测量学测量误差的基本知识

n

Z lim
2 k
k
f 2 x 2 f 1 lim x k x k 2 1
2 2


x2 k
2

2
f x
2 2
x n
n
k
1 2 n lim lim 0 n n n n
直方图
误差分布曲线
1 f () e 2
2 2 2
5.2 评定精度的指标
一、平均误差
平均误差即算术平均误差，其定义为：在对某量进行一 系列观测中，各次观测误差的绝对值的算术平均值叫算术平 均误差，记为 X 。


lim
n
1 2 2 3 n1 n
n
0

2
1
n
2
n
n
vv 1
n n n n
因为
2 m
n
所以
2 vv m m2
n
n
整理后，得
m
29 20 18 16 10 0.134 0.092 0.083 0.073 0.046 59 41 33 30 22 0.272 0.189 0.152 0.138 0.101
15~18
18~21 21~24
8
5 2
0.037
0.023 0.009
8
6 2
0.037
0.028 0.009
16
11 4
2
常用函数的中误差公式
• 倍数函数
z kx
mz kmx
• 和差函数
z x1 x2 xn
mz m1 m2 mn
2 2 2
mz m n
• 线性函数
z k1 x1 k2 x2 kn xn
mz k1 m1 k2 m2 kn mn
三、容许误差和极限误差
容许误差
容 2m
极 3m
极限误差(limit error)
1 P f ()d e d 0.683 2 2 2 2 2 1 2 P 2 2 f ()d e d 0.955 2 2 2 2 3 3 2 1 2 P 3 3 f ()d e d 0.997 3 2 3 2 2 2
f f f Z x1 x2 xn x1 x2 xn
f f (1) f (1) (1) (1) Z x x x 1 2 n x1 x2 xn f f ( 2) f ( 2) ( 2) ( 2) Z x x x 1 2 n x x x 1 2 n f f ( k ) f (k ) (k ) (k ) Z x x x 1 2 n x x x 1 2 n
1 L X v1 2 L X v 2 n L X v n
两边同时平方并相加，得
因为
nL X 2 vv 2L X v v 0 ，令 L X ，代入上式，得

1 m D
0.02 1 D1 100 5000
m2
0.02 1 D2 200 10000
5.3 观测值与算术平均值的中误差
一、算术平均值(arithmetic average)
设在相同的观测条件下对某未知量观测了n次，观测值为 l1, l2, l3 ,… ln，现在要根据这n个观测值确定出该未知量的最或 然值。设未知量的真值为X ，以L表示上式观测值的算术平均 值，则有 [] 式中：△i = li－X LX
不等精度观测：观测条件不同的各次观测，其结果具有不同精度。
三、测量误差的分类及处理方法 系统误差(system error)
在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，误差 出现的符号和数值都相同，或按一定的规律变化。
偶然误差(accident error)
在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，误差 出现的符号和数值从单个上看没有规律性，而从整体上分 析却具有一定的统计规律性 。又称真误差(ture error)。
第 5章
测量误差的基本知识
本章内容如下： 5.1 测量误差概述 5.2 评定精度的指标 5.3 误差传播定律
5.4 等精度直接观测平差
5.5 不等精度直接观测平差
5.1 测量误差概述
一、误差(error)的定义
误差即观测值与真值之间的差值。
△ = L - X
二、测量误差产生的原因
观测条件: 观测者、仪器、外界条件 等精度观测: 观测条件相同的各次观测，其结果具有同等精度。
是反映一组真误差离散程度的指标。
* 在一定的观测条件下，标准差是一个固定的常数，
而中误差则是随着观测次数的多少及读取的观测值大小 而改变的随机变量，当观测次数逐渐增大时，中误差逐 渐趋近于标准差。
中误差的计算
例：同精度下对某一三角形进行了10次观测，求得每次观 测所得的三角形闭合差分别为（单位：″）：3，-2，-4，2， 0，-4，3，2，-3，-1。
将
l L
n
代入上式，得
v nL l
观测值改正数的重要特性:
v 0
即对于等精度观测，观测值改正数的总和为零。
三、观测值的精度评定
由真误差与观测值改正数的定义可知：
1 l1 X 2 l2 X n l n X
• 设三角形闭合差为
L3
i i i i 180
L1 L2
偶然误差分布情况统计
误差区间 dΔ （″）
0~3 3~6 6~9 9~12 12~15
正 误 差 个数k 频率k/n
30 21 15 14 12 0.138 0.097 0.069 0.065 0.055
合 计 负 误 差 个数k 频率k/n 个数k 频率k/n

