振动力学(倪振华)
北航高等结构动力学(振动力学)大作业
《高等结构动力学》课程Case Study斜坡缓冲车辆的运动学模型与缓冲距离影响因素分析姓名： 班号： 学号：摘要： 为了计算无动力车辆在斜坡上的最小缓冲距离，本文建立了斜坡行驶车辆的半车模型的运动学方程，采用龙格库达法对微分方程求解，得到初始速度与斜坡角度对缓冲距离的影响规律。
1.引言为防止制动失灵的车辆冲下山谷, 盘山公路的下行方向每隔一定距离需要设置一个缓冲区，如图1所示。
缓冲区一般由一段具有上升坡度的渣土路面形成。
制动失灵的车辆驶入缓冲区后，其动能一部分转换成势能，一部分由车轮与路面的摩擦耗散。
图2所示为一车辆简化模型，车体高h=1.8m, 长b=5m 。
已知前轮刚度K 1=5.5*105N/m, 前轮阻尼系数C 1=8*104N •s/m, 后轮刚度K 2=8.5*105N/m, 后轮阻尼系数C 2=C 1; 车体按匀质记，总重10吨，质心距地面高度H=1.5m 。
摩擦力按下式计算：()()i i f t N t μ=⋅ i=1, 2 μ—摩擦系数，μ=0.3N i -- 车轮所受地面的正压力。
图1 盘山公路缓冲区示意图 图2 车辆简化模型假设: ① 车辆行驶过程中的车体变形很小,可忽略不计。
② 车轮质量与车身质量相比很小,可忽略不计。
分别给出缓冲区坡度为300和450时的车辆驶入速度与缓冲区长度的关系曲线以及车速为70Km/小时时缓冲区的最小长度。
2 斜坡行驶车辆的动力学模型斜坡行驶车辆的物理模型与力学模型分别如图3和图4所示。
图3 斜坡行驶车辆物理模型图4 斜坡行驶车辆力学模型2）.图5 斜坡行驶车辆模型受力分析建立如图5所示的斜坡行驶车辆的力学模型，以质心C 点垂直方向坐标cy 和转角c θ为广义坐标，1y 和2y 分别为弹簧位置垂直方向坐标（均取在弹簧原长的位置处），采用达朗贝尔原理建立车辆运动的微分方程如下。
以C 点垂直斜面方向的力平衡方程：111222()()cos 0c my k y cy k y cy mg α++++-=(1)以C 点沿斜面方向的力平衡方程：111222()sin 0c mx k y cy k y cy mg μα+++++=(2)以质心C 点取矩的力矩平衡方程：111222111222()()()()()()022cc c L LJ cy k y cy k y H y k y cy H y k y cy θμμ-+-++-++-+=+(3)式中，车辆转动惯量22()12m J b h =+；A 点坐标12c c Ly y θ=-，B 点坐标12c c Ly y θ=+，坐标几何关系如图6所示。
振动力学与结构动力学-(第一章).
摩擦力： Fd cdx2sgxn
c d ：阻力系数
在运动方向不变的半个周期内计算耗散能量，再乘2：
Ecdx2sgxndx2
T/4
c T/4 d
x3dt
8 3
cd02
A2
等效粘性阻尼系数：
ce
8
3
cd0
A
24
四、结构阻尼
由于材料为非完全弹性，在变形过程中材料的内摩擦所引起 的阻尼称为结构阻尼
特征：应力－应变曲线存在滞回曲线
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第一章 概 论
§1-1 动荷载及其分类 - 从广义上讲，如果表征一种运动的物理量作时而增大时而减
小的反复变化，就可以称这种运动为振动。 - 如果变化的物理量是一些机械量或力学量，例如物体的位移
、速度、加速度、应力及应变等，这种振动便称为机械振动 。 - 各种物理现象，诸如声、光、热等都包含振动
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– 知识要点：结构被动控制、主动控制的基本概念。常用主动 控制方法的原理。结构主动控制在机械、土木结构工程中应 用简介。
– 重点难点：理解各种控制方法的原理及其具体实现。 – 教学方法：课堂讲授与引导讨论相结合。
主要参考书： • 刘延柱.振动力学.北京：高等教育出版社,1998 • 倪振华. 振动力学. 西安：西安交通大学出版社，1989 • 张准、汪凤泉. 振动分析.南京：东南大学出版社，1991 • 陈予恕.非线性振动. 天津：天津科技出版社，1983 • 龙驭球等编著.《结构力学》下册. 北京：高等教育出版 社，1994
– 教学方法：课堂讲授与引导讨论相结合
• 第六章 结构反应谱与地震荷载计算（8学 时）
– 知识要点：结构反应谱、单自由度和多自由度地震 荷载计算公式、规范中地震荷载计算公式。
