北京市中学生数学竞赛试题
北京八年级数学竞赛试题
北京八年级数学竞赛试题一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. -1D. 22. 如果一个角的补角是它的3倍，那么这个角的度数是多少？A. 45°B. 60°C. 90°D. 120°3. 某数列的前三项为1, 1, 2，从第四项开始，每一项都是前三项的和。
这个数列的第10项是多少？A. 144B. 89C. 72D. 554. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，斜边的长度是多少？A. 5B. 6C. 7D. 85. 一个圆的半径为5，它的面积是多少？A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π6. 一个数的相反数是-8，这个数是多少？A. 8B. -8C. 0D. 167. 一个长方体的长、宽、高分别是2, 3, 4，它的体积是多少？A. 24B. 26C. 28D. 308. 一个数的平方是36，这个数是多少？A. 6B. ±6C. 36D. ±369. 一个等差数列的首项是2，公差是3，它的第6项是多少？A. 17B. 19C. 21D. 2310. 一个分数的分子和分母的和是21，分子是分母的1/3，这个分数是多少？A. 1/6B. 2/15C. 3/18D. 4/17二、填空题（每题4分，共20分）11. 一个数的绝对值是5，这个数可以是________。
12. 如果一个数的平方根是4，那么这个数是________。
13. 一个圆的直径是14，它的周长是________。
14. 一个数的立方根是2，这个数是________。
15. 一个等差数列的第5项是15，公差是2，首项是________。
三、解答题（每题10分，共50分）16. 证明勾股定理：在一个直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
17. 解一元二次方程：x² - 5x + 6 = 0。
18. 一个长方体的长、宽、高分别是a, b, c，求它的表面积。
北京首都师范大学附属实验学校2023—2024学年上学期七年级数学数学计算竞赛及参考答案
首都师范大学附属实验学校七年级数学数学计算竞赛班级：姓名：分数：：.说明：以下各题1-20直接写答案，21-30写计算过程.相信自己，祝你成功！1．()()13-+-=2．()()13---=3．()40.25⎛⎫-++=⎪⎝⎭4．12123⎛⎫⎛⎫-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5．1022⎛⎫--= ⎪⎝⎭6．()()3.5 3.5---=7．()30.675⎛⎫-++= ⎪⎝⎭8．07-=9．3277-+=10．3277--=11.1156-=.12．14133⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭13．()1642⎛⎫-⨯-= ⎪⎝⎭14.()11.254⎛⎫--+= ⎪⎝⎭15．()1642⎛⎫---= ⎪⎝⎭16．2(1)----=17．()23---=18．11.524⎛⎫-⨯-=⎪⎝⎭19．122333-=20．143255-+=21.45168-+-+.22.721275-++--()().23.216(32÷-24.132.75110.524--+25.11252(4)429-⨯--⨯26.27.()()2244236.3⎛⎫-+⨯---÷- ⎪⎝⎭28.22311()27[(4)23]32-⨯--÷-29.3778148127⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭———30.1111115()13(3555-⨯-+⨯-+⨯31.用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数x 和y ，x ☆y =21a x ay ++（a 为常数），如：2☆3=22231231a a a a ⋅+⋅+=++．若1☆2=3，则3☆6的值为32．鞋号是指鞋子的大小，中国于60年代后期，在全国测量脚长的基础上制定了“中国鞋号”，1998年政府发布了基于Mondopoint 系统，用毫米做单位的中华人民共和国国家标准GB/T3294-1998，被称为“新鞋号”，之前以厘米为单位的鞋号从此被称为“旧鞋号”．新旧鞋号部分对应表如下：新鞋号220225230235……270旧鞋号34353637……a（1）a 的值为；（2）若新鞋号为m ，旧鞋号为n ，则把旧鞋号转换为新鞋号的公式为．33.代数式kx +b 中，当x 取值分别为－1,0,1,2时，对应代数式的值如下表：则k +b =.x …－1012…kx +b …－1135…)8(16771-⨯34.用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐加1的规律拼成下列图案：（1）第8个图案中有白色纸片张；（2）第n 个图案中有白色纸片张.35.阅读材料并解决问题：（1）数学课上，老师提出如下问题：观察下列算式：221-0=1+0=1；222-1=2+1=3；223-2=3+2=5；224-3=4+3=7；225-4=5+4=9；……若字母a,b 表示连续的自然数，用含a,b 的式子表示观察得到的规律是：22a b -=；（2）小云同学解决完老师提出的问题后，又继续研究,发现：①当a,b 表示负整数且1a b -=时，上述规律仍旧成立;②当a,b 表示分数且1a b -=时，上述规律仍旧成立.请你对小云的两个发现进行验证，每个发现举出一个算式;（3）请你参照小云同学的研究思路，进行猜想、验证、归纳，当a-b =2时,22a b -=（用含a,b 的代数式表示）;(4)进一步进行猜想、验证、归纳,当a-b =m(m 为有理数)时,22a b -=（用含m,a,b 的代数式表示）。
2024年全国高中数学联赛北京赛区预赛一试试题(解析版)
2024年全国高中数学联赛北京赛区预赛一试试题考试时间:8:00-9:20填空题(1-8题每题8分，第9题16分，第10，11题每题20分，共120分)1．设整数集合{}12345A a a a a a =，，，，，若A 中所有三元子集的三个元素之积组成的集合为{}30,15,10,6,5,3,26,10,15B =------，，则集合A =.2．已知函数()201ln 102x x f x x x +<⎧⎪=⎨⎛⎫+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，，若关于x 的方程()()f f x m =恰有三个不相等的实数根123,,x x x 且满足123x x x <<，则()1229ln 4x x ++的取值范围是.3．从1,2,,2024 中任取两个数()a b a b ≤，，则37a b +的值中，个位数字为8的数有个.4．设复数z 满足32i 6z -=，令21107457iz z z z -+=-+，则1z 的最大值是.5．已知函数()*,1,,,N ,,,x x f x q q x p q p q p q p p ⎧⎪=+⎨=∈>⎪⎩若为无理数若其中且互质，则函数()f x 在区间89,910⎛⎫ ⎪⎝⎭上的最大值为.6．对于0c >，若非零实数a b ，满足224240a ab b c -+-=，且使2a b +最大，则342a b c -+的最小值为.7．已知函数()44cos sin sin4f x x x a x b =++-，且π6f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数.若方程+=0在[]0,π上有四个不同的实数解1234，，，x x x x ，则12344x x x x f +++⎛⎫ ⎪⎝⎭的平方值为.8．