量子力学习题解答-第5章
量子力学答案(第二版)苏汝铿第五章课后答案5.1-5#7
r r0 r r0
2 1 r2 3 Ze Ze 3 , ' H eV r r 2 r 2 r 0 0 r 0,
2
r r0 r r0
将其视为微扰。类氢离子中 1s 轨道电子波函数为
2
D
l 0 , m
2
l|m c o s | 0 / E 0
l E
由于
cos Y00
1 Y10 3
根据球谐函数的正交性可知，能量二级修正中只有 l 1, m 0 有贡献。
所以
E0 D 1 0 | c o s
2
2
| 00 E 0/ E
2
1
2
/ 2I ,
l 0,1, 2...
对确定的 l ， m 0, 1, 2,..., l ，即能级的简并度为 2l 1 。 定理：某能级 En 非简并时， H 和宇称算符 具有共同本征矢 n 。 因而，
n r n n r n n r n n r n
07QMEx5.1-5.3 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为 r0 ，电荷分布的小球，计算这种效应对类
5.1
氢原子基态能量的一级修正。 解： 由电磁学知球形电荷分布的静电势为
Ze 3 1 r 2 , r0 2 2 r02 V (r ) Ze , r
Z 1s R10Y00 a0
3/ 2
2e
Zr a0
1 4
2 Zr a0
1s 能级的一级修正为
E1s 1s H 1s
'
1
量子力学第五章习题
第五章 微扰理论5.1 如果类氢原子的核不是点电荷,而是半径为0r ,电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。
解: 这种分布只对0r r <的区域有影响, 对0r r ≥的区域无影响. 根据题意知()()0ˆHU r U r '=- 其中()0U r 是不考虑这种效应的势能分布, 即()2004ze U r rπε=-()U r 为考虑这种效应后的势能分布, 在0r r ≥的区域为()204ze U r rπε=-在0r r <的区域, ()U r 可由下式()r U r e Edr ∞=-⎰其中电场为()()30233000002014,443434Ze Ze r r r r r r r E Ze r r r ππεπεππε⎧=≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩则有:()()()()22320002222222000330000001443848r rr r rr U r e Edr e EdrZe Ze rdr dr r r Ze Ze Ze r r r r r r r r r πεπεπεπεπε∞∞=--=--=---=--≤⎰⎰⎰⎰因此有微扰哈密顿量为()()()()222200300031ˆ220s s Ze r Ze r r r r r H U r U r r r ⎧⎛⎫--+≤⎪ ⎪'=-=⎨⎝⎭⎪>⎩其中s e =类氢原子基态的一级波函数为()(321001000003202exp 2Zra R Y Z a Zr a Z ea ψ-==-⎫=⎪⎭按定态微扰论公式,基态的一级能量修正值为()()()00*00111110010032222222000000ˆ131sin 4422Zrr a s s E H Hd Ze Ze Z r d d e r dr a r r r ππψψτϕθθπ-''==⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰⎰00322222430000031422ZrZr Zr r r r a a a s Z Ze e r dr e r dr erdr a r r ---⎛⎫⎛⎫=---⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰ 完成上面的积分,需要作作三个形如0b m y y e dy -⎰的积分,用分部积分法,得00002220002222000000022112222Zr Zr r a a y Zr Zr a a a erdr ye dyZ a Zr a a a e e r Z a Z Z Z ----⎛⎫= ⎪⎝⎭⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪=-+-=-++⎢⎥⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎩⎭⎰⎰00002222332200000002322000000222222222222Zr Zr Zrr a a a y Zr a a a Zr Zr er dr y e dy e Z Z a a a a a a er r Z Z Z Z ----⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎢⎥==-++-⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎩⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰0000225440002500000000040002222224242412422424222Zr Zrr a a y Zr a a er dr y e dyZ a Zr Zr Zr Zr e Z a a a a a a a Z Z Z ---⎛⎫= ⎪⎝⎭⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎢⎥ ⎪=+--+++ ⎪ ⎪⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎩⎭⎛⎫⎛⎫⎛=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰0002325234000000025234432000000000023412424222233324222Zr a Zr a a a a r r r r e Z Z Z a a a a a a r r r r e Z Z Z Z Z Z --⎛⎫⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭我们可以计算11E ,0000003232122000010020025234432000000000032340203422222233312422222Zr a s Zr a Zr a a a a a Z E Ze e r r a r Z Z Z Z a a a a a a r r r r e r Z Z Z Z Z Z a e Z ---⎧⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪=--+++⎢⎥⎨ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎪⎣⎦⎩⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫-- ⎝00200022222000223230000022333332222Zr a ssa a r Z Z a a a Z Ze e Ze r Zr Z r r Z r a -⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎪++⎢⎥⎬⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎪⎣⎦⎭⎛⎫⎛⎫=-++--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭但是既然是近似计算,我们再适当地作一次近似.氢原子的半径约为13~10r cm -, 而80~10aa cm Z -=.所以有5213510821010~110r a r e e a ------=≈≈ 于是022223222212522001003333000004314311222232525rrs s s s s a s Ze Ze Ze r Ze Ze r r E er dr r Ze r a r r r a r r a -⎡⎤⎛⎫⎡⎤=--+=-++=⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎰这就是基态能量的一级修正.而准确到一级近似的能量为()()222222222000011113220024411252525s s s s Ze Ze r Ze r Z e Z r E EEa a a a a a ⎛⎫⎛⎫=+=-+=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5.2 转动惯量为I ，电偶极矩为D 的空间转子处在均匀电场E 中，如果电场较小，用微扰法求转子基态能量的一级修正。
量子力学答案(第二版)苏汝铿第五章课后答案5.16-5#7 @
批注 [JL3]: 对于固定初末态（即具有固定的 m 与 m ）的跃迁，不需要求和。
2 3
8
2 me10 3 c3 6
8
2 me10 3 c3 6
8
me10 28 me10 c3 6 37 c3 6
The transition coefficient is
...
