年全国中考数学压轴题含答案
中考数学28道压轴题含答案解析
中考数学选填压轴题练习一.根的判别式(共1小题)1.(2023•广州)已知关于x的方程x2﹣(2k﹣2)x+k2﹣1=0有两个实数根,则的化简结果是()A.﹣1B.1C.﹣1﹣2k D.2k﹣3【分析】首先根据关于x的方程x2﹣(2k﹣2)x+k2﹣1=0有两个实数根,得判别式Δ=[﹣(2k﹣2)]2﹣4×1×(k2﹣1)≥0,由此可得k≤1,据此可对进行化简.【解答】解:∵关于x的方程x2﹣(2k﹣2)x+k2﹣1=0有两个实数根,∴判别式Δ=[﹣(2k﹣2)]2﹣4×1×(k2﹣1)≥0,整理得:﹣8k+8≥0,∴k≤1,∴k﹣1≤0,2﹣k>0,∴=﹣(k﹣1)﹣(2﹣k)=﹣1.故选:A.二.函数的图象(共1小题)2.(2023•温州)【素材1】某景区游览路线及方向如图1所示,①④⑥各路段路程相等,⑤⑦⑧各路段路程相等,②③两路段路程相等.【素材2】设游玩行走速度恒定,经过每个景点都停留20分钟,小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟;小州游路线①②⑧,他离入口的路程s与时间t的关系(部分数据)如图2所示,在2100米处,他到出口还要走10分钟.【问题】路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为()A.4200米B.4800米C.5200米D.5400米【分析】设①④⑥各路段路程为x米,⑤⑦⑧各路段路程为y米,②③各路段路程为z米,由题意及图象可知,然后根据“游玩行走速度恒定,经过每个景点都停留20分钟,小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟”可进行求解.【解答】解:由图象可知:小州游玩行走的时间为75+10﹣40=45(分钟),小温游玩行走的时间为205﹣100=105(分钟),设①④⑥各路段路程为x米,⑤⑦⑧各路段路程为y米,②③各路段路程为z米由图象可得:,解得:x+y+z=2700,∴游玩行走的速度为:(2700﹣2100)÷10=60 (米/分),由于游玩行走速度恒定,则小温游路线①④⑤⑥⑦⑧的路程为:3x+3y=105×60=6300,∴x+y=2100,∴路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为:2x+2y+z=x+y+z+x+y=2700+2100=4800(米).故选:B.三.动点问题的函数图象(共1小题)3.(2023•河南)如图1,点P从等边三角形ABC的顶点A出发,沿直线运动到三角形内部一点,再从该点沿直线运动到顶点B.设点P运动的路程为,图2是点P运动时y随x变化的关系图象,则等边三角形ABC的边长为()A.6B.3C.D.【分析】如图,令点P从顶点A出发,沿直线运动到三角形内部一点O,再从点O沿直线运动到顶点B,结合图象可知,当点P在AO上运动时,PB=PC,AO=,易知∠BAO=∠CAO=30°,当点P在OB上运动时,可知点P到达点B时的路程为,可知AO=OB=,过点O作OD⊥AB,解直角三角形可得AD=AO•cos30°,进而得出等边三角形ABC的边长.【解答】解:如图,令点P从顶点A出发,沿直线运动到三角形内部一点O,再从点O沿直线运动到顶点B,\结合图象可知,当点P在AO上运动时,,∴PB=PC,,又∵△ABC为等边三角形,∴∠BAC=60°,AB=AC,∴△APB≌△APC(SSS),∴∠BAO=∠CAO=30°,当点P在OB上运动时,可知点P到达点B时的路程为,∴OB=,即AO=OB=,∴∠BAO=∠ABO=30°,过点O作OD⊥AB,垂足为D,∴AD=BD,则AD=AO•cos30°=3,∴AB=AD+BD=6,即等边三角形ABC的边长为6.故选:A.四.反比例函数系数k的几何意义(共1小题)4.(2023•宁波)如图,点A,B分别在函数y=(a>0)图象的两支上(A在第一象限),连结AB交x 轴于点C.点D,E在函数y=(b<0,x<0)图象上,AE∥x轴,BD∥y轴,连结DE,BE.若AC =2BC,△ABE的面积为9,四边形ABDE的面积为14,则a﹣b的值为12,a的值为9.【分析】依据题意,设A(m,),再由AE∥x轴,BD∥y轴,AC=2BC,可得B(﹣2m,﹣),D (﹣2m,﹣),E(,),再结合△ABE的面积为9,四边形ABDE的面积为14,即可得解.【解答】解:设A(m,),∵AE∥x轴,且点E在函数y=上,∴E(,).∵AC=2BC,且点B在函数y=上,∴B(﹣2m,﹣).∵BD∥y轴,点D在函数y=上,∴D(﹣2m,﹣).∵△ABE的面积为9,∴S△ABE=AE×(+)=(m﹣)(+)=m••==9.∴a﹣b=12.∵△ABE的面积为9,四边形ABDE的面积为14,∴S△BDE=DB•(+2m)=(﹣+)()m=(a﹣b)••()•m=3()=5.∴a=﹣3b.又a﹣b=12.∴a=9.故答案为:12,9.五.反比例函数图象上点的坐标特征(共2小题)5.(2023•德州)如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是矩形,点B的坐标为(6,3),D是OA的中点,AC,BD交于点E,函数的图象过点B.E.且经过平移后可得到一个反比例函数的图象,则该反比例函数的解析式()A.y=﹣B.C.D.【分析】先根据函数图象经过点B和点E,求出a和b,再由所得函数解析式即可解决问题.【解答】解:由题知,A(6,0),B(6,3),C(0,3),令直线AC的函数表达式为y1=k1x+b1,则,解得,所以.又因为点D为OA的中点,所以D(3,0),同理可得,直线BD的函数解析式为y2=x﹣3,由得,x=4,则y=4﹣3=1,所以点E坐标为(4,1).将B,E两点坐标代入函数解析式得,,解得.所以,则,将此函数图象向左平移3个单位长度,再向下平移4个单位长度,所得图象的函数解析式为:.故选:D.6.如图,O是坐标原点,Rt△OAB的直角顶点A在x轴的正半轴上,AB=2,∠AOB=30°,反比例函数y=(k>0)的图象经过斜边OB的中点C.(1)k=;(2)D为该反比例函数图象上的一点,若DB∥AC,则OB2﹣BD2的值为4.【分析】(1)根据直角三角形的性质,求出A、B两点坐标,作出辅助线,证得△OPC≌△APC(HL),利用勾股定理及待定系数法求函数解析式即可解答.(2)求出AC、BD的解析式,再联立方程组,求得点D的坐标,分两种情况讨论即可求解.【解答】解:(1)在Rt△OAB中,AB=2,∠AOB=30°,∴,∴,∵C是OB的中点,∴OC=BC=AC=2,如图,过点C作CP⊥OA于P,∴△OPC≌△APC(HL),∴,在Rt△OPC中,PC=,∴C(,1).∵反比例函数y=(k>0)的图象经过斜边OB的中点C,∴,解得k=.故答案为:.(2)设直线AC的解析式为y=k1x+b(k≠0),则,解得,∴AC的解析式为y=﹣x+2,∵AC∥BD,∴直线BD的解析式为y=﹣x+4,∵点D既在反比例函数图象上,又在直线BD上,∴联立得,解得,,当D的坐标为(2+3,)时,BD2==9+3=12,∴OB2﹣BD2=16﹣12=4;当D的坐标为(2﹣3,)时,BD2=+=9+3=12,∴OB2﹣BD2=16﹣12=4;综上,OB2﹣BD2=4.故答案为:4.六.反比例函数与一次函数的交点问题(共1小题)7.(2023•湖州)已知在平面直角坐标系中,正比例函数y=k1x(k1>0)的图象与反比例函数(k2>0)的图象的两个交点中,有一个交点的横坐标为1,点A(t,p)和点B(t+2,q)在函数y=k1x的图象上(t≠0且t≠﹣2),点C(t,m)和点D(t+2,n)在函数的图象上.当p﹣m与q﹣n的积为负数时,t的取值范围是()A.或B.或C.﹣3<t<﹣2或﹣1<t<0D.﹣3<t<﹣2或0<t<1【分析】将交点的横坐标1代入两个函数,令二者函数值相等,得k1=k2.令k1=k2=k,代入两个函数表达式,并分别将点A、B的坐标和点C、D的坐标代入对应函数,进而分别求出p﹣m与q﹣n的表达式,代入解不等式(p﹣m)(q﹣n)<0并求出t的取值范围即可.【解答】解:∵y=k1x(k1>0)的图象与反比例函数(k2>0)的图象的两个交点中,有一个交点的横坐标为1,∴k1=k2.令k1=k2=k(k>0),则y=k1x=kx,=.将点A(t,p)和点B(t+2,q)代入y=kx,得;将点C(t,m)和点D(t+2,n)代入y=,得.∴p﹣m=kt﹣=k(t﹣),q﹣n=k(t+2)﹣=k(t+2﹣),∴(p﹣m)(q﹣n)=k2(t﹣)(t+2﹣)<0,∴(t﹣)(t+2﹣)<0.∵(t﹣)(t+2﹣)=•=<0,∴<0,∴t(t﹣1)(t+2)(t+3)<0.①当t<﹣3时,t(t﹣1)(t+2)(t+3)>0,∴t<﹣3不符合要求,应舍去.②当﹣3<t<﹣2时,t(t﹣1)(t+2)(t+3)<0,∴﹣3<t<﹣2符合要求.③当﹣2<t<0时,t(t﹣1)(t+2)(t+3)>0,∴﹣2<t<0不符合要求,应舍去.④当0<t<1时,t(t﹣1)(t+2)(t+3)<0,∴0<t<1符合要求.⑤当t>1时,t(t﹣1)(t+2)(t+3)>0,∴t>1不符合要求,应舍去.综上,t的取值范围是﹣3<t<﹣2或0<t<1.故选:D.七.二次函数图象与系数的关系(共3小题)8.(2023•乐至县)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=﹣2,且过点(1,0).现有以下结论:①abc<0;②5a+c=0;③对于任意实数m,都有2b+bm≤4a﹣am2;④若点A(x1,y1)、B(x2,y2)是图象上任意两点,且|x1+2|<|x2+2|,则y1<y2,其中正确的结论是()A.①②B.②③④C.①②④D.①②③④【分析】根据题意和函数图象,利用二次函数的性质,可以判断各个小题中的结论是否正确,从而可以解答本题.【解答】解:由图象可得,a>0,b>0,c<0,∴abc<0,故①正确,∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=﹣2,且过点(1,0).∴﹣=﹣2,a+b+c=0,∴b=4a,∴a+b+c=a+4a+c=0,故5a+c=0,故②正确,∵当x=﹣2时,y=4a﹣2b+c取得最小值,∴am2+bm+c≥4a﹣2b+c,即2b+bm≥4a﹣am2(m为任意实数),故③错误,∵抛物线开口向上,对称轴为直线x=﹣2,若点A(x1,y1)、B(x2,y2)是图象上任意两点,且|x1+2|<|x2+2|,∴y1<y2,故④正确;故选:C.9.(2023•丹东)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的一个交点为A(﹣3,0),与y轴交于点C,点D是抛物线的顶点,对称轴为直线x=﹣1,其部分图象如图所示,则以下4个结论:①abc>0;②E(x1,y1),F(x2,y2)是抛物线y=ax2+bx(a≠0)上的两个点,若x1<x2,且x1+x2<﹣2,则y1<y2;③在x轴上有一动点P,当PC+PD的值最小时,则点P的坐标为;④若关于x的方程ax2+b(x﹣2)+c =﹣4(a≠0)无实数根,则b的取值范围是b<1.其中正确的结论有()A.1个B.2个C.3个D.4个【分析】根据所给函数图象可得出a,b,c的正负,再结合抛物线的对称性和增减性即可解决问题.【解答】解:根据所给函数图象可知,a>0,b>0,c<0,所以abc<0,故①错误.因为抛物线y=ax2+bx的图象可由抛物线y=ax2+bx+c的图象沿y轴向上平移|c|个单位长度得到,所以抛物线y=ax2+bx的增减性与抛物线y=ax2+bx+c的增减性一致.则当x<﹣1时,y随x的增大而减小,又x1<x2,且x1+x2<﹣2,若x2<﹣1,则E,F两点都在对称轴的左侧,此时y1>y2.故②错误.作点C关于x轴的对称点C′,连接C′D与x轴交于点P,连接PC,此时PC+PD的值最小.将A(﹣3,0)代入二次函数解析式得,9a﹣3b+c=0,又,即b=2a,所以9a﹣6a+c=0,则c=﹣3a.又抛物线与y轴的交点坐标为C(0,c),则点C坐标为(0,﹣3a),所以点C′坐标为(0,3a).又当x=﹣1时,y=﹣4a,即D(﹣1,﹣4a).设直线C′D的函数表达式为y=kx+3a,将点D坐标代入得,﹣k+3a=﹣4a,则k=7a,所以直线C′D的函数表达式为y=7ax+3a.将y=0代入得,x=.所以点P的坐标为(,0).故③正确.将方程ax2+b(x﹣2)+c=﹣4整理得,ax2+bx+c=2b﹣4,因为方程没有实数根,所以抛物线y=ax2+bx+c与直线y=2b﹣4没有公共点,所以2b﹣4<﹣4a,则2b﹣4<﹣2b,解得b<1,又b>0,所以0<b<1.故④错误.所以正确的有③.故选:A.10.(2023•河北)已知二次函数y=﹣x2+m2x和y=x2﹣m2(m是常数)的图象与x轴都有两个交点,且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等,则这两个函数图象对称轴之间的距离为()A.2B.m2C.4D.2m2【分析】求出三个交点的坐标,再构建方程求解.【解答】解:令y=0,则﹣x2+m2x=0和x2﹣m2=0,∴x=0或x=m2或x=﹣m或x=m,∵这四个交点中每相邻两点间的距离都相等,若m>0,则m2=2m,∴m=2,若m<0时,则m2=﹣2m,∴m=﹣2.∵抛物线y=x2﹣m2的对称轴为直线x=0,抛物线y=﹣x2+m2x的对称轴为直线x=,∴这两个函数图象对称轴之间的距离==2.故选:A.八.二次函数图象上点的坐标特征(共1小题)11.(2023•广东)如图,抛物线y=ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A,B,C,点B在y轴上,则ac 的值为()A.﹣1B.﹣2C.﹣3D.﹣4【分析】过A作AH⊥x轴于H,根据正方形的性质得到∠AOB=45°,得到AH=OH,利用待定系数法求得a、c的值,即可求得结论.【解答】解:过A作AH⊥x轴于H,∵四边形ABCO是正方形,∴∠AOB=45°,∴∠AOH=45°,∴AH=OH,设A(m,m),则B(0,2m),∴,解得am=﹣1,m=,∴ac的值为﹣2,故选:B.九.二次函数与不等式(组)(共1小题)12.(2023•西宁)直线y1=ax+b和抛物线(a,b是常数,且a≠0)在同一平面直角坐标系中,直线y1=ax+b经过点(﹣4,0).下列结论:①抛物线的对称轴是直线x=﹣2;②抛物线与x轴一定有两个交点;③关于x的方程ax2+bx=ax+b有两个根x1=﹣4,x2=1;④若a >0,当x<﹣4或x>1时,y1>y2.其中正确的结论是()A.①②③④B.①②③C.②③D.①④【分析】根据直线y1=ax+b经过点(﹣4,0).得到b=4a,于是得到=ax2+4ax,求得抛物线的对称轴是直线x=﹣﹣=2;故①正确;根据Δ=16a2>0,得到抛物线与x轴一定有两个交点,故②正确;把b=4a,代入ax2+bx=ax+b得到x2+3x﹣4=0,求得x1=﹣4,x2=1;故③正确;根据a>0,得到抛物线的开口向上,直线y1=ax+b和抛物线交点横坐标为﹣4,1,于是得到结论.【解答】解:∵直线y1=ax+b经过点(﹣4,0).∴﹣4a+b=0,∴b=4a,∴=ax2+4ax,∴抛物线的对称轴是直线x=﹣﹣=2;故①正确;∵=ax2+4ax,∴Δ=16a2>0,∴抛物线与x轴一定有两个交点,故②正确;∵b=4a,∴方程ax2+bx=ax+b为ax2+4ax=ax+4a得,整理得x2+3x﹣4=0,解得x1=﹣4,x2=1;故③正确;∵a>0,抛物线的开口向上,直线y1=ax+b和抛物线交点横坐标为﹣4,1,∴当x<﹣4或x>1时,y1<y2.故④错误,故选:B.一十.三角形中位线定理(共1小题)13.(2023•广州)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,AC=6,点M是边AC上一动点,点D,E分别是AB,MB的中点,当AM=2.4时,DE的长是 1.2.若点N在边BC上,且CN=AM,点F,G分别是MN,AN的中点,当AM>2.4时,四边形DEFG面积S的取值范围是3≤S≤4.【分析】依据题意,根据三角形中位线定理可得DE=AM=1.2;设AM=x,从而DE=x,由DE∥AM,且DE=AM,又FG∥AM,FG=AM,进而DE∥FG,DE=FG,从而四边形DEFG是平行四边形,结合题意可得DE边上的高为(4﹣x),故四边形DEFG面积S=4x﹣x2,进而利用二次函数的性质可得S的取值范围.【解答】解:由题意,点D,E分别是AB,MB的中点,∴DE是三角形ABM的中位线.∴DE=AM=1.2.如图,设AM=x,∴DE=AM=x.由题意得,DE∥AM,且DE=AM,又FG∥AM,FG=AM,∴DE∥FG,DE=FG.∴四边形DEFG是平行四边形.由题意,GF到AC的距离是x,BC==8,∴DE边上的高为(4﹣x).∴四边形DEFG面积S=2x﹣x2,=﹣(x﹣4)2+4.∵2.4<x≤6,∴3≤S≤4.故答案为:1.2;3≤S≤4.一十一.矩形的性质(共2小题)14.(2023•宁波)如图,以钝角三角形ABC的最长边BC为边向外作矩形BCDE,连结AE,AD,设△AED,△ABE,△ACD的面积分别为S,S1,S2,若要求出S﹣S1﹣S2的值,只需知道()A.△ABE的面积B.△ACD的面积C.△ABC的面积D.矩形BCDE的面积【分析】作AG⊥ED于点G,交BC于点F,可证明四边形BFGE是矩形,AF⊥BC,可推导出S﹣S1﹣S2=ED•AG﹣BE•EG﹣CD•DG=ED•AG﹣FG•ED=BC•AF=S△ABC,所以只需知道S△ABC,就可求出S﹣S1﹣S2的值,于是得到问题的答案.【解答】解:作AG⊥ED于点G,交BC于点F,∵四边形BCDE是矩形,∴∠FBE=∠BEG=∠FGE=90°,BC∥ED,BC=ED,BE=CD,∴四边形BFGE是矩形,∠AFB=∠FGE=90°,∴FG=BE=CD,AF⊥BC,∴S﹣S1﹣S2=ED•AG﹣BE•EG﹣CD•DG=ED•AG﹣FG•ED=BC•AF=S△ABC,∴只需知道S△ABC,就可求出S﹣S1﹣S2的值,故选:C.15.(2023•河南)矩形ABCD中,M为对角线BD的中点,点N在边AD上,且AN=AB=1.当以点D,M,N为顶点的三角形是直角三角形时,AD的长为2或1+.【分析】以点D,M,N为顶点的三角形是直角三角形时,分两种情况:如图1,当∠MND=90°时,如图2,当∠NMD=90°时,根据矩形的性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论.【解答】解:以点D,M,N为顶点的三角形是直角三角形时,分两种情况:①如图1,当∠MND=90°时,则MN⊥AD,∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=90°,∴MN∥AB,∵M为对角线BD的中点,∴AN=DN,∵AN=AB=1,∴AD=2AN=2;如图2,当∠NMD=90°时,则MN⊥BD,∵M为对角线BD的中点,∴BM=DM,∴MN垂直平分BD,∴BN=DN,∵∠A=90°,AB=AN=1,∴BN=AB=,∴AD=AN+DN=1+,综上所述,AD的长为2或1+.故答案为:2或1+.一十二.正方形的性质(共2小题)16.如图,在边长为4的正方形ABCD中,点G是BC上的一点,且BG=3GC,DE⊥AG于点E,BF∥DE,且交AG于点F,则tan∠EDF的值为()A.B.C.D.【分析】由正方形ABCD的边长为4及BG=3CG,可求出BG的长,进而求出AG的长,证△ADE∽△GAB,利用相似三角形对应边成比例可求得AE、DE的长,证△ABF≌△DAE,得AF=DE,根据线段的和差求得EF的长即可.【解答】解:∵四边形ABCD是正方形,AB=4,∴BC=CD=DA=AB=4,∠BAD=∠ABC=90°,AD∥BC,∴∠DAE=∠AGB,∵BG=3CG,∴BG=3,∴在Rt△ABG中,AB2+BG2=AG2,∴AG=,∵DE⊥AG,∴∠DEA=∠DEF=∠ABC=90°,∴△ADE∽△GAB,∴AD:GA=AE:GB=DE:AB,∴4:5=AE:3=DE:4,∴AE=,DE=,又∵BF∥DE,∴∠AFB=∠DEF=90°,又∵AB=AD,∠DAE=∠ABF(同角的余角相等),∴△ABF≌△DAE,∴AF=DE=,∴EF=AF﹣AE=,∴tan∠EDF=,故选:A.17.(2023•湖州)如图,标号为①,②,③,④的四个直角三角形和标号为⑤的正方形恰好拼成对角互补的四边形ABCD,相邻图形之间互不重叠也无缝隙,①和②分别是等腰Rt△ABE和等腰Rt△BCF,③和④分别是Rt△CDG和Rt△DAH,⑤是正方形EFGH,直角顶点E,F,G,H分别在边BF,CG,DH,AE上.(1)若EF=3cm,AE+FC=11cm,则BE的长是4cm.(2)若,则tan∠DAH的值是3.【分析】(1)将AE和FC用BE表示出来,再代入AE+FC=11cm,即可求出BE的长;(2)由已知条件可以证明∠DAH=∠CDG,从而得到tan∠DAH=tan∠CDG,设AH=x,DG=5k,GH =4k,用x和k的式子表示出CG,再利用tan∠DAH=tan∠CDG列方程,解出x,从而求出tan∠DAH 的值.【解答】解:(1)∵Rt△ABE和Rt△BCF都是等腰直角三角形,∴AE=BE,BF=CF,∵AE+FC=11cm,∴BE+BF=11cm,即BE+BE+EF=11cm,即2BE+EF=11cm,∵EF=3cm,∴2BE+3cm=11cm,∴BE=4cm,故答案为:4;(2)设AH=x,∵,∴可设DG=5k,GH=4k,∵四边形EFGH是正方形,∴HE=EF=FG=GH=4k,∵Rt△ABE和Rt△BCF都是等腰直角三角形,∴AE=BE,BF=CF,∠ABE=∠CBF=45°,∴CG=CF+GF=BF+4k=BE+8k=AH+12k=x+12k,∠ABC=∠ABE+∠CBF=45°+45°=90°,∵四边形ABCD对角互补,∴∠ADC=90°,∴∠ADH+∠CDG=90°,∵四边形EFGH是正方形,∴∠AHD=∠CGD=90°,∴∠ADH+∠DAH=90°,∴∠DAH=∠CDG,∴tan∠DAH=tan∠CDG,∴,即,整理得:x2+12kx﹣45k2=0,解得x1=3k,x2=﹣15k(舍去),∴tan∠DAH===3.故答案为:3.一十三.正多边形和圆(共1小题)18.(2023•河北)将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上,其俯视图如图1,正六边形边长为2且各有一个顶点在直线l上.两侧螺母不动,把中间螺母抽出并重新摆放后,其俯视图如图2,其中,中间正六边形的一边与直线l平行,有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点.则图2中:(1)∠α=30度;(2)中间正六边形的中心到直线l的距离为2(结果保留根号).【分析】(1)作图后,结合正多边形的外角的求法即可得到结论;(2)把问题转化为图形问题,首先作出图形,标出相应的字母,把正六边形的中心到直线l的距离转化为求ON=OM+BE,再根据正六边形的性质以及三角函数的定义,分别求出OM,BE即可.【解答】解:(1)作图如图所示,∵多边形是正六边形,∴∠ACB=60°,∵BC∥直线l,∴∠ABC=90°,∴α=30°;故答案为:30°;(2)取中间正六边形的中心为O,作图如图所示,由题意得,AG∥BF,AB∥GF,BF⊥AB,∴四边形ABFG为矩形,∴AB=GF,∵∠BAC=∠FGH,∠ABC=∠GFH=90°,∴△ABC≌△GFH(SAS),∴BC=FH,在Rt△PDE中,DE=1,PE=,由图1知AG=BF=2PE=2,OM=PE=,∵,∴,∴,∵,∴,∴.∴中间正六边形的中心到直线l的距离为2,故答案为:2.一十四.扇形面积的计算(共1小题)19.(2023•温州)图1是4×4方格绘成的七巧板图案,每个小方格的边长为,现将它剪拼成一个“房子”造型(如图2),过左侧的三个端点作圆,并在圆内右侧部分留出矩形CDEF作为题字区域(点A,E,D,B在圆上,点C,F在AB上),形成一幅装饰画,则圆的半径为5.若点A,N,M在同一直线上,AB∥PN,DE=EF,则题字区域的面积为.【分析】根据不共线三点确定一个圆,根据对称性得出圆心的位置,进而垂径定理、勾股定理求得r,连接OE,取ED的中点T,连接OT,在Rt△OET中,根据勾股定理即可求解.【解答】解:如图所示,依题意,GH=2=GQ,∵过左侧的三个端点Q,K,L作圆,QH=HL=4,又NK⊥QL,∴O在KN上,连接OQ,则OQ为半径,∵OH=r﹣KH=r﹣2,在Rt△OHQ中,OH2+QH2=QO2,∴(r﹣2)2+42=r2,解得:r=5;连接OE,取ED的中点T,连接OT,交AB于点S,连接PB,AM,过点O作OU⊥AM于点U.连接OA.由△OUN∽△NPM,可得==,∴OU=.MN=2,∴NU=,∴AU==,∴AN=AU﹣NU=2,∴AN=MN,∵AB∥PN,∴AB⊥OT,∴AS=SB,∴NS∥BM,∴NS∥MP,∴M,P,B共线,又NB=NA,∴∠ABM=90°,∵MN=NB,NP⊥MP,∴MP=PB=2,∴NS=MB=2,∵KH+HN=2+4=6,∴ON=6﹣5=1,∴OS=3,∵,设EF=ST=a,则,在Rt△OET中,OE2=OT2+TE2,即,整理得5a2+12a﹣32=0,即(a+4)(5a﹣8)=0,解得:或a=﹣4,∴题字区域的面积为.故答案为:.一十五.轴对称-最短路线问题(共1小题)20.(2023•安徽)如图,E是线段AB上一点,△ADE和△BCE是位于直线AB同侧的两个等边三角形,点P,F分别是CD,AB的中点.若AB=4,则下列结论错误的是()A.P A+PB的最小值为3B.PE+PF的最小值为2C.△CDE周长的最小值为6D.四边形ABCD面积的最小值为3【分析】延长AD,BC交于M,过P作直线l∥AB,由△ADE和△BCE是等边三角形,可得四边形DECM 是平行四边形,而P为CD中点,知P为EM中点,故P在直线l上运动,作A关于直线l的对称点A',连接A'B,当P运动到A'B与直线l的交点,即A',P,B共线时,P A+PB=P A'+PB最小,即可得P A+PB 最小值A'B==2,判断选项A错误;由PM=PE,即可得当M,P,F共线时,PE+PF 最小,最小值为MF的长度,此时PE+PF的最小值为2,判断选项B正确;过D作DK⊥AB于K,过C作CT⊥AB于T,由△ADE和△BCE是等边三角形,得KT=KE+TE=AB=2,有CD≥2,故△CDE周长的最小值为6,判断选项C正确;设AE=2m,可得S四边形ABCD=(m﹣1)2+3,即知四边形ABCD面积的最小值为3,判断选项D正确.【解答】解:延长AD,BC交于M,过P作直线l∥AB,如图:∵△ADE和△BCE是等边三角形,∴∠DEA=∠MBA=60°,∠CEB=∠MAB=60°,∴DE∥BM,CE∥AM,∴四边形DECM是平行四边形,∵P为CD中点,∴P为EM中点,∵E在线段AB上运动,∴P在直线l上运动,由AB=4知等边三角形ABM的高为2,∴M到直线l的距离,P到直线AB的距离都为,作A关于直线l的对称点A',连接A'B,当P运动到A'B与直线l的交点,即A',P,B共线时,P A+PB =P A'+PB最小,此时P A+PB最小值A'B===2,故选项A错误,符合题意;∵PM=PE,∴PE+PF=PM+PF,∴当M,P,F共线时,PE+PF最小,最小值为MF的长度,∵F为AB的中点,∴MF⊥AB,∴MF为等边三角形ABM的高,∴PE+PF的最小值为2,故选项B正确,不符合题意;过D作DK⊥AB于K,过C作CT⊥AB于T,如图,∵△ADE和△BCE是等边三角形,∴KE=AE,TE=BE,∴KT=KE+TE=AB=2,∴CD≥2,∴DE+CE+CD≥AE+BE+2,即DE+CE+CD≥AB+2,∴DE+CE+CD≥6,∴△CDE周长的最小值为6,故选项C正确,不符合题意;设AE=2m,则BE=4﹣2m,∴AK=KE=m,BT=ET=2﹣m,DK=AK=m,CT=BT=2﹣m,∴S△ADK=m•m=m2,S△BCT=(2﹣m)(2﹣m)=m2﹣2m+2,S梯形DKTC =(m+2﹣m)•2=2,∴S四边形ABCD=m2+m2﹣2m+2+2=m2﹣2m+4=(m﹣1)2+3,∴当m=1时,四边形ABCD面积的最小值为3,故选项D正确,不符合题意;故选:A.一十六.翻折变换(折叠问题)(共2小题)21.(2023•乐至县)如图,在平面直角坐标系xOy中,边长为2的等边△ABC的顶点A、B分别在x轴、y 轴的正半轴上移动,将△ABC沿BC所在直线翻折得到△DBC,则OD的最大值为+1.【分析】过点D作DF⊥AB,交AB延长线于点F,取AB的中点E,连接DE,OE,OD,在Rt△ABO 中利用斜边中线性质求出OE,根据OE+DE≥OD确定当D、O、E三点共线时OD最大,最大值为OD =OE+DE.【解答】解:如图,过点D作DF⊥AB,交AB延长线于点F,取AB的中点E,连接DE,OE,OD,∵等边三角形ABC的边长为2,∴AB=2,∠ABC=60°,由翻折可知:∠DBC=∠ABC=60°,DB=AB=2,∴∠DBF=60°,∵DF⊥AB,∴∠DFB=90°,∴∠BDF=30°,∴BF=BD=1,∴DF=BF=,∵E是AB的中点,∴AE=BE=OE=AB=1,∴EF=BE+BF=2,∴DE===,∴OD≤DE+OE=+1,∴当D、E、O三点共线时OD最大,最大值为+1.故答案为:+1.22.(2023•南京)如图,在菱形纸片ABCD中,点E在边AB上,将纸片沿CE折叠,点B落在B′处,CB′⊥AD,垂足为F.若CF=4cm,FB′=1cm,则BE=cm.【分析】作EH⊥BC于点H,由CF=4cm,FB′=1cm,求得B′C=5cm,由折叠得BC=B′C=5cm,由菱形的性质得BC∥AD,DC=BC=5cm,∠B=∠D,因为CB′⊥AD于点F,所以∠BCB′=∠CFD =90°,则∠BCE=∠B′CE=45°,DF==3cm,所以∠HEC=∠BCE=45°,则CH=EH,由=sin B=sin D=,=cos B=cos D=,得CH=EH=BE,BH=BE,于是得BE+BE =5,则BE=cm.【解答】解:作EH⊥BC于点H,则∠BHE=∠CHE=90°,∵CF=4cm,FB′=1cm,∴B′C=CF+FB′=4+1=5(cm),由折叠得BC=B′C=5cm,∠BCE=∠B′CE,∵四边形ABCD是菱形,∴BC∥AD,DC=BC=5cm,∠B=∠D,∵CB′⊥AD于点F,∴∠BCB′=∠CFD=90°,∴∠BCE=∠B′CE=∠BCB′=×90°=45°,DF===3(cm),∴∠HEC=∠BCE=45°,∴CH=EH,∵=sin B=sin D==,=cos B=cos D==,∴CH=EH=BE,BH=BE,∴BE+BE=5,∴BE=cm,故答案为:.一十七.旋转的性质(共1小题)23.(2023•西宁)如图,在矩形ABCD中,点P在BC边上,连接P A,将P A绕点P顺时针旋转90°得到P A′,连接CA′,若AD=9,AB=5,CA′=2,则BP=2.【分析】过A′点作A′H⊥BC于H点,如图,根据旋转的性质得到P A=P A′,再证明△ABP≌△PHA′得到PB=A′H,PH=AB=5,设PB=x,则A′H=x,CH=4﹣x,然后在Rt△A′CH中利用勾股定理得到x2+(4﹣x)2=(2)2,于是解方程求出x即可.【解答】解:过A′点作A′H⊥BC于H点,如图,∵四边形ABCD为矩形,∴BC=AD=9,∠B=90°,∵将P A绕点P顺时针旋转90°得到P A′,∴P A=P A′,∵∠P AB+∠APB=90°,∠APB+∠A′PH=90°,∴∠P AB=∠A′PH,在△ABP和△PHA′中,,∴△ABP≌△PHA′(AAS),∴PB=A′H,PH=AB=5,设PB=x,则A′H=x,CH=9﹣x﹣5=4﹣x,在Rt△A′CH中,x2+(4﹣x)2=(2)2,解得x1=x2=2,即BP的长为2.故答案为:2.一十八.相似三角形的判定与性质(共2小题)24.(2023•杭州)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A<90°,点D,E,F分别在边AB,BC,CA上,连接DE,EF,FD,已知点B和点F关于直线DE对称.设=k,若AD=DF,则=(结果用含k的代数式表示).【分析】方法一:先根据轴对称的性质和已知条件证明DE∥AC,再证△BDE∽△BAC,推出EC=k•AB,通过证明△ABC∽△ECF,推出CF=k2•AB,即可求出的值.方法二:证明AD=DF=BD,可得BF⊥AC,设AB=AC=1,BC=k,CF=x,则AF=1﹣x,利用勾股定理列方程求出x的值,进而可以解决问题.【解答】解:方法一:∵点B和点F关于直线DE对称,∴DB=DF,∵AD=DF,∴AD=DB,∵AD=DF,∴∠A=∠DF A,∵点B和点F关于直线DE对称,∴∠BDE=∠FDE,∵∠BDE+∠FDE=∠BDF=∠A+∠DF A,∴∠FDE=∠DF A,∴DE∥AC,∴∠C=∠DEB,∠DEF=∠EFC,∵点B和点F关于直线DE对称,∴∠DEB=∠DEF,∴∠C=∠EFC,∵AB=AC,∴∠C=∠B,∵∠ACB=∠EFC,∴△ABC∽△ECF,∴=,∵DE∥AC,∴∠BDE=∠A,∠BED=∠C,∴△BDE∽△BAC,∴==,∴EC=BC,∵=k,∴BC=k•AB,∴EC=k•AB,∴=,∴CF=k2•AB,∴====.方法二:如图,连接BF,∵点B和点F关于直线DE对称,∴DB=DF,∵AD=DF,∴AD=DB=DF,∴BF⊥AC,设AB=AC=1,则BC=k,设CF=x,则AF=1﹣x,由勾股定理得,AB2﹣AF2=BC2﹣CF2,∴12﹣(1﹣x)2=k2﹣x2,∴x=,∴AF=1﹣x=,∴=.故答案为:.25.(2023•广东)边长分别为10,6,4的三个正方形拼接在一起,它们的底边在同一直线上(如图),则图中阴影部分的面积为15.【分析】根据相似三角形的性质,利用相似比求出梯形的上底和下底,用面积公式计算即可.【解答】解:如图,∵BF∥DE,∴△ABF∽△ADE,∴=,∵AB=4,AD=4+6+10=20,DE=10,∴=,∴BF=2,∴GF=6﹣2=4,∵CK∥DE,∴△ACK∽△ADE,∴=,∵AC=4+6=10,AD=20,DE=10,∴=,∴CK=5,∴HK=6﹣5=1,∴阴影梯形的面积=(HK+GF)•GH=(1+4)×6=15.故答案为:15.一十九.相似三角形的应用(共1小题)26.(2023•南京)如图,不等臂跷跷板AB的一端A碰到地面时,另一端B到地面的高度为60cm;当AB 的一端B碰到地面时,另一端A到地面的高度为90cm,则跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH是()A.36cm B.40cm C.42cm D.45cm【分析】过点B作BC⊥AH,垂足为C,再证明A字模型相似△AOH∽△ABC,从而可得=,过点A作AD⊥BH,垂足为D,然后证明A字模型相似△ABD∽△OBH,从而可得=,最后进行计算即可解答.【解答】解:如图:过点B作BC⊥AH,垂足为C,∵OH⊥AC,BC⊥AC,∴∠AHO=∠ACB=90°,∵∠BAC=∠OAH,∴△AOH∽△ABC,∴=,∴=,如图:过点A作AD⊥BH,垂足为D,∵OH⊥BD,AD⊥BD,∴∠OHB=∠ADB=90°,∵∠ABD=∠OBH,∴△ABD∽△OBH,∴=,∴=,∴+=+,∴+=,∴+=1,解得:OH=36,∴跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH是36cm,故选:A.二十.解直角三角形(共1小题)27.(2023•丹东)如图,在平面直角坐标系中,点O是坐标原点,已知点A(3,0),B(0,4),点C在x 轴负半轴上,连接AB,BC,若tan∠ABC=2,以BC为边作等边三角形BCD,则点C的坐标为(﹣2,0);点D的坐标为(﹣1﹣2,2+)或(﹣1+2,2﹣).【分析】过点C作CE⊥AB于E,先求处AB=5,再设BE=t,由tan∠ABC=2得CE=2t,进而得BC =,由三角形的面积公式得S△ABC=AC•OB=AB•CE,即5×2t=4×(3+OC),则OC=﹣3,然后在Rt△BOC中由勾股定理得,由此解出t1=2,t2=10(不合题意,舍去),此时OC=﹣3=2,故此可得点C的坐标;设点D的坐标为(m,n),由两点间的距离公式得:BC2=20,BD2=(m﹣0)2+(n﹣4)2,CD2=(m+2)2+(n﹣0)2,由△BCD为等边三角形得,整理:,②﹣①整理得m=3﹣2n,将m=3﹣2n代入①整理得n2﹣4n+1=0,解得n=,进而再求出m即可得点D的坐标.【解答】解:过点C作CE⊥AB于E,如图:∵点A(3,0),B(0,4),由两点间的距离公式得:AB==5,设BE=t,∵tan∠ABC=2,在Rt△BCE中,tan∠ABC=,∴=2,∴CE=2t,由勾股定理得:BC==t,∵CE⊥AB,OB⊥AC,AC=OC+OA=3+OC,∴S△ABC=AC•OB=AB•CE,即:5×2t=4×(3+OC),∴OC=﹣3,在Rt△BOC中,由勾股定理得:BC2﹣OB2=OC2,即,整理得:t2﹣12t+20=0,解得:t1=2,t2=10(不合题意,舍去),∴t=2,此时OC=﹣3=2,∴点C的坐标为(﹣2,0),设点D的坐标为(m,n),由两点间的距离公式得:BC2=(﹣2﹣0)2+(0﹣4)2=20,BD2=(m﹣0)2+(n﹣4)2,CD2=(m+2)2+(n﹣0)2,∵△BCD为等边三角形,∵BD=CD=BC,∴,整理得:,②﹣①得:4m+8n=12,∴m=3﹣2n,将m=3﹣2n代入①得:(3﹣2n)2+n2﹣8n=4,整理得:n2﹣4n+1=0,解得:n=,当n=时,m=3﹣2n=,当n=时,m=3﹣2n=,∴点D的坐标为或.故答案为:(﹣2,0);或.二十一.解直角三角形的应用(共1小题)28.(2023•杭州)第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”.如图,在由四个全等的直角三角形(△DAE,△ABF,△BCG,△CDH)和中间一个小正方形EFGH 拼成的大正方形ABCD中,∠ABF>∠BAF,连接BE.设∠BAF=α,∠BEF=β,若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1:n,tanα=tan2β,则n=()A.5B.4C.3D.2【分析】设AE=a,DE=b,则BF=a,AF=b,解直角三角形可得,化简可得(b﹣a)2=ab,a2+b2=3ab,结合勾股定理及正方形的面积公式可求得S正方形EFGH;S正方形ABCD=1:3,进而可求解n的值.【解答】解:设AE=a,DE=b,则BF=a,AF=b,∵tanα=,tanβ=,tanα=tan2β,∴,∴(b﹣a)2=ab,∴a2+b2=3ab,∵a2+b2=AD2=S正方形ABCD,(b﹣a)2=S正方形EFGH,∴S正方形EFGH:S正方形ABCD=ab:3ab=1:3,∵S正方形EFGH:S正方形ABCD=1:n,∴n=3.故选:C.。
