数列通项公式的十种方法(已打)

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递推式求数列通项公式常见类型及解法

对于由递推式所确定的数列通项公式问题,通常可通过对递推式的变形转化成等差数列或等比数列,也可以通过构8造把问题转化。下面分类说明。

一、型

例1. 在数列{a n}中,已知,求通项公式。

解:已知递推式化为,即,

所以

将以上个式子相加,得

所以。

二、型

例2. 求数列的通项公式。解:当,

当,所以。

三、型

例3. 在数列中,,求。

解法1:设,对比

,得。于是,得

,以3为公比的等比数列。

所以有。

解法2:又已知递推式,得

上述两式相减,得,因此,数列是以

为首项,以3为公比的等比数列。

所以,所以

四、型

例4. 设数列,求通项公式。

解:设,则,

所以,

即。

设这时,所以。由于{b n}是以3为首项,以为公比的等比数列,所以有。

由此得:。

说明:通过引入一些尚待确定的系数转化命题结构,经过变形与比较,把问题转化成基本数列(等差或等比数列)。

五、型

例5. 已知b≠0,b≠±1,,写出用n和b表示a n的通项公式。

解:将已知递推式两边乘以,得

,又设,

于是,原递推式化为,仿类型三,可解得,故。

说明:对于递推式,可两边除以,得

,引入辅助数列

,然后可归结为类型三。

六、型

例6. 已知数列,求。

解:在两边减去。

所以为首项,以

所以令上式,再把这个等式累加,得

。所以。

说明:可以变形为,就是

,则可从,解得,于是是公比为的等比数列,这样就转化为前面的类型五。

等差、等比数列是两类最基本的数列,是数列部分的重点,自然也是高考考查的热点,而考查的目的在于测试灵活运用知识的能力,这个“灵活”往往集中在“转化”的水平上。

转化的目的是化陌生为熟悉,当然首先是等差、等比数列,根据不同的递推公式,采用相应的变形手段,达到转化的目的。

附:构建新数列巧解递推数列竞赛题

递推数列是国内外数学竞赛命题的“热点”之一,由于题目灵活多变,答题难度较大。本文利用构建新数列的统一方法解答此类问题,基本思路是根据题设提供的信息,构建新的数列,建立新数列与原数列对应项之间的关系,然后通过研究新数列达到问题解决之目的。其中,怎样构造新数列是答题关键。 1 求通项

求通项是递推数列竞赛题的常见题型,这类问题可通过构建新数列进行代换,使递推关系式简化,这样就把原数列变形转化为等差数列、等比数列和线性数列等容易处理的数列,使问题由难变易,所用的即换元和化归的思想。

例1、数列{}n a 中,11=a ,()

n n n a a a 2414116

1

1+++=

+。求n a 。 (1981年第22届IMO 预选题)

分析 本题的难点是已知递推关系式中的n a 241+较难处理,可构建新数列{}n b ,令

n n a b 241+=,这样就巧妙地去掉了根式,便于化简变形。

解:构建新数列{}n b ,使0241>+=n n a b

则 51=b ,n n

a b 2412+= ,即24

1

2-=n n b a

∴ ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-⨯+=-+n n n b b b 241411612412

21化简得 ()()22132+=+n n b b ∴ 321+=+n n b b ,即 ()32

131-=-+n n b b

数列 {}3-n b 是以2为首项,

2

1

为公比的等比数列。 n n n b --=⎪

⎝⎛⨯=-21

22123 即 322+=-n n b

∴ 1

21122231

232241---⨯+⨯+=-=n n n n n b a

2 证明不等式

这类题一般先通过构建新数列求出通项,然后证明不等式或者对递推关系式先进行巧妙变形后再构建新数列,然后根据已经简化的新数列满足的关系式证明不等式。

例2、设10=a ,1

2

11

1---+=

n n n a a a ()N n ∈,求证:2

2

+>

n n a π

(1990年匈牙利数学奥林匹克试题)

分析 利用待证的不等式中含有π及递推关系式中含有2

11-+n a 这两个信息,考虑进行三角代换,

构建新数列{

}n α,使n n tg a α=,化简递推关系式。 证明:易知0>n a ,构建新数列{

}n α,使n n tg a α=,⎪⎭

⎝⎛∈2,0παn 则 2

sin cos 1111111

12-----=-=

-+=

n n n n n n tg tg tg a α

αααα

∴ 2

1-=n n tg tg αα,2

1

-=

n n

αα又 10=a ,8

121π

tg

a =-=

,从而 8

α=

因此,新数列{}n α是以8

π

为首项,21为公比的等比数列。

2

1

2

8

21+-=

⎝⎛=n n n π

π

α

考虑到当)2

,

0(π

∈x 时,有 x tgx >。所以,2

2

2

2

++>

=n n n tg

a π

π

注:对型如 2

1n a ±,n a ±1,

1

11++±n n n

n a a a a 都可采用三角代换。

3 证明是整数

这类题把递推数列与数论知识结合在一起,我们可以根据题目中的信息,构建新数列,找到新的递推关系式直接解决,或者再进行转化,结合数论知识解决。

例3、设数列{}n a 满足11=a ,n

n n a a a 1211+=

+ )(N n ∈ 求证:

N a n

∈-2

22

()1,>∈n N n 。

分析 直接令2

22-=n

n a b ,转化为证明N b n ∈ )1,(>∈n N n

证明:构建新数列{}n b ,令02

22>-=

n

n a b

则 2422

+=

n n b a ,242

1

2

1+=++n n b a

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