人教版初三数学竞赛及答案

初中数学竞赛

一、 填空题(1~5题每小题6分，6~10题每小题8分，共70分）

1. 在2002当中嵌入一个数码组成五位数2002，若这五位数能被7整除，则嵌

入的数码“”是________________。 【解析】 2或9 设

“”中数字为a ，那么五位数2002的数值为210000100220002100a a ⨯+⨯+=+⨯，因为2002除以7的余数为3，所以，要使得五位数2002能被7整除，那么100a ⨯除以7的余数必须为4，而0，100，200，300，，900中，被7除余数为4的只有200和900，即2a =或者9，所以，嵌入的数码“”是2或9

2. 若实数a 满足32a a a <<，则不等式1x a ax +>-解为_____________。 【解析】 11a

x a

-<

+ 已知3

2

a a a <<，即232

(1)0(1)0

a a a a a a a a ⎧-=-<⎪

⎨-=-<⎪⎩ （1） 如果0a >，上不等式组等价于201010a a a ⎧>⎪

-<⎨⎪-<⎩

即，0

111

a a a >⎧⎪>⎨⎪-<<⎩，这是一个矛盾

不等式组，所以这种情况应舍去。

（2） 如果0a <，上不等式组等价于201010a a a ⎧<⎪

->⎨⎪->⎩

，即0111

a a a a <⎧⎪<⎨⎪<->⎩或者，解得

1a <-，

此时，不等式1x a ax +>-等价于(1)1a x a +>-，因为1a <-，即10a +<，

那么(1)1a x a +>-等价于11a x a -<

+，所以，原不等式的解为11a

x a

-<+。 3. 如图，一张矩形纸片沿BC 折叠，顶点A 落在点'A 处，第二次过'A 再折叠，

使折痕DE BC 若2AB =.3AC =,则梯形BDEC 的面积为______________。

【解析】 9

E

C A'

D

B A

由纸片的折叠方式知，'A BC ABC ∆≅∆，所以，过A 点到BC 的高等于过'A 点到BC 的高，即ABC ∆中BC 上的高与ADE ∆中DE 上的高的比例为1:2=，又因为

DE BC 所以ABC

ADE ∆∆，

由相似三角形的性质得ABC ∆的面积：ADE ∆的面积2

11

24⎛⎫== ⎪⎝⎭，从而，梯形BDEC 的面积为ABC ∆的面积的3倍，已知2AB =，

3AC =，所以，ABC ∆的面积为1

2332

⨯⨯=从而梯形BDEC 的面积为339⨯=。

4. 已知关于正整数n 的二次式2(y n an n =+为实常数），若当且仅当5n =，y 最

小值，则实数a 的取值范围是_________________.

【解析】 119a -<<-

5. 如图，在平面直角坐标系中有一个正方形ABCD ,它的4个顶点10,0A （）

、(0,10)B 、(10,0)C -、(010)D -，，

则该正方形内及边界上共有_____________

【解析】 221

已知(10,0)A 、(0,10)B ，所以，直线AB 的方程为10y x =-+

在ABO ∆内，当一个点的横坐标为1时，如果这个点在直线AB 上，那么这个点的纵坐标为1109-+=，所以，只要横坐标为1，纵坐标大于等于0小于等于9的点都在ABO ∆的内部或者AB 边或者AO 边上，共10个点，显然这些点均符合题意。

同理，当一个点的横坐标为2 时，如果这个点在直线AB 上，那么这个点的纵坐标为2108-+=，所以，只要横坐标为2，纵坐标大于等于0小于等于8的点都在ABO ∆的内部或者AB 边或者AO 边上，共9个点，显然这些点均符合题意。

当一个点的横坐标为9时，如果这个点在直线AB 上，那么这个点的纵坐标为

9101-+=，

所以，只要横坐标为9，纵坐标大于等于0小于等于1的点都在ABO ∆的内部或者AB 边或者AO 边上，共2个点，显然这些点均符合题意。

当一个点的横坐标为10时，只有（10，0）

点符合题意，所以，在ABO ∆内共有1098111555++++=⨯=个点符合题意，由正方形的对称性知，BOC ∆、

DOC ∆、AOD ∆中各有55个点符合题意，显然，（0，0）

点也符合题意。 综上，符合题意的点共有5541221⨯+=个。

6. 如图，P 为ABC ∆形内一点，点D 、E 、F 分别在BC 、CA 、AB 上，过A 、

B 、

C 分别作P

D 、P

E 、P

F 的平行线，交对边或对边的延长线于点X 、Y 、

Z 若

14PD PA =，13PE BY =，则PF

CZ

=________________。Z

Y E

C

F P

D

B

X

A

【解析】

512

7. 若ABC ∆

，且中线AD 、BE 的长分别为1和2，则中线CF 的长为____________________。 【解析】

8. 计算：

22

2

2

2

22212991100500022005000

1005000

9999005000

k k k +++++=-+-+-+-+___________ 【解析】 99

9. 若正数x 、y 、z 满足()4xyz x y z ++=，则()()x y y z ++的最小可能值为______________。 【解析】 4

因为x 、y 、0z >，则()()()x y y z xy yy xz yz x y z y yz ++=+++=+++， 令()x y z y a ++=，

yz b =，则()()()x y

y z xy yy xz

yz x y z y

yz a b ++=+++=+++=+，又因为

22

a b

+≥===，所以a b +的最小值为4，即()()x y y z ++的最小值为4。