一类统计量的乘积的渐近性质和几乎处处中心极限定理
中心极限定理
第二节 中心极限定理在客观实际中有许多随机变量，它们是由大量相互独立的偶然因素的综合影响所形成的，而每一个因素在总的影响中所起的作用是很小的，但总起来，却对总和有显著影响，这种随机变量往往近似地服从正态分布，这种现象就是中心极限定理的客观背景.概率论中有关论证独立随机变量的和的极限分布是正态分布的一系列定理称为中心极限定理（Central limit theorem)，现介绍几个常用的中心极限定理.定理5.5（独立同分布的中心极限定理） 设随机变量X 1，X 2，…，X n ，…相互独立，服从同一分布，且具有数学期望和方差E （X k ）=μ,D (X k )=σ2≠0(k =1,2,…).则随机变量σμn n XX D X E X Y nk knk k n k k nk k n -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑∑∑====1111)(的分布函数F n （x ）对于任意x 满足⎰∑∞--=∞→∞→=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-=x t n k k n n n t x n n X P x F .21lim )(lim 212d e πσμ （5.7）从定理5.5的结论可知，当n 充分大时，近似地有Y n =21σμn n Xnk k-∑=~N (0,1).或者说，当n 充分大时，近似地有().,~21σμn n N Xnk k∑= (5.8)如果用X 1，X 2，…，X n 表示相互独立的各随机因素.假定它们都服从相同的分布（不论服从什么分布），且都有有限的期望与方差（每个因素的影响有一定限度）.则（5.8）式说明，作为总和∑=nk kX1这个随机变量，当n 充分大时，便近似地服从正态分布.例5.3 一个螺丝钉重量是一个随机变量，期望值是1两，标准差是0.1两.求一盒（100个）同型号螺丝钉的重量超过10.2斤的概率.解 设一盒重量为X ，盒中第i 个螺丝钉的重量为X i (i =1,2,…,100).X 1，X 2，…，X 100相互独立，E （X i ）=1，)(i X D =0.1，则有 X =∑=1001i iX，且E （X ）=100·E （X i ）=100（两），)(i X D =1（两）.根据定理5.5，有P {X >102}=}2100{111001021100≤--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧->-X P X P≈1-Φ(2)=1-0.977250=0.022750.例5.4 对敌人的防御地进行100次轰炸，每次轰炸命中目标的炸弹数目是一个随机变量，其期望值是2，方差是1.69.求在100次轰炸中有180颗到220颗炸弹命中目标的概率. 解令第i 次轰炸命中目标的炸弹数为X i ，100次轰炸中命中目标炸弹数X =∑=1001i iX，应用定理5.5，X 渐近服从正态分布，期望值为200，方差为169，标准差为13.所以P {180≤X ≤220}=P {|X -200|≤20}=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-132013200X P ≈2Φ(1.54)-1=0.87644.定理5.6(李雅普诺夫（Liapunov ）定理) 设随机变量X 1，X 2，…相互独立，它们具有数学期望和方差：E （X k ）=μk , D (X k )=σk 2≠0 (k =1,2,…). 记∑==nk kn B 122σ，若存在正数δ，使得当n →∞时，{}∑=++→-nk kk nX E B 12201δδμ,则随机变量Z n =nn k knk knk k nk nk k kB X X D X E X∑∑∑∑∑=====-=-11111)()(μ的分布函数F n （x ）对于任意x ，满足⎰∑∑∞--==∞←∞→=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-=x t n nk k n k k n n n t x B X P x F d e π211221lim )(lim μ. (5.9)这个定理说明，随机变量Z n =nnk kn k kB X ∑∑==-11μ当n 很大时，近似地服从正态分布N （0，1）.因此，当n 很大时,∑∑==+=nk k n n nk kZ B X11μ近似地服从正态分布⎪⎭⎫⎝⎛∑=21,n n k k B N μ.这表明无论随机变量X k （k =1，2，…）具有怎样的分布，只要满足定理条件，则它们的和∑=nk kX1当n 很大时，就近似地服从正态分布.而在许多实际问题中，所考虑的随机变量往往可以表示为多个独立的随机变量之和，因而它们常常近似服从正态分布.这就是为什么正态随机变量在概率论与数理统计中占有重要地位的主要原因.在数理统计中我们将看到，中心极限定理是大样本统计推断的理论基础. 下面介绍另一个中心极限定理.定理5.7 设随机变量X 服从参数为n ，p （0＜p ＜1）的二项分布，则 （1） （拉普拉斯(Laplace)定理） 局部极限定理：当n →∞时P {X =k }≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--npq np k npq npqnpqnp k ϕ1212)(2e π， (5.10) 其中p +q =1,k =0,1,2,…,n ，2221)(x x -=e πϕ.(2) （德莫佛-拉普拉斯(De Moivre Laplace)定理） 积分极限定理：对于任意的x ，恒有⎰∞--∞→=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤--x tn t x p np np X P d e π2221)1(lim . （5.11）这个定理表明，二项分布以正态分布为极限.当n 充分大时，我们可以利用上两式来计算二项分布的概率.例5.5 10部机器独立工作，每部停机的概率为0.2，求3部机器同时停机的概率.解 10部机器中同时停机的数目X 服从二项分布，n =10,p =0.2,np =2,npq ≈1.265. (1) 直接计算：P {X =3}=310C ×0.23×0.87≈0.2013; (2) 若用局部极限定理近似计算：P {X =3}=)79.0(265.11265.123265.111ϕϕϕ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-npq np k npq =0.2308. (2)的计算结果与（1）相差较大，这是由于n 不够大.例5.6 应用定理5.7计算§5.1中例5.2的概率. 解 np =7000,npq ≈45.83.P {6800<X <7200}=P {|X -7000|<200}=1)36.4(236.483.457000-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-ΦX P=0.99999.例5.7 产品为废品的概率为p =0.005，求10000件产品中废品数不大于70的概率. 解 10000件产品中的废品数X 服从二项分布，n =10000,p =0.005,np =50,npq ≈7.053.P {X ≤70}=)84.2(053.75070ΦΦ=⎪⎭⎫⎝⎛- =0.9977.正态分布和泊松分布虽然都是二项分布的极限分布，但后者以n →∞，同时p →0，np→λ为条件，而前者则只要求n →∞这一条件.一般说来，对于n 很大，p (或q )很小的二项分布（n p ≤5）用正态分布来近似计算不如用泊松分布计算精确.例5.8 每颗炮弹命中飞机的概率为0.01，求500发炮弹中命中5发的概率.解 500发炮弹中命中飞机的炮弹数目X 服从二项分布，n =500,p =0.01,np =5,npq ≈2.2.下面用三种方法计算并加以比较： （1） 用二项分布公式计算：P {X =5}=5500C ×0.015×0.99495=0.17635.(2) 用泊松公式计算，直接查表可得：np =λ=5,k =5,P 5(5)≈0.175467.(3) 用拉普拉斯局部极限定理计算：P {X =5}=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-npq np npq 51ϕ≈0.1793. 可见后者不如前者精确.。