《振动力学》课程教学大纲 - 苏州科技学院土木工程学院
《振动力学》课程教学大纲课程编号：20311103总学时数：48（实验6）总学分数：3课程性质：专业必修课适用专业：工程力学一、课程的任务和基本要求：《振动力学》课程是工程力学专业的一门主要课程，主要研究在确定性激励下分析系统的动力响应的基本理论和基本方法。
通过本课程的学习，使学生能够初步掌握建立振动问题力学模型的方法；掌握振动力学的基本概念、基本理论和基本分析计算方法，并能初步应用振动理论研究和解决工程中的各种振动问题。
结合本课程的学习，培养学生的分析能力、计算能力和分析解决工程实际问题的初步能力。
二、基本内容和要求：（一）概论振动的定义，振动具有两重性，研究目标（目的），振动问题的研究方法，振动分析的力学模型，振动的分类，振动研究的分析工具。
（二）谐振振动与谱分析谐振振动的表示方法，谐振振动的谱分析方法，非周期振动的谱分析方法。
（三）单自由度系统的自由振动单自由度线性系统的力学模型和基本概念，单自由度无阻尼系统的自由振动，固有频率的计算，等效质量与等效弹簧刚度，有阻尼系统的自由振动。
（四）单自由度系统的强迫振动简谐激励引起的强迫振动，简谐激励引起的强迫振动瞬态响应过程，偏心质量引起的强迫振动，支撑运动引起的强迫振动，振动的隔离，惯性式测振仪的基本原理，强近振动中的能量关系，阻尼理论，任意周期激励的响应，任意激励的响应。
（五）多自由度系统的振动多自由度系统的运动微分方程，坐标耦合与主坐标，固有频率与主振型，主坐标与正则坐标，固有频率相等和固有频率为零的情况，系统对初始条件的响应，动力减振原理与减振器，有阻尼系统的响应，一般阻尼系统的响应。
（六）多自由度系统振动的近似解法邓克利法，瑞利法，里茨法。
（七）弹性体的振动一维波动方程、弦横向振动的自由振动解、等直杆纵向振动的自由振动解、等直杆纵向振动的强迫振动解、梁的横向振动、梁的横向强迫振动。
三、实践环节和要求：实习一、简谐振动振幅与频率测量；实验目的：掌握激振器（及其功率放大器）、加速度传感器的安装和使用；了解激振器、加速度传感器的工作原理；掌握简谐振动振幅简单的测量方法。
什么是机械振动？
什么是机械振动？各种⼯程机械与结构，⼤到航天飞机，⼩到微型马达，或多或少都存在振动问题，为了保证这些结构的可靠性，振动问题已成为⼯程技术领域⾥普通需要认真研究和解决的重要课题。
掌握振动理论已经成为⼯程技术⼈员正在进⾏产品或结构的动⼒学特性设计所必需的基本要求。
本⽂主要内容包括：1. 基本概念；2. 振动的分类；3. “输⼊-振动系统-输出”模型；4. 振动要解决的问题。
1基本概念振动是指机械或结构围绕其平衡位置作往复运动。
从⼴义上讲，表征运动的物理量作时⽽增⼤时⽽减⼩的反复变化，就可以称这种运动为振动。
如果变化的物理量是机械量或⼒学量，例如物体的位移、速度、加速度、应⼒及应变、噪声等，这种振动便称为机械振动。
相对⽽⾔，我们经常⽤位移、速度和加速度来描述机械振动，这些振动物理量有别于我们通常所说的位移、速度和加速度。
在这，以车辆的⾏驶加速度与振动加速度来说明⼆者的区别。
我们通常所说的振动加速度不是汽车⾏驶过程中的加速度。
当汽车原地不动时，发动机怠速，我们可以测量汽车不同位置的振动加速度，如⽅向盘、座椅导轨等处的振动加速度。
⽽此时汽车的⾏驶加速度却是零。
因此，通过这⼀点，我们可以明⽩了⼆者虽然都是加速度，但是有着本质的区别，我们通常所说的汽车振动加速度不是汽车⾏驶中的加速度。
实旨上，我们在《信号AC与DC的区别》⼀⽂中，已经解释过它们的区别了：车辆实际⾏驶的加速度对应是0Hz的速度，也就是DC部分，车体振动加速度是⾮零频信号，即AC部分，但是⾏驶的加速度并不是振动加速度的直流分量。
机械振动对于⼤多数的⼯业机械、⼯程结构及仪器等结构都是有害的，如共振会导致灾难性的事故，如⼤桥坍塌、结构疲劳断裂等。
例如，1940年美国tacoma⼤桥风毁事故，是⼀定流速的流体（风速19m/s）流经边墙时，产⽣了卡门涡街；卡门涡街后涡的交替发放，会在物体上产⽣垂直于流动⽅向的交变侧向⼒，迫使桥梁产⽣振动，当发放频率与桥梁结构的固有频率相耦合时，就会发⽣共振，造成⼤桥坍塌，如下⾯的视频所⽰。
横向流中细长圆柱的热弹性颤振