已知{}1,2,,2625A ⊆ ，且A 中任意两个数的差的绝对值不等于4，也不等于9，则A 的最大值为.9．设多项式202320240()i i f x x cx ==+∑，其中{}1,0,1i c ∈-.记N 为()f x 的正整数根的个数（含重根）.若()f x 无负整数根，N 的最大值是.10．在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1AA 上的一点，且11,A EF =为截面1A BD 上的动点，则AF FE +的最小值等于.11．数列{}n a 定义如下：设()()2!!2024!n n n +写成既约分数后的分母为(),n A n a 等于()2A n 的最大质因数，则n a 的最大值等于.2024年全国高中数学联赛北京赛区预赛二试试题考试时间:9:40-12:3012．设,,a b c 是三个正数，求证：++13．如图所示，锐角ABC V 的三条高线AD ，BE ，CF 交于点H ，过点F 作//FG AC 交直线BC 于点G ，设 CFG 的外接圆为O O ，与直线AC 的另一个交点为P ，过P 作//PQ DE 交直线AD 于点Q ，连接OD ，OQ .求证:OD OQ =.14．有n 个球队参加比赛，球队之间的比赛计划已经安排好了.但是每场比赛的主场客场还没有分配好.这时每个球队都上报了自己能够接受的客场比赛的最大次数.最终组委会发现这些次数加在一起恰好是比赛的总场次，并且组委会还发现任意挑出若干支球队，他们能够接受的客场次数之和都要大于等于他们之间的比赛总场次.请问组委会能否安排好主客场使得每支球队都满意，请证明你的结论.15．设12n a a a ，，，为n 个两两不同的正整数且12n a a a 恰有4048个质因数.如果12n a a a ，，，中任意多个数相乘均不是一个整数的4049次方，求n 的最大值.1．{}2,1,1,3,5--【分析】依据总的乘积，绝对值最大的乘积，绝对值最小的乘积去分析集合A 中的各元素即可.【详解】A 中所有三元子集共有35C 10=个，A 中的每个元素在这些三元子集中均出现了10365⨯=次，故()()()()()()()612345301510653261015a a a a a =-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯⨯⨯⨯，1234530a a a a a =，因为集合B 中的元素有6个负数4个正数，故集合A 中的元素有2个负数3个正数，所以1234530a a a a a =，不妨设12345a a a a a ≤≤≤≤，三个元素之积绝对值最大时，34530a a a =-，121a a =-，又A 为整数集合，所以11a =，21a =-或者11a =-，21a =；三个元素之积绝对值最小时，1232a a a =，又121a a =-，所以32a =-，4515a a =，因为集合A 中的元素有2个负数3个正数，故4a 、5a 均为正整数，所以43a =，55a =，故{}2,1,1,3,5A =--.故答案为：{}2,1,1,3,5--.【点睛】关键点点睛：本题考查集合的子集，关键是理解题目的意思，并从“总的乘积，绝对值最大的乘积，绝对值最小的乘积”这些不同的角度去分析集合A 中的各元素.2．11,1ln 22ln 2⎡⎫+⎪⎢⎣⎭【分析】求出嵌套函数解析式4,2,1(())ln 2,20,211ln ln 11,022x x f f x x x x x ⎧⎪+<-⎪⎪⎪⎛⎫=+-≤<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎡⎤⎛⎫++≥⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎣⎦⎩，作出其图象，得到0ln 2m ≤<，化简得()121ln 229221ln 4ln 2x x m ⎛⎫- ⎪+=- ⎪++ ⎪⎝⎭，设右边为新函数，根据其单调性得到范围.【详解】当2x <-时，则20x +<，则()()224f f x x x =++=+，当20x -≤<时，022x £+<，则()()()11ln 21ln 222f f x x x ⎡⎤⎛⎫=++=+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，当0x ≥时，()()11ln ln 1122f f x x ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即4,2,1(())ln 2,20,211ln ln 11,022x x f f x x x x x ⎧⎪+<-⎪⎪⎪⎛⎫=+-≤<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎡⎤⎛⎫++≥⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎣⎦⎩方程(())f f x m =恰有三个不相等的实数根等价于直线y m =与函数(())y f f x =的图象有三个不同交点，因此0ln 2m ≤<.此时14x m +=且21ln 22x m ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则14x m =-，()2ln 4ln 2x m +=+，从而()121ln 22921221ln 4ln 2ln 2x m x m m ⎛⎫- ⎪++==- ⎪+++ ⎪⎝⎭，设()1ln 2221ln 2h m m ⎛⎫- ⎪=- ⎪+ ⎪⎝⎭，则其在[0,ln 2)上单调递增，因此()1229ln 4x x ++的取值范围是11,1ln 22ln 2⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.故答案为：11,1ln 22ln 2⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用分段函数的解析式求出()()y f f x =的表达式，然后利用转化法、数形结合思想进行求解.。
2020年北京市中学生数学竞赛高一年级试题(含答案)
2020年北京市中学生数学竞赛高一年级试题2020年6月 27日8:30～10:30一、填空题（满分40分，每小题8分）1．已知实函数f (x )满足f (x +y )=f (x )+f (y )+4xy ，且f (−1)·f (1)≥4．则293f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭______． 2．等腰梯形ABCD （AB =CD ）的内切圆与腰CD 的切点为M ，与AM 、BM 的交点分别为K 和L ．则AM BM AK BL+的值等于______． 3．四位数abcd 比它的各位数字的平方和大2020，在所有这样的四位数中最大的一个是______．4．已知点O 在△ABC 内部，且2021202020193AB BC CA AO ++=，记△ABC 的面积为S 1，△OBC 的面积为S 2，则12S S =______． 5．有4个不同的质数a , b , c , d ，满足a +b +c +d 是质数，且a 2+bc 、a 2+bd 都是完全平方数，那么a +b +c +d = ______．二、（满分15分）面积为S 1，S 2，S 3，S 4，S 5，S 6的正方形位置如右图所示．求证：S 4+S 5+S 6=3(S 1+S 2+S 3)．三、（满分15分）存在2020个不是整数的有理数，它们中任意两个的乘积都是整数四、（满分15分）如右图，已知D 为等腰△ABC BC 上任一点，⊙I 1、⊙I 2分别为△ABD 、△ACD 内切圆，M 为BC 的中点．求证：I 1M ⊥I 2M ．