【2020-2021自招】江苏天一中学初升高自主招生数学模拟试卷【4套】【含解析】
2020-2021常州市天一中学九年级数学上期中第一次模拟试卷(及答案)
2020-2021常州市天一中学九年级数学上期中第一次模拟试卷(及答案)一、选择题1．如图，已知⊙O 的半径为5，锐角△ABC 内接于⊙O ，BD ⊥AC 于点D ，AB=8，则tan ∠CBD 的值等于（ ）A ．43B ．45C ．35D ．342．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ） A ． B ． C ．D ．3．如图是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，图象过点A （﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论：①c ＞0；②若点B （32-，1y ）、C （52-，2y ）为函数图象上的两点，则12y y <； ③2a ﹣b=0； ④244ac b a-＜0，其中，正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．如图所示的暗礁区，两灯塔A ，B 之间的距离恰好等于圆的半径，为了使航船（S ）不进入暗礁区，那么S 对两灯塔A ，B 的视角∠ASB 必须（ ）A ．大于60°B ．小于60°C ．大于30°D ．小于30° 5．已知()222226x y y x +-=+，则22x y +的值是（ ） A ．－2B ．3C ．－2或3D ．－2且3 6．在平面直角坐标系中，点A （m ，2）与点B （3，n ）关于y 轴对称，则（ ） A ．m ＝3，n ＝2 B ．m ＝﹣3，n ＝2C ．m ＝2，n ＝3D ．m ＝﹣2，n ＝﹣3 7．如图，图案由三个叶片组成，且其绕点O 旋转120°后可以和自身重合，若三个叶片的总面积为12平方厘米，∠AOB=120°，则图中阴影部分的面积之和为（）平方厘米．A ．2B ．4C ．6D ．88．如图，在Rt ABC V 中，90ACB ∠=o ，60B ∠=o ，1BC =，''A B C V 由ABC V 绕点C 顺时针旋转得到，其中点'A 与点A 、点'B 与点B 是对应点，连接'AB ，且A 、'B 、'A 在同一条直线上，则'AA 的长为（ ）A ．3B ．23C ．4D ． 43 9．如图，△ABC 绕点A 旋转一定角度后得到△ADE，若BC=4，AC=3，则下列说法正确的是（ ）A ．DE=3B ．AE=4C ．∠ACB 是旋转角D ．∠CAE 是旋转角10．用1、2、3三个数字组成一个三位数，则组成的数是偶数的概率是（ ） A ．13 B ．14 C ．15 D ．1611．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个12．函数y=x 2+bx+c 与y=x 的图象如图所示，有以下结论：①b 2﹣4c ＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x ＜3时，x 2+（b ﹣1）x+c ＜0． 其中正确的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题13．用半径为30，圆周角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面圆半径是__．14．如图，将Rt ABC V 绕直角顶点C 顺时针旋转90o ，得到DEC V ，连接AD ，若25BAC ∠=o ，则BAD ∠=______．15．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=5cm ，BC=12cm ，将△ABC 绕点B 顺时针旋转60°，得到△BDE ，连接DC 交AB 于点F ，则△ACF 与△BDF 的周长之和为_______cm ．16．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠ACB =90°，∠ACB 的角平分线交⊙O 于D ．若AC =6，BD =52，则BC 的长为_____．17．a 、b 、c 是实数，点A （a+1、b ）、B （a+2，c ）在二次函数y=x 2﹣2ax+3的图象上，则b 、c 的大小关系是b ____c （用“＞”或“＜”号填空）18．已知圆锥的母线长为5cm，高为4cm，则该圆锥的侧面积为_____ cm²（结果保留π）．19．如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交»AB于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作»CD交OB于点D，若OA=2，则阴影部分的面积为 .20．如图，在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分的面积为________．三、解答题21．一个不透明的布袋里装有16个只有颜色不同的球,其中红球有x个,白球有2x个,其他均为黄球,现甲从布袋中随机摸出一个球,若是红球则甲同学获胜,甲同学把摸出的球放回并搅匀,由乙同学随机摸出一个球,若为黄球,则乙同学获胜.(1)当x=3时,谁获胜的可能性大?(2)当x为何值时,游戏对双方是公平的?22．如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC＝∠D＝60°．（1）求∠ABC的度数；（2）求证：AE 是⊙O 的切线；（3）当BC ＝4时，求阴影部分的面积．23．已知关于x 的一元二次方程225x x m --=（）（）（1）求证：对于任意实数m ，方程总有两个不相等的实数根；（2）若此方程的两实数根12,x x 满足221233x x +=，求实数m 的值.24．小明在上学的路上要经过多个路口，每个路口都设有红、黄、绿三种信号灯，假设在各路口遇到信号灯是相互独立的．（1）如果有2个路口，求小明在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）（2）如果有n 个路口，则小明在每个路口都没有遇到红灯的概率是 ．25．如图，Rt △ABC 中，∠C=90o ，BE 是它的角平分线，D 在AB 边上，以DB 为直径的半圆O 经过点E ．（1）试说明：AC 是圆O 的切线；（2）若∠A=30o ，圆O 的半径为4，求图中阴影部分的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】过B 作⊙O 的直径BM ，连接AM ，则有：∠MAB=∠CDB=90°，∠M=∠C ，∴∠MBA=∠CBD ，过O 作OE ⊥AB 于E ，Rt △OEB 中，BE=12AB=4，OB=5， 由勾股定理，得：OE=3，∴tan ∠MBA=OE BE =34， 因此tan ∠CBD=tan ∠MBA=34，故选D ．2．B解析：B【解析】由中心对称图形的定义：“把一个图形绕一个点旋转180°后，能够与自身完全重合，这样的图形叫做中心对称图形”分析可知，上述图形中，A 、C 、D 都不是中心对称图形，只有B 是中心对称图形.故选B.3．B解析：B【解析】【分析】【详解】∵抛物线与y 轴交于正半轴，∴c ＞0，①正确；∵对称轴为直线x=﹣1，∴x ＜﹣1时，y 随x 的增大而增大，∴y 1＞y 2②错误；∵对称轴为直线x=﹣1， ∴﹣2b a=﹣1， 则2a ﹣b=0，③正确；∵抛物线的顶点在x 轴的上方，∴244ac b a＞0，④错误； 故选B.4．D解析：D【解析】试题解析：连接OA ，OB ，AB ，BC ，如图：∵AB=OA=OB ，即△AOB 为等边三角形，∴∠AOB=60°，∵∠ACB 与∠AOB 所对的弧都为»AB ，∴∠ACB=12∠AOB=30°， 又∠ACB 为△SCB 的外角， ∴∠ACB ＞∠ASB ，即∠ASB ＜30°．故选D5．B解析：B【解析】试题分析：根据题意，先移项得()2222260x y y x +---=，即()2222260x y x y （）+-+-=，然后根据“十字相乘法”可得2222(2)(3)0x y x y +++-= ，由此解得22x y +=-2（舍去）或223x y +=. 故选B.点睛：此题主要考查了高次方程的解法，解题的关键是把其中的一部分看做一个整体，构造出简单的一元二次方程求解即可.6．B解析：B【解析】【分析】根据“关于y 轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相同”解答．【详解】∵点A （m ，2）与点B （3，n ）关于y 轴对称，∴m ＝﹣3，n ＝2．故选：B ．【点睛】本题考查了关于x 轴、y 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．7．B解析：B【解析】【分析】根据旋转的性质和图形的特点解答．【详解】∵图案绕点O旋转120°后可以和自身重合，∠AOB为120°∴图形中阴影部分的面积是图形的面积的13，∵图形的面积是12cm2，∴图中阴影部分的面积之和为4cm2；故答案为B．【点睛】本题考查了图形的旋转与重合，理解旋转对称图形的定义是解决本题的关键．8．A解析：A【解析】【分析】先利用互余计算出∠BAC=30°，再根据含30度的直角三角形三边的关系得到AB=2BC=2，接着根据旋转的性质得A′B′=AB=2，B′C=BC=1，A′C=AC，∠A′=∠BAC=30°，∠A′B′C=∠B=60°，于是可判断△CAA′为等腰三角形，所以∠CAA′=∠A′=30°，再利用三角形外角性质计算出∠B′CA=30°，可得B′A=B′C=1，然后利用AA′=AB′+A′B′进行计算．【详解】∵∠ACB=90°，∠B=60°，∴∠BAC=30°，∴AB=2BC=2×1=2，∵△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C′，∴A′B′=AB=2，B′C=BC=1，A′C=AC，∠A′=∠BAC=30°，∠A′B′C=∠B=60°，∴△CAA′为等腰三角形，∴∠CAA′=∠A′=30°，∵A、B′、A′在同一条直线上，∴∠A′B′C=∠B′AC+∠B′CA，∴∠B′CA=60°-30°=30°，∴B′A=B′C=1，∴AA′=AB′+A′B′=2+1=3．故选：A．【点睛】考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．9．D解析：D【解析】【分析】根据旋转的定义和三角形的性质即可求解．【详解】∵△ABC绕点A旋转一定角度得到△ADE，BC=4，AC=3.∴DE=BC=4；AE=AC=3；∠CAE是旋转角.故答案选D.【点睛】本题考查的知识点是旋转的性质，解题的关键是熟练的掌握旋转的性质.10．A解析：A【解析】【分析】【详解】解：用1，2，3三个数字组成一个三位数的所有组合是：123，132，213，231，312，321，是偶数只有2个，所以组成的三位数是偶数的概率是13；故选A．11．B解析：B【解析】分析：根据圆中的有关概念、定理进行分析判断．解答：解：①经过圆心的弦是直径，即直径是弦，弦不一定是直径，故正确；②当三点共线的时候，不能作圆，故错误；③三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，故正确；④在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，所以半径相等的两个半圆是等弧，故正确．故选B．12．B解析：B【解析】分析：∵函数y=x2+bx+c与x轴无交点，∴b2﹣4c＜0；故①错误。
2020-2021常州市天一中学高一数学下期中第一次模拟试卷(及答案)
解析：B
【解析】
【分析】
依题意由 的面积为 ，解得 ，所以 ， ，根据勾股定理即可求 ．
【详解】
依题意，因为 的面积为 ，
所以 ，解得 ，
所以 ， ，又因为 ，
由勾股定理得： ．
故选B．
【点睛】
本题考查直观图还原几何图形，属于简单题.利用斜二测画法作直观图，主要注意两点：一是与x轴平行的线段仍然与 轴平行且相等；二是与y轴平行的线段仍然与 轴平行且长度减半.
OB: x+2y=0（x≥0），过点P(1,0)作直线分别交射线OA、OB于A、B两点.
（1）当AB中点为P时，求直线AB的方程；
（2）当AB中点在直线 上时，求直线AB的方程.
26．如图，四棱锥 中， 平面 分别为线段 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求证：平面 平面
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
而由于两直线不一定在同一平面内,则b一定大于或等于c,判断a和b时,
因为B是上n任意一点,则a大于或等于b.
故选D.
【点睛】
本题主要考查面面平行的性质以及空间距离的性质，考查了空间想象能力，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.
6．C
解析：C
【解析】
分析：由三视图还原实物图,再根据三角形面积公式求解.
【详解】
设三棱锥 外接球球心为 ，半径为 ，
，故 在平面 的投影为 中点 ， 为 中点，
，故 ，侧面 底面 ，故 底面 .
连接 ，作 于 ，易知 为矩形，设 ，
则 ， ， ， ，解得 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
【6套合集】江苏省天一中学2020中考提前自主招生数学模拟试卷附解析
中学自主招生数学试卷一．选择题（满分12分，每小题2分）1．化简（﹣x3）2的结果是（）A．﹣x6B．﹣x5C．x6D．x52．已知a，b为两个连续整数，且a＜＜b，则a+b的值为（）A．9 B．8 C．7 D．63．﹣a一定是（）A．正数B．负数C．0 D．以上选项都不正确4．如图，△ABC中，CD是AB边上的高，若AB＝1.5，BC＝0.9，AC＝1.2，则CD的值是（）A．0.72 B．2.0 C．1.125 D．不能确定5．已知：如右图，O为圆锥的顶点，M为底面圆周上一点，点P在OM上，一只蚂蚁从点P 出发绕圆锥侧面爬行回到点P时所经过的最短路径的痕迹如图．若沿OM将圆锥侧面剪开并展平，所得侧面展开图是（）A．B．C．D．6．抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1．若关于x的一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0（t 为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是（）A．2≤t＜11 B．t≥2 C．6＜t＜11 D．2≤t＜6二．填空题（满分20分，每小题2分）7．将数12000000科学记数法表示为．8．当x时，分式的值为0；若分式有意义，则x的取值范围是．9．分解因式：x4﹣16＝．10．计算：＝．11．已知2+是关于x的方程x2﹣4x+m＝0的一个根，则m＝．12．如图，△ABC中，AB＝AC，BE⊥AC，D为AB中点，若DE＝5，BE＝8．则EC＝．13．把点A（a，﹣2）向左平移3个单位，所得的点与点A关于y轴对称，则a等于．14．如图，双曲线y＝（x＞0）经过矩形OABC的顶点B，双曲线y＝（x＞0）交AB，BC 于点E、F，且与矩形的对角线OB交于点D，连接EF．若OD：OB＝2：3，则△BEF的面积为．15．如图，量角器外沿上有A、B两点，它们的读数分别是75°、45°，则∠1的度数为．16．如图，在正方形ABCD中，点E是BC上一点，BF⊥AE交DC于点F，若AB＝5，BE＝2，则AF＝．三．解答题17．（7分）计算或化简：（1）（2）18．（7分）如图，在数轴上，点A、B分别表示数1、﹣2x+5（1）求x的取值范围；（2）数轴上表示数﹣x+3的点应落在．A．点A的左边，B．线段AB上，C．点B的右边19．（7分）某中学为了了解七年级学生体能状况，从七年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A、B、C、D四个等级，并依据测试成绩绘制了如下两幅尚不完整的统计图：（1）这次抽样调查的样本容量是，请补全条形图；（2）D等级学生人数占被调查人数的百分比为，在扇形统计图中B等级所对应的圆心角为．（3）该校九年级学生有1600人，请你估计其中A等级的学生人数．20．（8分）如图，已知菱形ABCD，点E是AB的中点，AF⊥BC于点F，联结EF、ED、DF，DE交AF于点G，且AE2＝EG•ED．（1）求证：DE⊥EF；（2）求证：BC2＝2DF•BF．21．（8分）现如今，“垃圾分类”意识已深入人心，垃圾一般可分为：可回收物、厨余垃圾、有害垃圾、其它垃圾．其中甲拿了一袋垃圾，乙拿了两袋垃圾．（1）直接写出甲所拿的垃圾恰好是“厨余垃圾”的概率；（2）求乙所拿的两袋垃圾不同类的概率．22．（9分）小明和小亮分别从甲地和乙地同时出发，沿同一条路相向而行，小明开始跑步，中途改为步行，到达乙地恰好用40min．小亮骑自行车以300m/min的速度直接到甲地，两人离甲地的路程y（m）与各自离开出发地的时间x（min）之间的函数图象如图所示，（1）甲、乙两地之间的路程为m，小明步行的速度为m/min；（2）求小亮离甲地的路程y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；（3）求两人相遇的时间．23．（8分）在某海域，一艘海监船在P处检测到南偏西45°方向的B处有一艘不明船只，正沿正西方向航行，海监船立即沿南偏西60°方向以40海里/小时的速度去截获不明船只，经过1.5小时，刚好在A处截获不明船只，求不明船只的航行速度．（≈1.41，≈1.73，结果保留一位小数）．24．（9分）已知：分别以△ABC的各边为边，在BC边的同侧作等边三角形ABE、等边三角形CBD和等边三角形ACF，连结DE，DF．（1）试说明四边形DEAF为平行四边形．（2）当△ABC满足什么条件时，四边形DEAF为矩形？并说明理由；（3）当△ABC满足什么条件时，四边形DEAF为菱形．直接写出答案．25．（8分）如图，在矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（6，0）．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、C，与AB交于点D．（1）求抛物线的函数解析式；（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ＝CP，连接PQ，设CP＝m，△CPQ的面积为S．①求S关于m的函数表达式；②当S最大时，在抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴l上，若存在点F，使△DFQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．26．（8分）如图，在▱OABC中，以O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点B，与OC相交于点D．（1）求的度数．（2）如图，点E在⊙O上，连结CE与⊙O交于点F，若EF＝AB，求∠OCE的度数．27．（9分）在△ABC中，∠ABC为锐角，点M为射线AB上一动点，连接CM，以点C为直角顶点，以CM为直角边在CM右侧作等腰直角三角形CMN，连接NB．（1）如图1，图2，若△ABC为等腰直角三角形，问题初现：①当点M为线段AB上不与点A重合的一个动点，则线段BN，AM之间的位置关系是，数量关系是；深入探究：②当点M在线段AB的延长线上时，判断线段BN，AM之间的位置关系和数量关系，并说明理由；类比拓展：（2）如图3，∠ACB≠90°，若当点M为线段AB上不与点A重合的一个动点，MP⊥CM交线段BN于点P，且∠CBA＝45°，BC＝，当BM＝时，BP的最大值为．参考答案一．选择题1．解：原式＝x6，故选：C．2．解：∵9＜13＜16，∴3＜＜4，即a＝3，b＝4，则a+b＝7，故选：C．3．解：﹣a中a的符号无法确定，故﹣a的符号无法确定．故选：D．4．解：∵AB＝1.5，BC＝0.9，AC＝1.2，∴AB2＝1.52＝2.25，BC2+AC2＝0.92+1.22＝2.25，∴AB2＝BC2+AC2，∴∠ACB＝90°，∵CD是AB边上的高，∴S＝，△ABC1.5CD＝1.2×0.9，CD＝0.72，故选：A．5．解：蜗牛绕圆锥侧面爬行的最短路线应该是一条线段，因此选项A和B错误，又因为蜗牛从p点出发，绕圆锥侧面爬行后，又回到起始点P处，那么如果将选项C、D的圆锥侧面展开图还原成圆锥后，位于母线OM上的点P应该能够与母线OM′上的点（P′）重合，而选项C还原后两个点不能够重合．故选：D．6．解：∵y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1，∴b＝﹣2，∴y＝x2﹣2x+3，∴一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0的实数根可以看做y＝x2﹣2x+3与函数y＝t的有交点，∵方程在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，当x＝﹣1时，y＝6；当x＝4时，y＝11；函数y＝x2﹣2x+3在x＝1时有最小值2；∴2≤t＜11；故选：A．二．填空题7．解：12 000 000＝1.2×107，故答案是：1.2×107，8．解：若分式的值为0，则x﹣1＝0，且x+1≠0，解得x＝1；若分式有意义，则x+5≠0，解得x≠﹣5，故答案为：＝1；x≠﹣5．9．解：x4﹣16＝（x2+4）（x2﹣4）＝（x2+4）（x+2）（x﹣2）．故答案为：（x2+4）（x+2）（x﹣2）．10．解：原式＝+＝2+3＝5．故答案为5．11．解：把x＝2+代入方程得（2+）2﹣4（2+）+m＝0，解得m＝1．故答案为1．12．解：∵BE⊥AC，∴∠AEB＝90°，∵D为AB中点，∴AB＝AC＝2DE＝2×5＝10，∵BE＝8，∴AE＝＝6，∴EC＝AC﹣AE＝4，故答案为：4．13．解：点A（a，﹣2）向左平移3个单位后为（a﹣3，﹣2），∵所得的点与点A关于y轴对称，∴a﹣3＝﹣a，解得a＝．故答案为：．14．解：设D（2m，2n），∵OD：OB＝2：3，∴A（3m，0），C（0，3n），∴B（3m，3n），∵双曲线y＝（x＞0）经过矩形OABC的顶点B，∴9＝3m•3n，∴mn＝1，∵双曲线y＝（x＞0）经过点D，∴k＝4mn∴双曲线y＝（x＞0），∴E（3m， n），F（m，3n），∴BE＝3n﹣n＝n，BF＝3m﹣m＝m，＝BE•BF＝mn＝∴S△BEF故答案为．15．解：由图可知，∠AOB＝75°﹣45°＝30°，根据同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半可知，∠1＝∠AOB＝×30°＝15°．故答案为15°．16．