第三章,复变函数积分(1)

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第三章复变函数的积分第一节、柯西定理

第三章复变函数的积分(Integration of function of thecomplex variable)第一讲授课题目：§3.1复积分的概念§3.2柯西积分定理教学内容：复变函数的积分的定义、复变函数积分的计算问题、复变函数积分的基本性质、柯西积分定理.学时安排：2学时教学目标：1、了解复变函数积分的定义和性质，会求复变函数在曲线上的积分2、会用柯西积分定理和复合闭路定理计算积分，了解不定积分的概念教学重点：复变函数积分的计算问题教学难点：柯西积分定理教学方式：多媒体与板书相结合P思考题：1、2、习题三：1-10作业布置：7576板书设计：一、复变函数积分的计算问题二、柯西积分定理三、举例参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版.3、《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）2005年5月.4、《复变函数与积分变换》苏变萍陈东立编，高等教育出版社，2008年4月.课后记事：1、会求复变函数在曲线上的积分2、用柯西积分定理和复合闭路定理计算积分计算方法掌握不理想3、利用课余时间多和学生交流教学过程：§3.1 复积分的概念(The conception of complex integration)一、复变函数的积分的定义（Complex function of theintegral definition ）定义（Definition ）3.1设在复平面上有一条连接A 及B 两点的光滑简单曲线C 设),(),()(y x iv y x u z f +=是在C 上的连续函数.其中),(y x u 及),(y x v 是)(z f 的实部及虚部.把曲线C 用分点B z z z z z A n n ==-,...,,,1210分成n 个小弧段，其中),...,2,1,0(n k y x z k k k =+=在每个狐段上任取一点k k k ηξς+=，作和式))((11-=-∑k n k k k z z f ς（1）令|}{|max 11-≤≤-=k k n k z z λ，当0→λ时，若（1）式的极限存在，且此极限值不依赖于k k k ηξς+=的选择，也不依赖于曲线C 的分法，则就称此极限值为)(z f 沿曲线C 的积分.记作=⎰C z z f d )())((lim 110-=→-∑k nk k k z z f ςλ当)(z f 沿曲线C 的负方向（从B 到A ）积分，记作⎰-C z z f d )(当)(z f 沿闭曲线C 的积分，记作()dz z f C⎰ 定理(Theorem)3.1 若),(),()(y x iv y x u z f +=沿光滑简单曲线C 连续，则)(z f 沿C 可积，且,d ),(d ),(d ),(d ),(d )(y y x u x y x v i y y x v x y x u z z f CC C ++-=⎰⎰⎰（2）证明：))((11-=-∑k n k k k z z f ς)]())][(,(),([111k k nk k k k k k k y y i x x iv u -+-+=+=+∑ηξηξ],))(,())(,([))(,())(,(1111111111∑∑∑∑-=+=+-=+=+-+-+---=n k k k k k n k k k k k n k k k k k n k k k k k y y u x x v i y y v x x u ηξηξηξηξ由),(),()(y x iv y x u z f +=沿光滑简单曲线C 连续，可知),(),,(y x v y x u 沿光滑简单曲线C 也连续，当0→λ时，有0|}{|max 11→--≤≤k k n k x x 0|}{|max 11→--≤≤k k nk y y 于是上式右端的极限存在，且有,d ),(d ),(d ),(d ),(d )(y y x u x y x v i y y x v x y x u z z f CC C ++-=⎰⎰⎰ 二、复变函数积分的计算(Complex integration of computational problems) 设有光滑曲线C : ()()()t iy t x t z z +== ()βα≤≤t ,即()t z '在[]βα,上连续且有不为零的导数()()()t y i t x t z '+'='.又设()z f 沿C 连续.由公式(2)我们有[()()()()()()()()]dtt y t y t x v t x t y t x u y y x u x y x v i y y x v x y x u z z f CC C '-'=++-=⎰⎰⎰⎰βα,,),(),(),(),()(d d d d d [()()()()()()()()]dt t y t y t x u t x t y t x v i '+'+⎰βα,,即()()[](),dt t z t z f dz z f c '⎰=⎰βα (3) 或 ()Re βα⎰=⎰dz z f c ()[]{()}()[]{()}dt t z t z f i dt t z t z f '⎰+'Im βα (4)用公式(3)或(4)计算复变函数的积分,是从积分路径C 的参数方程着手,称为参数方程法.注：当是分段光滑简单曲线时，我们仍然可以得到这些结论. 例1 计算dz z C⎰，其中C 是（1）从点1到i 的直线段1C ；（2）从点1到0的直线段2C ，再从点0到i 得直线段3C 所连接成的折线段32C C C +=.解：（1）)()(;1011≤≤+-==t it t t z C C ，有：⎰⎰⎰⎰=+-=+---=101010)12()1)(1(i dt i dt t dt i it t dz z c （2）).10()(:),10(1)(:2312≤≤=≤≤-=t it t z C t t t z C ，有：⎰⎰⎰⎰⎰=+--=+=10100)1(32tdt dt t dz z dz z dz z c c c例2 计算dz z ii I ⎰-=其中C 是 (1)连接i i 到-的直线段；(2)连接i i 到-的单位圆的左半圆(3)连接i i 到-的单位圆的右半圆解： i t i tdt i idt it dz z i i I t it z i =⋅==-=-=≤≤-=-⎰⎰⎰1221201211,11,)1( 于是程为：到i的直线段的参数方 ie de idt e e dz z i i I ，t e z it it it it it 2232232223,)2(223===⋅=-==⎰⎰⎰ππππππππ于是到从方程为单位圆的左半圆的参数 i e e d e dz z I ，t e z it it it i i it 2)(20,)3(2222=====---⎰⎰πππππ到从方程为单位圆的右半圆的参数上述二例说明：复变函数的积分与积分路径有关例3()0n Cdz z z -⎰，其中n 为任意整数，C 为以0z 为中心，r 为半径的圆周.解 C 的参数方程为0,02i z z re θθπ=+≤≤，由公式得()22(1)1000221100cos(1)sin(1)2,1,0, 1.i i n n n in n Cn n dz ire i d e d r e r z z i i n d n d r ri n n θππθθππθθθθθθπ-----==-=-+-=⎧=⎨≠⎩⎰⎰⎰⎰⎰ 此例的结果很重要，以后经常要用到.以上结果与积分路径圆周的中心和半径没有关系，应记住这一特点.例4 计算Czdz ⎰，其中C 为从原点到点34i +的直线段. 解：此直线方程可写作3,4,01x t y t t ==≤≤ 或 34,01z t i t t =+≤≤. 在C 上，(34),(34)z i t dz i dt =+=+，于是()()()112220013434342C zdz i tdt i tdt i =+=+=+⎰⎰⎰. 因()()C CC C zdz x iy dx idy xdx ydy i ydx xdy =++=-++⎰⎰⎰⎰易验证，右边两个线积分都与路线C 无关，所以C zdz ⎰的值，不论是对怎样的连接原点到34i +的曲线，都等于()21342i +. 