五、（满分15分）将集合I ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}B ={w , x , y , z }，使得A ∪B =I ，A ∩B =Ø，且A 与B 的元素至少有一种排列组成的正整数满足2wxyz abcde ，则称A 与B 为集合I 的一个“两倍型2分划”．（1）写出集合I 的所有“两倍型2分划”，并给出理由；（2）写出集合I 的每个“两倍型2分划”对应的所有可能的2wxyz abcde ．2020年北京市中学生数学竞赛（邀请）高一年级试题及参考解答2020年6月 27日8:30～10:30一、填空题（满分40分，每小题8分）1．已知实函数f (x )满足f (x +y )=f (x )+f (y )+4xy ，且f (−1)·f (1)≥4．则29()3f -=______． 解：令x =y =0得f (0)=0，令x =−1，y =1，得f (1)+f (−1)=4．平方得f 2(1)+2f (1)·f (−1)+f 2(−1)=16，又因为f (−1)·f (1)≥4，所以f 2(1)+2f (1)·f (−1)+f 2(−1)≤4f (1)·f (−1)．即(f (1)−f (−1))2≤0．所以f (1)=f (−1)=2． 因为)32)(31(4)32()31()32(31)1(--⋅+-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=-f f f f 1118=3()4()()3339f ， 所以 .234)31(3=+-f 因此.92)31(=-f 所以.9894)31(2)32(=+-=-f f 于是29()3f -=8．2．等腰梯形ABCD （AB =CD ）的内切圆与腰CD 的切点为M ，与AM 、BM 的交点分别为K 和L ．则AM BM AK BL+的值等于______． 解：设N 是边AD 的中点，a =AN ，x =AK ，y =AM ，α=∠ADM ，（如图）．则ND=DM=a ，且根据余弦定理，对于△ADM ，有y 2=4a 2+a 2−4a 2cos α=a 2(5−4cos α)． 另一方面，根据切割线定理，有xy=a 2，所以 2AM y y AK x xy ===5−4cos α． 类似地对于△BCM ，得到54cos .BM BLα=+ 因此，10.AM BM AK BL+= C BD A LK a y αMx3．四位数abcd 比它的各位数字的平方和大2020，在所有这样的四位数中最大的一个是______．解: 设abcd 为所求的自然数，则根据条件1000a +100b +10c +d =a 2+b 2+c 2+d 2+2020．考虑到 2000＜a 2+b 2+c 2+d 2+2020≤92+92+92+92+2020=2344，可以断定a =2，于是100b +10c +d =b 2+c 2+d 2+24．即 b (100−b )+c (10−c )=d (d −1)+24 (*)由于c (10−c )＞0，当b ≥1时，b (100−b )≥99，所以(*)式左边大于99，而(*)式右边小于9×8+24=96，因此要(*)式成立，必须b =0．当b =0时，(*)式变为 d 2−d =10c −c 2−24． 由于四位数abcd 中a =2，b =0，要使20cd 最大，必需数字c 最大．若c =9，c 2−c −24=90−92−24＜0，而d 2−d ≥0故(*)式不能成立．同理，c =8和c =7时，(*)式均不能成立．当c =6时，c 2−c −24=60−62−24=0，这时，d =0及d =1，均有d 2−d =0，即(*)式均成立． 于是abcd =2060或2061．所以满足题设条件的四位数中最大的一个是2061．4．已知点O 在△ABC 内部，且2021202020193AB BC CA AO ++=，记△ABC的面积为S 1，△OBC 的面积为S 2，则12S S =______． 解：由2021202020193AB BC CA AO ++=，得22019()3AB BC AB BC CA AO ++++=，因为0AB BC CA ++=，所以23AB BC AO +=，故23AB AC AB AO +-=. 所以3AB AC AO +=，取BC 的中点D ，则23AD AO =.于是A 、D 、O 三点共线，且3AD OD =．所以123S AD S OD==．5．有4个不同的质数a , b , c , d ，满足a +b +c +d 是质数，且a 2+bc 、a 2+bd 都是完全平方数，那么a +b +c +d = ______．解：由a +b +c +d 是质数，可知a , b , c , d 中有2．如果a ≠2，那么b , c , d 中有2，从而a 2+bc 、a 2+bd 中有一个模4余3，不是完全平方数．故a =2．假设22+bc =m 2，那么bc =(m −2)(m +2)．如果m −2=1，那么m =3，bc =5，与已知矛盾．故不妨设b =m −2，c =m +2，则c =b +4．同理d =b −4，所以{a , b , c , d }={a , b , b +4, b −4}．而b −4, b , b +4中有一个是3的倍数，又是质数，所以只能是b −4=3，此时a +b +c +d =2+3+7+11=23．二、（满分15分）面积为S 1，S 2，S 3，S 4，S 5，S 6的正方形位置如图所示．求证：S 4+S 5+S 6=3(S 1+S 2+S 3)．证明：见右图：AKLB ，BMNC ，ACPQ 都是正方形，对应的面积为S 1、S 2和S 3．设,,βα=∠=∠ABC BAC .γ=∠ACB 因为,,,321S AC S BC S AB === 则根据余弦定理，有αcos 232321S S S S S -+=βcos 231312S S S S S -+=γcos 221213S S S S S -+= 由此，.cos 2cos 2cos 2321213132S S S S S S S S S ++=++γβα ①又因为 ,180,180,180γβα-=∠-=∠-=∠ NCP LBM QAK 以及,,,465S NP S LM S QK === 则有αcos 231315S S S S S ++= ②βcos 221216S S S S S ++= ③ γcos 232324S S S S S ++= ④由等式①～④得 S 4+S 5+S 6=3(S 1+S 2+S 3)．三、（满分15分）存在2020个不是整数的有理数，它们中任意两个的乘积都是整数吗？如果存在，请给出例证，如果不存在，请说明理由．解：存在. 例证如下：因为质数有无限多个，所以任选2020个两两不同的质数122020,,,p p p ，构造2020个两两不同的数： 1220202ii p p p x p ，i =1, 2, 3, …, 2020． 易知，因为122020,,,x x x 的分子不被分母整除，皆为不是整数的有理数．而任意两个数的乘积 12202012202022i i i j p p p p p p x x p p 2222222222122020121111202022ii j j i j p p p p p p p p p p p p ． 这2018个质数平方的乘积是整数，满足题意要求．A B C I 1 I 2 • • F 四、（满分15分）如图，已知D 为等腰△ABC 底边BC 上任一点，⊙I 1、⊙I 2分别为△ABD 、△ACD 的内切圆，M 为BC 的中点．求证：I 1M ⊥I 2M ．证明： （1）当D 与M 重合时，显然有∠I 1MI 2=90°，即I 1M ⊥I 2M ．（2）当D 不与M 重合时，不妨设BD ＞DC ， 过I 1作I 1E ⊥BC 于点E ，过I 2作I 2F ⊥BC 于点F ，连结I 1D ，I 2D ，I 1I 2．