横向流中细长圆柱的热弹性颤振李云东;杨翊仁【摘要】研究了细长圆柱体在热环境下的横向流致振动.应用迦辽金法将非线性运动控制偏微分方程离散为常微分方程组,首先分析了热载荷对系统临界流速的影响,然后采用数值方法得到了系统分岔区,以及它在参数空间的分布情况.应用分岔图、相图对系统的运动性质进行了判定.系统随着参数的变化呈现周期运动,温度增加,系统发生颤振的临界速度减小.当温度载荷不变时,流速增加,系统周期振动的振幅越来越大,系统发生极限环振动,周期3运动、拟周期运动和混沌运动.【期刊名称】《动力学与控制学报》【年(卷),期】2015(013)002【总页数】6页(P106-111)【关键词】圆柱阵;分岔;流弹性失稳;混沌【作者】李云东;杨翊仁【作者单位】西南交通大学力学与工程学院成都610031;四川理工学院理学院,自贡643000;西南交通大学力学与工程学院成都610031【正文语种】中文引言管束振动是当流体流过换热器的管阵时，流体力、惯性力、和弹性力联合作用下动力失稳而发生的自激振动.动力失稳将引起管的毁坏，管大幅度的振动可能会引起管与管之间的碰撞以及管与折流板之间的磨损［1］.在一定流速下，如果流体给管子的能量大于管子阻力消耗的能量，管子的振幅突然增大，即发生了一般所说的流弹性振动.在流弹性失稳后，随着流速增加，结构运动的幅度增大，系统非线性影响变得重要.Weaver［2］指出非线性是换热器管阵结构的固有性质，主要来自于管与松散支撑的折流板的碰撞.Paidoussis和Li［3］、Chen etal［4］、Cai和Chen［5］、de Bedout［6］、王琳［7］都研究过管阵中管子带有结构强非线性的横向流致振动，复杂的动力学行为可能出现，尤且是可能出现混沌运动.以上研究均未考虑热效应的影响，实际上换能器中的管阵，将经历严酷的热环境.本文是在Paidoussis和Li［3］研究的基础上，继续考虑管的非线性响应问题.以圆柱阵中一根典型单柱为研究对象，首先建立了考虑热效应的圆柱的动力学方程，然后应用Galerkin方法离散运动方程，首先分析了热载荷对系统临界流速的影响，采用数值方法研究了随着横向流速的变化，系统出现的非线性动力学现象，包括混沌和周期窗口在内的各种复杂响应.1 动力学方程本文为了分析方便，把管当作圆柱来处理，横向流作用下的圆柱阵中，取一根弹性圆柱，其两端固支，中间受到折流板的约束的圆柱模型，如图1所示.圆柱排外部遭受横向流，流体速度和密度为U和ρ，圆柱直径为D，圆柱长度为l.在模型中，考虑振动圆柱中间受到折流板的约束，模拟为圆柱中间作用有非线性弹簧，其弹簧约束考虑为立方非线性弹簧，弹簧约束力与圆柱振动位移关系为：其中：k1为刚度，δ为Dirac delta函数Mx是圆柱的弯矩；w为圆柱横向振动的变形；c是结构的黏性阻力系数；m是每单位长度圆柱质量；F是横向流作用在圆柱上的流体力.圆柱横向位移导致圆柱轴向伸长而引起的附加力其中：σ是应力，A是圆柱的横截面.根据Wickert的弹性梁简化模型，应变位移关系为：设材料为完全弹性材料，考虑温度的影响，有：其中：E是弹性模量，αT是热膨胀系数，ΔT＝TT0，T0：初始温度，T：升高温度.把（3）代入（4）得到沿x轴变化的附加轴力为：弯矩Mx：其中：I截面惯性矩.把（5）（6）代入（1），有：流体力F是圆柱运动位移函数，文献［3］［7］给出了“准稳态”模型来表示，Price和Paidoussis［8］展示了运用此模型的得到的管阵稳定性结果与实验数据具有较好的一致性.图1 （a）横向流中的圆柱阵（b）中间约束的弹性圆柱Fig.1（a）Array of cylinders in cross flow（b）A single elastic cylinderwith intermediate constraints其中：CL和CD是圆柱阵中圆柱的升力和阻力系数，Cma是流体附加在圆柱上的附加质量系数，U是来流速度，D是圆柱直径，ρ是流体密度，Δt是时间延迟来自于圆柱运动和流体力之间的耦合作用时有滞后效应.引入无量纲参数：把无量纲量（10）代入方程（7）得到无量纲的运动方程为其中为固支梁的第一阶无量纲特征值.2 运动方程离散采用Galekin方法对方程（11）进行离散，满足固支边界条件的圆柱位移函数取为：其中：为固支梁的振型函数.由参考文献［9］，得固支梁的前五阶特征根为由此算得：将式（12）代入方程（11），利用振型函数的正交性，并在［0，1］区间内积分，可得微分方程：式中本文所用参数取值如下［2］：3 线性系统稳定性分析由式（17）方程的系数可以得到，对于方程（16）的线性部分奇数阶模态和偶数阶模态是解耦.一般地，系统首先是发生低阶模态失稳，为了方便计算，本文截取前1，3阶模态进行分析，由式（16），且令可得：很显然式（19）有一个平衡点（0，0，0，0），在平衡点附近，线性化方程（19），得：其中：这里各参数为：设方程（20）的解为把上式代入（20）得，特征方程为：设λ＝σ+iω，当σ＜0时，平衡态是渐进稳定的，当σ＞0时，平衡态是不稳定的.