例5 设C 是圆ρα=-||z ，其中α是一个复数，ρ是一个正数，则按逆时针方向所取的积分i z dz C πα2=-⎰ 证明：令 θραi e z =-，于是 θρθd d i ie z =，从而 i id z dz Cπθαπ220⎰⎰==- 三、复变函数积分的基本性质(Complex integration of the basic nature)设)(z f 及)(z g 在简单曲线C 上连续，则有（1）是一个复常数其中k z z f k z z kf C C,d )(d )(⎰⎰= （2）;d )(d )(d )]()([⎰⎰⎰±=±C C C z z g z z f z z g z f（3）⎰⎰⎰⎰+++=n C C C C z z f z z f z z f z z f d )(...d )(d )(d )(21其中曲线C 是有光滑的曲线n C C C ,...,,21连接而成；（4）⎰⎰-=-C C z z f z z f d )(d )( 定理3.2（积分估值）如果在曲线C 上，()M z f ≤，而L 是曲线C 的长度，其中M 及L 都是有限的正数，那么有()ML dz z f z z f CC ≤≤⎰⎰|d )(|，（5）证明：因为ML z z M z z f k n k k k n k k k ≤-≤-∑∑-=+-=+|||))((|111111ζ两边取极限即可得：()ML dz z f z z f CC ≤≤⎰⎰|d )(| 例6 试证：⎰=→=+r z r dz z z 01lim 230 证:不妨设1<r ，我们用估值不等式（5）式估计积分的模，因为在r z =上，⎰⎰==-≤+≤+r z r z r r dz z z dz z z 24232312||1|1π上式右端当0→r 时极限为0，故左端极限也为0，所以⎰=→=+r z r dz z z 01lim 230 本节重点掌握：（1）复变函数积分的计算；（2）复变函数积分的基本性质§3.2 柯西积分定理（Cauchy integral theorem)下面讨论复变函数积分与路径无关问题定理(Theorem)3.3设)(z f 是在单连通区域D 内的解析函数，则)(z f 在D 内沿任意一条闭曲线C 的积分0d )(=⎰C z z f ,在这里沿C 的积分是按反时针方向取的.此定理是1825年Cauchy 给出的.1851年Riemann 在)(z f '连续的假设下给出了简单证明如下证明：已知)(z f 在单连通区域D 内解析，所以)(z f '存在，设)(z f '在区域D 内连续，可知u 、v 的一阶偏导数在区域D 内连续，有0d )(=⎰Cz z f ⎰⎰⎰++-=⊂∀C C c udyvdx i vdy udx dz )z (f D C ,，又⎰⎰⎰⎰⎰⎰=-=+=--=-Dy x c D y x c dxdy v u udy vdx dxdy u v vdy udx Green 0)(,0)(公式由注1: 此定理证明假设“)(z f '在区域D 内连续”，失去定理的真实性，法国数学家古萨（E.Goursat ）在1900年给出了真实证明，但比较麻烦.注2: 若C 是区域D 的边界，)(z f 在单连通区域D 内解析，在D 上连续，则定理仍成立.定理(Theorem)3.4若)(z f 是在单连通区域D 内的解析函数，1C 、1C 是在D 内连接0z 及z 两点的任意两条简单曲线，则=⎰1)(C dz z f ⎰2)(C dz z f证明：由柯西积分定理-⎰1)(C dz z f ⎰2)(C dz z f ()021==⎰+dz z f C C将柯西积分定理推广到多连通区域上定理(Theorem)3.5（复合围线积分定理）设有n +1条简单闭曲线,,...,,n C C C 1曲线n C C ,...,1中每一条都在其余曲线的外区域内，而且所有这些曲线都在的C 内区域，n C C C ,...,,1围成一个有界多连通区域D ，D 及其边界构成一个闭区域D .设f (z )在D 上解析，那么令Γ表示D 的全部边界，我们有0=⎰Γdz z f )(其中积分是沿Γ按关于区域D 的正向取的.即沿C 按逆时针方向，沿n C C ,...,1按顺时针方向取积分；或者说当点沿着C 按所选定取积分的方向一同运动时，区域D 总在它的左侧.因此0 1=+++=⎰⎰⎰⎰--ΓnC C Cdz z f dz z f dz z f dz z f )()()()(即 ⎰⎰⎰++=nC C Cdz z f dz z f dz z f )(...)()(1例7 计算dz z z e zz ⎰-=)1(23,其中C 是包含0与1、-1的简单闭曲线.解：作互不相交的互不包含的三个小圆周321,,c c c 分别包含0，1，-1，且都在3=z 内，应用复合围线积分定理，有)2()22(21)1(1)1(11)1()1()1()1(111222223321321-+=++=+⋅-+-⋅++⋅-=-+-+-=---=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰e e i e e e i z dzz z e z dz z z e z dz z dz z z e dz z z e dz z z e dz z z e z cz c c zc z c z c z z ππ由柯西积分定理可知：若)(z f 是在单连通区域D 内的解析函数，则沿着区域D 内的简单闭曲线C 的积分⎰Cd f ςς)(与路径无关，只与起点0z 及终点z 有关，此时也可写成⎰zz d f 0)(ζζ在单连通区域D 内固定0z ，当z 在区域D 内变动时，⎰zz d f 0)(ζζ确定了上限z 的一个函数，记作⎰=z z d f z F 0)()(ζζ定理(Theorem)3.6 设)(z f 是单连通区域D 的解析函数，则⎰=zz d f z F 0)()(ζζ也是区域D 内的解析函数，且)()('z f z F =证明： D z z ∈∆+∀，得⎰zz d f 0)(ζζ与路径无关，则⎰⎰-=-∆+∆+z z zz z d f d f z F z z F 0)()()()(ζζζζ=⎰∆+zz zd f ζζ)(其中积分路径取z 到z z ∆+得直线段，有()()()zz f z z F z z F ∆=-∆-∆+1(())⎰∆+-zz zd x f f ζζ)(因)(z f 在D 内连续，δδε<∆>∃>∀z ,0,0，有()()()ε<-∆-∆+z f zz F z z F即)()('z f z F =定义(Definition)3.2设在是单连通区域D 内，有)()('z f z F =，则称()z F 是)(z f 的原函数.定理(Theorem)3.7若)(z f 是在单连通区域D 内的解析函数，()z F 是)(z f 的一个原函数.则⎰=zz dz z f 0)(()z F -()0z F其中D z D z ∈∈,0注3: 此定理说明，如果某一个区域内的连续函数有原函数，那么它沿这个区域内曲线的积分可以用原函数来计算，这是数学分析中牛顿-莱布尼茨公式的推广. 例8 ( 重要积分)) 试证明:⎩⎨⎧Z ∈≠==-⎰n n n i a z dzc n ,1012)(π 这里 C 表示绕行a 一周的简单闭曲线.证明: 作圆周 1C : |z-a | = ρ, 使得 C 在 1C 的内区域中. 则有=-⎰c n a z dz )(⎰-1)(c n a z dz由例5结果即得证.例9 计算⎰+cdz z )1ln(，其中C 是从-i 到i 的直线段解因为)1ln(z +是在全平面除去负实轴上一段1-≤x 的区域D 内为（单值）解析，又因为区域D 是单连通的，在D 内有[]ii i i i i i i z z i i i i dzzi i i i dzzzz z dz z iii i ii ii c )22ln 2()1ln()1ln(2)1ln()1ln()1ln()1ln()1ln()111()1ln()1ln(1|)1ln()1ln(π++-=--++--++=+---++=+---++=+-+=+----⎰⎰⎰本节重点掌握：1、柯西积分定理 2、柯西积分定理的推广内容小结：1、复变函数的积分的定义2、复变函数积分的计算问题()()[](),dt t z t z f dz z f c '⎰=⎰βα3、复变函数积分的基本性质4、柯西积分定理5、柯西积分定理的推广2 1§3.3柯西积分公式§3.4解析函数的高阶导数柯西积分公式、解析函数的无穷可微性、柯西不等式与刘维尔定理、莫勒拉定理.1、掌握用柯西积分公式及高阶导数的求导公式计算积分的方法2、理解刘维尔定理与莫勒拉定理柯西积分公式解析函数的无穷可微性讲授法多媒体与板书相结合P思考题：1、2、习题三：11-157576一、柯西积分公式二、解析函数的无穷可微性三、举例[1]《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.[2]《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版社.[3]《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）2005.[4]《复变函数与积分变换》,苏变萍陈东立编，高等教育出版社，2008.1、掌握用柯西积分公式及高阶导数的求导公式计算积分的方法2、解析函数的无穷可微性理解很好3、利用课余时间对学生进行答疑第二讲授课题目：§3.3柯西积分公式§3.4解析函数的高阶导数教学内容：柯西积分公式、解析函数的无穷可微性、柯西不等式与刘维尔定理、莫勒拉定理.学时安排：2学时教学目标：1、掌握用柯西积分公式及高阶导数的求导公式计算积分的方法2、理解刘维尔定理与莫勒拉定理教学重点：柯西积分公式教学难点：解析函数的无穷可微性教学方式：多媒体与板书相结合作业布置：习题三：11-15板书设计：一、柯西积分公式二、解析函数的无穷可微性三、举例参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》高等教育出版.3、《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）.4、《积分变换》，南京工学院数学教研室，高等教育出版社.