高中人教版数学必修2(必备6篇)
人教版高中数学必修二全册教案
（3）感受几何作图在生产活动中的应用。
二、教学重点、难点
重点、难点：用斜二测画法画空间几何值的直观图。
三、学法与教学用具
1．学法：学生通过作图感受图形直观感，并自然采用斜二测画法画空间几何体的过程。
2．教学用具：三角板、圆规
四、教学思路
（一）创设情景，揭示课题
1．我们都学过画画，这节课我们画一物体：圆柱
（三）巩固练习
课本P12 练习1、2 P18习题1.2 A组1
（四）归纳整理
请学生回顾发表如何作好空间几何体的三视图
（五）课外练习
1．自己动手制作一个底面是正方形，侧面是全等的三角形的棱锥模型，并画出它的三视图。
2．自己制作一个上、下底面都是相似的正三角形，侧面是全等的等腰梯形的棱台模型，并画出它的三视图。
四、教学思路
（一）创设情景，揭开课题
“横看成岭侧看成峰”，这说明从不同的角度看同一物体视觉的效果可能不同，要比较真实反映出物体，我们可从多角度观看物体，这堂课我们主要学习空间几何体的三视图。
在初中，我们已经学习了正方体、长方体、圆柱、圆锥、球的三视图（正视图、侧视图、俯视图），你能画出空间几何体的三视图吗？
请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体，并说出组成这些物体的几何结构特征？它们由哪些基本几何体组成的？
6．以类似的方法，让学生思考、讨论、概括出棱锥、棱台的结构特征，并得出相关的概念，分类以及表示。
7．让学生观察圆柱，并实物模型演示，如何得到圆柱，从而概括出圆标的概念以及相关的概念及圆柱的表示。
8．引导学生以类似的方法思考圆锥、圆台、球的结构特征，以及相关概念和表示，借助实物模型演示引导学生思考、讨论、概括。
1．有两个面互相平行，其余后面都是平行四边形的几何体是不是棱柱（举反例说明，如图）
人教版高中数学必修第二册6.2.1-6.2.2 向量的减法运算 向量的加法运算 同步精练(含解析)
人教版高中数学必修第二册6.2.1-6.2.2向量的减法运算向量的加法运算同步精练【考点梳理】考点一向量加法的定义及其运算法则1.向量加法的定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.2.向量求和的法则考点二向量加法的运算律交换律a ＋b ＝b ＋a 结合律(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )技巧：向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系区别联系三角形法则(1)首尾相接(2)适用于任何向量求和三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半考点三：相反向量1.定义：与向量a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作－a .2.性质(1)零向量的相反向量仍是零向量.(2)对于相反向量有：a ＋(－a )＝(－a )＋a ＝0.(3)若a ，b 互为相反向量，则a ＝－b ，b ＝－a ，a ＋b ＝0.考点四：向量的减法向量求和的法则三角形法则已知非零向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB →＝a ，BC →＝b ，则向量AC →叫做a 与b 的和，记作a ＋b ，即a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.对于零向量与任意向量a ，规定a ＋0＝0＋a ＝a平行四边形法则以同一点O 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作▱OACB ，则以O 为起点的对角线OC →就是a 与b 的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则1.定义：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算，叫做向量的减法.2.几何意义：在平面内任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则向量a－b＝BA→，如图所示.3.文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量.【题型归纳】题型一：向量加法法则1．（2021·全国·高一课时练习）如图，已知向量a，b，c不共线，作向量a+b+c．2．（2021·全国·高一课时练习）如图，已知向量a，b不共线，求作向量a b ．3．（2021·全国·高一课时练习）如图，O 为正六边形ABCDEF 的中心，作出下列向量：（1）OA OC +；（2）BC FE +（3）OA FE +．题型二：向量加法的运算律4．（2021·陕西·宝鸡市陈仓区教育体育局教学研究室高一期中）向量AB CB BD BE DC ++++化简后等于（）A ．A EB ．ACC ．ADD ．AB5．（2021·全国·高一课时练习）如图，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，对角线AC 与BD 相交于点O ，则OA BC AB DO +++等于（）A ．CDB ．DC C ．DAD ．DO6．（2021·广东·茂名市华英学校高一阶段练习）向量()()AB PB BO BM OP ++++化简后等于（）A ．BCB ．ABC ．ACD ．AM题型三：向量加法法则的几何应用7．（2021·全国·高一课时练习）如图，D ，E ，F 分别为ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则（）A ．0AD BE CF ++=B ．0++=BD CF DFC ．0++=AD CE CF D ．0++=BD BE FC 8．（2021·全国·高一课时练习）如图，在正六边形ABCDEF 中，BA CD FB ++等于（）A ．0B ．BEC ．AD D ．CF9．（2021·江西省修水县英才高级中学高一阶段练习）如图，在平行四边形ABCD 中，E 是CD 的中点，设AB a =，AD b =，则向量BE =（）.A ．12a b-B ．12a b-+C ．12a b-D ．12a b-+题型四：相反向量10．（2021·辽宁·建平县实验中学高一期末）如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，若AD BC =，则下面互为相反向量的是（）A ．AC 与CBB ．OB 与ODuuu rC ．AB 与DCD ．AO 与OC11．（2021·山西临汾·高一阶段练习）在任意四边形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，设,AB a CD b ==，下列式子正确的是（）A ．2a b EF+=B ．2a b EF-=C ．a b EF+=D ．a b EF-=12．（2021·全国·高一单元测试）若b 是a 的负向量，则下列说法中错误的是（）A ．a 与b 的长度必相等B ．//a bC ．a 与b 一定不相等D ．a 是b 的负向量题型五：向量减法法则13．（2021·全国·高一课时练习）如图，已知向量a ，b ，c ，求作向量a b c --．14．（2021·全国·高一课时练习）如图，点O 是ABCD 的两条对角线的交点，AB a =，DA b =，OC c =，求证：b c a OA +-=．15．（2021·全国·高一课时练习）如图，已知OA a =，OB b =，OC c =，OD d =，OF f =，试用a ，b ，c ，d ，f r表示以下向量：（1）AC ；（2）AD ；（3）AD AB -；（4）AB CF +；（5）BF BD -．题型六：向量减法的运算律16．（2021·全国·高一课时练习）下列运算正确的个数是（）①()326a a -⋅=-；②()()223a b b a a +--=；③()()220a b b a +-+=．A ．0B ．1C ．2D ．317．（2021·北京市第一六六中学高一期中）在ABC 中，13BD BC =，若AB a =，AC b =,则AD =（）A ．1233a b-B ．1233a b+C ．2133a b+D ．2133a b-18．（2021·浙江·金乡卫城中学高一阶段练习）在平行四边形ABCD 中，设M 为线段BC 的中点，N 为线段AB 上靠近A 的三等分点，AB a =，AD b =，则向量NM =（）A ．1132a b+B ．2132a b+C ．1132a b-D ．2132a b-题型七：向量减法法则的几何应用19．（2021·全国·高一课时练习）已知非零向量a 与b 方向相反，则下列等式中成立的是（）A ．a b a b -=-B ．a b a b +=-C ．a b a b+=-D ．a b a b+=+20．（2021·全国·高一单元测试）已知正方形ABCD 的边长为1，AB a =，BC b =，AC c =，则||a b c +-等于（）A ．0B ．1C ．2D ．221．（2021·全国·高一课时练习）如图，向量AB a →=，AC b →=，CD c →=，则向量BD →可以表示为（）A ．a b c --B ．b a c +-C ．a b c-+D ．b a c-+【双基达标】一：单选题22．（2021·全国·高一课时练习）化简下列各式：①AB BC CA ++；②()AB MB BO OM +++uu u r uuu r uu u r uuu r；③OA OC BO CO +++；④AB CA BD DC +++．其中结果为0的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．423．（2021·全国·高一课时练习）已知a 、b 是不平行的向量，若2AB a b =+，4BC a b =--，53CD a b =--，则下列关系中正确的是（）A ．AD CB =B ．AD BC =C ．2AD BC=D ．2AD BC=-24．（2021·全国·高一课时练习）若非零向量a 和b 互为相反向量，则下列说法中错误的是（）．A ．//a br r B ．a b≠C ．a b≠r r D ．b a=-25．