当σ＝0，系统的特征值有一对纯须根，一般地，这时候系统会出现颤振.把代入（22），并且分离方程的实部和虚部，可以得到：为虚部的方程.为实部的方程.通过求解方程（23）（24），可以得到系统发生HOPF分岔的临界速度和对应的无量纲频率，如表1.接下来，作者将给出在不同热载荷作用下的临界速度.表1 随温度升高无量纲临界速度和频率Table 1 Dimensionless critical velocity and frequency with increasing temperatureThermal load Rx Critical flow velocity UH Dimensionless frequency Rx＝0 1.785 0.824 Rx＝1 1.562 0.717 Rx＝2 1.295 0.588 Rx＝4 0.943 0.417从表1可以看出，随着热载荷的增加，系统发生颤振的临界速度在不断降低.在实际工程应用中，管阵作为能量交换设备，我们应该考虑热环境的影响，系统实际发生失稳的临界速度应该比没有考虑热载荷计算出来的临界速度要小.4 数值分析及结果一般地，线性稳定性分析是用来预测参数值接近稳定边界的行为.然而无法预测参数值远离稳定性边界以后的系统响应情况.在这节里我们将采用数值算法，研究参数值远离稳定性边界后的动力学行为.采用龙格-库塔算法对运动控制常微分方程（16）进行计算，初始条件取为由方程（16）可以看到，在非线性项里，奇数阶模态和偶数阶模态不再解耦，所以我们取固支梁的前五阶模态进行数值计算.取温度Rx＝1，γ＝300，k＝104，采用分岔图和相图描述圆柱位置ξ＝0.5处的响应.当位置在ξ＝0.5处的响应到达稳态时，速度为零时，记录此时的位移，便得到了位移随流速变化的分岔图，如图2所示.从分岔图可以看出，系统经历了稳定状态，周期运动状态，拟周期运动状态，最后是周期1运动变为混沌运动.图2 ξ＝0.5处流速参数区域分岔图（a）0≤U≤7.2（b）7.2≤U≤8.2Fig.2 Bifurcation diagram of the parameter of fluid speed atξ＝0.5（a）0≤U≤7.2（b）7.2≤U≤8.2从图2中看到，随着横向流速的不断增加，系统呈现非常复杂的非线性动力学现象.当流速U＜1.562时，系统呈现为稳态运动；当流速1.562＜U＜3.83时，系统发生极限环运动；流速在3.83＜U＜6.85时，系统呈现为周期3运动；流速在6.85＜U＜7.18时，系统发生短暂时的拟周期运动；流速在7.18＜U＜7.42时，系统又呈现极限环运动，当U＞7.42以后，系统出现混沌运动.下面我们将以相图更加清楚地描述了系统的运动过程.图3（a）为U＝1.9（U＞Ucr＝1.562）时的情况，系统发生极限环振动.当U＝5.5时，系统出现周期3运动（图（b）），时，系统发生拟周期运动，U＝7.3时，出现周期1运动，U＝8.0时，系统呈现混沌运动相图.图3 各流速下系统的相轨迹图Fig.3 Phase portraits of system with various velocity5 结论本文考虑横向流圆柱阵中单弹性细长圆柱体，在定常温度下，圆柱的热弹性颤振问题.基于横向弯曲振动引起轴力变化的以及圆柱振动与折流板发生碰撞，建立了温度效应下弹性圆柱横向流致振动的动力学方程.研究了系统的分岔，并采用数值方法研究了系统的非线性响应，得到了一些结论：（1）线性颤振分析得到了颤振临界度随温度变化的关系，温度升高降低了系统的稳定性.（2）随着横向流速增加，系统经历了稳态运动和极限环运动、拟周期运动，然后再次发生周期运动，最后进入混沌运动.参考文献1 Paidoussis M P，Price S J，Langre E de.Fluid structure interaction cross-flow-induced instability.New-York：Cambridgeuniversity press，First published，20112 Weaver D S，Fttzpatrick J A.A review of cross-flow induced vibrations in heat exchanger tubes arrays.Journal of Fluids and Structures，1988，2：73～933 Paidoussis M P，Li G