最新《高等工程力学》1 超静定结构内力计算
结构力学超静定结构计算
SAB= 3i
M A1B ?
SAB= i
SAB M S
A
MAD
C
M
? MAB
m? 0
? M AD ? 3iAD? A ? SAD? A
1
M AC ?
M ? (SAB ? SAC ? SAD )? A
SAC M S
A
MAC
A
? ? A
?
SAB ?
M SAC
?
法相同，即都假设对杆端顺时针旋转为正号、对结点
或附加刚臂逆时针旋转为正号。作用于结点的外力偶 荷载、作用于附加刚臂的约束反力矩，也假定为对结
点或附加刚臂顺时针旋转为正号。
一、转动刚度 S：表示杆端对转动的抵抗能力。
在数值上 = 仅使杆件近端产生单位转角时所需在杆端施加 的力矩。
SAB=4i
1
SAB=3i
A
?A
B
CAB ?
M BA M AB
?
0
? MAB= iAB A
A
?A
MBA = - iAB ?A
B
CAB ?
M BA M AB
?
?1
在结点上的外力矩按各杆分配系数分配给各杆近端截面，各杆远 端弯矩分别等于各杆近端弯矩乘以传递系数。
单结点的力矩分配
——基本运算
A MAB
B
MBA
= MBC
MB
固端弯矩带本身符号 C
-MC
锁住1结点，用单结点
1
2
+
的力矩分配法，对2结 点的不平衡力矩进行分
…
配。
§2 多结点的力矩分配 ——渐近运算
超静定结构解法力法.pptx
P
EI
EI
l
P
解:
X1
l
X1=1
Pl
P
1 0
11 X1 1P 0 11 l 3 / 3EI
1P Pl 3 / 2EI
X1 3P / 2()
M M1 X1 M P
l
M1
Pl
MP
第8页/共21页
3 Pl M 2
力法基本思路小结
解除多余约束，转化为静定结构。多余约 束代以多余未知力——基本未知力。
分析基本结构在单位基本未知力和外界因 素作用下的位移，建立位移协调条件——力 法方程。
从力法方程解得基本未知力，由叠加原理 获得结构内力。超静定结构分析通过转化为 静定结构获得了解决。
第9页/共21页
将未知问题转化为 已知问题，通过消除已 知问题和原问题的差别， 使未知问题得以解决。 这是科学研究的 基本方法之一。
X1
X2
X3
X1
X2
X3
去掉一个链杆或切断 一个链杆相当于去掉 一个约束
X1 X2
X3
第12页/共21页
X2 X1
X3
X3
X2 X1
X3 X1
X1 X2 X3
X2
去掉一个固定端支 座或切断一根弯曲 杆相当于去掉三个 约束.
将刚结点变成铰结 点或将固定端支座 变成固定铰支座相 当于去掉一个约束.
几何可变体系不能 X3 作为基本体系
M
1 0
1 11 1P 0
11 X1 11
力法 方程
11 X1 1P 0
1 11 l 3 / 3EI
1P ql 4 / 8EI
X1 3ql / 8() M M1 X1 M P
超静定结构的内力
06 超静定结构的应用与发展趋势
CHAPTER
应用领域
桥梁工程
建筑工程
超静定结构在桥梁设计中应 用广泛，如斜拉桥、拱桥等， 能够提供更高的承载能力和
稳定性。
超静定结构在高层建筑、大 跨度结构等建筑工程中具有 重要应用，能够增强结构的
优化设计方法
数学模型法
有限元法
遗传算法
建立超静定结构的数学模型， 包括受力分析、位移分析、 稳定性分析等，以便进行优 化设计。
利用有限元分析软件对超静 定结构进行离散化分析，得 到结构的内力和位移等结果， 为优化设计提供依据。
采用遗传算法等智能优化算 法对超静定结构进行优化设 计，寻找最优解或近似最优 解。
超静定结构的内力
目录
CONTENTS
• 超静定结构的基本概念 • 超静定结构的内力分析方法 • 超静定结构的内力计算 • 超静定结构的稳定性分析 • 超静定结构的优化设计 • 超静定结构的应用与发展趋势
01 超静定结构的基本概念
CHAPTER
定义与特点
定义
超静定结构是指具有多余约束的结构， 即结构的自由度小于其独立刚体的自 由度。
抗震性能和承载能力。
机械工程
航空航天工程
超静定结构在机械设计中用 于制造高强度、高刚度的零 部件，提高机械设备的稳定
性和可靠性。