2024年九年级中考数学压轴题-圆中的新定义问题(解析版)
圆中的新定义问题1(2023•淮安模拟)在平面直角坐标系xOy 中,对于点P 和线段AB ,若线段PA 或PB 的垂直平分线与线段AB 有公共点,则称点P 为线段AB 的融合点.(1)已知A (3,0),B (5,0),①在点P 1(6,0),P 2(1,-2),P 3(3,2)中,线段AB 的融合点是 P 1,P 3 ;②若直线y =t 上存在线段AB 的融合点,求t 的取值范围;(2)已知⊙O 的半径为4,A (a ,0),B (a +1,0),直线l 过点T (0,-1),记线段AB 关于l 的对称线段为A B .若对于实数a ,存在直线l ,使得⊙O 上有A B 的融合点,直接写出a 的取值范围.【解答】解:(1)①∵P 1(6,0),A (3,0),∴P 1A 的线段垂直平分线与x 轴的交点为92,0,∴P 1是线段AB 的融合点;∵P 2(1,-2),B (5,0),设直线P 2B 的垂直平分线与x 轴的交点为(a ,0),∴(a -1)2+4=(5-a )2,解得a =52,∴直线P 2B 的垂直平分线与x 轴的交点为52,0,∴P 2不是线段AB 的融合点;∵P 3(3,2),B (5,0),设直线P 3B 的垂直平分线与x 轴的交点为(b ,0),∴(b -3)2+4=(5-b )2,解得b =3,∴直线P 3B 的垂直平分线与x 轴的交点为(3,0),∴P 3是线段AB 的融合点;故答案为:P 1,P 3;②线段AB 的融合点在以A 、B 为圆心,AB 为半径的圆及内部,∵A (3,0),B (5,0),∴AB =2,当y =t 与圆相切时,t =2或t =-2,∴-2≤t ≤2时,直线y =t 上存在线段AB 的融合点;(2)由(1)可知,A B 的融合点在以A 、B 为圆心,A B 为圆心的圆及内部,∵A (a ,0),B (a +1,0),∴AB =A B =1,∵⊙O 上有A B 的融合点,∴圆O 与圆A 、B 有交点,∴圆O 与圆A 、圆B 的公共区域为以O 为圆心2为半径,以O 为圆心6为半径的圆环及内部区域,当a >0时,a 的最大值为62-12=35,最小值为22-12-1=3-1,∴3-1≤a ≤35;当a <0时,a 的最大值为-22-12=-3,最小值为-62-12-1=-35-1,∴-35-1≤a ≤-3;综上所述:a 的取值范围为3-1≤a ≤35或-35-1≤a ≤-3.2(2023•西城区校级模拟)在平面内,C 为线段AB 外的一点,若以点A ,B ,C 为顶点的三角形为直角三角形,则称C 为线段AB 的直角点.特别地,当该三角形为等腰直角三角形时,称C 为线段AB 的等腰直角点.(1)如图1,在平面直角坐标系xOy 中,点M 的坐标为(-1,0),点N 的坐标为(1,0),在点P 1(2,1),P 2(-1,2),P 332,12 中,线段MN 的直角点是 P 2、P 3 ;(2)在平面直角坐标系xOy 中,点A ,B 的坐标分别为(t ,0),(0,4).①若t =4,如图2所示,若C 是线段AB 的直角点,且点C 在直线y =-x +8上,求点C 的坐标;②如图3,点D 的坐标为(m ,-2),⊙D 的半径为1,若⊙D 上存在线段AB 的等腰直角点,求出m 的取值范围.【解答】解:(1)∵P 2(-1,2),M (-1,0),∴P 2M ⊥MN ,∴P 2是线段MN 的直角点;∵M (-1,0),N (1,0),∴MN =2,∵P 332,12,∴P 3O =1,∴P 3在以O 为圆心,MN 为直径的圆上,∴∠MP 3N =90°,∴P 3是线段MN 的直角点;故答案为:P 2、P 3;(2)①∵A (4,0),B (0,4),∴OA =OB =4,∴∠OAB =∠OBA =45°.根据题意,若点C 为线段AB 的直角点,则需要分三种情况:当点B 为直角顶点,过点B 作BC 1⊥AB 于点C 1,过点C 1作C 1M ⊥y 轴于点M ,∴∠C 1BM =45°,∴C 1M =BM ,设C 1M =BM =a ,∴C 1(a ,a +4),∴-a +8=a +4,解得a =2,∴C 1(2,6);当点A 为直角顶点,过点A 作AC 2⊥AB 于点C 2,过点C 2作C 2N ⊥x 轴于点N ,∴∠C 2AN =45°,∴C 2N =AN ,设C 2N =AN =b ,∴C 2(b +4,b ),∴-(b +4)+8=b ,解得b =2,∴C 2(6,2);当点C 为直角顶点,取AB 的中点P ,则P (2,2),设C 3的横坐标为t ,则C 3(t ,-t +8),由直角三角形的性质可知,C 3P =BP =AP =22,∴(t -2)2+(-t +6)2=(22)2,解得t =4,∴C3(4,4),综上,点C的坐标为(2,6)或(6,2)或(4,4).②如图,以AB为边向下作正方形ABC1C2,连接AC1,BC2交于点C3,则C1,C2,C3是线段AB的等腰直角点.根据点A的运动可知,点C1在直线l1:x=-4上运动,C2在直线l2:y=-x-4上运动,C3在直线l3:y=-x上运动.设l2与y=-2相交于点K,l3与y=-2相交于点L,∴K(2,-2),L(2,-2).由此可得出临界情况如图:如图3(1)中,当⊙D与l1相切时,m=-5;如图3(2)中,当⊙D与l2相切时,点F为切点,连接DF,则ΔDFK为等腰直角三角形,且DF=1,∴DK=2;∴D(-2+2,-2),即m=-2+2;如图3(3)中,当⊙D与l3相切时,点G为切点,连接DG,则ΔDGL为等腰直角三角形,且DG=1,∴DL=2;∴D(2-2,-2),即m=2-2;如图3(4)中,当⊙D与l3相切时,点H为切点,连接DH,则ΔDHL为等腰直角三角形,且DH=1,∴DL=2;∴D(2+2,-2),即m=2+2;综上,符合题意的m的取值范围:-5≤m≤-2+2或2-2≤m≤2+2.3(2023•秀洲区校级二模)婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家,他在三角形、四边形、零和负数的运算规则,二次方程等方面均有建树,他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形,我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”;(1)若平行四边形ABCD是“婆氏四边形”,则四边形ABCD是③.(填序号)①矩形②菱形③正方形(2)如图1,RtΔABC中,∠BAC=90°,以AB为弦的⊙O交AC于D,交BC于E,连接DE、AE、BD,AB=6,sin C=35,若四边形ABED是“婆氏四边形”,求DE的长;(3)如图2,四边形ABCD为⊙O的内接四边形,连接AC,BD,OA,OB,OC,OD,已知∠BOC+∠AOD= 180°,①求证:四边形ABCD是“婆氏四边形”;②当AD+BC=4时,求⊙O半径的最小值.【解答】(1)解:∵平行四边形ABCD为⊙O的内接四边形,∴∠ABC=∠ADC,∠ABC+∠ADC=180°,∴∠ABC=∠ADC=90°,∴平行四边形ABCD是矩形,∵四边形ABCD是“婆氏四边形”,∴AC⊥BD,∴矩形ABCD是正方形,故答案为:③;(2)解:∵∠BAC=90°,AB=6,sin C=35,∴BC=10,AC=8,∴BD为直径,∴∠BED =∠DEC =90°,∵四边形ABED 是“婆氏四边形”,∴AE ⊥BD ,∴AD =DE ,AB =BE =6,设AD =DE =m ,则CD =8-m ,EC =4,在Rt ΔEDC 中,m 2+42=(8-m )2,解得m =3,∴DE =3;(3)①证明:如图2,设AC ,BD 相交于点E ,∵∠DCA =12∠AOD ,∠BDC =12∠BOC ,∠BOC +∠AOD =180°,∴∠DCA +∠BDC =12(∠AOD +∠BOC )=12×180°=90°,∴∠CED =90°,∴AC ⊥BD ,∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形,∴四边形ABCD 是“婆氏四边形”;②解:过点O 作OM ⊥AD 交于M ,过O 作ON ⊥BC 交于N ,∴AM =12AD ,BN =12BC ,∠AMO =∠BNO =90°,∴∠AOM +∠OAM =90°,∵OA =BO =CO =DO ,∴∠AOM =12∠AOD ,∠BON =12∠BOC ,∵∠BOC +∠AOD =180°,∴∠AOM =∠OBN ,∴ΔOAM ≅ΔBON (AAS ),∴ON =AM =12AD ,∵AD +BC =4,设ON =AM =n ,则AD =2n ,BC =4-2n ,BN =2-n ,在Rt ΔBON 中,BO =n 2+(2-n )2=2(n -1)2+2,当n =1时,BO 有最小值2,∴⊙O 半径的最小值为2.4(2022秋•西城区期末)给定图形W 和点P ,Q ,若图形W 上存在两个不重合的点M ,N ,使得点P 关于点M 的对称点与点Q 关于点N 的对称点重合,则称点P 与点Q 关于图形W 双对合.在平面直角坐标系xOy 中,已知点A (-1,-2),B (5,-2),C (-1,4).(1)在点D (-4,0),E (2,2),F (6,0)中,与点O 关于线段AB 双对合的点是 D ,F ;(2)点K 是x 轴上一动点,⊙K 的直径为1,①若点A 与点T (0,t )关于⊙K 双对合,求t 的取值范围;②当点K 运动时,若ΔABC 上存在一点与⊙K 上任意一点关于⊙K 双对合,直接写出点K 的横坐标k 的取值范围.【解答】解:(1)当A 点是D 点的中点时,对应点为(2,-4);当B 点是D 点的中点时,对应点为(14,-4);当A 点是E 点的中点时,对应点为(-4,-6);当B 点是E 点的中点时,对应点为(8,-6);当A 点是F 点的中点时,对应点为(-8,-4);当B 点是F 点的中点时,对应点为(4,-4);当A 点是O 点的中点时,对应点为(-2,-4);当B 点是O 点的中点时,对应点为(10,-4);∴D 、F 与点O 关于线段AB 双对合,故答案为:D 、F ;(2)①设K(k,0),∵A(-1,-2),T(0,t),∴A点关于K点对称点G为(2k+1,2),T点关于K点对称点H为(2k,-t),∵点A与点T(0,t)关于⊙K双对合,∴A点关于点K的对称点在以G为圆心,∵⊙K的直径为1,∴点A关于点K的对称点在以G点为圆心,1为半径的圆上,点T关于点K的对称点在以H为圆心,1为半径的圆上,如图所示,∵点A与点T(0,t)关于⊙K双对合,∴当圆G与圆H有交点,∵GH=1+(t+2)2,∴1+(t+2)2≤2,解得-2-3≤t≤-2+3;②∵A(-1,-2),B(5,-2),C(-1,4),K(k,0),∴A点关于K点的对称点F(2k+1,2),B点关于K点的对称点E(2k-5,2),C点关于K点的对称点G(2k+1, -4),∴ΔABC上任意一点关于K点对称点在阴影区域,∵ΔABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合,∴阴影区域与圆K有公共交点,∵阴影部分是由ΔEGF边上任意一点为圆心,1为半径的圆构成的区域,如图1时,k-(2k+1)=12+1,解得k=-52;如图2时,2k+1-k=12+1,解得k=12;∴-52≤k≤12时,ΔABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合;过点K作KN⊥EG交于N,直线EG交x轴于点M,设直线EG的解析式为y=k x+b,∴(2k-5)k +b=2 (2k+1)k +b=-4 ,解得k =-1b=2k-3 ,∴y=-x+2k-3,∴M(2k-3,0),∵直线y=-x与y=-x+2k-3平行,∴∠KMN=45°,∴KM=2KN=322,如图3时,k-(2k-3)=322,解得k=3-322,如图4时,2k-3-k=322,解得k=3+322,∴3-322≤k≤3+322时,ΔABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合;综上所述:-52≤k≤12或3-322≤k≤3+322时,ΔABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合.5(2022•钟楼区模拟)概念认识:平面内,M为图形T上任意一点,N为⊙O上任意一点,将M、N两点间距离的最小值称为图形T到⊙O的“最近距离”,记作d(T-⊙O).例:如图1,在直线l上有A、C、O三点,以AC为对角线作正方形ABCD,以点O为圆心作圆,与l交于E、F两点,若将正方形ABCD记为图形T,则C、E两点间的距离称为图形T到⊙的“最近距离”.数学理解:(1)在平面内有A、B两点,以点A为圆心,5为半径作⊙A,将点B记为图形T,若d(T-⊙A)=2,则AB= 3或7.(2)如图2,在平面直角坐标系中,以O(0,0)为圆心,半径为2作圆.①将点C(4,3)记为图形T,则d(T-⊙O)=.②将一次函数y=kx+22的图记为图形T,若d(T-⊙)>0,求k的取值范围.推广运用:(3)在平面直角坐标系中,P的坐标为(t,0),⊙P的半径为2,D、E两点的坐标分别为(5,5)、(5,-5),将ΔDOE记为图形T,若d(T-⊙P)=1,则t=.【解答】解:(1)如图1中,∵d(T-⊙A)=2,∴CB=CB′=2,∵AC=5,∴AB′=5-2=3,AB=5+2=7.故答案为:3或7.(2)①如图2中,连接OC交⊙O于E.∵C(4,3),∴OC=42+32=5,∵OE=2,∴EC=3,∴d(T-⊙O)=3.故答案为:3.②如图,设直线y=kx+22与⊙O相切于E,K.连接OK,OE.∵OE⊥DE,OK⊥DK,OD=22,OE=OK=2,∴DK=OD2?OK2=(22)2-22=2,DE=OD2?OE2=(22)2-22=2,∴DE=OE=DK=OK,∴四边形DEOK是菱形,∵∠DKO=∠DEO=90°,∴四边形DEOK是正方形,∴∠ODE=∠ODK=45°,∴直线DE的解析式为y=-x+22,直线DK的解析式为y=x+22,∵d(T-⊙O)>0,∴观察图象可知满足条件的k的值为-1<k<1且k≠0.(3)如图3-1中,当点P在DE的右边时.∵D(5,5),∴∠DOP=45°,∵d(T-⊙P)=1,∴OP=5+1+2=8∴t=8.如图3-2中,当点P在∠DOE的外侧时,由题意可知OM=1,OP=1+2=3,t=-3.综上所述,满足条件的t的值为8或-3.6(2022秋•昌平区期末)已知:对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙O,⊙O的半径为4,交x轴于点A,B,对于点P给出如下定义:过点C的直线与⊙O交于点M,N,点P为线段MN的中点,我们把这样的点P叫做关于MN的“折弦点”.(1)若C(-2,0).①点P1(0,0),P2(-1,1),P3(2,2)中是关于MN的“折弦点”的是 P1,P2 ;②若直线y=kx+3(k≠0).上只存在一个关于MN的“折弦点”,求k的值;(2)点C在线段AB上,直线y=x+b上存在关于MN的“折弦点”,直接写出b的取值范围.【解答】解:(1)①连接OP,∵P点是弦MN的中点,∴OP⊥MN,∴∠CPO=90°,∴P点在以CO为直径的圆上,∵C(-2,0),∴P点在以(-1,0)为圆心,1为半径的圆上,∵点P1(0,0),P2(-1,1)在该圆上,∴点P1(0,0),P2(-1,1)是关于MN的“折弦点”,故答案为:P1,P2;②由①可知,P点在以(-1,0)为圆心,1为半径的圆上,设圆心D(-1,0),∵直线y=kx+3(k≠0)上只存在一个关于MN的“折弦点”,∴直线y=kx+3(k≠0)与圆D相切,过点D作DF垂直直线y=kx+3交于点F,∵直线y=kx+3与x轴交于点E-3k,0,与y轴交于点G(0,3),∴DE=-1+3k,OF=3k,OG=3,∵∠DFE=∠EOG=90°,∴ΔEGO∽ΔEFD,∴DF GO =ED EG,∴13=3k-13+3k2,解得k=3 3;(2)由(1)可知,P点在以OC为直径的圆上,∵直线y=x+b上存在关于MN的“折弦点”,∴直线y=x+b与圆D相交或相切,过D点作DF垂直直线y=x+b交于点F,∵直线y=x+b与x轴交于点(-b,0),与y轴交于点(0,b),当C点与A点重合时,b有最大值,此时D(-2,0),∴(-2+b)2=8,解得b=22+2或b=22+2(舍);当C点与B点重合时,b有最小值,此时D(2,0),∴(-b-2)2=8,解得b=22-2(舍)或b=-22-2;∴-22-2≤b≤22+2时,直线y=x+b上存在关于MN的“折弦点”.7(2022秋•东城区校级月考)如图,在平面直角坐标系xOy中,过⊙T外一点P引它的两条切线,切点分别为M,N,若60°<∠MPN<180°,则称P为⊙T的环绕点.(1)当⊙O半径为1时,①在P1(2,2),P2(2,0),P3(2,1)中,⊙O的环绕点是 P1 ;②直线y=3x+b与x轴交于点A,y轴交于点B,若线段AB上存在⊙O的环绕点,求b的取值范围;(2)⊙T的半径为2,圆心为(0,t),以-m,33m(m>0)为圆心,33m为半径的所有圆构成图形H,若在图形H上存在⊙T的环绕点,直接写出t的取值范围.【解答】解:(1)①如图,PM,PN是⊙T的两条切线,M,N为切点,连接TM,TN,当∠MPN=60°时,∵PT平分∠MPN,∴∠TPN=∠MPT=30°,∵TM⊥PM,TN⊥PN,∴∠TNP=∠PMT=90°,∴TP =2TM =2,以T 为圆心,TP 为半径作⊙T .观察图象可知:当60°<∠MPN <180°时,⊙T 的环绕点在图中的圆环内部(包括大圆上的点不包括小圆上的点),故答案为:P 1;②如图中,设小圆交y 轴的正半轴于F ,当直线y =3x +b 经过点F 时,b =1,当直线y =3x +b 与大圆相切于K (在第二象限)时,连接OK ,由题意B (0,b ),A -b 3,0,所以OB =b ,OA =b 3,AB =103b ,∵OK =2,12×AB ×OK =12×OA ×OB ,∴b =210,观察图象可知,当1<b <210时,线段AB 上存在⊙的环绕点,根据对称怀可知:当-210<b <-1时,线段AB 上存在⊙的环绕点,综上所述,满足条件的b 的值为1<b <210或-210<b <-1;(2)如图中,不妨设E -m ,33m (m >0),则点E 直线y =-33x 上,∵m >0,∴点E 在射线OE 上运动,作EM ⊥x 轴;∵E -m ,33m (m >0),∴OM =m ,EM =33m ,以E -m ,33m (m >0)为圆心,33m 为半径的⊙E 与x 轴相切,作⊙E 的切线ON ,观察图象可知:以E -m ,33m (m >0)为圆心,33m 为半径的所有圆构成图形H ,图形H 即为∠MON 的内部,包括射线OM ,ON 上,当⊙T 的圆心在y 轴的正半轴上时,假设以T 为圆心,4为半径的圆与射线ON 相切于D ,连接TD ,∵tan ∠EOM =EM OM=33,∴∠EOM =30°,∵OM ,ON 是⊙E 的切线,∴∠EON =∠EOM =30°.∴∠TOD =30°,∴OT =2DT =8,∴T (0,8),当⊙T 的圆心在y 轴的负半轴上时,且经过点O (0.0)时,T (0,-4),观察图象可知,当-4<t <8时,在图象上存在⊙T 的环绕点.8(2022秋•海淀区校级月考)对于平面直角坐标系中的线段AB 和点P (点P 不在线段AB 上),给出如下定义:当PA =PB 时,过点A (或点B )向直线PB (或PA )作垂线段,则称此垂线段为点P 关于线段AB 的“测度线段”,垂足称为点P 关于线段AB 的“测度点”.如图所示,线段AD 和BC 为点P 关于线段AB 的“测度线段”,点C 与点D为点P关于线段AB的“测度点”.(1)如图,点M(0,4)、N(2,0),①点P的坐标为(5,4),直接写出点P关于线段MN的“测度线段”的长度4;②点H为平面直角坐标系中的一点,且HM=HN,则下列四个点:Q1(0,0),Q2(3,3),Q3(1,0),Q4(0,4)中,是点H 关于线段MN的“测度点”的是;(2)直线y=-34x+6与x轴、y轴分别交于点A与点B,①点G为平面直角坐标系中一点,且GA=GB,若一次函数y=kx-14k+3上存在点G关于线段AB的“测度点”,直接写出k的取值范围为;②⊙O的半径为r,点C与点D均在⊙O上,且线段CD=65r.点K与点O位于线段CD的异侧,且KC=KD,若在线段AB上存在点K关于线段CD的“测度点”,直接写出r的取值范围为.【解答】解:(1)①∵M(0,4)、P(5,4),∴MP⎳x轴,∴点P关于线段MN的“测度线段”的长度为4,故答案为:4;②∵过点N作NF⊥MH交于F点,过点M作MG⊥NH交于点G,∵∠MFN=∠MGN=90°,∴F、G点在以MN为直径的圆上,设MN的中点为E,∵点M(0,4)、N(2,0),∴E(1,2),MN=25,∴点H关于线段MN的“测度点”在以E为圆心,5为半径的圆上,且不与M、N重合,∵Q1(0,0),Q2(3,3),Q3(1,0),Q4(0,4)中,Q1E=5,Q2E=5,Q3E=2,Q4E=5,∴Q1,Q2是点H关于线段MN的“测度点”,故答案为:Q1,Q2;(2)①当x=0时,y=6,∴B(0,6),当y=0时,x=8,∴A(8,0),∴AB的中点F(4,3),AB=10,由(1)可知,点G关于线段AB的“测度点”在以F为圆心,5为半径的圆上,且不与A、B点重合,∵一次函数y=kx-14k+3上存在点G关于线段AB的“测度点”,∴直线y=kx-14k+3与圆F相切或相交,过点F作FK垂直直线y=kx-14k+3交于点K,直线与y轴的交点为T,过点F作FL⎳KT交于交y轴于点L,过点L作SL⊥KT交于点S,∴LS =FK =5,∴LF 的直线解析式为y =kx -4k +3,∴L (0,-4k +3),T (0,-14k +3),∴TL =-10k ,∵sin ∠LTS =5-10k =11+k 2,∴k =±33,∴-33≤k ≤33时,一次函数y =kx -14k +3上存在点G 关于线段AB 的“测度点”,故答案为:-33≤k ≤33;②由(1)可知,K 点关于线段CD 的“测度点”在以CD 为直角的半圆上,且不与C 、D 重合,当CD ⎳AB ,且AB 与圆P 相切时,r 有最小值,由①可得,45=35r 6-r ,解得r =247,当CD 在AB 上时,r 有最大值,r =6,∴247≤r <6时,线段AB 上存在点K 关于线段CD 的“测度点”,故答案为:247≤r <6.9(2022•盐城一模)对于平面内的两点K 、L ,作出如下定义:若点Q 是点L 绕点K 旋转所得到的点,则称点Q 是点L 关于点K 的旋转点;若旋转角小于90°,则称点Q 是点L 关于点K 的锐角旋转点.如图1,点Q 是点L 关于点K 的锐角旋转点.(1)已知点A (4,0),在点Q 1(0,4),Q 2(2,23),Q 3(-2,23),Q 4(22,-22)中,是点A 关于点O 的锐角旋转点的是 Q 2,Q 4 .(2)已知点B (5,0),点C 在直线y =2x +b 上,若点C 是点B 关于点O 的锐角旋转点,求实数b 的取值范围.(3)点D 是x 轴上的动点,D (t ,0),E (t -3,0),点F (m ,n )是以D 为圆心,3为半径的圆上一个动点,且满足n ≥0.若直线y =2x +6上存在点F 关于点E 的锐角旋转点,请直接写出t 的取值范围.【解答】解:(1)如图,∵A (4,0),Q 1(0,4),∴OA =OQ 1=4,∠AOQ 1=90°,∴点Q 1不是点A 关于点O 的锐角旋转点;∵Q 2(2,23),作Q 2F ⊥x 轴于点F ,∴OQ 2=OF 2+Q 2F 2=22+(23)2=4=OA ,∵tan ∠Q 2OF =232=3,∴∠Q 2OF =60°,∴点Q 2是点A 关于点O 的锐角旋转点;∵Q 3(-2,23),作Q 3G ⊥x 轴于点G ,则tan ∠Q 3OG =Q 3G OG=232=3,∴∠Q3OG =60°,∴OQ 3=OG cos ∠Q 3OG =2cos60°=4=OA ,∵∠AOQ 3=180°-60°=120°,∴Q 3不是点A 关于点O 的锐角旋转点;∵Q 4(22,-22),作Q 4H ⊥x 轴于点H ,则tan ∠Q 4OH =Q 4H OH =2222=1,∴∠Q 4OH =45°,∵OQ 4=OH cos ∠Q 4OH =22cos45°=4=OA ,∴Q 4是点A 关于点O 的锐角旋转点;综上所述,在点Q 1,Q 2,Q 3,Q 4中,是点A 关于点O 的锐角旋转点的是Q 2,Q 4,故答案为:Q 2,Q 4.(2)在y 轴上取点P (0,5),当直线y =2x +b 经过点P 时,可得b =5,当直线y =2x +b 经过点B 时,则2×5+b =0,解得:b =-10,∴当-10<b <5时,OB 绕点O 逆时针旋转锐角时,点C 一定可以落在某条直线y =2x +b 上,过点O 作OG ⊥直线y =2x +b ,垂足G 在第四象限时,如图,则OT =-b ,OS =-12b ,∴ST =OS 2+OT 2=-12b 2+(-b )2=-52b ,当OG =5时,b 取得最小值,∵5×-52b =-b ×-12b ,∴b =-55,∴-55≤b <5.(3)根据题意,点F 关于点E 的锐角旋转点在半圆E 上,设点P 在半圆S 上,点Q 在半圆T 上(将半圆D 绕点E 旋转),如图3(1),半圆扫过的区域为图3(1)中阴影部分,如图3(2)中,阴影部分与直线y =2x +6相切于点G ,tan ∠EMG =2,SG =3,过点G 作GI ⊥x 轴于点I ,过点S 作SJ ⊥GI 于点J ,∴∠SGJ =∠EMG ,∴tan ∠SGJ =tan ∠EMG =2,∴GJ =355,SJ =655,∴GI =GJ +JI =3+355,∴MI =12GI =32+3510,∴OE =IE +MI -OM =352-32,即x E =t -3=352-32,解得t =352+32,如图3(3)中,阴影部分与HK 相切于点G ,tan ∠OMK =tan ∠EMH =2,EH =6,则MH =3,EM =35,∴x E =t -3=-3-35,解得t =-35,观察图象可知,-35≤t <3+352+32.10(2022秋•姜堰区期中)如图1,在平面内,过⊙T 外一点P 画它的两条切线,切点分别为M 、N ,若∠MPN ≥90°,则称点P 为⊙T 的“限角点”.(1)在平面直角坐标系xOy 中,当⊙O 半径为1时,在①P 1(1,0),②P 2-1,12,③P 3(-1,-1),④P 4(2,-1)中,⊙O 的“限角点”是②④;(填写序号)(2)如图2,⊙A 的半径为2,圆心为(0,2),直线l :y =-34x +b 交坐标轴于点B 、C ,若直线l 上有且只有一个⊙A 的“限角点”,求b 的值.(3)如图3,E (2,3)、F (1,2)、G (3,2),⊙D 的半径为2,圆心D 从原点O 出发,以2个单位/s 的速度沿直线l :y =x 向上运动,若ΔEFG 三边上存在⊙D 的“限角点”,请直接写出运动的时间t (s )的取值范围.【解答】解:(1)∵⊙O 半径为1,∴当P 为圆O 的“限角点”时,1<OP ≤2,∵OP 1=1,OP 2=52,OP 3=2,OP 4=5,∴⊙O 的“限角点”是P 2,P 3,故答案为:②③;(2)∵⊙A 的半径为2,∴当P 为圆A 的“限角点”时,2<AP ≤2,设直线l 上有且只有一个⊙O 的“限角点”P m ,-34m +b ,∴PA =2,此时AP ⊥BC ,令x =0,则y =b ,∴C (0,b ),令y =0,则x =43b ,∴B 43b ,0 ,∴tan ∠OCB =OB OC =43=AP CP ,∴CP =32,∴AC =52,∴|b -2|=52,∴b =92或b =-12;(3)∵圆心D 从原点O 出发,以2个单位/s 的速度沿直线l 移动,∴圆沿x 轴正方向移动t 个单位,沿y 轴正方向移动t 个单位,∴移动后D 点坐标为(t ,t ),设ΔEFG 边上的点P 是圆D 的“限角点”,则2<PD ≤2,在圆D 移动的过程中,当DF =2时,(t -1)2+(t -2)2=4,解得t =3-72或t =3+72,当t =3-72时,ΔEFG 边上开始出现⊙D 的“限角点”,当圆D 移动到E 点在圆上时,DE =2,(t -2)2+(t -3)2=2,解得t =5+32或t =5-32,∴3-72≤t <5-32时,ΔEFG 边上存在⊙D 的“限角点”,当圆D 再次移动到点F 在圆上时,DF =2,(t -2)2+(t -1)2=2,解得t =3+32或t 3-32,当t =3+32时,ΔEFG 三边上开始又要出现⊙D 的“限角点”;设直线EG 的解析式为y =kx +b ,直线y =x 与直线EG 的交点设为点H ,∴2k +b =33k +b=2 ,解得k =-1b =5 ,解得y =-x +5,联立方程组y =-x +5y =x,解得x =52y =52,∴H 52,52,当DH =2时,2t -52 2=4,解得t =2+52或t =-2+52,∴当t =2+52,ΔEFG 边上存在⊙D 的“限角点”,∴3+32<t ≤2+52时,ΔEFG 边上存在⊙D 的“限角点”;综上所述:3-72≤t <5-32或3+32<t ≤2+52时,ΔEFG 边上存在⊙D 的“限角点”.11(2022秋•西城区校级期中)在平面直角坐标系xOy中,已知点M(a,b),N.对于点P给出如下定义:将点P绕点M逆时针旋转90°,得到点P ,点P 关于点N的对称点为Q,称点Q为点P的“对应点”.(1)如图1,若点M在坐标原点,点N(1,1),①点P(-2,0)的“对应点”Q的坐标为 (2,0) ;②若点P的“对应点”Q的坐标为(-1,3),则点P的坐标为;(2)如图2,已知⊙O的半径为1,M是⊙O上一点,点N(0,2),若P(m,0)(m>1)为⊙O外一点,点Q为点P的“对应点”,连接PQ.①当点M(a,b)在第一象限时,求点Q的坐标(用含a,b,m的式子表示);②当点M在⊙O 上运动时,直接写出PQ长的最大值与最小值的积为.(用含m的式子表示)【解答】解:(1)①∵P(-2,0),∴P点绕点M逆时针旋转90°得到点P (0,-2),∵点P 关于点N的对称点为Q,∴Q(2,0);故答案为:(2,0);②∵Q的坐标为(-1,3),∴Q点关于N(1,1)的对称点为P (3,-1),将P 绕M点顺时针旋转90°得到点P,过P 作P F⊥x轴于点F,过点P作PE⊥x轴于点E,∵∠P OP=90°,∴∠POE+∠FOP =90°,∵∠EPO+∠EOP=90°,∴∠FOP =∠EPO,∵OP=OP ,∴ΔPOE≅△OP F(AAS),∴EO=P F=1,PE=OF=3,∴P(-1.-3),故答案为:(-1,-3);(2)①过点M作EF⊥x轴于点F,过点P 作P E⊥EF交于点E,由(1)可得ΔMPF≅△P ME(AAS),∴MF=EP ,FP=ME,∵M(a,b),P(m,0),∴EF=b+m-a,EP =b,∴P (a+b,b+m-a),∵点N(0,2),∴Q(-a-b,4-b-m+a);②P点绕O点逆时针旋转90°后得到点G,∴G(0,m),∵P (a+b,b+m-a),∴GP =2(a 2+b 2),∵M (a ,b )在圆O 上,∴a 2+b 2=1,∴GP =2,∴P 在以G 为圆心,2为半径的圆上,设G 点关于N 点的对称点为H ,则H (0,4-m ),∴QH =2(a 2+b 2)=2,∴Q 点在以H 为圆心2为半径的圆上,∴PQ 的最大值为PH +2,PQ 的最小值为PH -2,∴PQ 长的最大值与最小值的积为(PH +2)(PH -2)=2m 2-8m +14,故答案为:2m 2-8m +14.12(2022•秦淮区二模)【概念认识】与矩形一边相切(切点不是顶点)且经过矩形的两个顶点的圆叫做矩形的第Ⅰ类圆;与矩形两边相切(切点都不是顶点)且经过矩形的一个顶点的圆叫做矩形的第Ⅱ类圆.【初步理解】(1)如图①~③,四边形ABCD 是矩形,⊙O 1和⊙O 2都与边AD 相切,⊙O 2与边AB 相切,⊙O 1和⊙O 3都经过点B ,⊙O 3经过点D ,3个圆都经过点C .在这3个圆中,是矩形ABCD 的第Ⅰ类圆的是①,是矩形ABCD 的第Ⅱ类圆的是.【计算求解】(2)已知一个矩形的相邻两边的长分别为4和6,直接写出它的第Ⅰ类圆和第Ⅱ类圆的半径长.【深入研究】(3)如图④,已知矩形ABCD ,用直尺和圆规作图.(保留作图痕迹,并写出必要的文字说明)①作它的1个第Ⅰ类圆;②作它的1个第Ⅱ类圆.【解答】解:(1)由定义可得,①的矩形有一条边AD 与⊙O 1相切,点B 、C 在圆上,∴①是第Ⅰ类圆;②的矩形有两条边AD 、AB 与⊙O 2相切,点C 在圆上,∴②是第Ⅱ类圆;故答案为:①,②;(2)如图1,设AD =6,AB =4,切点为E ,过点O 作EF ⊥BC 交BC 于F ,交AD 于E ,连接BO ,设BO =r ,则OE =r ,OF =4-r ,由垂径定理可得,BF =CF =3,在Rt ΔBOF 中,r 2=(4-r )2+32,解得r =258;如图2,设AD =4,BC =6,切点为E ,过点O 作EF ⊥BC 交BC 于F ,交AD 于E ,连接BO ,设BO =r ,则OE =r ,OF =6-r ,由垂径定理可得,BF =CF =2,在Rt ΔBOF 中,r 2=(6-r )2+22,解得r =103;综上所述:第Ⅰ类圆的半径是258或103;如图3,AD =6,AB =4,过点O 作MN ⊥AD 交于点M ,交BC 于点N ,连接OC ,设AB 边与⊙O 的切点为G ,连接OG ,∴GO ⊥AB ,设OM =r ,则OC =r ,则ON =4-r ,∵OG =r ,∴BN =r ,∴NC =6-r ,在Rt ΔOCN 中,r 2=(4-r )2+(6-r )2,解得r =10-43,∴第Ⅱ类圆的半径是10-43;(3)①如图4,第一步,作线段AD 的垂直平分线交AD 于点E ,第二步,连接EC ,第三步,作EC 的垂直平分线交EF 于点O ,第四步,以O 为圆心,EO 为半径作圆,∴⊙O 即为所求第Ⅰ类圆;②如图5,第一步:作∠BAD 的平分线;第二步:在角平分线上任取点E ,过点E 作EF ⊥AD ,垂足为点F ;第三步:以点E 为圆心,EF 为半径作圆E ,交AC 于点G ,连接FG ;第四步:过点C 作CH ⎳FG ,CH 交AD 于点H ;第五步:过点H 作AD 的垂线,交∠BAD 的平分线于点O ;第六步:以点O 为圆心,OH 为半径的圆,⊙O 即为所求第Ⅱ类圆.13(2021秋•海淀区校级期末)新定义:在平面直角坐标系xOy 中,若几何图形G 与⊙A 有公共点,则称几何图形G 的叫⊙A 的关联图形,特别地,若⊙A 的关联图形G 为直线,则称该直线为⊙A 的关联直线.如图,∠M 为⊙A 的关联图形,直线l 为⊙A 的关联直线.(1)已知⊙O 是以原点为圆心,2为半径的圆,下列图形:①直线y =2x +2;②直线y =-x +3;③双曲线y =2x,是⊙O 的关联图形的是①③(请直接写出正确的序号).(2)如图1,⊙T 的圆心为T (1,0),半径为1,直线l :y =-x +b 与x 轴交于点N ,若直线l 是⊙T 的关联直线,求点N 的横坐标的取值范围.(3)如图2,已知点B (0,2),C (2,0),D (0,-2),⊙I 经过点C ,⊙I 的关联直线HB 经过点B ,与⊙I 的一个交点为P ;⊙I 的关联直线HD 经过点D ,与⊙I 的一个交点为Q ;直线HB ,HD 交于点H ,若线段PQ 在直线x =6上且恰为⊙I 的直径,请直接写出点H 横坐标h 的取值范围.【解答】解:(1)由题意①③是⊙O的关联图形,故答案为①③.(2)如图1中,∵直线l1y=-x+b是⊙T的关联直线,∴直线l的临界状态是和⊙T相切的两条直线l1和l2,当临界状态为l1时,连接TM(M为切点),∴TM=1,TM⊥MB,且∠MNO=45°,∴ΔTMN是等腰直角三角形,∴TN=2,OT=1,∴N(1+2,0),把N(1+2,0)代入y=-x+b中,得到b=1+2,同法可得当直线l2是临界状态时,b=-2+1,∴点N的横坐标的取值范围为-2+1≤N x≤2+1.(3)如图3-1中,当点Q在点P是上方时,连接BQ,PD交于点H,当圆心I在x轴上时,点H与点C重合,此时H(2,0),得到h的最大值为2,如图3-2中,当点P在点Q是上方时,直线PB,QD交于点H,当圆心I在x轴上时,点H(-6,0)得到h的最小值为-6,综上所述,-6≤h<0,0<h≤2.14(2022春•海淀区校级月考)定义:P、Q分别是两条线段a和b上任意一点,线段PQ长度的最小值叫做线段a与线段b的“冰雪距离”.已知O(0,0),A(1,1),B(m,n),C(m,n+2)是平面直角坐标系中四点.(1)根据上述定义,完成下面的问题:①当m=2,n=1时,如图1,线段BC与线段OA的“冰雪距离”是1.②当m=2时,线段BC与线段OA的“冰雪距离”是1,则n的取值范围是.(2)如图2,若点B落在圆心为A,半径为1的圆上,当n≥1时,线段BC与线段OA的“冰雪距离”记为d,结合图象,求d的最小值;(3)当m的值变化时,动线段BC与线段OA的“冰雪距离”始终为1,线段BC的中点为M.求点M随线段BC运动所走过的路径长.【解答】解:(1)①当m=2,n=1时,B(2,1),C(2,3).线段BC与线段OA的冰雪距离为AB=1.故答案为:1.②当m=2时,点A到直线BC的距离为1.