苏教版初中数学《相似》总复习

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目标

重难点

教学内容

1．相似三角形的定义：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形。对应边的比叫做相似比。

三条平行线截两条直线所得的对应线段的比相等。

2．相似三角形的判定：①平行法②三组对应边的比相等(类似于三角形全等判定“SSS”)③两组对应边的比相等，且夹角相等(类似于三角形全等判定“SAS”)④两角对应相等(AA)

直角三角形中斜边、直角边对应比相等（类似于直角三角形全等判定“HL”）。

相似三角形的基本图形：

判断三角形相似，若已知一角对应相等，可先考虑另一角对应相等，注意公共角或对顶角或同角（等角）的余角（或补角）相等，若找不到第二对角相等，就考虑夹这个角的两对应边的比相等；若无法得到角相等，就考虑三组对应边的比相等。

3．相似三角形的性质：①对应角相等②对应边的比相等③对应的高、中线、角平分线、周长之比等于相似比④对应的面积之比等于相似比的平方。

4．相似三角形的应用：求物体的长或宽或高；求有关面积等。

（三）考点精讲

考点一：平行线分线段成比例

例1、（2011广东肇庆）如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC ＝ 4，CE ＝ 6，BD ＝ 3，则BF ＝（）A． 7 B． 7.5 C． 8 D． 8.5

a

b

c

A B

C D

E F

m n

例2（2012•福州）如图，已知△ABC，AB=AC=1，∠A=36°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，则AD 的长是，cosA的值是．（结果保留根号）

练习：

1．（2011湖南怀化，6，3）如图所示：△ABC中，DE∥BC，AD＝5，BD＝10，AE＝3，则CE的值为（）A．9 B．6 C．3 D．4

E

C

D

B

A

2．（2011山东泰安，15 ，3分）如图，点F是□ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是（）

A．

ED DF

EA AB

=B．

DE EF

BC FB

=C．

BC BF

DE BE

=D．

BF BC

BE AE

=

3．（2012•孝感）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，若AC=2，则AD 的长是（）

A．

51

2

-

B．

51

2

+

C．51

-D．51

+

考点二：相似三角形的判定

例3、（2011湖北荆州）如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD于F，AD 交PC于G，则图中相似三角形有（）

A．1对B．2对C．3对D．4对

例4、（2010江苏泰州）一个铝质三角形框架三条边长分别为24cm、30cm、36cm，要做一个与它相似的铝质三角形框架，现有长为27cm、45cm的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边．截法有（）

G

E

A

D

B

C

P

F

A.0种

B. 1种

C. 2种

D. 3种

例5（2012•徐州）如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC=

1

4

BC．图中相似三角形共有（）

A．1对B．2对C．3对D．4对

例6（2012•资阳）（1）如图（1），正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上，直接写出HD：GC：EB的结果（不必写计算过程）；

（2）将图（1）中的正方形AEGH绕点A旋转一定角度，如图（2），求HD：GC：EB；

（3）把图（2）中的正方形都换成矩形，如图（3），且已知DA：AB=HA：AE=m：n，此时HD：GC：EB 的值与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写计算过程）．

练习：

1．（2011江苏无锡，7，3分）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①、

②、③、④四个三角形．若OA∶OC= OB∶OD，则下列结论中一定正确的是

( )

A．①和②相似B．①和③相似

C．①和④相似D．②和④相似

2．（2011新疆乌鲁木齐，10，4分）如图，等边三角形ABC的边长为3，点P为BC边上一点，且1

BP=，点D为AC边上一点若60

APD

∠=︒，则CD的长为

A．

1

2

B．

2

3

C．

3

4

D．1

A

B

C

D

O

①②

③

④

（第7题）

3. （2012•攀枝花）如图，△ABC≌△ADE且∠ABC=∠ADE，∠ACB=∠AED，BC、DE交于点O．则下列四个结论中，①∠1=∠2；②BC=DE；③△ABD∽△ACE；④A、O、C、E四点在同一个圆上，一定成立的有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

4. （2012•义乌市）在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．

（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；

（2）如图2，连接AA1，CC1．若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积；

（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．

考点三：相似三角形的性质

例7、（2010山东烟台）如图，△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，

则下列结论一定正确的是（）

A．AB2=BC·BD B．AB2=AC·BD

C．AB·AD=BD·BC D．AB·AD=AD·CD

例8、（2011浙江嘉兴）如图，边长为4的等边△ABC中，DE为中位线，则四边

形BCED的面积为（）

（A）3

2（B）3

3

（C）3

4（D）3

6

A

B D C

（例5）

A

B C

D E