全国I卷2020届高三五省优创名校联考数学(理)试题Word版含答案

全国I 卷2020届高三五省优创名校联考数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝R ，集合M ＝{x|3x 2－13x －10＜0}和N ＝{x|x ＝2k ，k ∈Z}的关系的韦恩（Venn ）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有A ．1个B ．2个C ．3个D ．无穷个 2．34i 34i12i 12i+--=-+ A ．－4 B ．4 C ．－4i D ．4i3．如图1为某省2018年1～4月快递业务量统计图，图2是该省2018年1～4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是A．2018年1～4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B．2018年1～4月的业务量同比增长率均超过50％，在3月最高C．从两图来看，2018年1～4月中的同一个月的快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D．从1～4月来看，该省在2018年快递业务收入同比增长率逐月增长4．设x，y满足约束条件60330x yxx y-+⎧⎪⎨⎪+-⎩≥≤≥，则11x yzx++=+的取值范围是A．（－∞，－8]∪[1，＋∞）B．（－∞，－10]∪[－1，＋∞）C．[－8，1]D．[－10，－1]5．某几何体的三视图如图所示，其中，正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的体积为A ．4643π-B ．64－4πC ．64－6πD ．64－8π6．有一程序框图如图所示，要求运行后输出的值为大于1000的最小数值，则在空白的判断框内可以填入的是A ．i ＜6B ．i ＜7C ．i ＜8D ．i ＜97．在直角坐标系xOy中，F是椭圆C：22221x ya b+=（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为左、右顶点，过点F作x轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，连接PB 交y轴于点E，连接AE交PQ于点M，若M是线段PF的中点，则椭圆C 的离心率为A．2B．12C．13D．148．已知f（x）为定义在R上的奇函数，g（x）＝f（x）－x，且当x∈（－∞，0]时，g（x）单调递增，则不等式f（2x－1）－f（x＋2）≥x－3的解集为A．（3，＋∞）B．[3，＋∞）C．（－∞，3]D．（－∞，3）9．函数f（x）＝ln|x|＋x2－x的图象大致为A B C．D．10．用0与1两个数字随机填入如图所示的5个格子里，每个格子填一个数字，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总是1的个数不少于0的个数，则这样填法的概率为A ．532 B ．516C ．1132D ．111611．已知函数f （x ）＝3sin （ωx ＋φ）（ω＞0，0＜φ＜π），()03f π-=，对任意x ∈R 恒有()|()|3f x f π≤，且在区间（15π，5π）上有且只有一个x 1使f （x 1）＝3，则ω的最大值为A ．574 B ．1114C ．1054D ．117412．设函数f （x ）在定义域（0，＋∞）上是单调函数，且(0,)x ∀∈+∞，f[f （x ）－e x ＋x]＝e ．若不等式f （x ）＋f′（x ）≥ax 对x ∈（0，＋∞）恒成立，则a 的取值范围是 A ．（－∞，e －2] B ．（－∞，e －1] C ．（－∞，2e －3] D ．（－∞，2e －1]第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题．将答案填在答题卡中的横线上． 13．已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则|2|________|3|+=-a b a b ． 14．已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的高为6，AB ＝4，点D 为棱BB 1的中点，则四棱锥C —A 1ABD 的表面积是________．15．在（x 2－2x －3）4的展开式中，含x 6的项的系数是________． 16．已知双曲线C ：22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0），圆M ：222()4b x a y -+=．若双曲线C 的一条渐近线与圆M 相切，则当22224149a a ab -+取得最大值时，C的实轴长为________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题．17．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝3，且S n ＝na n ＋1－n 2－n ． （1）求{a n }的通项公式； （2）若数列{b n }满足22121(1)n n n b n a ++=-，求{b n }的前n 项和T n ．18．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知22+=+．()sina cb C （1）求B的大小；a．