北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明复习教学课件(共17张)
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2021年北师大版八年级数学下册第一章《三角形的证明》公开课课件.ppt
O
1 2
PC
E B
∴ ∠PDO=∠PEO=90°
∵ PO=PO
∴△PDO≌△PEO
∴PD=PE
角平分线的性质定理
角平分线上的点到这个角的两边的距 离相等。
应用定理的书写格式：
∵ OP 是AOB的平分线
PDOAPEOB
\ PD = PE （角平分线上的点 O 到这个角两边的距离相等。）
DA
PC
EB
应用：
例1、已知：如图，△ABC中，∠C=90°，AD平
分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于
点E，且DC=3cm。
C
求：DE的长度。
D
B
E
A
用途：证线段相等
新知探究
Ⅱ、性质定理：角平分线上的点到这个角的 两边的距离相等。
改写成“如果…，那么…”的形式： 如果一个点是角平分线上的点，那么这个点
到这个角的距离相等。
。2020年12月14日星期一2020/12/142020/12/142020/12/14
• 15、会当凌绝顶，一览众山小。2020年12月2020/12/142020/12/142020/12/1412/14/2020
• 16、如果一个人不知道他要驶向哪头，那么任何风都不是顺风。2020/12/142020/12/14December 14, 2020
∵ PDOAPEOB
DA
PD= PE
\OP 是AOB的平分线 O
PC
（到一个角的两边的距离相等的点， E B
在这个角的平分线上）
知识应用： 用途：判定一条射线是角平分线
1、如图，在△ABC中,∠BAC=60°，点D在BC上，
AD=10，DE⊥AB, DF⊥AC, 垂足分别是E, F,
北师大版数学初中八年级下册课件-第1章 三角形的证明- 复习课
又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3．
12 B E DFC
同理，∠2＝∠4．
∴∠3＝∠4，∴AD平分∠数学B课A堂C教．学课件设计
考点讲练
考点7 本章的数学思想与解题方法
分类讨论思想
例7 等腰三角形的周长为20cm,其中两边的差为8cm,求这个
等腰三角形各边的长. 【分析】要考虑腰比底边长和腰比底边短两种情况.
∴ AB+堂教学课件设计
考点讲练
解题技巧：常常运用线段的垂直平分线的性质“线段 垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”进行线段 之间的转换来求线段之间的关系及周长的和差等,有 时候与等腰三角形的“三线合一”结合起来考查.
练习5.如图，在△ABC中，DE是AC
的垂直平分线，AC=5厘米，△ABD
知识梳理
⑵等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都 等于____6_0_°__;
⑶是轴对称图形，对称轴是三条高所在的直线;
⑷任意角平分线、角对边上的中线、对边上的高 互相重合，简称“三线合一”.
数学课堂教学课件设计
知识梳理
(5)在直角三角形中，30°的角所对的直角边等 于斜边的一半.
2.等边三角形的判定 ⑴三条边都相等的三角形是等边三角形. ⑵三个角都相等的三角形是等边三角形. ⑶有一个角是60°的等__腰__三__角__形___是等边三角形.
数学课堂教学课件设计
考点讲练
练习1. 如图，在△ABC中，AB=AC时，
A
(1)∵AD⊥BC，
∴∠B_A__D_= ∠_C_A__D_;_B_D__=_C__D_.
(2) ∵AD是中线，
∴_A__D_⊥_B_C__; ∠_B_A__D_= ∠_C_A_D__.
(3) ∵ AD是角平分线，
12 B E DFC
同理，∠2＝∠4．
∴∠3＝∠4，∴AD平分∠数学B课A堂C教．学课件设计
考点讲练
考点7 本章的数学思想与解题方法
分类讨论思想
例7 等腰三角形的周长为20cm,其中两边的差为8cm,求这个
等腰三角形各边的长. 【分析】要考虑腰比底边长和腰比底边短两种情况.
∴ AB+堂教学课件设计
考点讲练
解题技巧：常常运用线段的垂直平分线的性质“线段 垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”进行线段 之间的转换来求线段之间的关系及周长的和差等,有 时候与等腰三角形的“三线合一”结合起来考查.
