二次根式的乘除法-初中数学知识点
冀教版八年级数学 15.2 二次根式的乘除运算(学习、上课课件)
1
3 注意：将带分数转化为假分数.
(4)
× 2 × 1 .
2
2
5
1
×
2
1
2 ×
2
3
1 =
5
1
5
8
× × = 2.
2
2
5
感悟新知
知1－练
1-1.淇淇新买了一支点读笔，包装盒长6 5 cm，宽
125
15 cm，高
cm，这个包装盒的体积是
3
3.
_______cm
150
5
感悟新知
知1－练
1-2. [ 月考·秦皇岛] 若 12 与 3 a 的积为－ 1，则 a 的
将完全平方的因数(式)“开方”出来，再进行除法运算 .
当根号前含有因数时，根号前的因数与因数对应相除，根号
内的被开方数与被开方数对应相除，再把除得的结果相乘 .
感悟新知
知2－练
3-1. [ 期中·保定 ] 能与 7 ÷ 14相乘得 1 的是( B
A. 7 ÷ 14
B. 14 ÷ 7
C. 7 × 14
知识点 3 分母有理化
1. 分母有理化
知3－讲
将分母中含二次根式的式子化为分母中不含
二次根式的式子 . 像这样，把分母中的二次根式化去，叫
做分母有理化 .
感悟新知
知3－讲
2. 分母有理化的基本步骤
一移，即将分子、分母中能开得
尽方的因数(或因式)移到根号外面；
二乘，即将分子、分母同时乘分母的有理化因数(或因式)；
a－8
_________
.
a>8
解题秘方：紧扣“二次根式除法法则”成立的条
件求解 .
九年级数学二次根式知识点
九年级数学二次根式知识点（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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八年数学下二次根式加减乘除混合运算考点与讲解二次根式加减乘除混合运算考点与讲解
二次根式加减乘除混合运算考点与解析1．计算：．考点：二次根式的乘除法．专题：计算题．分析：按照•=，从左至右依次相乘即可．解答：解：，=2．点评：本题考查二次根式的乘法运算，比较简单，注意在运算时要细心．2．计算：﹣32+×+|﹣3|考点：二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值．分析：分别利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质化简求出即可．解答：解：﹣32+×+|﹣3|=﹣9+×+3﹣=﹣5﹣．点评：此题主要考查了二次根式的混合运算以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质等知识，正确化简各数是解题关键．3．计算：（﹣1）2015+sin30°+（2﹣）（2+）．考点：二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值．分析：运用﹣1的奇次方等于﹣1，30°角的正弦等于，结合平方差公式进行计算，即可解决问题．解答：解：原式=﹣1++4﹣3=．点评：该题主要考查了二次根式的混合运算、特殊角的三角函数值等知识点及其应用问题；牢固掌握特殊角的三角函数值、灵活运用二次根式的混合运算法则是正确进行代数运算的基础和关键．4．计算：．考点：二次根式的混合运算．专题：计算题．分析：先根据二次根式的乘除法法则得到原式=﹣+2，然后利用二次根式的性质化简后合并即可．解答：解：原式=﹣+2=4﹣+2=4+．点评：本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后进行二次根式的加减运算．5．计算：（1）sin60°﹣|﹣|﹣﹣（）﹣1（2）（1+）÷．考点：二次根式的混合运算；分式的混合运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：（1）根据特殊角的三角函数值、分母有理化和负整数指数幂的意义得到原式=﹣﹣﹣2，然后合并即可；（2）先把括号内合并和除法运算化为乘法运算，然后约分即可．解答：解：（1）原式=﹣﹣﹣2=﹣2；（2）原式=•=x．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了负整数指数幂和分式的混合运算．6．计算：（2015﹣π）0+|﹣2|+÷+（）﹣1．考点：二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．分析：首先根据零指数幂、负整数指数幂的运算方法，二次根式的除法的运算法则，以及绝对值的求法计算，然后根据加法交换律和结合律，求出算式（2015﹣π）0+|﹣2|+÷+（）﹣1的值是多少即可．解答：解：（2015﹣π）0+|﹣2|+÷+（）﹣1．=1+3=（1+2+3）=6+0=6点评：（1）此题主要考查了二次根式的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”．（2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）a0=1（a≠0）；（2）00≠1．（3）此题还考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）a﹣p=（a≠0，p为正整数）；（2）计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算；（3）当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．（4）此题还考查了绝对值的非负性和应用，要熟练掌握．7．化简：（1）（2）（3）．考点：二次根式的混合运算．专题：计算题．分析：（1）、（2）利用二次根式的性质把二次根式化为最简二次根式；（3）根据平方差公式计算．解答：解：（1）原式=4；（2）原式=；（3）原式=（﹣）（+）=3﹣2=1．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．8．计算：（1）（2）﹣5+6（3）×﹣（4）﹣π（精确到0.01）．考点：二次根式的混合运算．分析：（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（3）根据二次根式的乘法法则运算；（4）把≈1.414，π=3.142代入原式进行近似计算即可．解答：解：（1）原式=2+4﹣=5；（2）原式=4﹣+=3；（3）原式=﹣=20﹣3=17；（4）原式≈0.5+1.414﹣3.142≈﹣1.23．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．9．计算：﹣﹣（）2+|2﹣|．考点：二次根式的混合运算．专题：计算题．分析：先把各二次根式化为最简二次根式，再根据绝对值的意义去绝对值，然后合并即可．解答：解：原式=2﹣﹣2+2﹣=．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．10．计算：（）﹣1﹣|2﹣1|+．考点：二次根式的混合运算；负整数指数幂．专题：计算题．分析：根据负整数指数幂和分母有理化的意义得到原式3﹣2+1+，然后合并即可．解答：解：原式=3﹣（2﹣1）+=3﹣2+1+=4﹣．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了负整数指数幂．11．计算：+（﹣）+．考点：二次根式的混合运算．分析：先进行二次根式的化简和乘法运算，然后合并．解答：解：原式=+1+3﹣3+=4﹣．点评：本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是掌握二次根式的化简和乘法法则．12．计算：（）﹣2﹣+（﹣6）0﹣．考点：二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：根据零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值得到原式=4﹣4+1﹣，然后进行二次根式的除法运算后合并即可．解答：解：原式=4﹣4+1﹣=1﹣2=﹣1．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值．13．计算：（2﹣）2+﹣（）﹣1．考点：二次根式的混合运算；负整数指数幂．专题：计算题．分析：根据完全平方公式和负整数指数幂的意义得到原式=4﹣4+3﹣3，然后合并即可．解答：解：原式=4﹣4+3﹣3=1﹣．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了负整数指数幂．14．计算（1）（2）．考点：二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．分析：（1）先算负指数幂，0次幂和绝对值，再进一步合并即可；（2）先利用平方差公式和二次根式的性质化简，再进一步合并即可．解答：解：（1）原式=2﹣1+3=4；（2）原式=2﹣3+﹣2=﹣3．点评：此题考查二次根式的混合运算，正确掌握二次根式的性质化简以及乘法计算公式是解决问题的关键．15．（1）计算：4×÷﹣2sin30°﹣（）﹣1（2）化简：÷﹣．考点：二次根式的混合运算；分式的混合运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．分析：（1）分别进行二次根式的乘法运算、除法运算，特殊角的三角函数值，负整数指数幂等运算，然后合并；（2）根据分式的混合运算法则求解．解答：解：（1）原式=10÷﹣2×﹣2=10﹣1﹣2=7；（2）原式=•﹣=﹣=．点评：本题考查了二次根式的混合运算、特殊角的三角函数值、负整数指数幂等知识，掌握运算法则是解答本题的关键．16．计算：（1）+（﹣2013）0﹣（）﹣1+|﹣3|（2）÷﹣×+．考点：二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．专题：计算题．分析：（1）根据零指数幂和负整数指数幂的意义得到原式=3+1﹣2+3，然后进行加减运算；（2）根据二次根式的乘除法则运算．解答：解：（1）原式=3+1﹣2+3=5；（2）原式=﹣+2=4﹣+2=4+．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂和负整数指数幂．17．计算（1）÷+﹣3（2）（+）（﹣）．考点：二次根式的混合运算．专题：计算题．分析：（1）先进行二次根式的除法运算，再先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）利用平方差公式计算．解答：解：（1）原式=+2﹣3=0；（2）原式==a﹣2b．点评：本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．18．（1）（2）．考点：二次根式的混合运算．专题：计算题．分析：（1）先进行乘方和开方运算，再进行乘法运算，然后进行减法运算；（2）先去括号，然后合并即可．解答：解：（1）原式=4+4×（﹣）=4﹣3=1；（2）原式=2+2﹣=2+．点评：本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，在进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．19．计算题：（1）+﹣；（2）（1+）（﹣）﹣（2﹣1）2．考点：二次根式的混合运算．分析：（1）先进行二次根式的化简，然后合并；（2）先进行二次根式的乘法运算，然后合并．解答：解：（1）原式=3+﹣=4﹣；（2）原式=﹣+﹣3﹣13+4=4﹣2﹣13．点评：本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是掌握二次根式的乘法法则以及二次根式的化简．20．计算（1）+（3+）（2）（﹣）×2（3）先化简，再求值．（a+）﹣（﹣b），其中a=2，b=3．考点：二次根式的混合运算；二次根式的化简求值．专题：计算题．分析：（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）根据二次根式的乘法法则运算；（3）先把各二次根式化为最简二次根式得到原式=+2﹣+，然后合并后把a和b的代入即可．解答：解：（1）原式=3+3+2=8；（2）原式=2﹣2=4﹣；（3）原式=+2﹣+=+3当a=2，b=3时，原式=+3．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了二次根式的化简求值．。
16.2 二次根式的乘除
例 6 计算:(1)-2 15÷3 3×6 5;
(2)
3
·
2
÷
2
1
2
3
;(3)3 2 × -
1
8
15 ÷
1
2
2
.
