热力学统计物理期末考试卷

热力学与统计物理
1. 下列关于状态函数的定义正确的是（ ）。

A ．系统的吉布斯函数是：pV TS U G +-=
B ．系统的自由能是：TS U F +=
C ．系统的焓是：pV U H -=
D ．系统的熵函数是：T
Q
S =
2. 以T 、p 为独立变量，特征函数为(???? ? )。

A.内能；
B.焓；
C.自由能；
D.吉布斯函数。

3. 下列说法中正确的是（ ）。

A ．不可能把热量从高温物体传给低温物体而不引起其他变化；
B ．功不可能全部转化为热而不引起其他变化；
C ．不可能制造一部机器，在循环过程中把一重物升高而同时使一热库冷却；
D ．可以从一热源吸收热量使它全部变成有用的功而不产生其他影响。

4. 要使一般气体满足经典极限条件，下面措施可行的是（ ）。

A.减小气体分子数密度；
B.降低温度；
C.选用分子质量小的气体分子；
D.减小分子之间的距离。

5. 下列说法中正确的是（ ）。

A ．由费米子组成的费米系统，粒子分布不受泡利不相容原理约束；
B ．由玻色子组成的玻色系统，粒子分布遵从泡利不相容原理；
C ．系统宏观物理量是相应微观量的统计平均值；
D ．系统各个可能的微观运动状态出现的概率是不相等的。

6. 正则分布是具有确定的（ ）的系统的分布函数。

A ．内能、体积、温度；
B ．体积、粒子数、温度；
C ．内能、体积、粒子数；
D ．以上都不对。

二、填空题（共20分,每空2分）
1. 对于理想气体,在温度不变时,内能随体积的变化关系为=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂T
V U 。

2. 在S 、V 不变的情形下，稳定平衡态的U 。

3. 在可逆准静态绝热过程中，孤立系统的熵变ΔS ＝ 。

4. 连续相变的特点
是 。

5. 在等温等压条件下，单相化学反应0=∑i
i i A ν达到化学平衡的条件为 。

6. 在满足经典极限条件1>>αe 时，玻色系统、费米系统以及玻耳兹曼系统的微观状态数满
足关系 。

7.
玻
色
－
爱
因
斯
坦
凝
聚
现
象
是
指 。

8. 在低温下，如果计及电子和离子振动的话，金属的定容热容量可表为 。

9. 按费米分布，处在能量为s ε的量子态s 上的平均粒子数为=s f 。

10．刘维尔定理表明，如果随着一个代表点沿正则方程所确定的轨道在相空间中运动，其邻域的 是不随时间改变的常数。

三、简答题（共20分,每小题4分）
1. 什么是热力学系统的强度量？什么是广延量？
2. 什么是特性函数？若吉布斯函数为特性函数，其自然变量是什么？
3. 证明在F 、T 不变的情形下，平衡态的V 最小。

4. 写出玻耳兹曼关系，并说明熵的统计意义。

5. 请分别写出正则分布配分函数的量子表达式和经典表达式？
四、(12 分)设有1mol 的理想气体，其状态参量由(111,,T V p )变化到(222,,T V p )，假设此过
程为一等温膨胀过程)(21T T T ==，求理想气体内能的改变U ∆，外界对理想气体所作的功
W ，理想气体从外界吸收的热量Q ，以及理想气体的熵变ΔS 。

五、（10分）定域系统含有N 个近独立粒子，每个粒子有两个非简并能级1ε和2ε，假设
21εε<。

求在温度为T 的热平衡状态下系统
的内能和熵。

六、（10分）目前由于分子束外延技术的发展，可以制成几个原子层厚的薄膜材料，薄膜中的电子可视为在平面内做自由运动，电子面密度为n 。

试求0K 时二维电子气的费米能量和内能。

七、（10分）试应用正则分布求单原子分子理想气体的物态方程、内能和熵。

(提示: ⎰∞
+∞
--=
a
dx e ax π
2
）
热力学与统计物理参考答案
一、选择题（共18分，每小题3分）
1.A
2.D
3.C
4.A
5.C
6.B
二、填空题（共20分，每空2分）
1．0。