z
2
f f 2 f 2 2 1 2 n x1 x2 xn
2 2 2
2
f f 2 f 2 2 mz x m1 x m2 x mn 1 2 n
L lim( X 取极限： lim n n [] ) n [] X lim n n
n
[] lim 0 n n
即，n趋近无穷大时，算术平均值即为真值 。
现在来推导算术平均值的中误差公式。
1 1 1 L l1 l2 ln n n n
式中，1 / n为常数。由于各独立观测值的精度相同，设其中 误差均为m。现以M表示算术平均值的中误差，则算术平均值 的中误差为
vv n
2
因为 所以
L X
L X
n
l L
n
l X l X
n n
2 2
n2 1 2 2 1 22 2n 21 2 2 2 3 2 n 1 n n 2 2 2 (1 2 2 3 n 1 n ) n n
3 2 2 2 4 2 2 2 0 2 4 2 3 2 2 2 3 2 12 m 10 2.7
另一台仪器的结果（单位：″）：3，1，-2，2，0，-3， 2， 1，-1，0。
32 12 2 2 2 2 0 32 2 2 12 12 0 m 10 1.8
vv
n 1
这就是用观测值改正数求观测值中误差的计算公式。
例：某一段距离共丈量了六次，结果如下表所示，求算术平 均值、观测中误差、算术平均值的中误差及相对误差。
5.4 误差传播定律及其应用
一、误差传播定律的公式 定义 公式推导
Z f ( x1，x2， ，xn )
Z Z f ( x1 x1，x2 x2， ，xn xn )
2 2 2 2 2 2
二、误差传播定律的应用
例：用长30m的钢尺丈量了10尺段，若每尺段的中误差 ml=±5mm，求全长L及其中误差。
L 10l 10 30 300 m
mL 10ml 50mm
L l1 l 2 l10
2

2 1
2

2
2

2 n



i j
f x Z f x f x
2 2 2 2
k
x 1
k
x 2
k
x n
k
f f xi x j x x k i , j 1 i j i j
1 X X i X 0 n i 1
当n较大时，可用下式估算为：
。
n
X X
i
X
nn 1
二、中误差 定义 • 标准差(standard deviation)
[] lim n n
• 中误差(mean square error)
[] ˆ m n
四、相对误差(relative error)
定义
例：分别丈量了100m及200m的两段距离，观测值的中误差均 为±2cm，试比较两者的观测成果质量。 误差的绝对值与观测值之比称为该观测值的相对误差， 常用1/N 的形式表示。
中误差的绝对值与观测值之比称为该观测值的相对中误差K。
K
m1
m D
2 2 2 m m m 1 M2 m2 n n n n
M
1 m n
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二、观测值的改正数
观测量的算术平均值与观测值之差，称为观测值改正数， 用v表示。当观测次数为n时，有
v1 L l1 v2 L l2 vn L ln
粗差(gross error)
在观测中出现的读错、记错或测错等，统称为粗差。粗差 在观测结果中是不允许出现的。为了杜绝粗差的产生，除 需认真仔细作业外，必须采取必要的检核措施。
处理方法
系统误差可以采取以下方法进行处理： 1.对称观测； 2.加改正数； 3.将系统误差限制在允许范围内。
四、偶然误差的特性

2
2
n f f f f f 2 2 2 Z x x1 x x2 x xn x x xi x j i , j 1 i j 1 2 n
0.074
0.051 0.018
24~27
27以上 合 计
1
0 108
0.005
0 0.498
0
0 109
0
0 0.502
1
0 217
0.005
0 1.000
偶然误差具有如下特性： （1）在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会 超过一定的限度； （2）绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的可能 性大； （3）绝对值相等的正误差与负误差出现的机会相等； （4）当观测次数无限增多时，偶然误差的算术平均值 趋近于零。即