5
分析(1)利用二次根式的乘除法则计算即可;(2)先根据二次根式
的除法法则计算括号里的,再计算即可;(3)先把乘除法混合运算转
化成乘法运算,再进行乘法运算即可.
22
教材新知精讲
(4)公式里的字母可以是具体的数,也可以是值为非负数的代数
式.
(5)当二次根式前面系数不为 1 时,可以类比单项式与单项式相
乘的法则,先把系数相乘,再把被开方数相乘,即
m ·
n =mn (a≥0,b≥0).
3
教材新知精讲
知识点一
知识点二
知识点三
例 1 计算:(1)
5
×
3
知识点四
知识点五
综合知识拓展
10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。17:50:0617:50:0617:509/12/2021 5:50:06 PM
教材新知精讲
综合知识拓展
11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。21.9.1217:50:0617:50Sep-2112-Sep-21
平方根的性质结合起来使用.商的算术平方根实质是二次根式除法
法则的逆用.
(5)利用商的算术平方根的性质,可以把被开方数的分母是开得尽
方的数的二次根式进行化简.
15
教材新知精讲
知识点一
知识点二
专题03二次根式的运算(知识点总结+例题讲解)-2021届中考数学一轮复习
2021年中考数学 专题03 二次根式的运算（知识点总结+例题讲解）一、数的乘方与开方：1.数的乘方：（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（2）正数的任何次幂都是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；2.数的开方：（1）平方根：如果一个数x 的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方根）； 即：若x 2=a ，则x 叫做a 的平方根；①正数有两个平方根（互为相反数）；②负数没有平方根；③0的平方根是0；（2）算术平方根：正数的正的平方根叫做算术平方根；记作“a ”。
（3）若a b =3，则b 叫做a 的立方根；①一个正数有一个正的立方根；②一个负数有一个负的立方根；③0的立方根是0；【例题1】(2020•青海)(-3+8)的相反数是 ；的平方根是 ．【答案】-5；±2【解析】解：-3+8=5，5的相反数是-54，4的平方根是±2．【变式练习1】4的算术平方根是 ，9的平方根是 ， －27的立方根是 。
【答案】2；±3，﹣3【解析】解：4的算术平方根是2，9的平方根是±3，﹣27的立方根是﹣3．【例题2】（2020•黄冈）计算38-= 。
【答案】-2 【解析】解：38-=-2.【变式练习2】若a=，则a 的值为( )A. 1B. 0C. 0或1D. 0或1或–1【答案】C=，∴a 为0或1；故选C 。
二、二次根式：1.二次根式的定义：形如a （a ≥0）的式子，叫做二次根式；（或是说，表示非负数的算术平方根的式子，叫做二次根式）2.二次根式有意义的条件：被开方数≥0；（被开方数大于或等于 0 ）3.二次根式的性质：（1）a （a ≥0）是非负数；（2）（a ）2=a （a ≥0）；（3）⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==），（），（），（00002a a a a a a a （4）非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积； 即：b a ab •=（a ≥0，b ≥0）；反之：ab b a =⨯；（5）非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根；即：b a b a =（a ≥0，b>0）；反之：b a ba =；【例题3】(2020•广东)x 的取值范围是( )A ．x ≠2B ．x ≥2C ．x ≤2D ．x ≠-2【答案】B∴2x-4≥0，解得：x ≥2，∴x 的取值范围是：x ≥2；故选：B 。
11.6 二次根式的乘除法(同步课件)-八年级数学上册同步精品课堂(北京版)
3
24
(2)
6
24
6
5
4 2
讲授新课
化简
1
， ,使分母中不含二次根式,并且被开方数中不含分母
2
1
解：
=
2
1
2
=
1×2
2×2
=
2
22
=
2
22
=
2
2
活动2 观察以上各题中，化简后的二次根式有什么特点?
2
2
5
7 2
x y
有如下两个特点：
(1)被开方数不含分母；
(2)被开方数中所有因数(或因式)的幂的指数都小于2．
知识点三 二次根式的除法
活动1 计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律?
1
2
3
2
4
= _______
，
3
9
4
16
5
= _______
，
25
6
36
7
= _______
，
49
猜想
2
4
= _______
；
3
9
4
16
5
= _______
；
25
6
36
7
= _______
.
49
（a≥0，b＞0）
2
6
4
（2 2）
2 2 6
2 2
6
2
2 6
12.
讲授新课
练一练
1、计算：
(1) 18 2;
(2) 6a 3a ;
72
(3)
人教版八下数学课件-二次根式的乘除
A. 8 3 11
B. 5 2 10
C. 6 ( 2) 12
D. 7 2 14
3.计算： 5 10 8 __2_0_.
探究新知
【思考】你还记得单项式乘单项式法则吗？ 试回顾如何计算4a2·5a4= 20a6 .
探究新知
素养考点 2 因数不是1二次根式的乘法运算
解：（1）2 3 5 21
25 321 10 32 7 30 7
（2）3
3 （-
18 ） 4
（2） 3 3 （- 18 ）
4
3-14 3 18
3 32 6 4
3 3 6 9 6.
4
4
课堂检测 能力提升题
1.下面是意大利艺术家列奥纳多·达·芬奇所创作世界名画，若 长为 24 ，宽为 8 ，求出它的面积.
不成立！
- 4、- 9没有意义！
因此被开方数a，b需要满足什么条件？
a，b是非负数，即a≥0,b≥0
探究新知
二次根式的乘法法则是:
在本章中， 如果没有特 别说明，所 有的字母都 表示正数．
二次根式相乘，_根__指__数___不变，被__开__方__数__相乘.
语言表述： 算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根. 注意：a,b都必须是非负数.
A．x≥6
B．x≥0
C．0≤x≤6
D．x为一切实数
课堂检测
3. 计算：
基础巩固题
（1）3 15=__3__5__ （2） 6 12 =__6__2__
（3）3 2 2 =__2__6__
4. 比较下列两组数的大小（在横线上填“＞”
“＜” 或“=”）：
人教版八年级下册数学二次根式乘除知识点和对应练习
二次根式的乘除课堂导入计算：（1）4× 25与4× 25；（2）16× 9与16× 9.思考：对于2× 3与2× 3呢？从计算的结果我们发现2× 3＝2× 3，这是什么道理呢？一、知识梳理：1、二次根式的乘法；2、二次根式的除法；3、二次根式乘除的应用、考点分类考点一：二次根式的乘法法则a·b＝ab（a≥ 0，b≥0）【例1】式子x＋1·2－x＝（x＋1）（2－x）成立的条件是（）A．x≤2 B．x≥－1C．－1≤x≤2 D．－1< x<2x＋1≥ 0，解析：根据题意得解得－1≤ x≤ 2.故选C.2－x≥0，方法总结：运用二次根式的乘法法则：a· b＝ab（a≥0，b≥0），必须注意被开方数均是非负数这一条件．变式训练】等式x 1 x 1 x21 成立的条件是（）A ．x ≥1B ．x ≥-1C ．-1≤x ≤1D ．x ≥1或 x ≤-1解析： 有理式的乘法运算律及乘法公式对二次根式同样适用， 计算时注意最后结果要化 为最简形式．(3) 6 27×(－3 3) ＝－ 18 27×3＝－ 18 81＝－ 18×9＝－ 162；34·a2· 18ab·6a b ＝－ 23a · 36×3b 3＝－ 23a ·b63b＝－ 9a b3b.方法总结： 在运算过程中要注意根号前的因数是带分数时， 必须化成假分数， 如果被开 方数有能开得尽方的因数或因式，可先将二次根式化简后再相乘．变式训练】计算： （1） 2 5 ；（2） 3 12；（3）2 xy1考点二：二次根式的乘法的化简积的算术平方根的性质 ： ab ＝ a ·b （a ≥0， b ≥0） 【例 3】 化简：（1） （－ 36）× 16×（－ 9）； （2） 362＋482；（3） x 3＋6x 2y ＋9xy 2.解析： 主要运用公式 ab ＝ a · b （a ≥0，b ≥0）和 a 2＝ a （a ≥ 0）对二次根式进行化简． 解 ： （1） （－ 36）× 16×（－ 9） ＝ 36×16×9＝ 62× 42× 32＝ 62× 42× 32＝1196 2 4239例 2】 (1) 3× 5； 64； (3)6 27×(－ 3 3)；4) 288(5)1) 49 ( 144) ； (6) 46×4×3＝72；（2）362＋482＝（12×3）2＋（12×4）2＝122×（32＋42）＝122× 52＝12×5＝60；（3）x3＋6x2y＋9xy2＝x（x＋3y）2＝（x＋3y）2· x＝|x＋3y| x.方法总结：利用积的算术平方根的性质可以对二次根式进行化简．【变式训练】化简：（1）96x2y3z4（x 0,y 0）；（2）2.25a2b （a 0）；（3）x4x2y2（x>0）；（4）2323考点三：二次根式的乘法应用【例4】小明的爸爸做了一个长为588πcm，宽为48πcm的矩形木相框，还想做一个与它面积相等的圆形木相框，请你帮他计算一下这个圆的半径（结果保留根号）．解析：根据矩形的面积公式、圆的面积公式，构造等式进行计算．解：设圆的半径为r cm.因为矩形木相框的面积为588π× 48π＝168π（cm2），所以πr2＝168π，r＝2 42cm（r＝－2 42舍去）．答：这个圆的半径是2 42cm.方法总结：把实际问题转化为数学问题，列出相应的式子进行计算，体现了转化思想．