2020年下半年教资考试初中数学真题及答案

2020年下半年中小学教师资格考试 数学学科知识与教学能力试题（初级中学）注意事项：1. 考试时间为120分钟，满分150分。

2. 请按规定在答题卡上填涂、作答。

在试卷上作答无效，不予评分。

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案字母按要求涂黑。

错选、多选或未选均无分。

1. 极限xx xx x 2tan 3sin lim 0++→的值是（ ）。

A. 34B. 23C. ∞D. 不存在 2. 设α为向量m = (2,2,1)和n = (-1,2,2)的夹角，则αcos 是（ ）。

A.31 B. 94 C. 95D. 333. 设()xx f 1=，(]1,0∈x ，则下列不正确的是（ ）。

A. ()x f 在(]1,0上连续 B. ()x f 在(]1,0上一致连续 C. ()x f 在(]1,0上可导 D. ()x f 在(]1,0上单调递减 4. 空间曲面254222=+-z y x 被平面3-=x 截得的曲线是（ ）。

A. 椭圆B. 抛物线C. 双曲线D. 圆 5. 甲乙两位选手通过五局三胜制比赛争夺1000元奖金，前三局比赛结果为甲二胜一负，现因故停止比赛，设在每局比赛中，甲乙获胜的概率都是21，如果按照甲乙最终获胜的概率大小分配奖金，甲应得奖金为（ ）。

A. 500元B. 600元C. 666元D. 750元6. 已知球面方程为1222+++z y x ，在z 轴上一点P 作球面的切线与球面相切与点M ，线段PM 长为22，则在点P 的坐标(0,0,z)中，z 的值为（ ）。

A.2 B. 2 C.3 D. 47. 编制数学测试卷的步骤一般为（ ）。

A. 制定命题原则，明确测试目的，编拟双向细目表，精选试题B. 明确测试目的，制定命题原则，精选试题，编拟双向细目表C. 明确测试目的，制定命题原则，编拟双向细目表，精选试题D. 明确测试目的，制定命题原则，编拟双向细目表，精选试题 8. 解二元一次方程组用到的数学方法主要是（ ）。

A. 降次B. 放缩C. 消元D. 归纳二、简答题（本大题共5 小题，每小题7分，共 35分）9. 计算行列式5317317517537531。

10. 设函数()x f 在[]b a ,上连续，证明()()dx x f dx x b a f bab a⎰⎰=-+。

11. 设A 是3×4矩阵，其秩为 3，已知1η，2η为非齐次线性方程组AX=b 两个不同的解，其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4321x x x x X ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=321b b b b 。

（1）请用1η，2η构造AX=0的一个解，并写出Ax=0的通解；（4分） （2）求 AX=b 的通解。

（3 分）12. 简述进行单元教学设计的基本流程。

13. 简述数学运算的基本内涵。

三、解答题（本大题1小题，10分）14. 已知一束光线在空气中从点 A 到达水面上的点P ，然后折射成水下的点 B （如图所示），射光在空气中的速度为c ，在水中的速度为c '，光线在点P 的入射角为θ，折射角为θ'。

（1）若OP 长为0x ，请写出光线从点 A 到达点B 所需时间 ()0x T 的表达式； （2）若()0x T 是光线由点A 到达点B 所需时间的极小值，证明c c'='θθsin sin 。

四、论述题（本大题1小题，15分）15. 伴随着大数据时代的到来，数据分析已经深入到现代社会生活的各个方面，结合实例阐述在中学数学中培养学生数据分析能力的意义。

五、案例分析题（本大题1小题，20分）阅读案例，并回答问题。

16. 案例：“三角形中位线定理”是八年级学生的学习内容，下面是两位教师的教学片段： （一）教师甲在讲授中位线定理这一内容时，利用“数学软件A ”作了两次测量，一次是验证三角形中位线定理，另一次是验证顺次连接四边形的中点所围成的图形为平行四边形。

教师甲发现，当他让学生动手测量的时候，有一部分学生懒散地坐着，没有刚开始接触该软件时那样积极，课后教师向几位同学询问情况，有学生说这两道题书上都有结论，早就看过了，再去测量是不是有点儿傻?（2）教师乙教师首先让学生探究问题，如图 2，五边形ABCDE 中，点 F 、G 、H 、I 分别是 AB 、BC 、CD 、DE 的中点，J 、K 分别是 FH 、GI 的中点，AE 与JK 有什么关系?学生们马上打开“数学软件A ”进行测量，很快发现AE=4JK ，能不能证明发现的结论呢？学生们没有一点头绪。

教师提示说当遇到问题解决不了的时候，我们是不是进一步先解决容易的问题？教师引导学生去研究三角形中位线定理和顺次连接四边形中点所围成的图形是平行四边形两个问APBP'MN题，经过师生的共同研究，取AD 的中点L 后，学生不仅验证了AE=4JK ，而且高兴地发现 AE 和JK 还存在平行关系，如图3 。

问题：（1）请分别对教师甲和乙的教学进行评价；（10分）（2）请画出适用于本节课教学的“三角形中位线定理”证明的示意图（图中辅助线用虚线表示）；（5 分）（3）结合本案例，请谈谈信息技术在数学中的作用。

