人教版初三数学竞赛及答案

初中数学竞赛一、 填空题(1~5题每小题6分，6~10题每小题8分，共70分）1. 在2002当中嵌入一个数码组成五位数2002，若这五位数能被7整除，则嵌入的数码“”是________________。

【解析】 2或9 设“”中数字为a ，那么五位数2002的数值为210000100220002100a a ⨯+⨯+=+⨯，因为2002除以7的余数为3，所以，要使得五位数2002能被7整除，那么100a ⨯除以7的余数必须为4，而0，100，200，300，，900中，被7除余数为4的只有200和900，即2a =或者9，所以，嵌入的数码“”是2或92. 若实数a 满足32a a a <<，则不等式1x a ax +>-解为_____________。

【解析】 11ax a-<+ 已知32a a a <<，即232(1)0(1)0a a a a a a a a ⎧-=-<⎪⎨-=-<⎪⎩ （1） 如果0a >，上不等式组等价于201010a a a ⎧>⎪-<⎨⎪-<⎩即，0111a a a >⎧⎪>⎨⎪-<<⎩，这是一个矛盾不等式组，所以这种情况应舍去。

（2） 如果0a <，上不等式组等价于201010a a a ⎧<⎪->⎨⎪->⎩，即0111a a a a <⎧⎪<⎨⎪<->⎩或者，解得1a <-，此时，不等式1x a ax +>-等价于(1)1a x a +>-，因为1a <-，即10a +<，那么(1)1a x a +>-等价于11a x a -<+，所以，原不等式的解为11ax a-<+。

3. 如图，一张矩形纸片沿BC 折叠，顶点A 落在点'A 处，第二次过'A 再折叠，使折痕DE BC 若2AB =.3AC =,则梯形BDEC 的面积为______________。

【解析】 9EC A'DB A由纸片的折叠方式知，'A BC ABC ∆≅∆，所以，过A 点到BC 的高等于过'A 点到BC 的高，即ABC ∆中BC 上的高与ADE ∆中DE 上的高的比例为1:2=，又因为DE BC 所以ABCADE ∆∆，由相似三角形的性质得ABC ∆的面积：ADE ∆的面积21124⎛⎫== ⎪⎝⎭，从而，梯形BDEC 的面积为ABC ∆的面积的3倍，已知2AB =，3AC =，所以，ABC ∆的面积为12332⨯⨯=从而梯形BDEC 的面积为339⨯=。

4. 已知关于正整数n 的二次式2(y n an n =+为实常数），若当且仅当5n =，y 最小值，则实数a 的取值范围是_________________.【解析】 119a -<<-5. 如图，在平面直角坐标系中有一个正方形ABCD ,它的4个顶点10,0A （）、(0,10)B 、(10,0)C -、(010)D -，，则该正方形内及边界上共有_____________【解析】 221已知(10,0)A 、(0,10)B ，所以，直线AB 的方程为10y x =-+在ABO ∆内，当一个点的横坐标为1时，如果这个点在直线AB 上，那么这个点的纵坐标为1109-+=，所以，只要横坐标为1，纵坐标大于等于0小于等于9的点都在ABO ∆的内部或者AB 边或者AO 边上，共10个点，显然这些点均符合题意。

同理，当一个点的横坐标为2 时，如果这个点在直线AB 上，那么这个点的纵坐标为2108-+=，所以，只要横坐标为2，纵坐标大于等于0小于等于8的点都在ABO ∆的内部或者AB 边或者AO 边上，共9个点，显然这些点均符合题意。

当一个点的横坐标为9时，如果这个点在直线AB 上，那么这个点的纵坐标为9101-+=，所以，只要横坐标为9，纵坐标大于等于0小于等于1的点都在ABO ∆的内部或者AB 边或者AO 边上，共2个点，显然这些点均符合题意。

当一个点的横坐标为10时，只有（10，0）点符合题意，所以，在ABO ∆内共有1098111555++++=⨯=个点符合题意，由正方形的对称性知，BOC ∆、DOC ∆、AOD ∆中各有55个点符合题意，显然，（0，0）点也符合题意。

