矩阵理论经典书籍推荐
第1章 线性空间与线性变换-1
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事实上， a, b R a b ab R; R, a R a a R . 所以对定义的加法与数乘运算封闭． 下面一一验证八条线性运算规律： (1) a b ab ba b a; (2)(a b) c (ab) c (ab)c a(bc) a (b c); (3) R中存在零元素 1, 对于a R , 有
2
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例1 数域 F上的n维向量全体，按n维向量加法与n维 向量的数量乘法构成数域 F上的线性空间 F n 。 例2 数域 F 上 m n 阶矩阵全体，按矩阵的加法 和数乘，构成 F 上的线性空间 F mn 。 例3 数域 F上一元多项式全体按照多项式的加法以 及数与多项式的乘法构成 F 上的一线性空间 F[ x] 。
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第一章 线性空间与线性变换
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§1.1、线性空间的基本概念
线性空间是线性代数最基本的概念之一， 是矩阵论中极其重要的概念之一。它是向 量空间在元素和线性运算上的推广和抽象。
线性空间中的元素可以是向量、矩阵、多 项式、函数等，线性运算可以是我们熟悉 的一般运算，也可以是各种特殊的运算。
数的加法和数与函数的乘法构成线性空间 C[a, b]
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例6 齐次线性方程组 Ax 的所有解的集合构成数 域 R 上的线性空间 N ( A) ，称为 Ax 的解空间， 或矩阵 A 的核空间或零空间，即
N ( A) { x Rn | Ax , A Rmn} Ker( A)
向量个数 n 称为线性空间V 的维数，记为 dimV n
戴华《矩阵论》 第一章线性空间与内积空间
这说明，维数是有限维线性空间的唯一的本质特征。在 同构的意义下，n维向量空间Pn并不只是线性空间V 的一 个特殊例子，而是所有的n维线性空间的代表。即每一个
1 0 C1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0
而基 ( III ) 到基 ( II ) 的过渡矩阵为
1 1 C2 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0
所以
( A , A2 , A3 , A4 ) ( E11 , E12 , E21 , E22 )C1 1 ( B1 , B2 , B3 , B4 ) ( E11 , E12 , E21 , E22 )C2
dim(V1 V2 ) dim(V1 ) dim(V2 ) dim(V1 V2 ).
在维数公式中，和空间的维数不大于子空间维数之和。那么何时等号成立呢？
V1 , V2 是数域 P 上线
性空间 V 的两个有限维子空间，则它们的交 与和
例1.4.6 设 S , K 分别是 n 阶实对称矩阵和反对称矩阵 的全体。显然容易证明 S , K 均为线性空间 R nn 的子
( III )
显然
1 A1 0 0 E11 E22 1 1 0 ( E11 , E12 , E21 , E22 ) 0 1
类似地，
1 A2 0 0 E11 E22 1 1 0 ( E11 , E12 , E21 , E22 ) 0 1 0 1 ( E11 , E12 , E21 , E22 ) 1 0
证明：
1 0 取1= 0 0
0 1 3= 0 0 2= 0 1 1 0
《矩阵的秩的等式及不等式的证明》
《矩阵的秩的等式及不等式的证明》摘要矩阵的秩是矩阵的一个重要特征，它具有许多的重要性质.本文总结归纳出了有关矩阵的秩的等式和不等式命题，以及证明这些命题常用的证明方法，即从向量组、线性方程组、线性空间同构、矩阵分块、矩阵初等变换等角度给出多种证明方法.本文主要解决以下几个问题：用矩阵已知的秩的理论证明矩阵秩的等式和不等式问题；用线性空间的方法证明矩阵秩的等式和不等式问题；用向量组秩的理论证明矩阵秩的等式和不等式问题；用矩阵分块法证明秩的等式和不等式问题.目录第一章绪论 (1)第二章预备知识 (2)第三章用矩阵的秩的理论证明秩的等式和不等式 (3)第四章用线性空间的理论证明秩的等式和不等式 (6)第五章用向量组秩的理论证明秩的等式和不等式 (10)第六章用矩阵分块法证明秩的等式和不等式 (15)第七章小结.................................................错误!未定义书签。
参考文献 (23)致谢 (2)第一章绪论矩阵的秩是矩阵的一个重要特征，是矩阵理论中研究的一个重要内容，它具有许多的重要性质.研究矩阵的秩对于解决矩阵的很多问题具有重要意义.矩阵的秩的等式及不等式的证明对于学习矩阵也是重点和难点，初学者在做这方面的题目往往不知如何下手.笔者归纳了矩阵的秩的常见等式和不等式以及与之相关的一些结论，并从向量组、线性方程组、矩阵分块、矩阵初等变换等角度探索了多种证明方法，它有助于学习者加深对秩的理解和知识的运用，也方便教师教学.目前对矩阵秩的研究已经比较成熟了，但是由于秩是矩阵论里的一个基本而重要的概念，它仍然有着重要的研究价值，有关它的论文时见报端.很多国内外的有关数学书籍杂志对矩阵的秩都有讲述，如苏育才、姜翠波、张跃辉在《矩阵论》（科学出版社、2006年5月出版）中较完整地给出了矩阵秩的理论.北京大学数学系前代数小组编写的《高等代数》（高等教育出版社,2003年7月出版）也介绍了秩的一些性质.但是对秩的等式及不等式的介绍都比较分散，不全面也没有系统化，不方便初学者全面掌握秩的性质.因此有必要对矩阵的秩的等式和不等式进行一个归总，便于学习和掌握.本文通过查阅文献资料，总结归纳出有关矩阵的秩的等式和不等式命题，以及证明这些命题常用的证明方法，从向量组、线性方程组、线性空间同构、矩阵分块、矩阵初等变换等角度给出多种证明方法.主要内容有：（1）用矩阵已知的秩的理论证明矩阵秩的等式和不等式问题；（2）用线性空间的方法证明矩阵秩的等式和不等式问题；（3）用向量组秩的理论证明矩阵秩的等式和不等式问题；（4）用矩阵分块法证明秩的等式和不等式问题.第二章 预备知识定义1矩阵的行向量组的秩称为矩阵的行秩；矩阵的列向量组的秩称为矩阵的列秩；矩阵的行秩和列秩统称为矩阵的秩.定义2如果两个向量组互相可以线性表出，它们就称为等价.定义3 数域P 上的矩阵的初等行（列）变换是指下列三种变换：（1）以数域P 中的一个非零数乘以矩阵的某一行（列）；（2）把矩阵的某一行（列）的c 倍加到另一行（列）；（3）互换矩阵中两行（列）的位置.定义4在一个s n ⨯矩阵A 中任意选定k 行和k 列，位于这些选定的行列交叉点上的2k 个元素按原来的次序组成的k 级行列式称为A 的一个k 级子式.定义5设A 为m n ⨯矩阵,称线性方程组0Ax =的解空间为A 的零空间(即核空间)，记作()N A ,即(){}0N A x Ax ==.引理1[1] 矩阵的行秩等于列秩.引理2[1] 任意两个等价的向量组必有相同的秩.引理3 n 阶方阵A 可逆0A ⇔≠.证明:充分性:当,0≠=A d 由**11()()A A A A E d d ==知A 可逆，且1*1.A A d-= 必要性:如果A 可逆，那么有1-A 使.1E AA =- 两边取列式，得11==-E A A ，因而0≠A .引理4[1] 矩阵的秩是r 的充要条件为矩阵中有一个r 级子式不为0，同时所有的1r +级子式全为0.引理5[1] 如果向量组()I 可以由向量组()II 线性表出，那么()I 的秩不超过()II 的秩. 证明：根据已知可知向量组()I 极大线性无关组可由()II 的极大线性无关组线性表出，根据向量组的基本性质(见参考文献[1])可得，向量组()I 极大线性无关组的向量个数不超过()II 的极大线性无关组的向量个数，即()I 的秩不超过()II 的秩.