理论力学_动能定理例题
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
15
动力学普遍定理的综合应用
例 题 6
P
C
v
A
C
解：杆在水平方向不受外力，且由静止倒下，则在倒下过 程中其质心将铅直下落。由运动学知，P为杆的瞬心。
杆刚到达地面时，A点成为杆的瞬心，杆的的动能为：
T
1 1 1 1 J A 2 ( ml 2 ) 2 ml 2 2 2 2 3 6
1 1 2 2 T I O 2 mL 2 18
K mR
3 LO mR 2 2
K mv
1 LC mR 2 2
2ຫໍສະໝຸດ Baidu
T 3 mR 4
2
T 1 mv2 1 mR2 2 2 4
7
[例5] 均质杆OA，重P，长l，绳子突然剪断。求该瞬时，角加 速度及O处反力。
均质圆轮A、B的质量均为m， 半径均为R，轮A沿斜面作纯滚动 ，轮B作定轴转动，B处摩擦不计 。物块C的质量也为m。A、B、C 用无质量绳相联，绳相对B 轮无 滑动。系统初始为静止状态。 试求： 1．轮A、轮B之间的绳子拉力 和B处的约束力；
2．轮A与地面的接触点处的摩擦力。
9
动力学普遍定理的综合应用
12
动力学普遍定理的综合应用
例 题 5
解： 3．确定A轮与斜面之间的摩擦力
取轮A为研究对象，分析受力， 应用相对质心的动量矩定理，得到
J A A FR
注意到
a A aC R A
于是，得到摩擦力
1 2 aA mR J R 1 m g 1 mg F A A2 R R 2 6 12
11
动力学普遍定理的综合应用
例 题 5
解： 2．确定B处的约束力
B
对图示系统应用质心运动定理，有
m a m a F F cos30 B Bx C Cx Bx T m a m a F F cos60 mB g mC g B By C Cy By T
10
动力学普遍定理的综合应用
例 题 5
d(J BB mC vC R ) mC gR FTR dt
JB mR R aC mgR F TR
B
解得
3 3 J FT mg B m a mg ma mg C C 2 2 4 R
1
W ( F ) 2mg S sin f mgScos mg S (2sin f cos )
T1 0 1 1 11 T2 mv2 mv2 mr2 2 2 2 22
T2 5 mv2 4
运动学关系： v r 由动能定理：
5 2 mv 0mgS(2sin f cos ) 4
解：取杆为研究对象， 由动量矩定理：
1 P l 2 P l 3g 2
由质心运动定理：
P aCx 0 X O g
3g / 2l
（∵初瞬时杆的角 速度0=0 ）
P Pl aCy YO P g g2
1 YO P 4
8
动力学普遍定理的综合应用
例 题 5
B 0 0 ，圆盘平动。
3
（2）用动能定理求速度。 取系统研究。初始时T1=0 ， 最低位置时：
1 1 G2 2 T2 I A 2 v B 2 2 g
1 1 G1 2 1 G2 2 G1 3G2 2 v B v B v B 2 3g 2 g 6g
13
动力学普遍定理的综合应用
例 题 5
本例小结： 本例中几乎应用了三个定理的所有主要形式。还 可以发现，每种问题的解法都并不是唯一的。这说 明，对于具体问题，必须进行具体分析，没有统一 的方法可循。
14
动力学普遍定理的综合应用
例 题 6
均质细长杆长为 l ，质量为m，静止直立于光滑水平 面上。杆受微小干扰而倒下。 求：杆刚刚到达地面时的角速度和地面的约束力。
代入数据，得 X A 0, YA 401N 相对质心动量矩守恒定理+动能定理+动量矩定理+质心运动定理。 可用对积分形式的动能定理求导计算，但要注意需取杆AB在
一般位置进行分析。
6
[例4] 基本量计算 (动量,动量矩,动能)
1 K mvC mL 6
1 2 L LO I O [ mL m( ) 2 ] 12 6 1 2 mL 9
a ( 4 sin 2 f cos ) g 5 5
对ｔ求导，得
2
[例3] 重150N的均质圆盘与重60N、长24cm的均质杆AB在B处用
铰链连接。 系统由图示位置无初速地释放。求系统经过最低位
置B'点时的速度及支座A的约束反力。
解：（1）取圆盘为研究对象
mB (F )0 ;
I B B 0 B 0
16
动力学普遍定理的综合应用
例 题 6
P
杆在滑倒过程中，只有重力作功。 由动能定理，有
C
T 0 W
v
A
C
1 2 2 l ml mg 6 2
3g l
17
动力学普遍定理的综合应用
例 题 6
杆刚到达地面时，受力及加速 度分析如图。 由刚体平面运动微分方程，得
mg FN maC
3 0 F FT Bx 2 ma F 1 F 2mg C By T 2