综上，符合题意的点共有5541221⨯+=个。

6. 如图，P 为ABC ∆形内一点，点D 、E 、F 分别在BC 、CA 、AB 上，过A 、B 、C 分别作PD 、PE 、PF 的平行线，交对边或对边的延长线于点X 、Y 、Z 若14PD PA =，13PE BY =，则PFCZ=________________。

ZY ECF PDBXA【解析】5127. 若ABC ∆，且中线AD 、BE 的长分别为1和2，则中线CF 的长为____________________。

【解析】8. 计算：222222221299110050002200500010050009999005000k k k +++++=-+-+-+-+___________ 【解析】 999. 若正数x 、y 、z 满足()4xyz x y z ++=，则()()x y y z ++的最小可能值为______________。

【解析】 4因为x 、y 、0z >，则()()()x y y z xy yy xz yz x y z y yz ++=+++=+++， 令()x y z y a ++=，yz b =，则()()()x yy z xy yy xzyz x y z yyz a b ++=+++=+++=+，又因为22a b+≥===，所以a b +的最小值为4，即()()x y y z ++的最小值为4。

10. 若关于x13c =恰有两个不同的实数解，则实数a 的取值范围______。

【解析】 0a ≥或316a =-y =2y =，那么原方程等价于2110(1)23y y a +--=y =，所以，211023y y a +--=必有一个实数解，未完二、(16分)已知p 为质数，使二次方程222510x px p p -+--=的两根都是整数，求出p 的所以可能值。

【解析】 因为已知整系数二次方程有整数根，所以2244(51)4(51)p p p p ∆=---=+为完全平方，从而，51p +为完全平方，，令251p n +=，注意到2p ≥，故4n ≥，且n 为整数，于是5(1)(1)p n n =+-则1n +、1n -中至少有一个是5的倍数，即51n k =± (k 为正整数)，因此，25125101p k k +=±+，(52)p k k =±，由p 为质数，521k ±>，知1k =，3p =或7；当3p =时，已知方程变成2670x x --=，解得11x =-，27x =；当7p =时，已知方程变成214130x x -+=，解得11x =，213x =，所以3p =或7。

三、(16分)已知XYZ ∆是直角边长为l 的等腰直角三角形90Z ∠=（），它的3个顶点分别在等腰(90)Rt ABC C ∆∠=的三边上，求ABC ∆直角边长的最大可能值。

【解析】 (1)如图BX顶点Z 在斜边AB 上，取XY 的中点M ，选CM 、ZM 、CZ 并作边AB 上的高CN ，则12CZ CM MZ XY ≤+=CZ ≤，所以CN ≤，2CA =≤(2)如图顶点Z 在直角边(CA 或)CB 上，由对称性，不妨设Z 在CA 上，设CX x =，CZ y =，并过Y 作YH CA ⊥于H ，易证ZYH XZC ∆≅∆，得HZ CX x ==,HY CZ y ==，又显然AHY ∆为等腰三角形，则AH y =，设AC b =，则2y x b +=，则2x b y =-，在CXZ ∆中，由勾股定理有222(2)1y b y +-=，即225410y by b -+-=，因为y 为实数，则2221620(1)2040b b b ∆=--=-≥，b ≤，当b =时，5y =，5x =综合(1)、(2)知，b 四、(18分)平面上有7个点，他们之间可以连一些线段，使7点中的任意3点必存在2点有线段相连，问至少要连多少条线段？证明你的结论。

【解析】（1） 若7个点中，有一点孤立（即它不与其他点连线），则剩下6点每2点必须连线，此时至少要连15条。

（2） 若7个点中，有一点只与另一点连线，则剩下5点每2点必须连线，此时至少要连11条。

（3） 若每点至少引出3条线段，则至少要连732⨯条线段，由于线段数为整数，故此时至少要连11条。

（4） 若每点至少引出2条线段，且确有一点（记为A ）只引出2条线段AB 、AC ，则不与A 相连的4点每2点必须相连，要连4362⨯=条，由B 引出的线段至少有2条，即除BA 外还至少xB X有一条，因此，此时至少要连6219++=条，图中所给出的是连++=条线的情况。

6219综合（1）~（4）,至少要连9条线段，才能满足要求。