考点四：二次根式的除法二次根式的除法法则：0,b 0分母有理化：把分母中的根号化去，就叫分母有理化，方法是分子分母都乘以分母的有理化因式，两个根式相乘后不再含有根式，这样的两个根式就叫互为有理化因式，如 3 的有理化因式就是 3， 8 的有理化因式可以是8 也可以是 2 ， a b 的有理化因式就是a b .例 5】 计算：解析： 本题主要运用二次根式的除法法则来进行计算， 若被开方数是分数， 则被开方数 相除时，可先用除以一个数等于乘这个数的倒数的方法进行计算，再进行约分．(2)－ 123÷ 554＝－132÷554＝－ 53×554＝－ 18＝－ 3 2；方法总结： 利用二次根式的除法法则进行计算时， 可以用 “ 除以一个不为零的数等于乘 这个数的倒数 ” 进行约分化简． 【变式训练】计算：考点五：二次根式除法的化简解： (1 )0.76 ＝ 0.76＝) 0.19 ＝ 0.19＝(3)(3) 62a ab b；(4) 5÷6a 2b 2abab商的算术平方根的性质：a aa 0,b 0bb例 6】若 2－a a ＝ 2－aa ，则 a 的取值范围是 （A ．a <2B ．a ≤2C ．0≤a <2D ．a ≥0a ≥0，解析： 根据题意得 解得 0≤ a <2.故选 C.2－a > 0，变式训练】1 x 1 x成立的条件是 （ ）．xx解析： 运用商的算术平方根的性质，用分子的算术平方根除以分母的算术平方根．方法总结： 被开方数中的带分数要化为假分数， 被开方数中的分母要化去， 即被开方数不含 分母，从而化为最简二次根式．考点六：最简二次根式1）被开方数不含分母； （ 2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．例 8】 在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？并说明理由．解析： 根据满足最简二次根式的两个条件判断即可．方法总结： 运用商的算术平方根的性质： 数且分母不等于零这一条件（a >0，b ≥0），必须注意被开方数是非负A ． x < 1 且 x ≠0B ． x >0 且 x ≠ 1C ．0<x ≤1D ．0<x < 1(2) 43a c4b 2(a >0，b > 0，c >0）．例 7】 化简：(3) 25； (4) 0.5；(5) 154.解： (1) 45＝3 5，被开方数含有开得尽方的因数，因此不是最简二次根式；(3) 25，被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，因此它是最简 二次根式； 因此不是最简二次根式；(5) 145＝ 95＝ 3 5 5，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式．方法总结： 解决此题的关键是掌握最简二次根式的定义， 最简二次根式必须满足两个条 件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式．变式训练】把下列式子化成最简二次二次根式3) 4y (4) 16ab 2c 3(b 0,c 0)例 9】座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期， 其中 T 表示周期(单位：秒)，l 表示摆长 (单位：米)，g ＝9.8米/秒2，假若一台座钟摆长为 0.5米，它每摆动一个来回发出一次滴答声， 那么在 1 分钟内， 该座钟大约发出了多少次滴答声( π≈ 3.14)?解析： 由给出的公式代入数据计算即可． 要先求出这个钟摆的周期， 然后利用时间除周 期得到次数．，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式1) 49 121 ( 2) 3005) 24 276) 18 20 75 7) 3243522，被开方数含有小数，其周期计算公式为方法总结： 解决本题的关键是正确运用公式． 用二次根式的除法进行运算， 解这类问题 时要注意代入数据的单位是否统一．变式训练】体积为 18 的长方体的宽为 1cm ，高为 =2 cm ，求这个长方体的长课后作业：2. 已知 x ， y 均为实数，且满足 =（ y -1 ） ，那么 x2013- y2013= _________3. y = 中实数 x 的取值范围是4. 已知 n 是一个正整数， 是整数，则 n 的最小值是 _______________________5. 有理数 m ，n 在数轴上的位置如图所示，那么化简 | m -n |-的结果是 __________6.. 已知长方形的宽是 3 ，它的面积是 18 ，则它的长是 _______________________7. 若 y = －2，则（x +y ）2=解： 滴答声．60T60≈42（次 ），∴在 1 分钟内，该座钟大约发出了 42 次1. 把二次根式 化成最简二次根式，则∵T ＝290..85≈1.42， 9.88.把根号外的因式移到根号内，结果为9.计算：×（a≥0）=10.若=2x-1 ，则x 的取值范围是9）(12)。
九年级数学二次根式乘除法1 优质课件
3 4a2b3 4 a2 b2 b 2ab b变 : 若(3)的条件为a 源自0, b 0呢 ?化简:
1 8 2 18 4 12 5 27 7 4a3 8 a5
3 50 6 20 9 27a3
4、计算：
(1) 1445 (3) 642 362
(1) abc与 a b c是否相等？ a、b、c有什么限制？
(2)化简：4a 4bc4
随堂练习
计算
(1) 2 6
(2) 12 3
(3) 1000 0.1
(4) 3 2 23
(5) 24 3
1 121 225 2 4 7
(3) 49121 (4) 225
反过来：
ab a b（a≥0，b≥0）
利用这个等式可以化简一些根式。
试一试：
a 4b ? a2 b
例题２ 化简：
（1） 12
解：(1)
（2） a3 （3） 4a 2b3
(a 0)
(a 0,b 0)
12 3 4 3 4 3 2 2 3
(2) a3 a2 a a2 a a a
二次根式的定义:
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式.
二次根式的性质:
a 0, a 0（. 双重非负性）
2 a a(a 0) a (a≥ 0)
a2 =∣a∣= -a (a≤0)
计算下列式子.并观察他们之间有什么联系?
(1) 4 25 = (2) 4 25
(3) 16 9 = (4) 16 9
求（x
1）
x2
3x x2 1
2的值.
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华东师大版九年级数学上册课件ppt《21.2二次根式的乘除-3.二次根式的除法》
也就是说我们应该先把带分数化成假分数!再运用商的算
术平方根的性质!
正确解法：
44 9
解：原式= 训练题：
40 9
总结：遇到被开方数是带 分数，化带分数为假分数
40 4 10 2 10
9
3
3
(1) 2 3 16
解：原式 35 35 35 16 16 4
(2) 1 15 49
共同点：一个根号变成两个根号。
区别：取值范围不同。
2、理解和记忆商的算术平方根要注意的问题
注意(1) 这里的被开方数是一个整式。（可以是多项式，也可以是单项式。）
(2) 注意被开方数的取值范围。
例1：计算
（1） 15 3
24 (2)
3
解 : (1) 15 15 5
3
3
(2) 24 24 8 2 2
可以开方的一定要开 方!化到最简!
遇到被开方数是 小数先化成分数
再化简!
0.25
1
4
1= 1
4
2
例4：化简 4
(1) 9 x 2
解：原式 4 2 9x2 3x
(2)
16b2c a2
解：原式 16b2c 4b c
a2
a
(3) 0.04 144 0.49 169
解：原式 0.04144 0.2 12 24 0.49169 0.7 13 91
a a a 0, b 0
b
b
请同学们用文字叙述该 等式的意义。
思考：等式中的a和 b有没有条件的限制？
a b
a a 0, b 0
b
商的算术平方根:
a a a 0, b 0
八年级数学下册课件(人教版)二次根式的乘除
例3 计算：(1) 14 7； (2) 3 5 2 10；
(3) 3 x 1 xy .
3
解：(1) 14 7 14 7 72 2 72 2 =7 2；
(2) 3 5 2 10 3 2 510 6 52 2
6 52 2 6 5 2 30 2;
(3) 3 x 1 xy 3x 1 xy x2 y
二次根式的乘除
第1课时
复习提问
1.什么叫二次根式？
形如 a (a≥ 0)的式子叫做二次根式 .
2.两个基本性质:
2 a =a (a≥ 0)
a2 =∣a∣ =
a (a≥ 0) －a (a＜0)
知识点 1 二次根式的乘法法则
探究 计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？
(1) 4 9 =_______, 4 9 =_______; (2) 16 25 =_______, 16 25 =_______;
1 下列各式计算正确的是( C )
A.
3 3 22
B.
8 2
2
C. 3 3 42
D. a a 9b 3b
2
若
1a a2
1a a
，则a 的取值范围是( D )
A．a≤0 B．a<0
C．a>0 D．0<a≤1
3 下列等式不一定成立的是( A )
A. a a ＝(b≠0) bb
B．a
3·a－5＝
(3) 2a 6a ；(4)
b 5
b 20a 2
.
解： (1) 3；
(2) 2 3;
(3) 3 ; 3
(4)2a.
2
a 3 a 3 成立的条件是( D )
a1 a1
中考数学总复习 第05讲 二次根式及其运算课件(考点精
考点2 二次根式的运算
【例2】 （1）（2012·黔东南州）下列等式一定成 立的是（ B ）
A. 9 4 5
B. 5 3 15
C. 9 3
D. 92 9
考点2 二次根式的运算
(2)计算： 24－ 23＋ 23－2
1 6
解 原式＝2 6－12 6＋13 6－13 6＝32 6.
(3)(2012·南通) 计算： 48÷ 3－ 21× 12＋ 24 解 原式＝ 16－ 6＋2 6＝4＋ 6.