引理6[1] 在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解的个数为n r -，这里r 表示系数矩阵的秩，n r -也是自由未知量的个数.第三章 用矩阵的秩的理论证明秩的等式和不等式本章主要是利用矩阵已知的秩的理论证明秩的等式和不等式问题，例如行秩等于列秩，秩为r 的充要条件，常见的秩的不等式等等.要掌握并且灵活运用这些知识才能证明下面的命题.这些命题都是一些基本的命题.命题3.1 ()()T r A r A =．证明：由矩阵转置的定义,A 的行向量组就是T A 的列向量组，因此A 的行秩就是T A 的列秩，又由引理1知()()T r A r A =，命题证毕.命题3.2 ()()r kA r A =（其中0k ≠）.证明：kA 的行向量组可由A 的行向量组线性表出，A 的行向量组也可由kA 的行向量组线性表出，因此kA 的行向量组与A 的行向量组等价.由引理2它们的秩相等，再由秩的定义知kA 与A 的秩相等,命题证毕.命题3.3 A 是一个s n ⨯矩阵，如果P 是s s ⨯可逆矩阵，Q 是n n ⨯可逆矩阵，那么()()()r A r PA r AQ ==.证明：令B PA =,由矩阵乘积的秩不超过各因子的秩可知()()r B r A ≤,但是由1A P A -=，又有()()r A r B ≤．所以()()()r A r B r PA ==.另一个等式可以同样地证明,命题证毕.命题3.4[2] 设A 是一个n 阶方阵，则()()()()*,1,10,2n r A n r A r A n r A n =⎧⎪==-⎨⎪≤-⎩如如如.证明：若()r A n =，由引理3，0A ≠，知A 可逆，*1A A A -=可逆，故()r A n *=． 若()1r A n =-，由引理4，A 存在1n -阶子式不为0，因此*0A ≠,()1r A *≥，又因为*0AA A E ==，有()()*r A r A n +≤，即()()*1r A n r A ≤-=，从而()*1r A =．若()2r A n ≤-，则由引理4，A 存在1n -阶子式全为0，于是*=0A ，即()*0r A =．命题证毕.从这个命题可以得出()()*r A r A ≤的结论.命题 3.5［３］ 设A 是一个m n ⨯矩阵，任取A 的s 行t 列,交叉处的s t ⨯个元素按原来的相对位置构成s t ⨯子矩阵C ，则()()r C m n r A s t ++≥++．证明:设D 为A 的s 行所构成的s t ⨯子矩阵，它由C 所在的s 行确定.设()r D d =.则A 的任意一个大于d m s +-阶的子式M 必须至少有1d +行出现在D 中.根据行列式的性质，对这个子式M 按出现在D 中的那些行进行拉普拉斯展开，则可以看出，这个M 可以表示成D 的一些阶子式的线性组合，其中k 为某个大于d 的数.由引理3这些子式全为零.因此任意一个大于d m s +-阶子式M 必须等于零.由秩的定义,()()r A r D m s ≤+-.由行与列的对称性类似地可推出()()r D r C n t ≤+-,两式相加即可得到()()r C m n r A s t ++≥++，命题证毕.命题3.6［４］ 设,A B 都是n 阶矩阵,证明:()()()r AB A B r A r B ++≤+.证明:()()()r AB A B r A B E B ++=++()()r A B E B ≤++()()r A r B ≤+，命题证毕. 例3.1 设A 为n 阶方阵，求证必存在正整数m 使得()()1m m r A r A +=.证明:由于A 为n 阶方阵，则()()()20i n r A r A r A ≥≥≥≥≥,其中i 为正整数,而n 是有限数，上面的不等式不可能无限不等下去，因而必存在正整数m 使得()()1m m r A r A +=.例3.2设A ，B 都是n 阶方阵，E 是n 阶单位矩阵，证明()()()r AB E r A E r B E -≤-+-.证明:因为()()AB E A E A B E -≤-+-,所以()()()()()()()()()r AB E r A E A B E r A E r A B E r A E r B E -=-+-≤-+-≤-+-. 命题3.7设A 为n 阶矩阵，证明:如果2A E =,那么()()r A E r A E n -+-=.证明： 因为()()20A E A E A A A E E E -+=+--=-=,由命题5.3知()()r A E r A E n -+-≤. ①又 ()()()()()2r A E r A E r A E A E r A r A -++≥++-==而2A E =，所以21A =,即0A ≠，()r A n =. 因此()()r A E r A E n -+-≥. ②由①，② 可得()()r A E r A E n -+-=.例3.3[5] 设A ,B 为n 阶方阵,且1=,ABA B -则()()n AB E r AB E r =-++.证明:因为,1-=B ABA 所以()E AB =2.由命题3.7知()()n E AB r E AB r =-++ (1)由 ()()E AB r AB E r +=+,()()E AB r AB E r -=- (2)由(1),(2)知有()()n AB E r AB E r =-++成立.例3.4设A 为n 阶矩阵,且2A A =,证明()()r A r A E n +-=.证明：由2A A =，可得 ()0A A E -=.()()r A r A E n +-≤ ①又因为E A -和A E - 有相同的秩,所以()()()()n r E r A E A r A r E A ==+-≤+- ②由①，② 可得()()r A r A E n +-=.第四章 用线性空间的理论证明秩的等式和不等式本章主要是利用线性空间的维数公式，同构，直和分解，核与值域的一些性质和定理来证明矩阵的一些秩的等式和不等式命题.线性空间和线性变换的知识本来就比较抽象，还要和矩阵的联系起来，是有一定的难度的.这其中要构造一些映射．命题4.1 A 设为n 阶方阵，如果A 的列向量所生成的n R 的子空间()R A 与A 的零空间（即核空间）()N A 的直和为n R ，则()()2r A r A =.证明:根据引理6，要证()()2r A r A =，只要证0AX =与20A X =同解．0AX =的解显然为方程组20A X =的解.下面我们用反证法证明20A X =的任一解Y 同时也是20A X =的解.若0AY ≠，因()0A AY =,故()AY N A ∈.另一方面，()1ni i i AY y R A α==∈∑，其中()12,,,n A ααα=，()12,,,Tn Y y y y =, 从而 ()()0AY R A N A ≠∈⋂,这与()()n R R A N A =⊕矛盾,所以20A X =的任一解同时也是0AX =的解,于是它们同解,故()()2r A r A =.命题4.2 设A 为m n ⨯矩阵，B 为1n ⨯矩阵，证明Sylrester 公式：()()()+-r A r B n r AB ≤.证明:设A 为m n ⨯矩阵，B 为1n ⨯矩阵,考虑1n x X x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1n y Y y ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 方程组0(1)0(2)0(3)ABX BX AY =⎧⎪=⎨⎪=⎩ ,设（1）（2）（3）的解空间分别为AB V ，B V ，A V ，则()dim A V n r A =-，将三者联系起来，作{}AB BX x V ∈，则它为A V 的子空间，从而{}()dim dim AB A BX x V V n r A ∈≤=-，又B V 为AB V 的子空间，作：AB B V V W =⊕一方面()()()()()dim dim dim 11AB B W V V r AB r B r B r AB =-=---=- 下证{}AB W BX X V ≅∈定义 {}:AB f W BX X V →∈()f B ξξ=易知这个映射是单满的，并且满足线性运算条件，所以它是同构映射.