课后记事：1、掌握用柯西积分公式及高阶导数的求导公式计算积分的方法2、解析函数的无穷可微性理解很好3、利用课余时间对学生进行答疑教学过程：§3.3 柯西积分公式（Cauchy integral formula ）柯西积分公式（Cauchy integral formula ）设)(z f 在以圆)0(|:|000+∞<<=-ρρz z C 为边界的闭圆盘上连续，C 的内部D 上解析，由柯西积分定理0d )(=⎰Cz z f 考虑⎰-C d z f ζζζ)(设D z ∈，显然函数在zf -ζζ)(满足z D ≠∈ζζ,的点ζ处解析. 以z 为心，作一个包含在D 内的圆盘，设其半径为ρ，边界为圆ρC .在D 上，挖去以ρC 为边界的圆盘，余下的点集是一个闭区域ρD .在ρD 上，函数)(ζf 以及zf -ζζ)(解析，所以有 ⎰⎰-=-ρζζζζζζC C d z f d z f )()(于是又如下定理定理(Theorem)3.8设)(z f 在在简单闭曲线C 所围成的区域D 内解析在C D D ⋃=上连续，0z 是区域D 内任一点，则有dzz z z f i z f C ⎰-=0)(21)(π （1）其中，沿曲线C 的积分是按反时针方向取的，（1）式就是柯西积分公式.它是解析函数的积分表达式，因而是今后我们研究解析函数的重要工具. 说明：1、有界闭区域上的解析函数，它在区域内任一点所取的值可以用它在边界上的值表示出来.2、柯西公式是解析函数的最基本的性质之一，可以帮助我们研究解析函数的许多重要性质.推论1（平均值公式）设)(z f 在)(z f R z z C <-|:|0内解析，在R z z C =-|:|0上连续，则π21)(0=z f ⎰+πθθ200)Re (d z f i推论 2 设)(z f 在由简单闭曲线1C 、2C 围成的二连通区域D 内解析，并在曲线1C 、2C 上连续，2C 在1C 的内部，0z 为区域D 内一点，则⎰-=100)(21)(C dz z z z f i z f π⎰--20)(21C dz z z z f i π例1 求下列积分的值（1）()⎰⎰==+-222.))(9(2;sin z z dz i z z zdz zz 解：(1)0|sin 2sin 02====⎰z z z i dz zzπ (2)⎰⎰=-===-=---=+-2122225|92)(9))(9(z z z z z i dz i z z z dz i z z z ππ 由平均值公式还可以推出解析函数的一个重要性质，即解析函数的最大模原理.解析函数的最大模原理，是解析函数的一个非常兆耀的原理，它说明了一个解析函数的模，在区域内部的任何一点都达不到最大值，除非这个函数恒等于常数.定理(Theorem)3.9(最大模原理) 设)(z f 在区域D 内解析，)(z f 不是常数，则在区域D 内()z f 没有最大值. 推论1在区域D 内的解析函数，若其模在区域D 内达到最大值，则此函数必恒等于常数推论2设)(z f 在有界区域D 内解析，在D 上连续，则()z f 必在区域D 的边界上达到最大值.证明：若)(z f 在区域D 内为常数，显然成立，若)(z f 在区域D 内不恒为常数，有连续函数的性质及本定理即可得证. 本节重点掌握：柯西积分公式§3.4 解析函数的高阶导数(The higher order derivative of analytic function) 一、解析函数的无穷可微性(Analytic functions ofinfinitely differentiable)定理(Theorem)3.10 设函数)(z f 在简单闭曲线C 所围成的区域D 内解析，在D 上连续，则)(z f 的各阶导数均在区域D 内解析，对区域D 内任一点z ，有,...)3,2,1( )()(2!)(1)(=-=⎰+n d z f i n z f C n n ζζζπ,证明：先证明1=n 时的情形.对区域D 内任一点z ，设D h z ∈+.⎰---=Cd z h z f ih ζζζζπ2))(()(2 现在估计上式右边的积分.设以z 为心，以δ2为半径的圆盘完全在D 内，并且在这个圆盘内取h z +，使得δ<<h 0，那么当D ∈ζ时，,||,||δζδζ>-->-h z z设()z f 在C 上的最大值是M ，并且设C 的长度是L ，于是由积分估值定理有,2|||))(()(2|22δπζζζζπMLh d z h z f i hC ⋅≤---⎰ ])()(2)(21)(21[1)()(21)()(22⎰⎰⎰⎰------=---+C C C C d z f i h d z f i d h z f i h d z f i h z f h z f ζζζπζζζπζζζπζζζπ这就证明了当h 趋近于0时，积分⎰---Cd z h z f i hζζζζπ2))(()(2趋于0.即当1=n 时定理成立.设k n =时定理成立.当1+=k n 时，对区域D 内任一点z ，设D h z ∈+.仿1=n 时的证明方法，可推得定理成立.证毕例2 计算下列各积分)())()()⎰⎰⎰>==>=-+-1223221511121cos 1r z z zr z dzz z dzze dzz zπ解：)()()()()⎰>=-==-=-1545121cos !1521cos 1r z i z z i dz z zππππ)()()()()()⎰⎰⎰+-+-+=+>=12222212212CCzzr z zdz i z i z e dz i z i z e dz z e()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=41sin 2222πππi i z i z e i z i z e i z z3）被积函数22)1(1-z z 有两个奇点：01=z 和12=z ，都在2=z 内，2)1(1-z 在31=z 内解析，21z在311=-z 内解析，作圆周3113121=-=z c z c ：，：，利用复合围线积分定理， ⎰⎰⎰⎰⎰=-==-==-+--=-+-=-311233132311233123223)1(1)0()1(1)1()1()1(z z z z z dz z z dz z z z z dz z z dz z z dz由高阶导数公式，得()0661!1211!22)1(1302223=-='⎪⎭⎫ ⎝⎛+"⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-===⎰i i z i z i z z dzz z z ππππ应用上述定理可得出解析函数的无穷可微性定理(Theorem)3.11 设函数)(z f 在区域D 内解析，那么)(z f 在D 内有任意阶导数.并且它们也在区域D 内解析注3: 任意阶导数公式是柯西公式的直接推论；二、柯西不等式与刘维尔定理(Cauchy inequality and Liouville's theorem)柯西不等式（Cauchy inequality ）设函数)(z f 在以R z z <-||0内解析，在以R z z <-||0内()M z f ≤,则,...)2,1,0(!!|)(|0)(=≤n RMn n z fn n 证明：令1R C 是圆)0(||110R R R z z <<=-，)(z f 在以10||R z z ≤-上解析，由高阶导数公式，有,2,1,0!22|)()(2!||)(|1111100)(1==⋅⋅≤-=++⎰n R M n R R M n!dz z z z f in z fnn C n n R πππ令R R →1,得 ,2,1,0!|)(|10)(=≤n R Mn z fn n上述的不等式称为柯西不等式.如果函数)(z f 在整个复平面上解析，那么就称)(z f 为一个整函数，例如z e z z ,cos ,sin 都是整函数.关于整函数，我们有下面的刘维尔定理：定理3.12（刘维尔Liouvlle 定理）有界整函数一定恒等常数.证明：设)(z f 是有界整函数，即存在),0(+∞∈M ，使得M z f z <∈∀|)(|C,.),0(,C 0+∞∈∀∈∀R z ，)(z f 在R z z <-||0内解析.由柯西公式，有RM z f ≤|)('|0，令+∞→R ， 0)(',C 00=∈∀z f z ，由此可知)(z f 在C 上恒等于常数.三、莫勒拉定理(Mole La Theorem)：应用解析函数有任意阶导数，可以证明柯西定理的逆定理，称为莫勒拉定理.定理(Theorem)3.13如果函数)(z f 在区域D 内连续，并且对于D 内的任一条简单闭曲线C ，我们有0)(=⎰Cdz z f那么)(z f 在区域D 内解析.本节重点掌握：（1）解析函数的无穷可微性；（2）柯西不等式内容小结： 1、柯西积分公式 2、解析函数的无穷可微性3、柯西不等式与刘维尔定理4、莫勒拉定理5、柯西定理的逆定理。

