上海市四区(静安、杨浦、青浦、宝山)2013年高考二模数学(理)试题

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2013年上海市普陀区高考数学二模试卷(理科)含详解

2013年上海市普陀区高考数学二模试卷（理科）一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．（4分）函数的定义域为．2．（4分）若z1=a+2i，z2=1+i（i表示虚数单位），且为纯虚数，则实数a=．3．（4分）若且sin2θ＜0，则=．4．（4分）若点（4，2）在幂函数f（x）的图象上，则函数f（x）的反函数f﹣1（x）=．5．（4分）若，则=．6．（4分）若函数f（x）=x2+ax+1是偶函数，则函数的最小值为．7．（4分）已知双曲线的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为．8．（4分）某班从4名男生、2名女生中选出3人参加志愿者服务，若选出的男生人数为ξ，则ξ的方差Dξ=．9．（4分）若曲线Γ：（θ为参数且），则Γ的长度为．10．（4分）若三条直线ax+y+3=0，x+y+2=0和2x﹣y+1=0相交于一点，则行列式的值为．11．（4分）△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，若，b=2c，则C=．12．（4分）若圆C的半径为3，单位向量所在的直线与圆相切于定点A，点B是圆上的动点，则的最大值为．13．（4分）函数y=sin2x+2cos x在区间[﹣，a]上的值域为[﹣，2]，则a的取值范围是．14．（4分）若a i，j表示n×n阶矩阵中第i行、第j列的元素，其中第1行的元素均为1，第1列的元素为1，2，3，…，n，且a i+1，=a i+1，j+a i，j（i、j=1，2，…，n﹣1），则a3，n=．j+1二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）若集合A={x|y2=4x，y∈R}，，则A∩B=（）A．[0，1]B．（﹣2，1]C．（﹣2，+∞）D．[1，+∞）16．（5分）若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为S1、S2，则S1：S2=（）A．1：1B．2：1C．3：2D．4：117．（5分）若a∈R，则“关于x的方程x2+ax+1=0无实根”是“z=（2a﹣1）+（a﹣1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件18．（5分）如图，△ABC是边长为1的正三角形，点P在△ABC所在的平面内，且（a为常数）．下列结论中，正确的是（）A．当0＜a＜1时，满足条件的点P有且只有一个B．当a=1时，满足条件的点P有三个C．当a＞1时，满足条件的点P有无数个D．当a为任意正实数时，满足条件的点P是有限个三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）已知函数f（x）=A cos（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，）的图象与y轴的交点为（0，1），它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x0，2）和（x0+2π，﹣2）（1）求函数f（x）的解析式；（2）若锐角θ满足，求f（2θ）的值．20．（14分）已知a＞0且a≠1，函数f（x）=log a（x+1），g（x）=log a，记F（x）=2f（x）+g（x）．（1）求函数F（x）的定义域D及其零点；（2）若关于x的方程F（x）﹣m=0在区间[0，1）内仅有一解，求实数m的取值范围．21．（14分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1（1）求直线DB与平面A1BCD1所成角的大小；（2）求四棱锥D﹣BCD1A1的体积．22．（16分）在平面直角坐标系xOy中，方向向量为的直线l经过椭圆的右焦点F，与椭圆相交于A、B两点（1）若点A在x轴的上方，且，求直线l的方程；（2）若k＞0，P（6，0）且△P AB的面积为6，求k的值；（3）当k（k≠0）变化时，是否存在一点C（x0，0），使得直线AC和BC的斜率之和为0，若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由．23．（18分）对于任意的n∈N*，若数列{a n}同时满足下列两个条件，则称数列{a n}具有“性质m”：①；②存在实数M，使得a n≤M成立．（1）数列{a n}、{b n}中，a n=n、（n=1，2，3，4，5），判断{a n}、{b n}是否具有“性质m”；（2）若各项为正数的等比数列{c n}的前n项和为S n，且，，求证：数列{S n}具有“性质m”；（3）数列{d n}的通项公式（n∈N*）．对于任意n≥3（n∈N*），数列{d n}具有“性质m”，且对满足条件的M的最小值M0=9，求整数t的值．2013年上海市普陀区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．（4分）函数的定义域为[2，+∞）．【考点】33：函数的定义域及其求法；4K：对数函数的定义域．【专题】11：计算题．【分析】函数的定义域为，由此能求出结果．【解答】解：函数的定义域为，解得x≥2．故答案为：[2，+∞）．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，解题时要认真审题，仔细解答．2．（4分）若z1=a+2i，z2=1+i（i表示虚数单位），且为纯虚数，则实数a=﹣2．【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】根据且==为纯虚数，可得a+2=0，且2﹣a≠0，由此解得a的值．【解答】解：∵z1=a+2i，z2=1+i（i表示虚数单位），且===为纯虚数，故有a+2=0，且2﹣a≠0，解得a=﹣2，故答案为﹣2．【点评】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．3．（4分）若且sin2θ＜0，则=3．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；GW：半角的三角函数．【专题】11：计算题；56：三角函数的求值．【分析】根据同角三角函数的平方关系，可得cos2θ=，结合二倍角的正弦公式和sin2θ＜0得cosθ=﹣，最后根据切化弦的思路，结合二倍角的正、余弦公式即可算出的值．【解答】解：∵，∴cos2θ=1﹣sin2θ=∵sin2θ=2sinθcosθ＜0，∴cosθ=﹣（舍正）因此，====3故答案为：3【点评】本题给出角θ的正弦之值，求一半的正切，着重考查了同角三角函数的基本关系、二倍角的正余弦公式和半角的三角函数求法等知识，属于中档题．4．（4分）若点（4，2）在幂函数f（x）的图象上，则函数f（x）的反函数f﹣1（x）=x2（x≥0）．【考点】4R：反函数；4U：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】通过函数经过的点求出幂函数解析式，利用反函数的求法求出反函数即可．【解答】解：因为点（4，2）在幂函数f（x）的图象上，所以2=4a，所以a=，所求幂函数为：y=，x≥0，则x=y2，所以原函数的反函数为：f﹣1（x）=x2（x≥0）．故答案为：x2（x≥0）【点评】本题考查幂函数解析式的求法，反函数的求法，基本知识的应用．5．（4分）若，则=﹣311．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】在所给的等式中，令x=1可得a0+a1+a2+a3+…+a11=311，再令x=﹣1可得（a0+a2+a4+…+a10）﹣（a1+a3+a5+…+a11）=﹣1，相乘，即得所求．【解答】解：∵，令x=1可得a0+a1+a2+a3+…+a11=311．再令x=﹣1可得（a0+a2+a4+…+a10）﹣（a1+a3+a5+…+a11）=﹣1．两式相乘可得=﹣311，故答案为﹣311．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，给x赋值求出某些项的系数，是解题的关键，属于中档题．6．（4分）若函数f（x）=x2+ax+1是偶函数，则函数的最小值为2．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断；3V：二次函数的性质与图象．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】依题意，可求得a=0，从而可得y==|x|+，利用基本不等式即可求得所求函数的最小值．【解答】解：∵f（x）=x2+ax+1是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴a=0．∴f（x）=x2+1，∴y==|x|+≥2（当且仅当x=±1时取“=”）．∴函数y=的最小值为2．故答案为：2．【点评】本题考查基本不等式，考查函数的奇偶性，求得a=0是关键，属于中档题．7．（4分）已知双曲线的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用双曲线的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，建立方程组，求出a，b的值，即可求得双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，∴，解得，a=2∴双曲线的方程为故答案为：【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．8．（4分）某班从4名男生、2名女生中选出3人参加志愿者服务，若选出的男生人数为ξ，则ξ的方差Dξ=0.4．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】5I：概率与统计．【分析】本题是一个超几何分步，用ξ表示其中男生的人数，ξ可能取的值为1，2，3．结合变量对应的事件和超几何分布的概率公式，写出变量的分布列和方差．【解答】解：依题意得，随机变量ξ服从超几何分布，随机变量ξ表示其中男生的人数，ξ可能取的值为1，2，3．P（ξ=k）=，k=1，2，3．∴所以X的分布列为：ξ123P由分布列可知Eξ=1×+2×+3×=2，∴Eξ2=，Dξ=Eξ2﹣（Eξ）2=﹣22=0.4，故答案为：0.4．【点评】本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望，考查超几何分步，考查运用概率知识解决实际问题的能力．9．（4分）若曲线Γ：（θ为参数且），则Γ的长度为π．【考点】G7：弧长公式；QH：参数方程化成普通方程．【专题】5B：直线与圆．【分析】根据同角三角函数关系消去参数θ，即可求出曲线Γ的普通方程，得出是一段圆弧，再利用弧长公式求其长度即可．【解答】解：由（θ为参数且），即，得（x﹣1）2+（y﹣2）2=9．其中得∴曲线Γ表示一段圆心角为，半径为3的圆弧，如图．其弧长为l=αR==π．故答案为：π．【点评】本题主要考查了圆的参数方程，以及参数方程化成普通方程，属于基础题．10．（4分）若三条直线ax+y+3=0，x+y+2=0和2x﹣y+1=0相交于一点，则行列式的值为0．【考点】IM：两条直线的交点坐标；OY：三阶矩阵．【专题】5B：直线与圆．【分析】先求x+y+2=0和2x﹣y+1=0的交点，代入直线ax+y+3=0，即可得到a 的值．再利用行列式的计算法则，展开表达式，化简即可．【解答】解：解方程组得交点坐标为（﹣1，﹣1），代入ax+y+3=0，得a=2．行列式=2+4﹣3﹣6+4﹣1=0．故答案为：0．【点评】本题是基础题，考查直线交点的求法，三条直线相交于一点的解题策略，考查行列式的运算法则，考查计算能力．11．（4分）△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，若，b=2c，则C=．【考点】HR：余弦定理．【专题】58：解三角形．【分析】利用余弦定理求得a=b，再利用余弦定理求得cos C=，可得角C 的值．【解答】解：△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，若，b=2c，则由余弦定理可得a2=b2+﹣2b••cos=b2，∴a=b．再根据cos C===，故有C=，故答案为．【点评】本题主要考查余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．12．（4分）若圆C的半径为3，单位向量所在的直线与圆相切于定点A，点B 是圆上的动点，则的最大值为3．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【专题】11：计算题；5A：平面向量及应用．【分析】设的夹角为θ，过C作CM⊥AB，则AB=2AM，然后结合弦切角定理可得∠DAB=∠ACM=θ，再利用三角函数的定义可用θ表示AM，代入向量的数量积的定义=||||cosθ，最后由二倍角公式及正弦函数的性质即可求解【解答】解：设的夹角为θ过C作CM⊥AB，垂足为M，则AB=2AM由过点A的直线与圆相切，结合弦切角定理可得∠DAB=∠ACM=θ∵在直角三角形AMC中，由三角函数的定义可得，sin∠ACM=∴AM=3sinθ，AB=6sinθ∵=||||cosθ=|AB|cosθ=6sinθcosθ=3sin2θ≤3当sin2θ=1即θ=45°时取等号故答案为：3【点评】本题主要考查了向量的数量积的定义，弦切角定理及三角函数的定义的综合应用，试题具有一定的灵活性13．（4分）函数y=sin2x+2cos x在区间[﹣，a]上的值域为[﹣，2]，则a的取值范围是[0，]．【考点】H9：余弦函数的定义域和值域．【专题】11：计算题．【分析】应用同角三角函数基本关系式，函数可以化为关于cos x的解析式，令t=cos x，则原函数可化为y=﹣（t﹣1）2+2，即转化为二次函数的最值问题，含参数的问题的求解．【解答】解：由已知得，y=1﹣cos2x+2cos x=﹣（cos x﹣1）2+2，令t=cos x，得到：y=﹣（t﹣1）2+2，显然当t=cos（﹣）=﹣时，y=﹣，当t=1时，y=2，又由x∈[﹣，a]可知cos x∈[﹣，1]，可使函数的值域为[﹣，2]，所以有a≥0，且a≤，从而可得a的取值范围是：0≤a≤．故答案为：[0，]．【点评】本题考查三角函数的值域问题，换元法与转化化归的数学思想，含参数的求解策略问题．14．（4分）若a i，j表示n×n阶矩阵中第i行、第j列的元素，其中第1行的元素均为1，第1列的元素为1，2，3，…，n，且a i+1，=a i+1，j+a i，j（i、j=1，2，…，n﹣1），则a3，n=．j+1【考点】8B：数列的应用；OD：矩阵变换的性质．【专题】15：综合题；54：等差数列与等比数列．=3，a3，2=5，a3，3=8，a3，4=12，…由于后一项减去【分析】依题意，可求得a3，1前一项的差构成等差数列，利用累加法即可求得a3．，n=3，a3，2=a3，1+a2，1=3+2=5，a3，3=a3，2+a2，2=5+3=8，【解答】解：依题意，a3，1a3，4=a3，3+a2，3=8+4=12，…﹣a3，1=5﹣3=2，（1）∴a3，2a3，3﹣a3，2=8﹣5=3，（2）a3，4﹣a3，3=12﹣8=4，（3）…a3，n﹣a3，n﹣1=n，（n﹣1）将这（n﹣1）个等式左右两端分别相加得：a3﹣a3，1=2+3+…+（n﹣1），n==n2+n﹣1，=n2+n﹣1+3=n2+n+2．∴a3，n故答案为：n2+n+2．【点评】本题考查数列的通项，考查矩阵变换的性质，突出累加法求通项的考查，属于难题．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）若集合A={x|y2=4x，y∈R}，，则A∩B=（）A．[0，1]B．（﹣2，1]C．（﹣2，+∞）D．[1，+∞）【考点】1E：交集及其运算；73：一元二次不等式及其应用．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】由y∈R，得化简集合A，解分式不等式化简集合B，然后直接进行交集运算．【解答】解：由y2=4x，y∈R，所以x≥0，所以A={x|y2=4x，y∈R}={x|x≥0}；再由，得，解得﹣2＜x≤1．所以={x|﹣2＜x≤1}，则A∩B={x|x≥0}∩{x|﹣2＜x≤1}=[0，1]．故选：A．【点评】本题考查了分式不等式的解法，考查了交集及其运算，是基础的计算题．16．（5分）若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为S1、S2，则S1：S2=（）A．1：1B．2：1C．3：2D．4：1【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题．【分析】根据圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，设为球的半径为1，结合圆柱的表面积的公式以及球的表面积即可得到答案．【解答】解：由题意可得：圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，设球的半径为1，所以等边圆柱的表面积为：S1=6π，球的表面积为：S2=4π．所以圆柱的表面积与球的表面积之比为S1：S2=3：2．故选：C．【点评】本题考查几何体的表面积，考查计算能力，特殊值法，在解题中有是有独到功效，是基础题．17．（5分）若a∈R，则“关于x的方程x2+ax+1=0无实根”是“z=（2a﹣1）+（a﹣1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】一方面由a∈R，且“关于x的方程x2+ax+1=0无实根”，得到△=a2﹣4＜0，解得a的取值范围，即可判断出“z=（2a﹣1）+（a﹣1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点是否位于第四象限”；另一方面，由“a∈R，z=（2a﹣1）+（a﹣1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限”，可得，解出a的取值范围，即可判断出△＜0是否成立即可．【解答】解：①∵a∈R，且“关于x的方程x2+ax+1=0无实根”，∴△=a2﹣4＜0，解得﹣2＜a＜2．∴﹣3＜2a﹣1＜3，﹣3＜a﹣1＜1，因此z=（2a﹣1）+（a﹣1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点不一定位于第四象限；②若“a∈R，z=（2a﹣1）+（a﹣1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限”正确，则，解得．∴△＜0，∴关于x的方程x2+ax+1=0无实根正确．综上①②可知：若a∈R，则“关于x的方程x2+ax+1=0无实根”是“z=（2a﹣1）+（a﹣1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限”的必要非充分条件．故选：B．【点评】熟练掌握实系数一元二次方程的是否有实数根与判别式△的关系、复数z位于第四象限的充要条件事件他的关键．18．（5分）如图，△ABC是边长为1的正三角形，点P在△ABC所在的平面内，且（a为常数）．下列结论中，正确的是（）A．当0＜a＜1时，满足条件的点P有且只有一个B．当a=1时，满足条件的点P有三个C．当a＞1时，满足条件的点P有无数个D．当a为任意正实数时，满足条件的点P是有限个【考点】9Y：平面向量的综合题．【专题】11：计算题；5A：平面向量及应用．【分析】以BC所在直线为x轴，BC中点为原点，建立直角坐标系，如图所示设P（x，y），将式子化为关于x、y、a的式子，化简整理可得x2+（y﹣）2=（a﹣1），讨论a的取值范围，可得当a＞1时方程表示以点（0，）为圆心，半径r=的圆，满足条件的点P有无数个，可知只有C项符合题意．【解答】解：以BC所在直线为x轴，BC中点为原点，建立直角坐标系，如图所示则A（0，），B（﹣，0），C（，0），设P（x，y），可得=x2+（y﹣）2，=（x+）2+y2，=（x﹣）2+y2∵∴x2+（y﹣）2+（x+）2+y2+（x﹣）2+y2=a化简得：3x2+3y2﹣y+﹣a=0，即x2+y2﹣y+﹣=0配方，得x2+（y﹣）2=（a﹣1） (1)当a＜1时，方程（1）的右边小于0，故不能表示任何图形；当a=1时，方程（1）的右边为0，表示点（0，），恰好是正三角形的重心；当a＞1时，方程（1）的右边大于0，表示以（0，）为圆心，半径为的圆由此对照各个选项，可得只有C项符合题意故选：C．【点评】本题给出正三角形中满足条件的动点P，求点P的轨迹方程，着重考查了坐标系内两点的距离公式、圆的标准方程和含有参数的二次方程的讨论等知识，属于中档题．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）已知函数f（x）=A cos（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，）的图象与y轴的交点为（0，1），它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x0，2）和（x0+2π，﹣2）（1）求函数f（x）的解析式；（2）若锐角θ满足，求f（2θ）的值．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值；HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】11：计算题；57：三角函数的图像与性质．【分析】（1）通过函数的图象，直接求出A，T然后求出ω，利用函数经过（0，1）结合ϕ的范围求出ϕ的值，即可求函数f（x）的解析式；（2）利用锐角θ满足，求出，然后利用两角和的正弦函数求f（2θ）的值．【解答】解：（1）由题意可得A=2…（1分）即T=4π，…（3分），f（0）=1由且，得函数（2）由于且θ为锐角，所以f（2θ）===【点评】本题考查三角函数的解析式的求法，两角和与差的三角函数的应用同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．20．（14分）已知a＞0且a≠1，函数f（x）=log a（x+1），g（x）=log a，记F（x）=2f（x）+g（x）．（1）求函数F（x）的定义域D及其零点；（2）若关于x的方程F（x）﹣m=0在区间[0，1）内仅有一解，求实数m的取值范围．【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】（1）可得F（x）的解析式，由可得定义域，令F（x）=0，由对数函数的性质可解得x的值，注意验证即可；（2）方程可化为，设1﹣x=t∈（0，1]，构造函数，可得单调性和最值，进而可得吗的范围．【解答】解：（1）F（x）=2f（x）+g（x）=（a＞0且a≠1）由，可解得﹣1＜x＜1，所以函数F（x）的定义域为（﹣1，1）令F（x）=0，则…（*）方程变为，即（x+1）2=1﹣x，即x2+3x=0解得x1=0，x2=﹣3，经检验x=﹣3是（*）的增根，所以方程（*）的解为x=0即函数F（x）的零点为0．（2）方程可化为=，故，设1﹣x=t∈（0，1]函数在区间（0，1]上是减函数当t=1时，此时x=0，y min=5，所以a m≥1①若a＞1，由a m≥1可解得m≥0，②若0＜a＜1，由a m≥1可解得m≤0，故当a＞1时，实数m的取值范围为：m≥0，当0＜a＜1时，实数m的取值范围为：m≤0【点评】本题考查函数的零点与方程的跟的关系，属中档题．21．（14分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1（1）求直线DB与平面A1BCD1所成角的大小；（2）求四棱锥D﹣BCD1A1的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；MI：直线与平面所成的角．【专题】5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（1）建立空间直角坐标系，如图所示．利用斜线的方向向量和平面的法向量的夹角即可得到线面角；（2）利用点到平面的距离公式及四棱锥的体积计算公式即可得出．【解答】解：（1）以D为坐标原点，分别以射线DA、DC、DD1为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．则D（0，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D1（0，0，1）．，，．设是平面A1BCD1的法向量，则，即令z=1，则y=1，x=0，∴．设直线DB与平面A1BCD1所成角为θ，则===．由于，∴．即直线DB与平面A1BCD1所成角的大小为；（2）由（1）得．∴点D到平面A1BCD1的距离．∵四边形A1BCD1是矩形，∴面积S=BC•CD1=．∴．【点评】熟练掌握通过建立空间直角坐标系，利用斜线的方向向量和平面的法向量的夹角得到线面角；利用向量表示点到平面的距离公式，四棱锥的体积计算公式是解题的关键．22．（16分）在平面直角坐标系xOy中，方向向量为的直线l经过椭圆的右焦点F，与椭圆相交于A、B两点（1）若点A在x轴的上方，且，求直线l的方程；（2）若k＞0，P（6，0）且△P AB的面积为6，求k的值；（3）当k（k≠0）变化时，是否存在一点C（x0，0），使得直线AC和BC的斜率之和为0，若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由．【考点】%H：三角形的面积公式；IG：直线的一般式方程与直线的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）根据椭圆方程，算出右焦点F坐标为（3，0），结合椭圆上位于x 轴上方的点A满足算出A（0，3），由此可得直线l的斜率k=﹣1，即可求出直线l的方程；（2）设直线l：y=k（x﹣3），与椭圆方程联解消去y得（1+2k2）y2+6ky﹣9k2=0，由根与系数的关系算出AB的纵坐标之差的绝对值关于k的式子，再根据△P AB的面积为6建立关于k的方程，化简整理得k4﹣k2﹣2=0，解之得k=1（舍负）；（3）设直线l方程为y=k（x﹣3）与椭圆方程联解消去y得（1+2k2）x2﹣12k2x+18（k2﹣1）=0，由根与系数的关系得到，然后化简k AD+k BD=0为关于x1、y1、x2、y2和x0的等式，化简整理得2kx1x2﹣k（x0+3）（x1+x2）+6kx0=0，再将前面算出的x1+x2和x1x2的表达式代入化简可得x0=6，由此可得存在一点C（6，0），使得直线AC和BC的斜率之和为0．【解答】解（1）∵椭圆方程为∴a2=18，b2=9，得c==3，可得F（3，0）…（1分）∵且点A在x轴的上方，…（2分）∴可得A在椭圆上且，得A是椭圆的上顶点，坐标为A（0，3）由此可得l的斜率k=﹣1，…（3分）因此，直线l的方程为：，化简得x+y﹣3=0…（4分）（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2），直线l：y=k（x﹣3）…（5分）将直线与椭圆方程联列，…（6分）消去x，得（1+2k2）y2+6ky﹣9k2=0…（7分）由于△＞0恒成立，根据根与系数的关系可得…（8分）∴…（9分）因此，可得S=△P AB化简整理，得k4﹣k2﹣2=0，由于k＞0，解之得k=1…（10分）（3）假设存在这样的点C（x0，0），使得直线AC和BC的斜率之和为0，根据题意，得直线l：y=k（x﹣3）（k≠0）由消去y，得（1+2k2）x2﹣12k2x+18（k2﹣1）=0…（12分）由于△＞0恒成立，根据根与系数的关系可得…（*）…（13分）而，，…（14分）∴=由此化简，得2kx1x2﹣k（x0+3）（x1+x2）+6kx0=0，…（15分）将（*）式代入，可得，解之得x0=6，∴存在一点C（6，0），使得直线AC和BC的斜率之和为0．…（16分）【点评】本题给出椭圆方程，在直线l经过椭圆的右焦点F且交椭圆于A、B两点且满足的情况下求直线l的方程，并且讨论了x轴上是否存在一点C使得直线AC和BC的斜率之和为0的问题．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质、一元二次方程根与系数的关系和直线与圆锥曲线的位置关系等知识点，属于中档题．23．（18分）对于任意的n∈N*，若数列{a n}同时满足下列两个条件，则称数列{a n}具有“性质m”：①；②存在实数M，使得a n≤M成立．（1）数列{a n}、{b n}中，a n=n、（n=1，2，3，4，5），判断{a n}、{b n}是否具有“性质m”；（2）若各项为正数的等比数列{c n}的前n项和为S n，且，，求证：数列{S n}具有“性质m”；（3）数列{d n}的通项公式（n∈N*）．对于任意n≥3（n∈N*），数列{d n}具有“性质m”，且对满足条件的M的最小值M0=9，求整数t的值．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【专题】15：综合题；23：新定义；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）利用数列{a n}具有“性质m”的条件对a n=n、b n=2sin≤2（n=1，2，3，4，5）判断即可；（2）数列{c n}是各项为正数的等比数列，则公比q＞0，将c3=代入S3=++c3=可求得q，从而可求得c1=1，c n=及S n=2﹣，分析验证即可；（3）由于d n=3t﹣，可求得d n+1=3t﹣，d n+2=3t﹣，利用任意n∈[3，+∞]且n∈N*，数列{d n}具有“性质m”，由d n+d n+2＜2d n+1可求得t＞1，可判断n≥3时，数列{d n}是单调递增数列，且=（3t﹣）=3t，从而可求得t≤3，于是有1＜t≤3，经检验t=2不合题意，于是得到答案．【解答】解：（1）在数列{a n}中，取n=1，则=2=a2，不满足条件①，所以数列{a n}不具有“m性质”；…（2分）在数列{b n}中，b1=1，b2=，b3=2，b4=，b5=1，则b1+b3=3＜2=2b2，b2+b4=2＜4=2b3，b3+b5=3＜2=2b4，所以满足条件①；b n=2sin≤2（n=1，2，3，4，5）满足条件②，所以数列{b n}具有“性质m”．…（4分）（2）因为数列{c n}是各项为正数的等比数列，则公比q＞0，将c3=代入S3=++c3=得，6q2﹣q﹣1=0，解得q=或q=﹣（舍去），…（6分）所以c1=1，c n=，S n=2﹣…（7分）对于任意的n∈N*，=2﹣﹣＜2﹣=S n+1，且S n＜2…（8分）所以数列数列{S n}具有“m性质”…（9分）且M≥2．…（10分）（3）由于d n=3t﹣，则d n+1=3t﹣，d n+2=3t﹣，由于任意n∈[3，+∞]且n∈N*，数列{d n}具有“性质m”，所以d n+d n+2＜2d n+1即+＞2×，化简得，t（n﹣2）＞1…（12分）即t＞对于任意n∈[3，+∞）且n∈N*恒成立，所以t＞1…①…（14分）d n+1﹣d n=﹣=由于n≥3及①，所以d n+1＞d n即n≥3时，数列{d n}是单调递增数列，且=（3t﹣）=3t…（16分）只需3t≤9，解得t≤3…②…（17分）由①②得1＜t≤3，所以满足条件的整数t的值为2和3．经检验t=2不合题意，舍去，满足条件的整数只有t=3…（18分）【点评】本题考查等差数列与等比数列的综合，考查理解新概念与分析运算能力，考查函数的单调性，考查创新思维与综合运算能力，属于难题．。

