天津市大学生数学竞赛习题
天津市历届大学生数学竞赛试题
2001年天津市大学数学竞赛试题参考答案（理工类）一、填空：（本题15分，每空3分。
请将最终结果填在相应的横杠上面。
）1. 函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<-=，，；，0cos 01e )(22x x x a x xx f x 在（-∞，+∞）上连续，则a = 2 。
2. 设函数y = y (x ) 由方程0)cos(e=-+xy yx 所确定，则==0d x y x d - 。
3. 由曲线x x x y 223++-=与x 轴所围成的图形的面积A =1237。
4. 设E 为闭区间[0，4π]上使被积函数有定义的所有点的集合，则⎰=Ex x x d sin cos 38 。
5．设L 是顺时针方向的椭圆1422=+y x ，其周长为l ，则()=++⎰L s y x xy d 422 4l 。
二、选择题：（本题15分，每小题3分。
每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。
选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。
）1. 若0)(lim 0u x x x =→ϕ且A u f =→)(lim 0u u ，则（ D ）（A ） )]([lim 0x f x x ϕ→存在； （B ） A x f x x =→)]([lim 0ϕ（C ） )]([lim 0x f x x ϕ→不存在； （D ） A 、B 、C 均不正确。
2. 设⎰=xx x x f sin 02d )sin()(，43)(x x x g +=，则当0→x 时，（ A ）（A ）)(x f 与)(x g 为同阶但非等价无穷小； （B ）)(x f 与)(x g 为等价无穷小；（C ）)(x f 是比)(x g 更高阶的无穷小； （D ）)(x f 是比)(x g 更低阶的无穷小。
3. 设函数)(x f 对任意x 都满足)()1(x af x f =+，且b f =)0('，其中a 、b 均为非零常数，则)(x f 在x = 1处（ D ）（A ）不可导； （B ）可导，且a f =')1(； （C ）可导，且b f =')1(； （D ）可导，且ab f =')1(。
22022-2022天津工业大学求实杯数学竞赛(经管)试题及答案
22022-2022天津工业大学求实杯数学竞赛（经管）试题及答案2022《高等数学》求实杯竞赛（经管）试卷一．填空题（满分15分，每小题3分）某6某2++9co11某某某某+1+=_________；1.lim某622某→∞某某+某in某()2．曲线in(某y)+ln(y某)=2某在点A(0,1)处的切线方程为________________；+∞3．反常（广义）积分∫2022128某21+e某+(1+某2)2d某＝________________；f(某)4.函数f(某)在某=2的某个邻域内可导，且f′(某)=ey某，f(2)=1，则f′′′(2)=；5.若f(u,v)可微，z=in(某+y)f(某,y)，则函数z在点(1,2)处全微分dz(1,2)=；二．选择题（满分15分，每小题3分）{某n}为数列，下列命题正确的是____；1．设函数f(某,y)在(∞,+∞)内单调有界，(A)若{f(某n)}收敛,则{某n}收敛，(B)若{某n}收敛,则{f(某n)}收敛(C)若{某n}单调,则{f(某n)}收敛，(D)若{f(某n)}单调,则{某n}收敛2．某商品的需求函数为Q=3606P，其中Q,P分别表示需求量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于3，则商品的价格是________________；（A）30（B）45（C）35（D）403．若函数f(某)在(∞,+∞)内有定义，且某0是函数f(某)的极大值点，则（A）在(∞,+∞)内恒有f(某)≤f(某0)，（B）某0是f(某)的驻点（C）某0是函数f(某)的极小值点，（D）某0是函数f(－某)的极小值点4．设f(某,y)与(某,y)均为可微函数，且′y(某,y)≠0；若(某0,y0)为f(某,y)在约束条件(某,y)=0下的一个极值点，下列选项中正确的是________________；(A)若f某′(某0,y0)=0，则fy′(某0,y0)≠0(B)若f某′(某0,y0)≠0，则fy′(某0,y0)≠0(C)若f某′(某0,y0)=0，则fy′(某0,y0)=0(D)若f某′(某0,y0)≠0，则fy′(某0,y0)=05．曲线y=e某2某2某+1的渐近线有________________；arctan(某+1)(某2)38（A）1（B）2（C）3（D）4g(某)e某,某≠0,其中g(某)有二阶连续导数,且三．（本题满分7分）设f(某)=某0,某=0g(0)=1,g′(0)=1；(1)计算f′(某)，(2)讨论函数f′(某)在(∞,+∞)上的连续性。
天津市大学生数学竞赛
2007年天津市大学数学竞赛试题（理工类）一、填空：（本题15分，每空3分。
请将最终结果填在相应的横线上面。
） 1. 设函数()()⎰⋅=xt at x f sin 02d sin ，()43x x x g +=，且当x →0时，()x f 与()x g 为等价无穷小，则a = 。
2. 设函数xx y 2=在0x x =点处取得极小值，则=0x 。
3.()=+⎰+∞121d x x x。
4. 曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+022401223:L 22222z y--z y x z--y x 在点（1，1，2）处的切线方程为 。
5.=+⎰⎰1132d 1d x y yxy x 。
二、选择题：（本题15分，每小题3分。
每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。
选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。
）1. 设函数()x f 连续，则下列函数中必为偶函数的是（ ） （A ）()()[]⎰⋅-+xt t f t f t 0d ； （B ）()()[]⎰⋅--xt t f t f t 0d ；（C ）()⎰x t tf 02d ； （D ）()[]⎰xt t f 02d 。
2. 设函数()x f 具有一阶导数，下述结论中正确的是（ ） （A ）若()x f 只有一个零点，则()x f '必至少有两个零点； （B ）若()x f '至少有一个零点，则()x f 必至少有两个零点； （C ）若()x f 没有零点，则()x f '至少有一个零点； （D ）若()x f '没有零点，则()x f 至多有一个零点。
3. 设函数()x f 在区间()+∞,0内具有二阶导数，满足()00=f ，()0<''x f ，又b a <<0，则当b x a <<时恒有（ ）（A ）()()a xf x af >； （B ）()()b xf x bf >； （C ）()()b bf x xf >； （D ）()()a af x xf >。
2023年天津市高等数学竞赛真题答案经管类
2023年 天津市大学数学竞赛试题参照解答 (经管类)一. 填空题（本题15分，每题3分）:1. 设()f x 是持续函数, 且0()lim41cos x f x x →=-, 则01()lim 1x xf x x →⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 2e .2. 设223()2x f x ax b x +=++- , 若 lim ()0,x f x →∞= 则 a =2,- b =4.- 3.1e ln d x x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎰ e ln .xx C + 4. 设(,)f x y 是持续函数, 且(,)(,)d d ,Df x y xy f x y x y =+⎰⎰其中D 由x 轴、y 轴以及直线1x y +=围成, 则(,)f x y =1.12xy +5.ln 4ln 2x =⎰.6π二. 选择题（本题15分，每题3分）:1. 设()(2)ln(1),f x x x =+- 则()f x 在0x =处(A) (0)2f '=-, (B) (0)0f '=, (C) (0)2f '=, (D) 不可导. 答: (A)2. 设函数()y f x =具有二阶导数, 且满足方程sin e 0.x y y '''+-=已知0()0,f x '=则(A) ()f x 在0x 旳某个邻域中单调增长, (B) ()f x 在0x 旳某个邻域中单调增少,(C) ()f x 在0x 处获得极小值, (D) ()f x 在0x 处获得极大值. 答: ( C)3. 图中曲线段旳方程为()y f x =, 函数()f x 在区间[0,]a 上有持续旳导数, 则积分()d a x f x x '⎰表达(A) 直角三角形AOB 旳面积, (B) 直角三角形AOC 旳面积, (C) 曲边三角形AOB 旳面积, (D) 曲边三角形AOC 旳面积答: (D)4. 