{}()()dim dim AB W BX X V r B r AB =∈=-但上面：{}()dim dim AB A BX X V V n r A ∈≤=-.因此 ()()()n r A r B r AB -≥-，即 ()()()r A r B n r AB +-≤．命题4.3 设A 为m n ⨯，B 为n m ⨯矩阵，AB BA =．证()()()()AB r B r A r B A r -+≤+． 证明:设4321,,,w w w w 分别为A ,B ,A B +,AB 行空间,那么()1dim w r A =, ()2dim w r B =()3dim w r A B =+, ()4dim w r AB =由于213w w w +⊆,并由维数公式得:()31212dim dim dim dim w w w w w ≤+=+()21dim w w ⋂-即得:()()()()12dim r A B r A r B w w +≤+-⋂ (1)由于AB 的行向量是B 的行向量的线性组合,所以有24w w ⊆,又AB BA =,所以有14w w ⊆,因此有214w w w ⋂⊆,所以有()()21dim w w AB r ⋂≤ (2).将(2)代入(1)即得: ()()()()AB r B r A r B A r -+≤+.命题4.4 若()()r AB r B =，证明()()r ABC r BC =.证明：设方程组0ABX =与0BX =的解空间分别为AB V ，B V .若()()r AB r B =，则根据引理6知()()dim dim AB B V V = ① 又因为满足0BX =解向量也满足0ABX =,所以AB B V V ⊇ ② 由① ②可推出AB B V V =.要证()()r ABC r BC =，只要证0ABCX =与0BCX =同解. 设方程组0ABCX =与0BCX =的解空间分别为ABC V ，BC V . 显然ABC BC V V ⊇,只要证ABC BC V V ⊆.由0ABCX =知AB B CX V V ∈=,即0BCX =，因此ABC BC V V ⊆，命题得证. 此例是一个有价值的结论.例4.1 n 阶矩阵A 满足2A A =当且仅当()()r A r A E n +-=.证明：先证明必要性.由2A A =知A 相似于形如0110A ⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的对角阵，其中1的个数为()r A ,又E A -与0E A -相似，从而有相同的秩，而0110E A ⎛⎫ ⎪⎪⎪-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 其中0的个数为A 的秩，1的个数()n r A -.所以()()()()()()00r A r E A r A r E A r A n r A +-=+-=+-=.充分性.只要证明对任意X 均有2A X AX =即可.由()()r A r E A n +-=说明,10AX =的解空间1V 与()20E A X -=的解空间2V 满足12n V V R ⊕=,从而对任意X 存在唯一分解12X X X =+其中1122X V X V ∈∈,所以()()()()22121222121200A X A X X A AX A AX A AX X AX AX A X X =+=+=+=+=+=+AX =综上即证2A A =.命题4.5设,A B 分别是,m m m n ⨯⨯矩阵，A 其中为可逆矩阵,证明()().r AB r B = 证明：设121212,(,,...,),(,,...,),(,,...,)m n n AB Q A B Q αααβββγγγ====， 则 1211122212(,,...,),(,,...,),...,(,,...,)m m m n n αααβγαααβγαααβγ=== 因为A 为可逆矩阵，秩为m ，故可将12(,,...,)m ααα看做m 维线性空间的一组基， 则12,,...,n γγγ向量在这组基下的坐标向量分别为12,,...,n βββ.作1212(,,...,),(,,...,)n n l l βββγγγ，在这两个线性空间中构造映射，将12(,,...,)n l γγγ中的每个向量映射到在基12(,,...,)m ααα下的坐标向量，这个映射是一个同构映射，因此1212(,,...,),(,,...,)n n l l βββγγγ这两个线性空间同构，所以1212dim((,,...,))dim((,,...,))n n l l βββγγγ=，而1212dim((,,...,))(),dim((,,...,))()n n l r B l r AB βββγγγ==.所以()().r AB r B = 同理可证明B 当为可逆矩阵时,()().r AB r A =这章主要是利用线性空间和线性变换的一些知识来证明矩阵的秩的等式和不等式命题，难点在于要好好理解线性空间和线性变换的一些知识，重要定理和性质，再把握它们同矩阵的联系.第五章 用向量组秩的理论证明秩的等式和不等式本章主要利用向量组的秩和极大线性无关组的一些知识，以及线性方程组的解空间的维数和系数矩阵的秩的关系来证明秩的等式和不等式.命题5.1设A 是m n ⨯矩阵，B 是m p ⨯矩阵,则()r A 或()()()()r B r A B r A r B ≤≤+. 证明：()A B 列向量组向量的个数比A 和B 多，所以()r A 或()()r B r A B ≤． 下面证明()()()r A B r A r B ≤+.不妨设112,,i i ir A A A 与212,,j j jr B B B 分别是A 与B的列向量组的极大线性无关组,则()A B 的每个列向量均可用向量组121212,,,,,i i ir j j jr A A A B B B线性表出,根据引理5可知()()()()12121212,,,,,i i ir j j jr r A B r A A A B B B r r r A r B ≤≤+=+.命题证毕.命题5.2设A ,B 是m n ⨯矩阵，()()()()()r A r B r A B r A r B -≤±≤+. 证明：先证明()()()r A B r A r B +≤+. 设()12,,n A A A A =,()12,,n B B B B =,则()1122,,n n A B A B A B A B +=+++.不妨设112,,i i ir A A A 与212,,j j jr B B B 分别是A 与B 的列向量组的极大线性无关组，则有111122s i i r ir A k A k A k A =+++()1,2,,s n =221122s i i r ir B l B l B l B =+++112211221122s s i i r ir i i r ir A B k A k A k A l B l B l B +==+++++++即A B +的列向量可以由121212,,,,,i i ir j j jr A A A B B B 线性表出，由引理5知 ()()()()12121212,,,,,i i ir j j jr r A B r A A A B B B r r r A r B +≤≤+=+.再证明()()()r A r B r A B -≤+.由刚证明的结论()()()r A B r A r B +≤+可知()()()()()()()()r A r A B B r A B r B r A B r B =++-≤++-=++,移项得到()()()r A r B r A B -≤+,同理可得()()()r B r A r A B -≤+,因此()()()r A r B r A B -≤+. 综上所述我们证明了()()()()()r A r B r A B r A r B -≤+≤+，对于()()()()()r A r B r A B r A r B -≤-≤+，只要把以上证明过程的B 改成B -即可得证，命题证毕.