【解析版】上海市徐汇、松江、金山区2013届高三二模数学理试题

2013年上海市徐汇、松江、金山区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．（4分）（2006•上海）若函数f（x）=a x（a＞0，且a≠1）的反函数的图象过点（2，﹣1），则a=．故答案为2．（4分）（2013•松江区二模）已知函数的值域为A，集合B={x|＜0}，则A∩B=[2，3）．解：由函数3．（4分）（2013•松江区二模）已知=﹣．﹣（﹣，∴±±，故答案为﹣．4．（4分）（2013•松江区二模）已知圆锥的母线长为5，侧面积为15π，则此圆锥的体积为12π（结果保留π）．h=∴h==4V=π×π×5．（4分）（2013•松江区二模）已知x=﹣3﹣2i（i为虚数单位）是一元二次方程x2+ax+b=0（a，b均为实数）的一个根，则a+b=19．，解得．6．（4分）（2013•松江区二模）如图给出的是计算的值的一个程序框图，图中空白执行框内应填入i=i+2．由已知中该程序的功能是计算该程序的功能是计算7．（4分）（2013•松江区二模）在极坐标系中，过圆ρ=6cosθ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为ρcosθ=3．8．（4分）（2013•松江区二模）将参数方程（θ为参数，θ∈R）化为普通方程，所得方程是y=﹣x2+3（）．，，则9．（4分）（2013•松江区二模）在二项式的展开式中，常数项的值是﹣20，则=．，解：由题意二项式的展开式的通项为=a==故答案为：10．（4分）（2013•松江区二模）一质地均匀的正方体三个面标有数字0，另外三个面标有数字1．将此正方体连续抛掷两次，若用随机变量ξ表示两次抛掷后向上面所标有的数字之积，则数学期望Eξ=．=．，=．=故答案为11．（4分）（2013•松江区二模）已知椭圆内有两点A（1，3），B（3，0），P为椭圆上一点，则|PA|+|PB|的最大值为15．椭圆方程为10+|AB'|=10+=10+5=1512．（4分）（2013•松江区二模）如图，O为直线A0A2013外一点，若A0，A1，A2，A3，A4，A5，…，A2013中任意相邻两点的距离相等，设，用表示，其结果为1007（）．=2同理可得=2（13．（4分）（2013•松江区二模）设函数f（x）=x|x|，将f（x）向左平移a（a＞0）个单位得到函数g（x），将f（x）向上平移a（a＞0）个单位得到函数h（x），若g（x）的图象恒在h（x）的图象的上方，则正数a的取值范围为a＞2．，==14．（4分）（2013•松江区二模）如图，现将一张正方形纸片进行如下操作：第一步，将纸片以D为顶点，任意向上翻折，折痕与BC交于点E1，然后复原，记∠CDE1=α1；第二步，将纸片以D为顶点向下翻折，使AD与E1D重合，得到折痕E2D，然后复原，记∠ADE2=α2；第三步，将纸片以D为顶点向上翻折，使CD与E2D重合，得到折痕E3D，然后复原，记∠CDE 3=α3；按此折法从第二步起重复以上步骤…，得到α1，α2，…，αn，…，则=．依此类推：（．若；若{是以为首项，解：由第二步可知：；由第三步可知：，（∴∴，则，此时{是以为首项，∴，即．∴=．综上可知：．故答案为依此类推：（二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）（2013•松江区二模）已知a，b为实数，命题甲：ab＞b2，命题乙：，若命题乙：16．（5分）（2013•松江区二模）已知函数，设F（x）=x2•f（x），则﹣17．（5分）（2013•松江区二模）气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22 （℃）”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）：①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8；18．（5分）（2013•松江区二模）如图所示，向量的模是向量的模的t 倍，的夹角为θ，那么我们称向量经过一次（t ，θ）变换得到向量．在直角坐标平面内，设起始向量，向量经过n ﹣1次变换得到的向量为，其中为逆时针排列，记A i坐标为（a i ，b i ）（i ∈N *），则下列命题中不正确的是（）．变换的定义，推导知的向量坐标，然：解：向量，则=，三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19．（12分）（2013•松江区二模）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且，若，△ABC 的面积，求a+c 的值．由条件可知的面积可知，，∵，20．（14分）（2013•松江区二模）某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，比例系数为k．轮船的最大速度为15海里/小时．当船速为10海里/小时，它的燃料费是每小时96元，其余航行运作费用（不论速度如何）总计是每小时150元．假定运行过程中轮船以速度v匀速航行．（1）求k的值；（2）求该轮船航行100海里的总费用W（燃料费+航行运作费用）的最小值．，得燃料费为小时，可燃料费为海里的总费用为）由题意，设燃料费为小时，可得其余航行运作费用为=（∵当且仅当时，即21．（14分）（2013•松江区二模）如图，已知ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，它的底面边长和侧棱长都是2，D为侧棱CC1的中点．（1）求异面直线A1D与BC所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）求直线A1B1到平面DAB的距离．为向量arccos；在中，；．arccos由题意得上的高为，则，的距离为h=××∴的距离为22．（16分）（2013•松江区二模）已知数列的前n项和为S n，数列是首项为0，公差为的等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，对任意的正整数k，将集合{b2k﹣1，b2k，b2k+1}中的三个元素排成一个递增的等差数列，其公差为d k，求证：数列{d k}为等比数列；（3）对（2）题中的d k，求集合{x|d k＜x＜d k+1，x∈Z}的元素个数．）由条件得，∴．）可知∴为常数，所以数列23．（18分）（2013•松江区二模）已知双曲线C的中心在原点，D（1，0）是它的一个顶点，=是它的一条渐近线的一个方向向量．（1）求双曲线C的方程；（2）若过点（﹣3，0）任意作一条直线与双曲线C交于A，B两点（A，B都不同于点D），求证：为定值；（3）对于双曲线Γ：，E为它的右顶点，M，N为双曲线Γ上的两点（都不同于点E），且EM⊥EN，那么直线MN是否过定点？若是，请求出此定点的坐标；若不是，说明理由．然后在以下三个情形中选择一个，写出类似结论（不要求书写求解或证明过程）．情形一：双曲线及它的左顶点；情形二：抛物线y2=2px（p＞0）及它的顶点；情形三：椭圆及它的顶点．的方程为，由顶点坐标、渐近线方程及的方程为，则的方程为．，得由，则+9k．综上，，则，化简得，过定点（中，若）在椭圆中，若过定点（，）在椭圆中，若过定点（）在椭圆中，若））在椭圆中，若，。

【解析版】上海市奉贤区2013届高三二模数学理试题

2013年上海市奉贤区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．（4分）（2013•奉贤区二模）函数f（x）=2sin2x的最小正周期是π．=2．（4分）（2013•奉贤区二模）在的二项展开式中，常数项是70．解：在=703．（4分）（2013•奉贤区二模）已知正数x，y满足x+y=xy，则x+y的最小值是4．4．（4分）（2013•奉贤区二模）执行如图所示的程序框图，输出的S值为30．5．（4分）（2013•奉贤区二模）已知直线y=t与函数f（x）=3x及函数g（x）=4•3x的图象分别相交于A、B两点，则A、B两点之间的距离为log34．，=log6．（4分）（2013•奉贤区二模）用铁皮制作一个无盖的圆锥形容器，已知该圆锥的母线与底面所在的平面所成角为45°，容器的高为10cm，制作该容器需要100cm2的铁皮．，rl=故答案为：7．（4分）（2013•奉贤区二模）若实数t满足f（t）=﹣t，则称t是函数f（x）的一个次不动点．设函数f（x）=lnx与反函数的所有次不动点之和为m，则m=0．8．（4分）（2013•奉贤区二模）关于x的方程x2+mx+2=0（m∈R）的一个根是1+ni（n∈R+），在复平面上的一点Z对应的复数z满足|z|=1，则|z﹣m﹣ni|的取值范围是[，]．=，故﹣+1[[，9．（4分）（2013•奉贤区二模）在极坐标系中，直线的位置关系是相离．解：直线﹣，即=10．（4分）（2013•奉贤区二模）已知函数f（x）=lg（a x﹣b x）（a＞1＞b＞0），且a2=b2+1，则不等式f（x）＞0的解集是（2，+∞）．11．（4分）（2013•奉贤区二模）设f（x）是定义在R上以2为周期的偶函数，已知x∈（0，1），，则函数f（x）在（1，2）上的解析式是y=．=12．（4分）（2013•奉贤区二模）设正项数列{a n}的前n项和是S n，若{a n}和{}都是等差数列，且公差相等，则a1+d=．}与，}，两边平方得：②得：．时，代入③故答案为13．（4分）（2013•奉贤区二模）椭圆上的任意一点M（除短轴端点除外）与短轴两个端点B1，B2的连线交x轴于点N和K，则|ON|+|OK|的最小值是2a．==|ON|=|=|ON|=|=2a14．（4分）（2013•奉贤区二模）如图放置的等腰直角三角形ABC薄片（∠ACB=90°，AC=2）沿x轴滚动，设顶点A（x，y）的轨迹方程是y=f（x），当x∈[0，]时y=f（x）=．，轨迹方程为（点的最大横坐标为）为圆心，以（．．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.[，[，]16．（5分）（2013•奉贤区二模）设事件A，B，已知P（A）=，P（B）=，P（A∪B）=，=，=17．（5分）（2013•淄博一模）数列{a n}前n项和为S n，已知，且对任意正整数m，n，B，同理令所以此数列是首项为公比，以==∴18．（5分）（2013•奉贤区二模）直线x=2与双曲线的渐近线交于A，B两点，设P为双曲线C上的任意一点，若（a，b∈R，O为坐标原点），则下列的坐标，根据，确定坐标之间的关系，可得，利用基，则∵∴∴∴三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）（2013•奉贤区二模）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AA1=2，AB=1，E是DD1上的一点．（1）求异面直线AC与B1D所成的角；（2）若B1D⊥平面ACE，求三棱锥A﹣CDE的体积．∴，∴所成的角为，则∴，．20．（14分）（2013•奉贤区二模）位于A处的雷达观测站，发现其北偏东45°，与A相距20海里的B处有一货船正以匀速直线行驶，20分钟后又测得该船只位于观测站A北偏东45°+θ（0°＜θ＜45°）的C处，．在离观测站A的正南方某处E，cos∠EAC=﹣（1）求cosθ；（2）求该船的行驶速度v（海里/小时）．）∵，∴∴，∴21．（14分）（2013•奉贤区二模）三阶行列式，元素b（b∈R）的代数余子式为H（x），P={x|H（x）≤0}，（1）求集合P；（2）函数的定义域为Q，若P∩Q≠∅，求实数a的取值范围．，元素）∴，则说明在值，使成立，，则只需时，，22．（16分）（2013•奉贤区二模）已知数列{a n}中，a2=1，前n项和为S n，且．（1）求a1，a3；（2）求证：数列{a n}为等差数列，并写出其通项公式；（3）设，试问是否存在正整数p，q（其中1＜p＜q），使b1，b p，b q成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；若不存在，说明理由．）在）由，即，得②=，则，即①②．时，{＜23．（18分）（2013•奉贤区二模）动圆C过定点F，且与直线相切，其中p＞0．设圆心C的轨迹Γ的程为F（x，y）=0（1）求F（x，y）=0；（2）曲线Γ上的一定点P（x0，y0）（y0≠0），方向向量的直线l（不过P 点）与曲线Γ交与A、B两点，设直线PA、PB斜率分别为k PA，k PB，计算k PA+k PB；（3）曲线Γ上的两个定点P0（x0，y0）、，分别过点P0，Q0作倾斜角互补的两条直线P0M，Q0N分别与曲线Γ交于M，N两点，求证直线MN的斜率为定值．的方程为作直线与定直线为焦点，为准线，方程为得=，，∴，得∴，）计算得．是定值，命题得证。

【解析版】上海市徐汇、松江、金山区2013届高三二模数学理试题

【VIP专享】2013杨浦、青浦、静安、宝山高三二模数学试卷(理)有答案

9．执行如图所示的程序框图，若输入 p 的值是 7 ，则输出 S 的值是
10．已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm ，如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等，
那么这个圆锥的母线长为
.
的最小正周期T
cm ．
11．某中学在高一年级开设了 4 门选修课，每名学生必须参加这 4 门选修课中的一门，对于该年级的
示)．
甲、乙、丙 3 名学生，这 3 名学生选择的选修课互不相同的概率是
12．各项为正数的无穷等比数列 an
的前
n
项和为
13．已知两个不相等的平面向量， ( 0 )满足| |＝2，且与－的夹角为 120°，
则| |的最大值是
.
Sn
6.培养学生观察、思考、对比及分析综合的能力。过程与方法1.通过观察蚯蚓教的学实难验点，线培形养动观物察和能环力节和动实物验的能主力要；特2征.通。过教对学观方察法到与的教现学象手分段析观与察讨法论、，实对验线法形、动分物组和讨环论节法动教特学征准的备概多括媒，体继课续件培、养活分蚯析蚓、、归硬纳纸、板综、合平的面思玻维璃能、力镊。子情、感烧态杯度、价水值教观1和.通过学理解的蛔1虫.过观适1、察于程3观阅六蛔寄.内列察读、虫生出蚯材让标容生3根常蚓料学本教活.了据见身：生，师的2、解问的体巩鸟总看活形作用蛔题线的固类结雌动态业手虫自形练与本雄学、三：摸对学动状习人节蛔生结4、、收一人后物和同类课虫活构请一蚯集摸体回并颜步关重的动、学、蚓鸟蚯的答归色学系点形教生生让在类蚓危问纳。习从并状学理列学平的害题线蚯四线人归、意特出四生面体以形蚓、形类纳大图点常、五观玻存表及动的鸟请动文本小引以见引、察璃现，预物身类 3学物明节有言及的、导巩蚯上状是防的体之生和历课什根蚯环怎学固蚓和，干感主是所列环史学么据蚓节二样生练引牛鸟燥染要否以举节揭到不上适动、区回习导皮类还的特分分蚯动晓的同节于物让分答。学纸减是方征节布蚓物起一，课穴并学蚯课生上少湿法。?广的教，些体所居归在生蚓前回运的润；4泛益学鸟色生纳.靠物完的问答动原的4蛔，处目类习和活环.近在成前题蚯的因？了虫以。标就生体的节身其实端并蚓快及触解寄上知同物表内特动体结验和总利的慢我摸蚯生适识人学有容点物前构并后结用生一国蚯蚓在于与类的什，的端中思端线问活样的蚓人飞技有基么引进主的的考?形题环吗十体生行能着本特出要几变以动，境？大节活的1密方征本“特节化下物.让并为珍近习会形理切法。课生征有以问的小学引什稀腹性态解的。2课物。什游题主.结生出么鸟面和起结蛔关观题体么戏：要利明蚯？类处适哪构虫系察：的特的特用确蚓等，于些特适。蛔章形殊形征板，这资是穴疾点于可虫我态结式。书生种料光居病是寄的们结构，五小物典，滑生？重生鸟内学构，学、结的型以还活5要生类部习与.其习巩鸟结的爱是如原活生结了功颜消固类构线鸟粗形何因的存构腔能色化练适特形护糙态预之结的，肠相是系习于点动鸟？、防一构现你动适否统。飞都物为结蛔。和状认物应与的行是。主构虫课生却为和”其结的与题、病本理不蛔扁的他构特环以生？8特乐虫形观部特8征境小理三页点观的动位点梳相组等、这；，哪物教相，理适为方引些2鸟，育同师.知应单面导鸟掌类结了；？生识的位学你握日构解2互.。办特生认线益特了通动手征观识形减点它过，抄；察吗动少是们理生报5蛔？物，与的解.参一了虫它和有寄主蛔与份解结们环些生要虫其。蚯构都节已生特对中爱蚓。会动经活征人培鸟与飞物灭相。类养护人吗的绝适这造兴鸟类？主或应节成趣的为要濒的课情关什特临？就危感系么征灭来害教；？；绝学，育，习使。我比学们它生可们理以更解做高养些等成什的良么两好。类卫动生物习。惯根的据重学要生意回义答；的3.情通况过，了给解出蚯课蚓课与题人。类回的答关：系线，形进动行物生和命环科节学动价环值节观动的物教一育、。根教据学蛔重虫点病1.引蛔出虫蛔适虫于这寄种生典生型活的线结形构动和物生。理二特、点设；置2.问蚯题蚓让的学生生活思习考性预和习适。于穴居生活的形态、结构、生理等方面的特征；3.线形动物和环节动物的主要特征。

2013上海高考英语二模静安(宝山,青浦,杨浦)四区联考试卷及答案

静安、杨浦、青浦、宝山区2013届高三4月高考模拟英语试卷考生注意：1、本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。