氢原子的初态（k 态）的波函数是： 100 ，末态（ k ' 态）的波函数是 21m ： 1s 态
100
1
a3
1
e
r a
（1）
r
2s 态
200
211
r ( 2 )e 2 a 3 a 32a
r ( )e 2 a sin e i 8 a 3 a r ( )e 2 a sin e i 8 a 3 a r ( )e 2 a cos 32a 3 a
0
i
t
(ez ) k 'k (ez ) k 'k
t o
e
1 [ i ( ' k ) ]t
k
dt t
（7）
0
i
e
t [ i ( ' k ) t ]t
k
i (k ' k )
0
i [(k ' k ) ]
1 t 0
(ez ) k 'k
| r k 'k
|
2
|
x | | y | | z
量子力学复习题部分解答
s5如果算符、满足条件，求证：，，证] 利用条件，以左乘之得则有最后得。
再以左乘上式得，即则有最后得7<10分）求角动量z分量的本征值和本征函数。
解：波函数单值条件，要求当φ转过2π角回到原位时波函数值相等，即：求归一化系数最后，得Lz的本征函数910在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。
证：在一维势场中运动的粒子的定态S-方程为①将式中的代换，得②利用，得③比较①、③式可知，都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函数。
由于它们描写的是同一个状态，因此之间只能相差一个常数。
方程①、③可相互进行空间反演而得其对方，由①经反演，可得③，b5E2RGbCAP④由③再经反演，可得①，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。
⑤④乘⑤，得可见，当时，，具有偶宇称，当时，，具有奇宇称，当势场满足时，粒子的定态波函数具有确定的宇称11一粒子在一维势场中运动，求粒子的能级和对应的波函数。
解：无关，是定态问题。
其定态S—方程在各区域的具体形式为Ⅰ：①Ⅱ：②Ⅲ：③由于(1>、(3>方程中，由于，要等式成立，必须即粒子不能运动到势阱以外的地方去。
方程(2>可变为令，得其解为④根据波函数的标准条件确定系数A，B，由连续性条件，得⑤⑥⑤⑥∴由归一化条件得由可见E是量子化的。
对应于的归一化的定态波函数为12设t=0时，粒子的状态为求此时粒子的平均动量和平均动能。
解：可见，动量的可能值为动能的可能值为对应的几率应为上述的A为归一化常数，可由归一化条件，得∴∴动量的平均值为#13 一维运动粒子的状态是其中，求：(1>粒子动量的几率分布函数；(2>粒子的平均动量。
解：(1>先求归一化常数，由∴动量几率分布函数为(2>14在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为，如果粒子的状态由波函数描写，A为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的平均值。
解：由波函数的形式可知一维无限深势阱的分布如图示。
量子力学周世勋习题解答第五章
第五章习题解5.1 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。
解：这种分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响。
据题意知)()(ˆ0r U r U H -=' 其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布，即 rze r U 024πε-=）（)(r U 为考虑这种效应后的势能分布，在0r r ≥区域，rZe r U 024)(πε-=在0r r <区域，)(r U 可由下式得出， ⎰∞-=r Edr e r U )(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤=⋅⋅=)( 4 )( ,434410200300330420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε⎰⎰∞--=0)(r r rEdr e Edr e r U⎰⎰∞--=002023002144r r rdr r Ze rdr r Ze πεπε)3(84)(82203020*********r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(ˆ000222030020r r r r r Ze r r r Ze r U r U H πεπε由于0r 很小，所以)(2ˆˆ022)0(r U H H +∇-=<<'μ ，可视为一种微扰，由它引起的一级修正为（基态r a Ze a Z 02/1303)0(1)(-=πψ）⎰∞'=τψψd H E 111 ⎰-+--=0002202220302334]4)3(8[r r a Zdr r e r Ze r r r Ze a Z ππεπεπ ∴0a r <<，故102≈-r a Ze 。
∴ ⎰⎰+--=0302404220330024)1(1)3(2r r rdr a e Z dr r r r r a e Z Eπεπε2030024505030300242)5(2r a e Z r r r a e Z πεπε+--= 23002410r a e Z πε= 2032452r a e Z s = #5.2 转动惯量为I 、电偶极矩为D 的空间转子处在均匀电场在ε中，如果电场较小，用微扰法求转子基态能量的二级修正。
量子力学答案(第二版)苏汝铿第五章课后答案5.13-5#11
0
2 2 2 0 0 0 0 0 2 2 2
