初三几何探究题

寒假提高班材料六：几何探究题

1、如图1，图2，图3，在ABC △中，分别以AB AC ，为边，向ABC △外作正三角形，正四边形，正五边形，BE CD ，相交于点O ．

①如图1，求证：ABE ADC △≌△； ②探究：如图1，BOC ∠= ； 如图2，BOC ∠= ； 如图3，BOC ∠= ．

（2）如图4，已知：AB AD ，是以AB 为边向ABC △外所作正n 边形的一组邻边；

AC AE ，是以AC 为边向ABC △外所作正n 边形的一组邻边．BE CD ，的延长相交于点O ． ①猜想：如图4，BOC ∠= （用含n 的式子表示）；

②根据图4证明你的猜想．

2、请阅读下列材料：

问题：如图1，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A B E ，，在同一条直线上，P 是线段()()a a b a b +-的中点，连结

PG PC ，．若60ABC BEF ∠=∠=，探究PG 与PC 的位置关系及

PG

PC

的值． 小聪同学的思路是：延长GP 交DC 于点H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决． 请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：

（1）写出上面问题中线段PG 与PC 的位置关系及PG PC 的值；

（2）将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得

到的两个结论是否发生变化写出你的猜想并加以证明．

（3）若图1中2(090)ABC BEF ∠=∠=<<αα，将菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出

PG

PC

的值（用含α的式子表示）．

3、如图，等腰梯形ABCD 中，AB =4，CD =9，∠C =60°，动点P 从点C 出发沿CD 方向向点D 运动，动点Q 同时以相同速度从点D 出发沿DA 方向向终点A 运动，其

中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动. （1）求AD 的长；

（2）设CP =x ，问当x 为何值时△PD Q 的面积达到最大，并求出最大值； （3）探究：在BC 边上是否存在点M 使得四边形PD Q M 是菱形若存在，请找出点

M ，并求出BM 的长；不存在，请说明理由.

4、已知矩形ABCD 和点P ，当点P 在BC 上任一位置（如图（1）所示）时，易证得结论：2222

PA PC PB PD +=+，

D A

B E F

C P

G

图1

D

C G P

A B E F

图2

请你探究：当点P分别在图（2）、图（3）中的位置时，2222

PA PB PC PD

、、和又有怎样的数量关系请你写出对上述两种情况的探究结论，并利用图（2）证明你的结论．

答：对图（2）的探究结论为____________________________________．

对图（3）的探究结论为_____________________________________．

5、如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．（1）直接写出点E、F的坐标；

（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴

．．．于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；

（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．

6、如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：

（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；

②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度α，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．

（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb (a≠b，k>0)，第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立若成立，以图5为例简要说明理由．

（3）在第(2)题图5中，连结DG、BE，且a=3，b=2，k=

1

2

，求22

BE DG

+的值．

7、正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PF⊥CD于点F。如图1，当点P与点O重合时，显然有DF＝CF．

⑴如图2，若点P在线段AO上（不与点A、O重合），PE⊥PB且PE交CD于点E。

①求证：DF＝EF；

②写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系，并证明你的结论；

⑵若点P 在线段OC 上（不与点O 、C 重合），PE ⊥PB 且PE 交直线CD 于点E 。请完成图3并判断⑴中的结论①、②是否分别成立若不成立，写出相应的结论（所写结论均不必证明）

8、将一矩形纸片OABC 放在平面直角坐标系中，(00)O ，，(60)A ，，(03)C ，．动点Q 从点O 出发以每秒1个单位

长的速度沿OC 向终点C 运动，运动2

3

秒时，动点P 从点A 出发以相等的速度沿AO 向终点O 运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点P 的运动时间为t （秒）．

（1）用含t 的代数式表示OP OQ ，；

（2）当1t =时，如图1，将OPQ △沿PQ 翻折，点O 恰好落在CB 边

上的

点D 处，求点D 的坐标；

9、（1）探究新知：如图1，已知△ABC 与△ABD 的面积相等， 试判断AB 与CD 的位置关系，并说明理由． （2）结论应用：

① 如图2，点M ，N 在反比例函数x

k

y =

（k ＞0）的图象上，过点M 作ME ⊥y 轴，过点N 作NF ⊥x 轴，垂足分别为E ，F ． 试证明：MN ∥EF ．

② 若①中的其他条件不变，只改变点M ，N 的位置如图3所示，请判断 MN 与EF 是否平行．

图1 图2

图

3 图1

图 3