若线段BC与线段OA的冰雪距离是1,则点A到BC的垂线的垂足在线段BC上,∴n≤1≤n+2,即-1≤n≤1.故答案为:-1≤n ≤1.(2)如图,B 2(0,1)为圆A 与y 轴的切点,B 11-22,1+22满足∠B 1AO =90°.当B 在B 1右侧时,冰雪距离d ≥B 1A =22.当B 在弧B 1B 2上时,冰雪距离d 为点B 到OA 的距离,结合图象可知,当且仅当B 处在点B 2时,d 取最小值22.(3)如图,当点B 位于图中弧DI 、线段IH 、弧HG 时,线段BC 与线段OA 的“冰雪距离”始终为1.当点C 位于图中弧DE 、线段EF 、弧FG 时,线段BC 与线段OA 的“冰雪距离”始终为1.当线段BC 由图中B 1D 向上平移到DC 3时,或由B 2G 向上平移到GC 4时,线段BC 与线段OA 的“冰雪距离”始终为1.对应中点M 所走过的路线长为:2π+4+22.15(2022•东城区校级开学)对于⊙C 和⊙C 上的一点A ,若平面内的点P 满足:射线AP 与⊙C 交于点Q (点Q 可以与点P 重合),且1≤PAQA ≤2,则点P 称为点A 关于⊙C 的“生长点”.已知点O 为坐标原点,⊙O 的半径为1,点A (-1,0).(1)若点P 是点A 关于⊙O 的“生长点”,且点P 在x 轴上,请写出一个符合条件的点P 的坐标 (2,0)(答案不唯一);(2)若点B 是点A 关于⊙O 的“生长点”,且满足∠BAO =30°,求点B 的纵坐标t 的取值范围;(3)直线y =3x +b 与x 轴交于点M ,且与y 轴交于点N ,若线段MN 上存在点A 关于⊙O 的“生长点”,直接写出b 的取值范围是.【解答】解:(1)根据“生长点”定义,点P 的坐标可以是(2,0),故答案为:(2,0)(答案不唯一);(2)如图,在x 轴上方作射线AM ,与⊙O 交于M ,使得∠OAM =30°,并在射线AM 上取点N ,使AM =MN ,并由对称性,将MN 关于x 轴对称,得M N ,则由题意,线段MN 和M N 上的点是满足条件的点B .作MH ⊥x 轴于H ,连接MC ,∴∠MHA =90°,即∠OAM +∠AMH =90°.∵AC 是⊙O 的直径,∴∠AMC =90°,即∠AMH +∠HMC =90°.∴∠OAM =∠HMC =30°.∴tan30°=MH AH=HC MH =33,设MH=y,则AH=3y,CH=33y,∴AC=AH+CH=433y=2,解得y=32,即点M的纵坐标为32.又由AN=2AM,A为(-1,0),可得点N的纵坐标为3,故在线段MN上,点B的纵坐标t满足:32≤t≤3,由对称性,在线段M N 上,点B的纵坐标t满足:?3≤t≤?3 2,∴点B的纵坐标t的取值范围是:32≤t≤3或?3≤t≤?32.(3)如图,Q是⊙O上异于点A的任意一点,延长AQ到P,使得PA=2AQ,∵Q的轨迹是以O为圆心,1为半径的圆,∴点P的运动轨迹是以K(1,0)为圆心,2为半径的圆,当直线MN与⊙K相切于点R时,连接KR,在RtΔKMR中,∠KRM=90°,∵直线y=3x+b与x轴夹角为60°,∴∠KMR=60°,KR=2,∴KM=2÷sin60°=433,∴OM=1+433,∴ON=3OM=4+3,∴b=-4-3,当直线MN经过G(0,-1)时,满足条件,此时b=-1,观察图象可知:当-4-3≤b≤-1时,线段MN上存在点A关于⊙O的“生长点”,根据对称性,同法可得当1≤b≤4-3时,也满足条件.故答案为:-4-3≤b≤-1或1≤b≤4-3.16(2022•东城区校级开学)在平面直角坐标系xOy中,给出如下定义:若点P在图形M上,点Q在图形N 上,称线段PQ长度的最小值为图形M,N的“近距离”,记为d(M,N).特别地,若图形M,N有公共点,规定d(M,N)=0,如图,点A(-23,0),B(0,2).(1)如果⊙O的半径为2,那么d(A,⊙O)= 23-2 ,d(B,⊙O)=;(2)如果⊙O的半径为r,且d(⊙O,AB)>0,求r的取值范围;(3)如果C(0,m)是y轴上的动点,⊙C的半径为1,使d(⊙C,AB)<1,直接写出m的取值范围为.【解答】解:(1)∵⊙O的半径为2,A(-23,0),B(0,2),∴OB=2,OA=23>2,∴点A在⊙O外,点B在⊙O上,∴d(A,⊙O)=23-2,d(B,⊙O)=0,故答案为:23-2;0;(2)如图1,过点O 作OD ⊥AB 于点D ,在Rt ΔAOB 中,∵tan ∠BAO =OB OA =223=33,∴∠BAO =30°.在Rt ΔADO 中,sin ∠BAO =DO OA =12=DO23,∴DO =3,∵d (⊙O ,AB )=0,∴r 的取值范围是0<r <3或r >23;(3)如图2,过点C 作CN ⊥AB 于点N ,由(2)知,∠BAO =30°.∵C (m ,0),当点C 在点B 的上边时,m >2,此时,d (⊙C ,AB )=BC ,∴BC ≤1,即m -2≤1,解得m ≤3;当点C 与点B 重合时,m =2,此时d (⊙C ,AB )=0,当点C 在点B 的下边时,m <2,∴BC =2-m ,∴CN =BC ⋅sin ∠OBA =32(2-m ).∵d (⊙C ,AB )<1,⊙C 的半径为1,∴0<32(2-m )<1.∴2-233<m <2.综上所述:2-233<m ≤3.故答案为:2-233<m ≤3.17(2021秋•润州区校级月考)在平面直角坐标系xOy 中,⊙C 的半径为r ,P 是与圆心C 不重合的点,点P 关于⊙C 的反称点的定义如下:若在射线CP 上存在一点P ′,满足CP +CP ′=2r ,则称P ′为点P 关于⊙C 的反称点,如图为点P 及其关于⊙C 的反称点P ′的示意图.(1)当⊙O 的半径为1时,①分别判断点M (3,1),N 32,0,T (-1,3)关于⊙O 的反称点是否存在?若存在,直接求其坐标;②将⊙O 沿x 轴水平向右平移1个单位为⊙O ′,点P 在直线y =-x +1上,若点P 关于⊙O ′的反称点P ′存在,且点P ′不在坐标轴上,则点P 的横坐标的取值范围 1-2≤x ≤1+2且x ≠2-2 ;(2)⊙C 的圆心在x 轴上,半径为1,直线y =-x +12与x 轴,y 轴分别交于点A 、B ,点E 与点D 分别在点A 与点B 的右侧2个单位,线段AE 、线段BD 都是水平的,若四边形ABDE 四边上存在点P ,使得点P 关于⊙C 的反称点P ′在⊙C 的内部,直接写出圆心C 的横坐标的取值范围.。
24湖南中考数学压轴题
24湖南中考数学压轴题以下是根据2024年湖南中考数学可能考察的知识点和难度水平,原创设计的8道压轴选择题。
每道题都包含了题目描述、选项、答案以及解析。
一、在平面直角坐标系中,点A的坐标为(1,2),点B的坐标为(4,6),若点C在直线AB上,且AC的长度是AB长度的三分之一,则点C的坐标可能为:A. (2,3)B. (3,4)C. (2,5)D. (3,5)(答案)B解析:首先计算AB的长度,使用距离公式得到AB=√[(4-1)²+(6-2)²]=5。
然后,根据题意,AC=AB/3=5/3。
设点C的坐标为(x,y),由于C在AB上,可以根据A、B的坐标求出直线AB 的方程,再联立AC的长度公式,解出x和y的值。
经过计算,可以得到点C的坐标为(2,3)或(3,4),但考虑到C可能在A和B之间,也可能在B的延长线上,结合题意和选项,只有(3,4)满足条件。
二、若关于x的一元二次方程x²+2(m-1)x+m²-1=0有两个相等的实数根,则m的值为:A. 0B. 1C. 2D. -1(答案)B解析:一元二次方程有两个相等的实数根,即判别式Δ=0。
将方程的系数代入判别式,得到[2(m-1)]²-4(m²-1)=0,化简后得到m=1。
三、如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点E在边AD上,且AE=2,点F在边BC上,连接EF,将△AEF沿EF翻折,使得点A落在点G处,连接GF,若GF⊥BC,则GF的长度为:A. 4B. 5C. 6D. 8(答案)C解析:由于GF⊥BC,且ABCD是矩形,所以GF∥AB。
设GF与EF交于点H,由于△AEF翻折得到△GEF,所以AE=GE=2,且∠AEF=∠GEF。
又因为AD∥BC,所以∠AEF=∠EFC。
由此可以得到∠GEF=∠EFC,所以GF=GE=2。
再根据相似三角形的性质,可以得到GF/AB=FC/ED,设FC=x,则ED=8-x,代入得到GF/6=x/(8-x),解得x=4,所以GF=2+4=6。
中考数学综合压轴题100题(附答案)
中考数学综合压轴题100题(附答案)一、中考压轴题1.在△ABC中,AB=BC,将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转得△A1B1C1,使点C1落在直线BC上(点C1与点C不重合),(1)如图,当∠C>60°时,写出边AB1与边CB的位置关系,并加以证明;(2)当∠C=60°时,写出边AB1与边CB的位置关系(不要求证明);(3)当∠C<60°时,请你在如图中用尺规作图法作出△AB1C1(保留作图痕迹,不写作法),再猜想你在(1)、(2)中得出的结论是否还成立并说明理由.【分析】(1)AB1∥BC.因为等腰三角形,两底角相等,再根据平行线的判定,内错角相等两直线平行,可证明两直线平行.(2)当∠C=60°时,写出边AB1与边CB的位置关系也是平行,证明方法同(1)题.(3)成立,根据旋转变换的性质画出图形.利用三角形全等即可证明.【解答】解:(1)AB1∥BC.证明:由已知得△ABC≌△AB1C1,∴∠BAC=∠B1AC1,∠B1AB=∠C1AC,∵AC1=AC,∴∠AC1C=∠ACC1,∵∠C1AC+∠AC1C+∠ACC1=180°,∴∠C1AC=180°﹣2∠ACC1,同理,在△ABC中,∵BA=BC,∴∠ABC=180°﹣2∠ACC1,∴∠ABC=∠C1AC=∠B1AB,∴AB1∥BC.(5分)(2)如图1,∠C=60°时,AB1∥BC.(7分)(3)如图,当∠C<60°时,(1)、(2)中的结论还成立.证明:显然△ABC≌△AB1C1,∴∠BAC=∠B1AC1,∴∠B1AB=∠C1AC,∵AC1=AC,∴∠AC1C=∠ACC1,∵∠C1AC+∠AC1C+∠ACC1=180°,∴∠C1AC=180°﹣2∠ACC1,同理,在△ABC中,∵BA=BC,∴∠ABC=180°﹣2∠ACC1,∴∠ABC=∠C1AC=∠B1AB,∴AB1∥BC.(13分)【点评】考查图形的旋转,等腰三角形的性质,平行线的判定.本题实质是考查对图形旋转特征的理解,旋转前后的图形是全等的.2.已知:y关于x的函数y=(k﹣1)x2﹣2kx+k+2的图象与x轴有交点.(1)求k的取值范围;(2)若x1,x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标,且满足(k﹣1)x12+2kx2+k+2=4x1x2.①求k的值;②当k≤x≤k+2时,请结合函数图象确定y的最大值和最小值.【分析】(1)分两种情况讨论,当k=1时,可求出函数为一次函数,必与x轴有一交点;当k≠1时,函数为二次函数,若与x轴有交点,则△≥0.(2)①根据(k﹣1)x12+2kx2+k+2=4x1x2及根与系数的关系,建立关于k的方程,求出k 的值;②充分利用图象,直接得出y的最大值和最小值.【解答】解:(1)当k=1时,函数为一次函数y=﹣2x+3,其图象与x轴有一个交点.当k≠1时,函数为二次函数,其图象与x轴有一个或两个交点,令y=0得(k﹣1)x2﹣2kx+k+2=0.△=(﹣2k)2﹣4(k﹣1)(k+2)≥0,解得k≤2.即k≤2且k≠1.综上所述,k的取值范围是k≤2.(2)①∵x1≠x2,由(1)知k<2且k≠1,函数图象与x轴两个交点,∴k<2,且k≠1.由题意得(k﹣1)x12+(k+2)=2kx1①,将①代入(k﹣1)x12+2kx2+k+2=4x1x2中得:2k(x1+x2)=4x1x2.又∵x1+x2=,x1x2=,∴2k•=4•.解得:k1=﹣1,k2=2(不合题意,舍去).∴所求k值为﹣1.②如图,∵k1=﹣1,y=﹣2x2+2x+1=﹣2(x﹣)2+.且﹣1≤x≤1.由图象知:当x=﹣1时,y最小=﹣3;当x=时,y最大=.∴y的最大值为,最小值为﹣3.【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、一次函数的定义、二次函数的最值,充分利用图象是解题的关键.3.广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售,由于国务院有关房地产的新政策出台后,购房者持币观望,房地产开发商为了加快资金周转,对价格经过两次下调后,决定以每平方米4860元的均价开盘销售.(1)求平均每次下调的百分率.(2)某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房,开发商给予以下两种优惠方案以供选择:①打9.8折销售;②不打折,一次性送装修费每平方米80元,试问哪种方案更优惠?【分析】(1)根据题意设平均每次下调的百分率为x,列出一元二次方程,解方程即可得出答案;(2)分别计算两种方案的优惠价格,比较后发现方案①更优惠.【解答】解:(1)设平均每次下调的百分率为x,则6000(1﹣x)2=4860,解得:x1=0.1=10%,x2=1.9(舍去),故平均每次下调的百分率为10%;(2)方案①购房优惠:4860×100×(1﹣0.98)=9720(元);方案②可优惠:80×100=8000(元).故选择方案①更优惠.【点评】本题主要考查一元二次方程的实际应用,解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系,列出方程,再求解,属于中档题.4.我们学习了利用函数图象求方程的近似解,例如:把方程2x﹣1=3﹣x的解看成函数y =2x﹣1的图象与函数y=3﹣x的图象交点的横坐标.如图,已画出反比例函数y=在第一象限内的图象,请你按照上述方法,利用此图象求方程x2﹣x﹣1=0的正数解.(要求画出相应函数的图象;求出的解精确到0.1)【分析】根据题意可知,方程x2﹣x﹣1=0的解可看做是函数y=和y=x﹣1的交点坐标,所以根据图象可知方程x2﹣x﹣1=0的正数解约为1.1.【解答】解:∵x≠0,∴将x2﹣x﹣1=0两边同时除以x,得x﹣1﹣=0,即=x﹣1,把x2﹣x﹣1=0的正根视为由函数y=与函数y=x﹣1的图象在第一象限交点的横坐标.如图:∴正数解约为1.1.【点评】主要考查了反比例函数和一元二次方程之间的关系.一元二次方程的解都可化为一个反比例函数和一次函数的交点问题求解.5.如图,在矩形ABCD中,AB=8,AD=6,点P、Q分别是AB边和CD边上的动点,点P从点A向点B运动,点Q从点C向点D运动,且保持AP=CQ.设AP=x.(1)当PQ∥AD时,求x的值;(2)当线段PQ的垂直平分线与BC边相交时,求x的取值范围;(3)当线段PQ的垂直平分线与BC相交时,设交点为E,连接EP、EQ,设△EPQ的面积为S,求S关于x的函数关系式,并写出S的取值范围.【分析】(1)根据已知条件,证明四边形APQD是矩形,再根据矩形的性质和AP=CQ 求x即可;(2)连接EP、EQ,则EP=EQ,设BE=y,列出等式(8﹣x)2+y2=(6﹣y)2+x2然后根据函数的性质来求x的取值范围;(3)由图形的等量关系列出方程,再根据函数的性质来求最值.【解答】解:(1)当PQ∥AD时,则∠A=∠APQ=90°,∠D=∠DQP=90°,又∵AB∥CD,∴四边形APQD是矩形,∴AP=QD,∵AP=CQ,AP=CD=,∴x=4.(2)如图,连接EP、EQ,则EP=EQ,设BE=y.∴(8﹣x)2+y2=(6﹣y)2+x2,∴y=.∵0≤y≤6,∴0≤≤6,∴≤x≤.(3)S△BPE=•BE•BP=••(8﹣x)=,S△ECQ==•(6﹣)•x=,∵AP=CQ,∴S BPQC=,∴S=S BPQC﹣S△BPE﹣S△ECQ=24﹣﹣,整理得:S==(x﹣4)2+12(),∴当x=4时,S有最小值12,当x=或x=时,S有最大值.∴12≤S≤.【点评】解答本题时,涉及到了矩形的判定、矩形的性质、勾股定理以及二次函数的最值等知识点,这是一道综合性比较强的题目,所以在解答题目时,一定要把各个知识点融会贯通,这样解题时才会少走弯路.6.九年级(1)班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度,已知标杆高度CD=3m,标杆与旗杆的水平距离BD=15m,人的眼睛与地面的高度EF=1.6m,人与标杆CD的水平距离DF=2m,求旗杆AB的高度.【分析】利用三角形相似中的比例关系,首先由题目和图形可看出,求AB的长度分成了2个部分,AH和HB部分,其中HB=EF=1.6m,剩下的问题就是求AH的长度,利用△CGE∽△AHE,得出,把相关条件代入即可求得AH=11.9,所以AB=AH+HB=AH+EF=13.5m.【解答】解:∵CD⊥FB,AB⊥FB,∴CD∥AB∴△CGE∽△AHE∴即:∴∴AH=11.9∴AB=AH+HB=AH+EF=11.9+1.6=13.5(m).【点评】主要用到的解题思想是把梯形问题转化成三角形问题,利用三角形相似比列方程来求未知线段的长度.7.如图,已知△BEC是等边三角形,∠AEB=∠DEC=90°,AE=DE,AC,BD的交点为O.(1)求证:△AEC≌△DEB;(2)若∠ABC=∠DCB=90°,AB=2 cm,求图中阴影部分的面积.【分析】(1)在△AEC和△DEB中,已知AE=DE,BE=CE,且夹角相等,根据边角边可证全等.(2)由图可知,在连接EO并延长EO交BC于点F,连接AD之后,整个图形是一个以EF所在直线对称的图形.即△AEO和△DEO面积相等,只要求出其中一个即可,而三角形AEO面积=•OE•FB,所以解题中心即为求出OE和FB,有(1)中结论和已知条件即可求解.【解答】(1)证明:∵∠AEB=∠DEC=90°,∴∠AEB+∠BEC=∠DEC+∠BEC,即∠AEC=∠DEB,∵△BEC是等边三角形,∴CE=BE,又AE=DE,∴△AEC≌△DEB.(2)解:连接EO并延长EO交BC于点F,连接AD.由(1)知AC=BD.∵∠ABC=∠DCB=90°,∴∠ABC+∠DCB=180°,∴AB∥DC,AB==CD,∴四边形ABCD为平行四边形且是矩形,∴OA=OB=OC=OD,又∵BE=CE,∴OE所在直线垂直平分线段BC,∴BF=FC,∠EFB=90°.∴OF=AB=×2=1,∵△BEC是等边三角形,∴∠EBC=60°.在Rt△AEB中,∠AEB=90°,∠ABE=∠ABC﹣∠EBC=90°﹣60°=30°,∴BE=AB•cos30°=,在Rt△BFE中,∠BFE=90°,∠EBF=60°,∴BF=BE•cos60°=,EF=BE•sin60°=,∴OE=EF﹣OF==,∵AE=ED,OE=OE,AO=DO,∴△AOE≌△DOE.∴S△AOE=S△DOE∴S阴影=2S△AOE=2וEO•BF=2×××=(cm2).【点评】考查综合应用等边三角形、等腰三角形、解直角三角形、直角三角形性质,进行逻辑推理能力和运算能力.8.如图,⊙O是等边△ABC的外接圆,AB=2,M、N分别是边AB、AC的中点,直线MN交⊙O于E、F两点,BD∥AC交直线MN于点D.求出图中线段DM上已有的一条线段的长.【分析】连接OA交MN于点G,则OA⊥BC,由三角形的中位线的性质可得MN的长,易证得△BMD≌△AMN,有DM=MN,由相交弦定理得ME•MF=MA•MB,就可求得EM,DE的值.【解答】解:∵M,N分别是边AB,AC的中点∴MN∥BC,MN=BC=1又∵BD∥AC∴∠DBA=∠A=60°∵BM=AM,∠BMD=∠AMN∴△BMD≌△AMN∴DM=MN=1连接OA交MN于点G,则OA⊥BC∴OA⊥EF∴EG=FG,MG=FN由相交弦定理得:ME•MF=MA•MB∴EM(EM+1)=1解得EM=(EM=不合题意,舍去)∴DE=DM﹣EM=∴DE(3﹣DE)=1解得DE=(DE=不合题意,舍去).【点评】本题利用了三角形的中位线的性质,等边三角形的性质,全等三角形的判定和性质,一元二次方程的解法求解.9.如图,有一直径MN=4的半圆形纸片,其圆心为点P,从初始位置Ⅰ开始,在无滑动的情况下沿数轴向右翻滚至位置Ⅴ,其中,位置Ⅰ中的MN平行于数轴,且半⊙P与数轴相切于原点O;位置Ⅱ和位置Ⅳ中的MN垂直于数轴;位置Ⅲ中的MN在数轴上;位置Ⅴ中的点N到数轴的距离为3,且半⊙P与数轴相切于点A.解答下列问题:(1)位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为2;位置Ⅱ中的半⊙P与数轴的位置关系是相切;(2)求位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数;(3)纸片半⊙P从位置Ⅲ翻滚到位置Ⅳ时,求点N所经过路径长及该纸片所扫过图形的面积;(4)求OA的长.[(2),(3),(4)中的结果保留π].【分析】(1)先求出圆的半径,再根据切线的性质进行解答;(2)根据位置Ⅰ中的长与数轴上线段ON相等求出的长,再根据弧长公式求出的长,进而可得出结论;(3)作NC垂直数轴于点C,作PH⊥NC于点H,连接P A,则四边形PHCA为矩形,在Rt△NPH中,根据sin∠NPH==即可∠NPH、∠MP A的度数,进而可得出的长,【解答】解:(1)∵⊙P的直径=4,∴⊙P的半径=2,∵⊙P与直线有一个交点,∴位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为2;位置Ⅱ中的半⊙P与数轴的位置关系是相切;故答案为:2,相切;(2)位置Ⅰ中的长与数轴上线段ON相等,∵的长为=π,NP=2,∴位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数为π+2.(3)点N所经过路径长为=2π,S半圆==2π,S扇形==4π,半⊙P所扫过图形的面积为2π+4π=6π.(4)如图,作NC垂直数轴于点C,作PH⊥NC于点H,连接P A,则四边形PHCA为矩形.在Rt△NPH中,PN=2,NH=NC﹣HC=NC﹣P A=1,于是sin∠NPH==,∴∠NPH=30°.∴∠MP A=60°.从而的长为=,于是OA的长为π+4+π=π+4.【点评】本题考查的是直线与圆的关系、弧长的计算、扇形的面积公式,在解答此题时要注意Ⅰ中的长与数轴上线段ON相等的数量关系.10.已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,点O1在⊙O2上,C为⊙O2上一点(不与A,B,O1重合),直线CB与⊙O1交于另一点D.(1)如图(1),若AD是⊙O1的直径,AC是⊙O2的直径,求证:AC=CD;(2)如图(2),若C是⊙O1外一点,求证:O1C丄AD;(3)如图(3),若C是⊙O1内的一点,判断(2)中的结论是否成立?【分析】(1)连接C01,利用直径所对圆周角等于90度,以及垂直平分线的性质得出即可;(2)根据已知得出四边形AEDB内接于⊙O1,得出∠ABC=∠E,再利用=,得出∠E=∠AO1C,进而得出CO1∥ED即可求出;(3)根据已知得出∠B=∠EO1C,又∠E=∠B,即可得出∠EO1C=∠E,得出CO1∥ED,即可求出.【解答】(1)证明:连接C01∵AC为⊙O2直径∴∠AO1C=90°即CO1⊥AD,∵AO1=DO1∴DC=AC(垂直平分线的性质);(2)证明:连接AO1,连接AB,延长AO1交⊙O1于点E,连接ED,∵四边形AEDB内接于⊙O1,∴∠E+∠ABD=180°,∵∠ABC+∠ABD=180°,∴∠ABC=∠E,又∵=,∴∠ABC=∠AO1C,∴∠E=∠AO1C,∴CO1∥ED,又AE为⊙O1的直径,∴ED⊥AD,∴O1C⊥AD,(3)(2)中的结论仍然成立.证明:连接AO1,连接AB,延长AO1交⊙O1于点E,连接ED,∵∠B+∠AO1C=180°,∠EO1C+∠AO1C═180°,∴∠B=∠EO1C,又∵∠E=∠B,∴∠EO1C=∠E,∴CO1∥ED,又ED⊥AD,∴CO1⊥AD.【点评】此题主要考查了圆周角定理以及相交两圆的性质和圆内接四边形的性质,根据圆内接四边形的性质得出对应角之间的关系是解决问题的关键.11.如图①,有四张编号为1、2、3、4的卡片,卡片的背面完全相同.现将它们搅匀并正面朝下放置在桌面上.(1)从中随机抽取一张,抽到的卡片是眼睛的概率是多少?(2)从四张卡片中随机抽取一张贴在如图②所示的大头娃娃的左眼处,然后再随机抽取一张贴在大头娃娃的右眼处,用树状图或列表法求贴法正确的概率.【分析】根据概率的求法,找准两点:①全部情况的总数;②符合条件的情况数目;二者的比值就是其发生的概率.【解答】解:(1)所求概率为;(2)方法①(树状图法)共有12种可能的结果:(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)∵其中有两种结果(1,2),(2,1)是符合条件的,∴贴法正确的概率为,方法②(列表法)1 2 3 4第一次抽取第二次抽取1(2,1)(3,1)(4,1)2(1,2)(3,2)(4,2)3(1,3)(2,3)(4,3)4(1,4)(2,4)(3,4)共有12种可能的结果:(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),∵其中有两种结果(1,2),(2,1)是符合条件的,∴贴法正确的概率为.【点评】此题考查概率的求法:如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P(A)=.12.如图,菱形、矩形与正方形的形状有差异,我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”.在研究“接近度”时,应保证相似图形的“接近度”相等.(1)设菱形相邻两个内角的度数分别为m°和n°,将菱形的“接近度”定义为|m﹣n|,于是|m﹣n|越小,菱形越接近于正方形.①若菱形的一个内角为70°,则该菱形的“接近度”等于40;②当菱形的“接近度”等于0时,菱形是正方形.(2)设矩形相邻两条边长分别是a和b(a≤b),将矩形的“接近度”定义为|a﹣b|,于是|a﹣b|越小,矩形越接近于正方形.你认为这种说法是否合理?若不合理,给出矩形的“接近度”一个合理定义.【分析】(1)根据相似图形的定义知,相似图形的形状相同,但大小不一定相同,相似图形的“接近度”相等.所以若菱形的一个内角为70°,则该菱形的“接近度”等于|m﹣n|;当菱形的“接近度”等于0时,菱形是正方形;(2)不合理,举例进行说明.【解答】解:(1)①∵内角为70°,∴与它相邻内角的度数为110°.∴菱形的“接近度”=|m﹣n|=|110﹣70|=40.②当菱形的“接近度”等于0时,菱形是正方形.(2)不合理.例如,对两个相似而不全等的矩形来说,它们接近正方形的程度是相同的,但|a﹣b|却不相等.合理定义方法不唯一.如定义为,越接近1,矩形越接近于正方形;越大,矩形与正方形的形状差异越大;当时,矩形就变成了正方形,即只有矩形的越接近1,矩形才越接近正方形.【点评】正确理解“接近度”的意思,矩形的“接近度”|a﹣b|越小,矩形越接近于正方形.这是解决问题的关键.13.如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形,在建立平面直角坐标系后,△ABC的顶点均在格点上,点B的坐标为(1,0)①画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1;②画出将△ABC绕原点O按逆时针旋转90°所得的△A2B2C2;③△A1B1C1与△A2B2C2成轴对称图形吗?若成轴对称图形,画出所有的对称轴;④△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称图形吗?若成中心对称图形,写出所有的对称中心的坐标.【分析】(1)将三角形的各顶点,向x轴作垂线并延长相同长度得到三点的对应点,顺次连接;(2)将三角形的各顶点,绕原点O按逆时针旋转90°得到三点的对应点.顺次连接各对应点得△A2B2C2;(3)从图中可发现成轴对称图形,根据轴对称图形的性质画出对称轴即连接两对应点的线段,做它的垂直平分线;(4)成中心对称图形,画出两条对应点的连线,交点就是对称中心.【解答】解:如下图所示:(3)成轴对称图形,根据轴对称图形的性质画出对称轴即连接两对应点的线段,作它的垂直平分线,或连接A1C1,A2C2的中点的连线为对称轴.(4)成中心对称,对称中心为线段BB2的中点P,坐标是(,).【点评】本题综合考查了图形的变换,在图形的变换中,关键是找到图形的对应点.14.图(1)是一个10×10格点正方形组成的网格.△ABC是格点三角形(顶点在网格交点处),请你完成下面的两个问题:(1)在图(1)中画出与△ABC相似的格点△A1B1C1和△A2B2C2,且△A1B1C1与△ABC的相似比是2,△A2B2C2与△ABC的相似比是;(2)在图(2)中用与△ABC,△A1B1C1,△A2B2C2全等的格点三角形(每个三角形至少使用一次),拼出一个你熟悉的图案,并为你设计的图案配一句贴切的解说词.【分析】(1)△A1B1C1与△ABC的相似比是2,则让△ABC的各边都扩大2倍就可.△A2B2C2与△ABC的相似比是;△ABC的直角边是2,所以△A2B2C2与的直角边是即一个对角线的长度.斜边为2.依此画图即可;(2)拼图有审美意义即可,答案不唯一.【解答】解:【点评】本题主要考查了相似图形的画法,做这类题时根据的是相似图形的性质,即相似比相等.对应角相等.15.如图所示,AB=AC,AB为⊙O的直径,AC、BC分别交⊙O于E、D,连接ED、BE.(1)试判断DE与BD是否相等,并说明理由;(2)如果BC=6,AB=5,求BE的长.【分析】(1)可通过连接AD,AD就是等腰三角形ABC底边上的高,根据等腰三角形三线合一的特点,可得出∠CAD=∠BAD,根据圆周角定理即可得出∠DEB=∠DBE,便可证得DE=DB.(2)本题中由于BE⊥AC,那么BE就是三角形ABC中AC边上的高,可用面积的不同表示方法得出AC•BE=CB•AD.进而求出BE的长.【解答】解:(1)DE=BD证明:连接AD,则AD⊥BC,在等腰三角形ABC中,AD⊥BC,∴∠CAD=∠BAD(等腰三角形三线合一),∴=,∴DE=BD;(2)∵AB=5,BD=BC=3,∴AD=4,∵AB=AC=5,∴S△ABC=•AC•BE=•CB•AD,∴BE=4.8.【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质,圆周角定理等知识点的运用,用等腰三角形三线合一的特点得出圆周角相等是解题的关键.16.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,Rt△BAP中,∠BAP=90°,已知∠CBO=∠ABP,BP交AC于点O,E为AC上一点,且AE=OC.(1)求证:AP=AO;(2)求证:PE⊥AO;(3)当AE=AC,AB=10时,求线段BO的长度.【分析】(1)根据等角的余角相等证明即可;(2)过点O作OD⊥AB于D,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CO=DO,利用“SAS”证明△APE和△OAD全等,根据全等三角形对应角相等可得∠AEP=∠ADO=90°,从而得证;(3)设C0=3k,AC=8k,表示出AE=CO=3k,AO=AP=5k,然后利用勾股定理列式求出PE=4k,BC=BD=10﹣4k,再根据相似三角形对应边成比例列式求出k=1然后在Rt △BDO中,利用勾股定理列式求解即可.【解答】(1)证明:∵∠C=90°,∠BAP=90°∴∠CBO+∠BOC=90°,∠ABP+∠APB=90°,又∵∠CBO=∠ABP,∴∠BOC=∠APB,∵∠BOC=∠AOP,∴∠AOP=∠APB,∴AP=AO;(2)证明:如图,过点O作OD⊥AB于D,∵∠CBO=∠ABP,∴CO=DO,∵AE=OC,∴AE=OD,∵∠AOD+∠OAD=90°,∠P AE+∠OAD=90°,∴∠AOD=∠P AE,在△AOD和△P AE中,,∴△AOD≌△P AE(SAS),∴∠AEP=∠ADO=90°∴PE⊥AO;(3)解:设AE=OC=3k,∵AE=AC,∴AC=8k,∴OE=AC﹣AE﹣OC=2k,∴OA=OE+AE=5k.由(1)可知,AP=AO=5k.如图,过点O作OD⊥AB于点D,∵∠CBO=∠ABP,∴OD=OC=3k.在Rt△AOD中,AD===4k.∴BD=AB﹣AD=10﹣4k.∵OD∥AP,∴,即解得k=1,∵AB=10,PE=AD,∴PE=AD=4K,BD=AB﹣AD=10﹣4k=6,OD=3在Rt△BDO中,由勾股定理得:BO===3.【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质,角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,勾股定理,相似三角形的判定与性质,(2)作辅助线构造出过渡线段DO并得到全等三角形是解题的关键,(3)利用相似三角形对应边成比例求出k=1是解题的关键.17.如图,AD是⊙O的直径.(1)如图①,垂直于AD的两条弦B1C1,B2C2把圆周4等分,则∠B1的度数是22.5°,∠B2的度数是67.5°;(2)如图②,垂直于AD的三条弦B1C1,B2C2,B3C3把圆周6等分,分别求∠B1,∠B2,∠B3的度数;(3)如图③,垂直于AD的n条弦B1C1,B2C2,B3C3,…,B n∁n把圆周2n等分,请你用含n的代数式表示∠B n的度数(只需直接写出答案).【分析】根据条件可以先求出圆的各段弧的度数,根据圆周角等于所对弧的度数的一半,就可以求出圆周角的度数.【解答】解:(1)垂直于AD的两条弦B1C1,B2C2把圆周4等分,则是圆的,因而度数是45°,因而∠B1的度数是22.5°,同理的度数是135度,因而,∠B2的度数是67.5°;(2)∵圆周被6等分∴===360°÷6=60°∵直径AD⊥B1C1∴==30°,∴∠B1==15°∠B2==×(30°+60°)=45°∠B3==×(30°+60°+60°)=75°;(3)B n∁n把圆周2n等分,则弧BnD的度数是:,则∠B n AD=,在直角△AB n D中,.【点评】本题是把求圆周角的度数的问题转化为求弧的度数的问题,依据是圆周角等于所对弧的度数的一半.18.下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批改.题目:某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室,要求长与宽的比为2:1,在温室内,沿前侧内墙保留3m的空地,其他三侧内墙各保留1m的通道,当温室的长与宽各为多少时,矩形蔬菜种植区域的面积是288m2?解:设矩形蔬菜种植区域的宽为xm,则长为2xm,根据题意,得x•2x=288.解这个方程,得x1=﹣12(不合题意,舍去),x2=12所以温室的长为2×12+3+1=28(m),宽为12+1+1=14(m)答:当温室的长为28m,宽为14m时,矩形蔬菜种植区域的面积是288m2.我的结果也正确!小明发现他解答的结果是正确的,但是老师却在他的解答中画了一条横线,并打了一个?.结果为何正确呢?(1)请指出小明解答中存在的问题,并补充缺少的过程:变化一下会怎样…(2)如图,矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部,AB∥A′B′,AD∥A′D′,且AD:AB=2:1,设AB与A′B′、BC与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d,要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD,a、b、c、d应满足什么条件?请说明理由.【分析】(1)根据题意可得小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2:1的理由,所以应设矩形蔬菜种植区域的宽为xm,则长为2xm,然后由题意得,矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2:1,再利用小明的解法求解即可;(2)由使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD,利用相似多边形的性质,可得,即,然后利用比例的性质,即可求得答案.【解答】解:(1)小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2:1的理由.在“设矩形蔬菜种植区域的宽为xm,则长为2xm.”前补充以下过程:设温室的宽为xm,则长为2xm.则矩形蔬菜种植区域的宽为(x﹣1﹣1)m,长为(2x﹣3﹣1)m.∵,∴矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2:1;(2)要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD,就要,即,即,即2AB﹣2(b+d)=2AB﹣(a+c),∴a+c=2(b+d),即.【点评】此题考查了相似多边形的性质.此题属于阅读性题目,注意理解题意,读懂题目是解此题的关键.19.二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分如图所示,则a的取值范围是﹣1<a<0.【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号,由抛物线与y轴的交点得出c的值,然后根据图象经过的点的情况进行推理,进而推出所得结论.【解答】解:抛物线开口向下,a<0,图象过点(0,1),c=1,图象过点(1,0),a+b+c=0,∴b=﹣(a+c)=﹣(a+1).由题意知,当x=﹣1时,应有y>0,∴a﹣b+c>0,∴a+(a+1)+1>0,∴a>﹣1,∴实数a的取值范围是﹣1<a<0.【点评】根据开口判断a的符号,根据与x轴,y轴的交点判断c的值以及b用a表示出的代数式.难点是推断出当x=﹣1时,应有y>0.20.今年,我国政府为减轻农民负担,决定在5年内免去农业税.某乡今年人均上缴农业税25元,若两年后人均上缴农业税为16元,假设这两年降低的百分率相同.(1)求降低的百分率;(2)若小红家有4人,明年小红家减少多少农业税?(3)小红所在的乡约有16000农民,问该乡农民明年减少多少农业税?【分析】(1)设降低的百分率为x,则降低一次后的数额是25(1﹣x),再在这个数的基础上降低x,则变成25(1﹣x)(1﹣x)即25(1﹣x)2,据此即可列方程求解;(2)每人减少的税额是25x,则4个人的就是4×25x,代入(1)中求得的x的值,即可求解;(3)每个人减少的税额是25x,乘以总人数16000即可求解.【解答】解:(1)设降低的百分率为x,依题意有,25(1﹣x)2=16,解得,x1=0.2=20%,x2=1.8(舍去);(2)小红全家少上缴税25×20%×4=20(元);(3)全乡少上缴税16000×25×20%=80 000(元).答:降低的增长率是20%,明年小红家减少的农业税是20元,该乡农民明年减少的农业税是80 000元.【点评】本题考查求平均变化率的方法.若设变化前的量为a,变化后的量为b,平均变化率为x,则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b.21.如图,在矩形ABCD中,AB=m(m是大于0的常数),BC=8,E为线段BC上的动点(不与B、C重合).连接DE,作EF⊥DE,EF与射线BA交于点F,设CE=x,BF=y.(1)求y关于x的函数关系式;(2)若m=8,求x为何值时,y的值最大,最大值是多少?(3)若y=,要使△DEF为等腰三角形,m的值应为多少?【分析】(1)利用互余关系找角相等,证明△BEF∽△CDE,根据对应边的比相等求函数关系式;(2)把m的值代入函数关系式,再求二次函数的最大值;(3)∵∠DEF=90°,只有当DE=EF时,△DEF为等腰三角形,把条件代入即可.【解答】解:(1)∵EF⊥DE,∴∠BEF=90°﹣∠CED=∠CDE,又∠B=∠C=90°,∴△BEF∽△CDE,∴=,即=,解得y=;(2)由(1)得y=,将m=8代入,得y=﹣x2+x=﹣(x2﹣8x)=﹣(x﹣4)2+2,所以当x=4时,y取得最大值为2;(3)∵∠DEF=90°,∴只有当DE=EF时,△DEF为等腰三角形,∴△BEF≌△CDE,∴BE=CD=m,此时m=8﹣x,解方程=,得x=6,或x=2,当x=2时,m=6,当x=6时,m=2.【点评】本题把相似三角形与求二次函数解析式联系起来,在解题过程中,充分运用相似三角形对应边的比相等,建立函数关系式.22.在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,由D分别作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.设DE=a,DF=b,且实数a,b满足9a2﹣24ab+16b2=0,并有=2566,∠A使得方程x2﹣x•sin A+sin A﹣=0有两个相等的实数根.(1)试求实数a,b的值;(2)试求线段BC的长.【分析】(1)由题意可知:2a2b=2566,则2a2b=248,则a2b=48.化简9a2﹣24ab+16b2=0得:(3a﹣4b)2=0,则3a﹣4b=0,即3a=4b,则根据,可求得a与b的值;(2)要求BC的长需求出BD和CD的长,知BD、CD分别是直角三角形BDE和直角三角形CDF中的斜边.又知在△ABC中,AB=AC,则∠B=∠C,则根据三角函数只要知道∠B或∠C的读数即可,要求∠B或∠C的读数需求的∠A的读数,根据判别式可以求得∠A的读数.【解答】解:(1)由条件有,解得;(2)又由关于x的方程的判别式△=sin2A﹣sin A+=(sin A﹣)2=0,则sin A=,而∠A为三角形的一个内角,所以∠A1=60°或∠A2=120° 2分当∠A=60°时,△ABC为正三角形,∠B=∠C=60°于是分别在Rt△BDE和Rt△CDF中有BD=,CD=所以BC=BD+DC=.当∠A=120°时,△ABC为等腰三角形,∠B=∠C=30°同上方法可得BC=14. 3分所以线段BC的长应为或14.【点评】考查了解直角三角形以及判别式的应用.23.某市城建部门经过长期市场调查发现,该市年新建商品房面积P(万平方米)与市场新房均价x(千元/平方米)存在函数关系P=25x;年新房销售面积Q(万平方米)与市场新房均价x(千元/平方米)的函数关系为Q=﹣10;(1)如果年新建商品房的面积与年新房销售面积相等,求市场新房均价和年新房销售总额;(2)在(1)的基础上,如果市场新房均价上涨1千元,那么该市年新房销售总额是增加还是减少?变化了多少?结合年新房销售总额和积压面积的变化情况,请你提出一条合理化的建议.(字数不超过50)【分析】(1)根据“新建商品房的面积与年新房销售面积相等”作为相等关系求x的值即可;(2)分别求算出市场新房均价上涨1千元后的新建商品房面积P,年新房销售面积Q再来求算其变化的量和积压的情况.【解答】解:(1)根据题意得:25x=﹣10,解得x1=2,x2=﹣(舍去),则Q=﹣10=50万平方米,所以市场新房均价为2千元.则年新房销售总额为2000×500000=10亿元.。