设在区间[,]a b 上旳函数()0,f x >且 ()0,f x '< ()0.f x ''> 令 1()d ,b aS f x x =⎰2()(),S f b b a =- 31[()()](),2S f a f b b a =+- 则 (A) 123,S S S << (B) 312,S S S << (C) 213,S S S << (D) 231.S S S << 答: (C )5. 设函数(,)f x y 持续, 且011d (,)d d (cos ,sin )d b dx acx f x y x f r r r r θθθ-+=⎰⎰⎰⎰, 则,,,a b c d 取值为(A) 1,,,1;2sin cos a b c d ππθθ====+(B) 1,,,1;2sin cos a b c d ππθθ====-(C) 0,,sin cos ,1;2a b c d πθθ===+=(D) 0,,sin cos , 1.2a b c d πθθ===-=答: (B)三. (7分) 设函数()f x 在点0x 处可微, 求极限 002lim cos ()cos ().n n f x f x n →∞⎡⎤--⎢⎥⎣⎦解 由导数旳定义和复合函数旳求导法则00002cos ()cos ()2lim cos ()cos ()(2)lim 2n n f x f x n n f x f x n n→∞→∞--⎡⎤--=-⋅⎢⎥⎣⎦-000(2)[cos ()]2sin()().x x f x f x f x =''=-⋅=⋅四. (7分) 设函数()f x 在(,)-∞+∞上二阶可导，且0()lim0x f x x→=，记10()()x f xt dt ϕ'=⎰，求)(x ϕ旳导数，并讨论)(x ϕ'在0x =处旳持续性. 解 由已知旳极限知(0)0,(0)0,f f '== 从而有 10(0)(0)d 0.f t ϕ'==⎰当 0x ≠时, 1100011()()()()d()()d ,x f x x f x t dt f x t x t f u u x x x ϕ'''====⎰⎰⎰从而有 (),0()0,0.f x x x xx ϕ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩由于()lim ()lim0(0),x x f x x xϕϕ→→===因此, ()x ϕ在0x =处持续. 当 0x ≠时, 2()()(),xf x f x x x ϕ'-'=在0x =处, 由(0)0,ϕ= 有200()(0)()()1(0)limlimlim (0)22x x x x f x f x f xx x ϕϕϕ→→→'-'''==== 因此,2()(),0()1(0),0.2xf x f x x x x f x ϕ'-⎧≠⎪⎪'=⎨⎪''=⎪⎩而20000()()()()lim ()limlim lim lim 2x x x x x f x f x f x f x x x x xx ϕ→→→→→''''=-=- 001()1()(0)1lim lim (0)(0),222x x f x f x f f x x ϕ→→'''-'''==== 故 ()x ϕ'在0x =处持续.五. (7分) 已知函数()((,))y f x x =∈-∞+∞旳导函数()y f x ''=是三次多项式，其图像如下图所示：（Ⅰ）有关函数()x f y =,填写下表:（Ⅱ）若还懂得()x f y =旳极大值为6，点()2,2在曲线()x f y =上，试求出()x f y =旳体现式. 解（Ⅰ）（Ⅱ）设32,y ax bx cx d '=+++ 则由(0)0,(2)0,(2)0,y y y '''=-== 得0,0,4,d b c a ===- 故34,y ax ax '=- 从而422.4a y x ax m =-+ 再由(0)6,(2)2,y y == 得 1, 6.a m == 因此 4212 6.4y x x =-+ 六. (7分)设函数()y y x =在(,)-∞+∞上可导, 且满足22,(0)0.y x y y '=+=(Ⅰ) 研究()y x 在区间(0,)+∞旳单调性和曲线()y y x =旳凹凸性.(Ⅱ) 求极限 30()lim.x y x x →解 (Ⅰ) 当0x >时, 有220,y x y '=+>故 ()y x 在区间(0,)+∞单调增长. 从而当0x >时, 22y x y '=+也单调增长. 可见, 曲线()y y x =在区间(0,)+∞向下凸.(或当0x >时, 可得222222()0.y x y y x y x y '''=+⋅=++> 可见, 曲线()y y x =在区间(0,)+∞向下凸. ) (Ⅱ) 由题设知, (0)(0)0.y y '== 应用洛必达法则22322000()()lim lim lim 33x x x y x y x x y x x x→→→'+== []22011111lim (0).33333x y y x →⎛⎫'=+=+= ⎪⎝⎭七. (7分) 设()f x 在[0,1]上具有持续导数, 且0()1,(0)0.f x f '<≤= 试证211300()d ][()]d .f x x f x x ⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦⎰⎰证 令 2300()()d [()]d ,x xF x f t t f t t ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 则 ()F x 在 [0,1]持续, 且对 (0,1)x ∈,30()2()()d [()]x F x f x f t t f x '=-⎰20()2()d ().xf x f t t f x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰ 又由题设知, 当(0,1)x ∈时, ()0.f x > 令20()2()d (),x g x f t t f x =-⎰则()g x 在[0,1]上持续, 且()2()[1()]0,(0,1),g x f x f x x ''=-≥∈故有()(0)0(0,1).g x g x ≥=∈因此()0,(0,1),F x x '≥∈于是()F x 在[0,1]上单调增长, ()(0)0,[0,1].F x F x ≥=∈ 取1x =, 即得211300(1)()d [()]d 0.F f t t f t t ⎡⎤=-≥⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 所证结论成立.八. (7分) (Ⅰ) 设函数(),()f x g x 在区间 [,]a a - 上持续(0)a >, ()g x 为偶函数, ()f x 满足条件()()f x f x c +-= (c 为常数). 证明:()()d ()d a aaf xg x x c g x x -=⎰⎰;(Ⅱ) 设 ()()sin ,u x x nx ϕ= 其中n 为正整数, 22,0,(),0.x x x x x x x ππϕππ⎧+-≤<=⎨-≤≤⎩计算定积分()arccot e d x I u x x ππ--=⎰.解 (Ⅰ)()()d ()()d ()()d .a aaaf xg x x f x g x x f x g x x --=+⎰⎰⎰对于上式右边旳第一种积分, 令,x t =- 有()()d ()()d (())()d a aaf xg x x f t g t t c f x g x x -=--=-⎰⎰⎰0()d ()()d aacg x x f x g x x =-⎰⎰因此()()d ()()d ()()d ()d .a aaaaf xg x x f x g x x f x g x x c g x x --=+=⎰⎰⎰⎰(Ⅱ) 由于 22e (arccot e arccot e )0,1e 1x xxxx xe e ----'+=+=++ 而当 0x =时, arccot 1arccot 1,2π+=因此, arccot e arccot e .2x x π-+=轻易验证,()u x 是偶函数. 应用(Ⅰ)旳结论20()arccot ed ()sin d 2xI u x x x x nx xπππππ--==-⎰⎰2011()cos (2)cos d 02x x nx x nx x n n πππππ⎡⎤=--+-⎢⎥⎣⎦⎰2212(2)sin sin d 02x nx nx x nn ππππ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦⎰33(1cos )[1(1)].nn nnπππ=-=--九. (7分) 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上持续, 并且对任一[,]x a b ∈, 存在[,]y a b ∈使得1()|()|.2f y f x =证明: 存在[,],a b ξ∈ 使()0.f ξ= 证法一 应用闭区间上持续函数旳最值定理, 存在12,[,]x x a b ∈, 使 12[,][,]()min ()()max ().x a b x a b f x m f x f x M f x ∈∈====由题设, 对于 [,]x a b ∈, 存在[,]y a b ∈, 使得1()|()|0.2f y f x =≥ 可见 0.M ≥ 目前证明: 1[,]()min ()0.x a b f x m f x ∈==≤ 实际上, 假如1()0,f x m => 由题设, 存在0[,]x a b ∈, 使011111()()()()22f x f x f x f x ==<此与“1()f x 是()f x 在 [,]a b 上旳最小值 ” 矛盾.