名词解释中心极限定理
名词解释中心极限定理中心极限定理，这可是概率统计里超级重要的一个概念呢。
想象一下，我们有一个总体，这个总体可以是任何东西，比如说一群人的身高，或者是一批产品的质量数值。
这个总体有它自己的分布，可能是正态分布，也可能是其他奇奇怪怪的分布。
但是呢，当我们从这个总体里不断地抽取样本，每个样本的大小还都一样，这里面就有奇妙的事情发生了。
不管这个总体原来是什么分布，只要样本量足够大，这些样本的均值就会近似地服从正态分布。
哇，这是多么神奇的事情呀！就好像有一双无形的手，把那些杂乱无章的分布都给整理成了正态分布的模样。
比如说，一个小镇上人的收入分布可能是乱七八糟的，有高有低，差距还很大，可能是一种很偏态的分布。
但是呢，如果我们每次抽取100个人作为一个样本，计算他们的平均收入，抽取很多很多这样的样本，最后这些平均收入就会近似地呈现出正态分布。
那为什么会这样呢？这背后其实是有数学原理的。
从数学上来说，中心极限定理是通过一系列复杂的计算和推导得出的。
但是我们可以简单地理解为，当样本量增大的时候，样本均值的方差会变得越来越小。
这就意味着样本均值会越来越集中在总体均值的周围，而正态分布就是那种中间高两边低，大部分数据都集中在中间的分布，所以样本均值就会近似地服从正态分布啦。
中心极限定理在实际生活中的应用可广泛了。
在质量控制方面，工厂生产产品，产品的某个指标可能有各种各样的分布情况。
但是如果我们抽取一定量的产品作为样本，计算样本的均值，就可以根据中心极限定理，用正态分布的性质来判断生产过程是否稳定。
如果样本均值偏离了正常的范围，那就可能是生产过程出问题了。
在抽样调查中也是一样的道理。
比如要调查一个城市居民的消费水平，不可能调查所有人，只能抽取一部分人作为样本。
根据中心极限定理，只要样本量足够大，我们就可以用正态分布的知识来对总体的消费水平进行推断，误差也会在我们可以控制的范围内。
这就给我们的统计工作带来了极大的便利，让我们不需要去研究复杂的总体分布，只需要按照一定的规则抽取样本，就可以对总体有一个比较准确的估计。
中心极限定理的三个结论和证明
中心极限定理的三个结论和证明中心极限定理，你听说过吗？哦，这可真是概率论里的一颗璀璨明珠。
就像是打麻将的时候，别人摸到的牌看着随意，可最后那手牌却总能拿到胜利！在数学里，中心极限定理也是这种“逆天”的存在，它告诉我们一个超级重要的事：不管你原本的数据分布是什么样的，经过足够多的实验和计算，最终的结果都可以像一个钟摆一样，稳定地聚集在一个中心点附近。
听起来有点抽象？别急，咱们慢慢聊。
中心极限定理有三个最关键的结论。
如果你对概率稍微有点儿了解，肯定会觉得这玩意儿特别酷。
第一个结论呢，就是无论我们原始的数据分布长什么样，经过多次独立抽样，算出样本均值（也就是所有数据的平均数），这些均值会随着样本量的增加，逐渐形成一个钟形的分布——也就是你经常看到的正态分布。
简单来说，像是在掷骰子，虽然每次你掷出来的点数都是不同的，但当你掷够了很多次，点数的平均值就会聚集在某个地方，这个地方通常就是3.5，差不多是骰子的中心。
虽然掷骰子的过程看似是乱七八糟的，但结果却总能偏向一个稳定的数值，这就是中心极限定理的神奇之处。
第二个结论，也许你会觉得更有意思，那就是不管原本的数据分布是怎样的，不管它有多么奇怪或者偏斜（比如那种左右不对称、像个山脊一样的分布），经过足够多次的抽样，它的样本均值也会趋向于正态分布。
这就像是即使你吃的东西特别奇葩，最后吃进肚里的也就是一些基本的营养成分。
所以，不要看数据分布初始时的样子奇奇怪怪，一旦样本量大了，它们就会自动“修正”成正常的模样。
至于第三个结论嘛，听着就有点让人拍案叫绝。
它告诉我们，即使我们抽样的方式有点复杂，或者数据本身有点“曲线”——比如不完全独立、或者样本之间有点相互影响，中心极限定理依然能够成立。
也就是说，即使你的样本数据看似“稀奇古怪”，只要满足了一些基本的条件，最终它们的样本均值还是会收敛到正态分布。
这是怎么做到的呢？这个过程就像是大自然的规律，虽然有时候乱七八糟，但最后总能回归平衡。
部分和乘积的几乎处处中心极限定理
部分和乘积的几乎处处中心极限定理这里有文采较好的400字文章，介绍部分和乘积的几乎处处中心极限定理：
部分和乘积的几乎处处中心极限定理是现代统计学中一个重要的定理，以俄国数学家高斯贝尔第一次提出该定理命名。
它指出，对于两个不同的随机变量X和Y 的任意分布的总体，一组无穷多的独立随机变量X 1 、X 2 、
X 3 、… 和 Y 1 、Y 2 、Y 3 、… 。
在遍历分布考虑之下，我们得到了它们的某种组合Z，其中:
Z = X_1Y_1+X_2Y_2+X_3Y_3+...
此外，在某种方面，它还进一步规定了平均值和标准差，期望和方差，变量与它们比率也可以计算出来。
换句话说，一组服从某种分布的随机变量的线性组合的偏度和峰度将接近于它们局部分量的偏度和峰度的和，在一定的条件下，当变量的个数趋近于无穷，这一限制将逐渐趋于绝对的。
这样一来，几乎处处中心极限定理可以提供统计分析的经典理论，为统计学应用以及估计和测量统计模型中变量之间关系提供了来源。
它也有助于研究者们开展更复杂的变量分析，从而改进统计数据推断过程。
总之，部分和乘积的几乎处处中心极限定理在现代统计学中起着重要的作用，其理论上的有效性为数据分析提供了基础，同时也有助于改进统计数据的推断。
2019-2020年人教统编4.6.3中心极限定理课件
设至少需N千瓦电力，现在的问题是：
求满足 P(X≤N)≥0.999 的最小的N.
（由于每台车床在开工时需电力1千瓦， N台工作所需电力即N千瓦.）
由德莫佛-拉普拉斯极限定理
X np
np(1 p) 近似N(0,1), •
这里 np=120, np(1-p)=48
定理表明，若Yn~B(n,p),z则当n很大，0<p<1
时，
近似
Yn ~ N (np, np(1 p))
或者
Yn np
近似
~ N (0,1).
np(1 p)
例1 根据以往经验，某种电器元件的寿命服从 均值为100小时的指数分布. 现随机地取16只， 设它们的寿命是相互独立 •的. 求这16只元件的寿 命的总和大于1920小时的概率.
设X1,X2, …是独立同分布的随机
变量序列，且E(Xi)= •，D(Xi)= 2 ，
i=1,2,…，则
n
Xi n
x
lim P{ i1
x}
n
n
-
1 e-t2 2dt
2
它表明：当n充分大时，n个具有相同期望和方 差的独立同分布的r.v之和近似服从正态分布.
即 或者
近似
Yn ~ N (n, n 2 )
Yn
n
近似 •
~ N (0,1).
n
定理4.9(棣莫佛－拉普拉斯定理）
设随机变量 Yn服从参数n, p(0<p<1)的 二项分布，则对任意x，• 有
lim P{ Yn np
x
x}
1
e-t2 2dt
n np(1 p)
第14讲(大数定律、中心极限定理)资料
设X i
1, 0,
第i 第i
次试 验 次试 验
A发生, A不发生,
i
1,2,,n.
n
则 X Xi,
i 1
X
n
1 n
n i 1
Xi
是n次试验中 A发生的频率.