由命题3.1()()T r A r A =,命题3.2()()r kA r A =（其中0k ≠）和本命题可推知()()()r kA lB r A r B +≤+（其中0kl ≠）.例5.1设A ,B 是m n ⨯矩阵,证明:()()r A B r A B ±≤. 证明:先证明()()r A B r A B +≤. 设()12,,n A A A A = ()12,,n B B B B =,则()1122,,n n A B A B A B A B +=+++ ()()1212,,,,,n n A B A A A B B B =.不妨设112,,i i ir A A A 与212,,j j jr B B B 分别是A 与B 的列向量组的极大线性无关组，则有111122s i i r ir A k A k A k A =+++()1,2,,s n =221122s i i r ir B l B l B l B =+++112211221122s s i i r ir i i r ir A B k A k A k A l B l B l B +==+++++++即A B +的列向量可以由121212,,,,,i i ir j j jr A A A B B B 线性表出,由于 121212,,,,,i i ir j j jr A A A B B B也是来自于()A B 的列向量组的向量,所以A B +的列向量也可以由()A B 的列向量组线性表出,根据引理5可知()()r A B r A B +≤.对于()()r A B r A B -≤, 只要把以上证明过程的B 改成B -即可得证，命题证毕.命题5.3设A 是m n ⨯矩阵，B 是n p ⨯矩阵，如果0AB =，则()()r A r B n +≤. 证明：设 ()12,,,p B B B B =，则()12,,,0p AB AB AB AB ==.故有120p AB AB AB ====,即齐次方程组0AX =有p 个解12,,,p B B B .若()r A r =，则根据引理6,12,,,p B B B 可由n r -个解向量组成的基础解系线性表出.根据引理5有()r B n r =-,()()()r A r B r n r n +≤+-=,命题证毕. 例5.2 A 是m n ⨯矩阵，则()()()()T T T r A A r AA r A r A ===. 证明：由命题3.1知()()T r A r A =.下面我们先证明()()T r A A r A =. 只要证明0T A AX =与0AX =同解便可得到()()T r A A r A =. 一方面，满足0AX =解向量也满足0T A AX =；另一方面，由0T A AX =两边同时左乘T X 得到0T T X A AX =，即()()0TAX AX =，设1n k AX k ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,那么()()2210T n AX AX k k =+=,所以0i k =()1,2,,i n =，0AX =，满足0T A AX =的解也满足0AX =．综上所述0T A AX =与0AX =同解,解空间的维数相等，由系数矩阵的秩与线性方程解空间的维数之间的关系可知()()T n r A A n r A -=-，()()T r A A r A =.对()()T T r AA r A =证明过程与此类似，所以()()()()T T T r A A r AA r A r A ===，命题证毕.例5.3 证明：若线性方程组0AX =的解均为0BX =的解，则()()r A r B ≥. 证明：设方程组0AX =与0BX =的解空间分别为A V ,B V ，若线性方程组0AX =的解均为0BX =的解，则A B V V ⊆,()()dim dim A B V V ≤根据引理6有()()n r A n r B -≤-,即()()r A r B ≥，命题得证.例5.4设A 为m n ⨯矩阵，B 为1n ⨯矩阵，证明0ABX =与0BX =同解的充分必要条件为()()r AB r B =.证明：设方程组0ABX =,0BX =解空间分别为AB V ,B V . 必要性：若AB B V V =，()()dim dim AB B V V =,根据引理6可知()()n r AB n r B -=-,可以推出()()r AB r B =.充分性：若()()r AB r B =，则根据引理6知()()dim dim AB B V V = ①又因为满足0BX =解向量也满足0ABX =,所以AB B V V ⊇ ②由① ②可推出AB B V V =.命题证毕.命题 5.4设A 是数域P 上n m ⨯矩阵，B 是数域P 上m s ⨯矩阵，证明()()(){}min ,r AB r A r B ≤即矩阵乘积的秩不超过各因子的秩.证明: 构造齐次线性方程组0ABX =与0BX =,设方程组0ABX =与0BX =的解空间分别为AB V ,B V .显然，满足0BX =解向量也满足0ABX =,所以AB B V V ⊇,()()dim dim AB B V V ≥, 根据引理6知()()r AB r B ≤.再构造齐次线性方程组0T T B A X =与0T A X =，同理可得()()T T T r B A r A ≤,即()()r AB r A ≤.综上所述()()(){}min ,r AB r A r B ≤.此命题用归纳法可以推广为：如果12m A A A A =那么1()()min j j mA A ≤≤≤秩秩.例 5.4 如果m n ⨯方程组0AX =的解为方程11220n n b x b x b x +++=的解，其中()'12,,,n X x x x =，求证()12,,,n A r r A b b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭.证明：由已知可知0AX =与120,,,n A X b b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭同解，根据引理6它们的系数矩阵的秩相等,所以 ()12,,,n A r r A b b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭.第六章 用矩阵分块法证明秩的等式和不等式本章主要是利用矩阵分块的方法来证明矩阵的秩的等式和不等式，也包括矩阵分解的方法证明秩的等式和不等式，涉及到了矩阵的广义初等变换和广义初等矩阵.例6.1[4] 设A 是数域P 上n m ⨯矩阵，B 是数域P 上m s ⨯矩阵， 求证()()(){}min ,r AB r A r B ≤,即矩阵乘积的秩不超过各因子的秩．证明：设111212122212m m n n nm a a a a aa A aa a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，111212122212s s m m ms b b b b bb B b b b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭令12,,,m B B B 表示B 的行向量，12,,,n C C C 表示C AB =的行向量。
数学矩阵基础知识入门书籍
数学矩阵基础知识入门书籍数学矩阵是现代数学中一项重要的概念，涵盖了广泛的应用领域。
对于初学者来说，选择一本适合自己的入门书籍是非常关键的。
本文将为您推荐几本精选的数学矩阵基础知识入门书籍。
1.《线性代数及其应用》（作者：David C. Lay）这本教材是许多大学线性代数课程的标准教材，简明扼要地介绍了矩阵的基本概念、运算方法和应用。
书中使用了大量的实际案例和解题技巧，帮助读者更好地理解和应用矩阵的基础知识。
此外，书中还包含了丰富的习题和答案，供读者进行练习和复习。
2.《矩阵分析与应用》（作者：R. D. Fulkerson, C. E. Glynn）这本书主要针对具有一定数学基础的读者，深入介绍了矩阵的分析方法和应用。