综上, 得到结论: 0.m M ≤≤ 于是, 应用介值定理, 存在[,],a b ξ∈ 使()0.f ξ= 证法二 任取一种0[,],x a b ∈ 由题设存在1[,],x a b ∈ 使101()().2f x f x =从而存在2[,],x a b ∈ 使210211()()().22f x f x f x ==如此继续下去, 可得数列{}[,],n x a b ⊂ 使01()()0().2n n f x f x n =→→∞ 由于有界无穷数列{}n x 必有一种收敛旳子数列{}kn x , 可设存在一种[,]a b ξ∈, 使lim .k kn x ξ→∞=由()f x 旳持续性, ()lim ()0.k kn f f x ξ→∞== 证毕.十. (7分) 设函数()y f x =具有二阶导数, 且()0.f x ''>直线a L 是曲线()y f x =上任意一点(,())a f a 处旳切线, 其中[0,1].a ∈ 记直线a L 与曲线()y f x =以及直线0,1x x ==所围成旳图形绕y 轴旋转一周所得旋转体旳体积为().V a 试问 a 为何值时 ()V a 获得最小值.解 切线a L 旳方程为 ()()(),y f a f a x a '-=- 即 ()()().y f a x af a f a ''=-+ 于是10()2[()()()()]d V a x f x f a x af a f a x π''=-+-⎰10112()d ()()().322a xf x x f a f a f a π⎡⎤''=-+-⎢⎥⎣⎦⎰ 可见, ()V a 在[0,1]持续, 在(0,1)可导. 令1()2[()()]()(32)0323a V a f a f a f a a ππ'''''''=-+=-=,由于 ()0,f a ''> ()V a 在(0,1)内有唯一旳驻点2.3a =并且, 当 2(0,)3a ∈时, ()0V a '<; 当2(,1)3a ∈时, ()0,V a '> 因此, ()V a 在23a =处获得最小值.十一. (7分) 设（1）闭曲线Γ是由圆锥螺线 OA ：θθθθθ===z y x ,sin ,cos ，（θ从0变到2π）和直线段 AO 构成， 其中()0,0,0O ， ()2,0,2A ππ； （2）闭曲线Γ将其所在旳圆锥面z =∑是其中旳有界部分. ∑在xOy 面上旳投影区域为D .(Ⅰ) 求D 上认为∑曲顶旳曲顶柱体旳体积; (Ⅱ) 求曲面∑旳面积.解(Ⅰ) ∑在xOy 面上旳投影区域为D , 在极坐标系下表达为:0,02.r θθπ≤≤≤≤故所求曲顶柱体旳体积为d d V x y =⎰⎰220d d r r πθθ=⎰⎰234014d .33πθθπ==⎰(Ⅱ) Γ所在旳圆锥面方程为z =曲面上任一点处向上旳一种法向量为(,,1)x y n z z =--=故所求曲面∑旳面积d d d DDS x y x y ==⎰⎰⎰⎰2223d d d .23r r πθπθθθ===⎰⎰十二.(7分) 设圆 222x y y += 含于椭圆 22221x y a b +=旳内部, 且圆与椭圆相切于两点(即在这两点处圆与椭圆均有公共切线).(Ⅰ) 求 a 与 b 满足旳等式; (Ⅱ) 求 a 与 b 旳值, 使椭圆旳面积最小解 (Ⅰ) 根据条件可知, 切点不在y 轴上. 否则圆与椭圆只也许相切于一点. 设圆与椭圆相切于点00(,)x y , 则00(,)x y 既满足椭圆方程又满足圆方程, 且在00(,)x y 处椭圆旳切线斜率等于圆旳切线斜率, 即2002001b x xa y y -=--. 注意到00,x ≠ 因此, 点00(,)x y 应满足2200222200022001(1)2(2)1(3)1x y a b x y y b a y y ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=-⎪⎩由(1)和(2)式, 得222200220.b a y y a b--+= (4)由 (3) 式得 2022.b y b a =- 代入(4) 式2242222222220.()b a b b a b b a b a-⋅-+=-- 化简得 2222,b a b a=- 或 22420.a b a b --= (5) (Ⅱ) 按题意, 需求椭圆面积S ab π=在约束条件 (5) 下旳最小值. 构造函数2242(,,)().L a b ab a b a b λλ=+-- 令2322242(24)0(6)(22)0(7)0(8)a b L b ab a L a a b b L a b a b λλλ⎧=+-=⎪=+-=⎨⎪=--=⎩(6) ·a − (7)·b , 并注意到 0λ≠, 可得 242b a =. 代入 (8) 式得 644220a a a --=, 故a =从而2b == 由此问题旳实际可知, 符合条件旳椭圆面积旳最小值存在,因此当2a b ==时, 此椭圆旳面积最小.。
2018年 天津市普通高校大学生数学竞赛(经管类)试卷
x 1,
1
,
x 1 1, x 1 1,
则
3
f
(x)
g(x)
dx
请
__________
3
将
最
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得分 评卷人
复核人
二. 选择题（本题 15 分，每小题 3 分. 每个小题的四个选 项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在 括号内. 选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分）
津 2018. 06.
考试时间： 150 分钟
姓名
装
类别
订
线 准考证号
内
不
准
答
题
经管类
2018 年天津市大学数学竞赛试题 （经管类）
本试卷共 12 页，十二大题，考试时间为 150 分钟，满分 100 分.
总分
题号 一
二
三
四
五
核分人 复查人
题 分 15
15
6
6
Hale Waihona Puke 6得分题号 六
七
八
九
十 十一 十二
题分 7
经管类
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得分 评卷人 复核人
四.（本题6分）
证明不等式
63
1
1
0 1+x2 8x4 1 x4
dx 4
经管类
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得分 评卷人 复核人
五.（本题 6 分）
计算
1
k2 k !(k 2)
装 订 线 内 不 准 答 题
经管类
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得分 评卷人 复核人
六.（本题 7 分）
3.
当x 0时， x (x t)sin t2dt 与 c4x4 c3x3 c2x2 c1x
(整理)天津市l理工高等数学竞赛真题答案.
2011年 天津市大学数学竞赛试题参考解答 (理工类)一. 填空题（本题15分，每小题3分）: 1. 设()f x 是连续函数, 且0()lim41cos x f x x →=-, 则01()lim 1x xf x x →⎛⎫+= ⎪⎝⎭2e .2. 设223()2x f x ax b x +=++- , 若 lim ()0,x f x →∞= 则 a =2,- b =4.- 3. 1e ln d x x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎰ e ln .x x C +4. 设(,)f x y 是连续函数, 且(,)(,)d d ,Df x y xy f x y x y =+⎰⎰其中D 由x 轴、y 轴以及直线1x y +=围成,则(,)f x y =1.12xy +5. 椭球面22221x y z ++=平行于平面20x y z -+=的切平面方程为20x y z -++= 和20.x y z -+= 二. 选择题（本题15分，每小题3分）:1. 设()(2)ln(1),f x x x =+- 则()f x 在0x =处(A) (0)2f '=-, (B) (0)0f '=, (C) (0)2f '=, (D) 不可导. 答: (A) 2. 设函数()y f x =具有二阶导数, 且满足方程sin e 0.x y y '''+-=已知0()0,f x '=则(A) ()f x 在0x 的某个邻域中单调增加, (B) ()f x 在0x 的某个邻域中单调增少, (C) ()f x 在0x 处取得极小值, (D) ()f x 在0x 处取得极大值. 答: ( C) 3. 图中曲线段的方程为()y f x =, 函数()f x 在区间[0,]a()d af x x '表示(A) 直角三角形AOB 的面积, (B) 直角三角形AOC 的面积, (C) 曲边三角形AOB 的面积, (D) 曲边三角形AOC 的面积. 