（2）若b＝8，a＞c，且△ABC的面积为19．如图所示，在四棱锥S—ABCD中，SA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，其中AB∥CD，∠ADC＝90°，AD＝AS＝2，AB＝1，CD＝3，且C E C Sλ=．（1）若2λ=，证明：BE⊥CD；3（2）若1λ=，求直线BE与平面SBD所成角的正弦值．320．在直角坐标系xOy中，动圆P与圆Q：（x－2）2＋y2＝1外切，且圆P 与直线x＝－1相切，记动圆圆心P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的轨迹方程；（2）设过定点S（－2，0）的动直线l与曲线C交于A，B两点，试问：在曲线C上是否存在点M（与A，B两点相异），当直线MA，MB的斜率存在时，直线MA，MB的斜率之和为定值？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）＝e x＋ax2，g（x）＝x＋blnx．若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与曲线y＝g（x）在点（1，g（1））处的切线相交于点（0，1）．（1）求a，b的值；（2）求函数g（x）的最小值；（3）证明：当x＞0时，f（x）＋xg（x）≥（e－1）x＋1．（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]已知直线l的参数方程为,x my⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C的极坐标方程为ρ2cos2θ＋3ρ2sin2θ＝48，其左焦点F在直线l上．（1）若直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|＋|FB|的值；（2）求椭圆C的内接矩形面积的最大值．23．[选修4—5：不等式选讲]已知函数f（x）＝|x＋2|－|ax－2|．（1）当a＝2时，求不等式f（x）≥2x＋1的解集；（2）若不等式f（x）＞x－2对x∈（0，2）恒成立，求a的取值范围．2018～2019年度高三全国Ⅰ卷五省优创名校联考数学参考答案（理科）1．C2．D3．D4．A5．B6．B7．C8．B9．C10．B11．C12．D13．114．3615．121617．解：（1）由条件知S n＝na n＋1－n2－n，①当n＝1时，a2－a1＝2；当n≥2时，S n－1＝（n－1）a n－（n－1）2－（n－1），②①－②得a n＝na n＋1－（n－1）a n－2n，整理得a n ＋1－a n ＝2．综上可知，数列{a n }是首项为3、公差为2的等差数列，从而得a n ＝2n ＋1． （2）由（1）得222221111[](22)4(1)n n b n n n n +==-++，所以22222221111111111[(1)()()][1]4223(1)4(1)44(1)n T n n n n =-+-++-=-=-+++．18．解：（1）由22()sin a c b C +=+得2222sin a c ac b C ++=+，所以2222sin a c b ac C +-+=，即2(cos 1)sin ac B C +=， 所以有sin (cos 1)sin C B B C +=，因为C ∈（0，π），所以sinC ＞0，所以cos 1B B +=，cos 2sin()16B B B π-=-=，所以1sin()62B π-=． 又0＜B ＜π，所以666B ππ5π-<-<，所以66B ππ-=，即3B π=．（2）因为11sin 22ac B ac ==ac ＝12．又b 2＝a 2＋c 2－2accosB ＝（a ＋c ）2－3ac ＝（a ＋c ）2－36＝64， 所以a ＋c ＝10，把c ＝10－a 代入到ac ＝12（a ＞c ）中，得5a =+．19．（1）证明：因为23λ=，所以23CE CS =，在线段CD 上取一点F 使23CF CD =，连接EF ，BF ，则EF ∥SD 且DF ＝1． 因为AB ＝1，AB ∥CD ，∠ADC ＝90°， 所以四边形ABFD 为矩形，所以CD ⊥BF ． 又SA ⊥平面ABCD ，∠ADC ＝90°， 所以SA ⊥CD ，AD ⊥CD ．因为AD∩SA ＝A ，所以CD ⊥平面SAD ．所以CD ⊥SD ，从而CD ⊥EF ． 因为BF∩EF ＝F ，所以CD ⊥平面BEF ． 又BE ⊂平面BEF ，所以CD ⊥BE ．（2）解：以A 为原点，AD 的正方向为x 轴的正方向，建立空间直角坐标系A —xyz ，则A （0，0，0），B （0，1，0），D （2，0，0），S （0，0，2），C （2，3，0）， 所以142(,1,)333BE BC CE BC CS =+=+=，(0,1,2)SB =-，(2,0,2)SD =-． 设n ＝（x ，y ，z ）为平面SBD 的法向量，则0SB SD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ， 所以200y z x z -=⎧⎨-=⎩，令z ＝1，得n ＝（1，2，1）．设直线BE 与平面SBD 所成的角为θ，则||sin |cos ,|||||BE BE BE θ⋅===n n n ．20．解：（1）设P （x ，y ），圆P 的半径为r ， 因为动圆P 与圆Q ：（x －2）2＋y 2＝1外切，1r =+，①又动圆P 与直线x ＝－1相切，所以r ＝x ＋1，② 由①②消去r 得y 2＝8x ，所以曲线C 的轨迹方程为y 2＝8x ．