内容包括矩阵的性质、特征值与特征向量、矩阵的变换等，并结合实际问题进行了详细的案例分析。
该书以严谨的数学推导和逻辑思维为特点，对于希望深入学习矩阵分析的读者来说是一本不可多得的参考书籍。
3.《矩阵论》（作者：G. E. Forsythe）这本经典教材是矩阵论领域的权威之作，适合已经具有一定数学背景的读者进行深入学习。
书中对矩阵的定义、运算、特征和迹等内容进行了详细的讲解，并深入探讨了相关的定理和推论。
同时，这本书还介绍了矩阵应用于数值计算和科学工程等领域的高级方法和算法，对于数学爱好者和专业学者都具有很高的参考价值。
4.《矩阵分析》（作者：Roger Horn, Charles Johnson）这本书是矩阵分析领域的经典教材，适合具有一定数学基础的读者深入学习矩阵的分析方法和技巧。
书中对矩阵的性质、分解、特征值与特征向量等进行了详细的讲解，并通过大量的例题和习题进行了实际应用的演练。
此外，书中还详细介绍了相关的数值算法和应用领域，帮助读者更好地掌握矩阵分析的基础知识。
以上是我为您推荐的数学矩阵基础知识入门书籍，根据您的需求和个人数学水平，您可以选择适合自己的一本或多本进行学习。
通过系统地学习这些基础知识，相信您将能够在数学领域的进一步学习和实践中取得更好的成果。
[转]一些矩阵论的书
![[转]一些矩阵论的书](https://img.taocdn.com/s3/m/ada302ca5ff7ba0d4a7302768e9951e79b896907.png)
[转]一些矩阵论的书线性代数：国内的我觉得李尚志的线性代数和蓝以中的高代简明教程非常好，概念讲解很通俗易懂，学计算技巧的话建议研读许以超的线性代数与矩阵论（第二版），里面有传说中的打洞技巧。
龚晟写了本小书《线性代数五讲》，观点很高，阅读时需要有一定代数基础。
国外的最好的书我认为是strang的Linear Algebra and Its Applications 最新是第三版，这本书临睡前看可能兴奋的让人失眠的，其中有侯自新翻译的第2版的译本叫线性代数及其应用。
strang在mit 讲课视配套的是An Introduction To Linear Algebra，找不到电子版，国内近几年引进的David C Lay的Linear Algebra And Its Applications 与leon的Linear Algebra with Applications都不错。
最近读过的David.Poole的Linear Algebra 内容上同lay的书差不多，但讲解要清晰，是一本难得的好书。
国外的线性代数书籍基本上结合一些数值分析方面的问题，而且讲国内书不常讲的svd，LMS，有时还讲一点伪逆，一般结合应用，讲的非常好，也让人感觉线性代数非常美。
矩阵论：Meyer C.D的Matrix analysis and applied linear algebra很好懂，可作为线性代数到矩阵论的过渡书籍。
张贤达的《矩阵分析与应用》与Horn,R.A.的Matrix Analysis 可作为参考手册，经常翻翻不坏。
方保镕的矩阵论书有几章不错，比如广义逆那章。
程云鹏的矩阵论已经出到第3版了（和第2版区别不大），是许多学校的考博参考书，我觉得一般。
矩阵计算：Watkins D. Fundamentals of Matrix Computations最容易最好看的矩阵计算书籍，千万别错过！GENE.H.GOLUB 矩阵计算，经典名著，网上有评价。
矩阵论简明教程第三版大纲
矩阵论简明教程第三版大纲矩阵论简明教程第三版大纲一、引言1.1 矩阵的起源与发展1.2 矩阵的重要性和应用领域1.3 本教程的目标和结构二、基本概念与运算2.1 矩阵的定义和表示方法2.2 矩阵的分类2.3 矩阵的加法和减法运算2.4 矩阵的数乘和乘法运算2.5 矩阵的转置和共轭2.6 矩阵的逆与伴随矩阵三、矩阵的性质与定理3.1 矩阵的秩与行列式3.2 矩阵的迹和特征值特征向量3.3 矩阵的相似与对角化3.4 矩阵的正交与正定性3.5 矩阵的幂与指数函数四、线性方程组与矩阵方程4.1 线性方程组的矩阵表示4.2 线性方程组的解的存在唯一性4.3 线性方程组的消元与求解4.4 齐次线性方程组和非齐次线性方程组4.5 矩阵方程的求解方法五、特殊类型的矩阵5.1 对角矩阵和对称矩阵5.2 单位矩阵和零矩阵5.3 上、下三角矩阵和稀疏矩阵5.4 奇异矩阵和可逆矩阵5.5 正交矩阵和酉矩阵5.6 块矩阵和分块矩阵六、矩阵的应用6.1 线性代数与几何关系6.2 信号处理与图像形成6.3 优化与最优化问题6.4 数据分析与模式识别6.5 网络流与最短路径6.6 随机过程与马尔可夫链七、扩展阅读与学习资源7.1 矩阵论的经典著作推荐7.2 相关课程和在线学习资源7.3 学术期刊和研究机构推荐7.4 矩阵论在实践中的应用案例八、结语8.1 矩阵论的重要性与现实意义8.2 矩阵论的未来发展方向8.3 鼓励读者深入学习和研究的话语这是一本针对矩阵论的简明教程第三版的大纲。
本教程旨在介绍矩阵论的基本概念、性质与定理、线性方程组与矩阵方程、特殊类型的矩阵、矩阵的应用等内容，并提供相关领域的扩展阅读和学习资源。
通过阅读本教程，读者将了解到矩阵的起源与发展，以及矩阵在各个领域中的广泛应用。
教程从基本概念与运算开始，介绍了矩阵的定义和表示方法，矩阵的加法、减法、数乘和乘法运算，以及矩阵的转置和共轭。
随后，阐述了矩阵的逆与伴随矩阵的概念与性质。
新理解矩阵(1-6全)
新理解矩阵1前边我承诺过会写一些关于自己对矩阵的理解。
其实孟岩在《理解矩阵》这三篇文章中，已经用一种很直观的方法告诉了我们有关矩阵以及线性代数的一些性质和思想。
而我对矩阵的理解，大多数也是来源于他的文章。
当然，为了更好地理解线性代数，我还阅读了很多相关书籍，以求得到一种符合直觉的理解方式。
孟岩的blog已经很久没有更新了，在此谨引用他的标题，来叙述我对矩阵的理解。
当然，我不打算追求那些空间、算子那些高抽象性的问题，我只是想发表一下自己对线性代数中一些常用工具的看法，比如说矩阵、行列式等。
同时，文章命名为“理解矩阵”，也就是说这不是矩阵入门教程，而是与已经有一定的线性代数基础的读者一起探讨关于矩阵的其他理解方式，仅此而已。
我估计基本上学过线性代数的读者都能够读懂这篇文章。
首先，我们不禁要追溯一个本源问题：矩阵是什么？我们不妨回忆一下，矩阵是怎么产生的。
矩阵可以看成是一个个向量的有序组合，这说明矩阵可以类比向量；但是向量又是怎么产生的？向量则是一个个数字的有序组合，这又把我们的研究方向指向了“数字是什么”这个问题上。
比如，数字1是什么？它可以代表1米，可以代表1千克，也可以代表1分钟、1摄氏度甚至1个苹果。
它为什么有这么多的表示意义？答案很简单，因为在本质上，它什么都不是，它就是数字1，一个记号，一个抽象的概念。
正因为它抽象，它才可以被赋予各种各样直观的意义！回到矩阵本身，我们才会明白，矩阵的作用如此之大，就是因为书本上那个很枯燥的定义——矩阵就是m行n列的一个数表！它把矩阵抽象出来，让它得到了“进化”。
它是一个更一般化的概念：一个向量可以看作一个矩阵，甚至一个数都可以看成一个矩阵，等等。
代数方面的理解当然，上述说法是含糊的，我们还是需要确切知道它究竟有什么用？这可以从代数和几何的角度来分析，因为做到数形结合才是最完美的。
首先我们知道数学最基本的元素就是数字，严格来说是自然数，如0，1，2，...；有了数字，我们就可以做到很多东西。
同济大学--矩阵分析课件---矩阵论§1.1
= −2.
方阵行列式的运算性质
(1) (2)
AT = A ;
λ A = λn A ;
(3)
AB = A B
6. 方阵的迹
定义: n 阶方阵 A 的对角元素的和称为 A 的迹， 记作 tr( A)，即
tr( A) = a11 + a 22 +
方阵迹的运算性质
(1) tr( A) + tr( B ) = tr( A + B ) ;
(1) (2) (3) (4)
(AT)T = A; (A+B)T = AT + BT; (λA)T = λAT; (AB)T = BTAT;
5. 方阵的行列式
定义: 由n 阶方阵A 的元素所构成的行列式叫做 方阵A 的行列式, 记作 | A | 或 detA .