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠A BE＝∠BCF＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∵BH⊥AE，∴∠BHE＝90°，∴∠AEB+∠EBH＝90°，∴∠BAE＝∠EBH，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴CF＝BE＝2，∴DF＝5﹣2＝3，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝5，∠ADF＝90°，由勾股定理得：AF＝＝＝．故答案为：．三．解答题17．解：（1）原式＝+＝＝；（2）原式＝÷（x+2）•＝••＝；18．解：（1）由数轴上点的位置得：﹣2x+5＞1，解得：x＜2；（2）由x＜2，得到﹣x+3＞1，且﹣2x+5＞﹣x+3，则数轴上表示数﹣x+3的点在线段AB上，故选B19．解：（1）样本容量为16÷32%＝50，B等级人数为50﹣16﹣10﹣4＝20，如图所示：故答案为：50；（2）D等级学生人数占被调查人数的百分比为×100%＝8%；B等级所对应的圆心角为×360°＝144°；故答案为：8%，144°；（3）全校A等级的学生人数约有×1600＝512（人）．20．（1）证明：∵AF⊥BC于点F，∴∠AFB＝90°，∵点E是AB的中点，∴AE＝FE，∴∠EAF＝∠AFE，∵AE2＝EG•ED，∴＝，∵∠AEG＝∠DEA，∴△AEG∽△DEA，∴∠EAG＝∠ADG，∵∠AGD＝∠FGE，∴∠DAG＝∠FEG，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠DAG＝∠AFB＝90°，∴∠FEG＝90°，∴DE⊥EF；（2）解：∵AE＝EF，AE2＝EG•ED，∴FE2＝EG•ED，∴＝，∵∠FEG＝∠DEF，∴△FEG∽△DEF，∴∠EFG＝∠EDF，∴∠BAF＝∠EDF，∵∠DEF＝∠AFB＝90°，∴△ABF∽△DFE，∴＝，∵四边形ACBD是菱形，∴AB＝BC，∵∠AFB＝90°，∵点E是AB的中点，∴FE＝AB＝BC，∴＝，∴BC2＝2DF•BF．21．解：（1）记可回收物、厨余垃圾、有害垃圾、其它垃圾分别为A，B，C，D，∵垃圾要按A，B，C、D类分别装袋，甲拿了一袋垃圾，∴甲拿的垃圾恰好是B类：厨余垃圾的概率为：；（2）画树状图如下：由树状图知，乙拿的垃圾共有16种等可能结果，其中乙拿的两袋垃圾不同类的有12种结果，所以乙拿的两袋垃圾不同类的概率为＝．22．解：（1）结合题意和图象可知，线段CD为小亮路程与时间函数图象，折线O﹣A﹣B为小明路程与时间图象，则甲、乙两地之间的路程为8000米，小明步行的速度＝＝100m/min，故答案为8000，100（2）∵小亮从离甲地8000m处的乙地以300m/min的速度去甲地，则xmin时，∴小亮离甲地的路程y＝8000﹣300x，自变量x的取值范围为：0≤x≤（3）∵A（20，6000）∴直线OA解析式为：y＝300x∴8000﹣300x＝300x，∴x＝∴两人相遇时间为第分钟．23．解：作PQ垂直于AB的延长线于点Q，由题意得：∠BPQ＝45°，∠APQ＝60°，AP＝1.5×40＝60海里，∴在△APQ中，AQ＝AP•sin60°＝30海里，PQ＝AP•cos60°＝30海里，∵在△BQP中，∠BPQ＝45°，∴PQ＝BQ＝30海里，∴AB＝AQ﹣BQ＝30﹣30≈21.9海里，∴＝14.6海里/小时，∴不明船只的航行速度是14.6海里/小时．24．解：（1）如图1，∵△ABE和△CBD为等边三角形，∴∠ABE＝∠CBD＝60°，AB＝BE＝AE，CB＝BD＝CD，∴∠ABC＝∠EBD，在△ABC和△EBD中，∴△ABC≌△EBD（SAS），∴AC＝DE，∵△ACF为等边三角形，∴AC＝AF，∴AF＝DE，同理可证得△ACB≌△FCD，∴AB＝DF，而AB＝AE，∴AE＝DF，∴四边形DEAF是平行四边形；（2）如图2，当△ABC满足∠BAC＝150°时，四边形DEAF是矩形．理由如下：由（1）知：四边形DEAF是平行四边形，∵∠BAC＝150°，∠EAB＝∠FAC＝60°∴∠EAF＝360°﹣150°﹣60°﹣60°＝90°∴四边形DEAF是矩形；（3）如图3，△ABC满足AB＝AC时，四边形DEAF是菱形．理由如下：由（1）知：四边形DEAF是平行四边形，∵AB＝AC，AE＝AB，AC＝AF，∴AE＝AF，∴四边形DEAF是菱形．故答案为：AB＝AC．25．解：（1）将A、C两点坐标代入抛物线，得，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+8；（2）①∵OA＝8，OC＝6，∴AC＝＝10，过点Q作QE⊥BC与E点，则sin∠ACB＝＝＝，∴＝，∴QE＝（10﹣m），∴S＝•CP•QE＝m×（10﹣m）＝﹣m2+3m；②∵S＝•CP•QE＝m×（10﹣m）＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣5）2+，∴当m＝5时，S取最大值；在抛物线对称轴l上存在点F，使△FDQ为直角三角形，∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+8的对称轴为x＝，D的坐标为（3，8），Q（3，4），当∠FDQ＝90°时，F1（，8），当∠FQD＝90°时，则F2（，4），当∠DFQ＝90°时，设F（，n），则FD2+FQ2＝DQ2，即+（8﹣n）2++（n﹣4）2＝16，解得：n＝6±，∴F3（，6+），F4（，6﹣），满足条件的点F共有四个，坐标分别为F 1（，8），F2（，4），F3（，6+），F4（，6﹣）．26．解：（1）连接OB，∵BC是圆的切线，∴OB⊥BC，∵四边形OABC是平行四边形，∴OA∥BC，∴OB⊥OA，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠ABO＝45°，∴的度数为45°；（2）连接OE，过点O作OH⊥EC于点H，设EH＝t，∵OH⊥EC，∴EF＝2HE＝2t，∵四边形OABC是平行四边形，∴AB＝CO＝EF＝2t，∵△AOB是等腰直角三角形，∴OA＝t，则HO＝＝＝t，∵OC＝2OH，∴∠OCE＝30°．27．解：问题初现：（1）①AM与BN位置关系是AM⊥BN，数量关系是AM＝BN．理由：如图1，∵△ABC，△CMN为等腰直角三角形，∴∠ACB＝∠MCN＝90°，AC＝BC，CM＝CN，∠CAB＝∠CBA＝45°∴∠ACM＝∠BCN，且AC＝BC，CM＝CN，∴△ACM≌△BCN（SAS）∴∠CAM＝∠CBN＝45°，AM＝BN．∵∠CAB＝∠CBA＝45°，∴∠ABN＝45°+45°＝90°，即AM⊥BN故答案为：AM⊥BN；AM＝BN深入探究：②当点M在线段AB的延长线上时，AM与BN位置关系是AM⊥BN，数量关系是AM＝BN．理由如下：如图，∵△ABC，△CMN为等腰直角三角形，∴∠ACB＝∠MCN＝90°，AC＝BC，CM＝CN，∠CAB＝∠CBA＝45°∴∠ACM＝∠BCN，且AC＝BC，CM＝CN，∴△ACM≌△BCN（SAS）∴∠CAM＝∠CBN＝45°，AM＝BN．∵∠CAB＝∠CBA＝45°，∴∠ABN＝45°+45°＝90°，即AM⊥BN类比拓展：（2）如图，过点C作CE⊥AB于点E，过点N作NF⊥CE于点F，则FN∥AB∵△MCN是等腰直角三角形∴CM＝CN，∠MCN＝90°∴∠ECM+∠FCN＝90°，且∠ECM+∠CME＝90°∴∠FCN＝∠CME，且CM＝CN，∠F＝∠CEM＝90°∴△CNF≌△CME（AAS）∴FN＝EC，EM＝CF∵BC＝4，CE⊥AB，∠CBA＝45°∴CE＝BE＝4，∴FN＝BE＝CE，且FN∥BA∴四边形FNBE是平行四边形，且∠F＝90°∴四边形FNBE是矩形∴∠CEM＝∠ABN＝90°∴∠PMB+∠MPB＝90°∵CM⊥MP∴∠CME+∠PMB＝90°∴∠CME＝∠MPB，且∠CEM＝∠ABN＝90°∴△CEM∽△MBP∴∴BP＝＝﹣（BM﹣2）2+1∴当BM＝2时，BP有最大值为1．故答案为：2，1重点高中提前招生模拟考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一．选择题（共10小题，每题4分）1．已知：三个数a、b、c的积为负数，和为正数，且，则ax3+bx2+cx+1的值为（）A．0 B．1 C．2 D．﹣12．⊙O的半径为5cm，弦AB∥CD，AB=6cm，CD=8cm，则AB和CD的距离是（）A．7cm B．8cm C．7cm或1cm D．1cm3．若点P（﹣1﹣2a，2a﹣4）关于原点对称的点在第一象限内，则a的整数解有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．已知x为实数，化简的结果为（）A．B．C．D．5．已知关于x的方程2x2+x+m+=0有两个不相等的负实根，则m的取值范围是（）A．m＜B．C．D．6．若α为直角三角形的一个锐角，则等于（）A．1﹣sinα﹣cosα B．1+sinα+cosαC．0 D．sinα+cosα﹣17．“上升数”是一个数中右边数字比左边数字大的自然数（如：34，568，2469等）．任取一个两位数，是“上升数”的概率是（）A．B．C．D．8．数轴上表示1，的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数是（）A．﹣1 B．1﹣C．2﹣D．﹣29．二次函数y=x2+bx+c的图象与轴正方向交于A，B两点，与y轴正方向交于点C．已知，∠CAO=30°，则c=（）A．B．C．D．10．如果一条直线l经过不同的三点A（a，b），B（b，a），C（a﹣b，b﹣a），那么直线l 经过的象限有（）A．二、四B．一、三C．二、三、四D．一、三、四二．填空题（共10小题，每题4分）11．若规定两数a，b通过运算得4ab，即a*b=4ab，若x*x+2*x﹣2*4=0，则x=．12．设直线kx+（k+1）y﹣1=0与坐标轴所构成的直角三角形的面积为S k，则S1+S2+…+S2008=．13．已知m，n为正整数，若＜＜，当m最小时分数=．14．设[x]表示不超过x的最大整数（例如：[2]=2，[1.25]=1），则方程3x﹣2[x]+4=0的解为．15．已知b﹣a=，2a2+a=，那么﹣a的值为．16．四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠ADC=60°，AB=11，BC=2，则BD=．17．观察下列各式：32=52﹣42；52=132﹣122；72=252﹣242；92=412﹣402；…请你将猜想到的规律用含正整数n（n≥1）的等式表示出来．18．如图，有一种动画程序，屏幕上正方形ABCD是黑色区域（含正方形边界），其中A（1，1），B（2，1），C（2，2），D（1，2），用信号枪沿直线y=﹣2x+b发射信号，当信号遇到黑色区域时，区域便由黑变白，则能够使黑色区域变白的b的取值范围为．19．如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，点P是△ABC内一定点，延长BP至P′，将△ABP绕点A旋转后，与△ACP′重合，如果AP=，那么PP′=．20．用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖块，第n个图形中需要黑色瓷砖块（用含n的代数式表示）．三．解答题（共6小题，共70分）21．某市政府大力扶持大学生创业，李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=﹣10x+500．（1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（成本=进价×销售量）22．计算：+（）﹣1﹣4cos45°﹣2÷×2﹣（2009﹣）0+|2﹣|23．如图，抛物线y=x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；（3）点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，求m的值．24．如图：直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠B=90°，AB=7，BC﹣AD=1．以CD为直径的圆O与AB有两个不同的公共点E、F，与BC交于点G．（1）求⊙O的半径；（2）求证：AE=BF；（3）当AE=1时，在线段AB上是否存在点P，以点A，P，D为顶点的三角形与以点B，P，C为顶点的三角形相似？若存在，在图中描出所有满足条件的点P的位置（不要求计算）；若不存在，请说理由．（4）当AE为何值时，能满足（3）中条件的点P有且只有两个？25．如图，在直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），将线段OP0按逆时针方向旋转45°，将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1；再将线段OP1按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；如此下去，得到线段OP3，OP4，…，OP n（n为正整数）（1）求点P6的坐标；（2）求△P5OP6的面积；（3）我们规定：把点P n（x n，y n）（n=0，1，2，3，…）的横坐标x n、纵坐标y n都取绝对值后得到的新坐标（|x n|，|y n|）称之为点P n的“绝对坐标”．根据图中点P n的分布规律，请你猜想点P n的“绝对坐标”，并写出来．重点高中提前招生模拟考试数学试卷（6）参考答案与试题解析1．已知：三个数a、b、c的积为负数，和为正数，且，则ax3+bx2+cx+1的值为（）A．0 B．1 C．2 D．﹣1【考点】15：绝对值；33：代数式求值．【分析】可由已知，三个数a、b、c的积为负数，和为正数，得三个数中有两个正数，一个负数，故可得=1，=﹣1，故得=1﹣1=0，即得ax3+bx2+cx+1=0+0+0+1=1．【解答】解：∵三个数a、b、c的积为负数，和为正数，∴得三个数中有两个正数，一个负数，∴=1，∴=﹣1，故得=1﹣1=0，∴ax3+bx2+cx+1=0+0+0+1=1．故选：B．【点评】本题主要考查代数式求值问题，利用绝对值的基本性质，以及正数与负数的性质，便得所求结果，要认真掌握．2．⊙O的半径为5cm，弦AB∥CD，AB=6cm，CD=8cm，则AB和CD的距离是（）A．7cm B．8cm C．7cm或1cm D．1cm【考点】KQ：勾股定理；M2：垂径定理．【专题】32：分类讨论．【分析】因为AB、CD位置不明确，所以分在圆心的同一侧和圆心两侧两种情况讨论．【解答】解：本题要分类讨论：（1）AB，CD在圆心的同侧，如图①，连接OA、OC，过O作AB的垂线交CD，AB于E、F，根据垂径定理得ED=CD=×8=4cm，FB=AB=×6=3cm，在Rt△OED中，OD=5cm，ED=4cm，由勾股定理得OE===3cm，在Rt△OFB中，OB=5cm，FB=3cm，则OF===4cm，AB和CD的距离=OF﹣OE=4﹣3=1cm；（2）AB，CD在圆心的异侧，如图②，连接OA、OC，过O作AB的垂线交CD，AB于E、F，根据垂径定理得ED=CD=×8=4cm，FB=AB=×6=3cm，在Rt△OED中，OD=5cm，ED=4cm，由勾股定理得OE===3cm，在Rt△OFB中，OB=5cm，FB=3cm，则OF===4cm，AB和CD的距离是OF+OE=4+3=7cm．AB和CD的距离是7cm或1cm．故选：C．【点评】本题涉及到垂径定理及勾股定理，解题时要注意分类讨论，不要漏解．3．若点P（﹣1﹣2a，2a﹣4）关于原点对称的点在第一象限内，则a的整数解有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】CC：一元一次不等式组的整数解；R6：关于原点对称的点的坐标．【分析】根据题意可得出点P在第三象限，从而列出不等式组求解即可．【解答】解：∵点P（﹣1﹣2a，2a﹣4）关于原点对称的点在第一象限内，∴，由①得，a＞﹣，由②得，a＜2，∴a=1或0．故选：B．【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，以及一元一次不等式组的整数解，是基础知识要熟练掌握．4．已知x为实数，化简的结果为（）A．B．C．D．【考点】73：二次根式的性质与化简；78：二次根式的加减法．【专题】11：计算题．【分析】根据二次根式的性质进行化简：=﹣x，=﹣，代入后合并同类二次根式即可．【解答】解：原式=﹣x﹣x•（﹣）=﹣x+=（1﹣x）．故选：C．【点评】本题考查了二次根式的性质和二次根式的加减法等知识点的理解和运用，关键是根据二次根式的性质得出=﹣x，=﹣．5．已知关于x的方程2x2+x+m+=0有两个不相等的负实根，则m的取值范围是（）A．m＜B．C．D．【考点】AA：根的判别式；AB：根与系数的关系；CB：解一元一次不等式组．【分析】由方程有两个不相等的负实数根可以推出，△=b2+4ac＞0，同时=＞0，通过解不等式，即可推出m的取值范围．【解答】解：∵2x2+x+m+=0有两个不相等的负实根，∴△=b2﹣4ac=12﹣4×2×（m+）＞0，=＞0，∴解不等式得：m，m，∴．故选：B．【点评】本题主要考查解一元一次不等式、根与系数的关系、根的判别式，关键在于根据题意列出一元一次不等式，认真的进行计算．6．若α为直角三角形的一个锐角，则等于（）A．1﹣sinα﹣cosα B．1+sinα+cosαC．0 D．sinα+cosα﹣1【考点】73：二次根式的性质与化简；T3：同角三角函数的关系．【分析】打开根号内的式子，将sinα+cosα作为一个整体，可得原式=|sinα+cosα﹣1|，再去绝对值即可求解．【解答】解：应该是sinα+cosα﹣1．原式====|sinα+cosα﹣1|=|sin（α+）﹣1|因为α为直角三角形的一个锐角，故＜α+＜，所以＜sin（α+）＜1，1＜sin（α+）＜．所以，原式=sinα+cosα﹣1．故选：D．【点评】考查了同角三角函数的关系，注意整体思想的运用，有一定的难度．7．“上升数”是一个数中右边数字比左边数字大的自然数（如：34，568，2469等）．任取一个两位数，是“上升数”的概率是（）A．B．C．D．【考点】X4：概率公式．【分析】分别列举出以1、2、3、4、5、6、7、8、9开头的上升数，再除以2位数的总数即可．【解答】解：1开头的两位自然数有10，11，12，13，14，15，16，17，18，19其中有8个“上升数”；2开头的两位自然数有20，21，22，23，24，25，26，27，28，29，其中有7个“上升数”；同理以3开头的两位自然数也有10个，其中有6个“上升数”；一直到8开头的两位自然数也有10个，其中有1个“上升数”；9开头的两位自然数没有“上升数”；所以全部两位自然数有90个，“上升数”一共有：1+2+3+4+5+6+7+8=36（个），所以任取一个两位数，是“上升数”的概率是．故选：B．【点评】用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；易错点是得到上升数的个数与两位数的总个数．8．数轴上表示1，的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数是（）A．﹣1 B．1﹣C．2﹣D．﹣2【考点】29：实数与数轴．【专题】16：压轴题．【分析】首先根据数轴上表示1，的对应点分别为A，B可以求出线段AB的长度，然后由AB=AC利用两点间的距离公式便可解答．【解答】解：∵数轴上表示1，的对应点分别为A，B，∴AB=﹣1，∵点B关于点A的对称点为C，∴AC=AB．∴点C的坐标为：1﹣（﹣1）=2﹣．故选：C．【点评】本题考查的知识点为：求数轴上两点间的距离就让右边的数减去左边的数．知道两点间的距离，求较小的数，就用较大的数减去两点间的距离．9．二次函数y=x2+bx+c的图象与轴正方向交于A，B两点，与y轴正方向交于点C．已知，∠CAO=30°，则c=（）A．B．C．D．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】首先利用根与系数的关系求得A，B两点横坐标之间的关系，再进一步结合已知，利用直角三角形的边角关系，把A与B两点横坐标用c表示，由此联立方程即可求得答案．【解答】解：由题意知，点C的坐标为（0，c），OC=c．设A，B两点的坐标分别为（x1，0），（x2，0），则x1，x2是方程x2+bx+c=0的两根，由根与系数的关系得：x1+x2=﹣b，x1x2=c，又∵∠CAO=30°，则AC=2c，∴AB=AC=2c；∴x1=OA=ACcos30°=c，x2=OB=OA+AB=3c．由x1x2=9c2=c，得c=．故选：C．【点评】本题主要考查二次函数图象与坐标轴交点的坐标特点、根与系数的关系以及直角三角形的边角关系．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用．10．如果一条直线l经过不同的三点A（a，b），B（b，a），C（a﹣b，b﹣a），那么直线l 经过的象限有（）A．二、四B．一、三C．二、三、四D．一、三、四【考点】F5：一次函数的性质．【分析】先根据题意设出一次函数的解析式，再分别把A（a，b），B（b，a），C（a﹣b，b ﹣a）代入，求出函数的解析式即可．【解答】解：设此一次函数的解析式为y=kx+c，把A（a，b），B（b，a），C（a﹣b，b﹣a）三点代入，得，解得．故此一次函数的解析式为y=﹣x，故直线l经过第二、四象限．故选：A．【点评】本题考查的是用待定系数法求一次函数的解析式及一次函数图象上点的坐标特点，比较简单．11．若规定两数a，b通过运算得4ab，即a*b=4ab，若x*x+2*x﹣2*4=0，则x=2或﹣4．【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法．【专题】23：新定义．【分析】根据新定义写出一元二次方程，并用因式分解法求出方程的根．【解答】解：依题意可以列方程：4x2+8x﹣32=0x2+2x﹣8=0（x+4）（x﹣2）=0x+4=0或x﹣2=0∴x1=﹣4，x2=2．故答案为：2或﹣4．【点评】此题考查的是用因式分解法解一元二次方程，根据新定义写出一元二次方程，然后用因式分解法求出方程的根是解题关键．12．设直线kx+（k+1）y﹣1=0与坐标轴所构成的直角三角形的面积为S k，则S1+S2+…+S2008=．【考点】F5：一次函数的性质．【专题】16：压轴题；2A：规律型．【分析】先依次计算出S1、S2等的面积，再依据规律求解．【解答】解：∵kx+（k+1）y﹣1=0∴当x=0时，y=；当y=0时，x=∴S k=××=，根据公式可知，S1+S2+…+S2008=[﹣+﹣+…+﹣]=（1﹣）=．【点评】结合题意依次计算出S1、S2等的面积，再总结规律，易求解．13．已知m，n为正整数，若＜＜，当m最小时分数=．