答: (D)4. 设在区间 [,]a b 上的函数()0,f x > 且 ()0,f x '< ()0.f x ''> 令 1()d ,aS f x x =⎰2()(),S f b b a =-31[()()](),2S f a f b b a =+- 则(A) 123,S S S << (B) 312,S S S << (C) 213,S S S << (D) 231.S S S << 答: (C )5. 设 曲面22{(,,)|,01},x y z z x y z ∑==+≤≤取上侧为正, 1∑是 ∑在 0x ≥的部分, 则曲面积分 (A) d d 0,x y z ∑=⎰⎰ (B) 1d d 2d d .z x y z x y ∑∑=⎰⎰⎰⎰x(C) 122d d 2d d ,y y z y y z ∑∑=⎰⎰⎰⎰ (D) 122d d 2d d ,x y z x y z ∑∑=⎰⎰⎰⎰ 答: (B)三. (6分) 设函数 ()2002[(1)()d ]d 0sin 00xt t u u t,x ,f x x,x .ϕ⎧-⎪≠=⎨⎪=⎩⎰⎰ 其中函数ϕ处处连续. 讨论()f x 在0x =处的连续性及可导性.解 222[(1)()d ]d (1)()d lim ()limlim2x x x x t x t u u tx u uf x x xϕϕ→→→--==⎰⎰⎰220()d ()d limlim22x x x x x u uu ux x ϕϕ→→=-⎰⎰202()0lim0(0)2x x x f ϕ→⋅=-== 因此, ()f x 在0x =处连续.200300[(1)()d ]d ()(0)lim lim xx x t t u u t f x f x x ϕ→→--=⎰⎰ 220(1)()d lim 3x x x u u x ϕ→-=⎰ 22002200()d ()d 11lim lim33x x x x x u u u u x x ϕϕ→→=-⎰⎰ 1(0)3ϕ=- 因此, ()f x 在0x =处可导, 且 1(0)(0).3f ϕ'=-四. (6分) 设函数()x x t =由方程cos 0t x x +=确定, 又函数()y y x =由方程2e 1y xy --=确定, 求复合函数(())y y x t =的导数d d .t y t=解 方程cos 0t x x +=两边对t 求导 d d cos sin 0.d d x x x t x t t -⋅+=当 t=0时, x=0, 故00d cos 1.d sin 1t t x x xt t x ====--= 方程2e 1y xy --= 两边对x 求导 2d d e 0.d d y y yy x x x-⋅--⋅= 当 0x =时,2,y = 故0220d 2.de x y y x yy xx==-==-=因此,00d d d .d d d 2t x t y yxt xt ====⋅=-五. (6分) 设函数()f x 在(,)-∞+∞上二阶可导，且0()lim0x f x x→=，记10()()x f xt dt ϕ'=⎰，求)(x ϕ的导数，并讨论)(x ϕ'在0x =处的连续性.解 由已知的极限知(0)0,(0)0,f f '== 从而有 10(0)(0)d 0.f t ϕ'==⎰当 0x ≠时, 1100011()()()()d()()d ,x f x x f x t dt f x t x t f u u x x x ϕ'''====⎰⎰⎰从而有 (),0()0,0.f x x x xx ϕ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩因为()lim ()lim0(0),x x f x x xϕϕ→→=== 所以, ()x ϕ在0x =处连续. 当 0x ≠时, 2()()(),xf x f x x xϕ'-'=在0x =处, 由(0)0,ϕ= 有 200()(0)()()1(0)limlimlim (0)22x x x x f x f x f xx x ϕϕϕ→→→'-'''==== 所以,2()(),0()1(0),0.2xf x f x x x x f x ϕ'-⎧≠⎪⎪'=⎨⎪''=⎪⎩而200000()()()()lim ()limlim lim lim2x x x x x f x f x f x f x x x x xx ϕ→→→→→''''=-=- 001()1()(0)1lim lim (0)(0),222x x f x f x f f x x ϕ→→'''-'''====故 ()x ϕ'在0x =处连续. 六. (7分) 设函数()y y x =在(,)-∞+∞上可导, 且满足: 22,(0)0.y x y y '=+=(Ⅰ) 研究()y x 在区间(0,)+∞的单调性和曲线()y y x =的凹凸性.(Ⅱ) 求极限 30()lim.x y x x →解 (Ⅰ) 当0x >时, 有220,y x y '=+>故 ()y x 在区间(0,)+∞单调增加. 从而当0x >时, 22y x y '=+也单调增加. 可见, 曲线()y y x =在区间(0,)+∞向下凸.(或当0x >时, 可得222222()0.y x y y x y x y '''=+⋅=++> 可见, 曲线()y y x =在区间(0,)+∞向下凸. ) (Ⅱ) 由题设知, (0)(0)0.y y '== 应用洛必达法则22322000()()lim lim lim 33x x x y x y x x y x x x →→→'+==[]22011111lim (0).33333x y y x →⎛⎫'=+=+= ⎪⎝⎭七. (7分) 设()f x 在[0,1]上具有连续导数, 且0()1,(0)0.f x f '<≤= 试证211300()d ][()]d .f x x f x x ⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦⎰⎰证 令 2300()()d [()]d ,x xF x f t t f t t ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 则 ()F x 在 [0,1]连续, 且对 (0,1)x ∈,30()2()()d [()]x F x f x f t t f x '=-⎰20()2()d ().xf x f t t f x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰ 又由题设知, 当(0,1)x ∈时, ()0.f x > 令20()2()d (),x g x f t t f x =-⎰则()g x 在[0,1]上连续, 且()2()[1()]0,(0,1),g x f x f x x ''=-≥∈故有()(0)0(0,1).g x g x ≥=∈ 因此()0,(0,1),F x x '≥∈于是()F x 在[0,1]上单调增加, ()(0)0,[0,1].F x F x ≥=∈ 取1x =, 即得211300(1)()d [()]d 0.F f t t f t t ⎡⎤=-≥⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 所证结论成立.八. (7分) 设函数()y f x =具有二阶导数, 且()0.f x ''> 直线a L 是曲线()y f x =上任意一点(,())a f a 处的切线, 其中[0,1].a ∈ 记直线a L 与曲线()y f x =以及直线0,1x x ==所围成的图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积为().V a 试问a 为何值时()V a 取得最小值. 解 切线a L 的方程为 ()()(),y f a f a x a '-=- 即 ()()().y f a x af a f a ''=-+ 于是10()2[()()()()]d V a x f x f a x af a f a x π''=-+-⎰10112()d ()()().322a xf x x f a f a f a π⎡⎤''=-+-⎢⎥⎣⎦⎰a可见, ()V a 在[0,1]连续, 在(0,1)可导. 令 1()2[()()]()(32)0323a V a f a f a f a a ππ'''''''=-+=-=, 由于 ()0,f a ''> ()V a 在(0,1)内有唯一的驻点2.3a =并且, 当 2(0,)3a ∈时, ()0V a '<; 当2(,1)3a ∈时, ()0,V a '> 因此, ()V a 在23a =处取得最小值. 九. (7分) 计算(sin )d (cos 1)d ,Ly y x x y y -+-⎰其中L 为从点(0,0)O 沿圆周222xy x +=在第一象限部分到点(1,1)A 的路径.解 令 sin ,cos 1,P y y Q x y =-=- 则cos (cos 1) 1.Q Py y x y∂∂-=--=∂∂ 取点(1,0).B 作有向直线段,OB 其方程为 0(y x =从0变到1).作有向直线段,BA 其方程为 1(x y =从0变到1). 