学而思奥数模块三解多次相遇问题的工具柳卡
多次相遇与全程的关系
多次相遇与行程的关系二、多次相遇与全程的关系1. 两地相向出发：相遇分二种情况：一：迎面相遇；二追及相遇。
情况一：迎面相遇情况第1次迎面相遇，共走1个全程；第2次迎面相遇，共走3个全程；第3次迎面相遇，共走5个全程；…………，………………；第N次迎面相遇，共走2N-1个全程；注意：除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。
即甲第1次如果走了N 米，以后每次都走2N米。
迎面相遇的速度是两者的速度和来计算。
即第N次相遇时，两人（车等）共行了2N-1个全程，速度是速度和情况二：追及相遇计算：第1次追及相遇，多走1个全程；第2次追及相遇，多走3个全程；第3次追及相遇，多走5个全程；…………，………………；第N次追及相遇，多走2N-1个全程追及相遇是追及问题，速度是两都的速度差来计算。
两地相向出发情况下，如追及相遇四次时，那快的比慢的多行2*4-1=7个全程。
快的比慢的多行2N-1个全程（N为追及次数），追及的速度是两者的速度差。
总相遇（通称相遇）=迎面相遇+追及相遇例：甲乙两名动动员在长为25米的游泳池里来回游泳，甲的速度是1米/秒，乙的速度是0.6米/秒，他们同时分别从游泳池的两端出发，来回共游了5分钟，如果不计转身时间，那么这段时间内甲、乙共相遇（包括追及）多少次？分两种情况计算：一、迎面相遇：2N-1=（5*60）*(1+0.6)/25（距离=时间*速度）距离/单位长度=几全程数再取整即【距离/单位长度】2N-1=480/25=19……5,取整数部分为19，即2N-1=19 N=10（次）即迎面相遇了10次；二、追及相遇：2N-1=（5*60）*(1-0.6)/25=120/25=4……20 取整为4，即2N-1=4 N=2.5取整为二次（半次或有小数部分说明追及了比整数部分多的部分，但没到下一次，半路上）总次数=迎面相遇+追及相遇=10+2=12(次)2. 同地同向出发：情况一：迎面相遇第1次迎面相遇，共走2个全程；第2次迎面相遇，共走4个全程；第3次迎面相遇，共走6个全程；…………，………………；第N次迎面相遇，共走2N个全程；迎面相遇问题的速度是两者的速度和；情况二、追及相遇第1次追及相遇，多走2个全程；第2次追及相遇，多走4个全程；第3次追及相遇，多走6个全程；…………，………………；第N次追及相遇，多走2N个全程追及问题的追及速度是两者的速度差。
行程-图示解法(柳卡图)
行程问题中的图示解法一、S-T图竖轴表示路程，一般为出发后的每一时刻离出发的距离，出发时此距离为0。
横轴表示时间，一般从出发开始计时，出发点处时间为0。
图形中的每个点均表示在某一时刻时的位置。
如下图，小明从家出发去上学，家和学校的距离为2千米。
规定竖轴为离家的距离，横轴为出发的时间。
其中A点表示出发5分钟后小明在离家1千米的位置，B点表示出发10分钟后小明在离家2千米的位置，即到达学校。
可以看到B点之后，随着时间的改变小明的位置并未发生改变，即这个阶段小明均在学校里，距离家都是2千米。
在S-T图中，每个点的路程数值和时间数值的比值即为速度。
图中OB为一条直线，由三角形相似的知识我们可以知道，此直线上的任意一点的路程与时间的比值都相等，即由O到B这个阶段速度是不变的。
我们可以用OB上任意一点的数据求出速度，如看A点，路程为1千米，时间为5分钟，速度为1÷5=0.2千米/分钟。
二、柳卡图法国数学家柳卡·施斗姆生于瑞士，因数学上的成就，于1836年当选为法国科学院院士。
在十九世纪的一次国际数学会议期间，有一天，正当来自世界各国的许多著名数学家晨宴快要结束的时候，法国数学家柳卡向在场的数学家提出困扰他很久、自认“最困难”的题目：“某轮船公司每天中午都有一艘轮船从哈佛开往纽约，并且每天的同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛。
轮船在途中所花的时间来去都是七昼夜，而且都是匀速航行在同一条航线上。
问今天中午从哈佛开出的轮船，在开往纽约的航行过程中，将会遇到几艘同一公司的轮船从对面开来？”(此即著名的“柳卡趣题”)【分析】法一：推理从哈佛开出的轮船遇到的纽约开来的轮船有两类，一类是该船出发前已从纽约发出且尚未到达哈佛的轮船，即该船出发前7天内纽约发出的轮船，除出发时纽约刚到达伦敦的一艘船外途中共遇到6艘。
另一类是该船出发后从纽约发出的轮船，即该船出发后7天内纽约发出的轮船，除到达伦敦时刚发出的船外途中共遇到7艘。
六年级下册数学讲义-竞赛思维训练专题：第12讲.多次相遇与追及(PDF 解析版)人教版
漫画释义五年级寒假时钟问题五年级春季比例法解行程问题六年级暑期多次相遇与追及六年级秋季变速问题六年级寒假行程模块综合选讲总结多次相遇与追及的规律，利用比例、线段图、柳卡图解决多次相遇与追及问题知识站牌人与人的相遇是一种缘不管是擦肩而过，还是一次美丽的邂逅，都是一种缘缘会让来自不同世界的人走到一起例如今天我们是来自不同学校的同学，汇集到一起来学而思学习，这就是缘分，而且我们已是多次相遇，恰巧今天又要学习多次相遇与追及问题，那该是多大的缘分呀!缘是一个经历了心灵的过程，在这个过程里有些东西不仅仅是灵魂的一种体验，而且还是精神上的一种拥有为了这来之不易的缘分，让我们一起进入今天的课程，体会那精神上的享受！1.理解多次相遇与追及的规律，并能运用相应规律解决行程相关的问题2.掌握用柳卡图解决多次相遇与追及问题的技巧，体会柳卡图与线段图在解决行程问题中的联系与区别一、往返相遇问题的重要结论：设一个全程中甲走的路程为M ,乙走的路程为N ⑴甲乙二人从两端出发的直线型多次相遇问题：⑵同一出发点的直线型多次相遇问题二、柳卡图柳卡图实质上是中学学习的S -T 图的变形，即出现两条横轴（时间），纵轴（路程）忽略在画柳卡图时，最好是先画一个人往返于两地间的路线，并标注到达两地的时刻，接着再画另一人所走路线并标注到达两地的时刻，相交点即相遇地点，最后再利用几何中沙漏模型解决相关问题相遇次数甲乙共走的路程和甲共走的路程乙共走的路程11M N 233M 3N 355M 5N …………n21n -(21)n M-(21)n N-相遇次数甲乙共走的路程和甲共走的路程乙共走的路程122M 2N 244M 4N 366M 6N …………n2n2nM2nN经典精讲教学目标课堂引入1小白从家骑车去学校，每小时15千米，用时2小时，回来以每小时10千米的速度行驶，需要多少时间？【分析】从家到学校的路程：15230⨯=（千米），回来的时间30103÷=（小时）．2两地间的路程有255千米，两辆汽车同时从两地相对开出，甲车每小时行45千米，乙车每小时行40千米甲、乙两车相遇时，用了___小时【分析】根据相遇公式知道相遇时间是：255÷（45+40）=255÷85=3（小时），3两列火车从相距480千米的两城相向而行，甲列车每小时行40千米，乙列车每小时行42千米，5小时后，甲、乙两车还相距多少千米？