【精品】2020-2021学年高中数学 第一章 导数及其应用 综合检测题含答案

第一章导数及其应用综合检测

时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．(2010·全国Ⅱ文，7)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x －y＋1＝0，则( )

A．a＝1，b＝1

B．a＝－1，b＝1

C．a＝1，b＝－1

D．a＝－1，b＝－1

[答案] A

[解析] y′＝2x＋a，∴y′|x＝0＝(2x＋a)|x＝0＝a＝1，

将(0，b)代入切线方程得b＝1.

2．一物体的运动方程为s＝2t sin t＋t，则它的速度方程为( )

A．v＝2sin t＋2t cos t＋1

B．v＝2sin t＋2t cos t

C．v＝2sin t

D．v＝2sin t＋2cos t＋1

[答案] A

[解析] 因为变速运动在t0的瞬时速度就是路程函数y＝s(t)在t0的导数，S′＝2sin t＋2t cos t＋1，故选A.

3．曲线y＝x2＋3x在点A(2,10)处的切线的斜率是( )

A．4

B．5

C．6

D．7

[答案] D

[解析] 由导数的几何意义知，曲线y ＝x 2＋3x 在点A (2,10)处的切线的斜率就是函数y ＝x 2＋3x 在x ＝2时的导数，y ′|x ＝2＝7，故选D.

4．函数y ＝x |x (x －3)|＋1( ) A ．极大值为f (2)＝5，极小值为f (0)＝1 B ．极大值为f (2)＝5，极小值为f (3)＝1 C ．极大值为f (2)＝5，极小值为f (0)＝f (3)＝1 D ．极大值为f (2)＝5，极小值为f (3)＝1，f (－1)＝－3 [答案] B

[解析] y ＝x |x (x －3)|＋1

＝⎩⎨⎧ x 3－3x 2

＋1 (x <0或x >3)－x 3

＋3x 2

＋1 (0≤x ≤3)

∴y ′＝⎩⎨⎧

3x 2

－6x (x <0或x >3)

－3x 2

＋6x (0≤x ≤3)

x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表： x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2,3) 3 (3，＋∞)

f ′(x )

＋

＋

－

＋

f (x )

无极值

极大值5

极小值1

极大极小故应选B.

5．(2009·安徽理，9)已知函数f (x )在R 上满足f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程是( )

A ．y ＝2x －1

B ．y ＝x

C ．y ＝3x －2

D ．y ＝－2x ＋3 [答案] A

[解析] 本题考查函数解析式的求法、导数的几何意义及直线方程的点斜式．

∵f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，

∴f(2－x)＝2f(x)－x2－4x＋4，

∴f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，

∴曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为2，切线方程为y－1＝2(x－1)，∴y＝2x－1.

6．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a等于( )

A．2

B．3

C．4

D．5

[答案] D

[解析] f′(x)＝3x2＋2ax＋3，

∵f(x)在x＝－3时取得极值，

∴x＝－3是方程3x2＋2ax＋3＝0的根，

∴a＝5，故选D.

7．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是( ) A．(－3,0)∪(3，＋∞)

B．(－3,0)∪(0,3)

C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)

D．(－∞，－3)∪(0,3)

[答案] D

[解析] 令F(x)＝f(x)·g(x)，易知F(x)为奇函数，又当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，即F′(x)>0，知F(x)在(－∞，0)内单调递增，又F(x)为奇函数，所以F(x)在(0，＋∞)内也单调递增，且由奇函数知f(0)＝0，∴F(0)＝0.

又由g(－3)＝0，知g(3)＝0

∴F(－3)＝0，进而F(3)＝0

于是F(x)＝f(x)g(x)的大致图象如图所示

∴F (x )＝f (x )·g (x )<0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)，故应选D.

8．下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是( )

A ．①②

B ．③④

C ．①③

D ．①④ [答案] B

[解析] ③不正确；导函数过原点，但三次函数在x ＝0不存在极值；④不正确；三次函数先增后减再增，而导函数先负后正再负．故应选B.

9．(2010·湖南理，5)⎠⎛24

1

x

d x 等于( )

A ．－2ln2

B ．2ln2

C ．－ln2

D ．ln2 [答案] D

[解析] 因为(ln x )′＝1

x

，

所以 ⎠⎛2

41

x dx ＝ln x |42＝ln4－ln2＝ln2.

10．已知三次函数f (x )＝1

3x 3－(4m －1)x 2＋(15m 2－2m －7)x ＋2在x ∈(－∞，

＋∞)是增函数，则m 的取值范围是( )

A ．m <2或m >4

B ．－4

C ．2

D ．以上皆不正确 [答案] D

[解析] f ′(x )＝x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7，

由题意得x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7≥0恒成立，∴Δ＝4(4m －1)2－4(15m 2

－2m －7)

＝64m 2－32m ＋4－60m 2＋8m ＋28 ＝4(m 2－6m ＋8)≤0， ∴2≤m ≤4，故选D.

11．已知f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 在区间[－1,2]上是减函数，那么b ＋c ( ) A ．有最大值15

2

B ．有最大值－15

2

C ．有最小值15

2

D ．有最小值－15

2

[答案] B

[解析] 由题意f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c 在[－1,2]上，f ′(x )≤0恒成立．