全卷共11页。

满分150分。

考试时间120分钟。

2、答第一卷前，考生务必在答题卡上用钢笔或水笔清楚填写学校、班级、姓名、准考证号，并用铅笔在答题卡上正确涂写准考证号。

3、第I卷（1—16小题，25 —80小题）由机器阅卷，答案必须全部涂写在答题卡上。

考生应将代表正确答案的小方格用铅笔涂黑。

注意试题题号和答题卡编号一一对应，不能错位。

答案需要更改时，必须将原选项用橡皮擦去，重新选择。

答案不能涂写在试卷上，涂写在试卷上一律不给分。

第I卷中的第17—24小题、81—84小题和第II卷的试题在电脑上阅卷，其答案用黑色或蓝色钢笔或水笔写在答题卡上，如用铅笔答题，或写在试卷上也一律不给分。

答题时，请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案一律无效。

第I卷（共105分）I. Listening ComprehensionSection ADirections: In Section A, you will hear ten short conversations between two speakers. At the end of each conversation, a question will be asked about what was said. The conversations and the questions will be spoken only once. After you hear a conversation and the question about it, read the four possible answers on your paper, and decide which one is the best answer to the question you have heard.1. A. 8:15. B. 8:45. C. 9:13. D. 9:30.2. A. Terrible. B. Regretful. C. Exhausted. D. Satisfied.3. A. Its quality. B. Its space. C. Its design. D. Its price.[来源:]4. A. Husband and wife. B. Doctor and patient.[来源:]C. Customer and waitress.D. Boss and employee.5. A. At a nursery school. B. At a studio. C. In a cinema. D. In a store.6. A. He doesn’t like living in the suburbs.B. The suburbs make lots of noise.C. He can’t afford to stay there.D. He has to pay a lot to take a taxi.7. A. He gave the woman the wrong information.B. He added salt to the coffee.C. He put the sugar in the black container.D. He broke the two containers.8. A. Take some medicine. B. Stay in hospital.C. Take his temperature.D. Have some soft drink.9. A. The woman is good at maths. B. The man has problem with maths.C. The man is the cheerleader in school.D. The woman is a trouble maker.10. A. Sam applied for the job first.B. Christina is supposed to be in charge of the department.C. Sam is capable enough of taking the responsibility.D. Christina is the right person for the job vacancy.Section BDirections: In Section B, you will hear two short passages, and you will be asked three questionson each of the passages. The passages will be read twice, but the questions will be spoken only once. When you hear a question, read the four possible answers on your paper and decide which one would be the best answer to the question you have heard.Questions 11 through 13 are based on the following passage.11. A. In the middle of the hall. B. At the back of the room.C. Next to the gate.D. At the information desk.12. A. Speak without permission. B. Note down the agenda (议程).C. Read the agenda carefully.D. Fill out a “Speaker Card”.13. A. Just share the ideas with the partner in the meeting room.B. Interrupt the speaker whenever he just talks nonsense.C. Keep quiet when somebody else is giving his opinions.D. Talk on the cell phone in a low voice during the meeting.Questions 14 through 16 are based on the following passage.14. A. 6a.m.-8a.m., 9p.m.-11p.m.. B. 5a.m.-7a.m., 5p.m.-7p.m..C. 5a.m.-6a.m., 5p.m.-6p.m..D. 6a.m.-7a.m., 8p.m.-9p.m..15. A. To make the town cleaner and better the environment.B. To reduce the amount of the waste.C. To introduce a new resource-recycling company.D. To try some new way out to decrease its negative effects.16. A. They have to help clean the streets for a whole day.B. They have reached an agreement with the local residents.C. They travel a lot to look after family businesses.D. They come back home late and miss the waste collection time.Section CDirections: In Section C, you will hear two longer conversations. The conversations will be read twice. After you hear each conversation, you are required to fill in the numbered blanks with information you have heard. Write your answers on your answer sheet.Blanks 17 through 20 are based on the following conversation.Complete the form. Write ONE WORD for each answer.What is the name of the book? __17 and the Modern Age.Who asks the librarian to make sure every student can read the book? The 18 .Where is the book now? In the 19 room.Which floor can students find the book? On the 20 floor.Blanks 21 through 24 are based on the following conversation.Complete the form. Write NO MORE THAN THREE WORDS for each answer.What kind of store is Radio Shack? 21 .What is the advantage of shopping in Radio Shack besides good quality? It provides 22 . What is the disadvantage of shopping in the bookstores? 23 .What does “shopping around” mean?Going to different stores and 24__ goods at the cheapest price.II. Grammar and vocabularySection ADirections: Beneath each of the following sentences there are four choices marked A, B, C and D. choose the one answer that best completes the sentence.25. The start of a new year brings hope — hope _____ better health, more happiness and greater success.A. amo ngB. forC. overD. on26. –What is the man, actually?–I don’t know for sure. But I think he can be _____ but a policeman.A. nothingB. somethingC. everythingD. anything27. –Do you know where David is? I couldn’t f ind him anywhere.– Well. He _____ have gone far — his glasses are still here.A. shouldn’tB. mustn’tC. can’tD. wouldn’t28. I suppose you are unwilling to change your idea, _____?A. aren’t youB. do IC. don’t ID. are you29. At the moment of the car accident, Jason’s life _____ in the blink of an eye.A. changesB. had changedC. was changingD. changed30. The law says that all public buildings must be accessible to people who have trouble _____.A. walkingB. walkC. to walkD. walked31. Many students apply for a position at that company, but only a few _____.A. are being acceptedB. are acceptedC. have acceptedD. accept32. Desserts made from apples, such as pies, apple pancakes and apples _____ in sugar are available for sampling.A. dippingB. dipC. dippedD. to dip33. Tom’s resolution _____ up drinking alcohol lasted only two days.A. givenB. givingC. giveD. to give34. The boy, one of the so-called rich second generation, forced his parents to buy a new car _____ it might cost.A. no matter howB. however highC. no matter how muchD. how much35. A business plan should be a strategic outline of _____ you are going to do, why and how you are going to do it.A. whatB. whichC. howD. that36. The teacher left word with our monitor _____ she would explain the problem again next time.A. whoB. whichC. asD. that37. They will pay a visit to Europe in a couple of years _____ they have enough money.A. for fear thatB. on condition thatC. even thoughD. as well as38. Every time Gina catches her employees _____ time, she reminds them that time is money.A. to wasteB. wastingC. wastedD. waste39. Not until 2012 _____ to a Chinese writer for the first time.A. the Nobel Prize in literature was awardedB. was awarded the Nobel Prize in literatureC. was the Nobel Prize in literature awardedD. the Nobel Prize was awarded in literature40. BrainPOP is an educational program consisting of brief animated videos _____ a man named Tim and his robot friend Moby discuss various subjects.A. in whichB. whichC. asD. in thatSection BDirections: Complete the following passage by using the words in the box. Each word can only be used once. Note that there is one word more than you need.A. concentratedB. possibleC. revisedD. applicationsE. figuresF. connectG. benefitsH. globalI. contributeJ. topsMore than two million people in Europe now have fiber broadband（光纤宽带）direct to their home, suggests a survey. The latest __41__ on superfast broadband delivered by fiber to the home (FTTH) show 18% growth over the last survey compiled in late 2008.The continued growth suggests that the __42__ economic decline has not hit plans to build fiber networks. Sweden __43__ the list of nations applying the technology, with 10.9% of its broadband customers using fiber. Karel Helsen, president of Europe’s Fiber-To-The-Home Council, said the growth matched predictions that were __44__ when the credit crisis started to make itself felt. “The numbers in 2009 are in line with the latest forecasts,” said Mr. Helsen.By 2012, the FTTH Council expects that 13 million people across 35 European nations will have their broadband delivered by fiber. Such services would start at a speed of 100 megabits per second (mbps), said Mr. Helsen. Around Europe more than 233 projects were underway to lay the fibers that would __45__ homes or buildings to the net, said Mr. Helsen. Many of those, he said, were being operated by local governments or smaller net firms. Local governments were interested in FTTH because of the economic and social __46__ it brought in its wake, said Mr. Helsen.The low delay in high-speed fiber networks made __47__ new uses of broadband, he said. “No delay is very important,” he said, “specifically if you talk about __48__ that are time-dependent such as personal communications, conference calls or video calls where delays cause a lot of trouble.” While early FTTH services were__49__ in cities, said Mr. Helsen, many more were reaching out to rural areas for e-health and e-learning projects.III. Reading ComprehensionSection ADirections: For each blank in the following passage there are four words or phrases marked A, B, C and D. Fill in each blank with the word or phrase that best fits the context.Large companies need a way to reach the savings of the public at large. The same problem, on a smaller__50__, faces practically every company trying to __51__ new products and create new jobs. There can be little prospect of raising the sort of sums needed from friends and people we know. While banks may agree to provide short-term finance, they are generally __52__ to provide money on a permanent basis for long-term projects. So companies turn to public, inviting people to lend them money, or take a share in the business in __53__ for a share in future profits. This they do by __54__ stocks and shares in the business through the Stock Exchange. By doing so they can put into circulation the savings of __55__ and organizations, both at home and overseas. When the saver needs his money back, he does not have to go to the company with whom he originally placed it. __56__, he sells his shares through a stockbroker to some other saver who is seeking to __57__ his money.Many of the __58__ needed both by industry and by each of us are provided by the government or by local authorities. Without hospitals, electricity, telephones, railways, this country could not __59__. All these require __60__ spending on new equipment and new development if they are toserve us properly, requiring more money than is raised through taxes alone. The government, local authorities, and nationalized industries __61__ frequently need to borrow money to finance major capital spending, and they, too, come to the Stock Exchange.There is __62__ a man or woman in this country whose job or whose standard of living does not __63__ the ability of his or her employers to raise money to finance new development. In one way or another this new money must come from the savings of the country. The Stock Exchange __64__ to provide a channel through which these savings can reach those who need finance.50. A. level B. extent C. scale D. basis51. A. programme B. provide C. develop D. prepare52. A. unexpected B. unwilling C. unbelievable D. uncertain53. A. search B. exchange C. value D. comfort54. A. issuing B. allowing C. producing D. acquiring55. A. immigrants B. investigators C. inheritors D. individuals56. A. Indeed B. In fact C. In addition D. Instead57. A. eliminate B. reflect C. invest D. profit58. A. properties B. appliances C. foundations D. services59. A. function B. experience C. share D. launch60. A. invisible B. continuous C. l imited D. economical61. A. therefore B. however C. nevertheless D. otherwise62. A. definitely B. almost C. hardly D. probably63. A. turn down B. depend on C. take over D. put off64. A. releases B. forces C. leaves D. existsSection BDirections: Read the following three passages. Each passage is followed by several questions or unfinished statements. For each of them there are four choices marked A, B, C and D. Choose the one that fits best according to the information given in the passage you have just read.(A)A voyaging ship was wrecked during a storm at sea and only two of the men aboard were able to swim to a small, desert-like island. Not knowing what else to do, the two survivors agreed that they had no alternativethan to pray to God.However, to find out whose prayers were more powerful, they agreed to divide the territory between them a nd stay on opposite sides of the island.The first thing they prayed for was food. The next morning, the first man saw a fruit-bearing tree on his side of the island, and he was able to eat its fruit. But the other man’s parcel of land remained barren.After a week, the first man became lonely and decided to pray for a wife. The next day, another ship was wrecked and the only survivor was a woman who swam to his side of the island. But on the other side of the island, there was nothing.Soon thereafter the first man prayed for a house, clothes and more food. The next day, like magic, all of these things were given to him. However, the second man still had nothing.Finally, the first man prayed for a ship so that he and his wife could leave the island, and in the morning he found a ship docked at his side of the island.The first man boarded the ship with his wife and decided to leave the second man on the island, considering the other man unworthy to receive God’s blessings since none of his prayers had be enanswered.As the ship was about to leave, the first man heard a voice from Heaven booming, “Why are you leaving your companion on the island?”“My blessings are mine alone since I was the one who prayed for them,” the first man answered. “His prayers were all unanswered and so he doesn’t deserve an ything.”“You are mistaken!” the voice rebuked him. “He had only one prayer, which I answered. If not for that, you would not have received any of my blessings.”“Tell me,” the first man asked the voice, “what did he pray for that I should owe him anything?”“He prayed that all your prayers would be answered.”For all we know, our blessings are not the fruits of our prayers alone, but those of another praying for us. So what you do for others is more important than what you do for yourself.65. The first man’s wife is _____.A. a swimmer who got to the island by accidentB. an angel sent by God to keep him companyC. a survivor from another wrecked shipD. a native person on the desert-like island66. The underlined word “barren” in Paragraph 3 is closest in meaning to _____.A. isolatedB. unproductiveC. fertileD. dry67. Which of the following is true about the second man?A. He didn’t deserve any blessing from God.B. None of his prayers was answered by God.C. He is not brave enough to tell God his needs.D. His prayer helped his companion get out of trouble.68. What’s the moral of the story?A. Never judge a person by appearance.B. Don’t lose heart in trouble.C. Helping others is helping ourselves.D. Greed is the root of all evil.(B)Stewart Island Ferry ServicesWhile most visitors spend at least one night on Stewart Island, it is also readily accessible by ferry as a day excursion from Invercargill and Bluff.Experience Foveaux Strait in comfort and style on board our express catamarans. During the one-hour crossing between Bluff and Stewart Island keep a lookout for wildlife, especially seabirds. Watching mollymawks (albatross) soaring behind the ferry is a fantastic sight. Interesting landmarks commonly seen include Dog Island Lighthouse, Ruapuke Island, Titi Islands and Mt Anglem - Stewart Island’s highest point.•Free tea and coffee on board•Interpretation handouts are available (English only).•Wheelchair access available•Personal baggage is carried free on the ferries - max. two bags per person (one stowed and one small carry-on). Additional baggage is by prior arrangement.•Vehicle parking available at Bluff (extra cost - reservations recommended)FERRY TO STEW ART ISLANDDepart BluffAll year 9:30amSep-May 5:00pmOct –Apr 11:00amJun –Aug 4:30pmLate Dec –mid Jan8:00amFERRY TO BLUFFDepart Stewart IslandAll year 8:00amSep –May 3:30pmOct –Mar 6:00pmApr 5:00pmJun-Aug 3:00pmLate Dec –mid Jan 9:30amOther departures as locally advertisedDuration 1hrCheck-in 30 minutes prior to the scheduled departure time. (Check-in and boarding gates are closed 10 minutes prior to times stated above.)“20% Multi-Purchas e REW ARD” on Return Ferry ServicesBuy 2 or more different excursions and SA VE 20% off all lower priced!Kids Go FREE on selected departures during NZ School Holidays!Kids Go FREE for travel 20 April - 5 May 2013.69. If leaving a car at Bluff, a traveler had better _____.A. refer to the handouts firstB. use wheelchair accessC. make a reservationD. park it 30 minutes before departure time70. John, who went to Stewart Island on Dec. 28th, got to the ferry dock at 7:55am. When did he most probably leave Bluff?A. At 8:00a.m..B. At 9:30a.m..C. At 11:00a.m..D. At 3:00p.m..71. Which of the following is false about the ferry services?A. Tea and coffee are free for passengers.B. Children go free for travel for about 15 days.C. Travelers are sure to see some seabirds during the crossing.D. Passengers have to pay extra cost for extra pieces of luggage.(C)Barack Obama urged congressional leaders on Monday to act quickly to pass a huge stimulus package for the U.S. economy. He met with a bipartisan (concerning or involving two different political parties) group of lawmakers on Capitol Hill. Later he met individually with Democratic and Republican House and Senate leaders and spoke to a bipartisan leadership gathering. In comments to reporters early on Monday, he emphasized the urgency of finalizing economic legislation (立法). “We have got an extraordinary econ omic challenge ahead of us,” he said, “Weare expecting a sobering job report at the end of the week. Nancy Pelosi and her staff have been extraordinarily helpful in working with our team so that we can shape an economic recovery and reinvestment plan that starts putting people back to work.”Mr. Obama wants tax cuts for individual Americans and businesses to make up a significant portion of expected legislation. This could involve as much as $300 billion of a bill that is likely to go beyond $700 billion and include aid to cash-poor U.S. states, and money for alternative energy and a range of infrastructure (基础设施) projects. Later, Mr. Obama said he expects to be able to sign legislation as soon as the end of this month, adding that quick action is necessary to “break the drive of the U.S. econo mic depression”.Emerging later from bipartisan talks with Mr. Obama, Nancy Pelosi said lawmakers discussed with the president how to pass a stimulus package as quickly as possible. “An economic recovery package that will create jobs immediately and will grow the economy and that is what we talked about today,” said Nancy Pelosi. “How we could do this fast, deliberatively and to act upon it soon.” Just how soon that would be, Pelosi would not say.How much support Democrats can obtain from Republicans will depend on the details. But the severity of the U.S. economic depression has created considerable bipartisan backing for quick action. Senate Majority Leader, Harry Reid said: “There are investments that we need to make on behalf of the American people to turn around this economy. We felt very good about the meeting; we ar e confident that we can do this and we have to do this.”“I think the best thing I can do is to decline to comment on what they are going to do going forward,” said Dana Perino. “Obviously, we think that tax cuts were the right way to help our economy get out of the economic depression that this president inherited and we know that tax cuts can stimulate innovation.” Asked by reporters how large the economic stimulus package might be, Senate Majority Leader Reid said Obama indicated that all but one of some 28 economists advising him had said it should range from $800 billion to $1.3 trillion.72. Barack Obama urged congressional leaders and met with bipartisan leaders to _____.A. take over the White HouseB. end economic declineC. understand each other betterD. negotiate political issues73. If the sti mulus package is passed quickly and successfully, it can _____.A. obtain support from RepublicansB. finalize economic legislationC. enhance America’s international pos itionD. provide job opportunities74. What is the bipartisan leaders’ attitude towards this meeting?A. Uncertain.B. Hopeful.C. Disappointed.D. Indifferent.75. What can we infer from the passage?A. The best way out of the economic depression is tax cuts.B. The Republic Party plays the key role in coping with the economic depression.C. Democrats and Republicans will team up in the economic depression.D. When the stimulus package will be passed is known to the lawmakers.Section CDirections: Read the following text and choose the most suitable heading from A-F for each paragraph. There is one extra heading which you do not need.A. Factors that influence reactions to pollutantsB. Possible sources of indoor air pollutionC. Ways to identify diseases with similar symptomsD. Long-term effects after repeated exposureE. A commonly-ignored health threatF. Immediate symptoms and regular treatment76.Most people are aware that outdoor air pollution can damage their health, but many do not know that indoor air pollution can also have significant health effects. Environmental Protection Agency studies indicate that indoor levels of pollutants may be 2-5 times, and occasionally more than 100 times, higher than outdoor levels. These levels of indoor air pollutants may be of particular concern because most people spend about 90％of their time indoors.[来源:]77.There are many sources of indoor air pollution in any home. These include combustion sources such as oil, gas, coal, wood, and tobacco products; building materials and furnishings as diverse as deteriorated asbestos-containing insulation, wet or damp carpet, and cabinetry or furniture made of certain pressed wood products; products for household cleaning and maintenance, personal care, or hobbies; central heating and cooling systems and humidification devices; and outdoor sources such as radon, pesticides, and outdoor air pollution.78.Immediate effects may show up after a single exposure or repeated exposures. These include irritation of the eyes, nose, and throat, headaches, dizziness, and fatigue. Such immediate effects are usually short-term and treatable. Sometimes the treatment is simply eliminating the person's exposure to the source of the pollution, if it can be identified. Symptoms of some diseases, including asthma, hypersensitivity and fever, may also show up soon after exposure to some indoor air pollutants.[来源:]79.The likelihood of immediate reactions to indoor air pollutants depends on several factors. Age and pre-existing medical conditions are two important influences. In other cases, whether a person reacts to a pollutant depends on individual sensitivity, which varies tremendously from person to person. Some people can become sensitized to biological pollutants after repeated exposures, and it appears that some people can become sensitized to chemical pollutants as well.80.Certain immediate effects are similar to those from colds or other viral diseases, so it is often difficult to determine if the symptoms are a result of exposure to indoor air pollution. For this reason, it is important to pay attention to the time and place the symptoms occur. If the symptoms fade or go away when a person is away from the home and return when the person returns, an effort should be made to identify indoor air sources that may be possible causes.Section DDirections: Read the passage carefully. Then answer the questions or complete the statements inthe fewest possible words.Children and adolescents who watch a lot of television are more likely to have antisocial and criminal behavior when they become adults, according to a new University of Otago, New Zealand, study published online in the journal Pediatrics. The study followed a group of around 1,000 children born in the New Zealand city of Dunedin in 1972-1973. Every two years between the ages of 5 and 15, they were asked how much television they watched. Those who watched more television were more likely to have a criminal conviction and were also more likely to have antisocial personality traits in adulthood.The study found that the risk of having a criminal behavior by early adulthood increased by about 30% with every hour that children spent watching TV on an average weeknight.The study also found that watching more television in childhood was associated, in adulthood, with aggressive personality, an increased tendency to experience negative emotions, and an increased risk of antisocial personality disorder; a psychiatric disorder characterised by persistent patterns of aggressive and antisocial behavior.The researchers found that the relationship between TV viewing and antisocial behavior was not explained by socio-economic status, aggressive or antisocial behavior in early childhood, or parenting factors.A study co-author, Lindsay Robertson, says it is not that children who were already antisocial watched more television. “Rather, children who watched a lot of television were likely to go on to manifest antisocial behavior and personality traits.”Other studies have suggested a link between television viewing and antisocial behavior, though very few have been able to demonstrate a cause-and-effe ct sequence. This is the first ‘real-life’ study that has asked about TV viewing throughout the whole childhood period, and has looked at a range of antisocial outcomes in adulthood. As an observational study, it cannot prove that watching too much television caused the antisocial outcomes, but the findings are consistent with most of the research and provides further evidence that excessive television can have long-term consequences for behavior.Antisocial behavior is a major problem for society. While we’re not saying that television causes all antisocial behavior, our findings do suggest that reducing TV viewing could go some way towards reducing rates of antisocial behavior in society,” says Associate Professor Hancox.The American Academy of Pediatrics recommends that children should watch no more than 1 to 2 hours of quality television programming each day. The researchers say their findings support the idea that parents should try to limit their children's television use.(Note: Answer the questions or complete the statements in NO MORE THAN TEN WORDS.)81. The aim of the study is to reveal ______________________________________________.82. The researchers chose __________________________________________ as their research subjects（研究对象）.83. What’s the shortcoming of most of the studies on this topic?__________________________________________________________.84. What do you suppose many parents will do after reading this passage?__________________________________________________________.第II卷（共45分）I. Translation。

上海2013届高三理科数学最新试题精选13份含16区二模

上海2013届高三理科数学最新试题精选（13份含16区二模）分类汇编1：集合姓名____________班级___________学号____________分数______________一、选择题1 ．（上海市普陀区2013届高三第二学期（二模）质量调研数学（理）试题）若集合},4|{2R y x y x A ∈==,1{|0}2x B x x-=≥+,则A B = A . [0,1]. B .(2,1]-. C . (2,)-+∞. D . [1,)+∞.2 ．（2013届浦东二模卷理科题）从集合{}2013,,4,3,2,1 中任取3个元素组成一个集合A ,记A 中所有元素之和被3除余数为i 的概率为)20(≤≤i P i ,则210,,P P P 的大小关系为[来源:学.科.网Z.X.X.K]210)(P P P A == 210)(P P P B =>210)(P P P C =< 210)(P P P D >>二、填空题 3 ．（四区（静安杨浦青浦宝山）联考2012学年度第二学期高三（理））已知全集R U =,集合{}0322>--=x x x A ,则=A C U _____________.4 ．（上海市十二校2013届高三第二学期联考数学（理）试题）已知全集{12345}U =，，，，,集合2{|320}A x x x =-+=,{|2}B x x a a A ==∈，,则集合()U A B ð=_______.[来源:学科网]5 ．（上海市长宁、嘉定区2013年高考二模数学（理）试题）(理)已知集合{}{}331,,0,1<<=-=x x B a A ,若A B ≠∅,则实数a 的取值范围是____.[来源:学.科.网Z.X.X.K]6 ．（2013届浦东二模卷理科题）已知集合A ={}2,1,2-,B =}1,a ,且B A ⊆,则实数a 的值是_______.7 ．（2013届闵行高三二模模拟试卷（数学）理科）已知集合{}2|4,M x x x =<∈R ,{}2|log 0N x x =>,则集合M N =I ________.上海2013届高三理科数学最新试题精选（13份含16区二模）分类汇编1：集合参考答案一、选择题1. A2. B [来源:学科网]二、填空题[-;3. ]3,14. {3,5}5. )1,0(6. 11,2;7. ()。

2013年上海市徐汇区、松江区、金山区高考数学二模试卷(理科)含详解

2013年上海市徐汇区、松江区、金山区高考数学二模试卷（理科）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．（4分）若函数f（x）=a x（a＞0，且a≠1）的反函数的图象过点（2，﹣1），则a=．2．（4分）已知函数的值域为A，集合B={x|＜0}，则A∩B=．3．（4分）已知=．4．（4分）已知圆锥的母线长为5，侧面积为15π，则此圆锥的体积为（结果保留π）．5．（4分）已知x=﹣3﹣2i（i为虚数单位）是一元二次方程x2+ax+b=0（a，b均为实数）的一个根，则a+b=．6．（4分）如图给出的是计算的值的一个程序框图，图中空白执行框内应填入i=．7．（4分）在极坐标系中，过圆ρ=6cosθ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为．8．（4分）将参数方程（θ为参数，θ∈R）化为普通方程，所得方程是．9．（4分）在二项式的展开式中，常数项的值是﹣20，则=．10．（4分）一质地均匀的正方体三个面标有数字0，另外三个面标有数字1．将此正方体连续抛掷两次，若用随机变量ξ表示两次抛掷后向上面所标有的数字之积，则数学期望Eξ=．11．（4分）已知椭圆内有两点A（1，3），B（3，0），P为椭圆上一点，则|P A|+|PB|的最大值为．12．（4分）如图，O为直线A0A2013外一点，若A0，A1，A2，A3，A4，A5，…，A2013中任意相邻两点的距离相等，设，用表示，其结果为．13．（4分）设函数f（x）=x|x|，将f（x）向左平移a（a＞0）个单位得到函数g （x），将f（x）向上平移a（a＞0）个单位得到函数h（x），若g（x）的图象恒在h（x）的图象的上方，则正数a的取值范围为．14．（4分）如图，现将一张正方形纸片进行如下操作：第一步，将纸片以D为顶点，任意向上翻折，折痕与BC交于点E1，然后复原，记∠CDE1=α1；第二步，将纸片以D为顶点向下翻折，使AD与E1D重合，得到折痕E2D，然后复原，记∠ADE2=α2；第三步，将纸片以D为顶点向上翻折，使CD与E2D 重合，得到折痕E3D，然后复原，记∠CDE3=α3；按此折法从第二步起重复以上步骤…，得到α1，α2，…，αn，…，则=．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）已知a，b为实数，命题甲：ab＞b2，命题乙：，则甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件16．（5分）已知函数，设F（x）=x2•f（x），则F（x）是（）A．奇函数，在（﹣∞，+∞）上单调递减B．奇函数，在（﹣∞，+∞）上单调递增C．偶函数，在（﹣∞，0）上递减，在（0，+∞）上递增D．偶函数，在（﹣∞，0）上递增，在（0，+∞）上递减17．（5分）气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22 （℃）”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）：①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8；则肯定进入夏季的地区有（）A．0个B．1个C．2个D．3个18．（5分）如图所示，向量的模是向量的模的t倍，的夹角为θ，那么我们称向量经过一次（t，θ）变换得到向量．在直角坐标平面内，设起始向量，向量经过n﹣1次变换得到的向量为，其中为逆时针排列，记A i 坐标为（a i，b i）（i∈N*），则下列命题中不正确的是（）A．B．b3k+1﹣b3k=0（k∈N*）C．a3k+1﹣a3k﹣1=0（k∈N*）D．8（a k+4﹣a k+3）+（a k+1﹣a k）=0（k∈N*）三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且，若，△ABC的面积，求a+c的值．20．（14分）某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，比例系数为k．轮船的最大速度为15海里/小时．当船速为10海里/小时，它的燃料费是每小时96元，其余航行运作费用（不论速度如何）总计是每小时150元．假定运行过程中轮船以速度v匀速航行．（1）求k的值；（2）求该轮船航行100海里的总费用W（燃料费+航行运作费用）的最小值．21．（14分）如图，已知ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，它的底面边长和侧棱长都是2，D为侧棱CC1的中点．（1）求异面直线A1D与BC所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）求直线A1B1到平面DAB的距离．22．（16分）已知数列{a n}（n∈N•）的前n项和为S n，数列{}是首项为0，公差为的等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=•（﹣2）（n∈N•），对任意的正整数k，将集合{b2k﹣1，b2k，b2k+1}中的三个元素排成一个递增的等差数列，其公差为d k，求数列{d k}的通项公式．（3）对（Ⅱ）中的d k，求集合{x|d k＜x＜d k+1，x∈Z}的元素个数．23．（18分）已知双曲线C的中心在原点，D（1，0）是它的一个顶点，=是它的一条渐近线的一个方向向量．（1）求双曲线C的方程；（2）若过点（﹣3，0）任意作一条直线与双曲线C交于A，B两点（A，B都不同于点D），求证：为定值；（3）对于双曲线Γ：，E为它的右顶点，M，N为双曲线Γ上的两点（都不同于点E），且EM⊥EN，那么直线MN是否过定点？若是，请求出此定点的坐标；若不是，说明理由．然后在以下三个情形中选择一个，写出类似结论（不要求书写求解或证明过程）．情形一：双曲线及它的左顶点；情形二：抛物线y2=2px（p＞0）及它的顶点；情形三：椭圆及它的顶点．2013年上海市徐汇区、松江区、金山区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．（4分）若函数f（x）=a x（a＞0，且a≠1）的反函数的图象过点（2，﹣1），则a=．【考点】4R：反函数．【专题】11：计算题．【分析】欲求a的值，可先列出关于a的两个方程，由已知得y=f（x）的反函数图象过定点（2，﹣1），根据互为反函数的图象的对称性可知，原函数图象过（﹣1，2），从而解决问题．【解答】解：若函数f（x）=a x（a＞0，且a≠1）的反函数的图象过点（2，﹣1），则原函数的图象过点（﹣1，2），∴2=a﹣1，a=．故答案为．【点评】本题考查反函数的求法，属于基础题目，要会求一些简单函数的反函数，掌握互为反函数的函数图象间的关系．2．（4分）已知函数的值域为A，集合B={x|＜0}，则A∩B=[2，3）．【考点】1E：交集及其运算；O1：二阶矩阵．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】根据幂函数的单调性，求出函数的值域确定出集合A，然后根据二阶行列式化简集合B后解不等式确定出集合B，最后求出两集合的交集即可．【解答】解：由函数是增函数，得：A=[2，4]，由＜0得到x2﹣4x+3＜0，∴1＜x＜3，∴B=（1，3），∴A∩B=[2，3）．故答案为：[2，3）．【点评】此题属于以函数的值域、二阶矩阵为平台，考查了交集的运算，要求学生熟练掌握幂函数的性质及二阶行列式的计算．3．（4分）已知=﹣．【考点】GS：二倍角的三角函数．【专题】11：计算题．【分析】先利用诱导公式化简cos（π﹣α）=﹣cosα=﹣，求出cosα，然后根据sin2α+cos2α=1，以及α∈（﹣，0），求出sin a，进而求得tanα，再利用二倍角的正切，求出结果．【解答】解：∵cos（π﹣α）=﹣cosα=﹣∴cosα=∴sinα=±=±∵α∈（﹣，0）∴sinαα=﹣∴tanα=﹣tan2α==﹣故答案为﹣．【点评】本题考查了二倍角正切以及诱导公式，解题过程中要注意α的范围，属于基础题．4．（4分）已知圆锥的母线长为5，侧面积为15π，则此圆锥的体积为12π（结果保留π）．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】设圆锥的底面半径为r，母线为l，高为h，根据侧面积公式算出底面半径r=3，用勾股定理算出高h==4，代入圆锥体积公式即可算出此圆锥的体积．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线为l，高为h∵圆锥的母线长为l=5，侧面积为15π，∴×l×r=15π，解之得底面半径r=3因此，圆锥的高h==4∴圆锥的体积为：V=πr2h=×π×9×4=12π故答案为：12π【点评】本题给出圆锥母线长和侧面积，求它的体积，着重考查了圆锥的侧面积公式和体积公式等知识，属于基础题．5．（4分）已知x=﹣3﹣2i（i为虚数单位）是一元二次方程x2+ax+b=0（a，b均为实数）的一个根，则a+b=19．【考点】A1：虚数单位i、复数；A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】把x=﹣3﹣2i（i为虚数单位）代入方程，利用复数的运算法则进行化简，再根据复数相等即可得出．【解答】解：∵x=﹣3﹣2i（i为虚数单位）是一元二次方程x2+ax+b=0（a，b均为实数）的一个根，∴（﹣3﹣2i）2+a（﹣3﹣2i）+b=0，化为5﹣3a+b+（12﹣2a）i=0．根据复数相等即可得到，解得．∴a+b=19．故答案为19．【点评】熟练掌握方程的根的意义、复数的运算法则和复数相等的定义是解题的关键．6．（4分）如图给出的是计算的值的一个程序框图，图中空白执行框内应填入i=i+2．【考点】EF：程序框图．【专题】27：图表型．【分析】由已知中该程序的功能是计算的值，最后一次进入循环的终值为2013，即小于等于2013的数满足循环条件，大于2013的数不满足循环条件，由循环变量的初值为1，步长为2，由此易给出执行框中填写的语句．【解答】解：∵该程序的功能是计算的值，最后一次进入循环的终值为2013，即小于等于2013的数满足循环条件，大于2013的数不满足循环条件，由循环变量的初值为1，步长为2，故执行框中应该填的语句是：i=i+2．故答案为：i+2．【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．7．（4分）在极坐标系中，过圆ρ=6cosθ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为ρcosθ=3．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【专题】11：计算题．【分析】先将原极坐标方程ρ=6cosθ的两边同乘以ρ后化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程进行求解即可．【解答】解：由题意可知圆的标准方程为：（x﹣3）2+y2=9，圆心是（3，0），所求直线标准方程为x=3，则极坐标方程为ρcosθ=3．故答案为：ρcosθ=3．【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．8．（4分）将参数方程（θ为参数，θ∈R）化为普通方程，所得方程是y=﹣x2+3（）．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【专题】2A：探究型．【分析】将参数方程化为普通方程，就是将其中的参数消掉，可以借助于三角函数的平方关系，因此想到把①两边平方，然后和②相加即可，同时求出x的范围．【解答】解：由，因为θ∈R，所以﹣1≤sinθ≤1，则．由①两边平方得：x2=2sin2θ③由②得y﹣1=2cos2θ④③+④得：x2+y﹣1=2，即y=﹣x2+3（）．故答案为y=﹣x2+3（）．【点评】本题考查了化参数方程为普通方程，解答此类问题的关键是如何把题目中的参数消掉，常用的方法有代入法，加减消元法等，同时注意消参后变量的范围限制，是基础题．9．（4分）在二项式的展开式中，常数项的值是﹣20，则=．【考点】8J：数列的极限；DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】先求出二项式的展开式的通项为T r+1=，令6﹣2r=0可求r，结合已知常数项的值可求a，然后利用等比数列的和对已知式子求和，即可求解极限【解答】解：由题意二项式的展开式的通项为T r+1=令6﹣2r=0可得r=3此时的常数项为=﹣20，解得a=则==故答案为：【点评】本题主要考查了利用二项展开式的通项求解指定项，等比数列的求和公式的应用及数列极限的求解．10．（4分）一质地均匀的正方体三个面标有数字0，另外三个面标有数字1．将此正方体连续抛掷两次，若用随机变量ξ表示两次抛掷后向上面所标有的数字之积，则数学期望Eξ=．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】5I：概率与统计．【分析】由题意可知两次抛掷后向上面所标有的数字有以下四种类型：（0，0），（0，1），（1，0），（1，1），可得ξ的取值为0，1．抛掷一次后出现数字1为事件A，出现数字0为事件B．由古典概型可得p（A）=P（B）=．由于ξ=1当且仅当两次抛掷后向上面所标有的数字都为1，故可求得P（ξ=1），再利用对立事件的概率计算公式可得P（ξ=0），进而得到数学期望Eξ．【解答】解：由题意可知两次抛掷后向上面所标有的数字有以下四种类型：（0，0），（0，1），（1，0），（1，1），因此ξ的取值为0，1．设抛掷一次后出现数字1为事件A，出现数字0为事件B．由古典概型可得p（A）=P（B）=．ξ=1当且仅当两次抛掷后向上面所标有的数字都为1，故P（ξ=1）==，∴P（ξ=0）=1﹣P（ξ=0）==．故随机变量ξ的分布列为：故Eξ=．故答案为．【点评】知道两次抛掷后向上面所标有的数字分为四种类型，正确理解古典概型的概率计算公式、相互独立事件的概率计算公式、对立事件的概率计算公式、数学期望的计算公式是解题的关键．11．（4分）已知椭圆内有两点A（1，3），B（3，0），P为椭圆上一点，则|P A|+|PB|的最大值为15．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据椭圆的方程，算出它的焦点坐标为B（3，0）和B'（﹣3，0）．因此连接PB'、AB'，根据椭圆的定义得|P A|+|PB|=|P A|+（2a﹣|PB'|）=10+（|P A|﹣|PB'|）．再由三角形两边之差小于第三边，得到当且仅当点P在AB'延长线上时，|P A|+|PB|=10+|AB'|=15达到最大值，从而得到本题答案．【解答】解：∵椭圆方程为，∴焦点坐标为B（3，0）和B'（﹣3，0）连接PB'、AB'，根据椭圆的定义，得|PB|+|PB'|=2a=10，可得|PB|=10﹣|PB'|因此，|P A|+|PB|=|P A|+（10﹣|PB'|）=10+（|P A|﹣|PB'|）∵|P A|﹣|PB'|≤|AB'|∴|P A|+|PB|≤10+|AB'|=10+=10+5=15当且仅当点P在AB'延长线上时，等号成立综上所述，可得|P A|+|PB|的最大值为15故答案为：15【点评】本题给出椭圆内部一点A，求椭圆上动点P与A点和一个焦点距离B 和的最大值，着重考查了椭圆的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．12．（4分）如图，O为直线A0A2013外一点，若A0，A1，A2，A3，A4，A5，…，A2013中任意相邻两点的距离相等，设，用表示，其结果为1007（）．【考点】9H：平面向量的基本定理．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】设A0A2013的中点为A，则A也是A1A2012，…A1006A1007的中点，可得===…=，共1007个式子，代入可得答案．【解答】解：设A0A2013的中点为A，则A也是A1A2012，…A1006A1007的中点，由向量的中点公式可得=2=，同理可得==…=，故=1007×2=1007（）故答案为：1007（）【点评】本题考查平面向量基本定理及其意义，向量的中点公式是解决问题的关键，属中档题．13．（4分）设函数f（x）=x|x|，将f（x）向左平移a（a＞0）个单位得到函数g （x），将f（x）向上平移a（a＞0）个单位得到函数h（x），若g（x）的图象恒在h（x）的图象的上方，则正数a的取值范围为a＞2．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】求出平移后的两个函数解析式，通过g（x）的图象恒在h（x）的图象的上方，利用数形结合法，求出a的范围即可．【解答】解：函数f（x）=x|x|=，将f（x）向左平移a（a＞0）个单位得到函数g（x），g（x）=，将f（x）向上平移a（a＞0）个单位得到函数h（x），h（x）=，分别作出它们的图象，由图象可知，当g（x）的图象恒在h（x）的图象的上方时，a＞2．则正数a的取值范围为a＞2．故答案为：a＞2．【点评】本题考查函数的图象与图象变化，考查数形结合思想，解题时要认真审题，仔细解答，注意数学思想的应用．14．（4分）如图，现将一张正方形纸片进行如下操作：第一步，将纸片以D为顶点，任意向上翻折，折痕与BC交于点E1，然后复原，记∠CDE1=α1；第二步，将纸片以D为顶点向下翻折，使AD与E1D重合，得到折痕E2D，然后复原，记∠ADE2=α2；第三步，将纸片以D为顶点向上翻折，使CD与E2D 重合，得到折痕E3D，然后复原，记∠CDE3=α3；按此折法从第二步起重复以上步骤…，得到α1，α2，…，αn，…，则=．【考点】8J：数列的极限．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】由第二步、第三步，…依此类推：（n≥2）．若，则；若，则数列{}是以为首项，为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式就得出αn，再利用数列极限即可得出．【解答】解：由第二步可知：；由第三步可知：，…依此类推：（n≥2）．∴，∴，①若，则，此时；②若，则数列{}是以为首项，为公比的等比数列，∴，即．∴==．综上可知：．故答案为．【点评】由第二步、第三步，…依此类推：（n≥2）．及熟练掌握等比数列的通项公式和数列极限的定义和运算法则是解题的关键．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）已知a，b为实数，命题甲：ab＞b2，命题乙：，则甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】11：计算题．【分析】举反例a=2，b=1，可证甲不能推乙，由不等式的性质可证乙可推甲，由充要条件的定义可得．【解答】解：命题甲：ab＞b2，不能推出命题乙：，比如当取a=2，b=1，当然满足甲，但推不出乙；若命题乙：成立，则可得a，b均为负值，且a＜b，由不等式的性质两边同乘以b可得ab＞b2，即甲成立，故甲是乙的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题考查充要条件，利用不等式的性质和反例法是解决问题的关键，属基础题．16．（5分）已知函数，设F（x）=x2•f（x），则F（x）是（）A．奇函数，在（﹣∞，+∞）上单调递减B．奇函数，在（﹣∞，+∞）上单调递增C．偶函数，在（﹣∞，0）上递减，在（0，+∞）上递增D．偶函数，在（﹣∞，0）上递增，在（0，+∞）上递减【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】由f（﹣x）=﹣f（x）可知f（x）为奇函数，利用奇偶函数的概念即可判断设F（x）=x2•f（x）的奇偶性，从而得到答案．【解答】解：∵f（﹣x）==﹣=﹣f（x），∴f（x）为奇函数，又F（x）=x2•f（x），∴F（﹣x）=（﹣x）2•f（﹣x）=﹣x2•f（x）=﹣F（x），∴F（x）是奇函数，可排除C，D．又F（x）=x2•f（x）=，∴F（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，可排除A，故选：B．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性，着重考查函数奇偶性的定义的应用，属于基础题．17．（5分）气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22 （℃）”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）：①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8；则肯定进入夏季的地区有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【考点】F4：进行简单的合情推理．【专题】11：计算题．【分析】根据数据的特点进行估计出甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据，分析数据的可能性进行解答即可得出答案．【解答】解：①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22，根据数据得出：甲地连续5天的日平均温度的记录数据可能为：22，22，24，25，26．其连续5天的日平均温度均不低于22．②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24．当5个数据为19，20，27，27，27可知其连续5天的日平均温度有低于22，故不确定．③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，若有低于22，则取21，此时方差就超出了10.8，可知其连续5天的日平均温度均不低于22．则肯定进入夏季的地区有甲、丙两地．故选：C．【点评】本题主要了进行简单的合情推理．解答此题应结合题意，根据平均数的计算方法进行解答即可．18．（5分）如图所示，向量的模是向量的模的t倍，的夹角为θ，那么我们称向量经过一次（t，θ）变换得到向量．在直角坐标平面内，设起始向量，向量经过n﹣1次变换得到的向量为，其中为逆时针排列，记A i 坐标为（a i，b i）（i∈N*），则下列命题中不正确的是（）A．B．b3k+1﹣b3k=0（k∈N*）C．a3k+1﹣a3k﹣1=0（k∈N*）D．8（a k+4﹣a k+3）+（a k+1﹣a k）=0（k∈N*）【考点】2K：命题的真假判断与应用；9S：数量积表示两个向量的夹角．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】利用变换的定义，推导知的向量坐标，然后求出a n，b n的表达式，然后进行计算即可．【解答】解：向量，经过1次变换后得到，则，所以，即A正确．则由题意知=，所以，．所以，所以B正确．==，所以C正确．故错误的是D．故选：D．【点评】本题是新定义题目，首先读懂新定义的实质，转化成我们已有的知识并解决．本题实质考查向量的坐标运算，几何运算，难度较大．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且，若，△ABC的面积，求a+c的值．【考点】GP：两角和与差的三角函数；HR：余弦定理．【专题】58：解三角形．【分析】由条件可知，根据△ABC的面积，求得ac=3，分B为锐角和钝角两种情况，由余弦定理求得a+c的值，综合可得结论．【解答】解：在△ABC中，由条件可知，，即，∵，∴ac=3．根据，若B为锐角，则cos B=，由余弦定理b2=a2+c2﹣2ac cos B，得b2=（a+c）2﹣2ac﹣2ac cos B，于是，，∴a+c=4．若B为钝角，则cos B=﹣，由余弦定理b2=a2+c2﹣2ac cos B，得b2=（a+c）2﹣2ac﹣2ac cos B，于是，，解得a+c=．此时，∵（a﹣c）2=（a+c）2﹣4ac=10﹣12=﹣2，矛盾，故a+c=是不可能的，即B不能为钝角，综上可得，a+c=4．【点评】本题主要考查余弦定理，两角和差的正弦公式，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．20．（14分）某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，比例系数为k．轮船的最大速度为15海里/小时．当船速为10海里/小时，它的燃料费是每小时96元，其余航行运作费用（不论速度如何）总计是每小时150元．假定运行过程中轮船以速度v匀速航行．（1）求k的值；（2）求该轮船航行100海里的总费用W（燃料费+航行运作费用）的最小值．【考点】5C：根据实际问题选择函数类型；7F：基本不等式及其应用．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】（1）根据题意，设比例系数为k，得燃料费为，将v=10时W1=96代入即可算出k的值；（2）算出航行100海里的时间为小时，可燃料费为96v，其余航行运作费用为元，由此可得航行100海里的总费用为，再运用基本不等式即可算出当且仅当v=12.5时，总费用W的最小值为2400（元）．【解答】解：（1）由题意，设燃料费为，∵当船速为10海里/小时，它的燃料费是每小时96元，∴当v=10时，W1=96，可得96=k×102，解之得k=0.96．（2）∵其余航行运作费用（不论速度如何）总计是每小时150元．∴航行100海里的时间为小时，可得其余航行运作费用为=元因此，航行100海里的总费用为=（0＜v≤15）∵，∴当且仅当时，即时，航行100海里的总费用最小，且这个最小值为2400元．答：（1）k值为0.96，（2）该轮船航行100海里的总费用W的最小值为2400（元）．【点评】本题给出函数应用题，求航行所需费用的最小值，着重考查应用题的转化能力、运用基本不等式求最值和基本不等式取等号的条件等知识，属于中档题．21．（14分）如图，已知ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，它的底面边长和侧棱长都是2，D为侧棱CC1的中点．（1）求异面直线A1D与BC所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）求直线A1B1到平面DAB的距离．【考点】LM：异面直线及其所成的角；MK：点、线、面间的距离计算．【专题】5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（1）可通过建立空间直角坐标系，利用向量坐标运算求向量的夹角来求异面直线所成的角；或通过作平行线，再解三角形求解；（2）根据转化思想，线面距离转化为点到平面的距离，再利用三棱锥的换底性求解．【解答】解：（1）方法一：以A1B1中点O为坐标原点，如图建立空间直角坐标系．由题意得则设θ为向量的夹角，，∴异面直线A1D与BC所成角的大小为arccos．方法二：取B1B中点E，连结A1E，DE．∵DE∥CB∴∠A1DE为异面直线A1D与BC所成的角．在Rt△A1B1E中，；在Rt△A1C1D中，；．∴异面直线A1D与BC所成角的大小为arccos．（2）∵AB∥A1B1，∴A1B1∥平面ABD，∴A1B1到平面DAB的距离即为A1到平面DAB的距离，设为h．由题意得，等腰△ADB底边AB上的高为，，则，且D到平面ABB1A1的距离为，由得•h=××，×S△ABD∴，∴直线A1B1到平面DAB的距离为．【点评】本题考查异面直线所成的角及线面距离问题．22．（16分）已知数列{a n}（n∈N•）的前n项和为S n，数列{}是首项为0，公差为的等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=•（﹣2）（n∈N•），对任意的正整数k，将集合{b2k﹣1，b2k，b2k+1}中的三个元素排成一个递增的等差数列，其公差为d k，求数列{d k}的通项公式．（3）对（Ⅱ）中的d k，求集合{x|d k＜x＜d k+1，x∈Z}的元素个数．【考点】84：等差数列的通项公式；87：等比数列的性质；88：等比数列的通项公式；8E：数列的求和．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】（1）利用等差数列的通项公式即可得出；（2）利用（1）得出b n，从而得出b2k，b2k﹣1，b2k+1依次成递增的等差数列，求出d k=b2k+1﹣b2k﹣1，利用等比数列的定义即可判断出结论；（3）对k分奇数、偶数讨论，利用二项式定理展开，即可得出集合元素的个数．【解答】解：（1）由条件得，即，∴．（2）由（1）可知∴，，，=b2k+b2k+1及b2k＜b2k﹣1＜b2k+1得b2k，b2k﹣1，b2k+1依次成递增的等差数列，由2b2k﹣1所以，满足为常数，所以数列{d k}为等比数列．（3）①当k为奇数时，同样，可得，所以，集合{x|d k＜x＜d k+1，x∈Z}的元素个数为=；②当k为偶数时，同理可得集合{x|d k＜x＜d k+1，x∈Z}的元素个数为【点评】熟练掌握等差数列的通项公式、等比数列的定义、二项式定理、分类讨论的思想方法是解题的关键．23．（18分）已知双曲线C的中心在原点，D（1，0）是它的一个顶点，=是它的一条渐近线的一个方向向量．（1）求双曲线C的方程；（2）若过点（﹣3，0）任意作一条直线与双曲线C交于A，B两点（A，B都不同于点D），求证：为定值；（3）对于双曲线Γ：，E为它的右顶点，M，N为双曲线Γ上的两点（都不同于点E），且EM⊥EN，那么直线MN是否过定点？若是，请求出此定点的坐标；若不是，说明理由．然后在以下三个情形中选择一个，写出类似结论（不要求书写求解或证明过程）．情形一：双曲线及它的左顶点；情形二：抛物线y2=2px（p＞0）及它的顶点；情形三：椭圆及它的顶点．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；F3：类比推理；KB：双曲线的标准方程．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设双曲线C的方程为，由顶点坐标、渐近线方程及a、b、c的关系求出a、b的值即得．（2）设P（x1，y1），R（x2，y2），当直线l的斜率存在时，设设此直线方程为y=k。

