2018上海高三数学二模---函数汇编

2018上海高三数学二模——函数汇编

（2018宝山二模）10. 设奇函数()f x 定义为R ，且当0x >时，2

()1m f x x x

=+-（这里m 为正常数）．若()2f x m ≤-对一切0x ≤成立，则m 的取值范围是 .

答案：[)2,+∞

（2018宝山二模）15.若函数()()f x x R ∈满足()1f x -+、()1f x +均为奇函数，则下列四个结论正确的是（ ）

)(A ()f x -为奇函数 )(B ()f x -为偶函数

)(C ()3f x +为奇函数 )(D ()3f x +为偶函数

答案：C

（2018宝山二模）19.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)

某渔业公司最近开发的一种新型淡水养虾技术具有方法简便且经济效益好的特点，研究表明：用该技术进行淡水养虾时，在一定的条件下，每尾虾的平均生长速度为()g x （单位：千克/年）养殖密度为,0x x >（单位：尾/立方分米）。当x 不超过4时，()g x 的值恒为2；当420x ≤≤，()g x 是x 的一次函数，且当x 达到20时，因养殖空间受限等原因，()g x 的值为0.

（1）当020x <≤时，求函数()g x 的表达式。

（2）在（1）的条件下，求函数()()f x x g x =⋅的最大值。

答案：（1）()(][]()2,0,4,15,4,20

82x g x x N x x *⎧∈⎪=∈⎨-+∈⎪⎩

；（2）12.5千克/立方分米 （2018虹口二模5） 已知函数20()210

x x x f x x -⎧-≥=⎨-<⎩，则11[(9)]f f ---= 【解析】1

20()log (1),0x f x x x -≤=-+>⎪⎩，1(9)3f --=，111[(9)](3)2f f f ----==- （2018虹口二模11） []x 是不超过x 的最大整数，则方程271(2)[2]044

x x -

⋅-=满足1x <的所有实数解是 【解析】当01x ≤<，[2]1x =，∴21(2)22x x =⇒=

；当0x <，[2]0x =，21(2)4

x =， ∴1x =-，∴满足条件的所有实数解为0.5x =或1x =-

（2018虹口二模21）已知函数3()f x ax x a =+-（a ∈R ，x ∈R ），3

()1x g x x =-（x ∈R ）.

（1）如果x =x 的不等式()0f x ≤的解，求实数a 的取值范围；

（2）判断()g x 在(-和的单调性，并说明理由； （3）证明：函数()f x 存在零点q ，使得4732n a q q q q -=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅成立的充要条件是

a ≥

【解析】（1）()023

f a ≤⇒≥；

（2）根据单调性定义分析，在(-上递减，在上递增； （3）“函数()f x 存在零点q ，使得4732n a q q q q -=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅成立”说明

473231n q a q q q q q

-==+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅-成立，根据无穷等比数列相关性质，(1,1)q ∈-，

结合第（2）问，31q a q =-在(-上递减，在上递增，

∴min 3()1q a g q ≥==-，反之亦然.

（2018杨浦二模1）函数lg 1y x =-的零点是 ．

答案： 10x =

（2018杨浦二模17）（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）

共享单车给市民出行带来了诸多便利，某公司购买了一批单车投放到某地给市民使用. 据市

场分析，每辆单车的营运累计利润y (单位：元）与营运天数()*x x N ∈满足

21608002

y x x =-+-. （1）要使营运累计利润高于800元，求营运天数的取值范围；

（2）每辆单车营运多少天时，才能使每天的平均营运利润

y x

的值最大？ 【解】 （1） 要使营运累计收入高于800元，

令800800602

12>-+-x x ， …………………………………2分 解得8040<

所以营运天数的取值范围为40到80天之间 .…………………………………7分

（2）6080021+--=x

x x y

…………………………………9分 20604002=+-≤ 当且仅当18002x x

=时等号成立，解得400x = …………………………12分 所以每辆单车营运400天时，才能使每天的平均营运利润最大，最大为20元每天 .…14分

（2018杨浦二模21）（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小

题满分8分）

记函数()f x 的定义域为D . 如果存在实数a 、b 使得()()f a x f a x b -++=对任意满足

a x D -∈且a x D +∈的x 恒成立，则称()f x 为ψ函数.

（1）设函数1()1f x x

=-，试判断()f x 是否为ψ函数，并说明理由； （2）设函数t x g x +=

21)(，其中常数0≠t ，证明：)(x g 是ψ函数； （3）若)(x h 是定义在R 上的ψ函数，且函数)(x h 的图象关于直线x m =（m 为常数）

对称，试判断)(x h 是否为周期函数？并证明你的结论.

【解】

（1）1()1f x x

=-是ψ函数 . ……1分 理由如下：1()1f x x =

-的定义域为{|0}x x ≠，