高等数学在电路中的部分应用

高等数学在电路中的部分应用
作者：李猛
摘要：作为一门科学，高等数学有其固有的特点，这就是高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性。

抽象性和计算性是数学最基本、最显著的特点--有了高度抽象和统一，我们才能深入地揭示其本质规律，才能使之得到更广泛的应用。

严密的逻辑性是指在数学理论的归纳和整理中，无论是概念和表述，还是判断和推理，都要运用逻辑的规则，遵循思维的规律。

所以说，数学也是一种思想方法，学习数学的过程就是思维训练的过程。

人类社会的进步，与数学这门科学的广泛应用是分不开的。

尤其是到了现代，电子计算机的出现和普及使得数学的应用领域更加拓宽，现代数学正成为科技发展的强大动力，同时也广泛和深入地渗透到了社会科学领域。

因此，学好高等数学对我们来说相当重要。

高等数学中的微积分，拉普拉斯变换及矩阵在电路学中的作用非常重要，运用这些知识可将复杂难解的电路运算简单化，从而便于理解和计算。

关键词：高等数学的应用微积分拉普拉斯变换矩阵电路学一·微积分在电路中的应用
微积分的发明与其说是数学史上，不如说是人类科学史上的一件大事。

它是由牛顿和莱布尼茨各自独立地创立的。

恩格斯指出：“在一切理论成就中，未必再有什么像十七世纪下半叶微积分学的发明
那样被看作人类精神的最高胜利了。

”
美国著名数学家柯朗指出：“微积分，或曰数学分析，是人类思维的伟大成果之一。

它处于自然科学与人文科学之间的地位，使它成为高等教育的一种特别有效的工具…这门学科乃是一种憾人心灵的智力奋斗的结晶。

数百年来，在大学的所有理工类、经济类专业中，微积分总是被列为一门重要的学科。

微积分在电路学中也随处可见，下面我就以实例简单的介绍下微积分在电路学中的动态电路的暂态分析中的应用。

RL一阶电路的零状态响应与RC一阶电路相似。

图(a)所示电路在开关闭合前，电感电流为零，即i L(0-)=0。

当t=0时开关K 闭合。

据KVL根,有
由于
U S u L
S
U
u
Ri
L
L
=
+
t
i
L
u L
L d
d
=
所以
若用一般的求解方法，此式是无法解出的，但是用微积分情况就不同了。

继续往下
看：
这是一阶常系数非齐次微分方程，其解答为
式中τ =L /R 是该电路的时间常数。

常数A 由初始条件确定，即
由此求得
因此，可看出微积分在电路学有关运算当中的作用是极其突出的。

二．拉普拉斯变换在电路学中的应用
对于具有多个动态元件的复杂电路，用直接求解微分方程的方法比较困难。

例如对于一个n 阶方程，直接求解时需要知道变量及其各阶导数【直至（n-1）阶导数】在0t +=时间的值，而电路中给定的初始状态是各电容电压和电感的电流在0t +=时刻的值，从这些值求得所需初始条件的工作量很大。

积分变换法是通过积分变换，
S L d d L
U i L i R t R
+= S S
()()()e e
t R
t L L L L U U i t i t i t A A R R
τ--'''=+=+=+000S
=+
==-+R
U A )(i )(i L L R
U A S -
=
把已知的时域函数变换为复频域函数，从而把时域的微分方程化为复频域函数的代数方程。

求出复频域函数后，再作反变换，返回时域，可以满足电路初始条件的原微分方程的解答，而不需要确定积分常数。

拉普拉氏变换就都是积分变换，所以拉普拉斯变换法是求解高阶复杂动态电路的有效而重要的方法之一。

当然将数学上的拉普拉氏变换应用到电路分析上来又细微的改变。

在数学中拉普拉斯变换定义中的积分下限为0而在电路分析中积分下限为0-即将
()()0
st
F s f t e dt +∞-=⎰
变为()()0st F s f t e dt -
+∞
-=⎰。