【分析】两车的相距路程减去5小时两车共行的路程，就得到了两车还相距的路程：480(4042)548041070-+⨯=-=（千米）．4甲、乙二人同时从相距10千米的两地出发，同向而行，甲每小时行6千米，乙每小时行4千米，经过几小时甲追上乙？【分析】10÷（6—4）=5（小时）5A 、B 两地相距28千米，甲乙两车同时分别从A 、B 两地同一方向开出，甲车每小时行32千米，乙车每小时行25千米，乙车在前，甲车在后，几小时后甲车能追上乙车？【分析】28÷(32－25)＝28÷7＝4(小时)6①同样的路程，甲乙的速度比为3：2，则甲乙的时间之比为____；②同样的时间，甲乙的速度比为3：2，则甲乙走的路程之比为____；③同样的速度，甲乙用的时间比为3：2，则甲乙走的路程之比为_____.【分析】①2:3②3:2③3:2模块一：多次相遇的认识例1：求全程个数例2：柳卡图的认识模块二：多次相遇与追及规律的应用例3、例4：两次相遇与追及的应用例5：多次相遇与追及的规律运用例题思路知识回顾甲、乙两人在一条长100米的直路上来回跑步，甲的速度3米/秒，乙的速度2米/秒．如果他们同时分别从直路的两端出发，当他们跑了10分钟后，共相遇多少次？（学案对应：学案1）【分析】方法一：10分钟两人共跑了(3+2)⨯60⨯10=3000米3000÷100=30个全程．我们知道两人同时从两地相向而行，他们总是在奇数个全程时相遇(不包括追上)1,3,5,7,…,29共15次．方法二：第一次两个人相遇需要100÷(3+2)=20(秒),从第一次开始到第二次相遇要走两个全程需要：200÷(3+2)=40(秒)所以一共相遇：(10⨯60-20)÷40+1=15.5(次)，即为15次．【想想练练】小明和小红两人在长100米的直线跑道上来回跑步，做体能训练，小明的速度为6米/秒，小红的速度为4米/秒．他们同时从跑道两端出发，连续跑了12分钟．在这段时间内，他们迎面相遇了多少次？【分析】第一次相遇时，两人共跑完了一个全程，所用时间为：1006410÷+=（）(秒)．此后，两人每相遇一次，就要合跑2倍的跑道长，也就是每20秒相遇一次，除去第一次的10秒，两人共跑了126010710⨯-=(秒)．求出710秒内两人相遇的次数再加上第一次相遇，就是相遇的总次数．列式计算为：1006410÷+=（）(秒)，(126010)(102)3510⨯-÷⨯= ，共相遇35136+=(次).注：解决问题的关键是弄清他们首次相遇以及以后每次相遇两人合跑的路程长．如图，甲、乙两人在相距70米的甲乙两端同时出发来回步行，甲的速度和乙的速度之比为3:4，他们相遇的地点分别用A 、B 、…、G 表示，问：（1）A 点到甲地的距离为米；（2）B 点到甲地的距离：B 点到乙地的距离=：；（3）C 点到乙地的距离为米；（4）F 点到G 点的距离为米（提示：F 点到甲地的距离减去G 点到甲地的距离）【分析】（1）30米；（2）5:2；（3）60米；（4）20米D甲2420164242118151296甲、乙两车分别从,A B 两地同时出发相向而行，甲的速度是每小时30千米，乙的速度是每小时20千米，两车相遇后继续行进，各自达到B 、A 两地后，立即沿原路返回．已知两车第二次相遇的地点距第一次相遇的地点是50千米(两人相遇指迎面相遇)，那么，A 、B 两地相距＿＿＿千米．（学案对应：学案2）【分析】方法一：线段图，根据题意甲乙速度比是3:2，因此可以设全程为5份，画图如下：（甲走的用实线表示，乙走的用虚线表示）因此甲、乙两地间的距离是5025125÷⨯=（千米）方法二：柳卡图，由于甲乙速度比是3:2，因此甲乙各走一个全程所用的时间比是2:3，画图如下（甲走的用实线表示，乙走的用虚线表示）因此甲、乙两地间的距离是3150()12555÷-=（千米）【想想练练】甲、乙两人同时从A 、B 两地同时出发，甲的速度是乙的速度的1.5倍，到达对方出发点后立即返回，如果第一次相遇点和第二次相遇点相距300米，那么，A 、B 两地的距离为__米.【分析】方法一：将,A B 间等分为5份，甲每走3份乙走2份，甲、乙相遇情况如下图：,A B 两地的距离为30025750=÷⨯（米）.方法二：利用柳卡图，甲乙两人的速度比是3:2，因此走完一个全程所用时间的比是2:3,利用相似知识得CD 间对应的分率是312555-=，,A B 两地的距离为23007505÷=（米）.FED CA 062AB乙BA（A 版（1）~（2））⑴甲、乙两车同时从A 、B 两地相对驶，各自达到B 、A 两地后，立即沿距离是千米⑵甲、乙两车同时从A 、B 两地相对驶，各自达到B 、A 两地后，立即沿距离是千米⑶甲、乙两车同时从A 、B 两地相对驶，各自达到B 、A 两地后，立即沿时，距A 地千米⑷如图，A 、B 是圆的直径的两端次相遇，C 离A 点80米；在例4法国数学家柳卡·斯图射影几何与微分几何都作出了世界各国的许多著名数学家“最困难”的题目：“某轮船也有一艘轮船从纽约开往哈佛条航线上问今天中午从哈佛开船从对面开来?”问题提出后讨与激烈的争论，但直到会议称为“柳卡趣题”下面介绍的是柳卡·斯图姆给如下图：地相对开出，两车第一次在距A 地30千米处相遇立即沿原路返回，第二次在距B 地20千米处相遇地相对开出，两车第一次在距A 地30千米处相遇立即沿原路返回，第二次在距A 地60千米处相遇地相对开出，两车第一次在距A 地80千米处相遇立即沿原路返回，第二次在距B 地60千米处相遇的两端，小张在A 点，小王在B 点同时出发反向行走D 点第二次相遇，D 点离B 点60米．求这个圆的周姆生于瑞士，因数学上的成就，于1836年当选为法作出了重要贡献在十九世纪的一次国际数学会议期间学家的晨宴快要结束的时候，柳卡向在场的数学家提出某轮船公司每天中午都有一艘轮船从哈佛开往纽约，往哈佛轮船在途中所花的时间来去都是七昼夜，而且都哈佛开出的轮船，在开往纽约的航行过程中，将会遇到出后，果然一时难住了与会的数学家们尽管为此问题大到会议结束竟还没有人真正解决这个问题这个有趣的数图姆给出的一个非常直观巧妙的解法．遇，相遇后两车继续行相遇，则A 、B 两地间的遇，相遇后两车继续行相遇，则A 、B 两地间的遇，相遇后两车继续行相遇，当甲乙第三次相遇行走，他们在C 点第一圆的周长．选为法国科学院院士他对期间，有一天，正当来自家提出困扰他很久、自认，并且每天的同一时刻而且都是匀速航行在同一会遇到几艘同一公司的轮问题大家进行了广泛的探趣的数学问题，被数学界⑸小王、小李二人往返于甲、乙两地，小王从甲地、小李从乙地同时出发，相向而行，两人第一次在距甲地3千米处相遇，第二次在距甲地6千米处相遇(追上也算作相遇)，则甲、乙两地的距离为千米（学案对应：学案3）【分析】⑴3032070⨯-=（千米）⑵(30360)275⨯+÷=（千米）⑶,A B 两地间相距80360180⨯-=千米当第三次相遇时，两车所走路程和是5个全程，那么其中甲车走了805400⨯=千米，400180240÷= ，所以距A 地40千米⑷第一次相遇，两人合起来走了半个周长；第二次相遇，两个人合起来又走了一个周长．