中考数学试卷压轴及答案
一、选择题(每题4分,共16分)1. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在x = 1时取得最小值,则a,b,c之间的关系是()A. a > 0,b = 0,c > 0B. a < 0,b = 0,c < 0C. a > 0,b ≠ 0,c ≠ 0D. a < 0,b ≠ 0,c ≠ 0答案:B解析:二次函数的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a)),当a < 0时,函数开口向下,顶点为最大值点,因此a < 0。
又因为顶点坐标的y值为最小值,所以c < 0。
由于函数在x = 1时取得最小值,所以b = 0。
2. 在直角坐标系中,点A(2,3),B(-1,2),C(1,-2)构成的三角形ABC的外心坐标是()A. (1,0)B. (0,1)C. (0,-1)D. (-1,0)答案:A解析:三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点。
首先,计算AB、AC、BC三边的斜率,然后分别求出垂直平分线的方程。
最后,解方程组得到交点坐标。
3. 若等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3 = 9,S5 = 25,则数列的公差d为()A. 2B. 3C. 4D. 5答案:B解析:等差数列的前n项和公式为Sn = n/2 (a1 + an)。
由题意,S3 = 3/2(a1 + a3) = 9,S5 = 5/2 (a1 + a5) = 25。
将S3和S5的表达式代入,得到两个方程,解得a1和a5,再求公差d。
4. 在平面直角坐标系中,抛物线y = x^2 - 2x + 3的焦点坐标是()A. (1,1)B. (1,-1)C. (0,1)D. (0,-1)答案:B解析:抛物线的一般方程为y = ax^2 + bx + c,焦点坐标为(-b/2a,1-1/(4a))。
将抛物线方程y = x^2 - 2x + 3代入,得到焦点坐标。
5. 若复数z满足|z-1| = |z+1|,则z的实部为()A. 0B. 1C. -1D. 不确定答案:A解析:复数z的模长|z|表示复数z到原点的距离。
中考数学压轴题100题精选及答案(全)
(1)求出抛物线的解析式;
(2)P是抛物线上一动点,过P作 轴,垂足为M,是否存在P点,使得以A,P,M为顶点的三角形与 相似?若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)在直线AC上方的抛物线上有一点D,使得 的面积最大,求出点D的坐标.
【014】在平面直角坐标中,边长为2的正方形 的两顶点 、 分别在 轴、 轴的正半轴上,点 在原点.现将正方形 绕 点顺时针旋转,当 点第一次落在直线 上时停止旋转,旋转过程中, 边交直线 于点 , 边交 轴于点 (如图).
【020】如图甲,在△ABC中,∠ACB为锐角,点D为射线BC上一动点,连结AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF。
解答下列问题:
(1)如果AB=AC,∠BAC=90°,①当点D在线段BC上时(与点B不重合),如图乙,线段CF、BD之间的位置关系为,数量关系为。
②当点D在线段BC的延长线上时,如图丙,①中的结论是否仍然成立,为什么?
【008】如图所示,在直角梯形ABCD中,∠ABC=90°,AD∥BC,AB=BC,E是AB的中点,CE⊥BD。
(1) 求证:BE=AD;
(2)求证:AC是线段ED的垂直平分线;
(3)△DBC是等腰三角形吗?并说明理由。
【009】一次函数 的图象分别与 轴、 轴交于点 ,与反比例函数 的图象相交于点 .过点 分别作 轴, 轴,垂足分别为 ;过点 分别作 轴, 轴,垂足分别为 与 交于点 ,连接 .
(3)设直线 与y轴的交点是 ,在线段 上任取一点 (不与 重合),经过 三点的圆交直线 于点 ,试判断 的形状,并说明理由;
(4)当 是直线 上任意一点时,(3)中的结论是否成立?(请直接写出结论).
2024年九年级中考数学压轴题—韦达定理及参考答案
韦达定理1.基础公式:(1)x 1+x 2=-b a(2)x 1∙x 2=c a 2.拓展公式:(1)x 21+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2(2)1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2(3)x 2x 1+x 1x 2=x 21+x 22x 1x 2=(x 1+x 2)2-2x 1x 2x 1x 2(4)x 31+x 32=(x 1+x 2)(x 21-x 1x 2+x 22)=(x 1+x 2)(x 1+x 2)2-3x 1x 2(5)(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2(6)x 1-x 2 =(x 1+x 2)2-4x 1x 2(7)(x 1+k )(x 2+k )=x 1x 2+k (x 1+x 2)+k 2(8)1x 21+1x 22=x 21+x 22(x 1x 2)2=(x 1+x 2)2-2x 1x 2(x 1x 2)2题型训练1已知关于x 的一元二次方程kx 2+x -3=0有两个不相等的实数根.(1)求实数k 的取值范围;(2)设方程两个实数根分别为x 1,x 2,且满足x 1+x 2 2+x 1∙x 2=4,求k 的值.【答案】解:(1)根据题意得k ≠0且Δ=12-4k ×-3 >0,解得k >-112且k ≠0;(2)根据题意得x 1+x 2=-1k ,x 1∙x 2=-3k,∵x 1+x 2 2+x 1x 2=4,∴-1k 2-3k=4,整理得4k 2+3k -1=0,解得k 1=14,k 2=-1,∵k >-112且k ≠0,∴k =14.2已知关于x的一元二次方程x2-2m-1x+m2=0有实数根.(1)求m的取值范围;(2)设此方程的两个根分别为x1,x2,若x21+x22=8-3x1x2,求m的值.【答案】解:(1)∵关于x的一元二次方程x2-2m-1x+m2=0有实数根.∴Δ=-2m-12-4m2=4-8m≥0,解得:m≤1 2.(2)∵关于x的一元二次方程x2-2m-1x+m2=0的两个根分别为x1,x2,∴x1+x2=2m-2,x1∙x2=m2∵x21+x22=8-3x1x2∴x1+x22-2x1x2=8-3x1x2,即5m2-8m-4=0,解得:m1=-25,m2=2(舍去),∴实数m的值为-25.3已知a,b是关于x的一元二次方程x2-2m+1x+m2+5=0的两实数根.(1)若a-1b-1=39,求m的值;(2)已知等腰ΔAOB的一边长为7,若a,b恰好是ΔAOB另外两边的边长,求这个三角形的周长.【答案】解:(1)∵a,b是关于x的一元二次方程x2-2m+1x+m2+5=0的两实数根,∴a+b=2m+1,ab=m2+5,∴a-1b-1=ab-a+b+1=m2+5-2m+1+1=39,解得m=-5或m=7,当m=-5时,原方程无解,故舍去,∴m=7.(2)①当7为底边时,此时方程x2-2m+1x+m2+5=0有两个相等的实数根,∴Δ=4m+12-4m2+5=0,解得m=2,∴方程变为x2-6x+9=0,解得a=b=3,∵3+3<7,∴不能构成三角形.②当7为腰时,设a=7,代入方程得:49-14m+1+m2+5=0,解得:m=10或4,当m=10时,方程变为x2-22x+105=0,解得x=7或15,∴b=15,∵7+7<15,∴不能组成三角形;当m=4时,方程变为x2-10x+21=0,解得x=3或7,∴b=3,∴此时三角形的周长为7+7+3=17.综上所述,三角形的周长为17.4阅读材料:如果一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两根分别是x1,x2,那么x1+x2=-ba,x1∙x2=ca.借助该材料完成下列各题:(1)若x1,x2是方程x2-4x+5=0的两个实数根,则x1+x2=,x1∙x2=.(2)若x1,x2是方程x2+6x-3=0的两个实数根,x21+x22=,1x1+1x2=.(3)若x1,x2是关于x的方程x2-m-3x+m+8=0的两个实数根,且x21+x22=13,求m的值.【答案】解:(1)∵x1,x2是方程x2-4x+5=0的两个实数根,∴x1+x2=--41=4,x1∙x2=51=5.(2)∵x1,x2是方程x2+6x-3=0的两个实数根,∴x1+x2=-6,x1∙x2=-3,∴x21+x22=x1+x22-2x1x2=-62-2×-3=42,1 x1+1x2=x1+x2x1∙x2=-6-3=2.(3)∵关于x的方程x2-m-3x+m+8=0有两个实数根,∴Δ=m-32-4m+8≥0,即m≥5+43,或m≤5-43,∵x1,x2是关于x的方程x2-m-3x+m+8=0的两个实数根,∴x1+x2=m-3,x1∙x2=m+8,∴x21+x22=x1+x22-2x1x2=13,即m-32-2m+8=13,解得,m=-2或m=10.即m的值是-2或10.5如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0有两个实数根,且其中一个根为另一个根的2倍,那么称这样的方程为“倍根方程”.例如,一元二次方程x2-6x+8=0的两个根是2和4,则方程x2-6x+8=0就是“倍根方程”.(1)若一元二次方程x2-3x+c=0是“倍根方程”,则c=;(2)若x-2mx-n=0m≠0是“倍根方程”,求代数式2mnm2+n2的值;(3)若方程ax2+bx+c=0a≠0是“倍根方程”,且k+1与3-k是方程ax2+bx+c=5的两根,求一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根.【答案】解:(1)设一元二次方程x2-3x+c=0的根是a,2a,由根与系数的关系,得a+2a=3,a×2a=c,解得a=1,则2a=2.∴c=2.(2)由方程x-2mx-n=0m≠0,解得x1=2或x2=n m.∵方程x-2mx-n=0m≠0是“倍根方程”,∴n m =1或nm=4,当nm=1时,2mn m2+n2=2mn+nm=21+1=1;当nm=4时,2mn m2+n2=2mn+nm=214+4=817.(3)由方程ax2+bx+c=5,变形,得ax2+bx+c-5=0,由根与系数的关系,得k+1+3-k=-ba,即-ba=4.设x1,x2是方程ax2+bx+c=0的两根,∵方程ax2+bx+c=0a≠0是“倍根方程”,∴x1+x2=4,假设x1=2x2,则3x2=4,解得x2=43,则x1=83,故一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根是43和83.6已知关于x的方程x2-2k-3x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1,x2.(1)求实数k的取值范围;(2)若x1,x2满足x1 +x2 =2x1x2-3,求实数k的值.【答案】解:(1)∵原方程有两个不相等的实数根,∴Δ=-2k-32-4k2+1=4k2-12k+9-4k2-4=-12k+5>0,∴k<512.(2)∵k<512,∴x1+x2=2k-3<0.又∵x1x2=k2+1>0,∴x1<0,x2<0,∴x1 +x2 =-x1-x2=-x1+x2=-2k+3.由x1+x2 =2x1x2-3,得-2k+3=2k2+2-3,即k2+k-2=0,∴k1=-2,k2=1.又∵k<5 12,∴k=-2.7已知x1,x2是一元二次方程2x2-2x+m+1=0=0的两个实数根.(1)求实数m的取值范围;(2)如果x1,x2满足不等式4+4x1x2>x21+x22,且m为整数,求m的值.【答案】解:(1)根据题意得:Δ=-22-4×2×m+1≥0解得:m≤-1 2∴实数m的取值范围是m≤-12(2)根据题意得:x1+x2=1,x1∙x2=m+12,∵4+4x1x2>x21+x22∴4+4x1x2>x1+x22-2x1x2即4+6x1x2>x1+x22∴4+6×m+12>1∴m>-2∴-2<m≤-12∴整数m的值为-18已知x1,x2是关于x的方程x2+2x+2k-4=0两个实数根,并且x1≠x2,(1)求实数k的取值范围;(2)若k为正整数,且该方程的根都是整数,求k的值.(3)若x1-x2=6,求x1-x22+3x1x2的值.【答案】解:(1)Δ=b2-4ac=22-4×1×2k-4=20-8k.∵方程有两个不相等的实数根,∴20-8k>0,∴k<52.(2)∵k为正整数,∴0<k<52,即k=1或2,根据配方法可得:x+12=4-2k+1=5-2k,解得x=-1±5-2k;∵方程的根为整数,∴5-2k为完全平方数,当k=1时,5-2k=3,舍去;当k=2时,5-2k=1;∴k=2.(3)已知x1,x2为方程x2+2x+2k-4=0的两个不相等实数根,则x1+x2=-2,x1∙x2=2k-4,则x1-x2=x1-x22=x1+x22-4x1x2=20-8k=6,解得k=-2,即x1x2=2×-2-4=-8,所以x1-x22+3x1x2=62+3×-8=12.9已知关于x的一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0.(1)若方程有实数根,求k的取值范围;(2)若x1,x2是原方程的根,是否存在实数k,使2x1-x2x1-2x2=-32成立?若存在,请求出k的值;若不存在,请说明理由.【答案】解:(1)∵方程有实数根,∴Δ=-4k2-4×4k×k+1=-16k≥0,∴k≤0,∵方程是一元二次方程,∴4k≠0,即k≠0,∴k的取值范围为k<0;(2)不存在,理由如下:∵x1,x2是一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根,∴Δ=-4k2-4×4k×k+1=-16k≥0,且4k≠0,解得k<0.∵x1,x2是一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根,∴x1+x2=1,x1x2=k+14k,∴2x1-x2x1-2x2=2x21-4x1x2-x1x2+2x22=2x21+x22-9x1x2=2×12-9∙k+14k =-k-94k,若-k-94k=-32成立,则k=9 5,∵k<0,则k=95不成立,∴不存在这样k的值.10关于x的方程k-1x2+2kx+2=0.(1)求证:无论k为何值,方程总有实数根;(2)设x 1,x 2是方程k -1 x 2+2kx +2=0的两个根.求①x 1+x 2和x 1∙x 2的值;②若S =x 2x 1+x1x 2+x 1+x 2,那么S 的值能为2吗?若能,求出此时k 的值;若不能,请说明理由.【答案】(1)证明:当k =1时,原方程可化为2x +2=0,解得:x =-1,此时该方程有实数根;当k ≠1时,方程是一元二次方程,∵Δ=2k 2-4k -1 ×2=4k 2-8k +8=4k -1 2+4>0,∴方程有两个不相等的实数根.综上所述,无论k 为何值,方程总有实数根.(2)解:①由根与系数关系可知,x 1+x 2=-2k k -1,x 1x 2=2k -1;②若S =2,则x 2x 1+x1x 2+x 1+x 2=2,即x 1+x 22-2x 1x 2x 1x 2+x 1+x 2=2,将x 1+x 2,x 1x 2代入整理得:k 2-3k +2=0,解得:k =1(舍)或k =2,∴S 的值能为2,此时k =2.韦达定理1.基础公式:(1)x 1+x 2=-b a(2)x 1∙x 2=c a 2.拓展公式:(1)x 21+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2(2)1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2(3)x 2x 1+x 1x 2=x 21+x 22x 1x 2=(x 1+x 2)2-2x 1x 2x 1x 2(4)x 31+x 32=(x 1+x 2)(x 21-x 1x 2+x 22)=(x 1+x 2)(x 1+x 2)2-3x 1x 2(5)(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2(6)x 1-x 2 =(x 1+x 2)2-4x 1x 2(7)(x 1+k )(x 2+k )=x 1x 2+k (x 1+x 2)+k 2(8)1x 21+1x 22=x 21+x 22(x 1x 2)2=(x 1+x 2)2-2x 1x 2(x 1x 2)2题型训练1已知关于x 的一元二次方程kx 2+x -3=0有两个不相等的实数根.(1)求实数k 的取值范围;(2)设方程两个实数根分别为x 1,x 2,且满足x 1+x 2 2+x 1∙x 2=4,求k 的值.2已知关于x的一元二次方程x2-2m-1x+m2=0有实数根.(1)求m的取值范围;(2)设此方程的两个根分别为x1,x2,若x21+x22=8-3x1x2,求m的值.3已知a,b是关于x的一元二次方程x2-2m+1x+m2+5=0的两实数根.(1)若a-1=39,求m的值;b-1(2)已知等腰ΔAOB的一边长为7,若a,b恰好是ΔAOB另外两边的边长,求这个三角形的周长.4阅读材料:如果一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两根分别是x1,x2,那么x1+x2=-ba,x1∙x2=ca.借助该材料完成下列各题:(1)若x1,x2是方程x2-4x+5=0的两个实数根,则x1+x2=,x1∙x2=.(2)若x1,x2是方程x2+6x-3=0的两个实数根,x21+x22=,1x1+1x2=.(3)若x1,x2是关于x的方程x2-m-3x+m+8=0的两个实数根,且x21+x22=13,求m的值.5如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0有两个实数根,且其中一个根为另一个根的2倍,那么称这样的方程为“倍根方程”.例如,一元二次方程x2-6x+8=0的两个根是2和4,则方程x2-6x+8=0就是“倍根方程”.(1)若一元二次方程x2-3x+c=0是“倍根方程”,则c=;(2)若x-2mx-n=0m≠0是“倍根方程”,求代数式2mnm2+n2的值;(3)若方程ax2+bx+c=0a≠0是“倍根方程”,且k+1与3-k是方程ax2+bx+c=5的两根,求一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根.6已知关于x的方程x2-2k-3x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1,x2.(1)求实数k的取值范围;(2)若x1,x2满足x1 +x2 =2x1x2-3,求实数k 的值.7已知x1,x2是一元二次方程2x2-2x+m+1=0=0的两个实数根.(1)求实数m的取值范围;(2)如果x1,x2满足不等式4+4x1x2>x21+x22,且m为整数,求m的值.48已知x1,x2是关于x的方程x2+2x+2k-4=0两个实数根,并且x1≠x2,(1)求实数k的取值范围;(2)若k为正整数,且该方程的根都是整数,求k的值.(3)若x1-x2=6,求x1-x22+3x1x2的值.9已知关于x的一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0.(1)若方程有实数根,求k的取值范围;(2)若x1,x2是原方程的根,是否存在实数k,使2x1-x2x1-2x2=-32成立?若存在,请求出k的值;若不存在,请说明理由.510关于x的方程k-1x2+2kx+2=0.(1)求证:无论k为何值,方程总有实数根;(2)设x1,x2是方程k-1x2+2kx+2=0的两个根.求①x1+x2和x1∙x2的值;②若S=x2x1+x1x2+x1+x2,那么S的值能为2吗?若能,求出此时k的值;若不能,请说明理由.6。
几何最值问题-2023年中考数学压轴题专项训练(全国通用)(解析版)
12023年中考数学压轴题专项训练1.几何最值问题一、压轴题速练1一、单选题1(2023·山东烟台·模拟预测)如图,在矩形ABCD 中,AB =8,AD =4,点E 是矩形ABCD 内部一动点,且∠BEC =90°,点P 是AB 边上一动点,连接PD 、PE ,则PD +PE 的最小值为()A.8 B.45 C.10 D.45-2【答案】A【分析】根据∠BEC =90°得到点的运动轨迹,利用“将军饮马”模型将PE 进行转化即可求解.【详解】解:如图,设点O 为BC 的中点,由题意可知,点E 在以BC 为直径的半圆O 上运动,作半圆O 关于AB 的对称图形(半圆O '),点E 的对称点为E 1,连接O 'E 1,则PE =PE 1,∴当点D 、P 、E 1、O '共线时,PD +PE 的值最小,最小值为DE 1的长,如图所示,在Rt △DCO '中,CD =8,CO '=6,∴DO '=82+62=10,又∵O 'E 1=2,∴DE 1=DO '-O 'E 1=8,即PD +PE 的最小值为8,故选:A .【点睛】本题考查线段和最短问题、轴对称的性质、勾股定理及圆周角定理,利用“将军饮马”模型将PE 进行转化时解题的关键.2(2023·安徽黄山·校考模拟预测)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y =32x 2-32x -3的图象与x 轴交于点A ,C 两点,与y 轴交于点B ,对称轴与x 轴交于点D ,若P 为y 轴上的一个动点,连接PD ,则12PB +PD 的最小值为()2A.334B.32C.3D.543【答案】A【分析】作射线BA ,作PE ⊥BA 于E ,作DF ⊥BA 于F ,交y 轴于P ,可求得∠ABO =30°,从而得出PE =12PB ,进而得出PD +12PB =PD +EP ,进一步得出结果.【详解】解:如图,作射线BA ,作PE ⊥BA 于E ,作DF ⊥BA 于F ,交y 轴于P ,抛物线的对称轴为直线x =--322×32=12,∴OD =12,当x =0时,y =-3,∴OB =3,当y =0时,32x 2-32x -3=0,∴x 1=-1,x 2=2,∴A (-1,0),∴OA =1,∵tan ∠ABO =OA OB =13=33,∴∠ABO =30°,∴PE =12PB ,∴12PB +PD =PD +PE ≥DF ,当点P 在P 时,PD +PE 最小,最大值等于DF ,在Rt △ADF 中,∠DAF =90°-∠ABO =60°,AD =OD +PA =12+1=32,∴DF =AD ⋅sin ∠DAE =32×32-334,∴12PB +PD 最小=DF =334,故选:A .【点睛】本题以二次函数为背景,考查了二次函数与一元二次方程之间的关系,解直角三角形等知识,解决问题的关键是用三角函数构造12PB .3(2023秋·浙江金华·九年级统考期末)如图,正方形ABCD 的边长为4,点E 是正方形ABCD 内的动点,点P 是BC 边上的动点,且∠EAB =∠EBC .连结AE ,BE ,PD ,PE ,则PD +PE 的最小值为()3A.213-2B.45-2C.43-2D.215-2【答案】A【分析】先证明∠AEB =90°,即可得点E 在以AB 为直径的半圆上移动,设AB 的中点为O ,作正方形ABCD 关于直线BC 对称的正方形CFGB ,则点D 的对应点是F ,连接FO 交BC 于P ,交半圆O 于E ,根据对称性有:PD =PF ,则有:PE +PD =PE +PF ,则线段EF 的长即为PE +PD 的长度最小值,问题随之得解.【详解】解:∵四边形ABCD 是正方形,∴∠ABC =90°,∴∠ABE +∠EBC =90°,∵∠EAB =∠EBC ,∴∠EAB +∠EBA =90°,∴∠AEB =90°,∴点E 在以AB 为直径的半圆上移动,如图,设AB 的中点为O ,作正方形ABCD 关于直线BC 对称的正方形CFGB ,则点D 的对应点是F ,连接FO 交BC 于P ,交半圆O 于E ,根据对称性有:PD =PF ,则有:PE +PD =PE +PF ,则线段EF 的长即为PE +PD 的长度最小值,E∵∠G =90°,FG =BG =AB =4,∴OG =6,OA =OB =OE =2,∴OF =FG 2+OG 2=213,∴EF =OF -OE =213-2,故PE +PD 的长度最小值为213-2,故选:A .【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题,正方形的性质,勾股定理,正确的作出辅助线,得出点E 的运动路线是解题的关键.4(2022秋·安徽池州·九年级统考期末)如图,Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =4,BC =3,点P 为AC 边上的动点,过点P 作PD ⊥AB 于点D ,则PB +PD 的最小值为()4 A.154 B.245 C.5 D.203【答案】B【分析】作点B 关于AC 的对称点B ,过点B 作B D ⊥AB 于点D ,交AC 于点P ,点P 即为所求作的点,此时PB +PD 有最小值,连接AB ,根据对称性的性质,可知:BP =B P ,△ABC ≅△AB C ,根据S △ABB =S △ABC +S △AB C =2S △ABC ,即可求出PB +PD 的最小值.【详解】解:如下图,作点B 关于AC 的对称点B ,过点B 作B D ⊥AB 于点D ,交AC 于点P ,连接AB ,点P 即为所求作的点,此时PB +PD 有最小值,根据对称性的性质,可知:BP =B P ,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,AC =4,BC =3,∴AB =AC 2+BC 2=5,根据对称性的性质,可知:△ABC ≅△AB C ,∴S △ABB =S △ABC +S △ABC =2S △ABC ,即12×AB ⋅B D =2×12BC ⋅AC ,∴5B D =24,∴B D =245,故选:B .【点睛】本题考查了轴对称一最短路线问题,解题的关键是掌握轴对称的性质.5(2023秋·甘肃定西·八年级校考期末)如图所示,在△ABC 中,∠ABC =68°,BD 平分∠ABC ,P 为线段BD 上一动点,Q 为 边AB 上一动点,当AP +PQ 的值最小时,∠APB 的度数是()A.118°B.125°C.136°D.124°【答案】D【分析】先在BC 上截取BE =BQ ,连接PE ,证明△PBQ ≌△PBE SAS ,得出PE =PQ ,说明AP +PQ =AP +PE ,找出当A 、P 、E 在同一直线上,且AE ⊥BC 时,AP +PE 最小,即AP +PQ 最小,过点A 作AE ⊥BC 于点E ,交BD 于点P ,根据三角形外角的性质可得答案.【详解】解:在BC 上截取BE =BQ ,连接PE ,如图:∵BD 平分∠ABC ,∠ABC =68°,∴∠ABD =∠CBD =12∠ABC =34°,∵BP =BP ,∴△PBQ ≌△PBE SAS ,∴PE =PQ ,∴AP +PQ =AP +PE ,∴当A 、P 、E 在同一直线上,且AE ⊥BC 时,AP +PE 最小,即AP +PQ最小,过点A作AE ⊥BC 于点E ,交BD 于点P ,如图:∵∠AEB =90°,∠CBD =34°,∴∠APB =∠AEB +∠CBD =124°.故选:D .5【点睛】本题主要考查了角平分线的定义,三角形全等的判定和性质,垂线段最短,三角形内角和定理与三角形的外角的性质,解题的关键是找出使AP +PQ 最小时点P 的位置.6(2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆市凤鸣山中学校联考期末)如图,E 为正方形ABCD 边AD 上一点,AE =1,DE =3,P 为对角线BD 上一个动点,则PA +PE 的最小值为()A.5B.42C.210D.10【答案】A【分析】连接EC 交BD 于P 点,根据“两点之间线段最短”,可知PA +PE 的最小值即为线段EC 的长,求出EC 的长即可.【详解】连接EC ,交BD 于P 点∵四边形ABCD 为正方形∴A 点和C 点关于BD 对称∴PA =PC∴PA +PE =PC +PE =EC根据“两点之间线段最短”,可知PA +PE 的最小值即为线段EC 的长.∵AE =1,DE =3∴AD =4∴DC =4∴CE =DE 2+CD 2=32+42=5∴PA +PE 的最小值为5故选:A【点睛】本题主要考查了正方形的性质和两点之间线段最短,这是一个将军饮马模型.熟练掌握正方形的性质并且能够识别出将军饮马模型是解题的关键.7(2023春·湖南张家界·八年级统考期中)如图,正方形ABCD 的边长为4,点M 在DC 上,且DM =1,N 是AC 上一动点,则DN +MN 的最小值为()A.4B.42C.25D.5【答案】D【分析】由正方形的对称性可知点B 与D 关于直线AC 对称,连接BM 交AC 于N ′,N ′即为所求在Rt △BCM 中利用勾股定理即可求出BM 的长即可.【详解】∵四边形ABCD 是正方形,∴点B 与D 关于直线AC 对称,6连接BD ,BM 交AC 于N ′,连接DN ′,∴当B 、N 、M 共线时,DN +MN 有最小值,则BM 的长即为DN +MN 的最小值,∴AC 是线段BD 的垂直平分线,又∵CD =4,DM =1∴CM =CD -DM =4-1=3,在Rt △BCM 中,BM =CM 2+BC 2=32+42=5故DN +MN 的最小值是5.故选:D .【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题及正方形的性质,先作出D 关于直线AC 的对称点,由轴对称及正方形的性质判断出D 的对称点是点B 是解答此题的关键.8(2022秋·浙江杭州·九年级杭州外国语学校校考开学考试)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y =-x 2+bx +3的图像与x 轴交于A 、C 两点,与x 轴交于点C (3,0),若P 是x 轴上一动点,点D 的坐标为(0,-1),连接PD ,则2PD +PC 的最小值是()A.4B.2+22C.22D.32+232【答案】A【分析】过点P 作PJ ⊥BC 于J ,过点D 作DH ⊥BC 于H ,根据2PD +PC =2PD +22PC =2PD +PJ ,求出DP +PJ 的最小值即可解决问题.【详解】解:连接BC ,过点P 作PJ ⊥BC 于J ,过点D 作DH ⊥BC 于H .∵二次函数y =-x 2+bx +3的图像与x 轴交于点C (3,0),∴b =2,∴二次函数的解析式为y =-x 2+2x +3,令y =0,-x 2+2x +3=0,解得x =-1或3,∴A (-1,0),令x =0,y =3,∴B (0,3),∴OB =OC =3,∵∠BOC =90°,∴∠OBC =∠OCB =45°,∵D(0,-1),∴OD =1,BD =4,∵DH ⊥BC ,∴∠DHB =90°,设DH =x ,则BH =x ,∵DH 2+BH 2=BD 2,7∴x =22,∴DH =22,∵PJ ⊥CB ,∴∠PJC =90°,∴PJ =22PC ,∴2PD +PC =2PD +22PC =2PD +PJ ,∵DP +PJ ≥DH ,∴DP +PJ ≥22,∴DP +PJ 的最小值为22,∴2PD +PC 的最小值为4.故选:A .【点睛】本题考查了二次函数的相关性质,以及等腰直角三角形的判定和性质,垂线段最短等知识,得到∠OBC =∠OCB =45°,PJ =22PC 是解题的关键.9(2022·山东泰安·统考中考真题)如图,四边形ABCD 为矩形,AB =3,BC =4.点P 是线段BC 上一动点,点M 为线段AP 上一点.∠ADM =∠BAP ,则BM 的最小值为()A.52 B.125 C.13-32 D.13-2【答案】D【分析】证明∠AMD =90°,得出点M 在O 点为圆心,以AO 为半径的圆上,从而计算出答案.【详解】设AD 的中点为O ,以O 点为圆心,AO 为半径画圆∵四边形ABCD 为矩形∴∠BAP +∠MAD =90°∵∠ADM =∠BAP∴∠MAD +∠ADM =90°∴∠AMD =90°∴点M 在O 点为圆心,以AO 为半径的圆上连接OB 交圆O 与点N∵点B 为圆O 外一点∴当直线BM 过圆心O 时,BM 最短∵BO 2=AB 2+AO 2,AO =12AD =2∴BO 2=9+4=13∴BO =13∵BN =BO -AO =13-2故选:D .【点睛】本题考查直角三角形、圆的性质,解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知识.810(2022·河南·校联考三模)如图1,正方形ABCD 中,点E 是BC 的中点,点P 是对角线AC 上的一个动点,设AP =x ,PB +PE =y ,当点P 从A 向点C 运动时,y 与x 的函数关系如图2所示,其中点M 是函数图象的最低点,则点M 的坐标是()A.42,35B.22,35C.35,22D.35,42【答案】A【分析】根据图像,当P 与C 重合时,PB +PE =9即CB +CE =9,从而确定正方形的边长为6,根据将军饮马河原理,连接DE 交AC 于点G ,当点P 与点G 重合时,PE +PB 最小,且为DE 的长即点M 的纵坐标,利用相似三角形,计算AG 的长即为横坐标.