练习5.如图，在△ABC中，DE是AC
的垂直平分线，AC=5厘米，△ABD
知识梳理
⑵等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都 等于____6_0_°__;
⑶是轴对称图形，对称轴是三条高所在的直线;
⑷任意角平分线、角对边上的中线、对边上的高 互相重合，简称“三线合一”.
数学课堂教学课件设计
知识梳理
(5)在直角三角形中，30°的角所对的直角边等 于斜边的一半.
2.等边三角形的判定 ⑴三条边都相等的三角形是等边三角形. ⑵三个角都相等的三角形是等边三角形. ⑶有一个角是60°的等__腰__三__角__形___是等边三角形.
数学课堂教学课件设计
考点讲练
练习1. 如图，在△ABC中，AB=AC时，
A
(1)∵AD⊥BC，
∴∠B_A__D_= ∠_C_A__D_;_B_D__=_C__D_.
(2) ∵AD是中线，
∴_A__D_⊥_B_C__; ∠_B_A__D_= ∠_C_A_D__.
(3) ∵ AD是角平分线，
北师大版八年级数学下册《直角三角形》三角形的证明PPT(第1课时)
获取新知
知识点二：直角三角形的边的关系
B
勾股定理 直角三角形两条直角边的平方
和等于斜边的平方.
A
C
关于勾股定理的证明，可以欣赏“16页的读一读”， 并可以上网搜索，诸如美国第二十任总统的证法、赵 爽弦图法等
勾股定理反过来，怎么叙述呢？
如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那 么这个三角形是直角三角形．
一项指标.现测得AB=4 cm,BC=3 cm,AD=13 cm,CD=12 cm, ∠ABC=90°,根据这些条件,能否得出∠ACD等于90°?请说明理由.
解:能.理由:在Rt△ABC中,
∵AB=4 cm,BC=3 cm,∠ABC=90°,
∴AC=
=5(cm).
在△ACD中,∵AD=13 cm,CD=12 cm,AC=5 cm,
你来给出完整的 证明过程吧，试 一试
例题讲解 例1 如图，在△ABC中，∠C＝70°，∠B＝30°，AD⊥BC 于点D，AE为∠BAC的平分线，求∠DAE的度数． 解：由题意可知， ∠BAC＝180°－∠B－∠C＝80°. ∵AE为∠BAC的平分线， ∴∠CAE＝∠BAE＝ ∠BAC＝40°. ∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°. ∴∠CAD＝90°－∠C＝90°－70°＝20°. ∴∠DAE＝∠CAE－∠CAD＝40°－20°＝20°.
原命题都存在逆命题 ，
但是互逆命题的真假 无法保证
如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫 做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理.
注意1：逆命题、互逆命题不一定是真命题， 但逆定理、互逆定理，一定是真命题.
注意2：不是所有的定理都有逆定理.
定理
“两直线平行，内错角相等”
北师大版八年级下册数学《等腰三角形》三角形的证明说课教学课件复习
即“等角对等边”．
实践探究，交流新知
小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不
相等．你认为小明这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？
证明：如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与AC要么
相等，要么不相等．假设AB＝AC，那么根据“等边对等角”
定理可得∠C＝∠B，但这与已知条件∠B≠∠C相矛盾，因
(3)若AD⊥BC，∠BAC＝40°，则∠BAD＝
20° ．
(4)若BD＝CD，则AD⊥BC，∠BAD＝ ∠CAD ．
想一想：在等腰三角形中画出一些线段（比如角平分线、中线、高等），你能发
现其中一些相等的线段吗？能证明你的结论吗？
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件 课件
课件 课件
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(2)归谬：从假设出发，通过推理得出矛盾；
(3)结论：说明假设不成立，从而得到原命题的结论正确.