【考点】65：分式的基本性质；98：解二元一次方程组．【专题】11：计算题．【分析】首先由不等式可得出2007n﹣2006m＞0，2007m﹣2008n＞0；分别设2007n﹣2006m=x，2007m﹣2008n=y；（x、y是正整数）然后用x、y分别表示出m、n的值，根据m 的值最小，判断出此时x、y、n的值，进一步得出所求分数的值．【解答】解：由题意，得﹣＞0，﹣＞0，即＞0，＞0，∵m，n为正整数，∴2007n﹣2006m＞0，2007m﹣2008n＞0；设2007n﹣2006m=x，2007m﹣2008n=y；（x、y是正整数）则有：，解得；当m最小时，x=y=1；即m=4015，n=4013；此时m、n互质，故=．故答案为．【点评】此题融合了分式的基本性质、不等式、方程组等知识，是道难度较大的题．14．设[x]表示不超过x的最大整数（例如：[2]=2，[1.25]=1），则方程3x﹣2[x]+4=0的解为﹣4或﹣或﹣．【考点】*D：取整函数．【分析】首先令[x]=n，可得方程3x﹣2n+4=0，即可求得x的值，然后由[x]≤x＜[x]+1，可得关于n的不等式组，解不等式组即可求得n的值，则代入方程即可求得x的值，注意要检验．【解答】解：令[x]=n，代入原方程得3x﹣2n+4=0，即x=，又∵[x]≤x＜[x]+1，∴n≤＜n+1，整理得：3n≤2n﹣4＜3n+3，即﹣7＜n≤﹣4，∴n=﹣4或n=﹣5或n=﹣6，∴当n=﹣4时，x=﹣4，当n=﹣5时，x=﹣，当n=﹣6时，x=﹣，经检验，x=﹣4或x=﹣或x=﹣是原方程的解．故答案为：﹣4或﹣或﹣．【点评】此题考查了取整函数的知识．注意[x]≤x＜[x]+1性质的应用是解此题的关键．15．已知b﹣a=，2a2+a=，那么﹣a的值为．【考点】6D：分式的化简求值．【专题】11：计算题．【分析】由第一个等式表示出b，由第二个等式表示出a2，然后将所求式子通分后，利用同分母分式的减法法则计算后，将表示出的b与a2代入，化简后即可求出值．【解答】解：∵b﹣a=，∴b=a+，又2a2+a=，∴a2=﹣，则﹣a=====．故答案为：【点评】此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找出最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，同时注意化简求值题要将原式化为最简后再代值．根据已知的两等式表示出的b与a2是解本题的关键．16．四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠ADC=60°，AB=11，BC=2，则BD=14．【考点】T7：解直角三角形．【专题】11：计算题．【分析】延长AB与DC的延长线相交于点E，构造了两个30°的直角三角形，首先在直角三角形CBE中求得BE的长，再进一步在直角三角形ADE中，求得AD的长，再在直角三角形BAD中由勾股定理求得BD．【解答】解：如图，延长AB与DC的延长线相交于点E．在Rt△ADE中，∵∠ADE=60°，∴∠E=30°．在Rt△BCE中，sinE=，∴BE==4，∴AE=AB+BE=11+4=15．在Rt△DAE中，tanE=，∴AD=AE•tanE=15×=5，在Rt△BAD中，BD===14，故答案为：14．【点评】此题考查的知识点是解直角三角形，关键要特别注意构造30°的直角三角形，熟练运用锐角三角函数求解．17．观察下列各式：32=52﹣42；52=132﹣122；72=252﹣242；92=412﹣402；…请你将猜想到的规律用含正整数n（n≥1）的等式表示出来（2n+1）2=（2n2+2n+1）2﹣（2n2+2n）2（n≥1）．【考点】37：规律型：数字的变化类．【分析】仔细观察每一个等式，用含有n的式子表示出等号左边的底数，然后表示出等号右边的底数即可．【解答】解：∵32=52﹣42；52=132﹣122；72=252﹣242；92=412﹣402；…∴（2n+1）2=（2n2+2n+1）2﹣（2n2+2n）2（n≥1）．故答案为：（2n+1）2=（2n2+2n+1）2﹣（2n2+2n）2（n≥1）．【点评】本题考查了数字的变化，找等式的规律时，既要分别看左右两边的规律，还要注意看左右两边之间的联系．18．如图，有一种动画程序，屏幕上正方形ABCD是黑色区域（含正方形边界），其中A（1，1），B（2，1），C（2，2），D（1，2），用信号枪沿直线y=﹣2x+b发射信号，当信号遇到黑色区域时，区域便由黑变白，则能够使黑色区域变白的b的取值范围为3≤b≤6．【考点】FI：一次函数综合题．【分析】根据题意确定直线y=﹣2x+b经过哪一点b最大，哪一点b最小，然后代入求出b 的取值范围．【解答】解：由题意可知当直线y=﹣2x+b经过A（1，1）时b的值最小，即﹣2×1+b=1，b=3；当直线y=﹣2x+b过C（2，2）时，b最大即2=﹣2×2+b，b=6，故能够使黑色区域变白的b 的取值范围为3≤b≤6．【点评】本题是一次函数在实际生活中的运用，解答此类题目时一定要注意数形结合的运用．19．如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，点P是△ABC内一定点，延长BP至P′，将△ABP绕点A旋转后，与△ACP′重合，如果AP=，那么PP′=2．【考点】KW：等腰直角三角形；R2：旋转的性质．【分析】根据旋转的性质和全等三角形的性质解答可知．【解答】解：∵△ABP绕点A旋转后能与△ACP′重合，∴AP=AP′=，∠PAP′=90°，∴PP′=2．【点评】本题考查旋转的性质：旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．20．用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖10块，第n个图形中需要黑色瓷砖3n+1块（用含n的代数式表示）．【考点】38：规律型：图形的变化类．【分析】分析几何模型，进行合理的运算，图形的变换作出正确解答．【解答】解：本题考查的是规律探究问题．从图形观察每增加一个图形，黑色正方形瓷砖就增加3块，第一个黑色瓷砖有3块，则第3个图形黑色瓷砖有10块，第N个图形瓷砖有4+3（n﹣1）=3n+1（块）．故答案为：10；3n+1．【点评】本题考查学生能够在实际情景中有效的使用代数模型．21．某市政府大力扶持大学生创业，李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的。
江苏省无锡市天一中学2020年中考数学考前预测试卷含答案
只有一项是符合题目要求的.)
1．实数 4 的算术平方根是
A．±2
B．16
C．2
2．函数 y= 2x 中自变量 x 的取值范围是 4-x
A．x≠﹣4
B．x≠4
C．x≤﹣4
D．－2 D．x≤4
（▲ ） （▲ ）
【深入探究】
（3）已知矩形 ABCD，BC＝2．AB＝m，P 为 AD 边上的点，若满足∠BPC＝45°的点
P 恰有两个，则 m 的取值范围为
▲
．
（4）已知矩形 ABCD，AB＝3，BC＝2，P 为矩形 ABCD 内一点，且∠BPC＝135°，
若点 P 绕点 A 逆时针旋转 90°到点 Q，则 PQ 的最小值为 ▲
则 x1＝3+ ，x2＝3﹣ ； 4 分
（2）
，
解①得：x≤1，
1分
解②得：x＞﹣2，
2分
则不等式组的解集是：﹣2＜x≤1． 4 分
21．（本题满分 8 分） （1）证明：
在□ABCD 中，AD＝BC，AB＝DC，∠B＝∠D． （1 分） ∵CE＝AF，∴DC―CE＝AB―AF，即 DE＝BF．…（2 分） ∴△ADE≌△CBF． …………………………………（4 分） （2）答：菱形．…………………………………（5 分） 在□ABCD 中，AB∥DC，∴∠DCA＝∠CAB， ∵AC 恰好平分∠EAF，∴∠EAC＝∠CAB， ∴∠DCA＝∠EAC，∴AE＝EC． ………………………………………………（6 分） ∵AB∥DC，CE＝AF，∴四边形 AECF 为平行四边形， ………………………（7 分） ∴四边形 AECF 为菱形．…………………………………………………………（8 分） 22.（本题满分 6 分） 解：（1）∵80～90 分的有 9 人，频率为 ，
江苏省无锡市天一实验学校2020年九年级中考一模数学试题
精选资料初三中考第一次适应性训练数学试卷（考 120 分 ， 卷 分 130 分．）一、 （本大 共10 小 ，每小 3 分，共 30 分．在每小 所 出的四个 中，只有一 是正确的， 用 2B 笔把答 卡上相 的 号涂黑）．．．．．．．．．．．．．1．－ 3 的 是（ ▲ ）11C ．－ 3D ． 3A ．B ．332．以下运算正确的选项是（▲ ） 235232 223)4x 7B ． ( x)x x C ． x xx D ．（ x y A ． ( xy ）=x3．分解因式 a 29a 的 果是（▲ ）A ．a （ a - 9）B ．（ a - 3）（ a ＋ 3）C ．（ a - 3a ）（ a ＋ 3a ）D ． (a 3)24．如 ，所 形中是中心 称 形但不是 称 形的是( ▲ )AB CD5．一次数学 后，随机抽取九年 某班5 名学生的成 以下：91， 78， 98， 85， 98．对于 数据法 的是 （ ▲ ）．． A ．极差是 20 6． 的底面半径A ． 4πB ．中位数是 91C ．众数是 982，母4， 它的 面 ( ▲)B ． 8πC ． 16πD ． 4 3πD ．均匀数是917．如 是由几个同样的小正方体搭成的一个几何体，它的俯 是（）A ．B ．C ．D ．8．在平面中，以下命 真命 的是（▲）A ．四 相等的四 形是正方形B ．四个角相等的四 形是矩形C ． 角 相等的四 形是菱形D ． 角 相互垂直的四 形是平行四 形9.定 符号 min{a ，b} 的含 ：当 a ≥b min{a ，b}=b ；当 a ＜ bmin{a ，b}=a ．如： min{1 ， 3}= 3，min{ 4， 2}= 4． min{ x 2+1， x} 的最大 是（▲ ）A ．B ．C ． 1D ． 010.如 ，在平面直角坐 中，直 l 原点，且与 y正半 所 的 角 60°， 点 A （ 0，1）作 y 的垂 交直 l 于点 B ， 点 B 作直 l 的垂 交 y 于点 A 1，以 A 1B 、 BA 作 □ABA 1C 1； 点 A 1 作 y 的垂 交直 l 于点 B 1， 点 B 1 作直l 的垂 交 y 于点 A 2，以 A 2B 1、 B 1 A 1作 □A 1B 1A 2C 2； ⋯ ；按此作法 下去， C n 的坐 是（ ▲ ）A ．（×4n ，4n ）B ．（﹣×4n-1 ， 4n-1 ）C ．（﹣×4n ﹣ 1， 4n ）D ．（×4n ，4n-1）精选资料二、填空题 （本大题共 8 小题，每题2 分，共 16 分．不需写出解答过程，只要把答案直接填写在答题．．卡上相应的地点 处） ．．．．．．． 11．函数 yx 2 中自变量 x 的取值范围是▲ 。
江苏省无锡市天一中学2025届高三第四次模拟考试数学试卷含解析
江苏省无锡市天一中学2025届高三第四次模拟考试数学试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．使得()3nx n N+⎛+∈ ⎝的展开式中含有常数项的最小的n 为( )A ．4B ．5C ．6D ．72．若集合M ＝{1，3}，N ＝{1，3，5}，则满足M ∪X ＝N 的集合X 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．43．已知236a b ==，则a ，b 不可能满足的关系是（） A ．a b ab +=B ．4a b +>C ．()()22112a b -+-< D ．228a b +>4．设集合A 、B 是全集U 的两个子集，则“A B ⊆”是“UA B =∅”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知函数2()(2)g x f x x =+为奇函数，且(2)3f =，则(2)f -=（ ）A ．2B ．5C ．1D ．36．已知函数()()2sin 1f x x ωϕ=+-（0>ω，0ϕπ<<）的一个零点是3π，函数()y f x =图象的一条对称轴是直线6x π=-，则当ω取得最小值时，函数()f x 的单调递增区间是（ ）A ．3,336k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） B ．53,336k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） C ．22,236k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） D ．2,236k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） 7．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知23C π=，1c =．当,a b 变化时，若z b a λ=+存在最大值，则正数λ的取值范围为A ．(0,1)B ．(0,2)C ．1(,2)2D ．(1,3)8．2019年10月1日，中华人民共和国成立70周年，举国同庆.将2,0,1,9,10这5个数字按照任意次序排成一行，拼成一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为 A ．96B ．84C ．120D ．3609．设{1,0,1,2}U =-，集合2{|1,}A x x x U =<∈，则U C A =（ ）A ．{0,1,2}B ．{1,1,2}-C ．{1,0,2}-D ．{1,0,1}-10．已知双曲线22221x y a b-=的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为（ ）A ．43B ．53C ．54D ．3211．随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，下图是某城市1月至8月的空气质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是质量合格天气，下面叙述不正确的是（ ）A ．1月至8月空气合格天数超过20天的月份有5个B ．第二季度与第一季度相比，空气达标天数的比重下降了C ．8月是空气质量最好的一个月D ．6月份的空气质量最差.12．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a B b A c +=.若2a =，ABC 的面积为21)，则b c +=（ ） A ．5B ．22C ．4D ．16二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
【2020-2021自招】江苏苏州中学校初升高自主招生数学模拟试卷【4套】【含解析】
第一套：满分150分2020-2021年江苏苏州中学校初升高自主招生数学模拟卷一．选择题（共8小题，满分48分）1．（6分）如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM=（）A．3：2：1 B．5：3：1C．25：12：5 D．51：24：102.（6分）若关于x的一元二次方程（x－2）（x－3）=m有实数根x1,x2，且x1≠x2，有下列结论：①x1=2，x2=3；②1> ；m4③二次函数y=（x－x1）（x－x2）＋m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中，正确结论的个数是【】A.0B.1C.2D.33.（6分）已知长方形的面积为20cm2，设该长方形一边长为ycm，另一边的长为xcm，则y与x之间的函数图象大致是（）A. B. C. D.4.（6分）如图，在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为1，则直线y x 2=-与⊙O 的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上三种情况都有可能 5．（6分）若一直角三角形的斜边长为c ，内切圆半径是r ，则内切圆的面积与三角形面积之比是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（6分）如图，Rt △ABC 中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，D 1是斜边AB 的中点，过D 1作D 1E 1⊥AC 于E 1，连结BE 1交CD 1于D 2；过D 2作D 2E 2⊥AC 于E 2，连结BE 2交CD 1于D 3；过D 3作D 3E 3⊥AC 于E 3，…，如此继续，可以依次得到点E 4、E 5、…、E 2013，分别记△BCE 1、△BCE 2、△BCE 3、…、△BCE 2013的面积为S 1、S 2、S 3、…、S 2013．则S 2013的大小为（ ） A.31003 B.320136 C.310073 D.67147．（6分）抛物线y=ax 2与直线x=1，x=2，y=1，y=2围成的正方形有公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．≤a ≤1B ．≤a ≤2C ．≤a ≤1D ．≤a ≤28．（6分）如图，矩形ABCD 的面积为5，它的两条对角线交于点O 1，以AB ，AO 1为两邻边作平行四边形ABC 1O 1，平行四边形ABC 1O 1的对角线交BD 于点02，同样以AB ，AO 2为两邻边作平行四边形ABC 2O 2．…，依此类推，则平行四边形ABC 2009O 2009的面积为（ ）A.n 25 B.n 22 C.n 31 D.n 23二．填空题：（每题7分，满分42分）9．（7分）方程组的解是 ．10．（7分）若对任意实数x 不等式ax ＞b 都成立，那么a ，b 的取值范围为 ．11．（7分）如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A 是底面圆周上一点，从A 点出发绕侧面一周，再回到A 点的最短的路线长是 ．12．（7分）有一张矩形纸片ABCD ，AD=9，AB=12，将纸片折叠使A 、C 两点重合，那么折痕长是 ．13．（7分）设﹣1≤x ≤2，则|x ﹣2|﹣|x|+|x+2|的最大值与最小值之差为 ．14．（7分）两个反比例函数y=，y=在第一象限内的图象如图所示．点P 1，P 2，P 3、…、P 2007在反比例函数y=上，它们的横坐标分别为x 1、x 2、x 3、…、x 2007，纵坐标分别是1，3，5…共2007个连续奇数，过P 1，P 2，P 3、…、P 2007分别作y 轴的平行线，与y=的图象交点依次为Q 1（x 1′，y 1′）、Q 1（x 2′，y 2′）、…、Q 2（x 2007′，y 2007′），则|P 2007Q 2007|= ．三．解答题：（每天12分，满分60分）15.(12分).已知正实数,,x y z 满足：1xy yz zx ++≠ ,且222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++= .(1) 求111xy yz zx++的值. (2) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.16．（12分）如图，ABC △是等腰直角三角形，CA CB =，点N 在线段AB 上（与A 、B 不重合），点M 在射线BA 上，且45NCM ∠=︒。
2020年江苏省无锡市天一实验中学中考数学第一次模拟试卷(Word版含解析)