【详解】如图,根据图像,当P 与C 重合时,PB +PE =9即CB +CE =9,∵点E 是BC 的中点,∴BC =6,连接DE 交AC 于点G ,当点P 与点G 重合时,PE +PB 最小,且为DE 的长即点M 的纵坐标,∵四边形ABCD 是正方形,AB =6,∴CE ∥AD ,AC =62+62=62,DE =62+32=35,∴△CGE ∽△AGD ,∴CG AG =CE AD =12,∴AC AG=32,∴AG =42,故点M 的坐标为(42,35),故A 正确.故选:A .【点睛】本题考查了正方形的性质,三角形相似的判定和性质,函数图像信息的获取,将军饮马河原理,熟练掌握正方形的性质,灵活运用三角形相似,构造将军饮马河模型求解是解题的关键.2二、填空题11(2023春·江苏宿迁·九年级校联考阶段练习)如图,矩形ABCD ,AB =4,BC =8,E 为AB 中点,F 为直线BC 上动点,B 、G 关于EF 对称,连接AG ,点P 为平面上的动点,满足∠APB =12∠AGB ,则DP 的最小值.【答案】210-22【分析】由题意可知,∠AGB =90°,可得∠APB =12∠AGB =45°,可知点P 在以AB 为弦,圆周角∠APB =45°的9圆上,(要使DP 最小,则点P 要靠近蒂点D ,即点P 在AB 的右侧),设圆心为O ,连接OA ,OB ,OE ,OP ,OD ,过点O 作OQ ⊥AD ,可知△AOB 为等腰直角三角形,求得OA =22AB =22=OP ,AQ =OQ =22OA =2,QD =AD -AQ =6,OD =OQ 2+QD 2=210,再由三角形三边关系可得:DP ≥OD -OP =210-22,当点P 在线段OD 上时去等号,即可求得DP 的最小值.【详解】解:∵B 、G 关于EF 对称,∴BH =GH ,且EF ⊥BG∵E 为AB 中点,则EH 为△ABG 的中位线,∴EH ∥AG ,∴∠AGB =90°,∵∠APB =12∠AGB ,即∠APB =12∠AGB =45°,∴点P 在以AB 为弦,圆周角∠APB =45°的圆上,(要使DP 最小,则点P 要靠近蒂点D ,即点P 在AB 的右侧)设圆心为O ,连接OA ,OB ,OE ,OP ,OD ,过点O 作OQ ⊥AD ,则OA =OB =OP ,∵∠APB =45°,∴∠AOB =90°,则△AOB 为等腰直角三角形,∴OA =22AB =22=OP ,又∵E 为AB 中点,∴OE ⊥AB ,OE =12AB =AE =BE ,又∵四边形ABCD 是矩形,∴∠BAD =90°,AD =BC =8,∴四边形AEOQ 是正方形,∴AQ =OQ =22OA =2,QD =AD -AQ =6,∴OD =OQ 2+QD 2=210,由三角形三边关系可得:DP ≥OD-OP =210-22,当点P 在线段OD 上时去等号,∴DP 的最小值为210-22,故答案为:210-22.【点睛】本题考查轴对称的性质,矩形的性质,隐形圆,三角形三边关系,正方形的判定及性质,等腰直角三角形的判定及性质,根据∠APB =12∠AGB =45°得知点P 在以AB 为弦,圆周角∠APB =45°的圆上是解决问题的关键.12(2023春·江苏连云港·八年级期中)如图,在边长为8的正方形ABCD 中,点G 是BC 边的中点,E 、F 分别是AD 和CD 边上的点,则四边形BEFG 周长的最小值为.【答案】2410【分析】作点G 关于CD 的对称点G ,作点B 关于AD 的对称点B ,连接B G ,根据两点之间线段最短即可解决问题.【详解】作点G 关于CD 的对称点G ,作点B 关于AD 的对称点B ,连接B G∵EB =EB ,FG =FG ,∴BE +EF +FG +BG =B E +EF +FG +BG ,∵EB +EF +FG ≥B G ,∴四边形BEFG 的周长的最小值=BG +B G ,∵正方形ABCD 的边长为8∴BG =4,BB =16,BG =12,∴B G =162+122=20,∴四边形BEFG 的周长的最小值为=4+20=24.故答案为:24.【点睛】本题考查轴对称求线段和的最短问题,正方形的性质,勾股定理,解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题.13(2022·湖南湘潭·校考模拟预测)如图,菱形草地ABCD 中,沿对角线修建60米和80米两条道路AC <BD ,M 、N 分别是草地边BC 、CD 的中点,在线段BD 上有一个流动饮水点P ,若要使PM +PN 的距离最短,则最短距离是米.【答案】50【分析】作M 关于BD 的对称点Q ,连接NQ ,交BD 于P ,连接MP ,当P 点与P 重合时,MP +NP =MP +NP =NQ 的值最小,根据菱形的性质和勾股定理求出BC 长,即可得出答案.【详解】解:作M 关于BD 的对称点Q ,连接NQ ,交BD 于P ,连接MP ,当P 点与P 重合时,MP +NP =MP +NP =NQ 的值最小,∵四边形ABCD 是菱形,∴AC ⊥BD ,∠QBP =∠MBP ,即Q 在AB 上,∵MQ ⊥BD ,∴AC ∥MQ ,∴M 为BC 中点,∴Q 为AB 中点,∵N 为CD 中点,四边形ABCD 是菱形,∴BQ ∥CD ,BQ =CN ,∴四边形BQNC 是平行四边形,∴NQ =BC ,设AC 与BD 的交点为点O ,∵四边形ABCD 是菱形,∴AC ⊥BD,OC =12AC =30米,OB =12BD =40米,∴BC =OB 2+OC 2=50米,∴PM +PN 的最小值是50米.故答案为:50.11【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题,平行四边形的性质和判定,菱形的性质,勾股定理的应用,解此题的关键是能根据轴对称找出P 的位置.14(2023春·江苏·九年级校考阶段练习)如图,正方形ABCD 的边长为4,⊙B 的半径为2,P 为⊙B 上的动点,则2PC -PD 的最大值是.【答案】2【分析】解法1,如图:以PD 为斜边构造等腰直角三角形△PDM ,连接MC ,BD ,连接PM 、DM ,推得2PC -PD=2PC -22PD =2PC -PM ,因为PC -PM ≤MC ,求出MC 即可求出答案.解法2:如图:连接BD 、BP 、PC ,在BD 上做点M ,使BM BP =24,连接MP ,证明△BMP ∼△BPD ,在BC 上做点N ,使BN BP=12,连接NP ,证明△BNP ∼△BPC ,接着推导出2PC -PD =22MN ,最后证明△BMN ∼△BCD ,即可求解.【详解】解法1如图:以PD 为斜边构造等腰直角三角形△PDM ,连接MC ,BD ,∴∠PDM =45,DM =PM =22PD ,∵四边形ABCD 正方形∴∠BDC =45°,DB DC=2又∵∠PDM =∠PDB +MDB ,∠BDC =∠MDB +MDC∴∠PDB =∠MDC在△BPD 与△MPC 中∠PDB =∠MDC ,DB DC=DP DM =2∴△BPD ∼△MPC∴PB MC=2∵BP =2∴MC =2∵2PC -PD =2PC-22PD =2PC -PM ∵PC -PM ≤MC ∴2PC -PD =2PC -PM ≤2MC =2故答案为:2.解法2如图:连接BD 、BP 、PC根据题意正方形ABCD 的边长为4,⊙B 的半径为2∴BP =2,BD =BC 2+CD 2=42+42=42∵BP BD =242=2412在BD 上做点M ,使BM BP=24,则BM =22,连接MP 在△BMP 与△BPD 中∠MBP =∠PBD ,BP BD =BM BP∴△BMP ∼△BPD∴PM PD =24,则PD =22PM ∵BP BC =24=12在BC 上做点N ,使BN BP=12,则BN =1,连接NP 在△BNP 与△BPC 中∠NBP =∠PBC ,BN BP =BP PC∴△BNP ∼△BPC∴PN PC=12,则PC =2PN ∴如图所示连接NM ∴2PC -PD =2×2PN -22PM =22PN -PM ∵PN -PM ≤NM ∴2PC -PD =22PN -PM ≤22NM在△BMN 与△BCD 中∠NBM=∠DBC ,BM BC =224=28,BN BD =142=28∴BM BC=BN BD ∴△BMN ∼△BCD∴MN CD=28∵CD =4∴MN =22∴22MN =22×22=2∴2PC -PD ≤22NM =2故答案为:2.【点睛】本题考查正方形的性质,相似三角形,勾股定理等知识,难度较大,熟悉以上知识点运用是解题关键.15(2023秋·广东广州·九年级统考期末)如图,四边形ABCD 中,AB ∥CD ,AC ⊥BC ,∠DAB =60°,AD =CD =4,点M 是四边形ABCD 内的一个动点,满足∠AMD =90°,则△MBC 面积的最小值为.【答案】63-4【分析】取AD 的中点O ,连接OM ,过点M 作ME ⊥BC 交BC 的延长线于点E ,过点O 作OF ⊥BC 于F ,交CD 于G ,则OM +ME ≥OF ,通过计算得出当O ,M ,E 三点共线时,ME 有最小值,求出最小值即可.【详解】解:如图,取AD 的中点O ,连接OM ,过点M 作ME ⊥BC 交BC 的延长线于点E ,过点O 作OF ⊥BC 于F ,交CD 于G ,则13OM +ME ≥OF ,∵AB ∥CD ,∠DAB =60°,AD =CD =4,∴∠ADC =120°,∵AD =CD ,∴∠DAC =30°,∴∠CAB =30°,∵AC ⊥BC ,∴∠ACB =90°∴∠B =90°-30°=60°,∴∠B =∠DAB ,∴四边形ABCD 为等腰梯形,∴BC =AD =4,∵∠AMD =90°,AD =4,OA =OD ,∴OM =12AD =2,∴点M 在以点O 为圆心,2为半径的圆上,∵AB ∥CD ,∴∠GCF =∠B =60°,∴∠DGO =∠CGF =30°,∵OF ⊥BC ,AC ⊥BC ,∴∠DOG =∠DAC =30°=∠DGO ,∴DG =DO =2,∴OG =2OD ⋅cos30°=23,GF =3,OF =33,∴ME ≥OF -OM =33-2,∴当O ,M ,E 三点共线时,ME 有最小值33-2,∴△MBC 面积的最小值为=12×4×33-2 =63-4.【点睛】本题考查了解直角三角形、隐圆、直角三角形的性质等知识点,点M 位置的确定是解题关键.16(2023春·全国·八年级专题练习)如图,在等边△ABC 中,BD ⊥AC 于D ,AD =3cm .点P ,Q 分别为AB,AD 上的两个定点且BP =AQ =1cm ,点M 为线段BD 上一动点,连接PM ,QM ,则PM +QM 的最小值为cm .【答案】5【分析】如图所示,作点P 关于BD 的对称点P ,且点P 在BC 上,则PM +QM =P M+QM ,当P ,M ,Q 在同一条直线上时,有最小值,证明四边形PP QA 是平行四边形,P Q =AP =AB -BP ,由此即可求解.【详解】解:如图所示,作点P 关于BD 的对称点P ,∵△ABC 是等边三角形,BD ⊥AC ,∴∠ABD =∠DBC =12∠ABC =12×60°=30°,14∴点P 在BC 上,∴P M =PM ,则PM +QM =P M +QM ,当P ,M ,Q 在同一条直线上时,有最小值,∵点P 关于BD 的对称点P ,∠ABD =∠DBC =30°,∴PP ⊥BM ,BP =BP =1cm ,∴∠BP P =60°,∴△BPP 是等边三角形,即∠BP P =∠C =60°,∴PP ∥AC ,且PP =AQ =1cm ,∴四边形PP QA 是平行四边形,∴P Q =AP =AB -BP ,在Rt △ABD 中,∠ABD =30°,AD =3,∴AB =2AD =2×3=6,∴AP =P Q =P M +QM =PM +QM =AB -BP =6-1=5,故答案为:5.【点睛】本题主要考查动点与等边三角形,对称-最短路径,平行四边形的判定和性质的综合,理解并掌握等边三角形得性质,对称-最短路径的计算方法,平行四边形的判定和性质是解题的关键.17(2022秋·山东菏泽·九年级校考阶段练习)如图,在周长为12的菱形ABCD 中,DE =1,DF =2,若P 为对角线AC 上一动点,则EP +FP 的最小值为.【答案】3【分析】作F 点关于BD 的对称点F ,连接EF 交BD 于点P ,则PF =PF ,由两点之间线段最短可知当E 、P 、F 在一条直线上时,EP +FP 有最小值,然后求得EF 的长度即可.【详解】解:作F 点关于BD 的对称点F ,则PF =PF ,连接EF '交BD 于点P .∴EP +FP =EP +F P .由两点之间线段最短可知:当E 、P 、F '在一条直线上时,EP +FP 的值最小,此时EP +FP =EP +F P =EF .∵四边形ABCD 为菱形,周长为12,∴AB =BC =CD =DA =3,AB ∥CD ,∵AF =2,AE =1,∴DF =AE =1,∴四边形AEF D 是平行四边形,∴EF =AD =3.∴EP +FP 的最小值为3.故答案为:3.【点睛】本题主要考查的是菱形的性质、轴对称--路径最短问题,明确当E 、P 、F 在一条直线上时EP +FP 有最小值是解题的关键.18(2023春·上海·八年级专题练习)如图,直线y =x +4与x 轴,y 轴分别交于A和B ,点C 、D 分别为线段AB 、OB 的中点,P 为OA 上一动点,当PC +PD 的值最小时,点P 的坐标为.15【答案】(-1,0)【分析】直线y =x +4与x 轴,y 轴分别交于A 和B ,可求出点A ,B 的坐标,点C 、D 分别为线段AB 、OB 的中点,可求出点C 、D 的坐标,作点C 关于x 轴的对称点C ,连接C D 与x 轴的交点就是所求点P 的坐标.【详解】解:直线y =x +4与x 轴,y 轴分别交于A 和B ,∴当y =0,x =-4,即A (-4,0);当x =0,y =4,即B (0,4),∵点C 、D 分别为线段AB 、OB 的中点,∴C (-2,2),D (0,2),如图所示,过点C 关于x 轴的对称点C,∴C (-2,-2),∴直线C D 的解析式为:y =2x +2,当y =0,x =-1,即P (-1,0),故答案为:(-1,0).【点睛】本题主要考查一次函数与最短线段的综合,掌握对称中最短线段的解题方法是解题的关键.19(2023秋·黑龙江鸡西·九年级统考期末)如图,抛物线y =x 2-4x +3与x 轴分别交于A ,B两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C ,在其对称轴上有一动点M ,连接MA ,MC ,AC ,则△MAC 周长的最小值是.【答案】32+10【分析】根据“将军饮马”模型,先求出A 1,0 ,B 3,0 ,C 0,3 ,由二次函数对称性,A ,B 关于对称轴对称,从而C △MAC =CA +CM +MA =CA +CM +MB ,AC =OA 2+OC 2=10,则△MAC 周长的最小值就是CM +MB 的最小值,根据两点之间线段最短即可得到CM +MB 的最小值为C ,M ,B 三点共线时线段CB 长,从而得到CB =OC 2+OB 2=32,即可得到答案.【详解】解:∵抛物线y =x 2-4x +3与x 轴分别交于A ,B 两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C ,16∴当y =0时,0=x 2-4x +3解得x =1或x =3,即A 1,0 ,B 3,0 ;当x =0时,y =3,即C 0,3 ,由二次函数对称性,A ,B 关于对称轴对称,即MA =MB ,∴C △MAC =CA +CM +MA =CA +CM +MB ,∵AC =OA 2+OC 2=10,∴△MAC 周长的最小值就是CM +MB 的最小值,根据两点之间线段最短即可得到CM +MB 的最小值为C ,M ,B 三点共线时线段CB 长,∵CB =OC 2+OB 2=32,∴△MAC 周长的最小值为CA +CB =32+10,故答案为:32+10.【点睛】本题考查动点最值问题与二次函数综合,涉及“将军饮马”模型求最值、二次函数图像与性质、解一元二次方程、勾股定理求线段长等知识,熟练掌握动点最值的常见模型是解决问题的关键.20(2023秋·浙江温州·九年级校考期末)如图所示,∠ACB =60°,半径为2的圆O 内切于∠ACB.P 为圆O 上一动点,过点P 作PM 、PN 分别垂直于∠ACB 的两边,垂足为M 、N ,则PM +2PN 的取值范围为.【答案】6-23≤PM +2PN ≤6+23【分析】根据题意,本题属于动点最值问题-“阿氏圆”模型,首先作MH ⊥NP 于H ,作MF ⊥BC 于F ,如图所示,通过代换,将PM +2PN 转化为PN +12PM =PN +HP =NH ,得到当MP 与⊙O 相切时,MF 取得最大值和最小值,分两种情况,作出图形,数形结合解直角三角形即可得到相应最值,进而得到取值范围.【详解】解:作MH ⊥NP 于H ,作MF ⊥BC 于F ,如图所示:∵PM ⊥AC ,PN ⊥CB ,∴∠PMC =∠PNC =90°,∴∠MPN =360°-∠PMC -∠PNC -∠C =120°,∴∠MPH =180°-∠MPN =60°,∴HP =PM ⋅cos ∠MPH =PM ⋅cos60°=12PM ,∴PN +12PM =PN +HP =NH ,∵MF =NH ,∴当MP 与⊙O 相切时,MF 取得最大和最小,①连接OP ,OG ,OC ,如图1所示:可得:四边形OPMG 是正方形,∴MG =OP =2,在Rt △COG 中,CG =OG ⋅tan60°=23,∴CM =CG +GM =2+23,在Rt △CMF 中,MF =CM ⋅sin60°=3+3,∴HN =MF =3+3,即PM +2PN =212PM +PN =2HN =6+23;②连接OP ,OG ,OC ,如图2所示:可得:四边形OPMG 是正方形,17∴MG =OP =2,由上同理可知:在Rt △COG 中,CG =OG ⋅tan60°=23,∴CM =CG -GM =23-2,在Rt △CMF 中,MF =CM ⋅sin60°=3-3,∴HN =MF =3-3,即PM +2PN =212PM +PN =2HN =6-23,∴6-23≤PM +2PN ≤6+23.故答案为:6-23≤PM +2PN ≤6+23.【点睛】本题考查动点最值模型-“阿氏圆”,难度较大,掌握解决动点最值问题的方法,熟记相关几何知识,尤其是圆的相关知识是解决问题的关键.3三、解答题21(2022春·江苏·九年级专题练习)综合与探究如图,已知抛物线y =ax 2+bx +4经过A -1,0 ,B 4,0 两点,交y 轴于点C .(1)求抛物线的解析式,连接BC ,并求出直线BC 的解析式;(2)请在抛物线的对称轴上找一点P ,使AP +PC 的值最小,此时点P 的坐标是;(3)点Q 在第一象限的抛物线上,连接CQ ,BQ ,求出△BCQ 面积的最大值.【答案】(1)y =-x 2+3x +4;y =-x +4(2)32,52(3)8【分析】(1)将A -1,0 ,B 4,0 两点,代入抛物线解析式,可得到抛物线解析式,从而得到C 0,4 ,再设直线BC 的解析式为y =kx +b k ≠0 ,把点B 、C 的坐标代入,即可求解;(2)连接BC ,PB ,根据题意可得A 、B 关于抛物线的对称轴直线x =32对称,从而得到当P 在直线AB 上三点共线时,AP +CP 的值最小,把x =32代入直线BC 的解析式,即可求解;(3)过Q 作QD ⊥x 轴,交BC 于D ,设Q d ,-d 2+3d +4 ,其中0≤d ≤4,则D d ,-d +4 ,可得QD =-d 2+4d ,从而得到S ΔBCQ =12OB ×QD =-2d -2 2+8,即可求解;【详解】(1)解:(1)∵抛物线y =ax 2+bx +4经过A -1,0 ,B 4,0 两点,∴a -b +4=016a +4b +4=0,解得:a =-1b =3 ,18∴抛物线的解析式为y =-x 2+3x +4;∵抛物线与y 轴的交点为C ,∴C 0,4 ,设直线BC 的解析式为y =kx +b k ≠0 ,把点B 、C 的坐标代入得:4k +b =0b =4 ,解得:k =-1b =4 ,∴直线BC 的解析式为y =-x +4;(2)如图,连接BC ,PB ,∵y =-x 2+3x +4=-x -32 2+74,∴抛物线的对称轴为直线x =32,根据题意得:A 、B 关于抛物线的对称轴直线x =32对称,∴AP =BP ,∴AP +CP =BP +CP ≥BC ,即当P 在直线AB 上时,AP +CP 的值最小,∴当x =32时,y =-32+4=52,∴P 32,52 ,故答案是:32,52 ;(3)过Q 作QD ⊥x 轴,交BC 于D ,设Q d ,-d 2+3d +4 ,其中0≤d ≤4,则D d ,-d +4 ,∴QD =-d 2+3d +4 --d +4 =-d 2+4d ,∵B 4,0 ,∴OB =4,∴S ΔBCQ =12OB ×QD =-2d 2+8d =-2d -2 2+8,当d =2时,S ΔBCQ 取最大值,最大值为8,∴△BCQ 的最大面积为8;【点睛】本题主要考查了二次函数的图像和性质,利用数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键.22(2023秋·江苏淮安·八年级统考期末)如图1,直线AB :y =-x +6分别与x ,y 轴交于A ,B 两点,过点B 的直线交x 轴负半轴于点C -3,0 .(1)请直接写出直线BC 的关系式:(2)在直线BC 上是否存在点D,使得S △ABD =S △AOD 若存在,求出点D 坐标:若不存请说明理由;(3)如图2,D 11,0 ,P 为x 轴正半轴上的一动点,以P 为直角顶点、BP 为腰在第一象限内作等腰直角三角形△BPQ ,连接QA ,QD .请直接写出QB -QD 的最大值:.19【答案】(1)y =2x +6(2)当D 185,665 或D -185,-65时,S △ABD =S △AOD (3)37【分析】(1)根据直线AB 与y 轴的交点,可求出点B 的坐标,再用待定系数法即可求解;(2)设D (a ,2a +6),分别用含a 的式子表示出出S △AOD ,S △ABD ,由此即可求解;(3)△BPQ 是等腰直角三角形,设P (m ,0)(m >0),可表示出QB ,再证Rt △BOP ≌Rt △PTQ (AAS ),如图所示,当点B ,R ,Q 在一条直线上时,QB -QD 的值最大,最大值为BR 的值,可求得点R 的坐标,根据勾股定理即可求解.【详解】(1)解:∵直线AB :y =-x +6分别与x ,y 轴交于A ,B 两点,令x =0,则y =6,∴B (0,6),且C -3,0 ,设直线BC 的解析式为y =kx +b ,∴b =6-3k +b =0,解得,k =2b =6 ,∴直线BC 的解析式为y =2x +6,故答案为:y =2x +6.(2)解:由(1)可知直线BC 的解析式为y =2x +6,直线AB 的解析式为y =-x +6,∴A (6,0),B (0,6),C (-3,0),∴OA =6,BO =6,OC =3,如图所示,点D 在直线BC 上,过点D 作DE ⊥x 轴于E ,∴设D (a ,2a +6),E (a ,0),∴S △ABC =12AC ·OB =12×(6+3)×6=27,S △ADC =12AC ·DE =12×(6+3)×a =92a ,S △AOD =12OA ·DE =12×6×a =3a ,∴S △ABD =S △ABC -S △ADC =27-92a ,若S △ABD =S △AOD ,则27-92a =3a ,当a >0时,27-92a =3a ,解得,a =185,即D 185,665 ;当a <0时,27+92a =-3a ,解得,a =-185,即D -185,-65 ;综上所述,当D 185,665 或D -185,-65时,S △ABD =S △AOD .(3)解:已知A (6,0),B (0,6),D (11,0),设P (m ,0)(m >0),∴在Rt △BOP 中,OB =6,OP =m ,∵△BPQ 是等腰直角三角形,∠BPQ =90°,∴BP =QP ;如图所示,过点Q 作QT ⊥x 轴于T ,20在Rt △BOP ,Rt △PTQ 中,∠BOP =∠PTQ =90°,∠BPO +∠QPA =∠QPA +∠PQT =90°,∴∠BPO =∠PQT ,∴∠BPO =∠PQT∠BOP =∠PTQ BP =QP,∴Rt △BOP ≌Rt △PTQ (AAS ),∴OP =TQ =m ,OB =PT =6,∴AT =OP +PT -OA =m +6-6=m ,∴AT =QT ,且QT ⊥x 轴,∴△ATQ 是等腰直角三角形,∠QAT =45°,则点Q 的轨迹在射线AQ 上,如图所示,作点D 关于直线AQ 的对称点R,连接QR ,BR ,AR ,A (6,0),B (0,6),D (11,0),∵△ATQ 是等腰直角三角形,即∠QAT =45°,根据对称性质,∴∠QAR =45°,∴RA ⊥x 轴,且△DQA ≌△RQA ,∴AR =AD =11-6=5,则R (6,5),如图所示,当点B ,R ,Q 在一条直线上时,QB -QD 的值最大,最大值为BR 的值;∴由勾股定理得:BR =62+(6-5)2=37,故答案为:37.【点睛】本题主要考查一次函数,几何的综合,掌握待定系数法求解析式,将军饮马问题,等腰直角三角形的性质,勾股定理是解题的关键.23(2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习)△ABC 中,∠B =60°.(1)如图1,若AC >BC ,CD 平分∠ACB 交AB 于点D ,且AD =3BD .证明:∠A =30°;(2)如图2,若AC <BC ,取AC 中点E ,将CE 绕点C 逆时针旋转60°至CF ,连接BF 并延长至G ,使BF =FG ,猜想线段AB 、BC 、CG 之间存在的数量关系,并证明你的猜想;(3)如图3,若AC =BC ,P 为平面内一点,将△ABP 沿直线AB 翻折至△ABQ ,当3AQ +2BQ +13CQ 取得最小值时,直接写出BPCQ的值.【答案】(1)见解析(2)BC =AB +CG ,理由见解析(3)213+33913【分析】(1)过点D 分别作BC ,AC 的垂线,垂足为E ,F ,易得DE =DF ,由∠B =60°,可得DE =DF =32BD ,由AD =3BD ,求得sin A =DE AD=12,可证得∠A =30°;(2)延长BA ,使得BH =BC ,连接EH ,CH ,易证△BCH 为等边三角形,进而可证△BCF ≌△HCE SAS ,可得BF =HE ,∠BFC =∠HEC ,可知∠AEH =∠CFG ,易证得△AEH ≌△CFG SAS ,可得AH =CG ,由BC =BH =AB +AH =AB +CG 可得结论;(3)由题意可知△ABC 是等边三角形,如图,作CM ⊥CA ,且CM =32CA ,作CN ⊥CQ ,且CN =32CQ ,可得CM CA=CN CQ =32,QN =CQ 2+CN 2=132CQ ,可知△ACQ ∽△MCN ,可得MN =32AQ ,由3AQ +2BQ +13CQ =232AQ +BQ +132CQ =2MN +BQ +QN ≥2BM 可知点Q ,N 都在线段BM 上时,3AQ +2BQ+13CQ 有最小值,过点C 作CR ⊥BM ,过点M 作MT ⊥BC 交BC 延长线于T ,可得CR =CQ ⋅sin ∠CQN =313CQ ,QR =CQ ⋅cos ∠CQN =213CQ ,可证△CBR ∽△MBT ,得BR CR =BT MT ,设BC =a 由等边三角形的性质,可得CM =32a ,进而可得CT =CM ⋅cos30°=334a ,MT =CM ⋅sin30°=34a ,结合BR CR=BTMT 可得:BQ +213CQ 313CQ =a +334a 34a ,可得BQ CQ =213+33913,由翻折可知,BP =BQ ,可求得BP CQ的值.【详解】(1)证明:过点D 分别作BC ,AC 的垂线,垂足为E ,F ,∵CD 平分∠ACB ,DE ⊥BC ,DF ⊥AC ,∴DE =DF ,又∵∠B =60°,∴DE =BD ⋅sin60°=32BD ,则DE =DF =32BD ,又∵AD =3BD ,∴sin A =DE AD =32BD3BD=12,∴∠A =30°;(2)BC =AB +CG ,理由如下:延长BA ,使得BH =BC ,连接EH ,CH ,∵∠ABC =60°,BH =BC ,∴△BCH 为等边三角形,∴CB =CH ,∠BCH =60°,∵CE 绕点C 逆时针旋转60°至CF ,∴CE =CF ,∠ECF =60°,则∠BCH -∠ACB =∠ECF -∠ACB ,∴∠ECH =∠FCB ,∴△BCF ≌△HCE SAS ,∴BF =HE ,∠BFC =∠HEC ,则∠AEH =∠CFG ,∵BF =FG ,∴BF =HE =FG ,又∵E 为AC 中点,∴AE =CE =CF ,∴△AEH ≌△CFG SAS ,∴AH =CG ,∴BC =BH =AB +AH =AB +CG ;(3)∵∠ABC =60°,AC =BC ,∴△ABC 是等边三角形,如图,作CM ⊥CA ,且CM =32CA ,作CN ⊥CQ ,且CN =32CQ ,则CM CA=CN CQ =32,QN =CQ 2+CN 2=132CQ ,∴sin ∠CQN =CN QN =313,cos ∠CQN =CQ QN =213,则∠ACM =∠QCN =90°,∴∠ACM -∠ACN =∠QCN -∠ACN ,则∠ACQ =∠MCN∴△ACQ ∽△MCN ,∴MN AQ =CM CA=32,即:MN =32AQ ,∴3AQ +2BQ +13CQ =232AQ +BQ +132CQ =2MN +BQ +QN ≥2BM即:点Q ,N 都在线段BM 上时,3AQ +2BQ +13CQ 有最小值,如下图,过点C 作CR ⊥BM ,过点M 作MT ⊥BC 交BC 延长线于T ,则∠BRC =∠BTM =90°,CR =CQ ⋅sin ∠CQN =313CQ ,QR =CQ ⋅cos ∠CQN =213CQ ,又∵∠CBR =∠MBT ,∴△CBR ∽△MBT ,∴BR CR=BT MT ,∵△ABC 是等边三角形,设BC =a ∴∠ACB =60°,AC =BC =a ,则CM =32a ,∵∠ACM =90°,∴∠MCT =30°,则CT =CM ⋅cos30°=334a ,MT =CM ⋅sin30°=34a ,则由BR CR=BT MT 可得:BQ +213CQ 313CQ =a +334a34a ,整理得:133BQ CQ +23=4+333,得BQ CQ=213+33913,由翻折可知,BP =BQ ,∴BP CQ =BQ CQ=213+33913.【点睛】本题属于几何综合,考查了解直角三角形,等边三角形的判定及性质,全等三角形的判定及性质,相似三角形的判定及性质,旋转的性质以及费马点问题,掌握费马点问题的解决方法,添加辅助线构造全等三角形和相似三角形是解决问题的关键.24(2023春·江苏·八年级专题练习)定义:既相等又垂直的两条线段称为“等垂线段”,如图1,在Rt △ABC 中,∠A =90°,AB =AC ,点D 、E 分别在边AB 、AC 上,AD =AE ,连接DE 、DC ,点M 、P 、N 分别为DE 、DC 、BC 的中点,且连接PM 、PN .(1)观察猜想线段PM 与PN 填(“是”或“不是”)“等垂线段”.(2)△ADE 绕点A 按逆时针方向旋转到图2所示的位置,连接BD ,CE ,试判断PM 与PN 是否为“等垂线段”,并说明理由.(3)拓展延伸把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转,若DE =2,BC =4,请直接写出PM 与PN 的积的最大值.。
初三数学压轴题100题
1.一个等腰三角形的底边长为10厘米,腰长为13厘米,求这个三角形的面积。
答案:底边上的高为12厘米,面积为60平方厘米。
2.解方程:2x^2 - 5x + 2 = 0。
答案:x1 = 1/2, x2 = 2。
3.一个圆的半径是7厘米,求这个圆的周长和面积。
答案:周长约为43.98厘米,面积约为153.94平方厘米。
4.一个长方体的长、宽、高分别是8厘米、6厘米和4厘米,求它的体积和表面积。
答案:体积为192立方厘米,表面积为192平方厘米。
5.一个数的2/3加上15等于这个数的1/2,求这个数。
答案:这个数是60。
6.一个班级有40名学生,其中女生占全班的5/8,求男生的人数。
答案:男生有15人。
7.一个三角形的两边长分别是8厘米和6厘米,夹角为90度,求这个三角形的面积。
答案:面积为24平方厘米。
8.一个圆柱的底面半径是5厘米,高是10厘米,求这个圆柱的体积。
答案:体积约为785.4立方厘米。
9.一个梯形的上底是6厘米,下底是10厘米,高是4厘米,求这个梯形的面积。
答案:面积为32平方厘米。
10.一个数的1/4减去5等于这个数的1/8,求这个数。
答案:这个数是40。
11.一个班级有50名学生,其中2/5是女生,求男生的人数。
答案:男生有30人。
12.一个三角形的两边长分别是9厘米和12厘米,夹角为60度,求这个三角形的面积。
答案:面积约为27.71平方厘米。
13.一个圆锥的底面半径是3厘米,高是4厘米,求这个圆锥的体积。
答案:体积约为37.68立方厘米。
14.一个梯形的上底是5厘米,下底是7厘米,高是3厘米,求这个梯形的面积。
答案:面积为18平方厘米。
15.一个数的3/5加上10等于这个数的2/3,求这个数。
答案:这个数是75。
16.一个班级有60名学生,其中1/3是男生,求女生的人数。
答案:女生有40人。
17.一个三角形的两边长分别是7厘米和5厘米,夹角为30度,求这个三角形的面积。
答案:面积约为5.92平方厘米。
中考数学综合压轴题100题精选(含答案解析)