开放训练，体现应用
例1 (教材第8页例2)已知：如图，AB＝DC，BD＝CA，BD与CA相交于
点E，求证：△AED是等腰三角形．
AB＝DC，
证明：在△ABD和△DCA中，BD＝CA，
AD＝DA，
∴△ABD≌△DCA(SSS)
创设情境，导入新课
问题1：请同学们回顾一下，前面我们学习了等腰三角形的哪些性质？
(1)等腰三角形两底角相等，也就是“等边对等角”．
(2)“三线合一”．
(3)等腰三角形两腰上的高相等，两腰上的中线相等，两底角的平分线相等．
问题2：等腰三角形两底角相等，这个命题的条件和结论是什么？
实践探究，交流新知
实践探究，交流新知
小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不
相等．你认为小明这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？
证明：如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与AC要么
相等，要么不相等．假设AB＝AC，那么根据“等边对等角”
定理可得∠C＝∠B，但这与已知条件∠B≠∠C相矛盾，因
(3)若AD⊥BC，∠BAC＝40°，则∠BAD＝
20° ．
(4)若BD＝CD，则AD⊥BC，∠BAD＝ ∠CAD ．
想一想：在等腰三角形中画出一些线段（比如角平分线、中线、高等），你能发
现其中一些相等的线段吗？能证明你的结论吗？
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(2)归谬：从假设出发，通过推理得出矛盾；
(3)结论：说明假设不成立，从而得到原命题的结论正确.
开放训练，体现应用
例1 (教材第8页例2)已知：如图，AB＝DC，BD＝CA，BD与CA相交于
点E，求证：△AED是等腰三角形．
AB＝DC，
证明：在△ABD和△DCA中，BD＝CA，
AD＝DA，
∴△ABD≌△DCA(SSS)
创设情境，导入新课
问题1：请同学们回顾一下，前面我们学习了等腰三角形的哪些性质？
(1)等腰三角形两底角相等，也就是“等边对等角”．
(2)“三线合一”．
(3)等腰三角形两腰上的高相等，两腰上的中线相等，两底角的平分线相等．
问题2：等腰三角形两底角相等，这个命题的条件和结论是什么？
实践探究，交流新知
北师版八年级数学下册教学课件(BS) 第一章 三角形的证明 第2课时 直角三角形全等的判定
A
B
C
画图方法视频（点击文字
播放）
画图思路
N
A
B
C
M
C′
（1）先画∠M C′ N=90°
画图思路
N
A
B
C
M
B′
C′
（2）在射线C′M上截取B′C′=BC
画图思路
N
A
A′
B
C
M B′
C′
（3）以点B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于A′
画图思路
N
A
A′
B
C
M B′
C′
（4）连接A′B′
思考：通过上面的探究，你能得出什么结论？
(2)当P运动到与C点重合时，AP＝AC. 在Rt△ABC与Rt△QPA中， ∵PQ＝AB，AP＝AC， ∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL)， ∴AP＝AC＝10cm， ∴当AP＝5cm或10cm时，△ABC才能和△APQ全等．
【方法总结】判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本 题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏 解．
B
A
C
如图，Rt△ABC中，∠C =90°，直角边是_____、_____，A斜C边是
__B__C__.
AB
前面学过的四种判定三角形全等的方法,对直角三角形是否适用？
口答：
A
A′
1.两个直角三角形中，斜边和一个锐 角对应相等，这两个直角三角形全等 吗？为什么？
B
C B′
C′
2.两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角对应相等，这两个直角三
BC=B′C′,
∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，
B
C
画图方法视频（点击文字
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画图思路
N
A
B
C
M
C′
（1）先画∠M C′ N=90°
画图思路
N
A
B
C
M
B′
C′
（2）在射线C′M上截取B′C′=BC
画图思路
N
A
A′
B
C
M B′
C′
（3）以点B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于A′
画图思路
N
A
A′
B
C
M B′
C′
（4）连接A′B′
思考：通过上面的探究，你能得出什么结论？
(2)当P运动到与C点重合时，AP＝AC. 在Rt△ABC与Rt△QPA中， ∵PQ＝AB，AP＝AC， ∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL)， ∴AP＝AC＝10cm， ∴当AP＝5cm或10cm时，△ABC才能和△APQ全等．
【方法总结】判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本 题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏 解．
