概率论题库
概率论习题试题集
概率论习题试题集概率论习题试题集第⼀章随机事件与概率⼀、填空题1.已知随机事件A的概率P(A) 0.5，事件B的概率P(B) 0.6，条件概率P(BA) 0.8，则P(A B) __________________________ 。
2.设A，B 为随机事件，已知P(A) 0.3，P(B) 0.4，P(A B) 0.5，贝0 P(AB) _____________ 。
3.甲、⼄两⼈独⽴地对同⼀⽬标射击⼀次，其命中率分别为06和0.5，现⽬标被击中，则它是甲命中的概率为。
4.某射⼿在3次射击中⾄少命中⼀次的概率为0.875，则该射⼿在⼀次射击中命中的概率为________ 。
5.设随机事件A在每次试验中出现的概率为则在3次独⽴试验中A⾄少发⽣⼀次的概率为_________ .6.袋中有⿊⽩两种球，已知从袋中任取⼀个球是⿊球的概率为4,现从袋中不放回地依次取球，则第k次取得4⽩球的概率为_______ 。
7.三台机器相互独⽴运转，设第⼀，第⼆，第三台机器不发⽣故障的概率依次为OS0.8,0.7，则这三台机器中⾄少有⼀台发⽣故障的概率是____________________ 。
8.电路由元件A与两个并联的元件B，C串联⽽成，若A，B，C 损坏与否相互独⽴，且它们损坏的概率依次为0.3,0.2,0.1 ,则电路断路的概率是 ______ 。
9.甲⼄两个投篮，命中率分别为0.7,0.6，每⼈投3次，则甲⽐⼄进球数多的概率是________ 。
10.3⼈独⽴破译⼀密码，他们能独⽴译出的概率分别是1，舄，则此密码被译出的概率是_____ 。
5 3 4⼆、选择题1.对于任意两个事件A，B，有P(A B)为( )(A) P(A) P(B) (B) P(A) P(B) P(AB)(C) P(A) P(AB) (D) P(A) P(B) P(AB)2.设A，B为两个互斥事件，且P(A) 0,P(B) 0，则下列正确的是( )(A) P(AB) P(A) (B) P(BA) 0(C) P(AB) P(A)P(B) (D) P(BA) 03.其⼈独⽴地投了3次篮球，每次投中的概率为0.3，则其最可能失败(没投中)的次数为((A)2 ( B)2 或3(C)3 ( D)14.袋中有5个球(3个新，2个旧)，每次取⼀个，⽆放回地抽取两次，则第⼆次取到新球的概率是( )5. n 张奖券中含有m 张有奖的，k 个⼈购买，每⼈⼀张，其中⾄少有⼀个⼈中奖的概率是()(随机事件、随机事件的关系与运祘)1.指出下⾯式⼦中事件之间的关系：⑴ AB A ； (2) ABC A ； (3) ABA2. ⼀个盒⼦中有⽩球、⿊球若⼲个，从盒中有放回地任取三个球.设A 表⽰事件“第i 次取到⽩球”(i 1,2,3)，试⽤A 的运算表⽰下列各事件.⑴第⼀次、第⼆次都取到⽩球；⑵第⼀次、第⼆次中最多有⼀次取到⽩球；⑶三次中只取到⼆次⽩球；⑷三次中最多有⼆次取到⽩球；⑸三次中⾄少有⼀次取到⽩球.3. 掷两颗骰⼦，设A 、B i分别表⽰第⼀个骰⼦和第⼆骰⼦出现点数i 朝上的事件，试⽤A 、B i表⽰下列事件.⑴出现点数之和为4; (2)出现点数之和⼤于10. (A ) Cm C (B ) 1 C m C n m\ C ) 「kC n(D ) r 、计算题k 1 C k n ~CF C r C k C n (C )(D) 104.对若⼲家庭的投资情况作调查，记A仅投资股票,B 仅投资基⾦,C 仅投资债券，试述下列事件的含义?(1) ABC ；(2) ABC；⑶ AB C ；(4) ABC C ；(5) ABC C .5.⽤集合的形式写出下列随机试验的样本空间及随机事件A.⑴掷⼀颗骰⼦，点数为偶数的⾯朝上；⑵掷⼆颗骰⼦，两个朝上⾯的点数之差为2;⑶把三本分别标有数字1, 2, 3的书从左到右排列，标有数字1的书恰好在最左边；⑷记录⼀⼩时内医院挂号⼈数，事件A｛⼀⼩时内挂号⼈数不超50⼈｝;⑸⼀副扑克牌的4种花式共52张，随机取4张，取到的4张是同号的且是3的倍数.6.对某⼩区居民订阅报纸情况作统计，记A，B,C分别表⽰订阅的三种报纸，试叙述下列事件的含义.⑴同时订阅A,B两种报纸；⑵只订阅两种报纸；⑶⾄少订两种报纸；⑷⼀份报纸都不订阅；⑸订C报同时也订A报或B报中的⼀种；⑹订A报不订B报.7．某座桥的载重量是1000 公⽄（含1000 公⽄），有四辆分别重为600 公⽄，200公⽄，400公⽄和500 公⽄的卡车要过桥，问怎样过法即省时间⽽桥⼜不会损坏。
概率论基础试题
第一章 概率论基础一、填空题1．设7.0)(,4.0)(==B A P A P Y ，若A ，B 互不相容，则=)(B P ， 若A ，B 相互独立，则=)(B P ．2．设31)()()(321===A P A P A P ，321,,A A A 相互独立，则321,,A A A 至少出现一个的概率为 ；321,,A A A 恰好出现一个的概率为 ；321,,A A A 最多出现一个的概率为 ．3．一袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球．今有两人依次随机 地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是 ．4．设在一次试验中，事件A 发生的概率为p ．现进行n 次独立试验，则事件A 至少发生一次的概率为 ；而事件A 至多发生一次的概率为 ．5．三个人独立破译密码，他们能单独译出的概率分别为41,31,51，则此密码被译 出的概率为 ． 二、选择题1．设A 、B 为两个事件，则))((B A B A ++表示 （ ）．（A ） 必然事件； (B) 不可能事件；（C ） A 与B 恰有一个发生； (D) A 与B 不同时发生．2．对事件A 、B ，下列命题正确的是 （ ）．（A ） 如果A 、B 互不相容，则A 、B 也互不相容；（B ） 如果A 、B 相容，则A 、B 也相容；（C ） 如果A 、B 互不相容，且0)(>A P ，0)(>B P ，则A 、B 相互独立；（D ）如果A 、B 相互独立，则A 、B 也相互独立．3．设C AB ⊂，则 （ ）．（A ） C AB ⊃ ； （B ） C A ⊂且C B ⊂；（C ） C B A ⊃Y ； （D ）C A ⊂或C B ⊂．4．设A 、B 是任意两个事件，则=-)(B A P （ ）．（A ） )()(B P A P -； （B ） )()()(AB P B P A P +-；（C ） )()(AB P A P -； （D ） )()()(AB P B P A P -+．5．设A 、B 是任意两个事件，则一定有=+)(B A P （ ）．（A ） )()(B P A P +； （B ） )()()()(B P A P B P A P -+；（C ） )()(1B P A P -； （D ） )()()(AB P B P A P -+．三、计算与证明题1．指明在下列各条件下，事件A ，B ，C 之间的包含关系：（1）若A 和B 同时发生，则C 必发生；（2）A 和B 有一个发生，则C 必发生；（3）若A 发生，则B 必不发生；（4）A 和B 同时发生的充分必要条件是C 不发生；（5）A 发生的充分必要条件是B 不发生．2．对任意的随机事件C B A ,,，证明：)()()()(A P BC P AC P AB P ≤-+．3．将3个球随机地投入4个盒子中,求下列事件的概率：（1）A 是任意3个盒子中各有1个球；（2）B 是任意1个盒子中有3个球；（3）C 是任意1个盒子中有2个球,其它任意1个盒子中有1个球．4．把一个表面涂着颜色的立方体等分成1000个小立方体，从这些小立方体中任意取出一个，求它有k面涂着颜色的概率（k = 0, 1, 2, 3）．5．设OA是Ox轴上长为1的线段，B为OA的中点，C为OA上任一点，求线段OC，CA，OB三线段能构成一个三角形的概率．6．已知在1000个灯泡中坏灯泡的个数从0到5是等可能的,试求：（1）从1000个灯泡中任意取出的100个灯泡都是好灯泡的概率；（2）如果任意取出的100个灯泡都是好的，则1000个灯泡都是好灯泡的概率．7．发报台分别以概率0.6及0.4发出信号“·”及“—”．由于通信系统受到干扰，当发出信号“·”时，收报台以概率0.8及0.2收到信号“·”及“—”；又当发出信号“—”时，收报台以概率0.9及0.1收到信号“—”及“·”．求：（1）收报台收到信号“·”的概率；（2）收报台收到信号“—”的概率；（3）当收报台收到信号“·”时，发报台确系发出信号“·”的概率；（4）当收报台收到信号“—”时，发报台确系发出信号“—”的概率．8．甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊,它们在一昼夜内到达的时刻是等可能的．如果甲船的停泊时间是一小时, 乙船的停泊时间是两小时, 求它们中的任何一艘都不需等候码头空出的概率．。
概率论试题及答案
概率论试题及答案一、选择题1. 一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机抽取一个球，抽到红球的概率是：- A. 1/2- B. 3/8- C. 5/8- D. 1/82. 如果事件A和事件B是互斥的，且P(A) = 0.4，P(B) = 0.3，那么P(A∪B)等于：- A. 0.7- B. 0.6- C. 0.4- D. 0.33. 抛掷一枚硬币两次，出现正面向上的概率是：- A. 1/4- B. 1/2- C. 3/4- D. 1二、填空题1. 概率论中，事件的全概率公式是 P(A) = ________，其中∑表示对所有互斥事件B_i的和。
2. 如果事件A和事件B是独立事件，那么P(A∩B) = ________。
三、计算题1. 一个工厂有3台机器，每台机器在一小时内发生故障的概率是0.01。
求在一小时内至少有一台机器发生故障的概率。
2. 一个班级有50名学生，其中30名男生和20名女生。
如果随机选择一名学生，这名学生是男生的概率是0.6。
求这个班级中男生和女生的人数。
四、解答题1. 解释什么是条件概率，并给出计算条件概率的公式。
2. 一个袋子里有10个球，其中7个是红球，3个是蓝球。
如果从袋子中随机取出一个球，观察其颜色后放回，再取出一个球。
求第二次取出的球是蓝球的概率。
答案一、选择题1. C. 5/82. B. 0.63. B. 1/2二、填空题1. P(A) = ∑P(A∩B_i)2. P(A)P(B)三、计算题1. 首先计算没有机器发生故障的概率，即每台机器都不发生故障的概率，为(1-0.01)^3。
至少有一台机器发生故障的概率为1减去没有机器发生故障的概率，即1 - (1-0.01)^3。
2. 设男生人数为x，女生人数为y。
根据题意，x/(x+y) = 0.6，且x+y=50。
解得x=30，y=20。
四、解答题1. 条件概率是指在已知某个事件已经发生的情况下，另一个事件发生的概率。
计算条件概率的公式是P(A|B) = P(A∩B)/P(B)，其中P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。
概率论复习题及答案
概率论与数理统计复习题一．事件及其概率1. 设A, B, C 为三个事件，试写出下列事件的表达式：(1) A, B, C 都不发生；(2) A, B, C 不都发生；(3) A, B, C 至少有一个发生；(4) A, B, C 至多有一个发生。
解：(1) ABC A B C(2) ABC A B C(3) A B C(4) BC AC AB2. 设A , B 为两相互独立的随机事件, P( A)0.4 , P(B) 0.6 ,求P( A B), P( A B ), P( A | B) 。