⎛ 2 3 ⎞, 则 A = 2 3 例如: A = ⎜ ⎟ 6 8 6 8⎠ ⎝
• • • • • • 基础知识和矩阵的分解 矩阵的标准形 线性空间与线性变换 内积空间 矩阵分析 矩阵的广义逆
线性代数基础知识
• 矩阵的基本运算 • 线性方程组的解的结构以及求解方法 • 矩阵的特征值与特征向量 • 实对称矩阵的基本性质
§1.1 矩阵的基本运算
定义: 由m×n个数 aij ( i =1, 2, ···, m; j =1, 2, ···, n ) 排成的 m 行 n 列的数表: a11 a12 a1 n a 21 a 22 a2n
+ a nn
( 2) tr( kA) = k tr( A) ;
( 3) tr( AB ) = tr( BA) ;
7. 共轭矩阵
定义: 当 A = (aij) 为复矩阵时, 用 a ij 表示aij 的共轭 复数, 记 A = (a ij ), 称 A 为A 的共轭矩阵. 运算性质 设A, B为复矩阵, λ为复数, 且运算都是可行的, 则:
工程矩阵理论
精彩摘录
精彩摘录
《工程矩阵理论》是一本深入浅出，理论与实践相结合的优秀教材。它用清 晰的语言和丰富的例子，为读者揭示了矩阵理论在工程领域中的广泛应用和深远 影响。以下是本书中的一些精彩摘录，它们从不同的角度展示了矩阵理论的魅力 和重要性。
精彩摘录
“矩阵不仅是数学中的一个基本工具，也是工程师解决实际问题的重要武器。 在信号处理、控制系统、电路设计、图像处理等领域，矩阵理论都发挥着不可替 代的作用。”这段话强调了矩阵理论在工程实践中的广泛应用，提醒我们要重视 矩阵理论的学习和应用。
目录分析
目录分析
《工程矩阵理论》是一本专注于工程领域的矩阵理论教材，其目录结构精心 组织，内容深入且全面。本书旨在向工科研究生提供关于矩阵论的深入理解和应 用技能。以下是对这本书目录的详细分析。
目录分析
目录首先引入了“线性空间与线性映射”这一章节。线性空间是矩阵理论的 基础，它定义了向量空间的性质和运算规则。线性映射则描述了线性空间之间的 变换关系，这是理解矩阵在空间中如何操作的关键。
精彩摘录
“矩阵的秩是矩阵理论中的一个核心概念，它反映了矩阵行列之间的线性关 系。在解决实际问题时，通过计算矩阵的秩，我们可以判断系统的可控性、可观 性、稳定性等关键性质。”这段话揭示了矩阵秩在工程问题中的重要应用，体现 了矩阵理论在解决实际问题中的价值。
精彩摘录
“特征值和特征向量是矩阵理论中的两个重要概念，它们与矩阵的对角化、 相似变换等概念紧密相关。在控制系统的稳定性分析、信号处理中的滤波器设计 等领域，特征值和特征向量的应用广泛而深入。”这段话展示了特征值和特征向 量在矩阵理论中的重要地位，以及它们在工程实践中的应用。
精彩摘录
“矩阵分解是矩阵理论中的一个重要方法，它可以将一个复杂的矩阵分解为 几个简单的矩阵的乘积。通过矩阵分解，我们可以简化计算过程，揭示矩阵的内 在结构，为解决实际问题提供便利。”这段话阐述了矩阵分解的重要性和应用， 体现了矩阵理论在解决实际问题中的灵活性和实用性。
矩阵论(2016研究生) 百度文库第2版, 杨明、刘先忠编著
6 欧氏空间中向量的夹角： 定义：0，0，夹角定义为： cos= ( , ) 和 正交 （，）=0
7 线性空间的内积及其计算： 设{1，2，…, n } 是内积空间Vn(F)的基， ，Vn(F)，则有 =x11＋x22＋…＋x n n = (12… n)X； =y11＋y22＋…＋y n n= (1 2… n)Y 度 (，)=
归纳：
任何线性空间V n[F]在任意一组基下的坐标属于Fn 。 每一个常用的线性空间都有一组“自然基”，在这 组基下，向量的坐标容易求得。 求坐标方法的各异性。
2、 线性空间V n（F）与Fn的同构
坐标关系
V n （F）
基{1，2，。。。 n}
Fn
由此建立一个一一对应关系
V n （F），X Fn， （）=X （1+2）=（1）+（2） （k）=k（）
V n （F）表示数域F上的 n 维线性空间。 只研究有限维线性空间。
三、坐标
1 定义 1 .3 （P . 3)设{1，2，…， n } 是空间 n Vn ( F ) 的一组基， Vn ( F ) ， = xi i ，则x1 ， i 1 x2， …， xn 是在基{i}下的坐标。
矩阵被认为是最有用的数学工具，既适用于应用 问题，又适合现代理论数学的抽象结构。
二、教学安排
学时配置 讲授第1章至第6章 (36学时) 第1章：8学时; 第2章：6学时 第3章：6学时； 第4章：6学时； 第5章：6学时； 第6章：4学时
考核方式：课程结束考试
三、教学指导意见
背景要求：线性代数 矩阵与计算工具：MATLAB，MAPLE, … 矩阵与现代应用：应用选讲 教学参考书：
矩阵论
课程：矩阵论（Matrix Theory） 学时： 36学时 （36 Lectures） 教材：矩阵论（第2版， 杨明、刘先忠编著）， 华中科技大学出版社，2005
矩阵式管理书籍
矩阵式管理书籍
矩阵式管理是一种组织结构，其中员工同时向多个经理报告。
这种结构有助于加强不同部门之间的协作和合作，但也可能导致角色和责任模糊。
以下是一些关于矩阵式管理的书籍：
1. 《矩阵组织：从战略到运营》（作者：David al.）：这本书详细介绍了矩阵式组织的概念、优势和挑战，并提供了实用的案例和工具，帮助读者了解如何实施和管理矩阵式组织。
2. 《矩阵领导力》（作者：Mike Robbins）：这本书探讨了矩阵领导力的概念，以及如何通过有效的领导来提高矩阵组织的效率和绩效。
它提供了实用的领导技巧和工具，帮助读者在复杂的组织结构中成功地领导团队。
3. 《矩阵式管理》（作者：Clayton M. Christensen）：这本书详细介绍了矩阵式管理的概念、原则和实践，并提供了丰富的案例和工具，帮助读者了解如何实施和管理矩阵式组织。
4. 《项目管理中的矩阵式管理》（作者：John Smart）：这本书专注于项目管理中的矩阵式管理，探讨了如何通过有效的项目管理来提高矩阵组织的效率和绩效。
它提供了实用的项目管理技巧和工具，帮助读者在复杂的组织结构中成功地管理项目。
这些书籍提供了对矩阵式管理的深入理解和实用建议，可以帮助您更好地实施和管理矩阵式组织。
雅可比矩阵和行列式
雅可比矩阵和行列式-概述说明以及解释1.引言1.1 概述雅可比矩阵和行列式是线性代数中的两个重要概念，它们在数学和物理学等领域中具有广泛的应用。
雅可比矩阵是由一组向量的偏导数组成的方阵，而行列式则是一个矩阵的一个标量值。
雅可比矩阵在数学和工程领域中有着广泛的应用。
它可以用来描述多变量函数的导数，从而在优化和控制理论中起到关键作用。
雅可比矩阵还可以用来解决线性方程组、求解非线性方程和最小二乘法等问题。
在机器学习和人工智能领域，雅可比矩阵常常用于计算梯度和求解优化问题。
行列式是线性代数中另一个重要的概念。
它是一个方阵的一个标量值，常用来描述线性变换对空间的拉伸和旋转效果。
行列式的值可以告诉我们方阵的特征，比如它是否可逆或奇异。
行列式也可以用来解决线性方程组的问题，判断线性相关性和计算向量的体积。
本文将从定义、性质、计算方法和应用领域四个方面介绍雅可比矩阵和行列式。
首先，我们将给出雅可比矩阵和行列式的数学定义，为读者提供清晰的概念框架。
然后，我们将详细讨论它们的性质，包括可逆性、特征值和特征向量等。
接下来，我们将介绍计算雅可比矩阵和行列式的方法，包括手工计算和数值计算。