B
A
C
如图，Rt△ABC中，∠C =90°，直角边是_____、_____，A斜C边是
__B__C__.
AB
前面学过的四种判定三角形全等的方法,对直角三角形是否适用？
口答：
A
A′
1.两个直角三角形中，斜边和一个锐 角对应相等，这两个直角三角形全等 吗？为什么？
B
C B′
C′
2.两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角对应相等，这两个直角三
BC=B′C′,
∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，
北师大版八年级数学下册 第一章 三角形的证明复习 教学课件(共17张PPT)
D
C
A
E
B
说明两条线段相等，有时还可以通过第三条线段进行等量代换。
线段的垂直平分线
角平分线
定义 几何证明
命题 互逆 逆命题
公理
定理 互逆 逆定理
依据
线段的垂直平分线及其逆定理 角的平分线及其逆定理
演绎推理
线段的垂直平分线
线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等.
M
∵MN⊥AB, CA=CB(已知)
P
∴PA=PB （线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的 距离相等）
1
2
A
C
B
N
和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. ∵AB=AC(已知)
∴点A在线段BC的垂直平分线上 （和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）
B
A C
角平分线
在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等．
三.直角三角形全等的判定： AAS、ASA、SAS、SSS、HL
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
例1.已知：如图， ∠A=90°，∠B=15°，BD=DC.
请说明AC= BD的理由. 1
2
解∵BD=DC，∠B=15° ∴∠DCB=∠B=15°（等角对等边） ∴∠ADC=∠B+∠DCB=30° （三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和） ∵∠A=90°
You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
直角三角形
直角三角形：有一个角是直角的三角形。 一.直角三角形的性质：
八年级 下册 数学 PPT课件 精品课件 第一章 三角形的证明 直角三角形(一)
范例讲解 例2、写出命题“如果两个有理数相等，那么它 们的平方相等”的逆命题，这两个命题都是真命 题吗？ 解：其逆命题为“如果两个有理数的平方相等，
那么这两个有理数也相等” 原命题是真命题，而逆命题是假命题 训练题:写出下列命题的逆命题，并判断它们是真 命题还是假命题。 （1）两直线平行，同旁内角相等。 （2）如果a是偶数，b是偶数，那么a+b是偶数。 （3）在直角三角形中，如果一个锐角等于30˚，那 么它所对的直角边等于斜边的一半。 （4）等腰三角形的两腰相等。
∴这个三角形不是直角三角形
∴没有与60m长的南北边线垂直的边线
∴没有一条边线为东西向
ⅳ、观察下面两个命题：
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的 平方。
如果一个三角形两边的平方和等于第三边的 平方，那么这个三角形是直角三角形。
它们的条件和结论之间有什么关系？
合作交流 ⅴ、观察下面三组命题：
如果两个角是对顶角，那么它们相等， 如果两个角相等，那么它们是对顶角； 如果小明患了肺炎，那么他一定发烧， 如果小明发烧，那么他一定患了肺炎；
说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假:
(1)四边形是多边形； (2)两直线平行，同旁内角互补； (3)如果ab=0，那么a=0 b=0
解：(1)多边形是四边形．原命题是真命题， 而逆命题是假命题．
(2)同旁内角互补，两直线平行． 原命题与逆命题同为真命题．
(3)如果a=0，b=0，那么ab=0． 原命题是假命题，而逆命题
是真命题．
1.（钦州·中考）如图是一张直角三角形的纸片， 两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm，现将△ABC折叠， 使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（ ） （A）4 cm （B）5 cm
最新北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明回顾与思考PPT课件
八年级数学·下
新课标 [北师]
第一章 三角形的证明
考点解析
典型例题
考点解析
三角形的证明是中考的必考点，考查方式以填
空题、选择题和中档解答题为主．主要考查等腰三 角形、直角三角形中角度、边长的计算或证明角、 线段相等或推导角之间的关系及线段之间的关系， 利用线段的垂直平分线、角的平分线的性质作图也 是常见的题型．本章考点可概括为：三个概念，六 个性质，四个判定，四个技巧，一个应用．
∵∠DAC＝10°，∴∠BAD＝60°.