于是, 有下面定理. 定理3 (贝努里大数定律) 设 X是n 重贝努里试验中事件A发生的次数， p是 A 在一次试验中发生的概率，
则对 0,有
2
证明：当X 是离散时，
分布律为P{X xk } Pk , k 1,2,. 0, 有
P| X E(X ) | P{X xk } |xk E ( X )|
|xk E ( X )|
(xk
E( X )) 2
2
Pk
k
(xk
E( X )) 2
2
Pk
1
2
k
(xk E( X )) 2 Pk
定义2 设 X1, X2, …相互独立且有共同的 分布，则称X1, X2, ….是独立同分布的随机变 量列.
定义3 设 X1, X2, …是一随机变量序列，
若有随机变量X, 对 0, 有
lim P
n
Xn X
0 或 lim P n
Xn X
1.
p
称{X n}依概率收敛于随机变量X，记X n X
或 lim n
Xn
X (P).
几个常见的大数定律
定理2 (切比雪夫大数定律) 设 X1, X2, … 相互独立，且有期望与方差, D(Xi) <M（i=1, 2, ….，M为某常数），
则对 0,有
1 n
lim P n
n
i 1
中心极限定理的名词解释
中心极限定理的名词解释1. 嘿，中心极限定理啊，就像是一把神奇的钥匙！它说的是如果从一个总体中多次抽取样本，那这些样本的均值就会趋近于总体均值。
就好比你扔骰子，扔很多很多次，那平均点数就会很接近理论上的 3.5 呢！2. 中心极限定理呀，简直是统计世界里的大明星！它意味着无论原来的总体分布是啥样，只要样本够多，样本均值的分布就会接近正态分布。
这就好像不管一群人原来多么五花八门，最后聚在一起的某些特征就会变得有规律啦！比如一堆不同身高的人，多次测量他们的平均身高就会呈现一定规律呢。
3. 哇塞，中心极限定理啊，那可是超厉害的！它表明随着样本数量增加，样本均值会稳定下来。
就像你不断地搅拌一杯混合液体，到最后它会变得很均匀一样。
比如调查一个城市的收入水平，抽取足够多的样本，就能得到比较可靠的平均收入呢。
4. 嘿呀，中心极限定理呢，就像是一个魔法法则！它让我们知道就算总体很复杂，通过大量样本也能找到规律。
好比在一堆乱麻中，抽丝剥茧找到头绪。
就像统计很多学生的考试成绩，就能知道大致的平均成绩范围啦。
5. 中心极限定理哦，这可是个宝贝呀！它告诉我们即使原始数据乱七八糟，可样本多了就会有秩序出现。
就好像一场混乱的聚会，到最后总会形成一些小团体一样。
比如研究各种动物的体重，大量样本下就能看出一些体重的集中趋势呢。
6. 哇哦，中心极限定理啊，那可是统计学的得力助手！它保证了在足够多样本下，我们能对总体有个大概了解。
就跟你从远处看一幅画能看出个大概轮廓一样。
比如统计一个地区每天的用电量，大量样本就能知道个大概的用电情况呢。
7. 中心极限定理呀，真的是太重要啦！它让我们能从复杂的数据中找到线索。
就像在黑暗中找到一束光。
比如研究不同年龄段的消费习惯，通过大量样本就能总结出一些特点呢。
8. 嘿，中心极限定理呢，绝对是个神奇的存在！它可以让杂乱无章的数据变得有规律可循。
就像给迷路的人指了一条明路。
比如统计很多产品的质量数据，就能知道整体的质量水平啦。
ρ-混合序列部分和之和乘积精确渐近性的一般形式
ρ-混合序列部分和之和乘积精确渐近性的一般形式邹广玉【摘要】在适当的假设条件下，利用已有的关于ρ-混合序列部分和之和乘积渐近分布的结果，对一般的边界函数和拟权函数获得了ρ-混合序列部分和之和乘积精确渐近性的一般形式。
%Under some suitable assumptions,with the help of the asymptotic distribution of the products of sums of partial sums ofρ-mixing,the author obtained some general results on precise asymptotics of the products of sums of partial sums ofρ-mixing sequences for more general boundary function and weighted function.【期刊名称】《吉林大学学报（理学版）》【年(卷),期】2014(000)004【总页数】5页(P720-724)【关键词】ρ-混合序列;部分和之和乘积;精确渐近性【作者】邹广玉【作者单位】长春工程学院理学院，长春 130012【正文语种】中文【中图分类】O211.40 引言与主要结果部分和之和乘积理论在破产理论记录值分布中应用广泛，对其极限性质的研究已取得许多结果.文献［1］得到了ρ－混合序列部分和之和乘积的渐近分布；文献［2－3］分别得到了相伴及α－混合序列部分和之和乘积的几乎处处中心极限定理等.精确渐近性［4－9］是近年发展起来的研究热点，但关于部分和之和乘积的精确渐近性却鲜有报道.本文讨论ρ－混合序列部分和之和乘积精确渐近性的一般形式. 定义1 设A和B是两个σ域，记Fba＝σ（Xt，a≤t≤b）.定义若则称随机变量序列｛Xk；k∈N｝是ρ－混合的.本文假设以下条件成立：（H1）g（x）为［n0，∞）上具有非负导数g′（x）的可导的正函数，且满足g （x）↑∞，x→∞；（H2）h（x）＝g′（x）／gt（x）在［n0，∞）上单调非降或单调非增，且当h （x）单调非降时，满足其中t＜1；（H3）φ（x）＝g′（x）／g（x）在［n0，∞）上单调非降或单调非增，且当φ（x）单调非降时，满足本文主要结果如下：定理1 设｛Xn，n≥1｝为正的严平稳ρ－混合随机变量序列，且EX1＝μ＞0，Var X1＝σ2＜∞.记变异系数假设若还满足条件（H1）和（H3），则对任意的s＞0，有：定理2 设｛Xn，n≥1｝为正的严平稳ρ－混合随机变量序列，且EX1＝μ＞0，Var X1＝σ2＜∞.记变异系数假设若还满足条件（H1）和（H2），则对任意的s＞（1－t）／2，有其中N表示标准正态随机变量.注1 设｛Xn，n≥1｝为一列独立同分布的正随机变量，满足EX1＝μ＞0，Var X1＝σ2＜∞.记变异系数如果还满足假设条件（H1）和（H3），则式（1），（2）成立；如果还满足假设条件（H1）和（H2），则式（3）成立.注2 满足假设条件（H1）～（H3）的g（x）有很多，可取g（x）＝xα，（log x）β，（loglog x）γ 等，其中α＞0，β＞0，γ＞0为某些适当的参数.1 引理本文记再记＝ Var（Sn，n），其中Yk ＝（Xk－μ）／σ，k≥1.引理1［1］设｛Xn，n≥1｝为正的严平稳ρ－混合随机变量序列，且EX1＝μ＞0，Var X1＝σ2＜∞.记变异系数假设则有引理2 在引理1的条件下，有证明：注意到b1，n～log n，由文献［1］中引理2.4易证结论成立.2 定理的证明2.1 定理1的证明令b（ε）＝［g－1（ε－r）］，其中g－1（x）为g（x）的反函数，r＞1／s.命题1 在定理1的条件下，有：证明：只证明式（4）成立.式（5）的证明类似.考虑积分和级数之间的关系.如果φ（y）单调非增，则φ（y）P｛N≥εgs（y）｝也单调非增，从而有进一步有如果φ（y）单调非降，则由定理1的假设条件对任意的0＜δ＜1，存在n1＝n1（δ），使得当n≥n1时，有φ（n＋1）／φ（n）＜1＋δ和φ（n）／φ（n＋1）＞1－δ成立.从而有因此再由式（6）可知最后令δ↓0可得为简便，下面省略φ（x）的讨论过程.命题2 在定理1的条件下，有：证明：只证式（8），式（7）可由式（8）推得.由引理1知注意到其中A（x）≈B（x）表示存在正常数C1＜C2使得C1A（x）≤B（x）≤C2A（x）.因此由Stolz定理，有命题3 在定理1的条件下，有：证明：只需证明式（10）成立，由式（10）可直接推得式（9）成立.由于当n＞b （ε）时有εgs（n）＞ε1－rs.利用L’Hospital法则，并注意到r＞1／s，类似命题1的证明，有命题4 在定理1的条件下，有：证明：由于由式（12）可直接推得式（11）成立，因此只需证明式（12）成立即可.由于当n＞b（ε）时，有εgs（n）＞ε1－rs，因此要证明式（12）成立，只需证明下式成立即可：而对任意的x＞－1，都有log（1＋x）≤x.