2018学年上海高三数学二模分类汇编——解析几何
上海2018届高三二模数学卷汇总(全)
宝山2018届高三二模数学卷一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1. 设全集R U =，若集合{}2,1,0=A ，{}21|<<-=x x B ，()B C A U ⋂= .2. 设抛物线的焦点坐标为()01，，则此抛物线的标准方程为 . 3. 某次体检，8位同学的身高（单位：米）分别为68.1，71.1，73.1，63.1，81.1，74.1，66.1，78.1，则这组数据的中位数是 (米）.4. 函数()x x x f 4cos 4sin 2=的最小正周期为 .5. 已知球的俯视图面积为π，则该球的表面积为 .6. 若线性方程组的增广矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛210221c c 的解为⎩⎨⎧==31y x ，则=+21c c . 7. 在报名的8名男生和5名女生中，选取6人参加志愿者活动，要求男、女都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）8. 设无穷数列{}n a 的公比为q ，则2a ()n n a a a +⋅⋅⋅++=∞→54lim ，则=q .9. 若B A 、满足()()()525421===AB P B P A P ，，，则()()P AB P AB -= . 10. 设奇函数()f x 定义为R ，且当0x >时，2()1m f x x x=+-（这里m 为正常数）． 若()2f x m ≤-对一切0x ≤成立，则m 的取值范围是 .11. 如图，已知O 为矩形4321P P P P 内的一点，满足7,543131===P P OP OP ，，则24OP OP ⋅u u u r u u u r 的值为 .12. 将实数z y x 、、中的最小值记为{}z y x ,,m in ，在锐角︒=∆60POQ ，1=PQ ，点T 在POQ ∆的边上或内部运动，且=TO {}TQ TO TP ,,m in ，由T 所组成的图形为M .设M POQ 、∆的面积为M POQ S S 、∆，若()2:1-=∆M POQ M S S S ：，则=M S . 二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上将代表答案的小方格涂黑，选对得 5分，否则一律得零分.13. “1sin 2x =”是“6x π=”的 （ ） )(A 充分不必要条件． )(B 必要不充分条件． )(C 充要条件． )(D 既不充分也不必要条件．14.在62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项等于 （ ）)(A 160- )(B 160 )(C 150- )(D 15015.若函数()()f x x R ∈满足()1f x -+、()1f x +均为奇函数，则下列四个结论正确的是（ ）)(A ()f x -为奇函数 )(B ()f x -为偶函数 )(C ()3f x +为奇函数 )(D ()3f x +为偶函数16. 对于数列12,,,x x L 若使得0n m x ->对一切n N *∈成立的m 的最小值存在，则称该最小值为此数列的“准最大项”。
精品解析：【全国区级联考】上海市奉贤区2018届高三下学期调研测试(二模)数学试题(解析版)
上海市奉贤区2018届高三二模数学试卷一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 集合，，则________【答案】【解析】∵集合∴集合∵集合∴故答案为.2. 已知半径为2R和R的两个球，则大球和小球的体积比为________【答案】8【解析】∵球的体积公式为（为球的半径）∴半径为2R和R的两个球，则大球和小球的体积比为故答案为8.3. 抛物线的焦点坐标是________【答案】【解析】试题分析：即，所以抛物线的焦点坐标是（0，）。
考点：本题主要考查抛物线的标准方程及其几何性质。
点评：简单题，首先应将抛物线方程化为标准方程。
4. 已知实数满足，则目标函数的最大值是_______【答案】4【解析】作出不等式组对应的平面区域如图所示：由得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大，.点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.5. 已知△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C所对的边. 若，则________【答案】【解析】∵∴根据余弦定理可得∵∴故答案为.6. 三阶行列式中元素的代数余子式为，则方程的解为________【答案】【解析】由题意知.∵∴，即.故答案为.7. 设是复数，表示满足时的最小正整数，是虚数单位，则________【答案】4【解析】∵∴∵表示满足的最小正整数∴当时满足第一次成立∴8. 无穷等比数列的通项公式，前项的和为，若，则________【答案】或【解析】∵∴∵数列为无穷等比数列∴，∵∴，即∴，即.∴∴或故答案为或.9. 给出下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦. 从这7个函数中任取两个函数，则其中一个是奇函数另一个是偶函数的概率是________【答案】【解析】对于①，定义域为，且，故为奇函数；对于②，定义域为，且，，故既不是奇函数也不是偶函数；对于③，定义域为，且，故是偶函数；对于④，定义域为，且，故是偶函数；对于⑤，是正切函数，故是奇函数；对于⑥，定义域为，且，故是偶函数；对于⑦，定义域为，且，故是奇函数.∴共有3个奇函数，3个偶函数∴从这7个函数中任取两个函数，则其中一个是奇函数另一个是偶函数的概率是.故答案为.10. 代数式的展开式的常数项是________（用数字作答）【答案】3【解析】的通项公式为.令，得；令，得.∴常数项为故答案为.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.11. 角的始边是x轴正半轴，顶点是曲线的中心，角的终边与曲线的交点A的横坐标是，角的终边与曲线的交点是B，则过B点的曲线的切线方程是________（用一般式表示）【答案】【解析】由题意可得：角的终边与曲线的交点的纵坐标是或，设曲线的中心为.①当点的坐标是时，，.∴，∵角的终边与曲线的交点是∴∴∴过点的曲线的切线方程是，即.②当点的坐标是时，，.∴，∵角的终边与曲线的交点是∴∴∴过点的曲线的切线方程是，即.综上，过点的曲线的切线方程是.故答案为.点睛：本题主要考查三角函数的二倍角的运用及圆的切线方程的求解，对于这类题目，首先利用已知条件得到切点的坐标，进而可得到切线的斜率，利用点斜式方程即可得到圆的切线的一般方程，因此正确求出切点的坐标是解题的关键.【答案】【解析】由题意，令，解得.∵函数的最小正周期为，，∴当时，可得第一个对称轴，当时，可得.∴函数在上有条对称轴根据正弦函数的图象与性质可知：函数与的交点有9个点，即关于对称，关于对称，…，即，，…，.∵∴∴故答案为.点睛：本题考查了三角函数的零点问题，三角函数的考查重点是性质的考查，比如周期性，单调性，对称性等，处理抽象的性质最好的方法结合函数的图象，本题解答的关键是根据对称性找到与的数量关系，本题有一个易错点是，会算错定义域内的交点的个数，这就需结合对称轴和数列的相关知识，防止出错.二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 已知曲线的参数方程为，则曲线为（）A. 线段B. 双曲线的一支C. 圆弧D. 射线【答案】A【解析】由代入消去参数t 得又所以表示线段。
2018年上海市黄浦区高考数学二模试卷含详解
2018年上海市黄浦区高考数学二模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.1．（4分）已知集合A={1，2，3}，B={1，m}，若3﹣m∈A，则非零实数m的数值是．2．（4分）不等式|1﹣x|＞1的解集是．3．（4分）若函数是偶函数，则该函数的定义域是．4．（4分）已知△ABC的三内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，若a2=b2+c2﹣2bcsinA，则内角A的大小是．5．（4分）已知向量在向量方向上的投影为﹣2，且，则=．（结果用数值表示）6．（4分）方程的解x= ．7．（5分）已知函数，则函数f（x）的单调递增区间是．8．（5分）已知α是实系数一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2+1=0的一个虚数根，且|α|≤2，则实数m的取值范围是．9．（5分）已知某市A社区35岁至45岁的居民有450人，46岁至55岁的居民有750人，56岁至65岁的居民有900人．为了解该社区35岁至65岁居民的身体健康状况，社区负责人采用分层抽样技术抽取若干人进行体检调查，若从46岁至55岁的居民中随机抽取了50人，试问这次抽样调查抽取的人数是人．10．（5分）将一枚质地均匀的硬币连续抛掷5次，则恰好有3次出现正面向上的概率是．（结果用数值表示）11．（5分）已知数列{a n}是共有k个项的有限数列，且满足，若a1=24，a2=51，a k=0，则k=．12．（5分）已知函数f（x）=ax2+bx+c（0＜2a＜b）对任意x∈R恒有f（x）≥0成立，则代数式的最小值是．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．（5分）在空间中，“直线m⊥平面α”是“直线m与平面α内无穷多条直线都垂直”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件14．（5分）二项式的展开式中，其中是有理项的项数共有（）A．4项B．7项C．5项D．6项15．（5分）实数x、y满足线性约束条件，则目标函数w=2x+y﹣3的最大值是（）A．0B．1C．﹣2D．316．（5分）在给出的下列命题中，是假命题的是（）A．设O、A、B、C是同一平面上的四个不同的点，若（m ∈R），则点A、B、C必共线B．若向量是平面α上的两个不平行的向量，则平面α上的任一向量都可以表示为，且表示方法是唯一的C．已知平面向量满足||=r（r＞0），且=，则△ABC是等边三角形D．在平面α上的所有向量中，不存在这样的四个互不相等的非零向量，使得其中任意两个向量的和向量与余下两个向量的和向量相互垂直三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．17．（14分）在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，BC=1，CD=．（1）画出四棱锥P﹣ABCD的主视图；（2）若PA=BC，求直线PB与平面PCD所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）18．（14分）某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的）．已知OA=10米，OB=x 米（0＜x＜10），线段BA、线段CD与弧、弧的长度之和为30米，圆心角为θ弧度．（1）求θ关于x的函数解析式；（2）记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值．19．（14分）已知动点M（x，y）到点F（2，0）的距离为d1，动点M（x，y）到直线x=3的距离为d2，且．（1）求动点M（x，y）的轨迹C的方程；（2）过点F作直线l：y=k（x﹣2）（k≠0）交曲线C于P、Q两点，若△OPQ的面积（O是坐标系原点），求直线l的方程．20．（16分）已知函数（1）求函数f（x）的反函数f﹣1（x）；（2）试问：函数f（x）的图象上是否存在关于坐标原点对称的点，若存在，求出这些点的坐标；若不存在，说明理由；（3）若方程的三个实数根x1、x2、x3满足：x1＜x2＜x3，且x3﹣x2=2（x2﹣x1），求实数a的值．21．（18分）定义：若数列{c n}和{d n}满足，则称数列{d n}是数列{c n}的“伴随数列”．已知数列{b n}是数列{a n}的伴随数列，试解答下列问题：（1）若，，求数列{a n}的通项公式a n；（2）若，为常数，求证：数列是等差数列；（3）若，数列{a n}是等比数列，求a1、b1的数值．2018年上海市黄浦区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.1．（4分）已知集合A={1，2，3}，B={1，m}，若3﹣m∈A，则非零实数m的数值是2．【考点】12：元素与集合关系的判断．【专题】11：计算题；32：分类讨论；4O：定义法；5J：集合．【分析】利用元素与集合的关系及集合中元素的互异性能求出非零实数m的数值．【解答】解：∵集合A={1，2，3}，B={1，m}，3﹣m∈A，∴或或，解得m=2．∴非零实数m的数值是2．故答案为：2．【点评】本题考查实数值的求法，考查元素与集合的关系及集合中元素的互异性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2．（4分）不等式|1﹣x|＞1的解集是（﹣∞，0）∪（2，+∞）．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】38：对应思想；4R：转化法；59：不等式的解法及应用．【分析】去掉绝对值，求出不等式的解集即可．【解答】解：∵|1﹣x|＞1，∴1﹣x＞1或1﹣x＜﹣1，∴x＜0或x＞2，故答案为：（﹣∞，0）∪（2，+∞）．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查转化思想，是一道基础题．3．（4分）若函数是偶函数，则该函数的定义域是[﹣2，2] ．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；51：函数的性质及应用．【分析】根据题意，由函数奇偶性的定义可得=，分析可得a的值，即可得f（x）=，据此分析函数的定义域即可得答案．【解答】解：函数，则f（﹣x）=f（x），则有=，解可得a=0，则函数f（x）=，有8﹣2x2≥0，解可得﹣2≤x≤2，则函数f（x）的定义域为[﹣2，2]；故答案为：[﹣2，2]．【点评】本题考查函数的奇偶性的性质，注意函数的奇偶性的定义．4．（4分）已知△ABC的三内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，若a2=b2+c2﹣2bcsinA，则内角A的大小是．【考点】HR：余弦定理．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．【分析】利用余弦定理，化简已知条件，然后求解即可．【解答】解：△ABC的三内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，a2=b2+c2﹣2bcsinA，又a2=b2+c2﹣2bccosA，可得sinA=cosA，所以A=．故答案为：．【点评】本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，考查计算能力．5．（4分）已知向量在向量方向上的投影为﹣2，且，则=﹣6．（结果用数值表示）【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】38：对应思想；49：综合法；5A：平面向量及应用．【分析】根据向量的投影公式计算．【解答】解：设的夹角为θ，则向量在向量方向上的投影为||•cosθ=||•==﹣2，∴=﹣2||=﹣6．故答案为：﹣6．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题．6．（4分）方程的解x= 2．【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【专题】33：函数思想；34：方程思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】利用对数运算法则以及指数运算法则求解即可．【解答】解：方程，化为：3•2x+5=4x+1，解得（2x+1）（2x﹣4）=0，即2x﹣4=0，解得x=2，故答案为：2．【点评】本题考查对数运算法则的应用，指数运算法则的应用，方程的解法，考查计算能力．7．（5分）已知函数，则函数f（x）的单调递增区间是．【考点】H5：正弦函数的单调性．【专题】35：转化思想；57：三角函数的图像与性质．【分析】根据矩阵的运算可得f（x）=2sinxcosx+cos2x，利用二倍角辅助角化简即可求解f（x）的单调递增区间．【解答】解：由题意，f（x）=2sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x=sin（2x+），令≤2x+≤，k∈Z．可得：≤x≤．函数f（x）的单调递增区间为．故答案为：．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，二倍角辅助角化简能力．属于基础题．8．（5分）已知α是实系数一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2+1=0的一个虚数根，且|α|≤2，则实数m的取值范围是．【考点】&S：实系数多项式虚根成对定理．【专题】34：方程思想；59：不等式的解法及应用；5N：数系的扩充和复数．【分析】α是实系数一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2+1=0的一个虚数根，可得也是实系数一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2+1=0的一个虚数根，由△＜0，=|α|2=m2+1≤4，解得m范围．【解答】解：α是实系数一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2+1=0的一个虚数根，则也是实系数一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2+1=0的一个虚数根，∴△=[﹣（2m﹣1）]2﹣4（m2+1）＜0，解得m．=|α|2=m2+1≤4，解得．则．则实数m的取值范围是．故答案为：．【点评】本题考查了实系数一元二次方程虚数根成对原理及其与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．（5分）已知某市A社区35岁至45岁的居民有450人，46岁至55岁的居民有750人，56岁至65岁的居民有900人．为了解该社区35岁至65岁居民的身体健康状况，社区负责人采用分层抽样技术抽取若干人进行体检调查，若从46岁至55岁的居民中随机抽取了50人，试问这次抽样调查抽取的人数是140人．【考点】B3：分层抽样方法．【专题】36：整体思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】根据条件求出抽取比例，结合比例关系进行求解即可．【解答】解：抽取比例为750÷50=15，则抽取总人数为（450+750+900）÷15=2100÷15=140人，故答案为：140．【点评】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件求出抽取比例是解决本题的关键．10．（5分）将一枚质地均匀的硬币连续抛掷5次，则恰好有3次出现正面向上的概率是．（结果用数值表示）【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次概率计算公式直接求解．【解答】解：将一枚质地均匀的硬币连续抛掷5次，则恰好有3次出现正面向上的概率是：p==．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查n次独立重复试验中事件A恰好发生k次概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．11．（5分）已知数列{a n}是共有k个项的有限数列，且满足，若a1=24，a2=51，a k=0，则k=50．【考点】8H：数列递推式．【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；54：等差数列与等比数列．=a n﹣1﹣变形可得a n+1a n﹣a n﹣1a n=﹣n，据此可得（a3a2【分析】根据题意，将a n+1﹣a2a1）=﹣2，（a4a3﹣a3a2）=﹣3，……a k a k﹣1﹣a k﹣1a k﹣2=﹣（k﹣1），用累加法分析可得a k a k﹣1﹣a1a2=﹣[1+2+3+……（k﹣1）]，代入数据变形可得k2﹣k﹣2450=0，解可得k的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，数列{a n}满足a n+1=a n﹣1﹣，变形可得：a na n﹣a n﹣1a n=﹣n，+1则有（a3a2﹣a2a1）=﹣2，（a4a3﹣a3a2）=﹣3，（a5a4﹣a4a3）=﹣4，……a k a k﹣1﹣a k﹣1a k﹣2=﹣（k﹣1），相加可得：a k a k﹣1﹣a1a2=﹣[1+2+3+……（k﹣1）]，又由a1=24，a2=51，a k=0，则有k2﹣k﹣2450=0，解可得：k=50或﹣49（舍）；故k=50；故答案为：50．=a n﹣1﹣的变形．【点评】本题考查数列的递推公式的应用，关键是对a n+112．（5分）已知函数f（x）=ax2+bx+c（0＜2a＜b）对任意x∈R恒有f（x）≥0成立，则代数式的最小值是3．【考点】3V：二次函数的性质与图象．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】由二次函数的性质得，代入化简得：≥，设t=，由0＜2a＜b得t＞2，利用基本不等式的性质就能求得最小值．【解答】解：因为∀x∈R，f（x）=ax2+bx+c≥0恒成立，0＜2a＜b，所以，得b2≤4ac，又0＜2a＜b，所以，所以=≥===，设t=，由0＜2a＜b得，t＞2，则≥==[（t﹣1）++6]≥=3，当且仅当时取等号，此时t=4，取最小值是3，故答案为：3．【点评】本题主要考查二次函数的性质，基本不等式的应用，以及换元法，式子的变形是解题的关键和难点，属于难题．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．（5分）在空间中，“直线m⊥平面α”是“直线m与平面α内无穷多条直线都垂直”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】36：整体思想；4O：定义法；5L：简易逻辑．【分析】根据线面垂直的定义，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：直线m⊥平面α，则直线m与平面α内所有直线，即直线m与平面α内无穷多条直线都垂直成立，若平面α内无穷多条直线都是平行的，则当直线m与平面α内无穷多条直线都垂直时，直线m⊥平面α也不一定成立，即“直线m⊥平面α”是“直线m与平面α内无穷多条直线都垂直”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合线面垂直的定义是解决本题的关键．14．（5分）二项式的展开式中，其中是有理项的项数共有（）A．4项B．7项C．5项D．6项【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；34：方程思想；4A：数学模型法；5P：二项式定理．【分析】写出二项展开式的通项，由为整数求得r值，可得有理项的项数．【解答】解：二项式的展开式的通项为=．∵0≤r≤40，且r∈N，∴当r=0、6、12、18、24、30、36时，∈Z．∴二项式的展开式中，其中是有理项的项数共有7项．故选：B．【点评】本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．15．（5分）实数x、y满足线性约束条件，则目标函数w=2x+y﹣3的最大值是（）A．0B．1C．﹣2D．3【考点】7C：简单线性规划．【专题】38：对应思想；4R：转化法；59：不等式的解法及应用．【分析】先画出可行域；将目标函数变形；画出目标函数对应的直线；将直线平移由图求出w的最大值即可．【解答】解：画出命题条件的平面区域，如图示：，将w=2x+y﹣3转化为y=﹣2x+w+3，平移直线y=﹣2x，结合图象直线过（3，0）时，w最大，故w max=3，故选：D．【点评】不等式组表示的平面区域、利用图形求二元函数的最值．16．（5分）在给出的下列命题中，是假命题的是（）A．设O、A、B、C是同一平面上的四个不同的点，若（m ∈R），则点A、B、C必共线B．若向量是平面α上的两个不平行的向量，则平面α上的任一向量都可以表示为，且表示方法是唯一的C．已知平面向量满足||=r（r＞0），且=，则△ABC是等边三角形D．在平面α上的所有向量中，不存在这样的四个互不相等的非零向量，使得其中任意两个向量的和向量与余下两个向量的和向量相互垂直【考点】2K：命题的真假判断与应用．【专题】38：对应思想；4O：定义法；5A：平面向量及应用．【分析】对于A，根据共线定理判断A、B、C三点共线即可；对于B，根据平面向量的基本定理，判断命题正确；对于C，根据平面向量的线性表示与数量积运算得出命题正确；对于D，举例说明命题错误．【解答】解：对于命题A，（m∈R），∴﹣=m（﹣），∴=m，且有公共点C，∴则点A、B、C共线，命题A正确；对于B，根据平面向量的基本定理知，向量是一组基底，则平面α上的任一向量，都可表示为，且表示方法唯一，B正确；对于C，平面向量满足||=r（r＞0），且=，∴+=﹣，即+=，∴+2•+=，即r2+2r2•cos＜，＞+r2=r2，∴cos＜，＞=﹣，∴、的夹角为120°，同理、的夹角也为120°，∴△ABC是等边三角形，C正确；对于D，如=（0，1），=（1，1），=（﹣1，1），=（﹣1，0），满足（+）•（+）=1×（﹣2）+2×1=0，∴（+）⊥（+），D错误．故选：D．【点评】本题利用命题真假的判断考查了平面向量的综合应用问题，是中档题．三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．17．（14分）在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，BC=1，CD=．（1）画出四棱锥P﹣ABCD的主视图；（2）若PA=BC，求直线PB与平面PCD所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）【考点】L7：简单空间图形的三视图；MI：直线与平面所成的角．【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（1）由题意能作出主视图．（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线PB与平面PCD所成角的大小．【解答】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分（4分），第2小题满分（10分）．解（1）在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，BC=1，CD=．作出主视图如下：（2）根据题意，可算得AB=1，AD=2．又PA=BC=1，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，可得，A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，1）．于是，有．设平面PCD的法向量为，则即令z=2，可得y=1，x=1，故平面PCD的一个法向量为．设直线PB与平面PCD所成角的大小为θ，则．所以直线PB与平面PCD所成角的大小为．【点评】本题考查主视图的作法，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．18．（14分）某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的）．已知OA=10米，OB=x 米（0＜x＜10），线段BA、线段CD与弧、弧的长度之和为30米，圆心角为θ弧度．（1）求θ关于x的函数解析式；（2）记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值．【考点】5C：根据实际问题选择函数类型．【专题】33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】（1）根据弧长公式和周长列方程得出θ关于x的函数解析式；（2）根据面积公式求出y关于x的函数值，从而得出y的最大值．【解答】解：（1）根据题意，可算得弧BC=x•θ（m），弧AD=10θ（m）．∴2（10﹣x）+x•θ+10θ=30，∴．（2）依据题意，可知，化简得：y=﹣x2+5x+50=．∴当，（m2）．答：当米时铭牌的面积最大，且最大面积为平方米．【点评】本题考查了函数解析式的求解，函数最值的计算，属于中档题．19．（14分）已知动点M（x，y）到点F（2，0）的距离为d1，动点M（x，y）到直线x=3的距离为d2，且．（1）求动点M（x，y）的轨迹C的方程；（2）过点F作直线l：y=k（x﹣2）（k≠0）交曲线C于P、Q两点，若△OPQ的面积（O是坐标系原点），求直线l的方程．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合；KK：圆锥曲线的轨迹问题．【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）结合题意求出．通过，求动点M（x，y）的轨迹C的方程．（2）联立方程组，设点P（x1，y1）、Q（x2，y2），利用韦达定理以及弦长公式，结合点O到直线l的距离．求解三角形的面积，推出结果即可．【解答】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分（6分），第2小题满分（8分）．解：（1）结合题意，动点M（x，y）到点F（2，0）的距离为d1，动点M（x，y）到直线x=3的距离为d2，可得．又，于是，，化简得．因此，所求动点M（x，y）的轨迹C的方程是．（2）联立方程组得（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0．设点P（x1，y1）、Q（x2，y2），则于是，弦，点O到直线l的距离．由，得=，化简得k4﹣2k2+1=0，解得k=±1，且满足△＞0，即k=±1都符合题意．因此，所求直线的方程为x﹣y﹣2=0或x+y﹣2=0．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法．考查转化思想以及计算能力．20．（16分）已知函数（1）求函数f（x）的反函数f﹣1（x）；（2）试问：函数f（x）的图象上是否存在关于坐标原点对称的点，若存在，求出这些点的坐标；若不存在，说明理由；（3）若方程的三个实数根x1、x2、x3满足：x1＜x2＜x3，且x3﹣x2=2（x2﹣x1），求实数a的值．【考点】4R：反函数；53：函数的零点与方程根的关系；57：函数与方程的综合运用．【专题】33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】（1）用y表示出x，即可得出反函数；（2）设出对称的两点横坐标坐标，令函数值的和为0求出点的横坐标，从而得出两点坐标；（3）判断f（x）与2的大小，求出x1、x2、x3的值，根据得x3﹣x2=2（x2﹣x1）得出a的值．【解答】解：（1）∵∴当﹣1≤x＜0时，f（x）=﹣2x，且0＜f（x）≤2．由y=﹣2x，得，互换x与y，可得．当0≤x≤1时，f（x）=x2﹣1，且﹣1≤f（x）≤0．由y=x2﹣1，得，互换x与y，可得．∴（2）函数图象上存在两点关于原点对称．设点A（x0，y0）（0＜x0≤1）、B（﹣x0，﹣y0）是函数图象上关于原点对称的点，则f（x0）+f（﹣x0）=0，即，解得，且满足0＜x≤1．因此，函数图象上存在点关于原点对称．（3）令f（x）=2，解得x=﹣，①当时，有，原方程可化为﹣4x﹣2ax﹣4=0，解得，令，解得：．②当时，，原方程可化为，化简得（a2+4）x2+4ax=0，解得，又，∴．∴．由x3﹣x2=2（x2﹣x1），得，解得a=﹣（舍）或a=．因此，所求实数．【点评】本题考查了反函数的求解，考查函数的对称性，函数零点的计算，属于中档题．21．（18分）定义：若数列{c n}和{d n}满足，则称数列{d n}是数列{c n}的“伴随数列”．已知数列{b n}是数列{a n}的伴随数列，试解答下列问题：（1）若，，求数列{a n}的通项公式a n；（2）若，为常数，求证：数列是等差数列；（3）若，数列{a n}是等比数列，求a1、b1的数值．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【专题】32：分类讨论；49：综合法；55：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（1）根据题意，有．由，，即可求解数列{a n}的通项公式．（2）通过逐项递推关系，可得，n∈N*．，n∈N*．即可正数列是首项为、公差为1的等差数列．（3）由题意，求解：．{a n}是等比数列，且a n＞0，设公比为r（r ＞0），则．对其进行讨论，从而求解满足题意的a1、b1的数值．【解答】解：（1）根据题意，有．由，，得，n∈N*．所以，n∈N*．证明：（2）∵，，∴，，n∈N*．∴，n∈N*．∴数列是首项为、公差为1的等差数列．解：（3）由，，由，得．∵{a n}是等比数列，且a n＞0，设公比为r（r＞0），则．∴当r＞1，即，与矛盾．因此，r＞1不成立．当0＜r＜1，即，与矛盾．因此，0＜r＜1不成立．∴r=1，即数列{a n}是常数列，于是，a n=a1（）．∴．∵b n＞0，∴b1＞0，数列{b n}也是等比数列，设公比为q（q＞0），有．∴，可化为，n∈N*．∵，∴关于x的一元二次方程有且仅有两个非负实数根．一方面，q n（n∈N*）是方程的根；另一方面，若q≠1（q＞0），则无穷多个互不相等的q，q2，q3，q4，…，q n，…都是该二次方程的根．这与该二次方程有且仅有两个非负实数根矛盾！∴q=1，即数列{b n}也是常数列，于是，b n=b1，n∈N*．∴由，得．把，代入，解得．∴．【点评】本题考查等差、等比数列的通项公式和综合能力的运用，考查运算能力，属于中档偏难的题．。
上海市杨浦区2018高三数学二模(含解析)