由此解得B处的约束力
3 3 3 3 FBx mg mg 2 4 8 F 1 mg 1 3 mg 2mg 53 mg Bx 6 2 4 24
[例2] 均质圆盘A：m，r；滑块B： m；杆AB：质量不计，平行于斜 面。斜面倾角，摩擦系数f，圆盘
作纯滚动，系统初始静止。求：
滑块的加速度。 解：选系统为研究对象
W ( F ) 2mg S sin f mgScos mg S (2sin f cos )
T1 0 T2 1 mv2 1 mv2 1 1 mr2 2 2 2 2 2
例 题 5
解： 1．确定绳子拉力 B 本例的条件与例题2相同。 在例题2中已经求得 g aC a A 6 aC R B 而 aC 故有 B R 取轮B和物块C组成的质点系为研究对象， 分析受力，对点B应用动量矩定理，有
d(J B B mC vC R) mC gR FT R dt
（3）用动量矩定理求杆的角加速度 。
G1 2 G2 G1 2 G2 2 1 1 LA l vl ( l l ) 3 g g 3 g g
由于
dLA mA ( F (e) ) 0 所以 ＝0 。 dt
杆质心 C的加速度： 盘质心加速度：
l n aC aC 2 (aC 0) 2
W
(F )
G1 l l G1 ( sin30) G2 (l lsin30) ( G2 )(l lsin30) 2 2 2
T2 T1 W ( F )
G1 3G2 2 G1 v B 0 ( G2 )(l lsin30) 6g 2
4
代入数据，得 vB ' 1.58 m/s
FN A
a
C
C
mg
l FN J C 2 1 2 J ml 其中 C 12 由运动学知
n aC a A aCA a CA
aC 铅直 其中 a A水平，
18
动力学普遍定理的综合应用
例 题 6
由运动学知
n aC a A aCA a CA
FN A
a
C
aC 铅直 其中 a A水平，
n 2 0) aB ' aB l ( a B
vB' 1.58 6.58 rad/s l 0.24
5
（4）由质心运动定理求支座反力。 研究整个系统。
G1 G2 mi aix ac a B ' 0 X A ; g g
mi aiy G1 l G 2 2 l 2 Y A G1 G2 g 2 g
C
将加速度矢量式向铅垂方向 投影，得
mg
aC aCA
l 2
联立以上诸式，可以解得
mg FN 4
19
动力学普遍定理的综合应用
例 题 6
P
C
v
A
C
解：杆在水平方向不受外力，且由静止倒下，则在倒下过 程中其质心将铅直下落。由运动学知，P为杆的瞬心。
杆刚到达地面时，A点成为杆的瞬心，杆的的动能为：
T
1 1 1 1 J A 2 ( ml 2 ) 2 ml 2 2 2 2 3 6
1 1 2 2 T I O 2 mL 2 18
K mR
3 LO mR 2 2
K mv
1 LC mR 2 2
2ຫໍສະໝຸດ Baidu
T 3 mR 4
2
T 1 mv2 1 mR2 2 2 4
7
[例5] 均质杆OA，重P，长l，绳子突然剪断。求该瞬时，角加 速度及O处反力。
均质圆轮A、B的质量均为m， 半径均为R，轮A沿斜面作纯滚动 ，轮B作定轴转动，B处摩擦不计 。物块C的质量也为m。A、B、C 用无质量绳相联，绳相对B 轮无 滑动。系统初始为静止状态。 试求： 1．轮A、轮B之间的绳子拉力 和B处的约束力；
2．轮A与地面的接触点处的摩擦力。
9
动力学普遍定理的综合应用
12
动力学普遍定理的综合应用
例 题 5
解： 3．确定A轮与斜面之间的摩擦力
取轮A为研究对象，分析受力， 应用相对质心的动量矩定理，得到
J A A FR
注意到
a A aC R A
于是，得到摩擦力
1 2 aA mR J R 1 m g 1 mg F A A2 R R 2 6 12
11
动力学普遍定理的综合应用
例 题 5
解： 2．确定B处的约束力
B
对图示系统应用质心运动定理，有
m a m a F F cos30 B Bx C Cx Bx T m a m a F F cos60 mB g mC g B By C Cy By T
10
动力学普遍定理的综合应用
例 题 5
d(J BB mC vC R ) mC gR FTR dt
JB mR R aC mgR F TR
B
解得
3 3 J FT mg B m a mg ma mg C C 2 2 4 R
1
W ( F ) 2mg S sin f mgScos mg S (2sin f cos )
T1 0 1 1 11 T2 mv2 mv2 mr2 2 2 2 22
T2 5 mv2 4
运动学关系： v r 由动能定理：