（2021·全国·高一课时练习）已知点O 是ABCD 的两条对角线的交点，则下面结论中正确的是（）．A ．AB CB AC +=B ．AB AD AC+=C ．AD CD BD+≠D ．0AO CO OB OD +++≠26．（2021·全国·高一课时练习）下列四式不能化简为PQ 的是（）A ．()AB PA BQ ++B ．()()AB PC BA QC ++-C ．QC CQ QP +-D ．PA AB BQ+-27．（2021·全国·高一课时练习）已知六边形ABCDEF 是一个正六边形，O 是它的中心，其中,,OA a OB b OC c ===，则EF =（）A ．a b +B ．b a -C ．-c bD ．b c-r r28．（2021·全国·高一课前预习）下列等式中，正确的个数为（）①0a a -=-；②()a a --=；③()0a a +-=；④0a a +=；⑤()a b a b -=+-；⑥()0a a --=．A ．3B ．4C ．5D ．629．（2021·重庆实验外国语学校高一阶段练习）如右图，D ，E ，P 分别是ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则（）A ．0AD BE CF ++=B ．0BD CF DF -+=uu u r uu u r uuu r rC ．0AD CE CF +-=uuu r uur uu u r r D ．0BD BE FC --=30．（2021·山东济南·高一期末）在ABC 中，若点D 满足3BC DC =，则（）A ．1233AD AB AC =+B ．2133AD AB AC =-C ．1344AD AB AC =+D ．3144AD AB AC =-31．（2021·山东滨州·高一期末）在ABC 中，2BD DC =，AE ED =，则BE =（）A ．1536AC AB-+B ．1536AC AB-C ．1136AC AB-+D ．1136AC AB-【高分突破】一：单选题32．（2021·全国·高一课时练习）设()()a AB CD BC DA =+++，b 是任一非零向量，则在下列结论中:①//a b r r；②a b a +=；③a b b +=；④a b a b +<+；⑤a b a b +=+.正确结论的序号是（）A ．①⑤B ．②④⑤C ．③⑤D ．①③⑤33．（2021·山东枣庄·高一期中）已知点G 是三角形ABC 所在平面内一点，满足0GA GB GC ++=，则G 点是三角形ABC 的（）A ．垂心B ．内心C ．外心D ．重心34．（2021·全国·高一课时练习）下列命题中正确的是（）A ．如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么a b +的方向必与a ，b 之一的方向相同B ．在ABC 中，必有0AB BC CA ++=C ．若0AB BC CA ++=，则A ，B ，C 为一个三角形的三个顶点D ．若a ，b 均为非零向量，则||a b +与||||a b +一定相等35．（2021·福建·莆田第二十五中学高一期中）如图，已知OA a =，OB b =，OC c =，2AB BC =，则下列等式中成立的是（）A ．2c a b =-B ．2=-c b aC ．3122c b a =-D ．3122c a b =-36．（2021·安徽·六安市裕安区新安中学高一期中）在平行四边形ABCD 中，14AE AC =，设AB a =，BC b =，则向量DE =uuu r （）A ．1344a b-B ．3144a b-C ．2133a b-D ．1233a b-37．（2021·湖南·高一阶段练习）在ABC 中，点E ，F 在边AB 上，且E ，F 为AB 边上的三等分点（其中E 为靠近点A 的三等分点），且CE mCB nCA =+，则（）A ．23m =，13n =-B ．13m =，23n =C ．23m =，13n =D ．13m =，23n =-38．（2021·全国·高一课时练习）（多选）下列结论中错误的是（）A ．两个向量的和仍是一个向量B ．向量a 与b 的和是以a 的始点为始点，以b 的终点为终点的向量C ．0a a+=D ．向量a 与b 都是单位向量，则||2a b +=r r 39．（2021·广东·江门市新会第二中学高一阶段练习）下列各式结果为零向量的有（）A ．AB CA BC→→→++B ．AB AC BD CD+++C ．OA OD AD-+D ．NQ QP MN MP++-40．（2021·广东·南方科技大学附属中学高一期中）已知点D ，E ，F 分别是ABC 的边,,AB BC AC 的中点，则下列等式中正确的是（）A ．FD DA FA +=B ．0FD DE EF ++=C ．DE DA EC+=D ．DA DE FD+=41．（2021·江苏·南京二十七中高一期中）已知OD OE OM +=，则下列结论正确的是（）A ．OD EO OM +=B ．OM DO OE +=C ．OM OE OD-=D ．DO EO MO+=42．（2021·广东·洛城中学高一阶段练习）化简以下各式，结果为0的有（）A ．AB BC CA ++B ．AB AC BD CD -+-C ．OA OD AD-+D ．NQ QP MN MP++-43．（2021·福建·永安市第三中学高中校高一阶段练习）下列命题中,正确的命题为（）A ．对于向量,a b ，若||||a b =，则a b =或=-a bB ．若e 为单位向量，且a //e ，则||a a e =±C ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线D ．四边形ABCD 中，AB CD AD CB+=+uu u r uu u r uuu r uu r 二：填空题44．（2021·全国·高一课时练习）已知平面内三个不同的点A 、B 、C ，则“A 、B 、C 是一个三角形的三个顶点”是“0AB BC AC ++=”的___________条件.（填“充分不必要”、“必要不充分”或“充要”）45．（2021·全国·高一课时练习）已知下列各式：①AB BC CA ++；②()AB MB BO OM +++；③OA OC BO CO +++；④AB CA BD DC +++.其中结果为0的是____.(填序号)46．（2021·全国·高一课时练习）在ABC 中，D 是BC 的中点．若AB c =，AC b =，BD a =，d AD =，则下列结论中成立的是________．（填序号）①d a b -=；（2）d a b -=-；③d a c -=；④d a c -=-．47．（2021·全国·高一课时练习）如图，在正六边形ABCDEF 中，与OA OC CD -+相等的向量有__.①CF ；②AD ；③BE ；④DE FE CD -+；⑤CE BC +；⑥CA CD -；⑦AB AE +.三：解答题48．（2021·全国·高一课时练习）化简．（1）AB CD BC DA +++．（2）()()AB MB BO BC OM ++++．49．（2021·上海·高一课时练习）向量,,,,a b c d e r r r u r r 如图所示，据图解答下列问题：（1）用,,a d e 表示DB ；（2）用,b c 表示DB ；（3）用,,a b e 表示EC ；（4）用,d c 表示EC .50．（2021·全国·高一课时练习）化简：（1）AB BC CA ++；（2） ()AB MB BO OM +++；（3）OA OC BO CO +++；（4）AB AC BD CD -+-；（5）OA OD AD -+；（6）AB AD DC --；（7）NQ QP MN MP ++-.51．（2021·全国·高一课时练习）如图，四边形OADB 是以向量OA a =，OB b =为边的平行四边形，又13BM BC =，13CN CD =，试用a 、b 表示OM 、ON 、MN .【答案详解】【详解】由向量加法的三角形法则，a +b +c 如图，2．作图见解析，BA a b=-【分析】利用向量的加法法则求解.【详解】如图，在平面内任取一点O ，作OA a =，OB b =．因为OB BA OA +=，即b BA a +=，所以BA a b =-．3．（1）答案见解析（2）答案见解析（3）答案见解析【分析】利用向量加法的三角形法则或平行四边形法则进行求解﹒（1）因为四边形OABC 是以OA ，OC 为邻边的平行四边形，OB 为其对角线，所以OA OC OB +=uu r uuu r uu u r ．（2）因为BC 与FE 方向相同且长度相等，所以BC 与FE 是相同的向量，从而BC FE +与BC 方向相同，长度为BC 长度的2倍，因此，BC FE +可用AD 表示，即BC FE AD +=．（3）因为OA 与FE 是一对相反向量，所以0OA FE +=．4．A【分析】根据向量的线性运算求解即可.【详解】由AB CB BD BE DC AC CB BE AE →→++++=++=,故选：A5．B【分析】利用向量加法的三角形法则以及向量加法的交换律即可求解.【详解】OA BC AB DO DO OA AB BC DC =++++=++.故选：B6．D【分析】根据向量的加法运算即可得到结果.【详解】()()()()AB PB BO BM OP AB BM PB BO OP AM++++=++++=故选：D7．A【分析】根据平面向量的线性运算法则计算可得；【详解】解：D Q ，E ，F 分别是ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，∴12AD AB =，12BE BC =，12CF CA =，则1111()02222AD BE CF CA AB CA CA AB CA ++=++=++=，故A 正确；()1111122222BD CF DF BA CA BA CA BA BC BC ++=++=++=，故B 错误；()1111122222AD CE CF AB CB CA CA AB CB CB ++=++=++=，故C 错误；()1111122222BD BE FC BA BC AC BA AC BC BC ++=++=++=，故D 错误；故选：A ．8．A【分析】根据相等向量和向量加法运算直接计算即可.【详解】CD AF =，∴0BA CD FB BA AF FB ++==++.故选：A.9．B【分析】根据平行四边形的性质，利用向量加法的几何意义有BE BC CE =+，即可得到BE 与a 、b 的线性关系.