上海市杨浦区2018届高三二模数学试卷2018.04一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 函数lg 1y x =-的零点是 2. 计算：2lim41n nn →∞=+3. 若(13)n x +的二项展开式中2x 项的系数是54，则n =4. 掷一颗均匀的骰子，出现奇数点的概率为5. 若x 、y 满足020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2f x y =+的最大值为6. 若复数z 满足1z =，则z i -的最大值是7. 若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为3、3、2的三角形， 则该圆锥的体积是8. 若双曲线2221613x y p-=(0)p >的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p = 9. 若3sin()cos cos()sin 5x y x x y x ---=，则tan 2y 的值为10. 若{}n a 为等比数列，0n a >，且20182a =，则2017201912a a +的最小值为 11. 在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，2a =，2sin sin A C =.若B 为钝角，1cos24C =-，则ABC ∆的面积为 12. 已知非零向量OP uu u r 、OQ uuu r 不共线，设111m OM OP OQ m m =+++uuu r uu u r uuur ，定义点集{|}||||FP FM FQ FMA F FP FQ ⋅⋅==uu r uuu r uu u r uuu r uu r uu u r . 若对于任意的3m ≥，当1F ，2F A ∈且不在直线PQ 上时，不等式12||||F F k PQ ≤uuu u r uu u r恒成立，则实数k 的最小值为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 已知函数()sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><的图象如图所示，则ϕ的值为（ ）A. 4πB. 2πC. 2π- D. 3π-14. 设A 、B 是非空集合，定义：{|A B x x A B ⨯=∈U 且}x A B ∉I .已知2{|2}A x y x x ==-，{|1}B x x =>，则A B ⨯等于（ ）A.[0,1](2,)+∞UB. [0,1)(2,)+∞UC.[0,1]D. [0,2]15. 已知22110a b +≠，22220a b +≠，则“11220a b a b =”是“直线1111:0l a x b y c ++=与 2222:0l a x b y c ++=平行”的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分也非必要 16. 已知长方体的表面积为452，棱长的总和为24. 则长方体的体对角线与棱所成角的最大 值为（ ） A. 1arccos 3B. 2arccosC. 3arccosD. 6arccos三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 共享单车给市民出行带来了诸多便利，某公司购买了一批单车投放到某地给市民使用， 据市场分析，每辆单车的营运累计利润y （单位：元）与营运天数x ()x ∈*N 满足函数关系 式21608002y x x =-+-. （1）要使营运累计利润高于800元，求营运天数的取值范围； （2）每辆单车营运多少天时，才能使每天的平均营运利润yx的值最大？18. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱AB 上的动点. （1）求证：11DA ED ⊥；（2）若直线1DA 与平面1CED 所成的角是45o，请你确定点E 的位置，并证明你的结论.19. 已知数列{}n a ，其前n 项和为n S ，满足12a =，1n n n S na a λμ-=+，其中2n ≥，n ∈*N ，λ，μ∈R .（1）若0λ=，4μ=，12n n n b a a +=-（n ∈*N ），求数列{}n b 的前n 项和； （2）若23a =，且32λμ+=，求证：数列{}n a 是等差数列.20. 已知椭圆222:9x y m Ω+=(0)m >，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与Ω有两 个交点A 、B ，线段AB 的中点为M .（1）若3m =，点K 在椭圆Ω上，1F 、2F 分别为椭圆的两个焦点，求12KF KF ⋅u u u r u u u u r的范围；（2）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （3）若l 过点(,)3mm ，射线OM 与Ω交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？ 若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．21. 记函数()f x 的定义域为D . 如果存在实数a 、b 使得()()f a x f a x b -++=对任意满 足a x D -∈且a x D +∈的x 恒成立，则称()f x 为ψ函数.（1）设函数1()1f x x =-，试判断()f x 是否为ψ函数，并说明理由； （2）设函数1()2x g x t=+，其中常数0t ≠，证明：()g x 是ψ函数；（3）若()h x 是定义在R 上的ψ函数，且函数()h x 的图象关于直线x m =（m 为常数）对称，试判断()h x 是否为周期函数？并证明你的结论.上海市杨浦区2018届高三二模数学试卷2018.04一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 函数lg 1y x =-的零点是 【解析】lg 1010x x -=⇒=2. 计算：2lim41n nn →∞=+【解析】123. 若(13)n x +的二项展开式中2x 项的系数是54，则n =【解析】223544n C n =⇒=4. 掷一颗均匀的骰子，出现奇数点的概率为 【解析】125. 若x 、y 满足020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2f x y =+的最大值为【解析】三个交点为(1,1)、(0,0)、(2,0)，所以最大值为3 6. 若复数z 满足1z =，则z i -的最大值是【解析】结合几何意义，单位圆上的点到(0,1)的距离，最大值为27. 若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为3、3、2的三角形， 则该圆锥的体积是【解析】13V π=⋅⋅=8. 若双曲线2221613x y p-=(0)p >的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p = 【解析】2234164p p p +=⇒= 9. 若3sin()cos cos()sin 5x y x x y x ---=，则tan 2y 的值为 【解析】3sin 5y =-，3tan 4y =±，24tan 27y =±10. 若{}n a 为等比数列，0n a >，且20182a =，则2017201912a a +的最小值为【解析】2019201720182220172019201820182124a a a a a a ++=≥=11. 在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，2a =，2sin sin A C =. 若B 为钝角，1cos24C =-，则ABC ∆的面积为【解析】2a =，4c =，21cos212sin sinC C C =-=-⇒=cos C =sin A =cos A =sin sin()B A C =+=，1242S =⨯⨯=12. 已知非零向量OP uu u r 、OQ uuu r 不共线，设111m OM OP OQ m m =+++uuu r uu u r uuur ，定义点集{|}||||FP FM FQ FMA F FP FQ ⋅⋅==uu r uuu r uu u r uuu r uu r uu u r . 若对于任意的3m ≥，当1F ，2F A ∈且不在直线PQ 上时， 不等式12||||F F k PQ ≤uuu u r uu u r 恒成立，则实数k 的最小值为 【解析】建系，不妨设(1,0)P -，(1,0)Q ，∴1(,0)1m M m -+，3m ≥，11[,1)12m m -∈+， ∴3FP MP FQ MQ =≥，设(,)F x y ，∴2222(1)9(1)x y x y ++≥-+，即2259()416x y -+≤，点F 在此圆内， ∴12max 33||242F F =⨯=uuu u r ，33224k k ≤⇒≥二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 已知函数()sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><的图象如图所示，则ϕ的值为（ ）A. 4πB. 2πC. 2π- D. 3π-【解析】T π=，2ω=，()122f ππϕ=⇒=-，选C14. 设A 、B 是非空集合，定义：{|A B x x A B ⨯=∈U 且}x A B ∉I .已知{|A x y =，{|1}B x x =>，则A B ⨯等于（ ）A.[0,1](2,)+∞UB. [0,1)(2,)+∞UC.[0,1]D. [0,2]【解析】[0,2]A =，[0,)A B =+∞U ，(1,2]A B =I ，选A 15. 已知22110a b +≠，22220a b +≠，则“11220a b a b =”是“直线1111:0l a x b y c ++=与 2222:0l a x b y c ++=平行”的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分也非必要 【解析】11220a b a b =推出直线平行或重合，选B16. 已知长方体的表面积为452，棱长的总和为24. 则长方体的体对角线与棱所成角的最大 值为（ ）A. 1arccos 3B. arccos 3C.D.【解析】设三条棱a b c ≤≤，∴454ab ac bc ++=，6a b c ++=，222272a b c ++=，222224522[(6)]a b c a bc a a a ++≥+=+--，整理得2430a a -+≤，∴12a ≤≤，∴最短棱长为1，体对角线长为2，cos θ==，选D三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 共享单车给市民出行带来了诸多便利，某公司购买了一批单车投放到某地给市民使用， 据市场分析，每辆单车的营运累计利润y （单位：元）与营运天数x ()x ∈*N 满足函数关系 式21608002y x x =-+-. （1）要使营运累计利润高于800元，求营运天数的取值范围； （2）每辆单车营运多少天时，才能使每天的平均营运利润yx的值最大？ 【解析】（1）要使营运累计收入高于800元，令80080060212>-+-x x ， ……2分 解得8040<<x .………………………………………5分 所以营运天数的取值范围为40到80天之间 .………………………………7分（2）6080021+--=x x x y 6020≤-= …………………………………9分 当且仅当18002x x=时等号成立，解得400x = …………………………12分所以每辆单车营运400天时，才能使每天的平均营运利润最大，最大为20元每天 .…14分18. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱AB 上的动点. （1）求证：11DA ED ⊥；（2）若直线1DA 与平面1CED 所成的角是45o，请你确定点E 的位置，并证明你的结论. 【解析】以D 为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则(0,0,0)D ，(1,0,0)A ，(1,1,0)B ， C (0,1,0) ，D 1(0,1,2) ，A 1(1,0,1)，设(1,,0)E m (01)m ≤≤（1）证明：1(1,0,1)DA =u u u u r，1(1,,1)ED m =--u u u u r ………2分111(1)0()110DA ED m ⋅=⨯-+⨯-+⨯=u u u r u u u u r ………4分 所以DA 1⊥ED 1. ……………6分另解：1ADA AE 平面⊥，所以D A AE 1⊥. ……………2分 又11AD D A ⊥，所以AE D D A 11平面⊥. ……………………………4分 所以11DA ED ⊥……………………………6分（2）以A 为原点，AB 为x 轴、AD 为y 轴、AA 1为z 轴建立空间直角坐标系…………7分 所以)1,0,0(1A 、)0,1,0(D 、)0,1,1(C 、)1,1,0(1D ，设t AE =，则)0,0,(t E ………8分设平面CED 1的法向量为),,(z y x =，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅001CD n 可得⎩⎨⎧=--=+-0)1(0y x t z x ， 所以⎩⎨⎧-==xt y xz )1(，因此平面CED 1的一个法向量为)1,1,1(-t ………10分由直线1DA 与平面1CED 所成的角是45o ，可得||||45sin 11n DA =︒ ……11分可得1)1(12|11|222+-+⋅+-=t t ，解得21=t ………13分 由于AB =1，所以直线1DA 与平面1CED 所成的角是45o时，点E 在线段AB 中点处. …14分19. 已知数列{}n a ，其前n 项和为n S ，满足12a =，1n n n S na a λμ-=+，其中2n ≥，n ∈*N ，λ，μ∈R .（1）若0λ=，4μ=，12n n n b a a +=-（n ∈*N ），求数列{}n b 的前n 项和；（2）若23a =，且32λμ+=，求证：数列{}n a 是等差数列. 【解析】（1）14-=n n a S ，所以n n a S 41=+.两式相减得1144-+-=-n n n n a a S S .即1144-+-=n n n a a a………2分所以)2(2211-+-=-n n n n a a a a ，即12-=n n b b ，………3分又8412==a S ，所以6122=-=a S a ，得22121=-=a a b ………4分因此数列{}n b 为以2为首项，2为公比的等比数列.nn b 2=，前n 项和为221-+n …7分（2）当n = 2时，1222a a S μλ+=，所以μλ2623+=+. 又32λμ+=，可以解得12λ=，1μ= ………9分 所以12-+=n n n a a n S ，n n n a a n S ++=++1121，两式相减得111221-++-+-+=n n n n n a a a n a n a 即112221-++-=-n n n a a n a n . 猜想1+=n a n ，下面用数学归纳法证明： ………10分① 当n = 1或2时，1121+==a ，1232+==a ，猜想成立；② 假设当k n ≤（2,*≥∈k N k ）时，1k a k =+ 成立则当1+=k n 时，2))1(22(12)22(1211+=++--=+--=-+k k k k k a a k k a k k k 猜想成立. 由①、②可知，对任意正整数n ，1+=n a n .………13分 所以11=-+n n a a 为常数，所以数列{}n a 是等差数列.………14分另解：若23a =，由12212a a a a +=+λμ，得562=+λμ，又32+=λμ，解得112==，λμ． ………9分 由12a =，23a =，12λ= ，1μ=，代入1n n n S na a λμ-=+得34a =，所以1a ，2a ，3a 成等差数列，由12n n n n S a a -=+，得1112n n n n S a a +++=+，两式相减得：111122n n n n n n na a a a a ++-+=-+-，即11(1)(2)20n n n n a n a a +-----=所以 21(1)20n n n na n a a ++---= ………11分相减得：2112(1)(2)220n n n n n na n a n a a a ++---+--+= 所以2111(2)2(2)0n n n n n n n a a a a a a +++--++-+=所以221111-222(2)(2)(2)(1)n n n n n n n n n a a a a a a a a a n n n +++---+=--+=-+- 1321(2)(2)(1)2n a a a n n --==-+-L L L ，因为12320a a a -+=，所以2120n n n a a a ++-+=，即数列{}n a 是等差数列.………14分20. 已知椭圆222:9x y m Ω+=(0)m >，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与Ω有两 个交点A 、B ，线段AB 的中点为M .（1）若3m =，点K 在椭圆Ω上，1F 、2F 分别为椭圆的两个焦点，求12KF KF ⋅u u u r u u u u r的范围；（2）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （3）若l 过点(,)3mm ，射线OM 与Ω交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？ 若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．【解析】（1）椭圆99:22=+Ωy x ，两个焦点)22,0(1F 、)22,0(2-F ，设),(y x K 所以8)22,()22,(2221-+=---⋅--=⋅y x y x y x KF KF由于9922=+y x ，所以2299x y -=，188)99(22221+-=--+=⋅x x x KF KF …3分由椭圆性质可知11≤≤-x ，所以]1,7[21-∈⋅KF KF……………5分（2）设直线b kx y l +=:（0,0≠≠k b ），),(11y x A ，),(22y x B ，),(00y x M ， 所以21x x 、为方程222)(9m b kx x =++的两根，化简得02)9(2222=-+++m b kbx x k ，所以922210+-=+=k kb x x x ，99922200+=++-=+=k bb k b k b kx y . ……………8分 kx y k OM 900-==，所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积等于9-为定值. …………10分（3）∵直线l 过点(,)3mm ，∴l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >，3k ≠． 设),(p p y x P 设直线m m x k y l +-=)3(:（0,0≠≠k m ），即m mkkx y +-=3.由（2）的结论可知x ky OM 9:-=，代入椭圆方程2229m y x =+得8192222+=k k m x p …12分由（2）的过程得中点)9)3(9,9)3((22+-+--k km m k k mk m M ， ……………14分 若四边形OAPB 为平行四边形，那么M 也是OP 的中点，所以p x x =02，得819)93(4222222+=+-k k m k mk mk ，解得74±=k 所以当l的斜率为44OAPB 为平行四边形． ……………16分21. 记函数()f x 的定义域为D . 如果存在实数a 、b 使得()()f a x f a x b -++=对任意满 足a x D -∈且a x D +∈的x 恒成立，则称()f x 为ψ函数.（1）设函数1()1f x x =-，试判断()f x 是否为ψ函数，并说明理由； （2）设函数1()2x g x t=+，其中常数0t ≠，证明：()g x 是ψ函数；（3）若()h x 是定义在R 上的ψ函数，且函数()h x 的图象关于直线x m =（m 为常数）对称，试判断()h x 是否为周期函数？并证明你的结论. 【解析】（1）1()1f x x=-是ψ函数 . ……1分 理由如下：1()1f x x=-的定义域为{|0}x x ≠， 只需证明存在实数a ，b 使得()()f a x f a x b -++=对任意x a ≠±恒成立.由()()f a x f a x b -++=，得112b a x a x +-=-+，即2()()a x a xb a x a x ++-+=-+. 所以22(2)()2b a x a +-=对任意x a ≠±恒成立. 即2,0.b a =-= 从而存在0,2a b ==-，使()()f a x f a x b -++=对任意x a ≠±恒成立. 所以1()1f x x=-是ψ函数. …………4分 （2）记()g x 的定义域为D ，只需证明存在实数a ，b 使得当a x D -∈且a x D +∈时，()()g a x g a x b -++=恒成立，即1122a xa xb tt-++=++恒成立.所以22(2)(2)a x a x a x a x t t b t t +-+-+++=++， ……5分 化简得，22(1)(22)(2)2a x a x a bt b t t +--+=+-.所以10bt -=,22(2)20a b t t +-=. 因为0t ≠，可得1b t=，2log ||a t =,即存在实数a ，b 满足条件，从而1()2x g x t=+是ψ函数. …………10分（3）函数)(x h 的图象关于直线x m =（m 为常数）对称，所以)()(x m h x m h +=- （1）， ……………12分 又因为b x a h x a h =++-)()( （2）， 所以当a m ≠时，)]2([)22(a m x m h a m x h -++=-+ 由（1） )]([)2()]2([x a a h x a h a m x m h -+=-=-+-= 由（2） )()]([x h b x a a h b -=---= （3）所以)22(]22)22[()44(a m x h b a m a m x h a m x h -+-=-+-+=-+ （取a m x t 22-+=由（3）得）再利用（3）式，)()]([)44(x h x h b b a m x h =--=-+.所以()f x 为周期函数，其一个周期为a m 44-. ……………15分 当a m =时，即)()(x a h x a h +=-，又)()(x a h b x a h +-=-， 所以2)(bx a h =+为常数. 所以函数)(x h 为常数函数， 2)()1(bx h x h ==+，)(x h 是一个周期函数. ……………17分综上，函数)(x h 为周期函数 ……………18分（其他解法参考评分标准，酌情给分）。
2018高三二模汇编(精)(带参考答案)
2018届高三数学二模典题库一、填空题1.集合1.设全集R U =，若集合{}2,1,0=A ，{}21|<<-=x x B ，()B C A U ⋂= . 【答案】{}2 【来源】18届宝山二模1 【难度】集合、基础题2.集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-=02x xxA ，{|}B x x Z =∈，则A B ⋂等于 ．【答案】{}1或{}1=x x 【来源】18届奉贤二模1 【难度】集合、基础题3. 已知(,]A a =-∞，[1,2]B =，且A B ≠∅，则实数a 的范围是【答案】1a ≥ 【来源】18届虹口二模1 【难度】集合、基础题4．已知集合{}{}1,2,31,A B m ==，，若3m A -∈，则非零实数m 的数值是 ．【答案】2 【来源】18届黄浦二模1 【难度】集合、基础题5．已知集合},2,1{m A =，}4,2{=B ，若}4,3,2,1{=B A ，则实数=m _______． 【答案】3【来源】18届长嘉二模1 【难度】集合、基础题6. 设集合1|,2xM y y x R ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，()()()1|1112,121N y y x m x x m ⎧⎫⎛⎫==+-+--≤≤⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎩⎭，若N M ⊆，则实数m 的取值范围是 .【答案】(1,0)- 【来源】18届普陀二模11 【难度】集合、中档题7．已知全集R U =，集合{}0322>--=x x x A ，则=A C U . 【答案】]3,1[- 【来源】18届徐汇二模1 【难度】集合、基础题8. 已知集合{|(1)(3)0}P x x x =+-<，{|||2}Q x x =>，则P Q =【答案】(2,3) 【来源】18届金山二模3 【难度】集合、基础题9.已知集合{1,0,1,2,3}U =-，{1,0,2}A =-，则U C A =【答案】{1,3} 【来源】18届崇明二模1 【难度】集合、基础题2.命题、不等式1．不等式|1|1x ->的解集是 ．【答案】(,0)(2,)-∞+∞【来源】18届黄浦二模2 【难度】不等式、基础题2．已知函数2()(02)f x ax bx c a b =++<<对任意R x ∈恒有()0f x ≥成立，则代数式(1)(0)(1)f f f --的最小值是 ．【答案】3【来源】18届黄浦二模2 【难度】不等式、压轴题3．不等式|3|2x -<的解集为__________________． 【答案】{}15x x <<或()1,5 【来源】18届青浦二模1 【难度】不等式、基础题4．若为等比数列，0n a >，且2018a =，则2017201912a a +的最小值为 ．{}n a【答案】4【来源】18届杨浦二模10 【难度】不等式、中档题5. 函数9y x x=+，(0,)x ∈+∞的最小值是 【答案】6 【来源】18届金山二模4 【难度】不等式、基础题3.函数1.给出下列函数：①1y x x=+；②x x y +=2；③2x y =；④23y x =；⑤x y tan =；⑥()sin arccos y x =；⑦(lg lg 2y x =-．从这7个函数中任取两个函数，则其中一个是奇函数另一个是偶函数的概率是 ． 【答案】37【来源】18届奉贤二模9 【难度】函数、中档题2.已知函数()()θ-=x x f 2sin 5，⎥⎦⎤⎝⎛∈2,0πθ，[]π5,0∈x ，若函数()()3-=x f x F 的所有零点依次记为n x x x x ,,,,321 ，且n n x x x x x <<<<<-1321 ，*N n ∈若π283222212321=++++++--n n n x x x x x x ，则=θ ． 【答案】9π【来源】18届奉贤二模12 【难度】函数、压轴题3.已知函数20()210x x x f x x -⎧-≥=⎨-<⎩，则11[(9)]f f ---=【答案】-2【来源】18届虹口二模5 【难度】函数、基础题4.若函数()f x =是偶函数，则该函数的定义域是 ． 【答案】[2,2]- 【来源】18届黄浦二模3 【难度】函数、基础题5.已知函数)1lg()(2ax x x f ++=的定义域为R ，则实数a 的取值范围是_________．【答案】]1,1[-【来源】18届长嘉二模10 【难度】函数、中档题6.若函数1()21f x x m =-+是奇函数，则实数m =________.【答案】12【来源】18届普陀二模2 【难度】函数、基础题7.若函数()f x =()g x ，则函数()g x 的零点为________.【答案】x =【来源】18届普陀二模3 【难度】函数、基础题8.已知()f x 是定义在[2,2]-上的奇函数，当(0,2]x ∈时，()21xf x =-，函数 2()2g x x x m =-+. 如果对于任意的1[2,2]x ∈-，总存在2[2,2]x ∈-，使得12()()f xg x ≤，则实数m 的取值范围是 .【答案】5m ≥- 【来源】18届青浦二模10 【难度】函数、中档题9.若函数222(1)sin ()1x xf x x ++=+的最大值和最小值分别为M 、m ，则函数()()()sin 1g x M m x M m x =+++-⎡⎤⎣⎦图像的一个对称中心是 ．【答案】114⎛⎫⎪⎝⎭，【来源】18届徐汇二模11 【难度】函数、中档题10.设()f x 是定义在R 上以2为周期的偶函数，当[0,1]x ∈时，2()log (1)f x x =+，则函数()f x 在[1,2]上的解析式是 【答案】2()log (3)f x x =- 【来源】18届崇明二模9 【难度】函数、中档题4.指数函数、对数函数1.方程33log (325)log (41)0x x ⋅+-+=的解x = ． 【答案】2【来源】18届黄浦二模6 【难度】对数函数、基础题2.[]x 是不超过x 的最大整数，则方程271(2)[2]044x x -⋅-=满足1x <的所有实数解是【答案】12x =或1x =- 【来源】18届虹口二模11 【难度】指数函数、中档题3.若实数x 、y 满足112244+++=+y x yx，则y x S 22+=的取值范围是____________．【答案】]4,2(【来源】18届长嘉二模12 【难度】指数函数、压轴题4.函数()lg(32)x xf x =-的定义域为_____________． 【答案】(0,)+∞ 【来源】18届徐汇二模3 【难度】对数函数、基础题5.定义在R 上的函数()21x f x =-的反函数为1()y f x -=，则1(3)f -=【答案】2【来源】18届松江二模4 【难度】指数函数、基础题6.若函数2()log (1)a f x x ax =-+（0a >且1a ≠）没有最小值，则a 的取值范围 【答案】()[)0,12,+∞【来源】18届松江二模10 【难度】指数函数、中档题7.函数lg 1y x =-的零点是 ． 【答案】10x = 【来源】18届杨浦二模1 【难度】对数函数、基础题8.函数lg y x =的反函数是【答案】1()10xf x -=【来源】18届金山二模2 【难度】对数函数、基础题5. 三角函数1.已知在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为AB ∠∠，，C ∠所对的边．若222b c a +-=，则A ∠= ．【答案】4π或045 【来源】18届奉贤二模5 【难度】三角函数、基础题2.已知ABC ∆的三内角A B C 、、所对的边长分别为a b c 、、，若2222sin a b c bc A =+-，则内角A 的大小是 ． 【答案】4π【来源】18届黄浦二模4 【难度】三角函数、基础题3.若1sin 3α=，则cos 2πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭_______________．【答案】13【来源】18届青浦二模3 【难度】三角函数、基础题4.在锐角三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若222()tan b c a A bc +-=，则角A 的大小为________.【答案】6π 【来源】18届普陀二模5 【难度】三角函数、基础题5..函数()x x x f 4cos 4sin 2=的最小正周期为 . 【答案】4π 【来源】18届宝山二模4 【难度】三角函数、基础题6.已知22s 1(,,0)cos 1a a in M a a a a θθθ-+=∈≠-+R ，则M 的取值范围是 ．【答案】⎣⎦【来源】18届青浦二模12 【难度】三角函数、压轴题7. 函数3sin(2)3y x π=+的最小正周期T =【答案】π【来源】18届金山二模1 【难度】三角函数、基础题8.若53sin )cos(cos )sin(=---x y x x y x ，则y 2tan 的值为 【答案】2424.77-或 【来源】18届杨浦二模9 【难度】三角函数、中档题9.在ABC △中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，2a =，2sin sin A C =． 若B 为钝角，412cos -=C ，则ABC ∆的面积为 ．【来源】18届杨浦二模11 【难度】三角函数、中档题 10. 若2018100922sin(2cos )(3cos cos )(1cos cos )αββαβα--≥---+，则sin()2βα+=【答案】-1或1【来源】18届金山二模12 【难度】三角函数、压轴题题6. 数列1.已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且2a 、4a 、3a 成等差数列，则q = 【答案】1或12-【来源】18届虹口二模7 【难度】数列、基础题2.已知数列{}n a 是共有k 个项的有限数列，且满足11(2,,1)n n nna a n k a +-=-=-，若1224,51,0k a a a ===，则k = ．【答案】50【来源】18届黄浦二模11 【难度】数列、中档题3.设函数()log m f x x =（0m >且1m ≠），若m 是等比数列{}n a （*N n ∈）的公比，且2462018()7f a a a a =，则22221232018()()()()f a f a f a f a ++++的值为_________.【答案】1990-【来源】18届普陀二模9 【难度】数列、中档题4.在等比数列{}n a 中，公比2q =，前n 项和为n S ，若51S =，则10S = ． 【答案】33【来源】18届青浦二模5 【难度】数列、基础题7. 向量1.如图，已知O 为矩形4321P P P P 内的一点，满足7,543131===P P OP OP ，，则24OP OP ⋅的值为 .【答案】-4 【来源】18届宝山二模11 【难度】向量、中档题2.已知向量a 在向量b 方向上的投影为2-，且3b =，则a b ⋅= ．(结果用数值表示) 【答案】-6 【来源】18届黄浦二模5 【难度】向量、基础题3.在△ABC 中，M 是BC 的中点，︒=∠120A ，21-=⋅AC AB ，则线段AM 长的最小值为____________． 【答案】21 【来源】18届长嘉二模114.已知曲线29C y x =--：，直线2l y =：，若对于点(0,)A m ，存在C 上的点P 和l 上的点Q ，使得0AP AQ +=，则m 取值范围是 ．11、 【答案】1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【来源】18届青浦二模11 【难度】向量、中档题5.已知向量a 、b 的夹角为60°，||1a =，||2b =，若(2)()a b xa b +⊥-，则实数x 的值为 【答案】3【来源】18届松江二模7 【难度】向量、基础题6.点1F ，2F 分别是椭圆22:12x C y +=的左、右两焦点，点N 为椭圆C 的上顶点，若动点M 满足：2122MNMF MF =⋅，则122MF MF +的最大值为__________.【答案】6【来源】18届普陀二模12 【难度】向量、压轴题7.已知两个不同向量(1,)OA m =，(1,2)OB m =-，若OA AB ⊥，则实数m =____________． 【答案】1【来源】18届青浦二模48.已知非零向量OP 、OQ 不共线，设111m OM OP OQ m m =+++，定义点集{|}||||FP FM FQ FMA F FP FQ ⋅⋅==. 若对于任意的3m ≥，当1F ，2F A ∈且不在直线PQ 上时，不等式12||||F F k PQ ≤恒成立，则实数k 的最小值为 ． 