5.14 一根长度为 d 质量均匀分布的棒可绕其中心在一平面内转动，棒的质量为 M ，在棒的 两端分别有电荷＋Q 和－Q。 （i）写出体系的哈密顿量，本征函数和本征值； （ii）如果在转动平面内存在一电场强度为 的弱电场，准确到一级修正，他的本征函数和 能量如何变化？ （iii）如果这个电场很强，求基态的近似波函数和相应的能量值。 解： （i）该系统的哈密顿量为 H 式中 I
0
1
m1
n
n H' m Em 0 En 0
n H' m
1 2
2
dE cos e
0
i m n
d
1 1 dE 2 m n 1,0 m n 1,0 2 2 1 dE m n 1,0 m n 1,0 2
式中用了 k
0
0
0
取到 的一阶
B 0 C
0
的完备性
k
0 0
kLeabharlann k 1（ii）根据已给的条件
3 P2 1 H 0 i m 2 xi 2 , H ' x3 2 i 1 2m
可看出相应的 A
m
P3
2
, 它使 H ' i A, H 0 x3
计算 xi 在基态的平均值 xi
i 1, 2,3 至 的最低阶，并将这个结果和精确解相比较。
0
解： （i）设系统非微扰的本征态及对应的能量分别为 k 即 H0 k
0
, Ek 0
Ek 0 k
量子力学基础教程答案
量子力学基础教程答案【篇一：量子力学课后答案】class=txt>????? 第一章绪论第二章波函数和薛定谔方程第三章力学量的算符表示第四章态和力学量的表象第五章微扰理论第六章弹性散射第七章自旋和全同粒子?301.1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律：?mt?b,b?2.9?10m?c。
证明：由普朗克黑体辐射公式：8?h?31 ??d??d?， h3c ekt?1c c及??、d???2d?得?? 8?hc1?? ?5，hc?e?kt?1 d?hc令x?，再由??0，得?.所满足的超越方程为 ?d? ktxex 5?x e?1 hc x?4.97，即得用图解法求得?4.97，将数据代入求得?mt?b,b?2.9?10?3m?0c ?mkt1.2．在0k附近，钠的价电子能量约为3ev,求de broglie波长.0hh?10解：? ???7.09?10m?7.09a p2me # 3e?kt，求t?1k时氦原子的de broglie波长。
1.3. 氦原子的动能为 2h0hh?10??12.63?10m?12.63a 解：? ??p2me3mkt ?23?1其中m?4.003?1.66?10?27kg，k?1.38?10j?k # 1.4利用玻尔—索末菲量子化条件，求：（1）一维谐振子的能量。
（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。
绪论第一章b?10t，玻尔磁子?b?0.923?10?23j?t?1，求动能的量子化间隔?e，并与t?4k及已知外磁场t?100k 的热运动能量相比较。
p21解：（1）方法1：谐振子的能量e????2q2 2?2p2q2可以化为??1 22 ?2e?2e? ????2???2e 的平面运动，轨道为椭圆，两半轴分别为a?2?e,b?，相空间面积为 2 ??2?eepdq??ab???nh,n?0,1,2,? ?? e?nh?,n?0,1,2,? 所以，能量方法2：一维谐振子的运动方程为q????2q?0，其解为q?asin??t??? 速度为 q??a?cos??t???，动量为p??q??a??cos??t???，则相积分为 2222tta??a??t222pdq? a??cos??t???dt?(1?cos??t???)dt??nh，n?0,1,2,? 002222a??nh e???nh?，n?0,1,2,? 2t 2?v?v evb?（2）设磁场垂直于电子运动方向，受洛仑兹力作用作匀速圆周运动。
量子力学习题解答-第5章
第五章全同粒子本章主要内容概要1. 全同粒子：质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子称为全同粒子。
在一个量子体系中全同粒子是不可区分的，两全同粒子相互交换不会引起物理性质的改变（全同性原理）。
所有的微观粒子可以分为两类：波色子和费米子。
所有自旋为 整数倍的粒子称为波色子，而所有自旋为/2 奇数倍的粒子称为费米子。
由费米子组成的量子体系，不能有两个或两个以上的费米子处于同一个状态（泡利不相容原理），体系的波函数在交换任意两个费米子时是反对称的。
对由波色子组成的量子体系，则不受泡利不相容原理的限制，两个或两个以上的波色子可以处于同一个状态，体系的波函数在交换任意两个波色子时是对称的。
如果体系的波函数可以由归一化的单粒子波函数()i q αφ的积表示，其中i 表示不同的单粒子态，q α表示第α个粒子的量子数（包括空间与自旋），则由N 个费米子组成体系的反对称波函数可以用N 阶行列式表示为12121212()()()()()()(,,...,,...,)()()()i i i N j j j N A N k k k N q q q q q q q q q q q q q αφφφφφφΦ=交换任何两个粒子就是交换行列式中的两列，这使行列式改变符号，即波函数A Φ在交换两粒子时是反对称的。
当任两粒子处于相同状态，即行列式中两行相同，行列式为零，表示不能有两个或两个以上的费米子处于同一个状态。
对由N 个波色子组成的体系，体系的对称波函数可以表示为 1212(,,...,,...,)()()...()A N i j k N Pq q q q C P q q q αφφφΦ=∑其中P 表示N 个粒子在波函数中的某一种排列，P∑表示对所有可能排列求和，由于波色子可以处于相同的状态，,,...,i j k 可以相等，C 是归一化常数为求和的项数，,,...,i j k 完全相等时为1，全不相等时为1/2.交换力：以两粒子体系为例，若体系的波函数可以表示为空间部分和自旋部分之积，对称和反对称的空间波函数为121212(,)()()()()]a b b a x x x x x x ψψψψψ±=±这种波函数对称化的要求会使两粒子间出现一种力的作用，称为交换力。