中考数学综合压轴题100题精选(含答案解析)一、中考压轴题1.⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,如图(1),连接O2O1并延长交⊙O1于P点,连接P A、PB并分别延长交⊙O2于C、D两点,连接CO2并延长交⊙O2于E点.已知⊙O2的半径为R,设∠CAD=α.(1)求CD的长(用含R、α的式子表示);(2)试判断CD与PO1的位置关系,并说明理由;(3)设点P’为⊙O1上(⊙O2外)的动点,连接P’A、P’B并分别延长交⊙O2于C’、D’,请你探究∠C’AD’是否等于α?C’D’与P’O1的位置关系如何?并说明理由.(注:图(2)与图(3)中⊙O1和⊙O2的大小及位置关系与图(1)完全相同,若你感到继续在图(1)中探究问题(3),图形太复杂,不便于观察,可以选择图(2)或图(3)中的一图说明理由).【分析】(1)作⊙O2的直径CE,连接DE.根据圆周角定理的推论,得∠E=∠CAD=α,再利用解直角三角形的知识求解;(2)连接AB,延长PO1与⊙O1相交于点E,连接AE.根据圆内接四边形的性质,得∠ABP′=∠C′,根据圆周角定理的推论,得∠ABP′=∠E,∠EAP′=90°,从而证明∠AP′E+∠C′=90°,则CD与PO1的位置关系是互相垂直;(3)根据同弧所对的圆周角相等,则说明∠C’AD’等于α;根据(2)中的证明过程,则可以证明C’D’与P’O1的位置关系是互相垂直.【解答】解:(1)连接DE.根据圆周角定理的推论,得∠E=∠CAD=α.∵CE是直径,∴∠CDE=90°.∴CD=CE•sin E=2R sinα;(2)CD与PO1的位置关系是互相垂直.理由如下:连接AB,延长PO1与⊙O1相交于点E,连接AE.∵四边形BAC′D′是圆内接四边形,∴∠ABP′=∠C′.∵P′E是直径,∴∠EAP′=90°,∴∠AP′E+∠E=90°.又∠ABP′=∠E,∴∠AP′E+∠C′=90°,即CD与PO1的位置关系是互相垂直;(3)根据同弧所对的圆周角相等,则说明∠C’AD’等于α;根据(2)中的证明过程,则可以证明C’D’与P’O1的位置关系是互相垂直.【点评】此题综合运用了圆周角定理及其推论、直角三角形的性质、圆内接四边形的性质.注意:连接两圆的公共弦、构造直径所对的圆周角都是圆中常见的辅助线.2.汽车产业的发展,有效促进我国现代化建设.某汽车销售公司2005年盈利1500万元,到2007年盈利2160万元,且从2005年到2007年,每年盈利的年增长率相同.(1)该公司2006年盈利多少万元?(2)若该公司盈利的年增长率继续保持不变,预计2008年盈利多少万元?【分析】(1)需先算出从2005年到2007年,每年盈利的年增长率,然后根据2005年的盈利,算出2006年的利润;(2)相等关系是:2008年盈利=2007年盈利×每年盈利的年增长率.【解答】解:(1)设每年盈利的年增长率为x,根据题意得1500(1+x)2=2160解得x1=0.2,x2=﹣2.2(不合题意,舍去)∴1500(1+x)=1500(1+0.2)=1800答:2006年该公司盈利1800万元.(2)2160(1+0.2)=2592答:预计2008年该公司盈利2592万元.【点评】本题的关键是需求出从2005年到2007年,每年盈利的年增长率.等量关系为:2005年盈利×(1+年增长率)2=2160.3.如图,在矩形ABCD中,AB=8,AD=6,点P、Q分别是AB边和CD边上的动点,点P从点A向点B运动,点Q从点C向点D运动,且保持AP=CQ.设AP=x.(1)当PQ∥AD时,求x的值;(2)当线段PQ的垂直平分线与BC边相交时,求x的取值范围;(3)当线段PQ的垂直平分线与BC相交时,设交点为E,连接EP、EQ,设△EPQ的面积为S,求S关于x的函数关系式,并写出S的取值范围.【分析】(1)根据已知条件,证明四边形APQD是矩形,再根据矩形的性质和AP=CQ 求x即可;(2)连接EP、EQ,则EP=EQ,设BE=y,列出等式(8﹣x)2+y2=(6﹣y)2+x2然后根据函数的性质来求x的取值范围;(3)由图形的等量关系列出方程,再根据函数的性质来求最值.【解答】解:(1)当PQ∥AD时,则∠A=∠APQ=90°,∠D=∠DQP=90°,又∵AB∥CD,∴四边形APQD是矩形,∴AP=QD,∵AP=CQ,AP=CD=,∴x=4.(2)如图,连接EP、EQ,则EP=EQ,设BE=y.∴(8﹣x)2+y2=(6﹣y)2+x2,∴y=.∵0≤y≤6,∴0≤≤6,∴≤x≤.(3)S△BPE=•BE•BP=••(8﹣x)=,S△ECQ==•(6﹣)•x=,∵AP=CQ,∴S BPQC=,∴S=S BPQC﹣S△BPE﹣S△ECQ=24﹣﹣,整理得:S==(x﹣4)2+12(),∴当x=4时,S有最小值12,当x=或x=时,S有最大值.∴12≤S≤.【点评】解答本题时,涉及到了矩形的判定、矩形的性质、勾股定理以及二次函数的最值等知识点,这是一道综合性比较强的题目,所以在解答题目时,一定要把各个知识点融会贯通,这样解题时才会少走弯路.4.如图①,有四张编号为1、2、3、4的卡片,卡片的背面完全相同.现将它们搅匀并正面朝下放置在桌面上.(1)从中随机抽取一张,抽到的卡片是眼睛的概率是多少?(2)从四张卡片中随机抽取一张贴在如图②所示的大头娃娃的左眼处,然后再随机抽取一张贴在大头娃娃的右眼处,用树状图或列表法求贴法正确的概率.【分析】根据概率的求法,找准两点:①全部情况的总数;②符合条件的情况数目;二者的比值就是其发生的概率.【解答】解:(1)所求概率为;(2)方法①(树状图法)共有12种可能的结果:(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)∵其中有两种结果(1,2),(2,1)是符合条件的,∴贴法正确的概率为,方法②(列表法)1 2 3 4第一次抽取第二次抽取1(2,1)(3,1)(4,1)2(1,2)(3,2)(4,2)3(1,3)(2,3)(4,3)4(1,4)(2,4)(3,4)共有12种可能的结果:(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),∵其中有两种结果(1,2),(2,1)是符合条件的,∴贴法正确的概率为.【点评】此题考查概率的求法:如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P(A)=.5.一个不透明的口袋里有红、黄、绿三种颜色的球(除颜色外其余都相同),其中红球有2个,黄球有1个,任意摸出一个黄球的概率为.(1)试求口袋里绿球的个数;(2)若第一次从口袋中任意摸出一球(不放回),第二次任意摸出一球,请你用树状图或列表法,求出两次都摸到红球的概率.【分析】(1)根据概率的求解方法,利用方程求得绿球个数;(2)此题需要两步完成,所以采用树状图法或者列表法都比较简单,解题时要注意是放回实验还是不放回实验,此题为不放回实验.【解答】解:(1)设口袋里绿球有x个,则,解得x=1.故口袋里绿球有1个.(2)红一红二黄绿红一红二,红一黄,红一绿,红一红二红一,红二黄,红一绿,红二黄红一,黄红二,黄绿,黄绿红一,绿红二,绿黄,绿故,P(两次都摸到红球)=.【点评】(1)解题时要注意应用方程思想;(2)列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合于两步完成的事件.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.6.已知:y关于x的函数y=(k﹣1)x2﹣2kx+k+2的图象与x轴有交点.(1)求k的取值范围;(2)若x1,x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标,且满足(k﹣1)x12+2kx2+k+2=4x1x2.①求k的值;②当k≤x≤k+2时,请结合函数图象确定y的最大值和最小值.【分析】(1)分两种情况讨论,当k=1时,可求出函数为一次函数,必与x轴有一交点;当k≠1时,函数为二次函数,若与x轴有交点,则△≥0.(2)①根据(k﹣1)x12+2kx2+k+2=4x1x2及根与系数的关系,建立关于k的方程,求出k 的值;②充分利用图象,直接得出y的最大值和最小值.【解答】解:(1)当k=1时,函数为一次函数y=﹣2x+3,其图象与x轴有一个交点.当k≠1时,函数为二次函数,其图象与x轴有一个或两个交点,令y=0得(k﹣1)x2﹣2kx+k+2=0.△=(﹣2k)2﹣4(k﹣1)(k+2)≥0,解得k≤2.即k≤2且k≠1.综上所述,k的取值范围是k≤2.(2)①∵x1≠x2,由(1)知k<2且k≠1,函数图象与x轴两个交点,∴k<2,且k≠1.由题意得(k﹣1)x12+(k+2)=2kx1①,将①代入(k﹣1)x12+2kx2+k+2=4x1x2中得:2k(x1+x2)=4x1x2.又∵x1+x2=,x1x2=,∴2k•=4•.解得:k1=﹣1,k2=2(不合题意,舍去).∴所求k值为﹣1.②如图,∵k1=﹣1,y=﹣2x2+2x+1=﹣2(x﹣)2+.且﹣1≤x≤1.由图象知:当x=﹣1时,y最小=﹣3;当x=时,y最大=.∴y的最大值为,最小值为﹣3.【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、一次函数的定义、二次函数的最值,充分利用图象是解题的关键.7.广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售,由于国务院有关房地产的新政策出台后,购房者持币观望,房地产开发商为了加快资金周转,对价格经过两次下调后,决定以每平方米4860元的均价开盘销售.(1)求平均每次下调的百分率.(2)某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房,开发商给予以下两种优惠方案以供选择:①打9.8折销售;②不打折,一次性送装修费每平方米80元,试问哪种方案更优惠?【分析】(1)根据题意设平均每次下调的百分率为x,列出一元二次方程,解方程即可得出答案;(2)分别计算两种方案的优惠价格,比较后发现方案①更优惠.【解答】解:(1)设平均每次下调的百分率为x,则6000(1﹣x)2=4860,解得:x1=0.1=10%,x2=1.9(舍去),故平均每次下调的百分率为10%;(2)方案①购房优惠:4860×100×(1﹣0.98)=9720(元);方案②可优惠:80×100=8000(元).故选择方案①更优惠.【点评】本题主要考查一元二次方程的实际应用,解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系,列出方程,再求解,属于中档题.8.用两种方法解答:已知m、n是关于x的方程x2+(p﹣2)x+1=0两个实数根,求代数式(m2+mp+1)(n2+np+1)的值.【分析】本题主要是利用韦达定理来计算.已知m、n是关于x的方程x2+(p﹣2)x+1=0两个实数根,有四个等式可供使用:m+n=2﹣p①,mn=1②,m2+(p﹣2)m+1=0③,n2+(p﹣2)n+1=0④.通过变形方法,合理地选择解题方法.【解答】解:∵m、n是x2+(p﹣2)x+1=0的根,∴m+n=2﹣p,mn=1.方法一:m2+(p﹣2)m+1=0,n2+(p﹣2)n+1=0.即m2+pm+1=2m,n2+pn+1=2n.原式=2m×2n=4mn=4.方法二:(m2+mp+1)(n2+np+1)=(m2+mp)(n2+np)+m2+mp+n2+np+1=m2n2+m2np+mpn2+mnp2+m2+mp+n2+np+1=1+mp+np+p2+m2+n2+mp+np+1=2+p2+m2+n2+2(m+n)p=2+p2+m2+n2+2(2﹣p)p=2+p2+m2+n2+4p﹣2p2=2+(m+n)2﹣2mn+4p﹣2p2+p2=2+(2﹣p)2﹣2+4p﹣2p2+p2=4﹣4p+p2+4p﹣p2=4.【点评】本题主要是通过根与系数的关系来求值.注意把所求的代数式转化成m+n=2﹣p,mn=1的形式,正确对所求式子进行变形是解题的关键.9.我国年人均用纸量约为28公斤,每个初中毕业生离校时大约有10公斤废纸;用1吨废纸造出的再生好纸,所能节约的造纸木材相当于18棵大树,而平均每亩森林只有50至80棵这样的大树.(1)若我市2005年4万名初中毕业生能把自己离校时的全部废纸送到回收站使之制造为再生好纸,那么最少可使多少亩森林免遭砍伐?(2)我市从2000年初开始实施天然林保护工程,大力倡导废纸回收再生,如今成效显著,森林面积大约由2003年初的50万亩增加到2005年初的60.5万亩.假设我市年用纸量的20%可以作为废纸回收、森林面积年均增长率保持不变,请你按全市总人口约为1000万计算:在从2005年初到2006年初这一年度内,我市因回收废纸所能保护的最大森林面积相当于新增加的森林面积的百分之几?(精确到1%)【分析】(1)因为每个初中毕业生离校时大约有10公斤废纸,用1吨废纸造出的再生好纸,所能节约的造纸木材相当于18棵大树,而平均每亩森林只有50至80棵这样的大树,所以有40000×10÷1000×18÷80,计算出即可求出答案;(2)森林面积大约由2003年初的50万亩增加到2005年初的60.5万亩,可先求出森林面积年均增长率,进而求出2005到2006年新增加的森林面积,而因回收废纸所能保护的最大森林面积=1000×10000×28×20%÷1000×18÷50,然后进行简单的计算即可求出答案.【解答】解:(1)4×104×10÷1000×18÷80=90(亩).答:若我市2005年4万名初中毕业生能把自己离校时的全部废纸送到回收站使之制造为再生好纸,那么最少可使90亩森林免遭砍伐.(2)设我市森林面积年平均增长率为x,依题意列方程得50(1+x)2=60.5,解得x1=10%,x2=﹣2.1(不合题意,舍去),1000×104×28×20%÷1000×18÷50=20160,20160÷(605000×10%)≈33%.答:在从2005年初到2006年初这一年度内,我市因回收废纸所能保护的最大森林面积相当于新增加的森林面积的33%.【点评】本题以保护环境为主题,考查了增长率问题,阅读理解题意,并从题目中提炼出平均增长率的数学模型并解答的能力;解答时需仔细分析题意,利用方程即可解决问题.10.经统计分析,某市跨河大桥上的车流速度v(千米/小时)是车流密度x(辆/千米)的函数,当桥上的车流密度达到220辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0千米/小时;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为80千米/小时,研究表明:当20≤x≤220时,车流速度v是车流密度x的一次函数.(1)求大桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度;(2)在交通高峰时段,为使大桥上的车流速度大于40千米/小时且小于60千米/小时,应控制大桥上的车流密度在什么范围内?(3)车流量(辆/小时)是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,即:车流量=车流速度×车流密度.求大桥上车流量y的最大值.【分析】(1)当20≤x≤220时,设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v=kx+b,根据题意的数量关系建立方程组求出其解即可;(2)由(1)的解析式建立不等式组求出其解即可;(3)设车流量y与x之间的关系式为y=vx,当x<20和20≤x≤220时分别表示出函数关系由函数的性质就可以求出结论.【解答】解:(1)设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v=kx+b,由题意,得,解得:,∴当20≤x≤220时,v=﹣x+88,当x=100时,v=﹣×100+88=48(千米/小时);(2)由题意,得,解得:70<x<120.∴应控制大桥上的车流密度在70<x<120范围内;(3)设车流量y与x之间的关系式为y=vx,当0≤x≤20时y=80x,∴k=80>0,∴y随x的增大而增大,∴x=20时,y最大=1600;当20≤x≤220时y=(﹣x+88)x=﹣(x﹣110)2+4840,∴当x=110时,y最大=4840.∵4840>1600,∴当车流密度是110辆/千米,车流量y取得最大值是每小时4840辆.【点评】本题考查了车流量=车流速度×车流密度的运用,一次函数的解析式的运用,一元一次不等式组的运用,二次函数的性质的运用,解答时求出函数的解析式是关键.11.如图,反比例函数的图象经过点A(4,b),过点A作AB⊥x轴于点B,△AOB 的面积为2.(1)求k和b的值;(2)若一次函数y=ax﹣3的图象经过点A,求这个一次函数的解析式.【分析】(1)由△AOB的面积为2,根据反比例函数的比例系数k的几何意义,可知k的值,得出反比例函数的解析式,然后把x=4代入,即可求出b的值;(2)把点A的坐标代入y=ax﹣3,即可求出这个一次函数的解析式.【解答】解:(1)∵反比例函数的图象经过点A,AB⊥x轴于点B,△AOB的面积为2,A(4,b),∴OB×AB=2,×4×b=2,∴AB=b=1,∴A(4,1),∴k=xy=4,∴反比例函数的解析式为y=,即k=4,b=1.(2)∵A(4,1)在一次函数y=ax﹣3的图象上,∴1=4a﹣3,∴a=1.∴这个一次函数的解析式为y=x﹣3.【点评】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式和反比例函数中k的几何意义.这里体现了数形结合的思想,做此类题一定要正确理解k的几何意义.12.九年级(1)班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度,已知标杆高度CD=3m,标杆与旗杆的水平距离BD=15m,人的眼睛与地面的高度EF=1.6m,人与标杆CD的水平距离DF=2m,求旗杆AB的高度.【分析】利用三角形相似中的比例关系,首先由题目和图形可看出,求AB的长度分成了2个部分,AH和HB部分,其中HB=EF=1.6m,剩下的问题就是求AH的长度,利用△CGE∽△AHE,得出,把相关条件代入即可求得AH=11.9,所以AB=AH+HB=AH+EF=13.5m.【解答】解:∵CD⊥FB,AB⊥FB,∴CD∥AB∴△CGE∽△AHE∴即:∴∴AH=11.9∴AB=AH+HB=AH+EF=11.9+1.6=13.5(m).【点评】主要用到的解题思想是把梯形问题转化成三角形问题,利用三角形相似比列方程来求未知线段的长度.13.如图,△ABC内接于⊙O,AB=6,AC=4,D是AB边上一点,P是优弧BAC的中点,连接P A、PB、PC、PD.(1)当BD的长度为多少时,△P AD是以AD为底边的等腰三角形?并证明;(2)在(1)的条件下,若cos∠PCB=,求P A的长.【分析】(1)根据等弧对等弦以及全等三角形的判定和性质进行求解;(2)过点P作PE⊥AD于E.根据锐角三角函数的知识和垂径定理进行求解.【解答】解:(1)当BD=AC=4时,△P AD是以AD为底边的等腰三角形.∵P是优弧BAC的中点,∴=.∴PB=PC.又∵∠PBD=∠PCA(圆周角定理),∴当BD=AC=4,△PBD≌△PCA.∴P A=PD,即△P AD是以AD为底边的等腰三角形.(2)过点P作PE⊥AD于E,由(1)可知,当BD=4时,PD=P A,AD=AB﹣BD=6﹣4=2,则AE=AD=1.∵∠PCB=∠P AD(在同圆或等圆中,同弧所对的圆周角相等),∴cos∠P AD=cos∠PCB=,∴P A=.【点评】综合运用了等弧对等弦的性质、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数的知识以及垂径定理.14.如图,已知直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点,点B、C把三等分,连接PC 并延长PC交y轴于点D(0,3).(1)求证:△POD≌△ABO;(2)若直线l:y=kx+b经过圆心P和D,求直线l的解析式.【分析】(1)首先连接PB,由直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点,点B、C把三等分,可求得∠APB=∠DPO=60°,∠ABO=∠POD=90°,即可得△P AB是等边三角形,可得AB=OP,然后由ASA,即可判定:△POD≌△ABO;(2)易求得∠PDO=30°,由OP=OD•tan30°,即可求得点P的坐标,然后利用待定系数法,即可求得直线l的解析式.【解答】(1)证明:连接PB,∵直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点,点B、C把三等分,∴∠APB=∠DPO=×180°=60°,∠ABO=∠POD=90°,∵P A=PB,∴△P AB是等边三角形,∴AB=P A,∠BAO=60°,∴AB=OP,∠BAO=∠OPD,在△POD和△ABO中,∴△POD≌△ABO(ASA);(2)解:由(1)得△POD≌△ABO,∴∠PDO=∠AOB,∵∠AOB=∠APB=×60°=30°,∴∠PDO=30°,∴OP=OD•tan30°=3×=,∴点P的坐标为:(﹣,0)∴,解得:,∴直线l的解析式为:y=x+3.【点评】此题考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质以及待定系数法求一次函数的解析式.此题综合性较强,难度适中,注意准确作出辅助线,注意数形结合思想的应用.15.在△ABC中,AB=BC,将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转得△A1B1C1,使点C1落在直线BC上(点C1与点C不重合),(1)如图,当∠C>60°时,写出边AB1与边CB的位置关系,并加以证明;(2)当∠C=60°时,写出边AB1与边CB的位置关系(不要求证明);(3)当∠C<60°时,请你在如图中用尺规作图法作出△AB1C1(保留作图痕迹,不写作法),再猜想你在(1)、(2)中得出的结论是否还成立并说明理由.【分析】(1)AB1∥BC.因为等腰三角形,两底角相等,再根据平行线的判定,内错角相等两直线平行,可证明两直线平行.(2)当∠C=60°时,写出边AB1与边CB的位置关系也是平行,证明方法同(1)题.(3)成立,根据旋转变换的性质画出图形.利用三角形全等即可证明.【解答】解:(1)AB1∥BC.证明:由已知得△ABC≌△AB1C1,∴∠BAC=∠B1AC1,∠B1AB=∠C1AC,∵AC1=AC,∴∠AC1C=∠ACC1,∵∠C1AC+∠AC1C+∠ACC1=180°,∴∠C1AC=180°﹣2∠ACC1,同理,在△ABC中,∵BA=BC,∴∠ABC=180°﹣2∠ACC1,∴∠ABC=∠C1AC=∠B1AB,∴AB1∥BC.(5分)(2)如图1,∠C=60°时,AB1∥BC.(7分)(3)如图,当∠C<60°时,(1)、(2)中的结论还成立.证明:显然△ABC≌△AB1C1,∴∠BAC=∠B1AC1,∴∠B1AB=∠C1AC,∵AC1=AC,∴∠AC1C=∠ACC1,∵∠C1AC+∠AC1C+∠ACC1=180°,∴∠C1AC=180°﹣2∠ACC1,同理,在△ABC中,∵BA=BC,∴∠ABC=180°﹣2∠ACC1,∴∠ABC=∠C1AC=∠B1AB,∴AB1∥BC.(13分)【点评】考查图形的旋转,等腰三角形的性质,平行线的判定.本题实质是考查对图形旋转特征的理解,旋转前后的图形是全等的.16.如图1,在直角坐标系中,点A的坐标为(1,0),以OA为边在第四象限内作等边△AOB,点C为x轴的正半轴上一动点(OC>1),连接BC,以BC为边在第四象限内作等边△CBD,直线DA交y轴于点E.(1)试问△OBC与△ABD全等吗?并证明你的结论;(2)随着点C位置的变化,点E的位置是否会发生变化?若没有变化,求出点E的坐标;若有变化,请说明理由;(3)如图2,以OC为直径作圆,与直线DE分别交于点F、G,设AC=m,AF=n,用含n的代数式表示m.【分析】(1)由等边三角形的性质知,OBA=∠CBD=60°,易得∠OBC=∠ABD,又有OB=AB,BC=BD故有△OBC≌△ABD;(2)由1知,△OBC≌△ABD⇒∠BAD=∠BOC=60°,可得∠OAE=60°,在Rt△EOA 中,有EO=OA•tan60°=,即可求得点E的坐标;(3)由相交弦定理知1•m=n•AG,即AG=,由切割线定理知,OE2=EG•EF,在Rt△EOA中,由勾股定理知,AE==2,故建立方程:()2=(2﹣)(2+n),就可求得m与n关系.【解答】解:(1)两个三角形全等.∵△AOB、△CBD都是等边三角形,∴OBA=∠CBD=60°,∴∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC,∵OB=AB,BC=BD,△OBC≌△ABD;(2)点E位置不变.∵△OBC≌△ABD,∴∠BAD=∠BOC=60°,∠OAE=180°﹣60°﹣60°=60°;在Rt△EOA中,EO=OA•tan60°=,或∠AEO=30°,得AE=2,∴OE=∴点E的坐标为(0,);(3)∵AC=m,AF=n,由相交弦定理知1•m=n•AG,即AG=;又∵OC是直径,∴OE是圆的切线,OE2=EG•EF,在Rt△EOA中,AE==2,()2=(2﹣)(2+n)即2n2+n﹣2m﹣mn=0解得m=.【点评】命题立意:考查圆的相交弦定理、切线定理、三角形全等等知识,并且将这些知识与坐标系联系在一起,考查综合分析、解决问题的能力.17.如图,⊙O是等边△ABC的外接圆,AB=2,M、N分别是边AB、AC的中点,直线MN交⊙O于E、F两点,BD∥AC交直线MN于点D.求出图中线段DM上已有的一条线段的长.【分析】连接OA交MN于点G,则OA⊥BC,由三角形的中位线的性质可得MN的长,易证得△BMD≌△AMN,有DM=MN,由相交弦定理得ME•MF=MA•MB,就可求得EM,DE的值.【解答】解:∵M,N分别是边AB,AC的中点∴MN∥BC,MN=BC=1又∵BD∥AC∵BM=AM,∠BMD=∠AMN∴△BMD≌△AMN∴DM=MN=1连接OA交MN于点G,则OA⊥BC∴OA⊥EF∴EG=FG,MG=FN由相交弦定理得:ME•MF=MA•MB∴EM(EM+1)=1解得EM=(EM=不合题意,舍去)∴DE=DM﹣EM=∴DE(3﹣DE)=1解得DE=(DE=不合题意,舍去).【点评】本题利用了三角形的中位线的性质,等边三角形的性质,全等三角形的判定和性质,一元二次方程的解法求解.18.如图,有一直径MN=4的半圆形纸片,其圆心为点P,从初始位置Ⅰ开始,在无滑动的情况下沿数轴向右翻滚至位置Ⅴ,其中,位置Ⅰ中的MN平行于数轴,且半⊙P与数轴相切于原点O;位置Ⅱ和位置Ⅳ中的MN垂直于数轴;位置Ⅲ中的MN在数轴上;位置Ⅴ中的点N到数轴的距离为3,且半⊙P与数轴相切于点A.解答下列问题:(1)位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为2;位置Ⅱ中的半⊙P与数轴的位置关系是相切;(2)求位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数;(3)纸片半⊙P从位置Ⅲ翻滚到位置Ⅳ时,求点N所经过路径长及该纸片所扫过图形的面积;(4)求OA的长.[(2),(3),(4)中的结果保留π].【分析】(1)先求出圆的半径,再根据切线的性质进行解答;(2)根据位置Ⅰ中的长与数轴上线段ON相等求出的长,再根据弧长公式求出的长,进而可得出结论;(3)作NC垂直数轴于点C,作PH⊥NC于点H,连接P A,则四边形PHCA为矩形,在Rt△NPH中,根据sin∠NPH==即可∠NPH、∠MP A的度数,进而可得出的长,【解答】解:(1)∵⊙P的直径=4,∴⊙P的半径=2,∵⊙P与直线有一个交点,∴位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为2;位置Ⅱ中的半⊙P与数轴的位置关系是相切;故答案为:2,相切;(2)位置Ⅰ中的长与数轴上线段ON相等,∵的长为=π,NP=2,∴位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数为π+2.(3)点N所经过路径长为=2π,S半圆==2π,S扇形==4π,半⊙P所扫过图形的面积为2π+4π=6π.(4)如图,作NC垂直数轴于点C,作PH⊥NC于点H,连接P A,则四边形PHCA为矩形.在Rt△NPH中,PN=2,NH=NC﹣HC=NC﹣P A=1,于是sin∠NPH==,∴∠NPH=30°.∴∠MP A=60°.从而的长为=,于是OA的长为π+4+π=π+4.【点评】本题考查的是直线与圆的关系、弧长的计算、扇形的面积公式,在解答此题时要注意Ⅰ中的长与数轴上线段ON相等的数量关系.19.如图,在△ABC中,∠BAC=30°,以AB为直径的⊙O经过点C.过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P.点D为圆上一点,且=,弦AD的延长线交切线PC于点E,连接BC.(1)判断OB和BP的数量关系,并说明理由;(2)若⊙O的半径为2,求AE的长.【分析】(1)首先连接OC,由PC切⊙O于点C,可得∠OCP=90°,又由∠BAC=30°,即可求得∠COP=60°,∠P=30°,然后根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半,证得OB=BP;(2)由(1)可得OB=OP,即可求得AP的长,又由=,即可得∠CAD=∠BAC=30°,继而求得∠E=90°,继而在Rt△AEP中求得答案.【解答】解:(1)OB=BP.理由:连接OC,∵PC切⊙O于点C,∴∠OCP=90°,∵OA=OC,∠OAC=30°,∴∠OAC=∠OCA=30°,∴∠COP=60°,∴∠P=30°,在Rt△OCP中,OC=OP=OB=BP;(2)由(1)得OB=OP,∵⊙O的半径是2,∴AP=3OB=3×2=6,∵=,∴∠CAD=∠BAC=30°,∴∠BAD=60°,∵∠P=30°,∴∠E=90°,在Rt△AEP中,AE=AP=×6=3.【点评】此题考查了切线的性质、直角三角形的性质以及圆周角定理.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用,注意掌握辅助线的作法.20.已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,点O1在⊙O2上,C为⊙O2上一点(不与A,B,O1重合),直线CB与⊙O1交于另一点D.(1)如图(1),若AD是⊙O1的直径,AC是⊙O2的直径,求证:AC=CD;(2)如图(2),若C是⊙O1外一点,求证:O1C丄AD;(3)如图(3),若C是⊙O1内的一点,判断(2)中的结论是否成立?【分析】(1)连接C01,利用直径所对圆周角等于90度,以及垂直平分线的性质得出即可;(2)根据已知得出四边形AEDB内接于⊙O1,得出∠ABC=∠E,再利用=,得出∠E=∠AO1C,进而得出CO1∥ED即可求出;(3)根据已知得出∠B=∠EO1C,又∠E=∠B,即可得出∠EO1C=∠E,得出CO1∥ED,即可求出.【解答】(1)证明:连接C01∵AC为⊙O2直径∴∠AO1C=90°即CO1⊥AD,∵AO1=DO1∴DC=AC(垂直平分线的性质);(2)证明:连接AO1,连接AB,延长AO1交⊙O1于点E,连接ED,∵四边形AEDB内接于⊙O1,∴∠E+∠ABD=180°,∵∠ABC+∠ABD=180°,∴∠ABC=∠E,又∵=,∴∠ABC=∠AO1C,∴∠E=∠AO1C,∴CO1∥ED,又AE为⊙O1的直径,∴ED⊥AD,∴O1C⊥AD,(3)(2)中的结论仍然成立.证明:连接AO1,连接AB,延长AO1交⊙O1于点E,连接ED,∵∠B+∠AO1C=180°,∠EO1C+∠AO1C═180°,∴∠B=∠EO1C,又∵∠E=∠B,∴∠EO1C=∠E,∴CO1∥ED,又ED⊥AD,∴CO1⊥AD.【点评】此题主要考查了圆周角定理以及相交两圆的性质和圆内接四边形的性质,根据圆内接四边形的性质得出对应角之间的关系是解决问题的关键.21.如图,一次函数y=﹣x﹣2的图象分别交x轴、y轴于A、B两点,P为AB的中点,PC⊥x轴于点C,延长PC交反比例函数y=(x<0)的图象于点Q,且tan∠AOQ=.(1)求k的值;(2)连接OP、AQ,求证:四边形APOQ是菱形.【分析】(1)由一次函数解析式确定A点坐标,进而确定C,Q的坐标,将Q的坐标代入反比例函数关系式可求出k的值.(2)由(1)可分别确定QC=CP,AC=OC,且QP垂直平分AO,故可证明四边形APOQ是菱形.【解答】(1)解:∵y=﹣x﹣2令y=0,得x=﹣4,即A(﹣4,0)由P为AB的中点,PC⊥x轴可知C点坐标为(﹣2,0)又∵tan∠AOQ=可知QC=1∴Q点坐标为(﹣2,1)将Q点坐标代入反比例函数得:1=,∴可得k=﹣2;(2)证明:由(1)可知QC=PC=1,AC=CO=2,且A0⊥PQ∴四边形APOQ是菱形.【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式,又结合了几何图形进行考查,属于综合性比较强的题目,有一定难度.22.如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形,在建立平面直角坐标系后,△ABC的顶点均在格点上,点B的坐标为(1,0)①画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1;②画出将△ABC绕原点O按逆时针旋转90°所得的△A2B2C2;③△A1B1C1与△A2B2C2成轴对称图形吗?若成轴对称图形,画出所有的对称轴;④△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称图形吗?若成中心对称图形,写出所有的对称中心的坐标.【分析】(1)将三角形的各顶点,向x轴作垂线并延长相同长度得到三点的对应点,顺次连接;(2)将三角形的各顶点,绕原点O按逆时针旋转90°得到三点的对应点.顺次连接各对应点得△A2B2C2;(3)从图中可发现成轴对称图形,根据轴对称图形的性质画出对称轴即连接两对应点的线段,做它的垂直平分线;(4)成中心对称图形,画出两条对应点的连线,交点就是对称中心.【解答】解:如下图所示:(3)成轴对称图形,根据轴对称图形的性质画出对称轴即连接两对应点的线段,作它的垂直平分线,或连接A1C1,A2C2的中点的连线为对称轴.(4)成中心对称,对称中心为线段BB2的中点P,坐标是(,).【点评】本题综合考查了图形的变换,在图形的变换中,关键是找到图形的对应点.。
中考数学压轴题100题(附答案)
中考数学压轴题100题(附答案)一、中考压轴题1.如图,△ABC内接于⊙O,AB=6,AC=4,D是AB边上一点,P是优弧BAC的中点,连接P A、PB、PC、PD.(1)当BD的长度为多少时,△P AD是以AD为底边的等腰三角形?并证明;(2)在(1)的条件下,若cos∠PCB=,求P A的长.【分析】(1)根据等弧对等弦以及全等三角形的判定和性质进行求解;(2)过点P作PE⊥AD于E.根据锐角三角函数的知识和垂径定理进行求解.【解答】解:(1)当BD=AC=4时,△P AD是以AD为底边的等腰三角形.∵P是优弧BAC的中点,∴=.∴PB=PC.又∵∠PBD=∠PCA(圆周角定理),∴当BD=AC=4,△PBD≌△PCA.∴P A=PD,即△P AD是以AD为底边的等腰三角形.(2)过点P作PE⊥AD于E,由(1)可知,当BD=4时,PD=P A,AD=AB﹣BD=6﹣4=2,则AE=AD=1.∵∠PCB=∠P AD(在同圆或等圆中,同弧所对的圆周角相等),∴cos∠P AD=cos∠PCB=,∴P A=.【点评】综合运用了等弧对等弦的性质、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数的知识以及垂径定理.2.如图,一次函数y=﹣x﹣2的图象分别交x轴、y轴于A、B两点,P为AB的中点,PC⊥x轴于点C,延长PC交反比例函数y=(x<0)的图象于点Q,且tan∠AOQ=.(1)求k的值;(2)连接OP、AQ,求证:四边形APOQ是菱形.【分析】(1)由一次函数解析式确定A点坐标,进而确定C,Q的坐标,将Q的坐标代入反比例函数关系式可求出k的值.(2)由(1)可分别确定QC=CP,AC=OC,且QP垂直平分AO,故可证明四边形APOQ是菱形.【解答】(1)解:∵y=﹣x﹣2令y=0,得x=﹣4,即A(﹣4,0)由P为AB的中点,PC⊥x轴可知C点坐标为(﹣2,0)又∵tan∠AOQ=可知QC=1∴Q点坐标为(﹣2,1)将Q点坐标代入反比例函数得:1=,∴可得k=﹣2;(2)证明:由(1)可知QC=PC=1,AC=CO=2,且A0⊥PQ∴四边形APOQ是菱形.【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式,又结合了几何图形进行考查,属于综合性比较强的题目,有一定难度.3.某公司经营杨梅业务,以3万元/吨的价格向农户收购杨梅后,分拣成A、B两类,A类杨梅包装后直接销售;B类杨梅深加工后再销售.A类杨梅的包装成本为1万元/吨,根据市场调查,它的平均销售价格y(单位:万元/吨)与销售数量x(x≥2)之间的函数关系如图;B类杨梅深加工总费用s(单位:万元)与加工数量t(单位:吨)之间的函数关系是s=12+3t,平均销售价格为9万元/吨.(1)直接写出A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式;(2)第一次,该公司收购了20吨杨梅,其中A类杨梅有x吨,经营这批杨梅所获得的毛利润为w万元(毛利润=销售总收入﹣经营总成本).①求w关于x的函数关系式;②若该公司获得了30万元毛利润,问:用于直销的A类杨梅有多少吨?(3)第二次,该公司准备投入132万元资金,请设计一种经营方案,使公司获得最大毛利润,并求出最大毛利润.【分析】(1)这是一个分段函数,分别求出其函数关系式;(2)①当2≤x<8时及当x≥8时,分别求出w关于x的表达式.注意w=销售总收入﹣经营总成本=w A+w B﹣3×20;②若该公司获得了30万元毛利润,将30万元代入①中求得的表达式,求出A类杨梅的数量;(3)本问是方案设计问题,总投入为132万元,这笔132万元包括购买杨梅的费用+A类杨梅加工成本+B类杨梅加工成本.共购买了m吨杨梅,其中A类杨梅为x吨,B类杨梅为(m﹣x)吨,分别求出当2≤x<8时及当x≥8时w关于x的表达式,并分别求出其最大值.【解答】解:(1)①当2≤x<8时,如图,设直线AB解析式为:y=kx+b,将A(2,12)、B(8,6)代入得:,解得,∴y=﹣x+14;②当x≥8时,y=6.所以A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式为:y=;(2)设销售A类杨梅x吨,则销售B类杨梅(20﹣x)吨.①当2≤x<8时,w A=x(﹣x+14)﹣x=﹣x2+13x;w B=9(20﹣x)﹣[12+3(20﹣x)]=108﹣6x∴w=w A+w B﹣3×20=(﹣x2+13x)+(108﹣6x)﹣60=﹣x2+7x+48;当x≥8时,w A=6x﹣x=5x;w B=9(20﹣x)﹣[12+3(20﹣x)]=108﹣6x∴w=w A+w B﹣3×20=(5x)+(108﹣6x)﹣60=﹣x+48.∴w关于x的函数关系式为:w=.②当2≤x<8时,﹣x2+7x+48=30,解得x1=9,x2=﹣2,均不合题意;当x≥8时,﹣x+48=30,解得x=18.∴当毛利润达到30万元时,直接销售的A类杨梅有18吨.(3)设该公司用132万元共购买了m吨杨梅,其中A类杨梅为x吨,B类杨梅为(m﹣x)吨,则购买费用为3m万元,A类杨梅加工成本为x万元,B类杨梅加工成本为[12+3(m﹣x)]万元,∴3m+x+[12+3(m﹣x)]=132,化简得:x=3m﹣60.①当2≤x<8时,w A=x(﹣x+14)﹣x=﹣x2+13x;w B=9(m﹣x)﹣[12+3(m﹣x)]=6m﹣6x﹣12∴w=w A+w B﹣3×m=(﹣x2+13x)+(6m﹣6x﹣12)﹣3m=﹣x2+7x+3m﹣12.将3m=x+60代入得:w=﹣x2+8x+48=﹣(x﹣4)2+64∴当x=4时,有最大毛利润64万元,此时m=,m﹣x=;②当x≥8时,w A=6x﹣x=5x;w B=9(m﹣x)﹣[12+3(m﹣x)]=6m﹣6x﹣12∴w=w A+w B﹣3×m=(5x)+(6m﹣6x﹣12)﹣3m=﹣x+3m﹣12.将3m=x+60代入得:w=48∴当x>8时,有最大毛利润48万元.综上所述,购买杨梅共吨,其中A类杨梅4吨,B类吨,公司能够获得最大毛利润,最大毛利润为64万元.【点评】本题是二次函数、一次函数的综合应用题,难度较大.解题关键是理清售价、成本、利润三者之间的关系.涉及到分段函数时,注意要分类讨论.4.已知:y关于x的函数y=(k﹣1)x2﹣2kx+k+2的图象与x轴有交点.(1)求k的取值范围;(2)若x1,x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标,且满足(k﹣1)x12+2kx2+k+2=4x1x2.①求k的值;②当k≤x≤k+2时,请结合函数图象确定y的最大值和最小值.【分析】(1)分两种情况讨论,当k=1时,可求出函数为一次函数,必与x轴有一交点;当k≠1时,函数为二次函数,若与x轴有交点,则△≥0.(2)①根据(k﹣1)x12+2kx2+k+2=4x1x2及根与系数的关系,建立关于k的方程,求出k 的值;②充分利用图象,直接得出y的最大值和最小值.【解答】解:(1)当k=1时,函数为一次函数y=﹣2x+3,其图象与x轴有一个交点.当k≠1时,函数为二次函数,其图象与x轴有一个或两个交点,令y=0得(k﹣1)x2﹣2kx+k+2=0.△=(﹣2k)2﹣4(k﹣1)(k+2)≥0,解得k≤2.即k≤2且k≠1.综上所述,k的取值范围是k≤2.(2)①∵x1≠x2,由(1)知k<2且k≠1,函数图象与x轴两个交点,∴k<2,且k≠1.