2013年上海市静安区、青浦区中考二模数学试题及答案(解析版)

上海市静安区、青浦区2013年中考二模数学试题一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂]．．．．B、﹣5．（4分）（2013•老河口市模拟）如果▱ABCD的对角线相交于点O，那么在下列条件中，能判断▱ABCD6．（4分）（2013•静安区二模）一个图形沿一条直线翻折后再沿这条直线的方向平移，我们把这样的图形运动称为图形的翻移，这条直线称为翻移线．如图△A2B2C2是由△ABC沿直线l翻移后得到的．在下列结论中，图形的翻移所具有的性质是（）二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案]7．（4分）（2013•静安区二模）计算：=．=故答案为：8．（4分）（2013•静安区二模）不等式组的解集是x＞2．解：＞．＞9．（4分）（2013•静安区二模）如果一个数的倒数等于它本身，则这个数是±1．10．（4分）（2013•静安区二模）如果关于x的方程x2﹣6x+m﹣1=0没有实数根，那么m的取值范围是m ＞10．11．（4分）（2013•静安区二模）如果点A（﹣1，2）在一个正比例函数y=f（x）的图象上，那么y随着x 的增大而减小（填“增大”或“减小”）．12．（4分）（2013•静安区二模）将抛物线y=2x2+1向右平移3个单位，所得抛物线的表达式是y=2（x ﹣3）2+1．13．（4分）（2013•静安区二模）某校200名学生一次数学测试的分数均大于75且小于150，分数段的频数分布情况如下：75～90有15人，90～105有42人，105～120有58人，135～150有35人（其中每个分数段可包括最小值，不包括最大值），那么测试分数在120～135分数段的频率是0.25．即可求出测试分数在==14．（4分）（2013•静安区二模）从点数为1、2、3、4、5的五张扑克牌中随机摸出两张牌，摸到的两张牌的点数之和为素数的概率是．∴摸到的两张牌的点数之和为素数的概率是：=故答案为：．15．（4分）（2013•静安区二模）在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=3AD，，那么=．，则可表示出、，从而可得出===，又∵=，=﹣=﹣．故答案为：﹣﹣．16．（4分）（2013•静安区二模）如果⊙O1与⊙O2内含，O1O2=4，⊙O1的半径是3，那么⊙O2的半径的取值范围是r＞7．17．（4分）（2013•静安区二模）在△ABC中，∠A=40°，△ABC绕点A旋转后点C落在边AB上的点C′，点B落到点B′，如果点C、C′、B′在同一直线上，那么∠B的度数是30°．C=（18．（4分）（2013•静安区二模）在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、AD上，四边形EFGH是矩形，EF=2FG，那么矩形EFGH与正方形ABCD的面积比是．EF=2a的面积比是故答案为：三、解答题：（本大题共7题，满分78分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上] 19．（10分）（2013•静安区二模）化简：，并求当时的值．+．=20．（10分）（2013•静安区二模）解方程组：．解：原方程组可化为，，，解得原方程组的解是，21．（10分）（2013•静安区二模）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，对角线AC、BD 相交于点E，BD⊥CD，AB=12，cot∠ADB=．求：（1）∠DBC的余弦值；（2）DE的长．ADB=，ADB=，=，BD==20ADB==；DBC==，==，=，DE=BD=20=．22．（10分）（2013•静安区二模）一辆高铁列车与另一辆动车组列车在1320公里的京沪高速铁路上运行时，高铁列车比动车组列车平均速度每小时快99公里，用时少3小时，求这辆高铁列车全程的运行时间和平均速度．时，23．（12分）（2013•静安区二模）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在边AC、AB上，DA=DB，BD与CE相交于点F，∠AFD=∠BEC．求证：（1）AF=CE；（2）BF2=EF•AF．，．24．（12分）（2013•静安区二模）已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，AH=5，CD=，点E在⊙O上，射线AE与射线CD相交于点F，设AE=x，DF=y．（1）求⊙O的半径；（2）如图，当点E在AD上时，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）如果EF=，求DF的长．DC=2，在2AG=AE=，再在=；x=BE=FH=2；，然后利用DH=DC=4，2，的半径为；AG=AE=x：==y=，；，即x=﹣DF=y===，=BE==：﹣，DF=DH+FH=2+25．（14分）（2013•静安区二模）如图，点A（2，6）和点B（点B在点A的右侧）在反比例函数的图象上，点C在y轴上，BC∥x轴，tan∠ACB=2，二次函数的图象经过A、B、C三点．（1）求反比例函数和二次函数的解析式；（2）如果点D在x轴的正半轴上，点E在反比例函数的图象上，四边形ACDE是平行四边形，求边CD 的长．y=，由，6=∴反比例函数的解析式为，解得故二次函数的解析式为；CD=。

