函数极限的定理

又由lim g( x) b得 对上述 0， 0 xa
使当0 | x a | 时,有 | g( x) b |
又g( x) b 0 | g( x) b |
| f [ g( x)] A |
由极限定义得 lim f [g( x)] lim f (u) A
1) lim g( x) b xa
2) x U (a),有u g( x) U (b) 3) lim f (u) A
ub
则 lim f (g( x)) a xa
证 由lim f (u) A知 0, 0 ub
使当0 | u b | 时,有| f (u) A |
x x0
此定理的证明类似于数列极限中的相应定 理, 这里将证明留给读者. 在下一节学过归结原 则之后,就可以知道这些定理是显然的.
推论1 如果lim f ( x)存在,而c为常数,则
lim[cf ( x)] c lim f ( x).
常数因子可以提到极限记号外面.
推论2 如果lim f ( x)存在,而n是正整数,则
2
x : 0 x a 2

f (x) c
(2)
2
令 min1, 2 ,当 0 x a 时,(1)与(2)式
均成立,所以
| b c | | b f (x) | | f (x) c | .
由 的任意性，推得 b = c. 这就证明了极限是惟
xa
xa
0,x : 0 x a
有 f ( x) g( x) (或 f ( x) g( x) ),则 b c(或 c b).
推论2 若lim f (x) b,且 b 0(或 b 0)则 xa 0,x : 0 x a
的.
定理3.(保序性) 若 lim f ( x) b与 lim g( x) c
xa
xa
且 b c ,则 0,x : 0 x a ,有 f ( x) g( x. )
证明：已知 lim f (x) b与 lim g(x) c,则 c b 0
| f (x)| | b | 1.
这就证明了 f ( x) 在某个空心邻域 U (a, ) 上有界.
注：
(1) 试与数列极限的有界性定理（定理 2）作一
比较；
(2) 有界函数不一定存在极限；
(3) lim 1 1, 但 1 在 ( 0, 2 ) 上并不是有界的 . 这
x1 x
x
说明定理中 “局部” 这两个字是关键性
§2.4 函数极限的定理
•一、函数极限的性质
在前面一节中我们引进的六种类型的函数极 限，它们都有类似于数列极限的一些性质，这里 仅以lim f ( x) b 为代表叙述并证明这些性质，至
xa
于其它类型的性质与证明，只要相应作一些修改 即可.
1、lim f ( x) b 的基本性质 xa
ub
u
注2 定理中的限制条件 x U (a),有u g( x) U (b)
定理1( 惟一性 )若函数 f ( x)在 a 存在极限,则它
的极限是唯一的.
证 不妨设 lim f (x) b 以及 lim f (x) c .由极限的
xa
xa
定义，对于任意的正数 0,存在正数 1,2 :
x : 0 x a 1
f (x) b
(1)
一的.
定理 2（局部有界性）若 lim f ( x) b , 则存在 xa
U (a) ， f ( x) 在 U (a) 上有界.
证明:对 1 ,存在 0，当 0 x a 时
| f (x) b| 1 .
这就证明了 f ( x) 在某个空心邻域 U (a, )上有界. 由此得
lim[ f ( x)]n [lim f ( x)]n .
注1:定理的条件：lim f ( x),lim g( x) 存在 商的情形还须加上分母的极限不为0
注2:定理简言之即是：和、差、积、商的极限 等于极限的和、差、积、商 注3:定理中极限号下面没有指明极限过程，是指对 任何一个过程都成立
定理5(复合函数极限)设有复合函数 f g(x) 若
有 f ( x) 0(或 f ( x) 0 ).
定理 4 （四则运算法则）若 lim f ( x) , lim g( x)
x x0
x x0
都存在, 则 f g, f g 在点 x0 的极限也存在, 且
(1) lim [ f ( x) g( x)] lim f ( x) lim g( Fra Baidu bibliotek) ;
xa
xa
2
使得 0,x : 0 x a ,有
f (x) b c b f (x) b c 与
2
2
g(x) c c b g(x) b c
2
2
即
f (x) b c g(x), f (x) g(x).
2
推论1 若 lim f ( x) b 与 lim g( x) c ,且
xa
ub
此定理表明：若f (u)与g( x)满足定理的条件
则可作代换 u f ( x)把求lim f [g( x)]转化为 xa
lim f (u),这里b lim g( x)
ub
xa
——极限过程的转化
注1 如将 lim g( x) b换成 lim g( x)
lim f (u) A换成 lim f (u) A 可得类似的定理
x x0
x x0
x x0
(2) lim f ( x)g( x) lim f ( x) lim g( x) ;
x x0
x x0
x x0
(3) 又若 lim g( x) 0 ,
x x0
则
f g
在点 x0 的极限也存在,
并有
lim
f (x)

lim f ( x)
x x0
.
xx0 g( x) lim g( x)