2020年中考数学一模试卷一、选择题.1．﹣4的相反数是（）A．4B．C．﹣D．﹣42．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．下列各式中，计算正确的是（）A．8a﹣3b＝5ab B．（a2）3＝a5C．a8÷a4＝a2D．a2•a＝a34．如图是由5个相同的正方体搭成的几何体，其左视图是（）A．B．C．D．5．在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（）A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B．AD∥BC，∠A＝∠CC．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC6．某次数学考试后，班里有两位同学议论他们所在小组同学的数学成绩，小明说：“我组成绩是87分的同学最多．”小英说：“我们组的7位同学成绩排在最中间的恰好也是87分．”上面两位同学的话能反映的统计量是（）A．众数和平均数B．平均数和中位数C．众数和方差D．众数和中位数7．如图，AB是⊙O的直径，DB、DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE＝25°，则∠D的度数是（）A．50°B．55°C．60°D．65°8．如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC﹣CD﹣DA运动至点A停止．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则y 的最大值是（）A．55B．30C．16D．159．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB的中点，点P是直线BC上一点，将△BDP沿DP所在的直线翻折后，点B落在B1处，若B1D⊥BC，则点P 与点B之间的距离为（）A．1B．C．1或3D．或510．已知直线y＝﹣x+7a+1与直线y＝2x﹣2a+4同时经过点P，点Q是以M（0，﹣1）为圆心，MO为半径的圆上的一个动点，则线段PQ的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题（共8小题）11．分解因式：a3﹣4a＝．12．函数的自变量x的取值范围是．13．每到四月，许多地方杨絮、柳絮如雪花般漫天飞舞，人们不堪其扰，据测定，杨絮纤维的直径约为0.0000105m，该数值用科学记数法表示为．14．圆锥的底面半径为14cm，母线长为21cm，则圆锥的侧面展开图的圆心角为度．15．一次函数y1＝mx+n与y2＝﹣x+a的图象如图所示，则0＜mx+n＜﹣x+a的解集为．16．如图，在矩形ABCD中，AB＝2DA，以点A为圆心，AB为半径的圆弧交DC于点E，交AD的延长线于点F，设DA＝2，图中阴影部分的面积为．17．如图，四边形ABCD的顶点都在坐标轴上，若AB∥CD，△AOB与△COD面积分别为8和18，若双曲线y＝恰好经过BC的中点E，则k的值为．18．如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，分别连接A'C，A'D，B'C，则A'C+B'C的最小值为．三、解答题（共10小题，共84分．请在答卷相应的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（1）计算：4cos30°+（1﹣）0；（2）化简：（3x﹣y）2﹣（3x+y）（3x﹣y）．20．（1）解方程：﹣1＝；（2）解不等式组：．21．如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，E是CD的中点，过点C作AB的平行线交AE的延长线于点F，连接BF．（1）求证：CF＝AD；（2）若CA＝CB，试判断四边形CDBF的形状，并说明理由．22．某高中学校为使高一新生入校后及时穿上合身的校服，现提前对某校九年级（1）班学生即将所穿校服型号情况进行摸底调查，并根据调查结果绘制如图两个不完整的统计图（校服型号以身高作为标准，共分为6种号）．根据以上信息，解答下列问题：（1）该班共有多少名学生？（2）在条形统计图中，请把空缺部分补充完整；在扇形统计图中，请计算185型校服所对应的扇形圆心角的大小；（3）求该班学生所穿校服型号的众数和中位数．如果该高中学校准备招收2000名高一新生，则估计需要准备多少套180型号的校服？23．三辆汽车经过某收费站下高速时，在2个收费通道A，B中，可随机选择其中的一个通过．（1）一辆汽车经过此收费站时，选择A通道通过的概率是；（2）求三辆汽车经过此收费站时，至少有两辆汽车选择B通道通过的概率．（请用画树状图的方法写出分析过程，并求出结果）．24．如图，四边形ABCD是菱形，请仅用无刻度的直尺按要求画图．（不写画法，保留作图痕迹）．（1）在图1中，画出∠A的平分线；（2）在图2中，AE⊥CD，过点C画出AD边上的高CF；（3）在图3中，AE⊥CD，过点C画出AB边上的高CG．25．如图，△ABC的顶点A，C在⊙O上，⊙O与AB相交于点D，连接CD，∠A＝30°，DC＝．（1）求圆心O到弦DC的距离；（2）若∠ACB+∠ADC＝180°，求证：BC是⊙O的切线．26．“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围．27．如图①，一次函数y＝x﹣2的图象交x轴于点A，交y轴于点B，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过A、B两点，与x轴交于另一点C．（1）求二次函数的关系式及点C的坐标；（2）如图②，若点P是直线AB上方的抛物线上一点，过点P作PD∥x轴交AB于点D，PE∥y轴交AB于点E，求PD+PE的最大值；（3）如图③，若点M在抛物线的对称轴上，且∠AMB＝∠ACB，求出所有满足条件的点M的坐标．28．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8．动点E，F同时分别从点A，B出发，分别沿着射线AD和射线BD的方向均以每秒1个单位的速度运动，连接EF，以EF为直径作⊙O交射线BD于点M，设运动的时间为t．（1）当点E在线段AD上时，用关于t的代数式表示DE，DM．（2）在整个运动过程中，①连结CM，当t为何值时，△CDM为等腰三角形．②圆心O处在矩形ABCD内（包括边界）时，求t的取值范围，并直接写出在此范围内圆心运动的路径长．参考答案一、选择题（共10小题）1．﹣4的相反数是（）A．4B．C．﹣D．﹣4【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．解：在﹣4前面添上“﹣”号后就是4．故选：A．2．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．解：A、是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项正确；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误．故选：A．3．下列各式中，计算正确的是（）A．8a﹣3b＝5ab B．（a2）3＝a5C．a8÷a4＝a2D．a2•a＝a3【分析】分别根据合并同类项的法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则以及同底数幂除法法则解答即可．解：A、8a与3b不是同类项，故不能合并，故选项A不合题意；B、（a2）3＝a6，故选项B不合题意；C、a8÷a4＝a4，故选项C不符合题意；D、a2•a＝a3，故选项D符合题意．故选：D．4．如图是由5个相同的正方体搭成的几何体，其左视图是（）A．B．C．D．【分析】根据三视图的定义即可判断．解：根据立体图可知该左视图是底层有2个小正方形，第二层左边有1个小正方形．故选：A．5．在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（）A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B．AD∥BC，∠A＝∠CC．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC【分析】根据正方形的判定：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形进行分析从而得到最后的答案．解：A，不能，只能判定为矩形；B，不能，只能判定为平行四边形；C，能；D，不能，只能判定为菱形．故选：C．6．某次数学考试后，班里有两位同学议论他们所在小组同学的数学成绩，小明说：“我组成绩是87分的同学最多．”小英说：“我们组的7位同学成绩排在最中间的恰好也是87分．”上面两位同学的话能反映的统计量是（）A．众数和平均数B．平均数和中位数C．众数和方差D．众数和中位数【分析】根据中位数和众数的定义回答即可．解：在一组数据中出现次数最多的数是这组数据的众数，排在中间位置的数是中位数，故选：D．7．如图，AB是⊙O的直径，DB、DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE＝25°，则∠D的度数是（）A．50°B．55°C．60°D．65°【分析】连接BC，由弦切角定理得∠ACE＝∠ABC，再由切线的性质求得∠DBC，最后由切线长定理求得∠D的度数．【解答】解：连接BC，∵DB、DE分别切⊙O于点B、C，∴BD＝DC，∵∠ACE＝25°，∴∠ABC＝25°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠DBC＝∠DCB＝90°﹣25°＝65°，∴∠D＝50°．故选：A．8．如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC﹣CD﹣DA运动至点A停止．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则y 的最大值是（）A．55B．30C．16D．15【分析】本题难点在于应找到面积不变的开始与结束，得到BC，CD的具体值．解：动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，而当点P运动到点C，D 之间时，△ABP的面积不变．函数图象上横轴表示点P运动的路程，x＝5时，y开始不变，说明BC＝5，x＝11时，接着变化，说明CD＝11﹣5＝6．∴△ABC的面积为＝×6×5＝15．故选：D．9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB的中点，点P是直线BC上一点，将△BDP沿DP所在的直线翻折后，点B落在B1处，若B1D⊥BC，则点P 与点B之间的距离为（）A．1B．C．1或3D．或5【分析】分点B1在BC左侧，点B1在BC右侧两种情况讨论，由勾股定理可AB＝5，由平行线分线段成比例可求BE，DE的长，由勾股定理可求PB的长．解：如图，若点B1在BC左侧，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5，∵点D是AB的中点，∴BD＝AB＝，∵B1D⊥BC，∠C＝90°∴B1D∥AC，，∴BE＝EC＝BC＝2，DE＝AC＝，∵折叠∴B1D＝BD＝，B1P＝BP∴B1E＝B1D﹣DE＝1∴在Rt△B1PE中，B1P2＝B1E2+PE2，∴BP2＝1+（2﹣BP）2，∴BP＝，如图，若点B1在BC右侧，∵B1E＝DE+B1D＝＝4，在Rt△EB1P中，B1P2＝B1E2+EP2，∴BP2＝16+（BP﹣2）2，∴BP＝5故答案为：或5．故选：D．10．已知直线y＝﹣x+7a+1与直线y＝2x﹣2a+4同时经过点P，点Q是以M（0，﹣1）为圆心，MO为半径的圆上的一个动点，则线段PQ的最小值为（）A．B．C．D．【分析】先解方程组得P点坐标为（3a﹣1，4a+2），则可确定点P为直线y＝x+上一动点，设直线y＝x+与坐标的交点为A、B，如图，则A（﹣，0），B（0，），利用勾股定理计算出AB＝，过M点作MP⊥直线AB于P，交⊙M于Q，此时线段PQ的值最小，证Rt△MBP∽Rt△ABO，利用相似比计算出MP＝，则PQ＝，即线段PQ的最小值为．解：解方程组得，∴P点坐标为（3a﹣1，4a+2），设x＝3a﹣1，y＝4a+2，∴y＝x+，即点P为直线y＝x+上一动点，设直线y＝x+与坐标的交点为A、B，如图，则A（﹣，0），B（0，），∴AB＝＝，过M点作MP⊥直线AB于P，交⊙M于Q，此时线段PQ的值最小，∵∠MBP＝∠ABO，∴Rt△MBP∽Rt△ABO，∴MP：OA＝BM：AB，即MP：＝：，∴MP＝，∴PQ＝﹣1＝，即线段PQ的最小值为．故选：C．二、填空题（共8小题，每小题2分，共16分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答卷相应的横线上．）11．分解因式：a3﹣4a＝a（a+2）（a﹣2）．【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．解：原式＝a（a2﹣4）＝a（a+2）（a﹣2）．故答案为：a（a+2）（a﹣2）12．函数的自变量x的取值范围是x≠1．【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解．解：由题意得，x﹣1≠0，解得x≠1．故答案为：x≠1．13．每到四月，许多地方杨絮、柳絮如雪花般漫天飞舞，人们不堪其扰，据测定，杨絮纤维的直径约为0.0000105m，该数值用科学记数法表示为 1.05×10﹣5．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．解：杨絮纤维的直径约为0.0000105m，该数值用科学记数法表示为1.05×10﹣5．故答案为：1.05×10﹣5．14．圆锥的底面半径为14cm，母线长为21cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为240度．【分析】根据弧长＝圆锥底面周长＝28，圆心角＝弧长×180÷母线长÷π计算．解：由题意知：弧长＝圆锥底面周长＝2×14π＝28πcm，扇形的圆心角＝弧长×180÷母线长÷π＝28π×180÷21π＝240°．故答案为：240．15．一次函数y1＝mx+n与y2＝﹣x+a的图象如图所示，则0＜mx+n＜﹣x+a的解集为2＜x＜3．【分析】0＜mx+n＜﹣x+a表示在x轴的上方，且y2＝﹣x+a的图象在y1＝mx+n的图象的上边部分自变量的取值范围，依据函数图象中两直线的位置，即可得到不等式组0＜mx+n＜﹣x+a的解集为2＜x＜3．解：由图可得，当0＜mx+n时，x＞2；当mx+n＜﹣x+a时，x＜3；∴不等式组0＜mx+n＜﹣x+a的解集为2＜x＜3，故答案为：2＜x＜3．16．如图，在矩形ABCD中，AB＝2DA，以点A为圆心，AB为半径的圆弧交DC于点E，交AD的延长线于点F，设DA＝2，图中阴影部分的面积为π﹣2．【分析】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得∠AED＝30°，然后求出DE，再根据阴影部分的面积＝S扇形AEF﹣S△ADE列式计算即可得解．解：∵AB＝2DA，AB＝AE（扇形的半径），∴AE＝2DA＝2×2＝4，∴∠AED＝30°，∴∠DAE＝90°﹣30°＝60°，DE＝＝＝2，∴阴影部分的面积＝S扇形AEF﹣S△ADE，＝﹣×2×2，＝π﹣2．故答案为：π﹣2．17．如图，四边形ABCD的顶点都在坐标轴上，若AB∥CD，△AOB与△COD面积分别为8和18，若双曲线y＝恰好经过BC的中点E，则k的值为6．【分析】由平行线的性质得∠OAB＝∠OCD，∠OBA＝∠ODC，两个对应角相等证明△OAB∽△OCD，其性质得，再根据三角形的面积公式，等式的性质求出m＝，线段的中点，反比例函数的性质求出k的值为6．解：如图所示：∵AB∥CD，∴∠OAB＝∠OCD，∠OBA＝∠ODC，∴△OAB∽△OCD，∴，若＝m，由OB＝m•OD，OA＝m•OC，又∵，，∴＝，又∵S△OAB＝8，S△OCD＝18，∴，解得：m＝或m＝（舍去），设点A、B的坐标分别为（0，a），（0，b），∵，∴点C的坐标为（0，﹣a），又∵点E是线段BC的中点，∴点E的坐标为（），又∵点E在反比例函数上，∴＝﹣＝，故答案为6．18．如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，分别连接A'C，A'D，B'C，则A'C+B'C的最小值为．【分析】根据菱形的性质得到AB＝1，∠ABD＝30°，根据平移的性质得到A′B′＝AB＝1，A′B′∥AB，推出四边形A′B′CD是平行四边形，得到A′D＝B′C，于是得到A'C+B'C的最小值＝A′C+A′D的最小值，根据平移的性质得到点A′在过点A 且平行于BD的定直线上，作点D关于定直线的对称点E，连接CE交定直线于A′，则CE的长度即为A'C+B'C的最小值，求得DE＝CD，得到∠E＝∠DCE＝30°，于是得到结论．解：∵在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AB＝CD＝1，∠ABD＝30°，∵将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，∴A′B′＝AB＝1，A′B′∥AB，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAD＝120°，∴A′B′＝CD，A′B′∥CD，∴四边形A′B′CD是平行四边形，∴A′D＝B′C，∴A'C+B'C的最小值＝A′C+A′D的最小值，∵点A′在过点A且平行于BD的定直线上，∴作点D关于定直线的对称点E，连接CE交定直线于A′，则CE的长度即为A'C+B'C的最小值，∵∠A′AD＝∠ADB＝30°，AD＝1，∴∠ADE＝60°，DH＝EH＝AD＝，∴DE＝1，∴DE＝CD，∵∠CDE＝∠EDB′+∠CDB＝90°+30°＝120°，∴∠E＝∠DCE＝30°，∴CE＝2×CD＝．故答案为：．三、解答题（共10小题，共84分．请在答卷相应的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（1）计算：4cos30°+（1﹣）0；（2）化简：（3x﹣y）2﹣（3x+y）（3x﹣y）．【分析】（1）原式利用特殊角的三角函数值，零指数幂法则，以及二次根式性质计算即可求出值；（2）原式利用完全平方公式，以及平方差公式计算，去括号合并即可得到结果．解：（1）原式＝4×+1﹣2＝2+1﹣2＝1；（2）原式＝9x2﹣6xy+y2﹣9x2+y2＝2y2﹣6xy．20．（1）解方程：﹣1＝；（2）解不等式组：．【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．解：（1）去分母得：x2﹣x2+2x＝x﹣2，解得：x＝﹣2，经检验x＝﹣2是分式方程的解；（2），由①得：x＜3，由②得：x＜2，则不等式组的解集为x＜2．21．如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，E是CD的中点，过点C作AB的平行线交AE的延长线于点F，连接BF．（1）求证：CF＝AD；（2）若CA＝CB，试判断四边形CDBF的形状，并说明理由．【分析】（1）欲证明CF＝AD，只要证明△ADE≌FCE即可．（2）结论：四边形CDBF是矩形．只要证明四边形CDBF是平行四边形，再证明根据三线合一证明CD⊥AB即可解决问题．【解答】证明：（1）∵AB∥CF∴∠EAD＝∠EFC，∠ADE＝∠FCE，∵E是CD的中点，∴DE＝CE在△ADE和△FCE中，，∴△ADE≌FCE∴AD＝CF（2）结论：边形CDBF是矩形．理由：∵AD＝CF∵CD是AB边上的中线∴AD＝BD∴BD＝CF又∵BD∥CF∴四边形CDBF是平行四边形∵CA＝CB，AD＝BD，∴CD⊥AB，∴∠CDB＝90°∴四边形CDBF是矩形．﹣22．某高中学校为使高一新生入校后及时穿上合身的校服，现提前对某校九年级（1）班学生即将所穿校服型号情况进行摸底调查，并根据调查结果绘制如图两个不完整的统计图（校服型号以身高作为标准，共分为6种号）．根据以上信息，解答下列问题：（1）该班共有多少名学生？（2）在条形统计图中，请把空缺部分补充完整；在扇形统计图中，请计算185型校服所对应的扇形圆心角的大小；（3）求该班学生所穿校服型号的众数和中位数．如果该高中学校准备招收2000名高一新生，则估计需要准备多少套180型号的校服？【分析】（1）根据166型号的额人数和所占的百分比，可以求得该班共有多少名学生；（2）根据（1）中的结果和扇形统计图中的数据，可以计算出175型号和185型号的学生人数，从而可以将条形统计图补充完整，再根据统计图中的数据，可以计算出185型校服所对应的扇形圆心角的大小；（3）根据统计图中的数据，可以写出众数和中位数，并计算出需要准备多少套180型号的校服．解：（1）15÷30%＝50（名），即该班共有50名学生；（2）穿175型校服的学生有50×20%＝10（名），185型的学生有：50﹣3﹣15﹣15﹣10﹣5＝2（名），补充完整的条形统计图如右图所示，185型校服所对应的扇形圆心角的度数是：360°×＝14.4°；（3）由统计图可知，该班学生所穿校服型号的众数是165和170，中位数170，2000×＝200（套）答：需要准备200套180型号的校服．23．三辆汽车经过某收费站下高速时，在2个收费通道A，B中，可随机选择其中的一个通过．（1）一辆汽车经过此收费站时，选择A通道通过的概率是；（2）求三辆汽车经过此收费站时，至少有两辆汽车选择B通道通过的概率．（请用画树状图的方法写出分析过程，并求出结果）．【分析】（1）直接根据概率公式即可得到结论；（2）画出树状图即可得到至少有两辆汽车选择B通道通过的概率．解：（1）∵在2个收费通道A，B中，可随机选择其中的一个通过．∴一辆汽车经过此收费站时，选择A通道通过的概率＝，故答案为：；（2）画树状图得：∵共有8种等可能的情况，其中至少有两辆汽车选择B通道通过的有4种情况，∴至少有两辆汽车选择B通道通过的概率为＝．24．如图，四边形ABCD是菱形，请仅用无刻度的直尺按要求画图．（不写画法，保留作图痕迹）．（1）在图1中，画出∠A的平分线；（2）在图2中，AE⊥CD，过点C画出AD边上的高CF；（3）在图3中，AE⊥CD，过点C画出AB边上的高CG．【分析】（1）连接AC，射线AC即为所求．（2）连接BD交AE于O，作直线OC交AD于F，线段CF即为所求．（3）连接AC，BD交于点O，作直线OE交AB于G，线段CG即为所求．解：（1）连接AC，射线AC即为所求．（2）连接BD交AE于O，作直线OC交AD于F，线段CF即为所求．（3）连接AC，BD交于点O，作直线OE交AB于G，连接CG，线段CG即为所求．25．如图，△ABC的顶点A，C在⊙O上，⊙O与AB相交于点D，连接CD，∠A＝30°，DC＝．（1）求圆心O到弦DC的距离；（2）若∠ACB+∠ADC＝180°，求证：BC是⊙O的切线．【分析】（1）连接OD，OC，过O作OE⊥OC于E，得到△OCD是等边三角形，求得OD＝OC＝CD＝，解直角三角形即可得到结论；（2）由（1）得，△ODC是等边三角形，求得∠OCD＝60°，根据相似三角形的性质得到∠A＝∠BCD＝30°，求得∠OCB＝90°，于是得到BC是⊙O的切线．解：（1）连接OD，OC，过O作OE⊥OC于E，∵∠A＝30°，∴∠DOC＝60°，∵OD＝OC，CD＝，∴△OCD是等边三角形，∴OD＝OC＝CD＝，∵OE⊥DC，∴DE＝，∠DEO＝90°，∠DOE＝30°，∴OE＝DE＝，∴圆心O到弦DC的距离为：；（2）①由（1）得，△ODC是等边三角形，∴∠OCD＝60°，∵∠ACB+∠ADC＝180°，∠CDB+∠ADC＝180°，∴∠ACB＝∠CDB，∵∠B＝∠B，∴△ACB∽△CDB，∴∠A＝∠BCD＝30°，∴∠OCB＝90°，∴BC是⊙O的切线．26．“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围．【分析】（1）可用待定系数法来确定y与x之间的函数关系式；（2）根据利润＝销售量×单件的利润，然后将（1）中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润；（3）首先得出w与x的函数关系式，进而利用所获利润等于3600元时，对应x的值，根据增减性，求出x的取值范围．解：（1）设y＝kx+b，∵直线y＝kx+b经过点（40，300），（55，150），∴，解得：．故y与x之间的函数关系式为：y＝﹣10x+700，（2）由题意，得﹣10x+700≥240，解得x≤46，∴30＜x≤46，设利润为w＝（x﹣30）•y＝（x﹣30）（﹣10x+700），w＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x﹣50）2+4000，∵﹣10＜0，∴x＜50时，w随x的增大而增大，∴x＝46时，w最大＝﹣10（46﹣50）2+4000＝3840，答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元；（3）w﹣150＝﹣10x2+1000x﹣21000﹣150＝3600，﹣10（x﹣50）2＝﹣250，x﹣50＝±5，x1＝55，x2＝45，如图所示，由图象得：当45≤x≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元．27．如图①，一次函数y＝x﹣2的图象交x轴于点A，交y轴于点B，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过A、B两点，与x轴交于另一点C．（1）求二次函数的关系式及点C的坐标；（2）如图②，若点P是直线AB上方的抛物线上一点，过点P作PD∥x轴交AB于点D，PE∥y轴交AB于点E，求PD+PE的最大值；（3）如图③，若点M在抛物线的对称轴上，且∠AMB＝∠ACB，求出所有满足条件的点M的坐标．