点到直线的距离公式
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设n=(A,B),因为
n·v=(A,B) ·(B,-Aa)
=AB-BA=0
l
n
M(x0y0)
所以n⊥ v,故称n为直线l的法向量.
O
与n同向的单位向量
n 0
|ห้องสมุดไป่ตู้
n n
|
(
A, A2 B2
B) A2 B2
P(x,y) x
所以,点M(x0y0) 到直线l:Ax+By+C=0的距离等于向量PM 在n0
方向上射影的长度.
uuuur d | PM • n |
| (x0 x, y0 y) • (
A, A2 B2
B )| A2 B2
| A(x0 x) B( y0 y) | A2 B2
| Ax0 By0 ( Ax By) | A2 B2
又因为P(x,y)为l上任意一点,所以c=-(Ax+By)
uuur Q AP ∥a
(x 1) 3( y 2) 0
即x 3y 7 0
所求直线的方程为 x 3y 7 0
练习 求过点P(1,-1),且与向量n=(4,-3)垂直的直线方程.
uuur 解:设点Q(x,y)是所求直线上的任意一点,则 PQ =(x-1,y+1).
3
3
13
,
y
B
uuur AB
uuur AC时,2+3k=0,k=-
2 3
.
A
x
例3 求过点A(-1,2),且平行于向量a=(3,1)的直线方程.
分析：在所求直线上任取一点P,则
uuur AP∥a
,利用向量平行的条件
写出方程.
解:设点P(x,y)是所求直线上的任意一点,则
uuur AP
=(x+1,y-2).
uuur Q PQ n
uuur PQ • n 0
即4(x 1) 3( y 1) 0 所求直线的方程为 4x 3y 7 0
小结： （1） 点M(x0,y0) 到直线l:ax+by+c=0的距离等于向 量 PM 在l的单位向量n0上射影的长度,； （2）利用直线的法向量,用两向量垂直的充要条件 可求直线方程.
直角三角形，求k的值.
分析：
C
y
B
以A为原点建立直角坐标系， 应该有四个解.
A
x
uuur
uuur
uuur
解: 向量AB (2,3), AC (1, k), BC (1, k 3)
uuur AB
uuur BC时,-2+3(k-3)=0,k=
11 3
,
C
uuur BC
uuur AC时,-1+k(k-3)=0,k=
7.1 点到直线的距离公式
若M(x0y0)是平面上一定点,它到直线l:Ax+By+C=0的距离d为
d | Ax0 By0 C | A2 B2
试用向量方法给出简单的证明
证明 如图, M(x0,y0) 是直线外一定点,P(x,y)是直线上任意
一点,由直线l:Ax+By+C=0,可以取它的方向向量v=(B,-A). y
故
d | Ax0 By0 c |
A2 B2
例1 求点P(1,2)到直线l：2x+y+1=0的距离。 解 由点到直线的距离公式，得
211 2 1
d
5,
22 12
所以点P(1,2)到直线l的距离为 5.
uuur
uuur
例2 若向量 AB =(2,3), AC =(1,k), k∈ R，ΔABC为
n·v=(A,B) ·(B,-Aa)
=AB-BA=0
l
n
M(x0y0)
所以n⊥ v,故称n为直线l的法向量.
O
与n同向的单位向量
n 0
|ห้องสมุดไป่ตู้
n n
|
(
A, A2 B2
B) A2 B2
P(x,y) x
所以,点M(x0y0) 到直线l:Ax+By+C=0的距离等于向量PM 在n0
方向上射影的长度.
uuuur d | PM • n |
| (x0 x, y0 y) • (
A, A2 B2
B )| A2 B2
| A(x0 x) B( y0 y) | A2 B2
| Ax0 By0 ( Ax By) | A2 B2
又因为P(x,y)为l上任意一点,所以c=-(Ax+By)
uuur Q AP ∥a
(x 1) 3( y 2) 0
即x 3y 7 0
所求直线的方程为 x 3y 7 0
练习 求过点P(1,-1),且与向量n=(4,-3)垂直的直线方程.
uuur 解:设点Q(x,y)是所求直线上的任意一点,则 PQ =(x-1,y+1).
3
3
13
,
y
B
uuur AB
uuur AC时,2+3k=0,k=-
2 3
.
A
x
例3 求过点A(-1,2),且平行于向量a=(3,1)的直线方程.
分析：在所求直线上任取一点P,则
uuur AP∥a
,利用向量平行的条件
写出方程.
解:设点P(x,y)是所求直线上的任意一点,则
uuur AP
=(x+1,y-2).
uuur Q PQ n
uuur PQ • n 0
即4(x 1) 3( y 1) 0 所求直线的方程为 4x 3y 7 0
小结： （1） 点M(x0,y0) 到直线l:ax+by+c=0的距离等于向 量 PM 在l的单位向量n0上射影的长度,； （2）利用直线的法向量,用两向量垂直的充要条件 可求直线方程.
直角三角形，求k的值.
分析：
C
y
B
以A为原点建立直角坐标系， 应该有四个解.
A
x
uuur
uuur
uuur
解: 向量AB (2,3), AC (1, k), BC (1, k 3)
uuur AB
uuur BC时,-2+3(k-3)=0,k=
11 3
,
C
uuur BC
uuur AC时,-1+k(k-3)=0,k=
7.1 点到直线的距离公式
若M(x0y0)是平面上一定点,它到直线l:Ax+By+C=0的距离d为
d | Ax0 By0 C | A2 B2
试用向量方法给出简单的证明
证明 如图, M(x0,y0) 是直线外一定点,P(x,y)是直线上任意
一点,由直线l:Ax+By+C=0,可以取它的方向向量v=(B,-A). y
故
d | Ax0 By0 c |
A2 B2
例1 求点P(1,2)到直线l：2x+y+1=0的距离。 解 由点到直线的距离公式，得
211 2 1
d
5,
22 12
所以点P(1,2)到直线l的距离为 5.
uuur
uuur
例2 若向量 AB =(2,3), AC =(1,k), k∈ R，ΔABC为