由题意得(k﹣1)x12+(k+2)=2kx1①,将①代入(k﹣1)x12+2kx2+k+2=4x1x2中得:2k(x1+x2)=4x1x2.又∵x1+x2=,x1x2=,∴2k•=4•.解得:k1=﹣1,k2=2(不合题意,舍去).∴所求k值为﹣1.②如图,∵k1=﹣1,y=﹣2x2+2x+1=﹣2(x﹣)2+.且﹣1≤x≤1.由图象知:当x=﹣1时,y最小=﹣3;当x=时,y最大=.∴y的最大值为,最小值为﹣3.【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、一次函数的定义、二次函数的最值,充分利用图象是解题的关键.5.广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售,由于国务院有关房地产的新政策出台后,购房者持币观望,房地产开发商为了加快资金周转,对价格经过两次下调后,决定以每平方米4860元的均价开盘销售.(1)求平均每次下调的百分率.(2)某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房,开发商给予以下两种优惠方案以供选择:①打9.8折销售;②不打折,一次性送装修费每平方米80元,试问哪种方案更优惠?【分析】(1)根据题意设平均每次下调的百分率为x,列出一元二次方程,解方程即可得出答案;(2)分别计算两种方案的优惠价格,比较后发现方案①更优惠.【解答】解:(1)设平均每次下调的百分率为x,则6000(1﹣x)2=4860,解得:x1=0.1=10%,x2=1.9(舍去),故平均每次下调的百分率为10%;(2)方案①购房优惠:4860×100×(1﹣0.98)=9720(元);方案②可优惠:80×100=8000(元).故选择方案①更优惠.【点评】本题主要考查一元二次方程的实际应用,解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系,列出方程,再求解,属于中档题.6.我们学习了利用函数图象求方程的近似解,例如:把方程2x﹣1=3﹣x的解看成函数y =2x﹣1的图象与函数y=3﹣x的图象交点的横坐标.如图,已画出反比例函数y=在第一象限内的图象,请你按照上述方法,利用此图象求方程x2﹣x﹣1=0的正数解.(要求画出相应函数的图象;求出的解精确到0.1)【分析】根据题意可知,方程x2﹣x﹣1=0的解可看做是函数y=和y=x﹣1的交点坐标,所以根据图象可知方程x2﹣x﹣1=0的正数解约为1.1.【解答】解:∵x≠0,∴将x2﹣x﹣1=0两边同时除以x,得x﹣1﹣=0,即=x﹣1,把x2﹣x﹣1=0的正根视为由函数y=与函数y=x﹣1的图象在第一象限交点的横坐标.如图:∴正数解约为1.1.【点评】主要考查了反比例函数和一元二次方程之间的关系.一元二次方程的解都可化为一个反比例函数和一次函数的交点问题求解.7.用两种方法解答:已知m、n是关于x的方程x2+(p﹣2)x+1=0两个实数根,求代数式(m2+mp+1)(n2+np+1)的值.【分析】本题主要是利用韦达定理来计算.已知m、n是关于x的方程x2+(p﹣2)x+1=0两个实数根,有四个等式可供使用:m+n=2﹣p①,mn=1②,m2+(p﹣2)m+1=0③,n2+(p﹣2)n+1=0④.通过变形方法,合理地选择解题方法.【解答】解:∵m、n是x2+(p﹣2)x+1=0的根,∴m+n=2﹣p,mn=1.方法一:m2+(p﹣2)m+1=0,n2+(p﹣2)n+1=0.即m2+pm+1=2m,n2+pn+1=2n.原式=2m×2n=4mn=4.方法二:(m2+mp+1)(n2+np+1)=(m2+mp)(n2+np)+m2+mp+n2+np+1=m2n2+m2np+mpn2+mnp2+m2+mp+n2+np+1=1+mp+np+p2+m2+n2+mp+np+1=2+p2+m2+n2+2(m+n)p=2+p2+m2+n2+2(2﹣p)p=2+p2+m2+n2+4p﹣2p2=2+(m+n)2﹣2mn+4p﹣2p2+p2=2+(2﹣p)2﹣2+4p﹣2p2+p2=4﹣4p+p2+4p﹣p2=4.【点评】本题主要是通过根与系数的关系来求值.注意把所求的代数式转化成m+n=2﹣p,mn=1的形式,正确对所求式子进行变形是解题的关键.8.九年级(1)班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度,已知标杆高度CD=3m,标杆与旗杆的水平距离BD=15m,人的眼睛与地面的高度EF=1.6m,人与标杆CD的水平距离DF=2m,求旗杆AB的高度.【分析】利用三角形相似中的比例关系,首先由题目和图形可看出,求AB的长度分成了2个部分,AH和HB部分,其中HB=EF=1.6m,剩下的问题就是求AH的长度,利用△CGE∽△AHE,得出,把相关条件代入即可求得AH=11.9,所以AB=AH+HB=AH+EF=13.5m.【解答】解:∵CD⊥FB,AB⊥FB,∴CD∥AB∴△CGE∽△AHE∴即:∴∴AH=11.9∴AB=AH+HB=AH+EF=11.9+1.6=13.5(m).【点评】主要用到的解题思想是把梯形问题转化成三角形问题,利用三角形相似比列方程来求未知线段的长度.9.在△ABC中,AB=BC,将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转得△A1B1C1,使点C1落在直线BC上(点C1与点C不重合),(1)如图,当∠C>60°时,写出边AB1与边CB的位置关系,并加以证明;(2)当∠C=60°时,写出边AB1与边CB的位置关系(不要求证明);(3)当∠C<60°时,请你在如图中用尺规作图法作出△AB1C1(保留作图痕迹,不写作法),再猜想你在(1)、(2)中得出的结论是否还成立并说明理由.【分析】(1)AB1∥BC.因为等腰三角形,两底角相等,再根据平行线的判定,内错角相等两直线平行,可证明两直线平行.(2)当∠C=60°时,写出边AB1与边CB的位置关系也是平行,证明方法同(1)题.(3)成立,根据旋转变换的性质画出图形.利用三角形全等即可证明.【解答】解:(1)AB1∥BC.证明:由已知得△ABC≌△AB1C1,∴∠BAC=∠B1AC1,∠B1AB=∠C1AC,∵AC1=AC,∴∠AC1C=∠ACC1,∵∠C1AC+∠AC1C+∠ACC1=180°,∴∠C1AC=180°﹣2∠ACC1,同理,在△ABC中,∵BA=BC,∴∠ABC=180°﹣2∠ACC1,∴∠ABC=∠C1AC=∠B1AB,∴AB1∥BC.(5分)(2)如图1,∠C=60°时,AB1∥BC.(7分)(3)如图,当∠C<60°时,(1)、(2)中的结论还成立.证明:显然△ABC≌△AB1C1,∴∠BAC=∠B1AC1,∴∠B1AB=∠C1AC,∵AC1=AC,∴∠AC1C=∠ACC1,∵∠C1AC+∠AC1C+∠ACC1=180°,∴∠C1AC=180°﹣2∠ACC1,同理,在△ABC中,∵BA=BC,∴∠ABC=180°﹣2∠ACC1,∴∠ABC=∠C1AC=∠B1AB,∴AB1∥BC.(13分)【点评】考查图形的旋转,等腰三角形的性质,平行线的判定.本题实质是考查对图形旋转特征的理解,旋转前后的图形是全等的.10.汽车产业的发展,有效促进我国现代化建设.某汽车销售公司2005年盈利1500万元,到2007年盈利2160万元,且从2005年到2007年,每年盈利的年增长率相同.(1)该公司2006年盈利多少万元?(2)若该公司盈利的年增长率继续保持不变,预计2008年盈利多少万元?【分析】(1)需先算出从2005年到2007年,每年盈利的年增长率,然后根据2005年的盈利,算出2006年的利润;(2)相等关系是:2008年盈利=2007年盈利×每年盈利的年增长率.【解答】解:(1)设每年盈利的年增长率为x,根据题意得1500(1+x)2=2160解得x1=0.2,x2=﹣2.2(不合题意,舍去)∴1500(1+x)=1500(1+0.2)=1800答:2006年该公司盈利1800万元.(2)2160(1+0.2)=2592答:预计2008年该公司盈利2592万元.【点评】本题的关键是需求出从2005年到2007年,每年盈利的年增长率.等量关系为:2005年盈利×(1+年增长率)2=2160.11.如图,在△ABC中,∠BAC=30°,以AB为直径的⊙O经过点C.过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P.点D为圆上一点,且=,弦AD的延长线交切线PC于点E,连接BC.(1)判断OB和BP的数量关系,并说明理由;(2)若⊙O的半径为2,求AE的长.【分析】(1)首先连接OC,由PC切⊙O于点C,可得∠OCP=90°,又由∠BAC=30°,即可求得∠COP=60°,∠P=30°,然后根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半,证得OB=BP;(2)由(1)可得OB=OP,即可求得AP的长,又由=,即可得∠CAD=∠BAC=30°,继而求得∠E=90°,继而在Rt△AEP中求得答案.【解答】解:(1)OB=BP.理由:连接OC,∵PC切⊙O于点C,∴∠OCP=90°,∵OA=OC,∠OAC=30°,∴∠OAC=∠OCA=30°,∴∠COP=60°,∴∠P=30°,在Rt△OCP中,OC=OP=OB=BP;(2)由(1)得OB=OP,∵⊙O的半径是2,∴AP=3OB=3×2=6,∵=,∴∠CAD=∠BAC=30°,∴∠BAD=60°,∵∠P=30°,∴∠E=90°,在Rt△AEP中,AE=AP=×6=3.【点评】此题考查了切线的性质、直角三角形的性质以及圆周角定理.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用,注意掌握辅助线的作法.12.已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,点O1在⊙O2上,C为⊙O2上一点(不与A,B,O1重合),直线CB与⊙O1交于另一点D.(1)如图(1),若AD是⊙O1的直径,AC是⊙O2的直径,求证:AC=CD;(2)如图(2),若C是⊙O1外一点,求证:O1C丄AD;(3)如图(3),若C是⊙O1内的一点,判断(2)中的结论是否成立?【分析】(1)连接C01,利用直径所对圆周角等于90度,以及垂直平分线的性质得出即可;(2)根据已知得出四边形AEDB内接于⊙O1,得出∠ABC=∠E,再利用=,得出∠E=∠AO1C,进而得出CO1∥ED即可求出;(3)根据已知得出∠B=∠EO1C,又∠E=∠B,即可得出∠EO1C=∠E,得出CO1∥ED,即可求出.【解答】(1)证明:连接C01∵AC为⊙O2直径∴∠AO1C=90°即CO1⊥AD,∵AO1=DO1∴DC=AC(垂直平分线的性质);(2)证明:连接AO1,连接AB,延长AO1交⊙O1于点E,连接ED,∵四边形AEDB内接于⊙O1,∴∠E+∠ABD=180°,∵∠ABC+∠ABD=180°,∴∠ABC=∠E,又∵=,∴∠ABC=∠AO1C,∴∠E=∠AO1C,∴CO1∥ED,又AE为⊙O1的直径,∴ED⊥AD,∴O1C⊥AD,(3)(2)中的结论仍然成立.证明:连接AO1,连接AB,延长AO1交⊙O1于点E,连接ED,∵∠B+∠AO1C=180°,∠EO1C+∠AO1C═180°,∴∠B=∠EO1C,又∵∠E=∠B,∴∠EO1C=∠E,∴CO1∥ED,又ED⊥AD,∴CO1⊥AD.【点评】此题主要考查了圆周角定理以及相交两圆的性质和圆内接四边形的性质,根据圆内接四边形的性质得出对应角之间的关系是解决问题的关键.13.⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,如图(1),连接O2O1并延长交⊙O1于P点,连接P A、PB并分别延长交⊙O2于C、D两点,连接CO2并延长交⊙O2于E点.已知⊙O2的半径为R,设∠CAD=α.(1)求CD的长(用含R、α的式子表示);(2)试判断CD与PO1的位置关系,并说明理由;(3)设点P’为⊙O1上(⊙O2外)的动点,连接P’A、P’B并分别延长交⊙O2于C’、D’,请你探究∠C’AD’是否等于α?C’D’与P’O1的位置关系如何?并说明理由.(注:图(2)与图(3)中⊙O1和⊙O2的大小及位置关系与图(1)完全相同,若你感到继续在图(1)中探究问题(3),图形太复杂,不便于观察,可以选择图(2)或图(3)中的一图说明理由).【分析】(1)作⊙O2的直径CE,连接DE.根据圆周角定理的推论,得∠E=∠CAD=α,再利用解直角三角形的知识求解;(2)连接AB,延长PO1与⊙O1相交于点E,连接AE.根据圆内接四边形的性质,得∠ABP′=∠C′,根据圆周角定理的推论,得∠ABP′=∠E,∠EAP′=90°,从而证明∠AP′E+∠C′=90°,则CD与PO1的位置关系是互相垂直;(3)根据同弧所对的圆周角相等,则说明∠C’AD’等于α;根据(2)中的证明过程,则可以证明C’D’与P’O1的位置关系是互相垂直.【解答】解:(1)连接DE.根据圆周角定理的推论,得∠E=∠CAD=α.∵CE是直径,∴∠CDE=90°.∴CD=CE•sin E=2R sinα;(2)CD与PO1的位置关系是互相垂直.理由如下:连接AB,延长PO1与⊙O1相交于点E,连接AE.∵四边形BAC′D′是圆内接四边形,∴∠ABP′=∠C′.∵P′E是直径,∴∠EAP′=90°,∴∠AP′E+∠E=90°.又∠ABP′=∠E,∴∠AP′E+∠C′=90°,即CD与PO1的位置关系是互相垂直;(3)根据同弧所对的圆周角相等,则说明∠C’AD’等于α;根据(2)中的证明过程,则可以证明C’D’与P’O1的位置关系是互相垂直.【点评】此题综合运用了圆周角定理及其推论、直角三角形的性质、圆内接四边形的性质.注意:连接两圆的公共弦、构造直径所对的圆周角都是圆中常见的辅助线.14.一个不透明的口袋里有红、黄、绿三种颜色的球(除颜色外其余都相同),其中红球有2个,黄球有1个,任意摸出一个黄球的概率为.(1)试求口袋里绿球的个数;(2)若第一次从口袋中任意摸出一球(不放回),第二次任意摸出一球,请你用树状图或列表法,求出两次都摸到红球的概率.【分析】(1)根据概率的求解方法,利用方程求得绿球个数;(2)此题需要两步完成,所以采用树状图法或者列表法都比较简单,解题时要注意是放回实验还是不放回实验,此题为不放回实验.【解答】解:(1)设口袋里绿球有x个,则,解得x=1.故口袋里绿球有1个.(2)红一红二黄绿红一红二,红一黄,红一绿,红一红二红一,红二黄,红一绿,红二黄红一,黄红二,黄绿,黄绿红一,绿红二,绿黄,绿故,P(两次都摸到红球)=.【点评】(1)解题时要注意应用方程思想;(2)列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合于两步完成的事件.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.15.经统计分析,某市跨河大桥上的车流速度v(千米/小时)是车流密度x(辆/千米)的函数,当桥上的车流密度达到220辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0千米/小时;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为80千米/小时,研究表明:当20≤x≤220时,车流速度v是车流密度x的一次函数.(1)求大桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度;(2)在交通高峰时段,为使大桥上的车流速度大于40千米/小时且小于60千米/小时,应控制大桥上的车流密度在什么范围内?(3)车流量(辆/小时)是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,即:车流量=车流速度×车流密度.求大桥上车流量y的最大值.【分析】(1)当20≤x≤220时,设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v=kx+b,根据题意的数量关系建立方程组求出其解即可;(2)由(1)的解析式建立不等式组求出其解即可;(3)设车流量y与x之间的关系式为y=vx,当x<20和20≤x≤220时分别表示出函数关系由函数的性质就可以求出结论.【解答】解:(1)设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v=kx+b,由题意,得,解得:,∴当20≤x≤220时,v=﹣x+88,当x=100时,v=﹣×100+88=48(千米/小时);(2)由题意,得,解得:70<x<120.∴应控制大桥上的车流密度在70<x<120范围内;(3)设车流量y与x之间的关系式为y=vx,当0≤x≤20时y=80x,∴k=80>0,∴y随x的增大而增大,∴x=20时,y最大=1600;当20≤x≤220时y=(﹣x+88)x=﹣(x﹣110)2+4840,∴当x=110时,y最大=4840.∵4840>1600,∴当车流密度是110辆/千米,车流量y取得最大值是每小时4840辆.【点评】本题考查了车流量=车流速度×车流密度的运用,一次函数的解析式的运用,一元一次不等式组的运用,二次函数的性质的运用,解答时求出函数的解析式是关键.16.(1)已知一元二次方程x2+px+q=0(p2﹣4q≥0)的两根为x1、x2;求证:x1+x2=﹣p,x1•x2=q.(2)已知抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B两点,且过点(﹣1,﹣1),设线段AB的长为d,当p为何值时,d2取得最小值,并求出最小值.【分析】(1)先根据求根公式得出x1、x2的值,再求出两根的和与积即可;(2)把点(﹣1,﹣1)代入抛物线的解析式,再由d=|x1﹣x2|可知d2=(x1﹣x2)2=(x1+x2)2﹣4 x1•x2=p2,再由(1)中x1+x2=﹣p,x1•x2=q即可得出结论.【解答】证明:(1)∵a=1,b=p,c=q∴△=p2﹣4q∴x=即x1=,x2=∴x1+x2=+=﹣p,x1•x2=•=q;(2)把(﹣1,﹣1)代入y=x2+px+q得1﹣p+q=﹣1,所以,q=p﹣2,设抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B的坐标分别为(x1,0)、(x2,0)∵d=|x1﹣x2|,∴d2=(x1﹣x2)2=(x1+x2)2﹣4x1•x2=p2﹣4q=p2﹣4p+8=(p﹣2)2+4当p=2时,d2的最小值是4.【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点及根与系数的关系,熟知x1,x2是方程x2+px+q =0的两根时,x1+x2=﹣p,x1x2=q是解答此题的关键.17.如图,菱形、矩形与正方形的形状有差异,我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”.在研究“接近度”时,应保证相似图形的“接近度”相等.(1)设菱形相邻两个内角的度数分别为m°和n°,将菱形的“接近度”定义为|m﹣n|,于是|m﹣n|越小,菱形越接近于正方形.①若菱形的一个内角为70°,则该菱形的“接近度”等于40;②当菱形的“接近度”等于0时,菱形是正方形.(2)设矩形相邻两条边长分别是a和b(a≤b),将矩形的“接近度”定义为|a﹣b|,于是|a﹣b|越小,矩形越接近于正方形.你认为这种说法是否合理?若不合理,给出矩形的“接近度”一个合理定义.【分析】(1)根据相似图形的定义知,相似图形的形状相同,但大小不一定相同,相似图形的“接近度”相等.所以若菱形的一个内角为70°,则该菱形的“接近度”等于|m﹣n|;当菱形的“接近度”等于0时,菱形是正方形;(2)不合理,举例进行说明.【解答】解:(1)①∵内角为70°,∴与它相邻内角的度数为110°.∴菱形的“接近度”=|m﹣n|=|110﹣70|=40.②当菱形的“接近度”等于0时,菱形是正方形.(2)不合理.例如,对两个相似而不全等的矩形来说,它们接近正方形的程度是相同的,但|a﹣b|却不相等.合理定义方法不唯一.如定义为,越接近1,矩形越接近于正方形;越大,矩形与正方形的形状差异越大;当时,矩形就变成了正方形,即只有矩形的越接近1,矩形才越接近正方形.【点评】正确理解“接近度”的意思,矩形的“接近度”|a﹣b|越小,矩形越接近于正方形.这是解决问题的关键.18.如图所示,AB=AC,AB为⊙O的直径,AC、BC分别交⊙O于E、D,连接ED、BE.(1)试判断DE与BD是否相等,并说明理由;(2)如果BC=6,AB=5,求BE的长.【分析】(1)可通过连接AD,AD就是等腰三角形ABC底边上的高,根据等腰三角形三线合一的特点,可得出∠CAD=∠BAD,根据圆周角定理即可得出∠DEB=∠DBE,便可证得DE=DB.(2)本题中由于BE⊥AC,那么BE就是三角形ABC中AC边上的高,可用面积的不同表示方法得出AC•BE=CB•AD.进而求出BE的长.【解答】解:(1)DE=BD证明:连接AD,则AD⊥BC,在等腰三角形ABC中,AD⊥BC,∴∠CAD=∠BAD(等腰三角形三线合一),∴=,∴DE=BD;(2)∵AB=5,BD=BC=3,∴AD=4,∵AB=AC=5,∴S△ABC=•AC•BE=•CB•AD,∴BE=4.8.【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质,圆周角定理等知识点的运用,用等腰三角形三线合一的特点得出圆周角相等是解题的关键.19.下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批改.题目:某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室,要求长与宽的比为2:1,在温室内,沿前侧内墙保留3m的空地,其他三侧内墙各保留1m的通道,当温室的长与宽各为多少时,矩形蔬菜种植区域的面积是288m2?解:设矩形蔬菜种植区域的宽为xm,则长为2xm,根据题意,得x•2x=288.解这个方程,得x1=﹣12(不合题意,舍去),x2=12所以温室的长为2×12+3+1=28(m),宽为12+1+1=14(m)答:当温室的长为28m,宽为14m时,矩形蔬菜种植区域的面积是288m2.我的结果也正确!小明发现他解答的结果是正确的,但是老师却在他的解答中画了一条横线,并打了一个?.结果为何正确呢?(1)请指出小明解答中存在的问题,并补充缺少的过程:变化一下会怎样…(2)如图,矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部,AB∥A′B′,AD∥A′D′,且AD:AB=2:1,设AB与A′B′、BC与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d,要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD,a、b、c、d应满足什么条件?请说明理由.【分析】(1)根据题意可得小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2:1的理由,所以应设矩形蔬菜种植区域的宽为xm,则长为2xm,然后由题意得,矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2:1,再利用小明的解法求解即可;(2)由使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD,利用相似多边形的性质,可得,即,然后利用比例的性质,即可求得答案.【解答】解:(1)小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2:1的理由.在“设矩形蔬菜种植区域的宽为xm,则长为2xm.”前补充以下过程:设温室的宽为xm,则长为2xm.则矩形蔬菜种植区域的宽为(x﹣1﹣1)m,长为(2x﹣3﹣1)m.∵,∴矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2:1;(2)要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD,就要,即,即,即2AB﹣2(b+d)=2AB﹣(a+c),∴a+c=2(b+d),即.【点评】此题考查了相似多边形的性质.此题属于阅读性题目,注意理解题意,读懂题目是解此题的关键.20.二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分如图所示,则a的取值范围是﹣1<a<0.【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号,由抛物线与y轴的交点得出c的值,然后根据图象经过的点的情况进行推理,进而推出所得结论.【解答】解:抛物线开口向下,a<0,图象过点(0,1),c=1,图象过点(1,0),a+b+c=0,∴b=﹣(a+c)=﹣(a+1).由题意知,当x=﹣1时,应有y>0,∴a﹣b+c>0,∴a+(a+1)+1>0,∴a>﹣1,∴实数a的取值范围是﹣1<a<0.【点评】根据开口判断a的符号,根据与x轴,y轴的交点判断c的值以及b用a表示出的代数式.难点是推断出当x=﹣1时,应有y>0.21.今年,我国政府为减轻农民负担,决定在5年内免去农业税.某乡今年人均上缴农业税25元,若两年后人均上缴农业税为16元,假设这两年降低的百分率相同.(1)求降低的百分率;(2)若小红家有4人,明年小红家减少多少农业税?(3)小红所在的乡约有16000农民,问该乡农民明年减少多少农业税?【分析】(1)设降低的百分率为x,则降低一次后的数额是25(1﹣x),再在这个数的基础上降低x,则变成25(1﹣x)(1﹣x)即25(1﹣x)2,据此即可列方程求解;(2)每人减少的税额是25x,则4个人的就是4×25x,代入(1)中求得的x的值,即可求解;(3)每个人减少的税额是25x,乘以总人数16000即可求解.【解答】解:(1)设降低的百分率为x,依题意有,25(1﹣x)2=16,解得,x1=0.2=20%,x2=1.8(舍去);(2)小红全家少上缴税25×20%×4=20(元);(3)全乡少上缴税16000×25×20%=80 000(元).答:降低的增长率是20%,明年小红家减少的农业税是20元,该乡农民明年减少的农业税是80 000元.【点评】本题考查求平均变化率的方法.若设变化前的量为a,变化后的量为b,平均变化率为x,则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b.22.如图,在矩形ABCD中,AB=m(m是大于0的常数),BC=8,E为线段BC上的动点(不与B、C重合).连接DE,作EF⊥DE,EF与射线BA交于点F,设CE=x,BF=y.(1)求y关于x的函数关系式;(2)若m=8,求x为何值时,y的值最大,最大值是多少?(3)若y=,要使△DEF为等腰三角形,m的值应为多少?【分析】(1)利用互余关系找角相等,证明△BEF∽△CDE,根据对应边的比相等求函数关系式;(2)把m的值代入函数关系式,再求二次函数的最大值;(3)∵∠DEF=90°,只有当DE=EF时,△DEF为等腰三角形,把条件代入即可.【解答】解:(1)∵EF⊥DE,∴∠BEF=90°﹣∠CED=∠CDE,又∠B=∠C=90°,∴△BEF∽△CDE,∴=,即=,解得y=;(2)由(1)得y=,将m=8代入,得y=﹣x2+x=﹣(x2﹣8x)=﹣(x﹣4)2+2,所以当x=4时,y取得最大值为2;(3)∵∠DEF=90°,∴只有当DE=EF时,△DEF为等腰三角形,∴△BEF≌△CDE,∴BE=CD=m,此时m=8﹣x,解方程=,得x=6,或x=2,当x=2时,m=6,当x=6时,m=2.【点评】本题把相似三角形与求二次函数解析式联系起来,在解题过程中,充分运用相似三角形对应边的比相等,建立函数关系式.23.某市城建部门经过长期市场调查发现,该市年新建商品房面积P(万平方米)与市场新房均价x(千元/平方米)存在函数关系P=25x;年新房销售面积Q(万平方米)与市场新房均价x(千元/平方米)的函数关系为Q=﹣10;(1)如果年新建商品房的面积与年新房销售面积相等,求市场新房均价和年新房销售总额;(2)在(1)的基础上,如果市场新房均价上涨1千元,那么该市年新房销售总额是增加还是减少?变化了多少?结合年新房销售总额和积压面积的变化情况,请你提出一条合理化的建议.(字数不超过50)【分析】(1)根据“新建商品房的面积与年新房销售面积相等”作为相等关系求x的值即可;(2)分别求算出市场新房均价上涨1千元后的新建商品房面积P,年新房销售面积Q再来求算其变化的量和积压的情况.【解答】解:(1)根据题意得:25x=﹣10,解得x1=2,x2=﹣(舍去),则Q=﹣10=50万平方米,所以市场新房均价为2千元.则年新房销售总额为2000×500000=10亿元.(2)因为Q=﹣10=30万平方米,P=25x=75万平方米,所以市场新房均价上涨1千元则该市年新房销售总额减少了100000﹣30×(2000+1000)=10000万元,年新房积压面积增加了45万平方米.建议:对于新房的销售应订一个合理的价格,不能过高,只有考虑成本与人们的购买力才能使利润最大.【点评】主要考查了函数在实际问题中的应用.解题的关键是理解题意能准确的找到函数中对应的变量的值,根据题意求解.24.已知:如图,在平面直角坐标系中,点P(m,m)(m>0),过点P的直线AB 与x轴正半轴交于点A,与直线y=x交于点B.(1)当m=3且∠OAB=90°时,求BP的长度;(2)若点A的坐标是(6,0),且AP=2PB,求经过点P且以点B为顶点的抛物线的函数表达式.。
中考数学压轴题100题含答案解析
中考数学压轴题100题精选【含答案】【001】如图,已知抛物线y a(x 3 3( a z 0)经过点A2 °),抛物线的顶点为D , 过O作射线OM // AD •过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C , B在x轴正半轴上,连结BC •(1)求该抛物线的解析式;(2)若动点P从点0出发,以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动,设点P运动的时间为t(s) •问当t为何值时,四边形DAOP分别为平行四边形?直角梯形?等腰梯形?(3)若0C °B,动点P和动点Q分别从点0和点B同时出发,分别以每秒1个长度单位和2 个长度单位的速度沿OC和BO运动,当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动•设它们的运动的时间为t (s),连接PQ,当t为何值时,四边形BCPQ的面积最小?并求出最小值及此时PQ的长.【002】如图16,在Rt A ABC中,/ C=90 , AC = 3 , AB = 5 .点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动,到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回;点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动.伴随着P、Q的运动,DE保持垂直平分PQ,且交PQ于点D,交折线QB-BC-CP于点E.点P、Q同时出发,当点Q到达点B时停止运动,点P也随之停止.设点P、Q运动的时间是t秒(t >0).(1) 当t = 2时,AP = ,点Q到AC的距离是:(2) 在点P从C向A运动的过程中,求△ APQ的面积S与t的函数关系式;(不必写出t的取值范围)(3) 在点E从B向C运动的过程中,四边形QBED能否成为直角梯形?若能,求t的值.若不能,请说明理由;(4) 当DE经过点C时,请直接写出t的值.【003】如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B (4, 0)、C ( 8, 0)、D ( 8,8) •抛物线y=ax2+bx过A、C两点.(1) 直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式;(2) 动点P从点A出发.沿线段AB向终点B运动,同时点Q从点C出发,沿线段CD 向终点D运动.速度均为每秒1个单位长度,运动时间为t秒•过点P作PE丄AB交AC于点E,①过点E作EF丄AD于点F,交抛物线于点G.当t为何值时,线段EG最长?②连接EQ.在点P、Q运动的过程中,判断有几个时刻使得△ CEQ是等腰三角形?请直接写出相应的t值。
全国最难中考数学压轴题
全国最难中考数学压轴题一、在平面直角坐标系中,点A的坐标为(1,0),点B的坐标为(0,1),点C在直线y=2x上运动,当三角形ABC的面积最大时,点C的坐标是?A. (1/2,1)B. (1,2)C. (2,4)D. (3,6)(答案)A解析:本题考察的是直线与坐标系中三角形的面积计算。
通过设定点C的坐标,利用三角形面积公式,结合直线方程,可以求出面积关于C点横坐标的表达式,进而通过求导找到面积最大值对应的C点坐标。
二、已知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点(1,0),(2,0)和(0,2),则a的值为?A. -1B. 1C. -2D. 2(答案)A解析:本题考察的是二次函数的性质。
将三个点的坐标代入二次函数方程,可以得到三个方程,通过解这个方程组,可以求出a,b,c的值。
三、在三角形ABC中,AB=AC,D是BC的中点,E是AD上的一点,且AE=1:2,BE的延长线交AC于F,则AF等于?A. 1:2B. 1:3C. 2:3D. 3:4(答案)B解析:本题考察的是相似三角形的性质。
通过构造平行线,利用相似三角形的性质,可以得到AF与FC的比例。
四、若关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是?A. m<-1B. m>-1C. m<-1或m>1D. -1<m<1(答案)D解析:本题考察的是一元二次方程的根的判别式。
通过计算判别式,并判断其大于0,可以得到m的取值范围。
五、在梯形ABCD中,AD平行BC,AB=DC=3,AD=2,BC=6,点E,F分别在AB,CD上,且AE=CF=1,则EF的长度为?A. 2B. √5C. √6D. √7(答案)D解析:本题考察的是梯形的性质和勾股定理。
通过过点E,F分别作AD,BC的平行线,可以构造出直角三角形,然后利用勾股定理求出EF的长度。
六、已知数列{an}满足a1=1,an+1=an+n,则a10的值为?A. 45B. 46C. 55D. 56(答案)C解析:本题考察的是数列的递推关系。
2024年中考数学高频压轴题训练——二次函数压轴题(角度问题)(含答案)
2024年中考数学高频压轴题训练——二次函数压轴题(角度问题)(1)求抛物线的解析式;(2)抛物线上是否存在点,使P存在,请说明理由.(1)求该抛物线的函数表达式;(2)在直线上是否存在点,使说明理由.(3)为第一象限内抛物线上的一个动点,且在直线,垂足为,以点为圆心,,且不经过点l C P PM l ⊥M M 2PAB PT S =V M e (4.如图,已知顶点为的抛物线与x 轴交于A ,B 两点,且.(1)求点B 的坐标;(2)求二次函数的解析式;(3)作直线,问抛物线上是否存在点M ,使得,若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.5.如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,,,与y 轴交于点C ,连接.()0,6C -()20y ax b a =+≠OC OB =()20y ax b a =+≠CB ()20y ax b a =+≠15MCB ∠=︒24y ax bx =+-()2,0A -()8,0B AC BC 、(1)求抛物线的解析式;(2)求证:;(3)点P 在抛物线上,且,求点P的坐标.6.如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线与x 轴交于、两点,与y 轴交于点C ,连接.(1)求抛物线的解析式;(2)在对称轴上是否存在一点M ,使,若存在,请求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由;(3)若点P 是直线下方的抛物线上的一个动点,作于点D ,当的值最大时,求此时点P 的坐标及的最大值.∠=∠ACO ABC PCB ACO ∠=∠()230y ax bx a =+-≠()3,0A ()1,0B -AC MCA MAC ∠=∠AC PD AC ⊥PD PD(1)试求抛物线的解析式;(2)点P 是直线下方抛物线上一动点,当的面积最大时,求点P 的坐标;(3)若M 是抛物线上一点,且,请直接写出点M 的坐标.BC BCP V MCB ABC ∠=∠(1)求此抛物线的解析式;(2)点E 是AC 延长线上一点,的平分线CD 交⊙于点D ,连接BD ,求点D 的坐标;(3)在(2)的条件下,抛物线上是否存在点P ,使得?如果存在,请求出点P 的坐标;如果不存在,请说明理由.9.综合与实践:如图,抛物线与x 轴交于点和点,与y 轴交于点C ,连接,点D 在抛物线上.(1)求抛物线的解析式;(2)小明探究点D 位置时发现:如图1,点D 在第一象限内的抛物线上,连接,,面积存在最大值,请帮助小明求出面积的最大值;(3)小明进一步探究点D 位置时发现:点D 在抛物线上移动,连接,存在BCE ∠O 'PDB CBD ∠=∠22y ax bx =++()1,0A -()4,0B BC BD CD BCD △BCD △CD(1)求抛物线的解析式.(2)如图1,过点D 作轴,垂足为M ,点P 在直线P 作,,求的最大值,以及此时点(3)将原抛物线沿射线方向平移个单位长度,在平移后的抛物线上存在点得,请写出所有符合条件的点G 的横坐标,并写出其中一个的求解过DM x ⊥PE AD ⊥PF DM ⊥2PE PF +CA 5245CAG ∠=︒(1)填空:___________,___________;(2)点为直线上方抛物线上一动点.①连接、,设直线交线段于点,求的最大值;②过点作于点,连接,是否存在点,使得中的,若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.(1)求抛物线的解析式;b =c =D AC BC CD BD AC E DE EBD DF AC ⊥F CD D CDF V 2DCF BAC ∠=∠D(1)求抛物线的解析式;(2)抛物线上是否存在点D ,使得?若存在,求出所有点不存在,请说明理由;(3)如图2,点E 是点B 关于抛物线对称轴的对称点,点F 是直线OB 动点,EF 与直线OB 交于点G .设和的面积分别为值.DOB OBC ∠=∠BFG V BEG V S14.如图,在平面直角坐标系中,点为坐标原点,抛物线与轴交于、两点且点,,与轴的负半轴交于点,.(1)求此抛物线的解析式;(2)在(1)的条件下,连接,点为直线下方的抛物线上的一点,过点作交于点,交直线于点,若,求点的坐标.(3)在(1)的条件下,点为该抛物线的顶点,过点作轴的平行线交抛物线于另一点,过点作于点,该抛物线对称轴右侧的抛物线上有一点,连接交于点,当时,求的度数.15.已知抛物线与轴相交于点,,与轴相交于点.O 2y x bx c =++x A B (3B 0)y C OB OC =AC P BC P PQ AC ∥AB Q BC D PD DQ =P D C x R R RH AB ⊥H M DM RH Q 2MQ RQ =MQH ∠24y ax bx =++x ()1,0A ()4,0B y C参考答案:的值最大时,此时,。