【答案】34【来源】18届杨浦二模12 【难度】向量、压轴题9.已知向量,a b 的夹角为锐角，且满足||a =、||b =，若对任意的{}(,)(,)||1,0x y x y xa yb xy ∈+=>，都有||1x y +≤成立，则a b ⋅的最小值为 . 【答案】815【来源】18届徐汇二模12 【难度】向量、压轴题10. 在平面四边形ABCD 中，已知1AB =，4BC =，2CD =，3DA =，则AC BD ⋅的值为 【答案】10【来源】18届崇明二模12 【难度】向量、压轴题8. 解析几何1.设抛物线的焦点坐标为()01，，则此抛物线的标准方程为 . 【答案】24y x = 【来源】18届宝山二模2【难度】解析几何、基础题2.抛物线2y x =的焦点坐标是 ．【答案】（0，14） 【来源】18届奉贤二模3 【难度】解析几何、基础题3.椭圆的长轴长等于m ，短轴长等于n ，则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为【答案】2mn【来源】18届虹口二模10 【难度】解析几何、中档题4.角的始边是x 轴正半轴，顶点是曲线2522=+y x 的中心，角的终边与曲线2522=+y x 的交点A 的横坐标是3-，角的终边与曲线2522=+y x 的交点是B ，则过B 点的曲线2522=+y x 的切线方程是 ．（用一般式表示）11、 【答案】7241250x y ±+= 【来源】18届奉贤二模11 【难度】解析几何、压轴题5.直线(1)10ax a y +-+=与直线420x ay +-=互相平行，则实数a = 【答案】2 【来源】18届虹口二模2 【难度】解析几何、基础题ααα26.已知平面直角坐标系xOy 中动点),(y x P 到定点)0,1(的距离等于P 到定直线1-=x 的距离，则点P 的轨迹方程为______________． 【答案】x y 42= 【来源】18届长嘉二模4 【难度】解析几何、基础题7. 抛物线212x y =的准线方程为_______. 【答案】3y =- 【来源】18届普陀二模1 【难度】解析几何、基础题8.双曲线22219x y a -=（0a >）的渐近线方程为320x y ±=，则a =【答案】2a = 【来源】18届松江二模1 【难度】解析几何、基础题9.已知直线12:0,:20l mx y l x my m -=+--=.当m 在实数范围内变化时，1l 与2l 的交点P 恒在一个定圆上，则定圆方程是 . 【答案】2220x y x y +--= 【来源】18届徐汇二模10 【难度】解析几何、中档题10.已知抛物线2x ay =的准线方程是14y =-，则a = . 【答案】1【来源】18届徐汇二模4 【难度】解析几何、基础题11.若双曲线222161(0)3x y p p-=>的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p = ．【答案】4【来源】18届杨浦二模8 【难度】解析几何、中档题12.平面上三条直线210x y -+=，10x -=，0x ky +=，如果这三条直线将平面化分为六个部分，则实数k 的取值组成的集合A = 【答案】{2,1,0}-- 【来源】18届金山二模10 【难度】解析几何、中档题13.已知双曲线22:198x y C -=，左、右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 作一直线与双曲线C 的右半支交于P 、Q 两点，使得190F PQ ∠=︒，则1F PQ ∆的内切圆的半径r = 【答案】2【来源】18届金山二模11 【难度】解析几何、中档题14.已知圆锥的母线长为5，侧面积为15π，则此圆锥的体积为 （结果保留π） 【答案】12π【来源】18届崇明二模6 【难度】解析几何、基础题15. 已知椭圆2221x y a +=（0a >）的焦点1F 、2F ，抛物线22y x =的焦点为F ，若123F F FF =，则a =【来源】18届崇明二模8 【难度】解析几何、中档题9. 复数1.设z 是复数，()a z 表示满足1nz =时的最小正整数n ，i 是虚数单位，则⎪⎭⎫⎝⎛-+i i a 11=______． 【答案】4【来源】18届奉贤二模7 【难度】复数、基础题2.已知α是实系数一元二次方程22(21)10x m x m --++=的一个虚数根，且||2α≤，则实数m 的取值范围是 ．【答案】3(4- 【来源】18届黄浦二模8 【难度】复数、中档题3.已知复数z 满足i 342+=z （i 为虚数单位），则=||z ____________． 【答案】5【来源】18届长嘉二模3 【难度】复数、基础题4.若复数z 满足2315i z -=+（i 是虚数单位），则=z _____________． 【答案】512i -【来源】18届青浦二模2 【难度】复数、基础题5.设m ∈R ，若复数(1)(1)z mi i =++在复平面内对应的点位于实轴上，则m = 【答案】-1【来源】18届松江二模3 【难度】复数、基础题6.若复数z 满足1z =，则z i -的最大值是 ． 【答案】2【来源】18届杨浦二模6 【难度】复数、中档题7.i 是虚数单位，若复数(12)()i a i -+是纯虚数，则实数a 的值为 【答案】-2【来源】18届崇明二模3 【难度】复数、基础题10. 立体几何1.已知球的俯视图面积为π，则该球的表面积为 . 【答案】4π 【来源】18届宝山 二模5 【难度】立体几何、基础题2.已知半径为2R 和R 的两个球，则大球和小球的体积比为 ．【答案】8或1:8 【来源】18届奉贤 二模2 【难度】立体几何、基础题3.长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为α、β、γ，则222cos cos cos αβγ++= 4.2【答案】2【来源】18届虹口 二模4 【难度】立体几何、中档题4.如图，长方体1111ABCD A B C D -的边长11AB AA ==，AD =O ，则A 、1A 这两点的球面距离等于【答案】3π 【来源】18届虹口 二模9 【难度】立体几何、中档题5.将圆心角为32π，面积为π3的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为___________．【答案】π322【来源】18届长嘉二模7【难度】立体几何、中档题6.三棱锥ABCP-及其三视图中的主视图和左视图如下图所示，则棱PB的长为________．【答案】24【来源】18届长嘉二模8【难度】立体几何、中档题7.如图所示，一个圆柱的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个圆柱的体积为__________．【答案】4π【来源】18届青浦二模7【难度】立体几何、中档题8.若一个球的体积为323π，则该球的表面积为_________．【答案】16π【来源】18届徐汇二模5【难度】立体几何、基础题9.若一圆锥的底面半径为3，体积是12π，则该圆锥的侧面积等于 .【答案】15π【来源】18届徐汇二模8【难度】立体几何、中档题10.若球的表面积为100π，平面α与球心的距离为3，则平面α截球所得的圆面面积为【答案】16π【来源】18届松江二模8 【难度】立体几何、中档题11.若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为3,3,2的三角形， 则该圆锥的体积是 ．【来源】18届杨浦二模7 【难度】立体几何、中档题12.记球1O 和2O 的半径、体积分别为1r 、1V 和2r 、2V ，若12827V V =，则12r r = 【答案】23【来源】18届金山二模6 【难度】立体几何、中档题11. 排列组合、概率统计、二项式定理1.某次体检，8位同学的身高（单位：米）分别为68.1，71.1，73.1，63.1，81.1，74.1，66.1，78.1，则这组数据的中位数是 (米）.【答案】1.72 【来源】18届宝山二模3 【难度】统计、基础题2.若B A 、满足()()()525421===AB P B P A P ，，，则()()P AB P AB -= . 【答案】310【来源】18届宝山二模9 【难度】概率、中档题3.在报名的8名男生和5名女生中，选取6人参加志愿者活动，要求男、女都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示） 【答案】1688 【来源】18届宝山二模7 【难度】排列组合、中档题4.从集合{1,1,2,3}-随机取一个为m ，从集合{2,1,1,2}--随机取一个为n ，则方程221x y m n+=表示双曲线的概率为 【答案】12【来源】18届虹口二模6 【难度】概率、中档题5.若将函数6()f x x =表示成23601236()(1)(1)(1)(1)f x a a x a x a x a x =+-+-+-+⋅⋅⋅+-，则3a 的值等于 【答案】20 【来源】18届虹口二模8 【难度】二项式、中档题6.已知某市A社区35岁至45岁的居民有450人，46岁至55岁的居民有750人，56岁至65岁的居民有900人．为了解该社区35岁至65岁居民的身体健康状况，社区负责人采用分层抽样技术抽取若干人进行体检调查，若从46岁至55岁的居民中随机抽取了50人，试问这次抽样调查抽取的人数是人．【答案】140【来源】18届黄浦二模9【难度】概率统计、中档题7.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷5次，则恰好有3次出现正面向上的概率是．(结果用数值表示) 10．【答案】5 16【来源】18届黄浦二模10 【难度】概率统计、中档题8.nxx⎪⎭⎫⎝⎛+1的展开式中的第3项为常数项，则正整数=n___________．【答案】4【来源】18届长嘉二模2【难度】二项式、基础题9.某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有编号为0、1、2、3的四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球记下编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球编号相加之和等于6，则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖．则顾客抽奖中三等奖的概率为____________．9．【答案】167【难度】概率统计、中档题10.代数式2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是 ．（用数字作答） 【答案】3【来源】18届奉贤二模10 【难度】二项式、中档题11.书架上有上、中、下三册的《白话史记》和上、下两册的《古诗文鉴赏辞典》，现将这五本书从左到右摆放在一起，则中间位置摆放中册《白话史记》的不同摆放种数为_______（结果用数值表示）. 【答案】24【来源】18届普陀二模4 【难度】二项式、基础题12.若321()nx x-的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为_________.5 【答案】5【来源】18届普陀二模6 【难度】二项式、基础题13.某单位年初有两辆车参加某种事故保险，对在当年内发生此种事故的每辆车，单位均可获赔（假设每辆车最多只获一次赔偿）.设这两辆车在一年内发生此种事故的概率分别为120和121，且各车是否发生事故相互独立，则一年内该单位在此种保险中获赔的概率为_________（结果用最简分数表示）.【答案】221【难度】概率统计、中档题14.设1234,,,{1,0,2}x x x x ∈-，那么满足12342||||||||4x x x x ≤+++≤的所有有序数对1234(,,,)x x x x 的组数为【答案】45【来源】18届松江二模11 【难度】排列组合、压轴题15.设*n N ∈，n a 为(4)(1)n nx x +-+的展开式的各项系数之和，324c t =-，t ∈R1222[][][]555n n n na a ab =++⋅⋅⋅+（[]x 表示不超过实数x 的最大整数），则22()()n n t b c -++的最小值为【答案】25【来源】18届松江二模12 【难度】二项式、压轴题16.在61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项是 .【答案】20【来源】18届徐汇二模2 【难度】二项式、基础题 17.621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为______________．8、30【答案】30【来源】18届青浦二模8 【难度】二项式、中档题18.高三某位同学参加物理、化学、政治科目的等级考，已知这位同学在物理、化学、政治科目考试中达A +的概率分别为78、34、512，这三门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得2个A +的概率是 ．【答案】151192【来源】18届青浦二模9 【难度】概率统计、中档题19.将两颗质地均匀的骰子抛掷一次，记第一颗骰子出现的点数是m ，记第二颗骰子出现的点数是n ，向量()2,2a m n =--，向量()1,1b =，则向量a b ⊥的概率．．是 . 【答案】16【来源】18届徐汇二模9 【难度】概率统计、中档题20.若的二项展开式中项的系数是，则n = ． 【答案】4【来源】18届杨浦二模3 【难度】概率统计、基础题21.掷一颗均匀的骰子，出现奇数点的概率为 ．()13nx +2x 542【来源】18届杨浦二模4 【难度】概率统计、基础题22.若一个布袋中有大小、质地相同的三个黑球和两个白球，从中任取两个球，则取出的两球中恰是一个白球和一个黑球的概率是【答案】11322535C C C ⋅=【来源】18届金山二模8 【难度】概率统计、中档题23.(12)nx +的二项展开式中，含3x 项的系数等于含x 项的系数的8倍， 则正整数n = 【答案】5【来源】18届金山二模9 【难度】二项式、中档题24.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为 石（精确到小数点后一位数字） 【答案】169.1【来源】18届崇明二模5 【难度】统计、基础题25. 若二项式7(2)ax x+的展开式中一次项的系数是70-，则23lim()n n a a a a →∞+++⋅⋅⋅+=3【来源】18届崇明二模7 【难度】二项式、基础题26.某办公楼前有7个连成一排的车位，现有三辆不同型号的车辆停放，恰有两辆车停放在 相邻车位的概率是【答案】47【来源】18届崇明二模10 【难度】概率、中档题12. 行列式、矩阵、程序框图1.若某线性方程组对应的增广矩阵是421m m m ⎛⎫⎪⎝⎭，且此方程组有唯一一组解，则实数m的取值范围是 【答案】0D ≠，即2m ≠±【来源】18届金山二模7 【难度】矩阵、中档题2.三阶行列式13124765x -中元素5-的代数余子式为()x f ，则方程()0f x =的解为____． 【答案】2log 3x = 【来源】18届奉贤二模6 【难度】矩阵、中档题3.若二元一次方程组的增广矩阵是121234c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其解为100x y =⎧⎨=⎩，则12c c += 【答案】 40【来源】18届松江二模2 【难度】矩阵、基础题4.函数()2sin cos 1()11x x f x +-=的最小正周期是___________．【答案】π【来源】18届徐汇二模7 【难度】矩阵、基础题5.若线性方程组的增广矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛210221c c 的解为⎩⎨⎧==31y x ，则=+21c c . 【答案】9【来源】18届宝山二模6 【难度】矩阵、基础题6.已知函数2sin cos 2()1cos x x f x x-=，则函数()f x 的单调递增区间是 ． 【答案】3[,],Z 88k k k ππππ-+∈【来源】18届黄浦二模7 【难度】矩阵、基础题7.已知一个关于x 、y 的二元一次方程组的增广矩阵是111012-⎛⎫⎪⎝⎭，则x y +=【答案】5【来源】18届崇明二模2【难度】矩阵、基础题8.若2log 1042x -=-，则x =【答案】4【来源】18届崇明二模4 【难度】行列式、基础题13. 数学归纳法、极限1.已知数列{}n a ，其通项公式为31n a n =+，*n N ∈，{}n a 的前n 项和为n S ，则limnn nS n a →∞=⋅【答案】12【来源】18届松江二模6 【难度】极限、基础题2.计算：=+∞→142limn nn ．【答案】12【来源】18届杨浦二模2 【难度】极限、基础题14. 参数方程、线性规划1.已知实数,x y 满足20102x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，则目标函数2u x y =+的最大值是 ．【答案】4 【来源】18届奉贤二模4 【难度】线性规划、中档题2.设变量x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤-+≥,043,04,1y x y x x 则目标函数y x z -=3的最大值为_________．【答案】4 【来源】18届长嘉二模6 【难度】线性规划、基础题3.在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为24x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），椭圆C的参数方程为cos 1sin 2x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），则直线l 与椭圆C 的公共点坐标为__________.【答案】(24-【来源】18届普陀二模8 【难度】参数方程、中档题4.设变量x 、y 满足条件0220x y x y y x y m-≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪+≤⎩，若该条件表示的平面区域是三角形，则实数m 的取值范围是__________. 【答案】4(0,1][,)3+∞ 【来源】18届普陀二模10 【难度】参数方程、中档题5.若,x y 满足2,10,20,x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩则2z x y =-的最小值为____________．【答案】12-【来源】18届青浦二模6 【难度】参数方程、中档题6.已知实数x y ，满足001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，，． 则目标函数z x y =-的最小值为___________．【答案】-1【来源】18届徐汇二模6 【难度】线性规划、基础题7.若x 、y 满足020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2f x y =+的最大值为 ．【答案】3【来源】18届杨浦二模5 【难度】线性规划、基础题8.直线l 的参数方程为112x ty t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），则l 的一个法向量为【答案】()2,1- 【来源】18届松江二模5 【难度】线性规划、基础题9.若平面区域的点(,)x y 满足不等式||||14x y k +≤（0k >），且z x y =+的最小值为5-，则常数k = 【答案】5k =【来源】18届松江二模9 【难度】线性规划、中档题10.已知,x y ∈R，且满足00y y y +≤-≥≥⎪⎩，若存在θ∈R 使得cos sin 10x y θθ++=成立，则点(,)P x y 构成的区域面积为【答案】6π【来源】18届崇明二模11 【难度】线性规划、中档题15.其它1.函数()sin f x x =，对于123n x x x x <<<⋅⋅⋅<且12,,,[0,8]n x x x π⋅⋅⋅∈（10n ≥），记1223341|()()||()()||()()||()()|n n M f x f x f x f x f x f x f x f x -=-+-+-+⋅⋅⋅+-，则M的最大值等于 【答案】16【来源】18届虹口二模12 【难度】其它、压轴题 二、选择题1.命题、不等式)(C 充要条件． )(D 既不充分也不必要条件．【答案】 B 【来源】18届宝山二模13 【难度】命题与条件、基础题2.在给出的下列命题中，是假命题的是 答( )． (A )设O A B C 、、、是同一平面上的四个不同的点，若(1)(R)OA m OB m OC m =⋅+-⋅∈， 则点A B C 、、必共线(B )若向量a b 和是平面α上的两个不平行的向量，则平面α上的任一向量c 都可以表示为(R)c a b λμμλ=+∈、，且表示方法是唯一的(C )已知平面向量OA OB OC 、、满足||||(0)OA OB OC r r ==>|=|，且0OA OB OC ++=， 则ABC ∆是等边三角形(D )在平面α上的所有向量中，不存在这样的四个互不相等的非零向量a b c d 、、、，使得其中任意两个向量的和向量与余下两个向量的和向量相互垂直【答案】D【来源】18届黄浦二模16 【难度】命题与条件、压轴题3.唐代诗人杜牧的七绝唐诗中有两句诗为：“今来海上升高望，不到蓬莱不成仙。
(完整word)2018学年上海高三数学一模分类汇编——解析几何,推荐文档
2（2018崇明一模）. 抛物线24y x =的焦点坐标是3（2018静安一模）. 与双曲线221916x y -=有公共的渐近线，且经过点(A -的双曲线方程是5（2018闵行一模）. 已知直线l 的一个法向量是1)n =-r ，则l 的倾斜角的大小是5（2018青浦一模）. 在平面直角坐标系xOy 中，以直线2y x =±为渐近线，且经过椭圆2214y x +=右顶点的双曲线的标准方程是5（2018金山一模）. 已知1F 、2F 是椭圆221259x y +=的两个焦点，P 是椭圆上一个动点，则12||||PF PF ⨯的最大值是6（2018黄浦一模）. 过点(2,1)P -作圆225x y +=的切线，则该切线的点法向式方程是 6（2018徐汇一模）. 已知圆22:1O x y +=与圆O '关于直线5x y +=对称，则圆O '的方程是 7（2018静安一模）. 已知点(2,3)A 到直线(1)30ax a y +-+=的距离不小于3，则实数a 的取值范围是8（2018金山一模）. 已知点(2,3)A ，点(B -，直线l 过点(1,0)P -，若直线l 与线段AB 相交，则直线l 的倾斜角的取值范围是8（2018松江一模）. 若直线30ax y -+=与圆22(1)(2)4x y -+-=相交于A 、B 两点，且AB =a =8（2018虹口一模）. 在平面直角坐标系中，双曲线2221x y a-=的一个顶点与抛物线212y x =的焦点重合，则双曲线的两条渐近线的方程为9（2018宝山一模）. 已知抛物线C 的顶点为坐标原点，双曲线22125144x y -=的右焦点是C 的焦点F ，若斜率为1-，且过F 的直线与C 交于A 、B 两点，则||AB =9（2018普陀一模）. 若直线:5l x y +=与曲线22:16C x y +=交于两点11(,)A x y 、22(,)B x y ，则1221x y x y +的值为9（2018奉贤一模）. 已知(2,0)A ，(4,0)B ，动点P 满足PA PB =，则P 到原点的距离为10（2018奉贤一模）. 设焦点为1F 、2F 的椭圆22213x y a +=(0)a >上的一点P 也在抛物线294y x =上，抛物线焦点为3F ，若32516PF =，则△12PF F 的面积为10（2018虹口一模）. 设椭圆22143x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过焦点1F 的直线交椭圆于M 、N 两点，若2MNF ∆的内切圆的面积为π，则2MNF S ∆=10（2018杨浦一模）. 抛物线28y x =-的焦点与双曲线2221x y a-=的左焦点重合，则这条双曲线的两条渐近线的夹角为11（2018闵行一模）. 已知1F 、2F 分别是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左右焦点，过1F 且倾斜角为30°的直线交双曲线的右支于P ，若212PF F F ⊥，则该双曲线的渐近线方程是12（2018杨浦一模）. 已知点C 、D 是椭圆2214x y +=上的两个动点，且点(0,2)M ，若MD MC λ=u u u u r u u u u r，则实数λ的取值范围为12（2018普陀一模）. 双曲线2213x y -=绕坐标原点O 旋转适当角度可以成为函数()f x 的图像，关于此函数()f x 有如下四个命题： ① ()f x 是奇函数；② ()f x 的图像过点3)2或3)2-； ③ ()f x 的值域是33(,][,)22-∞-+∞U ；④ 函数()y f x x =-有两个零点； 则其中所有真命题的序号为12（2018浦东一模）. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，M 、N 是双曲线22124x y -=上的两个动点，动点P 满足2OP OM ON =-u u u r u u u u r u u u r，直线OM 与直线ON 斜率之积为2，已知平面内存在两定点1F 、2F ，使得12||||||PF PF -为定值，则该定值为16（2018松江一模）. 已知曲线1:||2C y x -=与曲线222:4C x y λ+=恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（ ）A. (,1][0,1)-∞-UB. (1,1]-C. [1,1)-D. [1,0](1,)-+∞U 16（2018青浦一模）. 在平面直角坐标系xOy 中，已知两圆221:12C x y +=和222:14C x y +=，又点A 坐标为(3,1)-，M 、N 是1C 上的动点，Q 为2C 上的动点，则四边形AMQN 能构成矩形的个数为（ ）A. 0个B. 2个C. 4个D. 无数个16（2018崇明一模）. 直线2x =与双曲线22:14x C y -=的渐近线交于A 、B 两点，设P 为双曲线上任一点，若OP aOA bOB =+u u u r u u u r u u u r（,a b R ∈，O 为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（ ） A. 221a b +≥ B. ||1ab ≥ C. ||1a b +≥ D. ||2a b -≥16（2018静安一模）. 若曲线||2y x =+与22:144x y C λ+=恰有两个不同交点，则实数λ取值范围为（ ）A. (,1](1,)-∞-+∞UB. (,1]-∞-C. (1,)+∞D. [1,0)(1,)-+∞U18（2018青浦一模）. 已知抛物线2:2C y px =过点(1,1)P ，过点1(0,)2D 作直线l 与抛物线C 交于不同两点M 、N ，过M 作x 轴的垂线分别与直线OP 、ON 交于点A 、B ，其中O 为坐标原点. （1）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （2）求证：A 为线段BM 的中点.19（2018黄浦一模）. 已知椭圆2222:1x y E a b+=（0a b >>）的右焦点为(1,0)F ，点(0,)B b 满足||2FB =.（1）求实数a 、b 的值；（2）过点F 作直线l 交椭圆E 于M 、N 两点，若BFM ∆与BFN ∆的面积之比为2，求直线l 的方程.20（2018松江一模）. 已知椭圆2222:1x y E a b +=（0a b >>）经过点3(1,)2，其左焦点为(3,0)F -，过F 点的直线l 交椭圆于A 、B 两点，交y 轴的正半轴于点M .（1）求椭圆E 的方程；（2）过点F 且与l 垂直的直线交椭圆于C 、D 两点，若四边形ACBD 的面积为43，求直线l 的方程； （3）设1MA AF λ=u u u r u u u r ，2MB BF λ=u u u r u u u r，求证：12λλ+为定值.20（2018虹口一模）. 已知平面内的定点F 到定直线l 的距离等于p （0p >），动圆M 过点F 且与直线l 相切，记圆心M 的轨迹为曲线C ，在曲线C 上任取一点A ，过A 作l 的垂线，垂足为E .（1）求曲线C 的轨迹方程； （2）记点A 到直线l 的距离为d ，且3443p pd ≤≤，求EAF ∠的取值范围； （3）判断EAF ∠的平分线所在的直线与曲线的交点个数，并说明理由.20（2018杨浦一模）. 设直线l 与抛物线2:4y x Ω=相交于不同两点A 、B ，O 为坐标原点. （1）求抛物线Ω的焦点到准线的距离；（2）若直线l 又与圆22:(5)16C x y -+=相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，求直线l 的方程；（3）若0OA OB ⋅=u u u r u u u r，点Q 在线段AB 上，满足OQ AB ⊥，求点Q 的轨迹方程.20（2018金山一模）. 给出定理：在圆锥曲线中，AB 是抛物线2:2y px Γ=（0p >）的一条弦，C 是AB 的中点，过点C 且平行于x 轴的直线与抛物线的交点为D ，若A 、B 两点纵坐标之差的绝对值||A B y y a -=（0a >），则ADB ∆的面积316ADB a S p∆=，试运用上述定理求解以下各题：（1）若2p =，AB 所在直线的方程为24y x =-，C 是AB 的中点，过C 且平行于x 轴的 直线与抛物线Γ的交点为D ，求ADB S ∆；（2）已知AB 是抛物线2:2y px Γ=（0p >）的一条弦，C 是AB 的中点，过点C 且平行于x 轴的直线与抛物线的交点为D ，E 、F 分别为AD 和BD 的中点，过E 、F 且平行于x 轴的直线与抛物线2:2y px Γ=（0p >）分别交于点M 、N ，若A 、B 两点纵坐标之差的绝对值||A B y y a -=（0a >），求AMD S ∆和BND S ∆； （3）请你在上述问题的启发下，设计一种方法求抛物线：22y px =（0p >）与弦AB 围成的“弓形”的面积，并求出相应面积.20（2018普陀一模）. 设点1F 、2F 分别是椭圆2222:12x y C t t+=（0t >）的左、右焦点，且椭圆C 上的点到点2F 的距离的最小值为2，点M 、N 是椭圆C 上位于x 轴上方的两点，且向量1F M u u u u r与向量2F N u u u u r 平行. （1）求椭圆C 的方程；（2）当120F N F N ⋅=u u u u r u u u u r时，求1F MN ∆的面积；（3）当21||||F N F M -=u u u u r u u u u r时，求直线2F N 的方程.20（2018徐汇一模）. 已知椭圆2222:1x y a bΓ+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F 、2F ，且1F 、2F 与短轴的一个端点Q 构成一个等腰直角三角形，点22P 在椭圆Γ上，过点2F 作互相垂直且与x 轴不重合的两直线AB 、CD 分别交椭圆Γ于A 、B 、C 、D ，且M 、N 分别是弦AB 、CD 的中点.（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）求证：直线MB 过定点2(,0)3R ；（3）求2MNF ∆面积的最大值.20（2018浦东一模）. 已知椭圆2222:1x y a b Γ+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F 、2F ，设点(0,)A b ，在12AF F ∆中，1223F AF π∠=，周长为4+（1）求椭圆Γ的方程；（2）设不经过点A 的直线l 与椭圆Γ相交于B 、C 两点，若直线AB 与AC 的斜率之和为1-，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标；（3）记第（2）问所求的定点为E ，点P 为椭圆Γ上的一个动点，试根据AEP ∆面积S 的 不同取值范围，讨论AEP ∆存在的个数，并说明理由.20（2018闵行一模）. 已知椭圆221109x y +=的右焦点是抛物线2:2y px Γ=的焦点，直线l 与Γ相交于不同的两点11(,)A x y 、22(,)B x y .（1）求Γ的方程；（2）若直线l 经过点(2,0)P ，求OAB ∆的面积的最小值（O 为坐标原点）；（3）已知点(1,2)C ，直线l 经过点(5,2)Q -，D 为线段AB 的中点，求证：||2||AB CD =.20（2018崇明一模）. 在平面直角坐标系中，已知椭圆222:1x C y a+=（0a >，1a ≠）的两个焦点分别是1F 、2F ，直线:l y kx m =+（,k m R ∈）与椭圆交于A 、B 两点. （1）若M 为椭圆短轴上的一个顶点，且12MF F ∆是直角三角形，求a 的值；（2）若1k =，且OAB ∆是以O 为直角顶点的直角三角形，求a 与m 满足的关系； （3）若2a =，且14OA OB k k ⋅=-，求证：OAB ∆的面积为定值.20（2018奉贤一模）. 设22{(,)|||1}M x y x y =-=，22{(,)|1}N x y x y =-=，设任意一点00(,)P x y M ∈，M 表示的曲线是C ，N 表示的曲线是1C ，1C 的渐近线为1l 和2l .（1）判断M 和N 的关系并说明理由；（2）设01x ≠±，1(1,0)A -，2(1,0)A ，直线1PA 的斜率是1k ，直线2PA 的斜率是2k ，求12k k 的取值范围；（3）过P 点作1l 和2l 的平行线分别交曲线C 的另外两点于Q 、R ，求证：PQR ∆的面积为定值.20（2018静安一模）. 如图，已知满足条件|3||3|z i i -=-（其中i 为虚数单位）的复数z 在复平面xOy 对应点的轨迹为圆C （圆心为C ），设复平面xOy 上的复数z x yi =+（x R ∈，y R ∈）对应的点为(,)x y ，定直线m 的方程为360x y ++=，过(1,0)A -的一条动直线l 与直线m 相交于N 点，与圆C 相交于P 、Q 两点，M 是弦PQ 中点. （1）若直线l 经过圆心C ，求证：l 与m 垂直； （2）当||23PQ =时，求直线l 的方程；（3）设t AM AN =⋅u u u u r u u u r，试问t 是否为定值？若为定值，请求出t 的值，若t 不为定值，请说明理由.。
2018年上海市普陀区高考数学二模试卷(解析版)