超静定结构在航空航天领域 的应用，如飞机机身、火箭 发动机壳体等，能够提供更
高的结构强度和稳定性。
发展趋势
优化设计
随着计算机技术的发展，超静定结构的优化设计成为研究 热点，旨在寻求更轻量化、高效的结构形式。
超静定结构内力计算
超静定结构内力计算首先，需要明确的是，超静定结构与静定结构的计算方法基本相同，都是通过力平衡和力矩平衡方程来计算结构内力。
下面以一简支梁为例，介绍超静定结构内力计算的方法。
假设有一简支梁，梁长为L，受到均布载荷q，支座A、B处有横向支撑。
我们需要计算梁上任意一点x处的弯矩和剪力。
首先，对于简支梁，力平衡方程可得：∑Fx=0=>RA+RB=0(1)∑Fy=0=>VA+VB-qL=0(2)力矩平衡方程可得：∑Mz=0=>-qLx+VBx=0(3)(x为横坐标)由以上方程可以得到：RA=-RB=-qL/2，VA=-VB=qL/2接下来，我们可以使用能量方法计算结构内力。
能量方法是利用结构所受外界实际工作等于内力做的虚功，通过对外界做功和结构内工作的平衡，求解得到内力。
我们将简支梁分解为多个力学小段，每一小段的长度为Δx。
考虑梁上一小段AB，以A点为起点，Δx位置为B点。
对这一小段，外界对结构所做的虚功为：δWext = -VAdy (4) (dy为小段长度)其中，结构内力V由能量方法得到。
结构内力杆件AB的内工作为：dU = VAdy (5)因为外界做的虚功等于内工作，可得：-δWext = dU将式(4)和式(5)代入上式，得：VAdy = -VAdy对上式进行积分，得：∫VAdy = -∫VAdy∫VAdy = -(∫VAdy)由于简支梁内力为常数，所以可以将其从积分符号中移出，得：V∫Ady = -V∫Ady即：VAΔy=-VAΔy可以看出，对于简支梁而言，外界虚功和结构内工作的积分是相等的。
通过上述分析，我们可以发现，能量方法实际上是在计算外界对结构做的虚功，而虚功就是外界力对结构的作用力乘以作用距离的积分。
所以能量方法的基本思想是通过积分计算外界对结构的虚功，然后根据虚功等于内工作的原理，推导出结构的内力。
总结起来，超静定结构的内力计算方法主要是使用力平衡和力矩平衡方程，利用能量方法计算结构内力。
最新建筑力学第六章超静定结构内力计算
因为δ11和Δ1F均为已知力作于静定结构时，引起 的B点沿X1方向上的位移，所以由静定结构的位移计 算方法可以求得。因此解力法方程可求出多余未知
力X1。
为了具体计算位移δ11和Δ1F，可分别绘出基本 结构在荷载q和X1＝1单独作用下的MF图和 M图1 [图(a， b)]，然后用图乘法计算。
构的方法，求出原结构的其余反力和内力，最后绘
出原结构的弯矩图，如图（c）所示。
超静定结构的最后弯矩图
ql 2 8
ql 2
M，也可利用已经绘出的
M
图
1
和 MF 图 按 叠 加 原 理 绘 出 ， A
8
B
即MM1X1MF。
M图 （c）
综上所述，力法是以多余未知力作为基本未知 量，以去掉多余约束后的静定结构作为基本结构， 根据基本结构在多余约束处与原结构完全相同的位 移条件建立力法方程，求解多余未知力，从而把超 静定结构的计算问题转化为静定结构的计算问题。
同理可用M 1 图乘MF图计算Δ1F
Δ 1F E 1 I1 3l1 2q2l4 3l8 qE 4lI
(a) MF 图
将δ11和Δ1F代入力法方程，可解得多余未知力
X1。
Χ1
1F 1 1
3ql 8
X1
(b)M1图
所得末知力X1为正号，表示反力X1的方向与所
设的方向相同。
多余未知力X1求出后，将已求得的多余力X1与 荷载q共同作用在基本结构上, 就可以按求解静定结
X2 、X3方向上的位移[图(f)]。
对于n次超静定结构，用力法分析时，去掉n
个多余约束，代之以n个多余未知力，当原结构在
1、静定结构与超静定结构静力计算公式（总结）