曾谨言量子力学习题解答第五章
第五章： 对称性及守恒定律［１］证明力学量Aˆ（不显含t ）的平均值对时间的二次微商为： ]ˆ],ˆ,ˆ[[222H H A A dtd -= （H ˆ是哈密顿量） （解）根据力学量平均值的时间导数公式，若力学量Aˆ 不显含t ，有]ˆ,ˆ[1H A i dt A d= （１） 将前式对时间求导，将等号右方看成为另一力学量]ˆ,ˆ[1H A i的平均值，则有： ]ˆ],ˆ,ˆ[[1]ˆ],ˆ,ˆ[1[1222H H A H H A i i dt A d -== （２） 此式遍乘2即得待证式。
［２］证明，在不连续谱的能量本征态（束缚定态）下，不显含t 的物理量对时间t 的导数的平均值等于零。
（证明）设Aˆ是个不含t 的物理量，ψ是能量H ˆ的公立的本征态之一，求A ˆ在ψ态中的平均值，有：⎰⎰⎰=ττψψd AA ˆ* 将此平均值求时间导数，可得以下式（推导见课本§5.1）⎰⎰⎰-≡=ττψψd A H H A i H A i dt A d )ˆˆˆˆ(*1]ˆ,ˆ[1 （１） 今ψ代表Hˆ的本征态，故ψ满足本征方程式 ψψE H=ˆ （E 为本征值） （２） 又因为Hˆ是厄密算符，按定义有下式（ψ需要是束缚态，这样下述积公存在） τψψτψψτd AHd A H ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=)ˆ(*)ˆ()~(ˆ* （３）（题中说力学量导数的平均值，与平均值的导数指同一量）（２）（３）代入（１）得：τψψτψψd A H id H A i dt A d )ˆ(*)ˆ(1)ˆ(ˆ*1⎰⎰⎰⎰⎰⎰-= ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=τψψτψψd A iE d A i E ˆ**ˆ* 因*E E =，而0=dtAd［３］设粒子的哈密顿量为 )(2ˆˆ2r V p H +=μ。
（１） 证明V r p p r dtd ∀⋅-=⋅μ/)(2。
（２） 证明：对于定态 V r T ∀⋅=2（证明）（１）z y x p z p y p xp r ˆˆˆˆˆˆ++=⋅，运用力学量平均值导数公式，以及对易算符的公配律： ]ˆ,ˆˆ[1)ˆˆ(H p r i p rdt d⋅=⋅)],,(ˆ21,ˆˆˆˆˆˆ[]ˆ,ˆˆ[2z y x V pp z p y p x H p r z y x +++=⋅μ)],,()ˆˆˆ(21,ˆˆˆˆˆˆ[222z y x V p p p p z p y p xz y x z y x +++++=μ)],,(,[21],ˆˆˆˆˆˆ[222z y x V zp yp xp p p p p z p y p xz y x z y x z y x +++++++=μ（２） 分动量算符仅与一个座标有关，例如xi p x ∂∂= ，而不同座标的算符相对易，因此（２）式可简化成：]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[222z z y y x x p p z p p y p p x H p rμμμ++=⋅ )],,(,ˆˆˆˆˆˆ[z y x V p z p y p xz y x +++],ˆˆ[],ˆˆ[],ˆˆ[]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[21222V p z V p y V p xp p z p p y p p x z y x z z y y x x +++++=μμμ （３）前式是轮换对称式，其中对易算符可展开如下：x x x x p x pp x p p x ˆˆˆˆˆ]ˆ,ˆˆ[232-= x x x x x x p x p p x p p x p p xˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ2223-+-= x x x x x p p x p p p xˆ]ˆ,ˆ[ˆˆ]ˆ,ˆ[2+= 222ˆ2ˆˆx x x p i p i pi =+= （４） ],ˆ[ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ],ˆˆ[V p x p V x V p x p x V V p x V p xx x x x x x =-=-= xVx i ∂∂=ˆˆ （５） 将（４）（５）代入（３），得：}{)ˆˆˆ(]ˆ,ˆˆ[222zV z y V y x V x i p p p i H p r z y x ∂∂+∂∂+∂∂+++=⋅ μ}ˆ{2V r pi ∀⋅+=μ代入（１），证得题给公式：V r pp r dt d ∀⋅-=⋅ μ2ˆ)( （６） （２）在定态ψ之下求不显含时间t 的力学量A ˆ的平均值，按前述习题２的结论，其 结果是零，令p r Aˆˆˆ ⋅= 则0)ˆˆ(*2=∀⋅-=⋅=⋅⎰⎰⎰V r p d p r p r dt d τμτψψ （７）但动能平均值 μτψμψτ22ˆ*22p d p T =≡⎰⎰⎰由前式 V r T ∀⋅⋅=21［４］设粒子的势场),,(z y x V 是z y x ,,的n 次齐次式证明维里定理（Ｖirial theorem ） T V n 2= 式中Ｖ是势能，Ｔ是动能，并应用于特例：（１）谐振子 T V = （２）库仑场 T V 2-=（３）T V n Cr V n2,==（解）先证明维里定理：假设粒子所在的势场是直角坐标),,(z y x 的n 次齐次式，则不论n 是正、负数，势场用直角痤标表示的函数，可以表示为以下形式，式中Ｖ假定是有理函数（若是无理式，也可展开成级数）：∑=ijkkj i ijk z y x C z y x V ),,( （１）此处的k j i ,,暂设是正或负的整数，它们满足：n k j i =++ （定数）ijk C 是展开式系数，该求和式可设为有限项，即多项式。