解：P( A B) P( A) P(B) P( AB ) P( A) P(B) P( A)P( B) 0.76 ；P( A B) P( AB ) P( A)P( B) 0.16, P( A | B) P(A) 0.4 。
3. 设A, B 互斥，P(A) 0.5 ，P(A B) 0.9 ，求P( B ), P( A B) 。
解：P(B) P(A B) P( A) 0.4, P( A B) P( A) 0.5 。
4. 设P( A) 0.5, P(B) 0.6, P( A | B) 0.5，求P( A B), P( AB) 。
解：P( AB ) P( B)P( A | B) 0.3, P( A B) P( A) P( B) P( AB) 0.8,P( AB ) P( A B) P(A) P( AB ) 0.2 。
5. 设A, B, C 独立且P( A) 0.9, P( B) 0.8, P(C ) 0.7, 求P( A B C) 。
解：P( A B C) 1 P( A B C ) 1 P( ABC ) 1 P( A)P(B) P(C) 0.994 。
6. 袋中有4 个黄球，6 个白球，在袋中任取两球，求(1) 取到两个黄球的概率；(2) 取到一个黄球、一个白球的概率。
解：(1) P2 1 14 ；(2) P 4 6C 8。
概率论习题及答案
概率论习题一、填空题1、掷21n +次硬币，则出现正面次数多于反面次数的概率是 .2、把10本书任意的放到书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率.3、一批产品分一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品是二级品的一半，从这批产品中随机的抽取一件，试求取到二级品的概率 .4、已知()0.7,()0.3,P A P A B =-= 则().P AB =5、已知()0.3,()0.4,()0.5,P A P B P A B === 则(|).P B A B ⋃=6、掷两枚硬币，至少出现一个正面的概率为..7、设()0.4,()0.7,P A P A B =⋃= 假设,A B 独立，则().P B =8、设,A B 为两事件，11()(),(|),36P A P B P A B === 则(|).P A B =9、设123,,A A A 相互独立，且2(),1,2,3,3i P A i == 则123,,A A A 最多出现一个的概率是.10、某人射击三次，其命中率为0.8，则三次中至多命中一次的概率为 . 11、一枚硬币独立的投3次，记事件A =“第一次掷出正面”，事件B =“第二次掷出反面”，事件C =“正面最多掷出一次”。
那么(|)P C AB = 。
12、已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者.今从男女人数相表示为互不相容事件的和是 。
15、,,A B C 中不多于两个发生可表示为 。
二、选择题1、下面四个结论成立的是〔 〕.()().,.().()A A B C A B C B AB C A BC C A B B A D A B B A--=-⋃=∅⊂=∅⋃-=-⋃=若且则2、设()0,P AB =则以下说法正确的选项是〔 〕...()0()0.()()A AB B ABC P A P BD P A B P A ==-=和不相容 是不可能事件或3、掷21n +次硬币，正面次数多于反面次数的概率为〔 〕1..21211.0.5.21nn A B n n n C D n -++++ 4、设,A B 为随机事件，()0,(|)1,P B P A B >= 则必有〔 〕.()()..()().()()A P AB P A B B AC P A P BD P AB P A ⋃=∈==5、设A 、B 相互独立，且P (A )>0，P (B )>0，则以下等式成立的是〔 〕.A P (AB )=0 .B P (A -B )=P (A )P (B ) .C P (A )+P (B )=1.D P (A |B )=06、设事件A 与B 互不相容，且P (A )>0，P (B ) >0，则有〔 〕.A P (AB )=l .B P (A )=1-P (B ) .C P (AB )=P (A )P (B ).D P (A ∪B )=17、已知()0.5P A =，()0.4P B =，()0.6P A B +=，则(|)P A B =〔 〕.A 0.2 .B 0.45 .C 0.6 .D8、同时抛掷3枚均匀的硬币，则恰好有两枚正面朝上的概率为〔 〕.A 0.125 .B 0.25 .C 0.375 .D 0.50 9、设事件,A B 互不相容，已知()0.4P A =，()0.5P B =，则()P AB =〔 〕.A .B .C 0.9 .D 110、已知事件A ，B 相互独立，且()0P A >，()0P B >，则以下等式成立的是〔 〕.A ()()()P A B P A P B ⋃=+ .B ()1()()P A B P A P B ⋃=- .C ()()()P A B P A P B ⋃=.D ()1P A B ⋃=11、设1)(0<<A P ，1)(0<<B P ，1)|()|(=+B A P B A P ，则〔 〕．.A 事件A 与B 互不相容 .B 事件A 与B 相互独立 .C 事件A 与B 相互对立.D 事件A 与B 互不独立12、对于任意两事件A 和B ，)(B A P -=〔 〕．.A )()(B P A P - .B )()()(AB P B P A P +-.C )()(AB P A P -.D )()()(B A P A P A P -+则P 〔AB 〕取到最大值时是〔 〕.A 0.6 .B 0.7 .C 1 .D14、某人忘记了 号码的最后一个数字，因而他随意地拨号。
概率论数学考试题及答案
概率论数学考试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 随机变量X服从标准正态分布，下列哪个值是X的概率密度函数？A. \(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}\)B. \(\frac{1}{2}e^{-|x|}\)C. \(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{x^2}{2}}\)D. \(\frac{1}{2}e^{-\frac{x^2}{2}}\)答案：A2. 已知随机变量X服从二项分布B(n, p)，下列哪个公式是X的期望值？A. \(E(X) = np\)B. \(E(X) = n(1-p)\)C. \(E(X) = p\)D. \(E(X) = 1-p\)答案：A3. 随机变量X和Y相互独立，下列哪个公式是X和Y的协方差？A. \(Cov(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y)\)B. \(Cov(X, Y) = E(X) - E(Y)\)C. \(Cov(X, Y) = E(X) - E(Y) + E(XY)\)D. \(Cov(X, Y) = E(X)E(Y) - E(XY)\)答案：A4. 随机变量X服从泊松分布，其参数为λ，下列哪个公式是X的概率质量函数？A. \(P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}\)B. \(P(X=k) = \lambda^k e^{-\lambda} k!\)C. \(P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}\)D. \(P(X=k) = \lambda^k e^{-\lambda} (k+1)!\)答案：A5. 随机变量X服从均匀分布U(a, b)，下列哪个公式是X的期望值？A. \(E(X) = \frac{a+b}{2}\)B. \(E(X) = a\)C. \(E(X) = b\)D. \(E(X) = \frac{a+b}{3}\)答案：A6. 随机变量X服从指数分布，其参数为λ，下列哪个公式是X的累积分布函数？A. \(F(x) = 1 - e^{-\lambda x}\)B. \(F(x) = e^{-\lambda x}\)C. \(F(x) = 1 - e^{\lambda x}\)D. \(F(x) = e^{\lambda x}\)答案：A7. 随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2)，下列哪个公式是X的方差？A. \(Var(X) = \sigma^2\)B. \(Var(X) = \mu^2\)C. \(Var(X) = \sigma\)D. \(Var(X) = \mu\)答案：A8. 随机变量X和Y相互独立，下列哪个公式是X和Y的协方差？A. \(Cov(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y)\)B. \(Cov(X, Y) = E(X) - E(Y)\)C. \(Cov(X, Y) = E(X) - E(Y) + E(XY)\)D. \(Cov(X, Y) = E(X)E(Y) - E(XY)\)答案：A9. 随机变量X服从几何分布，其成功概率为p，下列哪个公式是X的概率质量函数？A. \(P(X=k) = (1-p)^{k-1} p\)B. \(P(X=k) = p(1-p)^k\)C. \(P(X=k) = p^k (1-p)\)D. \(P(X=k) = (1-p)^k p\)答案：A10. 随机变量X服从超几何分布，下列哪个公式是X的期望值？A. \(E(X) = n \frac{M}{N}\)B. \(E(X) = n \frac{M}{N-1}\。
概率论期末考试题及答案
概率论期末考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下哪个事件是必然事件？A. 抛硬币正面朝上B. 抛硬币反面朝上C. 抛硬币出现正面或反面D. 抛硬币出现正面和反面2. 假设随机变量X服从正态分布N(μ, σ²)，以下哪个选项是正确的？A. μ是X的期望值B. σ²是X的方差C. μ是X的中位数D. σ²是X的期望值3. 假设随机变量X和Y相互独立，以下哪个选项是正确的？A. P(X∩Y) = P(X)P(Y)B. P(X∪Y) = P(X) + P(Y)C. P(X∩Y) = P(X) + P(Y)D. P(X∪Y) = P(X)P(Y)4. 假设随机变量X服从二项分布B(n, p)，以下哪个选项是正确的？A. X的期望值是npB. X的方差是np(1-p)C. X的期望值是nD. X的方差是p(1-p)二、填空题（每题5分，共20分）1. 如果随机变量X服从泊松分布，其概率质量函数为P(X=k) =________，其中λ > 0，k = 0, 1, 2, ...2. 假设随机变量X服从均匀分布U(a, b)，其概率密度函数为f(x) = ________，其中a < x < b。
3. 假设随机变量X和Y相互独立，且X服从正态分布N(μ, σ²)，Y 服从正态分布N(ν, τ²)，则Z = X + Y服从正态分布N(μ+ν,________)。
