示公顷 , t 表示吨 , kg 表示千克. 试建立反映施肥量与产量 关系的数学模型. 氮施肥量(公斤/公顷)与土豆产量（吨/公顷）关系的实验数据
其中
x
x
i 1
n
i
,y
y
i 1
n
i
.
实例1. 找出基于下列数据的铜棒长度 l 与温度 t 之间关系的经验公
式. 温度 t ( 0C ) 对应长度 l (mm)
20 1000.2 40 1000.65 50 1000.90 60 1001.05
建模过程: 利用已有的物理学固体热胀冷缩定律: l = l0(1+at) 作为该
i 1
n n （3）进行模型检验 .求得确定的经验公式后,将实际测定值与用公 式算出的理论值进行比较. 在决定经验公式的形式时, 大致思路是: a) 利用所研究系统的有关问题在理论上已有的结论, 来 确定经 验公式的形式 . b) 在无现成理论情况下, 最简单的处理手段是用描图的方法, 将 数据点连成光滑曲线, 把它与已知函数曲线进行比较,找出与之比 较接近的曲线. c) 如要考虑所建立的模型必要的逻辑性与理论价值,可利用合适 的数学方法, 对所研究系统的有关问题进行 定量化的机理分析 , 导出较为严密的数学公式.
模型建立:
dy k ( xm x), y (0) y0 15.18 dx
模型求解: y = ax2 + bx + c 其中 c = y(0) = 15.18 ( 或 11.02 ).
令 x’ = x , y’ = ( y - c ) / x , 可以化为线性模型：y’ = ax’ + b .
相应的统计数据为:
X
Y
1
6.39
1/50
9.48
1/99
12.46
1/148
14.33
1/197
17.1
1/295
21.94
1/392
22.64
1/490
21.34
1/588
22.07
1/686
24.53
根据最小二乘法计算公式和统计数据, 先算得 a 和 k , 然后再算出 y0 .
在建立曲线拟合法的数学模型时,如果能尽量做一些定量 化的机理分析, 然后运用数学手段推导出合理的数学模型, 则建模的效果会 更好一些.
常是尝试能否经适当的变量替换 ,将之化为线性模型来计算 .
线性模型下的最小二乘法法则是：如果一组数据为：（ xi , yi ）, ( i = 0,…, n ) ， 它服从 线性函数 y = kx + b 模型 , 则 n xi yi nx y k i 1 n , b y kx , 2 2 xi nx
根据所给数据 , 运用线性模型的最小二乘法公式 , 得土豆产量 y 依 赖于氮施肥 量 x 的数学模型: y = - 0.00034x2 + 0.197x + 15.18 ; 生菜产量 y 依赖于氮施肥量 x 的数学模型: y = - 0.00024x2 + 0.101x + 11.02.
模型分析与模型决策: 当下列关系 y’(x0) = Tx / Ty ( Tx ,Ty 分别为
施肥量 产量
0
6.39
49
9.48
98
12.46
147
14.33
196
17.10
294
21.94
391
22.64
489
21.34
587
22.07
685
24.53
钾施肥量(公斤/公顷)与生菜产量（吨/公顷）关系的实验数据
施肥量 产量
0
15.75
47
16.76
93
16.89
140
16.24
186
17.56
说明: 该例中的变量替换 方法运用,使得线性模型的最小二乘法公式 应用范围大 大扩大. 常见的 非线性模型的变换方式 如下表所列:
曲线 幂函数 y = axb 指数函数 y = aebx 双曲函数 y = x/ (ax+b) 对数函数 y = a + blnx 指数函数 y = aeb/x S型函数y = 1 / ( a+be-x ) 变换 x’=lnx, y’=lny x’=x , y’ = lny x’=1/x, y’= 1/y x’ = lnx, y’ = y x’=1/x, y’=lny x’=e-x, y’=1/y 变换后的线性表示式 y’ = lna +bx’ y’ = lna +bx’ y’ = a + bx’ y’ = a + bx’ y’ = lna +bx’ y’ = a + bx’
43.87
558
42.77
651
46.22
氮施肥量(公斤/公顷)与生菜产量（吨/公顷）关系的实验数据
施肥量 产量
0
11.02
28
12.70
56
14.56
84
16.27
112
17.75
168
22.59
224
21.63
280
19.34
336
16.12
392
14.11
磷施肥量(公斤/公顷)与生菜产量（吨/公顷）关系的实验数据
x
1 y a b e x
作为经验公式 .