【详解】由题设，AB DC a ==，则12EC a =，又AD BC b ==uuu r uu u r r ，∴12BE BC CE b a =+=-.故选：B10．B【分析】首先根据题意得到四边形ABCD 是平行四边形，从而得到OB 与OD uuu r 为相反向量.【详解】因为AD BC =，所以四边形ABCD 是平行四边形，所以AC ，BD 互相平分，所以OB OD =-，即OB 与OD uuu r 为相反向量.故选：B11．B【分析】根据题意，由向量的加法可得：EF EA AB BF =++和 EF ED DC CF =++，两个式子相加，化简即可得到答案.【详解】在任意四边形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，设,AB a CD b ==，则EF EA AB BF =++,同时有 EF ED DC CF =++，则有2 EF EA ED AB DC BF CF =+++++,因为E 、F 分别为AD,BC 的中点，则0, 0EA ED BF CF +=+=则有2a b EF -=.故选:B.12．C【分析】根据向量的定义判断．【详解】b 是a 的负向量，即b a =-，因此它们的长度相等，方向相反，即共线（平行），a 也是b 的负向量，但a 与b 一般不相等（只有它们为零向量时相等）．错误的C ．故选：C ．13．见解析【分析】利用向量减法的三角形法则即可求解.【详解】由向量减法的三角形法则，令,a OA b OB →→→==,则a b OA OB BA →→→→→-=-=,令c BC →→=,所以a b c BA BC CA →→→--=-=.如下图中CA →即为a b c --.14．证明见解析【分析】利用向量的加法法则和向量相等求解.【详解】证明：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以DA CB =．因为b c DA OC OC CB OB +=+=+=，OA a OA AB OB +=+=，所以b c OA a +=+，即b c a OA +-=．15．（1）c a→→-（2）d a→→-（3）d b→→-（4）b a f c→→→→-+-（5）f d→→-【分析】由向量减法法则依次计算即可得出各小问的结果.（1）AC OC OA c a →→→→=-=-.（2）AD OD OA d a →→→→=-=-.（3）AD AB BD OD OB d b →→→→→-==-=-.（4）AB CF OB OA OF OC b a f c →→→→→→→→+=-+-=-+-.（5）BF BD DF OF OD f d →→→→→-==-=-.16．C【分析】利用平面向量的加法，减法，数乘运算及其运算律判断.【详解】①()326a a -⋅=-，由数乘运算知正确；②()()223a b b a a +--=，由向量的运算律知正确；③()()220a b b a +-+=，向量的加法，减法和数乘运算结果是向量，故错误.故选：C17．C【分析】根据平面向量的线性运算法则，用AB ，AC ,表示出AD 即可.【详解】()112121333333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC a b =+=+=+-=+=+.故选：C18．B【分析】根据题意作出图形，将AM 用a 、b 的表达式加以表示，再利用平面向量的减法法则可得出结果.【详解】解：由题意作出图形：在平行四边形ABCD 中，M 为BC 的中点，则12AM AB BM a b =+=+又N 为线段AB 上靠近A 的三等分点，则1133AN AB a ==11212332NM AM AN a b a a b ∴=-=+-=+故选：B19．C【分析】根据方向相反的两个向量的和或差的运算逐一判断.【详解】A.a b -可能等于零，大于零，小于零，0a b a b -=+>，A 不成立B.a b a b +=-r r r r ，a b a b -=+，B 不成立C.a b a b -=+，C 成立D.a b a b a b +=-≠+，D 不成立.故选：C.20．A【分析】根据向量的线性运算即可求出．【详解】因为AB a =，BC b =，AC c =，所以0a b c AB BC AC AC AC +-=+-=-=．故选：A ．21．D【分析】根据平面向量的加减法法则结合图形即可得到答案.【详解】如图，BD BC CD AC AB CD b a c →→→→→→→→→=+=-+=-+.故选：D.22．B【分析】根据向量的加减运算法则计算，逐一判断①②③④的正确性，即可得正确答案.【详解】对于①：0AB BC CA AC CA ++=+=，对于②：()AB MB BO OM AB BO OM MB AM MB AB +++=+++=+=uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r uu u r uuu r uuu r uuu r uuu r uu u r，对于③：()()0OA OC BO CO BO OA CO OC BA BA +++=+++=+=，对于④：()()0AB CA BD DC AB BD DC CA AD DA +++=+++=+=，所以结果为0的个数是2，故选：B23．C【分析】结合向量的加法法则运算即可.【详解】AD ＝AB ＋BC ＋CD ＝8a -2b -＝()24a b --＝2BC ．故选：C24．C【分析】根据相反向量的定义逐项判断即可．【详解】解：由平行向量的定义可知A 项正确；因为a 和b 的方向相反，所以a b ≠，故B 项正确；由相反向量的定义可知a b =-，故选D 项正确；由相反向量的定义知||||a b =，故C 项错误；故选：C ．25．B【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得；【详解】对于A ：AB CB AB DA DB +=+=，故A 错误；对于B ：AB AD AC +=，故B 正确；对于C ：A B AD CD D B A D +=+=，故C 错误；对于D ：0AO CO OB OD +++=，故D 错误；故选：B26．D【分析】由向量加减法法则计算各选项，即可得结论．【详解】A 项中，()()AB PA BQ AB BQ AP AQ AP PQ ++=+-=-=；B 项中，()()()()AB PC BA QC AB AB PC CQ PQ ++-=-++=；C 项中，QC CQ QP QP PQ +-=-=；D 项中，PA AB BQ PB BQ PQ +-=-≠.故选：D.27．D【分析】由图形可得EF CB OB OC ==-，从而可得正确的选项.【详解】EF CB OB OC b c -=-==，故选：D.28．C【分析】利用向量加减法的运算性质，转化各项表达式即可知正误.【详解】由向量加减法的运算性质知：①0a a -=-；②()a a --=；③()0a a +-=；④0a a +=；⑤()a b a b -=+-，正确；⑥()2a a a a a --=+=，错误.故选：C29．A【分析】根据向量加法和减法的运算法则结合图像逐一运算即可得出答案.【详解】解：0AD BE CF DB BE ED DE ED ++=++=+=，故A 正确；BD CF DF BD FC DF BC -+=++=，故B 错误；AD CE CF AD FE AD DB AB +-=+=+=，故C 错误；2BD BE FC ED FC ED DE ED --=-=-=，故D 错误.故选：A.30．A【分析】利用向量加减法公式，化简已知条件，即可判断结果.【详解】由条件可知()3AC AB AC AD -=-，得1233AD AB AC =+.故选：A31．B【分析】利用向量加法和减法计算即可求解.【详解】()1122BE AE AB AD AB AC CD AB =-=-=+-()11112323AC CB AB AC AB AC AB ⎛⎫⎡⎤=+-=+-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1211523336AC AB AB AC AB ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，故选：B.32．D【分析】根据向量线性运算可确定a 为零向量，由此可判断得到结果.【详解】()()()()0a AB CD BC DA AB BC CD DA AC CA =+++=+++=+=，又b 是任一非零向量，//a b ∴，a b b +=，a b a b +=+，∴①③⑤正确.故选：D.33．D【分析】由题易得GA GB CG +=，以GA 、GB 为邻边作平行四边形GADB ，连接GD ，交AB 于点O ，进而可得CG GD =，进而可得13GO CO =，所以CG 所在的直线CO 是AB 边上的中线，同理可证AG 所在的直线是BC 边上的中线，BG 所在的直线是AC 边上的中线，最后得出答案即可.【详解】因为0GA GB GC ++=，所以GA GB GC CG +=-=，以GA ､GB 为邻边作平行四边形GADB ，连接GD ，交AB 于点O ，如图所示：则CG GD =，所以13GO CO =，点O 是AB 边的中点，所以CG 所在的直线CO 是AB 边上的中线，同理可证AG 所在的直线是BC 边上的中线，BG 所在的直线是AC 边上的中线，所以G 点是三角形ABC 的重心.故选：D .34．B【分析】根据向量的线性运算法则，逐一分析各个选项，即可得答案.【详解】对于A ：当a 与b 为相反向量时，0a b +=，方向任意，故A 错误；对于B ：在ABC 中，0AB BC CA ++=，故B 正确；对于C ：当A 、B 、C 三点共线时，满足0AB BC CA ++=，但不能构成三角形，故C 错误；对于D ：若a ，b 均为非零向量，则a b a b +≤+，当且仅当a 与b 同向时等号成立，故D 错误.故选：B35．C【分析】结合图形，利用向量加，减法，计算向量.【详解】2AB BC =，()2OB OA OC OB ∴-=-，得3122OC OB OA =-，即3122c b a =-r r r .故选：C36．A【分析】利用向量的加、减法法则计算即可.【详解】解：()()1111344444DE AE AD AC BC AB BC BC a b b a b =-=-=+-=+-=-.