求值问题“五招”
(1)巧用乘法公式；(2)巧用平方；(3)巧用配方； (4)巧用换元；(5)巧用倒数．
1.（2013·嘉兴）二次根式中 x 3 ，x的取值范围是 x≥3
2.（2011·杭州）下列各式中，正确的是（ B ）
A. 32 3
B. 32 3
C. 32 3
D. 32 3
3.（2012·金华）一个正方形的面积为15，估计它的边
(2)若几个非负数的和为零，则每一个非负数都等于零；
两个防范
(1)求 a2时，一定要注意确定 a 的大小，应注意利用等式 a2＝|a|，当问题中已知条件不能直接判定 a 的大小时就要分 类讨论；
(2)一般情况下，我们解题时，总会习惯地把重点放在探 求思路和计算结果上，而忽视了一些不太重要、不直接影响求 解过程的附加条件．要特别注意，问题中的条件没有主次之分， 都必须认真对待．
请完成考点跟踪突破
（3）（2012·安顺）计算 12 3 3 3 .
考点3 二次根式混合运算
【例 3】 计算：(1)(3 2－1)(1＋3 2)－(2 2－1)2； 解 原式＝(3 2)2－1－[(2 2)2－4 2＋1] ＝18－1－8＋4 2－1＝8＋4 2.
二次根式的性质与乘除运算核心考点讲与练八年级数学下学期考试满分全攻略
第02讲二次根式的性质与乘除运算(核心考点讲与练)一．二次根式的性质与化简（1）二次根式的基本性质：①≥0；a≥0（双重非负性）．②（）2＝a（a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．③＝|a|＝（算术平方根的意义）（2）二次根式的化简：①利用二次根式的基本性质进行化简；②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．＝•（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0）（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法1．常见题型：与分式的化简求值相结合．2．解题方法：（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．二．最简二次根式最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等．三．二次根式的乘除法（1）积的算术平方根性质：＝•（a≥0，b≥0）（2）二次根式的乘法法则：•＝（a≥0，b≥0）（3）商的算术平方根的性质：＝（a≥0，b＞0）（4）二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0）规律方法总结：在使用性质•＝（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此．四．分母有理化（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．例如：①＝＝；②＝＝．（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个二次根式的有理化因式不止一个．例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），这里的a可以是任意有理数．一．二次根式的性质与化简（共11小题）1．（2020春•拱墅区期末）＝（）A．﹣4B．±4C．4D．2【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：＝4，故选：C．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．2．（2021秋•海口期末）当x＜1时，＝1﹣x．【分析】利用二次根式的性质化简求出即可．【解答】解：∵x＜1，∴＝1﹣x．故答案为：1﹣x．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确把握二次根式的性质是解题关键．3．（2021秋•义乌市月考）下列各式计算正确的是（）A．B．C．D．【分析】直接利用二次根式的性质以及立方根的定义分别化简，进而判断得出答案．【解答】解：A.＝2，故此选项不合题意；B.＝﹣2，故此选项符合题意；C.＝4，故此选项不合题意；D.＝＝，故此选项不合题意；故选：B．【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及立方根的定义，正确化简二次根式是解题关键．4．（2020秋•长春期末）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简﹣．【分析】直接利用二次根式的性质以及实数与数轴分别化简得出答案．【解答】解：由数轴可得：1＜b＜2，则b﹣1＞0，a﹣b＜0，故原式＝b﹣1+a﹣b＝a﹣1．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简、实数与数轴，正确化简二次根式是解题关键．5．（2021•南湖区校级模拟）下列计算正确的是（）A．B．x2+x2＝2x4C．（x﹣y）2＝x2﹣y2D．（﹣2x2）3＝﹣8x6【分析】根据＝|a|判断A选项；根据合并同类项判断B选项；根据完全平方公式判断C选项；根据积的乘方和幂的乘方判断D选项．【解答】解：A选项，原式＝2，故该选项不符合题意；B选项，原式＝2x2，故该选项不符合题意；C选项，原式＝x2﹣2xy+y2，故该选项不符合题意；D选项，原式＝﹣8x6，故该选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了二次根式的性质，合并同类项，完全平方公式，积的乘方和幂的乘方，掌握＝|a|是解题的关键．6．（2021秋•拱墅区期中）下列计算正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据平方根的性质、立方根的性质以及绝对值的性质即可求出答案．【解答】解：A、原式＝0.3，故A不符合题意．B、原式＝＝，故B不符合题意．C、原式＝﹣3，故C符合题意．D、原式＝﹣5，故D不符合题意．故选：C．【点评】本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题是基础题型．7．（2021秋•余杭区期中）下列计算正确的是（）A．＝±B．＝C．±＝D．±＝±【分析】A：算数平方根的结果不可能出现负值；B：被开方数不能为负；C：正数平方根结果有两个；D：正确．【解答】解：A：原式＝，∴不符合题意；B：原式不成立，∴不符合题意；C：原式＝±，∴不符合题意；D：原式＝±，∴符合题意；故选：D．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简、平方根，掌握二次根式的基本性质，平方根与算数平方根的区别是解题关键．8．（2021秋•麦积区期末）计算：＝﹣1．【分析】判断1和的大小，根据二次根式的性质化简即可．【解答】解：∵1＜，∴1﹣＜0，∴＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．9．（2021秋•鄞州区期中）先阅读材料，再解决问题．；；；；…根据上面的规律，解决问题：（1）＝＝21；（2）求（用含n的代数式表示）．【分析】（1）观察各个等式中最左边的被开方数中各个幂的底数的和与最右边的结果的关系即可得到结论；（2）利用（1）发现的规律解答即可．【解答】解：∵中，1+2＝3，＝6中，1+2+3＝6，＝10中，1+2+3+4＝10，∴等式中最左边的被开方数中各个幂的底数的和＝右边的结果．∵1+2+3+4+5+6＝21，∴（1）＝＝21．故答案为：，21；（2）由（1）中发现的规律可得：＝＝1+2+3+•••+n＝．【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简，本题是规律型题目，发现数字间的变化的规律是解题的关键．10．先阅读下面的解题过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，即，，那么便有：．根据上述方法化简：（1）．（2）．【分析】（1）直接利用完全平方公式化简求出答案；（2）直接利用完全平方公式化简求出答案．【解答】解：（1）＝＝；（2）＝＝2+．【点评】此题主要考查了二次根式的化简，正确应用完全平方公式是解题关键．11．（2021春•永嘉县校级期末）阅读下面的解答过程，然后作答：有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数m和n，使m2+n2＝a且mn＝，则a+2可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得＝m+n，化简：例如：∵5+2＝3+2+2＝（）2+（）2+2＝（+）2．∴＝＝+．请你仿照上例将下列各式化简：（1）；（2）．【分析】（1）利用完全平方公式把4+2化为（1+）2，然后利用二次根式的性质化简即可．（2）利用完全平方公式把7﹣2化为（﹣）2然后利用二次根式的性质化简即可．【解答】解：（1）∵4+2＝1+3+2＝12++2＝（1+）2，∴＝＝1+；（2）＝＝＝﹣．【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是熟记掌握完全平方公式．二．最简二次根式（共5小题）12．（2021春•西湖区校级期末）下列根式是最简二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．【解答】解：A、＝＝3，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；B、是最简二次根式，符合题意；C、＝＝，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；D、＝，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查的是最简二次根式的判断，掌握被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式是解题的关键．13．（2021春•宁阳县期末）二次根式、、、、中，最简二次根式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．【解答】解：最简二次根式有，，共2个，故选：B．【点评】本考查了最简二次根式的定义，注意：最简二次根式具备两个条件：①被开方数的每一个因式都是整式，每个因数都是整数，②被开方数不含有能开得尽方的因式或因数．14．（2021春•建邺区校级期末）我们把形如（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如+1是型无理数，则是（）A．型无理数B．型无理数C．型无理数D．型无理数【分析】将代数式化简即可判断．【解答】解：（﹣）2＝3﹣2××+6＝9﹣2＝9﹣2×3＝9﹣6，故选：A．【点评】本题考查了最简二次根式，熟练将代数式化简是解题的关键．15．（2021秋•济南期末）将二次根式化为最简二次根式2．【分析】根据二次根式的乘法，可化简二次根式．【解答】解：，故答案为：2．【点评】本题考查了最简二次根式，利用了二次根式的乘法化简二次根式．16．（2021秋•法库县期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，进而分别判断得出答案．【解答】解：A、＝，故本选项不是最简二次根式，不符合题意；B、＝2，故本选项不是最简二次根式，不符合题意；C、是最简二次根式，故本选项符合题意；D、＝，故本选项不是最简二次根式，不符合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了最简二次根式，正确掌握最简二次根式的定义是解题关键．