因为⊙I 1为△ABD 的内切圆，⊙I 2为△ACD 的内切圆，所以 2AB BD AD BE +-=，2DC AD AC DF +-= 所以，EM =BM −BE=22BC AB BD AD +--()2BC BD AD AB -+-=.2DF AC AD DC =-+= 进而有 ED=MF ．因为I 1、I 2分别为△ABD 、△ACD 的内心，易知∠I 1DI 2=90°． 由勾股定理得I 1D 2+I 2D 2=I 1I 22．(*)在Rt △I 1DE 与Rt △DI 2F 中，由勾 股定理得I 1E 2+ED 2=I 1D 2，I 2F 2+DF 2=I 2D 2，代入(*)式，得(I 1E 2+ED 2)+(I 2F 2+DF 2)= I 1I 22．注意EM=DF ，ED=MF 代换得(I 1E 2+MF 2)+(I 2F 2+EM 2)= I 1I 22．即 (I 1E 2+EM 2)+(I 2F 2+MF 2)= I 1I 22．所以 I 1M 2+I 2M 2=I 1I 22．根据勾股定理的逆定理，有△I 1MI 2为直角三角形，∠I 1MI 2=90°，即I 1M ⊥I 2M ．五、（满分15分）将集合I ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}划分为两个子集A ={a , b , c , d , e }和B ={w , x , y , z }，使得A ∪B =I ，A ∩B =Ø，且A 与B 的元素至少有一种排列组成的正整数满足2wxyz abcde ，则称A 与B 为集合I 的一个“两倍型2分划”．（1）写出集合I 的所有“两倍型2分划”，并给出理由；（2）写出集合I 的每个“两倍型2分划”对应的所有可能的2wxyz abcde ． 解：（1）集合I 共有2个“两倍型2分划”：A ={1, 3, 4, 5, 8}，B ={2, 6, 7, 9}及A ={1, 4, 5, 6, 8}，B ={2, 3, 7, 9}．理由简述如下：1° 由易知，a =1，所以a ∈A ． A B C I 1 I 2 • •2° 由0∉ I ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}=A ∪B ，而5×2=10，所以5∈A ．3° 试验知，a , b , c , d , e 均不能等于9，所以9∈B ，进而有8∈A ．4° 因为数wxyz abcde 和的9个数字和恰为1+2+3+4+5+6+7+8+9=45是9的倍数，可判知+abcde wxyz 是9的倍数，即+abcde wxyz ≡0(mod9)． 又2wxyz abcde ，所以3wxyz ≡0(mod9)．于是wxyz ≡0(mod3)．所以)(wxyz S 是3的倍数，进而推得)(abcde S 也是3的倍数．5° 同样试验可判定7∈B ．此时分配剩下的4个元素：2, 3, 4, 6．由于A 中的1+5+8=14，被3除余2，所以从2, 3, 4, 6中选出的两个数之和被3除余1．于是只能选3, 4或4, 6属于A ，对应剩下的2, 6或2, 3归属于B ．因此，找到集合I 的两个“两倍型2分划”：A ={1, 3, 4, 5, 8}，B ={2, 6, 7, 9}及A ={1, 4, 5, 6, 8}，B ={2, 3, 7, 9}．（2）集合I 的“两倍型2分划”满足的不同的2wxyz abcde 共12个．1° 当B={2, 6, 7, 9}时，得到6个不同的式子：6729×2=13458， 6792×2=13584， 6927×2=13854,7269×2=14538， 7692×2=15384， 9267×2=18534．2° 当B={2, 3, 7, 9}时，得到6个不同的式子：7293×2=14586， 7329×2=14658， 7923×2=15846，7932×2=15864， 9273×2=18546， 9327×2=18654．。
北京市初中数学竞赛试题分类解析
北京市初中历年竞赛试题分类解析（一）绝对值【竞赛热点】1、 利用绝对值的几何意义求代数式的取值范围2、 利用绝对值的非负性解特殊方程3、 利用绝对值的定义去绝对值符号【知识梳理】绝对值是初中代数中的一个基本概念，是学习相反数、有理数运算及后续算术根的基础．绝对值又是初中代数中的一个重要概念，在解代数式化简求值、解方程（组)、解不等(组)等问题有着广泛的应用，全面理解、掌握绝对值这一概念，应从以下方面人手：1．去绝对值的符号法则：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a2．绝对值基本性质 ①非负性：0≥a ；②b a ab ⋅=；③)0(≠=b ba b a ；④222a a a ==． 3．绝对值的几何意义从数轴上看，a 表示数a 的点到原点的距离(长度，非负)；b a -表示数a 、数b 的两点间的距离．【试题汇编】1、代数意义1、（2010•第2题）已知：三个数a b c 、、的积为负数，和为正数，且a b c ab ac bc x a b c ab ac bc=+++++，则x 的值为（ ）A ．1B ．－1C ．0D ．与a ，b ，c 的值有关2、（2008•第9题）若x x =--2)1(1，则x 的取值范围是_____________。
3、（2007•第1题）已知|a |＝3，|b |＝,31且ab <0，则ba 的值是（ ）A. 9B. 91-C.－9D. 914、（2007•第11题）已知实数a 满足|2006－a |+2007-a ＝a ，那么a －20062的值是 ；5、（2007•第13题）已知对所有的实数x ，都有211--≥-++x m x x 恒成立，则m 可以取得的最大值为6、（2005•第2题）方程1735=--+x x 的解的个数有（ ）个A. 1 B . 2 C. 3 D.无数7、（2004•第9题）已知0)1(42=++-y x ，则20063y x ＝________________。
高一数学竞赛试题北京
高一数学竞赛试题北京【试题一：代数问题】题目：已知函数\( f(x) = ax^2 + bx + c \)，其中\( a \)，\( b \)，\( c \)为常数，且\( a \neq 0 \)。
若函数\( f(x) \)在\( x = 1 \)处取得极小值，求\( a \)，\( b \)，\( c \)之间的关系。
解答：首先，我们知道一个二次函数的极值点可以通过求导数来找到。
对于函数\( f(x) \)，其导数为\( f'(x) = 2ax + b \)。
由于\( x = 1 \)是极小值点，我们有\( f'(1) = 2a + b = 0 \)。
又因为极小值点处的导数为0，我们可以得出\( a \)和\( b \)之间的关系。
同时，我们可以利用极小值的定义，即\( f(1) \)是\( x \)在\( 1 \)附近的最小值，进一步确定\( a \)的符号。
由于\( a \)是二次项系数，它决定了函数的开口方向，而极小值意味着开口向上，所以\( a > 0 \)。
结合以上信息，我们可以得出\( b = -2a \)。
【试题二：几何问题】题目：在直角三角形ABC中，∠C = 90°，AB是斜边，且AC = 6，BC = 8。
求直角三角形ABC的周长。
解答：根据勾股定理，我们知道在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。
即\( AB^2 = AC^2 + BC^2 \)。
将已知的AC和BC的值代入，我们得到\( AB^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \)，所以\( AB = 10 \)。
直角三角形的周长是三边之和，所以周长为\( AC+ BC + AB = 6 + 8 + 10 = 24 \)。