4. 假设随机变量X服从二项分布B(n, p)，其期望值E(X) = np，方差Var(X) = ________。
三、解答题（每题30分，共40分）1. 假设随机变量X服从正态分布N(0, 1)，求P(-1 < X < 2)。
2. 假设随机变量X服从二项分布B(10, 0.3)，求P(X ≥ 5)。
答案：一、选择题1. C2. A3. A4. A二、填空题1. λ^k * e^(-λ) / k!2. 1/(b-a)3. σ² + τ²4. np(1-p)三、解答题1. 根据标准正态分布表，P(-1 < X < 2) = Φ(2) - Φ(-1) =0.9772 - 0.1587 = 0.8185。
概率论习题与答案
概率论习题 一、填空题1、掷21n +次硬币，则出现正面次数多于反面次数的概率是 .2、把10本书任意的放到书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率.3、一批产品分一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品是二级品的一半，从这批产品中随机的抽取一件，试求取到二级品的概率 .4、 已知()0.7,()0.3,P A P A B =-= 则().P AB =5、 已知()0.3,()0.4,()0.5,P A P B P A B === 则(|).P B A B ⋃=6、 掷两枚硬币，至少出现一个正面的概率为..7、设()0.4,()0.7,P A P A B =⋃= 若,A B 独立，则().P B =8、设,A B 为两事件，11()(),(|),36P A P B P A B === 则(|).P A B =9、设123,,A A A 相互独立，且2(),1,2,3,3i P A i == 则123,,A A A 最多出现一个的概率是.10、某人射击三次，其命中率为0.8，则三次中至多命中一次的概率为 .11、一枚硬币独立的投3次，记事件A =“第一次掷出正面”，事件B =“第二次掷出反面”，事件C =“正面最多掷出一次”。
那么(|)P C AB = 。
12、已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者.今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人,恰好是色盲患者,求此人是男性的概率 。
13、将3个球随机的放入4个杯子中，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率。
14、把C B A ⋃⋃表示为互不相容事件的和是 。
15、,,A B C 中不多于两个发生可表示为 。
二、选择题1、下面四个结论成立的是（ ）.()().,.().()A A B C A B C B AB C A BC C A B B A D A B B A--=-⋃=∅⊂=∅⋃-=-⋃=若且则2、设()0,P AB =则下列说法正确的是（ ）...()0()0.()()A AB B ABC P A P BD P A B P A ==-=和不相容 是不可能事件或3、掷21n +次硬币，正面次数多于反面次数的概率为（ ）1..21211.0.5.21nn A B n n n C D n -++++ 4、设,A B 为随机事件，()0,(|)1,P B P A B >= 则必有（ ）.()()..()().()()A P AB P A B B AC P A P BD P AB P A ⋃=∈==5、设A 、B 相互独立，且P (A )>0，P (B )>0，则下列等式成立的是（ ）.A P (AB )=0 .B P (A -B )=P (A )P (B ) .C P (A )+P (B )=1 .D P (A |B )=06、设事件A 与B 互不相容，且P (A )>0，P (B ) >0，则有（ ）.A P (AB )=l .B P (A )=1-P (B ) .C P (AB )=P (A )P (B ).D P (A ∪B )=17、已知()0.5P A =，()0.4P B =，()0.6P A B +=，则(|)P A B =（ ）.A 0.2 .B 0.45 .C 0.6 .D 0.758、同时抛掷3枚均匀的硬币，则恰好有两枚正面朝上的概率为（ ）.A 0.125 .B 0.25 .C 0.375.D 0.509、设事件,A B 互不相容，已知()0.4P A =，()0.5P B =，则()P AB =（ ）.A 0.1 .B 0.4 .C 0.9 .D 110、已知事件A ，B 相互独立，且()0P A >，()0P B >，则下列等式成立的是（ ）.A ()()()P A B P A P B ⋃=+ .B ()1()()P A B P A P B ⋃=- .C ()()()P A B P A P B ⋃= .D ()1P A B ⋃=11、设1)(0<<A P ，1)(0<<B P ，1)|()|(=+B A P B A P ，则（ ）．.A 事件A 与B 互不相容 .B 事件A 与B 相互独立 .C 事件A 与B 相互对立.D 事件A 与B 互不独立12、对于任意两事件A 和B ，)(B A P -=（ ）．.A )()(B P A P - .B )()()(AB P B P A P +- .C )()(AB P A P -.D )()()(B A P A P A P -+13、设A 、B 是两事件，且P （A ）=0.6,P(B)=0.7则P （AB ）取到最大值时是（ ）.A 0.6 .B 0.7 .C 1 .D 0.4214、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号。
《概率论》考试试题(含答案)
《概率论》考试试题（含答案） ................................................................................................... 1 解答与评分标准 . (3)《概率论》考试试题（含答案）一．单项选择题（每小题3分，共15分） 1．设事件A 和B 的概率为12(),()23P A P B == 则()P AB 可能为（ ） (A) 0; (B) 1; (C) 0.6; (D) 1/62. 从1、2、3、4、5 这五个数字中等可能地、有放回地接连抽取两个数字,则这两个数字不相同的概率为（ ）(A)12; (B) 225; (C) 425; (D)以上都不对 3．投掷两个均匀的骰子，已知点数之和是偶数，则点数之和为6的概率为（ ）(A)518; (B) 13; (C) 12; (D)以上都不对 4．某一随机变量的分布函数为()3xxa be F x e +=+，则F (0)的值为（ ）(A) 0.1; (B) 0.5; (C) 0.25; (D)以上都不对5．一口袋中有3个红球和2个白球，某人从该口袋中随机摸出一球，摸得红球得5分，摸得白球得2分，则他所得分数的数学期望为（ ）(A) 2.5; (B) 3.5; (C) 3.8; (D)以上都不对二．填空题（每小题3分，共15分）1．设A 、B 是相互独立的随机事件，P (A )=0.5, P (B )=0.7, 则()P A B =_____.2．设随机变量~(,), ()3, () 1.2B n p E D ξξξ==，则n =______.3．随机变量ξ的期望为()5E ξ=，标准差为()2σξ=，则2()E ξ=_______.4．甲、乙两射手射击一个目标，他们射中目标的概率分别是0.7和0.8.先由甲射击，若甲未射中再由乙射击。
设两人的射击是相互独立的，则目标被射中的概率为_________. 5．设连续型随机变量ξ的概率分布密度为2()22af x x x =++，a 为常数，则P (ξ≥0)=_______.三．(本题10分)将4个球随机地放在5个盒子里，求下列事件的概率 (1) 4个球全在一个盒子里; (2) 恰有一个盒子有2个球.四．(本题10分) 设随机变量ξ的分布密度为, 03()10, x<0x>3Ax f x x⎧⎪=+⎨⎪⎩当≤≤当或 (1) 求常数A ; (2) 求P (ξ<1)； (3) 求ξ的数学期望.五．(本题10分) 设二维随机变量(ξ,η)的联合分布是η＝1 η=2 η＝4 η＝5ξ＝0 0.05 0.12 0.15 0.07 ξ＝1 0.03 0.10 0.08 0.11 ξ＝2 0.070.010.110.10(1) ξ与η是否相互独立? (2) 求ξη⋅的分布及()E ξη⋅；六．(本题10分)有10盒种子，其中1盒发芽率为90％，其他9盒为20％.随机选取其中1盒，从中取出1粒种子，该种子能发芽的概率为多少？若该种子能发芽，则它来自发芽率高的1盒的概率是多少？七．(本题12分) 某射手参加一种游戏，他有4次机会射击一个目标.每射击一次须付费10元. 若他射中目标，则得奖金100元，且游戏停止. 若4次都未射中目标，则游戏停止且他要付罚款100元. 若他每次击中目标的概率为0.3,求他在此游戏中的收益的期望.八．(本题12分)某工厂生产的零件废品率为5％，某人要采购一批零件，他希望以95％的概率保证其中有2000个合格品.问他至少应购买多少零件？ (注：(1.28)0.90Φ=,(1.65)0.95Φ=)九．(本题6分)设事件A 、B 、C 相互独立，试证明AB 与C 相互独立.某班有50名学生，其中17岁5人，18岁15人，19岁22人，20岁8人，则该班学生年龄的样本均值为________.十．测量某冶炼炉内的温度，重复测量5次，数据如下（单位：℃）：1820，1834，1831，1816，1824 假定重复测量所得温度2~(,)N ξμσ.估计10σ=，求总体温度真值μ的0.95的置信区间. (注：(1.96)0.975Φ=,(1.65)0.95Φ=)解：1(18201834183118161824)18255ξ=++++=-------------------2分 已知10.95, 0.05αα-==，0.02521.96u u α==---------------------------5分10σ=，n=5,0.025210 1.96108.7755u u nασ⨯===-------------------8分所求真值μ的0.95的置信区间为[1816.23, 1833.77]（单位：℃）-------10分解答与评分标准一．1．（D ）、2.（D ）、3.（A ）、4.（C ）、5.（C ） 二．1．0.85、2. n =5、3. 2()E ξ=29、4. 0.94、5. 3/4三．把4个球随机放入5个盒子中共有54=625种等可能结果--------------3分 （1）A={4个球全在一个盒子里}共有5种等可能结果,故P (A )=5/625=1/125------------------------------------------------------5分(2) 5个盒子中选一个放两个球，再选两个各放一球有302415=C C 种方法----------------------------------------------------7分4个球中取2个放在一个盒子里，其他2个各放在一个盒子里有12种方法因此，B={恰有一个盒子有2个球}共有4×3=360种等可能结果.故12572625360)(==B P --------------------------------------------------10分四．解：（1）⎰⎰∞∞-==+=34ln 1,4ln 1)(A A dx x A dx x f ---------------------3分 （2）⎰==+=<1212ln 1)1(A dx x A P ξ-------------------------------6分 （3）3300()()[ln(1)]1AxE xf x dx dx A x x x ξ∞-∞===-++⎰⎰13(3ln 4)1ln 4ln 4=-=-------------------------------------10分 五．解：（1）ξ的边缘分布为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛29.032.039.02 10--------------------------------2分 η的边缘分布为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛28.034.023.015.05 4 2 1---------------------------4分 因)1()0(05.0)1,0(==≠===ηξηξP P P ,故ξ与η不相互独立-------5分 （2）ξη⋅的分布列为ξη⋅0 1 2 4 5 8 10。