【分析】（1）先根据一次函数解析式确定A（4，0），B（0，﹣2），再利用待定系数法求抛物线解析式；然后解方程﹣x2+x﹣2＝0得C点坐标；（2）如图2，先证明△PDE∽△OAB．利用相似比得到PD＝2PE．设P（m，﹣m2+m ﹣2），则E（m，m﹣2）．再利用m表示出PD+PE得到PD+PE＝3×[﹣m2+m ﹣2﹣（m﹣2）]，然后根据二次函数的性质解决问题；（3）讨论：当点M在直线AB上方时，根据圆周角定理可判断点M在△ABC的外接圆上，如图1，由于抛物线的对称轴垂直平分AC，则△ABC的外接圆O1的圆心在对称轴上，设圆心O1的坐标为（，﹣t），根据半径相等得到（）2+（﹣t+2）2＝（﹣4）2+t2，解方程求出t得到圆心O1的坐标为（，﹣2），然后确定⊙O1的半径半径为．从而得到此时M点坐标；当点M在在直线AB下方时，作O1关于AB的对称点O2，如图2，通过证明∠O1AB＝∠OAB可判断O2在x轴上，则点O2的坐标为（，0），然后计算出DM即可得到此时M点坐标．解：（1）令y＝＝0，解得x＝4，则A（4，0）．令x＝0，得y＝﹣2，则B（0，﹣2）；∵二次函数y＝的图象经过A、B两点，∴，解得∴二次函数的关系式为y＝﹣x2+x﹣2；当y＝0时，﹣x2+x﹣2＝0，解得x1＝1，x2＝4，则C（1，0）；（2）如图2，∵PD∥x轴，PE∥y轴，∴∠PDE＝∠OAB，∠PED＝∠OBA．∴△PDE∽△OAB．∴＝＝＝2，∴PD＝2PE．设P（m，﹣m2+m﹣2），则E（m，m﹣2）．∴PD+PE＝3PE＝3×[﹣m2+m﹣2﹣（m﹣2）]＝﹣m2+6m＝﹣（m﹣2）2+6；∵0＜m＜4，∴当m＝2时，PD+PE有最大值6；（3）当点M在直线AB上方时，则点M在△ABC的外接圆上，如图1．∵△ABC的外接圆O1的圆心在对称轴上，设圆心O1的坐标为（，﹣t），∵O1B＝O1A，∴（）2+（﹣t+2）2＝（﹣4）2+t2，解得t＝2．∴圆心O1的坐标为（，﹣2）．∴O1A＝＝，即⊙O1的半径半径为．此时M点坐标为（，）；当点M在在直线AB下方时，作O1关于AB的对称点O2，如图2．∵AO1＝O1B＝，∴∠O1AB＝∠O1BA．∵O1B∥x轴，∴∠O1BA＝∠OAB．∴∠O1AB＝∠OAB，O2在x轴上，∴点O2的坐标为（，0）．∴O2D＝1，∴DM＝＝．此时点M的坐标为（，）．综上所述，点M的坐标为（，）或（，）．28．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8．动点E，F同时分别从点A，B出发，分别沿着射线AD和射线BD的方向均以每秒1个单位的速度运动，连接EF，以EF为直径作⊙O交射线BD于点M，设运动的时间为t．（1）当点E在线段AD上时，用关于t的代数式表示DE，DM．（2）在整个运动过程中，①连结CM，当t为何值时，△CDM为等腰三角形．②圆心O处在矩形ABCD内（包括边界）时，求t的取值范围，并直接写出在此范围内圆心运动的路径长．【分析】（1）在Rt△ABD中，依据勾股定理可求得BD的长，然后依据MD＝ED•cos ∠MDE，cos∠MDE＝cos∠ADB＝，由此即可解决问题．（2）①可分为点E在AD上，点E在AD的延长线上画出图形，然后再依据MC＝MD，CM＝CD、DM＝DC三种情况求解即可；②当t＝0时，圆心O在AB边上．当圆心O在CD边上时，过点E作EH∥CD交BD 的延长线与点H．先求得DH的长，然后依据平行线分线段成比例定理可得到DF＝DH，然后依据DF＝DH列出关于t的方程，从而可求得t的值，故此可得到t的取值范围，取AB的中点N，连接ON，过点O作OM⊥AB于点M，求出DH＝，则EH＝，可求出DO＝，则圆心运动的路径长可求出．解：（1）如图1所示：连接ME．∵AE＝t，AD＝8，∴ED＝AD﹣AE＝8﹣t．∵EF为⊙O的直径，∴∠EMF＝90°．∴∠EMD＝90°．∴MD＝ED•cos∠MDE＝．（2）①a、如图2所示：连接MC．当DM＝CD＝6时，＝6，解得t＝；b、如图3所示：当MC＝MD时，连接MC，过点M作MN⊥CD，垂足为N．∵MC＝MD，MN⊥CD，∴DN＝NC．∵MN⊥CD，BC⊥CD，∴BC∥MN．∴M为BD的中点．∴MD＝5，即＝5，解得t＝；c、如图4所示：CM＝CD时，过点C作CG⊥DM．∵CM＝CD，CG⊥MD，∴GD＝MD＝．∵，∴DG＝CD＝．∴．解得：t＝﹣1（舍去）．d、如图5所示：当CD＝DM时，连接EM．∵AE＝t，AD＝8，∴DE＝t﹣8．∵EF为⊙O的直径，∴EM⊥DM．∴DM＝ED•cos∠EDM＝．∴＝6，解得：t＝．综上所述，当t＝或t＝或t＝时，△DCM为等腰三角形．②当t＝0时，圆心O在AB边上．如图6所示：当圆心O在CD边上时，过点E作EH∥CD交BD的延长线与点H．∵HE∥CD，OF＝OE，∴DF＝DH．∵DH═，DF＝10﹣t，∴．解得：t＝．∴，∵sin∠ADB＝sin∠EDH，∴，∴，∴，∵O为EF的中点，D为FH的中点，∴＝，取AB的中点N，连接ON，过点O作OM⊥AB于点M，∴四边形MADO为矩形，∴MA＝DO＝，MO＝AD＝8，∴AN＝＝3，∴MN＝3﹣＝，∴NO＝＝＝．∴在此范围内圆心运动的路径长为．综上所述，在整个运动过程中圆心O处在矩形ABCD内（包括边界）时，t的取值范围为0≤t≤，在此范围内圆心运动的路径长为．。
2020年江苏省无锡市天一实验学校中考数学一模试卷(含答案解析)
2020年江苏省无锡市天一实验学校中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.19的相反数是()A. −19B. −119C. 119D. 192.下列各图是中心对称图形但不是轴对称的是()A. 一般平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 正方形3.下列各式运算正确的是()A. a2+a3=a5B. a2⋅a3=a6C. (ab2)3=ab6D. a10÷a5=a54.如图所示的几何体的左视图是()A.B.C.D.5.如果要证明平行四边形ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上，进一步证明()．A. AC和BD互相垂直平分B. AB=AD且AC⊥BDC. ∠A=∠B且AC=BDD. AB=AD且AC=BD6.下表是某校合唱团成员的年龄分布：年龄/岁13141516频数515x10−x对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是()A. 众数、中位数B. 中位数、方差C. 平均数、中位数D. 平均数、方差7.如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，∠P=70°，∠C=()A. 70°B. 55°C. 110°D. 140°8.如图1，在矩形ABCD中，动点E从点B出发，沿BADC方向运动至点C处停止，设点E运动的路程为x，△BCE的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当x=7时，点E应运动到()A. 点C处B. 点D处C. 点B处D. 点A处9.如图，有一块Rt△ABC的纸片，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，将△ABC沿AD折叠，使点B落在AC上的E处，则BD的长为()．A. 3B. 4C. 5D. 610.如图，在平面直角坐标系中，⊙A的半径为1，圆心A在函数y=x的图象上运动，下列各点不可能落入⊙A的内部的是()A. (1,2)B. (2,3.2)C. (3,3−√22)D. (4,4+√2)二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）11.分解因式：2a3b−8ab=______．12.在函数y=x−34x−2中，自变量x的取值范围是______．13.人体中红细胞的直径约为0.000002017m，用科学计数法表示为m.14.圆锥底面圆的半径为2cm，其侧面展开图的圆心角为120°，则圆锥的母线长为______cm．15.已知在同一平面直角坐标系中，一次函数y=23x+56与y=−12x+2的图象如图所示，那么不等式23x+56<−12x+2的解集为______．16.如图，四边形ABCD为矩形，以A为圆心，AD为半径的弧交AB的延长线于点E，连接BD，若AD=2AB=6，则图中阴影部分的面积为______．17.如图，双曲线y=kx(x>0)经过△OAB的顶点A和OB的中点C，AB//x轴，点A的坐标为(2,3)，求△OAC的面积是______．18.如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，E，F分别是BC，DC上的点，∠EAF=60°，连接EF，则△AEF的面积最小值是______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）19.有2部不同的电影A、B，甲、乙、丙3人分别从中任意选择1部观看．(1)求甲选择A部电影的概率；(2)求甲、乙、丙3人选择同1部电影的概率(请用画树状图的方法给出分析过程，并求出结果)．四、解答题（本大题共9小题，共78.0分）20.计算或化简：)−2−4sin45°．(1)√8−(√3−1)0+(12(2)(2+a)(2−a)+(a+1)221.(1)解不等式组：{x−2<2(x−1) x3≤4−x(2)解方程：x−3x −2=3xx−322.如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．(1)线段BD与CD有什么数量关系，并说明理由；(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．23.某校为了解初中学生每天在校体育活动的时间(单位：ℎ)，随机调查了该校的部分初中学生．根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②.请根据相关信息，解答下列问题：(Ⅰ)本次接受调查的初中学生人数为______，图①中m的值为______；(Ⅱ)求统计的这组每天在校体育活动时间数据的平均数、众数和中位数；(Ⅲ)根据统计的这组每天在校体育活动时间的样本数据，若该校共有800名初中学生，估计该校每天在校体育活动时间大于1h的学生人数．24.如图，四边形ABCD是菱形，BE是AD边上的高，请仅用无刻度的直尺作图．(保留作图痕迹)(1)在图1中，BD=AB，作△BCD的边BC上的中线DF；(2)在图2中，BD≠AB，作△ABD的边AB上的高DF．25.如图，已知BC是⊙O的直径，点D为BC延长线上的一点，点A为圆上一点，且AB=AD，AC=CD．(1)求证：△ACD∽△BAD；(2)求证：AD是⊙O的切线．26.超市销售某品牌洗手液，进价为每瓶10元．在销售过程中发现，每天销售量y(瓶)与每瓶售价x(元)之间满足一次函数关系(其中10≤x≤25，且x为整数)，当每瓶洗手液的售价是12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶洗手液的售价是14元时，每天销售量为80瓶．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)若超市销售该品牌洗手液每天销售利润为420元，则这种的洗手液的定价为多少钱．(3)直接写出每瓶洗手液的售价定为多少元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大利润是多少元．27.已知二次函数y=ax2+bx+3的图象经过A(−1,0)、C(3,0)、并且与y轴相交于点B，点P是直线BC上方的抛物线上的一动点，PQ//y轴交直线BC于点Q．(1)求此二次函数的表达式；(2)求线段PQ的最大值；(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△MAB为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．28.如图，Rt△ABC中，AB=6，AC=8.动点E，F同时分别从点A，B出发，分别沿着射线AC和射线BC的方向均以每秒1个单位的速度运动，连接EF，以EF为直径作⊙O交射线BC于点M，连接EM，设运动的时间为t(t>0)．(1)当点E在线段AC上时，用关于t的代数式表示CE=________，CM=________.(直接写出结果)(2)在整个运动过程中，当t为何值时，以点E、F、M为顶点的三角形与以点A、B、C为顶点的三角形相似？【答案与解析】1.答案：A解析：此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．直接利用相反数的定义分析得出答案．解：19的相反数是：−19．故选：A．2.答案：A解析：此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意．故选A．3.答案：D解析：本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法及幂的乘方与积的乘方运算，掌握同底数幂的运算法则是解题关键．根据同底数幂的乘除法则及幂的乘方与积的乘方法则进行各选项的判断即可．解：A.a2与a3不是同类项，不能直接合并，故本选项错误；B.a2⋅a3=a5，计算错误，故本选项错误；C.(ab2)3=a3b6，原式计算错误，故本选项错误；D.a10÷a5=a5，原式计算正确，故本选项正确；故选D．4.答案：B解析：解：该几何体从左边看有两列，左边一列底层是一个正方形，右边一列是三个正方形．故选：B．根据左视图即从左边观察所得图形．本题主要考查简单组合体的三视图，解题的关键是掌握三视图的定义．5.答案：D解析：根据正方形的判定对各个选项进行分析从而得到最后的答案．本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途径有两种：①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以不能判断四边形ABCD是正方形；B、根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，或者对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以不能判断平行四边形ABCD是正方形；C、一组邻角相等的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形也是矩形，即只能证明四边形ABCD 是矩形，不能判断四边形ABCD是正方形；D、根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形为矩形，所以能判断四边形ABCD是正方形．故选D．6.答案：A解析：本题主要考查频数分布表及众数、中位数，由表中数据得出数据的总数，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键．解：由表可知，年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为x+10−x=10，则总人数为：5+15+10=30，=14岁，故该组数据的众数为14岁，中位数为：14+142即对于不同的x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数，故选A．7.答案：B解析：解：如图，连接OA，OB，∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，∴∠PAO=∠PBO=90°，∴∠AOB=180°−∠P=110°，∠AOB=55°．由圆周角定理知，∠C=12故选B．如图，连接OA，OB，由PA，PB分别切⊙O于点A，B可以得到∠PAO=∠PBO=90°，然后可以求出∠AOB，再由圆周角定理可以求出∠C．本题利用了切线的性质，四边形的内角和为360度，圆周角定理求解．8.答案：B解析：解：当E在AB上运动时，△BCE的面积不断增大；当E在AD上运动时，BC一定，高为AB不变，此时面积不变；当E在DC上运动时，△BCE的面积不断减小．∴当x=7时，点E应运动到高不再变化时，即点D处．故选：B．注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决．本题考查动点问题的函数图象问题，有一定难度，注意要仔细分析．关键是根据所给函数图象和点的运动轨迹判断出x=3到7时点E所在的位置．9.答案：A解析：此题考查了折叠的性质与勾股定理.此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用，注意掌握折叠中的对应关系．由题意可得∠AED =∠B =90°，AE =AB =3，由勾股定理即可求得AC 的长，则可得EC 的长，然后设BD =ED =x ，则CD =BC −BD =4−x ，由勾股定理CD 2=EC 2+ED 2，即可得方程，解方程即可求得答案．解：设BD =x ，在Rt △ABC 中，由勾股定理得：AC =√AB 2+BC 2=√62+82=10， 折叠纸片使AB 边与AC 边重合，B 点落在点E 上，AE =AB =6，BD =DE =x ，EC =AC −AE =10−6=4，由线段的和差，得DC =BC −BD =8−x ，在Rt △CED 中，由勾股定理得：DE 2+CE 2=DC 2 ，x 2+42=(8−x )2 ，x =3．故选A ．10.答案：D解析：解：A 、点(1,2)到直线y =x 的距离为√22(2−1)=√22<1，∴点(1,2)可能在⊙A 的内部；B 、点(2,3.2)到直线y =x 的距离为√22(3.2−2)=3√25<1，∴点(2,3.2)可能在⊙A 的内部；C 、点(3,3−√22)到直线y =x 的距离为√22[3−(3−√22)]=12<1，∴点(3,3−√22)可能在⊙A 的内部；D 、点(4,4+√2)到直线y =x 的距离为√22(4+√2−4)=1，∴点(4,4+√2)不可能在⊙A的内部．故选：D．通过构造等腰直角三角形分别求出四个选项中点到直线y=x的距离，找出该距离大于等于1的即可得出结论．本题考查了点与圆的位置关系以及一元一次函数图象上点的坐标特征，分别求出各选项中点到直线y=x的距离是解题的关键．11.答案：2ab(a+2)(a−2)解析：解：原式=2ab(a2−4)=2ab(a+2)(a−2)，故答案为：2ab(a+2)(a−2)．原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．12.答案：x≠12解析：解：由题意，得4x−2≠0，解得x≠1，2．故答案为：x≠12根据分母为零无意义，可得答案．本题考查了函数自变量的取值范围，利用分母不能为零得出不等式是解题关键．13.答案：2.017×10−6解析：本题主要考查科学记数法.用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，解题的关键是确定a与n的值，n等于原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数．解：0.000002017=2.017×10−6．故答案为2.017×10−6．14.答案：6解析：解：设圆锥的母线长为xcm，根据题意得120⋅π⋅x180=2π⋅2，解得x=6，即圆锥的母线长为6cm．故答案为6．设圆锥的母线长为xcm，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到120⋅π⋅x180=2π⋅2，然后解关于x的方程即可．本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．15.答案：x<1解析：解：∵从图象可知：两一次函数y=23x+56与y=−12x+2的图象的交点坐标是(1,32)，∴不等式23x+56<−12x+2的解集为x<1，故答案为x<1．根据两函数的交点坐标得出不等式的解集即可．本题考查了一次函数的图象、一次函数与一元一次不等式，了解两个一次函数的交点坐标与一元一次不等式的解集的关系是解此题的关键．16.答案：3π+9√32−9解析：本题考查扇形的面积、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意作出合适的辅助线，可得阴影部分的面积是扇形AED的面积减去△ABD的面积，再减去弓形BEF的面积(为扇形AEF得面积减去△ABF的面积)，从而可以解答本题．解：连接AF，如右图所示，∵四边形ABCD为矩形，AD=2AB=6，∴AF=AD=6，AB=3，∠ABF=90°，∴∠AFB=30°，BF=3√3，∴∠FAE=60°，∴图中阴影部分的面积为：90×π×62360−3×62−(60×π×62360−3×3√32)=3π+9√32−9，故答案为3π+9√32−9．17.答案：92解析：解：∵点A(2,3)在双曲线y=kx(x>0)上，∴k=2×3=6．过点C作CN⊥y轴，垂足为N，延长BA，交y轴于点M，∵AB//x轴，∴BM⊥y轴，∴MB//CN，∴△OCN∽△OBM，∵C为OB的中点，即OCOB =12，∴S△OCNS△OBM =(12)2，∵A，C都在双曲线y=6x上，∴S△OCN=S△AOM=3，由33+S△AOB=14，得：S△AOB=9，则△AOC面积=12S△AOB=92．故答案是：92．将A坐标代入反比例解析式求出k的值即可；过点C作CN⊥y轴，垂足为N，延长BA，交y轴于点M，得到CN与BM平行，进而确定出三角形OCN与三角形OBM相似，根据C为OB的中点，得到相似比为1：2，确定出三角形OCN与三角形OBM面积比为1：4，利用反比例函数k的意义确定出三角形OCN与三角形AOM的面积，根据相似三角形面积之比为1：4，求出三角形AOB面积即可．此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，坐标与图形性质，相似三角形的判定与性质，以及反比例函数k的意义，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．18.答案：3√3解析：解：连接AC，由题意△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠ACB=60°，∴∠B=∠ACF=60°，∵AD//BC，∴∠AEB=∠EAD=∠EAF+∠FAD=60°+∠FAD，∠AFC=∠D+∠FAD=60°+∠FAD，∴∠AEB=∠AFC，在△ABE和△ACF中，{∠B=∠ACF∠AEB=∠AFC AB=AC，∴△ABE≌△ACF(AAS)，∴AE=AF，∵∠EAF=60°，∴△AEF是等边三角形，∵当AE⊥BC时，AB=4，∴AE=2√3，∴△AEF的面积最小值=12×3×2√3=3√3，故答案为：3√3．此题考查了菱形的性质，关键是根据等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质解答．