故选：A.37．B【分析】利用向量的加法、减法线性运算即可求解.【详解】()22123333CE CB BE CB BA CB CA CB CB CA ==+=++-=+，所以13m =，23n =.故选：B38．BD【分析】根据向量的相关概念，对选项逐一判断即可.【详解】两个向量的和差运算结果都是是一个向量，所以A 正确；两个向量的加法遵循三角形法则，只有当,a b 首尾相连时才成立，故B 错误；任何向量与0相加都得其本身，故C 正确；两个单位向量的方向没有确定，当它们方向相同时才成立，故D 错误；故选：BD39．ACD【分析】根据平面向量的线性运算逐个求解即可【详解】对A ，0AB CA BC CA AB BC CB BC ++=++=+=，故A 正确；对B ，()()2AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD AD +++=+++=+=，故B 错误；对C ，0OA OD AD DA AD -+=+=，故C 正确；对D ，0NQ QP MN MP NP PN ++-=+=，故D 正确；故选：ACD【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算，属于基础题40．ABC【分析】根据向量线性运算确定正确选项.【详解】对于A 选项，FD DA FA +=，正确；对于B 选项，0FD DE EF FE EF ++=+=，正确；对于C 选项，根据向量加法的平行四边形法则可知DE DA DF EC =+=，正确；对于D 选项，DA DE DF FD +=≠，所以D 错误.故选：ABC41．BCD【分析】根据向量的线性运算，逐项变形移项即可得解.【详解】根据复数的线性运算，对A ，化简为OD EO ED +=，错误；对B ，即OM OD OE -=，即OD OE OM +=，正确；对C ，对OM OE OD -=移项可得OD OE OM +=，正确；对D ，由OD OE OM --=-，移项即OD OE OM +=，正确；故选：BCD42．ABCD【分析】根据向量的加减运算法则分别判断.【详解】0AB BC CA ++=，0AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD -+-=+--=-=，0OA OD AD OA AD OD -+=+-=，0NQ QP MN MP NP PN ++-=+=.所以选项全正确.故选：ABCD43．BD【分析】直接利用向量的线性运算，向量的共线，单位向量的应用判断A 、B 、C 、D 的结论．【详解】对于A ：对于向量,a b ，若||||a b =，则a 与b 不存在关系，故A 错误；对于B ：若e 为单位向量，且//a e ，则||a a e =±，故B 正确；对于C ：若a 与b 共线，b 与c 共线，且0b ≠，则a 与c 共线，当=0b ，则a 与c 不一定共线，故C 错误；对于D ：四边形ABCD 中，AB CD AD CB +=+uu u r uu u r uuu r uu r ，整理得AB AD CB CD DB -=-=，故D 正确；故选：BD ．44．充分不必要【分析】利用向量加法的三角形法则结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】充分性：若A 、B 、C 是一个三角形的三个顶点，由平面向量加法的三角形法则可得出0AB BC AC ++=，充分性成立；必要性：若A 、B 、C 三点共线，则0AB BC AC ++=成立，此时A 、B 、C 不能构成三角形，必要性不成立.因此，“A 、B 、C 是一个三角形的三个顶点”是“0AB BC AC ++=”的充分不必要条件.故答案为：充分不必要.45．①④【分析】利用向量加法的运算法则化简各项向量的线性表达式，即可确定结果是否为0.【详解】①0AB BC CA AC CA ++=+=uu u r uu u r uu r uuu r uu r r ;②()()()0AB MB BO OM AB BO OM MB AO OB AB +++=+++=+=≠;③0OA OC BO CO OA BO BA +++=+=≠;④()()0AB CA BD DC CA AB BD DC CB BC +++=+++=+=.故答案为：①④.46．③【分析】根据平面向量的加减法判断即可.【详解】d a AD BD AB c -=-==，故③成立；故答案为：③47．①④【分析】根据向量加减法运算可化简OA OC CD -+为CF ，根据相等向量的定义依次判断各个选项即可得到结果.【详解】四边形ACDF 是平行四边形，OA OC CD CA CD CF ∴-+=+=，①正确；AD 与CF 方向不同，②错误；BE 与CF 方向不同，③错误；DE FE CD CE FE CE EF CF -+=-=+=，④正确；CE BC CE CB BE +=-=，⑤错误；CA CD DA -=与CF 方向不同，⑥错误；四边形ABDE 为平行四边形，AB AE AD ∴+=，⑦错误.故答案为：①④.48．（1）0；（2）AC .【分析】（1）利用平面向量加法的三角形法则化简可得所求代数式的结果；（2）利用平面向量加法的三角形法则化简可得所求代数式的结果.【详解】（1）0AB CD BC DA AB BC CD DA +++=+++=；（2）()()AB MB BO BC OM AB BO OM MB BC AC ++++=++++=.49．（1）DB d e a =++uu u r u r r r ；（2）DB b c =--uu u r r r ；（3）EC e a b =++uu u r r r r ；（4）EC c d =--uu u r r u r .【分析】利用向量的加法法则、减法法则运算即可【详解】由图知,,,,AB a BC b CD c DE d EA e =====,（1）DB DE EA AB d e a =++=++；（2）DB CB CD BC CD b c =-=--=--；（3）EC EA AB BC e a b =++=++；（4）()EC CE CD DE c d=-=-+=--50．（1）0.（2）AB （3）BA .（4）0（5）0（6）CB .（7）0解：（1）原式0AC AC =-=.（2）原式AB BO OM MB AB=+++=（3）原式OA OC OB OC BA =+--=.（4）原式0AB BD DC CA =+++=（5）原式0OA AD DO =++=（6）原式()AB AD DC AB AC CB =-+=-=.（7）原式0MN NQ QP PM =+++=【点睛】本题考查了平面向量的加法与减法的运算问题，属于基础题.51．解：13BM BC =，BC CA =，16BM BA ∴=，∴111()()666BM BA OA OB a b ==-=-．∴()115666OM OB BM b a b a b =+=+-=+．13CN CD =，CD OC =，∴2222()3333ON OC CN OD OA OB a b =+==+=+．∴221511336626MN ON OM a b a b a b =-=+--=-．。
高中数学 必修2(人教版)6.2.4向量的数量积
4．若|a|＝6 ________．
3 ，|b|＝1，a·b＝－9，则a与b的夹角是
解析：设a与b的夹角为θ
∵a·b＝|a||b|cos θ
∴cos
θ＝|aa|·|bb|＝6
－3×9 1＝－
3 2
又θ∈[0，π]，∴θ＝56π
答案：56π
题型一 向量数量积的计算及其几何意义——自主完成 1．已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝( ) A．4 B．3 C．2 D．0
→a ·→b |→a ||→b |
求解．
微点2 已知两向量的夹角求相关参数的值 例3 已知两个向量a，b的夹角为30°，|a|＝ 量，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，则t＝________.
3 ，b为单位向
解析：因为向量a，b的夹角为30°，|a|＝ 3，b为单位向量，
所以a·b＝|a||b|cos 30°＝ 3×1× 23＝32， 由于c＝ta＋(1－t)b，b·c＝0，则ta·b＋(1－t)b2＝0， 即32t＋1－t＝0，解得t＝－2. 答案：－2
2．已知单位向量a，b的夹角为60°，则a·b＝( )
1
3
A.2 B. 2
C．1 D．－12
解析：由向量的数量积公式a·b＝|a||b|cos θ＝1×1×12＝12.
答案：A
3．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|＝ ()
A. 7 B. 10 C. 13 D．4
解析：|a＋3b|2＝a2＋6a·b＋9b2 ＝1＋6×cos 60°＋9＝13，所以|a＋3b|＝ 13. 答案：C
解析：a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2×1－(－1)＝3. 答案：B
新课标人教A版高中数学必修2知识点总结(完整版)
高中数学必修2知识点总结第一章 空间几何体1.1柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示：用各顶点字母，如五棱柱'''''E D C B A ABCDE -或用对角线的端点字母，如五棱柱'AD几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
（2）棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各顶点字母，如五棱锥'''''E D C B A P -几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。
（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示：用各顶点字母，如五棱台'''''E D C B A P -几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。
（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。