概率论试题及答案
试卷一一、填空每小题2分,共10分１．设是三个随机事件,则至少发生两个可表示为______________________;２. 掷一颗骰子,表示“出现奇数点”,表示“点数不大于3”,则表示______________________;３．已知互斥的两个事件满足,则___________;４．设为两个随机事件,,,则___________;５．设是三个随机事件,,,、,则至少发生一个的概率为___________;二、单项选择每小题的四个选项中只有一个是正确答案,请将正确答案的番号填在括号内;每小题2分,共20分1. 从装有2只红球,2只白球的袋中任取两球,记“取到2只白球”,则 ;A取到2只红球B取到1只白球C没有取到白球D至少取到1只红球2．对掷一枚硬币的试验, “出现正面”称为 ;A随机事件B必然事件C不可能事件D样本空间3. 设A、B为随机事件,则 ;A AB BC AB Dφ4. 设和是任意两个概率不为零的互斥事件,则下列结论中肯定正确的是 ;A与互斥B与不互斥C D5. 设为两随机事件,且,则下列式子正确的是 ;A BC D6. 设相互独立,则 ;A BC D7.设是三个随机事件,且有,则;A 0.1B 0.6C 0.8D 0.78. 进行一系列独立的试验,每次试验成功的概率为p,则在成功2次之前已经失败3次的概率为 ;A p21–p3B4 p 1–p3C5 p21–p3D4 p21–p39. 设A、B为两随机事件,且,则下列式子正确的是 ;A BC D10. 设事件A与B同时发生时,事件C一定发生,则 ;A PAB = PC B P A + P B–P C≤1C P A + P B–P C≥1D P A + P B≤P C三、计算与应用题每小题8分,共64分1. 袋中装有5个白球,3个黑球;从中一次任取两个;求取到的两个球颜色不同的概率;2. 10把钥匙有3把能把门锁打开;今任取两把;求能打开门的概率;3. 一间宿舍住有6位同学,求他们中有4个人的生日在同一个月份概率;4. 50个产品中有46个合格品与4个次品,从中一次抽取3个,求至少取到一个次品的概率;5. 加工某种零件,需经过三道工序,假定第一、二、三道工序的次品率分别为0.2,0.1,0.1,并且任何一道工序是否出次品与其它各道工序无关;求该种零件的次品率;6. 已知某品的合格率为0.95,而合格品中的一级品率为0.65;求该产品的一级品率;7. 一箱产品共100件,其中次品个数从0到2是等可能的;开箱检验时,从中随机抽取10件,如果发现有次品,则认为该箱产品不合要求而拒收;若已知该箱产品已通过验收,求其中确实没有次品的概率;8. 某厂的产品,按甲工艺加工,按乙工艺加工,两种工艺加工出来的产品的合格率分别为0.8与0.9;现从该厂的产品中有放回地取5件来检验,求其中最多有一件次品的概率;四、证明题共6分设,;证明试卷一参考答案一、填空1. 或2. 出现的点数恰为53.与互斥则4. 0.6故5.至少发生一个,即为又由得故二、单项选择1．2. A3. A利用集合的运算性质可得.4．与互斥故5．故6．相互独立7.且则8.9. B10. B故P A + P B–P C≤1三、计算与应用题1. 解：设表示“取到的两球颜色不同”,则而样本点总数故2. 解：设表示“能把门锁打开”,则,而故3. 解：设表示“有4个人的生日在同一月份”,则而样本点总数为故4. 解：设表示“至少取到一个次品”,因其较复杂,考虑逆事件=“没有取到次品”则包含的样本点数为;而样本点总数为故5. 解：设“任取一个零件为次品”由题意要求,但较复杂,考虑逆事件“任取一个零件为正品”,表示通过三道工序都合格,则于是6. 解：设表示“产品是一极品”,表示“产品是合格品”显然,则于是即该产品的一级品率为7. 解：设“箱中有件次品”,由题设,有,又设“该箱产品通过验收”,由全概率公式,有于是8. 解：依题意,该厂产品的合格率为,于是,次品率为设表示“有放回取5件,最多取到一件次品”则四、证明题证明, ,由概率的性质知则又且故试卷二一、填空每小题2分,共10分1. 若随机变量的概率分布为 ,,则__________;2. 设随机变量,且,则__________;3. 设随机变量,则__________;4. 设随机变量,则__________;5. 若随机变量的概率分布为则__________;二、单项选择每题的四个选项中只有一个是正确答案,请将正确答案的番号填在括号内;每小题2分,共20分1.设与分别是两个随机变量的分布函数,为使是某一随机变量的分布函数,在下列给定的各组数值中应取 ;A BC D2.设随机变量的概率密度为,则 ;A BC D3.下列函数为随机变量分布密度的是;A BC D4.下列函数为随机变量分布密度的是;A BC D5. 设随机变量的概率密度为,,则的概率密度为 ;A BC D6. 设服从二项分布,则 ;A BC D7. 设,则 ;A BC D8．设随机变量的分布密度为, 则 ;A 2B 1C 1/2D 49．对随机变量来说,如果,则可断定不服从 ;A二项分布B指数分布C正态分布D泊松分布10．设为服从正态分布的随机变量,则;A9 B 6C 4 D-3三、计算与应用题每小题8分,共64分1. 盒内有12个乒乓球,其中9个是新球,3个是旧球;采取不放回抽取,每次取一个,直到取到新球为止;求抽取次数的概率分布;2. 车间中有6名工人在各自独立的工作,已知每个人在1小时内有12分钟需用小吊车;求1在同一时刻需用小吊车人数的最可能值是多少2若车间中仅有2台小吊车,则因小吊车不够而耽误工作的概率是多少3. 某种电子元件的寿命是随机变量,其概率密度为求1常数；2若将3个这种元件串联在一条线路上,试计算该线路使用150小时后仍能正常工作的概率;4. 某种电池的寿命单位：小时是一个随机变量,且;求1这样的电池寿命在250小时以上的概率；2,使电池寿命在内的概率不小于0.9;5. 设随机变量;求概率密度;6. 若随机变量服从泊松分布,即,且知;求;7. 设随机变量的概率密度为;求和;8. 一汽车沿一街道行使,需要通过三个均没有红绿灯信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立,求红或绿两种信号灯显示的时间相等;以表示该汽车未遇红灯而连续通过的路口数;求1的概率分布；2;四、证明题共6分设随机变量服从参数为2的指数分布;证明：在区间上,服从均匀分布;试卷二参考答案一、填空1. 6由概率分布的性质有即,得;2.,则3. 0.54.5. 0.25由题设,可设即0 10.5 0.5则二、单项选择1.由分布函数的性质,知则,经验证只有满足,选2.由概率密度的性质,有3.由概率密度的性质,有4.由密度函数的性质,有5.是单减函数,其反函数为,求导数得由公式,的密度为6.由已知服从二项分布,则又由方差的性质知,7.于是8. A由正态分布密度的定义,有9. D∴如果时,只能选择泊松分布.10. D∵X为服从正态分布N -1, 2,EX = -1∴E2X - 1 = -3三、计算与应用题1. 解：设为抽取的次数只有个旧球,所以的可能取值为：由古典概型,有1 2 3 42. 解：设表示同一时刻需用小吊车的人数,则是一随机变量,由题意有,,于是1的最可能值为,即概率达到最大的23. 解：1由可得2串联线路正常工作的充要条件是每个元件都能正常工作,而这里三个元件的工作是相互独立的,因此,若用表示“线路正常工作”,则而故4. 解：1查正态分布表2由题意即查表得;5. 解:对应的函数单调增加,其反函数为,求导数得, 又由题设知故由公式知：6. 解:,则而由题设知即可得故查泊松分布表得,7. 解:由数学期望的定义知,而故8. 解:1的可能取值为且由题意,可得即0 1 2 32由离散型随机变量函数的数学期望,有四、证明题证明：由已知则又由得连续,单调,存在反函数且当时, 则故即试卷三一、填空请将正确答案直接填在横线上;每小题 2分,共10分1. 设二维随机变量的联合分布律为,则__________,__________.2. 设随机变量和相互独立,其概率分布分别为,则__________.3. 若随机变量与相互独立,且,,则服从__________分布.4. 已知与相互独立同分布,且则__________.5. 设随机变量的数学期望为、方差,则由切比雪夫不等式有__________.二、单项选择在每题的四个选项中只有一个是正确答案,请将正确答案的番号填在括号内;每小题2分,共20分1. 若二维随机变量的联合概率密度为,则系数.A BC D2. 设两个相互独立的随机变量和分别服从正态分布和,则下列结论正确的是 .A BC D3. 设随机向量X , Y的联合分布密度为, 则 .A X , Y服从指数分布B X与Y不独立C X与Y相互独立D cov X , Y≠04. 设随机变量相互独立且都服从区间0,1上的均匀分布,则下列随机变量中服从均匀分布的有 .A BC D5. 设随机变量与随机变量相互独立且同分布, 且, 则下列各式中成立的是 .A B C D6．设随机变量的期望与方差都存在, 则下列各式中成立的是 .A BC D7. 若随机变量是的线性函数,且随机变量存在数学期望与方差,则与的相关系数.A B C D8. 设是二维随机变量,则随机变量与不相关的充要条件是 .ABCD9. 设是个相互独立同分布的随机变量,,则对于,有 .A BC D10. 设,为独立同分布随机变量序列,且X i i= 1,2,…服从参数为λ的指数分布,正态分布N0, 1 的密度函数为, 则 .三、计算与应用题每小题8分,共64分1. 将2个球随机地放入3个盒子,设表示第一个盒子内放入的球数,表示有球的盒子个数.求二维随机变量的联合概率分布.2. 设二维随机变量的联合概率密度为1确定的值；2求.3. 设的联合密度为1求边缘密度和；2判断与是否相互独立.4. 设的联合密度为求的概率密度.5. 设,,且与相互独立.求1的联合概率密度；2；3.6. 设的联合概率密度为求及.7. 对敌人阵地进行100次炮击;每次炮击命中目标的炮弹的数学期望是4,标准差是1.5.求100次炮击中有380至420课炮弹命中目标的概率.8. 抽样检查产品质量时,如果发现次品数多于10个,则认为这批产品不能接受.问应检查多少个产品才能使次品率为10%的这批产品不被接受的概率达0.9.四、证明题共6分设随机变量的数学期望存在,证明随机变量与任一常数的协方差是零.试卷三参考解答一、填空1.由联合分布律的性质及联合分布与边缘分布的关系得2.3.相互独立的正态变量之和仍服从正态分布且,,∴4.5.二、单项选择1. B由即∴选择B.2. B由题设可知,故将标准化得∴选择B.3.C∴选择C.4. C∵随机变量相互独立且都服从区间0,1上的均匀分布, 则∴选择C.5.A∴选择A.6. A∵由期望的性质知∴选择A.7. D∴选择D.8. B与不相关的充要条件是即则∴选择B.9. C∴选择C.10. AX i i = 1,2,…服从参数为λ的指数分布,则故∴选择A.三、计算与应用题1. 解显然的可能取值为；的可能取值为注意到将个球随机的放入个盒子共有种放法,则有即的联合分布律为2.解1由概率密度的性质有可得2设,则3. 解1即即,2当时故随机变量与不相互独立.4. 解先求的分布函数显然,随机变量的取值不会为负,因此当时,,当时,故的概率密度为5. 解1与相互独立的联合密度为236. 解于是由对称性故.7. 解设表示第次炮击命中目标的炮弹数,由题设,有,则次炮击命中目标的炮弹数,因相互独立,同分布,则由中心极限定理知近似服从正态分布于是8. 解设应检查个产品,其中次品数为,则由题设,这里,可以认为较大,则由棣莫弗—拉普拉斯定理知, 近似服从正态分布依题意,有即亦即查表得故至少应检查个产品,才能达到题设要求.四、证明题证由协方差的定义及数学期望的性质,得。