（2）假设存在曲线C 上的点M 满足题设条件，不妨设M （x 0，y 0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则2008y x =，2118y x =，2228y x =，1010108MA y y k x x y y -==-+，2020208MB y y k x x y y -==-+，所以120210200120128(2)88()MA MB y y y k k y y y y y y y y y y +++=+=+++++，③显然动直线l 的斜率存在且非零，设l ：x ＝ty －2，联立方程组282y xx ty ⎧=⎨=-⎩，消去x 得y 2－8ty ＋16＝0，由Δ＞0得t ＞1或t ＜－1，所以y 1＋y 2＝8t ，y 1y 2＝16，且y 1≠y 2， 代入③式得02008(82)816MA MB t y k k y ty ++=++，令02008(82)816t y m y ty +=++（m 为常数），整理得2000(864)(1616)0my t my y m -+-+=，④因为④式对任意t ∈（－∞，－1）∪（1，＋∞）恒成立，所以0200864016160my my y m -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，所以024m y =⎧⎨=⎩或024m y =-⎧⎨=-⎩，即M （2，4）或M （2，－4），即存在曲线C 上的点M （2，4）或M （2，－4）满足题意． 21．（1）解：因为f′（x ）＝e x ＋2ax ， 所以f′（1）＝e ＋2a ，切点为（1，e ＋a ）， 所以切线方程为y ＝（e ＋2a ）（x －1）＋（e ＋a ）， 因为该切线过点（0，1），所以a ＝－1． 又()1b g x x'=+，g′（1）＝1＋b ，切点为（1，1），所以切线方程为y ＝（1＋b ）（x －1）＋1，同理可得b ＝－1． （2）解：由（1）知，g （x ）＝x －lnx ，11()1x g x xx-'=-=， 所以当0＜x ＜1时，g′（x ）＜0；当x ＞1时，g′（x ）＞0， 所以当x ＝1时，g （x ）取极小值，同时也是最小值， 即g （x ）min ＝g （1）＝1．（3）证明：由（1）知，曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为y ＝（e －2）x ＋1．下面证明：当x ＞0时，f （x ）≥（e －2）x ＋1．设h （x ）＝f （x ）－（e －2）x －1，则h′（x ）＝e x －2x －（e －2），再设k （x ）＝h′（x ），则k′（x ）＝e x －2，所以h′（x ）在（0，ln2）上单调递减，在（ln2，＋∞）上单调递增．又因为h′（0）＝3－e ，h′（1）＝0，0＜＜ln2＜1，所以h′（ln2）＜0， 所以存在x 0∈（0，1），使得h′（x 0）＝0，所以，当x ∈（0，x 0）∪（1，＋∞）时，h′（x ）＞0；当x ∈（x 0，1）时，h′（x ）＜0．故h （x ）在（0，x 0）上单调递增，在（x 0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增．又因为h （0）＝h （1）＝0，所以h （x ）＝f （x ）－（e －2）x －1≥0， 当且仅当x ＝1时取等号，所以e x －（e －2）x －1≥x 2． 由于x ＞0，所以e (e 2)1x x x x---≥． 又由（2）知，x －lnx≥1，当且仅当x ＝1时取等号，所以，e (e 2)11ln x x x x x---+≥≥， 所以e x －（e －2）x －1≥x （1＋lnx ），即e x －x 2＋x （x －lnx ）≥（e －1）x ＋1， 即f （x ）＋xg （x ）≥（e －1）x ＋1．22．解：（1）将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入ρ2cos 2θ＋3ρ2sin 2θ＝48，得x 2＋3y2＝48，即2214816x y +=，因为c 2＝48－16＝32，所以F 的坐标为（-0），又因为F 在直线l 上，所以m =-把直线l的参数方程22x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入x 2＋3y 2＝48，化简得t 2－4t －8＝0，所以t 1＋t 2＝4，t 1t 2＝－8，所以12||||||FA FB t t +=-===． （2）由椭圆C 的方程2214816x y +=，可设椭圆C 上在第一象限内的任意一点M的坐标为（θ，4sinθ）（02θπ<<），所以内接矩形的面积8sin 2S θθθ=⋅=，当4θπ=时，面积S取得最大值23．解：（1）当a ＝2时，4,2()|2||22|3,214,1x x f x x x x x x x --⎧⎪=+--=-<<⎨⎪-+⎩≤≥，当x≤－2时，由x －4≥2x ＋1，解得x≤－5； 当－2＜x ＜1时，由3x≥2x ＋1，解得x ∈∅； 当x≥1时，由－x ＋4≥2x ＋1，解得x ＝1． 综上可得，原不等式的解集为{x|x≤－5或x ＝1}．（2）因为x ∈（0，2），所以f （x ）＞x －2等价于|ax －2|＜4， 即等价于26a x x-<<，所以由题设得26a x x-<<在x ∈（0，2）上恒成立， 又由x ∈（0，2），可知21x -<-，63x>， 所以－1≤a≤3，即a 的取值范围为[－1，3]．。