∵∠D＝∠B，∠FMD＝∠AMB， ∴∠DFB＝∠BAD＝60°.
性质2
等腰三角形的性质
7．在△ABC中，AB＝AC，D为直线BC上一点，E 为直线AC上一点，AD＝AE，设∠BAD＝α， ∠CDE＝β.
(1)如图，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．
①如果∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，那么α＝ 20° ，β＝________. 10° ________ ②求α，β之间的关系式． (2)是否存在不同于以上②中的α，β之间的关系式？ 若存在，求出这个关系式(求出一个即可)；若不 存在，请说明理由．
考点
概念1
1
三个概念
反证法
1．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少 有一个锐角不大于45°”时，应先假设( D ) A．有一个锐角小于45°
B．每一个锐角都小于45°
C．有一个锐角大于45° D．每一个锐角都大于45°
2．求证：在一个三角形中，如果两个角不相等，
那么它们所对的边也不相等．
证明：假设两个不相等的角所对的边相等，则根 据等腰三角形的性质定理“等边对等角”， 知它们所对的角也相等，这与题设两个角
解：(1)由于③的题设是a＋b>0，而⑤的结论是 ab>0，故⑤不是由③交换命题的题设和结 论得到的，所以③和⑤不是互逆命题． (2)③的逆命题是如果a>0，b>0，那么a＋b>0.
新课标 [北师]
第一章 三角形的证明
考点解析
典型例题
考点解析
三角形的证明是中考的必考点，考查方式以填
空题、选择题和中档解答题为主．主要考查等腰三 角形、直角三角形中角度、边长的计算或证明角、 线段相等或推导角之间的关系及线段之间的关系， 利用线段的垂直平分线、角的平分线的性质作图也 是常见的题型．本章考点可概括为：三个概念，六 个性质，四个判定，四个技巧，一个应用．
∵∠DAC＝10°，∴∠BAD＝60°.
∵∠D＝∠B，∠FMD＝∠AMB， ∴∠DFB＝∠BAD＝60°.
性质2
等腰三角形的性质
7．在△ABC中，AB＝AC，D为直线BC上一点，E 为直线AC上一点，AD＝AE，设∠BAD＝α， ∠CDE＝β.
(1)如图，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．
①如果∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，那么α＝ 20° ，β＝________. 10° ________ ②求α，β之间的关系式． (2)是否存在不同于以上②中的α，β之间的关系式？ 若存在，求出这个关系式(求出一个即可)；若不 存在，请说明理由．
考点
概念1
1
三个概念
反证法
1．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少 有一个锐角不大于45°”时，应先假设( D ) A．有一个锐角小于45°
B．每一个锐角都小于45°
C．有一个锐角大于45° D．每一个锐角都大于45°
2．求证：在一个三角形中，如果两个角不相等，
那么它们所对的边也不相等．
证明：假设两个不相等的角所对的边相等，则根 据等腰三角形的性质定理“等边对等角”， 知它们所对的角也相等，这与题设两个角
解：(1)由于③的题设是a＋b>0，而⑤的结论是 ab>0，故⑤不是由③交换命题的题设和结 论得到的，所以③和⑤不是互逆命题． (2)③的逆命题是如果a>0，b>0，那么a＋b>0.