因此要证明式（12），只需证明下式成立：由于则由引理2和Markov不等式，有从而命题4成立.由命题1～命题4及三角不等式可证明定理1成立.2.2 定理2的证明令d（ε）＝［g－1（Mε－1／s）］，其中g－1（x）为g（x）的反函数，M≥1.命题5 在定理2的条件下，有证明：类似命题1的证明，考虑积分和级数之间的关系.如果h（y）单调非增，则h（y）P｛N≥εgs（y）｝也单调非增，从而有进一步有如果h（y）单调非降，则由定理2的假设条件下面的证明过程与命题1类似，故略.命题6 在定理2的条件下，有证明：由引理1，注意到假设条件（H1）和（H2），与命题2的证明过程类似可证.命题7 在定理2的条件下，有证明：由命题5的证明过程，有于是命题8 在定理2的条件下，有证明：与命题4的证明过程类似.由命题5～命题8及三角不等式可证明定理2成立.参考文献【相关文献】［1］杨金英.ρ－混合序列部分和之和乘积的渐近分布［J］.吉林大学学报：理学版，2012，50（2）：258－262.（YANG Jinying.Asymptotic Distribution of Products of Sums of Partial Sums underρ－Mixing Sequences ［J］.Journal of Jilin University：Science Edition，2012，50（2）：258－262.）［2］付艳莉，吴群英.强混合序列部分和之和乘积的几乎处处中心极限定理［J］.山东大学学报：理学版，2010，45（8）：104－108.（FU Yanli，WU Qunying.Almost Sure Central Limit Theory for the Products of Sums of Partial Sums under Strong Mixing Sequences［J］.Journal of Shandong University：Natural Science，2010，45（8）：104－108.）［3］ZHANG Yong，YANG Xiaoyun，DONG Zhishan.An Almost Sure Central Limit Theorem for Products of Sums of Partial Sums under Association［J］.J Math Anal Appl，2009，355（2）：708－716.［4］Gut A，Spǎtaru A.Precise Asymptotics in the Bau m－Katz and Davis Laws of Large Numbers［J］.J Math Anal Appl，2000，248（1）：233－246.［5］Gut A，Spǎtaru A.Precise Asymptotics in the Law of the Iterated Logarithm［J］.Ann Probab，2000，28（4）：1870－1883.［6］ZHANG Yong，YANG Xiaoyun，DONG Zhishan.A General Law of Precise Asymptotics for the Complete Moment Convergence［J］.Chin Ann Math：Ser B，2009，30（1）：77－90.［7］谭希丽，邢楠，董志山.B值m相依随机变量列生成平均移动过程精确渐近性的一般形式［J］.吉林大学学报：理学版，2011，49（1）：27－32.（TAN Xili，XING Nan，DONG Zhishan.General Result on Precise Asymptotics for Moving Average Processes of m－Dependent B－Valued Elements ［J］.Journal of Jilin University：Science Edition，2011，49（1）：27－32.）［8］LI Jie.Precise Asymptotics of Moving Average Process underφ－Mixing Assumption ［J］.J Korean Math Soc，2012，49（2）：235－249.［9］孙晓祥，杨丽娟.独立情形下一阶矩收敛的精确渐近性的注记［J］.吉林大学学报：理学版，2013，51（5）：871－875.（SUN Xiaoxiang，YANG Lijuan.A Note on the Precise Asymptotics for the First Moment Convergence of i.i.d.Random Variables［J］.Journal of Jilin University：Science Edition，2013，51（5）：871－875.）。
φ-混合移动平均过程完全矩收敛的精确渐近性
φ-混合移动平均过程完全矩收敛的精确渐近性张亚运;吴群英【摘要】利用移动平均的中心极限定理和矩不等式,得到一类φ-混合移动平均过程部分和的完全矩收敛的精确渐近性.%By using the central limit theorem and the moment inequality of the moving average process,we obtained the precise asymptotics of complete moment convergence for partial sum of a class ofφ-mixing moving average process.【期刊名称】《吉林大学学报（理学版）》【年(卷),期】2017(055)001【总页数】9页(P61-69)【关键词】移动平均过程;φ-混合;精确渐近性;完全矩收敛【作者】张亚运;吴群英【作者单位】桂林理工大学理学院,广西桂林 541004;桂林理工大学理学院,广西桂林 541004【正文语种】中文【中图分类】O211.4目前, 关于移动平均过程部分和的研究已有许多结果. 例如: Burton等[1]得到了大偏差原理； Yang[2]建立了中心极限定理和重对数律; Li等[3]和Zhang[4]得到了完全收敛性的结果；文献[5-6]证明了完全矩收敛； Lin等[7]得到了移动平均过程完全矩收敛的精确渐近性.假设{ξi, -∞<i<∞}为同分布双侧无穷随机变量序列, 均值为零, 方差有限. 令{ai, -∞<i<∞}为一绝对可和的实数列, 设式(1)称为基于{ξi,-∞<i<∞}的移动平均过程. 记(n≥1)为移动平均过程的部分和. 若其中Fσ(ξi, a≤i≤b), 则称{ξi, -∞<i<∞}为φ-混合随机变量序列. 根据定义, 如果{ξi, -∞<i<∞}为φ-混合随机变量, 则{Xk, k≥1}也是φ-混合的.定理1[8] 若{Yk, k≥1}为严平稳的NA(negatively associated)序列, 记(n≥1). 设EY1=0,<∞, 且<∞, γ>0, δ>-1, γ(δ+1)>2. 若, 则若()1+δ-2/γ<∞, 则其中N为一个标准正态随机变量.本文研究φ-混合移动平均过程的精确渐近性, 借鉴文献[9-13]中的证明方法，利用相似的方法证明在φ-混合的移动平均过程条件下, 定理1情形的结论仍然成立. 引理1[14] 设{ξi; i≥1}为φ-混合序列, 均值为零, 方差有限, 记ξi(n≥1). 则≤.若q(q≥2)阶矩存在, 且存在一正实数Cn, 使得≤Cn, 则存在C=C(q,φ(·)), 满足引理2[7] 定义{Xk; k≥1}如式(1), {ξi, -∞<i<∞}为φ-混合随机变量序列, 均值为零, 方差有限, 并且假设0<σ2∶ξ1ξk<∞,φ1/2(2m)<∞, 则其中“”表示依分布收敛.设C表示一个正常数, 在不同之处可表示不同的值, [x]表示不大于x的最大整数, log x=loge(x∨e), I(·)表示示性函数, N为标准正态随机变量.定理2 定义{Xk; k≥1}如式(1), 其中{ξi, -∞<i<∞}为同分布φ-混合随机变量序列, 满足对γ>0及γ(δ+1)>2, 若()1+δ-2/γ<∞, 则若()1+δ-2/γ<∞, 则为证明定理2, 先证明式(2). 