量子力学答案(第二版)苏汝铿第五章课后答案5.4-5#3
b2 (0) E1(0) E2
b2 a (0) E2 E1(0)
(3) '
（ii）严格求解法： 这就是根据表象理论，分立表象中，本征方程可以书写成矩阵方程式形式，并可以求得本征 值和本征矢（用单列矩阵表示） 。 我们设算符 H（1）具有本征矢
C1 ，本征值是 ，列矩阵方程式： C2
E1(0) 解 : （i）取 H 0 0 0
'
0 E1(0) 0
0 0 (0) E2
（ 3）
0 a 0 0 b 则有： H H H 0 0 * * 0 b a
本题的微扰矩阵（3）是简并的波函数（零级）计算得来的，若像无简并微扰论那样计算二 级能量修正是可能的，但近似程度差，从（3）看出一级能量修正为零，准确到二级修正量 的能量本征值是：
1
, f n ,代入(1)式中,得
到与 En 相应的零级波函数的系数.从而给出零级波函数和能量本征值的一级修正,
0 0 n a n
En En En
0 1
考虑 的系数,讨论第 n 个能级.
2
当 m n 时,得到能级的二级修正 E
(5)
C1 C2 1
2
2
(6)
（5）式有 C1C2 非平凡解的条件是：
E1( 0) a b E
( 0) 2
b a
0
(0) ( E1( 0) a )( E 2 a ) b2 0 ( 0) (0) E ( 0) E 2 ( E1( 0) E 2 ) a 1 b2 2 2 2
0 0 1 2
量子力学习题解答
i
Et）*
*
(r)e
i
Et
（
(r)e
i
Et）]
2m
i [ (r) *(r) *(r) (r)]
2m
可见
J与t
无关。
量子力学 盛忠志主讲
2.2 由下列定态波函数计算几率流密度：
(1) 1
1 e ikr r
(2) 2
1 e ikr r
从所得结果说明 1 表示向外传播的球面波，
2
表示向内(即向原点)
证：在一维势场中运动的粒子的定态 S-方程为
2 2m
d2 dx2
(x)
U
( x)
(x)
E
(x)
①
将式中的 x以(x) 代换，得
2 2m
d2 dx2
(x)
U
(x)
(x)
E
(x)
②
利用U (x) U (x) ，得
2 2m
d2 dx2
(x)
U (x)
(x)
E
(x)
③
量子力学 盛忠志主讲
比较①、③式可知， (x)和 (x) 都是描写在同一势场作用下的
d
8h 3 c3
1
h
d ，
ekT 1
及
c
、 d
c 2
d
得
8hc 5
1hc，ek Nhomakorabea 1令 x hc ，再由 d 0 ，得 .所满足的超越方程为
kT
d
5 xex ex 1
用图解法求得 x 4.97 ，即得 hc 4.97 ，将数据代入求得
m k T
mT b, b 2.9 10 3 m0 C
量子力学周世勋第二版课后习题解答第5章
5.1 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。
解：这种分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响。
据题意知)()(ˆ0r U r U H -=' 其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布，即 rze r U 024πε-=）（)(r U 为考虑这种效应后的势能分布，在0r r ≥区域，rZe r U 024)(πε-=在0r r <区域，)(r U 可由下式得出，⎰∞-=rE d rer U )( ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤=⋅⋅=)( 4 )( ,434410200300330420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε⎰⎰∞--=0)(r r rEdr e Edr er U⎰⎰∞--=002023002144r r rdr r Ze rdr r Ze πεπε)3(84)(82203020*********r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(ˆ000222030020r r r r r Ze r r r Ze r U r U H πεπε由于0r 很小，所以)(2ˆˆ022)0(r U H H+∇-=<<'μ，可视为一种微扰，由它引起的一级修正为（基态r a Ze a Z 02/1303)0(1)(-=πψ） ⎰∞'=τψψd H E )0(1*)0(1)1(1ˆ ⎰-+--=0002202220302334]4)3(8[r r a Zdr r e r Ze r r r Ze a Z ππεπεπ ∴0a r <<，故102≈-r a Ze 。
∴ ⎰⎰+--=0302404220330024)1(1)3(2r r r d ra e Z dr r r r r a e Z Eπεπε2030024505030300242)5(2r a e Z r r r a e Z πεπε+--= 23002410r a e Z πε= 2032452r a e Z s = 5.2 转动惯量为I 、电偶极矩为D 的空间转子处在均匀电场在ε中，如果电场较小，用微扰法求转子基态能量的二级修正。
《量子力学教程》_课后答案
(n 1, 2, 3,)
∴ 2 ( x) A sin
n x a
由归一化条件
得
( x) dx 1
2
A2
a
2 sin
0
n xdx 1 a
由
a
b
sin
m n a x sin xdx mn a a 2
14
A
2 a 2 n sin x a a
2 ( x)
23
2
23
T 100 K 时， E 1.381021 J 。
7
1.5 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两个光子的能量相等，问要实现这种转化，光子 波长最大是多少？ 解：转化条件为 h ec 2 ，其中 e 为电子的静止质量，而
