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线与关节i+1轴线的交点； （3）当关节i轴线和关节i+1轴线平行时，取关节i+1轴线与
关节i+2轴线的公垂线与关节i+1轴线的交点；
转动连杆坐标系的建立
• 首连杆0：基座坐标系{0}是固定不动的；Z0 轴取关节1的轴线，O0的设置任意，通常与 O1重合；
• 末连杆n：工具坐标系{n}固定在机器人的 终端，由于连杆n的终端不再有关节，约定 坐标系{n}与{n-1}平行；
再看转动连杆参数的含义
• 连杆的尺寸参数
连杆长度ai：Zi和Zi-1沿Xi的距离，总为正；； 连杆扭角αi ：Zi-1绕Xi转至Zi的转角，符号根据右手定则确 定；
• 相邻连杆的关系参数
连杆偏置di ： Xi-1沿Zi-1至Xi的距离，沿Zi-1正向时为正； 关节转角θi ：Xi-1绕Zi-1转至Xi的转角，符号根据右手定则 确定；
转动连杆坐标系的D-H变换
• 转动连杆的D-H参数为θi、ai、αi 、di，其中关节变量是θi 。这四 个参数确定了连杆i相对于连杆i-1的位姿，即D-H坐标变换矩阵Ai。
• 坐标系{i-1}经过下面四次有序的相对变换可得到坐标系{i}：
（1）绕Zi-1轴转θi ；Rot(Zi-1,θi)
（2）沿Zi-1轴移动di ；Trans(Zi-1,di)
• 相邻连杆的关系参数
连杆偏置di ：沿关节i轴线方向，两个共垂线之间的距离； 关节转角θi ：垂直于关节轴线的平面内，两个共垂线之 间的夹角；
关节变量
• 旋转关节：
关节转角θi是关节变量，连杆长度ai、连杆 扭角αi 、连杆偏置di 是固定不变的；
• 移动关节：
连杆偏置di是关节变量，连杆长度ai 、连杆 扭角αi 、关节转角 θi是固定不变的；
（二）转动连杆坐标系及连杆的D-H坐标变换
转动连杆坐标系的建立
• 坐标轴Zi：与i+1关节的轴线重合； • 坐标轴Xi：沿连杆i两关节轴线的公垂线,指向i+1关节； • 坐标轴Yi：按右手直角坐标系法则确定； • 坐标原点Oi： （1）当关节i轴线和关节i+1轴线相交时，取交点； （2）当关节i轴线和关节i+1轴线异面时，取两轴线的公垂
• 则第二连杆对基坐标的位姿为 T2 A1A2 • 手爪相对于基座的位姿
T6Aห้องสมุดไป่ตู้1A 2A 3A 4A 5A 6
注意前后 顺序
二、 机器人运动学方程
2、手爪位姿的表示
位置矢量P：两手指连线的中点（手爪坐标系的原点）； 接近矢量a：夹持器进入物体的方向（手爪坐标系的Z轴）； 方向矢量o：指尖互相指向（手爪坐标系的Y轴）； 法线矢量n：垂直手掌面的方向（手爪坐标系的X轴）；
0
0
si
0
ci
0
d1i
二、机器人运动学方程
（一）运动学方程
• 机械手可以看成由一系列关节连接起来的连杆组构成。
• 给每一个连杆在关节处设置一个连杆坐标系，该连杆坐标系 随关节运动而运动。
二、 机器人运动学方程
1、A矩阵和T矩阵
• 用A矩阵描述连杆坐标系间相对平移和旋转 的齐次变换。
• A1表示第一连杆对基坐标的位姿， A2表示 第二连杆对第一连杆位姿……
ci
0
aici
aisi
di 1
（三）移动连杆坐标系及连杆的D-H坐标变换
移动连杆坐标系的建立
移动连杆坐标系的规定：
• 坐标轴Zi：与i+1关节的轴线重合； • 坐标轴Xi：沿移动关节i轴线与关节i+1轴线的公垂线,指向i+1关节； • 坐标轴Yi：按右手直角坐标系法则确定； • 坐标原点Oi： （1）当关节i轴线和关节i+1轴线相交时，取交点； （2）当关节i轴线和关节i+1轴线异面时，取两轴线的公垂线与关节i轴
移动连杆坐标系的D-H变换
• 移动连杆的D-H参数为θi、ai、αi 、di，其中关 节变量是di 。用与求转动连杆坐标系相同的方法 可求出移动连杆的D-H变换矩阵：
Ai Ro(tz,i)Tran(0s,0,di)Tran(asi,0,0)Ro(tx,i)
ci sici sisi 0
si cici cisi 0
线的交点； （3）当关节i轴线和关节i+1轴线平行时，取关节i+1轴线与关节i+2轴线
的公垂线与关节i+1轴线的交点；
移动连杆坐标系的建立
移动连杆前的相邻连杆坐标系的规定：
• 坐标轴Zi-1：过原点Oi且平行于移动关节i的轴线； • 坐标轴Xi-1：沿移动关节i-1轴线与Zi-1轴线的公垂