不失一般性, 不妨假设τ=1. 注意到, 若<∞(0<p<∞), 则对∀a>0, 有从而基于此, 将式(2)的证明分为以下4个命题.命题1 在定理2的条件下, 有证明：由文献[15]可知,为方便, 记αn(ε,γ)=ε(loglog n)1/γ. 结合式(7), 要证明式(6), 只需证记β∶=[exp{exp{M/εγ}}], 其中γ>0, M>4, 0<ε<1/2.根据引理2知, Δn∶→0, 从而要证明式(8), 只需证且式(10),(11)关于0<ε<1/2一致成立.结合引理2、 Toeplitz引理和标准正态分布的性质知, 式(9),(11)成立. 下面证明式(10). 因为不妨假设∑+∞i=-∞≤1, 记, 其中=ξiI(≤ε(loglog n)1/γ). 则由Eξ1=0, n>β, 有因此, 对于足够大的M, 有<. 故对于I1, 利用Markov不等式, 有因此,关于0<ε<1/2一致成立. 对于I2, 利用Hölder不等式和引理1, 有取q>γ(δ+1)>2, 则对于I21, 由<∞, 有对于I22, 有由式(15),(16)知,因此关于0<ε<1/2一致成立.结合式(13),(17)知式(10)成立. 因此, 命题1成立.命题2[15] 在定理2的条件下, 有命题3 在定理2的条件下, 有证明: 记由引理2知, Δn∶Θn(x)→0,其中ωn(γ)∶. 由标准正态分布的性质、 Toeplitz引理和引理2, 有记, 其中因为x>ωn(γ), 则Eξ1=0. 对于Σ1, 类似式(12), 有则对于Σ11, 利用Markov不等式, 取0<γ′<γ, β′∶=[exp{exp{M/εγ′}}], 则对于Σ111, 有同理对于Σ112, 有所以对于Σ12, 利用Markov不等式和引理1, 有对于Σ121, 取q>γ(δ+1)>2, 因为<∞, 有因此关于0<ε<1/2一致成立.对于Σ122, 有对于Σ1221, 有对于Σ1222, 类似Σ11的证明, 取0<γ′<γ, β′∶=[exp{exp{M/εγ′}}], 则对于, 有同理对, 有从而由式(20)～(22), 得结合式(18),(19),(23), 命题3成立.命题4 在定理2的条件下, 有关于0<ε<1/2一致成立.证明：由文献[15]的命题2.6知式(24)成立. 下面证明式(25). 定义如命题3中的, 则有对于G1, 有故有对于G2, 应用Hölder不等式和引理1, 取q>γ(δ+1)>2, 则对于G21, 有因此,关于0<ε<1/2一致成立. 对于G22, 有对于G221, 类似命题1中I22的证明, 有最后, 对G222, 有因此,关于0<ε<1/2一致成立. 结合式(26)～(29)知式(25)成立, 从而命题4成立.结合命题1～命题4可知, 式(2)成立. 对于式(3), 证明方法类似式(2), 因此定理2成立.【相关文献】[1] Burton R M, Dehling H. Large Deviations for Some Weakly Dependent Random Processes [J]. Statist Probab Lett, 1990, 9(5): 397-401.[2] Yang X Y. The Law of the Iterated Logarithm and Stochastic Index Central Limit Theorem of B-Valued Stationary Linear Processes [J]. Chin Ann of Math A, 1996, 17: 703-714.[3] LI Deli, Rao M B, WANG Xiangchen. Complete Convergence of Moving Average Processes [J]. Statist Probab Lett, 1992, 14(2): 111-114.[4] ZHANG Lixin. Complete Convergence of Moving Average Processes under Dependence Assumptions [J]. Statist Probab Lett, 1996, 30(2): 165-170.[5] LI Yunxia, ZHANG Lixin. Complete Moment Convergence of Moving Average Processes under Dependence Assumptions [J]. Statist Probab Lett, 2004, 70(3): 191-197.[6] LI Yunxia. Precise Asymptotics in Complete Moment Convergence of Moving Average Processes [J]. Statist Probab Lett, 2006, 76(13): 1305-1315.[7] LIN Zhengyan, ZHOU Hui. Precise Asymptotics of Complete Moment Convergence on Moving Average [J]. Acta Mathematica Sinica (English Series), 2012, 28(12): 2507-2526. [8] ZHAO Yuexu. Asymptotic Properties of the Moment Convergence for NA Sequences [J]. Acta Mathematica Scientia, 2014, 34(2): 301-312.[9] XIAO Xiaoyong, YIN Hongwei. Moment Convergence Rates in the Law of Logarithm for Moving Average Process under Dependence [J]. Stochastics an International Journal of Probability and Stochastic Processes, 2014, 86(1): 1-15.[10] Kim T S, Baek J I. A Central Limit Theorem for Stationary Linear Processes Generated by Linearly Positively Quadrant-Dependent Process [J]. Statist Probab Lett, 2001, 51(3): 299-305.[11] 李云霞. 线性过程关于大数律的精确渐近性 [J]. 数学物理学报(中文版), 2006, 26(5): 675-687. (LI Yunxia. Precise Asymptotics in the Law of Large Numbers of Moving-Average Processes [J]. Acta Math Sci Ser A (Chin Ed), 2006, 26(5): 675-687.)[12] 曹阳, 吴群英. ρ--混合序列部分和之和乘积的几乎处处中心极限定理 [J]. 吉林大学学报(理学版), 2015, 53(6): 1151-1155. (CAO Yang, WU Qunying. Almost Sure Central Limit Theorem for Products of Sums of Partial Sums for ρ--Mixing Sequences [J]. Journal of Jilin University (Science Edition), 2015, 53(6): 1151-1155.)[13] 咸巍, 高瑞梅. NA序列Chung型对数律的精确渐近性质 [J]. 吉林大学学报(理学版), 2015,53(6): 1207-1210. (XIAN Wei, GAO Ruimei. Precise Rate in the Chung Law of Logarithm for NA Sequence [J]. Journal of Jilin University (Science Edition), 2015, 53(6): 1207-1210.) [14] SHAO Qiman. A Moment Inequality and Its Applications [J]. Acta Mathematica Sinica, 1988, 31(6): 736-747.[15] LI Yunxia, ZHANG Lixin. Precise Asymptotics in the Law of the Iterated Logarithm of Moving Average Processes [J]. Acta Mathematica Sinica, 2006, 22(1): 143-156.。