X.Cross-flow induced chaotic vibrations of heat-exchanger tubes impacting on loose supports.Journal Sound of Vibration，1992，152：305～3264 Chen S H，Chen S S.Chaotic vibration in fluid-stiffnesscontrolled instability of a tube row in crossflow.Journal of Applied Mechanics，1996，63：487～4925 Cai Y，Chen S S.Chaotic vibration of nonlinear supported tubes in cross flow.Journal of Pressure Vessel Technology，1993，115：128～1346 De Langer E，Hadj-sadok C，Beaufils B.Non-linear vibrations induced by fluidelastic forces in tube bundles.In proceedings International Symposium on Flow-induced Vibration of Cylinder Array.New York：ASME，1992：107～1347 王琳.横向流引起含松动支撑细长圆柱体的失稳与非线性振动.第十二届全国非线性振动暨第九届全国非线性动力学和运动稳定性学术会议论文集.镇江：江苏大学出版社，2009（Wang L.Cross-flow-induced instability and non-linear vibrations of slender cylinder subjected to loose support.In：The TwelfthNational nonlinear vibration＆the Ninth National Conference on nonlinear dynamics and stability of motion，Zhenjiang：Jiangshu University Press，2009（in Chinese））8 Price S J，Paidoussis M P.A single-flexible-cylinder analysis for the fluidelastic instability of an array of flexible cylinders in cross flow.Journal of Fluids Engineering，1986，108：193～1999 倪振华.振动力学.西安：西安交通大学出版社，1989（Ni Z H.Mechanism of vibration.XiAn：Xian Jiaotong University Press，1989（in Chinese））。
棒球最佳击球点
题目：棒球最佳击球点的探究摘要本文对棒球的“最佳击球点”进行了研究，给出了“最佳击球点”的位置，并在此基础上论证了球棒上添加填充物、不同材料球棒对“最佳击球点”的影响。
问题一,首先确定球棒的外部特征，做出几何图形，对其定量描述。
然后根据棒球的击球方式，找出其中的物理规律，运用动量守恒定理、角动量守恒定理以及恢复系数建立刚体动力学模型，推导出击打后球的速度表达式：121(1)[((0.564))]((0.564))I e v r R v v I m r R ω+--+=-+-+初初末初球 带入数据，得到普通木质球棒的“最佳击球点”为距棒手柄端点70cm 处。
问题二,添加填充物后引起了球棒的物理性质的变化，本文从球棒的质量、质心、转动惯量的变化出发，分析了添加填充物对击球效果的影响，得到“添加填充物降低了棒球的速度”的结论。
问题三，本问主要考虑不同的材质导致球棒的物理性质的改变，本文中着重分析了转动惯量和恢复系数的不同对击球效果的影响，得到“铝质”球棒能显著提高击球效果，并且会导致体育“装备竞赛”的误区，因此棒球协会禁止铝棒的使用是合理的。
在上述问题的基础上，本文考虑击球时存在机械震动的客观事实，通过力学的Hertz 模型和振动力学的横向振动梁模型，分别从能量传递和振动主振型的固有频率两个方面定性的对不同材质的球棒对球速的影响进行了分析，得出铝制球棒更有利于击出高速球的结论。