2018年上海市普陀区高考数学二模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）抛物线x2＝12y的准线方程为2．（4分）若函数f（x）＝是奇函数，则实数m＝3．（4分）若函数f（x）＝的反函数为g（x），则函数g（x）的零点为4．（4分）书架上有上、中、下三册的《白话史记》和上、下两册的《古诗文鉴赏辞典》，现将这五本书从左到右摆放在一起，则中间位置摆放中册《白话史记》的不同摆放种数为（结果用数值表示）5．（4分）在锐角三角形△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（b2+c2﹣a2）tan A ＝bc，则角A的大小为6．（4分）若（x3﹣）n的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为7．（5分）某单位有两辆车参加某种事故保险，对在当年内发生此种事故的每辆车，单位均可获赔（每辆车最多只获一次赔偿），设这两辆车在一年内发生此种事故的概率分别为和，且各车是否发生事故相互独立，则一年内该单位在此种保险中获赔的概率为（结果用最简分数表示）8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），椭圆C的参数方程为（θ为参数），则直线l与椭圆C的公共点坐标为9．（5分）设函数f（x）＝log m x（m＞0且m≠1），若m是等比数列{a n}（n∈N*）的公比，且f（a2a4a6..a2018）＝7，则f（）+f（）+f（）+…f（）的值为10．（5分）设变量x、y满足条件，若该条件表示的平面区域是三角形，则实数m的取值范围是11．（5分）设M＝{y|y＝（）x，x∈R}，N＝{y|y＝（+1）（x﹣1）+（|m|﹣1）（x﹣2），1≤x≤2}，若N⊆M，则实数m的取值范围是12．（5分）点F1、F2分别是椭圆C：的左、右焦点，点N为椭圆C的上顶点，若动点M满足：||2＝2，则||的最大值为二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）已知i为虚数单位，若复数（a+i）2i为正实数，则实数a的值为（）A．2B．1C．0D．﹣114．（5分）如图所示的几何体，其表面积为（5+）π，下部圆柱的底面直径与该圆柱的高相等，上部圆锥的母线长为，则该几何体的主视图的面积为（）A．4B．6C．8D．1015．（5分）设S n是无穷等差数列{a n}前n项和（n∈N*），则“S n存在”是“该数列公差d＝0”的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．充分必要D．既非充分也非必要16．（5分）已知k∈N*，x，y，z∈R+，若k（xy+yz+zx）＞5（x2+y2+z2），则对此不等式描述正确的是（）A．若k＝5，则至少存在一个以x、y、z为边长的等边三角形B．若k＝6，则对任意满足不等式的x、y、z，都存在以x、y、z为边长的三角形C．若k＝7，则对任意满足不等式的x、y、z，都存在以x、y、z为边长的三角形D．若k＝8，则对满足不等式的x、y、z，不存在以x、y、z为边长的直角三角形三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）如图所示的正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，侧棱AA1＝2，点E 在棱CC1上，且＝（λ＞0）．（1）当时，求三棱锥D1＝EBC的体积；（2）当异面直线BE与D1C所成角的大小为arccos时，求λ的值．18．（14分）已知函数f（x）＝sin x cos x+sin2x，x∈R．（1）若函数f（x）在区间[a，]上递增，求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）的图象关于点Q（x1，y1）对称，且x1∈[﹣]，求点Q的坐标．19．（14分）某市为改善市民出行，大力发展轨道交通建设，规划中的轨道交通s号线线路示意图如图所示，已知M、N是东西方向主干道边两个景点，P、Q是南北方向主干道边两个景点，四个景点距离城市中心O均为5，线路AB段上的任意一点到景点N的距离比到景点M的距离都多10km，线路BC段上的任意一点到O的距离都相等，线路CD段上的任意一点到景点Q的距离比到景点P的距离都多10km，以O为原点建立平面直角坐标系xOy．（1）求轨道交通s号线线路示意图所在曲线的方程；（2）规划中的线路AB段上需建一站点G到景点Q的距离最近，问如何设置站点G的位置？20．（16分）定义在R上的函数f（x）满足：对任意的实数x，存在非零常数t，都有f（x+t）＝﹣tf（x）成立．（1）若函数f（x）＝kx+3，求实数k和t的值；（2）当t＝2时，若x∈[0，2]，f（x）＝x（2﹣x），求函数f（x）在闭区间[﹣2，6]上的值域；（3）设函数f（x）的值域为[﹣a，a]，证明：函数f（x）为周期函数．21．（18分）若数列{a n}同时满足条件：①存在互异的p，q∈N*使得a p＝a q＝c（c为常数）；②当n≠p且n≠q时，对任意n∈N*都有a n＞c，则称数列{a n}为双底数列．（1）判断以下数列{a n}是否为双底数列（只需写出结论不必证明）：①a n＝n；②a n＝sin；③a n＝|（n﹣3）（n﹣5）|；（2）设a n＝，若数列{a n}是双底数列，求实数m的值以及数列{a n}的前n项和S n；（3）设a n＝（kn+3）（）n，是否存在整数k，使得数列{a n}为双底数列？若存在，求出所有的k的值，若不存在，请说明理由．2018年上海市普陀区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）抛物线x2＝12y的准线方程为y＝﹣3【解答】解：抛物线x2＝12y的准线方程为：y＝﹣3．故答案为：y＝﹣3．2．（4分）若函数f（x）＝是奇函数，则实数m＝【解答】解：f（x）是奇函数；∴f（﹣x）＝﹣f（x）；即；∴﹣x﹣2m+1＝﹣x+2m﹣1；∴﹣2m+1＝2m﹣1；∴．故答案为：．3．（4分）若函数f（x）＝的反函数为g（x），则函数g（x）的零点为【解答】解：根据题意，函数f（x）＝，则f（0）＝，若函数f（x）＝的反函数为g（x），则g（）＝0，则函数g（x）的零点为；故答案为：．4．（4分）书架上有上、中、下三册的《白话史记》和上、下两册的《古诗文鉴赏辞典》，现将这五本书从左到右摆放在一起，则中间位置摆放中册《白话史记》的不同摆放种数为24（结果用数值表示）【解答】解：根据题意，在中间位置摆放中册《白话史记》，将上、下册的《白话史记》和上、下两册的《古诗文鉴赏辞典》全排列，安排在两边的4个位置，有A44＝24种排法；故答案为：24．5．（4分）在锐角三角形△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（b2+c2﹣a2）tan A＝bc，则角A的大小为【解答】解：∵（b2+c2﹣a2）tan A＝bc，∴由余弦定理可得：2bc cos A•tan A＝bc，可得：sin A＝，∵A为锐角，∴A＝．故答案为：．6．（4分）若（x3﹣）n的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为5【解答】解：（x3﹣）n的展开式的通项为＝．取3n﹣5r＝0，得n＝，∴当r＝3时，n为最小正整数5．故答案为：5．7．（5分）某单位有两辆车参加某种事故保险，对在当年内发生此种事故的每辆车，单位均可获赔（每辆车最多只获一次赔偿），设这两辆车在一年内发生此种事故的概率分别为和，且各车是否发生事故相互独立，则一年内该单位在此种保险中获赔的概率为（结果用最简分数表示）【解答】解：某单位有两辆车参加某种事故保险，对在当年内发生此种事故的每辆车，单位均可获赔（每辆车最多只获一次赔偿），设这两辆车在一年内发生此种事故的概率分别为和，且各车是否发生事故相互独立，则一年内该单位在此种保险中获赔的概率为p＝1﹣＝．故答案为：．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），椭圆C的参数方程为（θ为参数），则直线l与椭圆C的公共点坐标为【解答】解：直线l的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为：x＝2y﹣．椭圆C的参数方程为（θ为参数），转换为直角坐标方程为：x2+4y2＝1，则：，解得：，故公共点的坐标为：，故答案为：．9．（5分）设函数f（x）＝log m x（m＞0且m≠1），若m是等比数列{a n}（n∈N*）的公比，且f（a2a4a6..a2018）＝7，则f（）+f（）+f（）+…f（）的值为﹣1990【解答】解：函数f（x）＝log m x（m＞0且m≠1），若m是等比数列{a n}（n∈N*）的公比，且f（a2a4a6..a2018）＝7，则f（）+f（）+f（）+…f（）＝log m（）+log m（）+log m（）+…+log m（）＝2log m（a1a3...a2017）+2log m（a2a4 (2018)＝2log m+2×7＝2（7﹣1009）+14＝﹣1990．故答案为：﹣1990．10．（5分）设变量x、y满足条件，若该条件表示的平面区域是三角形，则实数m的取值范围是（0，1]∪[，+∞）【解答】解：画出不等式组表示的平面区域，如图所示；显然当0＜m≤1时，不等式组表示的区域为三角形；当直线x+y＝m经过可行域的B时，可行域是三角形OAB，由可得：B（，）．则m＝x+y＝，∴满足条件的点P（x，y）表示的平面区域为一个三角形，m的取值范围是：（0，1]∪[，+∞）．故答案为：（0，1]∪[，+∞）．11．（5分）设M＝{y|y＝（）x，x∈R}，N＝{y|y＝（+1）（x﹣1）+（|m|﹣1）（x﹣2），1≤x≤2}，若N⊆M，则实数m的取值范围是（﹣1，0）【解答】解：∵M＝{y|y＝（）x，x∈R}＝{y|y＞0}，N＝{y|y＝（+1）（x﹣1）+（|m|﹣1）（x﹣2），1≤x≤2}，N⊆M，∴，解得﹣1＜m＜0，∴实数m的取值范围为（﹣1，0）．故答案为：（﹣1，0）．12．（5分）点F1、F2分别是椭圆C：的左、右焦点，点N为椭圆C的上顶点，若动点M满足：||2＝2，则||的最大值为6+【解答】解：由题意可知：F1（﹣1，0），F2（1，0），N（0，1），设M（x0，y0），由||2＝2，则x02+（y0﹣1）2＝2x02﹣2+2y02，整理得：x02+（y0+1）2＝4，设，|＝（2cosα﹣1，2sinα﹣1），＝（2cosα+1，2sinα﹣1），则＝（6cosα+1，6sinα﹣3），则||＝＝＝≤＝6+，∴||的最大值为6+，故答案为：6+．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）已知i为虚数单位，若复数（a+i）2i为正实数，则实数a的值为（）A．2B．1C．0D．﹣1【解答】解：∵（a+i）2i＝（a2﹣1+2ai）i＝﹣2a+（a2﹣1）i为正实数，∴，解得a＝﹣1．故选：D．14．（5分）如图所示的几何体，其表面积为（5+）π，下部圆柱的底面直径与该圆柱的高相等，上部圆锥的母线长为，则该几何体的主视图的面积为（）A．4B．6C．8D．10【解答】解：由题意设圆锥的底面半径为R，则：几何体，其表面积为（5+）π，上部圆锥的母线长为，可得：＝（5+）π，解得：R＝1．则该几何体的主视图的面积为：2×2+＝6．故选：B．15．（5分）设S n是无穷等差数列{a n}前n项和（n∈N*），则“S n存在”是“该数列公差d＝0”的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．充分必要D．既非充分也非必要【解答】解：等差数列的前n项和公式为S n＝na1+d＝n2+（a1+）n，若S n存在，则＝0且a1+＝0，即d＝0，a1＝0，则充分性成立，若d＝0，a 1≠0，则S n＝na1，则S n不存在，即“S n存在”是“该数列公差d＝0”的充分不必要条件，故选：A．16．（5分）已知k∈N*，x，y，z∈R+，若k（xy+yz+zx）＞5（x2+y2+z2），则对此不等式描述正确的是（）A．若k＝5，则至少存在一个以x、y、z为边长的等边三角形B．若k＝6，则对任意满足不等式的x、y、z，都存在以x、y、z为边长的三角形C．若k＝7，则对任意满足不等式的x、y、z，都存在以x、y、z为边长的三角形D．若k＝8，则对满足不等式的x、y、z，不存在以x、y、z为边长的直角三角形【解答】解：对于A，由不等式：x，y，z∈R，x2+y2+z2≥xy+yz+zx，排除A；对于C，对x＝1，y＝2，z＝3，得：7（2+3+6）＞5（12+22+32），不等式成立，但是不能构成三角形，排除C；对于D，k＝8时，取x＝3，y＝4，z＝5，8（12+15+20）＝376＞5（32+42+52）＝250，不等式成立，且存在以3，4，5为边长的直角三角形，排除D．故选：B．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）如图所示的正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，侧棱AA1＝2，点E 在棱CC1上，且＝（λ＞0）．（1）当时，求三棱锥D1＝EBC的体积；（2）当异面直线BE与D1C所成角的大小为arccos时，求λ的值．【解答】解：（1）∵AA1＝2，＝，∴当时，CE＝1．∴三棱锥D1﹣EBC的体积V＝；（2）以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则C（0，1，0），D1（0，0，2），B（1，1，0），C1＝（0，1，2），则，＝（﹣1，0，0）+（0，0，2λ）＝（﹣1，0，2λ），∵异面直线BE与D1C所成角的大小为arccos，∴|cos＜，＞|＝||＝||＝．解得：λ＝（λ＞0）．18．（14分）已知函数f（x）＝sin x cos x+sin2x，x∈R．（1）若函数f（x）在区间[a，]上递增，求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）的图象关于点Q（x1，y1）对称，且x1∈[﹣]，求点Q的坐标．【解答】解：函数f（x）＝sin x cos x+sin2x＝sin2x﹣cos2x+＝sin（2x﹣）令，得上是单调递增；∵函数f（x）在区间[a，]上递增，∴即实数a的取值范围是[，）；（2）函数f（x）的图象关于点Q（x1，y1）对称，且x1∈[﹣]，则2x﹣∈[，]Q在函数图象上，且是一个零点．可得2x﹣＝0，即x＝∴点Q的坐标为（，）．19．（14分）某市为改善市民出行，大力发展轨道交通建设，规划中的轨道交通s号线线路示意图如图所示，已知M、N是东西方向主干道边两个景点，P、Q是南北方向主干道边两个景点，四个景点距离城市中心O均为5，线路AB段上的任意一点到景点N的距离比到景点M的距离都多10km，线路BC段上的任意一点到O的距离都相等，线路CD段上的任意一点到景点Q的距离比到景点P的距离都多10km，以O为原点建立平面直角坐标系xOy．（1）求轨道交通s号线线路示意图所在曲线的方程；（2）规划中的线路AB段上需建一站点G到景点Q的距离最近，问如何设置站点G的位置？【解答】解：（1）∵线路AB段上的任意一点到景点N的距离比到景点M的距离都多10km，∴线路AB的轨迹为以MN为焦点的双曲线的一部分，设双曲线方程为＝1，则，∴a＝5，b＝5．∴线路AB的方程是：﹣＝1（x≤﹣5，y≥0），同理可得线路CD的方程为：﹣＝1（x≥0，y≤﹣5）．故而B（﹣5，0），∵线路BC段上的任意一点到O的距离都相等，∴线路BC的方程为：x2+y2＝25（﹣5≤x≤0，﹣5≤y≤0）．（2）Q（0，5），设G（x，y），则x2﹣y2＝25，∴GQ2＝x2+（y﹣5）2＝2y2﹣10y+75＝2（y﹣）2﹣25，∴当y＝时，GQ最小，代入双曲线方程可得x＝﹣，∴G（﹣，）．20．（16分）定义在R上的函数f（x）满足：对任意的实数x，存在非零常数t，都有f（x+t）＝﹣tf（x）成立．（1）若函数f（x）＝kx+3，求实数k和t的值；（2）当t＝2时，若x∈[0，2]，f（x）＝x（2﹣x），求函数f（x）在闭区间[﹣2，6]上的值域；（3）设函数f（x）的值域为[﹣a，a]，证明：函数f（x）为周期函数．【解答】解：（1）对任意的实数x，存在非零常数t，都有f（x+t）＝﹣tf（x）成立，可得k（x+t）+3＝﹣t（kx+3），即有kt+k＝0，kt+3t+3＝0，解得k＝0，t＝﹣1；（2）f（x+2）＝﹣2f（x），若x∈[0，2]，f（x）＝x（2﹣x）＝﹣（x﹣1）2+1，作出函数f（x）在闭区间[﹣2，6]上的图象，由图象可知f（3）＝﹣2最小，f（5）＝4最大，可得值域[﹣2，4]；（3）证明：定义在R上的函数f（x）满足对任意的实数x，存在非零常数t，都有f（x+t）＝﹣tf（x）成立，当t＝﹣1时，f（x﹣1）＝f（x），即f（x+1）＝f（x），f（x）为最小正周期是1的函数，且满足函数f（x）的值域为[﹣a，a]；当t＝1时，f（x+1）＝﹣f（x），可得f（x+2）＝﹣f（x+1）＝f（x），f（x）为最小正周期是2的函数，且满足函数f（x）的值域为[﹣a，a]；当t≠1且t≠﹣1时，由f（x+t）＝﹣tf（x），可得f（x）的值域不满足数f（x）的值域为[﹣a，a]，当函数f（x）的值域为[﹣a，a]，函数f（x）为周期函数．21．（18分）若数列{a n}同时满足条件：①存在互异的p，q∈N*使得a p＝a q＝c（c为常数）；②当n≠p且n≠q时，对任意n∈N*都有a n＞c，则称数列{a n}为双底数列．（1）判断以下数列{a n}是否为双底数列（只需写出结论不必证明）：①a n＝n；②a n＝sin；③a n＝|（n﹣3）（n﹣5）|；（2）设a n＝，若数列{a n}是双底数列，求实数m的值以及数列{a n}的前n项和S n；（3）设a n＝（kn+3）（）n，是否存在整数k，使得数列{a n}为双底数列？若存在，求出所有的k的值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）在①中，a n＝n是双底数列；在②中，a n＝sin不是双底数列；在③中，a n＝|（n﹣3）（n﹣5）|是双底数列．（2）∵a n＝，数列{a n}是双底数列，∴a50＝a51，即101﹣100＝251﹣5+m＝2+m，解得m＝﹣1，当1≤n≤50时，a n＝101﹣2n，{a n}是首项为a1＝99，公差d＝2的等差数列，∴S n＝99n+＝100n﹣n2；当n≥51时，，S n＝2n﹣49﹣n+2548．（3）a n＝（kn+3）（）n，假设存在整数k，使得数列{a n}为双底数列，根据题意，k＜0，由a n＝a n+1，得（kn+3）•（）n＝[k（n+1）+3]•（）n+1，整理，得n＝9﹣，∵k∈Z，∴k＝﹣1或k＝﹣3．。
2018年上海市虹口区高考数学二模试卷含详解
2018年上海市虹口区高考数学二模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）已知A=（﹣∞，a]，B=[1，2]，且A∩B=∅，则实数a的范围是2．（4分）直线ax+（a﹣1）y+1=0与直线4x+ay﹣2=0互相平行，则实数a= 3．（4分）已知α∈（0，π），cosα=﹣，则tan（α+）=．4．（4分）长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为α、β、γ，则cos2α+cos2β+cos2γ=5．（4分）已知函数f（x）=，则f﹣1[f﹣1（﹣9）]=6．（4分）从集合{﹣1，1，2，3}随机取一个为m，从集合{﹣2，﹣1，1，2}随机取一个为n，则方程表示双曲线的概率为7．（5分）已知{a n}是公比为q的等比数列，且a2，a4，a3成等差数列，则q=．8．（5分）若将函数f（x）=x6表示成f（x）=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+a3（x ﹣1）3+…+a6（x﹣1）6，则a3的值等于9．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的边长AB=AA1=1，AD=，它的外接球是球O，则A、A1这两点的球面距离等于．10．（5分）椭圆的长轴长等于m，短轴长等于n，则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为11．（5分）[x]是不超过x的最大整数，则方程（2x）2•[2x]满足x＜1的所有实数解是12．（5分）函数f（x）=sinx，对于x1＜x2＜x3＜…＜x n且x1，x2，…x n∈[0，8π]（n≥10），记M=|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+|f（x3）﹣f（x4）|+…+|f （x n）﹣f（x n）|，则M的最大值等于﹣1二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）下列函数是奇函数的是（）A．f（x）=x+1B．f（x）=sinx•cosxC．f（x）=arccosx D．f（x）=14．（5分）在Rt△ABC中，AB=AC，点M、N是线段AC的三等分点，点P在线段BC上运动且满足=k，当取得最小值时，实数k的值为（）A．B．C．D．15．（5分）直线l：kx﹣y+k+1=0与圆x2+y2=8交于A、B两点，且|AB|=4，过点A、B分别作l的垂线与y轴交于点M、N，则|MN|等于（）A．2B．4C．4D．816．（5分）已知数列{a n}的首项a1=a，且0＜a≤4，a n+1=，S n是此数列的前n项和，则以下结论正确的是（）A．不存在a和n使得S n=2015B．不存在a和n使得S n=2016C．不存在a和n使得S n=2017D．不存在a和n使得S n=2018三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，AB=AC=1，，高等于3，点M1、M2、N1、N2为所在线段的三等分点．（1）求此三棱柱的体积和三棱锥A1﹣AM1N2的体积；（2）求异面直线A1N2、AM1所成的角的大小．18．（14分）已知△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，z=cosA+i•sinA （i是虚数单位）是方程z2﹣z+1=0的根，a=3．（1）若B=，求边长c的值；（2）求△ABC面积的最大值．19．（14分）平面内的“向量列”{}，如果对于任意的正整数n，均有=，则称此“向量列”为“等差向量列”，称为“公差向量”，平面内的“向量列”{}，如果对于任意的正整数n，均有=q（q≠0），则称此“向量列”为“等比向量列”，常数q称为“公比”．（1）如果“向量列”{}是“等差向量列”，用和“公差向量”表示；（2）已知{}是“等差向量列”，“公差向量”=（3，0），=（1，1），=（a n，y n），{}是“等比向量列”，“公比”q=2，=（1，3），=（m n，k n），求．20．（16分）如果直线与椭圆只有一个交点，称该直线为椭圆的“切线”，已知椭圆C：，点M（m，n）是椭圆C上的任意一点，直线l过点M且是椭圆C的“切线”．（1）证明：过椭圆C上的点M（m，n）的“切线”方程是；（2）设A、B是椭圆C长轴上的两个端点，点M（m，n）不在坐标轴上，直线MA、MB分别交y轴于点P、Q，过M的椭圆C的“切线”l交y轴于点D，证明：点D是线段PQ的中点；（3）点M（m，n）不在x轴上，记椭圆C的两个焦点分别为F1和F2，判断过M的椭圆C的“切线”l与直线MF1、MF2所成夹角是否相等？并说明理由．21．（18分）已知函数f（x）=ax3+x﹣a（a∈R，xR），g（x）=（x∈R）．（1）如果x=是关于x的不等式f（x）≤0的解，求实数a的取值范围；（2）判断g（x）在（]和[）的单调性，并说明理由；（3）证明：函数f（x）存在零点q，使得a=q+q4+q7+…+q3n﹣2+…成立的充要条件是a．2018年上海市虹口区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）已知A=（﹣∞，a]，B=[1，2]，且A∩B=∅，则实数a的范围是（﹣∞，1）【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；37：集合思想；49：综合法；5J：集合．【分析】由集合A，B，以及A∩B即可得出a＜1．【解答】解：∵A∩B=∅；∴a＜1；∴实数a的范围为（﹣∞，1）．故答案为：（﹣∞，1）．【点评】考查区间表示集合的概念，交集的概念及运算．2．（4分）直线ax+（a﹣1）y+1=0与直线4x+ay﹣2=0互相平行，则实数a=2【考点】II：直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】34：方程思想；4O：定义法；5B：直线与圆．【分析】根据两直线平行的条件列出方程求得a的值．【解答】解：直线ax+（a﹣1）y+1=0与直线4x+ay﹣2=0互相平行，则a2﹣4（a﹣1）=0，解得a=2．故答案为：2．【点评】本题考查了直线方程平行条件的应用问题，是基础题．3．（4分）已知α∈（0，π），cosα=﹣，则tan（α+）=．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】11：计算题；56：三角函数的求值．【分析】利用同角三角函数关系式求解sinα，可得tanα，结合正切的和与差公式即可求解tan（α+）的值．【解答】解：由α∈（0，π），cosα=﹣，α在第二象限．∴sinα==．则tanα=．则tan（α+）===．故答案为：．【点评】本题主要考察了同角三角函数关系式，正切的和与差公式的应用，属于基本知识的考查．4．（4分）长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为α、β、γ，则cos2α+cos2β+cos2γ=2【考点】L2：棱柱的结构特征．【专题】35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】跟据题意知，分别找出对角线AC1与面AB1所成的角为∠C1AB1=α，与面AD1所成的角为∠C1AD1=β；与面AC所成的角为∠C1AC=γ；，并且求出它们的余弦值，可求cos2α+cos2β+cos2γ的值．【解答】解：设长方体ABCD﹣A1B1C1D1中三边为a、b、c，如图对角线AC1与过A点的三个面ABCD，AA1B1B、AA1D1D所成的角分别为α，β，γ，∴cosα=，cosβ=，cosγ=，=2∴则cos2α+cos2β+cos2γ=2，故答案为：2．【点评】考查直线和平面所成的角，关键是找到斜线在平面内的射影，把空间角转化为平面角求解，属中档题．5．（4分）已知函数f（x）=，则f﹣1[f﹣1（﹣9）]=﹣2【考点】4R：反函数．【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】推导出，从而f﹣1（﹣9）=3，进而f﹣1[f﹣1（﹣9）]=f﹣1（3），由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）=，∴x≥0时，y=﹣x2，x=，x，y互换，得，x≤0，x＜0时，y=2﹣x﹣1，x=﹣log2（y+1），x，y互换得f﹣1（x）=﹣log2（x+1），x＞0，∴，∴f﹣1（﹣9）=3，f﹣1[f﹣1（﹣9）]=f﹣1（3）=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质、反函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．6．（4分）从集合{﹣1，1，2，3}随机取一个为m，从集合{﹣2，﹣1，1，2}随机取一个为n，则方程表示双曲线的概率为【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】基本事件总数N=4×4=16，由方程表示双曲线，得mn＜0，从而方程表示双曲线包含的基本事件个数M=3×2+1×2=8，由此能求出方程表示双曲线的概率．【解答】解：∵从集合{﹣1，1，2，3}随机取一个为m，从集合{﹣2，﹣1，1，2}随机取一个为n，∴基本事件总数N=4×4=16，∵方程表示双曲线，∴mn＜0，∴方程表示双曲线包含的基本事件个数M=3×2+1×2=8，∴方程表示双曲线的概率为p==．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查双曲线、古典概率等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7．（5分）已知{a n}是公比为q的等比数列，且a2，a4，a3成等差数列，则q=或1．【考点】83：等差数列的性质；87：等比数列的性质．【专题】11：计算题．【分析】先利用等比数列的性质分别用a2和q表示出a3和a4，进而代入2a4=a2+a3中求得q．【解答】解：a3=qa2，a4=q2•a2∵a2，a4，a3成等差数列∴2a4=a2+a3即2a2•q2=a2+q•a2解得，q=1或﹣故答案为1或﹣【点评】本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．属基础题．8．（5分）若将函数f（x）=x6表示成f（x）=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+a3（x ﹣1）3+…+a6（x﹣1）6，则a3的值等于20【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；38：对应思想；4A：数学模型法；5P：二项式定理．【分析】由f（x）=x6=[（x﹣1）+1]6，展开即可求得a3的值．【解答】解：∵f（x）=x6=[（x﹣1）+1]6，∴a3（x﹣1）3=，则．故答案为：20．【点评】本题考查二项式系数的性质，考查数学转化思想方法，是基础题．9．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的边长AB=AA1=1，AD=，它的外接球是球O，则A、A1这两点的球面距离等于．【考点】L*：球面距离及相关计算．【专题】31：数形结合；44：数形结合法；5Q：立体几何．【分析】求出球的半径和∠AOA1，根据弧长公式得出答案．【解答】解：A1C==2，∴外接球半径为OA1=A1C=1，∴△OAA1为等边三角形，∴∠AOA1=，∴球A、A1这两点的球面距离为=．故答案为：．【点评】本题考查了球面距离的计算，属于基础题．10．（5分）椭圆的长轴长等于m，短轴长等于n，则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据题意，分析可得椭圆中a=，b=，则椭圆的方程为+=1，进而设x=cosθ，y=sinθ，则有椭圆的内接矩形的面积S=|2x||2y|=4|xy|=|sin2θ|，结合正弦函数的性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，椭圆的长轴长等于m，短轴长等于n，即2a=m，2b=n，则有a=，b=，则椭圆的方程为+=1，设x=cosθ，y=sinθ，则椭圆的内接矩形的面积S=|2x||2y|=4|xy|=|sin2θ|，又由|sin2θ|≤1，则S≤，当θ=时等号成立；即此椭圆的内接矩形的面积的最大值为，故答案为：．【点评】本题考查椭圆的几何性质，注意椭圆的参数方程的应用．11．（5分）[x]是不超过x的最大整数，则方程（2x）2•[2x]满足x＜1的所有实数解是x=或x=﹣1【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【专题】35：转化思想；4C：分类法；51：函数的性质及应用．【分析】分0≤x＜1，x＜0，分别求解符合条件的x．【解答】解：当0≤x＜1，[2x]=1，∴（2x）2=2⇒x=符合题意；当x＜0，[2x]=0，∴（2x）2=⇒x=﹣1符合题意，∴满足条件的所有实数解为x=或x=﹣1．故答案为：或﹣1【点评】本题考查了新定义问题，分类思想，属于中档题．12．（5分）函数f（x）=sinx，对于x1＜x2＜x3＜…＜x n且x1，x2，…x n∈[0，8π]（n≥10），记M=|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+|f（x3）﹣f（x4）|+…+|f ）﹣f（x n）|，则M的最大值等于16（x n﹣1【考点】H2：正弦函数的图象．【专题】35：转化思想；57：三角函数的图像与性质．【分析】根据正弦函数的图象及性质x1，x2，…x n∈[0，8π]（n≥10），在[0，8π]有4个周期，要使M的最大值，则|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+|f （x3）﹣f（x4）|+…+|f（x n﹣1）﹣f（x n）|最大．则x1，x2，…x n都是顶点的横坐标．可得结论．【解答】解：根据正弦函数的图象及性质x1，x2，…x n∈[0，8π]（n≥10），在[0，8π]有4个周期，要使M的最大值，则|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+|f（x3）﹣f（x4）|+…+|f（x n﹣1）﹣f （x n）|最大．则x1，x2，…x n都是顶点的横坐标．故得M最大值为4×4=16．故答案为：16【点评】本题考查正弦型三角函数的图象性质的应用．属于基础题．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）下列函数是奇函数的是（）A．f（x）=x+1B．f（x）=s inx•cosxC．f（x）=arccosx D．f（x）=【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】11：计算题；34：方程思想；51：函数的性质及应用．【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）=x+1，则f（﹣x）=﹣x+1，则f（﹣x）≠﹣f（x）且f（﹣x）≠f （x），则函数f（x）既不是奇函数又不是偶函数，不符合题意；对于B，f（x）=sinxcosx，则f（﹣x）=sin（﹣x）cos（﹣x）=﹣sinxcosx=﹣f（x），函数f（x）为奇函数，符合题意；对于C，f（x）=arccosx，为反三角函数，则函数f（x）既不是奇函数又不是偶函数，不符合题意；对于D，f（x）=，有f（﹣x）=f（x），函数f（x）为偶函数，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查函数奇偶性的判定，注意函数奇偶性的判定方法．14．（5分）在Rt△ABC中，AB=AC，点M、N是线段AC的三等分点，点P在线段BC上运动且满足=k，当取得最小值时，实数k的值为（）A．B．C．D．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】31：数形结合；4O：定义法；5A：平面向量及应用．【分析】根据题意建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，求出平面向量数量积的最小值与对应点P的坐标，即可求出k的值．【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示；设AB=AC=3，点P（x，3﹣x），M（1，0），N（2，0），则•=2x2﹣9x+11，其中x∈[0，3]，∴当x=时•取到最小值，此时P（，），∴k==．故选：C．【点评】本题考查了平面向量的数量积与应用问题，是中档题．15．（5分）直线l：kx﹣y+k+1=0与圆x2+y2=8交于A、B两点，且|AB|=4，过点A、B分别作l的垂线与y轴交于点M、N，则|MN|等于（）A．2B．4C．4D．8【考点】J9：直线与圆的位置关系．【专题】35：转化思想；48：分析法；5B：直线与圆．