首先由△ABC是等边三角形，即可得AB=AC，以求得∠ACF=∠B=60°，然后利用平行线与三角形外角的性质，可求得∠AEB=∠AFC，证得△AEB≌△AFC，即可得AE=AF，证得△AEF是等边三角形，当AE⊥BC时得出△AEF的面积最小值即可．19.答案：解：(1)甲选择A部电影的概率=12；(2)画树状图为：共有8种等可能的结果数，其中甲、乙、丙3人选择同1部电影的结果数为2，所以甲、乙、丙3人选择同1部电影的概率=28=14．解析：(1)直接利用概率公式求解；(2)画树状图展示所有8种等可能的结果数，找出甲、乙、丙3人选择同1部电影的结果数，然后利用概率公式求解．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．20.答案：解：(1)原式=2√2−1+4−2√2=3(2)原式=4−a2 +a2+2a+1=5+2a．解析：(1)根据实数的混合计算解答即可；(2)根据平方差公式和完全平方公式解答即可．此题考查平方差公式，关键是实数的混合计算以及平方差公式和完全平方公式解答．21.答案：解：(1){x−2<2(x−1)①x3≤4−x②，由①得：x >0，由②得：x ≤3，则不等式组的解集为0<x ≤3；(2)去分母得：(x −3)2−2x(x −3)=3x 2，去括号、移项并合并同类项，得4x 2=9，解得：x =32或x =−32，经检验x =32与x =−32都是分式方程的解．解析：(1)分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可；(2)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解． 此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 22.答案：解：(1)BD =CD ．理由如下：依题意得AF//BC ，∴∠AFE =∠DCE ，∵E 是AD 的中点，∴AE =DE ，在△AEF 和△DEC 中，{∠AFE =∠DCE ∠AEF =∠DEC AE =DE，∴△AEF≌△DEC(AAS)，∴AF =CD ，∵AF =BD ，∴BD =CD ；(2)当△ABC 满足：AB =AC 时，四边形AFBD 是矩形．理由如下：∵AF//BD ，AF =BD ，∴四边形AFBD 是平行四边形，∵AB =AC ，BD =CD(三线合一)，∴∠ADB =90°，∴▱AFBD是矩形．解析：本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，是基础题，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键．(1)根据两直线平行，内错角相等求出∠AFE=∠DCE，然后利用“角角边”证明△AEF和△DEC全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=CD，再利用等量代换即可得证；(2)先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AFBD是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形，可知∠ADB=90°，由等腰三角形三线合一的性质可知必须是AB= AC．23.答案：解：(Ⅰ)40，25；=1.5，(Ⅱ)平均数是：0.9×4+1.2×8+1.5×15+1.8×10+2.1×340=1.5；众数是1.5，中位数是1.5+1.52=720(人)，(Ⅲ)800×40−440答：该校每天在校体育活动时间大于1h的学生有720人．解析：本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、平均数、中位数、众数．(Ⅰ)根据统计图中的数据可以求得本次调查的学生人数，进而求得m的值；(Ⅱ)根据统计图中的数据可以求得这组数据的平均数和众数、中位数；(Ⅲ)根据统计图中的数据可以求得该校每天在校体育活动时间大于1h的学生人数．解：(Ⅰ)本次接受调查的初中学生人数为：4÷10%=40，m%=10×100%=25%，40故答案为：40，25；(Ⅱ)见答案；(Ⅲ)见答案．24.答案：解：(1)如图1中，线段DF即为所求．(2)如图2中，线段DF即为所求．解析：(1)连接AC交BD于点O，作直线OE交BC于F，连接DF，线段DF即为所求．(2)作直线AC交BE的延长线于K，作直线DK交BA于点F，线段DF即为所求．本题考查作图−复杂作图，菱形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．25.答案：证明：(1)∵AB=AD，∴∠B=∠D，∵AC=CD，∴∠CAD=∠D，∴∠CAD=∠B，∵∠D=∠D，∴△ACD∽△BAD；(2)连接OA，∵OA=OB，∴∠B=∠OAB，∴∠OAB=∠CAD，∵BC 是⊙O 的直径， ∴∠BAC =90°， ∴OA ⊥AD ， ∴AD 是⊙O 的切线．解析：(1)根据等腰三角形的性质得到∠CAD =∠B ，由于∠D =∠D ，于是得到△ACD∽△BAD ； (2)连接OA ，根据等腰三角形的性质得到∠B =∠OAB ，得到∠OAB =∠CAD ，由BC 是⊙O 的直径，得到∠BAC =90°即可得到结论．本题考查了相似三角形的判定和性质，切线的判定，等腰三角形的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．26.答案：解：(1)设y 与x 之间的函数关系式为y =kx +b(k ≠0)，根据题意得：{12k +b =9014k +b =80， 解得：{k =−5b =150，∴y 与x 之间的函数关系为y =−5x +150； (2)设种的洗手液的定价为元，依题意得： (x −10)(−5x +150)=420． 整理，得x 2−40x +384=0， 解得x 1=24，x 2=16． ∵10≤x ≤25，∴x 1=24，x 2=16都符合题意． 答：这种的洗手液的定价为24元或16元(3)根据题意得：w =(x −10)(−5x +150)=−5(x −20)2+500， ∵a =−5<0，∴抛物线开口向下，w 有最大值， ∴当x <20时，w 随着x 的增大而增大， ∵10≤x ≤25且x 为整数， ∴当x =20时，w 有最大值=500．答：当每瓶洗手液的售价定为20元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大利润为500元．解析：本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据总利润的相等关系列出函数解析式、利用二次函数的性质求最值问题．(1)根据每天的销售量y(瓶)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系，可设y =kx +b ，再将x =12，y =90；x =14，y =80代入，利用待定系数法即可求解；(2)根据每天获得420元的利润列出方程(x −10)(−5x +150)=420，解方程并结合10≤x ≤25即可求解；(3)根据每天的销售利润=每天每瓶的利润×销售量，列出w 关于x 的函数解析式，再根据二次函数的性质即可求解．27.答案：解：(1)∵二次函数y =ax 2+bx +3的图象经过A(−1,0)，C(3,0)．∴{a −b +3=09a +3b +3=0解得{a =−1b =2．∴此二次函数表达式为y =−x 2+2x +3．(2)∵设直线BC 为y =kx +b ，因其经过B(0,3)，C(3,0)， ∴{b =33k +b =0．解得k =−1，b =3∴直线BC 的表达式为y =−x +3． 设P(−m,−m 2+2m +3)，Q(m,−m +3)PQ =−m 2+2m +3−(−m +3) =−m 2+3m=−(m −32)2+94． PQ 的最大值为94．(3)存在，理由如下：=1，OA=1，OB=3，∵二次函数y=−x2+2x+3的对称轴为x=−b2a在Rt△ABO中由勾股定理可得AB=√12+32=√10，AB2=10．设M(1,a)，则MA2=22+a2，MB2=12+(a−3)2．分三种情况讨论：①MA=MB，22+a2=12+(a−3)2，得a=1，∴M1(1,1)；②MA=AB，22+a2=10，得a=±√6，∴M2(1,√6)，M3(1,−√6)；③AB=MB，12+(a−3)2=10，得a=0或a=6，∴M4(1,0)，M5(1,6)．∵M5、A、B三点共线，∴M5(1,6)舍去．∴M的坐标为：M1(1,1)，M2(1,√6)，M3(1,−√6)，M4(1,0)．解析：(1)利用待定系数法确定函数关系式．(2)设P(−m,−m2+2m+3)，Q(m,−m+3).利用两点间的距离公式得到PQ=−m2+3m，利用配方法求得最值．(3)分三种情况讨论：①MA=MB，22+a2=12+(a−3)2．②MA=AB，22+a2=10．③AB=MB，12+(a−3)2=10．借助于方程求得点M的坐标即可．主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．28.答案：解：(1)8−t ；32−4t 5．(2)∵△CEM∽△CBA ， ∴EM AB=CE CB ，即EM 6=8−t10，解得EM =24−3t 5，FM =BC −BF −CM =10−t −32−4t 5=18−t 5，当E 点在线段 AC 上，(0<t ≤8)， ①若∠EFM =∠B 时，△MFE∽△ABC ， ∴EM AC=FM AB，即24−3t58=18−t 56，解得t =0(舍去)；②若∠EFM =∠ACB 时，△MEF∽△ABC ， ∴EM AB=FMAC，即24−3t56=18−t 58，解得t =143；当E 点在线段AC 的延长线上，t >8， 当8<t ≤10时，由题意得ME =3t−245，FM =BC +CM −BF =10+4t−325−t =18−t 5，此时FM >ME ，故△MFE∽△ABC 不成立， ∴若△MEF∽△ABC ，可得EMAB =FM AC，即3t−2456=18−t 58，解得t =10，∴如上图，t =10时，点F 运动到C 点；若点F 移动到BC 的延长线上时，t >10，当CM >CF 时，如图3，CE =t −8，CF =t −10， ∵△ABC∽△MEC ， ∴CM AC=EM AB=CE BC ，即CM 8=EM 6=t−810，∴CM =4t−325，EM =3t−245，当CF <CM 时，则FM =CM −CF =4t−325−(t −10)=18−t 5，若∠EFM =∠B 时，△MFE∽△ABC ，则EMAC =FM AB，即3t−2458=18−t 56，解得t =14413；当CF >CM ，则FM =CF −CM =t −10−4t−325=t−185，若∠EFM =∠B 时，△MFE∽△ABC ，则EMAC =FM AB，即3t−2458=t−1856，解得t =0(舍去)，综上所述，当t =143s ，10s 或14413s 时，以点 E 、F 、M 为顶点的三角形与以点 A 、B 、C 为顶点的三角形相似．解析： 【试题解析】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定与性质；会运用相似比表示两线段之间的关系和计算线段的长；会运用分类讨论的思想数学解决问题．(1)先利用勾股定理计算出BC ，当点E 在线段AC 上时，0<t ≤8.根据题意，可知AE =t ，则CE =AC −AE =8−t ，利用圆周角定理得∠EMF =90°.则可证得△CEM∽△CBA ，利用相似比可表示出CM ；(2)讨论：当E 点在线段AC 上，(0<t ≤8)，先由△CEM∽△CBA ，利用相似比可表示出EM =24−3t 5，则FM =18−t 5，①若∠EFM =∠B 时，△MFE∽△ABC ，利用相似比可求出t =0(舍去)； ②若∠EFM =∠ACB 时，△MEF∽△ABC ，利用相似比可求得t =143；当E 点在线段AC 的延长线上，8<t ≤10，若点F 运动到C 点时，易得t =10； 若点F 移动到BC 的延长线上，且CM >CF ，如图3，CE =t −8，CF =t −10， 由△ABC∽△MEC ，利用相似比可表示出CM =4t−325，EM =3t−245，当CF <CM ，则FM =CM −CF =18−t 5，则当∠EFM =∠B 时，△MFE∽△ABC ，于是利用相似比可求出t =14413；当CF >CM ，则FM =CF −CM =t−185，则当∠EFM =∠B 时，△MFE∽△ABC ，利用相似比求得t =0(舍去)，解：(1)在Rt △ABC 中，AB =6，AC =8，由勾股定理得：BC =√AB 2+AC 2=10， 当点E 在线段AC 上时，0<t ≤8.根据题意，可知AE =t ，则CE =AC −AE =8−t ， ∵EF 为直径， ∴∠EMF =90°． ∵∠ECM =∠BCA ， ∴△CEM∽△CBA ， ∴CM CA=CE CB ，即CM 8=8−t 10，∴CM =32−4t 5．故答案为：8−t ；32−4t 5．(2)见答案．。
江苏省无锡市天一中学2020届高三数学第一次模拟考试试题含解析
【解析】
【分析】
设每天派出A型卡车 辆，则派出B型卡车 辆，由题意列出约束条件,作出可行域，求出使目标函数取最小值的整数解,即可得解。
【详解】设每天派出A型卡车 辆，则派出B型卡车 辆，运输队所花成本为 元,
由题意可知, ，
整理得 ，
1.已知集合 ， ，则 _________。
【答案】
【解析】
【分析】
根据交集的定义即可写出答案．
【详解】 ， ，
故填
【点睛】本题考查集合的交集，需熟练掌握集合交集的定义，属于基础题．
2。复数 为虚数单位）的虚部为__________．
【答案】1
【解析】
试题分析： ，即虚部为1，故填:1。
考点:复数的代数运算
18.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： 的右准线方程为x＝2，且两焦点与短轴的一个顶点构成等腰直角三角形．
（1）求椭圆C的方程；
（2）假设直线l： 与椭圆C交于A，B两点．①若A为椭圆的上顶点，M为线段AB中点,连接OM并延长交椭圆C于N，并且 ，求OB的长；②若原点O到直线l的距离为1,并且 ,当 时，求△OAB的面积S的范围．
【答案】3
【解析】
【分析】
当 时， 得 ，或 ,依题意可得 ,可求得 ,继而可得答案．
【详解】因为点 的横坐标为1,即当 时, ，
所以 或 ，
又直线 与函数 的图象在 轴右侧的公共点从左到右依次为 , ，
所以 ，
故 ，
所以函数的关系式为 ．
当 时， （3） ，
即点 的横坐标为3, 为二函数的图象的第二个公共点．
目标函数 ，
如图所示,为不等式组表示的可行域，
江苏省无锡市天一实验学校届中考教育第三次适应性考试数学学习试题
适用标准无锡天一中学2021~2021学年度初三中考三模数学试卷2021．5一、选择题〔本大题共10 小题，每题 3分，共30分．在每题所给出的四个选项中， 只有一项为哪一项正确的，请把正确的选项填在相应的括号内〕 1．以下计算正确的选项是 A ．x 23x 24x 4B ．x 2y2x 32x 4y C ．(6x 3y 3) 3x 2x 2D ．(3x)29x 22．以下式子中，是最简二次根式的是A ．34B．30C ．x 3D ．27a3．假定对于x 的方程(m 1)x 2 2x10有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围是A ．m2B．m2 C ．m2且m1D ．m2且m1 4．实数a 、b 在数轴上的地点以下列图，那么以低等式建立的是A ．ababB ．ab abC ．ababD ．abab5．圆的半径为 3cm ，圆心到直线 l 的距离为2cm ，那么直线l 与该圆的公共点的个数是A ．0B．1C ．2 D．不可以确立 6．点A(m ，﹣3m ＋2)不在A ．第一象限 B．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 7．假定按序连结四边形 ABCD 各边中点所得四边形是矩形，那么四边形 ABCD 必定是A ．矩形B．菱形C ．对角线相互垂直的四边形D．对角线相等的四边形8．有以下说法：①弦是直径；②半圆是弧；③圆中最长的弦是直径；④半圆是圆中最长的弧；⑤均分弦的直径垂直于弦，此中正确的个数有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点E 是AB 上的一点，将△ BCE 沿CE 折叠至△FCE ，假定CF ，CE 恰巧与以正方形 ABCD 的中心为圆心的⊙ O 相切，那么折痕 CE 的长为A ．43B ．83C ．5D ．253 3第10题第9题 第15题文案大全适用标准10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，在△ABC内并排〔不重叠但能够有缝隙〕放入边长为1的小正方形纸片，第一层小纸片的一条边都在AB上，首尾两个正方形各有一个极点分别在AC、BC上，挨次这样摆放上去，那么最多能摆放的小正方形纸片的个数为A．14B．15C．16D．17二、填空题〔本大题共8小题，每题2分，本大题共16分．不需要写出解答过程，只要把答案直接填写在相应的横线上〕11．函数y x 1 3中自变量x的取值范围是▲．12．分解因式：4a216b2＝▲．13．地球与太阳之间的距离约为149600000千米，这个数据用科学记数法表示为▲千米．14．圆锥的侧面积是20πcm2，母线长为5cm，那么圆锥的底面圆半径为▲．15．以下列图，△ABC的三个极点都在⊙O上，AD是直径，且∠CAD＝50°，那么∠B的度数为▲．16．某几何体是由几个棱长为1的小立方体搭成的，其三视图以下列图，那么该几何体的表面积〔包含下底面〕为▲．第17题第16题第18题17．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，点P是这个菱形内部或边上的一点，假定以点P、B、C为极点的三角形是等腰三角形，那么P、D〔P、D两点不重合〕两点间的最短距离为▲．18．以下列图，直线a∥b∥c，直线a与b之间的距离是2，直线b与c之间的距离是4，点A、B、C分别在直线a、b、c上，且△ABC是等边三角形，那么这个等边三角形的边长是▲．三、解答题〔本大题共10小题，共84分．请在试卷相应的地区内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤〕19．〔本题总分值8分〕〔1〕计算：4(1)0(2)3；〔2〕化简：2(xy)2(x2y)(x2y)．220．〔本题总分值8分〕〔1〕解方程：x2x3(x1)13x20；〔2〕解不等式组：1x5．1x3文案大全适用标准21．〔本题总分值7分〕如图，△ABC．〔1〕请用尺规作图作出菱形BDEF，要求D、E、F分别在边BC、AC、AB上；〔2〕假定∠ABC＝60°，∠ACB＝75°，BC＝6，请利用备用图求菱形BDEF的边长．备用图22．〔本题总分值8分〕〔1〕经过三角形的极点，而且将该三角形的面积均分的直线有▲条；〔2〕如图①，直线a平行b，依照▲〔填定理〕，可得△ABC与△A′BC面积相等．解决：如图②，四边形ABCD中，AB与CD不平行，AB≠CD，且S△ABC＜S△ACD，过点A画出四边形ABCD的面积均分线AM，无需尺规作图，但需要写出画法．图①图②23．〔本题总分值7分〕一个不透明的布袋里装有4个大小、质地都同样的乒乓球，球面上分别标有数字1，﹣2，3，﹣4，小明先从布袋中随机摸出一个球〔不放回去〕，再从剩下的3个球中随机摸出第二个乒乓球．〔1〕共有▲种可能的结果；〔2〕请用画树状图或列表的方法求两次摸出的乒乓球的数字之积为偶数的概率．文案大全适用标准24．〔本题总分值8分〕某区教育局为认识今年九年级学生体育测试状况，随机检查了某班学生的体育测试成绩为样本，按A、B、C、D四个等级进行统计，并将统计结果绘制成以下的统计图，请你联合图中所绘信息解答以下问题：说明：A级：90～100分﹔B级：75分～89分﹔C级：60分～74分﹔D级：60分以下．〔1〕样本中D级的学生人数占全班人数的百分比是▲﹔〔2〕扇形统计图中A级所在的扇形的圆心角度数时▲﹔〔3〕请把条形统计图增补完好﹔〔4〕假定该校九年级有500名学生，请你用此样本预计体育测试中A级和B级的学生人数之和．25．〔本题总分值8分〕跟着?舌尖上的中国?的热播，某县为了让苦芥茶、青花椒、野生蘑菇三种土特产走出大山，县政府决定组织21辆汽车装运这三种土特产共120吨，参加农产品展览会．现有A型、B型、C型三种汽车可供选择．每种型号汽车可同时装运2种土特产，且每辆车必须装满．依据下表信息，解答问题．特产车型苦荞茶青花椒野生蘑菇每辆车运费〔元〕A型2201500每辆汽车运载B型4021800量〔吨〕C型0162000（1〕设A型汽车安排x辆，B型汽车安排y辆，求y与x之间的函数关系式．（2〕假如三种型号的汽车都许多于4辆，车辆安排有几种方案？并写出每种方案．（3〕为节俭运费，应采纳〔2〕中哪一种方案？并求出最少运费．文案大全适用标准26．〔本题总分值10分〕如图1，在平面直角坐标系中，有一矩形ABCD，其三个极点的坐标分别为A(2，0)，B(8，0)，C(8，3)，将直线l：y3x 3以每秒3个单位的速度向右运动，设运动时间为t秒．〔1〕当t＝▲时，直线l经过点A〔直接填写答案〕；2〕设直线l扫过矩形ABCD的面积为S，试求S＞0时S与t的函数关系式；3〕在第一象限有一半径为3、且与两坐标轴恰巧都相切的⊙M，在直线l出发的同时，⊙M以每秒2个单位的速度向右运动，如图2，那么当t为什么值时，直线l与⊙M相切？27．〔本题总分值10分〕如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠ABC＝30°，AC＝3，动点D从点A出发，在AB边上以每秒1个单位的速度向点B运动，连结CD，作点A对于直线C D的对称点E，设点D运动时间为t(s)．〔1〕假定△BDE是以BE为底的等腰三角形，求t的值；〔2〕假定△BDE为直角三角形，求t的值；〔3〕当S△BCE≤9时，求全部知足条件的t的取值范围〔全部数据请保留正确值，参2考数据：tan15°＝23〕．备用图备用图28．〔本题总分值10分〕文案大全适用标准平面直角坐标系xOy中，抛物线yax 24ax4ac(a0)与x轴交于点、，与ABy轴的正半轴交于点C，点A的坐标为(1，0)，OB＝OC，抛物线的极点为D．1〕求此抛物线的分析式；2〕假定此抛物线的对称轴上的点P知足∠APB＝∠ACB，求点P的坐标；〔3〕Q为线段BD上一点，点A对于∠AQB的均分线的对称点为A′，假定QA﹣QB＝2，求点Q的坐标和此时△QAA′的面积．参照答案文案大全适用标准一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案DBDDCCCBBC二、填空题题号 1112答案 x ≥14(a 2b)(a 2b)题号 1314答案1084cm题号 1516答案 40° 18题号1718答案2324 213三、解答题19．〔1〕﹣4；〔2〕x 2 4xy 6y 2．20．〔1〕x 1317，x 2317；〔2〕2x3．2221．〔1〕先作∠ABC 的均分线BE ，再以BE 为对角线作□BDEF ，此时□BDEF 即为所求作的菱形；〔2〕23．22．〔1〕3条；〔2〕平行线间距离到处相等；解决：①连结 AC 、BD ，②取BD 中点E ，③作EM ∥AC 交CD 于M ，连结AM ，此时AM 即为所求作的直线．23．〔1〕12种；〔2〕5．624．〔1〕10%；〔2〕72°；〔3〕绘图略，图上数据标5；〔4〕330名．25．〔1〕y 3x 27；〔2〕故车辆安排有三种方案，即：方案一： A 型车5辆，B 型车12辆，C 型车4辆；方案二：A 型车6辆，B 型车9辆，C 型车6辆；方案三：A 型车7辆，B 型车6辆，C 型车8辆；〔3〕为节俭运费，应采纳〔 2〕中方案一，最少运费为 37100元．26．〔1〕1．文案大全精选文档11适用标准27(t1)2,1t4239t21,4t3〔2〕S23；3(3t10)218,3t102318,t103〔3〕510或510．27．〔1〕t33；2〔2〕t3或3；〔3〕633t3．28．〔1〕y x24x3；〔2〕P(2，25)或(2，25)；〔3〕Q(11，1)，面积为5．444文案大全。