【试题三：数列问题】题目：给定数列\( \{a_n\} \)，其中\( a_1 = 1 \)，\( a_{n+1} =a_n + 2n \)。
2020年北京市中学生数学竞赛高一年级初赛试题及答案
2020年北京市中学生数学竞赛高一年级初赛试题及答案一、选择题（满分36分）1. 满足条件f(x2)=[f(x)]2的二次函数是A. f(x)=x2B. f(x)=ax2+5C. f(x)=x2+xD. －x2+20042. 在R上定义的函数y=sinx、y=sin2004、、中，偶函数的个数是A. 0B. 1C. 2D. 33. 恰有3个实数解，则a等于A. 0B. 0.5C. 1D.4. 实数a、b、c满足a+b>0、b+c>0、c+a>0，f(x)是R上的奇函数，并且是个严格的减函数，即若x1<x2，就有f(x1)>f(x2)，则A. 2f(a)+f(b)+f(c)=0B. f(a)+f(b)+f(c)<0C. f(a)+f(b)+f(c)>0D. f(a)+2f(b)+f(c)=20045. 已知a、b、c、d四个正整数中，a被9除余1，b被9除余3，c 被9除余5，d被9除余7，则一定不是完全平方数的两个数是A. a、bB. b、cC. c、dD. d、a6. 正实数列a1，a2，a3，a4，a5中，a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，且公比不等于1，又a3，a4，a5的倒数成等比数列，则A. a1，a3，a5成等比数列B. a1，a3，a5成等差数列C. a1，a3，a5的倒数成等差数列D. 6a1，3a3，2a5的倒数成等比数列二、填空题（满分64分）1. 已知，试确定的值。
2. 已知a=1+2+3+4+…+2003+2004，求a被17除的余数。
3. 已知，若ab2≠1，且有，试确定的值。
4. 如图所示，等腰直角三角形ABC的直角顶点C在等腰直角三角形DEF的斜边DF上，E在△ABC的斜边AB上，如果凸四边形ADCE的面积等于5平方厘米，那么凸四边形ABFD的面积等于多少平方厘米？5. 若a，b∈R，且a2+b2=10，试确定a－b的取值范围。
北京市中学生数学竞赛(初二)
2022年北京市中学生数学竞赛（初二）一、选择题（每小题5分，共25分）13=．则220181x x x ++的值为（ ） A ．2022 B ．12020 C ．2025 D ．12025 2．在非等腰三角形中，一个内角等于另两个内角之差，且一个内角为另一个内角的2倍．若该三角形的最小边长为1，则此三角形的面积为（ ）A ．1B D ．2 3．如图1，设()P P P x y ，为反比例函数2y x=在平面直角坐标系xOy 的第一象限图像上一点，过点P 作x 轴、y 轴的平行线，分别与10y x =在第一象限的图像交于点A 、B ．则AOB ∆的面积为（ ）A ．26B ．24C ．22D ．20图1 图24．已知n 为偶数．若从1开始，前n 个正整数之和的尾数为8，则后继的n 个正整数之和的尾数为（ ）A ．6B ．4C ．2D ．05．将数字和为11的自然数按由小到大的顺序排成一个数串，第m 个数为2022．则m 为（ ）A ．134B ．143C ．341D ．413二、填空题（每小题7分，共35分）1．在952的约数中，大于1 000 000的共有 个．2．若x 、y 均为自然数，则关于x 、y 的方程[][]2.018 5.1324x y +=的解()x y 、共有 个（[]x 表示不超过实数x 的最大整数）．3．已知D 为锐角ABC ∆内一点，满足AD DC =，2ADC DBC ∠=∠，=12AB ，=10BC ．如图2，则BDC ∆的面积为 ．4．已知1x ，2x ，…，n x 中()12i x i n =⋅⋅⋅， ，，的数值只能取201-， ， 中的一个，且满足 1217n x x x ++⋅⋅⋅+=-，2221237n x x x ++⋅⋅⋅+=．则()233312n x x x ++⋅⋅⋅+的值为 ． 5．在1至n 这n 个正整数中，将正约数个数最多的那些数称为这n 个正整数中的“旺数” ．例如，正整数1至20中，正约数个数最多的数为12、18、20，于是，12、18、20均为正整数1至20中的旺数．则在正整数1至100中的所有旺数的最小公倍数为 ．三、（10分）设正整数a 、b 、c 、d 满足2222a ab b c cd d -+=-+．证明：a b c d +++为合数．四、（15分）如图，三个斜边彼此不等的等腰Rt ADC ∆、等腰Rt DPE ∆、等腰Rt BEC ∆，其中，AD CD =,DP EP =,BE CE =,90ADC DPE BEC ∠=∠=∠=．证明：P 为线段AB 的中点．五、（15分）证明：在十进制表示中，数29的某个正整数幂的末三位数字为001．。
北京市初中数学奥数竞赛题
北京市初中数学奥数竞赛题一、选择题（每题3分，共30分）
下列数中，是无理数的是：
A. 31
B. 34
C. 9
D. π
下列计算正确的是：
A. a2⋅a3=a6
B. a6÷a2=a3
C. (a+b)2=a2+b2
D. (a−b)(a+b)=a2−b2
已知直线 y=2x+3，当x=−1时，y 的值为：
A. 1
B. -1
C. 5
D. -5
方程2x−3=5的解是：
A. x=1
B. x=2
C. x=3
D. x=4
下列函数中，是一次函数的是：
A. y=x2
B. y=x1
C. y=2x+1
D. y=x
二、填空题（每题4分，共20分）
已知 a+b=5，ab=6，则 a2+b2= _______。
直线 y=kx+b 经过点 (2,3) 和(−1,0)，则 k= _______，b= _______。
圆的半径为 r，其面积 S 与 r 的关系式为 S= _______。
若一个多边形的内角和为 1800∘，则这个多边形的边数为_______。
在△ABC 中，若∠A=40∘，∠B=60∘，则∠C= _______。
三、解答题（每题10分，共50分）
解方程：3x2−7x−4=0
计算：(x+2)(x−3)−(x−1)2
已知函数y=3x−2，求当 x 取值范围在[−1,2]时，y 的取值范围。
已知一个等腰三角形的底角为 45∘，求这个等腰三角形的顶角大小。
在平面直角坐标系中，点 A(2,3) 和点B(−1,0)，求线段 AB 的长度。
2021年北京市中学生数学竞赛初二试题(含答案)
2021年北京市中学生数学竞赛初二试题（含答案）2021年北京市中学生数学竞赛初二试题一、选择题（每小题5分，共25分）1．在1～100这100个自然数中，质数所占的百分比是（）．（A）25% （B）24% （C）23% （D）22%2．一个三角形的三边长都是整数，它的周长等于10，则这个三角形是（）．（A）直角三角形（B）钝角三角形（C）恰有两边相等的三角形（D）恰有一个内角为60°的三角形3．已知n为正整数，S=1+2+…+n．则S的个位数字不能取到的数字是（）．（A）0，1，2，3 （B）3，4，5，6 （C）3，5，6，8 （D）2，4，7，94．如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．S△AOB=4，S△COD=9．则S四边形ABCD的最小值是（）．（A）22 （B）25 （C）28 （D）32（1） (2) (3) 5．如果│a-b│=1，│b+c│=1，│a+c│=2，则│a+b+2c│等于（）．（A）3 （B）2 （C）1 （D）0 二、填空题（每小题7分，共35分）1．如图2，大圆的两条直线AC、BC垂直相交于点O，分别以边AB、BC、CD、DA为直径向大圆外侧作四个半圆，图中四个“月形”阴影的总面积是2cm2．?则大圆的半径等于_______cm．2．2 005被两位的自然数去除，可能得到的最大余数是_______． 3．已知a2+bc=14，b2-2bc=-6．则3a2+4b2-5bc=_________．