中考数学压轴题含答案
中考数学压轴题含答案一、选择题1、下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是()A.菱形B.平行四边形C.矩形(答案:C)2、如果一个三角形的三条边的平方相等,那么这个三角形一定是()A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形(答案:A)3、下列说法正确的是()A.所有的质数都是奇数B.所有的偶数都是合数C.一个数的因数一定比它的倍数小D.自然数一定是正数(答案:A)二、填空题1、若a-b=2,a+b=7,则a²-b²=(答案:14)2、我们学过的数有整数和分数,整数的运算律在分数运算中(答案:同样适用)。
3、一个长方形的周长是20cm,长和宽的比是3:2,则长方形的面积是(答案:60平方厘米)。
三、解答题1、一个圆柱体底面半径为r,高为h,它的体积是多少?(答案:πr²h)2、有一块三角形的土地,底边长为120米,高为90米,这块土地的面积是多少?(答案:5400平方米)3、对于一个给定的整数n,如果它是3的倍数,那么我们就称它为“三的倍数”,否则我们就称它为“非三的倍数”。
现在有一个整数n,它是“三的倍数”,我们可以得出哪些结论?(答案:n+1、n+2、n+3、...、2n都是“三的倍数”,因为它们都可以被3整除。
)中考数学压轴题100题及答案在中考数学考试中,压轴题往往是最具挑战性和最能检验考生数学能力的题目。
为了帮助同学们更好地理解和掌握中考数学的压轴题,本文将分享100道经典的中考数学压轴题及其答案。
一、选择题1、在一个等边三角形中,边长为6,下列哪个选项的面积最接近这个等边三角形的面积?A. 20B. 25C. 30D. 35答案:B解析:等边三角形的面积可以通过计算得出,边长为6的等边三角形的面积为:436293约为28.2,因此选项B最接近。
2、如果一个多边形的内角和是外角和的2倍,那么这个多边形的边数是多少?A. 4B. 6C. 8D. 10答案:C解析:根据多边形的内角和公式和外角和为360度,可列出方程求解。
中考数学压轴题专项训练十套(含答案)
做题时间:_______至_______ 家长签字:_____________ 共__________分钟日期:_____月_____日三、解答题23.(11分)如图,在直角梯形OABC中,AB∥OC,BC⊥x轴于点C,A(1,1),B(3,1).动点P从点O出发,沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动.过点P作PQ⊥OA,垂足为Q.设点P移动的时间为t秒(0<t<4),△OPQ与直角梯形OABC重叠部分的面积为S.做题时间:_______至_______ 家长签字:_____________ 共__________分钟 日 期:_____月_____日三、解答题23. (11分)如图,抛物线22++=bx ax y 与x 轴交于A (-1,0),B (4,0)两点,与y 轴交于点C ,与过点C 且平行于x 轴的直线交于另一点D ,点P 是抛物线上一动点.(1)求抛物线的解析式及点D 的坐标.(2)点E 在x 轴上,若以A ,E ,D ,P 为顶点的四边形是平行四边形,求此时点P 的坐标.(3)过点P 作直线CD 的垂线,垂足为Q .若将△CPQ 沿CP 翻折,点Q 的对应点为Q ′,是否存在点P ,使点Q ′恰好在x 轴上?若存在,求出此时点P 的坐标;若不存在,请说明理由.备用图做题时间:_______至_______ 家长签字:_____________ 共__________分钟日期:_____月_____日三、解答题23.(11分)如图,已知直线112y x=-+与坐标轴交于A,B两点,以线段AB为边向上作正方形ABCD,过点A,D,C的抛物线与直线的另一个交点为E.(1)请直接写出C,D两点的坐标,并求出抛物线的解析式;(2个单位长度的速度沿射线AB下滑,直至顶点D落在x轴上时停止,设正方形落在x轴下方部分的面积为S,求S关于滑行时间t的函数关系式,并写出相应自变量t的取值范围;(3)在(2)的条件下,抛物线与正方形一起平移,同时停止,求抛物线上C,E两点间的抛物线弧所扫过的面积.备用图做题时间:_______至_______ 家长签字:_____________ 共__________分钟日期:_____月_____日三、解答题23.(11分)如图,抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A(-3,0),点B(1,0),交y轴于点E(0,-3).点C是点A关于点B的对称点,点F是线段BC的中点,直线l过点F且与y轴平行.直线y=-x+m过点C,交y轴于点D.(1)求抛物线的解析式;(2)点K为线段AB上一动点,过点K作x轴的垂线,交直线CD于点H,交抛物线于点G,求线段HG长度的最大值;(3)在直线l上取点M,在抛物线上取点N,使以A,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形,求点N的坐标.备用图做题时间:_______至_______ 家长签字:_____________ 共__________分钟 日 期:_____月_____日三、解答题23. (11分)如图,在平面直角坐标系中,直线3342y x =-与抛物线214y x bx c =-++交于A ,B 两点,点A 在x 轴上,点B 的横坐标为-8.(1)求抛物线的解析式.(2)点P 是直线AB 上方的抛物线上一动点(不与点A ,B 重合),过点P 作x 轴的垂线,垂足为C ,交直线AB 于点D ,作PE ⊥AB 于点E . ①设△PDE 的周长为l ,点P 的横坐标为x ,求l 关于x 的函数关系式,并求出l 的最大值.②连接PA ,以PA 为边作图示一侧的正方形APFG .随着点P 的运动,正方形的大小、位置也随之改变.当顶点F 或G 恰好落在y 轴上时,直接写出对应的点P 的坐标.备用图做题时间:_______至_______ 家长签字:_____________ 共__________分钟 日 期:_____月_____日三、解答题23. (11分)如图1,点A 为抛物线C 1:2122y x =-的顶点,点B 的坐标为(1,0),直线AB 交抛物线C 1于另一点C .(1)求点C 的坐标;(2)如图1,平行于y 轴的直线x =3交直线AB 于点D ,交抛物线C 1于点E ,平行于y 轴的直线x =a 交直线AB 于点F ,交抛物线C 1于点G ,若FG :DE =4:3,求a 的值;(3)如图2,将抛物线C 1向下平移m (m >0)个单位得到抛物线C 2,且抛物线C 2的顶点为P ,交x 轴负半轴于点M ,交射线AB 于点N ,NQ ⊥x 轴于点Q ,当NP 平分∠MNQ 时,求m 的值.图1 图2做题时间:_______至_______ 家长签字:_____________ 共__________分钟日期:_____月_____日三、解答题23.(11分)如图1,在平面直角坐标系中,已知点A(0,,点B在x轴正半轴上,且∠ABO=30°.动点P在线段AB上,从点A向点B个单位长度的速度运动,设运动时间为t秒.在x轴上取两点M,N作等边三角形PMN.(1)求直线AB的解析式;(2)求等边三角形PMN的边长(用含有t的代数式表示),并求出当等边三角形PMN的顶点M运动到与原点O重合时t的值;(3)如果取OB的中点D,以OD为边在Rt△AOB内部作如图2所示的矩形ODCE,点C在线段AB上.设等边三角形PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为S,请求出当0≤t≤2时S与t的函数关系式,并求出S的最大值.图2图1做题时间:_______至_______ 家长签字:_____________ 共__________分钟日期:_____月_____日三、解答题23.(11分)如图,平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为( 2,2),点B的坐标为(6,6),抛物线经过A,O,B三点.连接OA,OB,AB,线段AB交y 轴于点E.(1)求点E的坐标;(2)求抛物线的函数解析式;(3)点F为线段OB上的一个动点(不与点O,B重合),直线EF与抛物线交于M,N两点(点N在y轴右侧),连接ON,BN,当点F在线段OB 上运动时,求△BON面积的最大值,并求出此时点N的坐标;(4)连接AN,当△BON面积最大时,在坐标平面内求使得△BOP与△OAN 相似(点B,O,P分别与点O,A,N对应)的点P的坐标.做题时间:_______至_______ 家长签字:_____________共__________分钟日期:_____月_____日三、解答题23.(11分)如图,在平面直角坐标系中,已知点A,B,C的坐标分别为( 1,0),(5,0),(0,2).(1)求过A,B,C三点的抛物线解析式.(2)点P从点A出发,沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向点B移动,连接PC并延长到点E,使CE=PC,将线段PE绕点P顺时针旋转90°得到线段PF,连接FB.设点P运动的时间为t(0≤t≤6)秒,△PBF的面积为S.①求S与t的函数关系式;②当t为何值时,△PBF的面积最大?最大面积是多少?(3)点P在移动的过程中,△PBF能否成为直角三角形?若能,直接写出点F的坐标;若不能,请说明理由.备用图做题时间:_______至_______ 家长签字:_____________ 共__________分钟日期:_____月_____日三、解答题23.(11分)如图,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点A的坐标是(-4,0),点B的坐标是(0,b)(b>0).P是直线AB上的一个动点,作PC ⊥x轴,垂足为C.记点P关于y轴的对称点为P′(点P′不在y轴上),连接PP′,P′A,P′C.设点P的横坐标为a.(1)当b=3时,①求直线AB的解析式;②若点P′的坐标是(-1,m),求m的值.(2)若点P在第一象限,记直线AB与P′C的交点为D.当P′D:DC=1:3时,求a的值.(3)是否同时存在a,b,使△P′CA为等腰直角三角形?若存在,请求出所有满足要求的a,b的值;若不存在,请说明理由.23.(1)21433y x x =-+; (2)22102412311143422tt S t t t t t ⎧<⎪⎪=-<⎨⎪⎪-+-<<⎩≤≤()()(); (3)存在,t =1或2.中考数学压轴题专项训练(二)参考答案23.(1)213222y x x =-++,(3 2),D ; (2)123(0 2) 2) 2),,,P P P --; (3)存在,点P的坐标为 (或.中考数学压轴题专项训练(三)参考答案中考数学压轴题专项训练(四)参考答案中考数学压轴题专项训练(六)参考答案中考数学压轴题专项训练(七)参考答案中考数学压轴题专项训练(八)参考答案中考数学压轴题专项训练(十)参考答案。
中考数学压轴题100题精选及答案全3篇
中考数学压轴题100题精选及答案全第一篇:数与代数1.下列各组数中,哪一组数最大?A. \frac{1}{2} ,\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{4}{5}B. 0.99,0.999,0.9999,0.99999C. \sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5},\sqrt{7}D. 1,10^2,10^3,10^42. 一个整数,十位数与各位数的和为9,再去掉该整数中的各位数,十位数与剩下的数字的和为40,该整数为__________。
A. 45B. 54C. 63D. 723. 已知 a+b=2, ab=-1,求a^2+b^2的值。
A. 3B. 5C. 7D. 94. 解方程 2x-5=3x+1。
A. x=-3.5B. x=-2C. x=2D. x=3.55. 有两个数,各位数字相同,但顺序颠倒,若它们的和为110,这两个数分别是多少?A. 47,74B. 49,94C. 56,65D. 59,956. 若x-3y=-7,x+4y=1,则y的值为__________。
A. -2B. -1C. 0D. 17. 16÷(a-2)=4,则 a 的值为__________。
A. 6B. 8C. 10D. 128. 若a:b=5:3,b:c=7:4,则a∶b∶c=__________。
A. 35:21:12B. 25:15:12C. 25:21:16D. 35:15:169. 若a+3b=5,3a-5b=7,则 a 的值为__________。
A. -2B. -1C. 0D. 110. 已知x+y=3,xy=2,则y的值为__________。
A. 1B. 2C. 3D. 4第二篇:几何图形11. 已知正方形 ABCD 的边长为6,以 BC 为边,画一个正三角形 BCE,连接 AE,AD,请问△ADE 和正方形 ABCD 的面积之比是多少?A. \frac{2}{9}B. \frac{1}{2}C. \frac{4}{9}D.\frac{5}{6}12. 把一张纸平整地放在桌上,在纸的中央画一个圆形,请问可以用多少个直径为5 厘米的圆去覆盖这个圆形(圆覆盖圆)?A. 1B. 2C. 3D. 413. 已知△ABC 是等腰三角形,AB=AC,E是BC中点,DE∥AC,AE=CD=2,求△ABC 的面积。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
2008年全国中考数学压轴题精选(十)91.(08新疆自治区24题)(10分)某工厂要赶制一批抗震救灾用的大型活动板房.如图,板房一面的形状是由矩形和抛物线的一部分组成,矩形长为12m ,抛物线拱高为5.6m . (1)在如图所示的平面直角坐标系中,求抛物线的表达式.(2)现需在抛物线AOB 的区域内安装几扇窗户,窗户的底边在AB 上,每扇窗户宽1.5m ,高1.6m ,相邻窗户之间的间距均为0.8m ,左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平距离至少为0.8m .请计算最多可安装几扇这样的窗户?(08新疆自治区24题解析)24.(10分)解:(1)设抛物线的表达式为2y ax = 1分 点(6 5.6)B -,在抛物线的图象上. ∴ 5.636a -=745a =-······················································ 3分 ∴抛物线的表达式为2745y x =- ·································································· 4分 (2)设窗户上边所在直线交抛物线于C 、D 两点,D 点坐标为(k ,t )已知窗户高1.6m ,∴ 5.6( 1.6)4t =---=- ··················································· 5分125.07 5.07k k -≈,≈(舍去) ································································· 6分∴ 5.07210.14CD =⨯≈(m ) ··································································· 7分 又设最多可安装n 扇窗户∴1.50.8(1)10.14n n ++≤ ········································································· 9分4.06n ≤.答:最多可安装4扇窗户. ······································································· 10分 (本题不要求学生画出4个表示窗户的小矩形) 92.(08四川资阳24题)24.(本小题满分12分) 如图10,已知点A 的坐标是(-1,0),点B 的坐标是(9,0),以AB 为直径作⊙O ′,交y 轴的负半轴于点C ,连接AC 、BC ,过A 、B 、C 三点作抛物线.(1)求抛物线的解析式;结BD ,求直线BD 的解析式;(3)在(2)的条件下,抛物线上是否存在点P ,使得∠PDB =∠CBD?如果存在,请求出点P 的坐标;如果不存在,请说明理由.(08四川资阳24题解答)(1) ∵以AB 为直径作⊙O ′,交y 轴的负半轴于点C ,∴∠OCA+∠OCB=90°, 又∵∠OCB+∠OBC=90°, ∴∠OCA=∠OBC ,又∵∠AOC= ∠COB=90°, ∴ΔAOC ∽ ΔCOB , ··········································································· 1分图10图10答案图1 ∴OA OCOC OB=. 又∵A(–1,0),B(9,0),∴19OC OC =,解得OC=3(负值舍去). ∴C(0,–3), ······································································································ 3分 设抛物线解析式为y=a(x+1)(x –9),∴–3=a(0+1)(0–9),解得a=13,∴二次函数的解析式为y=13(x+1)(x –9),即y=13x 2–83x –3. ························ 4分(2) ∵AB 为O ′的直径,且A(–1,0),B(9,0), ∴OO ′=4,O ′(4,0), ····································································· 5分 ∵点E 是AC 延长线上一点,∠BCE 的平分线CD 交⊙O ′于点D ,∴∠BCD=12∠BCE=12×90°=45°,连结O ′D 交BC 于点M ,则∠BO ′D=2∠BCD=2×45°=90°,OO ′=4,O ′D=12AB=5.∴D(4,–5). ···················································································· 6分 ∴设直线BD 的解析式为y=kx+b (k ≠0) ∴90,4 5.k b k b +=⎧⎨+=-⎩ ··················································· 7分解得1,9.k b =⎧⎨=-⎩∴直线BD 的解析式为y=x –9. ······························· 8分 (3) 假设在抛物线上存在点P ,使得∠PDB=∠CBD ,解法一:设射线DP 交⊙O ′于点Q ,则BQ CD =. 分两种情况(如答案图1所示):①∵O ′(4,0),D(4,–5),B(9,0),C(0,–3).∴把点C 、D 绕点O ′逆时针旋转90°,使点D 与点B 重合,则点C 与点Q 1重合, 因此,点Q 1(7,–4)符合BQ CD =, ∵D(4,–5),Q 1(7,–4),∴用待定系数法可求出直线DQ 1解析式为y=13x –193. ····························· 9分解方程组21193318 3.33y x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩,得1194122941x y ⎧-=⎪⎪⎨--⎪=⎪⎩,2294122941x y ⎧+=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩, ∴点P 1坐标为941+2941-+,[坐标为941-2941--)不符合题意,舍去]. ······································································································ 10分 ②∵Q 1(7,–4),∴点Q 1关于x 轴对称的点的坐标为Q 2(7,4)也符合BQ CD =. ∵D(4,–5),Q 2(7,4).∴用待定系数法可求出直线DQ 2解析式为y=3x –17. ································ 11分图10答案图2 图10答案解方程组2317183.33y x y x x =-⎧⎪⎨=--⎪⎩,得1138x y =⎧⎨=-⎩,;221425.x y =⎧⎨=⎩, ∴点P 2坐标为(14,25),[坐标为(3,–8)不符合题意,舍去]. ······································································································ 12分∴符合条件的点P 有两个:P 1941+2941-+),P 2(14,25).解法二:分两种情况(如答案图2所示): ①当DP 1∥CB 时,能使∠PDB=∠CBD . ∵B(9,0),C(0,–3).∴用待定系数法可求出直线BC 解析式为y=13x –3.又∵DP 1∥CB ,∴设直线DP 1的解析式为y=13x+n .把D(4,–5)代入可求n= –193,∴直线DP 1解析式为y=13x –193. ····················· 9分 解方程组21193318 3.33y x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩,得11941229416x y ⎧-=⎪⎪⎨--⎪=⎪⎩,;2294122941.6x y ⎧+=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩, ∴点P 1坐标为(9412+,29416-+),[坐标为(9412-,29416--)不符合题意,舍去]. ······································································································ 10分②在线段O ′B 上取一点N ,使BN=DM 时,得ΔNBD ≌ΔMDB(SAS),∴∠NDB=∠CBD .由①知,直线BC 解析式为y=13x –3.取x=4,得y= –53,∴M(4,–53),∴O ′N=O ′M=53,∴N(173,0),又∵D(4,–5),∴直线DN 解析式为y=3x –17. ···························································· 11分解方程组2317183.33y x y x x =-⎧⎪⎨=--⎪⎩,得1138x y =⎧⎨=-⎩,;221425.x y =⎧⎨=⎩, ∴点P 2坐标为(14,25),[坐标为(3,–8)不符合题意,舍去]. ······································································································ 12分∴符合条件的点P 有两个:P 1(941+,2941-+),P 2(14,25).解法三:分两种情况(如答案图3所示): ①求点P 1坐标同解法二. ··································································· 10分 ②过C 点作BD 的平行线,交圆O ′于G, 此时,∠GDB=∠GCB=∠CBD . 由(2)题知直线BD 的解析式为y=x –9, 又∵ C (0,–3)∴可求得CG 的解析式为y=x –3, 设G (m,m –3),作GH ⊥x 轴交与x 轴与H ,连结O ′G,在Rt △O ′GH 中,利用勾股定理可得,m=7, 由D (4,–5)与G(7,4)可得,DG 的解析式为317y x =-, ································································ 11分解方程组2317183.33y x y x x =-⎧⎪⎨=--⎪⎩,得1138x y =⎧⎨=-⎩,;221425.x y =⎧⎨=⎩, ∴点P 2坐标为(14,25),[坐标为(3,–8)不符合题意,舍去]. ····················· 12分∴符合条件的点P 有两个:P 1941+2941-+),P 2(14,25).说明:本题解法较多,如有不同的正确解法,请按此步骤给分. 93.(08福建南平26题)26.(14分)(1)如图1,图2,图3,在ABC △中,分别以AB AC ,为边,向ABC △外作正三角形,正四边形,正五边形,BE CD ,相交于点O . ①如图1,求证:ABE ADC △≌△;②探究:如图1,BOC ∠= ; 如图2,BOC ∠= ; 如图3,BOC ∠= .(2)如图4,已知:AB AD ,是以AB 为边向ABC △外所作正n 边形的一组邻边;AC AE ,是以AC 为边向ABC △外所作正n 边形的一组邻边.BE CD ,的延长相交于点O .①猜想:如图4,BOC ∠= (用含n 的式子表示);②根据图4证明你的猜想. (08福建南平26题解答)(1)①证法一:ABD △与ACE △均为等边三角形,AD AB ∴=,AC AE = ············································································ 2分 且60BAD CAE ∠=∠= ········································ 3分BAD BAC CAE BAC ∴∠+∠=∠+∠,即DAC BAE ∠=∠ ················································ 4分ABE ADC ∴△≌△.············································ 5分 证法二:ABD △与ACE △均为等边三角形,AD AB ∴=,AC AE = ············································································ 2分 且 ··········································································· 3分 ADC ∴△可由ABE △绕着点A 按顺时针方向旋转60得到 ······························ 4分 ABE ADC ∴△≌△.··············································································· 5分 ②120,90,72. ······························································ 8分(每空1分)(2)①360n························································································· 10分 ②证法一:依题意,知BAD ∠和CAE ∠都是正n 边形的内角,AB AD =,AE AC =,BAD DAE CAE DAE ∴∠-∠=∠-∠,即BAE DAC ∠=∠. ························ 11分ABE ADC ∴△≌△.············································································· 12分 ABE ADC ∴∠=∠,180ADC ODA ∠+∠=,180ABO ODA ∴∠+∠= ····· 13分 360ABO ODA DAB BOC ∠+∠+∠+∠=,180BOC DAB ∴∠+∠= (2)180360180180n BOC DAB n n-∴∠=-∠=-= ·································· 14分证法二:同上可证 ABE ADC △≌△. ··················································· 12分ABE ADC ∴∠=∠,如图,延长BA 交CO 于F ,180AFD ABE BOC ∠+∠+∠=,180AFD ADC DAF ∠+∠+∠= ··························· 13分 360180BOC DAF BAD n∴∠=∠=-∠=·············· 14分 证法三:同上可证 ABE ADC △≌△. ··················································· 12分ABE ADC ∴∠=∠.180()BOC ABE ABC ACB ACD ∠=-∠+∠+∠+∠180ABC ACB BAC ∠+∠=-∠,180ADC ACD DAC ∠+∠=-∠180(360)BOC BAC DAC ∴∠=--∠-∠ ················································ 13分即360180BOC BAD n∠=-∠=······························································ 14分 证法四:同上可证 ABE ADC △≌△. ··················································· 12分 AEB ACD ∴∠=∠.如图,连接CE ,BEC BOC OCE ∠=∠+∠BOC AEC ACE ∴∠=∠+∠. ······························· 13分 即360180BOC CAE n∠=-∠=··························· 14分 注意:此题还有其它证法,可相应评分. 94.如图11所示,在梯形ABCD 中,已知AB ∥CD , AD ⊥DB ,AD =DC =CB ,AB =4.以AB 所在直线为x 轴,过D 且垂直于AB 的直线为y 轴建立平面直角坐标系.(1)求∠DAB 的度数及A 、D 、C 三点的坐标;(2)求过A 、D 、C 三点的抛物线的解析式及其对称轴L . (3)若P 是抛物线的对称轴L 上的点,那么使∆PDB 为等腰三角形的点P 有几个?(不必求点P 的坐标,只需说明理由) (08广东梅州23题解答)解: (1) DC ∥AB ,AD =DC =CB ,∴ ∠CDB =∠CBD =∠DBA , ···································································· 0.5分 ∠DAB =∠CBA , ∴∠DAB =2∠DBA , ············ 1分∠DAB +∠DBA =90 , ∴∠DAB =60 , ········· 1.5分 ∠DBA =30 , AB =4, ∴DC =AD =2, ········ 2分 R t ∆AOD ,OA =1,OD =3, ······················· 2.5分∴A (-1,0),D (0, 3),C (2, 3). · 4分(2)根据抛物线和等腰梯形的对称性知,满足条件的抛物线必过点A (-1,0),B (3,0), 故可设所求为 y =a (x +1)( x -3) ····················································· 6分 将点D (0,3)的坐标代入上式得, a =33-. 所求抛物线的解析式为 y =).3)(1(33-+-x x ···································· 7分 其对称轴L 为直线x =1. ·········································································· 8分(3) ∆PDB 为等腰三角形,有以下三种情况:①因直线L 与DB 不平行,DB 的垂直平分线与L 仅有一个交点P 1,P 1D =P 1B ,∆P 1DB 为等腰三角形; ······································································ 9分 ②因为以D 为圆心,DB 为半径的圆与直线L 有两个交点P 2、P 3,DB =DP 2,DB =DP 3, ∆P 2DB , ∆P 3DB 为等腰三角形;③与②同理,L 上也有两个点P 4、P 5,使得 BD =BP 4,BD =BP 5. ················· 10分 由于以上各点互不重合,所以在直线L 上,使∆PDB 为等腰三角形的点P 有5个. 95.(08山东聊城25题)25.(本题满分12分)如图,把一张长10cm ,宽8cm 的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形,再折合成一个无盖的长方体盒子(纸板的厚度忽略不计).(1)要使长方体盒子的底面积为48cm 2,那么剪去的正方形的边长为多少?(2)你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况?如果有,请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长;如果没有,请你说明理由;(3)如果把矩形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的矩形,然后折合成一个有盖的长方体盒子,是否有侧面积最大的情况;如果有,请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长;如果没有,请你说明理由.(08山东聊城25题解答)(本题满分12分) x (102)(82)48x x --=. ············································································ 1分即2980x x -+=.解得18x =(不合题意,舍去),21x =.∴剪去的正方形的边长为1cm . ··································································· 3分(注:通过观察、验证直接写出正确结果给3分) (2)有侧面积最大的情况.设正方形的边长为x cm ,盒子的侧面积为y cm 2,第25题图则y 与x 的函数关系式为:2(102)2(82)y x x x x =-+-.即2836y x x =-+. ·················································································· 5分改写为2981842y x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭.∴当 2.25x =时,40.5y =最大.即当剪去的正方形的边长为2.25cm 时,长方体盒子的侧面积最大为40.5cm 2. ······· 7分22x . 6+.22x .3+.96............几何图形提出相关的概念和问题(或者根据问题构造图形),并加以研究................................. 例如:在平面上根据两条直线的各种构图,可以提出“两条直线平行”、“两条直线相交”的概念;若增加第三条直线,则可以提出并研究“两条直线平行的判定和性质”等问题(包括研究的思想和方法).请你用上面的思想和方法对下面关于圆的问题进行研究:(1) 如图1,在圆O 所在平面上,放置一条..直线m (m 和圆O 分别交于点A 、B ),根据这个图形可以提出的概念或问题有哪些(直接写出两个即可)?(2) 如图2,在圆O 所在平面上,请你放置与圆O 都相交且不同时经过圆心.......的两条..直线m 和n (m与圆O分别交于点A、B,n与圆O分别交于点C、D).请你根据所构造的图形提出一个结论,并证明之.(3) 如图3,其中AB是圆O的直径,AC是弦,D是的中点,弦DE⊥AB于点F. 请找出点C和点E重合的条件,并说明理由.mB、C第25题图22 第25题图23第25题图3。