最后，我们将探讨雅可比矩阵和行列式在各个领域的应用，包括优化、控制理论、机器学习等。
通过对雅可比矩阵和行列式的全面讨论，本文旨在帮助读者深入理解它们的概念和应用。
这将为读者在数学和工程领域的学习和研究提供基础，并鼓励读者进一步探索相关领域的知识。
在本文的结论部分，我们将总结主要观点，并展望未来对雅可比矩阵和行列式的研究方向。
最后，我们还将提供一些建议进一步阅读的参考资料，以便读者深入学习和了解这一领域的更多内容。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以描述整篇文章的组织和内容分布。
以下是可以使用的示例内容：在本篇文章中，我们将讨论雅可比矩阵和行列式的相关概念、性质、计算方法和应用领域。
文章主要分为四个部分。
第一部分是引言部分。
我们将概述本文的主题，介绍雅可比矩阵和行列式在数学和应用领域的重要性。
学习矩阵论有什么书推荐？
矩阵论是现代数学中的重要分支，它在各个领域中都有广泛的应用，如物理学、计算机科学、统计学等。
学习矩阵论可以帮助我们更好地理解和解决实际问题，因此推荐以下几本书籍供大家参考。
1.《线性代数及其应用》（Linear Algebra and Its Applications）这是一本经典的线性代数教材，由Gilbert Strang撰写。
这本书详细介绍了线性代数的基本概念，如向量、矩阵、线性变换等，并探讨了线性代数在各个领域中的应用。
书中还包括了大量的例题和习题，帮助读者更好地理解和掌握知识。
2.《矩阵分析与应用》（Matrix Analysis and Applied Linear Algebra）这是一本由Carl D. Meyer撰写的矩阵论教材，它介绍了矩阵论的基本理论和应用。
书中包括了大量的例题和习题，可以帮助读者更好地理解和掌握知识。
书中还介绍了一些高级的矩阵理论，如奇异值分解、特征值分解等，这些理论在实际问题中有着广泛的应用。
3.《矩阵计算》（Matrix Computations）这是一本由Gene H. Golub和Charles F. Van Loan撰写的矩阵论教材，它介绍了矩阵计算的基本理论和算法。
书中包括了大量的算法和代码实现，可以帮助读者更好地理解和掌握知识。
书中还介绍了一些高级的矩阵计算方法，如特征值计算、奇异值计算等，这些方法在实际问题中有着广泛的应用。
通过学习以上推荐的书籍，我们可以深入了解矩阵论的基本理论和应用，掌握矩阵计算的基本算法和方法，从而更好地解决实际问题。
学习矩阵论是非常重要的，它不仅可以帮助我们理解和解决实际问题，还可以提高我们的数学素养和分析能力。
我推荐大家选择一本适合自己的矩阵论教材，认真学习并掌握其中的知识。
矩阵之美基础篇
精彩摘录
除了以上这些摘录，书中还有许多其他精彩的观点和解释。这些内容不仅有 助于我们更好地理解矩阵的本质和应用，还能够激发我们对数学的热爱和探索精 神。
精彩摘录
《矩阵之美基础篇》这本书的精彩摘录让我们更加深入地认识到了矩阵的奥 秘和魅力。通过阅读这本书，我们可以更好地掌握矩阵的基本概念和运算方法， 同时也可以了解到矩阵在各个领域的应用和价值。
目录分析
这本书还注重培养读者的数学思维和问题解决能力。在每个主题的介绍中， 作者都提供了丰富的思考题和练习题，这些题目不仅可以帮助读者巩固所学的知 识，还可以培养他们的数学思维和解决问题的能力。
目录分析
《矩阵之美基础篇》这本书的目录设计合理，内容丰富且深入浅出，是一本 非常优秀的矩阵入门教材。无论是对于数学专业的学生还是对于对数学有兴趣的 普通读者来说，这本书都是一个非常好的选择。
矩阵之美基础篇
读书笔记
01 思维导图
03 精彩摘录 05 目录分析
目录
02 内容摘要 04 阅读感受 06 作者简介
思维导图
本书关键字分析思维导图
介绍
这些
基础
通过
学习
应用
理解
矩阵
矩阵
读者 基础
性质
之美
领域
基本
可以
之美
理论
深入
内容摘要
内容摘要
《矩阵之美基础篇》是一本关于矩阵理论的科普读物，旨在向读者介绍矩阵的基本概念、性质和 实际应用。本书以深入浅出的方式，引领读者走进矩阵的神奇世界，探索矩阵的奥秘。 本书介绍了矩阵的定义和基本性质，以及矩阵的加法、数乘和乘法等基本运算。通过这些基础知 识，读者可以建立起对矩阵的基本认识，为后续的学习打下坚实的基础。 接着，本书深入探讨了矩阵的特征值和特征向量。通过矩阵的特征值和特征向量，可以揭示矩阵 的本质特征，进一步理解矩阵在各个领域中的应用。书中还介绍了矩阵的相似变换和线性变换， 让读者了解矩阵在几何变换和线性代数中的重要作用。 《矩阵之美基础篇》还详细介绍了矩阵的逆和行列式。行列式是矩阵的一个重要属性，而矩阵的 逆则与线性方程组、概率论等多个学科领域密切相关。通过这些内容的学习，读者可以更加深入 地理解矩阵的数学意义和实际意义。
九大博弈论经典入门书籍推荐
九大博弈论经典入门书籍推荐博弈论的目的在于巧妙的策略，而不是解法。
我们学习博弈论的目的，不是为了享受博弈分析的过程，而在于赢得更好的结局。
通读九大博弈论经典入门书籍，相信你再也不会认为博弈论是一门远离自已生活的玄学，而会把它当成分析和描述自已身边事情的有效方法。
1、《博弈的智慧》柏拉图说：“我们背对着山洞口静坐，对于在我们背后绵延展开的壮丽世界，我们充满想像，却一无所知。
”职场上的员工就如这些盲目的静坐者，而职场生涯则是他们背后深邃幽暗的隧道。
面对复杂的职场关系，人们应避免误入歧途，掉进职业发展中的陷阱。
博弈是双方“斗智斗勇”的过程，也是当事人谋求长期利益最大化的基本手段。
在一种较为完善的经济制度下，对博弈双方来说都是公平的，这时要看谁更技高一筹，正所谓优胜劣汰，败者出局。
这也是商界的生存法则。
不知道从什么时候开始，“协作”、“团队精神”这样的名词开始频频出现在我们的生活之中。
我们也越来越深刻地认识到了协作的效果。
事实证明，1+1>2。
针对于这种现象，博弈论为它起了一个有趣的名字——猎鹿博弈。
2、《每天学点博弈论全集》本书共分三篇，主要介绍了博弈的一些基本原理，以及博弈在生活、营销、投资、管理、谈判、处世、人际、职场、爱情、生存等方面给予人们的指导，通过一个个生动鲜活的事例向人们展示经验教训，从而使人们能够感悟到生存的智慧和方略。
3、《博弈一点通》由北京原创天下出版社出版，陆晓燕编著的《博弈一点通》一书：如果用一种最简单的现象来帮助人们理解零和博弈，其实就是赌博，在赌场里，赢家赢得钱与输家输掉的一样多。
同样的一群人，面对的是同样的处境，可他们的结果却是相差甚大。
事实上，由于人类所过的是一种群体生活，人只要生活在这个社会里，就离不了与其他人的交往，而这就形成了一种特定的关系。
4、《左手博弈论右手心理学大全集》博弈论原是数学运筹中的一个支系，是一门用严谨的数学模型研究冲突对抗条件下最优决策问题的理论，它是对世事的一种有效的分析方法。
01南航戴华《矩阵论》第一章线性空间与内积空间
注意：
通过上面的例子可以看出线性空间的基底并不
唯一，但是维数是唯一确定的。由维数的定义,
线性空间可以分为有限维线性空间和无限维线性 空间。目前，我们主要讨论有限维的线性空间。
N(A)称为矩阵A的零子空间或核空间,也记为Ker(A)；
例1.4.1
对于任意一个有限维线性空间 V ，它必
有两个平凡的子空间，即由单个零向量构成的子空
因此
所以
V1
V2 的基为 2 ，维数为 dim(V1
V2 ) 1.