【分析】由|AB|=4等于圆的直径，可得直线l：kx﹣y+k+1=0经过原点，从而求出k=﹣1，则|MN|可求．【解答】解：∵|AB|=4等于圆的直径，∴直线l：kx﹣y+k+1=0经过原点，∴k=﹣1，∴|MN|=AB=8．故选：D．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属于基础题．16．（5分）已知数列{a n}的首项a1=a，且0＜a≤4，a n+1=，S n是此数列的前n项和，则以下结论正确的是（）A．不存在a和n使得S n=2015B．不存在a和n使得S n=2016C．不存在a和n使得S n=2017D．不存在a和n使得S n=2018【考点】8E：数列的求和．【专题】15：综合题；35：转化思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．【分析】令a1=1，则所有奇数项都为1，偶数项都为5，排除B、C；令a1=2，则所有奇数项都为2，偶数项都为4，排除D，问题得以解决．【解答】解：令a1=1，则所有奇数项都为1，偶数项都为5，排除B、C；令a1=2，则所有奇数项都为2，偶数项都为4，排除D，故选：A．【点评】本题考查了数列的递推公式，关键是利用特值法，属于中档题．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，AB=AC=1，，高等于3，点M1、M2、N1、N2为所在线段的三等分点．（1）求此三棱柱的体积和三棱锥A1﹣AM1N2的体积；（2）求异面直线A1N2、AM1所成的角的大小．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．×AA1；三棱锥A1﹣AM1N2的体积【分析】（1）三棱柱的体积V=S△BAC=．（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A1N2、AM1所成的角．【解答】解：（1）∵直三棱柱的底面是等腰直角三角形，AB=AC=1，，高等于3，∴此三棱柱的体积V=S×AA1==．△BAC∵点M1、M2、N1、N2为所在线段的三等分点．M1到平面AA1N2的距离d=AB=1，∴三棱锥A1﹣AM1N2的体积：==×d==．（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，A1（0，0，3），N2（0，1，2），A（0，0，0），M1（1，0，1），=（0，1，﹣1），=（1，0，1），设异面直线A1N2、AM1所成的角为θ，则cosθ===，∴θ=，∴异面直线A1N2、AM1所成的角为．【点评】本题考查几何体的体积的求法，考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．18．（14分）已知△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，z=cosA+i•sinA（i是虚数单位）是方程z2﹣z+1=0的根，a=3．（1）若B=，求边长c的值；（2）求△ABC面积的最大值．【考点】HT：三角形中的几何计算．【专题】11：计算题；34：方程思想；4R：转化法；58：解三角形．【分析】（1）方程z2﹣z+1=0的解为i，从而A=再由B=，a=3，利用正弦定理能求出边长c的值．（2）由a=3，A=，得△ABC的面积S=，由此能求出△△ABCABC面积取最大值．【解答】解：（1）∵△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，z=cosA+i•sinA （i是虚数单位）是方程z2﹣z+1=0的根，a=3．方程z2﹣z+1=0的解为i，∴A=，∵B=，∴由正弦定理得：，即==，解得b=，c=．==，（2）∵a=3，A=，∴△ABC的面积S△ABC当AB=AC=BC=a=3时，△ABC面积取最大值为S==．【点评】本题考查三角形的边长的求法，考查三角形面积的最大值求法，考查三角函数性质、三角函数恒等式、余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查运用求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19．（14分）平面内的“向量列”{}，如果对于任意的正整数n，均有=，则称此“向量列”为“等差向量列”，称为“公差向量”，平面内的“向量列”{}，如果对于任意的正整数n，均有=q（q≠0），则称此“向量列”为“等比向量列”，常数q称为“公比”．（1）如果“向量列”{}是“等差向量列”，用和“公差向量”表示；（2）已知{}是“等差向量列”，“公差向量”=（3，0），=（1，1），=（a n，y n），{}是“等比向量列”，“公比”q=2，=（1，3），=（m n，k n），求．【考点】8L：数列与向量的综合．【专题】34：方程思想；4H：作差法；54：等差数列与等比数列；5A：平面向量及应用．【分析】（1）运用等差数列的求和公式和向量的加减运算，即可得到所求和；（2）求得•=（3n﹣2，1）•（2n﹣1，3•2n﹣1）=（3n﹣2）•2n﹣1+3•2n﹣1=（3n+1）•2n﹣1，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．【解答】解：（1）如果“向量列”{}是“等差向量列”，由和“公差向量”，=n+（1+2+…+n﹣1）=n+；（2）•=（3n﹣2，1）•（2n﹣1，3•2n﹣1）=（3n﹣2）•2n﹣1+3•2n﹣1=（3n+1）•2n﹣1，S n==4•20+7•21+…+（3n+1）•2n﹣1，2S n=4•2+7•22+…+（3n+1）•2n，相减可得﹣S n=4+3（2+22+…+2n﹣1）﹣（3n+1）•2n=4+3•﹣（3n+1）•2n，化简可得=（3n﹣2）•2n+2．【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查等差数列、等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的求和方法：错位相减法，考查运算能力，属于中档题．20．（16分）如果直线与椭圆只有一个交点，称该直线为椭圆的“切线”，已知椭圆C：，点M（m，n）是椭圆C上的任意一点，直线l过点M且是椭圆C的“切线”．（1）证明：过椭圆C上的点M（m，n）的“切线”方程是；（2）设A、B是椭圆C长轴上的两个端点，点M（m，n）不在坐标轴上，直线MA、MB分别交y轴于点P、Q，过M的椭圆C的“切线”l交y轴于点D，证明：点D是线段PQ的中点；（3）点M（m，n）不在x轴上，记椭圆C的两个焦点分别为F1和F2，判断过M的椭圆C的“切线”l与直线MF1、MF2所成夹角是否相等？并说明理由．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）方法一：设切线方程，代入椭圆方程，由M在椭圆方程，利用△=0，即可求得k的值，求得“切线”方程是；方法二：将直线方程代入椭圆方程，由△=0，则直线与椭圆只有一个交点，故直线与椭圆相切；（2）求得直线MA，MB的方程，令x=0，即可求得P和Q点坐标，令x=0，求得D点坐标，由y P+y Q=2y D，即可求得点D是线段PQ的中点；（3）求得交点坐标，即可求得MF1及MF2斜率，根据直线的夹角公式，求得tanθ1=tanθ1，过M的椭圆C的“切线”l与直线MF1、MF2所成夹角是否相等【解答】解：（1）方法一：当n=0时，m=±，则切线方程x=±，满足，当m≠0时，设直线y=k（x﹣m）+n，联立，整理得：（1+2k2）x2﹣4k（km﹣n）x+2（km﹣2）2﹣2=0，由△=16k2（km﹣n）2﹣4×（1+2k2）[2（km﹣2）2﹣2]=0，整理得：（2﹣m2）k2+2mnk+1﹣n2=0，由M（m，n）在椭圆上，则，2﹣m2=2n2，1﹣n2=，∴2n2k2+2mnk+=0，则（nk+）2=0，解得：k=﹣，∴切线方程y=﹣（x﹣m）+n，整理得：；综上可知：过椭圆C上的点M（m，n）的“切线”方程是；方法二：由直线，整理得：mx+2ny=2，，整理得：（2n2+m2）y2﹣4ny+2﹣m2=0，由M（m，n）在椭圆上，则，2﹣m2=2n2，2n2+m2=2，则y2﹣2ny+n2=0，则△=0，∴过椭圆C上的点M（m，n）的“切线”方程是；（2）由椭圆的左顶点A（﹣，0），右顶点B（，0），由直线MA的方程：y=（x+），令x=0，则y P=，同理y Q=，切线方程，令x=0，则y D=y P+y Q===2y D，∴点D是线段PQ的中点；（3）相等，由椭圆的焦点F1（﹣1，0），F2（1，0），过椭圆C上的点M（m，n）的“切线”方程是，则直线MF1的斜率=，直线MF2的斜率=，则切线的斜率k=，由夹角公式tanθ1=||=，tanθ1=||=，所以所成夹角相等．【点评】本题考查椭圆的标准方程的性质，直线的切线方程的应用，直线与椭圆的位置关系，考查直线夹角公式的应用，中点坐标公式，考查转化思想，属于中档题．21．（18分）已知函数f（x）=ax3+x﹣a（a∈R，xR），g（x）=（x∈R）．（1）如果x=是关于x的不等式f（x）≤0的解，求实数a的取值范围；（2）判断g（x）在（]和[）的单调性，并说明理由；（3）证明：函数f（x）存在零点q，使得a=q+q4+q7+…+q3n﹣2+…成立的充要条件是a．【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用；59：不等式的解法及应用．【分析】（1）x=是关于x的不等式f（x）≤0的解，可得≤0，解出即可得出．（2）g′（x）==，利用导数研究其单调性即可得出．（3）函数f（x）存在零点q，使得a=q+q4+q7+…+q3n﹣2+…成立的充要条件是a．a=成立，根据无穷等比数列相关性质，q∈（﹣1，1），q≠0，结合第（2）问，a=在（]上单调递减，在[）上单调递增．可得a≥=．【解答】解：（1）x=是关于x的不等式f（x）≤0的解，∴=a﹣﹣a≤0，解得：a≥﹣．∴实数a的取值范围是．（2）g′（x）==，∴函数g（x）在（]上单调递减，在[）上单调递增．（3）证明：函数f（x）存在零点q，使得a=q+q4+q7+…+q3n﹣2+…成立的充要条件是a．∴a=成立，根据无穷等比数列相关性质，q∈（﹣1，1），q≠0，结合第（2）问，a=在（]上单调递减，在[）上单调递增．∴a≥==﹣．反之亦然．【点评】本题考查了函数的单调性、利用导数研究函数的单调性极值、不等式的解法、简易逻辑的判定方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
2018学年上海高三数学二模分类汇编——解析几何
2018学年上海高三数学二模分类汇编——解析几何-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One11（2018松江二模）. 双曲线22219x y a -=（0a >）的渐近线方程为320x y ±=，则a =1（2018普陀二模）. 抛物线212x y =的准线方程为2（2018虹口二模）. 直线(1)10ax a y +-+=与直线420x ay +-=互相平行，则实数a =2（2018宝山二模）. 设抛物线的焦点坐标为(1,0)，则此抛物线的标准方程为 3（2018奉贤二模）. 抛物线2y x =的焦点坐标是4（2018青浦二模）. 已知抛物线2x ay =的准线方程是14y =-，则a =4（2018长嘉二模）. 已知平面直角坐标系xOy 中动点(,)P x y 到定点(1,0)的距离等于P 到定直线1x =-的距离，则点P 的轨迹方程为7（2018金山二模）. 若某线性方程组对应的增广矩阵是421m m m ⎛⎫⎪⎝⎭，且此方程组有唯一一组解，则实数m 的取值范围是8（2018静安二模）. 已知抛物线顶点在坐标原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点(,4)M a -(0)a >到焦点F 的距离为5，则该抛物线的标准方程为8（2018崇明二模）. 已知椭圆2221x y a +=（0a >）的焦点1F 、2F ，抛物线22y x =的焦点为F ，若123F F FF =，则a =8（2018杨浦二模）. 若双曲线2221613x y p-=(0)p >的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p =9（2018浦东二模）. 已知抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽为8米，当水面下降1米后，水面的宽为 米10（2018虹口二模）. 椭圆的长轴长等于m ，短轴长等于n ，则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为10（2018金山二模）. 平面上三条直线210x y -+=，10x -=，0x ky +=，如果这三条直线将平面化分为六个部分，则实数k 的取值组成的集合A =10（2018青浦二模）. 已知直线1:0l mx y -=，2:20l x my m +--=，当m 在实数范围内变化时，1l 与2l 的交点P 恒在一个定圆上，则定圆方程是 11（2018奉贤二模）. 角α的始边是x 轴正半轴，顶点是曲线2225x y +=的中心，角的终边与曲线2225x y +=的交点A 的横坐标是3-，角2α的终边与曲线2225x y +=的交点是B ，则过B 点的曲线2225x y +=的切线方程是 （用一般式表示）11（2018金山二模）. 已知双曲线22:198x y C -=，左、右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 作一直线与双曲线C 的右半支交于P 、Q 两点，使得190F PQ ∠=︒，则1F PQ ∆的内切圆的半径r =11（2018青浦二模）.已知曲线:C y =:2l y =，若对于点(0,)A m ，存在C 上的点P 和l 上的点Q ，使得0AP AQ +=，则m 取值范围是12（2018普陀二模）. 点1F 、2F 分别是椭圆22:12x C y +=的左、右焦点，点N为椭圆C 的上顶点，若动点M 满足：212||2MN MF MF =⋅，则12|2|MF MF +的最大值为12（2018青浦二模）. 已知22sin 1cos 1a a M a a θθ-+=-+（,a θ∈R ，0a ≠），则M 的取值范围是12（2018长嘉二模）. 若实数x 、y 满足114422x y x y +++=+，则22x y S =+的取值范围是14（2018奉贤二模）. 设直线l 的一个方向向量(6,2,3)d =，平面α的一个法向量(1,3,0)n =-，则直线l 与平面α的位置关系是（ ） A. 垂直 B. 平行 C. 直线l 在平面α内 D. 直线l 在平面α内或平行14（2018青浦二模）. 椭圆的参数方程为5cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），则它的两个焦点坐标是（ ）A. (4,0)±B. (0,4)±C. (5,0)±D. (0,3)±α15（2018虹口二模）. 直线:10l kx y k -++=与圆228x y +=交于A 、B 两点，且||AB =，过点A 、B 分别作l 的垂线与y 轴交于点M 、N ，则||MN 等于（ ）A. 15（2018杨浦二模）. 已知22110a b +≠，22220a b +≠，则“11220a b a b =”是“直线1111:0l a x b y c ++=与2222:0l a x b y c ++=平行”的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分也非必要 16（2018崇明二模）. 在平面直角坐标系中，定义1212(,)max{||,||}d A B x x y y =--为两点11(,)A x y 、22(,)B x y 的“切比雪夫距离”，又设点P 及l 上任意一点Q ，称(,)d P Q 的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”，记作(,)d P l ，给出下列三个命题：① 对任意三点A 、B 、C ，都有(,)(,)(,)d C A d C B d A B +≥；② 已知点(3,1)P 和直线:210l x y --=，则4(,)3d P l =；③ 定点1(,0)F c -、2(,0)F c ，动点(,)P x y 满足12|(,)(,)|2d P F d P F a -=（220c a >>），则点P 的轨迹与直线y k =（k 为常数）有且仅有2个公共点； 其中真命题的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 318（2018静安二模）. 已知椭圆Γ的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍，两焦点分别为1F 和2F ，椭圆Γ上一点到1F 和2F 的距离之和为12. 圆22:24210()k A x y kx y k ++--=∈R 的圆心为k A . （1）求△12k A F F 的面积；（2）若椭圆上所有点都在一个圆内，则称圆包围这个椭圆. 问：是否存在实数k 使得圆k A 包围椭圆Γ请说明理由.18（2018崇明二模）. 已知点1F 、2F 依次为双曲线2222:1x y C a b-=（,0a b >）的左右焦点，12||6F F =，1(0,)B b -，2(0,)B b .（1）若a =，以(3,4)d =-为方向向量的直线l 经过1B ，求2F 到l 的距离； （2）若双曲线C 上存在点P ，使得122PB PB ⋅=-，求实数b 的取值范围.19（2018黄浦二模）. 已知动点(,)M x y 到点(2,0)F 的距离为1d ，动点(,)M x y 到直线3x =的距离为2d，且123d d =. （1）求动点(,)M x y 的轨迹C 的方程；（2）过点F 作直线:(2)(0)l y k x k =-≠交曲线C 于P 、Q 两点，若△OPQ 的面积OPQ S ∆=(O 是坐标系原点)，求直线l 的方程.19（2018金山二模）. 已知椭圆22:143x y Γ+=的右焦点为F ，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆Γ交于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点（点A 在x 轴上方），点A 关于坐标原点的对称点为P ，直线PA 、PB 分别交直线:4l x =于M 、N 两点，记M 、N 两点的纵坐标分别为M y 、N y .（1）求直线PB 的斜率（用k 表示）；（2）求点M 、N 的纵坐标M y 、N y （用1x 、1y 表示）， 并判断M N y y ⋅是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由.19（2018青浦二模）. 已知椭圆2222:1x yCa b+=（0a b>>）的一个顶点坐标为(2,0)A，且长轴长是短轴长的两倍.（1）求椭圆C的方程；（2）过点(1,0)D且斜率存在的直线交椭圆于G、H，G关于x轴的对称点为G'，求证：直线G H'恒过定点(4,0).19（2018浦东二模）. 已知双曲线22:1C x y-=.（1）求以右焦点为圆心，与双曲线C的渐近线相切的圆的方程；（2）若经过点(0,1)P-的直线与双曲线C的右支交于不同两点M、N，求线段MN的中垂线l在y轴上截距t的取值范围.19（2018普陀二模）. 某市为改善市民出行，大力发展轨道交通建设，规划中的轨道交通s号线线路示意图如图所示，已知M、N是东西方向主干道边两个景点，P、Q是南北方向主干道边两个景点，四个景点距离城市中心O均为52km，线路AB段上的任意一点到景点N的距离比到景点M的距离都多10km，线路BC段上的任意一点到O的距离都相等，线路CD段上的任意一点到景点Q的距离比到景点P的距离都多10km，以O为原点建立平面直角坐标系xOy.（1）求轨道交通s号线线路示意图所在曲线的方程；（2）规划中的线路AB段上需建一站点G到景点Q的距离最近，问如何设置站点G的位置？20（2018奉贤二模）. 设复平面上点Z 对应的复数z x yi =+(,)x y ∈∈R R （i 为虚数单位）满足|2||2|6z z ++-=，点Z 的轨迹方程为曲线1C . 双曲线2C :221y x n -=与曲线1C 有共同焦点，倾斜角为4π的直线l 与双曲线2C 的两条渐近线的交点是A 、B ，2OA OB ⋅=，O 为坐标原点. （1）求点Z 的轨迹方程1C ； （2）求直线l 的方程；（3）设△PQR 三个顶点在曲线1C 上，求证：当O 是△PQR 重心时，△PQR 的面积是定值.20（2018松江二模）. 已知椭圆2222:1x y a bΓ+=（0a b >>），其左、右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为B ，O 为坐标原点，过2F 的直线l 交椭圆Γ于P 、Q 两点，1sin BF O ∠=. （1）若直线l 垂直于x 轴，求12||||PF PF 的值； （2）若b =，直线l 的斜率为12，则椭圆Γ上是否存在一点E ，使得1F 、E关于直线l成轴对称？如果存在，求出点E 的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）设直线1:l y =上总存在点M 满足2OP OQ OM +=，当b 的取值最小时，求直线l 的倾斜角α.20（2018虹口二模）. 如果直线与椭圆只有一个交点，称该直线为椭圆的“切线”，已知椭圆22:12x C y +=，点(,)M m n 是椭圆C 上的任意一点，直线l 过点M且是椭圆C 的“切线”.（1）证明：过椭圆C 上的点(,)M m n 的“切线”方程是12mxny +=； （2）设A 、B 是椭圆C 长轴上的两个端点，点(,)M m n 不在坐标轴上，直线MA 、MB 分别交y 轴于点P 、Q ，过M 的椭圆C 的“切线” l 交y 轴于点D ，证明：点D 是线段PQ 的中点；（3）点(,)M m n 不在x 轴上，记椭圆C 的两个焦点分别为1F 和2F ，判断过M 的椭圆C 的“切线” l 与直线1MF 、2MF 所成夹角是否相等？并说明理由.20（2018宝山二模）. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2212723x y +=的右焦点为双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的右顶点，直线210x y ++=与C 的一条渐近线平行.（1）求C 的方程；（2）如图，1F 、2F 为C 的左右焦点，动点00(,)P x y （01y ≥）在C 的右支上，且12F PF ∠的平分线与x 轴、y 轴分别交于点(,0)M m （55m -<<）、N ，试比较m 与2的大小，并说明理由；（3）在（2）的条件下，设过点1F 、N 的直线l 与C 交于D 、E 两点，求2F DE ∆的面积最大值.20（2018杨浦二模）. 已知椭圆222:9x y m Ω+=(0)m >，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与Ω有两 个交点A 、B ，线段AB 的中点为M .（1）若3m =，点K 在椭圆Ω上，1F 、2F 分别为椭圆的两个焦点，求12KF KF ⋅的范围；（2）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（3）若l 过点(,)3mm ，射线OM 与Ω交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．20（2018长嘉二模）. 已知椭圆2222:1x y a bΓ+=（0a b >>）的焦距为(0,2)P 关于直线y x =-的对称点在椭圆Γ上. （1）求椭圆Γ的方程；（2）如图，过点P 的直线l 与椭圆Γ交于两个不同的点C 、D （点C 在点D 的上方），试求COD ∆面积的最大值；（3）若直线m 经过点(1,0)M ，且与椭圆Γ交于两个不同的点A 、B ，是否存在直线00:l x x =（其中02x >），使得A 、B 到直线0l 的距离A d 、B d 满足||||A B d MA d MB =恒成立？若存在，求出0x 的值；若不存在，请说明理由.20（2018青浦二模）. 如图，A 、B 是椭圆22:12x C y +=长轴的两个端点，M 、N是椭圆上与A 、B 均不重合的相异两点，设直线AM 、BN 、AN 的斜率分别是1k 、2k 、3k . （1）求23k k ⋅的值；（2）若直线MN 过点2，求证：1316k k ⋅=-； （3）设直线MN 与x 轴的交点为(,0)t （t 为常数且0t ≠），试探究直线AM 与直线BN 的交点Q 是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由.。
2018年上海市高考数学·二模汇编 立体几何
主视图 左视图俯视图（第7题图）2018届高中数学·二模汇编 立体几何一、填空题：1、将圆心角为23，面积为3的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为____________． 2、三棱锥P ABC 及其三视图中的主视图和左视图如下所示，则棱PB 的长为____________．3、已知半径为2R 和R 的两个球，则大球和小球的体积比为4、已知圆锥的母线长为5，侧面积为15π，则此圆锥的体积为 （结果保留π）．5、若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为3,3,2的三角形，则该圆锥的体积是 ．6、已知长方体的表面积为452，棱长的总和为24. 则长方体的体对角线与棱所成角的最大值为 7、长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为α、β、γ，则222cos cos cos αβγ++=8、如图，长方体1111ABCD A B C D -的边长11AB AA ==，2AD =O ，则A 、1A 这两点的球面距离等于9、记球O 1和O 2的半径、体积分别为r 1、V 1和r 2、V 2，若12827V V =，则12r r = 10、若一个球的体积为323π，则该球的表面积为_______ 11、若一圆锥的底面半径为3，体积是12π，则该圆锥的侧面积等于 12、若球的表面积为100π，平面α与球心的距离为3，则平面α截球所得的圆面面积为13、一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(0,0,0)、(1,0,1)、(0,1,1)、(1,1,0)，则该四面体的体积为23314、如图所示，一个圆柱的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个圆柱的体积为__________．二、选择题：15、如图所示的几何体，其表面积为(5π+，下部圆柱的底面直径与该圆柱的高相等，则该几何体的主视图的面积为 （ ）)A (4 ()B 6 ()C 8 ()D 1016、如图，点A 、B 、C 分别在空间直角坐标系O xyz -的三条坐标轴上，(0,0,2)OC =，平面ABC 的法向量为(2,1,2)n =，设二面角C AB O --的大小为θ，则cos θ=（ ） A. 43B. C. 23 D. 23- 17、在空间中，“直线m ⊥平面α”是“直线m 与平面α内无穷多条直线都垂直 ”的 ( )(A )充分非必要条件 (B )必要非充分条件(C )充要条件 (D )非充分非必要条件三、解答题：18、已知圆锥AO 的底面半径为2，母线长为C 为圆锥底面圆周上的一点，O 为圆心，D 是AB 的中点，且2BOC π∠=.（1）求圆锥的全面积；（2）求直线CD 与平面AOB 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）N M D 1C 1B 1A 1DC BA 19、如图在长方体1111D CB A ABCD -中，2AB =，4AD =，1AC ，点M 为AB 的中点，点N 为BC 的中点．（1）求长方体1111D C B A ABCD -的体积；（2）求异面直线M A 1与N B 1所成角的大小（用反三角函数表示）．20、如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱AB 上的动点.（1）求证：11DA ED ⊥；（2）若直线1DA 与平面1CED 所成的角是45，请你确定点E 的位置，并证明你的结论.A B C DA 1B 1C 1D 1E21、如图，在正四棱锥P ABCD -中，PA AB ==E ，F 分别为PB ，PD 的中点．（1）求正四棱锥P ABCD -的全面积；（2）若平面AEF 与棱PC 交于点M ，求平面AEM F 与平面ABCD 所成锐二面角的大小（用反三角函数值表示）．22、在四棱锥P –ABCD 中，底面ABCD 是边长为6的正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD =8．(1) 求PB 与平面ABCD 所成角的大小；(2) 求异面直线PB 与DC 所成角的大小．23、如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是AB 、1CC 的中点.（1）求三棱锥E DFC -的体积；（2）求异面直线1A E 与1D F 所成的角的大小.P AB C D第17题图24、如图，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，1AB AC ==，2BAC π∠=，高等于3，点1M 、2M 、1N 、2N 为所在线段的三等分点.（1）求此三棱柱的体积和三棱锥112A AM N -的体积；（2）求异面直线12A N 、1AM 所成的角的大小.25、在四棱锥P ABCD -中，PA ABCD ⊥平面，,,1,AB AD BC AD BC ⊥=02,45CD CDA =∠=．(1)画出四棱锥P ABCD -的主视图；(2)若PA BC =，求直线PB 与平面PCD 所成角的大小．(结果用反三角函数值表示)26、如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，90,//,2BAD AD BC AB ，1AD ，4PA BC，PA 平面ABCD ．（1）求异面直线BD 与PC 所成角的大小；（2）求二面角A PC D 的余弦值．27、已知几何体BCED A -的三视图如图所示，其中左视图和俯视图都是腰长为4的等腰直角三角形，主视图为直角梯形．（1）求几何体BCED A -的体积；（2）求直线CE 与平面AED 所成角的大小．28、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，BC AD ∥，AB BC ⊥， 45ADC ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，1AB AP ==，3AD =．（1）求异面直线PB 与CD 所成角的大小；（2）求点D 到平面PBC 的距离．A BCDP。
上海市静安区达标名校2018年高考二月数学模拟试卷含解析
上海市静安区达标名校2018年高考二月数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知0a b >>，椭圆1C 的方程22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，1C 和2C 的离心率之积为32，则2C 的渐近线方程为（ ） A ．20x y ±=B ．20x y ±=C ．20x y ±=D ．20x y ±=2．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若201820202019S S S <<，设12n n n n b a a a ++=，则数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T 取最大值时n 的值为( ) A ．2020B ．20l9C ．2018D ．20173．函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图像大致为 A ． B ．C ．D ．4．已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）． A ．122B ．112C ．102D ．925．已知椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）与双曲线222212x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的焦点相同，则双曲线渐近线方程为（ ） A ．33y x =±B ．3y x =C ．22y x =±D ．2y x =±6．已知双曲线22221x y a b-=的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为（ ）A ．43B ．53C ．54D ．327．甲乙丙丁四人中，甲说：我年纪最大，乙说：我年纪最大，丙说：乙年纪最大，丁说：我不是年纪最大的，若这四人中只有一个人说的是真话，则年纪最大的是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁8．若()()613x a x -+的展开式中3x 的系数为-45，则实数a 的值为（ ） A ．23B ．2C ．14D ．139．已知()5x a +展开式的二项式系数和与展开式中常数项相等，则2x 项系数为（ ） A ．10B ．32C ．40D ．8010．某人用随机模拟的方法估计无理数e 的值，做法如下：首先在平面直角坐标系中，过点1,0A 作x 轴的垂线与曲线xy e =相交于点B ，过B 作y 轴的垂线与y 轴相交于点C （如图），然后向矩形OABC 内投入M 粒豆子，并统计出这些豆子在曲线xy e =上方的有N 粒()N M <，则无理数e 的估计值是（ ）A ．NM N-B ．MM N-C ．M NN- D ．M N11．元代数学家朱世杰的数学名著《算术启蒙》是中国古代代数学的通论，其中关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.下图是源于其思想的一个程序图，若32a =，12b =，则输出的n =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．612．若0.60.5a ＝,0.50.6b ＝,0.52c ＝,则下列结论正确的是( ) A ．b c a >>B ．c a b >>C ．a b c >>D ．c b a >>二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2018年上海市金山区高考数学二模试卷
4.【答案】B
【解析】
【分析】 本题考查了二项式定理的应用问题,解题时应根据多项式相乘原理求出某项
的系数,是基础题目.根据题意,
=a0+a1x+a2x2+…+anxn+…化为
,, 【解答】 解:对任意
即
,利用系数相等,列出方程,求出 , ,, 的值计算即可.
