浙江省杭州第二中学(东河校区)2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题

2018学年第一学期
杭州二中(东河校区)高一年级期末考试数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）
1．设，，则为（）
A．B．C．D．
2．若A＝{x|0＜x＜}，B＝{x|1≤x＜2}，则A∩B＝（）
A．{x|0＜x＜2} B．＜C．＜＜D．{x|x≥2}
3．集合{α|kπα≤kπ，k∈Z}中的角所表示的范围（阴影部分）是（）
4．的值等于（）
A．B．C．D．
5．下列函数中，既是偶函数，又是[0，+∞）上的增函数的是（）
A．y＝﹣x2B．y＝log2x C．D．y＝|x|
6．将函数y＝sin（2x）的图象向右平移个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为（）A．y＝sin（2x）B．y＝sin（2x）
C．y＝sin2x D．y＝cos2x
7．函数f（x）＝x﹣3+e x的零点所在的区间是（）
A．（0，1）B．（1，3）C．（3，4）D．（4，+∞）
8．设，为两个非零向量，且（x1，y1）（x2，y2），则下列四个等式：
（1）•0；（2）x1x2+y1y2＝0；（3）||＝||；（4）22＝（）2
其中与等价的等式个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，正方形ABP7P5的边长为2，P1，P4，P6，P2是四边的中点，AB是正方形的其中一条边，P1P6与P2P4相交于点P3，则•（i＝1，2，…，7）的不同值的个数为（）
A．7 B．5 C．3 D．1
10．已知函数f（x）＝|log2x|，g（x），＜
，＞
，则方程|f（x）﹣g（x）|＝1的实根个数为（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
二、填空题（本大题有7小题，每空3分，共30分，请将答案填写在答题卷中的横线上）
11．计算：，log69+log64＝．
12．函数f（x）的定义域为．
13．已知单位向量，的夹角为，，，且，则，m＝．14．函数f（x）＝a2﹣x﹣1（a＞0，a≠1）恒过定点，当a＞1时，f（x2）的单调递增区间为．15．已知sin（x），则sin（x）+sin2（）的值是．
16．关于函数，有下列命题
①其图象关于y轴对称；
②当x＞0时，f（x）是增函数；当x＜0时，f（x）是减函数；
③f（x）的最小值是lg2；
④f（x）在区间（﹣1，0）、（2，+∞）上是增函数；
⑤f（x）无最大值，也无最小值
其中所有正确结论的序号是．
17．已知△ABC中，||＝1，•2，点P为线段BC的动点，动点Q满足，则•的最小值等于．
三、解答题（本大题共4小题满分40分，解答应写出文字说明成演算步骤
18．已知角α的终边经过点P（m，4），且，
（1）求m的值；
（2）求的值．
19．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC等腰梯形，，，，，点M满足，点P在线段BC上运动（包括端点）
（1）求∠OCM的余弦值；
（2）若OP⊥CM，求的值．
20．已知函数其中＞，＞，＜＜，其图象与x轴的相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最高点为，．
（1）求f（x）的解析式和单调递增区间；
（2）当，，求f（x）的值域．
21．已知定义域为R的函数f（x）是奇函数．
（1）求a，b的值；
（2）证明：函数f（x）在R上是减函数；
（3）若对任意的θ∈[0，]，f（cos2θ+λsinθ+2）＜0恒成立，求实数λ的取值范围
一、
1．
2．B
3．C
4．
5．D
6．B
7．A
8．
9．C
10．C
二、
11．，log69+log64＝log636＝2．
12．由函数f（x），
＞，
得
解得x＜2且x≠1，
所以函数f（x）的定义域为（﹣∞，1）∪（1，2）．
13．1×1×cos，∴447，∴||．
∵，∴存在实数λ，使得，
即λ（3m），
∴，解得λ，m＝6．
14．函数f（x）＝a2﹣x﹣1（a＞0，a≠1）中，
令2﹣x＝0，解得x＝2，
所以y＝f（2）＝1﹣1＝0，
所以函数f（x）恒过定点（2，0），
当a＞1时，f（x2）1的单调递增区间为（﹣∞，0]．
15．∵，则
＝sin[]+sin2[]
＝sin（x）
，
16．①定义域为R，又满足f（﹣x）＝f（x），所以函数y＝f（x）的图象关于y轴对称，正确．
②令t（x＞0），f（x）在（0，1]上是减函数，在[1，+∞）上是增函数，不正确．
③t2，又是偶函数，所以函数f（x）的最小值是lg2，正确．
④当﹣1＜x＜0或x＞1时函数t是增函数，根据复合函数知，f（x）是增函数，正确．
⑤由③知，不正确．
17．以BC所在直线为x轴，以BC边的高为y轴建立平面直角坐标系，如图．∵，∴B（﹣2，0），C（﹣1，0），
设P（a，0），A（0，b），则﹣2≤a≤﹣1．
∴（﹣a，b），（﹣2﹣a，0），（﹣1﹣a，0）．
∴（﹣3﹣3a，b），
∴（﹣2﹣a）（﹣3﹣3a）＝3a2+9a+6＝3（a）2．
∴当a时，取得最小值．
三、
18．（1）角α的终边经过点P（m，4），且，
可得解得m＝﹣3；
（2）由（1）可得sinα，
7．
19．（1）已知四边形OABC等腰梯形，，，，，点M满足，所以M（3，0），故OM＝3．
CM
进一步整理得，
在△OCM中．
故∠OCM的余弦值为．
（2）设P（x，），所以，，，，
由于OP⊥CM，所以，解得x，
所以，，
所以．
20．（1）函数其中＞，＞，＜＜，其图象与x轴的相邻两个交点之间的距离为，
所以，所以ω＝2．
图象上一个最高点为，．即当x时，函数取最大值3，φ）＝3，由于＜＜，所以φ．
故．
令（k∈Z），解得（k∈Z），
所以函数的单调递增区间为[，]（k∈Z）．
（2）由于，，所以，，，，
故，．
21．（1）由题意，定义域为R的函数是奇函数．得f（0）＝0，f（﹣1）＝﹣f（1），
∴b＝1，a＝2，
那么f（x），
由f（﹣x）f（x），
故得b＝1，a＝2；
（2）由（1）可得f（x），设x1＜x2，
则f（x2）﹣f（x1），
∵x1＜x2，
∴＜
则f（x2）﹣f（x1）＜0，即f（x2）＜f（x1）；
∴函数f（x）在R上是减函数；
（3）由＜，即＜，∵f（1），f（x）在R上是减函数；
∴cos2θ+λsinθ+2＞1，θ∈[0，]，
即2﹣sin2θ+λsinθ＞0，θ∈[0，]恒成立，
设sinθ＝t，（0≤t≤1），
∴2﹣t2+λt＞0，
当t＝0时，2＞0恒成立，
当0＜t≤1时，转化为，
∵函数y在（0，1]递增，
∴，
即λ≥﹣1；
故得实数λ的取值范围[﹣1，+∞）．。