上海2013届高三静安、杨浦、宝山、青浦四区二模数学-文--含答案

2012学年静安、杨浦、青浦宝山区高三年级高考模拟考试数学试卷（文科） 2013.04.（满分150分，答题时间120分钟）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知全集R U =，集合{}0322>--=x x x A ，则=A C U . 2．若复数z 满足)2(z i z -=（i 是虚数单位），则=z . 3．已知直线012=++y x 的倾斜角大小是θ，则=θ2tan . 4．若关于y x 、的二元一次方程组⎩⎨⎧=-+-=+-04)12(03y x m y mx 有唯一一组解，则实数m 的取值范围是 .5．已知函数)(x f y =和函数)1(log 2+=x y 的图像关于直线0=-y x 对称，则函数)(x f y =的解析式为 .6．已知双曲线的方程为1322=-y x ，则此双曲线的焦点到渐近线的距离为 . 7．函数xx x x x f cos sin sin cos )(=的最小正周期=T .8．若⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥621y x y x ，则目标函数y x z +=2的最小值为 .9．执行如图所示的程序框图，若输入p 的值是7，则输出S 的值是 .10．已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm ，如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等，那么这个圆锥的母线长为 cm ． 11．某中学在高一年级开设了4门选修课，每名学生必须参加这4门选修课中的一门，对于该年级的甲乙2名学生，这2名学生选择的选修课相同的概率是 (结果用最简分数表示)．12．各项为正数的无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1lim 1=+∞→n nn S S ，则其公比q 的取值范围是 .13．已知函数x x x f =)(.当[]1,+∈a a x 时，不等式)(4)2(x f a x f >+恒成立，则实数a 的取值范围是 .14．函数)(x f y =的定义域为[)(]1,00,1 -，其图像上任一点),(y x P 满足122=+y x ．①函数)(x f y =一定是偶函数；②函数)(x f y =可能既不是偶函数，也不是奇函数； ③函数)(x f y =可以是奇函数；④函数)(x f y =如果是偶函数，则值域是[)1,0或(]0,1-； ⑤函数)(x f y =值域是()1,1-，则)(x f y =一定是奇函数．其中正确命题的序号是（填上所有正确的序号）．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 15．已知),2(ππα∈，53sin =α，则)4tan(πα-的值等于………………………（）（A ）71. （B ）71- . （C ）7 . （D ）7-. 16．一个空间几何体的正视图、侧视图为两个边长是1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的表面积等于 ………………………………………………（）（A ） 22+. （B ）23+. （C ）24+.（D ）6.17．若直线2=+by ax 通过点)sin ,(cos ααM ，则 ………………………………（）（A ） 422≤+b a . （B ）422≥+b a .（C ）41122≤+b a . （D ）41122≥+b a .18．某同学为了研究函数)10()1(11)(22≤≤-+++=x x x x f 的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD 和BEFC ，点P 是边BC 上的一个动点，设x CP =，则PF AP x f +=)(．那么，可推知方程222)(=x f 解的个数是………………………………………………………（）（A ）0. （B ）1. （C ）2. （D ）4.三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）本题共有2小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．如图，设计一个正四棱锥形冷水塔，高是85.0米，底面的边长是5.1米．（1）求这个正四棱锥形冷水塔的容积；（2）制造这个水塔的侧面需要多少平方米钢板？ (精确到01.0米2)20．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图所示，扇形AOB ，圆心角AOB 的大小等于3π，半径为2，在半径OA 上有一动点C ，过点C 作平行于OB 的直线交弧AB 于点P ．（1）若C 是OA 的中点，求PC ；（2）设θ=∠COP ，求△POC 周长的最大值及此时θ的值．21．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知椭圆141222=+Γy x ：. （1）直线AB 过椭圆Γ的中心交椭圆于B A 、两点，C 是它的右顶点，当直线AB 的斜率为1时，求△ABC 的面积；（2）设直线2+=kx y l ：与椭圆Γ交于Q P 、两点，且线段PQ 的垂直平分线过椭圆Γ与y 轴负半轴的交点D ，求实数k 的值．22．（本题满分16分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知函数a x x f +=2)(．（1）若函数))((x f f y =的图像过原点，求)(x f 的解析式；（2）若12)()(++=bx x f x F 是偶函数，在定义域上ax x F ≥)(恒成立，求实数a 的取值范围；（3）当1=a 时，令)())(()(x f x f f x λϕ-=，问是否存在实数λ，使)(x ϕ在()1,-∞-上是减函数，在()0,1-上是增函数？如果存在，求出λ的值；如果不存在，请说明理由．23．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且21=a ，3)1(1++=+n n S na n n ．从}{n a 中抽出部分项 ,,,,21n k k k a a a ,)(21 <<<<n k k k 组成的数列}{n k a 是等比数列，设该等比数列的公比为q ，其中*1,1N n k ∈=．（1）求2a 的值；（2）当q 取最小时，求}{n k 的通项公式；（3）求n k k k +++ 21的值．四区联考2012学年度第二学期高三数学（文理）参考答案及评分标准 2013.04说明1．本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但是原则上不应超出后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分． 3．第19题至第23题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数． 4．给分或扣分均以1分为单位．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．]3,1[-； 2．2； 3．34； 4．31≠m ； 5．12-=xy ； 6．1； 7．（文、理）π；8．（文）4（理）5；9．6463；10．17；11．（文）414214=C （理）834334=P ；12．(]1,0；13．（文）(1,)+∞（理）334；14．（文）②③⑤（理）)25,17(． ② 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15． D ； 16．（文）B （理）A ； 17． B ；18．（文）C （理）A三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19．（本题满分12分）本题共有2小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分． (文)解：（1）如图正四棱锥底面的边长是5.1米，高是85.0米 sh V 31=36375.085.05.15.131m =⨯⨯⨯= 所以这个四棱锥冷水塔的容积是36375.0m ．(2)如图，取底面边长的中点E ，连接SE ，222275.085.0+=+=EO SO SESE ⨯⨯⨯=5.1214S 侧22240.375.085.05.1214m ≈+⨯⨯⨯=答：制造这个水塔的侧面需要3.40平方米钢板．（理）19．（1）（理）解法一：建立坐标系如图平面11BCC B 的一个法向量为)0,1,0(1=n 因为)2,1,2(E )0,2,0(C ，)2,1,2(--=∴EC ，可知直线EC 的一个方向向量为)2,1,2(--=∴．设直线EC 与平面11BCC B 成角为θ，与1n 所成角为ϕ，则31191cos sin =⨯===ϕθ31arcsin BCC B 11成角大小为与平面故EC19（1）解法二：⊥1EB 平面11BCC B ，即C B 1为EC 在平面11BCC B 内的射影，故1ECB ∠为直线EC 与平面11BCC B 所成角，在C EB Rt 1∆中，22,1EB 11==C B ,42221tan 111===∠C B EB ECB 故 42arctanBCC B 11成角大小为与平面故EC 19（2）（理科）解法一：建立坐标系如图．平面ABCD 的一个法向量为)1,0,0(1=n设平面AEF 的一个法向量为),,(2z y x n =，因为)0,1,2(-=AF ，)2,1,0(=AE 所以⎩⎨⎧=+=+-0202z y y x ，令1=x ，则1,2-==z y )1,2,1(2-=⇒n661411cos =++-==θ由图知二面角B AF E --为锐二面角，故其大小为66arccos．19（2）解法二：过E 作平面ABC 的垂线，垂足为E '，E EG '∠即为所求AB E ∈'，过E '作AF 的垂线设垂足为G ，ADF ∆∽AGE ∆521='⇒=''E G AF AD E A E G 即52='E G在Q E E Rt '∆中5tan =''='∠E G E E E EG所以二面角B AF E --的大小为5arctan ．20．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．解:（1）在△POC 中，32π=∠OCP ，1,2==OC OP 由32cos 2222πPC OC PC OC OP ⋅-+=得032=-+PC PC ，解得2131+-=PC ．（2）∵CP ∥OB ，∴θπ-=∠=∠3POB CPO ，在△POC 中，由正弦定理得θsin sin CPPCO OP =∠，即θπsin 32sin 2CP = ∴θsin 34=CP ,又32sin )3sin(πθπCP OC =-)3sin(34θπ-=∴OC ．（文）记△POC 的周长为)(θC ，则2)3sin(34sin 342)(+-+=++=θπθθOC CP C1sin 22223πθθθ⎛⎫⎛⎫++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭∴6πθ=时，)(θC2. （理）解法一：记△POC 的面积为)(θS ，则32sin 21)(πθOC CP S ⋅=， 23)3sin(34sin 3421⨯-⋅⋅=θπθ)3sin(sin 34θπθ-⋅= )sin 21cos 23(sin 34θθθ-=θθθ2sin 32cos sin 2-= 332cos 332sin -+=θθ33)62(sin 332-+=πθ∴6πθ=时，)(θS 取得最大值为33. 解法二：212432cos 22-=⋅-+=PC OC PC OC π即422=⋅++PC OC PC OC ，又PC OC PC OC PC OC ⋅≥⋅++322即43≤⋅PC OC当且仅当PC OC =时等号成立, 所以3323342132sin 21=⨯⨯≤⋅=πOC CP SPC OC = ∴6πθ=时，)(θS 取得最大值为33. 21．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．（文）解：(1)依题意，32=a ，)0,32(C ，由221124x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，得y =设),(11y x A ),(22y x B ，32=OC∴63232212121=⨯⨯=-⋅=∆y y OC S ABC ； (2)如图，由2221124y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(31)120k x kx ++=，0)12(2≥=∆k 依题意，0k ≠，设1122()()P x y Q x y ，，，，线段PQ 的中点00()H x y ，，则12026231x x k x k +-==+，0022231y kx k =+=+，D (0 2)-，，由1-=⋅PQ DH k k ，得2222311631k k k k ++⋅=--+，∴k = （理）解:（1）12)(2+++=bx a x x F 是偶函数，0=∴b即2)(2++=a x x F ，R x ∈ 又ax x F ≥)(恒成立即2)1(222+≤-⇒≥++x x a ax a x 当1=x 时R a ∈⇒当1>x 时，213)1(122+-+-=-+≤x x x x a ，232+≤a当1<x 时，213)1(122+-+-=-+≥x x x x a ， 232+-≥a综上： 232232+≤≤+-a （2）)())(()(x f x f f x λϕ-=)2()2(24λλ-+-+=x x)(x ϕ∴是偶函数，要使)(x ϕ在()1,-∞-上是减函数在()0,1-上是增函数，即)(x ϕ只要满足在区间()+∞,1上是增函数在()1,0上是减函数．令2x t =，当()1,0∈x 时()1,0∈t ；()+∞∈,1x 时()+∞∈,1t ，由于()+∞∈,0x 时，2x t =是增函数记)2()2()()(2λλϕ-+-+==t t t H x ，故)(x ϕ与)(t H 在区间()+∞,0上有相同的增减性，当二次函数)2()2()(2λλ-+-+=t t t H 在区间()+∞,1上是增函数在()1,0上是减函数，其对称轴方程为1=t 4122=⇒=--⇒λλ． 22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分. （文）解:（1）a a ax x x f f y +++==2242))(( 过原点，02=+a a10-==⇒a a 或得2)(x x f =或1)(2-=x x f(2)(3)同理21（理）解（1）11AP =，所以35AP =，设()3,Px y 则()221253180x y x y ⎧-+=⎪⎨--=⎪⎩，消去y ，得211300x x -+=，…（2分）解得15x =，26x =,所以3P 的坐标为()5,3-或()6,0（2）由题意可知点A 到圆心的距离为13)03()13(22=-+-=t …（6分）（ⅰ）当130<<r 时，点()1,0A 在圆上或圆外，31132P P AP AP d =-=，又已知0≠d ，r P P 2031≤≤，所以 0<≤-d r 或 r d ≤<0 （ⅱ）当13≥r 时，点()1,0A 在圆内，所以13213132max=--+=r r d，又已知0≠d ，13220≤<d ，即013<≤-d 或130≤<d结论：当130<<r 时，0<≤-d r 或 r d ≤<0；当13≥r 时，013<≤-d 或130≤<d （3）因为抛物线方程为x y 42=，所以()1,0A 是它的焦点坐标，点2P 的横坐标为3，即82=AP设()111,P x y ，()333,P x y ，则111+=x AP ，133+=x AP ，1322AP AP AP +=，所以13226x x x +==直线13P P 的斜率3131314y y k x x y y -==-+，则线段13P P 的垂直平分线l 的斜率314ly y k +=- 则线段13P P 的垂直平分线l 的方程为()3131324y y y yy x ++-=-- 直线l 与x 轴的交点为定点()5,023．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. （文）解：（1）令1=n 得321112⋅+=⋅a a ，即3212=-a a ；又21=a 382=⇒a （2）由3212=-a a 和⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-++=-+3)1()1(,3)1(11n n S a n n n S na n n nn32)1(1na a n na n n n +=--⇒+321=-⇒+n n a a ，所以数列}{n a 是以2为首项，32为公差的等差数列，所以)2(32+=n a n ．解法一：数列}{n a 是正项递增等差数列，故数列}{n k a 的公比1>q ，若22=k ，则由382=a 得3412==a a q ，此时932)34(223=⋅=k a ，由)2(32932+=n 解得*310N n ∉=，所以22>k ，同理32>k ；若42=k ，则由44=a 得2=q ，此时122-⋅=n k n a 组成等比数列，所以)2(32221+=⋅-m n ，2231+=⋅-m n ，对任何正整数n ，只要取2231-⋅=-n m ，即n k a 是数列}{n a 的第2231-⋅-n 项．最小的公比2=q ．所以2231-⋅=-n n k ．………（10分）解法二: 数列}{n a 是正项递增等差数列，故数列}{n k a 的公比1>q ，设存在,,,,21n k k k a a a )(21 <<<<n k k k 组成的数列}{n k a 是等比数列，则3122k k k a a a ⋅=，即()()232)2(322)2(32322322+=+⇒+⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+k k k k因为1*232>∈k N k k 且、所以22+k 必有因数3，即可设N t t t k ∈≥=+,2,322，当数列}{n k a 的公比q最小时，即42=k ，2=⇒q 最小的公比2=q ．所以2231-⋅=-n n k ．（3）由（2）可得从}{n a 中抽出部分项 ,,,,21n k k k a a a )(21 <<<<n k k k 组成的数列}{n k a 是等比数列，其中11=k ，那么}{n k a 的公比是322+=k q ，其中由解法二可得N t t t k ∈≥-=,2,232． )2(32)32(312+=+⋅=-n n k k k a n 2)32(312-+⋅=⇒-n n k k 2)3223(31-+-⋅=⇒-n n t k 231-⋅=⇒-n n t k ，N t t ∈≥,2所以3232)1(31221--⋅=-++++=+++-n t n t t t k k k nn n（理）解：（1）⇒+=+nn n S a 31n n n S S 321+=+，n n n S b 3-=，*∈N n ，当3≠a 时，1111323333n n n n n n n nn n n b S S b S S ++++-+-==--=2，所以{}n b 为等比数列． 3311-=-=a S b ，12)3(-⨯-=n n a b ．（2）由（1）可得12)3(3-⨯-=-n n n a S*-∈≥-=N n n S S a n n n ,2,1212)3(3221≥=⎩⎨⎧⨯-+⨯=--n n a a a n n n ； n n a a ≥+1，2112>⎩⎨⎧>>+n a a a a n n ，9-≥a所以9-≥a ，且3≠a ．所以a 的最小值为（3）由（1）当4=a 时，12-=n n b当2≥n 时，n n C 2423++++= 12+=n，31=C ，所以对正整数n 都有12+=nn C ．由12+=n pt，n p t 21=-，(*∈N p t ,且1,1>>p t )，t 只能是不小于3的奇数．①当p 为偶数时，n p p pt t t 2)1)(1(122=-+=-，因为12+p t 和12-p t 都是大于1的正整数，所以存在正整数h g ,，使得g p t 212=+，h p t 212=-，222=-h g ,2)12(2=--h g h ，所以22=h 且112=--h g 2,1==⇒g h ，相应的3=n ，即有233=C ，3C 为“指数型和”；②当p 为奇数时，)1)(1(112-++++-=-p ptt t t t ，由于121-++++p t t t 是p 个奇数之和，仍为奇数，又1-t 为正偶数，所以n p t t t t 2)1)(1(12=++++-- 不成立，此时没有“指数型和”．2012学年静安、杨浦、青浦宝山区高三年级高考模拟考试数学试卷（文科） 2013.04.（满分150分，答题时间120分钟）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知全集R U =，集合{}0322>--=x x x A ，则=A C U . 2．若复数z 满足)2(z i z -=（i 是虚数单位），则=z . 3．已知直线012=++y x 的倾斜角大小是θ，则=θ2tan .4．若关于y x 、的二元一次方程组⎩⎨⎧=-+-=+-04)12(03y x m y mx 有唯一一组解，则实数m 的取值范围是 .5．已知函数)(x f y =和函数)1(log 2+=x y 的图像关于直线0=-y x 对称，则函数)(x f y =的解析式为 .6．已知双曲线的方程为1322=-y x ，则此双曲线的焦点到渐近线的距离为 . 7．函数xx x x x f cos sin sin cos )(=的最小正周期=T .8．若⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥621y x y x ，则目标函数y x z +=2的最小值为 .9．执行如图所示的程序框图，若输入p 的值是7，则输出S 的值是 .10．已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm ，如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等，那么这个圆锥的母线长为 cm ．11．某中学在高一年级开设了4门选修课，每名学生必须参加这4门选修课中的一门，对于该年级的甲乙2名学生，这2名学生选择的选修课相同的概率是 (结果用最简分数表示)． 12．各项为正数的无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1lim 1=+∞→n nn S S ，则其公比q 的取值范围是 .13．已知函数x x x f =)(.当[]1,+∈a a x 时，不等式)(4)2(x f a x f >+恒成立，则实数a 的取值范围是 .14．函数)(x f y =的定义域为[)(]1,00,1 -，其图像上任一点),(y x P 满足122=+y x ．①函数)(x f y =一定是偶函数；②函数)(x f y =可能既不是偶函数，也不是奇函数； ③函数)(x f y =可以是奇函数；④函数)(x f y =如果是偶函数，则值域是[)1,0或(]0,1-； ⑤函数)(x f y =值域是()1,1-，则)(x f y =一定是奇函数．其中正确命题的序号是（填上所有正确的序号）．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 15．已知),2(ππα∈，53sin =α，则)4tan(πα-的值等于………………………（）（A ）71. （B ）71- . （C ）7 . （D ）7-. 16．一个空间几何体的正视图、侧视图为两个边长是1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的表面积等于 ………………………………………………（）（A ） 22+. （B ）23+. （C ）24+. （D ）6.17．若直线2=+by ax 通过点)sin ,(cos ααM ，则 ………………………………（）（A ） 422≤+b a . （B ）422≥+b a . （C ）41122≤+b a . （D ）41122≥+ba . 18．某同学为了研究函数)10()1(11)(22≤≤-+++=x x x x f 的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD 和BEFC ，点P 是边BC 上的一个动点，设x CP =，则PF AP x f +=)(．那么，可推知方程222)(=x f 解的个数是………………………………………………………（）（A ）0. （B ）1. （C ）2. （D ）4.三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）本题共有2小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．如图，设计一个正四棱锥形冷水塔，高是85.0米，底面的边长是5.1米．（1）求这个正四棱锥形冷水塔的容积；（2）制造这个水塔的侧面需要多少平方米钢板？ (精确到01.0米2)20．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图所示，扇形AOB ，圆心角AOB 的大小等于3π，半径为2，在半径OA 上有一动点C ，过点C 作平行于OB 的直线交弧AB 于点P ．（1）若C 是OA 的中点，求PC ；（2）设θ=∠COP ，求△POC 周长的最大值及此时θ的值．21．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知椭圆141222=+Γy x ：. （1）直线AB 过椭圆Γ的中心交椭圆于B A 、两点，C 是它的右顶点，当直线AB 的斜率为1时，求△ABC 的面积；（2）设直线2+=kx y l ：与椭圆Γ交于Q P 、两点，且线段PQ 的垂直平分线过椭圆Γ与y 轴负半轴的交点D ，求实数k 的值．22．（本题满分16分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知函数a x x f +=2)(．（1）若函数))((x f f y =的图像过原点，求)(x f 的解析式；（2）若12)()(++=bx x f x F 是偶函数，在定义域上ax x F ≥)(恒成立，求实数a 的取值范围；（3）当1=a 时，令)())(()(x f x f f x λϕ-=，问是否存在实数λ，使)(x ϕ在()1,-∞-上是减函数，在()0,1-上是增函数？如果存在，求出λ的值；如果不存在，请说明理由．23．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且21=a ，3)1(1++=+n n S na n n ．从}{n a 中抽出部分项 ,,,,21n k k k a a a ,)(21 <<<<n k k k 组成的数列}{n k a 是等比数列，设该等比数列的公比为q ，其中*1,1N n k ∈=．（1）求2a 的值；（2）当q 取最小时，求}{n k 的通项公式；（3）求n k k k +++ 21的值．四区联考2012学年度第二学期高三数学（文理）参考答案及评分标准 2013.04说明1．本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但是原则上不应超出后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分． 3．第19题至第23题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数． 4．给分或扣分均以1分为单位．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．]3,1[-； 2．2； 3．34； 4．31≠m ； 5．12-=xy ； 6．1； 7．（文、理）π；8．（文）4（理）5；9．6463；10．17；11．（文）414214=C （理）834334=P ；12．(]1,0；13．（文）(1,)+∞（理）334；14．（文）②③⑤（理）)25,17(． ② 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15． D ； 16．（文）B （理）A ； 17． B ；18．（文）C （理）A三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19．（本题满分12分）本题共有2小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分． (文)解：（1）如图正四棱锥底面的边长是5.1米，高是85.0米 sh V 31=36375.085.05.15.131m =⨯⨯⨯= 所以这个四棱锥冷水塔的容积是36375.0m ．(2)如图，取底面边长的中点E ，连接SE ，222275.085.0+=+=EO SO SESE ⨯⨯⨯=5.1214S 侧22240.375.085.05.1214m ≈+⨯⨯⨯=答：制造这个水塔的侧面需要3.40平方米钢板．（理）19．（1）（理）解法一：建立坐标系如图平面11BCC B 的一个法向量为)0,1,0(1=n 因为)2,1,2(E )0,2,0(C ，)2,1,2(--=∴EC ，可知直线EC 的一个方向向量为)2,1,2(--=∴．设直线EC 与平面11BCC B 成角为θ，与1n 所成角为ϕ，则31191cos sin =⨯===ϕθ31arcsin BCC B 11成角大小为与平面故EC19（1）解法二：⊥1EB 平面11BCC B ，即C B 1为EC 在平面11BCC B 内的射影，故1ECB ∠为直线EC 与平面11BCC B 所成角，在C EB Rt 1∆中，22,1EB 11==C B ,42221tan 111===∠C B EB ECB 故 42arctanBCC B 11成角大小为与平面故EC 19（2）（理科）解法一：建立坐标系如图．平面ABCD 的一个法向量为)1,0,0(1=n设平面AEF 的一个法向量为),,(2z y x n =，因为)0,1,2(-=AF ，)2,1,0(=AE 所以⎩⎨⎧=+=+-0202z y y x ，令1=x ，则1,2-==z y )1,2,1(2-=⇒n661411cos =++-==θ由图知二面角B AF E --为锐二面角，故其大小为66arccos．19（2）解法二：过E 作平面ABC 的垂线，垂足为E '，E EG '∠即为所求AB E ∈'，过E '作AF 的垂线设垂足为G ，ADF ∆∽AGE ∆521='⇒=''E G AF AD E A E G 即52='E G在Q E E Rt '∆中5tan =''='∠E G E E E EG所以二面角B AF E --的大小为5arctan ．20．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．解:（1）在△POC 中，32π=∠OCP ，1,2==OC OP 由32cos 2222πPC OC PC OC OP ⋅-+=得032=-+PC PC ，解得2131+-=PC ．（2）∵CP ∥OB ，∴θπ-=∠=∠3POB CPO ，在△POC 中，由正弦定理得θsin sin CPPCO OP =∠，即θπsin 32sin 2CP = ∴θsin 34=CP ,又32sin )3sin(πθπCP OC =-)3sin(34θπ-=∴OC ．（文）记△POC 的周长为)(θC ，则2)3sin(34sin 342)(+-+=++=θπθθOC CP C1sin 2223πθθθ⎫⎛⎫++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭∴6πθ=时，)(θC2.（理）解法一：记△POC 的面积为)(θS ，则32sin 21)(πθOC CP S ⋅=， 23)3sin(34sin 3421⨯-⋅⋅=θπθ)3sin(sin 34θπθ-⋅= )sin 21cos 23(sin 34θθθ-=θθθ2sin 32cos sin 2-= 332cos 332sin -+=θθ33)62(sin 332-+=πθ∴6πθ=时，)(θS 取得最大值为33. 解法二：212432cos 22-=⋅-+=PC OC PC OC π即422=⋅++PC OC PC OC ，又PC OC PC OC PC OC ⋅≥⋅++322即43≤⋅PC OC当且仅当PC OC =时等号成立, 所以3323342132sin 21=⨯⨯≤⋅=πOC CP SPC OC = ∴6πθ=时，)(θS 取得最大值为33. 21．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．（文）解：(1)依题意，32=a ，)0,32(C ，由221124x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，得y =设),(11y x A ),(22y x B ，32=OC∴63232212121=⨯⨯=-⋅=∆y y OC S ABC ； (2)如图，由2221124y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(31)120k x kx ++=，0)12(2≥=∆k 依题意，0k ≠，设1122()()P x y Q x y ，，，，线段PQ 的中点00()H x y ，，则12026231x x k x k +-==+，0022231y kx k =+=+，D (0 2)-，，由1-=⋅PQ DH k k ，得2222311631k k k k ++⋅=--+，∴3k =± （理）解:（1）12)(2+++=bx a x x F 是偶函数，0=∴b即2)(2++=a x x F ，R x ∈ 又ax x F ≥)(恒成立即2)1(222+≤-⇒≥++x x a ax a x 当1=x 时R a ∈⇒当1>x 时，213)1(122+-+-=-+≤x x x x a ，232+≤a当1<x 时，213)1(122+-+-=-+≥x x x x a ， 232+-≥a综上： 232232+≤≤+-a （2）)())(()(x f x f f x λϕ-=)2()2(24λλ-+-+=x x)(x ϕ∴是偶函数，要使)(x ϕ在()1,-∞-上是减函数在()0,1-上是增函数，即)(x ϕ只要满足在区间()+∞,1上是增函数在()1,0上是减函数．令2x t =，当()1,0∈x 时()1,0∈t ；()+∞∈,1x 时()+∞∈,1t ，由于()+∞∈,0x 时，2x t =是增函数记)2()2()()(2λλϕ-+-+==t t t H x ，故)(x ϕ与)(t H 在区间()+∞,0上有相同的增减性，当二次函数)2()2()(2λλ-+-+=t t t H 在区间()+∞,1上是增函数在()1,0上是减函数，其对称轴方程为1=t 4122=⇒=--⇒λλ． 22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.（文）解:（1）a a ax x x f f y +++==2242))(( 过原点，02=+a a10-==⇒a a 或得2)(x x f =或1)(2-=x x f(2)(3)同理21（理）解（1）11AP =，所以35AP =，设()3,Px y则()221253180x y x y ⎧-+=⎪⎨--=⎪⎩，消去y ，得211300x x -+=，…（2分）解得15x =，26x =,所以3P 的坐标为()5,3-或()6,0（2）由题意可知点A 到圆心的距离为13)03()13(22=-+-=t …（6分）（ⅰ）当130<<r 时，点()1,0A 在圆上或圆外，31132P P AP AP d =-=，又已知0≠d ，r P P 2031≤≤，所以 0<≤-d r 或 r d ≤<0 （ⅱ）当13≥r 时，点()1,0A 在圆内，所以13213132max=--+=r r d，又已知0≠d ，13220≤<d ，即013<≤-d 或130≤<d结论：当130<<r 时，0<≤-d r 或 r d ≤<0；当13≥r 时，013<≤-d 或130≤<d （3）因为抛物线方程为x y 42=，所以()1,0A 是它的焦点坐标，点2P 的横坐标为3，即82=AP设()111,P x y ，()333,P x y ，则111+=x AP ，133+=x AP ，1322AP AP AP +=，所以13226x x x +==直线13P P 的斜率3131314y y k x x y y -==-+，则线段13P P 的垂直平分线l 的斜率314ly y k +=- 则线段13P P 的垂直平分线l 的方程为()3131324y y y yy x ++-=-- 直线l 与x 轴的交点为定点()5,023．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. （文）解：（1）令1=n 得321112⋅+=⋅a a ，即3212=-a a ；又21=a 382=⇒a （2）由3212=-a a 和⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-++=-+3)1()1(,3)1(11n n S a n n n S na n n nn32)1(1na a n na n n n +=--⇒+321=-⇒+n n a a ，所以数列}{n a 是以2为首项，32为公差的等差数列，所以)2(32+=n a n ．解法一：数列}{n a 是正项递增等差数列，故数列}{n k a 的公比1>q ，若22=k ，则由382=a 得3412==a a q ，此时932)34(223=⋅=k a ，由)2(32932+=n 解得*310N n ∉=，所以22>k ，同理32>k ；若42=k ，则由44=a 得2=q ，此时122-⋅=n k n a 组成等比数列，所以)2(32221+=⋅-m n ，2231+=⋅-m n ，对任何正整数n ，只要取2231-⋅=-n m ，即n k a 是数列}{n a 的第2231-⋅-n 项．最小的公比2=q ．所以2231-⋅=-n n k ．………（10分）解法二: 数列}{n a 是正项递增等差数列，故数列}{n k a 的公比1>q ，设存在,,,,21n k k k a a a )(21 <<<<n k k k 组成的数列}{n k a 是等比数列，则3122k k k a a a ⋅=，即()()232)2(322)2(32322322+=+⇒+⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+k k k k 因为1*232>∈k N k k 且、所以22+k 必有因数3，即可设N t t t k ∈≥=+,2,322，当数列}{n k a 的公比q最小时，即42=k ，2=⇒q 最小的公比2=q ．所以2231-⋅=-n n k ．（3）由（2）可得从}{n a 中抽出部分项 ,,,,21n k k k a a a )(21 <<<<n k k k 组成的数列}{n k a 是等比数列，其中11=k ，那么}{n k a 的公比是322+=k q ，其中由解法二可得N t t t k ∈≥-=,2,232． )2(32)32(312+=+⋅=-n n k k k a n 2)32(312-+⋅=⇒-n n k k 2)3223(31-+-⋅=⇒-n n t k 231-⋅=⇒-n n t k ，N t t ∈≥,2所以3232)1(31221--⋅=-++++=+++-n t n t t t k k k nn n（理）解：（1）⇒+=+nn n S a 31n n n S S 321+=+，n n n S b 3-=，*∈N n ，当3≠a 时，1111323333n n n n n n n nn n n b S S b S S ++++-+-==--=2，所以{}n b 为等比数列．3311-=-=a S b ，12)3(-⨯-=n n a b ．（2）由（1）可得12)3(3-⨯-=-n n n a S*-∈≥-=N n n S S a n n n ,2,1212)3(3221≥=⎩⎨⎧⨯-+⨯=--n n a a a n n n ； n n a a ≥+1，2112>⎩⎨⎧>>+n a a a a n n ，9-≥a所以9-≥a ，且3≠a ．所以a 的最小值为（3）由（1）当4=a 时，12-=n n b当2≥n 时，n n C 2423++++= 12+=n，31=C ，所以对正整数n 都有12+=nn C ．由12+=n p t ，n p t 21=-，(*∈N p t ,且1,1>>p t )，t 只能是不小于3的奇数．①当p 为偶数时，n p p pt t t 2)1)(1(122=-+=-，因为12+p t 和12-p t 都是大于1的正整数，所以存在正整数h g ,，使得gp t 212=+，h p t 212=-，222=-h g ,2)12(2=--h g h ，所以22=h 且112=--hg 2,1==⇒g h ，相应的3=n ，即有233=C ，3C 为“指数型和”；②当p 为奇数时，)1)(1(112-++++-=-p p t t t t t ，由于121-++++p t t t 是p 个奇数之和，仍为奇数，又1-t 为正偶数，所以n p t t t t 2)1)(1(12=++++-- 不成立，此时没有“指数型和”．。

2013年上海市四区(静安、杨浦、青浦、宝山)高考二模物理试卷

A．
B．
C．2eh
D．
难度：0.85 组卷：1021 题型：单选题更新：2012/6/15
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13 . 如图所示，AB棒与BC棒用光滑的饺链铰在B点，A、C也用光滑的饺链铰于墙上．BC棒水平，AB棒与竖直成45°角，两棒等长等重．则两捧在B点的相互作用力的方向：
A．可能与AB棒平行. C．可能与虚线DE平行.
难度：0.64 组卷：1281 题型：多选题更新：2013/4/28
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19 . 如图，质量为60g的铜棒长为d =20cm，棒的两端用长为L=30cm的细软铜线水平悬挂在磁感应强度为B=0.5T、方向竖直向上的匀强磁场中，当棒中通过恒定电流I后，铜棒向上摆动，最大偏角θ=60°，g取10m/s2，则铜棒中电流I和铜棒在摆动过程中的最大速率v分别为：
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4 . 根据爱因斯坦光子说，光子能量等于（为普朗克常量，
为真空中的光速和波长）
A．
B．
C．
D．
难度：0.85 组卷：1011 题型：单选题更新：2020/2/12
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5 . 如图所示为研究某未知元素放射性的实验装置，实验开始时在薄铝片和荧光屏之间有图示方向的匀强电场E，通过显微镜可以观察到，在荧光屏的某一位置上每分钟闪烁的亮点数．若撤去电场后继续观察，发现每分钟闪烁的亮点数没有变化；如果再将薄铝片移开，观察到每分钟闪烁的亮点数大大增加，由此可以判断，放射源发出的射线可能为（）
A．0． C．
难度：0.65 组卷：921 题型：单选题更新：2013/4/28
B． D．
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2013届上海市高考数学·二模汇编数列

2013届高中数学·二模汇编（专题：数列）2013届高中数学·二模汇编数列一、填空题1、(2013闵行二模文理8) 公差为d ，各项均为正整数的等差数列{}n a 中，若11,65n a a ==，则n d +的最小值等于．2、(2013奉贤二模理12) 设正项数列{}n a 的前n 项和是n S ，若{}n a 和{n S }都是等差数列，且公差相等，则=+d a 1 ．3、(2013浦东二模文理8) 记直线n l ：01)1(=-++y n nx 错误！未找到引用源。