线,指向Zi-1轴线； • 坐标轴Yi-1：按右手直角坐标系法则确定； • 坐标原点Oi-1：关节轴线i-1和Zi-1轴的公垂线与Zi-1
第6、7讲 机器人位置运动学
Kinematics of Robotics
机器人正向运动学（运动学正解）
已知所有连杆长度和关节角度，计算机器人手的位姿
机器人逆向运动学（运动学逆解）
已知机器人手的位姿，计算所有连杆长度和关节角度
机器人运动学分析步骤和内容
一、机器人连杆参数及其D-H坐标变换
(连杆参数/连杆坐标系及D-H连杆变换)
二、机器人运动学方程
(运动学方程/典型机器人运动学方程)
三、机器人逆运动学
(机器人运动学逆解有关问题/典型臂运动学逆解)
一、机器人连杆参数及其D-H坐标变换
在驱动装置带动下，连杆将绕或沿关节轴线， 相对于前一临近连杆转动或移动。
（一）连杆参数
（一）连杆参数
• 连杆的尺寸参数
连杆长度ai：两个关节轴线i和i+1 沿共垂线的距离； 连杆扭角αi ：两个关节轴线i和i+1的夹角；
轴的交点；
移动连杆坐标系的建立
• 首连杆0：基座坐标系{0}是固定不动的；Z0 轴取关节1的轴线，O0的设置任意，通常与 O1重合；
• 末连杆n：工具坐标系{n}固定在机器人的 终端，由于连杆n的终端不再有关节，约定 坐标系{n}与{n-1}平行；
再看移动连杆参数的含义
• 由于移动连杆的OiZi轴线平行于移动关节轴 线移动， OiZi在空间的位置是变化的，因而 ai参数无意义。连杆i的长度在坐标系{i-1} 中考虑， 故参数ai=0 。原点Oi的零位与Oi-1 重合，此时移动连杆的变量di=0 。
（3）沿Xi轴移动ai ；Trans(Xi,ai)
（4）绕Xi轴转αi ；Rot(Xi,αi)
• 由于以上变换都是相对于动坐标系的，根据“由左向右”的原则可求
出变换矩阵：Ai Ro(tz,i)Tran(0s,0,di)Tran(asi,0,0)Ro(tx,i)
ci
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0
0
sici cici
si
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关节i+2轴线的公垂线与关节i+1轴线的交点；
转动连杆坐标系的建立
• 首连杆0：基座坐标系{0}是固定不动的；Z0 轴取关节1的轴线，O0的设置任意，通常与 O1重合；
• 末连杆n：工具坐标系{n}固定在机器人的 终端，由于连杆n的终端不再有关节，约定 坐标系{n}与{n-1}平行；
再看转动连杆参数的含义
• 连杆的尺寸参数
连杆长度ai：Zi和Zi-1沿Xi的距离，总为正；； 连杆扭角αi ：Zi-1绕Xi转至Zi的转角，符号根据右手定则确 定；
• 相邻连杆的关系参数
连杆偏置di ： Xi-1沿Zi-1至Xi的距离，沿Zi-1正向时为正； 关节转角θi ：Xi-1绕Zi-1转至Xi的转角，符号根据右手定则 确定；
转动连杆坐标系的D-H变换
• 转动连杆的D-H参数为θi、ai、αi 、di，其中关节变量是θi 。这四 个参数确定了连杆i相对于连杆i-1的位姿，即D-H坐标变换矩阵Ai。
• 坐标系{i-1}经过下面四次有序的相对变换可得到坐标系{i}：
（1）绕Zi-1轴转θi ；Rot(Zi-1,θi)
（2）沿Zi-1轴移动di ；Trans(Zi-1,di)
• 相邻连杆的关系参数
连杆偏置di ：沿关节i轴线方向，两个共垂线之间的距离； 关节转角θi ：垂直于关节轴线的平面内，两个共垂线之 间的夹角；
关节变量
• 旋转关节：
关节转角θi是关节变量，连杆长度ai、连杆 扭角αi 、连杆偏置di 是固定不变的；
• 移动关节：
连杆偏置di是关节变量，连杆长度ai 、连杆 扭角αi 、关节转角 θi是固定不变的；
（二）转动连杆坐标系及连杆的D-H坐标变换
转动连杆坐标系的建立
• 坐标轴Zi：与i+1关节的轴线重合； • 坐标轴Xi：沿连杆i两关节轴线的公垂线,指向i+1关节； • 坐标轴Yi：按右手直角坐标系法则确定； • 坐标原点Oi： （1）当关节i轴线和关节i+1轴线相交时，取交点； （2）当关节i轴线和关节i+1轴线异面时，取两轴线的公垂
• 则第二连杆对基坐标的位姿为 T2 A1A2 • 手爪相对于基座的位姿