c h ，所以 ，即有 ec
A2 2 T A2 2T pdq A 0 cos t dt 2 0 (1 cost )dt 2 nh ， n 0,1,2,
2 2 T 2
A2 2 nh E nh ， n 0,1,2, 2 T
6
v 2 v （2）设磁场垂直于电子运动方向，受洛仑兹力作用作匀速圆周运动。由 evB ，得 R eB R
其解为
2 ( x) A sin kx B coskx
④
13
根据波函数的标准条件确定系数 A，B，由连续性条件，得
2 (0) 1 (0)
2 ( a ) 3 ( a)
⑤ ⑥ ⑥
⑤
B0 A sin ka 0
A0 s i n ka 0 ka n
max
0 h 6.626 1034 c 0.024A （电子的康普顿波长）。 31 8 e c 9.1 10 3 10
量子力学习题解答-周世勋
周世勋《量子力学教程》习题解答第一章 习题解答1．由黑体辐射公式导出维恩位移律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即b T m =λ（常数）。
并近似计算b 的数值，准确到两位有效数字。
解：由能量密度的公式：185-⋅=λλλλπλρkT hc ed hcd则由0=λρλd d 解得m λ： 2256181185⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-⋅--⋅⋅-=λλλλλλπλπλρkT hc kT hckT hc e e kT hc hce hc d d 0511186=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⋅=λλλλλπkT hc kT hckT hc e ekT hc e hc 即 051=--λλλkT hckT hce e kT hc 令x kT hcm=λ，则 051=--x xe xe 解得 97.4=x所以 )(29.097.41038.110999.210626.6161027K cm kx hc T m ⋅=⨯⨯⨯⨯⨯==--λ 2．在K 0附近，钠的价电子能量约为eV 3，求其德布罗意波长。
解：01019303409.7)(1009.7106.131091.0210626.62A m mE h P h K=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯===----λ3．氦原子的动能是kT E 23=（k 为玻尔兹曼常数），求K T 1=时，氦原子的德布罗意波长。
解：氦原子的动能)(1007.211038.1232323J E --⨯=⨯⨯⨯=，氦原子的质量kg kg M 27271068.61067.14--⨯=⨯⨯=，所以102327346.12)(106.121007.21068.6210626.62A m mEh =⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==----λ4．利用玻尔——索末菲量子化条件，求 （1）一维谐振子的能量；（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。
已知外磁场T H 10=，玻尔磁子T J M B /10924-⨯=，试计算动能的量子化间隔E ∆，并与K T 4=及K T 100=的热运动能量相比较。
量子力学练习1～5+解答
2
e 2 x dx A
2 2
2
1 2
其中利用
2 x2 1/ 2 e dx ，由此可得 A＝
1
1/ 4
8．已知做直线运动的粒子处于状态 x
1 1 ix
（1）将 x 归一化； （2）求出粒子坐标取值几率为最大处的位置和最大几率密度。 解： （1）令 x
在 x 0 区域，既存在入射波又存在反射波，故波函数取为
1 x Aei x Be i x
在 x 0 区域，只存在透射波，故波函数取为
－V0 设粒子（能 量 E>0 ） 从 左入射，碰 到 下 列 势 阱，求阱壁 处的反射系 数。
2 x Ce
ikx
j B 反射系数 R r ji A
d2 2mE 2 x 2 2 x 0 2 2 2 dx 2m V0 E d2 3 x 2 3 x 0 2 2 dx 2
b x b
bxa
d2 2mE 4 x 2 4 x 0 2 2 2 dx
由上可知几率密度为常数，而几率流密度沿 方向，与 r， 有关，因此此粒子绕 z 轴作圆周运动，但几率流密度是量子化的 （2） 几率密度： r , t
2
*
1 1 exp ikr exp ikr 2 2 r r
几率流密度：
* exp ikr
*
1 1 1 1 exp in er e e exp in r r sin 2 2 r 1 1 1 in exp in e exp in e r sin 2 2 2 r sin n * 故 j Im e m 2 mr sin
曾谨严量子力学习题解答5
= − nx − iny 1+ nz
2
归一化本征函数为
φ−1
(θ
,ϕ
)
=
⎡ ⎢ ⎢ ⎢⎢⎣−
sin θ 2
θ cos
eiϕ
2
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
或
⎡⎢⎢⎢⎢⎣−sicnoθs2θ2e
−iϕ /
eiϕ
2 /2
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
⑻
或
φ1(nr) =
或
1 ⎡ 1+ nz ⎤
2 (1 +
nz
)
⎢⎣nx
+
iny
⑷
由⑶、⑷可解得: a = −b = 1 2
所以 σ x的本征态为:
ψ− =
1 ⎛1⎞
2
⎜ ⎝
−1⎟⎠
5.《曾 p.442-练习2》
在σ z 表象中,求 σr ⋅ nr 的本征态,nr (sinθ cosϕ,sinθ sinϕ, cosθ ) 是 (θ ,ϕ )方向的单位
矢量.