从出发开始算，两个人合起来走了一周半．因此，第二次相遇时两人合起来所走的路程是第一次相遇时合起来所走的路程的3倍，那么从A 经过C 到D 的距离，应该是从A 到C 距离的3倍，即A 到D 是803240⨯=(米)．那么圆周上A 到B 的距离是24060180-=(米)．圆的周长为1802360⨯=(米)．⑸由于两人同时出发相向而行，所以第一次相遇一定是迎面相遇；由于本题中追上也算相遇，所以两人第二次相遇可能为迎面相遇，也可能为同向追及．①如果第二次相遇为迎面相遇，如下图所示，两人第一次在A 处相遇，第二次在B 处相遇．则甲、乙两地的距离为(336)27.5⨯+÷=千米；②如果第二次相遇为同向追及，如上图，两人第一次在A 处相遇，相遇后小王继续向前走，小李走到甲地后返回，在B 处追上小王．在这个过程中，小王走了633-=千米，小李走了639+=千米，两人的速度比为3:91:3=．所以第一次相遇时小李也走了9千米，甲、乙两地的距离为9312+=千米．所以甲、乙两地的距离为7.5千米或12千米【想想练练】如图，有一个圆，两只小虫分别从直径的两端A 与C 同时出发，绕圆周相向而行．它们第一次相遇在离A 点8厘米处的B 点，第二次相遇在离C 点6厘米处的D 点，问，这个圆周的长是多少？【分析】如图所示，第一次相遇，两只小虫共爬行了半个圆周，其中从A 点出发的小虫爬了8厘米，第二次相遇，两只小虫又爬了一个圆周，所以两只小虫从出发共爬行了1个半圆周，其中从A 点出发的应爬行8324⨯=(厘米)，比半个圆周多6厘米，半个圆周长为83618⨯-=(厘米)，一个圆周长就是：(836)236⨯-⨯=(厘米)李王乙甲甲王乙C A甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发相向而行，在A 、B 两地之间不断往返行驶．甲车速度是乙车速度的37，并且甲、乙两车第2012次相遇的地点和第2013次相遇的地点恰好相距120千米(注:当甲、乙两车同向时,乙车追上甲车不算作相遇)，那么，A 、B 两地之间的距离是多少千米？（学案对应：学案4）【分析】因为甲乙同时出发，同时相遇，所以甲、乙相遇时间相同，因此3:7S V V ==乙乙甲甲：S ：，设全程为10份，则一个全程中，甲走了3份，乙走了7份，通过总结的规律分析第2012次相遇时，甲走：(2012⨯2-1)⨯3=12069(份)，120691012069÷= ，所以第2012次相遇地点是在从A 地向右数9份的C 点，第2013次相遇时，甲继续向右数6份即可，到达D 由图看出CD 间距离为4份，A 、B 两地之间的距离是120410300÷⨯=(千米)．D C BA四龟问题四只乌龟在边长为3米的正方形四个角上，以每秒1厘米的速度同时匀速爬行，每只乌龟的爬行方向时刻指向另一只.问：经过多少时间它们才能在正方形的中心碰头？答案：对于任意一只乌龟A ，它始终朝着它面对的那只乌龟B 爬行，因此无论如何，A 与B 的距离都是以1cm /s 的速度在减小的，一开始两者距离是3m ，所以就是300s 之后，两只乌龟的距离变成0，即碰头.A 、B 两地相距2400米，甲从A 地、乙从B 地同时出发，在A 、B 间往返长跑甲每分钟跑300米，乙每分钟跑240米，在30分钟后停止运动甲、乙两人在第几次相遇时距A 地最近？最近距离是多少米？【分析】方法一：()300240302400 6.75+⨯÷=(个)，即甲乙共行了6.75个全程，共相遇了3次，甲乙两人的速度比是300:2405:4=，设全程为9份①如图所示，甲走路线用实线表示，乙走路线用虚线表示第一次相遇甲行5份，乙行4份，所以第一次相遇地点距A 地是全程的59②第二次相遇时两人共行了3个全程，甲行的距A 地()93593-⨯-=份，所以第二次相遇地点距A 地是全程的13③第三次相遇时两人共行了5个全程，55927⨯÷= 甲行的距A 地7份，所以第三次相遇地点距A 地是全程的79，所以第二次相遇距A 地最近，最近距离是124008003⨯=(米)方法二：柳卡图法，其中实线表示甲所走的路程，虚线表示乙走的路程，实线与虚线的交点就是相遇点由图可以看出两人共相遇了3次，其中第2次距A 地最近，最近距离为D 到A 地的距离，由图看出:6:121:2MN PQ ==，根据沙漏模型:1:2DA DB ''=，所以最近距离为124008003⨯=(米)杯赛提高1.A 、B 两地相距950米甲、乙两人同时由A 地出发往返锻炼半小时甲步行，每分钟走40米；乙跑步，每分钟行150米则甲、乙两车第次迎面相遇时距B 地最近【分析】半小时，两人一共行走(40+150)×30=5700(米)，相当于5700÷950=6(个)全程，由于两人同时同地出发，两人行程每2个全程就会有一次相遇，而两人的速度比15:4，所以相同时间内两人的行程比为15:4，那么第一次相遇甲走了全程的48215419⨯=+，距离B 地1119个全程；第二次相遇甲走了全程的1619，距离B 地319个全程；第三次相遇甲走了全程的2419，距离B地519个全程，比较可知甲、乙两人第二次迎面相遇时距离B 地最近2.两名游泳运动员在长30米的游泳池里来回游泳，甲的速度是每秒1米，乙的速度是每秒0.6米，他们同时从游泳池的一端出发，来回一共游了21分钟，他们一共遇上（迎面或同向）几次？【分析】甲游全程用30130÷=秒，乙游全程用300.650÷=秒，画出柳卡图：21分钟一共1260秒，一共相遇84133⨯+=次3.男、女两名田径运动员在长110米的斜坡上练习跑步(坡顶为A ，坡底为B )．两人同时从A点出发，在A ，B 之间不停地往返奔跑．已知男运动员上坡速度是每秒3米，下坡速度是每秒5米，女运动员上坡速度是每秒2米，下坡速度是每秒3米．那么两人第二次迎面相遇的地点离A 点多少米？【分析】方法一：柳卡图法如上图所示，A 为坡顶，B 为坡底，从A 到B 的方向表示下坡，从B 到A 的方向表示上坡，折线图向右的方向的距离表示上(下)坡的时间．根据题意，男、女运动员下坡、上坡的时间比为1111:::6:10:10:155332=，男运动员跑的路线为实线，女运动员跑的路线为虚线，从图中可以看出，两人第一次迎面相遇在C ，第二乙甲03060901201501802102402703003002702402101501209060300B A 35102260附加题次迎面相遇在D ，所以需要求D 到A 的距离．