复变函数第三章复变函数的积分

C

{ u [ x ( t ), y ( t )] i [ v [ x ( t ), y ( t )]]}( x ' ( t ) iy ' ( t )) dt
i v x t,y () t) xt ' () u (()() x ty t) yt ' () } d t {(()

f[ z ( t)] z '( t) dt fz ( ) d z f [ z ( t ) ] zt ' ( ) d t
C

（ 3 . 6 ）
用（3.6）式计算复变函数的积分,是从积分路径的参数方程着手,称为参数方程法.
例3.1 计算 z d z ,C : 从原点到点 3 4 i 的直线 . C y x3 t, 0t 1 , 解直线方程为 A y 4 t ,
C C
u ( x , y ) d x v ( x , y ) d y iv ( x , y ) d x u ( x , y ) d y
C C

C
f ( z )d z
结论 1 ：当是 fz () 连续函数 , C 是光滑曲线时， () d z 一定存在。 fz 结论 2 ： () d z 可以通过两个二元实函数的 fz
k k
证明令 z x iy x x x y y y k k k k k k 1 k k k 1
n
k n k k k k k k
n
u (k, x v(k, y k) k k) k
k 1 k 1 n n
k 1 n

第三章,复变函数的积分(1)

(4) 设曲线C的长度为L, 函数f (z)在C上满足
f (z) M , 则

C
f ( z )dz f ( z ) ds ML.
C
19
估值不等式
事实上,
f (
k 1
n k 1
n
k
)zk f ( k ) zk
k 1
n
n
f ( k ) sk M sk ML,
C C
10
定理 2 设光滑曲线C由参数方程给出： C : z z ( t ) x( t ) iy( t ) ( t ),
z ( ) 是起点, z ( ) 是终点，f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y )
在包含C的区域D内连续，则

C
f ( z )dz

C
f ( z )dz 存在，
C f ( z )dz C udx vdy iC vdx udy
8
证设 ζ ξ iη k k k 明
，则
zk zk zk 1 ( xk iyk ) ( xk 1 iyk 1 ) ( x k x k 1 ) i ( y k y k 1 ) x k i y k
β α
12
i v[ x( t ), y( t )] x( t ) u[ x( t ), y( t )] y ( t )dt .

f z ( t ) z ( t )dt
如果C是由C1, C2, …, Cn年等光滑曲线段依次相互连接所组成的按段光滑曲线，那么定义
o
3 2
x
27
§3 基本定理的推广—复合闭路定理

复变函数的积分及其性质

从形式上可以看成是
f ( z ) u iv 与 dz dx idy 相乘后求积分得到:
C f ( z )dz C (u iv )(dx idy ) udx ivdx iudy vdy C
udx vdy i vdx udy .
, zn b,
y
b
C
1 2
(2)取近似值
在每个弧段 zk 1 z k ( k 1, 2,
f k zk 1 z k
z k 1 z k z k z k 1
a a z0z1 z2 o
k z k zk 1
zn1
x
, n)上任意取一点 k ,
f k zk zk 1 f k zk
z1 z2
k z k zk 1
C z n 1
B
o
x
则称f ( z )在曲线C上可积,极限值称为函数 f ( z ) 沿曲线 C 的积分,记为