因为在动态与元件分析中电感和电容在0-
时刻时是有可能储能的。

三．矩阵在电路学中的应用
矩阵作为数学工具之一有其重要的实用价值，它常见于很多学科中，如：线性代数、线性规划、以及统计分析等[1]，在实际生活中，很多问题都可以借用矩阵抽象出来进行表述并进行运算，如在各循环赛中常用的赛况表格等,矩阵的概念和性质相对矩阵的运算较容易理解和掌握，对于矩阵的运算和应用，在电路学中也可充分的体现出。

以基本割集矩阵为例：
如图所示电路图，其中4,5,6三条支路为树支，用矩阵形式描述描述基本割集和支路的关联性质。

Q= { q i j } n-1 b
约定(1) 割集方向与树支方向相同。

(2)支路排列顺序先树(连)支, 后连(树)支。

Q=︴1 j支路与割集i方向一致
-1 j支路与割集i方向相反
0 j支路不在割集i中
设，C1:{1,2,4} C2:{1,2,3,5} C3:{2,3,6}
4 5 6 1 2 3
B= 1 ｛1 0 0 -1 -1 0｝
2 ｛0 1 0 1 1 -1｝
3 ｛0 0 1 0 -1 1｝ 设：
at =[ u 4 u 5 u 6 ]T
矩阵形式的KCL ：Qi=0
矩阵形式的KCL 的另一种形式 Qi=0可写为
回路矩阵表示时 回路矩阵和割集矩阵的关系
矩阵形式的KVL Q'Ut=u 即：
例。

用矩阵形式表示下图的节点电压方程。

T
321654] [][i i i i i i i ==⎥⎦⎤⎢⎣⎡l t l t i i ] Q Q [0
] Q 1[=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡l t l i i l
l t i i Q -=l T t t i i B =T
B Q t l -=⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡+--+
-+-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----32165465654546
54654110100111010011001u u u u u u u u u u u u u u u u u u u
解：1. 画有向图
5
3
k
U ek
I ①2. ⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡---=110100001110100011A 3.
[]
110.220.5
2diag Y =
关于矩阵在电路中的应用还有很多内容，如割集矩阵，回路矩阵，关联矩阵等，在这我也不一一详细介绍了，总之在电路运算中使用矩阵，不仅用助于分析电路，而且更加方便计算，减少大量的人力物力，作用极大。

总结：以上的种种都很有力的说明了，高等数学在电路学的重要作用。

运用高
等数学的相关知识，在电路学的分析，计算中能达到事半功倍的突出效果。

在分析电路图中，它可以将复杂难以理清的电路抽象化，变成简化的，能够让人理解的图，然后再利用相关公式求出电路中的未知量。

在电路的计算过中它的意义就更不用说了，如果没有高数中的有关知识，有些电路运算根本无法进行。

虽然高数在电路中的实际应用很大，但其也存在着一定的不足。

比如在进行大规模电路运算时，用人工去做是相当费时费力的，有时还很容易出错。

在这里我建议使用MATLAB 这一软件，因为这一软件是在计算机上运行的，它只需你编道程序，然后将其输入软件系统内，点击运行，只要稍稍的几秒中，就能解决庞大的运算，而且基本上不会出错。

所以当我们在用高数知识解决电路学中的相关问题时，我们
4.
[]T 000005-=S
U 5. []
T 031000-=S I S S n n U I U Y A -A Y =6. ⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------311042127.25.015.05.3321n n n U U U 得
应该适时的使用MATLAB这一软件。

这样我们在计算方面就不成问题了。

参考文献：
郝万新荆轲《电路基础》新世纪高职高专教材编审委员会组编2005年11月。

张克新邓乐斌《应用高等数学》高等教育出版社2010年8月。

《同济高等数学》同济大学出版社2010年2月
李长茂《高等数学在电气自动化中的应用》2010年6月。