静定结构与超静定结构静力常用计算公式一、短柱、长柱压应力极限荷载计算公式1、短柱压应力计算公式荷载作用点轴方向荷载AF =σ bhF =σ 偏心荷载)1(21xY i ye A F W M A F -=-=σ )1(22xY i ye A F W M A F +=+=σ )61(2,1hebh F ±=σ 偏心荷载)1(22xy y x xx y Y i ye i xe A FI xM I x M A F ±±=⨯±⨯±=σ )661(beh ebh F yx ±±=σ长短柱分界点如何界定？2、长柱方程式及极限荷载计算公式 支座形式图 示方 程 式极限荷载 一般式 n=1两端铰支 β=1y a dxy d ∙=222 ax B ax A y sin cos +=y F M EIFa ∙==,2 EI ln 222π EI l 22π一端自由他端固定β=2y a dxyd ∙=222 ax B ax A y sin cos +=EI l n 2224)12(π-EI l 224πy F M EIFa ∙==,2 两端固定 β=0.50)(22=-+F M y a dxyd A FM ax B ax A y A++=sin cos A M y F M EIFa +∙-==,2 EI l 224π EI l 224π 一端铰支他端固定 β=0.75)(222x l EI Q y a dx y d -=∙+)(sin cos x l FQax B ax A y -++=水平荷载-=Q EIFa ,2 ——EI l227778.1π注：压杆稳定临界承载能力计算公式：EI l P cr 22)(βπ=二、单跨梁的反力、剪力、弯矩、挠度计算公式 1、简支梁的反力、剪力、弯矩、挠度计算公式荷载形式M 图V 图反力 2F R R B A == L Fb R A =L Fa R B =2qL R R B A == 4qL R R B A == 剪力V A =R A V B =-R B V A =R A V B =-R B V A =R A V B =-R BV A =R A V B =-R B弯矩4max FL M =LFabM =max 82maxqL M = 122maxqL M = 挠度EIFL 483max=ω 若a ＞b 时，3)2(932maxab a EIL Fb +=ω（在)2(3b a ax +=处） EIqL 84max=ω EIqL 1204max=ω 注：1、弯矩符号以梁截面下翼缘手拉为正（+），反之为负（—）。
第8章 超静定结构的内力计算1
A
4
ql 2 / 32
C
A
M 1图
C
B X1 1
B
22
1 超静定结构与超静定次数判定
常见的除去多余约束的方式：
（1）去掉或切断一个链杆，相当于去掉一个约束。
（2）去掉一个单铰，相当于去掉两个约束。 （3）去掉一个固定支座或切断一根梁式杆，相当于去掉三个约束。
（4）在梁式杆上加一个简单铰，刚结点变铰接相当于去掉一个约束。
B
l (e) M 2图 0.054 FP
0.1
1 1 l3 12 21 l l l EI2 2 2EI2
1P
1 1 1 1 Fl l FP l l P EI2 2 2 2 8EI2
3
2P
5FP l 3 1 1 1 1 5 l FP l l 0.393 P EI EI2 2 2 2 6 F48 2
0.607 FP
3m
B 3 A
3m8 4.8 B
13.2
4.2 C 4.2
M图
X1 1
D
A
D
M图
【例8-3】试用力法计算超静定刚架，并绘内力图。
C
l /2
l /2
C
A EI1 EI1
A
C C FP
FP B
A A X2 X2 X1
X1
FP
l /2
FP
EI2 B
B
EI2
l /2
B l (a)
q
A
EI
l
B
q
3、力法方程的建立
11 1P 0
11 －－X1单独作用在基本结构上
超静定结构的计算
§1.3超静定结构的计算超静定结构是具有多余约束的几何不变体系，仅根据静力平衡条件不能求出其全部支座反力和内力，还须考虑变形协调条件。
计算超静定结构的基本方法是力法和位移法。
这两种基本方法的解题思路，都是设法将未知的超静定结构计算问题转换成已知的结构计算问题。
转换的桥梁就是基本体系，转换的条件就是基本方程，转换后要解决的关键问题就是求解基本未知量。
1.3.1力法力法是以多余未知力为基本未知量、一般用静定结构作为基本结构，以变形协调条件建立基本方程来求解超静定结构内力的计算方法。
超静定结构多余约束（或多余未知力）的数目称为超静定次数，用n表示。