(新)北师大版八年级数学下册第1章《三角形的证明》复习课件(共30张PPT)
例1．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上， 且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数． 解：设∠A=x．∵AD=BD， ∴∠ABD=∠A=x； ∵BD=BC， ∴∠BCD=∠BDC=∠ABD+∠A=2x； ∵AB=AC，∴∠ABC=∠BCD=2x， ∴∠DBC=x； ∵x+2x+2x=180°， ∴x=36°， ∴∠A=36°，∠ABC=∠ACB=72°．
第一章 三角形的证明
第11课时 《三角形的证明》 章节复习
目录 contents
课前小测
课堂精讲
课后作业
目录 contents
课前小测
课前小测
Listen attentively
知识小测 1.已知等腰三角形的一个角为72°，则其顶角为 （D） A.36° B.45° C.60° D.72°或36° 2.已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则 该等腰三角形的周长为（C ） A.8或10 B.8 C.10 D.6或12 3.如图，在△ABC中，AC=4 cm，线段AB的垂直 平分线交AC于点N，△BCN的周长 是7 cm，则BC的长为（ C） A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm
课堂精讲
Listen attentively
【例2】如图（1），AB⊥AD，ED⊥AD， AB=CD，AC=DE，试说明BC⊥CE的理由；如图 （2），若△ABC向右平移，使得点C移到点D， AB⊥AD，ED⊥AD，AB=CD，AD=DE，探索 BD⊥CE的结论是否成立，并说明理由．
课堂精讲
Listen attentively
课堂精讲
Listen attentively
在Rt△ABC与Rt△QPA中，， ∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）， 即AP=BC=10； ②当P运动到与C点重合时，AP=AC，不合题意． 综上所述，当点P运动到距离点A为10时，△ABC 与△APQ全等．
最新北师大版初二数学下册第一章 三角形的证明 全单元课件
2、想一想：
（1）把剪出的等腰△ABC沿折痕对折，除两腰重合外 还有没有重合的部分？并指出重合的部分是什么？ （2）由这些重合的部分，你能发现等腰三角形的性 质吗？说一说你的猜想。
你发现了什么？
结论：等腰三角形的两底角相等
性质1、等腰三角形的两个底角相等。
（等边对等角）
已知： △ABC 中，AB＝AC
A
性
质
两腰相等
C
B
等边对等角 三线合一
轴对称图形
情景导入
一.情景导入，初步认知
问题：在等腰三角形中作出一些线段(如角
平分线、中线、高等)，你能发现其中一些相等
的线段吗？
获取新知
二.思考探究，获取新知
探究 1.在等腰三角形中自主作出一些线段(如
角平分线、中线、高等)，观察其中有哪些相等的
线段，并尝试给出证明.
求证：∠B=∠C。 证明：作底边BC边上的中线AD。
A
在△ABD与△ACD中：
B
AB＝AC（已知） BD＝DC（作图） AD＝AD（公共边）
∴△ABD≌△ACD（SSS）
D
C
∴∠B＝∠C（全等三角形对应角相等）
方法二：作顶角∠BAC的平分线AD。 ∵AD平分∠BAC ∴∠1＝∠2 在△ABD与△ACD中 12
A
2.△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，
DF⊥AC于F DE ⊥ AB 于E .求证：DE＝DF。
证明： ∵DE⊥AB，DF⊥AC ∴∠BED＝∠CFD
B
E
D
F
C
在△DBE与△DCF中
∠DEB＝∠DFC（已证）
∠B＝∠C（已证）
又∵D是BC中点（已知）
北师大版八年级数学下册 第一章 三角形的证明 课件
2.(1)等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为 __7_5_°__, _3_0_°__； (2)等腰三角形一个角为36°,它的另外两个角为 __7_2_°__,_7_2_°__或__3_6°___,1_0_8_°； (3)等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为 _3_0_°__,3_0_°___.
n
由此你能得到一个什么结论B?D=CE吗? BD=CE
过底边的端点且与底边夹角相等的两线段相等.
2.已知:如图,在△ABC中,AB=AC.
(1)如果AD=
1 为什么？ BD=CE
(2)如果AD=
1 4
AC,AE=
1 4
AB,
那么BD=CE吗? 为什么？ BD=CE
NM
求证: BM=CN．
证明：∵AB=AC(已知)，∴∠ABC=∠ACB. B
C
又∵CM=
1 AC 2
，BN=
1 AB， 2
∴CM=BN．
在△BMC与△CNB中， ∵ BC=CB,∠MCB=∠NBC, CM=BN，
∴△BMC≌△CNB（SAS）．
∴BM=CN.
例3 证明: 等腰三角形两腰上的高相等．
方法二：作顶角的平分线
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC.
A
求证： ∠B= ∠C.
证明：作顶角的平分线AD， 则∠BAD=∠CAD.