5 2 mv 0mgS(2sin f cos ) 4
解：取杆为研究对象， 由动量矩定理：
1 P l 2 P l 3g 2
由质心运动定理：
P aCx 0 X O g
3g / 2l
（∵初瞬时杆的角 速度0=0 ）
P Pl aCy YO P g g2
1 YO P 4
8
动力学普遍定理的综合应用
例 题 5
B 0 0 ，圆盘平动。
3
（2）用动能定理求速度。 取系统研究。初始时T1=0 ， 最低位置时：
1 1 G2 2 T2 I A 2 v B 2 2 g
1 1 G1 2 1 G2 2 G1 3G2 2 v B v B v B 2 3g 2 g 6g
13
动力学普遍定理的综合应用
例 题 5
本例小结： 本例中几乎应用了三个定理的所有主要形式。还 可以发现，每种问题的解法都并不是唯一的。这说 明，对于具体问题，必须进行具体分析，没有统一 的方法可循。
14
动力学普遍定理的综合应用
例 题 6
均质细长杆长为 l ，质量为m，静止直立于光滑水平 面上。杆受微小干扰而倒下。 求：杆刚刚到达地面时的角速度和地面的约束力。
代入数据，得 X A 0, YA 401N 相对质心动量矩守恒定理+动能定理+动量矩定理+质心运动定理。 可用对积分形式的动能定理求导计算，但要注意需取杆AB在
一般位置进行分析。
6
[例4] 基本量计算 (动量,动量矩,动能)
1 K mvC mL 6
1 2 L LO I O [ mL m( ) 2 ] 12 6 1 2 mL 9
a ( 4 sin 2 f cos ) g 5 5
对ｔ求导，得
2
[例3] 重150N的均质圆盘与重60N、长24cm的均质杆AB在B处用
铰链连接。 系统由图示位置无初速地释放。求系统经过最低位
置B'点时的速度及支座A的约束反力。
解：（1）取圆盘为研究对象
mB (F )0 ;
I B B 0 B 0
16
动力学普遍定理的综合应用
例 题 6
P
杆在滑倒过程中，只有重力作功。 由动能定理，有
C
T 0 W
v
A
C
1 2 2 l ml mg 6 2
3g l
17
动力学普遍定理的综合应用
例 题 6
杆刚到达地面时，受力及加速 度分析如图。 由刚体平面运动微分方程，得
mg FN maC
3 0 F FT Bx 2 ma F 1 F 2mg C By T 2
由此解得B处的约束力
3 3 3 3 FBx mg mg 2 4 8 F 1 mg 1 3 mg 2mg 53 mg Bx 6 2 4 24
[例2] 均质圆盘A：m，r；滑块B： m；杆AB：质量不计，平行于斜 面。斜面倾角，摩擦系数f，圆盘
作纯滚动，系统初始静止。求：
滑块的加速度。 解：选系统为研究对象
W ( F ) 2mg S sin f mgScos mg S (2sin f cos )
T1 0 T2 1 mv2 1 mv2 1 1 mr2 2 2 2 2 2
例 题 5
解： 1．确定绳子拉力 B 本例的条件与例题2相同。 在例题2中已经求得 g aC a A 6 aC R B 而 aC 故有 B R 取轮B和物块C组成的质点系为研究对象， 分析受力，对点B应用动量矩定理，有
d(J B B mC vC R) mC gR FT R dt
（3）用动量矩定理求杆的角加速度 。
G1 2 G2 G1 2 G2 2 1 1 LA l vl ( l l ) 3 g g 3 g g
由于
dLA mA ( F (e) ) 0 所以 ＝0 。 dt
杆质心 C的加速度： 盘质心加速度：
l n aC aC 2 (aC 0) 2
W
(F )
G1 l l G1 ( sin30) G2 (l lsin30) ( G2 )(l lsin30) 2 2 2
T2 T1 W ( F )
G1 3G2 2 G1 v B 0 ( G2 )(l lsin30) 6g 2
4
代入数据，得 vB ' 1.58 m/s
FN A
a
C
C
mg
l FN J C 2 1 2 J ml 其中 C 12 由运动学知
n aC a A aCA a CA
aC 铅直 其中 a A水平，
18
动力学普遍定理的综合应用
例 题 6
由运动学知
n aC a A aCA a CA
FN A
a
C
aC 铅直 其中 a A水平，
n 2 0) aB ' aB l ( a B
vB' 1.58 6.58 rad/s l 0.24
5
（4）由质心运动定理求支座反力。 研究整个系统。
G1 G2 mi aix ac a B ' 0 X A ; g g
mi aiy G1 l G 2 2 l 2 Y A G1 G2 g 2 g
C
将加速度矢量式向铅垂方向 投影，得
mg
aC aCA
l 2
联立以上诸式，可以解得
mg FN 4
19