全等三角形常见的几何模型

1、绕点型（手拉手模型）

遇 600旋 60 0，造等边三角形

遇 900旋 900，造等腰直角

（ 1）自旋转：自旋转构造方法

遇等腰旋顶角，造旋转全等

遇中点旋 1800，造中心对称

（2）共旋转（典型的手拉手模型）

例 1、在直线 ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD和△ BCE，连接 AE与 CD，证明：

（ 1）△ ABE≌△ DBC

D

（ 2）AE=DC

（ 3）AE 与 DC的夹角为 60。E

（ 4）△ AGB≌△ DFB H

F

（ 5）△ EGB≌△ CFB

G

（6） BH平分∠ AHC

（7）GF∥AC A B C

变式练习 1、如果两个等边三角形△ABD和△ BCE，连接 AE 与 CD，证明：

（ 1）△ ABE≌△ DBC

D

（ 2）AE=DC C

（ 3）AE 与 DC的夹角为 60。

E

（ 4）AE 与 DC的交点设为 H,BH平分∠ AHC

A B

变式练习 2、如果两个等边三角形△ABD 和△ BCE，连接 AE 与 CD，证明：

D

(1) △ ABE≌△ DBC

(2)AE=DC

(3)AE 与 DC的夹角为 60。

（ 4） AE与 DC的交点设为 H,BH 平分∠ AHC

B

A

H E

C

（1）如图 1，点 C 是线段 AB 上一点，分别以 AC ，BC 为边在 AB 的同侧作等边△ ACM 和△ CBN ，连接 AN ，BM ．分别取BM ， AN 的中点 E， F，连接 CE， CF， EF．观察并猜想△ CEF 的形状，并说明理由．

（2）若将（ 1）中的“以 AC ，BC 为边作等边△ ACM 和△ CBN”改为“以 AC ，BC 为腰在 AB 的同侧作等腰△ ACM 和△CBN ，”如图 2，其他条件不变，那么（1）中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．

例 4、例题讲解：

1.已知△ ABC 为等边三角形，点 D 为直线 BC 上的一动点（点 D 不与 B,C 重合），以 AD 为边作菱形 ADEF( 按 A,D,E,F

逆时针排列），使∠ DAF=60° ,连接 CF.

(1) 如图 1，当点 D 在边 BC 上时，求证：①BD=CF ?② AC=CF+CD.

(2)如图 2，当点 D 在边 BC 的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD 是否成立？若不成立，请写出AC 、 CF、CD 之间存在的数量关系，并说明理由；

(3)如图 3，当点 D 在边 BC 的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC 、CF、CD 之间存在的数量关系。

2、半角模型

说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，

成对称全等。

例 1、如图，正方形ABCD的边长为 1， AB,AD上各存在一点P、 Q，若△ APQ的周长为2，求PCQ 的度数。

D C

Q

A P B

例 2、在正方形ABCD 中，若 M 、 N 分别在边BC、 CD 上移动，且满足MN=BM +DN，求证：①∠MAN=45 °；②

△ CMN 的周长 =2AB ；③ AM 、AN 分别平分∠ BMN 和∠ DNM 。

例 3、在正方形ABCD中，已知∠ MAN=45°，若 M、N 分别在边 CB、DC 的延长线上移动：①试探究线段MN、 BM 、 DN之间的数量关系；②求证：AB=AH.

例 4、在四边形 ABCD中，∠ B+∠D=180°，AB=AD，若 E、F 分别在边 BC、CD且上，满足 EF=BE+DF求.证：EAF 1

BAD 。2