在△BAD和△CAD中 AB=AC ( 已知 ),
B DC
∠BAD=∠CAD ( 已作 ),
AD=AD (公共边),
∴ △BAD ≌ △CAD (SAS).
∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
议一议：
A
1.已知:如图,在△ABC中,AB=AC. （1）如果∠ABD= 1∠ABC ， ∠ACE= 1∠ACB， 3 那么BD=3CE吗? 为什么？ BD=CE
北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明章末复习课件(共70张)
章末复习
相关题2-1 [宜昌中考]如图1-Z-4, 在 △ ABC 中 , AB = A C , ∠A=30°, 以B为圆心, BC的长为半径 的圆弧交AC于点D, 连接BD, 则∠ABD的度数为
( B ). A．30° C．60°
B．45° D．90°
章末复习
相关题2-2 在△ABC中, AB=AC, 且过△ABC的某一顶点的直 线可将△ABC分成两个等腰三角形, 试求△ABC各内角的度数.
【要点指点】全等三角形的性质为证明线段(角)相等提供了根据. 一 般三角形全等的判定方法有四种：“SSS”“SAS”“ASA”和“AAS”. 直角 三角形是一种特殊的三角形, 它的判定方法除了上述四种之外, 还有 “HL”. 在具体问题中, 一般只直接给出一个或两个条件(有的甚至一个 条件也不直接给出), 其余条件常隐含于条件或图形中, 而找出这些隐 含条件是解答问题的关键.
章末复习
(ⅱ)如图④，过点 B 的直线交 AC 于点 G，且 BG＝AG，CB＝CG.
设∠A＝β°，则∠ABG＝β°，∠CBG＝∠CGB＝(2β)°，∠C＝∠ABC＝
直角 三角 形
角平 分线
三角形的证明
性 线段垂直平分线 质 上的点到这条线
段两个端点的距 离相等
判 到一条线段两个 定 端点距离相等的
点, 在这条线段 的垂直平分线上
性 质
角平分线上的点 到这个角的两边 的距离相等
在一个角的内部,
判 定
到角的两边距离 相等的点在这个 角的平分线上
章末复习
归纳整合
专题一 与全等三角形有关的计算与证明题
章末复习
例2 如图1-Z-3, 在△ABC中, AB=AC, ∠ABC, ∠ACB的平分线相交于点O, 过点O作EF∥BC, 分别交AB, AC于点E, F. 图中有几个等腰三角形？ 请说明EF与BE, CF之间的关系.
北师大版八年级下册 第一章 三角形的证明 (共35张PPT)
图S1－5
[解析] 要证明△DEF为等腰三角形，需要证DE＝DF.连接 AD，利用全等可得这一结论．至于在延长线上，可利用同样的 方法．
8．三线共点 三角形三条边的垂直平分线相交于 一点 ，并且这一点到 三角形三个顶点的距离 相等 .
9．角平分线的性质定理及判定定理
性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离 相等 . 判定定理：在一个角的内部，且到角的两边 距离 相等的 点，在这个角的平分线上．
[注意] 角的平分线是在角的内部的一条射线，所以它的逆 定理必须加上“在角的内部”这个条件．
► 考点四 等腰三角形的判别
例4 已知：在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的 中点．
(1)如图S1－5，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF， 求证：△DEF为等腰直角三角形；
(2)若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其 他条件不变，那么，△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的 结论．
┃知识归纳┃
1．等腰三角形的性质 性质(1)：等腰三角形的两个底角 相等. 性质(2)：等腰三角形顶角的 平分线 、底边上的 中线 、底边 上的高互相重合． 2．等腰三角形的判定 (1)定义：有两条边 相等 的三角形是等腰三角形． (2)等角对等边：有两个角 相等 的三角形是等腰三角形．
3．用反证法证明的一般步骤 (1)假设命题的结论不成立； (2)从这个假设出发，应用正确的推论方法，得出与定义、公理、 已证定理或已知条件相矛盾的结果； (3)由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确． 4．等边三角形的判定 (1)有一个角等于60°的 等腰 三角形是等边三角形；
逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那 么这个三角形是 直角 三角形．
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