计算机数控技术第二章

计算机数控技术第二章
数值计算的主要内容
编程的允许误差
编程中的误差δ程由三部分组成：δ逼、δ插、δ圆。即： δ程=f(δ逼，δ插，δ圆)
式中：
δ产逼生─的─逼近采误用差近；似计算方法逼近列表曲线、自由曲面轮廓时所
δ误差插─；─采用直线段或圆弧段插补逼近零件轮廓曲线时产生的
δ有圆个─数─据数圆据整处（理四中舍，五为入满）足问分题辨，率从（而最产小生设的定误单差位。）的要求， 零件图上给出的公差，只有一小部分允许分配给δ程，
yN yM f xNxN xM
允差圆方 程 允差圆的切线方程 切， 于M相 点 曲线方程 曲线在 N点的切线方 程
求弦长ab的方程： 过A点作斜率为k的直线，则得到直线段AB(ab)。即AB 的斜率为k，即使AB平行于MN，则弦ab的方程式为：
y y a k x x a
联立曲线方程和弦方程，求得其交点（节点）B的坐 标：
的公切线MN的斜率k（ MN
与允差圆相切于M点，与曲线相切于N点）：
作允差圆（δ逼圆）与曲线 求公切线MN的斜率k为：
的公切线MN ，则可
k yN yM xN xM
为求解xM 、 yM 、 xN 、 yN ，需联立求解下列方程组：
yM gxM
yN yM gxMxN xM
yN fxN
图2-26（b）所示的等弦长法，是使所有逼近直线段长度相 等。它比等间距法的程序段数少—些，但当曲线曲率半径 变化较大时，所求节点数将增多，所以此法适用于曲线曲 率变化不很大的零件廓形。
（a）等间距法；
（b）等弦法
等误差法是使逼近直线段与零件廓形的误差相等，此 误差即为δ逼。所以此法较上两种方法合理，特别适用 于轮廓曲线曲率变化较大的且复杂的零件。等误差法 见图2-27。下面介绍用等误差法计算节点坐标的方法。
图 2-27 等 误 差 法 求 节 点
等误差直线逼近的节点计算 设零件轮廓曲线的数学方程为：
确定允许误差δ逼的圆方程
即以起点Axa， ya为圆心，以允许的δ逼误差为半径画
允差圆。其圆方程为：
xxa2 yya2逼 2
式中，xa，ya为已知的A点坐标值。将该方程写成：
y g(x)
求允差δ逼圆与曲线
大多数零件轮廓由直线和圆弧段组成，这类零件的基点计算较 简单，用零件图上已知尺寸数值就可计算出基点坐标，如若不 能，可用联立方程式求解法求出基点坐标。
节点坐标的计算
CNC系统均具有直线和圆弧插补功能，有的还有抛物线插补等 功能。当加工非圆曲线轮廓时，常用直线或圆弧段逼近。这种 人为的逼近线段的交点称为节点。
辅助程序段的数值计算：
由对刀点到切入点的切入程序，由零件切出点返回到对刀点的 返回程序，以及尖角过渡程序等属辅助程序段，需计算出辅助 程序段所需的尺寸字数值。
非圆曲线轮廓零件的数值计算
非圆曲线轮廓零件的种类很多，但不管是哪一类的 非圆曲线零件，编程时用数学方程式描述所做的数 学处理是相类似的。
辅助计算
辅助计算是为编制特定数控机床加工程序准备输 入数据。不同的数控系统，其辅助计算内容和步骤 也不尽相同。
增量计算：
用G91编程时，输入的尺寸字为增量值。如直线段要计算出直 线终点相对其起点的坐标增量值；圆弧段要计算出圆弧终点相 对起点的坐标增量值和圆弧的圆心相对圆弧起点的坐标增量值 （I，J，K）或者圆弧半径R。
一是选择用直线或圆弧段逼近非圆曲线；
二是如何计算节点坐标值。
用直线段逼近零件轮廓曲线的节点计算，常用的计 算方法有：等间距法、等弦长法、等误差法、比较 迭代法等。
图2-26（a）为等间距法，取变量坐标增量ΔX相等，然后 求出曲线上相应的节点，再将相邻节点联成直线，用这些 直线段组成的折线代替原来的廓形曲线。坐标增量ΔX取得 愈小，则δ逼愈小，但节点数增多，程序段也就增多，编程 费用高。等间距法与等弦长法等方法相比，具有计算较简 单的优点。
一般取δ程=(0.1～0.3)×零件公差。 要想缩小编程误差δ程，就要增加插补段，减小δ逼；而
减δ逼小是δ编逼程将中增的加重数要值问计题算之等一编。程的工作量。所以，合理的选择
基点坐标的计算
通常把零件轮廓的各个几何元素间的连接点（交点或切点）称 为基点，如两直线的交点、直线与圆弧的切点或交点、圆弧与 圆弧的切点或交点、圆弧与二次曲线的切点或交点等。
等误差法的不足之处是直线段的连接点（节点）处不 光滑。若采用圆弧段逼近，便可以避免这一缺点。
圆弧逼近的节点计算
用圆弧段逼近零件轮廓曲线的节点计算，零件轮 廓曲线用y=f(x)表示，并使圆弧段逼近误差小于或 等于δ逼。
曲线用圆弧逼近常采用相交圆弧法和相切圆（弧）法， 相交圆弧法又包括了曲率圆法（圆弧分割法）、三点 （作）圆法等。其中：
yfx 曲线方程
yya kxxa 直线段 AB的方程
交点Bxb， yb的坐标值，便是第一个节点的坐标值。
再从B点开始重复上述的步骤，可以依次求得后续的各 节点C，D，…，的坐标值。
使用等误差法，虽然计算较繁杂，但可在保证允许的 δ逼的条件下，使程序段数减小。对于曲率变化较大的 曲线，用等误差法求得的节点数最少。
用G90编程时，对直线段不必计算增量值，可直接使用直线的 终点坐标值；对圆弧段的终点，也不计算增量值而直接使用圆 弧终点坐标值，但要计算圆心相对圆弧起点的增量值（I，J， K）或者圆弧半径R。
脉冲数计算：
大多数的CNC系统均可用小数点编程，即尺寸字的数值是直接 输入带小数点的十进制数，CNC装置能自动将其转换为所要求 的数据。低档数控系统不具有小数点编程功能，就需要将尺寸 字的数值除以脉冲当量（分辨率或最小设定单位），换算成脉 冲数的形式输入。
编程时就要计算出各线段长度和节点坐标值。
刀具中心轨迹的计算
全功能的CNC系统具有完善的刀具补偿功能。编程时，只要计 算出零件轮廓上的基点和节点坐标值或增量值、给出有关的刀 具补偿指令和刀具补偿值，数控装置就可自动进行刀具偏移计 算，算出所需的刀具中心轨迹坐标值，控制刀具运动。
有的经济型数控系统没有刀具补偿功能，此时应计算出刀具中 心轨迹的基点和节点坐标，包括尖角（拐点）过渡处的计算， 作为编程的输入数据。