一类统计量的乘积的渐近性质和几乎处处中心极限定理

２ 主要结论
对 于形 如 （ １ ． １ ） 式的统 计量 ， 若 余项 Ｒ 满足条 件
Ｒ ＝０ （ ０
）ａ ． Ｓ ． ，
（ ２ ． １ ）
我们证 明 下列 几乎 处处 中心极 限定理 ，且给 出它 的渐近分 布和 弱不变 原理 定理 ２ ． １ 在条 件 （ ２ ． １ ） 下 ，对任 给的 实数 Ｘ ， 有
一
＝
Ｅ Ｘｉ ， ＝Ｖ ａ ｒ Ｘ１ ＞０ ． 记变异系数 ， ｙ ＝ ／ ， ＝∑ Ｘ ｉ ． 设 ＝ （ Ｘｘ ， …， ） 是一
＝
１
统计 量 （ 或 随机 函数） ， 可 被表示 为
＝ａ ｎ ＋Ｒ ， （ １ ． １ ）
其中 ａ ＞ ０为 常数 序列 ， Ｒ 称 为 余项 ．熟知 许 多统 计量 （ 或随 机 函数） 可 被表 示成 （ １ ． １ ） 式，例如 ｕ统计量， Ｖ ｏ ｎ — Ｍｉ ｓ ｅ ｓ 统计量，线性模型的误差方差估计量，线性过程 （ 和移动平
以 ｕ 统计量， Ｖｏ ｎ — Ｍｉ ｓ ｅ ｓ统计量，线性模型误差方差 的估计等几个常见的统计 量为例说 明结
果应 用的广泛性 ．推广 了以往文献 中关于独立 ห้องสมุดไป่ตู้分布 随机变量和的乘积及 ｕ 统计量乘积的相
应结果．
关键词：统计量的乘积 ；几乎处处 中心极限定理 ；渐近分 布；弱不变原理．
４ ７ ６
数
学 物
理
学
报
Ｖ Ｏ ｌ １ ． ３ ３ Ａ
均过程） ， 功率和过程， 连续分布函数的乘积极限估计及它的分位点函数的乘积极限估计等． 本 文将讨 论这类 统计 量 的乘积 的极 限分布 ． 本 文 的安 排如 下：第 ２ 节 给 出主要结 论 ，包括几 乎处 处 中心极 限定理 ，渐近 分布和 弱不 变原理；定理的证明在第 ３ 节给出；第 ４ 节以 ｕ统计量， Ｖ ｏ ｎ － Ｍｉ ｓ ｅ ｓ 统计量，线性模型误 差方差的估计等几个常见的统计量为例说 明结果应用的广泛性．本文推广了以往文献中关 于独立 同分 布随机 变量和 的乘 积及 ｕ统 计量乘 积 的相 应结 果．
收稿 日 期： ２ ０ １ １ — １ １ — １ ９ ； 修订 日 期： ２ ０ １ ３ — ０ ２ — ２ ８
Ｅ— ｍａ ｉ ｌ ： ｑ ｉ ｕ ｊ ｉ ｎ 一 ７ １ ＠ｈ ｏ ｔ ｍａ ｉ ｌ ． Ｃ Ｏ ｌ ｌ ｌ
基金项 目：浙 江省 自 然科学基金 （ Ｙ ６ １ １ ０ ６ １ ５ ） 和教育部人文社会科学研究规划基金 （ １ ２ Ｙ Ｊ Ａ ９ １ ０ ０ ０ ３ ） 资助
摘要： 设 ｛ ｘｎ ， ～ 。 。＜ｎ＜。 。 ，为独立同分布平方可积正值随机变量序列，
Ｖ ａ ｒ Ｘ ＞ ０ ．记 Ｓ ｎ＝ ∑ Ｘｉ ，
＝ １
＝Ｅ Ｘ１ ， Ｃ ｒ ＝
＝ （ ， …， ） 是一统计量 （ 或 随机 函数） ， 可被表示为