根据几何中的相似三角形性质，可得D 到A 的距离与到B 的距离之比等于(2516):(2210)9:123:4--==，而A 、B 之间的距离为110米，所以D 到A 的距离为3111047347⨯=+(米)，故第二次相遇的地点距A 点1477米．方法二：方程法．设第二次迎面相遇的地点离A 点x 米．由于第二次相遇时男运动员走了一个下坡、一个上坡和x 米下坡，女运动员走了一个下坡和()110x -米上坡，可得方程：1101101101105332x x +-+=+解得1477x =，即第二次迎面相遇的地点离A 点1477米．4.甲乙两人都从A 地去往B 地，甲先出发1小时后乙再出发．结果乙比甲提前1小时到达B地，问：乙在什么地方追上甲？【分析】由图可看出，乙在A,B 中点处追上甲．多次迎面相遇规律1.相向而行：第一次相遇两人合走一个全程，以后每相遇一次都要合走两个全程，因此第n 次相遇，两人合走21n -个全程（n 为正整数）2.同向而行：每相遇一次都要合走两个全程，因此第n 次相遇，两人合走2n 个全程（n 为正整数）1.甲、乙二人在相距180米的直路两端同时出发来回散步，甲每秒走2米，乙每秒走2.5米.每人都走了6.5分钟，那么在这段时间内他们共相遇了多少次.【分析】方法一：甲乙6.5分钟共走了(2 2.5) 6.5601755+⨯⨯=米，共走了17551809.75÷=个全程.两人第一次相遇合走了一个全程，以后每2个全程相遇一次.那么，9.75个全程共相遇了5次.方法二：甲行全程用180290÷=秒，乙行全程用180 2.572÷=秒画出柳卡图：乙甲AB 家庭作业知识点总结由图得，一共相遇5次2.如图，A,B 两地相距70米，甲、乙两人同时从A 地同向出发来回步行，甲的速度和乙的速度之比为3:4，则第二次相遇地点与第一次相遇地点间相距多少米？【分析】6270()406125⨯-=++（米）3.甲、乙两车同时从A 地出发同向而行去往B 地，甲车的速度是乙车速度的1.5倍，在,A B 两地间做往返运动．已知两车第二次相遇的地点距第一次相遇的地点是50千米(两人相遇指迎面相遇)，那么，A 、B 两地相距＿＿＿千米．【分析】方法一：线段图，根据题意甲乙速度比是3:2，因此可以设全程为5份，画图如下：（甲走的用实线表示，乙走的用虚线表示）因此甲、乙两地间的距离是5025125÷⨯=（千米）方法二：柳卡图，由于甲乙速度比是3:2，因此甲乙各走一个全程所用的时间比是2:3，画图如下（甲走的用实线表示，乙走的用虚线表示）因此甲、乙两地间的距离是3150()12555÷-=（千米）010836乙912034A B A BC D E F 6B A 26304.甲、乙二人同时从A 地出发去B 地，在A 、B 两地间往返而行，甲的速度是每小时30千米，乙的速度是每小时20千米．已知二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点是40千米，那么，A 、B 两地相距多少千米．【分析】因为甲乙同时出发，同时相遇，所以甲、乙相遇时间相同，因此:30:203:2S V V ===乙乙甲甲:S ，设全程为5份，第一次相遇甲、乙共同行了两个全程，则两个全程中，甲走了6份，乙走了4份，所以F 是第一次相遇地点，第一次相遇到第二次相遇，甲、乙共走2个AB ，因此从开始到第二次相遇，甲、乙共走了4个全程，一个全程甲走3份，8个全程甲共走3412⨯=份，所以D 是第二次相遇地点，由图看出DF 是2份．但已知DF 是40千米，所以AB 的长度是40÷2⨯(2+3)=100(千米)．(也可以用乙进行计算)5.甲、乙两车同时从A B 、两地相向出发，第一次在距A 地3000米处相遇相遇后两车继续前行，各自到达目的地后立即返回，在距A 地500米处第二次相遇A B 、两地相距（）米【分析】两人第一次相遇共同走了一个全程，第二次相遇共同走了三个全程，第二次相遇所用时间是第一次相遇时间的三倍甲第一次相遇时走了3000米，第二次相遇时走了3个3000米即9000米甲一去一回走了9000米后离出发点还有500米，即两个全程的长度是9000+500=9500米，一个全程的长度是4750米6.甲、乙二人分别从A 、B 两地同时出发，往返跑步．甲每分跑180米，乙每分跑240米．如果他们的第100次相遇点与第101次相遇点的距离是160米，求A 、B 两点间的距离为多少米？【分析】因为甲乙同时出发，同时相遇，所以甲、乙相遇时间相同，因此180:2403:4S V V ===乙乙甲甲：S ：，设全程为7份，则一个全程中，甲走了3份，乙走了4份，通过总结的规律分析第100次相遇时，甲走：(100⨯2-1)⨯3=597(份)，5977852÷= ，所以第100次相遇地点是在从B 地向左数2份的C 点，第101次相遇时甲走：(101⨯2-1)3⨯=603(份)，6037861÷= ，所以第101次相遇地点在从A 点向右数1份的D 点，由图看出CD 间距离为4份，A 、B 两地之间的距离是16047280÷⨯=(米)．【学案1】甲、乙两人在一条长100米的直路上来回跑步，甲的速度3米/秒，乙的速度2米/秒．如果他们同时从直路的同一端出发，当他们跑了10分钟后，共相遇多少次？【分析】方法一：10分钟两人共跑了(3+2)⨯60⨯10=3000米3000÷100=30个全程．我们知道两人同时从一端同向而行，每两个全程相遇一次，共15次．方法二：第一次两个人相遇需要200÷(3+2)=40(秒),从第一次开始到第二次相遇要走两个全程需要：200÷(3+2)=40(秒)所以一共相遇：10⨯60÷40=15(次)BBＡ版学案【学案2】甲、乙二人分别从A 、B 两地同时相向而行，甲的速度是每小时30千米，乙的速度是每小时20千米，二人相遇后继续行进，甲到B 地、乙到A 地后立即返回．已知二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点是20千米，那么，A 、B 两地相距多少千米．【分析】因为甲乙同时出发，同时相遇，所以甲、乙相遇时间相同，因此:30:203:2S V V ===乙乙甲甲:S ，设全程为5份，则一个全程中，甲走了3份，乙走了2份，所以C 是第一次相遇地点，第一次相遇到第二次相遇，甲、乙共走2个AB ，因此从开始到第二次相遇，甲、乙共走了3个全程，一个全程甲走3份，3个全程甲共走339⨯=份，所以D 是第二次相遇地点，由图看出DC 是2份．但已知DC 是20千米，所以AB 的长度是20÷2⨯(2+3)=50(千米)．(也可以用乙进行计算)【学案3】甲、乙两车的速度分别为52千米／时和40千米／时．他们同时从A 地出发去B 地，在A 、B 两地间往返而行，从开始走到第三次相遇，共用了6小时．A 、B 两地相距多少千米？【分析】从开始走到第一次相遇，两车走的路程是两个AB 之长；而到第三次相遇，两车走的路程总共就是6个AB 之长，是(52+40)⨯6=552(千米)，所以A 、B 两地相距552÷6=92(千米)．【学案4】甲、乙两车同时从A 地出发同向而行，在A 、B 两地之间不断往返行驶．甲车速度是乙车速度的37，并且甲、乙两车第2012次相遇的地点和第2013次相遇的地点恰好相距120千米(注:当甲、乙两车同向时,乙车追上甲车不算作相遇)，那么，A 、B 两地之间的距离是多少千米？【分析】因为甲乙同时出发，同时相遇，所以甲、乙相遇时间相同，因此3:7S V V ==乙乙甲甲：S ：，设全程为10份，则一个全程中，甲走了3份，乙走了7份，通过总结的规律分析第2012次相遇时，甲走：(2012⨯2)⨯3=12072(份)，120721012072÷= ，所以第2012次相遇地点是在从B 地向左数2份的C 点，第2013次相遇时，甲继续向左数6份即可，到达D 由图看出CD 间距离为6份，A 、B 两地之间的距离是120610200÷⨯=(千米)．BC D BA。