概率论考试题及答案
概率论考试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 某校有100名学生，其中60名男生和40名女生。
随机抽取1名学生，该学生是女生的概率是多少？A. 0.4B. 0.6C. 0.8D. 1.0答案：A2. 抛一枚均匀的硬币，正面朝上和反面朝上的概率相等，那么连续抛掷3次硬币，得到至少两次正面朝上的概率是多少？A. 0.5B. 0.75C. 0.875D. 0.625答案：D3. 一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机抽取2个球，那么两个球都是红球的概率是多少？A. 1/6B. 1/3C. 1/2D. 2/5答案：D4. 如果事件A的概率是0.3，事件B的概率是0.4，且A和B互斥，那么A和B至少有一个发生的概率是多少？A. 0.7B. 0.5C. 0.6D. 0.4答案：A5. 一个骰子被抛掷，那么得到的点数是偶数的概率是多少？A. 0.5B. 0.33C. 0.25D. 0.16答案：A二、填空题（每题3分，共15分）6. 概率论中的_______定义了事件发生的可能性大小。
答案：概率7. 如果事件A和事件B是独立的，那么P(A∩B) = _______。
答案：P(A) * P(B)8. 随机变量X服从参数为λ的泊松分布，那么X的概率质量函数为：P(X=k) = _______。
答案：(λ^k / k!) * e^(-λ)9. 在连续概率分布中，随机变量X的取值范围是无限的，其概率密度函数f(x)满足________。
答案：∫f(x)dx = 110. 两个事件A和B互斥的充分必要条件是P(A∩B) = _______。
答案：0三、解答题（共25分）11. 一个工厂有3台机器生产同一种零件，每台机器在一小时内正常运转的概率分别为1/2、2/3和3/4。
假设这些机器相互独立，求至少有两台机器在一小时内正常运转的概率。
答案：首先，我们可以计算出每台机器不正常运转的概率，然后找出至少两台机器正常运转的组合情况。
概率论考试题及答案
概率论考试题及答案在学习概率论的过程中，一场考试是检验学生掌握程度的重要方式。
下面将为大家介绍一些概率论考试题及其答案，希望能够帮助大家更好地复习和准备考试。
1. 选择题1.1 在一副标准扑克牌中，抽取一张牌，观察到它是黑桃的情况下，再次从该扑克牌中抽取一张牌，观察该牌是红桃的概率是多少？A. 1/4B. 1/2C. 1/13D. 1/3答案：D. 1/31.2 掷一枚骰子，观察到一个正整数出现的情况下，再次掷骰子，观察到另一个正整数出现的概率是多少？A. 1/12B. 1/6C. 1/36D. 1/18答案：B. 1/62. 计算题2.1 有一个有12个不同数字的骰子，抛出两次。
求两次得到的和是偶数的概率。
答案：一共有6 * 6 = 36 种可能的结果。
其中，和为偶数的情况有：(1,1), (1,3), (1,5), (2,2), (2,4), (2,6), (3,1), (3,3), (3,5), (4,2), (4,4), (4,6), (5,1), (5,3), (5,5), (6,2), (6,4), (6,6) 共计18种。
因此，所求概率为18/36 = 1/2。
2.2 一副扑克牌中，黑桃、红桃、梅花、方块各有13张，从中抽取五张牌，求至少有一张黑桃的概率。
答案：总共抽取5张牌，共有C(52,5)种取法。
不抽取黑桃的情况有C(39,5)种取法。
因此，至少有一张黑桃的情况有C(52,5) - C(39,5) 种取法。
所求概率为[C(52,5) - C(39,5)] / C(52,5)。
3. 应用题3.1 有甲、乙两个工人分别制作产品A和产品B，已知甲的合格率为85%，乙的合格率为90%。
如果随机抽查一件产品是合格的，求这件产品是乙制作的概率。
答案：假设事件A为产品合格，事件B为产品由乙制作。
根据题意，可得P(A|B) = 90%，P(A|B') = 85%，P(B) = 1/2，P(B') = 1/2。
概率论期末考试题及答案
概率论期末考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 以下哪个事件是必然事件？A. 抛一枚硬币，正面朝上B. 抛一枚硬币，反面朝上C. 抛一枚硬币，正面或反面朝上D. 抛一枚硬币，硬币立起来答案：C2. 假设随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2)，则以下哪个选项是正确的？A. μ是X的中位数B. μ是X的众数C. μ是X的期望值D. μ是X的方差答案：C3. 假设随机变量X和Y独立，以下哪个选项是正确的？A. P(X=x, Y=y) = P(X=x)P(Y=y)B. P(X=x, Y=y) = P(X=x) + P(Y=y)C. P(X=x, Y=y) = P(X=x) - P(Y=y)D. P(X=x, Y=y) = P(X=x) / P(Y=y)答案：A4. 假设随机变量X服从二项分布B(n, p)，以下哪个选项是正确的？A. E(X) = npB. E(X) = n/2C. Var(X) = np(1-p)D. Var(X) = np答案：A5. 假设随机变量X服从泊松分布P(λ)，以下哪个选项是正确的？A. E(X) = λB. E(X) = λ^2C. Var(X) = λ^2D. Var(X) = λ答案：A二、填空题（每题5分，共20分）6. 如果随机变量X服从均匀分布U(a, b)，则其概率密度函数为：f(x) = ________，其中x∈(a, b)。
答案：1/(b-a)7. 假设随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2)，其标准正态分布的累积分布函数记为Φ(z)，则P(X ≤ x) = Φ((x - μ) / σ)。
答案：Φ((x - μ) / σ)8. 假设随机变量X服从指数分布Exp(λ)，其概率密度函数为：f(x) = ________，其中x≥0。
答案：λe^(-λx)9. 假设随机变量X服从几何分布Geo(p)，其概率质量函数为：P(X = k) = ________，其中k = 1, 2, 3, ...答案：(1-p)^(k-1)p三、计算题（每题15分，共30分）10. 假设随机变量X服从正态分布N(0, 1)，求P(-1 ≤ X ≤ 1)。
概率论 数学题集
概率论数学题集概率论数学题集概率论数学题集概率论题集一1.甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以a、b、c分别表示甲、乙、丙命中目标，试用a、b、c的运算关系表示下列事件：a1:“至少存有一人击中目标”:“恰有一人命中目标”:a2:“恰存有两人击中目标”:a3:“最多有一人命中目标”:a4:“三人均击中目标”:a5:a6:“三人均未命中目标”:2.存有三个子女的家庭,设立每个孩子就是男就是女的概率成正比,则至少存有一个男孩的概率就是多少?3（摸求问题）设合中存有3个白球，2个红球，现从合中任扣2个球，求得至一红一白的概率。
4（分球问题）将3个球随机的放入3个盒子中去，问：（1）每盒恰存有一球的概率就是多少？（2）空一盒的概率是多少？5（分组问题）30名学生中存有3名运动员，将这30名学生平均值分为3组与，谋：（1）每组有一名运动员的概率；（2）3名运动员分散在一个组的概率。
6（随机取数问题）从1到200这200个自然数中任取一个；(1)求得至的数能被6相乘的概率；(2)求取到的数能被8整除的概率；(3)求得至的数既能够被6相乘也能够被8相乘的概率.7某市有甲,乙,丙三种报纸,订每种报纸的人数分别占全体市民人数的30%,其中有10%的人同时定甲,乙两种报纸.没有人同时订甲乙或乙丙报纸.求从该市任选一人,他至少订有一种报纸的概率.8在110这10个自然数中任挑一数，谋（1）取到的数能被2或3整除的概率，（2）算出的数即为无法被2也无法被3相乘的概率，（3）取到的数能被2整除而不能被3整除的概率。
9盒中存有3个红球，2个白球，每次从袋中余因子一只，观测其颜色后送回，并再放进一只与所出之球颜色相同的球，若从合中已连续取球4次,试求第1、2次获得白球、第3、4次获得红球的概率。
10市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为2％、1％、3％，试求市场上该品牌产品的次品率。
(完整版)概率论大题附答案