确定超静定次数的方法是：取消多余约束法，即去掉超静定结构中的多余约束，使原结构变成静定结构，所去掉的多余约束的数目即为原结构的超静定次数。
在结构上去掉多余约束的方法，通常有如下几种：●切断一根链杆，或者移去一个支座链杆，相当于去掉一个约束；●将一个固定支座改成固定铰支座，或将受弯杆件某处改成铰接，相当于去掉一个抗转动约束；●去掉一个联结两刚片的铰，或者撤去一个固定铰支座，相当于去掉两个约束；●将一梁式杆切断，或者撤去一个固定支座，相当于去掉三个约束。
现以图1-26a所示一次超静定结构为例，说明力法的基本原理。
其中，要特别重视力法的三个基本概念。
图1-261、力法的基本未知量：取超静定结构中的多余未知力（如图1-26a 中的X1）作为力法的基本未知量，以X i表示。
多余未知力在超静定结构内力分析中处于关键的地位，因此，有必要将其突出出来，作为主攻目标。
力法这个名称也因此而得。
2、力法的基本体系：将原结构中的多余约束（如图1-26a中的支座B）去掉，所得到的无任何外加因素的结构，称为力法的基本结构（图1-26b）；基本结构在荷载和多余未知力共同作用下的体系，称为力法的基本体系（图1-26c）。
在基本体系中，仍然保留原结构的多余约束反力X1，只是把它由被动力改为主动力，因此基本体系的受力状态与原结构完全相同。
超静定结构内力计算
六超静定结构內力计算1．什么是超静定结构？它和静定结构有何区别？答：单靠静力平衡条件不能确定全部反力和內力的结构为超静定结构。
从几何组成的角度看，静定结构是没有多余约束的几何不变体系。
若去掉其中任何一个约束，静定结构即成为几何可变体系。
也就是说，静定结构的任何一个约束，对维持其几何不变性都是必要的，称为必要约束。
对于超静定结构，若去掉其中一个甚至多个约束后，结构仍可能是几何不变的。
2．什么是超静定结构的超静定次数？答：超静定结构多余约束的数目，或者多余约束力的数目，称为结构的超静定次数。
3．超静定结构的基本结构是否必须是静定结构？答：超静定结构的基本结构必须是静定结构。
4．如何确定超静定结构的超静定次数？答：确定结构超静定次数的方法是：去掉超静定结构的多余约束，使之变为静定结构，则去掉多余约束的个数，即为结构的超静定次数。
5．撤除多余约束的方法有哪几种？答：撤除多余约束常用方法如下：（1）去掉一根支座链杆或切断一根链杆，等于去掉一个约束。
（2）去掉一个固定铰支座或拆去一个单铰，等于去掉两个约束。
（3）去掉一个固定端支座或把刚性连接切开，等于去掉三个约束。
6．用力法计算超静定结构的基本思路是什么？答：用力法计算超静定结构的基本思路是：去掉超静定结构的多于约束，代之以多余未知力，形成静定的基本结构；取多余未知力作为基本未知量，通过基本结构的位移谐调条件建立力法方程，利用这一变形条件求解多余约束力；将已知外荷载和多余约束力所引起的基本结构的内力叠加，即为原超静定结构在荷载作用下产生的内力。
7．什么是力法的基本结构和基本未知量？答：力法的基本结构是：超静定结构去掉多余约束后得到的静定结构。
力法的基本未知量是对应于多余约束的约束反力。
8．简述n次超静定结构的力法方程，及求原结构的全部反力和內力的方法。
答：（1）n次超静定结构的力法方程对于n次超静定结构，撤去n个多余约束后可得到静定的基本结构，在去掉的n个多余约束处代以相应的多余未知力。
结构力学(超静定结构内力与位移计算)
∑M
B
=0
P1=1
B
RA ⋅ l − P（l − x） 0 = l−x RA = l x = 0 RA = 1 RA = 0 x = l
l ＲＡ＝(l-x)/l 1 RA影响线 1 RＢ影响线 ＲB＝x/l
∑M
A
=0
RB ⋅ l − P ⋅ x = 0
RB = x l
x = 0 x = l
练习：试绘制图示结构 影响线。 练习：试绘制图示结构ME、QE影响线。
15/8 5/4 3/2
5/4
3/4
ME影响线
5/8 1/4
1/2
QE影响线
1/4 1/4 3/8
第四节 用机动法作单跨超静定梁的影响线 一、基本原理 机动法是以虚位移原理为依据把作影响线的问题转化为作位移图的 几何问题。 几何问题。 二、优点 不需要计算就能绘出影响线的轮廓。 不需要计算就能绘出影响线的轮廓。