解:在σ z 表象中, pauli 算符σ 的矩阵表示为
σx
=
⎡0 ⎢⎣1
1⎤ 0⎥⎦
,
σ
y
=
⎡0 ⎢⎣ i
−i⎤ 0 ⎥⎦ ,
σz
=
⎡1 ⎢⎣0
0⎤ −1⎥⎦
⑴
因此
σn
= σr
⋅ nr
= σ xnx
+σ
yny
+ σ znz
=
⎡
⎢ ⎣
nx
nz + iny
nx − iny ⎤
−nz
⎥ ⎦
=
⎡ cosθ ⎢⎣sinθ eiϕ
量子力学导论第5章答案
量子力学导论第5章答案第五章力学量随时间的变化与对称性5.1）设力学量不显含，为本体系的Hamilton量，证明证.若力学量不显含，则有,令则,5.2）设力学量不显含，证明束缚定态，证：束缚定态为:：。
在束缚定态，有。
其复共轭为。
5.3）表示沿方向平移距离算符.证明下列形式波函数（Bloch波函数）,是的本征态，相应的本征值为证：,证毕。
5.4）设表示的本征态（本征值为），证明是角动量沿空间方向的分量的本征态。
证：算符相当于将体系绕轴转角，算符相当于将体系绕轴转角，原为的本征态，本征值为，经过两次转动，固定于体系的坐标系（即随体系一起转动的坐标系）的轴（开始时和实验室轴重合）已转到实验室坐标系的方向，即方向，变成了，即变成了的本征态。
本征值是状态的物理属性，不受坐标变换的影响，故仍为。
（还有解法二，参钱..《剖析》.P327）5.5）设Hamilton量。
证明下列求和规则。
是的一个分量，是对一切定态求和，是相应于态的能量本征值。
证：（）又。
不难得出，对于分量，亦有同样的结论，证毕。
5.6）设为厄米算符，证明能量表象中求和规则为（1）证：式（1）左端（2）计算中用到了公式。
由于是厄米算符，有下列算符关系：（3）式（2）取共轭，得到（4）结合式（2）和（4），得证毕。
5.7）证明schrödinger方程变换在Galileo变换下的不变性，即设惯性参照系的速度相对于惯性参照系运动（沿轴方向），空间任何一点两个参照系中的坐标满足下列关系：。
（1）势能在两个参照系中的表示式有下列关系（2）证明schrödinger方程在参照系中表为在参照系中表为其中证：由波函数的统计解释，和的意义完全相同。
，是时刻在点找到粒子的几率密度；，是时刻在点找到粒子的几率密度。
但是在给定时刻，给定地点发现粒子的几率应与参照系的选择无关，所以相应的几率应相等，即（6）从（1）式有（6’）由此可以得出，和两个波函数彼此只应差绝对值为1的相因子，所以（7）（7）由（1）式，，（3）式变为：（8）将（7’）代入（8）式，可得（9）选择适当的，使得（9）（4）。
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第五章
全同粒子
本章主要内容概要
1. 全同粒子：质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子称为全同粒子。
在一个量子体系中全同粒子是不可区分的，两全同粒子相互交换不会引起物理性质的改变（全同性原理）。
所有的微观粒子可以分为两类：波色子和费米子。
所有自旋为 整数倍的粒子称为波色子，而所有自旋为/2 奇数倍的粒子称为费米子。
由费米子组成的量子体系，不能有两个或两个以上的费米子处于同一个状态（泡利不相容原理），体系的波函数在交换任意两个费米子时是反对称的。
对由波色子组成的量子体系，则不受泡利不相容原理的限制，两个或两个以上的波色子可以处于同一个状态，体系的波函数在交换任意两个波色子时是对称的。
如果体系的波函数可以由归一化的单粒子波函数()i q αφ的积表示，其中i 表示不同的单粒子态，q α表示第α个粒子的量子数（包括空间与自旋），则由N 个费米子组成体系的反对称波函数可以用N 阶行列式表示为
12121212()
()()()()()(,,...,,...,)()()()
i i i N j j j N A N k k k N q q q q q q q q q q q q q αφφφφφφΦ=
交换任何两个粒子就是交换行列式中的两列，这使行列式改变符号，即波函数A Φ在交换两粒子时是反对称的。
当任两粒子处于相同状态，即行列式中两行相同，行列式为零，表示不能有两个或两个以上的费米子处于同一个状态。
对由N 个波色子组成的体系，体系的对称波函数可以表示为 1212(,,...,,...,)()()...()A N i j k N P
q q q q C P q q q αφφφΦ=∑
其中P 表示N 个粒子在波函数中的某一种排列，P
∑表示对所有可能排列求和，由于波色
子可以处于相同的状态，,,...,i j k 可以相等，C 是归一化常数为求和的项数，,,...,i j k 完全相等时为1
，全不相等时为1/
2.交换力：以两粒子体系为例，若体系的波函数可以表示为空间部分和自旋部分之积，对称和反对称的空间波函数为
121212(,)()()()()]a b b a x x x x x x ψψψψψ±=±
这种波函数对称化的要求会使两粒子间出现一种力的作用，称为交换力。