2. 最小。

3.0。

4. 在临界点μ及μ的一阶偏导数连续 5. 0=∑i
i i νμ。

6. !
...N B
M D F E B Ω≈
Ω≈Ω。

7. 在C T T <时，有宏观量级的粒子在能级0=ε凝聚。

8. 3AT T C V +=γ。

9.
1
1++s
e
βεα。

10. 代表点密度。

三、简答题（共20分，每小题4分）
1．热力学系统的强度量是指与系统的质量或物质的量无关的热力学量（2分）。

热力学系统的广延量是指与系统的质量或物质的量成正比的热力学量（2分）。

2．如果适当选择独立变量，只要知道一个热力学函数，就可以通过求偏导数而求得均匀系统的全部热力学函数，从而把均匀系统的平衡性质完全确定。

这个热力学函数即称为特性函数。

（2分）
吉布斯函数的自然变量是：温度T 和体积p 。

（2分）
3．假设系统发生一虚变动，在虚变动中，有V p T S F δδδ--<。

在F ,T 不变的情形下,
有0,0==T F δδ，因此必有0<V δ(2分)。

如果系统达到了V 为极小的状态，它的体积
不可能再减少，系统就不可能自发发生任何宏观的变化而处在稳定的平衡状态，因此在F ,T
不变的情形下，稳定平衡态的V 最小。

（2分）
4．Ω=ln k S （2分）。

熵是系统混乱程度的量度，某个宏观状态对应的微观状态数愈多，
它的混乱程度就愈大，熵也愈大（2分）。

5．量子表达式：∑-=S
E S e Z β 或 ∑-Ω=l
E l l e Z β （2分）
经典表达式：⎰Ω=
-d e h
N Z p q E Nr )
,(!1β （2分）
四、（12分）解：等温膨胀过程，由于温度不变，理想气体内能仅是温度的函数，所以
0=∆U （3分）
1
2ln 2
1
V V RT V dV
RT pdV W V V B
A
-=-=-=⎰
⎰ （3分） 根据热力学第一定律，
1
2
ln
V V RT W Q =-= （3分） 等温膨胀过程引起的系统的熵变：
1
2ln V V R T Q
S ==
∆ （3分）
五、（10分）解：定域系统可以用玻尔兹曼分布处理。

系统的配分函数为
∑------+=+==l
l e e e e e Z l ]1[)(112121εεββεβεβεβεω （2分）
得系统的内能为
kT
e
N N e N N Z N
U )
(121)(121112121)
(1)(ln εεεεβεεεεεεβ--+-+=+-+=∂∂-= （4分）
系统的熵为
)ln (ln 11Z Z Nk S ββ
∂∂-=}1)(]1{ln[)(12)(1212εεβεεβεεβ---+-++=e
e Nk })
1()(]1{ln[)
(12)
(1212kT
kT
e
kT e
Nk εεεεεε---+-+
+= （4分）
六、（10分）解：在面积A 内，在εεεd +→的能量范围内，二维自由电子的量子态数为
επεεmd h
A
d D 24)(=
（2分） 0K 下自由电子的分布为
⎩⎨⎧>≤=)
0( ,0)0(
,1)(μεμεεf （2分）
费米能量)0(μ由下式确定：
)0(44)()(2)0(020
μπεπεεεμm h
A
d m h A d D f N ==
=⎰⎰∞
即 n m
h A N m h ππμ44)0(22==
（3分） 0K 下二维自由电子气体的内能为
)0(2)0(2
44)()(22)0(020
μμπεεπεεεεμN
m h A d m h A d D f U ===
=⎰⎰∞
(3分）
七、（10分）解：由N 个单原子分子组成的理想气体，其能量为
∑==N
i i m p E 31
22 （1分）
配分函数
⎰
⋅⋅⋅⋅⋅⋅∑==-N
N m p N dp dp dq dq e
h N Z N
i i 31312331
2!1
β
2
32
)2(!N N h m
N V βπ= （3分）
物态方程 V
NkT
V V N Z V p =∂∂=∂∂=
ln ln 1ββ （2分） 内能 kT N
N Z U 2
31ln 23ln =∂∂-=∂∂-
=βββ （2分） 熵 )(ln )ln (ln U Z k Z Z k S ββ
β
+=∂∂
-= ⎥⎦⎤⎢⎣
⎡+++=25)2ln(ln 232
32h mk Nk N V Nk NkT π (2分)。