学而思-六年级奥数-第七讲.行程问题(一).刘--用-教师版综述
第一讲行程问题学习目标：1、比例的基本性质2、熟练掌握比例式的恒等变形及连比问题3、能够进行各种条件下比例的转化，有目的的转化；4、单位“1”变化的比例问题5、方程解比例应用题知识点拨：发车问题（1）、一般间隔发车问题。
用3个公式迅速作答；汽车间距=（汽车速度+行人速度）×相遇事件时间间隔汽车间距=（汽车速度-行人速度）×追及事件时间间隔汽车间距=汽车速度×汽车发车时间间隔（2）、求到达目的地后相遇和追及的公共汽车的辆数。
标准方法是：画图——尽可能多的列3个好使公式——结合s全程＝v×t-结合植树问题数数。
（3）当出现多次相遇和追及问题——柳卡火车过桥火车过桥问题常用方法⑴火车过桥时间是指从车头上桥起到车尾离桥所用的时间，因此火车的路程是桥长与车身长度之和.⑵火车与人错身时，忽略人本身的长度，两者路程和为火车本身长度；火车与火车错身时，两者路程和则为两车身长度之和.⑶火车与火车上的人错身时，只要认为人具备所在火车的速度，而忽略本身的长度，那么他所看到的错车的相应路程仍只是对面火车的长度.对于火车过桥、火车和人相遇、火车追及人、以及火车和火车之间的相遇、追及等等这几种类型的题目，在分析题目的时候一定得结合着图来进行.接送问题根据校车速度（来回不同）、班级速度（不同班不同速）、班数是否变化分类为四种常见题型：（1）车速不变-班速不变-班数2个（最常见）（2）车速不变-班速不变-班数多个（3）车速不变-班速变-班数2个（4）车速变-班速不变-班数2个标准解法：画图＋列3个式子1、总时间=一个队伍坐车的时间+这个队伍步行的时间；2、班车走的总路程；3、一个队伍步行的时间=班车同时出发后回来接它的时间。
时钟问题：时钟问题可以看做是一个特殊的圆形轨道上2人追及问题，不过这里的两个“人”分别是时钟的分针和时针。
时钟问题有别于其他行程问题是因为它的速度和总路程的度量方式不再是常规的米每秒或者千米每小时，而是2个指针“每分钟走多少角度”或者“每分钟走多少小格”。
多次相遇问题(解析版)
多次相遇问题(解析版)多次相遇问题 (解析版)多次相遇问题是指在一定的时间和空间条件下，两个或多个独立运动的物体在某些时刻相互相遇的问题。
这个问题在数学和物理中经常被研究和讨论，被广泛应用于交通流、传感器网络等领域。
本文将对多次相遇问题进行解析，并探讨相应的应用。
一、多次相遇问题的基础理论多次相遇问题可以通过数学建模来解决。
首先，需要确定每个物体的初始位置、速度和运动规律。
然后，通过解方程组或求解微分方程，来确定物体在给定时间段内的位置和速度。
最后，根据求解得到的结果，分析得出是否存在相遇的情况。
在具体的问题中，我们可以遇到不同类型的多次相遇问题。
例如，已知两个运动物体的初速度和相对速度，求它们相遇的时间和位置；或者已知多个物体的初始位置和初始速度，求它们在何时相互相遇。
针对不同的问题类型，我们可以选择不同的数学方法和技巧来解决。
这些方法包括线性方程组的求解、微分方程的求解、向量运算等。
二、多次相遇问题的解析方法解决多次相遇问题的方法主要分为数学建模和计算机模拟两种。
数学建模主要是通过建立数学方程或微分方程来描述物体的运动轨迹，然后通过解方程或求解微分方程来分析相遇情况。
这种方法的优点是解析性强，能够得到精确的结果。
但是，对于复杂的问题，数学建模可能会非常困难甚至不可行。
相比之下，计算机模拟方法则更加灵活和实用。
通过使用计算机程序，可以模拟物体的运动轨迹，并通过分析模拟结果来判断相遇情况。
计算机模拟方法的优点是适用范围广，可以模拟各种复杂的运动情况。
然而，计算机模拟方法也存在一定的局限性，例如计算量大、模型参数选择等问题。
三、多次相遇问题的实际应用多次相遇问题在实际应用中具有广泛的应用价值。
其中一个典型的应用领域是交通流的模拟和优化。
通过对车流或行人流的多次相遇进行建模和分析，可以得到交通流的密度、流量、速度等指标，进而帮助交通管理部门设计更优的交通方案，提高路网的运行效率。
另一个应用领域是传感器网络的部署和调度。
奥数 行程 多次相遇和追及问题
一、由简单行程问题拓展出的多次相遇问题所有行程问题都是围绕“=⨯路程速度时间”这一条基本关系式展开的,多人相遇与追及问题虽然较复杂,但只要抓住这个公式,逐步表征题目中所涉及的数量,问题即可迎刃而解．二、多次相遇与全程的关系1. 两地相向出发：第1次相遇,共走1个全程；第2次相遇,共走3个全程；第3次相遇,共走5个全程；…………, ………………；第N 次相遇,共走2N-1个全程；注意：除了第1次,剩下的次与次之间都是2个全程;即甲第1次如果走了N 米,以后每次都走2N 米;2. 同地同向出发：第1次相遇,共走2个全程；第2次相遇,共走4个全程；第3次相遇,共走6个全程；…………, ………………；第N 次相遇,共走2N 个全程；知识框架多次相遇与追及问题3、多人多次相遇追及的解题关键多次相遇追及的解题关键几个全程多人相遇追及的解题关键路程差三、解多次相遇问题的工具——柳卡柳卡图,不用基本公式解决,快速的解法是直接画时间-距离图,再画上密密麻麻的交叉线,按要求数交点个数即可完成;折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”,“相遇的地点”,以及“由相遇的地点求出全程”,使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少;如果不画图,单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易;例题精讲【例 1】甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步,甲每秒钟跑3.5米,乙每秒钟跑4米,问：他们第十次相遇时,甲还需跑多少米才能回到出发点【巩固】甲乙两人在相距90米的直路上来回跑步,甲的速度是每秒3米,乙的速度是每秒2米．