时,都有
=a0+a1x+a2x2+…+anxn+…，
【解答】 解：∵口袋中装有大小相同的 3 个黑球，2 个白球， 分别计为 A，B，C，1，2， 则任取两个球共有：（A，B），（A，C），（A，1），（A，2）、（B，C），（B，1），（B，
2），（C，1），（C，2），（1，2）共 10 种， 其中恰有一个白球共有（A，1），（A，2），（B，1），（B，2），（C，1），（C，2），共
副标题
题号 得分
一
二
三
总分
一、选择题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 1. 若向量푎⃗=(2, 0)，푏⃗=(1, 1)，则下列结论中正确的是( )．
A.
⃗
푎
⋅
푏⃗=1
B. |푎⃗|=|푏⃗|
C. (푎⃗−푏⃗)⊥푏⃗
⃗⃗
D. 푎∥푏
2. 椭圆的参数方程为{ 푥푦 == 53csoins휃휃 (θ 为参数)，则它的两个焦点坐标是( )．
根据题意得到二元线性方程组的表达式
，此方程组有唯一一组
解，则两直线
不平行也不重合，求解即可.
【解答】
解：由二元线性方程组的增广矩阵为
，
可得到二元线性方程组的表达式
2018年上海市宝山区高考数学二模试卷含详解
2018年上海市宝山区高考数学二模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）设全集U=R，若集合A={0，1，2}，B={x|﹣1＜x＜2}，A∩（∁U B）= 2．（4分）设抛物线的焦点坐标为（1，0），则此抛物线的标准方程为3．（4分）某次体检，8 位同学的身高（单位：米）分别为1.68，1.71，1.73，1.63，1.81，1.74，1.66，1.78，则这组数据的中位数是（米）4．（4分）函数f （x）=2sin 4x cos 4x 的最小正周期为5．（4分）已知球的俯视图面积为π，则该球的表面积为6．（4分）若线性方程组的增广矩阵为的解为，则c1+c2=7．（5分）在报名的8 名男生和5 名女生中，选取6 人参加志愿者活动，要求男、女都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）8．（5分）设无穷数列{a n}的公比为q，则a2=（a4+a5+⋅⋅⋅+a n），则q=9．（5分）若A、B 满足P（A）=，P（B）=，P（AB）=，则P（B）﹣P（A）=10．（5分）奇函数f（x）定义域为R，当x＞0时，f（x）=x+﹣1（这里m为正常数），若f（x）≤m﹣2对一切x≤0成立，则m的取值范围是11．（5分）如图，已知O为矩形P1P2P3P4内的一点，满足OP1=4，OP3=5，P1P3=7，则⋅的值为12．（5分）将实数x、y、z 中的最小值记为min{x，y，z}，在锐角△POQ种，且∠POQ=60°，PQ=1，点T 在△POQ 的边上或内部运动，且TO=min{TP，TO，TQ}，由T 所组成的图形为M，设△POQ、M 的面积为S△POQ、S M，若S M：（S﹣S M）=1：2，则S M=△POQ二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）“sin x=”是“x=”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要14．（5分）在（﹣x）6的二项展开式中，常数项等于（）A．﹣160B．160C．﹣150D．15015．（5分）若函数f （x）（x∈R）满足f （﹣1+x）、f （1+x）均为奇函数，则下列四个结论正确的是（）A．f （﹣x）为奇函数B．f （﹣x）为偶函数C．f （x+3）为奇函数D．f （x+3）为偶函数16．（5分）对于数列x1，x2，⋅⋅⋅若使得m﹣x n＞0对一切n∈N*成立的m的最小值存在，则称该最小值为此数列的“准最大项”，设函数f（x）=x+sinx（x∈R）及数列y1，y2，⋅⋅⋅且y1=6y0（y0∈R），若（n∈N*），则当y0=1时，下列结论正确的应为（）A．数列y1，y2，⋅⋅⋅的“准最大项”存在，且为2πB．数列y1，y2，⋅⋅⋅的“准最大项”存在，且为3πC．数列y1，y2，⋅⋅⋅的“准最大项”存在，且为4πD．数列y1，y2，⋅⋅⋅的“准最大项”不存在三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，AD=3，PA=AB=4，点E在侧棱PA上，且AE=1，F为侧棱PC的中点．（1）求三棱锥E﹣ABD的体积；（2）求异面直线CE与DF所成角的大小．18．（14分）设z+1为关于x 的方程x2+mx+n=0，m，n∈R的虚根，i为虚数单位．（1）当z=﹣1+i 时，求m、n 的值；（2）若n=1，在复平面上，设复数z 所对应的点为P，复数2+4i 所对应的点为Q，试求|PQ|的取值范围．19．（14分）某渔业公司最近开发的一种新型淡水养虾技术具有方法简便且经济效益好的特点，研究表明：用该技术进行淡水养虾时，在一定的条件下，每尾虾的平均生长速度为g（x）（单位：千克/年）养殖密度为x，x＞0 （单位：尾/立方分米），当x 不超过4 时，g（x）的值恒为2；当4≤x≤20，g（x）是x 的一次函数，且当x 达到20 时，因养殖空间受限等原因，g （x）的值为0．（1）当0＜x≤20 时，求函数g（x）的表达式；（2）在（1）的条件下，求函数f（x）=x⋅g（x）的最大值．20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆=1的右焦点为双曲线C：（a＞0，b＞0）的右顶点，直线x+2y+1=0与C的一条渐近线平行．（1）求C的方程；（2）如图，F1、F2为C的左右焦点，动点P（x0，y0）（y0≥1）在C的右支上，且∠F1PF2的平分线与x轴、y轴分别交于点M（m，0）（＜m＜）、N，试比较m与的大小，并说明理由；（3）在（2）的条件下，设过点F 1、N 的直线l 与C 交于D 、E 两点，求△F 2DE 的面积最大值．21．（18分）设f （k ，t ）（x ）=（这里的k ，t ，x ∈R 且x ≠0）（1）f （1，2）（1），f （2，2）（x ），f （1，3）（3）成等差数列，求x 的值；（2）已知，n ∈N 是公比为的等比数列，x 1，x 5∈N*是否存在正整数u ，使x 1≥u 4，且x 5≤（u +1）4？若存在，求出u 的值，若不存在，请说明理由；（3）如果存在正常数M ，使得|y n |≤M 对于一切n ∈N*的成立，那么称数列{y n }有界，已知a ＞0，m 为正偶数，数列{x }满足x 1=b ＜0，且x n +1=，n ∈N*，证明：数列{x n }有界的充要条件是ab m ﹣1+2≥0．2018年上海市宝山区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）设全集U=R，若集合A={0，1，2}，B={x|﹣1＜x＜2}，A∩（∁U B）= {2}【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【专题】11：计算题；37：集合思想；49：综合法；5J：集合．【分析】进行交集和补集的运算即可．【解答】解：∁U B={x≤﹣1，或x≥2}；∴A∩（∁U B）={2}．故答案为：{2}．【点评】考查描述法、列举法表示集合的概念，以及交集、补集的运算．2．（4分）设抛物线的焦点坐标为（1，0），则此抛物线的标准方程为y2=4x 【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题；34：方程思想；5O：排列组合．【分析】根据题意，由抛物线的焦点坐标分析可得抛物线的开口方向，则可以设其方程为y2=2px，由抛物线的性质可得=1，解可得p的值，将p的值代入抛物线的方程即可得答案．【解答】解：根据题意，抛物线的焦点坐标为（1，0），则抛物线开口向右，设其方程为y2=2px，又由其焦点坐标为（1，0），则有=1，解可得p=2，则抛物线的标准方程为y2=4x；故答案为：y2=4x．【点评】本题考查抛物线的标准方程，注意分析抛物线的开口的方向．3．（4分）某次体检，8 位同学的身高（单位：米）分别为1.68，1.71，1.73，1.63，1.81，1.74，1.66，1.78，则这组数据的中位数是 1.72（米）【考点】BB：众数、中位数、平均数．【专题】38：对应思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】根据一组数据的中位数定义求出它的中位数．【解答】解：8位同学的身高按从小到大的顺序排列为1.63，166，1.68，1.71，1.73，1.74，1.78，1.81；则这组数据的中位数是×（1.71+1.73）=1.72．故答案为：1.72．【点评】本题考查了中位数的定义与应用问题，是基础题．4．（4分）函数f （x）=2sin 4x cos 4x 的最小正周期为【考点】H1：三角函数的周期性．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；57：三角函数的图像与性质．【分析】利用二倍角的正弦函数公式可得f（x）=sin8x，进而利用三角函数周期公式即可得解．【解答】解：∵f（x）=2sin4xcos4x=sin8x，∴f （x）的最小正周期T==．故答案为．【点评】本题主要考查了二倍角的正弦函数公式，三角函数周期公式的应用，考查了转化思想，属于基础题．5．（4分）已知球的俯视图面积为π，则该球的表面积为4π【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】35：转化思想；5U：球．【分析】直接利用球的三视图和表面积公式求出结果．【解答】解：由于球的俯视图面积为π，则：π=πr2，解得球的大圆半径为1，故球的表面积为：S=4πr2=4π．故答案为：4π．【点评】本题考查的知识要点：三视图的应用，球的表面积公式的应用．6．（4分）若线性方程组的增广矩阵为的解为，则c1+c2=9【考点】OC：几种特殊的矩阵变换．【专题】35：转化思想；4R：转化法；5R：矩阵和变换．【分析】根据增广矩阵求得方程组，代入即可求得c1，c2，即可求得答案．【解答】解：由线性方程组的增广矩阵为，则，由，解得：，∴c1+c2=9，故答案为：9．【点评】本题考查方程组的增广矩阵的应用，考查转化思想，属于基础题．7．（5分）在报名的8 名男生和5 名女生中，选取6 人参加志愿者活动，要求男、女都有，则不同的选取方式的种数为1688（结果用数值表示）【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】11：计算题；35：转化思想；5O：排列组合．【分析】根据题意，用间接法分析：先用组合数公式计算从8名男生和5名女生共13人中选取6人的取法数目，排除其中只有男生和只有女生的情况数目，即可得答案．【解答】解：根据题意，用间接法分析：从8名男生和5名女生共13人中选取6人，有C136=1716种取法，其中只有男生的取法有C86=28种，没有只有女生的取法，则男、女都有选取方式有1716﹣28=1688种；故答案为：1688．【点评】本题考查排列、组合的应用，注意正面分析涉及分类较多，要用间接法分析．8．（5分）设无穷数列{a n}的公比为q，则a2=（a4+a5+⋅⋅⋅+a n），则q=【考点】89：等比数列的前n项和．【专题】11：计算题；34：方程思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．【分析】推导出a1q=[﹣]，从而|q|＜1，，由此能求出结果．【解答】解：∵无穷数列{a n}的公比为q，a2=（a4+a5+⋅⋅⋅+a n），∴a1q=[﹣]，∴|q|＜1，，由q≠0，整理，得q2+q﹣1=0，由|q|＜1，解得．故答案为：．【点评】本题考查等比数列的公比的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．9．（5分）若A、B 满足P（A）=，P（B）=，P（AB）=，则P（B）﹣P（A）=【考点】C2：概率及其性质；CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】推导出P（AB）=P（A）P（B），从而P（B）﹣P（A）=P（）P（B）﹣P（A）P（），由此能求出结果．【解答】解：∵A、B 满足P（A）=，P（B）=，P（AB）=，∴P（AB）=P（A）P（B），∴P（B）﹣P（A）=P（）P（B）﹣P（A）P（）==．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．10．（5分）奇函数f（x）定义域为R，当x＞0时，f（x）=x+﹣1（这里m为正常数），若f（x）≤m﹣2对一切x≤0成立，则m的取值范围是{m|m≥1}【考点】3R：函数恒成立问题．【专题】35：转化思想；51：函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性的对称性求出当x≤0时的解析式，利用基本不等式的性质求出函数f（x）的最值即可得到结论【解答】解：若x＜0，则﹣x＞0，∵当x＞0时，f （x）=x+﹣1∴当x＜0时，f（﹣x）=﹣x﹣﹣1y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）即f（x）=x++1．当x=0时，f（0）=0，满足f（x）≤m﹣2，可得：m≥2．当x＜0时，f（x）=x++1≤1﹣2=1﹣2m．若f（x）≤m﹣2对一切x≤0成立，则1﹣2m≤m﹣2，解得：m≥1综上可得：m≥1．故答案为：{m|m≥1}【点评】本题主要考查函数恒成立问题，根据函数的奇偶性求出函数的解析式，以及利用基本不等式求出最小值是解决本题的关键11．（5分）如图，已知O为矩形P1P2P3P4内的一点，满足OP1=4，OP3=5，P1P3=7，则⋅的值为﹣4【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】31：数形结合；44：数形结合法；5A：平面向量及应用．【分析】建立坐标系，根据条件列方程得出各点坐标的关系，从而得出⋅的值．【解答】解：以P1为原点建立平面坐标系如图所示：设P2（a，0），P4（0，b），O（x，y），则P3（a，b），=（a﹣x，﹣y），=（﹣x，b﹣y），∵OP1=4，OP3=5，P1P3=7，∴，整理可得ax+by=20．∴⋅=﹣x（a﹣x）﹣y（b﹣y）=x2+y2﹣（ax+by）=16﹣20=﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题，12．（5分）将实数x、y、z 中的最小值记为min{x，y，z}，在锐角△POQ种，且∠POQ=60°，PQ=1，点T 在△POQ 的边上或内部运动，且TO=min{TP，TO，TQ}，由T 所组成的图形为M，设△POQ、M 的面积为S△POQ、S M，若S M：（S﹣S M）=1：2，则S M=△POQ【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【专题】35：转化思想；48：分析法；58：解三角形．=3S M，考虑三角形POQ为等边三角形，且边长为1，【分析】由题意可得S△POQ由三角形的面积公式可得所求值．【解答】解：S M：（S△POQ﹣S M）=1：2，﹣S M=2S M，可得S△POQ=3S M，即有S△POQ考虑三角形POQ为等边三角形，且边长为1，可得S M=S△POQ=××12=，故答案为：．【点评】本题考查三角形的面积的求法，注意运用三角形的特殊情况：等边三角形，考查运算能力，属于中档题．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）“sin x=”是“x=”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】36：整体思想；4O：定义法；5L：简易逻辑．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：当x=时，sinx=sin=，当x=时，满足sinx=，则x=不成立，即“sin x=”是“x=”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合三角函数的公式是解决本题的关键．14．（5分）在（﹣x）6的二项展开式中，常数项等于（）A．﹣160B．160C．﹣150D．150【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；34：方程思想；4A：数学模型法；5P：二项式定理．【分析】写出二项展开式的通项，由x的指数为0求得r值，则答案可求．【解答】解：由，由2r﹣6=0，得r=3．∴在（﹣x）6的二项展开式中，常数项等于．故选：A．【点评】本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．15．（5分）若函数f （x）（x∈R）满足f （﹣1+x）、f （1+x）均为奇函数，则下列四个结论正确的是（）A．f （﹣x）为奇函数B．f （﹣x）为偶函数C．f （x+3）为奇函数D．f （x+3）为偶函数【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】35：转化思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】根据奇函数的性质，首先由奇函数性质求f（x）的周期，然后利用此周期推导选择项【解答】解：∵f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，∴函数f（x）关于点（1，0）及点（﹣1，0）对称，∴f（x）+f（2﹣x）=0，f（x）+f（﹣2﹣x）=0，故有f（2﹣x）=f（﹣2﹣x），函数f（x）是周期T=[2﹣（﹣2）]=4的周期函数．∴f（﹣x﹣1+4）=﹣f（x﹣1+4），f（﹣x+3）=﹣f（x+3），f（x+3）是奇函数．故选：C．【点评】本题主要考查奇函数性质的灵活运用，并考查函数周期的求法16．（5分）对于数列x1，x2，⋅⋅⋅若使得m﹣x n＞0对一切n∈N*成立的m的最小值存在，则称该最小值为此数列的“准最大项”，设函数f（x）=x+sinx（x∈R）及数列y1，y2，⋅⋅⋅且y1=6y0（y0∈R），若（n∈N*），则当y0=1时，下列结论正确的应为（）A．数列y1，y2，⋅⋅⋅的“准最大项”存在，且为2πB．数列y1，y2，⋅⋅⋅的“准最大项”存在，且为3πC．数列y1，y2，⋅⋅⋅的“准最大项”存在，且为4πD．数列y1，y2，⋅⋅⋅的“准最大项”不存在【考点】8K：数列与不等式的综合．【专题】23：新定义；35：转化思想；48：分析法；51：函数的性质及应用．【分析】首先求得y1，y2，y3的范围，运用导数判断f（x）的单调性，考虑当n ≥3时，数列{y n}的单调性，即可得到所求m的最小值．【解答】解：y1=6y0（y0∈R），若（n∈N*），当y0=1，可得y1=6，y2=f（6）=6+sin6＜y1，y3=f（y2+）﹣=y2++sin（y2+）﹣=y2+cosy2∈（2π，3π），由f（x）=x+sinx的导数为f′（x）=1+cosx≥0，可得f（x）在R上递增，当x∈（2π，3π），2π＜x＜x+sinx＜f（3π）=3π，可得当n≥3时，y n＜y n+1＜3π，可得m≥3π，数列y1，y2，⋅⋅⋅的“准最大项”存在，且为3π，故选：B．【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查导数的运用：判断单调性，以及三角函数的图象和性质，属于难题．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，AD=3，PA=AB=4，点E在侧棱PA上，且AE=1，F为侧棱PC的中点．（1）求三棱锥E﹣ABD的体积；（2）求异面直线CE与DF所成角的大小．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5I：概率与统计．【分析】（1）S==6，三棱锥E﹣ABD 的体积V=．△ABD（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线CE 与DF 所成角的大小．【解答】解：（1）∵底面ABCD 为矩形，PA⊥底面ABCD，AD=3，PA=AB=4，点E 在侧棱PA 上，且AE=1，===6，∴S△ABD∴三棱锥E﹣ABD 的体积V===2．（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，C（4，3，0），E（0，0，1），D（0，3，0），P（0，0，4），F（2，，2），=（﹣4，﹣3，1），=（2，﹣，2），设异面直线CE 与DF 所成角为θ，则cosθ===，∴θ=arccos．∴异面直线CE 与DF 所成角的大小为．【点评】本题考查几何体的体积的求法，考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．18．（14分）设z+1为关于x 的方程x2+mx+n=0，m，n∈R的虚根，i为虚数单位．（1）当z=﹣1+i 时，求m、n 的值；（2）若n=1，在复平面上，设复数z 所对应的点为P，复数2+4i 所对应的点为Q，试求|PQ|的取值范围．【考点】A5：复数的运算．【专题】34：方程思想；56：三角函数的求值；5N：数系的扩充和复数．【分析】（1）由z=﹣1+i，可得z+1=i，可得方程x2+mx+n=0的两根分别为i，﹣i．利用根与系数的关系可得，解出m，n．（2）设z=a+bi（a，b∈R），可得=a+1﹣bi．由题意可得：（z+1）=（a+1）2+b2=1．令a+1=cosθ，b=sinθ，θ∈[0，2π）．|PQ|=，化简即可得出．【解答】解：（1）∵z=﹣1+i，∴z+1=i，则方程x2+mx+n=0的两根分别为i，﹣i．由根与系数的关系可得，即m=0，n=1；（2）设z=a+bi（a，b∈R），则==a+1﹣bi．由题意可得：（z+1）=（a+1）2+b2=1．令a+1=cosθ，b=sinθ，θ∈[0，2π）．|PQ|==∈[4，6]．【点评】本题考查实系数一元二次方程的根与系数的关系、共轭复数的性质、三角函数求值、复数的几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（14分）某渔业公司最近开发的一种新型淡水养虾技术具有方法简便且经济效益好的特点，研究表明：用该技术进行淡水养虾时，在一定的条件下，每尾虾的平均生长速度为g（x）（单位：千克/年）养殖密度为x，x＞0 （单位：尾/立方分米），当x 不超过4 时，g（x）的值恒为2；当4≤x≤20，g（x）是x 的一次函数，且当x 达到20 时，因养殖空间受限等原因，g （x）的值为0．（1）当0＜x≤20 时，求函数g（x）的表达式；（2）在（1）的条件下，求函数f（x）=x⋅g（x）的最大值．【考点】5C：根据实际问题选择函数类型．【专题】38：对应思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】（1）利用待定系数法求出g（x）在[4，20]上的解析式，从而得出g（x）的解析式；（2）判断f（x）的单调性，根据单调性求出f（x）的最大值．【解答】解：（1）当4≤x≤20时，设g（x）=kx+b，由条件可知，解得：，∴g（x）=．（2）f（x）=，∴f（x）在[0，10）上单调递增，在（10，20]上单调递减，∴f（x）的最大值为f（10）=．【点评】本题考查了分段函数的解析式，分段函数的最值计算，属于中档题．20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆=1的右焦点为双曲线C：（a＞0，b＞0）的右顶点，直线x+2y+1=0与C的一条渐近线平行．（1）求C的方程；（2）如图，F1、F2为C的左右焦点，动点P（x0，y0）（y0≥1）在C的右支上，且∠F1PF2的平分线与x轴、y轴分别交于点M（m，0）（＜m＜）、N，试比较m与的大小，并说明理由；（3）在（2）的条件下，设过点F1、N的直线l与C交于D、E两点，求△F2DE 的面积最大值．【考点】K4：椭圆的性质；KM：直线与双曲线的综合．【专题】35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）根据椭圆的方程，即可求得双曲线的顶点坐标，利用直线的斜率及双曲线的性质，即可求得双曲线的方程；（2）根据双曲线的方程，求得焦点坐标，分别求得PF1，PF1方程，根据角平分线的性质，即可求得x0≥2，m=，即可求得m≤；（3）将直线方程代入双曲线方程，根据韦达定理及三角形的面积公式，换元及二次函数的性质，即可求得△F2DE 的面积最大值．【解答】解：（1）∵椭圆的右焦点为（2，0）为双曲线C：（a＞0，b＞0 ）的右顶点，∴a=2，∵直线x+2y+1=0与C的一条渐近线平行，∴﹣=﹣，∴b=1，∴双曲线的方程为为﹣y2=1，（2）m≤，理由如下：F1、F2为C 的左右焦点，F1（﹣，0），F2（，0），直线PF1方程为y=（x+），直线PF2方程为y=（x﹣），即直线PF1方程为y0x﹣（x0+）y+y0=0，直线PF2方程为y0x﹣（x0﹣）y﹣y0=0，由点M（m，0）在∠F1PF2的平分线上，得=，由﹣＜m＜，y0＞1，以及y02=x02﹣1，解得x0≥2，∴y02+（x0+）2=x02+2x0+4=（x0+2）2，∴=，解得m=，结合x0≥2，则0＜≤∴m≤；（3）由（2）可知：直线PM的方程为：y﹣（x﹣），令x=0，得y=﹣=﹣，故点N（0，﹣），k==﹣，由，消去x得（5y02﹣4）y2+10y0y+1=0，△=100y02﹣4（5y02﹣4）=80y02+16＞0，设D（x1，y1），E（x2，y2），则y1+y2=﹣，y1y2=，|y 1﹣y 2|==，由y 0≥1，y 1+y 2=﹣＜0，y 1y 2=＞0，∴y 1＜0，y 2＜0，△F 2DE 的面积S=﹣=|F 1F 2|×|y 1﹣y 2|=×2×，设5y 02﹣4=5，t ≥1，则△F 2DE 的面积S=4×=4×=4×，∴t=1时，即P 为（2，1）时，△F 2DE 的面积最大值为4．【点评】本题考查椭圆的方程，双曲线的标准方程，直线与双曲线的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及二次函数的性质，考查计算能力，属于难题．21．（18分）设f （k ，t ）（x ）=（这里的k ，t ，x ∈R 且x ≠0）（1）f （1，2）（1），f （2，2）（x ），f （1，3）（3）成等差数列，求x 的值；（2）已知，n ∈N 是公比为的等比数列，x 1，x 5∈N*是否存在正整数u ，使x 1≥u 4，且x 5≤（u +1）4？若存在，求出u 的值，若不存在，请说明理由；（3）如果存在正常数M ，使得|y n |≤M 对于一切n ∈N*的成立，那么称数列{y n }有界，已知a ＞0，m 为正偶数，数列{x }满足x 1=b ＜0，且x n +1=，n ∈N*，证明：数列{x n }有界的充要条件是ab m ﹣1+2≥0．【考点】6E ：利用导数研究函数的最值．【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用．【分析】（1）分别求出f （1，2）（1）=1，，f （1，3）（3）=2，由f （1，2）（1），f （2，2）（x ），f （1，3）（3）成等差数列，能求出x ．（2）设x 1=16k ，k ∈N *，x 5=81k ，，从而，，进而，，由此能求出μ．（3）求出x n +1==a +b ，当b ＜0且m 为偶数时，如果ab m ﹣1+2＜0，则ab m +b ＞﹣b ＞0，推导出数列{x n }中相邻两项的差距越来越大，是无界的．若ab m ﹣1+2≥0，用数学归纳法证明数列{x n }的每一项都落在区间[b ，﹣b ]，从而b=a•0m +b+b ≤﹣b ，由此能证明数列{x n }有界的充要条件是ab m ﹣1+2≥0． 【解答】解：（1）∵f （k ，t ）（x ）=（这里的k ，t ，x ∈R 且x ≠0）， ∴f （1，2）（1）=1，，f （1，3）（3）=2， ∵f （1，2）（1），f （2，2）（x ），f （1，3）（3）成等差数列， ∴=，解得x=4．（2）∵，=∈N *，设x 1=16k ，k ∈N *，x 5=81k ， ，∴，， ∴，∴， 解得k=1，∴μ=2．证明：（3）∵a ＞0，m 为正偶数，数列{x }满足x 1=b ＜0， 且x n +1=，n ∈N*， ∴x n +1==a +b ，当b ＜0且m 为偶数时，如果ab m ﹣1+2＜0，则ab m +b ＞﹣b ＞0，∴a（ab m+b）m＞ab m+b＞0，即x3＞x2＞0，利用ax m+b在（0，+∞）上单调递增可知数列{x n}的第一项都比前一项大，并且从第二项起每一项都大于﹣b，考查数列{x n}中的连续三项x n，x n+1，x n+2，n=2，3，…，﹣x n）（m）我们有：（x n+1﹣x n）＞2m（x n+1﹣x n）＞x n+1﹣x n，＞（x n+1这表明数列{x n}中相邻两项的差距越来越大，因此是无界的．若ab m﹣1+2≥0，我们用数学归纳法证明数列{x n}的每一项都落在区间[b，﹣b]，第一项b已经在区间[b，﹣b]中，如果某项x n满足b≤x n≤﹣b，则0，从而b=a•0m+b+b≤﹣b，∴数列{x n}有界的充要条件是ab m﹣1+2≥0．【点评】本题考查实数值的求法，考查数列有界的充要条件的证明，考查导数性质、函数的单调区间、极值、数学归纳法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是难题．。
2018学年上海高三数学二模分类汇编——立体几何
2（2018奉贤二模）. 已知半径为2R 和R 的两个球，则大球和小球的体积比为 4（2018虹口二模）. 长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为α、β、γ，则222cos cos cos αβγ++=5（2018宝山二模）. 已知球的俯视图面积为π，则该球的表面积为5（2018徐汇二模）. 若一个球的体积为323π，则该球的表面积为 5（2018静安二模）. 下图中的三个直角三角形是一个体积为20 cm 3的几何体的三视图，则h =6（2018静安二模）. 如上右图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB uuu r 的坐标为(4,3,2)，则1BD uuu r 的坐标为 6（2018崇明二模）. 已知圆锥的母线长为5，侧面积为15π，则此圆锥的体积为 （结果保留π）6（2018金山二模）. 记球1O 和2O 的半径、体积分别为1r 、1V 和2r 、2V ，若12827V V =，则12r r = 7（2018长嘉二模）. 将圆心角为23π，面积为3π的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为7（2018杨浦二模）. 若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为3、3、2的三角形， 则该圆锥的体积是 7（2018青浦二模）.图是一个直径为1的圆，那么这个圆柱的体积为8（2018徐汇二模）. 若一圆锥的底面半径为3，体积是12π，则该圆锥的侧面积等于8（2018闵行松江二模）. 若球的表面积为100π，平面α与球心的距离为3，则平面α截球所得的圆面面积为8（2018长嘉二模）. 三棱锥P ABC -及其三视图中的主视图和左视图如下所示，则棱PB 的长为9（2018虹口二模）. 如图，长方体1111ABCD A B C D -的边长11AB AA ==，2AD =，它的外接球是球O ，则A 、1A 这两点的球面距离等于10（2018浦东二模）. 一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(0,0,0)、(1,0,1)、(0,1,1)、(1,1,0)，则该四面体的体积为12（2018宝山二模）. 将实数x 、y 、z 中的最小值记为min{,,}x y z ，在锐角60POQ ∆=︒，1PQ =，点T 在POQ ∆的边上或内部运动，且min{,,}TO TP TO TQ =，由T 所组成的图形为M ，设POQ ∆、M 的面积为POQ S ∆、M S ，若:()1:2M POQ M S S S ∆-=，则M S = 13（2018黄浦区黄浦二模）. 空间中，“直线m ⊥平面α”是“直线m 与平面α内无穷多条直线都垂直”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要14（2018闵行松江二模）. 如图，点A 、B 、C 分别在空间直角坐标系O xyz -的三条坐标轴上，(0,0,2)OC =，平面ABC 的法向量为(2,1,2)n =，设二面角C AB O --的大小为θ，则cos θ=（ ）A. 43B.C. 23D. 23-14（2018普陀二模）. 如图所示的几何体，其表面积为(5π，下部圆柱的底面直径与该圆柱的高相等，，则该几何体的主视图的面积为（ ）A. 4B. 6C. 8D. 1015（2018金山二模）. 如图几何体是由五个相同正方体叠成的，其三视图中的左视图序号是（ ）A. （1）B. （2）C. （3）D. （4）16（2018杨浦二模）. 已知长方体的表面积为452，棱长的总和为24. 则长方体的体对角线与棱所成角的最大值为（ ）A. 1arccos 3B. arccos 3C. arccos 9D. 9 17（2018宝山二模）. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，3AD =，4PA AB ==，点E 在侧棱PA 上，且1AE =，F 为侧棱PC 的中点.（1）求三棱锥E ABD -的体积；（2）求异面直线CE 与DF 所成角的大小.17（2018青浦二模）. 如图，在正四棱锥P ABCD -中，PA AB ==E 、F 分别为PB 、PD 的中点.（1）求正四棱锥P ABCD -的全面积；（2）若平面AEF 与棱PC 交于点M ，求平面AEMF 与平面ABCD 所成锐二面角的大小（用反三角函数值表示）.17（2018徐汇二模）. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，4AD =，1AC =，点M 为AB 的中点，点N 为BC 的中点.（1）求长方体1111ABCD A B C D -的体积；（2）求异面直线1A M 与1B N 所成角的大小.（用反三角函数值表示）.17（2018金山二模）. 四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为6的正方形，PD ⊥平面ABCD ，8PD =.（1）求PB 与平面ABCD 所成角的大小；（2）求异面直线PB 与DC 所成角的大小.17（2018黄浦二模）. 在四棱锥P -ABCD 中，PA ABCD ⊥平面，AB ⊥AD ，BC ∥AD ，1BC =，CD =45CDA ︒∠=.（1）画出四棱锥P -ABCD 的主视图；（2）若PA BC =，求直线PB 与平面PCD所成角的大小. （结果用反三角函数值表示）17（2018普陀二模）. 如图所示的正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为1，侧棱12AA =，点E 在棱1CC上，且1CE CC λ=（0λ>）.（1）当12λ=时，求三棱锥1D EBC -的体积； （2）当异面直线BE 与1D C 所成角的大小为 2arccos 3时，求λ的值.17（2018奉贤二模）. 已知几何体A BCED -的三视图如图所示，其中左视图和俯视图都是腰长为4的等腰直角三角形，主视图为直角梯形.（1）求几何体A BCED -的体积；（2）求直线CE 与平面AED 所成角的大小.17（2018崇明二模）. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，BC ∥AD ，AB BC ⊥，45ADC ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，1AB AP ==，3AD =.（1）求异面直线PB 与CD 所成角的大小；（2）求点D 到平面PBC 的距离.17（2018浦东二模）AO 的底面半径为2，母线长为点C 为圆锥底面圆周上的一点，O 为圆心，D 是AB 的中点，且2BOC π∠=. （1）求圆锥的全面积；（2）求直线CD 与平面AOB 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）17（2018虹口二模）. 如图，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，1AB AC ==，2BAC π∠=，高等于3，点1M 、2M 、1N 、2N 为所在线段的三等分点.（1）求此三棱柱的体积和三棱锥112A AM N -的体积；（2）求异面直线12A N 、1AM 所成的角的大小.17（2018闵松二模）. 如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是AB 、1CC 的中点.（1）求三棱锥E DFC -的体积；（2）求异面直线1A E 与1D F 所成的角的大小.18（2018长嘉二模）. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，90BAD ∠=︒，AD ∥BC ，2AB =，1AD =，4PA BC ==，PA ⊥平面ABCD .（1）求异面直线BD 与PC 所成角的大小；（2）求二面角A PC D --的余弦值.18（2018杨浦二模）. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱AB 上的动点.（1）求证：11DA ED ⊥；（2）若直线1DA 与平面1CED 所成的角是45，请你确定点E 的位置，并证明你的结论.19（2018静安二模）. 如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，AC 与BD 交于点O ，OP ⊥底面ABCD ，点M 为PC 中点，2AC =，1BD =，2OP =.（1）求异面直线AP 与BM 所成角的余弦值；（2）求平面ABM 与平面PAC 所成锐二面角的余弦值.。