三．二次根式的乘除法（共11小题）17．（2021•宁波模拟）（）3的计算结果是（）A．3B．3C．9D．27【分析】根据二次根式的乘方法则计算，得到答案．【解答】解：（）3＝3，故选：A．【点评】本题考查的是二次根式的乘法，掌握二次根式的乘方法则是解题的关键．18．（2019秋•萧山区月考）计算：（）2×．【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．【解答】解：原式＝×2＝．【点评】此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．19．（2021春•江干区期末）下列计算中正确的是（）A．（﹣）2＝﹣3B．＝0.1C．＝1D．3＝【分析】根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案．【解答】解：A、原式＝3，故A不符合题意．B、原式＝＝，故B不符合题意．C、原式＝＝，故C不符合题意．D、原式＝3×＝，故D符合题意．故选：D．【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的乘除运算法则，本题属于基础题型．20．（2021•杭州三模）﹣×＝（）A．5B．25C．﹣5D．﹣25【分析】根据二次根式的乘法法则进行计算求解．【解答】解：﹣＝﹣5，故选：C．【点评】本题考查二次根式的乘法计算，掌握计算法则准确计算是解题关键．21．（2021春•永嘉县校级期中）若，则x的取值范围是（）A．x≥1B．x＞2C．1≤x＜2D．x≥1且x≠2【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案．【解答】解：由题意可知：，∴x＞2，故选：B．【点评】本题考查二次根式，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题题型．22．（2020秋•耒阳市期末）计算：4×2÷．【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案．【解答】解：原式＝8÷＝8×3＝24．【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确掌握运算法则是解题关键．23．（2019春•慈溪市期中）计算：（1）（2）【分析】（1）原式利用二次根式的乘除法则计算即可求出值；（2）原式利用二次根式的乘除法则计算即可求出值．【解答】解：（1）原式＝8＝8×3＝24；（2）原式＝2××＝．【点评】此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．24．（2021春•长兴县月考）阅读下列材料，解答后面的问题：在二次根式的学习中，我们不仅要关注二次根式本身的性质、运算，还要用到与分式、不等式相结合的一些运算．如：①要使二次根式有意义，则需a﹣2≥0，解得：a≥2；②化简：，则需计算1++，而1++＝＝＝＝＝，所以＝＝＝1+＝1+﹣．（1）根据二次根式的性质，要使＝成立，求a的取值范围；（2）利用①中的提示，请解答：如果b＝++1，求a+b的值；（3）利用②中的结论，计算：+++…+．【分析】（1）根据二次根式成立的条件求解即可；（2）根据二次根式成立的条件求出a，b的值，进而求解即可；（3）利用②中的结论求解即可．【解答】解：（1）由题意得，，∴﹣2≤a＜3；（2）由题意得，，∴a＝2，∴b＝++1＝0+0+1＝1，∴a+b＝2+1＝3；（3）原式＝（1+﹣）+（1+﹣）+⋯+（1+﹣）＝1×2020+1﹣＝2020．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简及规律型，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律．25．（2016春•抚顺县期中）小东在学习了后，认为也成立，因此他认为一个化简过程：＝＝是正确的．你认为他的化简对吗？说说理由．【分析】根据被开方数为非负数可得化简过程是错误的，然后进行二次根式的化简即可．【解答】解：错误，原因是被开方数应该为非负数．＝＝＝＝2．【点评】本题主要考查二次根式的除法法则运用的条件，注意被开方数应该为非负数．26．（2016秋•柯桥区校级月考）你能找出规律吗？（1）计算：×＝6，＝6．×＝20，＝20．（2）请按找到的规律计算：①×；②×．【分析】（1）直接利用二次根式乘法运算法则化简求出答案；（2）直接利用二次根式乘法运算法则化简求出答案．【解答】解：（1）×＝6，＝6.×＝4×5＝20，＝20．故答案为：6，6，20，20；（2）①×＝10；②×＝＝＝4．【点评】此题主要考查了二次根式乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．27．（2014春•巢湖市月考）已知x为奇数，且，求的值．【分析】本题要先根据已知的等式，求出x的取值范围，已知x为奇数，可求出x的值．然后将x 的值代入所求的式子中进行求解即可．【解答】解：∵，∴，解得6≤x＜9；又∵x为奇数，∴x＝7，∴＝+＝+＝8+2．【点评】本题主要考查了二次根式的乘除法，根据二次根式成立的条件得出x的取值范围，进而求出x的值是解答本题的关键．四．分母有理化（共9小题）1．（2020秋•会宁县期末）下列各数中与相乘结果为有理数的是（）A．B．C．2D．【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．【解答】解：A、（2﹣）×＝2﹣2，不合题意；B、×＝2，符合题意；C、2×＝2，不合题意；D、×＝，不合题意；故选：B．【点评】此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．2．（2021春•饶平县校级期中）已知：a＝，b＝，则a与b的关系是（）A．a﹣b＝0B．a+b＝0C．ab＝1D．a2＝b2【分析】先分母有理化求出a、b，再分别代入求出ab、a+b、a﹣b、a2、b2，求出每个式子的值，即可得出选项．【解答】解：分母有理化，可得a＝2+，b＝2﹣，∴a﹣b＝（2+）﹣（2﹣）＝2，故A选项错误；a+b＝（2+）+（2﹣）＝4，故B选项错误；ab＝（2+）×（2﹣）＝4﹣3＝1，故C选项正确；∵a2＝（2+）2＝4+4+3＝7+4，b2＝（2﹣）2＝4﹣4+3＝7﹣4，∴a2≠b2，故D选项错误；故选：C．【点评】本题考查了分母有理化的应用，能求出每个式子的值是解此题的关键．3．（2020春•长兴县期中）二次根式，，的大小关系是（）A．B．＜＜C．＜＜D．＜＜【分析】本题可先将各式分母有理化，然后再比较它们的大小．【解答】解：将三个二次根式化成同分母分数比较：∵＝，＝＝，；∴＜＜．故选：C．【点评】解答本题的关键是将各分式分母有理化，然后再比较它们的大小．在分母有理化的过程中，找出分母的有理化因式是解题的关键．4．（2021春•永嘉县校级期末）实数的整数部分a＝2，小数部分b＝．【分析】将已知式子分母有理化后，先估算出的大小即可得到已知式子的整数部分与小数部分．【解答】解：＝＝，∵4＜7＜9，∴2＜＜3，∴＜＜3，即实数的整数部分a＝2，则小数部分为﹣2＝．故答案为：2；．【点评】此题考查了分母有理化，以及估算无理数的大小，是一道中档题．5．（2021•武进区校级自主招生）已知：对于正整数n，有，若某个正整数k满足，则k＝8．【分析】读懂规律，按所得规律把左边所有的加数写成的形式，把互为相反数的项结合，可使运算简便．【解答】解：∵，∴+，即1﹣，∴，解得k＝8．故答案为：8．【点评】解答此题的关键是读懂题意，总结规律答题．6．（2021春•饶平县校级期末）与的关系是相等．【分析】把分母有理化，即分子、分母都乘以，化简再比较与的关系．【解答】解：∵＝，∴的关系是相等．【点评】正确理解分母有理化的概念是解决本题的关键．7．（2021春•思明区校级月考）计算：3﹣1+|1﹣|﹣．【分析】按照实数的运算法则、负整数指数幂计算方法、二次根式乘除法则计算即可；【解答】解：（1）原式＝+﹣＝+2﹣2＝．8．（2021春•永嘉县校级期末）【知识链接】（1）有理化因式：两个含有根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式．例如：的有理化因式是；1﹣的有理化因式是1+．（2）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去．指的是如果代数式中分母有根号，那么通常将分子、分母同乘分母的有理化因式，达到化去分母中根号的目的．如：＝＝﹣1，＝＝﹣．【知识理解】（1）填空：2的有理化因式是；（2）直接写出下列各式分母有理化的结果：①＝﹣；②＝3﹣．【启发运用】（3）计算：+++…+．【分析】（1）由2×＝2x，即可找出2的有理化因式；（2）①分式中分子、分母同时×（﹣），即可得出结论；②分式中分子、分母同时×（3﹣），即可得出结论；（3）利用分母有理化将原式变形为﹣1+﹣+2﹣+…+﹣，合并同类项即可得出结论．【解答】解：（1）∵2×＝2x，∴2的有理化因式是．故答案为：．（2）①＝＝﹣；②＝＝3﹣．故答案为：①﹣；②3﹣．（3）原式＝+++…+，＝﹣1+﹣+2﹣+…+﹣，＝﹣1．【点评】本题考查了分母有理化，解题的关键是：（1）由2×＝2x，找出2的有理化因式；（2）根据平方差公式，将各式分母有理化；（3）利用分母有理化将原式变形为﹣1+﹣+2﹣+…+﹣．9．（2021春•寻乌县期末）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：以上这种化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：（1）请用不同的方法化简；（2）化简：．【分析】（1）分式的分子和分母都乘以﹣，即可求出答案；把2看出5﹣3，根据平方差公式分解因式，最后进进约分即可．（2）先每一个二次根式分母有理化，再分母不变，分子相加，最后合并即可．【解答】解：（1）．（2）原式＝＝．【点评】本题考查了分母有理化，平方差公式的应用，主要考查学生的计算和化简能力．分层提分题组A 基础过关练一．选择题（共11小题）1．（2021•海阳市一模）式子成立的条件是（）A．x＜1且x≠0B．x＞0且x≠1C．0＜x≤1D．0＜x＜1【分析】利用二次根式的除法法则及负数没有平方根求出x的范围即可．【解答】解：根据题意得：，解得：0＜x≤1，故选：C．【点评】此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．（2019秋•乐亭县期末）已知a＝，b＝2﹣，则a与b的大小关系是（）A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．不确定【分析】把a＝的分母有理化即可．【解答】解：∵a＝＝＝2﹣，∴a＝b．故选：B．【点评】本题考查的是分母有理化，熟知分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式是解答此题的关键．3．（2020春•长兴县期中）二次根式，，的大小关系是（）A．B．＜＜C．＜＜D．＜＜【分析】本题可先将各式分母有理化，然后再比较它们的大小．【解答】解：将三个二次根式化成同分母分数比较：∵＝，＝＝，；∴＜＜．故选：C．【点评】解答本题的关键是将各分式分母有理化，然后再比较它们的大小．在分母有理化的过程中，找出分母的有理化因式是解题的关键．4．（2021春•浦江县期末）（）2＝（）A．5B．C．10D．【分析】根据二次根式的性质计算即可．【解答】解：（）2＝5，故选：A．【点评】本题考查的是二次根式的计算，掌握二次根式的性质：（）2＝a（a≥0）是解题的关键．