C
f ( z )dz
5
注意：
1:对 C 的分法无关 2:与 k 的取法无关
说明:
(1) 用
C
f ( z )dz表示f ( z )沿着曲线C的负向的积分
1 2i , 所以 n1 dz ( z z0 ) 0, z z0 r
n 0, n 0.
12
例3
计算
zdz
c
的值。
C 为：(1)从原点到 z0 1 i 的直线段.
(2) 沿从原点到
z1 1的直线段 c 2
与从 z1 到 z0 的直线段 c3 所连接的折线.
k 1
n
[u( k ,k )xk v( k ,k )yk ]

a4第三章复函积分1

4
3、积分存在的条件及其计算法
设光滑曲线C：设光滑曲线：z(t)=x(t)+iy(t)，α≤t≤β，正方向是参数增， β 正方向是参数t增加的方向，C的起点，终点分别为：A=z(α)，B=z(β)，且满加的方向，的起点，终点分别为： α， β，的起点足z′(t)≠0，t∈(α, β)。 ′ ，∈α 。
4) 设C分段光滑 , 由C1 , C 2 连接而成 , 则
∫C f ( z )dz = ∫C1 f ( z )dz + ∫C 2 f ( z )dz ;
5) 设在C上 f ( z ) ≤ M , L为曲线的长度 , 则
∫C f ( z )dz ≤ ∫C f ( z ) ds ≤ ML .
7
举例 1. 计算从点(0,0)到直线段；从点。 ∫ zdz ， C:从点到(3,4) ①直线段；②y=f(x)。
C
y
y=f(x)
解 ①∵C：y=(4/3)x , 0≤x≤3。：。即：z=x+iy=x+i(4/3)x o
3
(3,4)
y=(4/3)x x
4 4 4 23 1 ∴ ∫ zdz = ∫ [x + i x][1 + i ]dx = [1 + i ] ∫ xdx = ( 3 + 4i ) 2 3 3 3 0 2 C 0
证明
记作
∵ F( z ) = ∫
z f ( z )dz z0
=∫
ห้องสมุดไป่ตู้
( x, y ) udx − (x0 ,y 0 )
vdy + i ∫
( x, y ) vdx + udy (x0 ,y 0 )
= P( x, y ) + iQ( x, y )

第三章复变函数的积分.doc

习题 3第三章复变函数的积分1.（1）计算积分11z dz -⎰，积分路径是直线段解：C: z=x,-1≤x ≤1因此，11z dz -⎰=11x dx -⎰=1()2计算积分11z dz -⎰,积分路径是上半单元圆周解 c:i z e θ=,θ是从π变到0,因此()011cos sin i i cz dz de i e d i d θθππθθθθ-===+=⎰⎰⎰⎰22．（1）利用积分估值，证明()22cxiy dz 2+≤⎰，其中C 是连接-i 到i 的直线段。

证明：C: x=0,-1y 1≤≤因为()2222f z x iy iy y 1=+==≤ 而积分路径长为()i--i 2= 故()()i2222cixiy dz xiy dz 12=2-+=+≤⨯⎰⎰（2）利用积分估值，证明22()cx iy dz π+≤⎰，其中C 是连接-i 到i 的右半圆周.证明：C ：221x y +=，0x ≥2244()()1f z x iy x y =+≤+≤，右半圆为长度为π。

22(())()Cx iy f z L +≤⎰，L π=；即：22(())1Cx iy ππ+≤⋅=⎰3.不用计算，验证下列积分之值为零，其中C 均为单位圆周z 1=。

()cdz1cos z⎰ 证：因为距离原点最近的奇点Z=2π±，在单位圆z 1≤外部，所以1cos z在z 1≤上处处解析，由积分柯西定理知c dz0cos z =⎰ （2）256zCdzz e z ++⎰证：2(2)(3)56zzz z z eez=++++，因奇点2,3z =--在单位圆1z ≤外部，所以222zz ez++在1z ≤处处解析。

由柯西积分定理：2056zCdzz e z=++⎰。

（3）2cos Cz dz z ⎰证：因为2cos z z 在1z ≤上处处解析，由柯西积分定理知：2cos 0Cz dz z =⎰ 。

4、求积分()d z z az ⎰++π202182解：由于()1822++=z z z f 在z 平面上解析，所以在z 平面内积分与路径无关。

复变函数第三章复变函数的积分第一节复变函数积分的概念

C C
C−
f ( z )dz;
( 2) ∫ kf ( z )dz = k ∫ f ( z )dz; ( k为常数 )
C
( 3) ∫ [ f ( z ) ± g ( z )]dz = ∫ f ( z )dz ± ∫ g ( z )dz;
C C C
估值不
(4) 设曲线 C 的长度为 L, 函数 f ( z ) 在 C 上满足等式 f ( z ) ≤ M , 那末 ∫ f ( z )dz ≤ ∫ f ( z ) dS ≤ ML.
又因为
∫C zdz = ∫C ( x + iy )(dx + idy )
13
∫C zdz = ∫C xdx − ydy + i ∫C ydx + xdy
这两个积分都与路线C 这两个积分都与路线无关
所以不论 C 是怎样从原点连接到点 3 + 4i 的曲线,
( 3 + 4i ) 2 ∫C zdz = 2 .
∫C f ( z )dz = ∫C (u + iv )(dx + idy ) = ∫ udx + ivdx + iudy − vdy C
= ∫ udx − vdy + i ∫ vdx + udy .
C C
（2）若曲线 C由参数方程给出z = z ( t ) = x ( t ) + i y( t ), ）
在每个弧段 zk −1 zk ( k = 1,2,L, n) 上任意取一点 ζ k ,
y
ζk z k zk−1
B
C z n−1
A
ζ1 ζ2
z1 z2
o
x
4
作和式 S n = ∑ f (ζ k ) ⋅ ( zk − zk −1 ) = ∑ f (ζ k ) ⋅∆zk ,

复变函数及积分变换第三章1

变上限函数 F(z) z f ()d为f(z)的一个原函数.
那么函数f(z)的全体原函数z0 可以表示为
(z) F(z) C ,
其中C为任意常数.
定理3.4 若函数f(z)在单连通域D内处处解析， (z)为
f(z)的一个原函数，则
z1
f
(
z)dz

( z1 )

( z0
f (z)dz udx vdy i vdx udy
C
C
C
b
b
a (u(t)x(t) v(t) y(t))dt ia (u(t) y(t) v(t)x(t))dt,
Re( f (z(t))z(t)) u(t)x(t) v(t) y(t),
0i rn
2π
(cos n
0
i sin n )d
0
Ñ dz
2πi, n 0;
zz0 r (z z0 )n1

0,
n 0.
§3.2 柯西-古萨定理(CauchyGoursat)及其推广
1.柯西-古萨定理
假设函数f(z)=u+iv在单连通域D内处处解析，f'(z) 在D内连续, u,v对x,y的偏导数在D内连续.设z=x+iy，C 为D内任一条简单闭曲线.
Im( f (z(t))z(t)) u(t) y(t) v(t)x(t).
b
f (z)dz a f (z(t))z(t)dt.
C
例3.1 分别沿下列路径计算积分 z2dz 和 Im(z)dz
C
C
(1) C为从原点(0,0)到(1,1)的直线段；
(2) C为从原点(0,0)到(1,0)再到(1,1)的直线段.