如果他们同时分别从直路两端出发,10分钟内共相遇几次【例 2】甲、乙两车同时从A地出发,不停的往返行驶于A,B两地之间;已知甲车的速度比乙车快,并且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中C地;问：甲车的速度是乙车的多少倍【巩固】甲、乙二人从相距 60千米的两地同时相向而行,6时后相遇;如果二人的速度各增加1千米／时,那么相遇地点距前一次相遇地点1千米;问：甲、乙二人的速度各是多少【例 3】如图,甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动,当乙走了100米以后,他们第一次相遇,在甲走完一周前60米处又第二次相遇.求此圆形场地的周长．【巩固】A、B是圆的直径的两端,甲在A点,乙在B点同时出发反向而行,两人在C 点第一次相遇,在D点第二次相遇．已知C离A有75米,D离B有55米,求这个圆的周长是多少米【例 4】甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出,第一次在离A地95千米处相遇．相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回,第二次在离B地25千米处相遇．求A、B两地间的距离是多少千米【巩固】甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发,相向而行,他们第一次相遇地点离A地4千米,相遇后二人继续前进,走到对方出发点后立即返回,在距B地3千米处第二次相遇,求两次相遇地点之间的距离.【例 5】甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发,相向而行,他们第一次相遇地点离A地18千米,相遇后二人继续前进,走到对方出发点后立即返回,在距B地13千米处第二次相遇,求AB两地之间的距离.【巩固】甲、乙两车同时从A,B两地相向而行,在距B地54千米处相遇;他们各自到达对方车站后立即返回原地,途中又在距A地42千米处相遇;求两次相遇地点的距离;【例 6】甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发,相向而行,他们第一次相遇地点离A地3千米,相遇后二人继续前进,走到对方出发点后立即返回,在距B地2千米处第二次相遇,求第2000次相遇地点与第2001次相遇地点之间的距离.【巩固】甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发,相向而行,他们第一次相遇地点离A地7千米,相遇后二人继续前进,走到对方出发点后立即返回,在距B地3千米处第二次相遇,求第三次相遇时共走了多少千米.【例 7】A、B两地相距2400米,甲从A地、乙从B地同时出发,在A、B间往返长跑;甲每分钟跑300米,乙每分钟跑240米,在30分钟后停止运动;甲、乙两人在第几次相遇时A地最近最近距离是多少米【巩固】A、B两地相距950米;甲、乙两人同时由A地出发往返锻炼半小时;甲步行,每分钟走40米；乙跑步,每分钟行150米;则甲、乙二人第___ __次迎面相遇时距B地最近;【例 8】甲、乙两车分别从A,B两地出发,并在A,B两地间不断往返行驶;已知甲车的速度是 15千米／时,乙车的速度是25千米／时,甲、乙两车第三次相遇地点与第四次相遇地点相差100千米;求A,B两地的距离;【巩固】欢欢和乐乐在操场上的A、B两点之间练习往返跑,欢欢的速度是每秒8米,乐乐的速度是每秒5米;两人同时从A点出发,到达B点后返回,已知他们第二次迎面相遇的地点距离AB的中点5米,AB之间的距离是________; 【例 9】甲、乙二人进行游泳追逐赛,规定两人分别从游泳池50米泳道的两端同时开始游,直到一方追上另一方为止,追上者为胜;已知甲、乙的速度分别为米／秒和米／秒;问：1比赛开始后多长时间甲追上乙2甲追上乙时两人共迎面相遇了几次【巩固】小明和小红两人在长100米的直线跑道上来回跑步,做体能训练,小明的速度为6米/秒,小红的速度为4米/秒．他们同时从跑道两端出发,连续跑了12分钟．在这段时间内,他们迎面相遇了多少次【例 10】每天中午有一条轮船从哈佛开往纽约,且每天同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛．轮船在途中均要航行七天七夜．试问：某条从哈佛开出的轮船在到达纽约前途中能遇上几艘从纽约开来的轮船【巩固】一条电车线路的起点站和终点站分别是甲站和乙站,每隔5分钟有一辆电车从甲站发出开往乙站,全程要走15分钟．有一个人从乙站出发沿电车线路骑车前往甲站．他出发的时候,恰好有一辆电车到达乙站．在路上他又遇到了10辆迎面开来的电车．到达甲站时,恰好又有一辆电车从甲站开出．问他从乙站到甲站用了多少分钟课堂检测【随练1】如右图,A,B是圆的直径的两端,甲在A点,乙在B点同时出发反向而行,两人在C点第一次相遇,在D点第二次相遇;已知C离A有80米,D离B有60米,求这个圆的周长;【随练2】甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发,相向而行,他们第一次相遇地点离A地7千米,相遇后二人继续前进,走到对方出发点后立即返回,在距B地5千米处第二次相遇,求两次相遇地点之间的距离.【随练3】A、B两地间有条公路,甲从A地出发,步行到B地,乙骑摩托车从B地出发,不停地往返于A、B两地之间,他们同时出发,80分钟后两人第一次相遇,100分钟后乙第一次追上甲,问：当甲到达B地时,乙追上甲几次【随练4】甲、乙两人在一条长为30米的直路上来回跑步,甲的速度是每秒1米,乙的速度是每秒0.6米．如果他们同时分别从直路的两端出发,当他们跑了10分钟后,共相遇几次家庭作业【作业1】甲、乙两人从400米的环形跑道上一点A背向同时出发,8分钟后两人第五次相遇,已知每秒钟甲比乙多走米,那么两人第五次相遇的地点与点A沿跑道上的最短路程是多少米【作业2】上午8点8分,小明骑自行车从家里出发,8分钟后,爸爸骑摩托车去追他,在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家,到家后又立刻回头去追小明,再追上小明的时候,离家恰好是8千米,这时是几点几分【作业3】甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发,相向而行,他们第一次相遇地点离A地6千米,相遇后二人继续前进,走到对方出发点后立即返回,在距B地4千米处第二次相遇,求两人第5次相遇地点距B 多远. 【作业4】湖中有A,B两岛,甲、乙二人都要在两岛间游一个来回;两人分别从A,B两岛同时出发,他们第一次相遇时距A岛700米,第二次相遇时距B岛400米;问：两岛相距多远【作业5】在一圆形跑道上,甲从A点、乙从B点同时出发反向而行,6分后两人相遇,再过4分甲到达B点,又过8分两人再次相遇;甲、乙环行一周各需要多少分【作业6】A、B两地位于同一条河上,B地在A地下游100千米处．甲船从A地、乙船从B地同时出发,相向而行,甲船到达B地、乙船到达A地后,都立即按原来路线返航．水速为2米/秒,且两船在静水中的速度相同．如果两船两次相遇的地点相距20千米,那么两船在静水中的速度是米/秒．教学反馈学生对本次课的评价○特别满意○满意○一般家长意见及建议家长签字：。