第一章 随机事件及其概率1.6 假设一批100件商品中有4件不合格品．抽样验收时从中随机抽取4件，假如都为合格品，则接收这批产品，否则拒收，求这批产品被拒收的概率p ． 解 以ν表示随意抽取的4件中不合格品的件数，则4964100C {1}1{0}110.84720.1528C p P P =≥=-==-≈-=νν．1.7 从0,1,2,,10…等11个数中随机取出三个，求下列事件的概率：1A ={三个数最大的是5}；2A ={三个数大于、等于和小于5的各一个}；3A ={三个数两个大于5，一个小于7}．解 从11个数中随机取出三个，总共有311C 165=种不同取法，即总共有311C 个基本事件，其中有利于1A 的取法有25C 10=种（三个数最大的是5，在小于5的5个数中随意取两个有25C 10=种不同取法）；有利于2A 的取法有5×5=20种（在小于5的5个数中随意取一个，在大于5的5个数中随意取一个，有5×5=25种不同取法）；有利于3A 的取法有5×25C 70=种(在小于5的5个数中随意取一个，在大于5的5个数中随意取两个)．于是，最后得111102550()0.06()0.15()0.30165165165P A P A P A ======，，．1.8 考虑一元二次方程 02=++C Bx x , 其中B , C 分别是将一枚色子接连掷两次先后出现的点数． (1) 求方程无实根的概率α， (2) 求方程有两个不同实根的概率β．解 显然，系数B 和C 各有1,2,3,4,5,6等6个可能值；将一枚色子接连掷两次，总共有36个基本事件．考虑方程的判别式C B 42-=∆．事件{无实根}和{有两个不同实根}，等价于事件{0}∆<和{0}∆>．下表给出了事件{∆由对称性知{0}∆<和{0}∆>等价，因此αβ=．易见，方程无实根的概率α和有两个不同实根的概率β为170.47αβ==≈．． ()1()1P AB P AB r =-=-， ()()1P A B P AB r +==-，()1()1[]P A B P A B p q r +=-+=-+-， ()()1[]P AB P A B p q r =+=-+-，([])()()P A A B P A AB P A p +=+==．1.18 假设箱中有一个球，只知道不是白球就是红球．现在将一个白球放进箱中，然后从箱中随机取出一个球，结果是白球．求箱中原来是白球的概率α．解 引进事件：=A {取出的是白球}，1H ={箱中原来是白球}，2H ={箱中原来是红球}，则12,H H 构成完全事件组，并且12()()0.5P H P H ==．由条件知12(|)1(|)0.5P A H P A H ==，．由贝叶斯公式，有1111122()(|)2(|)()(|)()(|)3P H P A H P H A P H P A H P H P A H α===+．1.21 假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出厂；以概率0.30需进一步进行调试， 经调试以概率0.90可以出厂，以概率0.10定为不合格品不能出厂．现在该厂在生产条件稳定的情况下，新生产了20台仪器．求最后20台仪器 (1) 都能出厂的概率α； (2) 至少两台不能出厂的概率β．解 这里认为仪器的质量状况是相互独立的．设1H ={仪器需要调试}，2H ={仪器不需要调试}，A ={仪器可以出厂}．由条件知1212()0.30 ()0.70 (|)0.80(|)1P H P H P A H P A H ====， ，，．(1) 10台仪器都能出厂的概率0112210100()()(|)()(|)0.300.800.700.940.940.5386P A P H P A H P H P A H ααα==+=⨯+===≈ ；．(2) 记ν——10台中不能出厂的台数，即10次伯努利试验“成功(不能出厂)”的次数．由(1)知成功的概率为p =0.06．易见，10台中至少两台不能出厂的概率109{2}1{0}{1}10.94100.940.060.1175P P P βννν=≥=-=-==--⨯⨯≈．1.23 设B A ,是任意二事件，证明：(1) 若事件A 和B 独立且B A ⊂，则()0P A =或()1P B =；(2) 若事件A 和B 独立且不相容，则A 和B 中必有一个是0概率事件．证明 (1) 由于B A ⊂，可见()()()()()()()()P AB P A P B P AB P A P A P A P B ===，，． 因此，若()0P A ≠，则()1P B =；若()0P B ≠，()0P A =．(2) 对于事件A 和B ，由于它们相互独立而且不相容，可见()()()0P A P B P AB ==，因此，概率()P A 和()P B 至少有一个等于0．补充：第二节 事件的关系和运算1. 设A ,B ,C 是三个随机事件,用事件A ,B ,C 的运算关系表示下列事件：⑴ A ,B ,C 三个都发生；⑵ A 发生而B ,C 都不发生；⑶ A ,B 都发生, C 不发生； ⑷ A ,B ,C 恰有一个发生；⑸ A ,B ,C 恰有两个发生；⑹ A ,B ,C 至少有一个发生； ⑺ A ,B ,C 都不发生.解：（1）ABC （2）ABC （3）ABC （4）ABC ABC ABC ++ (5)ABC ABC ABC ++ (6) A B C ++ (7) ABC第三节 事件的概率解：由()()()()P A B P A P B P AB +=+-知，()()()()P AB P A P B P A B =+-+0.40.30.6=+-=0.1 ()1()10.10.9P AB P AB =-=-=()()1()10.60.4P AB P A B P A B =+=-+=-= ()()()0.40.10.3P AB P A P AB =-=-=解：由()()()P A B P A P AB -=-，得()()()P A B P A P AB -=-()()()0.70.30.4P AB P A P A B =--=-=， ()1()10.40.6P AB P AB =-=-=3. 已知()09.P A =,()08.P B =,试证()07.P AB ≥. 解：由()()()()P A B P A P B P AB +=+-知，()()()()P AB P A P B P A B =+-+0.90.81≥+-0.7=解：由条件()()0P AB P BC ==，知()0P ABC =，()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC ++=++---+1111500044488=++---+= 5. 设A ,B 是两事件,且()06.P A =,()07.P B =,问⑴ 在什么条件下,()P AB 取到最大值,最大值是多少？ ⑵ 在什么条件下,()P AB 取到最小值,最小值是多少？解：由()()()()P A B P A P B P AB +=+-知，()()()()P AB P A P B P A B =+-+ 又因为()()P A P A B ≤+，()()P B P A B ≤+，所以(){}max (),()P A P B P A B ≤+， 所以0.7()1P A B ≤+≤，所以0.3()0.6P AB ≤≤.第四节 条件概率及与其有关的三个基本公式1．设有对某种疾病的一种化验，患该病的人中有90%呈阳性反应，而未患该病的人中有5%呈阳性反应，设人群中有1%的人患这种疾病，若某病人做这种化验呈阳性反应，则他患有这种疾病的概率是多少？ 解：设{}A =某疾病患者，{}A =非某疾病患者，{}B =检查结果为阳性.依条件得,B A A ⊂+=Ω，且()0.01,P A = ()0.99P A =,(|)0.9P B A =(|)0.05P B A =所以()()()()()()()()0010901500109099005B P A P P AB ..A A P .B P B ....B BP A P P A P A A⨯===≈⨯+⨯+第五节 事件的独立性和独立试验1．设有n 个元件分别依串联、并联两种情形组成系统I 和II ,已知每个元件正常工作的概率为p ，分别求系统I 、II 的可靠性（系统正常工作的概率）解：{}A I =系统正常工作，{}B II =系统正常工作，{}B II =系统不正常工作 {}1,2,,i C i n ==每个元件正常工作，，且()i P C p =，{}i C =每个元件都不正常工作，()1i P C p =- 由条件知，每个元件正常是相互独立的，故1212()()()()()n n n P A P C C C P C P C P C p ===，()1i P C p =-，1212()()()()()(1)n n n P B P C C C P C P C P C p ===-()1()1(1)n P B P B p =-=--2. 设有六个相同的元件，如下图所示那样安置在线路中，设每个元件通达的概率为 p ，求这个装置通达的概率.假定各个元件通达、不通达是相互独立的. 解: 设{}i A i =第条线路通达，1,2,3,i = {}A =代表这个装置通达,{}i A i =第条线路不通达，1,2,3,i = {}A =代表这个装置不通达， 由条件知，2()i P A p =，2()1i P A p =-，23123()1()1()1(1)P A P A P A A A p =-=-=--第二章 随机变量及其分布2.8 口袋中有7个白球，3个黑球，每次从中任取一球且不再放回． (1) 求4次抽球出现黑球次数X 的概率分布；(2) 抽球直到首次出现白球为止，求抽球次数Y 的概率分布．解 (1) 随机变量X 有4个可能值0,1,2,3，若以W 和B 分别表示白球和黑球，则试验“4次抽球”相当于“含7个W 和3个B ”的总体的4次不放回抽样，其基本事件总数为410C 210=，其中有利于{}X k = (0,1,2,3)k =的基本事件个数为：437C C k k-，因此 437410C C {}(0,1,2,3)C k k P X k k -===，或01230123~351056371131210210210210621030X ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． (2) 随机变量Y 显然有1,2,3,4等4个可能值；以W k 和B k 分别表示第(1,2,3,4)k k =次抽到白球和黑球，则“不放回抽球直到首次出现白球为止”相当于“自含7个白球3个黑球的总体的4次不放回抽样”，其基本事件总数410P 10987120=⨯⨯⨯=．易见 7843728{1}{2}10120109120P Y P Y ⨯======⨯，，327732171{3}{4}109812010987120P Y P Y ⨯⨯⨯⨯⨯======⨯⨯⨯⨯⨯， ．1234~842871120120120120Y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭． 2.11 设X 服从泊松分布，且已知{1}{2}P X P X ===，求{4}P X =．解 以X 表示随意抽取的一页上印刷错误的个数，以)4,3,2,1(=k X k 表示随意抽取的第k 页上印刷错误的个数，由条件知X 和)4,3,2,1(=k X k 服从同一泊松分布，未知分布参数λ决定于条件：2{1}{2}ee 2!P X P X λλλλ--====，．于是λ=2．由于随机变量)4,3,2,1(=k X k 显然相互独立，因此42222{=4}=e =e 0.090243P X --≈ ！2.14 设随机变量X 服从区间25[，]上的均匀分布，求对X 进行3次独立观测中，至少有2次的观测值大于3的概率α．解 设Y 3次独立试验事件{3}A X =>出现的次数，则Y 服从参数为(3,)p 的二项分布，其中23p =．因此234820(){2}{3}3(1)92727P B P Y P Y p p p ===+==-+=+=α．2.17 设随机变量X 服从正态分布(3,4)N ，且满足 {}{}P X C P X C <=≥和{}2{}P X C P X C <=≥ ，分别求常数C解 （1）由{}X C <与{}X C ≥为对立事件，又{}{}P X C P X C <=≥得 1{}2P X C <=所以C=3 (2) 由题意可知23{}=32C P X C Φ-<=（）所以反查表可得 3.88C ≈2.22 设随机变量X 服从[1,2]-上的均匀分布，求随机变量Y 的分布律，其中10 00 10X Y X X -<==>⎧⎪⎨⎪⎩，若，，若，，若．解 由于X 服从[1,2]-上的均匀分布，知随机变量Y 的概率分布为1{1}{0}{10}{0}{0}032{1}{0}{02}31~1233P Y P X P X P Y P X P Y P X P X Y =-=<=-≤<=======>=<≤=⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，，；-1．补充：第二节 离散随机变量解：由条件知，随机变量X 的分布列如下：设{}A =至多遇到一次红灯，则54()(0)(1)64P A P X P X ==+==2.设每分钟通过交叉路口的汽车流量X 服从泊松分布，且已知在一分钟内无车辆通过与恰好有一辆车通过的概率相同，求在一分钟内至少有两辆车通过的概率。