对对称空间波函数这个力是吸引力，倾向于把两粒子拉近；对反对称空间波函数，这个力是排斥力，倾向于让两粒子相互远离。
固体中属于不同原子的两个电子组成的共价键可以由这种力解释，两电子体系的波函数是反对称的，当两个电子的自旋波函数为反对称的自旋单态时，空间波函数必是对称的，所以这种状态下的两个电子倾向于相互靠近，形成共价键。
3. 元素周期表：原子中一个单粒子态(),,n l m 称之为轨道，因为电子是费米子，受到泡利不相容原理的制约，一个轨道上只能有两个电子（一个自旋向上，一个自旋向下）。
当原子处于基态时，电子将从最低能态开始依据洪特定则依次填充。
1n =这个壳层能容纳两个电子，2n =壳层能容纳8个，3n =容纳18个，第n 个壳层可以容纳2
2n 个电子。
（洪特第一定则：在其它量都相同时，总自旋（S ）取最大值的状态的能量最低。
第二定则：当
自旋给定时，总轨道角量子数（L ）取最大值且同整体的反对称性一致时，将具有最低的能量。
第三定则：如果次壳层（n ，l ）填充不到一半，则能量最低态满足：J=L-S ；如果填充超过一半，则J=L+S 态能量最低。
）一般以
21
S J L +表示原子电子组态，其中S 为电子总自
旋角动量，L 为总轨道角动量，J 为总角动量量子数。
习题5.7 解：（a ）可分辨粒子
()()()()123123,,a b c x x x x x x ψψψψ=
（b ）全同玻色子
(
)()()()()()()()()()()()()()()()()()()123123123123123123123,,a b c a c b b a c b c a c b a c a b x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ψψψψψψψψψψψψψψψψψψψ=+++++⎤⎦
（c ）全同费米子
()()()()
()()()()()(
)
()()()()()()()()()()()()()()()()()()111123222333123123123123123123,,a b c a b c a b c a b c a c b b a c b c a c b a c a b x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψ=
=
--+-+⎤⎦
习题5.33 解：
（a ）对于可分辨例子，三个粒子都可以处于任意一个态，所以总共会有3327=个可能三粒
子态。
列出如下：
（b ）当粒子为全同玻色子时，要求波函数满足交换对称性，共10个可能态。
三个粒子处于相同粒子态：3个
123()()()a a a x x x ψψψ 123()()()b b b x x x ψψψ 123()()()
c c c x x x ψψψ 三个粒子处于两个粒子态：6个
1231231231
()()()()()()()()())a a b a b a b a a x x x x x x x x x ψψψ+ψψψ+ψψψ
123123123()()()()()()()()())a a c a c a c a a x x x x x x x x x ψψψ+ψψψ+ψψψ
1231231231
()()()()()()()()())b b a b a b a b b x x x x x x x x x ψψψ+ψψψ+ψψψ
123123123()()()()()()()()())b b c b c b c b b x x x x x x x x x ψψψ+ψψψ+ψψψ
1231231231
()()()()()()()()())c c a c a c a c c x x x x x x x x x ψψψ+ψψψ+ψψψ
123123123()()()()()()()()())c c b c b c b c c x x x x x x x x x ψψψ+ψψψ+ψψψ 三个粒子处于三个不同粒子态：1个
123123123123123123()()()()()()()()()
()()()()()()()()())
a b c a c b b a c b c a c a b c b a x x x x x x x x x x x x x x x x x x ψψψ+ψψψ+ψψψ+ψψψ+ψψψ+ψψψ
（c ）当粒子为全同费米子时，要求波函数满足完全反对称性，每个费米子必须处在互不相同的态上，只有1种可能态
]111222123123333
1231231231
23
()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()a b c a b c a b c a c b a b c b a c b c a c a b c b a x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ψψψψ=ψψψ-ψψψψψ-ψψψ+ψψψ+ψψψ-ψψψ。