行程 图示解法 柳卡图
行程问题中的图示解法一、S-T图竖轴表示路程，一般为出发后的每一时刻离出发的距离，出发时此距离为0。
横轴表示时间，一般从出发开始计时，出发点处时间为0。
图形中的每个点均表示在某一时刻时的位置。
如下图，小明从家出发去上学，家和学校的距离为2千米。
规定竖轴为离家的距离，横轴为出发的时间。
其中A点表示出发5分钟后小明在离家1千米的位置，B点表示出发10分钟后小明在离家2千米的位置，即到达学校。
可以看到B点之后，随着时间的改变小明的位置并未发生改变，即这个阶段小明均在学校里，距离家都是2千米。
在S-T图中，每个点的路程数值和时间数值的比值即为速度。
图中OB为一条直线，由三角形相似的知识我们可以知道，此直线上的任意一点的路程与时间的比值都相等，即由O到B这个阶段速度是不变的。
我们可以用OB上任意一点的数据求出速度，如看A点，路程为1千米，时间为5分钟，速度为1÷5=0.2千米/分钟。
二、柳卡图法国数学家柳卡·施斗姆生于瑞士，因数学上的成就，于1836年当选为法国科学院院士。
在十九世纪的一次国际数学会议期间，有一天，正当来自世界各国的许多著名数学家晨宴快要结束的时候，法国数学家柳卡向在场的数学家提出困扰他很久、自认“最困难”的题目：“某轮船公司每天中午都有一艘轮船从哈佛开往纽约，并且每天的同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛。
轮船在途中所花的时间来去都是七昼夜，而且都是匀速航行在同一条航线上。
问今天中午从哈佛开出的轮船，在开往纽约的航行过程中，将会遇到几艘同一公司的轮船从对面开来？”(此即著名的“柳卡趣题”)【分析】法一：推理从哈佛开出的轮船遇到的纽约开来的轮船有两类，一类是该船出发前已从纽约发出且尚未到达哈佛的轮船，即该船出发前7天内纽约发出的轮船，除出发时纽约刚到达伦敦的一艘船外途中共遇到6艘。
另一类是该船出发后从纽约发出的轮船，即该船出发后7天内纽约发出的轮船，除到达伦敦时刚发出的船外途中共遇到7艘。
行程问题集锦
行程问题集锦1、根本行程问题：根本概念：行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、行程三者之间的关系。
根本公式：路程＝速度×时间；路程÷时间＝速度；路程÷速度＝时间关键问题：确定行程过程中的位置2、简单的相遇、追及问题：相遇问题：速度和×相遇时间＝相遇路程追击问题：追击时间＝路程差÷速度差简单的相遇与追及问题各自解题时的入手点及需要注意的地方1.相遇问题：与速度和、路程和有关⑴是否同时出发⑵是否有返回条件⑶是否和中点有关：判断相遇点位置⑷是否是屡次返回：按倍数关系走。
⑸一般条件下，入手点从"和"入手，但当条件与"差"有关时，就从差入手，再分析出时间，由此再得所需结果2.追及问题：与速度差、路程差有关⑴速度差与路程差的本质含义⑵是否同时出发，是否同地出发。
⑶方向是否有改变⑷环形时：慢者落快者整一圈(1) 甲、乙两列火车同时从相距700千米的两地相向而行，甲列车每小时行85千米，乙列车每小时行90千米，几小时两列火车相遇？(2) 两列火车从两个车站同时相向出发，甲车每小时行48千米，乙车每小时行78千米，经过2.5小时两车相遇。
两个车站之间的铁路长多少千米？(3) 甲、乙两列火车同时从相距988千米的两地相向而行，经过5.2小时两车相遇。
甲列车每小时行93千米，乙列车每小时行多少千米？〔1〕师徒两人合作加工520个零件，师傅每小时加工30个，徒弟每小时加工20个，几小时以后还有70个零件没有加工？〔2〕甲、乙两队合挖一条水渠，甲队从东往西挖，每天挖75米；乙队从西往东挖，每天比甲队少挖5米，两队合作8天挖好，这条水渠一共长多少米？(3) 甲、乙两艘轮船从相距654千米的两地相对开出而行，8小时两船还相距22千米。
乙船每小时行42千米，甲船每小时行多少千米？〔4〕一辆汽车和一辆自行车从相距172.5千米的甲、乙两地同时出发，相向而行，3小时后两车相遇。
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学而思奥数模块三解多次相遇问题的工具柳卡集团标准化工作小组 [Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN]
学而思奥数模块之行程问题
模块三解多次相遇问题的工具——柳卡
柳卡图，不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间-距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。
折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”，“相遇的地点”，以及“由相遇的地点求出全程”，使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。
如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。
【例 1】每天中午有一条轮船从哈佛开往纽约，且每天同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛．轮船在途中均要航行七天七夜．试问：某条从哈佛开出的轮船在到达
纽约前（途中）能遇上几艘从纽约开来的轮船
【解析】这就是着名的柳卡问题．下面介绍的法国数学家柳卡·斯图姆给出的一个非常直观巧妙的解法．
他先画了如下一幅图：
这是一张运行图．在平面上画两条平行线，以一条直线表示哈佛，另一条直线表
示纽约．那么，从哈佛或纽约开出的轮船，就可用图中的两组平行线簇来表
示．图中的每条线段分别表示每条船的运行情况．粗线表示从哈佛驶出的轮船在
海上的航行，它与其他线段的交点即为与对方开来轮船相遇的情况．
从图中可以看出，某天中午从哈佛开出的一条轮船（图中用实线表示）会与从纽
约开出的15艘轮船相遇（图中用虚线表示）．而且在这相遇的15艘船中，有1
艘是在出发时遇到（从纽约刚到达哈佛），1艘是到达纽约时遇到（刚好从纽约