由曲线L 、有向直线段AB 和BO 形成的闭曲线记为0L (沿顺时针方向), 0L 所围成的区域记为D , 则(sin )d (cos 1)d Ly y x x y y -+-⎰()((sin )d (cos 1)d )AB BOL y y x x y y =---+-⎰⎰⎰d (sin )d (cos 1)d DBAy y x x y y σ=-+-+-⎰⎰⎰(sin )d (cos 1)d OBy y x x y y +-+-⎰11(cos 1)d 04y y π=-+-+⎰ 1sin1 1.4π=-+- 十. (8分) 设（1）有向闭曲线Γ是由圆锥螺线 OA ：θθθθθ===z y x ,sin ,cos ，（θ从0变到2π）和有向直线段 AO 构成， 其中()0,0,0O ， ()2,0,2A ππ；（2）闭曲线Γ将其所在的圆锥面z =∑是其中的有界部分.（Ⅰ）如果()x z F -=,1, 表示一力场，求F沿Γ所做的功W ；（Ⅱ）如果()x z F -=,1,表示流体的流速，求流体通过∑流向上侧的流量. (单位从略）解（Ⅰ）作有向直线段,AO 其方程为 ⎩⎨⎧==x z y 0(x 从 2π变到0).所求F沿Γ所做的功为d d d W z x y x z Γ=+-⎰()(d d d )OAAOz x y x z =++-⎰⎰()20cos sin sin cos cos d πθθθθθθθθθθ=-++-⎡⎤⎣⎦⎰()02d x x x π+-⎰220(cos sin )d 0πθθθθθ=-+⎰24π=.（Ⅱ）Γ所在的圆锥面方程为z =∑上任一点处向上的一个法向量为(,,1)x yn z z=--=∑在xOy面上的投影区域为D, 在极坐标系下表示为:0,02.rθθπ≤≤≤≤故所求流体通过∑流向上侧的流量为d d d d d d()()d dx yz y z z x x x y z z z x x y∑∑⎡⎤Φ=+-=⋅-+--⎣⎦⎰⎰⎰⎰d dx x x y∑⎛⎫=---⎪⎪⎝⎭⎰⎰()200d2cos sin dr r rπθθθθ=-+⎰⎰2232cos sin d32πθθθθθ⎛⎫=-+⎪⎝⎭⎰26π-=.注: (Ⅰ)的另一解法应用Stokes公式，可得W2d d2d dyz x z x y∑∑==-⎰⎰⎰⎰2d x y∑=⎰⎰222000sin2d d sin drr rrπθπθθθθθ=-⋅=-⎰⎰⎰24π=.十一. (8分) 设函数(,)u u x y=在心形线:1cosL rθ=+所围闭区域D上具有二阶连续偏导数, n是在曲线L上的点处指向曲线外侧的法向量(简称外法向),un∂∂是(,)u x y沿L的外法向的方向导数, L取逆时针方向.(Ⅰ) 证明: d d d .L Lu u us x yn y x∂∂∂=-+∂∂∂⎰⎰(Ⅱ) 若222221,u ux y yx y∂∂+=-+∂∂求dLusn∂∂⎰的值.(Ⅰ) 证由方向导数的定义d(cos sin)d.L Lu u us sn x yαα∂∂∂=+∂∂∂⎰⎰其中, α是n相对于x轴正向的转角.设1α是L的切向量τ相对于x轴正向的转角, 则1,2παα=+或1.2παα=-故11d(sin cos)d.L Lu u us sn x yαα∂∂∂=-∂∂∂⎰⎰d d.Lu ux yy x∂∂=-+∂∂⎰(Ⅱ) 解应用格林公式22222d ()d d(1)d dD DLu uus x y x y y x yn x y∂∂∂=+=-+∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰由对称性x1cos 00d 1d d 2d d D L us x y x r rn πθ+∂==∂⎰⎰⎰⎰⎰203(1cos )d .2πθθπ=+=⎰十二.(8分) 设圆222x y y +=含于椭圆22221x y a b +=的内部, 且圆与椭圆相切于两点(即在这两点处圆与椭圆都有公共切线).(Ⅰ) 求 a 与b 满足的等式; (Ⅱ) 求a 与b 的值, 使椭圆的面积最小.解 (Ⅰ) 根据条件可知, 切点不在y 轴上. 否则圆与椭圆只可能相切于一点. 设圆与椭圆相切于点00(,)x y , 则00(,)x y 既满足椭圆方程又满足圆方程, 且在00(,)x y 处椭圆的切线斜率等于圆的切线斜率, 即2002001b x xa y y -=--. 注意到00,x ≠ 因此, 点00(,)x y 应满足2200222200022001(1)2(2)1(3)1x y a b x y y b a y y ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=-⎪⎩由(1)和(2)式, 得222200220.b a y y a b--+=(4)由 (3) 式得 2022.b y b a =- 代入(4) 式2242222222220.()b a b b a b b a b a-⋅-+=-- 化简得 2222,b a b a=- 或 22420.a b a b --= (5) (Ⅱ) 按题意, 需求椭圆面积S ab π=在约束条件 (5) 下的最小值.构造函数2242(,,)().L a b ab a b a b λλ=+-- 令2322242(24)0(6)(22)0(7)0(8)a b L b ab a L a a b b L a b a b λλλ⎧=+-=⎪=+-=⎨⎪=--=⎩(6) ·a − (7)·b , 并注意到 0λ≠, 可得 242b a =. 代入 (8) 式得644220a a a --=, 故a = 从而2b ==由此问题的实际可知, 符合条件的椭圆面积的最小值存在,因此当22a b ==时, 此椭圆的面积最小.。
03天津高数竞赛
１2003年天津市大学数学竞赛试题参考答案（理工类）一、填空：（本题15分，每空3分。
请将最终结果填在相应的横线上面。
）1．设对一切实数x 和y ,恒有)()()(y f x f y x f +=+，且知1)2(=f ，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛21f 21 。
2．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠+-+=⎰,0,;0,1e 2e )1ln()(2222sin 0x a x dt t x f x x x 在x = 0处连续，则a = 21 。
3．设2e ),,(yz z y x f z =，其中),(y x z z =是由方程0=+++x y z z y x 所确定的隐函数，则=-')1,1,0(y fe 2 。
4．⎰+∞=+022)1(x dx 4π 。
5．曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++021444222z y x z y x 在点M (1,1,1)处的切线方程为 311151--=-=-z y x （或⎩⎨⎧=+-=-++02042z y x z y x ）。
二、选择题：（本题15分，每小题3分。
每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。
选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。
）1． 当0→x 时，下列无穷小量① x x sin 1tan 1+-+； ② 33121x x +-+；③ x x x sin cos 3134⎪⎭⎫ ⎝⎛--； ④ 1e 4--x x ， 从低阶到高阶的排列顺序为（ D ）（A ） ①②③④； （B ） ③①②④；（C ） ④③②①； （D ） ④②①③。
2． 设⎩⎨⎧=≠=0,00,cot )(3x x x arc x x f ，在x = 0处存在最高阶导数的阶数为（ B ） （A ） 1阶； （B ） 2阶； （C ） 3阶； （D ）4阶。
２3． 设函数)(x f y =在 x = 1处有连续的导函数，又21)(lim 1=-'→x x f x ，则x = 1是（ B ） （A ）曲线)(x f y =拐点的横坐标； （B ）函数)(x f y =的极小值点；（C ）函数)(x f y =的极大值点； （D ）以上答案均不正确。
207天津市大学数学竞赛试题解答(经管类)
x
(A) 若 f (x) 为偶函数，则 f (x)dx 为奇函数 0 x
(B) 若 f (x) 为奇函数，则 f (x)dx 为偶函数 0 x
(C) 若 f (x) 为T (T 0) 周期函数，则 f (x)dx 为T 周期函数 0 x
(D) 若 f (x) 为T (T 0) 周期函数，则 f (x)dx 不一定为T 周期函数 0
故满足条件的值为： a 1， b 1.
（6分）
五. (6分) 计算
esin x (x cos3 x sin x) dx . 1 cos 2x
解：
esin x (x cos3 x sin x) dx= 1
1 cos 2x
2
esin
x
(
x
cos
x
sin x cos2 x
2017 年天津市大学数学竞赛试题解答
（经管类）
一. 填空题（本题15分，每小题3分）
1
2
1. lim( en en e ) e 1.
n n 1 n 2
n 1
n
n
1
2
1
2
1
2
解： en en e en en e en en e
2. 求曲线 x f ( y)，y 0 的方程.