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选择题1．设,,A B C 为三个事件，且,A B 相互独立，则以下结论中不正确的是（B ） （A ）若()1P C =，则AC 与BC 也独立. （B ）若()1P C =，则A C U 与B 也独立. （C ）若()0P C =，则A C U 与B 也独立.（D ）若C B ⊂，则A 与C 也独立. 2．设A 、B 、C 为三个事件，()0P AB >且(|)1P C AB =，则有（ B ） （A ）()()() 1.P C P A P B ≤+- （B ）()().P C P A B ≤U （C ）()()() 1.P C P A P B ≥+- （D ）()().P C P A B ≥U 3. 设,则下列结论成立的是（ D ）（A ） 事件A 和B 互不相容； （B ） 事件A 和B 互相对立； （C ） 事件A 和B 互不独立； （D ） 事件A 和B 互相独立。
4.将两封信随机地投入四个邮筒中，则未向前面两个邮筒投信的概率为（ A ）。
A. 2242B. 2412C C C. 24!2P D. !4!25.某人连续向一目标射击，每次命中目标的概率为43，他连续射击直到命中为止，则射 击次数为3的概率是（ C ）。
A. 343）（B. 41432⨯）（C. 43412⨯）（D. 22441C ）（ 6.设随机事件A 、B 互不相容，q B P p A P ==)( ,)(，则)(B A P ＝（ A ）。
A. q p )1(- B. pqC. qD.p7．设随机变量~(0,1),X N X 的分布函数为()x Φ，则(||2)P X >的值为（ A ） （A ）2[1(2)]-Φ. （B ）2(2)1Φ-.（C ）2(2)-Φ. （D ）12(2)-Φ. 8. 设随机变量X 的概率密度为2(2)4(),x f x x +-=-∞<<∞且~(0,1)Y aX b N =+，则在下列各组数中应取（ A ） （A ）1/2, 1.a b == （B）2,a b ==（C ）1/2,1a b ==-. （D）2,a b ==9. 设随机变量X 的分布函数为()X F x ，则35Y X =-的分布函数为()Y F y =（ D ）（A ）(53)X F y -. （B ）5()3X F y -.（C ）3()5X y F +. （D ）31()5X yF --. 10.已知随机变量X 的概率密度为)(x f X ，令X Y 2-=，则Y 的概率密度)(y f Y 为（ D ）。
概率论复习题库
第一章一、填空题1、已知34.0)(=A P ,52.0)(=B P ,26.0)(=AB P ,则()P A B ⋃= ，)(B A P = ，=)(B A P ，()P A B -= 。
2、设事件A 、B 相互独立，且()0.2P A =，()0.3P B =，则()P A B ⋃= ，)(B A P = ，=)(B A P ，()P A B -= 。
3、设事件A 、B 互不相容，且()0.4P A =，()0.3P B =，则()P A B ⋃= ，)(B A P = ，()P AB = 。
3、设,,A B C 表示随机事件，则事件“C B A 、、都不发生”表示为 ，“A B 、至少有一个发生”表示为 。
4、甲,乙两人进行射击，甲击中目标的概率是0.8，乙击中目标的概率是0.85,则（1）至少一人击中目标的概率是 ，（2）两人同时命中的概率是 。
5、甲乙丙三人独立地同时破译密码，若各人能译出密码的概率为1/5，1/4，1/3，则此密码能被他们同时译出的概率为 ，此秘密能被破译出的概率为 。
6、某工厂中有甲、乙、丙3台机器生产同样的产品，它们的产量各占25%、35%、40%，这三台机器的不合格品率依次为5%、4%、2%，现从总产品中任取一件，求恰好抽到不合格品的概率是 .二、选择题：1、设A,B 为两事件，则ABAB 为（ ） ()()()()A B AC D A B ΦΩ⋃2、设A ,B 为两事件，则AB 表示事件( )（A ）B 发生且A 不发生 （B ）A 与B 恰有一个发生 （C ）A 发生且B 不发生 （D ）A 与B 不同时发生 3、若()()()P AB P A P B =，则（ ）. (A) A ，B 相互独立 (B)A ，B 构成样本空间的一个划分(C)AB φ= (D)()()P B A P A =4、设袋中有5个白球3个黑球，不放回地依次从袋中随机取一球。
则第一次和第二次都取到白球的概率是（ ）. (A) 514 (B) 2564 (C) 58 (D) 38第二章 一、填空题 1、设..(4,9)r v XN ，则{0}P X == , {10}P X <= , (31)E X --= ，(2)D X -= ，21Y X =+ 。
概率论考试题及答案
概率论考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 随机事件A和B是互斥的，那么下列哪个说法是正确的？A. P(A∪B) = P(A) + P(B)B. P(A∩B) = 0C. P(A∪B) = P(A) - P(B)D. P(A∩B) = P(A) + P(B)答案：B2. 如果随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2)，那么以下哪个是正确的？A. μ是X的中位数B. μ是X的众数C. μ是X的期望值D. μ是X的方差答案：C3. 以下哪个是条件概率的定义？A. P(A|B) = P(A) / P(B)B. P(A|B) = P(A∩B) / P(B)C. P(A|B) = P(B) / P(A)D. P(A|B) = P(A∪B) / P(B)答案：B4. 如果随机变量X和Y是独立的，那么以下哪个是正确的？A. P(X∩Y) = P(X)P(Y)B. P(X∪Y) = P(X) + P(Y)C. P(X∩Y) = P(X) - P(Y)D. P(X∪Y) = P(X)P(Y)答案：A5. 以下哪个是大数定律的表述？A. 样本均值收敛于总体均值B. 样本方差收敛于总体方差C. 样本中值收敛于总体中值D. 样本众数收敛于总体众数答案：A6. 以下哪个是中心极限定理的表述？A. 样本均值的分布随着样本量的增加而趋近于正态分布B. 样本方差的分布随着样本量的增加而趋近于正态分布C. 样本中值的分布随着样本量的增加而趋近于正态分布D. 样本众数的分布随着样本量的增加而趋近于正态分布答案：A7. 以下哪个是二项分布的参数？A. n和pB. n和σC. μ和pD. μ和σ答案：A8. 如果随机变量X服从泊松分布，那么其期望值E(X)等于？A. λB. 2λC. λ^2D. 1/λ答案：A9. 以下哪个是随机变量X的方差的定义？A. Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2B. Var(X) = E(X) - [E(X)]^2C. Var(X) = E(X) - E(X^2)D. Var(X) = E(X^2) - E(X)答案：A10. 以下哪个是随机变量X的标准差的定义？A. SD(X) = √E(X^2) - [E(X)]^2B. SD(X) = √Var(X)C. SD(X) = E(X) - [E(X)]^2D. SD(X) = Var(X) - E(X^2)答案：B二、填空题（每题3分，共30分）11. 如果随机变量X服从均匀分布U(a, b)，那么其期望值E(X)为________。
概率论必考题
填空1．设)(,3.0)( ,7.0)(AB P B A P A P 则=-== 。
2．一袋内有8个质地大小一样的球，其中6白2黑.从袋中取两次，每次任取一个，取后不放回，则取到的两个球颜色相同的概率为 。
3．设随机变量X 的分布函数0,0(),0221,2x xF x x x <⎧⎪⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩ ， 则概=≤<)31(x P 。
4．设X 和Y 为相互独立的随机变量，DX ＝2 ，DY ＝3 ，则D （X –2Y ）＝ 。
5．设X 表示10次独立重复射击中命中目标的次数，每次命中目标的概率为0.4，则E 2X = 。
选择1．掷一枚均匀硬币,重复4次, 至少出现2次正面向上的概率是( ) （A ）41（B ） 1611（C ） 161（D ） 1652. 已知X 概率分布列如下表：2c c 23 c 21 c4 2 1 0 PX则下列概率计算结果中（ ）正确。
（A ）P （X < 4）=1（B ）P （X ＝0）＝0（C ）P （X > 0）＝1（D ）P （X ≤1）＝1033.设n X X X ,,,21⋅⋅⋅（n >1）为来自正态总体),(2σμN 的样本，则样本均值X 服从分布（ ）。
（A ）)1,0(N （B ）),(2σμN （C ） ),(2nN σμ（D ） ),(2σμn n N4. 设X 1 ，X 2 ，…，X n 为来自总体),(2σμN 的样本，μ为已知参数，2σ为未知参数，则（ ）是统计量.（A ） X 1 + X 2 + X 3+σ2（B ） X 1 + X 2 －2σ（C ）21σ（X 12 + X 2 2+ X 3 2 ）（D ） ∑=n i i X n 121.5．对正态分布的数学期望μ进行假设检验，如果在显著性水平0.05下接受零假设0H :0μμ=,那么在显著性水平0.01下，下列结论中正确的是（A ）必接受0H （B ）可能接受，也可能拒绝0H （C ）必拒绝0H （D ）不接受也不拒绝0H计算题1.市场上供应的某种商品由甲厂、乙厂及丙厂生产，甲厂占50%，乙厂占30%，丙厂占20%，甲厂产品的合格率为88%，乙厂产品的合格率为70%，丙厂产品的合格率为75%，求：（1）从市场上任买1件这种商品是合格品的概率；（2）从市场上已买1件合格品是甲厂生产的概率。
高中概率论试题及答案
高中概率论试题及答案一、选择题1. 某班级有40名学生，其中10名男生和30名女生。
如果随机抽取一名学生，抽到男生的概率是多少？A. 0.25B. 0.50C. 0.75D. 0.102. 抛一枚均匀硬币两次，出现两次正面的概率是多少？A. 0.25B. 0.50C. 0.75D. 0.00二、填空题3. 某次考试有10道选择题，每题4个选项，只有一个正确答案。
如果一个学生完全没有复习，随机选择答案，他答对所有题目的概率是_________。
4. 假设一个袋子里有3个红球和5个蓝球，随机抽取一个球，抽到红球的概率是_________。
三、简答题5. 某工厂生产的产品中有5%是次品。
如果从生产线上随机抽取100件产品进行检查，求至少有5件次品的概率。
四、计算题6. 某城市有60%的居民拥有汽车，40%的居民没有汽车。
如果随机抽取5个居民进行调查，求至少有3个居民拥有汽车的概率。
五、解答题7. 假设有一副完整的扑克牌，共52张。
如果随机抽取一张牌，求抽到红桃A的概率。
试题答案：一、选择题1. 答案：D。
因为10名男生占40名学生的1/4，所以概率是0.25。
2. 答案：A。
每次抛硬币出现正面的概率是0.5，两次都出现正面的概率是0.5 × 0.5 = 0.25。