开出），剩下13艘则在海上相遇；另外，还可从图中看到，轮船相遇的时间是
每天中午和子夜．如果不仔细思考，可能认为仅遇到7艘轮船．这个错误，主要
是只考虑以后开出的轮船而忽略了已在海上的轮船．
【例 2】 甲、乙两人在一条长为30米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒1米，乙
的速度是每秒0.6米．如果他们同时分别从直路的两端出发，当他们跑了10分钟
后，共相遇几次
【解析】 采用运行图来解决本题相当精彩！
首先，甲跑一个全程需30130÷=（秒），乙跑一个全程需300.650
÷=（秒）．与上题类似，画运行图如下（实线表甲，虚线表示乙，那么实虚两线交
点就是甲乙相遇的地点）：
从图中可以看出，当甲跑5个全程时，乙刚好跑3个全程，各自到了不同两端又
重新开始，这正好是一周期150秒．在这一周期内两人相遇了5次，所以两人跑
10分钟，正好是四个周期，也就相遇了5420⨯=（次）
【例 3】 (2009年迎春杯复赛高年级组)A 、B 两地位于同一条河上，B 地在A 地下游
100千米处．甲船从A 地、乙船从B 地同时出发，相向而行，甲船到达B 地、乙
船到达A 地后，都立即按原来路线返航．水速为2米/秒，且两船在静水中的速
一个周期内共有5
次相遇，其中第
度相同．如果两船两次相遇的地点相距20千米，那么两船在静水中的速度是 米/秒．
【解析】 本题采用折线图来分析较为简便．
如图，箭头表示水流方向，A C E →→表示甲船的路线，B D F →→表示乙船
的路线，两个交点M 、N 就是两次相遇的地点．
由于两船在静水中的速度相同，所以两船的顺水速度和逆水速度都分别相同，那
么两船顺水行船和逆水行船所用的时间都分别相同，表现在图中，就是BC 和
DE 的长度相同，AD 和CF 的长度相同．
那么根据对称性可以知道，M 点距BC 的距离与N 点距DE 的距离相等，也就是
说两次相遇地点与A 、B 两地的距离是相等的．而这两次相遇的地点相距20千
米，所以第一次相遇时，两船分别走了()10020240-÷=千米和1004060-=千
米，可得两船的顺水速度和逆水速度之比为60:403:2=．
而顺水速度与逆水速度的差为水速的2倍，即为4米/秒，可得顺水速度为
()432312÷-⨯=米/秒，那么两船在静水中的速度为12210-=米/秒．
【例1】 甲、乙两人在一条90米的直路上来回跑步，甲的速度3米/秒，乙的速度2米
/秒。
如果他们同时分别从直路的两端A 、B 两点出发，当他们跑12分钟，共相遇了多少
次（从出发后两人同时到达某一点算作一次相遇）。
【分析】多次相遇，如图所示，甲用实线表示，乙用虚线表示
？
在180秒内，甲、乙共相遇5次，最后又回到出发的状态。
所以甲、乙共相遇了[12÷（180÷60)]×5=20（次）
【例2】甲、乙两人在一条长为30米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒1米，乙的速度是每秒米．如果他们同时分别从直路的两端出发，当他们跑了10分钟后，共相遇几次首先，甲跑一个全程需要30÷1=30（秒），乙跑一个全程需要30÷=50（秒）．与上题类似，画运行图如下（实线表甲，虚线表示乙，那么实虚两线交点就是甲乙相遇的地点）：
从图中可以看出，当甲跑5个全程时，乙刚好跑3个全程，各自到了不同两端又重新开始，这正好是一周期150秒．在这一周期内两人相遇了5次，所以两人跑10分
钟，正好是四个周期，也就相遇5×4=20（次）
备注：一个周期内共有5次相遇，其中第1，2，4，5次是迎面相遇，而第3次
是追及相遇
柳卡图解决多次相遇与追及问题
【例 1】每天中午有一条轮船从哈佛开往纽约，且每天同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛．轮船在途中均要航行七天七夜．试问：某条从哈佛开出的轮船在到达纽约前（途中）能遇上几艘从纽约开来的轮船
解答：（这题不是我解答的）
这就是着名的柳卡问题．下面介绍的法国数学家柳卡·斯图姆给出的一个非常直观巧妙的解法．
他先画了如下一幅图：
这是一张运行图．在平面上画两条平行线，以一条直线表示哈佛，另一条直线表示纽约．那么，从哈佛或纽约开出的轮船，就可用图中的两组平行线簇来表示．图中的每条线段分别表示每条船的运行情况．粗线表示从哈佛驶出的轮船在海上的航行，它与其他线段的交点即为与对方开来轮船相遇的情况．
从图中可以看出，某天中午从哈佛开出的一条轮船（图中用实线表示）会与从纽约开出的15艘轮船相遇（图中用虚线表示）．而且在这相遇的15艘船中，有1艘是在出发时遇到（从纽约刚到达哈佛），1艘是到达纽约时遇到（刚好从纽约开出），剩下13艘则在海上相遇；另外，还可从图中看到，轮船相遇的时间是每天中午和子夜．如果不仔细思考，可能认为仅遇到7艘轮船．这个错误，主要是只考虑以后开出的轮船而忽略了已在海上的轮船．
【例 2】甲、乙两人在一条长30米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒，乙的速度是每秒米．如果他们同时分别从直路的两端出发，当他们跑了10分钟后，共相遇几次
解答：
甲行一个全程用30÷1=30秒，乙行一个全程用30÷=50秒，然后画出下面柳卡图：
从图上看出，甲乙分别从两端出发，150秒后又回到来位置，所以可以看成150秒一个周期，甲乙在1个周期里共相遇了5次，10×60÷150=4个周期，共相遇了4×5=20次。
【例 3】A、 B 两地相距，甲从 A地、乙从 B 地同时出发，在 A、 B 两地间往返锻炼．乙跑步每分钟行，甲步行每分钟行．在 30分钟内，甲、乙两人第几次相遇时距 B 地最近(从后面追上也算作相遇)最近距离是多少
解答：知道了两地的距离，需要求出每个人走一个全程所用的时间，方便画出柳卡图。
乙行一个全程用1000÷150=6又2/3分，甲行一个全程用1000÷60=16又2/3分。
30分钟内，两人一共合行（150+60）×30÷1000=个全程。
画出图后，可以很清楚的可以看到第3次相遇离B地最近。
下面只要求的第三次相遇点距离B地多少千米即可。
第三次相遇两人共行了3个全程，1000×3÷（150+60）=14又2/7分钟，这时甲行了
60×14又2/7=6000/7米，距离乙地还有1000-6000/7=142又6/7米。
【巩固】A、 B 两地相距．甲、乙两人同时由 A地出发往返锻炼半小时．甲步行，每分钟走；乙跑步，每分钟行．则甲、乙二人第几次迎面相遇时距 B 地最近
解答：甲走一个全程需要950÷40=分钟，乙行一个全程需要950÷150=6又1/3分钟。
30分钟两人共行（40+150）×30÷950=6个全程，从图上可以看出30分钟共相遇4次，追及相遇1次，迎面相遇3次，第2次迎面相遇距离B地最近。