（6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。
最新人教版高中数学必修2第三章《两条平行直线间的距离》
3．3.4 两条平行直线间的距离1．掌握两条平行直线间距离的定义．2．会求两条平行直线间的距离．两条平行直线间的距离(1)定义：夹在两条平行直线间__________的长叫做这两条平行直线间的距离．(2)求法：转化为求__________的距离，即在其中任意一条直线上任取一点，这点到另一条直线的距离就是这两条平行直线间的距离．【做一做】 两条平行直线x ＋y ＋2＝0与x ＋y －3＝0的距离等于( ) A.52 2 B.22 C ．5 2 D. 2答案：(1)公垂线段 (2)点到直线【做一做】 A两条平行直线间的距离公式剖析：对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.当直线l 1∥l 2时，它们的方程可以化为以下形式：直线l 1：A x ＋B y ＋D 1＝0，直线l 2：A x ＋B y ＋D 2＝0. 在直线l 1上任取一点P(x 0，y 0)，则有l 1：A x 0＋B y 0＋D 1＝0，即A x 0＋B y 0＝－D 1.所以点P 到直线l 2的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋D 2|A 2＋B 2＝|－D 1＋D 2|A 2＋B 2＝|D 1－D 2|A 2＋B 2， 即直线l 1，l 2的距离d ＝|D 1－D 2|A 2＋B 2.(1)使用两条平行直线间的距离公式的前提条件：①把直线方程化为直线的一般式方程；②两条直线方程中x ，y 系数必须分别相等．(2)求两条平行直线间的距离通常转化为其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离，且两条平行线间距离与其中一条直线上点的选取无关．(3)当两条直线都与x 轴(或y 轴)垂直时，可利用数形结合方法来解决．①两条直线都与x 轴垂直时，l 1：x ＝x 1，l 2：x ＝x 2，则两条平行直线间的距离d ＝|x 2－x 1|；②两条直线都与y 轴垂直时，l 1：y ＝y 1，l 2：y ＝y 2，则两条平行直线间的距离d ＝|y 2－y 1|.题型一：求两条平行线间的距离【例1】 求两条平行线l 1：3x ＋4y －5＝0和l 2：6x ＋8y －9＝0间的距离．反思：求两条平行直线间距离有两种思路：①利用“化归”思想将两条平行直线间的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离．由于这种求法与点的选择无关，因此，选点时，常选取一个特殊点，如直线与坐标轴的交点等，以便于运算，如本题解法一．②利用两条平行直线间的距离公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2，如本题解法二． 题型二：两条平行直线间距离公式的应用【例2】 平行于直线x －3y ＝0，且与其距离为3的直线l 的方程是__________． 反思：求平行于直线A x ＋B y ＋C ＝0的直线方程时，常设为A x ＋B y ＋m ＝0(m ≠C)，利用待定系数法来解决．有关平行直线间距离问题，常利用两条平行直线间的距离公式列出方程来解决．题型三：易错辨析易错点 利用两条平行直线间的距离公式求距离时，常忽略方程的系数【例3】 求两条平行直线l 1：3x ＋4y ＋2＝0，l 2：12x ＋16y －8＝0之间的距离．错解：d ＝|2－(－8)|32＋42＝105＝2. 错因分析：错解中，没有把l 2的方程化为3x ＋4y ＋m ＝0的形式，导致出错．反思：使用两条平行线间的距离公式求距离时，应把直线方程化为一般式，同时要使两个直线方程中x ，y 的系数对应相等．答案：【例1】 解：解法一：在直线l 1：3x ＋4y －5＝0上任取一点，不妨取点P (0，54)， 则点P 到直线l 2：6x ＋8y －9＝0的距离即为两条平行直线间的距离．因此d ＝|0×6＋8×54－9|62＋82＝110. 解法二：把l 2：6x ＋8y －9＝0化为3x ＋4y －92＝0， 由两条平行直线间的距离公式，得d ＝|－5－(－92)|32＋42＝110. 【例2】 x －3y ＋6＝0或x －3y －6＝0【例3】 正解：l 2：12x ＋16y －8＝0可化为3x ＋4y －2＝0，根据两条平行线间的距离公式，可得d ＝|2－(－2)|32＋42＝45.1．直线46x y -＝1与y ＝32x ＋1之间的距离为( )A.13B.13C.2D．242．平行直线x－y＝0与x－y＋m＝0，则实数m＝__________.3．直线l与两条平行直线l1：x－3y＋1＝0，直线l2：x－3y＋5＝0的距离相等，则直线l的方程是__________．4．两条平行线3x＋4y＋5＝0与6x＋a y＋30＝0间的距离为d，则a＋d＝__________.5．求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线方程．答案：1．B 2.±2 3.x－3y＋3＝0 4.105．解：设所求直线的方程为5x－12y＋m＝0(m≠6)，由两条直线的距离为2＝2.则m＝32或m＝－20，故所求直线方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0.。
最新人教版高中数学必修2第四章《直线与圆的位置关系》
4．2.1 直线与圆的位置关系1．知道直线与圆的位置关系的分类．2．能根据方程，判断直线和圆的位置关系． 3．能够解决有关直线和圆的位置关系的问题．直线A x ＋B y ＋C ＝0与圆(x －a)2＋(y －b)2＝r 2的位置关系及判断【做一做】 直线3x ＋4y ＋12＝0与圆(x －1)＋(y ＋1)＝9的位置关系是( ) A ．过圆心 B ．相切 C ．相离 D ．相交答案：两 一 零 ＜ ＝ ＞ ＞ ＝ ＜ 【做一做】 D代数法与几何法的比较剖析：代数法的运算量较大，几何法的运算量较小，并且也简单、直观．受思维定式的影响，看到方程就想解方程组，自然就想到代数法．【例】 若直线4x －3y ＋a ＝0与圆x 2＋y 2＝100：①相交；②相切；③相离，试分别求实数a 的取值范围．解法一：(代数法)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y ＋a ＝0，x 2＋y 2＝100，消去y ，得25x 2＋8a x ＋a 2－900＝0.则Δ＝(8a)2－4×25(a 2－900)＝－36a 2＋90 000.①当直线和圆相交时，Δ＞0，即－36a 2＋90 000＞0，解得－50＜a ＜50； ②当直线和圆相切时，Δ＝0，解得a ＝50或a ＝－50； ③当直线和圆相离时，Δ＜0，解得a ＜－50或a ＞50. 解法二：(几何法)圆x 2＋y 2＝100的圆心为(0,0)，半径r ＝10，则圆心到直线4x －3y ＋a ＝0的距离d ＝|a|32＋42＝|a|5.①当直线和圆相交时，d<r ，即|a|5<10，所以－50＜a ＜50；②当直线和圆相切时，d ＝r ，即|a|5＝10，所以a ＝50或a ＝－50；③当直线和圆相离时，d>r ，即|a|5>10，所以a ＜－50或a ＞50.处理直线与圆的位置关系的代数法和几何法，都具有普遍性，都要熟练掌握．由这两种解法可看到，几何法比代数法运算量要小，也比较简单、直观．题型一：直线与圆的相交问题【例1】 过点(－4,0)作直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y －20＝0交于A ，B 两点，如果|AB|＝8，求直线l 的方程．反思：(1)讨论直线与圆的相交问题时，通常情况下不求出交点坐标．利用半径、半弦和弦心距组成的直角三角形，由勾股定理能解决弦长问题．(2)解答本题时易出现漏掉x ＋4＝0的错误结果，导致这种错误的原因是对直线点斜式方程存在的条件理解不透，从而思维不严密，分类不完整．题型二：直线与圆的相切问题【例2】 求经过点(1，－7)且与圆x 2＋y 2＝25相切的直线方程．反思：解决直线与圆的相切问题时，通常利用圆心到切线的距离等于半径来解决．答案：【例1】 解：将圆的方程配方得(x ＋1)2＋(y －2)2＝25，由圆的性质可得，圆心到直线l 的距离d ＝(25)2－⎝⎛⎭⎫822＝3.当l 的斜率不存在时，x ＝－4满足题意．当l 的斜率存在时，设方程为y ＝k (x ＋4)，即kx －y ＋4k ＝0.由点到直线的距离公式，得3＝|－k －2＋4k |1＋k 2，解得k ＝－512.所以直线l 的方程为5x ＋12y ＋20＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＋4＝0或5x ＋12y ＋20＝0.【例2】 解：(1)当直线斜率不存在时，其方程为x ＝1，不与圆相切；(2)当直线斜率存在时，设斜率为k ，则切线方程为y ＋7＝k (x －1)，即kx －y －k －7＝0.∴|－k －7|k 2＋(－1)2＝5，解得k ＝43或k ＝－34.∴所求切线方程为y ＋7＝43(x －1)或y ＋7＝－34(x －1)，即4x －3y －25＝0或3x ＋4y ＋25＝0.1．(2011·山东济南一模)若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1D ．(x －3)2＋(y －1)2＝1 2．圆x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0截直线5x －12y ＋c ＝0所得的弦长为8，则c 的值是( ) A ．10 B ．10或－68 C ．5或－34 D ．－683．直线l：3x－4y－5＝0被圆x2＋y2＝5所截得的弦长为__________．4．(2011·北京丰台高三期末)过点(－3,4)且与圆(x－1)2＋(y－1)2＝25相切的直线方程为__________．5．已知一个圆C与y轴相切，圆心C在直线l1：x－3y＝0上，且在直线l2：x－y＝0上截得的弦长为C的方程．答案：1．A 2.B 3.4 4.4x－3y＋24＝05．解：∵圆心C在直线l1：x－3y＝0上，∴可设圆心为C(3t，t)．又∵圆C与y轴相切，∴圆的半径为r＝|3t|.再由弦心距、半径、弦长的一半组成的直角三角形，可得2＋2＝|3t|2，解得t＝±1.∴圆心为(3,1)或(－3，－1)，半径为3.故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.。
