2019年江苏卷数学高考真题及答案解析

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2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

数学Ⅰ

参考公式：

样本数据12,,,n x x x …的方差()2

2

11n i i s x x n ==-∑，其中1

1n i i x x n ==∑．

柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高． 锥体的体积1

3

V Sh =

，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{1,0,1,6}A =-，{|0,}B x

x x =>∈R ，则A

B = ▲ .

2．已知复数(2i)(1i)a ++的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是 ▲ . 3．下图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 ▲ .

4

．函数y =的定义域是 ▲ .

5．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是 ▲ .

6．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 ▲ .

7．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2

2

21(0)y x b b

-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是

▲ .

8．已知数列*

{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，则8S 的值是 ▲ . 9．如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是 ▲ .

10．在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4

(0)y x x x

=+

>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是 ▲ .

11．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然

对数的底数），则点A 的坐标是 ▲ .

12．如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，

则

AB

AC

的值是 ▲ .

13．已知

tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝

⎭，则πsin 24α⎛

⎫+ ⎪⎝⎭的值是 ▲ .

14．设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.

当2(]0,x ∈

时，()f x =，(2),01()1,122

k x x g x x +<≤⎧⎪

=⎨-<≤⎪⎩，其中k >0.若在区间(0，9]上，关

于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是 ▲ .

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．

内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）

在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． （1）若a =3c ，b

，cos B =

2

3

，求c 的值； （2）若

sin cos 2A B a b =，求sin()2

B π

+的值． 16．（本小题满分14分）

如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ． 求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1； （2）BE ⊥C 1E ．

17．（本小题满分14分）

如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22

221(0)x y a b a b

+=>>的焦点为F 1（–1、0），

F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:2

2

2

(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．

已知DF 1=

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． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．

18．（本小题满分16分）

如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）． （1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；

（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；

（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．

19．（本小题满分16分）

设函数()()()(),,,f x x a x b x c a b c =---∈R 、()f 'x 为f （x ）的导函数． （1）若a =b =c ，f （4）=8，求a 的值；

（2）若a ≠b ，b =c ，且f （x ）和()f 'x 的零点均在集合{3,1,3}-中，求f （x ）的极小值；