关键词：动量守恒 恢复系数 转动惯量 动力学模型 Hertz 模型一、问题重述在所有的球类运动中，棒球运动中蕴含了丰富的物理学原理，棒球棒上的“最佳击球点”就是一个典型的例子。
通过查找相关的资料，建立相关数学模型，解决以下问题：(1)每一个棒球手都知道在棒球棒比较粗的部分有一个击球点，这里可以把打击球的力量最大程度地转移到球上。
基于力矩的解释或许可以确定棒球棒的最末端就是最佳击球点，但是实际中并不是这样的。
构建模型，解释最佳击球点棒球棒的最末端的原因。
(1.3.1)--1.3力学模型和振动系统分类
2019年8月16日 1
振动力学
绪论
q 力学模型
- 振动系统三要素：质量，刚度，阻尼
质量是感受惯性（包括转动惯量）的元件，刚度是感受弹性的元件， 阻尼是耗能元件
- 描述振动系统的两类力学模型：
（1）连续系统模型（无限多自由度系统，分布参数系统）
结构参数（质量，刚度，阻尼等）在空间上连续分布
数学工具：偏微分方程
按激励的有无和性质，振动可以分为： 固有振动 无激励时系统所有可能的运动集合（不是现实的振动，仅反
映系统关于振动的固有属性）
自由振动 激励消失后系统所做的振动（现实的振动）
强迫振动 系统在外部激励作用下所做的振动
随机振动 系统在非确定性的随机激励下所做的振动，例如行驶在公路
上的汽车的振动
自激振动
系统受其自身运动诱发出来的激励作用而产生和维持的振动， 例如提琴发出的乐声，切削加工的高频振动，机翼的颤振等
参数振动 激励以系统本身的参数随时间变化的形式出现的振动，例如
2019年8月16日秋千被越荡越高。秋千受到的激励以摆长随时间变化的形式
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振动力学 出现，而摆长的变化由人体的下蹲及站立造成
主要参考文献
主要参考文献
• Thomson, W. T. , Theory of Vibration with Applications, Prentice - Hall, 1972
2019年8月16日 6
振动力学
网址、要求
振动力学课程网址:
要求: 预习：每次上课前进行预习 作业：认真和独立完成作业 实验：认真完成实验报告
2019年8月16日 7
振动力学
按运动微分方程的形式可分为：
振动力学(倪振华)
6
而大多数情况下, 振动会产生不良、甚至严 重、灾难性的后果。 由于振动, 降低了机器的动态精度和其它使 用性能; 由于振动, 机器在使用过程中产生巨大的反 复变动的荷载, 导致使用寿命的降低; 有时候振动甚至酿成灾难性事故, 如大桥因 共振而倒塌, 烟囱因风振而倾倒, 飞机因颤振而 坠落等等。
通常系统设计要依赖于响应分析， 所以在实际工作中，响应分析和系统设 计这两个问题是交替进行的。
第1 章 导 论
13
（3）系统识别 已知振动系统的激励(输入)和响应(输出)求系
统参数,以便了解系统的特性。 系统识别包括物理参数识别(确定系统的物理
参数:质量、刚度、阻尼等)和模态参数识别(确定 或估计系统的固有特性:固有频率、振型等)。 （4）环境预测
确定性激励下的响应不一定是确定的 ，但随机激励下的响应一定是随机的。
第1 章 导 论
10
2. 工程振动分析的类别 振动分析：研究振动系统、激励(输入)和
响应(输出)三者之间的关系。
理论上讲，只要知道两者就可以确定第 三 者 。 这样，工程振动分析所要解决的问题 可以归纳为下面几类。
第1 章 导 论
周期的倒数称为频率，是系统每秒钟振动 的次数,单位为1/秒(1/s)或赫兹(Hz)。记作 f
f 1 n T 2
第2章 单自由度系统自由振动
2.2 自由振动系统
35
固有频率n和频率 f 只相差常数2，因
此经常通称为固有频率。是振动分析中极
其重要的参数。
显然
n
2
T
2
f
因此n的物理意义是在2时间内振动的
第2章 单自由度系统自由振动
2.2 自由振动系统
24
m-k系统的自由振动 (P6) m-k 系 统 虽 然 非 常 简 单 ，
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第1 章 导 论
4
2. 机械振动现象 机械振动是自然界非常普遍的运动现象，
广泛存在于工程技术和日常生活中。 如: 日常生活中，心脏的跳动、钟摆的摆动、
琴弦的振动、车箱的晃动、大海波涛桥等等; 工程技术领域，桥梁与建筑物的振动、飞
行器与船舶的振动、机床与刀具的振动、各种动 力机械的振动、以及地震、风振、噪声等等，都 是属于机械振动的范畴。
m和k，而与系统的初始条件无关，是系统本 身所固有的特性，所以称为固有频率，或称 圆频率或角频率。