＝ａ Ｓ ｎ ＋Ｒ ， 其中 ａ ＞０为常数序列， Ｒ 为余项． 该文证明若 Ｒ ＝ ｏ （ ａ 、 ， ） ａ … ｓ 则 对统计量 的乘积 的几乎处处中心极 限定理成立，且给出了它的渐近分布和弱不变原理．并
１ Ｎ １ （ 鱼 （ ） １ ／ （ － ｗ ￣ ） ） ＝ Ｐ ｛ ｅ ） ＝ ： Ｆ （ ） ａ － ｓ ． ，
其 中 是 标准正 态随机 变量 ，记 它 的分 布 函数为 （ ） ． 定理 ２ ． ２ 在条 件 （ ２ ． １ ） 下 ，有
（ ２ ． ２ ）
ＭＲ（ ２ ０ ０ ０ ）主题分类： ６ ０ Ｆ ０ ５ ； ６ ２ Ｇ ２ ０ 中图分类号：Ｏ ２ １ １ ． ４ 文献标识码：Ａ 文章编号：１ ０ ０ ３ ． ３ ９ ９ ８ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ３ — ４ ７ ５ — ０ ８
１ 引言
随机变量部分和乘积的渐近分布又称为 “ 算术平均的几何平均 ”中心极限定理，最先由 Ａ ｒ ｎ ｏ ｌ ｄ和 Ｖ ｉ ｌ ｌ ａ ｓ ｅ ｉ ｆ ｏ ｒ （ １ ９ ９ ８ ） 在讨论记录值的和的极限性质时引入，之后便引起了许多学者的 研 究兴 趣． Ａ ｒ ｎ ｏ ｌ ｄ和 Ｖｉ ｌ ｌ ａ ｓ ｅ ｉ ｆ ｏ ｒ的结果 是针 对独 立 同分 布 的指数 分布 随机变 量 ， Ｒ ｅ ｍｐ ａ ［ ａ 和 Ｗｅ ｓ ｏ ｔ ｏ ｗ ｓ ｋ ｉ （ ２ ０ ０ ２ ） 将其推广到一般的独立同分布平方可积正值随机变量， 并进一步推广至 ｕ统计量． Ｇ ｏ ｎ ｃ ｈ ｉ ｇ ｄ ａ ｎ ｚ ａ ｎ和 Ｒ ｅ ｍｐ ａ ｔ ａ （ ２ ０ ０ ６ ） 讨 论 了独 立 同分 布 随机变 量 部分 和乘 积 的几 乎处 处 中心极 限 定理 ， Ｇｏ ｎ ｃ ｈ ｉ ｇ ｄ ａ ｎ ｚ ａ ｎ （ ２ ０ ０ ５ ） 给 出 了 ｕ 统 计量的几 乎处处 中心极限 定理 ． 个 很 自然的 问题产 生了 ： 对 于较 一般 的统 计量 的乘积 ，其渐 近分布是 怎 样的 ？几乎处 处 中心极 限定 理是 否成 立 ？设 ｆ ， 一。 。＜ ｎ＜ 。 。 ｝为 独立 同分布 平方 可积 正值 随机变 量 ，
（ ） 伺
定理 ２ ． ３ 设条件 （ ２ ． １ ） 满足．若在 Ｄ［ ０ ， １ ］ 中成立着 三 （ ）（ ｎ 。 。 ）
（ Ｔ ａ ｎ、 ／ ｎ
（ ２ ． ３ ）
（ ２ ． ４ ）
数学物理学报
ｈ ｔ ｔ ｐ ： ／ ／ ａ ｃ ｔ ａ ｍ ｓ ． ｗ ｉ ｐ ｍ． ａ ｃ ． ａ ｎ
一
类统计量 的乘积 的渐近性质和几乎处处 中心极限定理
邱瑾 。陆传 荣
１浙 江财经 学院数 学与统计学院 杭 州 ３ １ ０ ０ １ ８ ；。浙江大 学数学系 杭 ’ Ｉ ３ １ ０ ０ ２ ８ ）