（*N n ∈）与坐标轴所围成的直角三角形的面积为n S 错误！未找到引用源。

，则=++++∞→)(lim 321n n S S S S 错误！未找到引用源。

．4、(2013浦东二模文理14) 数列}{n a 满足1241+-=+n n n a a a （*∈N n ）．① 存在1a 可以生成的数列}{n a 是常数数列； ② “数列}{n a 中存在某一项6549=k a ”是“数列}{n a 为有穷数列”的充要条件； ③ 若{}n a 为单调递增数列，则1a 的取值范围是)2,1()1,( --∞；④ 只要kk k k a 232311--≠+，其中*∈N k ，则n n a ∞→lim 一定存在；其中正确命题的序号为．5、(2013普陀二模理14) 若,i j a 表示n n ⨯阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n n a n ,33211111中第i 行、第j 列的元素，其中第1行的元素均为1，第1列的元素为n ，， 3,2,1，且1,11,,i j i j i j a a a +++=+（i 、1,,2,1-=n j ）,则n a ,3= .6、（2013杨浦、青浦、静安、宝山二模理12）各项为正数的无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1lim=∞→nn S S ，则其公比q 的取值范围是 .7、（2013杨浦、青浦、静安、宝山二模理14）给出30行30列的数表A ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1074216183150117216342720131832721159150201510511713951，其特点是每行每列都构成等差数列，记数表主对角线上的数10743421101，，，，，按顺序构成数列{}n b ，存在正整数)1(t s t s <<、使t s b b b ,,1成等差数列，试写出一组),(t s 的值 .8、（2013长宁、嘉定二模理14）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若不等式21222ma nS a n n≥+对任意等差数列{}n a 及任意正整数n 都成立，则实数m 的最大值为______________9、（2013长宁、嘉定二模文14）设数列{}n a 是公差不为零的等差数列，6,231==a a ，若自然数,...,...,21k n n n 满足......321<<<<<k n n n ，且,......,,131k n n a a a a 是等比数列，则k n =_______________ 10、（2013虹口二模文理4）设n x )21(+展开式中二项式系数之和为n a ，各项系数之和为n b ，则=+-∞→nn nn n b a b a lim ．11、（2013虹口二模文理7）数列{}n a 的通项2sinπn n a n ⋅=，前n 项和为n S ，则=13S ． 12、（2013虹口二模文理 13）设)2(log 1+=+n a n n )(*∈N n ，称k a a a a 321为整数的k 为“希望数”，则在)2013,1(内所有“希望数”的个数为．13、（2013黄浦二模文理 4）等差数列{}n a 的前10项和为30，则14710a a a a +++=___________.14、（2013黄浦二模文理 12）已知23230123(3)(3)(3)n x x x x a a x a x a x ++++=+-+-+- (3)n n a x ++-()n N *∈且012n n A a a a a =++++ ，则lim4nnn A →∞=___________.15、（2013闸北二模文6）设20πθ<<，θcos 21=a ，n n a a +=+21，则数列{}n a 的通项公式=n a ．16、（2013崇明二模文理5）已知数列{}n a 是无穷等比数列，其前n 项和是n S ，若232a a +=, 341a a +=，则li m n n S →∞= ．二、选择题17、（2013奉贤二模理17）数列{}n a 前n 项和为n S ，已知115a =，且对任意正整数,m n ，都有m n m n a a a +=⋅，若S a <恒成立，则实数a 的最小值为（）θCBA第18题图（A ）14 （B ）34 （C ）43（D ）418、（2013奉贤二模文17）()已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1lim 1n n nS S +→+∞=, 则公比q 的取值范围是（）（A ）01q <<（B ）01q <≤（C ）1q >（D ）1q ≥19、（2013徐汇、松江、金山二模文理18）如图所示，向量BC 的模是向量AB的模的t 倍，AB BC 与的夹角为θ, 那么我们称向量AB 经过一次(),t θ变换得到向量BC .在直角坐标平面内，设起始向量()14,0OA =，向量1OA 经过1n -次12,23π⎛⎫ ⎪⎝⎭变换得到的向量为()1*,1n n A A n N n -∈> ，其中*12,,()i i i A A A i N ++∈为逆时针排列，记i A 坐标为()(),*i i a b i N ∈，则下列命题中不正确．．．的是（） A. 23b = B. 3130k k b b +-=()*k N ∈ C. 31310k k a a +--=()*k N ∈D. ()()43180k k k k a a a a +++-+-=()*k N ∈ 20、（2013黄浦二模理17）下列命题：①“102a <≤”是“存在n N *∈，使得1()2n a =成立”的充分条件； ②“0a >”是“存在n N *∈，使得1()2n a <成立”的必要条件；③“12a >”是“不等式1()2n a <对一切n N *∈恒成立”的充要条件. 其中所以真命题的序号是（）A ．③ B. ②③ C. ①② D. ①③21、（2013闸北二模理12）在xOy 平面上有一系列的点),(111y x P ，),(222y x P ，…，),(n n n y x P ，…，对于所有正整数n ，点n P 位于函数)0(2≥=x x y 的图像上，以点n P 为圆心的⊙n P 与x 轴相切，且⊙n P 与⊙1+n P 又彼此外切，若11=x ，且n n x x <+1．则=∞→n n nx lim （）A ．0B ．0.2C ．0.5D ．1xy O P1P2P3Q1Q3Q2 P4三、解答题22、(2013闵行二模理23) （本题满分18分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分．过坐标原点O 作倾斜角为60 的直线交抛物线2:y x Γ=于1P 点，过1P 点作倾斜角为120 的直线交x 轴于1Q 点，交Γ于2P 点；过2P 点作倾斜角为60 的直线交x 轴于2Q 点，交Γ于3P 点；过3P 点作倾斜角为120的直线，交x 轴于3Q 点，交Γ于4P 点；如此下去……．又设线段112231n n OQ QQ Q Q Q Q -，，，，，L L 的长分别为 123,,,,,n a a a a L L ，数列{}n a 的前n 项的和为n S ．（1）求12,a a ；（2）求n a ，n S ；（3）设(01)n an b a a a =>≠且，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若正整数,,,p q r s 成等差数列，且p q r s <<<，试比较p s T T ⋅与q r T T ⋅的大小．23、 (2013奉贤二模理22) （本题满分16分）本题共有3个小题，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分7分.已知数列{a n }中，a 2=1，前n 项和为S n ，且1()2n n n a a S -=．（1）求a 1，a 3；（2）求证：数列{a n }为等差数列，并写出其通项公式；（3）设1lg 3n n na b +=，试问是否存在正整数p ，q (其中1<p <q )，使b 1，b p ，b q 成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p ，q )；若不存在，说明理由．24、(2013奉贤二模文22) （本题满分16分）本题共有3个小题，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分7分.已知数列}{n a 对任意的,2≥n *N n ∈满足：n n n a a a 211<+-+，则称}{n a 为“Z 数列”。

2013年上海市闵行区高考数学二模试卷(理科)含详解

2013年上海市闵行区高考数学二模试卷（理科）一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）方程组的增广矩阵为．2．（4分）已知集合M={x|x2＜4，x∈R}，N={x|log2x＞0}，则集合M∩N=．3．（4分）若，且为实数，则实数a的值为．4．（4分）用二分法研究方程x3+3x﹣1=0的近似解x=x0，借助计算器经过若干次运算得下表：运算次数1…456…解的范围（0，0.5）…（0.3125，0.375）（0.3125，0.34375）（0.3125，0.328125）…若精确到0.1，至少运算n次，则n+x0的值为．5．（4分）已知是夹角为的两个单位向量，向量，若，则实数k的值为．6．（4分）某工厂对一批产品进行抽样检测，根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图如图所示，已知产品净重的范围是区间[96，106]，样本中净重在区间[96，100）的产品个数是24，则样本中净重在区间[100，104）的产品个数是．7．（4分）一个圆锥的底面积为4π，且该圆锥的母线与底面所成的角为，则该圆锥的侧面积为．8．（4分）在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，在极坐标系中曲线Γ的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=1，曲线Γ与C相交于两点A、B，则弦长|AB|等于．9．（4分）设双曲线x2﹣y2=6的左右顶点分别为A1、A2，P为双曲线右支上一点，且位于第一象限，直线P A1、P A2的斜率分别为k1、k2，则k1•k2的值为．10．（4分）设△ABC的三个内角A、B、C所对的边长依次为a、b、c，若△ABC 的面积为S，且S=a2﹣（b﹣c）2，则=．11．（4分）已知随机变量ξ所有的取值为1，2，3，对应的概率依次为p1，p2，p1，若随机变量ξ的方差，则p1+p2的值是．12．（4分）公差为d，各项均为正整数的等差数列{a n}中，若a1=1，a n=73，则n+d的最小值等于．13．（4分）已知△ABC的外接圆的圆心为O，AC=6，BC=7，AB=8，则=．14．（4分）设f（x）是定义在R上的函数，若f（0）=，且对任意的x∈R，满足f（x+2）﹣f（x）=3x，f（x+4）﹣f（x）=10×3x，则f（2014）=．二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）二项式展开式中x4的系数为（）A．15B．﹣15C．6D．﹣616．（5分）在△ABC中，“•＞0”是“△ABC为钝角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件17．（5分）设函数，则函数f（x）的最小值是（）A．﹣1B．0C．D．18．（5分）给出下列四个命题：①如果复数z满足|z+i|+|z﹣i|=2，则复数z在复平面上所对应点的轨迹是椭圆．②设f（x）是定义在R上的函数，且对任意的x∈R，|f（x）|=|f（﹣x）|恒成立，则f（x）是R上的奇函数或偶函数．③已知曲线和两定点E（﹣5，0）、F（5，0），若P（x，y）是C上的动点，则||PE|﹣|PF||＜6．④设定义在R上的两个函数f（x）、g（x）都有最小值，且对任意的x∈R，命题“f（x）＞0或g（x）＞0”正确，则f（x）的最小值为正数或g（x）的最小值为正数．上述命题中错误的个数是（）A．1B．2C．3D．4三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）如图，在半径为20cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上．（1）请你在下列两个小题中选择一题作答即可：①设∠BOC=θ，矩形ABCD的面积为S=g（θ），求g（θ）的表达式，并写出θ的范围．②设BC=x（cm），矩形ABCD的面积为S=f（x），求f（x）的表达式，并写出x的范围．（2）怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大？并求最大面积．20．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱AA1、CC1上，且AE=C1F=2．（1）求四棱锥B﹣AEFC的体积；（2）求△BEF所在半平面与△ABC所在半平面所成二面角θ的余弦值．21．（14分）已知椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，且经过两点，P是E上的动点．（1）求|OP|的最大值；（2）若平行于OM的直线l在y轴上的截距为b（b＜0），直线l交椭圆E于两个不同点A、B，求证：直线MA与直线MB的倾斜角互补．22．（16分）已知f（x）=x|x﹣a|+b，x∈R．（1）当a=1，b=0时，判断f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）当a=1，b=1时，若，求x的值；（3）若b＜0，且对任何x∈[0，1]不等式f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．23．（18分）如图，过坐标原点O作倾斜角为60°的直线交抛物线Γ：y2=x于P1点，过P1点作倾斜角为120°的直线交x轴于Q1点，交Γ于P2点；过P2点作倾斜角为60°的直线交x轴于Q2点，交Γ于P3点；过P3点作倾斜角为120°的直线，交x轴于Q3点，交Γ于P4点；如此下去…．又设线段OQ1，Q1Q2，Q2Q3，…，Q n﹣1Q n，…的长分别为a1，a2，a3，…，a n，…，△OP1Q1，△Q1P2Q2，△Q2P3Q3，…，△Q n﹣1P n Q n，…的面积分别为G1，G2，G3，…，G n，…，数列{a n}的前n项的和为S n．（1）求a1，a2；（2）求a n，；（3）设，数列{b n}的前n项和为T n，对于正整数p，q，r，s，若p＜q＜r＜s，且p+s=q+r，试比较T p•T s与T q•T r的大小．2013年上海市闵行区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）方程组的增广矩阵为．【考点】OC：几种特殊的矩阵变换．【专题】29：规律型．【分析】理解方程增广矩阵的涵义，即可由二元线性方程组，写出增广矩阵．【解答】解：由题意，方程组的增广矩阵为其系数及常数项构成的矩阵故方程组的增广矩阵是．故答案为：．【点评】本题的考点是二元一次方程组的矩阵形式，主要考查二元线性方程组的增广矩阵的涵义，计算量小，属于较容易的题型．2．（4分）已知集合M={x|x2＜4，x∈R}，N={x|log2x＞0}，则集合M∩N={x|1＜x＜2}．【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题．【分析】通过求解二次不等式和对数不等式化简集合M与集合N，然后直接利用交集运算求解．【解答】解：由M={x|x2＜4，x∈R}={x|﹣2＜x＜2}，N={x|log2x＞0}={x|x＞1}，则集合M∩N={x|﹣2＜x＜2}∩{x|x＞1}={x|1＜x＜2}．故答案为{x|1＜x＜2}．【点评】本题考查了交集及其运算，考查了二次不等式和对数不等式的解法，是基础题．3．（4分）若，且为实数，则实数a的值为．【考点】A5：复数的运算；ON：二阶行列式与逆矩阵．【专题】11：计算题．【分析】根据题意求得=3﹣4i，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简，再根据为实数求得a的值．【解答】解：∵z1=a+2i ，=3﹣4i，∴===．再由为实数，可得6+4a=0，a=﹣，故答案为﹣．【点评】本题主要考查行列式的运算，两个复数代数形式的乘除法法则，属于基础题．4．（4分）用二分法研究方程x3+3x﹣1=0的近似解x=x0，借助计算器经过若干次运算得下表：运算次数1…456…解的范围（0，0.5）…（0.3125，0.375）（0.3125，0.34375）（0.3125，0.328125）…若精确到0.1，至少运算n次，则n+x0的值为 5.3．【考点】55：二分法的定义与应用．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】区间长度要小于精度0.1，且区间端点对应的函数值的符号相反，满足此两个条件即可求出n和x0的值．【解答】解：根据运算得下表：运算1…456…次数解的范围（0，0.5）…（0.3125，0.375）（0.3125，0.34375）（0.3125，0.328125）…因为f（0.3125）＜0，且f（0.34375＞0，满足f（0.3125）×f（0.34375）＜0，且区间长度：0.34375﹣0.3125=0.03125＜0.1，∴n=5，x0=0.3，n+x0=5.3．故答案为：5.3．【点评】不断将区间（0，0.5）二等分时，每次都取端点函数值异号的区间，直到区间长度小于或等于题目所给的精度为止．5．（4分）已知是夹角为的两个单位向量，向量，若，则实数k 的值为．【考点】96：平行向量（共线）；9S：数量积表示两个向量的夹角．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】由题意可得是平面向量的一个基底，再由平面内两个向量共线的条件可得，由此解得k的值．【解答】解：由题意可得=0，且是平面向量的一个基底．∵向量，且，∴，解得k=﹣，故答案为﹣．【点评】本题主要考查平面内两个向量共线的条件，基底的定义，属于中档题．6．（4分）某工厂对一批产品进行抽样检测，根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图如图所示，已知产品净重的范围是区间[96，106]，样本中净重在区间[96，100）的产品个数是24，则样本中净重在区间[100，104）的产品个数是44．【考点】B8：频率分布直方图．【专题】27：图表型．【分析】根据频率直方图的意义，由样本中净重在[96，100）的产品个数是24可求样本容量，进而求得样本中净重在[100，104）的产品个数．【解答】解：由题意可知：样本中净重在[96，100）的产品的频率=（0.05+0.1）×2=0.3，∴样本容量==80，∴样本中净重在[100，104）的产品个数=（0.15+0.125）×2×80=44．故答案为：44．【点评】本题是对频率、频数灵活运用的综合考查．频率、频数的关系：频率=频数÷数据总和．7．（4分）一个圆锥的底面积为4π，且该圆锥的母线与底面所成的角为，则该圆锥的侧面积为8π．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】利用圆锥的底面积为4π求出其底面半径，利用圆锥的母线与底面所成的角为求出母线长，最后利用圆锥的侧面积公式求出即可．【解答】解：依题意圆锥的底面积为4π，知底面半径r=2，又该圆锥的母线与底面所成的角为，故母线长l=2r=4，则由圆锥的侧面积公式得S=πrl=π×2×4=8π．故答案为：8π．【点评】此题主要考查了圆锥侧面面积的计算，熟练记忆圆锥的侧面积公式是解决问题的关键．8．（4分）在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，在极坐标系中曲线Γ的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=1，曲线Γ与C相交于两点A、B，则弦长|AB|等于8．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合；Q8：点的极坐标和直角坐标的互化；QH：参数方程化成普通方程．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先把所给的极坐标与参数方程化为标准方程，然后联立直线与曲线方程，根据弦长公式可求【解答】解：∵ρcosθ﹣ρsinθ=1化为标准方程为x﹣y=1即x﹣y﹣1=0曲线C的参数方程为化为标准方程为y2=4x联立可得x2﹣6x+1=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=6，x1x2=1∴AB===8故答案为：8【点评】本题考查极坐标方程化为参数方程，参数方程化为普通方程的方法，以及参数的意义．9．（4分）设双曲线x2﹣y2=6的左右顶点分别为A1、A2，P为双曲线右支上一点，且位于第一象限，直线P A1、P A2的斜率分别为k1、k2，则k1•k2的值为1．【考点】KC：双曲线的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设点P（x0，y0），则点P的坐标满足双曲线的方程．利用双曲线x2﹣y2=6的方程即可得到顶点A1、A2的坐标，利用斜率计算公式即可得到直线P A1、P A2的斜率并相乘得k1•k2=即可证明．【解答】解：设点P（x0，y0），则．由双曲线x2﹣y2=6得a2=6，解得．∴，．∴k1•k2===1．故答案为1．【点评】熟练掌握双曲线的方程及其性质、斜率计算公式是解题的关键．10．（4分）设△ABC的三个内角A、B、C所对的边长依次为a、b、c，若△ABC 的面积为S，且S=a2﹣（b﹣c）2，则=4．【考点】HR：余弦定理．【专题】58：解三角形．【分析】根据S=a2﹣（b﹣c）2 =bc•sin A，把余弦定理代入化简可得4﹣4cos A=sin A，由此求得的值．【解答】解：∵△ABC的面积为S，且S=a2﹣（b﹣c）2 =a2﹣b2﹣c2+2bc=bc•sin A，∴由余弦定理可得﹣2bc•cos A+2bc=bc•sin A，∴4﹣4cos A=sin A，∴==4，故答案为4．【点评】本题主要考查三角形的面积公式，余弦定理的应用，属于中档题．11．（4分）已知随机变量ξ所有的取值为1，2，3，对应的概率依次为p1，p2，p1，若随机变量ξ的方差，则p1+p2的值是．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】5I：概率与统计．【分析】由分布列的性质可得2p1+p2=1，由数学期望的计算公式可得Eξ的值，由方差的计算公式可得Dξ，进而即可解得p1，p2．【解答】解：由分布列的性质可得2p1+p2=1，（*）由数学期望的计算公式可得Eξ=1×p1+2×p2+3×p3=2（2p1+p2）=2．由方差的计算公式可得Dξ==2p1=，解得．把代入（*）得，解得．∴p1+p2=．故答案为．【点评】熟练掌握分布列的性质、数学期望的计算公式、方差的计算公式是解题的关键．12．（4分）公差为d，各项均为正整数的等差数列{a n}中，若a1=1，a n=73，则n+d的最小值等于18．【考点】84：等差数列的通项公式．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列的通项公式写出n和d的关系，根据等差数列{a n}的各项均为正整数，分别列出n和d的取值，则答案可求．【解答】解：由a n=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）d=73，得．因为等差数列{a n}的各项均为正整数，所以公差d因为正整数．当n=2时，d=72；当n=3时，d=36；当n=4时，d=24；当n=5时，d=18；当n=7时，d=12；当n=9时，d=9；当n=10时，d=8；当n=13时，d=6；当n=19时，d=4；当n=37时，d=2；当n=73时，d=1．所以n+d的最小值等于18．故答案为18．【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了数列中的穷举法，解答此题的关键是注意各项均为正整数，是基础题．13．（4分）已知△ABC的外接圆的圆心为O，AC=6，BC=7，AB=8，则=﹣14．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11：计算题；5A：平面向量及应用．【分析】作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，由垂径定理得D、E分别为AB、AE的中点，利用三角函数在直角三角形中的定义，可得cos∠OAD=，由向量数量积的定义得•=||2=32，同理可得•=||2=18，而=，展开后代入前面的数据即可得到的值．【解答】解：作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，∵⊙O中，OD⊥AB，∴AD=AB，cos∠OAD=因此，•=||•||cos∠OAD=||•||=||2=32同理可得•=||2=18∴==•﹣•=18﹣32=﹣14故答案为：﹣14【点评】本题给出三角形的外接圆的圆心为0，在已知三边长的情况下求的值，着重考查了圆中垂直于弦的直径性质、三角函数在直角三角形中的定义和向量数量积公式及其性质等知识，属于中档题．14．（4分）设f（x）是定义在R上的函数，若f（0）=，且对任意的x∈R，满足f（x+2）﹣f（x）=3x，f（x+4）﹣f（x）=10×3x，则f（2014）=．【考点】3P：抽象函数及其应用；3T：函数的值；8E：数列的求和．【专题】51：函数的性质及应用；54：等差数列与等比数列．【分析】通过函数的递推关系式，写出f（2014），得到一个等比数列，然后求出和值即可．【解答】解：∵f（x+2）﹣f（x）=3x，f（x+4）﹣f（x）=10×3x，∴f（2014）=f（2010）+10×32010=f（2006）+10×32010+10×32006=…=f（2）+10×32010+10×32006+…+10×32=f（2）+10（32010+32006+ (32)=f（0）+3+（32+36+ (32010)=f（0）+30+=+1+=．故答案为：．【点评】本题考查函数值的求法，等比数列求和的应用，数列与函数的综合试题，考查计算能力．二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）二项式展开式中x4的系数为（）A．15B．﹣15C．6D．﹣6【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】由题可得，展开式的通项为T r+1==令6﹣2r=4可求r，代入即可求解系数【解答】解：由题可得，展开式的通项为T r+1==令6﹣2r=4可得r=1此时x4=﹣6x4，即系数为﹣6故选：D．【点评】本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．16．（5分）在△ABC中，“•＞0”是“△ABC为钝角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；GZ：三角形的形状判断．【专题】11：计算题．【分析】利用平面向量的数量积运算法则化简已知的不等式，得到两向量的夹角为锐角，从而得到三角形的内角为钝角，即可得到三角形为钝角三角形；反过来，三角形ABC若为钝角三角形，可得B不一定为钝角，故原不等式不一定成立，可得前者是后者的充分不必要条件．【解答】解：∵，即||•||cosθ＞0，∴cosθ＞0，且θ∈（0，π），所以两个向量的夹角θ为锐角，又两个向量的夹角θ为三角形的内角B的补角，所以B为钝角，所以△ABC为钝角三角形，反过来，△ABC为钝角三角形，不一定B为钝角，则“”是“△ABC为钝角三角形”的充分条件不必要条件．故选：A．【点评】此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有平面向量的数量积运算，以及充分必要条件的证明，熟练掌握平面向量的数量积运算法则是解本题的关键．17．（5分）设函数，则函数f（x）的最小值是（）A．﹣1B．0C．D．【考点】H4：正弦函数的定义域和值域．【专题】57：三角函数的图像与性质．【分析】根据x的范围把分段函数分段，配方后求出函数在两个区间段内最小值，则函数在整个定义域内的最小值可求．【解答】解：由，当时，0≤sin x≤1，f（x）=sin x+cos2x=﹣2sin2x+sin x+1=．此时当sin x=1时f（x）有最小值为；当时，﹣1≤sin x＜0，f（x）=﹣sin x+cos2x=﹣2sin2x﹣sin x+1=．此时当sin x=﹣1时f（x）有最小值．综上，函数f（x）的最小值是0．故选：B．【点评】本题考查了函数的定义域与值域，考查了分段函数值域的求法，训练了利用配方法求函数的值域，分段函数的值域是各区间段内值域的并集，此题是基础题．18．（5分）给出下列四个命题：①如果复数z满足|z+i|+|z﹣i|=2，则复数z在复平面上所对应点的轨迹是椭圆．②设f（x）是定义在R上的函数，且对任意的x∈R，|f（x）|=|f（﹣x）|恒成立，则f（x）是R上的奇函数或偶函数．③已知曲线和两定点E（﹣5，0）、F（5，0），若P（x，y）是C上的动点，则||PE|﹣|PF||＜6．④设定义在R上的两个函数f（x）、g（x）都有最小值，且对任意的x∈R，命题“f（x）＞0或g（x）＞0”正确，则f（x）的最小值为正数或g（x）的最小值为正数．上述命题中错误的个数是（）A．1B．2C．3D．4【考点】2K：命题的真假判断与应用．【专题】11：计算题．【分析】①应为连接两点的线段；②可能f（x）恒等于0，则函数为即奇又偶的函数；③可知点（﹣3，0），满足||PE|﹣|PF||=6；④由逻辑连接词“或”可知正确．【解答】解：①如果复数z满足|z+i|+|z﹣i|=2，则复数z在复平面上所对应点即满足到（0，1），（0，﹣1）距离之和为2的点，故为连接两点的线段，故错误；②设f（x）是定义在R上的函数，且对任意的x∈R，|f（x）|=|f（﹣x）|恒成立，可能f（x）恒等于0，则函数为即奇又偶的函数，故错误；③可知点（﹣3，0）在已知曲线上，此时PE=2，PF=8，显然||PE|﹣|PF||=6．故错误；④设定义在R上的两个函数f（x）、g（x）都有最小值，且对任意的x∈R，命题“f（x）＞0或g（x）＞0”正确，则f（x）的最小值为正数或g（x）的最小值为正数．由逻辑连接词“或”的真假性可知正确．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断与应用，涉及复数和函数的奇偶性等知识，属基础题．三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）如图，在半径为20cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上．（1）请你在下列两个小题中选择一题作答即可：①设∠BOC=θ，矩形ABCD的面积为S=g（θ），求g（θ）的表达式，并写出θ的范围．②设BC=x（cm），矩形ABCD的面积为S=f（x），求f（x）的表达式，并写出x的范围．（2）怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大？并求最大面积．【考点】5C：根据实际问题选择函数类型；H4：正弦函数的定义域和值域．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】（1）①连接OC，设∠BOC=θ，矩形ABCD的面积为S，则S=AB•BC=2OB •BC=900sin2θ，由三角函数的知识，得出S的最大值以及对应BC的值．②连接OC，设BC=x，矩形ABCD的面积为S；则S=AB•BC=2x=2，由基本不等式可得S的最大值以及对应的x的取值；（2）根据（1）问的解答，即可得出怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大及最大值．【解答】解：如图所示，（1）①连接OC，设∠BOC=θ，矩形ABCD的面积为S，则BC=20sinθ，OB=20cos θ（其中0＜θ＜）；∴S=AB•BC=2OB•BC=400sin2θ，且当sin2θ=1，即θ=时，S取最大值为400，此时BC=10；所以，取BC=10时，矩形ABCD的面积最大，最大值为400cm2．②连接OC，设BC=x，矩形ABCD的面积为S；则AB=2 （其中0＜x＜20），∴S=2x=2 ≤x2+（400﹣x2）=400，当且仅当x2=400﹣x2，即x=10 时，S取最大值400；所以，取BC=10 cm时，矩形ABCD的面积最大，最大值为400cm2．（2）由（1）知，取∠BOC=时，得到C点，从而截得的矩形ABCD，此时截得的矩形ABCD的面积最大，最大值为400cm2．【点评】本题综合考查了二次函数、三角函数的最值问题，这里应用了基本不等式的方法求出了函数的最值．20．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱AA1、CC1上，且AE=C1F=2．（1）求四棱锥B﹣AEFC的体积；（2）求△BEF所在半平面与△ABC所在半平面所成二面角θ的余弦值．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】5G：空间角．【分析】（1）由已知条件可判出AB⊥面AA1C1C，求出直角梯形AEFC的面积，则四棱锥B﹣AEFC的体积可求；（2）以A为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面ABC与平面BEF的法向量，利用平面法向量所成角的余弦值得△BEF所在半平面与△ABC所在半平面所成二面角θ的余弦值．【解答】解：（1）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，所以A1A⊥底面ABC，所以A1A⊥AB，又AB⊥AC，AC∩A1A=A，所以AB⊥面AA1C1C，则AB为四棱锥B﹣AEFC的高．在直角梯形AEFC中，因为AE=2，AC=2，CF=4，所以．所以V B=．﹣AEFC（2）以A为坐标原点，分别以AC，AB，AA1所在直线为x，y，z建立如图所示的直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，2，0），E（0，0，2），F（2，0，4），，设平面BEF的法向量为，则，则，取z=1，得x=﹣1，y=1．所以．平面ABC的一个法向量为，则．所以△BEF所在半平面与△ABC所在半平面所成二面角θ的余弦值为．【点评】本题考查了椎体体积的求解方法，考查了利用空间向量求二面角的平面角，解答的关键是建立正确的空间坐标系，是中档题．21．（14分）已知椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，且经过两点，P是E上的动点．（1）求|OP|的最大值；（2）若平行于OM的直线l在y轴上的截距为b（b＜0），直线l交椭圆E于两个不同点A、B，求证：直线MA与直线MB的倾斜角互补．【考点】K4：椭圆的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）设椭圆E的方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n），将代入椭圆E的方程，求得m，n即可；（2）因为直线l平行于OM，且在y轴上的截距为b，所以可得直线l的方程为．与椭圆的方程联立，得到根与系数的关系，利用直线的斜率公式即可证明结论．【解答】解：（1）设椭圆E的方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n）将代入椭圆E的方程，得解得，所以椭圆E的方程为，设点P的坐标为（x0，y0），则．又P（x0，y0）是E上的动点，所以，得，代入上式得，故y0=0时，|OP|max=．|OP|的最大值为．（2）因为直线l平行于OM，且在y轴上的截距为b，又，所以直线l的方程为．由得x2+2bx+2b2﹣4=0，设A（x1，y1）、B（x2，y2），则．又，，故=．又，所以上式分子==故k1+k2=0．所以直线MA与直线MB的倾斜角互补．【点评】本题主要考查椭圆的方程与性质、直线斜率计算公式与直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想．22．（16分）已知f（x）=x|x﹣a|+b，x∈R．（1）当a=1，b=0时，判断f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）当a=1，b=1时，若，求x的值；（3）若b＜0，且对任何x∈[0，1]不等式f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．【考点】&2：带绝对值的函数．【专题】15：综合题．【分析】（1）由f（﹣1）≠f（1），f（﹣1）≠﹣f（1）即可判断当a=1，b=0时，f（x）=x|x﹣1|既不是奇函数也不是偶函数；（2）依题意，解方程2x|2x﹣1|+1=即可，为了去掉方程中的绝对值符号需对x 的取值范围分类讨论；（3）依题意，只需考虑x∈（0，1]，此时原不等式变为|x﹣a|＜即可，转化为故＜a＜，x∈（0，1]，通过构造函数g（x）=x+与h （x）=x﹣，利用函数的单调性结合对参数b的范围的讨论即可求得实数a的取值范围．【解答】[解]（1）当a=1，b=0时，f（x）=x|x﹣1|既不是奇函数也不是偶函数．…（2分）∵f（﹣1）=﹣2，f（1）=0，∴f（﹣1）≠f（1），f（﹣1）≠﹣f（1）所以f（x）既不是奇函数，也不是偶函数．…（2分）（2）当a=1，b=1时，f（x）=x|x﹣1|+1，由f（2x）=得2x|2x﹣1|+1=…（2分）即或…（2分）解得2x=或2x=（舍），或2x=，所以x==﹣1或x=﹣1．…（2分）（3）当x=0时，a取任意实数，不等式f（x）＜0恒成立，故只需考虑x∈（0，1]，此时原不等式变为|x﹣a|＜即x+＜a＜x﹣…（2分）故＜a＜，x∈（0，1]又函数g（x）=x+在（0，1]上单调递增，所以=g（1）=1+b；对于函数h（x）=x﹣，x∈（0，1]①当b＜﹣1时，在（0，1]上h（x）单调递减，=h（1）=1﹣b，又1﹣b＞1+b，所以，此时a的取值范围是（1+b，1﹣b）．…（2分）②当﹣1≤b＜0，在（0，1]上，h（x）=x﹣≥2，当x=时，=2，此时要使a存在，必须有即﹣1≤b＜2﹣3，此时a的取值范围是（1+b，2）综上，当b＜﹣1时，a的取值范围是（1+b，1﹣b）；当﹣1≤b＜2﹣3时，a的取值范围是（1+b，2）；当2﹣3≤b＜0时，a的取值范围是∅．…（2分）【点评】本题考查带绝对值的函数，着重考查方程思想与分类讨论思想的综合运用，考查构造函数与抽象思维及运算能力，属于难题．23．（18分）如图，过坐标原点O作倾斜角为60°的直线交抛物线Γ：y2=x于P1点，过P1点作倾斜角为120°的直线交x轴于Q1点，交Γ于P2点；过P2点作倾斜角为60°的直线交x轴于Q2点，交Γ于P3点；过P3点作倾斜角为120°的直线，交x轴于Q3点，交Γ于P4点；如此下去…．又设线段OQ1，Q1Q2，Q2Q3，…，Q n﹣1Q n，…的长分别为a1，a2，a3，…，a n，…，△OP1Q1，△Q1P2Q2，△Q2P3Q3，…，△Q n﹣1P n Q n，…的面积分别为G1，G2，G3，…，G n，…，数列{a n}的前n项的和为S n．（1）求a1，a2；（2）求a n，；（3）设，数列{b n}的前n项和为T n，对于正整数p，q，r，s，若p＜q＜r＜s，且p+s=q+r，试比较T p•T s与T q•T r的大小．【考点】8J：数列的极限；8O：数列与解析几何的综合．【专题】11：计算题；15：综合题；54：等差数列与等比数列；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）根据等边三角形的性质，算出点P1，代入抛物线求得，同样的方法可算出；（S n﹣1，0）建立直线Q n﹣1P n的方程，与抛物线方程消去x得关于（2）由点Q n﹣1|y|的方程，解出|y|关于S n的表示式，根据等边三角形性质和三角函数定义加以计算，化简整理得，用n+1代替n得到，将两式作差整理可得{a n}是以为首项、为公差的等差数列，再用等差数列通项算出a n的表达式，从而得到G n、S n的表达式，最后根据极限的运算性质即可算出的值；（3）由（2）得{b n}是公比，首项的正项等比数列．根据等比数列的求和公式求出T p、T s、T q、T r的表达式，再将T p•T s与T q•T r作差并结合正整数p，q，r，s构成成等差数列，结合p＜q＜r＜s化简整理可得T p•T s ﹣T q•T r=，讨论其中各个因式的符号可得T p•T s﹣T q•T r ＜0，可得必定有T p•T s＜T q•T r对任意成等差数列的正整数p、q、r、s且p＜q＜r＜s都成立，得到答案．【解答】解：（1）如图，由△OQ1P1是边长为a1的等边三角形，得点P1的坐标为，又∵P1在抛物线y2=x上，所以，得…（2分）同理P2在抛物线y2=x上，得…（4分）的坐标为（a1+a2+a3+…+a n﹣1，0），即点（S n﹣1，0）（点Q0（2）如图，点Q n﹣1与原点重合，S0=0），P n的方程为或，所以直线Q n﹣1因此，点P n的坐标满足消去x，得，所以又∵，∴从而…①…（6分）由①可得…②②﹣①，得即（a n+1+a n）（3a n+1﹣3a n﹣2）=0，又a n＞0，于是∴{a n}是以为首项、为公差的等差数列，…（8分）因此，，由此可得…（10分）（3）因为，所以数列{b n}是正项等比数列，且公比，首项，则，，，…（12分）T p•T s﹣T q•T r=（注意到）=…（14分）而=（注意到q﹣p=s﹣r）=…（16分）因为a＞0且a≠1，所以又q﹣p，r﹣p均为正整数，所以与同号，故，所以，T p•T s＜T q•T r．…（18分）Q n P n 【点评】本题给出抛物线中的等边三角形，求按图中作出的等边三角形Q n﹣1的边长a n的表达式，并设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，在成等差数列的正整数p、q、r、s满足且p＜q＜r＜s的情况下讨论T p•T s与T q•T r的大小关系．着重考查了抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系、不等式的性质和等差等比数列的通项与求和公式等知识，属于难题．。