5．（2021•上海）下列实数中，有理数是（）A．B．C．D．【分析】直接利用二次根式的性质分别化简得出答案．【解答】解：A.＝,不是有理数，不合题意；B.＝,不是有理数，不合题意；C.＝,是有理数，符合题意；D.＝,不是有理数，不合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．6．（2021春•上城区期末）下列各式中，为最简二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．【解答】解：A、＝＝2，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；B、＝，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；C、＝a，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意；D、是最简二次根式，符合题意；故选：D．【点评】本题考查的是最简二次根式的概念，掌握被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式是解题的关键．7．（2021•黑山县一模）下列二次根式中属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．【解答】解：A．＝2，被开方数中含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；B．＝6，被开方数中含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；C．，被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；D．是最简二次根式，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键．8．（2021春•永嘉县校级期中）下列二次根式中是最简二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．【解答】解：A、＝＝2，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；B、＝，被开方数含分母，不是最简二次根式；C、＝|a|，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式；D、，是最简二次根式；故选：D．【点评】本题考查的是最简二次根式的概念，最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．9．（2021•江干区模拟）＝（）A．B．C．3D．5【分析】直接利用二次根式的乘法法则：•＝（a≥0，b≥0），即可得出答案．【解答】解：×＝＝．故选：A．【点评】此题主要考查了二次根式的乘法，正确掌握二次根式的乘法法则是解题关键．10．（2021春•长兴县月考）根据二次根式的性质，若＝•，则a的取值范围是（）A．a≤5B．a≥0C．0≤a≤5D．a≥5【分析】根据二次根式有意义的条件、二次根式乘除法法则解答即可．【解答】解：由题意得，a≥0，5﹣a≥0，解得，0≤a≤5，故选：C．【点评】本题考查的是二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘除法法则、二次根式有意义的条件是解题的关键．11．（2021•萧山区开学）下列各式中正确的是（）A．＝±6B．＝﹣2C．＝D．（﹣）2＝﹣7【分析】直接利用二次根式的性质分别化简得出答案．【解答】解：A、＝6，故此选项错误；B、＝2，故此选项错误；C、＝，正确；D、（﹣）2＝7，故此选项错误．故选：C．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．二．填空题（共14小题）12．（2021秋•通州区期末）化简：＝π﹣3．【分析】二次根式的性质：＝a（a≥0），根据性质可以对上式化简．【解答】解：＝＝π﹣3．故答案是：π﹣3．【点评】本题考查的是二次根式的性质和化简，根据二次根式的性质，对代数式进行化简．13．（2021春•余杭区校级月考）化简的结果是．【分析】利用的化简方法进行化简即可．【解答】解：原式＝＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了二次根式的化简方法，正确运用进行化简是解答问题的关键．14．（2015•江干区一模）在，，，﹣，中，是最简二次根式的是．【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【解答】解：是最简二次根式，故答案为：．【点评】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．15．（2012春•潍坊期中）将化成最简二次根式的是10．【分析】先将被开方数化为能直接开方的因数与另外因数的积的形式，然后开方即可．【解答】解：＝＝×＝10．故答案为：10．【点评】本题考查了二次根式的化简及最简二次根式的知识，解题的关键是将被开方数化为能直接开方的因数与另外因数的积的形式．16．（2021春•长兴县月考）计算：×÷＝12．【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则即可求解．【解答】解：原式＝＝＝＝12．故答案为：12．【点评】此题主要考查了二次根式的乘除，正确掌握相关运算法则是解题的关键．17．（2021春•爱辉区期末）计算×（a≥0）的结果是4a．【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：×（a≥0）＝4a．故答案为：4a．【点评】此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确化简二次根式是解题关键．18．（2019春•虹口区期末）计算：×÷＝3．【分析】直接利用二次根式乘除运算法则化简求出答案．【解答】解：×÷＝15÷＝＝3．故答案为：3．【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确掌握运算法则是解题关键．19．（2021春•饶平县校级期末）与的关系是相等．【分析】把分母有理化，即分子、分母都乘以，化简再比较与的关系．【解答】解：∵＝，∴的关系是相等．【点评】正确理解分母有理化的概念是解决本题的关键．20．（2020•天台县一模）已知a＝，b＝，那么ab＝．【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．【解答】解：∵a＝，b＝，∴ab＝＝＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了分母有理化，正确掌握二次根式的性质是解题关键．。
二次根式的加减乘除
⼆次根式的加减乘除⼆次跟式的加减乘除练习知识点1. ⼆次根式的有关概念：⑴⼆次根式：式⼦■-1 (a > 0)做⼆次根式。
(2) 最简⼆次根式：满⾜下列两个条件的⼆次根式，叫做最简⼆次根式；①被开⽅数的因数是整数，因式是整式；②被开⽅数中不含 _______________________ 。
如倨不是最简⼆次根式，因被开⽅数中含有4是可开得尽⽅的因-⼀，5："，J 都是最简⼆次根式。
(3) 同类⼆次根式：⼏个⼆次根式化成最简⼆次根式以后，如果，这⼏个⼆次根式就叫做同类⼆次根式如, ⼼就是同类⼆次根式，因为丄=2-'，?⼃…：=3 J，它们与「I的被开⽅数均为2。
(4) 有理化因式：两个含有⼆次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有⼆次根式，则说这两个代数式互为有理化因式。
如’?与」，a+」与a」|，「- 与」+ '、，互为有理化因式。
2. ⼆次根式的性质:(2) ⾮负数的算术平⽅根再平⽅仍得这个数，即:a(a > 0)(3) _________________________________________ 某数的平⽅的算术平⽅根等于某数的，即辭=冏=1⼀匝<°(4) ⾮负数的积的算术平⽅根等于积中各因式的算术平⽅根的积，即(5) ⾮负数的商的算术平⽅根等于被除式的算术平⽅根除以除式的算术平⽅根，即3. ⼆次跟式的加减法则：同类⼆次根式可以合并，合并时，只合并⼆次根式前边的倍数，被开⽅数不变。
知识点四：⼆次根式的乘除1. ⼆次根式的乘法法则：⼆次根式的除法则：两个数的算术平⽅根的商，等于这两个数商的算术平⽅根。
知识点五：⼆次根式的性质(1) (a > 是⼀个⾮负数,即■ ab(a°，b°〉反过来，就得到ab..a?、、b(a 0,b 0).V3.... 都不是最简⼆次根式，⽽ -(a》0,b =)<0(4)⾮负数的积的算术平⽅根等于积中各因式的算术平⽅根的积，即(5) ⾮负数的商的算术平⽅根等于被除式的算术平⽅根除以除式的算术平⽅根，即知识点六：⼆次根式的化简求值利⽤商的算术平⽅根的性质和分式的基本性质化去根号内的分母，即3.化简⼆次根式：运⽤积的算术平⽅根的性质a a(a°)及因式分解等知识化简⼆次根式? k。
二次根式的乘除和最简二次根式知识点
1。乘法法则： （ ≥0， ≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.
2.积的算术平方根
（ ≥0， ≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.
要点诠释：
(1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足 ≥0， ≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了；
（1）被开方数不含有分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.
要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：
（1) 被开方数是分数或分式；
（2）含有能开方的因数或因式.
(2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有 形式的a移到根号外面.
知识点二、二次根式的除法及商的算术平方根
1.除法法则： （ ≥0， >0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除..，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意， ≥0， >0，因为b在分母上，故b不能为0.
(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.
2.商的算术平方根的性质
（ ≥0， >0），即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.
要点诠释：
运用此性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题.
知识点三、最简二次根式
人教版八年级下册数学 第十六章 二次根式 二次根式的乘除(第二课时)
已知
，求a的值.
S 2 3,b 10
解:∵
∴ a S 2 3 2 3 10 30 . b 10 10 10 5
巩固练习
高空抛物现象被称为“悬在城市上空的痛”．据报道：一个30g的
鸡蛋从18楼抛下来就可以砸破行人的头骨，从25楼抛下可以使
人当场死亡．据研究从高空抛物时间t和高度h近似的满足公
探究新知
素养考点 1 分母有理化
例 计算: (1) 3 ; (2) 3 2 ; (3) 8 .