第三章复变函数积分

n
f (z)dz
f (z)dz,
C
k 1 Ck
C
C1
C2 C3
其中C和Ck(1kn)取正向.
D
证明不妨设n=2. 作两条辅助线 A1A2 , A3 A4 (如图).
CE
G
A4
A1 A2 F A3
C2
H C1 I
D
这样由 EA1 A2FA3 A4GA4 A3HA2 A1IE 作为边界G ,
§3.2 Cauchy积分定理
1 Cauchy积分定理 2 复合闭路定理 3 典型例题
3.2.1 Cauchy积分定理
定理3-2 (柯西-古莎定理) 如果f (z)是单连通区域 D上的解析函数，则对D内的任何一条
闭曲线C, 都有
f (z)dz 0.
C
C D
说明: 该定理的主要部分是 Cauchy 于1825 年建立的, 它是复变函数理论的基础.
0
所以
z z0
r
(
z
1 z0
)n1
dz
2i, 0,
n 0, n 0.
重要结论：积分值与圆周的中心、半径无关.
例3.3 计算积分C Re zdz 与 C zdz, 其中C为
(1) 从原点到 1+i 的直线段；
(2) 抛物线 y=x2 上从原点到 1+i 的弧段；
(3) 从原点沿x轴到1, 再从1到 1+i 的折线.
,C0n是. 多连通区域D内
Gz
z z 的简单闭曲线, C1,C2 , ,Cn 都在C 的内部,它们
互不C1包含也互不C相2 交, 并且以 C ,C1,C2 , ,Cn 为
例3.9
求积分

复变函数第三章1积分

i
D
(
x
)dxdy y
0
（假设在单连通闭区域D上，柯西黎曼方程成立）
课件
18
假设
u , u , v , v 在闭区域D上连续； x y x y
（单连通闭区域D上，柯西黎曼方程成立）
f (z)在单连通闭区域D上处处可导。
u , u , v , v 在闭区域D上连续； x y x y
f (z)的一阶导数f '(z) u i v 连续 x x
zdz 1 (3 4i)t (3 4i)dt 1 (3 4i)2
c
0 7 12i
2
课件
14
2
例2
计算
c(z
dz z0 )n1
,
C :以z0为中心,以r为半径的圆周，
n为整数.
z
解 C : z-z0 rei , 0 2
z z( ) z0 rei z'( ) riei
dz
c (z z0 )n1
2
0
riei r e n1 i(n1)
d
i
2
(cosn i sin n )d
rn 0
z0
o
2i, n 0
0,
n0
dz 2i,
c z z0
dz c(z z0 )n
0, n
1
注: (1)计算结果与z0 , r无关；
(2)以后证明，结论对于课围件绕z0的任意闭曲线都成15立。
即z z(t), f (z) f (z(t)). 因为z z(t) x(t) iy(t),计算微分dz z'(t)dt
(x'(t) iy'(t))dt
例1 计算

工程数学—复变函数的积分1

所以
Re(z)dz
Re(z)dz
Re(z)dz
1
tdt
1
1 idt
1
i
C
C1
C2
0
0
2
可见，在本题中，C的起点与终点虽然相同，但路径不同，积分的值也不同．
18
例3
计算
L
(z
dz z0 )n
，其中
L
是以
z0
为中心，r
为半径的正向圆周，n 为整数．
19
【解】根据 L 为正向圆周（即逆时针方向），故其参数方程
2πi 0
n 1 n 1
20
第2节积分基本定理
通过前面的例题我们发现，例1中的被积函数在复平面内是处处解析的，它沿连接起点及终点的任何路径的积分值都相同，换句话说，积分与路径无关．例2 中的被积函数是不解析的，积分与路径是有关的．也许沿封闭曲线的积分值与被积函数的解析性及区域的单连通性有关．我们自然要问：函数在什么条件下，积分仅与起点和终点有关，而与积分路径无关呢？我们可以证明下列定理:
21
柯西定理
定理3.1 设f(z)是单连通区域D的解析函数，
（1）设C是D内任一条简单闭曲线，那么
C f (z)dz 0
其中，沿曲线C的积分是按反时针方向取的。
（2） C是在D内连接z0及z两点的任一条简单曲
线，那么沿C从z0到z的积分值由z0及z所确定，
而不依赖于曲线C，这时，积分记为.
z
f ( )d z0
（2）C[ f (z) g(z)]dz C f (z)dz C g(z)dz;
（3） f (z)dz f (z)dz f (z)dz ... f (z)dz

复变函数第三章 1

定理 1.1 若 f ( z ) = u ( x , y ) + iv ( x , y ) , 沿光滑曲线 C 连续 , 则 f ( z ) 沿 C 可积 , 且
∫C f ( z ) dz = ∫C udx vdy + i ∫C vdx + udy .
（2）设光滑曲线 C : z = z (t ) = x(t ) + i y(t ), t ∈ [α , β ], 注：则在 C 上 f ( z ( t ) ) = u [ x ( t ), y ( t )] + iv [ x ( t ), y ( t )] = u ( t ) + i v ( t ) , 故
1 1
o
C1
x
t 2 2i = + t3 2 3
=
0
1 2 + i; 2 3
故
∫C Re z dz = ∫C Re z dz + ∫C Re z dz = ∫0 t dt + ∫0 i dt
1 2
=
1 +i . 2
注：此积分与路径有关！
2
例1.3 计算
y z
C ∫
θ
dz ( z z0 )n+ 1
∫
b
C
f ( z ) dz = ∫ u( t ) dt ,
b a
这就是一元实函的积分定义 . （3）一般不能把
∫
C
f ( z ) dz 写成
∫
a
f ( z ) dz , 因为
（3）若无论如何分割 C, 如何取 ξ i , 有 lim ∑ f (ξ k ) zk = I , 则称 I 为 f ( z ) 沿曲线 C ( a → b ) 的积分 ,

复变函数-第三章-复变函数的积分

19
例10 求 z cos zdz 的值.
0
i
另解
0 z cos zdz 0 zd(sin z )
[ z sin z ] sin zdz
i 0 0 i
i
i
i [ z sin z cos z ]0 e 1 1.
20
4.3 柯西积分公式
定理设f ( z )在简单(或复合)闭曲线C上及所围区域D内解析, 则对任意z0 D,皆有
2

C
vdx udy
u( x(t ), y(t )) y(t ) v( x( t ), y( t )) x( t ) dt u( t ) y( t ) v( t ) x( t ) dt

这样 : f ( z )dz 可以通过两个二元实变函数的线
第三章复变函数的积分
本章主要内容：
1、 2、 3、 4、 5、复积分的概念柯西积分定理柯西积分公式高阶导数公式解析函数与调和函数的关系
1
§1 复变函数积分的概念 3、复积分计算的参数方程法

C
f ( z )dz udx vdy i vdx udy
C C
若能写出C的参数方程为: C: z(t)=x(t)+iy(t) t 则因为C是光滑曲线x(t),y(t)C[,] :
C

积分来计算.