数学_2013年上海市黄浦区高考数学二模试卷(理科)_(含答案)

2013年上海市黄浦区高考数学二模试卷（理科）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题卷相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分． 1. 若复数z 满足|z −19z|=0，则z 的值为________．2. 函数f(x)=√x +1+lg(4−2x)的定义域为________．3. 若直线l 过点A(−1, 3)，且与直线x −2y −3=0垂直，则直线l 的方程为________．4. 等差数列{a n }的前10项和为30，则a 1+a 4+a 7+a 10=________．5. 执行程序框图，则输出的a 值是________．6. 设a 为常数，函数f(x)=x 2−4x +3，若f(x +a)在[0, +∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．7. 在极坐标系中，直线l:ρcosθ=1被圆C:ρ=4cosθ所截得的线段长为________． 8. 已知点P(2, −3)是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)上一点，双曲线两个焦点间的距离等于4，则该双曲线方程是________．9. 在平行四边形ABCD 中，已知|AB →|=2，|AD →|=1，∠BAD =60∘，点E 是BC 的中点，则AE →⋅BD →=________10. 已知A ，B ，C 是球面上三点，且AB =AC =4cm ，∠BAC =90∘，若球心O 到平面ABC 的距离为2√2，则该球的表面积为________cm 2． 11. 在△ABC 中，∠A =120∘，AB =5，BC =7，则sinB sinC的值为________．12. 已知x +x 2+x 3+⋯+x n =a 0+a 1(x −3)+a 2(x −3)2+a 3(x −3)3+⋯+a n (x −3)n (n ∈N ∗)且A n =a 0+a 1+a 2+...+a n ，则lim n →∞A n4n=________．13. 一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有1件次品．用户先对产品进行随机抽检以决定是否接受．抽检规则如下：至多抽检3次，每次抽检一件产品（抽检后不放回），只要检验到次品就停止继续抽检，并拒收这箱产品；若3次都没有检验到次品，则接受这箱产品，按上述规则，该用户抽检次数的数学期望是________．14. 已知f(x)=4−1x ，若存在区间[a,b]⊆(13，+∞)，使得{y|y =f(x), x ⊆[a, b]}=[ma, mb]，则实数m 的取值范围是________．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. 已知cos θ2=45，且sinθ<0，则tanθ的值为（） A −2425 B ±247 C −247 D 24716. 函数f(x)=12x 2+1(x <−2)的反函数是（）A y =√2x −2(1≤x <3)B y =√2x −2(x >3)C y =−√2x −2(1≤x <3)D y =−√2x −2(x >3) 17. 下列命题：①“0<a ≤12”是“存在n ∈N ∗，使得(12)n =a 成立”的充分条件；②“a >0”是“存在n ∈N ∗，使得(12)n <a 成立”的必要条件；③“a >12”是“不等式(12)n <a 对一切n ∈N ∗恒成立”的充要条件．其中所以真命题的序号是（）A ③B ②③C ①②D ①③18. 如果函数y ＝|x|−2的图象与曲线C:x 2+λy 2＝4恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（）A [−1, 1)B {−1, 0}C (−∞, −1]∪[0, 1)D [−1, 0]∪(1, +∞)三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题卷相应编号的规定区域内写出必要的步骤19.已知正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的底面边长为2，A 1D =√13．（1）求该四棱柱的侧面积与体积；（2）若E 为线段A 1D 的中点，求BE 与平面ABCD 所成角的大小．20. 已知复数z 1=sinx +λi ，z 2=(sinx +√3cosx)−i （λ，x ∈R ，i 为虚数单位）．（1）若2z 1=z 2i ，且x ∈(0, π)，求x 与λ的值；（2）设复数z 1，z 2在复平面上对应的向量分别为OZ 1→，OZ 2→，若OZ 1→⊥OZ 2→，且λ=f(x)，求f(x)的最小正周期和单调递减区间．21. 某医药研究所开发一种新药，在试验药效时发现：如果成人按规定剂量服用，那么服药后每毫升血液中的含药量y （微克）与时间x （小时）之间满足y ={axx 2+1，(0<x <1)a⋅2x−14x−1+1，(x ≥1)，其对应曲线（如图所示）过点(12，165)，（1）试求药量峰值（y 的最大值）与达峰时间（y 取最大值时对应的x 值）；（2）如果每毫升血液中含药量不少于1微克时治疗疾病有效，那么成人按规定剂量服用该药一次后能维持多长的有效时间？（精确到0.01小时）22. 设抛物线C:y 2＝2px(p >0)的焦点为F ，经过点F 的动直线l 交抛物线C 于点A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)且y 1y 2＝−4．（1）求抛物线C 的方程；（2）若OE →=2(OA →+OB →)（O 为坐标原点），且点E 在抛物线C 上，求直线l 倾斜角；（3）若点M 是抛物线C 的准线上的一点，直线MF ，MA ，MB 的斜率分别为k 0，k 1，k 2．求证：当k 0为定值时，k 1+k 2也为定值．23. 已知数列{a n }具有性质：①a 1为整数；②对于任意的正整数n ，当a n 为偶数时，a n+1=a n 2；当a n 为奇数时，a n+1=a n −12．（1）若a 1为偶数，且a 1，a 2，a 3成等差数列，求a 1的值；（2）设a 1=2m +3(m >3且m ∈N)，数列{a n }的前n 项和为S n ，求证：S n ≤2m+1+3；（3）若a 1为正整数，求证：当n >1+log 2a 1(n ∈N)时，都有a n =0．2013年上海市黄浦区高考数学二模试卷（理科）答案1. ±3i2. [−1, 2)3. 2x +y −1=04. 125. 1216. [2, +∞)7. 2√38. x 2−y 23=19. −3 10. 64π 11. 3512. 43 13. 2710 14. (3, 4) 15. C 16. D 17. B18. A 19. 解：（1）根据题意可得：在 Rt △AA 1D 中， AA 1=√A 1D 2−AD 2=√(√13)2−22=3．所以正四棱柱的侧面积S =(2×3)×4=24．体积V =2×2×3=12；（2）如图，过E 作EF ⊥AD ，垂足为F ，连结BF ，则EF ⊥平面ABCD ， ∵ BE ⊂平面ABCD ，∴ EF ⊥BF在 Rt △BEF 中，∠EBF 就是BE 与平面ABCD 所成的角 ∵ EF ⊥AD ，AA 1⊥AD ，∴ EF // AA 1，又E 是A 1D 的中点，∴ EF 是△AA 1D 的中位线， ∴ EF =12AA 1=32在 Rt △AFB 中，BF =√AF 2+AB 2=√12+22=√5 ∴ tan∠EBF =EF BF=32√5=3√510． ∴ ∠EBF =arctan3√510．20. 解：（1）由2z 1=z 2i ，可得2sinx +2λi =1+(sinx +√3cosx)i ，又λ，x ∈R ， ∴ {2sinx =12λ=sinx +√3cosx又x ∈(0, π)，故{x =π6λ=1或{x =5π6λ=−12．（2）OZ 1→=(sinx,λ)，OZ 2→=(sinx +√3cosx,−1)，由OZ 1→⊥OZ 2→，可得sinx(sinx +√3cosx)−λ=0，又λ=f(x)，故f(x)=sin 2x +√3sinxcosx =1−cos2x2+√32sin2x =sin(2x −π6)+12，故f(x)的最小正周期T =π，又由2kπ+π2≤2x −π6≤2kπ+3π2(k ∈Z)，可得kπ+π3≤x ≤kπ+5π6，故f(x)的单调递减区间为[kπ+π3，kπ+5π6](k ∈Z)．21. 解：（1）由曲线过点(12，165)，可得a×1214+1=165，故a =8…当0<x <1时，y =8x x 2+1<8x 2x=4，…当x ≥1时，设2x−1=t ，可知t ≥1，y =8×2x−14x−1+1=8t t 2+1≤8t 2t=4（当且仅当t =1时，y =4）…综上可知y max =4，且当y 取最大值时，对应的x 值为1 所以药量峰值为4mg ，达峰时间为1小时． … （2）当0<x <1时，由8xx 2+1=1，可得x 2−8x +1=0，解得x =4±√15，又4+√15>1，故x =4−√15． … 当x ≥1时，设2x−1=t ，则t ≥1，由8×2x−14x−1+1=1，可得8tt 2+1=1，解得t =4±√15，又t ≥1，故t =4+√15，所以2x−1=4+√15，可得x =log 2(4+√15)+1． …由图象知当y ≥1时，对应的x 的取值范围是[4−√15，log 2(4+√15)+1]， ∵ log 2(4+√15)+1−(4−√15)≈3.85，所以成人按规定剂量服用该药一次后能维持大约3.85小时的有效时间． … 22. 根据题意可知：F(p2,0)，设直线l 的方程为：x =ky +p2，则：联立方程：{x =ky +p2y 2=2px，消去x 可得：y 2−2pky −p 2＝0(∗)，根据韦达定理可得：y 1y 2=−p 2=−4，∴ p ＝2， ∴ 抛物线C 的方程：y 2＝4x ．设E(x 0, y 0)，则：{x 0=2(x 1+x 2)y 0=2(y 1+y 2) ，由(∗)式可得：y 1+y 2＝2pk ＝4k∴ y 0＝8k ，又{x 1=ky 1+p2x 2=ky 2+p 2，∴ x 1+x 2=k(y 1+y 2)+p =2pk 2+p =4k 2+2 ∴ x 0=8k 2+4∵ y 02=4x 0，∴ 64k 2＝4(8k 2+4)，∴ 2k 2＝1，∴ k =±√22∴ 直线l 的斜率k l =1k =tanα=±√2， ∴ 倾斜角为arctan √2或π−arctan √2可以验证该定值为2k 0，证明如下：设M(−1, y M )，则：k 0=−y M 2，k 1=y 1−y M x 1+1，k 2=y 2−y M x 2+1∵ {x 1=ky 1+1x 2=ky 2+1 ，∴ {x 1+1=ky 1+2x 2+1=ky 2+2∴ k 1+k 2=y 1−y M x 1+1+y 2−y M x 2+1=y 1−y M ky 1+2+y 2−y Mky2+2=(y1−y M)(ky2+2)+(y2−y M)(ky1+2)(ky1+2)(ky2+2)=2ky1y2+2(y1+y2)−y M(k(y1+y2)+4) k2y1y2+2k(y1+y2)+4=−8k+8k−y M(4k2+4)−4k2+8k2+4=−y M∴ k1+k2＝2k0为定值．23. 解：（1）设a1=2k，a2=k，则：2k+a3=2k，a3=0分两种情况：k是奇数，则a3=a2−12=k−12=0，k=1，a1=2，a2=1，a3=0若k是偶数，则a3=a22=k2=0，k=0，a1=0，a2=0，a3=0（2）当m>3时，a1=2m+3，a2=2m−1+1，a3=2m−2，a4=2m−3，a5=2m−4，…，a m=2，a m+1=1，a m+2=⋯=a n=0∴ S n≤1+1+3+2+22+23…+2m=5+2(1−2m)1−2=2m+1+3（3）∵ n>1+log2a1，∴ n−1>log2a1，∴ 2n−1>a1由定义可知：a n+1={a n2，a n是偶数a n−1 2，a n是奇数≤a n2∴ a n+1a n ≤12∴ a n=a na n−1⋅a n−1a n−2⋅…⋅a2a1⋅a1≤12n−1a1∴ a n<12n−1⋅2n−1=1∵ a n∈N，∴ a n=0，综上可知：当n>1+log2a1(n∈N)时，都有a n=0。

数学_2013年上海市普陀区高考数学二模试卷(理科)_(含答案)

2013年上海市普陀区高考数学二模试卷（理科）一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 函数y =√log 2(x −1)的定义域为________．2. 若z 1=a +2i ，z 2=1+i （i 表示虚数单位），且z1z 2为纯虚数，则实数a =________．3. 若sinθ=35且sin2θ<0，则tan θ2=________．4. 若点(4, 2)在幂函数f(x)的图象上，则函数f(x)的反函数f −1(x)=________．5. 若(2x +1)11＝a 0+a 1x +a 2x 2+...+a 11x 11，则(a 0+a 2+...+a 10)2−(a 1+a 3+...+a 11)2＝________．6. 若函数f(x)=x 2+ax +1是偶函数，则函数y =f(x)|x|的最小值为________．7. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1的焦距为10，点P(2, 1)在C 的渐近线上，则C 的方程为________． 8. 某班从4名男生、2名女生中选出3人参加志愿者服务，若选出的男生人数为ξ，则ξ的方差Dξ=________．9. 若曲线Γ：{x =1+3cosθy =2+3sinθ(θ为参数且π3≤θ≤2π3)，则Γ的长度为________．10. 若三条直线ax +y +3=0，x +y +2=0和2x −y +1=0相交于一点，则行列式|a131122−11|的值为________． 11. △ABC 中，角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ，若A =π3，b =2c ，则C =________． 12. 若圆C 的半径为3，单位向量e →所在的直线与圆相切于定点A ，点B 是圆上的动点，则e →⋅AB →的最大值为________．13. 函数y =sin 2x +2cosx 在区间[−2π3, a]上的值域为[−14, 2]，则a 的取值范围是________．14. 若a i,j 表示n ×n 阶矩阵[ 1111…123…3…⋮…⋮n …………a n,n ]中第i 行、第j 列的元素，其中第1行的元素均为1，第1列的元素为1，2，3，…，n ，且a i+1,j+1=a i+1,j +a i,j (i 、j =1, 2,…,n −1)，则a 3,n =________．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. 若集合A ={x|y 2=4x, y ∈R}，B ={x|1−x2+x ≥0}，则A ∩B =( )A [0, 1]B (−2, 1]C (−2, +∞)D [1, +∞)16. 若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为S 1、S 2，则S 1:S 2=( )A 1:1B 2:1C 3:2D 4:117. 若a ∈R ，则“关于x 的方程x 2+ax +1=0无实根”是“z =(2a −1)+(a −1)i （其中i 表示虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限”的（）A 充分非必要条件B 必要非充分条件C 充要条件D 既非充分又非必要条件 18. 如图，△ABC 是边长为1的正三角形，点P 在△ABC 所在的平面内，且|PA →|2+|PB →|2+|PC →|2=a （a 为常数）．下列结论中，正确的是（）A 当0<a <1时，满足条件的点P 有且只有一个B 当a ＝1时，满足条件的点P 有三个C 当a >1时，满足条件的点P 有无数个D 当a 为任意正实数时，满足条件的点P 是有限个三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. 已知函数f(x)=Acos(ωx +ϕ)(A >0, ω>0, −π2<ϕ<0)的图象与y 轴的交点为(0, 1)，它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x 0, 2)和(x 0+2π, −2)（1）求函数f(x)的解析式；（2）若锐角θ满足cosθ=13，求f(2θ)的值．20. 已知a >0且a ≠1，函数f(x)=log a (x +1)，g(x)=log a11−x，记F(x)=2f(x)+g(x)．（1）求函数F(x)的定义域D 及其零点；（2）若关于x 的方程F(x)−m =0在区间[0, 1)内仅有一解，求实数m 的取值范围．21. 如图，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1 （1）求直线DB 与平面A 1BCD 1所成角的大小；（2）求四棱锥D −BCD 1A 1的体积．22. 在平面直角坐标系xOy 中，方向向量为d →=(1,k)的直线l 经过椭圆x 218+y 29=1的右焦点F ，与椭圆相交于A 、B 两点（1）若点A 在x 轴的上方，且|OA →|=|OF →|，求直线l 的方程；（2）若k >0，P(6, 0)且△PAB 的面积为6，求k 的值；（3）当k(k ≠0)变化时，是否存在一点C(x 0, 0)，使得直线AC 和BC 的斜率之和为0，若存在，求出x 0的值；若不存在，请说明理由．23. 对于任意的n ∈N ∗，若数列{a n }同时满足下列两个条件，则称数列{a n }具有“性质m”： ①a n +a n+22<a n+1； ②存在实数M ，使得a n ≤M 成立．（1）数列{a n }、{b n }中，a n =n 、b n =2sin nπ6(n =1, 2, 3, 4, 5)，判断{a n }、{b n }是否具有“性质m”；（2）若各项为正数的等比数列{c n }的前n 项和为S n ，且c 3=14，S 3=74，证明：数列{S n }具有“性质m”，并指出M 的取值范围；（3）若数列{d n }的通项公式d n =t(3⋅2n −n)+12n(n ∈N ∗)．对于任意的n ≥3(n ∈N ∗)．2013年上海市普陀区高考数学二模试卷（理科）答案1. [2, +∞)2. −23. 34. x 2(x ≥0)5. −3116. 27. x 220−y 25=18. 0.4 9. π 10. 0 11. π6 12. 3 13. [0, 2π3]14. 12n 2+12n +215. A 16. C 17. B 18. C 19. 解：（1）由题意可得A =2…T 2=2π即T =4π，ω=12…f(x)=2cos(12x +ϕ)，f(0)=1 由cosϕ=12且−π2<ϕ<0，得ϕ=−π3函数f(x)=2cos(12x −π3)（2）由于cosθ=13且θ为锐角，所以sinθ=2√23f(2θ)=2cos(θ−π3)=2(cosθcos π3+sinθsin π3)=2⋅(13×12+2√23×√32)=1+2√6320. 解：（1）F(x)=2f(x)+g(x)=2log a (x +1)+log a 11−x (a >0且a ≠1) 由{x +1>01−x >0，可解得−1<x <1，所以函数F(x)的定义域为(−1, 1)令F(x)=0，则2log a (x +1)+log a 11−x =0…(∗)方程变为log a (x +1)2=log a (1−x)，即(x +1)2=1−x ，即x 2+3x =0 解得x 1=0，x 2=−3，经检验x =−3是(∗)的增根，所以方程(∗)的解为x =0 即函数F(x)的零点为0．（2）方程可化为m =2log a (x +1)+log a 11−x =log ax 2+2x+11−x=log a (1−x +41−x −4)，故a m =1−x +41−x −4，设1−x =t ∈(0, 1] 函数y =t +4t 在区间(0, 1]上是减函数当t =1时，此时x =0，y min =5，所以a m ≥1 ①若a >1，由a m ≥1可解得m ≥0， ②若0<a <1，由a m ≥1可解得m ≤0，故当a >1时，实数m 的取值范围为：m ≥0，当0<a <1时，实数m 的取值范围为：m ≤021.解：（1）以D 为坐标原点，分别以射线DA 、DC 、DD 1为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．则D(0, 0, 0)，B(1, 1, 0)，C(0, 1, 0)，D 1(0, 0, 1)． DB →=(1,1,0)，BC →=(−1,0,0)，CD 1→=(0,−1,1)．设n →=(x,y,z)是平面A 1BCD 1的法向量，则{n →⋅CD 1→=0˙，即{x =0z −y =0令z =1，则y =1，x =0，∴ n →=(0,1,1)．设直线DB 与平面A 1BCD 1所成角为θ，则sinθ=|cos <n →，DB →>|=|n →||DB →|˙=1√2×√2=12．由于0≤θ≤π2，∴ θ=π6．即直线DB 与平面A 1BCD 1所成角的大小为π6；（2）由（1）得n 0→=n→|n →|=(0,1√2,1√2)． ∴ 点D 到平面A 1BCD 1的距离d =|n 0→⋅DB →|=√22． ∵ 四边形A 1BCD 1是矩形，∴ 面积S =BC ⋅CD 1=1×√2=√2． ∴ V D−BCD 1A 1=13sℎ=13×√22×√2=13．22. 解（1）∵ 椭圆方程为x 218+y 29=1∴ a 2=18，b 2=9，得c =√a 2−b 2=3，可得F(3, 0)…∵ |OA →|=|OF →|且点A 在x 轴的上方，…∴ 可得A 在椭圆上且|OA →|=3，得A 是椭圆的上顶点，坐标为A(0, 3) 由此可得l 的斜率k =−1，d →=(1,−1)… 因此，直线l 的方程为：x−31=y−0−1，化简得x +y −3=0…（2）设A(x 1, y 1)、B(x 2, y 2)，直线l:y =k(x −3)…将直线与椭圆方程联列{x 218+y 29=1y =k(x −3)，…消去x ，得(1+2k 2)y 2+6ky −9k 2=0…由于△>0恒成立，根据根与系数的关系可得{y 1+y 2=−6k 1+2k 2⋅…∴ |y 1−y 2|=6|k|√2(1+k 2)1+2k 2=6k√2(1+k 2)1+2k 2…因此，可得S △PAB =12×|PF|×|y 1−y 2|=12×3×6k√2(1+k 2)1+2k 2=6化简整理，得k 4−k 2−2=0，由于k >0，解之得k =1…（3）假设存在这样的点C(x 0, 0)，使得直线AC 和BC 的斜率之和为0，根据题意，得直线l:y =k(x −3)(k ≠0)由{x 218+y 29=1y =k(x −3)消去y ，得(1+2k 2)x 2−12k 2x +18(k 2−1)=0… 由于△>0恒成立，根据根与系数的关系可得{x 1+x 2=12k 21+2k 2⋅…(∗)…而k AD =y 1x1−x 0，k BD =y 2x2−x 0，… ∴ k AD +k BD =y 1x 1−x 0+y 2x 2−x 0=k(x 1−3)x 1−x 0+k(x 2−3)x 2−x 0=k(x 1−3)(x 2−x 0)+k(x 2−3)(x 1−x 0)(x 1−x 0)(x 2−x 0)=0由此化简，得2kx 1x 2−k(x 0+3)(x 1+x 2)+6kx 0=0，… 将(∗)式代入，可得36k(k 2−1)1+2k 2−12k 3(x 0+3)1+2k 2+6kx 0=0，解之得x 0=6，∴ 存在一点C(6, 0)，使得直线AC 和BC 的斜率之和为0．… 23. 解：（1）在数列{a n }中，取n =1，则a 1+a 32=2=a 2，不满足条件①，所以数列{a n }不具有“m 性质”；…在数列{b n }中，b 1=1，b 2=√3，b 3=2， b 4=√3，b 5=1，则b 1+b 3=3<2√3=2b 2， b 2+b 4=2√3<4=2b 3，b 3+b 5=3<2√3=2b 4，所以满足条件①； b n =2sinnπ6≤2(n =1, 2, 3, 4, 5)满足条件②，所以数列{b n }具有“性质m”．…（2）因为数列{c n }是各项为正数的等比数列，则公比q >0，将c 3=14代入S 3=c3q 2+c 3q+c 3=74得，6q 2−q −1=0，解得q =12或q =−13（舍去），…所以c 1=1，c n =12n−1，S n =2−12n−1…对于任意的n ∈N ∗，S n +S n+22=2−12n −12n+2<2−12n =S n+1，且S n <2…所以数列数列{S n }具有“m 性质”…且M ≥2．… （3）由于d n =3t −tn−12n，则d n+1=3t −t(n+1)−12n+1，d n+2=3t −t(n+2)−12n+2，由于任意n ∈[3, +∞]且n ∈N ∗，数列{d n }具有“性质m”，所以d n +d n+2<2d n+1 即tn−12n+t(n+2)−12n+2>2×t(n+1)−12n+1，化简得，t(n −2)>1…即t >1n−2对于任意n ∈[3, +∞)且n ∈N ∗恒成立，所以t >1…①…d n+1−d n =tn−12n−t(n+1)−12n+1=t(n−1)−12n+1由于n ≥3及①，所以d n+1>d n即n ≥3时，数列{d n }是单调递增数列，且lim n →∞d n =limn →∞(3t −tn−12n )=3t…只需3t ≤9，解得t ≤3…②…由①②得1<t ≤3，所以满足条件的整数t 的值为2和3．经检验t =2不合题意，舍去，满足条件的整数只有t =3…。