2018年上海市静安区高考数学二模试卷(解析版)
17．（14 分）某峡谷中一种昆虫的密度是时间 t 的连续函数（即函数图象不间断）．昆虫密度 C 是指每平方米的昆虫数量，这个 C 的函数表达式为
这里的 t 是从午夜开始的小时
数，m 是实常数，m＝C（8）． （1）求 m 的值； （2）求出昆虫密度的最小值并指出出现最小值的时刻．
cm．
6．（4 分）如图，以长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的顶点 D 为坐标原点，过 D 的三条棱所在的
直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若 的坐标为（4，3，2），则 的坐标为
．
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7．（5 分）方程
的解集为
．
8．（5 分）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在 y 轴上，抛物线上一点 M（a，﹣4）（a＞
0）到焦点 F 的距离为 5．则该抛物线的标准方程为
．
9．（5 分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值
的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图的流程图是秦九韶算法的一个实例．若
输入 n，x 的值分别为 4，2，则输出 q 的值为
．（在算法语言中用“*”表示乘法
运算符号，例如 5*2＝10）
2018 年上海市静安区高考数学二模试卷
一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分）考 生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1．（4 分）已知集合 A＝{1，3，5，7，9}，B＝{0，1，2，3，4，5}，则图中阴影部分集合
用列举法表示的结果是
（1）若 a＝﹣1，解不等式 f（x）≥0；
2018年高三二模汇编——解析几何
2015年高三二模汇编——解析几何一、填空题1.（2015崇明二模文6理6）设直线0132=++y x 和圆22230x y x +--=相交于点A 、B ，则弦AB 的垂直平分线方程是 ． 【答案】0323=--y x ；2.（2015崇明二模文12理11）已知双曲线2212y x -=的焦点为1F 、2F ，点M 在双曲线上且120MF MF ⋅= ，则点M 到x 轴的距离等于 ． 【答案】332； 3. （2015奉贤二模文6理6）以抛物线x y 42=的焦点F 为圆心，与抛物线的准线相切的圆的标准方程为__________．【答案】()4122=+-y x ； 4. （2015奉贤二模理11）关于x 的实系数一元二次方程2240x px -+=的两个虚根1z 、2z ，若1z 、2z 在复平面上对应的点是经过原点的椭圆的两个焦点，则该椭圆的长轴长为__________．【答案】4；5. （2015奉贤二模文13）设12,F F 是曲线()0,012222>>=+n m ny m x 的两个焦点，曲线上一点与12,F F 构成的三角形的周长是16，曲线上的点到1F 的最小距离为2，则=n ____________．【答案】4或5；6. （2015虹口二模文8）已知抛物线22(0)y px p =>的焦点在圆22(1)4x y -+=上，则p =________. 【答案】67. （2015虹口二模理11文11）如图所示，已知12,F F 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点，且122F F =，若以坐标原点O 为圆心，12F F 为直径的圆与该双曲线的左支相交于,A B 两点，且2F AB ∆为正三角形，则双曲线的实轴长为__________.【答案】31-8. （2015虹口二模文13）已知直线1:125150l x y -+=和2:2,l x =-28P y x =点为抛物线上的动点，则1P l 点到直线2l 和直线的距离之和的最小值为_________. 【答案】39．（2015黄浦二模文8理8）已知点(2,3)(1,4)A B --、，则直线AB 的点法向式方程是 ．【答案】7(2)3(3)0 7(1)3(4)0x y x y ++-=-++=也可以是；xy 2F 1F AB O2246510第6题y xA O F B10．（2015黄浦二模文9理9）已知抛物线216y x =的焦点与双曲线2221(0)12x y a a -=>的一个焦点重合，则双曲线的渐近线方程是 ． 【答案】3y x =?；11．（2015静安二模文9）圆22420x y x y +-+=的圆心到直线3430x y ++=的距离为 ． 【答案】1；12.（2015静安二模理9）过圆0422=+-+my x y x 上一点)1,1(P 的切线方程为 ． 【答案】210x y -+=；13.（2015闵行二模理11文11）斜率为22的直线与焦点在x 轴上的椭圆2221(0)y x b b +=>交于不同的两点P 、Q .若点P 、Q 在x 轴上的投影恰好为椭圆的两焦点，则该椭圆的焦距为 .【答案】2；14.（2015闵行二模理13）如图，已知点(2,0)P ，且正方形ABCD 内接于O ：221x y +=， M 、N 分别为边AB 、BC 的中点.当正方形ABCD 绕圆心O 旋转时，PM ON ⋅的取值范围为 ． 【答案】2,2⎡⎤-⎣⎦；15．（2015浦东二模理6文6）已知直线0243=++y x 与圆()2221r y x =+-相切，则该圆的半径大小为 ． 【答案】116．（2015普陀二模理6文6）如图，若,66π∠=⋅=- OFB OF FB ，则以OA 为长半轴，OB 为短半轴，F为左焦点的椭圆的标准方程为 ．【答案】22182x y +=；17．（2015徐汇二模理3文3）已知直线l 的一个法向量是()1,3n =-，则此直线的倾斜角的大小为 ． 【答案】6π18．（2015徐汇二模理14文14）对于曲线C 所在平面上的定点0P ，若存在以点0P 为顶点的角α，使得0AP B α≥∠对于曲线C 上的任意两个不同的点B A ,恒成立，则称角α为曲线C 相对于点0P 的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线C 相对于点0P 的“确界角”．曲线⎪⎩⎪⎨⎧<--≥+=)0(12)0(1:22x x x x y C 相对于坐标原点O 的“确界角”的大小ABDyCNMO是 ． 【答案】2π 19.（2015闸北二模文9理8）从双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点F 引圆222x y a +=的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于点P ，若M 是线段FP 的中点，O 为原点，则MO MT -的值是____________． 【答案】b a -20．（2015长宁二模文2理2）抛物线28x y =的焦点到准线的距离是______________． 【答案】4二、选择题1. （2015虹口二模理17）如图所示，PAB ∆所在平面α和四边形ABCD 所在的平面β互相垂直，且AD α⊥， BC α⊥，4AD =，8BC =，6AB =，若tan 2tan 1ADP BCP ∠-∠=，则动点P在平面α内的轨迹是（ ）A.线段B.椭圆的一部分C.抛物线D.双曲线的一部分【答案】D2. （2015虹口二模理18）已知F 为抛物线24y x =的焦点，,,A B C 为抛物线上的三点，O 为坐标原点，F 若为ABC ∆的重心，,,OFA OFB OFC ∆∆∆面积分别记为123,,S S S ，则222123S S S ++的值为（ ）A.3B.4C.6D.9 【答案】A3．（2015浦东二模理17文17）若直线30ax by +-=与圆223x y +=没有公共点，设点P 的坐标(,)a b ，则过点P 的一条直线与椭圆22143x y +=的公共点的个数为 ( ) )(A 0 )(B 1)(C 2 )(D 1或2 【答案】C4．（2015长宁二模文17）设双曲线12222=-by a x （0>a ，0>b ）的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为……………………………………………………………………………（ ）A ．x y 2±= B ．x y 2±= C ．x y 22±= D ．x y 21±=【答案】C三、解答题1.（2015崇明二模理22文22）已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点F 与x 轴不垂直的直线交椭圆于,P Q 两点． （1）求椭圆的方程；βαP BAD C（2）当直线l 的斜率为1时，求POQ ∆的面积；（3）在线段OF 上是否存在点(,0)M m ，使得以,MP MQ 为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】解（1）设椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x根据题意得1==c b 所以2222=+=c b a 所以椭圆方程为1222=+y x （2）根据题意得直线方程为1:-=x y l解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+11222x y y x 得Q P ,坐标为)31,34(),1,0(-计算324=PQ 点O 到直线PQ 的距离为22所以，32=∆OPQ S（3）假设在线段OF 上存在点)10)(0,(<<m m M ，使得以,MP MQ 为邻边的平行四边形是菱形．因为直线与x 轴不垂直，所以设直线的方程为)0)(1(≠-=k x k y ．Q P ,坐标为),(),,(2211y x y x 由⎩⎨⎧-==+)1(2222x k y y x 得，0224)21(2222=-+-+k x k x k222212221212,214kk x x k k x x +=⋅+=+- 计算得：),(),,(2211y m x MQ y m x MP -=-=，其中021≠-x x 由于以,MP MQ 为邻边的平行四边形是菱形，所以MQ MP =计算得421x x m += 即2221214kk x x m +=+=，)0(≠k 所以210<<m2.（2015奉贤二模理21文21）平面直角坐标系中，点()0,2-A 、()0,2B ，平面内任意一点P 满足：直线PA 的斜率1k ，直线PB 的斜率2k ，4321-=k k ，点P 的轨迹为曲线1C ．双曲线2C 以曲线1C 的上下两顶点N M ,为顶点，Q 是双曲线2C 上不同于顶点的任意一点，直线QM 的斜率3k ，直线QN 的斜率4k ．（1）求曲线1C 的方程；(5分)（2）如果04321≥+k k k k ，分别求双曲线2C 的两条渐近线倾斜角的取值范围．(9分)【答案】（1）()22123,1222443y y x y k k x x x =⋅=-∴+=≠±+- 5分 （2）设双曲线方程为()222103y x b b -=> 6分 ()00,Q x y 在双曲线上，所以()22002103y x b b-=> 200034220003333y y y k k x x x b +--=⋅== 8分 2330,024b b∴-+≥∴<< 9分(第22题图）F 2F 1y xPQO 330,024b b-+≥∴<≤ 10分 焦距是223b + 12分(22323,27b ⎤∴+∈⎦ 14分3.（205虹口二模文22理22）已知圆()221:18F x y ++=，点()21,0F ，点Q 在圆1F 上运动，2QF 的垂直平分线交1QF 于点P .（1）求动点P 的轨迹的方程C ；（2）设,M N 分别是曲线C 上的两个不同点，且点M 在第一象限，点N 在第三象限，若122OM ON OF += ，O 为坐标原点，求直线MN 的斜率；（3）过点10,3S ⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线l 交曲线C 于,A B 两点，在y 轴上是否存在定点T ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点T 的坐标，若不存在，请说明理由.【答案】解：（1）因为2QF 的垂直平分线交1QF 于点P . 所以2PF PQ =， 从而121112222,PF PF PF PQ F Q F F +=+==>=所以，动点P 的轨迹C 是以点12F F 、为焦点的椭圆. ……3分设椭圆的方程为12222=+by a x ，则22,222==c a ，1222=-=c a b ， 故动点P 的轨迹C 的方程为 2212x y += ……5分（2）设1122(,),(,)M a b N a b 1122(0,0,0,0)a b a b >><<，则2222112222,22a b a b +=+= ①因为122OM ON OF +=，则121222,20a a b b +=-+= ② 由①、② 解得 1122114514,,,2448a b a b ===-=-……8分 所以直线MN 的斜率MN k 212131414b b a a -==- . ……10分（3）设直线l 的方程为1,3y kx =-则由221312y kx x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得229(21)12160,k x kx +--= 由题意知，点1(0,)3S -在椭圆C 的内部，所以直线l 与椭圆C 必有两个交点，设11(,)A x y 、 22(,)B x y ，则121222416,.3(21)9(21)k x x x x k k +==-++ ……12分假设在y 轴上存在定点(0,)T m 满足题设，则1122(,),(,),TA x y m TB x y m =-=-因为以AB 为直径的圆恒过点T , 所以1122(,)(,)0,TA TB x y m x y m ⋅=-⋅-=即1212()()0()x x y m y m +--=*……14分 因为112211,,33y kx y kx =-=-故()*可化为2121212221212()121(1)()()339x x y y m y y m k x x k m x x m m +-++=+-+++++2222222216(1)1421()9(21)33(21)3918(1)3(325)9(21)k k k m m m k k m k m m k +=--+⋅+++++-++-=+ 由于对于任意的R k ∈,0,TA TB ⋅= 恒成立，故2210,3250m m m ⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩ 解得 1m =. 因此，在y 轴上存在满足条件的定点T ，点T 的坐标为(0,1). …… 16分 4.（2015黄浦二模理23）已知点()12,0F -、()22,0F ，平面直角坐标系上的一个动点(),P x y 满足124PF PF +=，设动点P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的轨迹方程；（2）点M 是曲线C 上的任意一点，GH 为圆()22:31N x y -+=的任意一条直径，求MG MH ⋅ 的取值范围；（3）已知点,A B 是曲线C 上的两个动点，若OA OB ⊥（O 是坐标原点），试证明：直线AB 与某个定圆 恒相切，并写出定圆的方程．【答案】解(1)依据题意，动点(,)P x y 满足2222(2)(2)4x y x y -++++=.又12||224FF =<，因此，动点(,)P x y 的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆，且24,2222a b c =⎧⎪⇒=⎨=⎪⎩． 所以，所求曲线C 的轨迹方程是22142x y +=． (2) 设00(,)M x y 是曲线C 上任一点．依据题意，可得,MG MN NG MH MN NH =+=+．GH 是直径，∴NH NG =- ．又||=1NG，22=()()=()() =||||.MG MH MN NG MN GH MN NG MN NG MN NG ∴⋅+⋅++⋅--∴22200||(3)(0)MN x y =-+- ＝201(6)72x --．由22142x y +=，可得22x -≤≤，即022x -≤≤．2221||25||||24M N M N N G ∴≤≤≤-≤ ，0． ∴M G M H⋅ 的取值范围是024MG MH ≤⋅≤．(另解21||25MN ≤≤ ：结合椭圆和圆的位置关系，有||||||||||||OM ON MN OM ON -≤≤+(当且仅当M N O 、、共线时，等号成立)，于是有1||5MN ≤≤．)(3)证明 因A B 、是曲线C 上满足OA OB ⊥的两个动点，由曲线C 关于原点对称，可知直线AB 也关于原点对称．若直线AB 与定圆相切，则定圆的圆心必在原点．因此，只要证明原点到直线AB 的距离(d )是定值即可．设12||,||OA r OB r ==，点11(cos ,sin )A r r θθ，则 2222(c o s (),s i n ())(s i n ,c o22B r r r r ππθθθθ++=-． 利用面积相等，有11||||||22OA OB AB d ⋅=⋅，于是2221222122211111r r d r r r r ==++． 又A B 、两点在曲线C 上，故222211222222cos sin 1,42sin cos 1.42r r r r θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 可得22212222cos sin 1,42sin cos 1.42r r θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 因此，22121134r r +=． 所以，243d =，即d 为定值233．所以，直线AB 总与定圆相切，且定圆的方程为：2243x y +=． 5.（2015黄浦二模文23）已知点12(2,0)(2,0)F F -、，平面直角坐标系上的一个动点(,)P x y 满足12||+||=4PF PF．设动点P 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的轨迹方程；（2）点M 是曲线C 上的任意一点，GH 为圆22:(3)1N x y -+=的任意一条直径，求MG MH ⋅ 的取值范围； （3）已知点A B 、是曲线C 上的两个动点，若OA OB ⊥(O 是坐标原点)，试证明：原点O 到直线AB 的距离是定值．【答案】解(1)依据题意，动点(,)P x y 满足2222(2)(2)4x y x y -++++=.又12||224FF =<，因此，动点(,)P x y 的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆，且24,2222a b c =⎧⎪⇒=⎨=⎪⎩． 所以，所求曲线C 的轨迹方程是22142x y +=． (2) 设00(,)M x y 是曲线C 上任一点．依据题意，可得,MG MN NG MH MN NH =+=+．GH 是直径，∴NH NG =- ．又||=1NG，22=()()=()() =||||.MG MH MN NG MN GH MN NG MN NG MN NG ∴⋅+⋅++⋅--∴22200||(3)(0)MN x y =-+- ＝201(6)72x --．由22142x y +=，可得22x -≤≤，即022x -≤≤．2221||25||||24M N M N N G ∴≤≤≤-≤ ，0． ∴M G M H ⋅ 的取值范围是024MG MH ≤⋅≤．(另解21||25MN ≤≤ ：结合椭圆和圆的位置关系，有||||||||||||OM ON MN OM ON -≤≤+(当且仅当M N O 、、共线时，等号成立)，于是有1||5MN ≤≤．)(3)证明 设原点到直线AB 的距离为d ，且A B 、是曲线C 上满足OA OB ⊥的两个动点．01若点A 在坐标轴上，则点B 也在坐标轴上，有11||||||22OA OB AB d =⋅，即22233ab d a b==+．02若点(,)A A A x y 不在坐标轴上，可设1:,:OA y kx OB y x k==-． 由221,42.x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩ 得222224,124.12A A x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩设点(,)B B B x y ，同理可得，222224,24.2B B k x k y k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩于是，221||212k OA k +=+，221||22k OB k +=+，2222223(1)||(2)(12)k AB OA OB k k +=+=++ ． 利用11||||||22OA OB AB d =⋅，得233d =． 综合0012和可知，总有233d =，即原点O 到直线AB 的距离为定值233．(方法二：根据曲线C 关于原点和坐标轴都对称的特点，以及OA OB ⊥，求出A B 、的一组坐标，再用点到直线的距离公式求解，也可以得出结论)6.（2015静安二模理22）在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C 的方程为2218x y +=，设AB 是过椭圆C 中心O 的任意弦，l 是线段AB 的垂直平分线，M 是l 上与O 不重合的点． （1）求以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程；（2）若2MO OA =，当点A 在椭圆C 上运动时，求点M 的轨迹方程；（3）记M 是l 与椭圆C 的交点，若直线AB 的方程为(0)y kx k =>，当△AMB 面积取最小值时， 求直线AB 的方程．【答案】解：（1）椭圆一个焦点和顶点分别为(7,0),(22,0)，………………………1分所以在双曲线22221y x a b-=中，27a =，28c =，2221b c a =-=， 因而双曲线方程为2217x y -=．……………………………………………………4分 （2）设()M x y ，，()A m n ，，则由题设知：2OM OA = ，0OA OM ⋅=．即22224()0x y m n mx ny ⎧+=+⎨+=⎩，，………5分 解得22221414m y n x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，．……………………7分因为点()A m n ，在椭圆C 上，所以2218m n +=，即…()()222182yx +=， 亦即221432x y +=．所以点M 的轨迹方程为221432x y +=．…………………9分（3）（方法1）因为AB 所在直线方程为(0)y kx k =>．解方程组2218x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，，得22818A x k =+，222818A k y k =+， 所以22222222888(1)181818A A k k OA x y k k k +=+=+=+++，222232(1)418k AB OA k +==+. 又22181x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，，解得2228+8M k x k =，228+8M y k =，所以2228(1)+8k OM k +=．………… 11分 由于22214AMB S AB OM =⋅△2222132(1)8(1)418+8k k k k ++=⨯⨯+22222264(1)39225688(18)(+8)818658k k k k k+==-≥+++……………………………………………14分 或()2222264(1)18+82k k k +≥++222264(1)2568181(1)4k k +==+，当且仅当22188k k +=+时等号成立，即k ＝1时等号成立， 此时△AMB 面积的最小值是S △AMB ＝169．……………………………………… 15分AB 所在直线方程为y x =． ………………………………………………… 16分（方法2）设()M x y ，，则()(0)A y x λλλλ-∈≠R ，，， 因为点A 在椭圆C 上，所以222(8)8y x λ+=，即22288y x λ+=（i ）又2288x y +=（ii ）（i ）+（ii ）得()2228119x y λ+=+，………………………………………………11分所以()228116||()||99AMB S OM OA x y λλλ∆=⋅=+=+≥.……………………………14分当且仅当1λ=±（即1AB k =±）时，()min 169AMB S ∆=. 又0k > AB 所在直线方程为y x =．………………………………………………… 16分7.（2015静安二模文22）在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C 的方程为2218x y +=，设AB 是过椭圆C 中心O 的任意弦，l 是线段AB 的垂直平分线，M 是l 上与O 不重合的点． （1）求以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程；（2）若2MO OA =，当点A 在椭圆C 上运动时，求点M 的轨迹方程；（3）记M 是l 与椭圆C 的交点，若直线AB 的方程为(0)y kx k =>，当△AMB 面积为4147时， 求直线AB 的方程．【答案】解：（1）椭圆一个焦点和顶点分别为(7,0),(22,0)，………………………1分所以在双曲线22221y x a b-=中，27a =，28c =，2221b c a =-=， 因而双曲线方程为2217x y -=．……………………………………………………4分 （2）设()M x y ，，()A m n ，，则由题设知：2OM OA = ，0OA OM ⋅=．即22224()0x y m n mx ny ⎧+=+⎨+=⎩，，……………5分 解得22221414m y n x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，．…………………7分因为点()A m n ，在椭圆C 上，所以2218m n +=，即…()()222182yx +=， 亦即221432x y +=．所以点M 的轨迹方程为221432x y +=．…………………9分（3）因为AB 所在直线方程为(0)y kx k =>．解方程组2218x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，，得22818A x k =+，222818A k y k =+， 所以22222222888(1)181818A A k k OA x y k k k +=+=+=+++，222232(1)418k AB OA k +==+. 又22181x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，， 解得2228+8M k x k =，228+8M y k =，所以2228(1)+8k OM k +=．………… 11分 由于22214AMB S AB OM =⋅△2222132(1)8(1)418+8k k k k ++=⨯⨯+222264(1)32(18)(+8)7k k k +==+……………14分解得22221(61)(6)066k k k k --=⇒==或即666k k =±=±或又0k >，所以直线AB 方程为66y x =或6y x =………………………………… 16分8.（2015闵行二模理22）已知两动圆2221:(3)F x y r ++=和2222:(3)(4)F x y r -+=-（04r <<），把它们的公共点的轨迹记为曲线C ,若曲线C 与y 轴的正半轴的交点为M ，且曲线C 上的相异两点A B 、满足0MA MB ⋅=．（1）求曲线C 的方程；（2）证明直线AB 恒经过一定点，并求此定点的坐标； （3）求ABM △面积S 的最大值．【答案】[解]（1）设两动圆的公共点为Q ，则有：12124()QF QF F F +=>．由椭圆的定义可知Q 的轨迹为椭圆，2,3a c ==．所以曲线C 的方程是：2214x y +=．