2020年江苏省无锡市天一中学中考数学考前预测卷 (含答案解析)
2020年江苏省无锡市天一中学中考数学考前预测卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列各数中，无理数是()3 D. 5πA. √4B. 3.14C. √−272.下列图形中只能用其中一部分平移可以得到的是()A. B.C. D.3.函数y=1中，自变量x的取值范围是()x+3A. x>−3B. x<3C. x≠−3D. x≠34.下列运算正确的是()A. (−2a3)2=−4a6B. √9=±3C. m2⋅m3=m6D. x3+2x3=3x35.如图所示，直线l1//l2，含60°的三角尺的一个顶点在l2上，若∠1=70°，则∠2=()A. 70°B. 60°C. 40°D. 30°6.为了解居民用水情况，在某小区随机抽查了15户家庭的月用水量，结果如下表：月用水量(吨)45689户数25431则这15户家庭的月用水量的众数与中位数分别为()A. 9、6B. 6、6C. 5、6D. 5、57.如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，若∠C=65°，则∠P的度数为()A. 65°B. 130°C. 50°D. 100°8.某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺CA的0刻度固定在半圆的圆心O处，刻度尺可以绕点O旋转．从图中所示的图尺可读出sin∠AOB的值是()A. 58B. 78C. 710D. 459.如图，A，B两点在反比例函数y=k1x的图象上，C，D两点在反比例函数y=k2x的图象上，AC⊥y轴于点E,BD⊥y轴于点F，AC=2，BD=1，EF=3，则k1−k2的值是()A. 2B. 4C. 3D. 610.如图，在矩形ABCD中，点E，F，G分别是AD，CD，BC上的点，且BE=EF，BE⊥EF，EG⊥BF，若FC=1，AE=2，则BG的长是()A. 2.6B. 2.5C. 2.4D. 2.3二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）11.因式分解4x2−4=______．12.若x=1是关于x的方程x2+mx−5=0的一个根，则m=______ ．13.用科学记数法表示：−206亿=______．14.已知点P(2−a,2a−7)(其中a为整数)位于第三象限，则点P的坐标为．15.如图所示的电路图中，在开关全部断开的情况下，闭合其中任意一个开关，灯泡发亮的概率是_____．16.如图，抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A(−1,p)，B(2,q)两点，则不等式ax2+mx+c>n的解集是________．17.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D在边AB上，且∠BDC=90°.如果△ACD绕点A顺时针旋转，使点C与点B重合，点D旋转至点D1，那么线段DD1的长为______．18.18.如图，AC,BD在AB的同侧，AC=2,BD=8,AB=8，点M为AB的中点，若∠CMD=120∘，则CD的最大值是_____．三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）19.为弘扬中华传统文化，黔南州近期举办了中小学生“国学经典大赛”.比赛项目为：A.唐诗；B.宋词；C.论语；D.三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”．(1)小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率是多少？(2)小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明．四、解答题（本大题共9小题，共76.0分）20.计算：；(2)(a+3)2−(a+1)(a−1)．21.先化简，再求值：(x x2+x −1)÷x2−1x2+2x+1，其中x的值从不等式组{−x≤1,2x−1<4的整数解中选取．22.如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．(1)求证：四边形ACDF是平行四边形；(2)当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．23.某校为了了解七年级600名学生的身体健康情况，从该年级随机抽取了m名学生，将他们按体重(均为整数，单位：kg)分成五组(A：39.5～46.5；B：46.5～53.5；C：53.5～60.5；D：60.5～67.5；E：67.5～74.5)，并依据统计数据绘制了如下两幅尚不完整的统计图．根据统计图提供的信息，解答下列问题：(1)m=__________，n=__________；(2)扇形统计图中，“D组”所对应的扇形的圆心角度数是__________度；(3)请根据以上信息直接在答题卡中补全频数分布直方图；(4)根据抽样调查的结果，请你估计该校七年级体重超过60kg的学生大约有多少名？24.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，O是边AC上一点，以O为圆心，OA为半径的圆分别交AB，AC于点E，D，在BC的延长线上取点F，使得BF=EF，EF与AC交于点G．(1)试判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若OA=2，∠A=30°，求图中阴影部分的面积．25.在南宁市地铁1号线某段工程建设中，甲队单独完成这项工程需要150天，甲队单独施工30天．后增加乙队，两队又共同工作了15天，共完成总工程的13(1)求乙队单独完成这项工程需要多少天？(2)为了加快工程进度，甲、乙两队各自提高工作效率，提高后乙队的工作效率是1，甲队的工a 作效率是乙队的m倍(1≤m≤2)，若两队合作40天完成剩余的工程，请写出a关于m的函数关系式，并求出乙队的最大工作效率是原来的几倍？26.已知如图1，抛物线y=−x2+bx+c与x轴的一个交点B的坐标为(3,0)，与y轴交于点D(0,3)，其顶点为C，延长CD交x轴于点A．(1)求抛物线的解析式；(2)连结BD，求tan∠DBC的值；(3)如图2，点P是线段OB上一点，过点P作PQ//BC交直线BD于点Q，R是线段AD上一点，且∠QPR=45°，连结QR．①若Q在线段BD上，且△PQR是等腰三角形时，求此时△PQR的面积；②当△PQR与△APR相似时，求P点的坐标．27.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，对角线AC，BD相交于点O，△ABC的重心G在BD上．(1)求证：四边形ABCD为平行四边形．(2)若以G为圆心，BG为半径的圆与AD相切于点E，求∠ADB的度数．28.已知在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，以点B为中心，顺时针旋转矩形ABCD，得到矩形EBGF，点A、D、C的对应点分别为E、F、G．(1)如图1，当点E落在线段DF上时，BE与CD交于点H．①求证：△BED≌△BAD；②求DH的长度．(2)如图2，若矩形ABCD对角线AC、BD相交于点P，连接PE、PF，求△PEF面积的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：A、√4=2是有理数，故A错误；B.3.14是有理数，故B错误；3=−3是有理数，故C错误；C、√−27D、5π是无理数，故C正确；故选：D．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．2.答案：B解析：此题考查平移变换，是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移，平移不改变图形的形状和大小.据此解答即可．解：A.图形不能通过平移得到，故不符合题意；B.图形的形状和大小没有变化，符合平移性质，是平移；C.不符合平移的性质，故不是平移得到的；D.右下角的图形不是利用平移得到的，不符合题意．故选B．3.答案：C解析：解：由题意得x+3≠0，解得x≠−3．故选：C．根据分母不等于0列式计算即可得解．本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．4.答案：D解析：解：A、(−2a3)2=(−2)2⋅(a3)2=4a6，故本选项错误；B、√9=3，故本选项错误；C、m2⋅m3=m2+3=m5，故本选项错误；D、x3+2x3=3x3，故本选项正确．故选：D．根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方再把所得的幂相乘；算术平方根的定义，同底数幂相乘，底数不变指数相加；以及合并同类项法则对各选项分析判断即可得解．本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、算术平方根的定义，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．5.答案：C解析：解：∵l1//l2，∴∠ABD=∠ACE=70°，又∵∠ACD=30°，∴∠2=∠ACE−∠ACD=70°−30°=40°，故选：C．先根据平行线的性质，得出∠ABD=∠ACE=70°，再根据∠ACD=30°，即可得出∠2=∠ACE−∠ACD=70°−30°=40°．本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．6.答案：C解析：解：数据5出现的次数最多，为众数；数据6处在第8位，中间位置，所以本题这组数据的中位数是6．故选：C．根据众数及中位数的定义，即可得出答案．本题考查了众数和中位数的知识，掌握众数及中位数的定义是关键．7.答案：C解析：解：∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP，∴∠OAP=∠OBP=90°，又∵∠AOB=2∠C=130°，则∠P=360°−(90°+90°+130°)=50°．故选：C．由PA与PB都为圆O的切线，利用切线的性质得到OA垂直于AP，OB垂直于BP，可得出两个角为直角，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由已知∠C的度数求出∠AOB的度数，在四边形PABO中，根据四边形的内角和定理即可求出∠P的度数．本题主要考查了切线的性质，四边形的内角与外角，以及圆周角定理，熟练运用性质及定理是解本题的关键．8.答案：D解析：解：如图，连接AD．∵OD是直径，∴∠OAD=90°，∵∠AOB+∠AOD=90°，∠AOD+∠ADO=90°，∴∠AOB=∠ADO，∴sin∠AOB=sin∠ADO=810=45，故选：D．如图，连接AD.只要证明∠AOB=∠ADO，可得sin∠AOB=sin∠ADO=810=45；本题考查圆周角定理、直径的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考创新题目．9.答案：A解析：本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是利用参数，构建方程组解决问题.由反比例函数的性质可知S△AOE=S△BOF=12k1，S△COE=S△DOF=−12k2，结合S△AOC=S△AOE+S△COE和S△BOD=S△DOF+S△BOF可求得k1−k2的值．解：连接OA、OC、OD、OB，如图：由反比例函数的性质可知S△AOE=S△BOF=12|k1|=12k1，S△COE=S△DOF=12|k2|=−12k2，∵S△AOC=S△AOE+S△COE，∴12AC⋅OE=12×2OE=OE=12(k1−k2)…①，∵S△BOD=S△DOF+S△BOF，∴12BD⋅OF=12×(EF−OE)=12×(3−OE)=32−12OE=12(k1−k2)…②，由①②两式解得OE=1，则k1−k2=2．故选A．10.答案：A解析：本题主要考查矩形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定的知识的综合运用，可先根据矩形的性质及已知条件证得△ABE≌△DEF，进而可得DF=AE=2，CD=AB=ED，由AE=2可求得CD=3，BC=AD=5，再利用勾股定理根据等腰直角三角形的性质及EG⊥BF可求得BM及BF的长，最后利用相似三角形的性质与判定即可求解．解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠A=∠D=∠C=90°，BC=AD，AB=CD，∴∠AEB+∠ABE=90°，∵BE⊥EF，∴∠AEB+∠DEF=90°，∴∠ABE=∠DEF，∵BE=EF，∴△ABE≌△DEF，∴AE=DF，AB=DE，∵AE=2，∴DF=2，∵FC=1，∴ED=AB=CD=3，∴BC=AD=5，∴BF=√BC2+CF2=√52+12=√26，∵BE=EF，EG⊥EF垂足为M，∴BM=12BF=√262，∵∠BMG=∠C=90°，∠MBG=∠CBF，∴△BGM∽△BFC，∴BMBC =BGBF，∴√2625=√26，∴BG=2.6，故选A．11.答案：4(x+1)(x−1)解析：解：原式=4(x2−1)=4(x+1)(x−1)，故答案为：4(x+1)(x−1)原式提取4，再利用平方差公式分解即可．此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．12.答案：4解析：解：依题意，得12+m−5=0，解得m=4．故答案是：4．把x=1代入已知方程列出关于m的新方程，通过解新方程可以求得m的值．本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．13.答案：−2.06×1010解析：解：−206亿=−2.06×1010．故答案为：−2.06×1010．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．14.答案：(−1,−1)解析：解：∵点P(2−a,2a−7)(其中a为整数)位于第三象限，∴{2−a<02a−7<0，解得：2<a<3.5，故a=3，则点P坐标为：(−1,−1)．故答案为：(−1,−1)．根据第三象限点的坐标性质得出a的取值范围，进而得出a的值，即可得出答案．此题主要考查了点的坐标，正确得出a的取值范围是解题关键．15.答案：13解析：本题考查随机事件概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=m，根据概率公式知，共有3个开关，只闭一个开关时，n．只有闭合K3时才发光，所以小灯泡发光的概率等于13解：根据题意，三个开关，只有闭合K3小灯泡才发光，所以小灯泡发光的概率等于1．3．故答案为1316.答案：−2<x<1解析：本题考查了二次函数与不等式有关知识，观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论．解：∵抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A(−1,p)，B(2,q)两点，∴−m+n=p，2m+n=q，∴抛物线y=ax2+c与直线y=−mx+n交于P(1,p)，Q(−2,q)两点，观察函数图象可知：当−2<x<1时，直线y=−mx+n在抛物线y=ax2+c的下方，∴不等式ax2+mx+c>n即为ax2+c>−mx+n的解集为−2<x<1．故答案为−2<x<1．17.答案：4225解析：本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是证明△ABC∽△ADD1.作AE⊥BC于E.根据等腰三角形三线合一的性质得出BE=EC=12BC=3，利用勾股定理求出AE=4.根据三角形的面积得出CD=BC⋅AEAB =245，那么AD=√AC2−CD2=75.再根据旋转的性质可知AD=AD1，∠CAD=∠BAD1，那么△ABC∽△ADD1，利用相似三角形的性质可求出DD1．解：如图，作AE⊥BC于E．∵AB=AC=5，BC=6，∴BE=EC=12BC=3，∴AE=√AB2−BE2=4．∵S△ABC=12AB⋅CD=12BC⋅AE，∴CD=BC⋅AEAB =6×45=245，∴AD=√AC2−CD2=75．∵△ACD绕点A顺时针旋转，使点C与点B重合，点D旋转至点D1，∴AD=AD1，∠CAD=∠BAD1，∵AB=AC，∴△ABC∽△ADD1，∴BCDD1=ABAD，∴6DD1=575，∴DD1=4225．故答案为4225．18.答案：14解析：如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′，证明△A′MB′为等边三角形，即可解决问题．【详解】解：如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′．∵∠CMD=120∘，∴∠AMC+∠DMB=60∘，∴∠CMA′+∠DMB′=60∘，∴∠A′MB′=60∘，∵MA′=MB′，∴ΔA′MB′为等边三角形∵CD≤CA′+A′B′+B′D=CA+AM+BD=14，∴CD的最大值为14，故答案为14．本题考查等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用两点之间线段最短解决最值问题19.答案：解：(1)她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率=1；4(2)画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的结果数为1，所以恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率=112．解析：(1)直接利用概率公式求解；(2)先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的结果数，然后根据概率公式求解．本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．20.答案：(1)7+π；(2)6a+10．解析：[分析](1)先根据零指数幂、绝对值的意义、负整数指数幂的意义逐项化简，然后合并同类项即可；(2)第一项根据完全平方公式计算，第二项根据平方差公式计算，然后合并同类项即可．[详解]解：(1)原式=1+π−3+9=7+π；(2)原式=a2+6a+9−a2+1=6a+10．[点睛]本题考查了实数的运算和整式的运算，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解答本题的关键．21.答案：解：(xx2+x −1)÷x2−1x2+2x+1=−x2x(x+1)÷(x+1)(x−1)(x+1)2=−xx+1⋅x+1x−1=−x x−1．解不等式组{−x ≤1,2x −1<4,得−1≤x <52． 所以不等式组的整数解为−1，0，1，2．若使原式有意义，只能取x =2，所以原式=−22−1=−2．解析：此题主要考查了分式的混合运算以及不等式组的解法，正确化简分式是解题关键．直接将括号里面通分化简，进而利用分式混合运算法则计算，进而解不等式组，得出符合题意的x 的值，进而得出答案．22.答案：解：(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴AB//CD ，∴∠FAE =∠CDE ，∵E 是AD 的中点，∴AE =DE ，又∵∠FEA =∠CED ，∴△FAE≌△CDE ，∴CD =FA ，又∵CD//AF ，∴四边形ACDF 是平行四边形；(2)BC =2CD ．证明：∵CF 平分∠BCD ，∴∠DCE =45°，∵∠CDE =90°，∴△CDE 是等腰直角三角形，∴CD =DE ，∵E是AD的中点，∴AD=2CD，∵AD=BC，∴BC=2CD．解析：本题主要考查了矩形的性质以及平行四边形的判定，属于基础题．(1)利用矩形的性质，即可判定△FAE≌△CDE，即可得到CD=FA，再根据CD//AF，即可得出四边形ACDF是平行四边形；(2)先判定△CDE是等腰直角三角形，可得CD=DE，再根据E是AD的中点，可得AD=2CD，依据AD=BC，即可得到BC=2CD．23.答案：解：(1)50；32；(2)72°；(3)50−4−16−10−8=12，补全频数分布直方图：(4)(10+8)÷50=36%，600×36%=216(名)，所以该校初三年级体重超过60kg的学生大约有216名．解析：本题考查了扇形统计图，条形统计图，用样本估计总体．(1)根据图中数据4÷8%=50，16÷50=32%，可得答案；=72∘÷50=32%，求得答案；(2)利用360∘×1050(3)先计算50−4−16−10−8=12，再补全频数分布直方图；(4)根据(10+8)÷50=36%，600×36%=216，所以该校初三年级体重超过60kg的学生大约有216名．解：(1)根据图中数据4÷8%=50，16÷50=32%，故答案为m=50，n=32；=72∘÷50=32%，(2)360∘×1050故答案为72°；(3)见答案；(4)见答案．24.答案：解：(1)连接OE．∵OA=OE，∴∠A=∠AEO，∵BF=EF，∴∠B=∠BEF，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠AEO+∠BEF=90°，∴∠OEG=90°，∴EF是⊙O的切线；(2)∵AD是⊙O的直径，∴∠AED=90°，∵∠A=30°，∴∠EOD=60°，∴∠EGO=30°，∵AO=2，∴OE=2，∴EG=2√3，∴阴影部分的面积=12×2×2√3−60⋅π×22360=2√3−23π.