4．如图3，在凸六边形ABCDEF中，AD、BE、CF三线共点于O，?每相邻三个顶点所组成的三角形的面积都等于1，则S六边形ABCDEF=_______．5．有6个被12除所得余数都相同的自然数，它们的连乘积为971 425．则这6?个自然数之和的最小值是________．三、（15分）已知非零实数a、b、c满足a+b+c=0.求证：（1）a3+b3+c3=3abc；- 1 -（2）（a?bb?cc?acab++）（++）=9.acba?bb?cc?a四、（15分）如图，在△ABC中，∠BAC=∠BCA=44°，M为△ABC形内一点，?使得∠MCA=30°，∠MAC=16°，求∠BMC的度数．- 2 -五、（10分）某学生在黑板上写出了17个自然数，?每个自然数的个位数码只能是0，1，2，3，4这5个数字中的一个．证明：从这17个数中可以选出5个数，?它们的和能被5整除．- 3 -参考答案一、1．A在1～100这100个自然数中，有质数2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97共25个，所以，其中质数所占的百分比是25%． 2．C将10分拆成三个正整数之和，有10=1+1+8=1+2+7=1+3+6=1+4+5=2+2+6=2+3+5=2+4+4=3+3+4共八种情况．由“三角形两边之和大于第三边”可知，只有（2，4，4），（3，3，4）两组可构成三角形．由于等腰三角形两个底角都是锐角，于是，以2、4、4为边的等边三角形中，最小边2对的顶角也是锐角．以3、3、4为边的等腰三角形中，由32+32>42，?知顶角也是锐角．所以，以2、4、4为边的等腰三角形以及以3、3、4为边的等腰三角形都是锐角三角形，排除选项（A）、（B）?．?又由于等腰三角形中恰有一个内角为60°时变为等边三角形，与边为（2，4，4）、（3，3，4）的条件矛盾，排除选项（D）．由（2，4，4）、（3，3，4）为边的三角形是恰有两边相等的三角形． 3．D．由S=n(n?1)，又n、n+1是两个连续的自然数，知n（n+1）的个位数字只能取0，22，6．?所以，S的个位数字只能是0，1，3，5，6，8这六个数字．因此，S的个位数字不能取到的是2，4，7，9． 4．B如图1，设S△AOD=x，S△BOC=y，则S四边形ABCD=4+9+x+y≥13+2xy．由x4?，有xy=36．所以， 9yS四边形ABCD≥13+2xy=13+12=25．故S四边形ABCD的最小值是25．此时，AB∥DC，即四边形ABCD是梯形．5．A．由│a-b│=1，知a-b=1或a-b=-1；由│b+c│=1，知b+c=1或b+c=-1；由│a+c│=2，知a+c=2或a+c=-2．- 4 -这样，可以得到23=8个三元一次方程组：（1）a-b=1，b+c=1，a+c=2；（2）a-b=1，b+c=1，a+c=-2；（3）a-b=1，b+c=-1，a+c=2；（4）a-b=1，b+c=-1，a+c=-2；（5）a-b=-1，b+c=1，a+c=2；（6）a-b=-1，b+c=1，a+c=-2；（7）a-b=-1，b+c=-1，a+c=2；（8）a-b=-1，b+c=-1，a+c=-2．对于（2）～（7），将前两个方程相加得到的a+c的值与后一个方程不同，所以，不会出现这六种情况．对于（1），有a=2-c，b=1-c，所以， a+b+2c=3．对于（8），有a=-2-c，b=-1-c，所以， a+b+2c=-3．故│a+b+2c│=3．二、1．1．由勾股定理知AD2+CD2=AC2．所以，上面半个大圆的面积等于以AD、CD为直径的两个半圆的面积．同理，下面半个大圆的面积等于以AB、BC为直径的两个半圆的面积．?因此，正方形ABCD的面积等于四个“月形”的总面积．容易计算，大圆的半径OD是1cm． 2．85．由2 005依次被99，98，97，…去除，观察所得余数的值变化得 2005=99×20+25=98×20+45=97×20+65=96×20+85=95×21+10 =94×21+31=93×21+52=92×21+73=91×22+3=90×22+25=89×22+47 =88×22+69=87×23+4=86×23+27 =85×23+50．以下的余数不会大于84，故可能得到的最大余数是85． 3．18．3a2+4b2-5bc=3（a2+bc）+4（b2-2bc）=3×14+4×（-6）=18． 4．6．如图5，连结BD、CE．因为S△BCD=S△ECD=1，所以，BE∥CD．因为S△BAF=S△EAF，所以，BE∥AF．因此，BE∥AF∥CD．同理，CF∥DE∥BA，AD∥FE∥BC．- 5 -感谢您的阅读，祝您生活愉快。
北京数学竞赛试题及答案
北京数学竞赛试题及答案试题一：代数问题题目：已知 \( a, b, c \) 为实数，且满足 \( a^2 + b^2 + c^2 = 1 \)。
求证：\( (a + b + c)^2 \leq 3 \)。
解答：根据题目条件，我们有 \( a^2 + b^2 + c^2 = 1 \)。
展开\( (a + b + c)^2 \) 得到：\[ (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc) \]由于 \( a^2 + b^2 \geq 2ab \)，\( b^2 + c^2 \geq 2bc \)，\( c^2 + a^2 \geq 2ca \)（根据算术平均数-几何平均数不等式），我们可以得到：\[ 2(ab + ac + bc) \leq 2(a^2 + b^2 + c^2) = 2 \]将上述不等式代入 \( (a + b + c)^2 \) 的展开式中，得到：\[ (a + b + c)^2 \leq 1 + 2 = 3 \]证明完毕。
试题二：几何问题题目：在直角三角形 ABC 中，∠A = 90°，AB = 3，AC = 4。
求三角形 ABC 的外接圆半径。
解答：直角三角形 ABC 的外接圆半径 R 可以通过以下公式求得：\[ R = \frac{a + b + c}{2} \]其中，a 和 b 是直角边，c 是斜边。
在本题中，a = 3，b = 4，c = 5（根据勾股定理）。
代入公式得到：\[ R = \frac{3 + 4 + 5}{2} = 6 \]所以，三角形 ABC 的外接圆半径为 6。
试题三：组合问题题目：有 5 个不同的球和 3 个不同的盒子，将这些球放入盒子中，每个盒子至少有一个球。
求不同的放法总数。
解答：首先，我们需要将 5 个球分成 3 组，每组至少有一个球。
这可以通过组合数学中的“插板法”来解决。
我们有 4 个板子来分割 5 个球，形成 3 组。
2022年北京市中学生数学竞赛高一年级初赛
2022年北京市中学生数学竞赛高一年级初赛一．选择题（满分36分，每小题6分）1．函数f(某)是偶函数且f(3)2，则f2(3)5f(3)2的值为（）A．12B．16C．17D．82．若图中给出的函数y某2a某a的图像与某轴只有一个公共点，则a为（）A．0B．1C．2D．43．函数f(某)log1某(161某)的零点个数为（）16A．0B．1C．2D．34．定义在实数集R上的函数f，对于每一个某R和常数a0，都满足方程f(某a)A．12f(某)(f(某))2，若函数f的值域记为M，则（）22MB．MC．MD．M73325．P为正方形ABCD内一点，PA=1厘米，PB=2厘米，PC=3厘米，则PBC的面积（单位：平方厘米）为（）A．222B．22C．2D．22226．函数f(某)是R上的奇函数，g(某)是R上的周期为4的周期函数，已知f(2)g(2)6且f(f(2)g(2))g(f(2)g(2))1，则g(0)的值为（）2g(20f(2))2A．2B．1C．0D．1二．填空题（满分64分，每小题8分）1．求tan22.5的值.2．设函数yf(某)定义域为R，且对任意某R都有2f(某2某)f(某23某2)9某23某6，求f(60)的值.3．若某表示不超过某的最大整数，求在平面直角坐标系某Oy中满足某y2022的所有点(某,y)组成的图形的面积.4．如图，两同心圆的半径分别为6和10，矩形ABCD的边AB，CD分别为两圆的弦，当矩形面积取最大值时，试确定它的周长.ADCB5．已知f(某)1，求1某2111f(1)f(2)f(3)f(2022)f()f()f()的值.2320226．已知直角三角形的两条直角边的长为二次方程a某b某c0的两个根，试确定这个直角三角形外接圆的面积（结果用含a,b,c和圆周率的式子表示）.27．若二次函数f(某)a某2某a满足f(2)f(1)f(3)f(0)，试确定实数a 的取值范围.28．如图，D为ABC内点，使得BADBCD，且BDC90，已知AB5，BC6，M 为AC中点，求DM.AMDBC。