数学_2013年上海市长宁、嘉定区高考数学二模试卷(理科)_(含答案)

2013年上海市长宁、嘉定区高考数学二模试卷（理科）一．填空题（本大题满分56分，共14小题，每小题4分） 1. 函数f(x)=sin(2x +π4)的最小正周期为________．2. 若关于x 的不等式2x 2−3x +a <0的解集为(m, 1)，且实数f(1)<0，则m =________．3. （理）已知集合A ={−1, 0, a}，B ={x|1<3x <3}，若A ∩B ≠⌀，则实数a 的取值范围是________．4. 已知复数z 满足i z−1=3（i 为参数单位），则复数z 的实部与虚部之和为________．5. 求值：1−2C 20131+4C 20132−⋯+(−2)2013C 20132013=________．6. 已知向量a →=(−2,2),b →=(5,k).|a →+b →|不超过5，则k 的取值范围是________．7. 设a >0，a ≠1，行列式D =|a x 1320124−3|中第3行第2列的代数余子式记作y ，函数y ＝f(x)的反函数图象经过点(2, 1)，则a ＝________．8. （理）如图是一个算法框图，则输出的k 的值是________．9. 已知cos(α−β)=35，sinβ=−513，且α(0, π2)，β∈(−π2, 0)，则sinα=________． 10. （理）设函数f(x)={√1−x 2，x ∈[−1,0)1−x,x ∈[0,1]，则将y =f(x)的曲线绕x 轴旋转一周所得几何体的体积为________．11. （理）抛掷一枚质地均匀的骰子，记向上的点数是偶数的事件为A ，向上的点数大于2且小于或等于5的事件为B ，则事件A ∪B 的概率P(A ∪B)=________．12. 设定义域为R 的函数f(x)={1|x−1|，x ≠11,x =1，若关于x 的方程f 2(x)+bf(x)+c =0有3个不同的整数解x 1，x 2，x 3，则x 12+x 22+x 32等于________．13. 设函数f(x)=(x+1)2+sinxx 2+1的最大值为M ，最小值为m ，则M +m ＝________．14. 设S n 为数列{a n }的前n 项之和．若不等式a n 2+S n2n 2≥λa 12对任何等差数列{a n }及任何正整数n 恒成立，则λ的最大值为________．二．选择题（本大题满分20分，共4小题，每小题5分）15. 已知A(a 1, b 1)，B(a 2, b 2)是坐标平面上不与原点重合的两个点，则OA →⊥OB →的充要条件是（）A b 1a 1⋅b 2a 2=−1 B a 1a 2+b 1b 2=0 C a 1a 2=b1b 2D a 1b 2=a 2b 116. 关于直线l ，m 及平面α，β，下列命题中正确的是（）A 若l // α，α∩β=m ，则l // mB 若l // α，m // α，则l // mC 若l ⊥α，l // β，则α⊥βD 若l // α，m ⊥l ，则m ⊥α 17. 过点P(1, 1)作直线与双曲线x 2−y 22=1交于A 、B 两点，使点P 为AB 中点，则这样的直线（）A 存在一条，且方程为2x −y −1＝0B 存在无数条C 存在两条，方程为2x ±(y +1)＝0D 不存在18. 已知a >0且a ≠1，函数f(x)=log a (x +√x 2+b)在区间(−∞, +∞)上既是奇函数又是增函数，则函数g(x)=log a ||x|−b|的图象是（）A B C D三．解答题（本大题满分74分，共5小题）19. （理）如图：已知AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AD 与平面BCD 所成的角为30∘，且AB =BC =2．（1）求AD 与平面ABC 所成角的大小；（2）求点B 到平面ACD 的距离．20. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边a ，b ，c 成等比数列．（1）求证：0<B ≤π3；（2）求y =1+sin2B sinB+cosB的取值范围．21. 设函数f(x)=a x −(k −1)a −x (a >0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数．（1）求k 的值；（2）（理）若f(1)=32，且g(x)=a 2x +a −2x −2m ⋅f(x)在[1, +∞)上的最小值为−2，求m 的值．（文）若f(1)<0，试说明函数f(x)的单调性，并求使不等式f(x 2+tx)+f(4−x)<0恒成立的取值范围．22. 如图，已知点F(0, 1)，直线m:y ＝−1，P 为平面上的动点，过点P 作m 的垂线，垂足为点Q ，且QP →⋅QF →=FP →⋅FQ →．（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）（理）过轨迹C 的准线与y 轴的交点M 作直线m′与轨迹C 交于不同两点A 、B ，且线段AB 的垂直平分线与y 轴的交点为D(0, y 0)，求y 0的取值范围；（3）（理）对于（2）中的点A 、B ，在y 轴上是否存在一点D ，使得△ABD 为等边三角形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．23. （理）已知三个互不相等的正数a ，b ，c 成等比数列，公比为q ．在a ，b 之间和b ，c 之间共插入n 个数，使这n +3个数构成等差数列．（1）若a =1，在b ，c 之间插入一个数，求q 的值；（2）设a <b <c ，n =4，问在a ，b 之间和b ，c 之间各插入几个数，请说明理由；（3）若插入的n 个数中，有s 个位于a ，b 之间，t 个位于b ，c 之间，试比较s 与t 的大小．2013年上海市长宁、嘉定区高考数学二模试卷（理科）答案1. π2. 123. (0, 1)4. 435. −16. [−6, 2]7. 48. 69. 336510. π 11. 5612. 5 13. 2 14. 15 15. B 16. C17. D18. A19. 解：（1）如图，因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD，又BC⊥CD，所以CD⊥平面ABC，∠DAC就是AD与平面ABC所成的角．因为AB⊥平面BCD，AD与平面BCD所成的角为30∘，故∠ADB=30∘，由AB=BC=2，得AD=4，AC=2√2，所以cos∠DAC=ACAD =√22，所以AD与平面ABC所成角的大小为45∘；（2）设点B到平面ACD的距离为d，由（1）可得BD=2√3，CD=2√2，则V A−BCD=13S△BCD⋅AB=16BC⋅CD⋅AB=16×2×2√2×2=4√23．V B−ACD=13S△ACD⋅d=16AC⋅CD⋅d=16×2√2×2√2d=43d．由V A−BCD=V B−ACD，得4√23=43d，所以d=√2．所以点B到平面ACD的距离为√2．20. 解：（1）由已知，b2=ac，所以由余弦定理，得cosB=a 2+c2−b22ac=a2+c2−ac2ac由基本不等式a2+c2≥2ac，得cosB≥2ac−ac2ac =12．所以cosB∈[12，1)．因此，0<B≤π3．（2）y=1+sin2BsinB+cosB =(sinB+cosB)2sinB+cosB=sinB+cosB=√2sin(B+π4)，由（1），0<B≤π3，所以π4<B+π4≤7π12，所以sin(B+π4)∈(√22,1]，所以，y=1+sin2BsinB+cosB的取值范围是(1,√2]．21. 解：（1）由题意，对任意x∈R，f(−x)=−f(x)，即a−x−(k−1)a x=−a x+(k−1)a−x，即(k−1)(a x+a−x)−(a x+a−x)=0，(k−2)(a x+a−x)=0，因为x 为任意实数，所以k =2．解法二：因为f(x)是定义域为R 的奇函数，所以f(0)=0，即1−(k −1)=0，k =2．当k =2时，f(x)=a x −a −x ，f(−x)=a −x −a x =−f(x)，f(x)是奇函数．所以k 的值为2．（2）（理）由（1）f(x)=a x −a −x ，因为f(1)=32，所以a −1a =32，解得a =2．故f(x)=2x −2−x ，g(x)=22x +2−2x −2m(2x −2−x )，令t =2x −2−x ，则22x +2−2x =t 2+2，由x ∈[1, +∞)，得t ∈[32，+∞)，所以g(x)=ℎ(t)=t 2−2mt +2=(t −m)2+2−m 2，t ∈[32，+∞)当m <32时，ℎ(t)在[32，+∞)上是增函数，则ℎ(32)=−2，94−3m +2=−2，解得m =2512（舍去）．当m ≥32时，则f(m)=−2，2−m 2=−2，解得m =2，或m =−2（舍去）．综上，m 的值是2．（2）（文）由（1）知f(x)=a x −a −x ，由f(1)<0，得a −1a <0，解得0<a <1．当0<a <1时，y =a x 是减函数，y =−a −x 也是减函数，所以f(x)=a x −a −x 是减函数．由f(x 2+tx)+f(4−x)<0，所以f(x 2+tx)<−f(4−x)，因为f(x)是奇函数，所以f(x 2+tx)<f(x −4)．因为f(x)是R 上的减函数，所以x 2+tx >x −4即x 2+(t −1)x +4>0对任意x ∈R 成立，所以△=(t −1)2−16<0，解得−3<t <5．所以，t 的取值范围是(−3, 5)．22. 设P(x, y)，由题意，Q(x, −1)，QP →=(0,y +1)，QF →=(−x,2)，FP →=(x,y −1)，FQ →=(x,−2)，由QP →⋅QF →=FP →⋅FQ →，得2(y +1)＝x 2−2(y −1)，化简得x 2＝4y ．所以，动点P 的轨迹C 的方程为x 2＝4y ．轨迹C 为抛物线，准线方程为y ＝−1，即直线m ，∴ M(0, −1)，设直线m ′的方程为y ＝kx −1(k ≠0)，由{y =kx −1x 2=4y 得x 2−4kx +4＝0，由△＝16k 2−16>0，得k 2>1．设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则x 1+x 2＝4k ，所以线段AB 的中点为(2k, 2k 2−1)，所以线段AB 垂直平分线的方程为(x −2k)+k[y −(2k 2−1)]＝0，令x ＝0，得y 0=2k 2+1．因为k 2>1，所以y 0∈(3, +∞)．由（2），x 1+x 2＝4k ，x 1x 2＝4，∴ |AB|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√(1+k 2)(x 1−x 2)2=√(1+k 2)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2]=√(1+k 2)(16k 2−16)=4√(k 2+1)(k 2−1)．假设存在点D(0, y 0)，使得△ABD 为等边三角形，则D 到直线AB 的距离d =√32|AB|．因为D(0, 2k 2+1)，所以d =0√1+k 2=2√k 2+1=2√k 2+1，所以2√k 2+1=2√3√k 2+1⋅√k 2−1，解得k 2=43．所以，存在点D(0,113)，使得△ABD 为等边三角形．23. 解：（1）若a =1，因为a ，b ，c 是互不相等的正数，所以q >0且q ≠1．由已知，a ，b ，c 是首项为1，公比为q 的等比数列，则b =q ，c =q 2，当插入的一个数位于b ，c 之间，设由4个数构成的等差数列的公差为d ，则{q =1+dq 2=1+3d ，消去d 得2q 2−3q +2=0，因为q ≠1，所以q =2．（2）设所构成的等差数列的公差为d ，由题意，d >0，共插入4个数．若在a ，b 之间插入1个数，在b ，c 之间插入3个数，则{b =a +2dc =b +4d ，于是b−a 2=c−b 4，2b −2a =c −b ，q 2−3q +2=0，解得q =2．若在a ，b 之间插入3个数，在b ，c 之间插入1个数，则{b =a +4dc =b +2d ，于是b−a 4=c−b 2，2c −2b =b −a ，解得q =12（不合题意，舍去）．若a ，b 之间和b ，c 之间各插入2个数，则{b =a +3dc =b +3d ，b −a =c −b ，解得q =1（不合题意，舍去），综上，a ，b 之间插入1个数，在b ，c 之间插入3个数．（3）设所构成的等差数列的公差为d ，由题意可得，b =a +(s +1)d ，d =b−a s+1，又c =b +(t +1)d ，d =c−b t+1，所以，b−a s+1=c−b t+1，即q−1s+1=q(q−1)t+1，因为q ≠1，所以t+1s+1=q ．所以，当q >1，即a <b <c 时，s <t ；当0<q <1，即a >b >c 时，s >t ．。

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2012学年静安、杨浦、青浦、宝山区高三年级高考模拟考试数学试卷（理科） 2013.04.一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知全集R U =，集合{}0322>--=x x x A ，则=A C U .2．若复数z 满足)2(z i z -=（i 是虚数单位），则=z . 3．已知直线012=++y x 的倾斜角大小是θ，则=θ2tan .4．若关于y x 、的二元一次方程组⎩⎨⎧=-+-=+-04)12(03y x m y mx 有唯一一组解，则实数m 的取值范围是 .5．已知函数)(x f y =和函数)1(log 2+=x y 的图像关于直线0=-y x 对称，则函数)(x f y =的解析式为 .6．已知双曲线的方程为1322=-y x ，则此双曲线的焦点到渐近线的距离为 7．函数xx xx x x x f sin cos sin 2)cos(cos sin )(--+=π的最小正周期=T .8．若nx )21(+展开式中含3x 项的系数等于含x 项系数的8倍，则正整数=n 9．执行如图所示的程序框图，若输入p 的值是7，则输出S 的值是 . 10．已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm ，如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等，那么这个圆锥的母线长为 cm ．11．某中学在高一年级开设了4门选修课，每名学生必须参加这4门选修课中的一门，对于该年级的甲、乙、丙3名学生，这3名学生选择的选修课互不相同的概率是 (结果用最简分数表示)．12．各项为正数的无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1lim 1=+∞→n nn S S ，则其公比q 的取值范围是 .13．已知两个不相等的平面向量α，β(0≠α)满足|β|＝2，且α与β－α的夹角为120°，则|α|的最大值是 .14．给出30行30列的数表A ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1074216183150117216342720131832721159150201510511713951，其特点是每行每列都构成等差数列，记数表主对角线上的数10743421101，，，，，按顺序构成数列{}n b ，存在正整数 )1(t s t s <<、使t s b b b ,,1成等差数列，试写出一组),(t s 的值 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 15．已知),2(ππα∈，53sin =α，则)4tan(πα-的值等于………………………（）（A ）71．（B ）71- ．（C ） 7．（D ）7-． 16．已知圆C 的极坐标方程为θρsin a =，则“2=a ”是“圆C 与极轴所在直线相切”的 ………………………………………………………………………………（）（A ）充分不必要条件．（B ）必要不充分条件．（C ）充要条件．（D ）既不充分又不必要条件． 17．若直线2=+by ax 经过点)sin ,(cos ααM ，则 …………………………（）（A ） 422≤+b a ．（B ） 422≥+b a ．（C ）41122≤+b a ．（D ）41122≥+b a ． 18．已知集合{})(),(x f y y x M ==，若对于任意M y x ∈),(11，存在M y x ∈),(22，使得02121=+y y x x 成立，则称集合M 是“Ω集合”. 给出下列4个集合：① ⎭⎬⎫⎩⎨⎧==x y y x M 1),( ② {}2),(-==xe y y x M ③ {}x y y x M cos ),(== ④ {}x y y x M ln ),(==其中所有“Ω集合”的序号是……………………………………………………（）（A ）②③ ．（B ）③④ ．（C ）①②④．（D ）①③④．三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19．（本题满分12分）本题共有2小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，F E ,分别为CD B A ,11的中点．（1）求直线EC 与平面11BCC B 所成角的大小；（2）求二面角B AF E --的大小． 20．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图所示，扇形AOB ，圆心角AOB 的大小等于3π，半径为2，在半径OA 上有一动点C ，过点C 作平行于OB 的直线交弧AB 于点P ．（1）若C 是半径OA 的中点，求线段PC 的大小；（2）设θ=∠COP ，求△POC 面积的最大值及此时θ的值． 21．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．已知函数a x x f +=2)(．（1）若12)()(++=bx x f x F 是偶函数，在定义域上ax x F ≥)(恒成立，求实数a 的取值范围；（2）当1=a 时，令)())(()(x f x f f x λϕ-=，问是否存在实数λ，使)(x ϕ在()1,-∞-上是减函数，在()0,1-上是增函数？如果存在，求出λ的值；如果不存在，请说明理由．22．（本题满分16分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知点)0,1(A ，1P 、2P 、3P 是平面直角坐标系上的三点，且1AP 、2AP 、3AP 成等差数列，公差为d ，0≠d ．（1）若1P 坐标为()1,1-，2d =，点3P 在直线3180x y --=上时，求点3P 的坐标；（2）已知圆C 的方程是222)3()3(r y x =-+-)0(>r ，过点A 的直线交圆于31P P 、两点，2P 是圆C 上另外一点，求实数d 的取值范围；（3）若1P 、2P 、3P 都在抛物线24y x =上，点2P 的横坐标为3，求证：线段13PP 的垂直平分线与x 轴的交点为一定点，并求该定点的坐标． 23．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足a a =1 (3≠a )，n n n S a 31+=+，设n n n S b 3-=，*∈N n ．（1）求证：数列{}n b 是等比数列；（2）若1+n a ≥n a ，*∈N n ，求实数a 的最小值；（3）当4=a 时，给出一个新数列{}n e ，其中⎩⎨⎧≥==2,1,3n b n e nn ，设这个新数列的前n 项和为n C ，若n C 可以写成p t (*∈N p t ,且1,1>>p t )的形式，则称n C 为“指数型和”．问{}n C 中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由．四区联考2012学年度第二学期高三数学参考答案及评分标准 2013.04一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．]3,1[-； 2．2； 3．34； 4．31≠m ； 5．12-=x y ； 6．1；7．π；8．5；9．6463；10．17；11． 834334=P ；12．(]1,0；13． 334；14．)25,17(．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 15． D ； 16． A ； 17． B ；18． A三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 . 19．（本题满分12分）本题共有2小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．（1）解法一：建立坐标系如图平面11BCC B 的一个法向量为)0,1,0(1=n 因为)2,1,2(E )0,2,0(C ，)2,1,2(--=∴EC ，可知直线EC 的一个方向向量为)2,1,2(--=∴d ．设直线EC 与平面11BCC B 成角为θ，d 与1n 所成角为ϕ，则31cos sin =θ 31arcsin BCC B 11成角大小为与平面故EC解法二：⊥1EB 平面11BCC B ，即C B 1为EC 在平面11BCC B 内的射影，故1ECB ∠为直线EC 与平面11BCC B 所成角，在CEB Rt 1∆中，22,1EB 11==C B ,42221tan 111===∠C B EB ECB 故 42arctanBCC B 11成角大小为与平面故EC （2）解法一：建立坐标系如图．平面ABCD 的一个法向量为)1,0,0(1=n 设平面AEF 的一个法向量为),,(2z y x n =，因为)0,1,2(-=AF ，)2,1,0(=AE所以⎩⎨⎧=+=+-0202z y y x ，令1=x ，则1,2-==z y )1,2,1(2-=⇒n66cos θ 由图知二面角B AF E --为锐二面角，故其大小为66arccos．解法二：过E 作平面ABC 的垂线，垂足为E '，E EG '∠即为所求AB E ∈'，过E '作AF 的垂线设垂足为G ，ADF ∆∽AGE ∆521='⇒=''E G AF AD E A E G 即52='E G 在Q E E Rt '∆中5tan =''='∠E G E E E EG 所以二面角B AF E --的大小为5arctan ．20．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．解:（1）在△POC 中，32π=∠OCP ，1,2==OC OP 由32cos2222πPC OC PC OC OP ⋅-+= 得032=-+PC PC ，解得2131+-=PC ．（2）∵CP ∥OB ，∴θπ-=∠=∠3POB CPO ，在△POC 中，由正弦定理得θsin sin CPPCO OP =∠，即θπsin 32sin 2CP= ∴θsin 34=CP ,又32sin )3sin(πθπCPOC=-)3sin(34θπ-=∴OC ．解法一：记△POC 的面积为)(θS ，则32sin 21)(πθOC CP S ⋅=， 23)3sin(34sin 3421⨯-⋅⋅=θπθ)3sin(sin 34θπθ-⋅=)sin 21cos 23(sin 34θθθ-=θθθ2sin 32cos sin 2-=332cos 332sin -+=θθ33)62(sin 332-+=πθ ∴6πθ=时，)(θS 取得最大值为33. 解法二：212432cos 22-=⋅-+=PC OC PC OC π即422=⋅++PC OC PC OC ，又PC OC PC OC PC OC ⋅≥⋅++322即43≤⋅PC OC当且仅当PC OC =时等号成立, 所以3323342132sin 21=⨯⨯≤⋅=πOC CP S PC OC = ∴6πθ=时，)(θS 取得最大值为33. 21．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．解:（1）12)(2+++=bx a x x F 是偶函数，0=∴b 即2)(2++=a x x F ， R x ∈ 又ax x F ≥)(恒成立即2)1(222+≤-⇒≥++x x a ax a x 当1=x 时R a ∈⇒当1>x 时，213)1(122+-+-=-+≤x x x x a ，232+≤a当1<x 时，213)1(122+-+-=-+≥x x x x a ， 232+-≥a综上： 232232+≤≤+-a （2）)())(()(x f x f f x λϕ-=)2()2(24λλ-+-+=x x)(x ϕ∴是偶函数，要使)(x ϕ在()1,-∞-上是减函数在()0,1-上是增函数，即)(x ϕ只要满足在区间()+∞,1上是增函数在()1,0上是减函数．令2x t =，当()1,0∈x 时()1,0∈t ；()+∞∈,1x 时()+∞∈,1t ，由于()+∞∈,0x 时，2x t =是增函数记)2()2()()(2λλϕ-+-+==t t t H x ，故)(x ϕ与)(t H 在区间()+∞,0上有相同的增减性，当二次函数)2()2()(2λλ-+-+=t t t H 在区间()+∞,1上是增函数在()1,0上是减函数，其对称轴方程为1=t 4122=⇒=--⇒λλ． 22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.解（1）11AP =，所以35AP =，设()3,P x y则()221253180x y x y ⎧-+=⎪⎨--=⎪⎩，消去y ，得211300x x -+=，…（2分）解得15x =，26x =,所以3P 的坐标为()5,3-或()6,0（2）由题意可知点A 到圆心的距离为13)03()13(22=-+-=t …（6分）（ⅰ）当130<<r 时，点()1,0A 在圆上或圆外，31132P P AP AP d =-=，又已知0≠d ，r P P 2031≤≤，所以 0<≤-d r 或 r d ≤<0 （ⅱ）当13≥r 时，点()1,0A 在圆内，所以13213132max=--+=r r d，又已知0≠d ，13220≤<d ，即013<≤-d 或130≤<d结论：当130<<r 时，0<≤-d r 或 r d ≤<0；当13≥r 时，013<≤-d 或130≤<d（3）因为抛物线方程为x y 42=，所以()1,0A 是它的焦点坐标，点2P 的横坐标为3，即82=AP 设()111,P x y ，()333,P x y ，则111+=x AP ，133+=x AP ，1322AP AP AP +=，所以13226x x x +==直线13PP 的斜率3131314y y k x x y y -==-+，则线段13PP 的垂直平分线l 的斜率314ly y k +=- 则线段13PP 的垂直平分线l 的方程为()3131324y y y yy x ++-=-- 直线l 与x 轴的交点为定点()5,023．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.解：（1）⇒+=+nn n S a 31nn n S S 321+=+，n n n S b 3-=，*∈N n ，当3≠a 时，1111323333n n n n n n n n n n n b S S b S S ++++-+-==--=2，所以{}n b 为等比数列． 3311-=-=a S b ，12)3(-⨯-=n n a b ．（2）由（1）可得12)3(3-⨯-=-n nn a S *-∈≥-=N n n S S a n n n ,2,1212)3(3221≥=⎩⎨⎧⨯-+⨯=--n n a a a n n n ； n n a a ≥+1，2112>⎩⎨⎧>>+n a a a a n n ，9-≥a 所以9-≥a ，且3≠a ．所以a 的最小值为（3）由（1）当4=a 时，12-=n n b当2≥n 时，nn C 2423++++= 12+=n ，31=C ，所以对正整数n 都有12+=nn C ．由12+=n p t ，n p t 21=-，(*∈N p t ,且1,1>>p t )，t 只能是不小于3的奇数． ①当p 为偶数时，n p p p t t t 2)1)(1(122=-+=-，因为12+p t 和12-p t 都是大于1的正整数，所以存在正整数h g ,，使得gp t 212=+，h p t 212=-，222=-h g ,2)12(2=--hg h ，所以22=h 且112=--h g 2,1==⇒g h ，相应的3=n ，即有233=C ，3C 为“指数型和”；②当p 为奇数时，)1)(1(112-++++-=-p p t t t t t ，由于121-++++p t t t 是p 个奇数之和，仍为奇数，又1-t 为正偶数，所以n p t t t t 2)1)(1(12=++++-- 不成立，此时没有“指数型和”．。

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