ρ--混合序列自正则部分和乘积的几乎处处中心极限定理
ρ--混合序列自正则部分和乘积的几乎处处中心极限定理曹阳;吴群英【摘要】设{X,Xn}n∈N是一严平稳的ρ--混合随机变量序列.在一定的条件下,证明了自正则部分和乘积(Πki=1(Si/(μi)))μ/(βvi)的几乎处处中心极限定理,其中,Sn=∑ni=1Xi,V2n=∑ni=1X2i.%Let {X,Xn } n∈N be a strictly stationary sequence ofρ--mixing random variables.The result about the kalmost sure central limit theorem for self-normalized products of partial sums (-Π (Si/(μi)))μ/(βV,)is gotten,i=1n nwhereSn =ΣXi,V/2n =ΣX~i=1 i=1.【期刊名称】《桂林理工大学学报》【年(卷),期】2017(037)001【总页数】9页(P208-216)【关键词】ρ--混合序列;自正则部分和乘积;几乎处处中心极限定理【作者】曹阳;吴群英【作者单位】桂林理工大学理学院,广西桂林541004;桂林理工大学理学院,广西桂林541004【正文语种】中文【中图分类】O211.4定义1[1] 记S和T为自然数集N中两个不相交的子集, f和g为连续函数。
如果下列条件成立:其中则称随机变量序列{Xk, k≥1}为ρ- -混合序列。
1999年, Zhang和Wang[1]首次提出了ρ- -混合序列的概念, 它是比NA序列及ρ*-混合序列更为宽泛的一种混合序列。
因此在科研领域应用十分广泛, 并取得了许多成果。
2005年, Zhou[2]证明了ρ- -混合序列的几乎处处中心极限定理;2012年, Tan[3]等人获得了ρ- -混合序列部分和乘积的几乎处处中心极限定理。
由于在许多统计推断中需要用到经典的极限定理, 但是鉴于经典的极限定理中部分和Sn/σn常常含有未知参数σ, 通常先用统计量对这些未知参数进行估计, 然后把这些统计量代入经典的极限定理中。
《概率论与数理统计》5-1 中心极限定理
Y np 1 n lim P x n np 1 p 2
即当 n 充分大时,
np 1 p Yn np
x
e
t2 2
dt ,
近似服从标准正态分布.
例2. 在次品率为1/6的一大批产品中, 任意取出300件产 品, 利用中心极限定理, 计算抽取的产品中次品数在40到60 之间的概率. 解 以Yn 表示300件产品中次品的总数, 由题意得
且函数
g x, Βιβλιοθήκη 在 a, b 处连续, 则
P g X n , Yn g a, b
下面, 考虑频率的稳定性
定理5.4 贝努里大数定律
设
X1 , X 2 ,
是一个随机变量序列. 且每一个随机变量
P X p
都服从0-1分布B 1, p , 则 证明关键步骤:
n
i 1,2,,1200 .
由独立同分布情形下的中心极限定理:
X i n 20 i 1 n 1 1200 12
1 P
X i n i 1 2 n
n
1 2 2
即: 只要供应 320Q 瓦的电力, 就能以99%的把握保证该 车间的机器能正常工作.
例5. 为了测定一台机床的质量, 将其分解成若干个部件 来称量. 假定每个部件的称量误差（单位: kg ）服从区 间 1,1 上的均匀分布, 且每个部件的称量是独立的, 试 问至多分成多少个部件才能以不低于99%的概率保证 机床的称量总误差的绝对值不超过10.
定义5.1 依概率收敛 设
X1 , X 2 ,
是一个随机变量序列. 如果存在一个常数c
第47讲中心极限定理
第47讲中⼼极限定理§5.2 中⼼极限定理中⼼极限定理的概念Central Limit Theorems在客观实际中有许多随机变量，它们是由⼤量相互独⽴的随机因素的综合影响所形成，⽽其中每⼀个别因素在总的影响中所起的作⽤是微⼩的。
这种随机变量往往近似地服从正态分布。
这种现象就是中⼼极限定理的客观背景。
本节将⽤中⼼极限定理来说明这种现象。
四川⼤学徐⼩湛中⼼极限定理是说：在⼀定条件下，充分多的相互独⽴的随机变量的算术平均值将服从正态分布，不管这些随机变量本⾝服从什么分布。
本节介绍了三个中⼼极限定理1.列维-林德伯格定理（独⽴同分布的中⼼极限定理）2.李雅普诺夫定理（独⽴不同分布的中⼼极限定理）3.棣莫弗-拉普拉斯定理(⼆项分布的极限分布)列维-林德伯格定理独⽴同分布的中⼼极限定理定理 1 列维-林德伯格 (Levy -Lindberg) 定理（独⽴同分布的中⼼极限定理）设随机变量 X 1, X 2, …, X n , … 相互独⽴，服从同⼀分布，且 E (X k )=µ , D (X k )=σ 2 >0 (k =1,2, …)，的分布函数 F n (x ) =P {Y n ≤x }满⾜当 n 很⼤时， Y n 近似地服从标准正态分布 N (0, 1) 则随机变量n n →∞ n →∞ lim F (x ) = lim P {Y ≤ x }= Φ(x ) = n定理 1 （独⽴同分布的中⼼极限定理）设随机变量 X 1, X 2, …, X n , … 相互独⽴，服从同⼀分布，且 E (X k )=µ , D (X k )=σ2 >0 (k =1,2, …)，则随机变量n n 的分布函数 F (x ) =P {Y ≤x }满⾜n n n →∞ n →∞ n →∞lim F (x ) = lim P {Y ≤ x }= lim以上定理表⽰：若随机变量 X 1, X 2, …, X n , … 相互独⽴同分布，且 E (X k )=µ , D (X k )=σ 2 >0 (k =1,2, …)，则当n 很⼤时，近似地有n n k X 的标准化变量 1n Y 是 X = ∑ k =1 n k 1 n = D ( ∑ k =1 2 1 n k D (X ) n X ) = ∑ k =1 = D (X ) 独⽴性 k k =1 nk 1 n k =1 X ) = ∑ E (X ) = n E (X ) = E (1∑ nnnk 1nk=1Y 是X = ∑以上定理表明，在定理的条件下，⽆论{Xk} 服从什么分布，当n很⼤时，其前n项的算术均值X的准化服从正态分布N(0,1)。
４.５大数定理及中心极限定理_概率论与数理统计_[共4页]
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文字资料中,字母的使用频率;工厂 大 量 生 产 某 种 产 品 过 程 中,产 品 的 废 品 率 等.一 般 地,要 寻 找
随 机 现 象 内 在 的 必 然 规 律 ,就 要 研 究 大 量 随 机 现 象 .
在生产实践中,人们还认识到大量 试 验 数 据、测 量 数 据 的 算 术 平 均 值 也 具 有 稳 定 性.这 种 稳
90
∫ P(|X -μ|≥ε)=
p(x)dx
|x-μ|≥ε
∫ ≤
|x-μ|≥ε
|x -μ ε2
|2p(x
)dx
∫ 1
≤ε2
+∞
(x -μ)2p(x)dx
-∞
σ2 =ε2
切比雪夫不等式也可以写成如下形式
P(|X -μ|<ε)≥1-εσ22
(4.44)
注:(1)由 切 比 雪 夫 不 等 式 可 以 看 出 ,若σ2 越 小 ,则 事 件 {|X -E(X )|<ε}的 概 率 越 大 ,
定性就是我们将要讨论的大数定律的客观背景.