人教版高中数学必修2全册教案(K12教育文档)
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人教版高中数学必修2全册教案(word版可编辑修改)按住Ctrl键单击鼠标打开教学视频动画全册播放人教版数学必修二第一章空间几何体重难点解析第一章课文目录1．1 空间几何体的结构1．2 空间几何体的三视图和直观图1．3 空间几何体的表面积与体积重难点：1、让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。
2、画出简单组合体的三视图。
3、用斜二测画法画空间几何值的直观图。
4、柱体、锥体、台体的表面积和体积计算，台体体积公式的推导。
5、了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。
知识结构：度量一、空间几何体的结构、三视图和直观图1．柱、锥、台、球的结构特征（1）柱棱柱:一般的，有两个面互相平行，其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱；棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称为底；其余各面叫做棱柱的侧面;相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。
底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面;无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线.棱柱与圆柱统称为柱体；（2）锥棱锥:一般的有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥;这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面;各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。
电子版高一数学教案(优秀6篇)
电子版高一数学教案(优秀6篇)电子版高一数学教案篇1一、教材首先谈谈我对教材的理解，《两条直线平行与垂直的判定》是人教A版高中数学必修2第三章3.1.2的内容，本节课的内容是两条直线平行与垂直的判定的推导及其应用，学生对于直线平行和垂直的概念已经十分熟悉，并且在上节课学习了直线的倾斜角与斜率，为本节课的学习打下了基础。
二、学情教材是我们教学的工具，是载体。
但我们的教学是要面向学生的，高中学生本身身心已经趋于成熟，管理与教学难度较大，那么为了能够成为一个合格的高中教师，深入了解所面对的学生可以说是必修课。
本阶段的学生思维能力已经非常成熟，能够有自己独立的思考，所以应该积极发挥这种优势，让学生独立思考探索。
三、教学目标根据以上对教材的分析以及对学情的把握，我制定了如下三维教学目标：(一)知识与技能掌握两条直线平行与垂直的判定，能够根据其判定两条直线的位置关系。
(二)过程与方法在经历两条直线平行与垂直的判定过程中，提升逻辑推理能力。
(三)情感态度价值观在猜想论证的过程中，体会数学的严谨性。
四、教学重难点我认为一节好的数学课，从教学内容上说一定要突出重点、突破难点。
而教学重点的确立与我本节课的内容肯定是密不可分的。
那么根据授课内容可以确定本节课的教学重点是：两条直线平行与垂直的判定。
本节课的教学难点是：两条直线平行与垂直的判定的推导。
五、教法和学法现代教学理论认为，在教学过程中，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者，教学的一切活动都必须以强调学生的主动性、积极性为出发点。
根据这一教学理念，结合本节课的内容特点和学生的年龄特征，本节课我采用讲授法、练习法、小组合作等教学方法。
六、教学过程下面我将重点谈谈我对教学过程的设计。
(一)新课导入首先是导入环节，那么我采用复习导入，回顾上节课所学的直线的倾斜角与斜率并顺势提问：能否通过直线的斜率，来判断两条直线的位置关系呢?利用上节课所学的知识进行导入，很好的克服学生的畏难情绪。
人教版高中数学(必修2)全套训练习题含答案
高中数学必修二训练集锦目录：数学2（必修）数学2（必修）第一章：空间几何体[ 基础训练A组] 数学2（必修）第一章：空间几何体[ 综合训练B 组] 数学2（必修）第一章：空间几何体[ 提高训练C 组] 数学2（必修）第二章：点直线平面[ 基础训练A组] 数学2（必修）第二章：点直线平面[ 综合训练B 组] 数学2（必修）第二章：点直线平面[ 提高训练C 组] 数学2（必修）第三章：直线和方程[ 基础训练A组] 数学2（必修）第三章：直线和方程[ 综合训练B 组] 数学2（必修）第三章：直线和方程[ 提高训练C 组] 数学2（必修）第四章：圆和方程[ 基础训练A组] 数学2（必修）第四章：圆和方程[ 综合训练 B 组] 数学 2（必修）第四章：圆和方程 [ 提高训练 C 组]33 3 （ 数 学 2 必 修 ） 第 一 章 空 间 几 何 体[ 基础训练 A 组] 一、选择题1 ． 有 一 个 几 何 体 的 三 视 图 如 下 图 所 示 ， 这 个 几 何 体 应 是 一 个 ()A . 棱 台B . 棱 锥C . 棱 柱 D. 都 不 对主 视 图左 视 图俯 视 图2 ． 棱 长 都 是 1 的 三 棱 锥 的 表 面 积 为 （）A .B .2 C .3 D.43 ． 长 方 体 的 一 个 顶 点 上 三 条 棱 长 分 别 是 3,4 ,5 ， 且 它 的 8 个 顶 点 都 在同 一 球 面 上 ， 则 这 个 球 的 表 面 积 是 （ ）A ． 2 5B ． 5 0C ． 1 2 5D ． 都 不 对4 ． 正 方 体 的 内 切 球 和 外 接 球 的 半 径 之 比 为 （）A ．: 1 B ． : 2C ． 2 :D ． 35 ． 在 △ A B C 中 ， AB 2 , B C 1 . 5 , AB C1 2 0 ,若 使 绕 直 线 B C 旋 转 一 周 ，则 所 形 成 的 几 何 体 的 体 积 是 （ ）9 7 5 3 A .B .C .D.22226 ． 底 面 是 菱 形 的 棱 柱 其 侧 棱 垂 直 于 底 面 ， 且 侧 棱 长 为 5 ， 它 的 对 角 线 的 长分 别 是 9 和 1 5 ， 则 这 个 棱 柱 的 侧 面 积 是 （ ） A ． 1 3 0B ． 1 4 0C ． 1 5 0D ． 1 6 0二、填空题1 ． 一 个 棱 柱 至 少 有 _____ 个 面 ， 面 数 最 少 的 一 个 棱 锥 有 ________个 顶 点 ，顶 点 最 少 的 一 个 棱 台 有________条 侧 棱 。
人教版高中数学必修二第2章2.22.2.3直线与平面平行的性质
223直线与平面平行的性质学习目标1. 了解直线与平面平行的性质定理的探究以及证明过 程.2. 理解直线与平面平行的性质定理的含义并能应用.（重点） 3. 能够综合应用直线与平面平行的判定定理和性质定 理进行线面平行的相互转化.（难点） 自主预习。
播新和 zizHi jyt xi口新知初探I直线与平面平行的性质定理 文字语言一条直线与一个平面平行, 面的交线与该直线平行• 过该直线的任意一个平面与已知平符号语言a // a, a? 3, aA b? a /b 图形语言思考：若a // a b? a,则直线a 一定与直线b 平行吗？［提示］不一定.由a / a,可知直线a 与平面a 无公共点，又b? a,,所以a 与b 无公共点,所以直线a 与直线b 平行或异面.口初试身^□1. 如图，过正方体 ABCD-A'B C 'D 的棱BB '作一平面交平面 CDD'C 于EE : 则BB 与EE 的位置关系是（）核心素养通过学习直线与平面 平行的性质，提升直观 想象、逻辑推理的数学 素养•A .平行B .相交C•异面D .不确定A ［因为BB'// 平面CDD C ；BB 7 平面BB'E'E，平面BB'E^G 平面CDD C=EE 所以BB ' // EE '.］2. 设m、n是平面a外的两条直线，给出以下三个论断：①m// n；②m// a；③n// a以其中两个为条件，余下的一个为结论，构造三个命题，写出你认为正确的一个命题：________ .(用序号表示)①②？③(或①③？②)［设过m的平面B与a交于I •因为m//a,所以m//l，因为m // n，所以n // I，因为n?a, I? a，所以n // a］合作探究。
I星驀养直线与平面平行性质定理的应用［探究问题］1. 直线与平面平行性质定理的条件有哪些?［提示］线面平行的性质定理的条件有三个：(1) 直线a与平面a平行，即a / a；(2) 平面a、B相交于一条直线，即aG b;(3) 直线a在平面B内，即a? B三个条件缺一不可.2. 直线与平面平行的性质定理有什么作用?［提示］定理的作用：(1) 线面平行？线线平行；(2) 画一条直线与已知直线平行.3. 直线与平面平行的判定定理和性质定理有什么联系?［提示］经常利用判定定理证明线面平行，再利用性质定理证明线线平行.【例1】 如图，用平行于四面体 ABCD 的一组对棱AB , CD 的平面截此 四面体•求证：截面 MNPQ 是平行四边形.［证明］ 因为AB //平面 MNPQ ,平面 ABC A 平面 MNPQ = MN ,且 AB?平面 ABC ,所以由线面平行的性质定理,知AB / MN ,同理，AB//PQ ,所以MN // PQ.同理可得 MQ // NP.所以截面MNPQ 为平行四边形.对蕊凍吭 将本例变为：如图所示，四边形 ABCD 是矩形，P ■ 平面ABCD , 过BC 作平面BCFE 交AP 于E ,交DP 于F.［证明］因为四边形ABCD 为矩形,所以BC / AD ,因为AD?平面PAD , BC?平面PAD ,所以BC /平面PAD.因为平面BCFE G 平面FAD = EF ,所以 BC //EF. 求证：四边形因为AD = BC, AD托F,所以BC M EF,所以四边形BCFE是梯形.1.利用线面平行性质定理解题的步骤:2 •证明线线平行的方法：(1) 定义：在同一个平面内没有公共点的两条直线平行.