…4分 （2）证法一：由题意可知：(0,1)M ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ,当AB 的斜率不存在时，易知满足条件0MA MB ⋅= 的直线AB 为：0x =过定点3(0,)5N -……………6分当AB 的斜率存在时，设直线AB ：y kx m =+，联立方程组：2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩①②，把②代入①有：222(14)8440k x kmx m +++-=……………8分 122814km x x k -+=+③，21224414m x x k -⋅=+④，因为0MA MB ⋅=，所以有1212(1)(1)0x x kx m kx m ⋅++-+-=，221212(1)(1)()(1)0k x x k m x x m +⋅+-++-=，把③④代入整理：22222448(1)(1)(1)01414m km k k m m k k--++-+-=++，（有公因式m -1）继续化简得： (1)(53)0m m --=，35m -=或1m =（舍），综合斜率不存在的情况，直线AB 恒过定点3(0,)5N -． ………………………10分证法二：（先猜后证）由题意可知：(0,1)M ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ,如果直线AB 恒经过一定点，由椭圆的对称性可猜测此定点在y 轴上，设为(0,)N m ； 取特殊直线:1MA y x =+，则直线MB 的方程为1y x =-+，解方程组22141x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得点83(,)55A --，同理得点83(,)55B -，此时直线AB 恒经过y 轴上的点3(0,)5N -（只要猜出定点的坐标给2分）……2分下边证明点3(0,)5N -满足条件0MA MB ⋅=当AB 的斜率不存在时，直线AB 方程为：0x =，点 A B 、 的坐标为(0,1)±，满足条件0MA MB ⋅=；………………………8分当AB 的斜率存在时，设直线AB ：35y kx =-，联立方程组：221435x y y kx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩①②，把②代入①得：222464(14)0525k k x x +--= 122245(14)k x x k +=+③，1226425(14)x x k -⋅=+④， 所以1212121288(1)(1)()()55MA MB x x y y x x kx kx ⋅=⋅+--=⋅+--21212864(1)()525k k x x x x =+-++2226482464(1)052525(14)5(14)k k k k k -=+⋅-⋅+=++………………………10分 （3）ABM △面积MNA MNB S S S =+△△=1212MN x x -=212124()45x x x x +-⋅ 由第（2）小题的③④代入，整理得：22322542514k S k +=⋅+……………………………12分 因N 在椭圆内部，所以k R ∈,可设22542t k =+≥，23249t S t =+32(2)94t t t=≥+ ………………14分92542t t +≥，∴6425S ≤(0k =时取到最大值)． 所以ABM △面积S 的最大值为6425． …………………………………………16分9.（2015闵行二模文22）已知两动圆2221:(3)F x y r ++=和2222:(3)(4)F x y r -+=-（04r <<），把它们的公共点的轨迹记为曲线C ，若曲线C 与y 轴的正半轴的交点为M ，且曲线C 上的相异两点A B 、满足：0MA MB ⋅=． （1）求曲线C 的方程；（2）若A 的坐标为(2,0)-，求直线AB 和y 轴的交点N 的坐标； （3）证明直线AB 恒经过一定点，并求此定点的坐标． 【答案】[解]（1）设两动圆的公共点为Q ，则有：12124()QF QF F F +=>．由椭圆的定义可知Q 的轨迹为椭圆，2,3a c ==．所以曲线C 的方程是：2214x y +=．…4分 （2）由条件0MA MB ⋅= ，知道1MA MB k k =-, (0,1)M ，(2,0)A -∴MA k =12,MB k =2-,得直线MB : 21y x =-+, ………………………6分解方程组221421x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩可得1615(,)1717B -, ……………………………8分310AB k =-,直线AB :33105y x =--, 所以交点3(0,)5N -．………………………10分（3）证法一：由题意可知：(0,1)M ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ,当AB 的斜率不存在时，易知满足条件0MA MB ⋅= 的直线AB 为：0x =过定点3(0,)5N -……………12分当AB 的斜率存在时，设直线AB ：y kx m =+，联立方程组：2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩①②，把②代入①有：222(14)8440k x kmx m +++-=……………14分 122814km x x k -+=+③，21224414m x x k -⋅=+④，因为0MA MB ⋅=，所以有1212(1)(1)0x x kx m kx m ⋅++-+-=，221212(1)(1)()(1)0k x x k m x x m +⋅+-++-=，把③④代入整理：22222448(1)(1)(1)01414m kmk k m m k k--++-+-=++，（有公因式m -1）继续化简得： (1)(53)0m m --=，35m -=或1m =（舍），综合斜率不存在的情况，直线AB 恒过定点3(0,)5N -． ………………………16分证法二：（先猜后证）由题意可知：(0,1)M ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ,如果直线AB 恒经过一定点，由椭圆的对称性可猜测此定点在y 轴上，设为(0,)N m ； 取特殊直线:1MA y x =+，则直线MB 的方程为1y x =-+，解方程组22141x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得点83(,)55A --，同理得点83(,)55B -，此时直线AB 恒经过y 轴上的点3(0,)5N -（只要猜出定点的坐标给2分）……12分下边证明点3(0,)5N -满足条件0MA MB ⋅=当AB 的斜率不存在时，直线AB 方程为：0x =，点 A B 、 的坐标为(0,1)±，满足条件0MA MB ⋅=；………………………14分当AB 的斜率存在时，设直线AB ：35y kx =-，联立方程组：221435x y y kx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩①②，把②代入①得：222464(14)0525k k x x +--=122245(14)k x x k +=+③，1226425(14)x x k -⋅=+④， 所以1212121288(1)(1)()()55MA MB x x y y x x kx kx ⋅=⋅+--=⋅+--21212864(1)()525k k x x x x =+-++2226482464(1)052525(14)5(14)k k k k k -=+⋅-⋅+=++………………………16分10．（2015浦东二模理22）已知直线l 与圆锥曲线C 相交于两点,A B ，与x 轴，y 轴分别交于D E 、两点，且满足1EA AD λ= 、2EB BD λ=．（1）已知直线l 的方程为24y x =-，抛物线C 的方程为24y x =，求12λλ+的值；（2）已知直线():11l x my m =+>，椭圆22:12x C y +=，求1211λλ+的取值范围；（3）已知双曲线()222122222:10,0,x y a C a b a b bλλ-=>>+=，试问D 是否为定点？若是，求点D 的坐标；若不是，说明理由．【答案】解：（1）将42-=x y ，代入x y 42=，求得点()2,1-A ，()4,4B ，又因为()0,2D ，()4,0-E …2分由AD EA 1λ= 得到，()()2,12,11λ=()112,λλ=，11=λ，同理由BD EB 2λ=得，22-=λ所以21λλ+=1-.………………………………………4分 （2）联立方程组：⎩⎨⎧=-++=022122y x my x 得()012222=-++my y m ，21,22221221+-=+-=+m y y m m y y ，又点()⎪⎭⎫ ⎝⎛-m E D 1,0,0,1，由AD EA 1λ= 得到1111y m y λ-=+，⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=11111y m λ， 同理由BD EB 2λ= 得到2221y m y λ-=+，⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=22111y m λ， 21λλ+=4212)(122121-=⎪⎭⎫⎝⎛⋅+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-m m y y y y m ，即21λλ+4-=，……………6分2121411λλλλ-=+12144λλ+=()42421-+=λ, …………………………………………8分因为1>m ，所以点A 在椭圆上位于第三象限的部分上运动，由分点的性质可知()0,221-∈λ，所以()2,1121-∞-∈+λλ.…………………………………………10分（3）假设在x 轴上存在定点)0,(t D ，则直线l 的方程为t my x +=，代入方程12222=-by a x 得到:()()0222222222=-++-b a t mty b y a m b()22222221222221,2a m b b a t y y a m b mtb y y ---=--=+, 2221211a t mty y --=+ （1） 而由AD EA 1λ=、BD EB 2λ=得到：⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=+-2121112)(y y m t λλ （2） 22212ba =+λλ （3）……………………………………………………………………12分由（1）（2）（3）得到：2222222ba a t mt m t -=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+，22b a t +±=， 所以点)0,(22b a D +±，………………………………………………………………14分 当直线l 与x 轴重合时，a t a +-=1λ，a t a -=2λ，或者at a-=1λ，a t a +-=2λ，都有222222122ba a t a =-=+λλ 也满足要求，所以在x 轴上存在定点)0,(22b a D +±.……………………………16分11．（2015浦东二模文22）已知直线l 与圆锥曲线C 相交于两点,A B ，与x 轴，y 轴分别交于D E 、两点，且满足1EA AD λ= 、2EB BD λ=．（1）已知直线l 的方程为24y x =-，抛物线C 的方程为24y x =，求12λλ+的值；（2）已知直线():11l x my m =+>，椭圆22:12x C y +=，求1211λλ+的取值范围；（3）已知双曲线C ：1322=-y x ，621=+λλ，求点D 的坐标． 【答案】解：（1）将42-=x y ，代入x y 42=，求得点()2,1-A ，()4,4B ，又因为()0,2D ，()4,0-E …2分由AD EA 1λ= 得到，()()2,12,11λ=()112,λλ=，11=λ，同理由BD EB 2λ=得，22-=λ所以21λλ+=1-.………………………………………4分 （2）联立方程组：⎩⎨⎧=-++=022122y x my x 得()012222=-++my y m ，21,22221221+-=+-=+m y y m m y y ，又点()⎪⎭⎫ ⎝⎛-m E D 1,0,0,1，由AD EA 1λ= 得到1111y m y λ-=+，⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=11111y m λ， 同理由BD EB 2λ= 得到2221y m y λ-=+，⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=22111y m λ， 21λλ+=4212)(122121-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-m m y y y y m ，即21λλ+4-=，……………6分 2121411λλλλ-=+12144λλ+=()42421-+=λ, …………………………………………8分因为1>m ，所以点A 在椭圆上位于第三象限的部分上运动，由分点的性质可知()0,221-∈λ，所以()2,1121-∞-∈+λλ.…………………………………………10分（3）直线l 的方程为t my x +=，代入方程1322=-y x 得到:()()0323222=-++-t mty y m . 33,322221221---=--=+m t y y m mt y y ,3211221--=+t mty y (1) 而由AD EA 1λ=、BD EB 2λ=得到：⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=+-2121112)(y y m t λλ (2) 621=+λλ (3) …………………………………………………………………12分由（1）（2）（3）得到：63222-=⎪⎭⎫⎝⎛--+t mt m t ，2±=t ，所以点)0,2(±D ，……………14分 当直线l 与x 轴重合时，a t a +-=1λ，a t a -=2λ或者a t a -=1λ，at a+-=2λ，都有6222221=-=+a t a λλ也满足要求，所以在x 轴上存在定点)0,2(±D .……………………16分11.（2015普陀二模理22文22）如图，射线OA OB 、所在的直线的方向向量分别是()()()121,1,0==->d k d k k 、，点P 在∠AOB 内，⊥PM OA 于M ，⊥PN OB 于N ．（1）若311,,22k P ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求OM 的值；（2）若()2,1,∆P OMP 的面积为65，求k 的值；（3）已知k 为常数，M N 、的中点为T ，且1∆=MON S k， 当P 变化时，求动点T 的轨迹方程．【答案】解：（1）当k =1时，:y ,OA l x =所以MP k =-1，又因为31(,)22P , 1分所以31:y ()22MP l x -=--，即20x y +-=， 2分 由020x y x y -=⎧⎨+-=⎩解得11x y =⎧⎨=⎩ 3分 即(1,1),M 所以=2OM 4分（2）设,M a ka （），则(,)OM a ka = ，(2,1),PM a ka =--6分由PM OM ⊥得0OM PM =,即(2)(1)0a a ka ka -+-=， 7分解得0a =（舍去），221k a k +=+，所以22222(,)11k k kM k k++++ 8分 2246NMPyxA OBS RP QDCBAO22222001232211122111k k k k k kk k +-=+++++，2(21)(2)16215OPM k k S k -+==+ 9分 ①若12k ≥，则2(21)(2)1215k k k -+=+，化简得2215220k k -+=，解得2k =或112k = 10分②若102k <<，则2(12)(2)1215k k k -+=+，化简得2221520k k ++=，解得12k =-或211k =-，均不合题意.综上①②可得，k 的值为2或112. 11分（3）设(,)(,)(,)(0,0)T x y M a ka N b kb a b ->>、、，根据题意可知：21OM a k =+，21ON b k =+其中22sin 1kMON k ∠=+ 12分 11sin 2MON S OM ON MON k=∠= ，即21ab k =（*） 13分(),22a b k a b x y +-==，故22x a by a b k=+⎧⎪⎨=-⎪⎩， 14分变形得222444y x ab k -=（*） 将（*）带入（**）得，22221y x k k-=，即2221(0)k x y x -=> 15分故点T 的轨迹为双曲线2221k x y -=的右支. 16分12.（2015年徐汇二模文21理21）用细钢管焊接而成的花坛围栏构件如右图所示，它的外框是一个等腰梯形PQRS ，内部是一段抛物线和一根横梁．抛物线的顶点与梯形上底中点是焊接点O ，梯形的腰紧靠在抛物线上，两条腰的中点是梯形的腰、抛物线以及横梁的焊接点,A B ，抛物线与梯形下底的两个焊接点 为,C D ．已知梯形的高是40厘米，C D 、两点间的距离为40厘米．（1）求横梁AB 的长度; （2）求梯形外框的用料长度．（注:细钢管的粗细等因素忽略不计，计算结果精确到1厘米．）【答案】解：（1）如图，以O 为原点，梯形的上底所在直线为x 轴，建立直角坐标系 设梯形下底与y 轴交于点M ，抛物线的方程为：()220x py p =< 由题意()20,40D -，得5p =-，210x y =-……….3’ 取20102y x =-⇒=±，即()()102,20,102,20A B ---()20228AB cm =≈ 答：横梁AB 的长度约为28cm ………………..6’（2）由题意，得梯形腰的中点是梯形的腰与抛物线唯一的公共点设()():201020RQ l y k x k +=-<…..7’ ()()22201021010022010y k x x kx k x y ⎧+=-⎪⇒+-+=⎨=-⎪⎩则()210040022022k k k ∆=++=⇒=-，即:2220RQ l y x =-+…………..10’得()()52,0,152,40Q R -52,152,302OQ MR RQ ⇒===梯形周长为()()2521523021002141cm ++=≈答：制作梯形外框的用料长度约为141cm ……..14’13.（2015年杨浦文23理23） 已知抛物线x y C 4:2=的焦点F ，线段PQ 为抛物线C 的一条弦.（1）若弦PQ 过焦点F ，求证：11FP FQ+为定值； （2）求证:x 轴的正半轴上存在定点M ，对过点M 的任意弦PQ ，都有2211MP MQ +为定值； （3）对于（2）中的点M 及弦PQ ，设PM MQ λ= ，点N 在x 轴的负半轴上，且满足()NM NP NQ λ⊥-，求N 点坐标.【答案】解：（1）证明：),(),,(,2:),0,2(2211y x Q y x P pmy x l p F PQ +=设； ,0222222=--⇒⎪⎩⎪⎨⎧+==∴p pm y y p m y x pxypmy p my p x p x FQ FP +++=+++=+∴212111212111 pm p m p p y y mp y y m p y y m 2)1()1(2)(2)(22222121221=++=+++++= 6分（2）),(),,(,:),0)(0,(2211y x Q y x P a my x l a a M PQ +=>设；,022222=--⇒⎩⎨⎧+==∴pa pmy y a my x px y pa y y pm y y 2,22121-=⋅=+∴ 22222221212212222122222212122221212122)1(1)(2)(11)11(11)(1)(1)(1)(111a m pa m p p y y y y y y m y y m y my y my y a x y a x MQ MP ⋅++⋅=⋅⋅-++=++=+++=+-++-=+∴2211MQ MP + 为定值 当a pp MQ MP m ⋅=+=2221110时， 当2222221111a pap p MQ MP m +⋅=+=时， 由p a a pap p a p p =+⋅=⋅得2222211 取)0,(p M 代入验证，则221212,2p y y pm y y -=⋅=+∴222222221)1()1(111p p m m p p MQ MP =⋅++⋅=+∴为定值，得证。
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1（2018松江二模）. 双曲线22219x y a -=（0a >）的渐近线方程为320x y ±=，则a = 1（2018普陀二模）. 抛物线212x y =的准线方程为2（2018虹口二模）. 直线(1)10ax a y +-+=与直线420x ay +-=互相平行，则实数a = 2（2018宝山二模）. 设抛物线的焦点坐标为(1,0)，则此抛物线的标准方程为 3（2018奉贤二模）. 抛物线2y x =的焦点坐标是4（2018青浦二模）. 已知抛物线2x ay =的准线方程是14y =-，则a = 4（2018长嘉二模）. 已知平面直角坐标系xOy 中动点(,)P x y 到定点(1,0)的距离等于P 到定直线1x =-的距离，则点P 的轨迹方程为 7（2018金山二模）. 若某线性方程组对应的增广矩阵是421m m m ⎛⎫⎪⎝⎭，且此方程组有唯一一组解，则实数m 的取值范围是8（2018静安二模）. 已知抛物线顶点在坐标原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点(,4)M a -(0)a >到焦点F 的距离为5，则该抛物线的标准方程为8（2018崇明二模）. 已知椭圆2221x y a+=（0a >）的焦点1F 、2F ，抛物线22y x =的焦点为F ，若123F F FF =，则a =8（2018杨浦二模）. 若双曲线2221613x y p-=(0)p >的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p =9（2018浦东二模）. 已知抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽为8米，当水面下降1米后，水面的宽为 米10（2018虹口二模）. 椭圆的长轴长等于m ，短轴长等于n ，则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为10（2018金山二模）. 平面上三条直线210x y -+=，10x -=，0x ky +=，如果这三条直线将平面化分为六个部分，则实数k 的取值组成的集合A =10（2018青浦二模）. 已知直线1:0l mx y -=，2:20l x my m +--=，当m 在实数范围内变化时，1l 与2l 的交点P 恒在一个定圆上，则定圆方程是11（2018奉贤二模）. 角α的始边是x 轴正半轴，顶点是曲线2225x y +=的中心，角的终边与曲线2225x y +=的交点A 的横坐标是3-，角2α的终边与曲线2225x y +=的交点是B ，则过B 点的曲线2225x y +=的切线方程是 （用一般式表示）α11（2018金山二模）. 已知双曲线22:198x y C -=，左、右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 作一直线与双曲线C 的右半支交于P 、Q 两点，使得190F PQ ∠=︒，则1F PQ ∆的内切圆的半径r =11（2018青浦二模）. 已知曲线:C y =:2l y =，若对于点(0,)A m ，存在C 上的点P 和l 上的点Q ，使得0AP AQ +=，则m 取值范围是12（2018普陀二模）. 点1F 、2F 分别是椭圆22:12x C y +=的左、右焦点，点N 为椭圆C 的上顶点，若动点M 满足：212||2MN MF MF =⋅，则12|2|MF MF +的最大值为12（2018青浦二模）. 已知22sin 1cos 1a a M a a θθ-+=-+（,a θ∈R ，0a ≠），则M 的取值范围是12（2018长嘉二模）. 若实数x 、y 满足114422x y x y +++=+，则22x y S =+的取值范围是 14（2018奉贤二模）. 设直线l 的一个方向向量(6,2,3)d =，平面α的一个法向量(1,3,0)n =-，则直线l 与平面α的位置关系是（ ）A. 垂直B. 平行C. 直线l 在平面α内D. 直线l 在平面α内或平行 14（2018青浦二模）. 椭圆的参数方程为5cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），则它的两个焦点坐标是（ ）A. (4,0)±B. (0,4)±C. (5,0)±D. (0,3)± 15（2018虹口二模）. 直线:10l kx y k -++=与圆228x y +=交于A 、B 两点，且||AB =，过点A 、B 分别作l 的垂线与y 轴交于点M 、N ，则||MN 等于（ ）A. B. 4 C. D. 8 15（2018杨浦二模）. 已知22110a b +≠，22220a b +≠，则“11220a b a b =”是“直线1111:0l a x b y c ++=与2222:0l a x b y c ++=平行”的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分也非必要16（2018崇明二模）. 在平面直角坐标系中，定义1212(,)max{||,||}d A B x x y y =--为两点11(,)A x y 、22(,)B x y 的“切比雪夫距离”，又设点P 及l 上任意一点Q ，称(,)d P Q 的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”，记作(,)d P l ，给出下列三个命题： ① 对任意三点A 、B 、C ，都有(,)(,)(,)d C A d C B d A B +≥； ② 已知点(3,1)P 和直线:210l x y --=，则4(,)3d P l =；③ 定点1(,0)F c -、2(,0)F c ，动点(,)P x y 满足12|(,)(,)|2d P F d P F a -=（220c a >>）， 则点P 的轨迹与直线y k =（k 为常数）有且仅有2个公共点； 其中真命题的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 318（2018静安二模）. 已知椭圆Γ的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍，两焦点分别为1F 和2F ，椭圆Γ上一点到1F 和2F 的距离之和为12. 圆22:24210()k A x y kx y k ++--=∈R 的圆心为k A .（1）求△12k A F F 的面积；（2）若椭圆上所有点都在一个圆内，则称圆包围这个椭圆. 问：是否存在实数k 使得圆k A 包围椭圆Γ？请说明理由.18（2018崇明二模）. 已知点1F 、2F 依次为双曲线2222:1x y C a b-=（,0a b >）的左右焦点，12||6F F =，1(0,)B b -，2(0,)B b .（1）若a =，以(3,4)d =-为方向向量的直线l 经过1B ，求2F 到l 的距离； （2）若双曲线C 上存在点P ，使得122PB PB ⋅=-，求实数b 的取值范围.19（2018黄浦二模）. 已知动点(,)M x y 到点(2,0)F 的距离为1d ，动点(,)M x y 到直线3x =的距离为2d，且12d d = （1）求动点(,)M x y 的轨迹C 的方程；（2）过点F 作直线:(2)(0)l y k x k =-≠交曲线C 于P 、Q 两点，若△OPQ的面积OPQ S ∆=(O 是坐标系原点)，求直线l 的方程.19（2018金山二模）. 已知椭圆22:143x y Γ+=的右焦点为F ，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆Γ交于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点（点A 在x 轴上方），点A 关于坐标原点的对称点为P ，直线PA 、PB 分别交直线:4l x =于M 、N 两点，记M 、N 两点的纵坐标分别为M y 、N y . （1）求直线PB 的斜率（用k 表示）；（2）求点M 、N 的纵坐标M y 、N y （用1x 、1y 表示），并判断M N y y ⋅是否为定值？若是，请求出该定值，若不 是，请说明理由.19（2018青浦二模）. 已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的一个顶点坐标为(2,0)A ，且长轴长是短轴长的两倍. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点(1,0)D 且斜率存在的直线交椭圆于G 、H ，G 关于x 轴的对称点为G '，求证：直线G H '恒过定点(4,0).19（2018浦东二模）. 已知双曲线22:1C x y -=.（1）求以右焦点为圆心，与双曲线C 的渐近线相切的圆的方程；（2）若经过点(0,1)P -的直线与双曲线C 的右支交于不同两点M 、N ，求线段MN 的中垂线l 在y 轴上截距t 的取值范围.19（2018普陀二模）. 某市为改善市民出行，大力发展轨道交通建设，规划中的轨道交通s 号线线路示意图如图所示，已知M 、N 是东西方向主干道边两个景点，P 、Q 是南北方向主干道边两个景点，四个景点距离城市中心O 均为52km ，线路AB 段上的任意一点到景点N 的距离比到景点M 的距离都多10km ，线路BC 段上的任意一点到O 的距离都相等，线路CD 段上的任意一点到景点Q 的距离比到景点P 的距离都多10km ，以O 为原点建立平面直角坐标系xOy .（1）求轨道交通s 号线线路示意图所在曲线的方程； （2）规划中的线路AB 段上需建一站点G 到景点Q 的距离最近，问如何设置站点G 的位置？20（2018奉贤二模）. 设复平面上点Z 对应的复数z x yi =+(,)x y ∈∈R R （i 为虚数单位）满足|2||2|6z z ++-=，点Z 的轨迹方程为曲线1C . 双曲线2C :221y x n-=与曲线1C 有共同焦点，倾斜角为4π的直线l 与双曲线2C 的两条渐近线的交点是A 、B ，2OA OB ⋅=，O 为坐标原点.（1）求点Z 的轨迹方程1C ； （2）求直线l 的方程；（3）设△PQR 三个顶点在曲线1C 上，求证：当O 是△PQR 重心时，△PQR 的面积是定值.20（2018松江二模）. 已知椭圆2222:1x y a bΓ+=（0a b >>），其左、右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为B ，O 为坐标原点，过2F 的直线l 交椭圆Γ于P 、Q两点，1sin 3BF O ∠=.（1）若直线l 垂直于x 轴，求12||||PF PF 的值；（2）若b =，直线l 的斜率为12，则椭圆Γ上是否存在一点E ，使得1F 、E 关于直线l成轴对称？如果存在，求出点E 的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）设直线1:l y =上总存在点M 满足2OP OQ OM +=，当b 的取值最小时，求直线l 的倾斜角α.20（2018虹口二模）. 如果直线与椭圆只有一个交点，称该直线为椭圆的“切线”，已知椭圆22:12x C y +=，点(,)M m n 是椭圆C 上的任意一点，直线l 过点M 且是椭圆C 的“切线”. （1）证明：过椭圆C 上的点(,)M m n 的“切线”方程是12mxny +=；（2）设A 、B 是椭圆C 长轴上的两个端点，点(,)M m n 不在坐标轴上，直线MA 、MB 分别交y 轴于点P 、Q ，过M 的椭圆C 的“切线” l 交y 轴于点D ，证明：点D 是线段PQ 的中点；（3）点(,)M m n 不在x 轴上，记椭圆C 的两个焦点分别为1F 和2F ，判断过M 的椭圆C 的“切线” l 与直线1MF 、2MF 所成夹角是否相等？并说明理由.20（2018宝山二模）. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2212723x y +=的右焦点为双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的右顶点，直线210x y ++=与C 的一条渐近线平行.（1）求C 的方程；（2）如图，1F 、2F 为C 的左右焦点，动点00(,)P x y （01y ≥）在C 的右支上，且12F PF ∠ 的平分线与x 轴、y 轴分别交于点(,0)M m （55m -<<）、N ，试比较m 与2的大 小，并说明理由；（3）在（2）的条件下，设过点1F 、N 的直线l 与C 交于D 、E 两点，求2F DE ∆的面积最大值.20（2018杨浦二模）. 已知椭圆222:9x y m Ω+=(0)m >，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与Ω有两个交点A 、B ，线段AB 的中点为M .（1）若3m =，点K 在椭圆Ω上，1F 、2F 分别为椭圆的两个焦点，求12KF KF ⋅的范围； （2）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （3）若l 过点(,)3mm ，射线OM 与Ω交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？ 若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．20（2018长嘉二模）. 已知椭圆2222:1x y a bΓ+=（0a b >>）的焦距为23，点(0,2)P 关于直线y x =-的 对称点在椭圆Γ上. （1）求椭圆Γ的方程；（2）如图，过点P 的直线l 与椭圆Γ交于两个不同的点C 、D （点C 在点D 的上方），试求COD ∆面积的最大值；（3）若直线m 经过点(1,0)M ，且与椭圆Γ交于两个不同的点A 、B ，是否存在直线00:l x x =（其中02x >），使得A 、B 到直线0l 的距离A d 、B d 满足||||A B d MA d MB =恒成立？ 若存在，求出0x 的值；若不存在，请说明理由.20（2018青浦二模）. 如图，A 、B 是椭圆22:12x C y +=长轴的两个端点，M 、N 是椭圆上与A 、B 均不重合的相异两点，设直线AM 、BN 、AN 的斜率分别是1k 、2k 、3k . （1）求23k k ⋅的值； （2）若直线MN过点(2，求证：1316k k ⋅=-； （3）设直线MN 与x 轴的交点为(,0)t （t 为常数且0t ≠），试探究直线AM 与直线BN 的交点Q 是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由.。