方程解中的A称为振幅，是质量偏离静平
衡位置的最大距离; f 称为初相位。
第2章 单自由度系统自由振动
2.2 自由振动系统
34
从方程的解中还可以看出，系统属于周 期振动，振动的周期为
T 2 n
周期是系统振动一次所需要的时间，单位 为秒（s）。
11
（1）响应分析 已知系统和输入参数，求系统响应。
包括位移、速度、加速度和力的响应。这 为计算和分析结构的强度、刚度、允许的 振动能量水平等提供了依据。
第1 章 导 论
12
（2）系统设计 已知振动系统激励(输入)和所要满足
的动态响应(输出)的要求，设计合理的 系统参数。对机器和结构的设计而言， 这类问题更为重要。
m x kx0
因此只讨论此方程的解即可。
第2章 单自由度系统自由振动
2.2 自由振动系统
31
振动微分方程的解(P6)
m x kx0
1. 方程的解 设
则方程变为
2 n
k m
xn2x0
通解为
xb 1cosntb 2sinnt
或
xAsin(ntf)
第2章 单自由度系统自由振动
2.2 自由振动系统
32
设系统的初始条件为：t＝0时，x＝x0，x x0
次数，单位为弧度/秒(rad/s)。 圆有频率、振幅和初相位是简谐振动的
三个重要特征量。
第2章 单自由度系统自由振动
2.2 自由振动系统
36
固有频率的计算
1. 直接计算法 即直接利用固有频率的公式进行计算。 求出振动系统微分方程后，利用等效刚
6
而大多数情况下, 振动会产生不良、甚至严 重、灾难性的后果。 由于振动, 降低了机器的动态精度和其它使 用性能; 由于振动, 机器在使用过程中产生巨大的反 复变动的荷载, 导致使用寿命的降低; 有时候振动甚至酿成灾难性事故, 如大桥因 共振而倒塌, 烟囱因风振而倾倒, 飞机因颤振而 坠落等等。
对象。如机器或结构物等。 激励或输入：外界对振动系统的作
用或引起机器运动的力。 激励或输入是随时间变化的，将引
起振动的发生。
第1 章 导 论
9
确定性激励:可用时间的确定函数来描 述的激励;
随机激励:不能用时间的确定函数表示 的激励。随机激励具有一定的统计规律性 ，可以用随机函数和随机过程描述。
响应或输出：机器或结构在激励作用 下产生的动态行为。
确定性激励下的响应不一定是确定的 ，但随机激励下的响应一定是随机的。
第1 章 导 论
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2. 工程振动分析的类别 振动分析：研究振动系统、激励(输入)和
响应(输出)三者之间的关系。
理论上讲，只要知道两者就可以确定第 三 者 。 这样，工程振动分析所要解决的问题 可以归纳为下面几类。
第1 章 导 论
振动力学
参考书目： 1. 王伟等《振动力学与工程应用》,
郑州大学出版社, 2008 2. 胡少伟等《结构振动理论及其应
用》, 中国建筑工业出版社, 2005
第1 章 导 论
1
课程特点与学习方法
课程性质: 力学专业课 课程特点: 理论繁杂、工程应用性强;与多门 学科紧密相关… • 数学基础: 微积分、微分方程、线性代数、复 变函数、积分变换、计算方法、级数等; • 力学基础: 理论力学、分析力学、材料力学、 弹性力学、结构力学、有限元等。
这样，能量不断地变换就导致系统质量的反 复运动（振动）。
第1 章 导 论
17
5. 振动系统的分类 （1）按产生振动的输入 (激励) 特性分类
分为自由振动、强迫振动和自激振动。 自由振动:系统受到初始激励作用后，仅靠其本身 的弹性恢复力“自由地”振动，其振动的特性仅决定于 系统本身的物理特性(质量和刚度);（如摆钟） 受迫振动或称强迫振动:系统受到外界持续的激励 作用而“被迫地”进行振动，其振动特性除决定于系统 本身的物理特性外，还决定于激励的特性; 工程中的大部分振动都属于此类振动(振动机械、 由度系统自由振动
2.2 自由振动系统
24
m-k系统的自由振动 (P6) m-k 系 统 虽 然 非 常 简 单 ，
但却是许多实际结构振动问题 的力学模型。
已知质量为m，弹簧的刚 度系数为k。取质量的静平衡 位置为坐标原点, 当重物偏离 x 时,利用牛顿定律可得到运 动微分方程：
m x kx0
➢ 许多实际问题可以足够精确地简化为单自 由度振动系统;
➢ 单自由度振动系统的一些概念、特征和研 究方法，是研究复杂振动系统的基础。
第2章 单自由度系统自由振动
23
2.2 自由振动系统
振动微分方程 (P6-20)