北京市初中数学竞赛测试试题分类解析
北京市初中数学竞赛试题分类解析————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：北京市初中历年竞赛试题分类解析（一）绝对值【竞赛热点】1、 利用绝对值的几何意义求代数式的取值范围2、 利用绝对值的非负性解特殊方程3、 利用绝对值的定义去绝对值符号【知识梳理】绝对值是初中代数中的一个基本概念，是学习相反数、有理数运算及后续算术根的基础．绝对值又是初中代数中的一个重要概念，在解代数式化简求值、解方程（组)、解不等(组)等问题有着广泛的应用，全面理解、掌握绝对值这一概念，应从以下方面人手：1．去绝对值的符号法则：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a2．绝对值基本性质 ①非负性：0≥a ；②b a ab ⋅=；③)0(≠=b ba b a ；④222a a a ==． 3．绝对值的几何意义从数轴上看，a 表示数a 的点到原点的距离(长度，非负)；b a -表示数a 、数b 的两点间的距离．【试题汇编】1、代数意义1、（2010•第2题）已知：三个数a b c 、、的积为负数，和为正数，且a b c ab ac bc x a b c ab ac bc=+++++，则x 的值为（ ） A ．1 B ．－1 C ．0 D ．与a ，b ，c 的值有关2、（2008•第9题）若x x =--2)1(1，则x 的取值范围是_____________。
3、（2007•第1题）已知|a |＝3，|b |＝,31且ab <0，则ba 的值是（ ） A. 9 B. 91- C.－9 D. 914、（2007•第11题）已知实数a 满足|2006－a |+2007-a ＝a ，那么a －20062的值是 ；5、（2007•第13题）已知对所有的实数x ，都有211--≥-++x m x x 恒成立，则m 可以取得的最大值为6、（2005•第2题）方程1735=--+x x 的解的个数有（ ）个A. 1 B . 2 C. 3 D.无数7、（2004•第9题）已知0)1(42=++-y x ，则20063y x ＝________________。
北京市中学生数学竞赛初二年级竞赛试题.doc
一、 （ 分 25 分，每小 只有一个正确答案，答 得5 分）1.当 m1，代数式21 5m m 9 mm 3的 是（）6 m 2 9 m 2 m 3 m 3A. －1B.1C.1D.1222.一个正八 形中最 的 角 等于a ，最短的 角 等b ， 个正八 形的面 （）A. a 2 b 2B. a 2b 2C.a bD. ab3. 111 1 16 11 26 26 1 1 的 是（ ）.6 11 16 2121 31 31 36A.1B.1C.1D.1183633664.若 n 是正整数， 1×2×3×⋯× n=n! ，比如 1！=1，4！=1×2×3×4=24，等等，若 M=1! ×2！×3！×4！×5！×6！×7！×8！×9！， M 的 数中是完全平方数的共有（ ）A.504 个B.672 个C.864 个D.936 个5.将 2009 表示成两个整数的平方差的形式， 不同的表示方法有（）A.16 种B.14 种C.12 种D.10 种二、填空 （ 分 35 分，每小 7 分）1.45.12 13.9 2 45.1 13.9 的 等于.31.22.平行四 形 ABCD 中，AD= a ，CD=b ， 点 B 分 作 AD 上的高h a 和 CD 上的高 h b ，已知 h a a ， h b b ， 角AC=20 厘米，平行四 形 ABCD的面 平方厘米 .3. 0 a 1 1 2 3 28 29，并且 a a a a a 18 ，已知30 30 30 30 30则 10a 等于.（其中x 表示不超过 x 的最大整数）4.已知△ ABC 中，∠A，∠B，∠C 的外角度数之比为α∶β∶γ（α，β，γ均为正数），则∠ A ∶∠ B∶∠ C 等于（.用含α，β，γ的式子之比表示）5.当1x 2 时，经化简x 2 x 1x 2 x 1 等于.三、（满分 10 分）已知 a b c 0 ，a2b2c21.（1）求ab bc ca的值（2）求a4b4c4的值四、（满分 15 分）如图所示，六边形ABCDEF 中， AB=BC=CD=DE=EF=FA ，并且∠ A+ ∠C+∠E=∠B＋∠ D＋∠ F，求证∠ A＝∠ D，∠ B=∠E，∠ C=∠ F.五、（满分 15 分）BCA DF E（1）证明：由 2009 个 1 和任意个 0 组成的自然数不是完全平方数；（2）试说明，存在最左边 2009 位都是 1 的形如1111的自然数2009个1（其中 * 代表阿拉伯数码）是完全平方数.。
北京市九年级数学竞赛试题
北京市九年级数学竞赛试题北京市九年级数学竞赛试题涵盖了初中数学的多个领域，包括代数、几何、数论和组合等。
以下是一份模拟试题，供参考：一、选择题（每题3分，共15分）1. 已知\( a \)和\( b \)是正整数，且\( a^2 + b^2 = 2024 \)，问\( a \)和\( b \)的可能值有多少对？A. 1B. 2C. 3D. 42. 如果\( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1 \)，且\( x \)和\( y \)都是正整数，求\( x + y \)的最小值。
3. 一个长方体的长、宽、高分别是\( a \)、\( b \)和\( c \)，如果长方体的表面积是\( 56 \)，求\( a \)、\( b \)和\( c \)的乘积。
4. 一个圆的半径是\( r \)，求圆内接正六边形的边长。
5. 一个多项式\( P(x) \)可以表示为\( P(x) = ax^2 + bx + c \)，如果\( P(1) = 2 \)，\( P(2) = 5 \)，求\( P(3) \)。
二、填空题（每题4分，共20分）6. 已知\( \sqrt{2} \)是一个无理数，求\( \sqrt{2} \)的小数部分。
7. 一个等差数列的前\( n \)项和为\( S_n \)，如果\( S_5 = 15 \)，求首项\( a_1 \)。
8. 一个三角形的三边长分别为\( a \)、\( b \)和\( c \)，如果\( a = 3 \)，\( b = 4 \)，求\( c \)的取值范围。
9. 一个圆的周长是\( 12π \)，求这个圆的面积。
10. 已知一个函数\( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 5 \)，求\( f(-1) \)。
三、解答题（每题10分，共30分）11. 证明：对于任意实数\( x \)，不等式\( x^2 + 6x + 10 > 0 \)恒成立。
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28．已知存在整数 、 、 使等式 对任意实数 都成立.则 的值为__________.