解析：本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，圆周角定理，扇形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．(1)连接OE，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠AEO，∠B=∠BEF，于是得到∠OEG=90°，即可得到结论；(2)由AD是⊙O的直径，得到∠AED=90°，根据三角形的内角和得到∠EOD=60°，求得∠EGO=30°，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．25.答案：解：(1)设乙队单独完成这项工程需要x天，根据题意得1150×(30+15)+1x×15=13，解得：x=450，经检验x=450是方程的根，答：乙队单独完成这项工程需要450天；(2)根据题意得(1a +ma)×40=23，∴a=60m+60，∵60>0，∴a随m的增大而增大，∴当m=1时，1a最大，∴1a =1120，∴1120÷1450=154倍，答：乙队的最大工作效率是原来的154倍解析：此题考查了一次函数的实际应用．分式方程的应用，解题的关键是理解题意，能根据题意求得函数解析式，注意数形结合与方程思想的应用．(1)设乙队单独完成这项工程需要x 天，根据题意得方程即可得到结论；(2)根据题意得(1a +m a )×40=23，即可得到a =60m +60，根据一次函数的性质得到1a =160，即可得到结论． 26.答案：解：(1)把B(3,0)，D(0,3)代入y =−x 2+bx +c 中得到{−32+3b +c =0c =3， 解得{b =2c =3， ∴抛物线的解析式为y =−x 2+2x +3．(2)作CE ⊥y 轴于E ．∵y =−x 2+2x +3，∴顶点C(1,4)，∴△ODB ，△CDE 都是等腰直角三角形，∴CD =√2，BD =3√2，∠CDB =90°，∴tan∠DBC =CD DB =√23√2=13．(3)①当Q 在线段BD 上，且△PQR 是等腰直角三角形时，则∠PQR =45°，PQ =QR ， 作PE ⊥BD 于E ，可得△DQR≌△EPQ ，设BE =t ，则PE =t ，BE =PE =DQ =t ，∵PQ//BC，tan∠DBC=13，∴BD=t+3t+t=3√2，∴t=3√25，∴S△PQR=12×PQ2=12×(√10t)2=5t2=185．②当△APR∽△PRQ时，∵∠APR=∠PRQ，∴PQ//AB，由(2)可得，BQ=4t，PB=√2t，∴AR=4t，AP=6−√2t，∵∠DAB=∠ABD=∠RPQ=45°，∴△APR∽△BQP，∴ARPB =APQB，即√2t=6−√2t4t，解得t=√23，∴PB=23，OP=73，∴P(73,0)．当△APR∽△PQR时，则∠PQR=∠APR=∠PQB，在QB上取点E，使得QE=QR，则△QQPR≌△QPE，则PR=PE，∠RPE=45°×2=90°，作RF⊥轴于F，EG⊥x轴于G.则AF=RF=PG，PF=EG=GB，∴AP=PB，∴P是AB的中点，即P(0,0)．综上所述，满足条件的点P坐标为(73,0)或(0,0)．解析：(1)利用待定系数法即可解决问题；(2)作CE⊥y轴于E.首先证明△ODB，△CDE都是等腰直角三角形，推出CD=√2，BD=3√2，∠CDB=90°，根据tan∠DBC=CDDB计算即可；(3)①作PE⊥BD于E，可得△DQR≌△EPQ，设BE=t，则PE=t，BE=PE=DQ=t，想办法构建方程求出t的值即可解决问题；②分两种情形构建方程即可解决问题；本题考查二次函数综合题、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，根据全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．27.答案：(1)证明：∵G是△ABC的重心，∴BO是△ABC的中线，∴AO=CO，∵AD//BC，∴∠OAD=∠OCB，∠ODA=∠OBC，在△OAD和△OCB中，{∠OAD=∠OBC ∠ODA=∠OBC AO=CO，∴△OAD≌△OCB(AAS)，∴AD=BC，∴四边形ABCD为平行四边形；(2)解：连接EG，如图所示：∵G是△ABC的重心，∴GOGB =12，∵四边形ABCD为平行四边形，∴BO=DO，∴BGDG =12，∵AD是圆的切线，∴GE⊥AD，∴∠DEG=90°，∵GE=GB，∴sin∠ADB=GEDG =12，∴∠ADB=30°．解析：(1)由重心的定义得出BO是△ABC的中线，则AO=CO，由平行线的性质得出∠OAD=∠OCB，∠ODA=∠OBC，由AAS证得△OAD≌△OCB，得出AD=BC，即可得出结论；(2)连接EG，由G是△ABC的重心，得出GOGB =12，由平行四边形的性质得出BO=DO，则BGDG=12，由切线的性质得出GE⊥AD，则∠DEG=90°，由圆半径得出GE=GB，则sin∠ADB=GEDG =12，即可得出结果．本题考查了三角形的重心、中线的判定与性质、平行线的性质、平行四边形的判定与性质、切线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握三角形重心的性质与平行四边形的判定和性质是解题的关键．28.答案：证明：(1)①由旋转知：∠A=∠BEF=90°，AB=BE．∵∠BEF=90°，∴∠BED=90°．∴Rt△ADB≌Rt△EDB(HL)．②设DH=x，由①知△ADB≌△EDB ．∴∠ABD =∠EBD又∵在矩形ABCD 中，有 AB//CD ．∴∠BDC =∠ABD ．∴∠BDC =∠EBD ，∴BH =DH∴在Rt △BCH 中，由勾股定理得：(4−x)2+32=x 2，∴x =258，即DH =258 (2)∵四边形ABCD 是矩形∴AB =4，AD =BC =3，BP =DP =AP =CP ，∴BD =√AB 2+AD 2=5∴BP =52当点E 在线段BD 上时，△PEF 面积有最小值，∴S △PEF =12×3×(4−52)=94；当点E 在线段DB 延长线上时，△PEF 面积有最大值．∴S △PEF =12×3×(4+52)=394．∴94≤S △PEF ≤394．解析：(1)①利用旋转的性质可得：∠A =∠BEF =90°，AB =BE ，由“HL ”可证△ADB≌△EDB ； ②由全等三角形的性质和平行线的性质可得∠BDC =∠EBD ，可得BH =DH ，由勾股定理可求DH 的值；(2)由勾股定理可求BD 的值，可得BP =52，当点E 在线段BD 上时，△PEF 面积有最小值，当点E 在线段DB 延长线上时，△PEF 面积有最大值．本题是四边形的综合题，主要考查矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．。
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第一套：满分150分2020-2021年江苏天一中学初升高自主招生数学模拟卷一．选择题（共8小题，满分48分）1．（6分）如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM=（）A．3：2：1 B．5：3：1C．25：12：5 D．51：24：102.（6分）若关于x的一元二次方程（x－2）（x－3）=m有实数根x1,x2，且x1≠x2，有下列结论：①x1=2，x2=3；②1> ；m4③二次函数y=（x－x1）（x－x2）＋m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中，正确结论的个数是【】A.0B.1C.2D.33.（6分）已知长方形的面积为20cm2，设该长方形一边长为ycm，另一边的长为xcm，则y与x之间的函数图象大致是（）A. B. C. D.4.（6分）如图，在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为1，则直线y x 2=-与⊙O 的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上三种情况都有可能 5．（6分）若一直角三角形的斜边长为c ，内切圆半径是r ，则内切圆的面积与三角形面积之比是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（6分）如图，Rt △ABC 中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，D 1是斜边AB 的中点，过D 1作D 1E 1⊥AC 于E 1，连结BE 1交CD 1于D 2；过D 2作D 2E 2⊥AC 于E 2，连结BE 2交CD 1于D 3；过D 3作D 3E 3⊥AC 于E 3，…，如此继续，可以依次得到点E 4、E 5、…、E 2013，分别记△BCE 1、△BCE 2、△BCE 3、…、△BCE 2013的面积为S 1、S 2、S 3、…、S 2013．则S 2013的大小为（ ） A.31003 B.320136 C.310073 D.67147．（6分）抛物线y=ax 2与直线x=1，x=2，y=1，y=2围成的正方形有公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．≤a ≤1B ．≤a ≤2C ．≤a ≤1D ．≤a ≤28．（6分）如图，矩形ABCD 的面积为5，它的两条对角线交于点O 1，以AB ，AO 1为两邻边作平行四边形ABC 1O 1，平行四边形ABC 1O 1的对角线交BD 于点02，同样以AB ，AO 2为两邻边作平行四边形ABC 2O 2．…，依此类推，则平行四边形ABC 2009O 2009的面积为（ ）A.n 25 B.n 22 C.n 31 D.n 23二．填空题：（每题7分，满分42分）9．（7分）方程组的解是 ．10．（7分）若对任意实数x 不等式ax ＞b 都成立，那么a ，b 的取值范围为 ．11．（7分）如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A 是底面圆周上一点，从A 点出发绕侧面一周，再回到A 点的最短的路线长是 ．12．（7分）有一张矩形纸片ABCD ，AD=9，AB=12，将纸片折叠使A 、C 两点重合，那么折痕长是 ．13．（7分）设﹣1≤x ≤2，则|x ﹣2|﹣|x|+|x+2|的最大值与最小值之差为 ．14．（7分）两个反比例函数y=，y=在第一象限内的图象如图所示．点P 1，P 2，P 3、…、P 2007在反比例函数y=上，它们的横坐标分别为x 1、x 2、x 3、…、x 2007，纵坐标分别是1，3，5…共2007个连续奇数，过P 1，P 2，P 3、…、P 2007分别作y 轴的平行线，与y=的图象交点依次为Q 1（x 1′，y 1′）、Q 1（x 2′，y 2′）、…、Q 2（x 2007′，y 2007′），则|P 2007Q 2007|= ．三．解答题：（每天12分，满分60分）15.(12分).已知正实数,,x y z 满足：1xy yz zx ++≠ ,且222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++= .(1) 求111xy yz zx++的值. (2) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.16．（12分）如图，ABC △是等腰直角三角形，CA CB =，点N 在线段AB 上（与A 、B 不重合），点M 在射线BA 上，且45NCM ∠=︒。
求证：222MN AM BN =+。
17．（12分）在0与21之间插入n 个正整数1a ，2a ，…，n a ，使其满足12021n a a a <<<<<。
若1，2，3，…，21这21个正整数都可以表示为0，1a ，2a ，…，n a ，21这2n +个数中某两个数的差。
求n 的最小值。
18．（12分）如图，已知BC 是半圆O 的直径，BC=8，过线段BO 上一动点D ，作AD ⊥BC 交半圆O 于点A ，联结AO ，过点B 作BH ⊥AO ，垂足为点H ，BH 的延长线交半圆O 于点F ． （1）求证：AH=BD ；（2）设BD=x ，BE •BF=y ，求y 关于x 的函数关系式；（3）如图2，若联结FA 并延长交CB 的延长线于点G ，当△FAE 与△FBG 相似时，求BD 的长度．19.（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB过点A（3，0）、B（0，m）（m＞0），tan∠BAO=2．（1）求直线AB的表达式；（2）反比例函数y=的图象与直线AB交于第一象限内的C、D两点（BD＜BC），当AD=2DB时，求k1的值；（3）设线段AB的中点为E，过点E作x轴的垂线，垂足为点M，交反比例函数y=的图象于点F，分别联结OE、OF，当△OEF∽△OBE 时，请直接写出满足条件的所有k2的值．第一套：满分150分2020-2021年江苏天一中学初升高自主招生数学模拟卷参考答案一.选择题：1.【解答】解：连接EM，CE：CD=CM：CA=1：3∴EM平行于AD∴△BHD∽△BME，△CEM∽△CDA∴HD：ME=BD：BE=3：5，ME：AD=CM：AC=1：3∴AH=（3﹣）ME，∴AH：ME=12：5∴HG：GM=AH：EM=12：5设GM=5k，GH=12k，∵BH：HM=3：2=BH：17k∴BH=K，∴BH：HG：GM=k：12k：5k=51：24：10故选D．2.【答案】C 。
解答：①∵一元二次方程实数根分别为x 1、x 2，∴x 1=2，x 2=3，只有在m=0时才能成立，故结论①错误。
②一元二次方程（x －2）（x －3）=m 化为一般形式得：x 2－5x ＋6－m=0，∵方程有两个不相等的实数根x 1、x 2，∴△=b 2－4ac=（－5）2－4（6－m ）=4m ＋1＞0，解得：1m 4>-。
故结论②正确。
③∵一元二次方程x 2－5x ＋6－m=0实数根分别为x 1、x 2，∴x 1＋x 2=5，x 1x 2=6－m ∴二次函数y=（x －x 1）（x －x 2）+m=x 2－（x 1＋x 2）x ＋x 1x 2＋m=x 2－5x ＋（6－m ）＋m=x 2－5x ＋6=（x －2）（x －3）。
令y=0，即（x －2）（x －3）=0，解得：x=2或3。
∴抛物线与x 轴的交点为（2，0）或（3，0），故结论③正确。
综上所述，正确的结论有2个：②③。
故选C 。
3.【答案】B 。
【分析】∵根据题意，得xy=20，∴()20y=x>0,y>0x。
故选B 。
4.【答案】B 。
【分析】如图，在y x 2=-中，令x=0，则y=－2 ；令y=0，则x=2 ，∴A （0，－2），B （2，0）。
∴OA=OB= 2 。
∴△AOB是等腰直角三角形。
∴AB=2，过点O作OD⊥AB，则OD=BD=12AB=12×2=1。
又∵⊙O的半径为1，∴圆心到直线的距离等于半径。
∴直线y=x- 2 与⊙O相切。
故选B。
5.【分析】连接内心和直角三角形的各个顶点，设直角三角形的两条直角边是a，b．则直角三角形的面积是；又直角三角形内切圆的半径r=，则a+b=2r+c，所以直角三角形的面积是r（r+c）；因为内切圆的面积是πr2，则它们的比是．【解答】解：设直角三角形的两条直角边是a，b，则有：S=，又∵r=，∴a+b=2r+c，将a+b=2r+c代入S=得：S=r=r（r+c）．又∵内切圆的面积是πr2，∴它们的比是．故选B．【点评】此题要熟悉直角三角形的内切圆半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半，能够把直角三角形的面积分割成三部分，用内切圆的半径进行表示，是解题的关键．6.解答：解：∵Rt△ABC中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，∴AC==BC=6，∴S△ABC=AC•BC=6，∵D1E1⊥AC，∴D1E1∥BC，∴△BD1E1与△CD1E1同底同高，面积相等，∵D1是斜边AB的中点，∴D1E1=BC，CE1=AC，∴S1=BC•CE1=BC×AC=×AC•BC=S△ABC；∴在△ACB中，D2为其重心，∴D2E1=BE1，∴D2E2=BC，CE2=AC，S2=××AC•BC=S△ABC，∴D3E3=BC，CE2=AC，S3=S△ABC…；∴S n=S△ABC；∴S2013=×6=．故选C．7.【分析】此题主要考数形结合，画出图形找出范围，问题就好解决【解答】解：由右图知：A（1，2），B（2，1），再根据抛物线的性质，|a|越大开口越小，把A点代入y=ax2得a=2，把B点代入y=ax2得a=，则a的范围介于这两点之间，故≤a≤2．故选D．【点评】此题考查学生的观察能力，把函数性质与正方形连接起来，要学会数形结合．8.解答：解：∵矩形ABCD的对角线互相平分，面积为5，∴平行四边形ABC1O1的面积为，∵平行四边形ABC1O1的对角线互相平分，∴平行四边形ABC2O2的面积为×=，…，依此类推，平行四边形ABC2009O2009的面积为．故选B．二、填空题9．【分析】根据式子特点，设x+1=a，y﹣1=b，然后利用换元法将原方程组转化为关于a、b的方程组，再换元为关于x、y的方程组解答．【解答】解：设x+1=a，y﹣1=b，则原方程可变为，由②式又可变化为=26，把①式代入得=13，这又可以变形为（+）2﹣3 =13，再代入又得﹣3=9，解得ab=﹣27，又因为a+b=26，所以解这个方程组得或，于是（1），解得；（2），解得．故答案为和．【点评】本题主要考查解无理方程的知识点，去掉根号把无理式化成有理方程是解题的关键，需要同学们仔细掌握．10．【分析】分a=0，a≠0两种情况分析．【解答】解：∵如果a≠0，不论a大于还是小于0，对任意实数x不等式ax＞b都成立是不可能的，∴a=0，则左边式子ax=0，∴b＜0一定成立，∴a，b的取值范围为a=0，b＜0．【点评】本题是利用了反证法的思想11．【分析】先根据﹣1≤x≤2，确定x﹣2与x+2的符号，在对x的符号进行讨论即可．【解答】解：∵﹣1≤x≤2，∴x﹣2≤0，x+2＞0，∴当2≥x≥0时，|x﹣2|﹣|x|+|x+2|=2﹣x﹣x+x+2=4﹣x；当﹣1≤x＜0时，|x﹣2|﹣|x|+|x+2|=2﹣x+x+x+2=4+x，当x=0时，取得最大值为4，x=2时取得最小值，最小值为3，则最大值与最小值之差为1．故答案为：1【点评】本题重点考查有理数的绝对值和求代数式值．解此类题的关键是：先利用条件判断出绝对值符号里代数式的正负性，再根据绝对值的性质把绝对值符号去掉，把式子化简，即可求解．12．【分析】要求出|P2007Q2007|的值，就要先求|Qy2007﹣Py2007|的值，因为纵坐标分别是1，3，5 …，共2007个连续奇数，其中第2007个奇数是2×2007﹣1=4013，所以P2007的坐标是（Px2007，4013），那么可根据P点都在反比例函数y=上，可求出此时Px2007的值，那么就能得出P2007的坐标，然后将P2007的横坐标代入y=中即可求出Qy2007的值．那么|P2007Q2007|=|Qy2007﹣Py2007|，由此可得出结果．【解答】解：由题意可知：P2007的坐标是（Px2007，4013），又∵P2007在y=上，∴Px2007=．而Qx2007（即Px2007）在y=上，所以Qy2007===，∴|P2007Q2007|=|Py2007﹣Qy2007|=|4013﹣|=．故答案为：．【点评】本题的关键是找出P点纵坐标的规律，以这个规律为基础求出P2007的横坐标，进而求出Q2007的值，从而可得出所求的结果．13．【分析】圆锥的侧面展开图是扇形，从A点出发绕侧面一周，再回到A点的最短的路线即展开得到的扇形的弧所对弦，转化为求弦的长的问题．【解答】解：∵图中扇形的弧长是2π，根据弧长公式得到2π=∴n=120°即扇形的圆心角是120°∴弧所对的弦长是2×3sin60°=3【点评】正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．14．【分析】首先由勾股定理求出AC的长，设AC的中点为E，折线与AB交于F．然后求证△AEF∽△ABC求出EF的长．【解答】解：如图，由勾股定理易得AC=15，设AC的中点为E，折线FG与AB交于F，（折线垂直平分对角线AC），AE=7.5．∵∠AEF=∠B=90°，∠EAF是公共角，∴△AEF∽△ABC，∴==．∴EF=．∴折线长=2EF=．故答案为．【点评】本题综合考查了矩形的性质，勾股定理，相似，全等等知识点．三、解答题15.【解析】（1）解：由等式222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++=， 去分母得222222(1)(1)(1((1)(1)(1)4z x y x y z y z x xyz --+--+--=，222222222222()()()3()0,x y z xy z x yz x y z y z x z x y xyz x y z xyz ⎡⎤++-+++++++++-=⎣⎦()()()()0xyz xy yz zx x y z xy yz zx x y z xyz ++-+++++++-=， ∴[()](1)0xyz x y z xy yz zx -++++-=，1,10xy yz zx xy yz zx ++≠∴++-≠，()0,xyz x y z ∴-++=xyz x y z ∴=++，∴原式=1.x y zxyz++= （2）证明：由（1）得计算过程知xyz x y z ∴=++，又,,x y z 为正实数,9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx ∴+++-++ 9()()()8()()x y y z z x x y z xy yz zx =+++-++++ 222222()()()6x y z y z x z x y xyz =+++++- 222()()()0.x y z y z x z x y =-+-+-≥∴9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.【注：222222()()()2x y y z z x x y xy y z yz z x zx xyz +++=++++++222222()()()2x y z y z x z x y xyz =++++++222222()()3x y z xy yz zx x y xy y z yz z x zx xyz ++++=++++++222222()()()3x y z y z x z x y xyz =++++++】16.【答案】如图，作点A 关于直线MC 的对称点D ，连结DA 、DM 、DC ，DN ，则MDC MAC △≌△。