1.切 比 雪 夫 (Chebyshev) 不 等 式
定 理 4.5
设随机变量 X 有期望E(X)=μ 和方差D(X)=σ2,则对于任意的ε>0,有
P(|X -μ|≥ε)≤εσ22
( 切 比 雪 夫 不 等 式 .
证 仅就连续型随机变量证明.设 X 的概率密度为p(x).
概率论与数理统计
2.n 维随机变量的协方差矩阵
设n 维随机变量(X1,X2,…,Xn)的二阶混合矩
cij=Cov(Xi,Xj)=E[Xi-E(Xi)][Xj-E(Xj)] (i,j=1,2,…,n) 都 存 在 ,则 称
æc11
ρ--混合序列部分和乘积的几乎处处中心极限定理的注记
ρ--混合序列部分和乘积的几乎处处中心极限定理的注记郦园;徐锋【摘要】Let {X n ,n≥1 }be a strictly stationary sequence ofρ--mixing random variables.By using moment inequality and the central limit theorem of weighted sums,we obtained almost sure central limit theorem for product of some partial sums ofρ--mixing sequences under general weights.%设{X n ,n≥1}是一严平稳的ρ--混合随机变量序列,利用矩不等式及加权和的中心极限定理,得到了一般权重下ρ--混合序列部分和乘积的几乎处处中心极限定理。
【期刊名称】《吉林大学学报（理学版）》【年(卷),期】2016(054)004【总页数】5页(P785-789)【关键词】ρ--混合序列;部分和乘积;几乎处处中心极限定理【作者】郦园;徐锋【作者单位】桂林理工大学理学院，广西桂林 541004;桂林理工大学理学院，广西桂林 541004【正文语种】中文【中图分类】O211.4Key words: ρ--mixing sequences; product of partial sums; almost sure central limit theorem定义1[1] 如果对于{1,2,…,n}的任何两个不相交的非空子集T1和T2, 都有则称随机变量X1,X2,…,Xn为NA(negatively associated)的. 其中f和g是任意两个使得协方差存在且对每个变量均非降(或对每个变量均非升)的函数. 如果对任何自然数n≥2, 变量X1,X2,…,Xn都是NA的, 则称随机变量序列{Xn, n≥1}是NA序列.定义2[2] 设{Xn, n≥1}是概率空间(Ω,B,P )上的随机变量序列, FS=σ(Xi, i∈S⊂)为σ-域, 在B中给定σ-域F,R, 令其中ρ*(k)=sup{ρ(FS,FT): S,T⊂, dist(S,T)≥k}. 如果存在k∈, 使得ρ*(k)→0, 则称{Xn, n≥1}是ρ*-混合序列.定义3[3] 如果满足则称序列{X n, n≥1}为ρ--混合序列. 其中C为单调不减函数类.显然, ρ--混合随机变量包含了NA随机变量和ρ*-混合随机变量, 关于其概率极限性质的研究目前已获得了很多结果[3-5], 文献[6]给出了其部分和乘积的渐近性, 文献[7-11]对文献[6]的结果进行了推广. 谭希丽等[7]得到了如下部分和乘积的几乎处处中心极限定理.定理1[7] 设{Xn, n≥1}是一严平稳、正的ρ--混合随机变量序列, 满足EX1=μ>0, Var X1=σ2>0. 记变异系数γ=σ/μ. 假设:3) ρ-(n)=O(log-δn), ∃δ>1;.如果存在某个r>2, 使得则对∀x, 有其中: I(·)为示性函数; F(·)为随机变量的分布函数, N表示标准正态随机变量.本文在文献[7]的基础上, 将ρ--混合序列部分和乘积的几乎处处中心极限定理的权重推广到更大范围, 优化了目前已有的结果.记an～bn表示表示正常数, 在不同之处可表示不同的值设{Xn, n≥1}是一严平稳、正的ρ--混合随机变量序列, 且记cn>0, 且引理1[7] 设{Xn, n≥1}是一严平稳ρ--混合序列, 且,则对0<p<2, 有n-1/pSn→0(n→∞) a.s.定理2 设{Xn, n≥1}是一严平稳、正的ρ--混合随机变量序列, 满足EX1=μ>0, Var X1=σ2>0. 记变异系数γ=σ/μ. 假设:∃δ>0, c>0;.对0≤α<1/2, 记如果存在某个r>2, 使得则对∀x, 有其中: I(·)为示性函数; Φ(·)为标准正态随机变量N的分布函数.证明: 由文献[7]可知(k→∞), 从而对任何有界连续可导的有界函数g(x), 有Eg(Sk,k/σk)→Eg(N)(k→∞). 因此, 利用Toeplitz引理, 有另一方面, 根据文献[12]中定理7.1和文献[13]中第二部分, 可知式(3)等价于因此, 为证明式(3), 只需证明对有界连续可导的有界函数g(x), 下式成立:对k≥1, 记则首先估计Tn1. 当2k≥l时, 根据条件3), 令l=2k+1, 有因此,由ξk为一有界的随机变量及文献[14]知根据式(6), 有则当l>2k时, 有利用文献[7]的方法可知, 存在某个常数ε>0, 使得结合条件3), 有从而其次估计Tn3. 根据和式(6), 可得结合式(7)～(9), 由有对足够大的n, 可得根据式(1),(2), 有Dn+1～Dn. 对0<η<1-2α, nk∶=inf{n; Dn≥exp{k1-η}}, 则Dnk≥exp{k1-η}, Dnk-1<exp{k1-η}. 因此,即Dnk～exp{k1-η}. 由于(1-η)/(2α)>1, 对∀ε>0, 有因此根据Borel-Cantelli引理, 有Tnk→0(k→∞) a.s. 对nk<n≤nk+1, 根据由对∀i, 有即式(4)成立. 证毕.定理3 在定理1的条件下, 对∀x, 有其中: dk和Dn由式(2)定义; F(·)为随机变量的分布函数.证明: 记Ui=Si/(μi), 有因此, 式(3)等价于对∀x, 有另一方面, 式(10)等价于对∀x, 有根据引理1, 对4/3<p<2, 当i→∞时, 有结合ln(1+x)=x+O(x2)(x→0)和假设条件4), 可得所以, 当k→∞时, 对∀ε>0, 有因此, 结合式(11),(13)知, 式(12)成立, 即式(10)成立. 