C
f ( z )dz
u(t ) x(t ) v (t ) y(t ) dt

i

v(t ) x(t ) u(t ) y(t ) dt
{u(t ) iv(t )}{ x(t ) iy(t )}dt

第三章复变函数的积分(余家荣2014)

0
ÑC
(
z
1
)n1
dz
2i
0
n0 n0
目录上页下页返回结束
【例1.4】设C为连接z0, z两点的简单曲线，求 c dz, c zdz
( x, y)
x
y
解: dz dx idy dx i dy
C
( x0 , y0 )
x0
y0
( x x0) i( y y0) z z0
xy
x0
y0
)
1 2
(z2
z02
)
目录上页下页返回结束
由例1.4 积分c dz, c zdz 与路径无关 zdz c (xdx ydy) i (xdy ydx) 积分与路径无关
2、说明
①. 计算方法令 f (z) u(x, y) iv(x, y) , dz dx idy 则：
c f (z)dz c (u iv)(dx idy)
c (udx vdy) i(vdx udy)
c f (z)dz c udx c vdy i(c vdx c udy)
( x, y)
zdz (x iy)(dx idy)
C
( x0 , y0 )
( x, y)
(xdx ydy) i(xdy ydx) ( x0 , y0 )
x
y
( x, y)
xdx ydy i dxy
x0
y0
( x0 , y0 )
1 2
(
x2
x02
)
1 2
(
y2
y02
)
i(
1
1
Ñ Ñ dz ,
C z
C (z )n1 dz ,

第三章复变函数的积分

0 ≤ θ ≤ 2π
y
z − z0 = reiθ
θ
2π dz ireiθ ∴∫ = ∫ n+1 i (n+1)θ dθ C ( z − z )n+1 0 r e 0
z
o
z0
r C x
=∫
2π
0
i r ne inθ
i 2π dθ = 2π i , n = 0, ∫0 dθ = i 2π n ∫0 (cos nθ − i sin nθ )dθ = 0, n ≠ 0. r 15
20
§2 柯西-古萨积分定理柯西1、引言
复变函数的积分的实际上等同于对坐标的曲线积分，复变函数的积分的实际上等同于对坐标的曲线积分，这就很自然地引出积分与路径无关的问题. 就很自然地引出积分与路径无关的问题
事实上，从上一节中，我们知道：有的积分与积分路径事实上，从上一节中，我们知道：无关；另外，无关；有的积分与积分路径有关 . 另外，我们还知道
18
|dz | (3) ∫ ; |z |= 1 z
练习
计算 I =
∫
C
| z | dz的值 , 其中
(1) C 是单位圆 z = 1的上半圆周 , 顺时针方向 ; ( 2 ) C 是单位圆 z = 1的下半圆周，逆时针方向; 的下半圆周， ( 3 ) C 是从 − 1到 1 的直线段 .
思考题：下列式子成立吗？思考题：下列式子成立吗？
容易验证，上式中积分与路径无关容易验证，上式中积分与路径无关.
12
例 2 计算 I =
∫ z dz ，其中积分路径
c
C为
( i ) C 为从 O ( 0 ,0 )到 A ( 3，)的直线段； 4 的直线段；

复变函数第三章1资料

线 C 的正向记为 C 或 C ，而负向记为C ．
复积分的定义
定义1 设C是复平面上连接a和b两点的有向曲线，其中a是起点，b是终点．函数f (z )定义在曲线C上,
分割：在C上，我们沿C的方向顺次插入有限个分点
a z0 , z1, z2 ,L zn1, zn b
把曲线C分成有限个小的有向弧段（方向与C的方向一致）（这一过程也称为对曲线的一个有向分割，记为T）．
是 f (z ) 在C上有界；若f (z ) 在曲线上连续，
则沿C可积等等.
根据复积分的定义，不难得到复积分的如下基本性质：设 f (z ) ，g (z )都在简单曲线C上连续，则有
复积分的性质
(1) f (z)dz f (z)dz;
C
C
(2) C kf (z)dz k C f (z)dz; (k为常数)
详细证明：设复数
k (k ,k ), Δ zk Δ xk i Δ yk , f (z) u(x, y) iv(x, y)
n
n
则 :
f ( k ) Δ zk [u(k ,k ) iv(k ,k )](Δ xk i Δ yk )
k 1
k 1
n
n
[u(k ,k ) Δ xk v(k ,k ) Δ yk ] i [v(k ,k ) Δ xk u(k ,k ) Δ yk ]
k 1
k 1
两边再取极限，即:
C f (z) d z C u d x v d y iC vdx udy
2 化为对参数t的一元函数积分
设：曲线 C, z z(t), t [ , ],
代入积分式 [z(t)]z'(t)dt
此法主要思路是利用曲线的参数表示法，将自变量z 与函数 f 都表成 t. 只对t做积分.详细证明如下：

复变函数第三章1积分知识课件

3.1.3 积分f(z)dz值的计 (f(z)算 u (x ,y) i(v x ,y)) C
f (z)dz u ( x ,y ) d v ( x x ,y ) d iy v ( x ,y ) d u x ( x ,y ) d
c
c
c
假设 f(z)u (x,y)i(v x,y)连续
u(x,y),v(x,y)连续的
z2
在z 2所围成的闭区域解上析处，处
z3
根据柯西定理,
z2 dz 0
z 2 z 3
2020/10/17
ห้องสมุดไป่ตู้
21
例6
zezdz
z1
解: 函数zez在整个复平面上处处析解
zez在z 1所围成的闭区域上解处析处。
根据柯西定理,
zezdz0
z 1
2020/10/17
22
有时,我们经常遇到多连通区域,此时结论应如何?
若 F(z)为 f(z)的原函F数 (z)， c,(c为则任意 ) 复也f是 (z)的原函数。定义区域 D内f(z)的代有任意常数数F(的 z)原 c称函为
f (z)在D内的不定积分，记作f (z)dz 其中， f(z称 )为被积函z为数积，分变量。
2020/10/17
2
由于不定积分作为求导运算的一种逆运算,对于复变函数其求导运算规则与实变函数完全一致,所以复变函数的不定积分与实变函数的规则也是完全一致的.
12
设曲 C 参线数: 方 y x y x(程 (t(t)) 为 t)
对应的复z数 z(方 t )x程 (t)i为 y( t),t
c f (z)dz
c u ( x ,y ) d v ( x x ,y ) d i y c v ( x ,y ) d u x ( x ,y ) d