二、填空题3. 答案：\( \left(\frac{1}{4}\right)^{10} \)。
每题答对的概率是1/4，10题都答对的概率是\( \left(\frac{1}{4}\right)^{10} \)。
4. 答案：\( \frac{3}{8} \)。
3个红球占8个球的3/8，所以概率是3/8。
三、简答题5. 至少有5件次品的概率可以通过计算没有5件次品的概率来求得，然后用1减去这个概率。
即1 - C(95, 100) / C(100, 100)，其中C(n, k)表示从n个不同元素中取出k个元素的组合数。
四、计算题6. 至少有3个居民拥有汽车的概率可以通过计算没有3个或更少居民拥有汽车的概率来求得，然后用1减去这个概率。
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选择题1．设,,A B C 为三个事件，且,A B 相互独立，则以下结论中不正确的是（B ） （A ）若()1P C =，则AC 与BC 也独立. （B ）若()1P C =，则A C 与B 也独立. （C ）若()0P C =，则A C 与B 也独立.（D ）若C B ⊂，则A 与C 也独立. 2．设A 、B 、C 为三个事件，()0P AB >且(|)1P C AB =，则有（ B ） （A ）()()() 1.P C P A P B ≤+- （B ）()().P C P AB ≤（C ）()()() 1.P C P A P B ≥+- （D ）()().P C P A B ≥3. 设,则下列结论成立的是（? D ）（A ） 事件A 和B 互不相容； （B ） 事件A 和B 互相对立； （C ） 事件A 和B 互不独立； （D ） 事件A 和B 互相独立。
4.将两封信随机地投入四个邮筒中，则未向前面两个邮筒投信的概率为（ A ）。
A. 2242B. 2412C C C. 24!2P D. !4!25.某人连续向一目标射击，每次命中目标的概率为43，他连续射击直到命中为止，则射 击次数为3的概率是（ C ）。
A. 343）（B. 41432⨯）（C. 43412⨯）（D. 22441C ）（ 6.设随机事件A 、B 互不相容，q B P p A P ==)( ,)(，则)(B A P ＝（ A ）。
A. q p )1(- B. pq C. q D.p7．设随机变量~(0,1),X N X 的分布函数为()x Φ，则(||2)P X >的值为（ A ） （A ）2[1(2)]-Φ. （B ）2(2)1Φ-.（C ）2(2)-Φ. （D ）12(2)-Φ. 8. 设随机变量X 的概率密度为2(2)4(),2x f x x π+-=-∞<<∞且~(0,1)Y aX b N =+，则在下列各组数中应取（ A ） （A ）1/2, 1.a b == （B ）22, 2.a b ==（C ）1/2,1a b ==-. （D ）22, 2.a b ==9. 设随机变量X 的分布函数为()X F x ，则35Y X =-的分布函数为()Y F y =（ D ） （A ）(53)X F y -. （B ）5()3X F y -.（C ）3()5X y F +. （D ）31()5X yF --. 10.已知随机变量X 的概率密度为)(x f X ，令X Y 2-=，则Y 的概率密度)(y f Y 为（ D ）。
A. )2(2y f X -B. )2(y f X -C. )2(21y f X --D. )2(21yf X - 11.设随机变量)(~x f X ，满足)()(x f x f -=，)(x F 是x 的分布函数，则对任意实数a 有（ A ）。
A. ⎰-=-adx x f a F 0)(1)( B. ⎰-=-adx x f a F 0)(21)( C. )()(a F a F =-D. 1)(2)(-=-a F a F12.连续型随机变量X 的密度函数f (x )必满足条件（ C ）。
A. 0() 1B.C. () 1D. lim ()1x f x f x dx f x +∞-∞→+∞≤≤==⎰在定义域内单调不减13．设离散型随机变量X 和Y 的联合概率分布为(,)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)111169183X Y P αβ若,X Y 独立，则,αβ的值为（ A ）（A ）21,99αβ==. （A ）12,99αβ==.（C ） 11,66αβ== （D ）51,1818αβ==. 14. 设随机变量X ～N(μ，81)，Y ～N(μ，16)，记}4{},9{21+≥=-≤=μμY p X P p ，则（ B ）。
A. p 1<p 2B. p 1＝p 2C. p 1>p 2D. p 1与p 2的关系无法确定15. 已知随机变量X 和Y 相互独立，且它们分别在区间[－1，3]和[2，4]上服从均匀分布， 则=)(XY E （ A ）。
A. 3B. 6C. 10D. 1216.设随机变量X , Y 相互独立，且均服从[0，1]上的均匀分布，则服从均匀分布的是（ B ）。
A . X YB . （X , Y ）C . X — YD . X + Y17.设X ，Y 是相互独立的两个随机变量，它们的分布函数分别为F X (x),F Y (y),则Z = max {X,Y}?的分布函数是 （ D ）A ）F Z （z ）= max { F X (x),F Y (y)}; B) F Z （z ）= max { |F X (x)|,|F Y (y)|} C) F Z （z ）= F X （x ）·F Y (y) D)都不是18.下列二无函数中，可以作为连续型随机变量的联合概率密度的是（ B ）。
A ）f(x,y)=cos x,0,⎧⎨⎩x ,0y 122ππ-≤≤≤≤其他B) g(x,y)=cos x,0,⎧⎨⎩1x ,0y 222ππ-≤≤≤≤其他C) ϕ(x,y)=cos x,0,⎧⎨⎩0x ,0y 1π≤≤≤≤其他D) h(x,y)=cos x,0,⎧⎨⎩10x ,0y 2π≤≤≤≤其他19.设随机变量X 和Y 不相关，则下列结论中正确的是（ B ） （A ）X 与Y 独立. （B ）()D X Y DX DY -=+. （C ）()D X Y DX DY -=-. （D ）()D XY DXDY =. 20．对任意随机变量X ，若EX 存在，则[()]E E EX 等于（ C ） （A ）0. （B ）.X （C ）.EX （D ）3().EX21. 设随机变量1~[0,6],~(12,)4X U Y B 且,X Y 相互独立，根据切比 雪夫不等式有(33)P X Y X -<<+（ ） （A ）0.25≤. （B ）512≤. （C ）0.75≥. （D ）512≥. 22.设)(x Φ为标准正态分布函数， 100, ,2, 1, 0A,1 =⎩⎨⎧=i X i 否则。
，发生；事件且()0.1P A =，10021X X X ，，， 相互独立。
令∑==1001i i X Y ，则由中心极限定理知Y 的分布函数)(y F 近似于（ B ）。
A. )(y Φ B ．10()3y -Φ C ．(310)y Φ+ D ．(910)y Φ+ 23．设是来自正态总体的简单随机样本，是样本均值，记则服从自由度为n -1的t 分布随机变量为（??D ）。
24．设),,,(21n X X X 为总体)2,1(2N 的一个样本，X 为样本均值，则下列结论中正确的是（ ）。
A.)(~/21n t n X -； B. )1,(~)1(4112n F X n i i ∑=-； C. )1,0(~/21N nX -； D. )(~)1(41212n X n i i χ∑=-；25. 设总体)2,(~2μN X ，其中μ未知，n X X X ,,,21 为来自总体的样本，样本均值为X ，样本方差为2s ， 则下列各式中不是统计量的是（ C ）。
A. X 2B. 22σsC.σμ-X D.22)1(σs n -26.设xx x n12,,, 是一组样本观测值，则其标准差是（ B ）。
A.∑=--ni i x x n 12)(11 B. ∑=--n i i x x n 12)(11 C. ∑=-n i i x x n 12)(1 D. ∑=-ni i x x n 1)(127.设X ～2(,)N μσ其中μ已知，2σ未知，123,,X X X 样本，则下列选项中不是统计量的（ C ）A ）123X X X ++B ）123max{,,}X X XC ）2321i i X σ=∑ D ）1X μ-28.若X ～()t n 那么2χ～（ A ）A ）(1,)F nB ）(,1)F nC ）2()n χ D ）()t n填空题1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为 .2. 甲盒中有2个白球和3个黑球，乙盒中有3个白球和2个黑球，今从每个盒中各取2个球，发现它们是同一颜色的，则这颜色是黑色的概率为 .3. 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2X Y =在区间)4,0(内的概率密度为=)(y f Y.4. 元件的寿命服从参数为1100的指数分布，由5个这种元件串联而组成的系统，能够正常工作100小时以上的概率为 .5. 设3{0,0}7P X Y ≥≥=，4{0}{0}7P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥=6. 用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<=7. 设随机变量X 的概率密度为2,01,()0,x x f x <<⎧=⎨⎩其它, 现对X 进行四次独立重复观察，用Y 表示观察值不大于的次数，则2EY = .8. 设随机变量X 服从[0，2]上均匀分布，则=2)]([)(X E X D 。
9. 设1217,,,X X X 是总体(,4)N μ的样本，2S 是样本方差，若2()0.01P S a >=，则a = .（注：20.01(17)33.4χ=, 20.005(17)35.7χ=, 20.01(16)32.0χ=, 20.005(16)34.2χ=） 10. 设1234,,,X X X X 是来自正态总体2(0,2)N 的样本，令221234()(),Y X X X X =++-则当C = 时CY ～2(2)χ。
计算题1. 甲、乙、丙三车间加工同一产品，加工量分别占总量的25%、35%、40%，次品率分别为、、。
现从所有的产品中抽取一个产品，试求（1）该产品是次品的概率；（2）若检查结果显示该产品是次品， 则该产品是乙车间生产的概率是多少？（1）（2）2. 一个机床有1/3的时间加工零件A ，其余时间加工零件B 。
加工零件A 时停机的概率是，加工零件B 时停机的概率是。
求（1）该机床停机的概率；（2）若该机床已停机，求它是在加工零件A 时发生停机 的概率。
与上题同理。
3. 某人外出可以乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具，其概率分别为5％、15％、30％、50％，乘坐 这几种交通工具能如期到达的概率依次为100％、70％、60％、90％。
求该人如期到达的概率。
解：设1A ，2A ，3A ，4A 分别表示乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具，B 表示如期到达。