x A a 1 d/l 1 (l+d)/l ab/l b/l a/l MC影响线 ad/l d/l c l QC影响线 MD影响线 QD影响线 RB影响线 RA影响线 B C l b d D c x1
影响线时， 作RA、RB、MC、QC影响线时，可 点为坐标原点， 取A点为坐标原点，方法同简支梁；作 点为坐标原点 方法同简支梁； QD、MD影响线时，可取 为坐标原点。 影响线时，可取D为坐标原点 为坐标原点。
A p1 C a l b/l y1 y1 a/l QC影响线 y1 b p2 p3 B
S=p1y1+ p2y2+…+ pnyn=∑ piyi （1）
QC=P1Y1+ P2Y2+ P3Y3
y
超静定结构自内力的计算
C
X1
C
X1
5.7 超静定结构自内力的计算
解： 例. 求图示梁由于支座移动引起的内力. l EI M1 M2 1 M 支座移动引起的内力与各杆 的绝对刚度 EI 有关。
练习:写出典型方程,并求出自由项。
D=b/l
几何法:
D=-b/l
D=0
公式法:
1/l
1/l
杆端力和杆端位移的正负规定 ①杆端转角θA、θB ，弦转角 β＝Δ/l都以顺时针为正。 ②杆端弯矩对杆端以顺时针为正 对结点或支座以逆时针为正。
E I
l
用力法求解单跨超静定梁
Δ
θA
θB
X1
X2
Δ
1/l
1/l
X2=1
1
M
M
X1=1
1
可以将上式写成矩阵形式
t1
解：
例. 求图示刚架由于温度变化引起的内力与K点的位移。 t1=+250C t2=+350C,EI=常数,矩形截面,h=l/10.
温度改变引起的内力与各杆 的绝对刚度 EI 有关。
温度低的一侧受拉。
§一、由杆端位移求杆端弯矩
MAB
MBA
l
MAB
MBA
几种不同远端支座的刚度方程
因
l
l
l
由单位杆端位移引起的杆端力称为形常数。
单跨超静定梁简图
MAB
MBA
QAB= QBA
4i
2i
θ=1
1
1
0
θ=1
3i
0
θ=1
i
－i
0
二、由荷载求固端反力
l
l
»在已知荷载及杆端位移的共同作用下的杆端力一般公式（转角位移方程）：
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三项表示基本体系在温度变化和支座移动情况下引起的位移。
1 超静定结构内力计算
§1.2位移法
§1.2.1等截面直杆的转角位移方程式 位移法以结点的位移（角位移和线位移）作为基本来知数，根据求出的位移计
算各杆的内力。因此，必须首先建立各杆件的杆端位移与杆端的内力之间的关系。 这就是转角位移方程。
设一结构中某杆AB。结构受荷载作用的变形如图1-2所示。
《高等工程力学》1 超静定 结构内力计算
1 超静定结构内力计算
1.1力法
§1.1.1力法的基本原理
力法是计算超静定结构的一种基本方法。 基本原理是： 首先将超静定结构中的多余联系去掉，代之以多余未知力；相应于每一个多余 联系，就有一个多余未知力。去掉多余联系后，超静定结构就变成在荷载和多余 未知力共同作用下的静定结构。 力法的基本体系：从超静定结构中去掉多余联系而代之以未知力，这样获得的 静定的几何不变体系。 基本未知数：多余未知力。 基本体系的选择：拟定出去掉多余联系的各种可能方案，选择其中一个作为基 本体系。基本体系应该是几何不变的。选择基本体系的原则应使计算尽可能简单 和方便。
令 i ，E称I 为杆的线刚度，则 l
MAB 2i2A B l MAB
MBA
2iA
2B
l
MBA
(1-8)
这就是两端固定等截面直杆的转角位移方程。
1 超静定结构内力计算
§1.2.1等截面直杆的转角位移方程式（续2）
同理可以求出一端固定一端铰支等截面直杆（图1-3a）的转角位移方程。设B 端为铰，则MBA＝0
解方程求出转角后再代回各杆端的转角位移方程中，就可以求出各杆端的内力。
1 超静定结构内力计算
§1.2.3考虑结点及截面平衡法求解结构内力（续1）
⑵ 有结点线位移的情况 计算这类结构时；原利用公式（1-11）考虑各结点的弯矩平衡外，还需考虑 相应杆端剪力的平衡。取适当的截面截出结构的一部分，通常是截断各柱的柱顶 端。取出横梁。考虑剪力平衡，建立剪力平衡方程，即