(2) 平行公理：平行于同一条直线的两条直线平行.a //a(3) 线面平行的性质定理：a? B ? a//b,应用时题目条件中需有线面aA b平行.【例2】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且PA=3,点F在棱RA上，且AF = 1,点E在棱PD上，若CE//平面BDF，求PE : ED 的值.B［解］过点E作EG // FD交AP于点G,连接CG,连接AC交BD于点O, 连接FO.因为EG// FD , EG?平面BDF, FD?平面BDF ,所以EG//平面BDF ,又EG A CE= E, CE//平面BDF, EG?平面CGE, CE?平面CGE,所以平面CGE//平面BDF,又CG?平面CGE,所以CG//平面BDF,又平面BDF A平面PAC= FO, CG?平面PAC,所以FO // CG,又O为AC的中点，所以F为AG的中点,所以FG = GP= 1,所以E为PD的中点,PE : ED= 1 : 1.利用线面平行的性质定理计算有关问题的三个关键点：(1) 根据已知线面平行关系推出线线平行关系.(2) 在三角形内利用三角形中位线性质、平行线分线段成比例定理推出有关线段的关系.(3) 利用所得关系计算求值.働跟礙训练I如图所示，在棱长为6的正方体ABCD-A i B i C i D i 中，点E, F 分别是棱C i D i , B i C i 的中点，过A , E , F 三点作该正方体的截面，则截面的周长为 ____________ .6 13+ 3 2 [如图所示，延长EF ，A i B i 相交于点M ，连接AM ，交BB i 于 点H ，连接FH ，延长FE , A i D i 相交于点N ，连接AN 交DD i 于点G ，连接EG ,可得截面五边形AHFEG ,因为几何体ABCD-A i B i C i D i 是棱长为6的正方体，且ii E 、F 分别是棱 C i D i , B i C i 的中点，所以 EF = 3 2,易知 B i M = C i E = QC i D i = 2 A i B i ,又 B i H //AA i ,所以 B i H = iAA i = 2, J 则 BH = 4,易知 AG = AH = 62 + 42= 2 i3, EG = FH =、32 + 22= i3,所以截面的周长为 6 i3+ 3,2]i •在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面, 以便运用线面平行的性质.2 •要灵活应用线线平行、线面平行的相互联系、相互转化•在解决立体几 何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化.转化思想是解决这类问题的 最有效的方法.当堂达标科固观基1 •如图，在三棱锥SABC中，E, F分别是SB SC上的点，且EF //平面ABC，则（）A. EF与BC相交B. EF // BCC. EF与BC异面D. 以上均有可能B ［因为平面SBC n平面ABC= BC,又因为EF //平面ABC，所以EF // BC.］2 .直线a//平面a, a内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有（）A. 0条B . 1条C. 0条或1条 D .无数条C ［过直线a与交点作平面B,设平面B与a交于直线b，则a// b，若所给n 条直线中有1条是与b重合的，则此直线与直线a平行，若没有与b重合的，则与直线a平行的直线有0条.］3. 过正方体ABCD-A1B1C1D1的三顶点A1, C1, B的平面与底面ABCD所在的平面的交线为I，则I与A1C1的位置关系是__________ .平行［因为A1C1 /平面ABCD，A1C1?平面A1C1B，平面ABCD n平面A1C1B= I，由线面平行的性质定理，所以A1C1//IJ4. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D是棱CC1上的一点，P是AD的延长线与A1C1延长线的交点，且PB1//平面BDA1,求证：CD = C1D.［证明］如图，连接AB1与BA1交于点0,连接0D,因为PB i // 平面BDA i, PB i?平面AB i P,平面AB i P n平面BDA i = OD,所以OD // PB i, 又AO= B i O,所以AD = PD,又AC// C i P,所以CD = C i D.。
(完整版)高中数学人教版必修二知识点总结
(完整版)高中数学人教版必修二知识点总
结
高中数学人教版必修二知识点总结
本文档总结了高中数学人教版必修二的知识点，帮助学生进行复和总结。
以下是各个章节的重点内容：
第一章函数与导数
- 函数的概念和性质
- 函数的图像与奇偶性
- 导数的定义和性质
- 函数的单调性与极值
第二章三角函数
- 正弦、余弦、正切函数的定义和性质
- 三角函数的基本关系式
- 三角函数的图像和性质
- 三角恒等式的运用
第三章数列与数学归纳法- 数列的定义和性质
- 数列的通项公式和通项求和- 数学归纳法的原理和应用
第四章二次函数与其应用- 二次函数的定义和性质
- 二次函数的图像和性质
- 二次函数的最值问题
- 二次函数在实际问题中的应用
第五章平面向量
- 向量的定义和运算
- 向量共线与共面的判定
- 向量的数量积和性质
- 向量的应用
第六章概率
- 概率的基本概念和性质
- 随机事件与概率
- 条件概率和乘法定理
- 排列与组合的应用和概率计算
第七章统计与回归分析
- 统计的基本概念和性质
- 数据的收集和整理
- 统计图表的制作和分析
- 回归分析的原理和应用
以上是高中数学人教版必修二的主要知识点总结，希望对学生的复有所帮助。
详细内容以教材为准。
(2019新教材)人教A版高中数学必修第二册：空间点、直线、平面之间的位置关系
■名师点拨 (1)异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件．异面直线 既不相交，也不平行． (2)不能把异面直线误认为分别在不同平面 内的两条直线，如图中，虽然有 a⊂α，b⊂β， 即 a，b 分别在两个不同的平面内，但是因 为 a∩b＝O，所以 a 与 b 不是异面直线．
2．空间中直线与平面的位置关系
2．[变条件]在本例中，若将条件改为平面 α 内有无数条直线与 平面 β 平行，那么平面 α 与平面 β 的关系是什么？ 解：如图，α 内都有无数条直线与平面 β 平行．
由图知，平面 α 与平面 β 可能平行或相交．
3．[变条件]在本例中，若将条件改为平面 α 内的任意一条直线 与平面 β 平行，那么平面 α 与平面 β 的关系是什么？ 解：因为平面 α 内的任意一条直线与平面 β 平行，所以只有这 两个平面平行才能做到，所以平面 α 与平面 β 平行．
平行．( × ) (10)若两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面平行．( × )
异面直线是指( ) A．空间中两条不相交的直线 B．分别位于两个不同平面内的两条直线 C．平面内的一条直线与平面外的一条直线 D．不同在任何一个平面内的两条直线
解析：选 D.对于 A，空间两条不相交的直线有两 种可能，一是平行(共面)，另一个是异面，所以 A 应排除．对于 B，分别位于两个平面内的直线， 既可能平行也可能相交也可能异面，如图，就是 相交的情况，所以 B 应排除．对于 C，如图中的 a，b 可看作是平 面 α 内的一条直线 a 与平面 α 外的一条直线 b，显然它们是相交直 线，所以 C 应排除．只有 D 符合定义．
位置关系
直线 a 在 平面 α 内
直线 a 在平面 α 外
直线 a 与平
直线 a 与
最新新课标人教版高中数学必修2全册导学教案学案同步练习课堂巩固【附答案](可编辑)名师优秀教案
名师优秀教案](https://img.taocdn.com/s3/m/6899ebf1b9f3f90f76c61bb8.png)
新课标人教版高中数学必修2全册导学教案学案同步练习课堂巩固【附答案]（可编辑）新课标人教版高中数学必修2全册导学教案学案同步练习课堂巩固【附答案]第一章立体几何初步一、知识结构二、重点难点重点:空间直线,平面的位置关系。
柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式。
平行、垂直的定义,判定和性质。
难点:柱、锥、台、球的结构特征的概括。
文字语言,图形语言和符号语言的转化。
平行,垂直判定与性质定理证明与应用。
第一课时棱柱、棱锥、棱台【学习导航】知识网络学习要求1.初步理解棱柱、棱锥、棱台的概念。
掌握它们的形成特点。
2.了解棱柱、棱锥、棱台中一些常用名称的含义。
3.了解棱柱、棱锥、棱台这几种几何体简单作图方法4.了解多面体的概念和分类.【课堂互动】自学评价棱柱的定义:表示法:思考:棱柱的特点:.【答】棱锥的定义:表示法:思考:棱锥的特点:.【答】3.棱台的定义:表示法:思考:棱台的特点:.【答】4.多面体的定义:5.多面体的分类:?棱柱的分类?棱锥的分类?棱台的分类【精典范例】例1:设有三个命题: 甲:有两个面平行,其余各面都是平行四边形所围体一定是棱柱; 乙:有一个面是四边形,其余各面都三角形所围成的几何体是棱锥;丙:用一个平行与棱锥底面的平面去截棱锥,得到的几何体叫棱台。
以上各命题中,真命题的个数是 (A)A.0B. 1C. 2D. 3 例2:画一个四棱柱和一个三棱台。
【解】四棱柱的作法:?画上四棱柱的底面----画一个四边形;?画侧棱-----从四边形的每一个顶点画平行且相等的线段;?画下底面------顺次连结这些线段的另一个端点互助参考7页例1?画一个三棱锥,在它的一条侧棱上取一点,从这点开始,顺次在各个侧面画出与底面平行的线段,将多余的线段檫去.互助参考7页例1点评:1被遮挡的线要画成虚线2画台由锥截得思维点拔:解柱、锥、台概念性问题和画图需要:1.准确地理解柱、锥、台的定义2.灵活理解柱、锥、台的特点:例如:棱锥的特点是:?两个底面是全等的多边形;?多边形的对应边互相平行;?棱柱的侧面都是平行四边形。
2019年最新-人教版高中数学必修二直线与圆的位置关系(公式及技巧)
2．已知：如图，PT切⊙O于点T，PA交⊙O于A、B两点且 与直径CT交于点D，CD＝2，AD＝3，BD＝6，则PB＝ ________.