1 y 最终的数学模型是: 0.0232 0.0073 e x 根据这个模型, 可以得到土豆的最高极限产量是43吨. 这个结论从定 性角度看, 与农业资料的结论是一致的, 即在一定的范围内磷施肥量 可以使土豆产量增长, 但 过多地施磷肥对土豆产量不起作用. 在这一 点上, 该模型是经得起实际检验的.
可以认为该光滑曲线相似于一条双曲线, 故设其数学模型为 y = axb ( b < 0 ) . 为了将它化为线性模型, 两边取对数，再作 变量替换 ： Y = lny , X = lnx , 即得线性模型：Y = A + bX , 其中 A = lna , 而 ( X , Y ) 的数据为: （ ln x i , ln y i ）, ( i = 1 , … , 8 ) . 用 最小二乘法 算得：a = 17.2463 , b = - 0.6048 . 由此最后可得到 油的粘度 y 与温度 x 之间依赖关系的数学模型为: 检验该模型(经验公式) : y = 17.2463 x - 0.6048 . i y (测定值) y* (计算值) v = y -y* v2 1 4.24 4.28 +0.04 0.0016 2 2.92 2.82 -0.10 0.01 3 2.20 2.20 0 0 4 1.81 1.85 +0.04 0.0016 5 1.61 1.62 +0.01 0.0001 6 1.43 1.45 +0.02 0.0004 7 1.32 1.32 0 0 8 1.25 1.22 -0.03 0.0009 残差的平方和为: Σv2 = 0.0146 , 这个结果应该说也是较好的.
§4. 常见的数学建模方法(1) --- 数据拟合（曲线拟合）法
在建立数学模型时,实际问题有时仅给出一组数据. 处理这类问题的 较简单易行的方法是通过数据拟合法求得 “最佳” 的近似函数式 --经验公式. 从几何上看就是找一条 “最佳” 的曲线, 使之和给定的 数 （ 1）决定经验公式的形式 . 根据所描绘的系统固有的特点 ,参照 据点靠得最近 , 即进行曲线拟合 . 根据一组数据来确定其经验公式 , 已知数据的图形和特点或者它应服从的规律来决定经验公式的形式 . 一般可 分为三步进行: 这一步是关键的一步. （2）决定经验公式中的待定参数 . 一般可用线性情况下的最小二 乘法 .它误差较小,适用于测定数据比较精确的情况.在使用最小二 乘法 时,如遇到数学模型是非线性经验公式时其中参数的待定,通
4
根据最小二乘法公式，
k
t l ' nt l '
i 1 n i i 2 2 t n t i i 1
n
0.0212 , b l 'kt 0.196
可得： l = 999.804（ 1 + 0.0000212t ）.
最后检验该模型(经验公式): t v2 l (测定值) l*(计算值) v = l - l* 20 1000.22 1000.228 +0.008 0.000064 40 1000.65 1000.652 +0.002 0.00004 50 1000.9 1000.864 -0.036 0.001296 60 1001.05 1001.074 +0.024 0.000576 残差的平方和为: Σv2 = 0.00194 , 这个结果应该说是较好的. 实例2. 找出基于下列数据的油的粘度 y 与温度 x 之间关系的经验 公式 . 温度x 10 20 30 40 50 60 70 80 粘度y 4.24 2.92 2.2 1.81 1.6 1.43 1.32 1.25 建模过程: 无现成机理明确的公式,使用描点比较法 ：