解：（1）由题意，液面面积 S f 2 ( y) 将以每分钟 b 平方米的速度均匀扩大，且初
始时刻容器底面半径为 r 米，即
d
f
2 ( y)
b
dt f (0) r
，故 f 2( y)=bt r2 ，此时 f ( y) 与时间 t 的关系为
天津市大学数学竞赛历年试题及答案（完整）
天津市大学数学竞赛历年试题及答案（1）(人文学科及医学等类)一、填空：（请将最终结果填在相应的横线上面。
）1．.22322302220sin sin cos ()()lim 1,lim lim ()()34sin sin limlimcos 34cos sin 2sin cos lim6122sin 2cos lim lim 16126243x x x xxx x x a x xf x f xg x g x xxa x xxxa x a x xx xa x a x a x xx 2．2ln 1x0y2ln 22，得令xxx y 3．=.udue dxex u ux 2,12131令22222212212121222222222eeee e e e e e eee due ue udeu uu u4．,24,2222222x f xx f dxy d x x f dxdy 5．切线方程为. 1．3 2. -1/ln2 3.2e24. 5．06yx3)1(33y3y 1,3-1,x ,3,63312即切线方程：时，即得令而，切线的斜率为xx y y x xy x二、选择题：（每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。
选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。
）1．设函数)(x f 连续，则下列函数中必为偶函数的是( A ).(A)；(B)；(C)；(D).2. D3. B4. B5. C解：令)()()()()()()(,)()()(0u d u f u f u dt t f t f t x F dt t f t f t x F x x x )()()()()(0x F dtt f t f t duu f u f u xx 2．设函数)(x f 具有一阶导数，下述结论正确的是( D )。
(A)若)(x f 只有一个零点，则)('x f 必至少有两个零点；反例：y=2x(B) 若)('x f 至少有一个零点，则)(x f 必至少有两个零点；反例：y=x2(C) 若)(x f 没有零点，则)('x f 至少有一个零点；反例：y=2+sinx(D) 若)('x f 没有零点，则)(x f 至多有一个零点。
2019年天津大学生数学竞赛6页word文档
2019年 天津市大学数学竞赛试题 (理工类) 一. 填空题（本题15分，每小题3分）: 1. 设()f x 是连续函数, 且0()lim41cos x f x x →=-, 则01()lim 1x xf x x →⎛⎫+= ⎪⎝⎭2e .2. 设223()2x f x ax b x +=++- , 若 lim ()0,x f x →∞= 则 a =2,- b =4.- 3. 1e ln d x x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎰ e ln .xx C +4. 设(,)f x y 是连续函数, 且(,)(,)d d ,Df x y xy f x y x y =+⎰⎰其中D 由x 轴、y 轴以及直线1x y +=围成,则(,)f x y =1.12xy +5. 椭球面22221x y z ++=平行于平面20x y z -+=的切平面方程为20x y z -++= 和20.x y z -+= 二. 选择题（本题15分，每小题3分）:1. 设()(2)ln(1),f x x x =+- 则()f x 在0x =处(A) (0)2f '=-, (B) (0)0f '=, (C) (0)2f '=, (D) 不可导. 答: (A)2. 设函数()y f x =具有二阶导数, 且满足方程sin e0.xy y '''+-=已知0()0,f x '=则(A) ()f x 在0x 的某个邻域中单调增加, (B) ()f x 在0x 的某个邻域中单调增少,(C) ()f x 在0x 处取得极小值, (D) ()f x 在0x 处取得极大值. 答: ( C)3. 图中曲线段的方程为()y f x =, 函数()f x 在区间[0,]a 上有连续的导数, 则积分()d a x f x x '⎰表示(A) 直角三角形AOB 的面积, (B) 直角三角形AOC 的面积, (C) 曲边三角形AOB 的面积, (D) 曲边三角形AOC 的面积答: (D)4. 设在区间 [,]a b 上的函数()0,f x > 且 ()0,f x '< ()f x ''>, 2()(),S f b b a =-31[()()](),2S f a f b b a =+- 则(A) 123,S S S << (B) 312,S S S << (C) 213,S S S << (D) 231.S S S <<答: (C )5. 设 曲面22{(,,)|,01},x y z z x y z ∑==+≤≤取上侧为正, 1∑是 ∑在 0x ≥的部分, 则曲面积分(A)d d 0,x y z ∑=⎰⎰ (B) 1d d 2d d .z x y z x y ∑∑=⎰⎰⎰⎰(C) 122d d 2d d ,y y z y y z ∑∑=⎰⎰⎰⎰ (D) 122d d 2d d ,x y z x y z ∑∑=⎰⎰⎰⎰答: (B)三. (6分) 设函数 ()2002[(1)()d ]d 0sin 00xt t u u t,x ,f x x,x .ϕ⎧-⎪≠=⎨⎪=⎩⎰⎰ 其中函数ϕ处处连续. 讨论()f x 在0x =处的连续性及可导性.x解 222[(1)()d ]d (1)()d lim ()limlim2x x x x t x t u u tx u uf x x xϕϕ→→→--==⎰⎰⎰220()d ()d limlim22x x x x x u uu ux x ϕϕ→→=-⎰⎰202()0lim0(0)2x x x f ϕ→⋅=-== 因此, ()f x 在0x =处连续.200300[(1)()d ]d ()(0)lim lim xx x t t u u t f x f x x ϕ→→--=⎰⎰ 220(1)()d lim 3x x x u u x ϕ→-=⎰ 22002200()d ()d 11lim lim 33x x x x x u u u u x x ϕϕ→→=-⎰⎰ 1(0)3ϕ=-因此, ()f x 在0x =处可导, 且 1(0)(0).3f ϕ'=-四. (6分) 设函数()x x t =由方程cos 0t x x +=确定, 又函数()y y x =由方程2e1y xy --=确定, 求复合函数(())y y x t =的导数0d d .t yt =解 方程cos 0t x x +=两边对t 求导d d cos sin 0.d d x xx t x t t -⋅+=当 t=0时, x=0, 故00d cos 1.d sin 1t t x x xt t x ====--= 方程2e1y xy --= 两边对x 求导2d d e 0.d d y y y y x x x-⋅--⋅=当 0x =时,2,y = 故220d 2.d e x y y x y yx x ==-==-= 因此,000d d d .d d d 2t x t y yxt xt ====⋅=-五. (6分) 设函数()f x 在(,)-∞+∞上二阶可导，且0()lim0x f x x→=，记10()()x f xt dt ϕ'=⎰，求)(x ϕ的导数，并讨论)(x ϕ'在0x =处的连续性.解 由已知的极限知(0)0,(0)0,f f '== 从而有10(0)(0)d 0.f t ϕ'==⎰当 0x ≠时, 1100011()()()()d()()d ,x f x x f x t dt f x t x t f u u x x x ϕ'''====⎰⎰⎰从而有 (),0()0,0.f x x x xx ϕ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩因为()lim ()lim0(0),x x f x x xϕϕ→→=== 所以, ()x ϕ在0x =处连续. 当 0x ≠时, 2()()(),xf x f x x x ϕ'-'=在0x =处, 由(0)0,ϕ= 有 200()(0)()()1(0)limlimlim (0)22x x x x f x f x f xx x ϕϕϕ→→→'-'''==== 所以,2()(),0()1(0),0.2xf x f x x x x f x ϕ'-⎧≠⎪⎪'=⎨⎪''=⎪⎩而200000()()()()lim ()limlim lim lim2x x x x x f x f x f x f x x x x xx ϕ→→→→→''''=-=- 001()1()(0)1lim lim (0)(0),222x x f x f x f f x x ϕ→→'''-'''====故 ()x ϕ'在0x =处连续.六. (7分) 设函数()y y x =在(,)-∞+∞上可导, 且满足: 22,(0)0.y x y y '=+=(Ⅰ) 研究()y x 在区间(0,)+∞的单调性和曲线()y y x =的凹凸性.(Ⅱ) 求极限 30()lim .x y x x →解 (Ⅰ) 当0x >时, 有220,y x y '=+>故 ()y x 在区间(0,)+∞单调增加. 从而当0x >时, 22y x y '=+也单调增加. 