解析：由AD·BD＝CD·TD，得TD＝9，又由
得PB(PB＋9)＝(PB＋6)2－92，则PB＝15. 答案：15
3.如图，已知EB是半圆O的直径，A是BE延长线上一点，AC
解析：∵∠CAE＝∠EAB，∠EAB＝∠ACB， ∴∠ACB＝∠CAE＝∠EAB. 又∵CB⊥AD，∴∠ACB＝∠CAE＝∠EAB＝30°. 又∵AE＝2，∴AB＝ 3,AC2 3,BC＝3. 答案：
6．如图，EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是切点，A、D 是⊙O上两点，如果∠E＝46°，∠DCF＝32°，则∠A 的度数是________．
３，能创编动作表现歌（乐）曲，准 确地唱 歌。
教学重点：用柔和的声音演唱歌曲。
教学难点：能创编动作表现歌曲。
教学准备：录音机，电子琴
教学内容及过程：
一 开始部分：
１ 听音乐问好！
２ 复习歌曲。
３ 复习柯尔文手势。
二 基本部分：
１、表演《布谷》
a 完整地感受歌曲的旋律，课题是学 生跟着 音乐拍 手、拍 腿，感 受歌曲 的节拍 。然后 听歌曲 录音， 用手指 点歌词 ，想一 想哪些 音长？
(1)可利用圆内接四边形对角互补来证明A，P，O，M四 点共圆； (2)利用(1)所得结论即可求得∠OAM＋∠APM的大小．
证明：连结OP，OM，如图(1)所示．因为AP与⊙O相切 于点P，所以OP⊥AP.因为M是⊙O的弦BC的中点，所以 OM⊥BC.于是∠OPA+∠OMA=180°.由圆心O在∠PAC的 内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A，P，O， M四点共圆．
人教版高中数学必修二全册教案(精品)
人教版高中数学必修二全册教案(精品)教案简介本教案为人教版高中数学必修二全册的教学指南，旨在帮助学生更好地掌握数学知识并提升解题能力。
教案内容精选，结构合理，既满足教学要求，又具有一定的趣味性和挑战性。
教案特点- 精心编写：本教案由经验丰富的数学老师团队编写，确保教学内容准确、完整。
- 知识覆盖广：教案覆盖了数学必修二全册的各个章节，包括函数、导数、不等式、平面向量等内容。
- 强调实践操作：教案注重将数学知识与实际问题相结合，引导学生进行实践操作与应用。
- 突出重点难点：教案对各章节的重点难点进行了深入分析与讲解，帮助学生理解掌握关键知识。
- 互动性强：教案设计了多种互动教学方式，激发学生的研究兴趣，提高课堂氛围。
教案结构本教案共分为以下几个部分：1. 教学目标：明确每节课的教学目标，帮助学生知道本节课要学到什么。
2. 教学准备：列出教师在备课过程中需要准备的教学素材和工具。
3. 教学过程：详细描述每个教学环节的具体内容和教学步骤，并给出相应的教学示意图和实例演示。
4. 教学评价：提供一些教学评价的方式和方法，帮助教师对学生的研究情况进行评估。
5. 教学反思：教师对本节课教学效果的总结与反思，为后续教学提供改进措施和建议。
使用建议- 教师可以根据本教案的内容和教学过程，结合自己的教学经验进行灵活调整，以适应学生的实际情况。
- 学生可以通过认真研究本教案的内容，加强对基础知识的掌握，并通过练题提高解题能力。
- 家长可以关注学生在研究过程中的困惑和进步，与学生和教师进行良好的沟通合作，共同促进学生的学业发展。
结语本教案旨在帮助学生更好地学习数学，提高数学解题能力，希望能够为学生的学习提供有价值的帮助。
希望学生和教师能够充分利用本教案，共同努力，取得良好的学业成果。
高中数学必修二(人教版)《6.4.3第一课时 余弦定理》课件
三、创新性——强调创新意识和创新思维
3．某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为113，111，15，则
此人
()
A．不能作出这样的三角形
B．能作出一个锐角三角形
C．能作出一个直角三角形
D．能作出一个钝角三角形
解析：设三角形的三条高所在的三边长分别为 a，b，c，利用三角形面积相 等，得到113a＝111b＝15c，即 a∶b∶c＝13∶11∶5，故三角形三边长可设为 13m,11m,5m，m>0，因为 13m 是三角形中最长的边，设它的对角为 A，由 余弦定理得 cos A＝5m22＋×151mm×21－1m13m2＝－12130<0，所以角 A 为钝角．故此人能作出 一个钝角三角形． 答案:D
(1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元 二次方程求解．
(2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用 余弦定理和三角形内角和定理求其他角．
【对点练清】
1．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a＝3，b＝2，cos(A
＋B)＝13，则 c＝
62＋6＋2 32－4 2×2 6×6＋2 3
32＝ 22，
∵C∈(0，π)，∴C＝π4.∴B＝π－A－C＝π－π6－π4＝172π，∴A＝π6，B＝172
π，C＝π4.
[方法技巧] 已知三角形的三边求角的基本步骤
【对点练清】 1．已知△ABC 中，a∶b∶c＝2∶ 6∶( 3＋1)，求△ABC 中各角的度数．
(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适用于任何三
角形．
(√ )
(2)在△ABC 中，若 a2>b2＋c2，则△ABC 一定为钝角三角形
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高中人教版数学必修2（必备6篇）高中人教版数学必修2 第1篇交集的定义:一般地,由所有属于a且属于b的元素所组成的集合,叫做a,b的交集.记作a∩b(读作"a交b"),即a∩b={x|x∈a,且x∈b}.2,并集的定义:一般地,由所有属于集合a或属于集合b的元素所组成的集合,叫做a,b的并集.记作:a∪b(读作"a并b"),即a∪b={x|x∈a,或x ∈b}.3,交集与并集的性质:a∩a = a, a∩φ= φ, a∩b = b∩a,a∪a = a,a ∪φ= a,a∪b = b∪4,全集与补集(1)补集:设s是一个集合,a是s的一个子集(即),由s中所有不属于a的元素组成的集合,叫做s中子集a的补集(或余集)记作: csa 即 csa ={x (x(s且 x(a}(2)全集:如果集合s含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集.通常用u来表示.(3)性质:⑴cu(c ua)=a ⑵(c ua)∩a=φ⑶(cua)∪a=u高中人教版数学必修2 第2篇两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等，即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+dia=c，b=d。
特殊地，a，b∈R时，a+bi=0a=0，复数相等的充要条件，提供了将复数问题化归为实数问题解决的途径。
复数相等特别提醒：一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。
如果两个复数都是实数，就可以比较大小，也只有当两个复数全是实数时才能比较大小。
解复数相等问题的方法步骤：(1)把给的复数化成复数的标准形式;(2)根据复数相等的充要条件解之。
复数的概念：形如a+bi(a，b∈R)的数叫复数，其中i叫做虚数单位。
全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示。
复数的表示：复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a叫复数的实部，b叫复数的虚部。
复数的几何意义：(1)复平面、实轴、虚轴：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。
显然，实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数(2)复数的几何意义：复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应;反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。
这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。
复数的模：复数z=a+bi(a、b∈R)在复平面上对应的点Z(a，b)到原点的距离叫复数的模，记为|Z|，即|Z|=虚数单位i：(1)它的平方等于-1，即i2=-1;(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立(3)i与-1的关系：i就是-1的一个平方根，即方程x2=-1的一个根，方程x2=-1的另一个根是-i。
(4)i的周期性：i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n=1。
复数模的性质：复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数a+bi(a、b∈R)，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a;当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时，z就是实数0。
高中人教版数学必修2 第3篇函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x)，x∈其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域.注意：定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零;(2)偶次方根的被开方数不小于零;(3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零，(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.相同函数的判断方法：①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);②定义域一致 (两点必须同时具备)(见课本21页相关例2)值域 : 先考虑其定义域(1)观察法(2)配方法(3)代换法函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象.C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 .(2) 画法A、描点法：B、图象变换法常用变换方法有三种1) 平移变换2) 伸缩变换3) 对称变换区间的概念(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间(2)无穷区间(3)区间的数轴表示.映射一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A B为从集合A到集合B的一个映射。
记作f：A→B分段函数(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
(2)各部分的自变量的取值情况.(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集.补充：复合函数如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x ∈A) 称为f、g的复合函数。
高中人教版数学必修2 第4篇集合的含义集合的中元素的三个特性：(1) 元素的确定性,(2) 元素的互异性,(3) 元素的无序性,集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}(1) 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}(2) 集合的表示方法：列举法与描述法。
注意：常用数集及其记法：非负整数集(即自然数集)记作：N 正整数集 N_或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R1)列举法：{a,b,c……}2)描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。
{x?R|x-3>2} ,{x| x-3>2}3)语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}4) Venn图:4、集合的分类：(1) 有限集含有有限个元素的集合(2) 无限集含有无限个元素的集合(3) 空集不含任何元素的集合例：{x|x2=-5｝高中人教版数学必修2 第5篇“包含”关系—子集注意：有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A 与B是同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”即：①任何一个集合是它本身的子集。
A?A②真子集:如果A?B,且A? B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)③如果 A?B, B?C ,那么 A?C④如果A?B 同时 B?A 那么A=B不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集三、集合的运算运算类型交集并集补集定义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作A B(读作‘A交B’)，即A B={x|x A，且x B｝.由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集.记作：A B(读作‘A并B’)，即A B ={x|x A，或x B}).设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集(或余集)记作，即CSA= 韦恩图示性质 A A=AA Φ=ΦA B=B AA B AA B BA A=AA Φ=AA B=B AA B AA B B(CuA) (CuB)= Cu (A B)(CuA) (CuB)= Cu(A B)A (CuA)=UA (CuA)= Φ.例题：下列四组对象，能构成集合的是 ( )A某班所有高个子的学生 B著名的艺术家 C一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数集合{a，b，c }的真子集共有个若集合M={y|y=x2-2x+1,x R},N={x|x≥0}，则M与N的关系是 .设集合A= ，B= ，若A B，则的取值范围是名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有人。
用描述法表示图中阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合M= .已知集合A={x| x2+2x-8=0}, B={x| x2-5x+6=0}, C={x|x2-mx+m2-19=0}, 若B∩C≠Φ，A∩C=Φ，求m的值高中人教版数学必修2 第6篇"包含"关系—子集注意:有两种可能(1)a是b的一部分,;(2)a与b 是同一集合.反之: 集合a不包含于集合b,或集合b不包含集合a,记作ab或ba "相等"关系(5≥5,且5≤5,则5=5)实例:设a={x|x2-1=0} b={-1,1} "元素相同"结论:对于两个集合a与b,如果集合a的任何一个元素都是集合b的元素,同时,集合b的任何一个元素都是集合a的元素,我们就说集合a等于集合b,即:a=b①任何一个集合是它本身的子集.a(a②真子集:如果a(b,且a( b那就说集合a是集合b的真子集,记作ab(或ba)③如果 a(b, b(c ,那么 a(c④如果a(b 同时 b(a 那么a=b不含任何元素的集合叫做空集,记为φ规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集.。