（5 分）六、教学设计题（本大题1小题，30分）17. 针对“分式的基本性质”一课完成下列教学设计。

（1）写出教学重点；（6 分）（2）设计新知识（性质均分）的导入和探索过程；（16 分） （3）设计一个运用分数基本性质的问题，并给出解答。

（8分）2020年下半年中小学教师资格考试图2图3数学学科知识与教学能力试题（初级中学）参考答案及解析一、选择题1.【答案】A 。

解析：本题可用等价无穷小求极限。

34232tan 3sin lim 0=++=++→x x x x x x x x x 故本题选A 。

2.【答案】B 。

解析：本题考查空间向量数量积的运算。

42122)1(2=⨯+⨯+-⨯=⋅n m Θ，3122222=++=m ，322)1(222=++-=n ，94334cos =⨯=⋅⋅=∴n m n m α。

故本题选B 。

3.【答案】B 。

解析：本题考查函数的连续性及一致连续性，可导及单调性。

A 选项，因为函数()xx f 1=是初等函数，它在区间(]1,0上有定义，所以在(]1,0上是连续的，正确；B 选项，根据一致连续的定义可知，在区间的任何部分，只要自变量的两个数值接近到一定程度，就可使对应的函数值达到所指定的接近程度。

因为()xx f 1=在区间(]1,0上的图象陡的程度大，取两个接近的数值时，不能保证函数值的接近程度在指定的范围内，所以()x f 在(]1,0上不是一致连续的，错误；C 选项，因为初等函数在定义域内都是可导的，所以函数()x x f 1=在区间(]1,0上可导，正确；D 选项，由函数图象可知，函数()xx f 1=在区间(]1,0内单调递减，正确。

故本题选 B 。

4.【答案】C 。

解析：本题考查空间曲线方程的知识。

根据题意求曲线方程可以把3-=x 代入空间曲面254222=+-z y x 得到方程16422=-y z ，此曲线方程16422=-y z 确定为双曲线。

故本题选 C 。

5.【答案】D 。

解析：本题考查概率求解的知识。

甲乙 2 人每局获胜的概率均为21，甲胜两局乙负局以后，那么甲要是获胜的话就只有 2种情况：（1）接下来一局，甲胜乙负，概率为21；（2）接下来是甲先负一局，然后甲胜，概率为412121=⨯。

综上，甲获胜的概率为434121=+，那么乙获胜的概率为41431=-，所以按照获胜的概率来看，他们分配奖金的比例应该是 3∶1。

故本题选 D 。

6.【答案】C 。

解析：本题考查空间解析几何知识。

连接球面切点 M 与球心O ，MO ⊥PM 。

在直角三角形PMO 中，3)22(12222=+=+=PM OM OP ，因为P 点在 Z 轴上，所以点P 的坐标为（0,0,3）。

故本题选C 。

7.【答案】B 。

解析：本题考查课程标准。

数学试卷设计的步骤：明确测试目的，制定命题原则，精选试题，编拟双向细目录。

故本题选 B 。

8.【答案】C 。

【解析】本题考查数学教学知识。

解二元一次方程组可以用消元的方法把二元一次方程组转化为一元一次方程，其中用到的数学方法是消元。

故本题选 C 。

二、简答题9.【答案】2048。

解析：本题考查行列式的计算。

=⨯==53113171175175311653116317161751675316531731751753753120488-0088-006-227531162-2-2-04-4-46-220753116=⨯=⨯10. 【答案】见解析。

解析：令x b a t -+=，则t b a x -+=，当a x =时，b t =，b x =时，a t =，从而t 的取值范围为[]b a t ,∈，所以()()()()()dx x f dt t f t b a d t f dx x b a f b abaa bba⎰⎰⎰⎰=-=-+=-+11. 【答案】（1）21ηη-；()R k k ∈-，21ηη；（2）()R k k ∈+，211-ηηη解析：（1）∵1η、2η为非齐次线性方程组b AX =的两个不同的解，∴b A =1η①，bA =2η②，①－②得：()021=-ηηA ，∴0=AX 的一个解为21ηη-。

∵矩阵()43<=A R ，∴0=AX 有无数多个解，且自由未知量的个数为 1，∴0=AX 的通解为 ()R k k ∈-，21ηη。

（2）∵1η为非齐次线性方程组b AX =的一个特解，()R k k ∈-，21ηη为0=AX 的通解，∴非齐次线性方程组b AX =的通解为：()R k k ∈+，211-ηηη。

12.【参考答案】单元教学设计的基本流程需从课前、课中、课后三个层次考虑。

课前包括：（1）教材分析：①分析《课程标准》的要求；②分析每课教材内容在整个学期的学习内容和本单元中的地位与作用。

（2）学生分析：①分析学生已有的认知水平和能力状况； ②分析学生存在的学习问题；③分析学生的学习需要和学习行为。

（3）教学目标分析：①知识与能力目标；②过程与方法目标；③情感、态度、价值观目标。

（4）教学重点与难点：①教学重点；②教学难点。

（5）教学方式：确定进行课堂教学所要采取的教学策略、方法与技巧。

（6）教学环境和教学用具：①教学环境的设计与准备；②教学用具的设计与准备。

课中包括：（1）课堂导入；（2）讲授新课；（3）巩固练习；（4）课堂小结；（5）布置作业。

课后包括：（1）对学生学习效果的评价；（2）对教学设计的评价。