可见, 曲线()y y x =在区间(0,)+∞向下凸. (或当0x >时, 可得222222()0.y x y y x y x y '''=+⋅=++> 可见, 曲线()y y x =在区间(0,)+∞向下凸. )(Ⅱ) 由题设知, (0)(0)0.y y '== 应用洛必达法则22322000()()lim lim lim 33x x x y x y x x y x x x →→→'+==[]22011111lim (0).33333x y y x →⎛⎫'=+=+= ⎪⎝⎭七. (7分) 设()f x 在[0,1]上具有连续导数, 且0()1,(0)0.f x f '<≤= 试证211300()d ][()]d .f x x f x x ⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦⎰⎰证 令 2300()()d [()]d ,x xF x f t t f t t ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 则 ()F x 在 [0,1]连续, 且对 (0,1)x ∈,30()2()()d [()]x F x f x f t t f x '=-⎰20()2()d ().xf x f t t f x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰又由题设知, 当(0,1)x ∈时, ()0.f x > 令20()2()d (),x g x f t t f x =-⎰则()g x 在[0,1]上连续, 且()2()[1()]0,(0,1),g x f x f x x ''=-≥∈故有()(0)0(0,1).g x g x ≥=∈ 因此()0,(0,1),F x x '≥∈于是()F x 在[0,1]上单调增加, ()(0)0,[0,1].F x F x ≥=∈ 取1x =, 即得211300(1)()d [()]d 0.F f t t f t t ⎡⎤=-≥⎢⎥⎣⎦⎰⎰所证结论成立.八. (7分) 设函数()y f x =具有二阶导数, 且()0.f x ''> 直线a L 是曲线()y f x =上任意一点(,())a f a 处的切线, 其中[0,1].a ∈ 记直线a L 与曲线()y f x =以及直线0,1x x ==所围成的图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积为().V a 试问a 为何值时()V a 取得最小值.解 切线a L 的方程为 ()()(),y f a f a x a '-=- 即 ()()().y f a x af a f a ''=-+ 于是10()2[()()()()]d V a x f x f a x af a f a x π''=-+-⎰10112()d ()()().322a xf x x f a f a f a π⎡⎤''=-+-⎢⎥⎣⎦⎰ 可见, ()V a 在[0,1]连续, 在(0,1)可导. 令1()2[()()]()(32)0323a V a f a f a f a a ππ'''''''=-+=-=, 由于 ()0,f a ''> ()V a 在(0,1)内有唯一的驻点2.3a =并且, 当 2(0,)3a ∈时, ()0V a '<; 当2(,1)3a ∈时, ()0,V a '> 因此, ()V a 在23a =处取得最小值.九. (7分) 计算(sin )d (cos 1)d ,Ly y x x y y -+-⎰其中L 为从点(0,0)O 沿圆周222x y x +=在第一象限部分到点(1,1)A 的路径.解 令 sin ,cos 1,P y y Q x y =-=- 则cos (cos 1) 1.Q Py y x y∂∂-=--=∂∂ 取点(1,0).B 作有向直线段,OB 其方程为 0(y x =从0变到1).作有向直线段,BA 其方程为 1(x y =从0变到1). 由曲线L 、有向直线段AB 和BO 形成的闭曲线记为0L (沿顺时针方向), 0L 所围成的区域记为D , 则(sin )d (cos 1)d Ly y x x y y -+-⎰()((sin )d (cos 1)d )AB BOL y y x x y y =---+-⎰⎰⎰d (sin )d (cos 1)d D BAy y x x y y σ=-+-+-⎰⎰⎰(sin )d (cos 1)d OBy y x x y y +-+-⎰101(cos 1)d 04y y π=-+-+⎰1sin1 1.4π=-+-a十. (8分) 设（1）有向闭曲线Γ是由圆锥螺线 OA ：θθθθθ===z y x ,sin ,cos ，（θ从0变到2π）和有向直线段 AO 构成， 其中()0,0,0O ， ()2,0,2A ππ；（2）闭曲线Γ将其所在的圆锥面z =∑是其中的有界部分.（Ⅰ）如果()x z F -=,1, 表示一力场，求F沿Γ所做的功W ；（Ⅱ）如果()x z F -=,1,表示流体的流速，求流体通过∑流向上侧的流量. (单位从略）解（Ⅰ）作有向直线段,AO 其方程为 ⎩⎨⎧==xz y 0(x 从 2π变到0).所求F沿Γ所做的功为d d d W z x y x z Γ=+-⎰()(d d d )OAAOz x y x z =++-⎰⎰()20cos sin sin cos cos d πθθθθθθθθθθ=-++-⎡⎤⎣⎦⎰()02d x x x π+-⎰220(cos sin )d 0πθθθθθ=-+⎰24π=.（Ⅱ）Γ所在的圆锥面方程为z = ∑上任一点处向上的一个法向量为(,,1)x y n z z =--=∑在xOy 面上的投影区域为D , 在极坐标系下表示为: 0,02.r θθπ≤≤≤≤故所求流体通过∑流向上侧的流量为d d d d d d ()(x y z y z z x x x y z z ∑∑⎡Φ=+-=⋅-+⎣⎦⎰⎰⎰⎰ d d x x x y ∑⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰ ()200d 2cos sin d r r r πθθθθ=-+⎰⎰ 22302cos sin d 32πθθθθθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎰26π-=. 注: (Ⅰ)的另一解法 应用Stokes 公式， 可得 W 2d d 2d d y z x z x y ∑∑==-⎰⎰⎰⎰2d x y∑=⎰⎰22200sin 2d d sin d r r r rπθπθθθθθ=-⋅=-⎰⎰⎰ 24π=.十一. (8分) 设函数(,)u u x y =在心形线:1cos L r θ=+所围闭区域D 上具有二阶连续偏导数, n 是在曲线L 上的点处指向曲线外侧的法向量(简称外法向),un∂∂是(,)u x y 沿L 的外法向的方向导数, L 取逆时针方向. (Ⅰ) 证明:d d d .LLu u u s x y ny x∂∂∂=-+∂∂∂⎰⎰ (Ⅱ) 若222221,u ux y y x y∂∂+=-+∂∂ 求d L u s n ∂∂⎰的值. (Ⅰ) 证 由方向导数的定义d (cos sin )d .LLuu us s nx y αα∂∂∂=+∂∂∂⎰⎰其中, α是n 相对于 x 轴正向的转角.x设1α是 L 的切向量τ相对于x 轴正向的转角, 则1,2παα=+或 1.2παα=-故11d (sin cos )d .L L u u u s s nx y αα∂∂∂=-∂∂∂⎰⎰d d .L u u x y y x ∂∂=-+∂∂⎰(Ⅱ) 解 应用格林公式22222d ()d d (1)d d D D Lu u us x y x y y x yn x y ∂∂∂=+=-+∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰由对称性1cos 00d 1d d 2d d D L us x y x r rn πθ+∂==∂⎰⎰⎰⎰⎰203(1cos )d .2πθθπ=+=⎰ 十二.(8分) 设圆222x y y +=含于椭圆22221x y a b+=的内部, 且圆与椭圆相切于两点(即在这两点处圆与椭圆都有公共切线).(Ⅰ) 求 a 与b 满足的等式; (Ⅱ) 求a 与b 的值, 使椭圆的面积最小.解 (Ⅰ) 根据条件可知, 切点不在y 轴上. 否则圆与椭圆只可能相切于一点. 设圆与椭圆相切于点00(,)x y , 则00(,)x y 既满足椭圆方程又满足圆方程, 且在00(,)x y 处椭圆的切线斜率等于圆的切线斜率, 即2002001b x xa y y -=--. 注意到00,x ≠ 因此, 点00(,)x y 应满足 2200222200022001(1)2(2)1(3)1x y a b x y y b a y y ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=-⎪⎩由(1)和(2)式, 得222200220.b a y y a b--+= (4) 由 (3) 式得 2022.b y b a =- 代入(4) 式 2242222222220.()b a b b a b b a b a -⋅-+=-- 化简得 2222,b a b a=- 或 22420.a b a b --= (5) (Ⅱ) 按题意, 需求椭圆面积S ab π=在约束条件 (5) 下的最小值.。
2015天津市大学数学竞赛试题及答案(经管类)
一、填空题（本题 15 分，每小题 3 分）
1、lim x0
x et2 dt 2
0
x te2t2 dt
0
.