5
27
2a
解:（1） 3 3 5 15 . 5 5 5 5
（2） 3 2 3 2 2 3 6 . 27 3 3 3 3 3
（3） 8 2 2 2 2 a 2 a . 2a 2a a a a a
表示电流(单位：安培)，R表示电阻(单位：欧姆)，t表示时间
(单位：秒)，如果已知W、R、t，求I，则有
.若
W=2400焦耳，R=100欧姆，t=15秒．试求电流I I．
W Rt
解：当W=2400，R=100，t=15时，
I W 2400 8 2 2 2 10（安培）. Rt 100 15 5 5 5
按 a 计算，则a≥0，a-3＞0或a≤0，a-3＜0,解得a＞3或a≤0； a3
而按 a 计算，则a≥0，a-3＞0,解得a＞3． a3
课堂小结
二次根式 除法
法则 拓展法则
a a (a 0,b 0) bb
m a n b=（m n） a b （a 0,b 0)
性质 相关概念
a a (a 0,b 0). bb
式
.从100米高空抛物到落地所需时间t2是从50米高空抛
物到t 落 地2h所需时间t1的多少倍？
初中数学二次根式的运算(含解析)
初中数学二次根式的运算考试要求：重难点：1.(0)a≥的内涵，(0)a≥是一个非负数；2a=(0)a≥；a=(0)a≥ 及其运用．2.二次根式乘除法的规定及其运用．3.二次根式的加减运算．例题精讲：模块一二次根式的加减运算二次根式的加减法法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再对同类二次根式进行合并．二次根式加减法的实质是合并同类二次根式，合并时只把系数相加减，根指数和被开方数不变．二次根式的加减法步骤：（1）将每一个二次根式化成最简二次根式；（2）找出并合并同类二次根式．【例1】计算：（1）（2【难度】1星【解析】如果几个二次根式的被开方数相同，可以直接进行加减运算；如果所给的二次根式不是最简二次根式应该先化简，再进行加减运算．（1）(3=+；（2(2==+【答案】（1）；（2）．【巩固】485127-＝______．【难度】1星【解析】485127-7=5(14⨯⨯=-=-【答案】-【例2】计算：（1）（2【难度】1星【解析】先化简成最简二次根式，再对同类二次根式进行合并．（1）1132(41)242=⨯⨯⨯-+；（2=1443(212)99⨯⨯-+=【答案】（1（2【巩固】计算：（1） （2【难度】2星 【解析】（1）1(64)5=+=-+=（2）=1(22=--= 【答案】（1（2）．【例3】 如图，一架长为10m 的梯子AB 斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m ．如果梯子的顶端下滑1m ，那么它的底端是否也下滑1m ？【难度】1星【解析】如图所示，在RT ABC ∆中，由勾股定理，得BC = 当AC=8m时，6BC ==m ； 当AC=7m时，BC =，所以梯子的顶端下滑1m6 1.1≈m ．【答案】梯子的顶端下滑1m ，那么它的底端不是下滑1m ，而是滑动1.1m ．模块二 二次根式的混合运算在进行二次根式的混合运算时，要注意几点： （1） 整式和分式的运算法则仍然适用．如CBA=== （2） 多项式的乘法法则及乘法公式在运算中同样是适用的．乘法公式：22()()a b a b a b +-=-；222()2a b a b ab ±=+±．【例4】 计算：（1 （26x 【难度】1星【解析】（1）原式==（2）原式=23223⋅=-【答案】（1（2）-【例5】 计算：（1）2 （2）(2（3）22(2(2-+ （4）20112012(3(3-【难度】2星 【解析】（1）用完全平方公式；（2）逆用平方差公式；（3）用平方差公式；（4）逆用平方差公式．（1）2222184866=-⨯=-=-（2）(2=22[224(82484-+=-=-+=----（3）22(2(2-+(2224(==⨯-=- ；（4）20112012(3(320112011[(3(3(98)(33=-+=-+=+【答案】（1）66- （2）4--（3） -； （4）3+【巩固】（1） （2（3） （4）3ab （0,0a b ≥≥） 【难度】2星【解析】在二次根式的乘除法中，首先确定结果的符号，同时要注意指数和运算顺序，最后的结果必须化成最简二次根式．（1）2(1218624==++-=+；（21=；（3）(61834=⨯⨯⨯⨯；（4）3ab3ab a ==-【答案】（1）24+； （2）1； （3） （4）a -．【例6】 解方程或不等式:（1))11x x +>- （21+=【难度】2星【解析】解不等式时，在系数化为1时，要注意系数的正负．（1))11x x +>- （21x +=x >=x <x =13x <+ x =x【答案】（1）13x <+ （2．【巩固】已知1018222=++a a a a，求a 的值． 【难度】2星【解析】先化原方程中的二次根式为最简二次根式，然后按着解一般整式方程的步骤去解即可．10=10=2=a =【答案】a =模块三 二次根式的化简求值【例7】 （2008年西城二模）先化简，再求值：2221412211m m m m m m --⋅÷+-+-，其中m =． 【难度】1星【解析】2221412211m m m m m m --⋅÷+-+-21(2)(2)(1)(1)(1)(2)2(1)m m m m m m m m m --+=⋅⋅-+=+-+-22m m =--，当m 时，原式21-=【答案】1【例8】 （2009年西城二模）先化简，再求值222x y xyx y x y x y +++--，其中x =-，y =．【难度】1星【解析】222x y xyx y x y x y +++-- 222()()22()()()()()()()()()()()x x y y x y xy x xy y xy xy x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y-+-+++++=++===+-+-+-+-+--．当x =-y =时，原式15==．【答案】15【巩固】（2011年东城区一模）先化简，再求值：2232()111x x xx x x +÷---，其中1x =． 【难度】1星【解析】原式232132[]2(1)(1)111x x x x x x x x x x x --=-⨯=-=-+-++，当1x =时，原式1===-【答案】1【巩固】（2011年东城区二模）先化简，再求值：2(21)(2)(2)4(1)x x x x x +++--+，其中x =． 【难度】2星 【解析】原式222441444x x x x x =+++---23x =- ．当x =时 ，原式227153344=-=-=⎝⎭．【答案】154总结：解此类题目时，一定要先化简再代入求值．【例9】已知x =，y =，求2y x x y ++的值．【难度】2星【解析】当分母中含有根号时，要先化简再求值．x ==231)+，y231)=-=， ∴2y xx y ++222(3336===+-=． 【答案】36【例10】 已知121x x +=，121x x ⋅=-，求12x x 的值． 【难度】3星【解析】12x x -==，12x x ∴-=22221111212221122()()22x x x x x x x x x x x x ⋅++-∴==⋅21212121212[()2][()()]2x x x x x x x x x x +-++-==．总结：该类题目直接将a ，b （或a ，b 化简后的结果）代入所求的式子中，计算都相对繁琐．在类似的题目中，要灵活的应用公式的变形，以便使计算过程大大的简化．【例11】2011++的值． 【难度】2星【解析】通过观察可以知道，先进行分母有理化，通过前几项的分母有理化发现，每一项的结果都是分母的后一项前去分母前一项，这样把每项展开，即可相加减，也就得出了结果． 原式1201211+-=-+【答案】1-+【例12】【巩固】2011+【难度】2星【解析】原式=2[1)(20122(12⨯---=-⨯-+=-【答案】2-总结：=利用这个公式解题．【例13】当a=，求代数式2963a aa-++-的值．【难度】2星【解析】原式=211(3)33(1)(1)a aaaa a aa a---+=-+---，2)212a a=-∴=-=<+原式=111333(1)(1)a aa a aa a a a a---+=-+=----，当a=时，原式= 2321+=．【答案】1【巩固】已知13a=-，12b=【难度】2星【解析】由题可知，0b a->，∴原式13a=-，12b=时，原式=115231622+==⨯．总结：在这类题目中，依然是对原题目进行化简，化简过程中出现了绝对值，此时应特别注意绝对值里面式子的正负，不能贸然的去掉绝对值符号．模块四二次根式的大小比较通过平方比较大小【例14】比较大小（1）1+（2）133-【难度】1星【解析】比较大小可以左右平方，比较平方数的大小，对于两个正数，平方大的就大；对于两个负数，平方大的反而小．（1）2(13=+23=，3223+>，1∴（2）2(10=，221101001(3)()113399-===，110119<，133-．【巩固】比较大小：【难度】1星【解析】略 【答案】>【巩固】实数-3-的大小关系是 ．（用“＞”表示） 【难度】1星【解析】通过比较平方数的大小来比较原数的大小．【答案】3->-．总结：在比较两个数或式子的大小时，如果只是数，可以平方之后再比较原数的大小；如果是式子且每个式子只含有一个根号时，可以采用平方法比较大小．通过做差比较大小【例15】 比较大小【难度】2星【解析】直接比较大小，无从入手，所以可以通过做差的方法比较大小．0=，<通过取倒数比较大小【例16】 比较大小（1 （2【难度】2星【解析】（1=====65+（2=2011+，【答案】（1<；（2<．总结：在比较两个式子的大小，且每一个式子都含有两个二次根式，可以通过取倒数比较大小．由上题我模块五 非负数性质的综合应用0≥且0a ≥，以前所学的平方和绝对值同样具有非负性，这也是中考中必考的三个非负性．【例17】 2(4)0y -=，则y x 的值等于 ． 【难度】1星【解析】对二次根式和平方非负性的直接考察． 【答案】1【例18】 如果2y =，则2x y += ． 【难度】1星【解析】对二次根式非负性的直接考察． 解：注意到230320x x -≥-≥，， 0230230x x ∴≤-≤-=， 232x y ∴==， 25x y ∴+=． 【答案】5【例19】 当x【难度】1星【解析】因为二次根式的被开方数大于或等于零，所以222012x x x≥-+．因为x >，．【巩固】已知0a <的值．【难度】2星【解析】原式= （*）因为21()0a a --≥但21()0a a --≤故只有21()0a a --=即1a a=又0a <，所以1a =- 代入（*）得：原式=2-． 