T6Aห้องสมุดไป่ตู้1A 2A 3A 4A 5A 6
注意前后 顺序
二、 机器人运动学方程
2、手爪位姿的表示
位置矢量P：两手指连线的中点（手爪坐标系的原点）； 接近矢量a：夹持器进入物体的方向（手爪坐标系的Z轴）； 方向矢量o：指尖互相指向（手爪坐标系的Y轴）； 法线矢量n：垂直手掌面的方向（手爪坐标系的X轴）；
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二、机器人运动学方程
（一）运动学方程
• 机械手可以看成由一系列关节连接起来的连杆组构成。
• 给每一个连杆在关节处设置一个连杆坐标系，该连杆坐标系 随关节运动而运动。
二、 机器人运动学方程
1、A矩阵和T矩阵
• 用A矩阵描述连杆坐标系间相对平移和旋转 的齐次变换。
• A1表示第一连杆对基坐标的位姿， A2表示 第二连杆对第一连杆位姿……
ci
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（三）移动连杆坐标系及连杆的D-H坐标变换
移动连杆坐标系的建立
移动连杆坐标系的规定：
• 坐标轴Zi：与i+1关节的轴线重合； • 坐标轴Xi：沿移动关节i轴线与关节i+1轴线的公垂线,指向i+1关节； • 坐标轴Yi：按右手直角坐标系法则确定； • 坐标原点Oi： （1）当关节i轴线和关节i+1轴线相交时，取交点； （2）当关节i轴线和关节i+1轴线异面时，取两轴线的公垂线与关节i轴
移动连杆坐标系的D-H变换
• 移动连杆的D-H参数为θi、ai、αi 、di，其中关 节变量是di 。用与求转动连杆坐标系相同的方法 可求出移动连杆的D-H变换矩阵：
Ai Ro(tz,i)Tran(0s,0,di)Tran(asi,0,0)Ro(tx,i)
ci sici sisi 0
si cici cisi 0
线的交点； （3）当关节i轴线和关节i+1轴线平行时，取关节i+1轴线与关节i+2轴线
的公垂线与关节i+1轴线的交点；
移动连杆坐标系的建立
移动连杆前的相邻连杆坐标系的规定：
• 坐标轴Zi-1：过原点Oi且平行于移动关节i的轴线； • 坐标轴Xi-1：沿移动关节i-1轴线与Zi-1轴线的公垂
线,指向Zi-1轴线； • 坐标轴Yi-1：按右手直角坐标系法则确定； • 坐标原点Oi-1：关节轴线i-1和Zi-1轴的公垂线与Zi-1
第6、7讲 机器人位置运动学
Kinematics of Robotics
机器人正向运动学（运动学正解）
已知所有连杆长度和关节角度，计算机器人手的位姿
机器人逆向运动学（运动学逆解）
已知机器人手的位姿，计算所有连杆长度和关节角度
机器人运动学分析步骤和内容
一、机器人连杆参数及其D-H坐标变换
(连杆参数/连杆坐标系及D-H连杆变换)
二、机器人运动学方程
(运动学方程/典型机器人运动学方程)
三、机器人逆运动学
(机器人运动学逆解有关问题/典型臂运动学逆解)
一、机器人连杆参数及其D-H坐标变换
在驱动装置带动下，连杆将绕或沿关节轴线， 相对于前一临近连杆转动或移动。
（一）连杆参数
（一）连杆参数
• 连杆的尺寸参数
连杆长度ai：两个关节轴线i和i+1 沿共垂线的距离； 连杆扭角αi ：两个关节轴线i和i+1的夹角；
轴的交点；
移动连杆坐标系的建立
• 首连杆0：基座坐标系{0}是固定不动的；Z0 轴取关节1的轴线，O0的设置任意，通常与 O1重合；
• 末连杆n：工具坐标系{n}固定在机器人的 终端，由于连杆n的终端不再有关节，约定 坐标系{n}与{n-1}平行；
再看移动连杆参数的含义
• 由于移动连杆的OiZi轴线平行于移动关节轴 线移动， OiZi在空间的位置是变化的，因而 ai参数无意义。连杆i的长度在坐标系{i-1} 中考虑， 故参数ai=0 。原点Oi的零位与Oi-1 重合，此时移动连杆的变量di=0 。
（3）沿Xi轴移动ai ；Trans(Xi,ai)
（4）绕Xi轴转αi ；Rot(Xi,αi)
• 由于以上变换都是相对于动坐标系的，根据“由左向右”的原则可求
出变换矩阵：Ai Ro(tz,i)Tran(0s,0,di)Tran(asi,0,0)Ro(tx,i)
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