解：lim x0
x et2 dt 2
2
0
x te2t2 dt
lim x0
0
x et2 dt
x
t t dt
(x 2). （1）证明： f (x) 8
2
3
（2）求曲线 y f (x) 与 x 轴所围成的封闭图形的面积。
(x 2) ；
（1）证明：由于 f (x) x x ，可知 f (x) 在区间2, ) 有唯一的驻点 x 0 。
当 x (2, 0) 时， f (x) 0 ；当 x (0, ) 时， f (x) 0 。因此 f (x) 在 x 0 取得最小
2
2
3
所围成的封闭图形的面积 A 2 f (x) dx 2 0 (x3 8)dx 8。
2
3 2
解法 1
直接求出
f
(
x)
1 3
(
x3
8),
1 (x3
8),
3
2 x 0,
可知 f (x) x t t dt 在区间[2, 2]
2
3
四、（6 分）设函数 y (ex 1)2 8(ex 1) 。（1）求此函数得增减区间和最值；（2）求此
函数得凹凸区间。
解：（1）此函数在 (, ) 上有定义，
y
2e2 x
2ex
大学高数竞赛题和答案.docx
2006 年天津市大学数学竞赛试题参考答案（经济类）一、填空：（本题 15 分，每空 3 分。
请将最终结果填在相应的横线上面。
）1 1 x2x 0，是(,) 上的连续函数,则a = 01．若f (x)e x cos x。
ae2 x1x02．函数f x x x在区间，上的最大值为23。
() 2 sin[]23 22 。
3．（| x | x)e| x|dx = 2 6e24．设区域D( x, y) | x2y21, y0 , 则12 dxdy ln 2 .D1x2y25．设函数z z(x,y) 由方程 z y x xe z y x 2 所确定，则dz 1 (x1)e z y x dx dy 。
1xe z y x二、选择题：（本题 15 分，每小题 3 分。
每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。
选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。
）1．设函数f ( x)可导 ,并且 f ( x0 )5, 则当 x 0 时,该函数在点 x0处微分 dy是 y 的（A）（ A ）等价无穷小；（ B）同阶但不等价的无穷小；（ C）高阶无穷小；（ D）低阶无穷小。
2．设函数f (x)在点 x = a 处可导 ,则 |f(x)| 在点 x = a 处不可导的充要条件是（C）（ A ）f ( a)0, 且 f ' (a)0 ；（B ）f (a)0, 但 f ' (a)0 ；（ C）f ( a)0, 且 f ' (a)0 ；（D ）f ( a)0, 且 f ' (a)0 。
3．曲线y x x 2x 1 （B）(A)没有渐近线 ;(B)有一条水平渐近线和一条斜渐近线;(C)有一条铅直渐近线 ;(D)有二条水平渐近线。
4．曲线y x( x1) 3 ( x2) 与x轴所围成的平面图形的面积为（ D ）2323（ A ）x x x dx ；（B）－1) (x( x 1)( x2)dx；0011) 3 ( x21)3 (x2)dx ;（C）－x( x2)dx +x( x01.1 323（ D ）x xxdx+。
2001年大学生数学竞赛(天津)试题及参考答案
2001年天津市大学数学竞赛试题参考答案（理工类）一、填空：（本题15分，每空3分。
请将最终结果填在相应的横杠上面。
）1. 函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<-=，，；，0cos 01e )(22x x x a x xx f x 在（-∞，+∞）上连续，则a = 2 。
2. 设函数y = y (x ) 由方程0)cos(e =-+xy y x 所确定，则==0d x y x d - 。
3. 由曲线x x x y 223++-=与x 轴所围成的图形的面积A =1237。
4. 设E 为闭区间[0，4π]上使被积函数有定义的所有点的集合，则⎰=Ex x x d sin cos38。
5．设L 是顺时针方向的椭圆1422=+y x ，其周长为l ，则()=++⎰L s y x xy d 422 4l 。
二、选择题：（本题15分，每小题3分。
每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。
选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。
）1. 若0)(lim 0u x x x =→ϕ且A u f =→)(lim 0u u ，则（ D ）（A ） )]([lim 0x f x x ϕ→存在； （B ） A x f x x =→)]([lim 0ϕ（C ） )]([lim 0x f x x ϕ→不存在； （D ） A 、B 、C 均不正确。
2. 设⎰=xx x x f sin 02d )sin()(，43)(x x x g +=，则当0→x 时，（ A ） （A ）)(x f 与)(x g 为同阶但非等价无穷小； （B ）)(x f 与)(x g 为等价无穷小；（C ）)(x f 是比)(x g 更高阶的无穷小； （D ）)(x f 是比)(x g 更低阶的无穷小。
3. 设函数)(x f 对任意x 都满足)()1(x af x f =+，且b f =)0('，其中a 、b 均为非零常数，则)(x f 在x = 1处（ D ）（A ）不可导； （B ）可导，且a f =')1(；（C ）可导，且b f =')1(； （D ）可导，且ab f =')1(。
2001—2007年天津市大学数学竞赛(打印版)
2007年天津市大学数学竞赛试题参考答案（理工类）一、填空：（本题15分，每空3分。
请将最终结果填在相应的横线上面。
） 1. 设函数()()⎰⋅=xt at x f sin 02d sin ，()43x x x g +=，且当x →0时，()x f 与()x g 为等价无穷小，则a = 3 。
2. 设函数x x y 2=在0x x =点处取得极小值，则=0x 。
3.()=+⎰+∞121d x x x。
4. 曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+022401223:L 22222z y--z y x z--y x 在点（1，1，2）处的切线方程为 。
5.=+⎰⎰1132d 1d xy yxy x 。
二、选择题：（本题15分，每小题3分。
每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。
选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。
）1. 设函数()x f 连续，则下列函数中必为偶函数的是（ ） （A ）()()[]⎰⋅-+x t t f t f t 0d ； （B ）()()[]⎰⋅--xt t f t f t 0d ；（C ）()⎰xt t f 02d ； （D ）()[]⎰xt t f 02d 。
2. 设函数()x f 具有一阶导数，下述结论中正确的是（ ） （A ）若()x f 只有一个零点，则()x f '必至少有两个零点； （B ）若()x f '至少有一个零点，则()x f 必至少有两个零点； （C ）若()x f 没有零点，则()x f '至少有一个零点； （D ）若()x f '没有零点，则()x f 至多有一个零点。
3. 设函数()x f 在区间()+∞,0内具有二阶导数，满足()00=f ，()0<''x f ，又b a <<0，则当b x a <<时恒有（ ）（A ）()()a xf x af >； （B ）()()b xf x bf >； （C ）()()b bf x xf >； （D ）()()a af x xf >。
2019年天津市大学生数学竞赛校内选拔考试试卷
2019年天津市大学生数学竞赛校内选拔考试试卷一、选择题（共20分，每小题4分）1、设20tan (1cos )lim 2ln(12)d(1)x x a x b x c x e →-+-=-+-，其中220a c +≠，则必有（ ）（A ）4d b = (B) 4d b =- (C) 4a c = (D) 4a c =-2、0x →时，20(1)d x t e t t --⎰与n x 是同阶无穷小，则n =（ ）(A) 6 (B)5 (C)4 (D)3 3、在区间(,)-∞+∞内，方程1142cos 0x x x +-=（ ）(A) 无实根 (B)有且仅有一个实根(C)有且仅有两个实根 (D)有无穷多实根4、设函数()f x 具有二阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间0,1⎡⎤⎢⎥⎣⎦上（ ） (A) 当()0f x '≥时，()()f x g x ≥ (B) 当()0f x '≥时，()()f x g x ≤(C) 当()0f x ''≥时，()()f x g x ≥ (D) 当()0f x ''≥时，()()f x g x ≤5、曲线1ln(1)x y e x=++的渐近线条数为（ ） (A)3 (B)2 (C)1 (D)0二、计算、解答、证明题6、(6分) 已知函数2122()lim1n n n x ax bx f x x -→∞++=+，确定常数,a b ，使1lim ()x f x →-和1lim ()x f x →都存在.7、(6分)求极限lim n 8、(7分)求极限10lim d .1nn x x x→∞+⎰ 9、(7分) 已知定义在(,)-∞+∞上的函数()f x 在0x =处可导，且(0) 2.f '= 若对任意的,(,)x y ∈-∞+∞，都有()()()2f x y f x f y xy +=++，试求函数()f x 的表达式.10、(7分)计算不定积分21d .12cos x x +⎰11、(7分)计算定积分40ln(sin 2)d .I x x =⎰12、(10分)某建筑工程打地基时，需要汽锤将桩打进土层，汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力做功。
2018天津竞赛试题参考答案(理工)
f
(
x)dx
2
b
a
b a
f
2 (x)dx
证明：由于
b a
f
(
x)dx
2
f (x) f
[ a ,b ][ a ,b ]
( y)dxdy
1
f 2(x)
2 [a,b][a,b]
f
2 ( y)
dxdy
由对称性，
f 2 (x) f 2 ( y) dxdy 2 f 2 (x)dxdy
x2
x2 x 2 x2
处不连续，且在 x 2 处连续，且 x 2 时， f (x) x 2 。
2.则关于函数 y 2x x2 极值的说法，下列说法正确的是( A ) (A) x 1 时， y 取极大值。 (B) x 1 时， y 取极小值。
(C) x 0 时， y 取极大值。 (D) x 2 时， y 取极小值。
x sin xdx 0
2
cos xdx
0
0
2 x2 cos xdx x2 sin x 2
2
2
x sin xdx
0
0
0
2
x
cos
x
2 0
2 0
cos
xdx
4
三. (本题
6
分)
f
(x)
为在闭区间 a,b内的连续函数，证
b a
可得
x
am mn
p
,
y
an mn
p
,z