【答案】2-【例20】 已知实数x ，y ，z满足2144104x y z z -+-+=，求2()x z y +⋅的值． 【难度】2星【解析】对绝对值、二次根式和平方非负性的考察．原式可化为1441()02x y z -+-=，441020102x y y z z ⎧⎪-+=⎪∴+=⎨⎪⎪-=⎩，解得121412x y z ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩22111()()()0224x z y ∴+⋅=-+⨯-=．【答案】0【巩固】已知实数a ，b ，c满足212102a b c c -+-+=，求()a b c +【难度】2星【解析】略【答案】14-课堂检测：【练习1】下列计算正确的是（ ）A B C D【难度】1星【解析】考察二次根式的运算．【答案】A【练习22得（ ）．A 2B C D【难度】1星【解析】 因为230x -≥，23232x x ≥=-，，所以210|21|21x x x ->-=-221(23)2x x =---=．故选A ．【答案】A【练习3化简，然后自选一个合适的x 值，代入化简后的式子求值．【难度】2星【解析】这是一道结论开放题，它留给我们较大的发挥和创造空间．但要注意x 的取值范围是2x >．原式===2,x >∴取4x =，原式＝2．【答案】2（合理即可）【练习4】设22a b c==-=＝，则a，b，c的大小关系是（）A a b c>>B a c b>> C c b a>> D b c a>>【难度】2星【解析】1a===，同理1122b c=220>>，所以1110,c b ac b a>>><<．故选A．【答案】A【练习53x=+，求11xy++的值．【难度】2星【解析】考察的是非负性，同时也对分式进行了考察．3x=+，2309030x yxx-=⎧⎪∴-=⎨⎪+≠⎩，解得31xy=⎧⎨=⎩，1312111xy++∴==++．【答案】2课后作业：1.化简时，==，乙的解法：==，以下判断正确的是（）．A 甲的解法正确，乙的解法不正确B 甲的解法不正确，乙的解法正确C 甲、乙的解法都正确D 甲、乙的解法都不正确【难度】2星【解析】甲是将分子和分母同乘以进行分母有理化，乙是利用3=进行约分，所以二人都是正确的，故选C ．【答案】C2. 计算：（1）（2） 【难度】1星【解析】题中每个二次根式都不是最简二次根式，应“先化简——再判断——最后合并”．（1）原式=1121023⎛⎛=+-- ⎝⎝= （2）原式=2a b b a b =⎛=- -⎝= 【答案】（1（23.化简 【难度】1星 【解析】初看此题像没有给出化简条件，但充分发掘隐含条件，由二次根式的定义可知10a->，即．故用分母有理化化简的第三步中1a 应为1a -． 原式1a a a a ===⋅=- 【答案】4.已知x=，y=222)x xy y x y+++-的值．【难度】２星【解析】x=2)2==2222)())x xy y x y x y x y∴+++-=++-，把x y==代入得原式=2402416=-=．【答案】165.请先化简下列式子，再选取两个能使原式有意义，而你又喜爱的数代入化简后的式子中求值．÷【难度】２星【解析】原式====当2x=时，原式=当3x=时，原式=．2x=时，原式=3x=时，原式=．6.=a、x、y是两两不同的实数，求22223x xy yx xy y+--+的值．【难度】3星【解析】由题可知，()0()0a x aa y ax aa y-≥⎧⎪-≥⎪⎨-≥⎪⎪-≥⎩，解得x aaa ya≥⎧⎪≥⎪⎨≥⎪⎪≤⎩，0a∴=，此时，原式变为0,x y=-把x y=-代入有222222222222222233()()3()()3x xy y y y y y y y y yx xy y y y y y y y y y+--+----∴===-+---+++，a、x、y是两两不同的实数，0y∴≠，原式13=．【答案】13。
数学北师大版八年级上册二次根式的乘除
16.2二次根式的乘除1.掌握二次根式的乘法法则,会进行二次根式的乘法运算.2.能利用二次根式的乘、除法法则和性质化简二次根式.1.经历“探索——发现——猜想——验证”的过程,引导学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖,相互补充的辩证关系.2.培养学生用规范的数学语言进行表达的习惯和能力.鼓励学生积极参与数学活动,激发学生的好奇心和求知欲,体验数学活动中的探索和创新,感受数学的严谨性.【重点】能熟练进行二次根式的乘法和除法运算.【难点】综合运用有关法则和性质化简二次根式.第课时1.理解=·(a≥0,b≥0),使学生能够利用积的算术平方根的性质进行二次根式的计算和化简.2.掌握二次根式的乘法法则,会进行二次根式的乘法运算.1.经历“探索——发现——猜想——验证”的过程,使学生进一步了解数学知识之间是互相联系的.2.培养学生用规范的数学语言进行表达的习惯和能力.鼓励学生积极参与数学活动,激发学生的好奇心和求知欲,体验数学活动中的探索和创新,感受数学的严谨性.【重点】会利用积的算术平方根的性质化简二次根式,会进行二次根式的乘法运算.【难点】二次根式的乘法与积的算术平方根的关系及应用.【教师准备】教学中出示的教学插图和例题.【学生准备】复习二次根式的定义和代数式的定义.导入一:古希腊的几何家海伦的邻居家有一块三角形的菜地,测得三边的长分别为7 m,5 m,8 m,海伦很快就算出了这块菜地的面积,邻居想了很久也算不出来,你知道海伦是如何将这块地的面积计算出来的吗?原来海伦先算出三角形的周长的一半为10 m,再根据计算三角形的面积公式得=(m2),可是后面这个式子该如何化简呢?这节课我们一起来进行探讨.[设计意图]创设情境导入新课,激发学生学习的兴趣,为本节课学习打下基础.导入二:我们知道长方形的面积等于长乘宽,一个一组邻边长为2和3的长方形,你能算出它的面积吗?其实这个长方形的面积是2×3,你能算出这个结果,求出长方形的面积吗?[设计意图]联系生活实际导入新课,让学生感受到数学来源于生活,唤起学生探究新知的欲望.1.二次根式的乘法思路一计算下列各式,观察计算结果,你能发现什么规律?(1)×=,=;(2)×=,=;(3)×=,=.参考上面的结果,用“>,<或=”填空.×,×,×.老师纠正学生练习中的错误后,引导学生观察运算结果,发现和总结式子有什么规律,指出几名学生回答,其余学生补充.老师点评:(1)被开方数都是正数;(2)两个二次根式的乘法等于一个二次根式,并且把这两个二次根式中的数相乘,作为等号另一边二次根式中的被开方数.提问:二次根式的乘法法则是什么?字母表达式是怎样的?学生总结二次根式的法则:·=(a≥0,b≥0),即二次根式相乘,把被开方数相乘,根指数不变.[设计意图]培养学生细心观察问题,并合作完成问题的习惯.[知识拓展](1)·=成立的条件是a≥0且b≥0,千万不能忽略.(2)此法则可以推广到多个二次根式的乘法运算中,如··=(a≥0,b≥0,c≥0).在·=(a≥0,b≥0)中,a,b既可以是具体的数,也可以是含有字母的代数式.(3)当二次根式前面有系数时,可以类比单项式乘单项式的法则进行运算,即系数之积作为系数,被开方数之积作为被开方数,如m·n=mn(a≥0,b≥0).思路二出示教材第6页“探究”.计算下列各式,观察计算结果,你能发现什么规律?(1)×=,=;(2)×=,;(3)×=,=.学生自己计算,并力争独立发现规律:×=,×=,×=.教师演算:×=×5=,==,则×=.由上面的特殊例子引导学生总结:·=(a≥0,b≥0),即二次根式相乘,把被开方数相乘,根指计算:(1)×;(2)×.学生独立做完后,同桌内确定答案,并记录下自己的错误之处,以便后面交流.[设计意图]由特殊到一般,由特殊例子推导得出二次根式乘法的法则,通过尝试练习使学生先学会初步掌握如何进行二次根式的乘法.2.积的算术平方根的性质①==,×=2×5=;②==,×=6×=;③==,×=0.1×3=.你认为=(a≥0,b≥0).学生计算后比较每一组的结果,说出自己的发现.教师根据学生情况引导:根据算术平方根的意义,得==10,×=2×5=10,则=×;同样,==,×=6×=,则有=×;==0.3,×=0.1×3=0.3,则有=×.由此可以得出两个非负数积的算术平方根等于它们算术平方根的积.进一步明确:=·(a≥0,b≥0).[设计意图]让学生亲自动手,进行探究,得出结论,激发学生求知欲望.化简:(1);(2)(m>0).学生讨论,得出:(1)先把被开方数化为202×10,再利用=·计算;(2)先把被开方数化为(9m)2与n乘积的形式,再利用=·计算.解:(1)原式=×=20.(2)原式==·=9m.教师针对练习中的错误进行纠正,引导学生归纳:两个非负数积的算术平方根等于它们算术平方根的积,即=·(a≥0,b≥0).[设计意图]鼓励学生尝试练习,练后进行归纳,培养学生主动探究数学规律的能力,提高他们的归纳总结能力.[知识拓展](1)当a<0,b<0时,虽然有意义,但是=·,而不等于·.(2)积的算术平方根性质可推广为:当a≥0,b≥0,c≥0时,=··.(3)公式中a,b既可以是具体的数,也可以是含有字母的代数式,但必须满足a≥0,b≥0.3.例题讲解(教材例1)计算:(1)×;(2)×.引导学生结合前面尝试练习分析:根据二次根式的乘法法则·=(a≥0,b≥0)进行计算.解:(1)×=.(2)×===3.(教材例2)化简:(1);(2).教师引导发现:被开方数4a2b3含4,a2,b3这样的因数或因式,它们被开方后可以移到根号外,是开得尽方的因数或因式.根据积的算术平方根的性质=·进行二次根式的化简.解:(1)=×=4×9=36.(2)=··=2·a·=2ab.(教材例3)计算:(1)×;(2)3×2;(3)·.〔解析〕根据二次根式的乘法法则·=(a≥0,b≥0)计算,其中3×2中,二次根式前面有系数,可以类比单项式乘单项式的法则进行运算,即系数之积作为系数,被开方数之积作为被开方数.解:(1)×===×=7.(2)3×2=3×2=6=6×=6×5=30.(3)·===·=x.[解题策略]化简二次根式的方法:①把被开方数化为能开得尽方的因数(或因式)与其他因数(或因式)积的形式,再开平方即可;②被开方数是小数,要化成分数,可以利用分数的基本性质,使得化简后被开方数不含分母;③当被开方数是和(或差)的形式时,要把被开方数写成一个数或分解因式,再化简.【变式训练】判断下列各式是否正确,不正确的请予以改正.(1)=×;(2)×=4××=4×=4=8.解:(1)不正确.改正:==×=2×3=6.(2)不正确.改正:×=×===4.[设计意图]让学生把所学知识灵活运用,给前面尝试练习错误的学生一次强化训练的机会,力争人人能过关.师生共同回顾本节课所学主要内容:1.·=(a≥0,b≥0),即两个二次根式相乘,把被开方数相乘,根指数不变.二次根式的乘法法则可以推广到多个二次根式进行相乘的运算,如··=(a≥0,b≥0,c≥0).2.=·(a≥0,b≥0),用语言叙述为:积的算术平方根,等。