由例1.4.4 由前得
V1 V2 span(1 , 2 , 1 , 2 )
5 2 0 1 l2 2 l 2 1 l 2 2 3 3 5 2 即 2 0 1 2 1 3 3 然而 1 , 2 , 1 线性无关，这样 1 , 2 , 1 是
2
nn
这说明，维数是有限维线性空间的唯一的本质特征。在 同构的意义下，n维向量空间Pn并不只是线性空间V 的一 个特殊例子，而是所有的n维线性空间的代表。即每一个
数域P上的线性空间都与n维向量空间Pn同构。因此n维向
求 V1
V2 、V1 V2 的基与维数。
解 设 V1
所以可令 解关于
V2
，则
V1， V2
k11 k2 2 = l11 l2 2
k1 , k2 , l1 , l2 的齐次方程组，得
5 2 k1 0, k2 l2 , l1 l2 3 3 5 = k1 1 k2 2 l2 2 . 3
4 3 4 2 1 4
23 18 4
例1.3.5 已知矩阵空间 R 2 2 的两组基：
矩阵分析-(1)(终)
《矩阵分析》 · 徐赐文
《矩阵分析》
1.教材：
《矩阵分析》史荣昌编，北京理工大学出版社
2.参考书：
《矩阵分析学习指导》魏丰，史荣昌等编， 北京理工大学出版社
2014-3-16
第一章 线性空间和线性映射
《矩阵分析》 · 徐赐文
难点: 求线性映射的值域、核的基与维数
2014-3-16
第一章 线性空间和线性映射
《矩阵分析》 · 徐赐文
首先, 我们回忆一下《线性代数》中的向量.
向量的运算及性质
负向量： 向量 ( a1 , a2 ,, an ) 称为向量 的负向量
2014-3-16
第一章 线性空间和线性映射
《矩阵分析》 · 徐赐文
向量的差： ( )
2014-3-16
第一章 线性空间和线性映射
《矩阵分析》 · 徐赐文
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第一章 线性空间和线性映射
《矩阵分析》 · 徐赐文
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第一章 线性空间和线性映射
《矩阵分析》 · 徐赐文
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第一章 线性空间和线性映射
《矩阵分析》 · 徐赐文
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第一章 线性空间和线性映射
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第一章 线性空间和线性映射
《矩阵分析》 · 徐赐文
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第一章 线性空间和线性映射
《矩阵分析》 · 徐赐文
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第一章 线性空间和线性映射
《矩阵分析》 · 徐赐文
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第一章 线性空间和线性映射
《矩阵分析》 · 徐赐文
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该书前后出了三版，1996年出的第三版（第四版本来在准备中，不过去年Gene Howard Golub不幸辞世，不知何时能看到第四版啊），有中译本，是中科院袁亚湘等翻译的，科学出版社出版，英文原版也能找得到，但效果都不太好，有钱的人可以去买本，值得收藏的（664页，四五十美圆好象）。这是关于矩阵计算的最重要的著作，是传世之作，搜索表明这本书至少被引用过15,000次。
2、《矩阵分析与应用》
由清华大学的张贤达教授编写，因为作者本身是研究通信的专家，将矩阵的分析分为梯度分析、奇异值分析、特征分析、子空间分析与投影分析五大部分，理论与应用密切结合。介绍了矩阵分析的丰富理论和大量应用，灵活解决科学和工程技术中的大量问题。但是存在一些错误，需要自己辨识，也是很好的工具书。
所以，要是喜欢矩阵计算方面的研究，这是必读之书。
我个人建议对矩阵计算感兴趣的同学，本科生应该在大三，大四去读它。研究生，
研一就开始读（许多国外大学，都把它作为教材，当然，暂时我们这里不可能实现，所以只有自己去读了）。
为什么我推荐这个时间读，主要是因为，一旦你喜欢科研，大三，大四会比较空闲，也有能力去读了，
说了那么多，言归正传，“这本书系统地介绍了矩阵计算的基本理论和方法。内容包括：矩阵乘法、矩阵分析、线性方程组、正交化和最小二乘法、特征值问题、Lanczos方法、矩阵函数及专题讨论等。书中的许多算法都有现成的软件包实现，每节后还附有习题，并有注释和大量参考文献。本书可作为高等学校数学系高年级本科生和研究生教材，亦可作为计算数学和工程技术人员的参考用书。”呵呵，这是书的正规简介。我不多言了。
这也是检验你是否喜欢科研的一个方法。至于研究生，只有研一开始，你才能静心读完，因为现实决定我们要发论文，
有了这个要求，人就容易浮躁，静不下心，总想搞篇文章，急功近利之心不能使你认真读此书，也就打不坚实的基础。
我个人就是个例子，虽然我给你们说的很好，但我从没有真正从头到尾详细的看一遍，因为我接触晚了，
《Matrix Computation》
是Gene Howard Golub和Charles F. van Loan合作撰写的一部关于矩阵计算的专著。说起这本书就不得不说说书的作者，特别是Gene Howard Golub，他可以说是计算数学界的大牛，是那种牛的不能再牛的牛，其中他最著名的成果是关于矩阵奇异值分解的计算算法，就是他提供的简单的，稳定的算法影响了整个计算数学的进展，搜索表明有大约67,000篇重要的英文文章涉及到他的研究成果，当然中文可能更多，不信可以去CNKI上搜下。他是美国Stanford University的终身教授，美国两院的院士，著作等身，很多计算数学方向的大家都是他的学生。更多的大家都与他有合作研究。虽然他是大家，牛人，但他非常喜欢辅导、提携年轻人，亲自指导学生研究。同时，他对中国非常的友好，与中国计算数学界有着很紧密的联系，与石院士等都是很好的朋友，对中国的年轻人也是非常的欣赏及鼓励，一般在中国召开重要的计算数学会，只要邀请，一般都会过来。有个有趣的故事，一次颁发优秀数值分析论文会上，在看到获奖者只有证书没有奖金时，立刻从身上掏出100美圆给了获奖者，从这个方面也看出他对年轻人的支持与鼓励。
等我了解了这个方向，知道了这本书，我已经开始浮躁了，静不下来了，只能挑自己喜欢、需要的看，这是做文章的方法，
但却不是读书、学习的方法。所以我希望、建议喜欢数学，喜欢计算数学，喜欢矩阵计算的同学，
如果你想以科研作为你的毕生追求而不是仅仅拿个学位去工作，你不妨仔细细的看看这本“武林秘籍”吧，
我想你的收获将肯定是出乎你自己的预料的。
3、《矩阵计算》-《Matrix Computations》Third Edition
约翰霍普金斯大学出版的计算类书籍，自问世以来多次印刷和被引用，网上的电子版似乎都不全，系统地介绍了矩阵计算的基本理论和方法.内容包括:矩阵乘法、矩阵分析、线性方程组、正交化和最小二乘法、特征值问题、Lanczos方法、矩阵函数及专题讨论等的实现，是中国科学院研究生教学丛书。可作为计算数学和工程技术人员的参考用书。中文版有翻译和印刷错误。
矩阵理论经典书籍推荐
1、《矩阵分析：卷1，卷2》《MATRIX ANALYSIS》
由美国著名数学家orn教授和C．R．Johnson教授合著，是矩阵理论方面的经典著作，不论是对从事线性代数纯理论研究还是从事应用研究的人员，本书都是一本很好的参考书。
目前国内有两个出版社已经引入，机械工业出版社和人民邮电出版社都有出版。