29．实数 、 、 、 满足 及 .那么 的最小值为__________.
30．方程 的解集为__________.
31．若 且 ，那么， 的值为__________.
A．16B．18C． D．
6．已知 ， ， ， ， .则 、 、 、 、 的大小关系是（ ）.
A．
B．
C．
D．
7．化简 的结果是（ ）.
A．
B．
C．
D．
8． ， 那么， 与 的关系是（ ）.
A． B．
C． D．
9． 的内切圆切斜边 于点 ， ， .则内切圆的半径等于（ ）.
A．6B． C． D．2
10．函数 的值域是集合 .则 中不属于 的元素是（ ）.
32．如图所示，三棱柱 中，全部的九条棱长都等于1，且 ，P为侧面 的对角线A1B上一点， ，连 .异面直线 与AC所成角的度数为__________.
33．设函数 对任意实数 都有 .则 __________.
34． 的内切圆分别切 、 、 三边于 、 、 ， 的内切圆分别切三边 、 、 于 、 、 .已知 ∽ ， 的周长等于3.则 的面积等于__________.
44．若 ，求证：对任意的实数 ，关于 的方程 都有两个不等的实数根.
45．有1998名运动员号码为1～1998这1998个自然数，从中选出若干名运动员参加仪仗队，但要使剩下的运动员中没有一个人的号码数等于另外两人的号码数的乘积.那么，选为仪仗队的运动员至少能有多少人？给出你的选取方案，并简述理由.
1998年北京市中学生数学竞赛试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
边长度的数组是（ ）.
A．①，④B．②，④
C．②，③D．③，④
2．在下面时间段内，时钟的时针与分针会出现重合的是（ ）
A．5:25～5:26B．5:26～5:27
C．5:27～5:28D．5:28～5:29
3．已知 ，使 为正数的自然数有.
A．1个B．2个
C．多于2的有限个D．无限多个
4．将长度为20的铁丝围成三边长均为整数的三角形，那么，不全等的三角形的个数是（ ）.
A．5B．6C．8D．10
5．在 中， ， ， .则 的面积等于（ ）.
A．2B． C． D．
11．已知函数 的图象过点 ，那么函数 的图象过点（ ）.
A． B． C． D．
二、填空题
12．化简 ________.
13．如图， 为正方形 内一点， ，并且 点到 边的距离也等于10.那么，正方形 的面积是________.
14．已知 为整数， 是质数.那么， 的所有可能值的和为__________.
25．我们规定真命题赋值为1，假命题赋值为0.“1”或“0”均称作命题的“真值”
命题 ：“在同一个直角坐标系中，曲线 的图象与 的图象至多有一个交点.”那么，命题 的真值是__________.
26．在正方体 中，过 、 、 三点的平面记为 ，过 、 、 三点的平面记为 .那么， 为__________.
22．实数 、 满足 .则 的最大值为__________.
23．若 、 均为质数， ，且 、 、 .满足 .则 __________.
24．黑板上写有1，2，3，…，1997，1998这1998个自然数，对它们进行操作。每次操作规则如下：擦掉写在黑板上的三个数后，再添写上所擦掉三个数之和的个位数子，例如：擦掉5，13和1998后，添加上6；若再擦掉6，6，38，添加上0，等等，如果经过998次操作后，发现黑板上剩下两个数，一个是25，则另一个是__________.
35．已知 ， ， 都是定义在 上的函数.我们定义上的函数为 、 、 、 的最小值.则 的最大值等于__________.
36．已知 .则 __________.
37．长方体 中， ， ， .过 作长方体的截面，则所得截面多边形面积的最小值是__________.
三、解答题
38．今有浓度为5%、8%、9%的甲、乙、丙三种盐水分别为60克、60克、47克.现要配制浓度为7%的盐水100克，问甲种盐水最多可用多少克？最少可用多少克？
41．如图，正方形 被两条与边平行的线段 分割成4个小矩形, 是 与 的交点，若矩形 的面积恰好是矩形 面积的两倍，试确定 的大小，并证明你的结论.
42． 是定义在 上且取值为整数的严格增函数（如果任意 、 ，当 时，有 ，则称 是 上的严格增函数），当 、 互质时，有 .若 ，试求 的值.
43．如图，在四棱锥 中，底面正方形 的边长为 ，侧棱 ， 为棱 的中点， 为棱 的中点.求异面直线 与 所成角的余弦值.
15．如图， 为平行四边形 内一点，过点 分别作 、 的平行线交平行四边形于 、 、 、 四点.若 ， ，则 __________.
16．实数 、 、 、 满足 ， .则 之值是__________.
17．多项式 的一个因式是 .则 的值为__________.
18．梯形的两条对角线互相垂直，其中一条对角线的长是5厘米，梯形的高等于4厘米.那么，梯形的面积是__________.
39．矩形 中， 厘米， 厘米，若在 、 上各取一点 、 （如图）.使 的值最小，求这个最小值.
40．国际象棋比赛中.胜局一得1分，平一局得0.5分，负一局得0分。今有8名选手进行单循环比赛（每两人均赛一局），赛完后、发现各选手的得分均不相同，当按得分由大到小排列好名次后，第四名选手得4.5分，第二名的得分等于最后四名选手得分总和.问前三名选手各得多少分？说明理由.
19．某商场有一部自动扶梯匀速由下而上运动，甲、乙二人都急于上楼办事，因此在乘扶梯的同时匀速登梯，甲登了55级后到达楼上，乙登梯速度是甲的2倍（单位时间乙登楼梯级数是甲的2倍），他登了60级后到达楼上.那么，由楼下到楼上自动扶梯级数为__________.
20．若 ， .则 __________.
21．如图，等腰直角三角形 中， 为斜边 的中点， 、 分别为腰 、 上（异于端点）的点， ， .设 ，则 的取值范围是__________.