Qx 0
(1-12)
补充了剪力平衡方程后，方程式的数目仍然与未知数的数目相等，方程式总是 可以求解的。
1 超静定结构内力计算
§1.2.3考虑结点及截面平衡法求解结构内力（续2）
⑶ 考虑结点和截面平衡法的解题步骤 ① 确定结构的未知数。 ② 列出各杆端的转角位移方程。 ③ 列出各刚性结点的和相应截面的平衡方程式。 ④ 解平衡方程式求未知位移。 ⑤ 将位移代回转角位移方程求各杆端弯矩。
刚性结点的角位移都是基本未知数。 结点的独立线位移是位移法的基本未知数
图1-4
确定刚架独立线位移数可以采用下述方法：把刚架所有刚性结点变成铰结点， 刚架体系是几何可变的，则原刚架有结点线位移。若增加链杆使此铰接体系变成 几何不变体系，则所增加的链杆数目就是原结构具有的独立位移的数目。这个方 法只适用于不考虑杆的轴向变形的情况。
1 超静定结构内力计算
§1.2.2位移法的基本来知数和基本体系（续）
对每一个刚性结点都附加一个刚臂以限制结点的转角。同时，对每一个独立线 位移加上一个相应的附加链杆以限制其线位移。这样，结构就变成了一个没有任 何结点位移的，由单跨超静定梁组成的组合体。这样的组合体就是位移法的基本 体系。
1 超静定结构内力计算
§1.2.3考虑结点及截面平衡法求解结构内力
⑴ 结点无线位移的情况 一般的无侧移刚架、连续梁等都属于这类结构。计算这类结构时，截取每一个 刚性结点，考虑其处于平衡状态。则
Mjk 0
(1-11)
其中j表示截取的结点号，亦表示联结于结点j的各杆的近端，k表示各杆的远 端。该式表示联结于结点j各杆近端弯矩的代数和为零。将各杆端的转角位移方 程式代入，方程（1-11）中就只有各结点的转角作为未知数。如果结构中有n个 刚性结点，则可列出n个平衡方程。恰好解出方程中的n个基本来知数，即n个刚 性结点的转角。
1 超静定结构内力计算
§1.1.3温度变化、支座移动引起的内力计算(续)
其中 α——线膨胀系数； t/——杆件两侧温差； t0——杆件轴线温升（降）； h——杆截面高度； nc——由于支座移动引起基本体系Xn的作用点沿Xn方向的位移。
nc可由几何关系确定或由虚功原理计算。
nc Rnc
其中 R—n —当Xn＝1时引起的支座反力。 c——支座移动的距离。
1 超静定结构内力计算
§1.1.4超静定结构的位移计算
按照虚功原理，计算超静定结构位移时，若忽略轴力及剪力的影响，其计算公
式为：
s
MMds EI
在平面结构中结构位移计算的一般公式为：
s M E M d I s s N E N d A s s K G Q Q d A s s N t 0 d s s M h t d s R K c K(1-7)
图1-2
1 超静定结构内力计算
§1.2.1等截面直杆的转角位移方程式（续1）
AB杆产生位移后，杆端的总弯矩为
M AB M A / B M A //B M A //B /M AB 4E l IA2E l IB6 lE 2 IAB M AB
M BA M B / A M B //A M B //A / M BA 2E l IA4E l IB6 lE 2 IAB M BA
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
MAB3iA3i l MAB
(1-9)
当一端为固定另一端为滑动支承时（图1-3b），转角位移方程为。
MABiABMAB MBAiBAMBA
这三种类型的杆的转角位移方程是最基本的三种类型。
(1-10)
图1-3
1 超静定结构内力计算
§1.2.2位移法的基本来知数和基本体系
位移法以结点的位移作为基本未知数。但并不是每个结点位移都可以成为基本 来知数的。
其中 M、Q、N——超静定结构在各种因素作用下的内力图。
M i 、Q i、N i ——任取的基本体系在单位力作用下的内力图，而单位力是加在 要求位移的截面上的；
—R K—基本体系支座k在单位力作用下的反力； cK——k支座的实际位移。 公式（1-7）的前三项表示基本体系在荷载和多余未知力的作用下的位移，后
1 超静定结构内力计算
§1.2.4利用典型方程求解结构的位移和内力