第3章复变函数的积分

解：
11 i （1）− + 3 3
；
1 π2 （2）− ( + 3 ln 2 ) + i π ln 2 ； 8 4 8
（3）0；（4）注意到积分与路径无关.
16 3 3 π a + 16π 2 a 2 + 2πa 3
3.5 柯西积分公式定理(柯西积分公式定理柯西积分公式) 如果函数 f (z ) 在区域柯西积分公式 D内处处解析， C为内D的任何一条正向简单闭曲线,它的内部完全含于D , z0 为C内的任一点,那末公式(3.5.1)称为柯西积分公式.通过这个公式就可以把一个函数在C内部任何一点的值,用它在边界上的值来表示.
−z i 0
−i
= − sin 1 − i cos1
练习：计算积分（1）
∫ (2 + iz )
1
iiຫໍສະໝຸດ 2dz；ln( z + 1) （2） ∫ dz ； 1 ( z + 1)
（3）
∫π
3πi
− i
e dz ；
2z
(2 z 2 + 8 z + 1)dz 的值，C是0到（4）计算积分 ∫C
x 2πa 的摆线： = a (θ − sin θ ), y = a(1 − cos θ ) .
对 ξ k 的取法如何，当分点无限增多，而这些弧段长度的最大值 λ 趋于零时，和式
S n = ∑ f (ξ k )( z k − z k −1 ) =∑ f (ξ k )∆z k
k =1 k =1 n n
的极限唯一存在，则称此极限为函数 f (z ) 沿曲线 C 从 A 到 B 的积分，记作 ∫C f ( z )dz ，

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其中C是圆周: z z0 r ( r 0) 的正向.
C C
10
定理 2 设光滑曲线C由参数方程给出： C : z z ( t ) x( t ) iy( t ) ( t ),
z ( ) 是起点, z ( ) 是终点，f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y )
在包含C的区域D内连续，则

C
f ( z )dz
k 1
C
C
n
C
f ( z )dz udx vdy i vdx udy .
u,v9连续
取极限
积分公式从形式上可以看成
C f ( z )dz C (u iv )(dx idy ) udx ivdx iudy vdy C
udx vdy i vdx udy .
当C是实轴上的区间 a , b , 方向从a到b, 并且
f ( z )为实值函数，那么这个积分就是定积分.
7
C
f ( z )dz
2 积分存在的条件及计算方法
定理 1 设C是光滑(或可求长)的有向曲线，如果 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ) 在包含C的区域D内连续，则并且
第三章复变函数的积分
§2.1 复变函数积分的概念 §2.2 Cauchy-Goursat基本定理 §2.3 基本定理的推广-复合闭路定理 §2.4 原函数与不定积分 §2.5 柯西积分公式 §2.6 解析函数的高阶导数 §2.7 解析函数与调和函数的关系
1
§3.1
1 2
复变函数积分的概念
积分的定义积分存在条件及计算方法

C
f ( z )dz 存在，
C f ( z )dz C udx vdy iC vdx udy
8
证设 ζ ξ iη k k k 明
，则
zk zk zk 1 ( xk iyk ) ( xk 1 iyk 1 ) ( x k x k 1 ) i ( y k y k 1 ) x k i y k
β
11
证明
C f ( z )dz C udx vdy i

C
vdx udy .
u[ x(t ), y(t )]x(t ) v[ x(t ), y(t )] y(t )dt
u[ x( t ), y( t )] iv[ x( t ), y( t )] x(t ) iy(t ) dt
β α
12
i v[ x( t ), y( t )] x( t ) u[ x( t ), y( t )] y(t )dt .

f z ( t ) z( t )dt
如果C是由C1, C2, …, Cn年等光滑曲线段依次相互连接所组成的按段光滑曲线，那么定义

C
f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz
C1 C2
f ( z )dz
Cn
如无特别说明，今后我们讨论的积分总是假定被积函数是连续的，曲线是按段光滑的。
13
例1 计算
zdz ,其中C为从原点到点3+4i的直线段. y
C
3 4i
C
o
x
14
dz 例 2 计算积分 n1 (n是整数), ( z z0 ) C
n
f (
k 1
n
k
) z k u( k ,k ) iv( k ,k ) ( x k i y k )
[u( k ,k )xk v ( k , k )yk ]
k 1 n
定义
k 1
u,v连续取极限
i [v ( k , k )xk u( k , k )yk ]
k 1
其中， zk zk zk 1
k 1,2,
, n .
y
记sk为弧zk 1 zk的长度
令 maxsk .
1 k n
z0
1 2
k z k
zk 1
C z zn n 1
Z
z1 z2
o
x
6
如果分点的个数无限增多，并且极限
lim S n lim f ( k )zk
3
积分的性质
2
1 积分的定义
曲线的方向设C为平面上给定的一条光滑（或按段光滑）曲线，如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向（或正向），那么就把C理解为带有方向的曲线，称为有向曲线。 B 设曲线C的两个端点为A与B，
若把从A到B的方向作为C的正向那么B到A的方向就是C的负向，记作Cˉ
y
zk ,
, zn1 , zn B,
A z z1 z2
0
C z znD n 1
zk 1 zk
B
把曲线C分割为n个小段.
o
x
5
在每个小弧段 zk 1 zk k 1,2, 一点 k ( k 1,2,
n
, n 上任取
, n), 做和数
S n f ( k )zk ,
u[ x( t ), y( t )] x( t ) v[ x( t ), y(t )] y(t ) dt
v[ x( t ), y( t )] x( t ) u[ x( t ), y( t )] y( t )dt .

i
α
f z ( t ) z( t )dt
0 0
k 1 n
存在, 则称该极限值为函数 f ( z ) 沿曲线C的积分, 并记作 C f ( z )dz , 即
f ( z )dz lim f ( k )zk lim f ( k )zk .
0
k 1 n k 1 n n

C
如果C是闭曲线，经常记作
A
3
简单闭曲线的方向
简单闭曲线的正方向是指当曲线上的点P顺此方向沿该曲线前进时，邻近P点的曲线内部始终位于P 点的左方。与之相反的方向就是曲线的负方向。
4
定义设 f ( z ) 是定义在区域D内的复变函数. C是区域D内以A为起点, B为终点的一条光滑的有向曲线，在C上依次取分点A z0 , z1 , , Nhomakorabeazk 1 ,