学而思奥数模块三解多次相遇问题的工具柳卡

学而思奥数模块三解多次相遇问题的工具柳卡集团标准化工作小组 [Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN]

学而思奥数模块之行程问题

模块三解多次相遇问题的工具——柳卡

柳卡图，不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间-距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”，“相遇的地点”，以及“由相遇的地点求出全程”，使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。

【例 1】每天中午有一条轮船从哈佛开往纽约，且每天同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛．轮船在途中均要航行七天七夜．试问：某条从哈佛开出的轮船在到达

纽约前（途中）能遇上几艘从纽约开来的轮船

【解析】这就是着名的柳卡问题．下面介绍的法国数学家柳卡·斯图姆给出的一个非常直观巧妙的解法．

他先画了如下一幅图：

这是一张运行图．在平面上画两条平行线，以一条直线表示哈佛，另一条直线表

示纽约．那么，从哈佛或纽约开出的轮船，就可用图中的两组平行线簇来表

示．图中的每条线段分别表示每条船的运行情况．粗线表示从哈佛驶出的轮船在

海上的航行，它与其他线段的交点即为与对方开来轮船相遇的情况．

从图中可以看出，某天中午从哈佛开出的一条轮船（图中用实线表示）会与从纽

约开出的15艘轮船相遇（图中用虚线表示）．而且在这相遇的15艘船中，有1

艘是在出发时遇到（从纽约刚到达哈佛），1艘是到达纽约时遇到（刚好从纽约

开出），剩下13艘则在海上相遇；另外，还可从图中看到，轮船相遇的时间是

每天中午和子夜．如果不仔细思考，可能认为仅遇到7艘轮船．这个错误，主要

是只考虑以后开出的轮船而忽略了已在海上的轮船．

【例 2】 甲、乙两人在一条长为30米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒1米，乙

的速度是每秒0.6米．如果他们同时分别从直路的两端出发，当他们跑了10分钟

后，共相遇几次

【解析】 采用运行图来解决本题相当精彩！

首先，甲跑一个全程需30130÷=（秒），乙跑一个全程需300.650

÷=（秒）．与上题类似，画运行图如下（实线表甲，虚线表示乙，那么实虚两线交

点就是甲乙相遇的地点）：

从图中可以看出，当甲跑5个全程时，乙刚好跑3个全程，各自到了不同两端又

重新开始，这正好是一周期150秒．在这一周期内两人相遇了5次，所以两人跑

10分钟，正好是四个周期，也就相遇了5420⨯=（次）

【例 3】 (2009年迎春杯复赛高年级组)A 、B 两地位于同一条河上，B 地在A 地下游

100千米处．甲船从A 地、乙船从B 地同时出发，相向而行，甲船到达B 地、乙

船到达A 地后，都立即按原来路线返航．水速为2米/秒，且两船在静水中的速

一个周期内共有5

次相遇，其中第

度相同．如果两船两次相遇的地点相距20千米，那么两船在静水中的速度是 米/秒．

【解析】 本题采用折线图来分析较为简便．

如图，箭头表示水流方向，A C E →→表示甲船的路线，B D F →→表示乙船

的路线，两个交点M 、N 就是两次相遇的地点．

由于两船在静水中的速度相同，所以两船的顺水速度和逆水速度都分别相同，那

么两船顺水行船和逆水行船所用的时间都分别相同，表现在图中，就是BC 和

DE 的长度相同，AD 和CF 的长度相同．

那么根据对称性可以知道，M 点距BC 的距离与N 点距DE 的距离相等，也就是

说两次相遇地点与A 、B 两地的距离是相等的．而这两次相遇的地点相距20千

米，所以第一次相遇时，两船分别走了()10020240-÷=千米和1004060-=千

米，可得两船的顺水速度和逆水速度之比为60:403:2=．

而顺水速度与逆水速度的差为水速的2倍，即为4米/秒，可得顺水速度为

()432312÷-⨯=米/秒，那么两船在静水中的速度为12210-=米/秒．

【例1】 甲、乙两人在一条90米的直路上来回跑步，甲的速度3米/秒，乙的速度2米

/秒。如果他们同时分别从直路的两端A 、B 两点出发，当他们跑12分钟，共相遇了多少

次（从出发后两人同时到达某一点算作一次相遇）。

【分析】多次相遇，如图所示，甲用实线表示，乙用虚线表示

？

在180秒内，甲、乙共相遇5次，最后又回到出发的状态。

所以甲、乙共相遇了[12÷（180÷60)]×5=20（次）

【例2】甲、乙两人在一条长为30米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒1米，乙的速度是每秒米．如果他们同时分别从直路的两端出发，当他们跑了10分钟后，共相遇几次首先，甲跑一个全程需要30÷1=30（秒），乙跑一个全程需要30÷=50（秒）．与上题类似，画运行图如下（实线表甲，虚线表示乙，那么实虚两线交点就是甲乙相遇的地点）：

从图中可以看出，当甲跑5个全程时，乙刚好跑3个全程，各自到了不同两端又重新开始，这正好是一周期150秒．在这一周期内两人相遇了5次，所以两人跑10分

钟，正好是四个周期，也就相遇5×4=20（次）

备注：一个周期内共有5次相遇，其中第1，2，4，5次是迎面相遇，而第3次

是追及相遇

柳卡图解决多次相遇与追及问题

【例 1】每天中午有一条轮船从哈佛开往纽约，且每天同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛．轮船在途中均要航行七天七夜．试问：某条从哈佛开出的轮船在到达纽约前（途中）能遇上几艘从纽约开来的轮船

解答：（这题不是我解答的）

这就是着名的柳卡问题．下面介绍的法国数学家柳卡·斯图姆给出的一个非常直观巧妙的解法．

他先画了如下一幅图：

这是一张运行图．在平面上画两条平行线，以一条直线表示哈佛，另一条直线表示纽约．那么，从哈佛或纽约开出的轮船，就可用图中的两组平行线簇来表示．图中的每条线段分别表示每条船的运行情况．粗线表示从哈佛驶出的轮船在海上的航行，它与其他线段的交点即为与对方开来轮船相遇的情况．