根据振动系统结构形式的不同，建 立振动微分方程的方法也不同，主要采 用牛顿定律、动力学基本定理（动量定 理、动能定理、动量矩定理）以及拉格 朗日方程等。
2.2 自由振动系统
26
复摆(P12) 设物体对悬挂点O的
转动惯量为JO，利用定 轴转动微分方程可得到
用转角f 表示的转动微
分方程:
JO f mg fa0
第2章 单自由度系统自由振动
2.2 自由振动系统
27
纯滚动圆盘(P15) 已知m、r、R，利
用功率方程(动能定理) 或拉格郎日方程可得到
用角度f 表示的运动微
第1 章 导 论
16
弹簧表示力与位移的关系;阻尼表示力与速度 的关系;质量表示力与加速度的关系。 4.振动过程的机理分析
任何结构，之所以能产生振动，是因为它本身 具有质量和弹性。
从能量关系看, 质量可以储存动能, 弹性可以储 存势能。当外界对系统作功时, 质量就吸收动能而 具有运动速度，进而发生位移，使弹性元件储存 变形能, 因而就具有使质量恢复原来状态的能力。
第1 章 导 论
5
3.产生振动的原因 一是由外界干扰引起，二是结构本身固
有的原因引起。 4. 研究振动问题的目的 ☺ 工程和日常生活中，振动现象和振动问 题既有有用的一面也有不利的一面。 ☺ 利用振动原理设计出很多常用的物品和 机械结构，如摆钟、振动筛、振动物料传 送带、振动打桩机械等等。
第1 章 导 论
周期的倒数称为频率，是系统每秒钟振动 的次数,单位为1/秒(1/s)或赫兹(Hz)。记作 f
f 1 n T 2
第2章 单自由度系统自由振动
2.2 自由振动系统
35
固有频率n和频率 f 只相差常数2，因
此经常通称为固有频率。是振动分析中极
其重要的参数。
显然
n
2
T
2
f
因此n的物理意义是在2时间内振动的
第1 章 导 论
2
第1章 导 论
➢ 振动的概念 ➢ 振动研究的问题及其分类 ➢ 振动分析的力学模型 ➢ 振动问题的研究方法
第1 章 导 论
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1.1 机械振动概述
1. 什么是振动 振动Vibration，就是物体在静平衡
位置附近所作的往复运动。 我们只研究物体在静平衡位置附近
所作的往复微小弹性运动。
振动微分方程的统一形式 比较前面几种不同系统的振动微分方程
m x kx0
JO f mg fa0
3(Rr)f gf0
2
Jq&&ktq 0
m y48EIy0 l3
第2章 单自由度系统自由振动
2.2 自由振动系统
30
可以写成统一的数学形式
meq x keqx0
meq和keq分别称为等效质量和等效 刚度，x为广义坐标。为方便起见，以后 将等效质量和等效刚度直接写为m和k。 则方程变为：
振动系统的力学基本模型中包括三个基 本“元件”：质量、弹性和阻尼。
第1 章 导 论
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质量:和理论力学的概念一样，是物体惯 性大小的度量。在振动模型中简化为刚体;
弹簧:表示振动系统弹性的理想模型。简 化为无质量的线弹性元件，即弹簧弹性力的 大小与弹簧两端点的相对位移成正比;
阻尼:任何振动在没有外界干扰(激励)时都 会 逐 渐 消 失 ， 因此，系统存在一种 阻 碍 振 动 持续进行的阻力，这种阻力称为阻尼。简化 为无质量的阻力元件。阻尼力的分析比弹簧 力的分析要复杂得多。
第2章 单自由度系统自由振动
2.2 自由振动系统
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扭转振动 (P9) 圆盘在轴的弹性恢复力矩
作用下在平衡位置附近作扭
转振动。设q为圆盘相对静平
衡位置转过的角度, J为圆盘 对轴的转动惯量, kt为使轴产 生单位转角所需施加的扭矩 (即轴的扭转刚度)。则
Jq&&ktq 0
第2章 单自由度系统自由振动
在已知系统响应(输出)和系统参数的情况下确 定系统的输入,以判别系统的环境特征。
第1 章 导 论
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3.振动分析的力学模型
对结构进行振动分析，首先要把所研究 的对象以及外界对它的作用和影响简化为理 想的力学模型。这种力学模型不但要简单， 而且在动态特性方面，应尽可能地与原始结 构等效。
实际工程结构力学模型的建立, 是振动分 析中很关键很难的一步。本课程只学习一些 基本的概念。
通常系统设计要依赖于响应分析， 所以在实际工作中，响应分析和系统设 计这两个问题是交替进行的。