证毕.注1 由文献[15]可知, 假设用满足≤dk和=∞的权重序列代替{dk; k≥1}, 则定理1和定理2仍然成立.注2 1) 若ck=ln k, α=0, 根据ln k/k↓, 有k/l≤ln k/ln l. 式(2)中, dk～e(kln k)-1, Dn～elnln n; 2) 若ck=k, α=0, 式(2)中, dk～e(k)-1, Dn～eln n; 3) 若ck=k, 则dk～k-1exp(lnαk). 对β>-1, 0<α<1/2, 由于∞. 根据注1, 如果用替代{dk; k≥1}, 则定理1和定理2仍然成立.【相关文献】[1] Joag-Dev K, Proschan F. 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Ｅ Ｘｉ ， ＝Ｖ ａ ｒ Ｘ１ ＞０ ． 记变异系数 ， ｙ ＝ ／ ， ＝∑ Ｘ ｉ ． 设 ＝ （ Ｘｘ ， …， ） 是一
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其中 ａ ＞ ０为 常数 序列 ， Ｒ 称 为 余项 ．熟知 许 多统 计量 （ 或随 机 函数） 可 被表 示成 （ １ ． １ ） 式，例如 ｕ统计量， Ｖ ｏ ｎ — Ｍｉ ｓ ｅ ｓ 统计量，线性模型的误差方差估计量，线性过程 （ 和移动平
收稿 日 期： ２ ０ １ １ — １ １ — １ ９ ； 修订 日 期： ２ ０ １ ３ — ０ ２ — ２ ８
Ｅ— ｍａ ｉ ｌ ： ｑ ｉ ｕ ｊ ｉ ｎ 一 ７ １ ＠ｈ ｏ ｔ ｍａ ｉ ｌ ． Ｃ Ｏ ｌ ｌ ｌ
基金项 目：浙 江省 自 然科学基金 （ Ｙ ６ １ １ ０ ６ １ ５ ） 和教育部人文社会科学研究规划基金 （ １ ２ Ｙ Ｊ Ａ ９ １ ０ ０ ０ ３ ） 资助
２ 主要结论
对 于形 如 （ １ ． １ ） 式的统 计量 ， 若 余项 Ｒ 满足条 件
Ｒ ＝０ （ ０
）ａ ． Ｓ ． ，
（ ２ ． １ ）
我们证 明 下列 几乎 处处 中心极 限定理 ，且给 出它 的渐近分 布和 弱不变 原理 定理 ２ ． １ 在条 件 （ ２ ． １ ） 下 ，对任 给的 实数 Ｘ ， 有
ＭＲ（ ２ ０ ０ ０ ）主题分类： ６ ０ Ｆ ０ ５ ； ６ ２ Ｇ ２ ０ 中图分类号：Ｏ ２ １ １ ． ４ 文献标识码： １ ３ ） ０ ３ — ４ ７ ５ — ０ ８
１ 引言
随机变量部分和乘积的渐近分布又称为 “ 算术平均的几何平均 ”中心极限定理，最先由 Ａ ｒ ｎ ｏ ｌ ｄ和 Ｖ ｉ ｌ ｌ ａ ｓ ｅ ｉ ｆ ｏ ｒ （ １ ９ ９ ８ ） 在讨论记录值的和的极限性质时引入，之后便引起了许多学者的 研 究兴 趣． Ａ ｒ ｎ ｏ ｌ ｄ和 Ｖｉ ｌ ｌ ａ ｓ ｅ ｉ ｆ ｏ ｒ的结果 是针 对独 立 同分 布 的指数 分布 随机变 量 ， Ｒ ｅ ｍｐ ａ ［ ａ 和 Ｗｅ ｓ ｏ ｔ ｏ ｗ ｓ ｋ ｉ （ ２ ０ ０ ２ ） 将其推广到一般的独立同分布平方可积正值随机变量， 并进一步推广至 ｕ统计量． Ｇ ｏ ｎ ｃ ｈ ｉ ｇ ｄ ａ ｎ ｚ ａ ｎ和 Ｒ ｅ ｍｐ ａ ｔ ａ （ ２ ０ ０ ６ ） 讨 论 了独 立 同分 布 随机变 量 部分 和乘 积 的几 乎处 处 中心极 限 定理 ， Ｇｏ ｎ ｃ ｈ ｉ ｇ ｄ ａ ｎ ｚ ａ ｎ （ ２ ０ ０ ５ ） 给 出 了 ｕ 统 计量的几 乎处处 中心极限 定理 ． 个 很 自然的 问题产 生了 ： 对 于较 一般 的统 计量 的乘积 ，其渐 近分布是 怎 样的 ？几乎处 处 中心极 限定 理是 否成 立 ？设 ｆ ， 一。 。＜ ｎ＜ 。 。 ｝为 独立 同分布 平方 可积 正值 随机变 量 ，
１ Ｎ １ （ 鱼 （ ） １ ／ （ － ｗ ￣ ） ） ＝ Ｐ ｛ ｅ ） ＝ ： Ｆ （ ） ａ － ｓ ． ，
其 中 是 标准正 态随机 变量 ，记 它 的分 布 函数为 （ ） ． 定理 ２ ． ２ 在条 件 （ ２ ． １ ） 下 ，有
（ ２ ． ２ ）
（ ） 伺
定理 ２ ． ３ 设条件 （ ２ ． １ ） 满足．若在 Ｄ［ ０ ， １ ］ 中成立着 三 （ ）（ ｎ 。 。 ）
（ Ｔ ａ ｎ、 ／ ｎ
（ ２ ． ３ ）
（ ２ ． ４ ）
摘要： 设 ｛ ｘｎ ， ～ 。 。＜ｎ＜。 。 ，为独立同分布平方可积正值随机变量序列，
Ｖ ａ ｒ Ｘ ＞ ０ ．记 Ｓ ｎ＝ ∑ Ｘｉ ，
＝ １
＝Ｅ Ｘ１ ， Ｃ ｒ ＝
＝ （ ， …， ） 是一统计量 （ 或 随机 函数） ， 可被表示为
＝ａ Ｓ ｎ ＋Ｒ ， 其中 ａ ＞０为常数序列， Ｒ 为余项． 该文证明若 Ｒ ＝ ｏ （ ａ 、 ， ） ａ … ｓ 则 对统计量 的乘积 的几乎处处中心极 限定理成立，且给出了它的渐近分布和弱不变原理．并
以 ｕ 统计量， Ｖｏ ｎ — Ｍｉ ｓ ｅ ｓ统计量，线性模型误差方差 的估计等几个常见的统计 量为例说 明结
果应 用的广泛性 ．推广 了以往文献 中关于独立 同分布 随机变量和的乘积及 ｕ 统计量乘积的相
应结果．
关键词：统计量的乘积 ；几乎处处 中心极限定理 ；渐近分 布；弱不变原理．
数学物理学报
ｈ ｔ ｔ ｐ ： ／ ／ ａ ｃ ｔ ａ ｍ ｓ ． ｗ ｉ ｐ ｍ． ａ ｃ ． ａ ｎ
一
类统计量 的乘积 的渐近性质和几乎处处 中心极限定理
邱瑾 。陆传 荣
１浙 江财经 学院数 学与统计学院 杭 州 ３ １ ０ ０ １ ８ ；。浙江大 学数学系 杭 ’ Ｉ ３ １ ０ ０ ２ ８ ）
４ ７ ６
数
学 物
理
学
报
Ｖ Ｏ ｌ １ ． ３ ３ Ａ
均过程） ， 功率和过程， 连续分布函数的乘积极限估计及它的分位点函数的乘积极限估计等． 本 文将讨 论这类 统计 量 的乘积 的极 限分布 ． 本 文 的安 排如 下：第 ２ 节 给 出主要结 论 ，包括几 乎处 处 中心极 限定理 ，渐近 分布和 弱不 变原理；定理的证明在第 ３ 节给出；第 ４ 节以 ｕ统计量， Ｖ ｏ ｎ － Ｍｉ ｓ ｅ ｓ 统计量，线性模型误 差方差的估计等几个常见的统计量为例说 明结果应用的广泛性．本文推广了以往文献中关 于独立 同分 布随机 变量和 的乘 积及 ｕ统 计量乘 积 的相 应结 果．